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www.matesxronda.net José A. Jiménez Nieto

Matemáticas 4o ESO (Opción B) Relaciones métricas en triángulos • 1

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS

1. TEOREMA DE PITÁGORAS

La relación entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo viene dada por el teorema de Pitágoras, uno de los más importantes de la geometría, enunciado en el siglo V a. C.

Teorema de Pitágoras

• En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

• Recíprocamente, si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el triángulo es rectángulo.

c2 = a2 + b2

EJERCICIOS

1. Calcula la medida de la diagonal de los rectángulos cuyos lados, en centímetros, miden:

a) a = 4, b = 5 b) 10,7 == ba

2. La diagonal de un rectángulo mide 20 cm y la base mide 16 cm. Calcula la altura y el área del rectángulo.

3. La diagonal de un rectángulo mide 26 cm y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo.

4. Calcula la medida de los lados de los siguientes cuadrados sabiendo que las diagonales, en centímetros, miden:

a) d = 7’4 b) 21=d 5. Comprueba cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos.

a) 4 cm, 5 cm, 6 cm b) 6 cm, 8 cm, 10 cm c) 9 cm, 10 cm, 11 cm d) cm 2 cm, 2 cm, 2 2. PROYECCIONES ORTOGONALES

Dada una recta r y un punto P, se traza la recta perpendicular a ella pasando por el punto, obteniéndose el punto P’ como intersección de ambas rectas. Este punto P’ es la proyección ortogonal del punto P sobre la recta r.

En la figura del margen puedes tienes distintas proyecciones sobre la recta r:

• P’ = proyección del punto P

• A’B’ = proyección del segmento AB

• CD’ = proyección del segmento CD



Observa que:

• La proyección ortogonal del segmento AB sobre la recta r es el segmento A’B’, cuyos extremos son las pro-yecciones de los extremos A y B.

• La proyección ortogonal de un punto de la recta, es él mismo. 2.1. Elementos y proyecciones en un triángulo rectángulo

Dado el triángulo ABC rectángulo en C, sus elementos y proyecciones son:

• Ángulos: A, B y C. • Catetos: a y b. • Hipotenusa: c. • Alturas: de las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo, dos de

ellas son los catetos. a es la altura sobre el lado b. b es la altura sobre el lado a. h es la altura sobre la hipotenusa c.

• Proyecciones: m es la proyección del cateto b sobre la hipotenusa. n es la proyección del cateto a sobre la hipotenusa.

3. TEOREMA DE LA ALTURA

Vamos a obtener la relación entre la altura sobre la hipotenusa (h) y las proyecciones de los catetos sobre la misma (m y n).

A partir de la siguiente ilustración, aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos I y II se tiene:

Triángulo I: b2 = h2 + m2

Triángulo II: a2 = h2 + n2

Sumando ambas relaciones se obtiene:

a2 + b2 = 2h2 + m2 + n2 [1]

En el triángulo ABC, nuevamente aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos: c2 = a2 + b2

Sustituimos esta relación en [1] y resulta: c2 = 2h2 + m2 + n2 [2]

Sustituimos en [2] la relación c = m + n: (m + n)2 = 2h2 + m2 + n2

Despejamos 2h2 y desarrollamos (m + n)2:

2h2 = (m + n)2 − m2 − n2 = m2 + n2 + 2mn − m2 − n2 ⇒ 2h2 = 2mn ⇒ mnh =2

Teorema de la altura

• El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos so-bre la hipotenusa.



Ejemplo. Con los datos de la figura (unidades en cm) calcula la altura CD del triángulo ABC sabiendo que es rec-tángulo en C.

La altura de la hipotenusa en función de las proyecciones de los catetos viene dada por:

h2 = mn

h2 = 160 ⋅ 250 = 40.000 ⇒ 200000.40 ==h

Por tanto, la altura es 200 cm = 2m.

Ejemplo. Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro la divide en dos segmen-tos, uno de los cuales mide 20 cm. Calcula la medida de la cuerda.

Uniendo el extremo C de la cuerda con los extremos del diámetro A y B se forma el triángulo ABC que es rectángulo en C. En efecto, el ángulo ACB es inscrito a la circunferencia y abarca un arco de 180º, luego su medida, que es la mitad del arco, vale 90º.

En este triángulo la semicuerda es la altura sobre la hipotenusa, y por el teorema de la altura, se tiene:

h2 = mn = m(2r − m), siendo r el radio;

h2 = 20 ⋅ 80 = 1.6000 ⇒ h = 40

Por tanto, la cuerda mide 80 cm.

4. TEOREMA DEL CATETO

Ahora vamos a obtener la relación entre los catetos (a y b) y sus proyecciones sobre la hipotenusa (m y n). Para ello, aplicaremos el teorema de Pitágoras a los triángulos I y II y haremos uso del teorema anterior, h2 = mn.

Triángulo I:

b2 = m2 + h2 = m2 + mn = m(m + n) = mc ⇒ cmb =2

Triángulo II:

a2 = n2 + h2 = n2 + mn = n(n + m) = nc ⇒ cna =2

Teorema del cateto

• El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.

Ejemplo. En el siguiente triángulo de los lados 30 cm, 40 cm y 50 cm, calcula la altura sobre la hipotenusa y las

proyecciones de los catetos sobre la misma.

El triángulo ABC es rectángulo es C, pues verifica la relación de Pitágoras:

302 + 402 = 900 + 1.600 = 2.500 = 502 ⇒ a2 + b2 = c2

Aplicando el teorema del cateto tenemos:

302 = 50m, de donde m = 18 cm.

402 = 50n, de donde n = 32 cm; o también, n = c − m = 32 cm.

Aplicando ahora el teorema de la altura obtenemos:

h2 = 18 ⋅ 32 = 576, de donde h = 24 cm.



Ejemplo. La sección de un tejado tiene la forma de un triángulo rec-tángulo y sus dimensiones son las indicadas en la figura. Se quiere colocar una viga h para que resista mejor. Halla su altura y la distancia de su pie a los extremos.

El planteamiento de nuestro problema se basa en el siguiente triángulo:

Por el teorema de Pitágoras, a2 + 402 = 582, de donde a = 42 dm.

Por el teorema del cateto, tenemos:

402 = 58m, de donde m = 27’586 dm ≈ 27’6 dm.

422 = 58n, de donde n = 30’414 dm ≈ 30’4 dm.

Por último, el teorema de la altura nos proporciona:

h2 = 27’6 ⋅ 30’4 = 839’04, de donde h = 28’96 dm ≈ 29 dm.

EJERCICIOS

6. En un triángulo rectángulo ABC las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 cm y 16 cm. Calcula la

hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos.

7. En un triángulo rectángulo ABC la hipotenusa mide 20 cm y uno de los catetos 10 cm. Calcula el otro cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa.

8. En un triángulo rectángulo ABC los catetos miden 3 cm y 4 cm. Calcula la hipotenusa, las proyecciones de los cate-tos sobre la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa.

9. En el siguiente triángulo rectángulo, calcula la medida de los segmentos desconocidos, indicados por letras.

10. Los lados de un triángulo rectángulo miden a = 6 cm, b = 8 cm y c = 10 cm. ¿Cuánto mide la distancia desde el vér-tice C al centro del lado opuesto?

11. Una hormiga está correteando en un círculo de 60 cm de radio. Se para en un punto A de un diámetro a 30 cm del centro y decide acercarse a la circunferencia perpendicularmente al diámetro. ¿Qué distancia recorrerá?

12. Calcula el lado de un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio 20 cm. Generaliza el resultado para un cír-

culo de radio r. Generaliza el resultado para un círculo de radio r.



5. TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO

En este epígrafe vamos a extender el teorema de Pitágoras a un triángulo escaleno (que tiene los tres lados distintos), es decir, vamos a buscar una fórmula que permita relacionar los lados del triángulo.

Distinguiremos dos casos, según que el lado se oponga a un ángulo agudo o a un ángulo obtuso.

El ángulo opuesto es agudo

Para hallar el valor de a2 aplicaremos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que forman la altura h.

El ángulo opuesto es obtuso

Igualmente, aplicaremos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que forman la altura h: los triángulos DBC y el DAC.

Triángulo II:

a2 = h2 + (c − m)2 = h2 + c2 + m2 − 2cm [1]

Triángulo I:

b2 = h2 + m2 ⇒ h2 = b2 − m2 [2]

Sustituyendo [2] en [1] se obtiene:

a2 = b2 − m2 + c2 + m2 − 2cm

Luego:

cmcba 2222 −+=

Triángulo DBC:

a2 = h2 + (c + m)2 = h2 + c2 + m2 + 2cm [3]

Triángulo DAC:

b2 = h2 + m2 ⇒ h2 = b2 − m2 [4]

Sustituyendo [4] en [3] obtenemos:

a2 = b2 − m2 + c2 + m2 + 2cm

Por tanto:

cmcba 2222 ++=

Teorema de Pitágoras generalizado

El cuadrado del lado opuesto …

• … a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

• … a un ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.

• … a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ejemplo. Con los datos de la figura, cuyas medidas están dadas en centímetros, halla la medida del lado BC.

Aplicando el teorema de Pitágoras generalizado con a = BC, b = 66, c = 180 y m = 46, se tiene:

a2 = b2 + c2 − 2cm = 662 + 1802 − 2 ⋅ 180 ⋅ 46 = 20.196

Luego cm 142'1196.20 ≈=a



EJERCICIOS

13. Halla el valor del lado a del siguiente triángulo.


15. En un triángulo ABC cualquiera, b = 6’6 cm y las proyecciones de los lados b y a sobre el lado c miden m = 4’6 cm y n = 13’4 cm. Calcula el lado a.

16. En el triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado b = 4 cm sobre el lado c = 8 cm. El tercer lado mide a = 6 cm.

17. La sección de un tejado tiene la forma y dimensiones indicadas en la figura. Se quiere colocar una viga h para que resista mejor. Halla su altura y la distancia de su pie a los extremos.

18. Un árbol está sujeto con dos cuerdas a dos estacas alineadas con el árbol, una de las cuales mide 4 m. Con los datos

de la figura, calcula la distancia entre las estacas, la longitud de la otra cuerda y la altura a la que se encuentra atado el árbol.

19. Con los datos que aparecen en la figura, calcula la longitud de la diagonal d del trapecio.



6. ALTURAS DE UN TRIÁNGULO CONOCIDOS LOS LADOS

Hallaremos en este epígrafe la altura sobre un lado de un triángulo cualquie-ra conocidos los tres lados. El lado puede ser cualquiera, aunque nosotros hemos elegido aquí el lado c, cuya altura notamos por hc. Las herramientas que utilizaremos para ello son el teorema de Pitágoras, el valor de la proyección obtenido en el epígrafe anterior y la igualdad notable re-ferida a la diferencia de cuadrados: x2 − y2 = (x + y)(x − y).

El teorema de Pitágoras generalizado nos proporciona la proyección de b sobre el lado c:

cacb

mcmcba2

2222

222 −+=⇒−+=

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo I obtenemos:

222222 mbhmhb cc −=⇒+=

Sustituimos en esta última expresión el valor de m:

2

2

2222

2

222222

2

22222

2

222222

2

22222

222222

4

)()()()(4

])([])[(4

)2()2(

4

)()2(

4

)(4

4

)(2

c

cbacbaacbacbc

cbaacbc

acbbcacbbc

c

acbbc

c

acbcb

c

acbb

cacb

bhc

+−−+−+++=

=−−−+

=+−−−++

=

=−+−

=−+−

=−+

−=

−+−=

Por tanto, extrayendo la raíz cuadrada se obtiene el valor de la altura hc sobre el lado c:

c

cbacbacbacbahc 2

)()()()( −++−++−++=

Teorema de la altura generalizado

La medida de la altura hc sobre el lado c, en función de los lados, es:

ccbacbacbacba

hc 2)()()()( −++−++−++

=

Análogos resultados se obtendrían sobre los otros dos lados a y b. Ejemplo. La sección de un tejado tiene la forma y dimensiones (en metros) indicadas en la figura. Se quiere colocar

una viga h para que resista mejor. Halla su longitud.

Para calcular el valor de la viga usamos la fórmula de la altura:

metros 5'8324

575.19122

591529122

)12107()12107()12107()12107(≈=

⋅⋅⋅⋅

=⋅

−++−++−++=h



7. ÁREA DEL TRIÁNGULO CONOCIDOS LOS TRES LADOS: FORMULA DE HERÓN

La fórmula de Herón nos permite hallar el área de un triángulo conocidos los tres lados. Para obtenerla utilizaremos la fórmula conocida del área de un triángulo:

altura2

base2alturabase

Área ⋅=⋅

=

en la que tomaremos como base el lado c y su altura correspondiente hc.

De esta forma:

4

)()()()(

2

)()()()(

22

cbacbacbacba

c

cbacbacbacbach

cA c

−++−++−++=

−++−++−++⋅=⋅=

Fórmula de Herón

El área de un triángulo, en función de sus lados, es:

4)()()()( cbacbacbacba

A−++−++−++

=

Si designamos por p al semiperímetro del triángulo, tenemos:

4))()((16

4)(2)(2)(22

)(222)(222

)(2222

perímetro2trosemiperíme

cpbpappcpbpappA

cpcpcbabpbpcba

apapcbapcba

pp

−−−=

−⋅−⋅−⋅=⇒

−=−=−+−=−=+−

−=−=++−=++

=⇒=

con lo que la fórmula de Herón se puede expresar también de la siguiente forma:

)()()( cpbpappA −−−= Ejemplo. Halla la fórmula del área de un triángulo equilátero a partir de la fórmula de Herón. Aplícala al caso en

que el lado mide 12m.

• Al tratarse de un triángulo equilátero, los tres lados son iguales. Aplicando la fórmula de Herón para el caso a = b = c obtenemos:

43

43

43 24 aaaaaa

A ==⋅⋅⋅

=

• Para el caso de a = 12, se tiene:

222

m3364

31444

3124

3====

aA

EJERCICIOS

20. Una finca tiene forma triangular. Sus dimensiones son 700 m, 701 m y 702 m. Calcula los metros cuadrados de te-

rreno que tiene.

21. Dado el triángulo ABC cuyos lados miden 13 cm, 14 cm y 15 cm, se pide: a) La altura sobre el lado mayor. b) El área del triángulo conocido el resultado anterior. c) El área, utilizando la fórmula de Herón.



22. Un triángulo isósceles tiene 160 cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 40 cm. Calcula los lados del triángulo y su área. Ayuda: Expresa uno de los lados en función del otro.

8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS

8.1. Obtención gráfica de la raíz cuadrada de números

Se quiere construir un segmento cuya longitud sea .8 Para ello aplicamos el teorema de la altura: h2 = mn.

Escribimos .248 ⋅= Buscaremos un triángulo rectángulo en el que las proyeccio-nes de los catetos sobre la hipotenusa sean 4 y 2. En este triángulo la altura es precisamen-

te .8

Se construye una circunferencia de diámetro AB = 4 + 2. Sobre AB se toma AM = 4 y se traza la semicuerda CM perpendicular al diámetro AB. El triángulo ABC es rectángulo, por ser C un ángulo inscrito que abarca media circunferencia.

Por el teorema de la altura, h2 = 4 ⋅ 2, luego .8=h

Si el número no se puede factorizar, por ejemplo 7, siempre se puede expresar así: 7 = 7 ⋅ 1, y se toma como diáme-tro AB = 7 + 1. 8.2. Construcción de un cuadrado de igual área que un rectángulo

Dos figuras son equivalentes si tienen la misma área.

En este ejemplo se trata de construir un cuadrado equivalente a un rectángulo de lados 5cm y 2 cm. Se utiliza el teorema del cateto: b2 = cm.

Construiremos un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mida 5 y la pro-yección de un cateto mida 2. Por tanto, b2 = 5 ⋅ 2.

Se dibuja una circunferencia de diámetro AB = 5. Sobre AB se toma AM = 2 y se traza la semicuerda CM perpendicular al diámetro AB.

El triángulo ABC es rectángulo, por ser C un ángulo inscrito que abarca media circunferencia.

Por el teorema del cateto, b2 = 5 ⋅ 2. Por tanto, b es el lado del cuadrado equiva-lente al rectángulo.



EJERCICIOS

23. Utilizando el teorema de la altura, representa en la recta real los números irracionales .5y 15 ,12

24. Utilizando el teorema del cateto, representa en la recta real los números irracionales .15y 12 ,8

25. Utilizando el teorema de Pitágoras, representa en la recta real los números irracionales .13y 10 ,5

26. Construye un cuadrado equivalente a un rectángulo cuyos lados miden 6 cm y 3 cm, es decir, que tenga la misma área.

27. Dibuja un triángulo de base 8 cm y altura sobre la misma 6 cm. Calcula numérica y gráficamente el lado del cuadra-do equivalente a este triángulo. Comprueba que ambos resultados coinciden.

Soluciones a los ejercicios propuestos 1. Calcula la medida de la diagonal de los rectángulos cuyos lados, en centímetros, miden:

a) a = 4, b = 5 b) 10,7 == ba

a) cm 41Diagonal = b) cm 17Diagonal =

2. La diagonal de un rectángulo mide 20 cm y la base mide 16 cm. Calcula la altura y el área del rectángulo. Se trata de un rectángulo de 12 cm de altura y 192 cm2 de área.

3. La diagonal de un rectángulo mide 26 cm y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo. El rectángulo tiene por lados 10 y 24 cm, respectivamente.

4. Calcula la medida de los lados de los siguientes cuadrados sabiendo que las diagonales, en centímetros, miden:

a) d = 7’4 b) 21=d

a) cm 27'38 b) cm 10'5

5. Comprueba cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos.

a) 4 cm, 5 cm, 6 cm b) 6 cm, 8 cm, 10 cm c) 9 cm, 10 cm, 11 cm d) cm 2 cm, 2 cm, 2 Son triángulos rectángulos los casos b) y d), pues son los que verifican la relación de Pitágoras.

6. En un triángulo rectángulo ABC las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 cm y 16 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos.

Conocemos m = 4 y n = 16, entonces c = 20, h = 8, 54=b y 58=a (datos en centímetros).

7. En un triángulo rectángulo ABC la hipotenusa mide 20 cm y uno de los catetos 10 cm. Calcula el otro cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa.

Conocemos c = 20 y, por ejemplo, a = 10, entonces ,310=b m = 15, n = 5 y 35=h (datos en centímetros).

8. En un triángulo rectángulo ABC los catetos miden 3 cm y 4 cm. Calcula la hipotenusa, las proyecciones de los cate-tos sobre la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa. Conocemos a = 4 y b = 3, entonces c = 5, m = 1’8, n = 3’2 y h = 2’4 (datos en centímetros).

9. En el siguiente triángulo rectángulo, calcula la medida de los segmentos desconocidos, indicados por letras.

c = 36’3 cm

n = 28’8 cm

cm 14'766216 ≅==h

cm '3321.045'44 ≅=a

10. Los lados de un triángulo rectángulo miden a = 6 cm, b = 8 cm y c = 10 cm. ¿Cuánto mide la distancia desde el vér-tice C al centro del lado opuesto? La distancia correspondiente es de 5cm.



11. Una hormiga está correteando en un círculo de 60 cm de radio. Se para en un punto A de un diámetro a 30 cm del centro y decide acercarse a la circunferencia perpendicularmente al diámetro. ¿Qué distancia recorrerá?

La distancia que recorre la hormiga es de cm. '96513302.700 ≅=

12. Calcula el lado de un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio 20 cm. Generaliza el resultado para un cír-culo de radio r.

El lado del triángulo equilátero mide cm. '64343201.200 ≅=

En general, si inscribimos un triángulo equilátero en un círculo de radio r, éste tendrá por lado .33 2 rr =


7'2113252 ≅==a


17289 ==a

15. En un triángulo ABC cualquiera, b = 6’6 cm y las proyecciones de los lados b y a sobre el lado c miden m = 4’6 cm y n = 13’4 cm. Calcula el lado a.

La media de dicho lado es cm. '21496'201 ≅=a

16. En el triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado b = 4 cm sobre el lado c = 8 cm. El tercer lado mide a = 6 cm. La correspondiente proyección mide m = 2’75 cm.

17. La sección de un tejado tiene la forma y dimensiones indicadas en la figura. Se quiere colocar una viga h para que resista mejor. Halla su altura y la distancia de su pie a los extremos.

La viga dista 3’875 y 8’125 metros, respectivamente, de los extremos del tejado.

Tiene una altura de metros. '835984375'33 ≅=h



18. Un árbol está sujeto con dos cuerdas a dos estacas alineadas con el árbol, una de las cuales mide 4 m. Con los datos de la figura, calcula la distancia entre las estacas, la longitud de la otra cuerda y la altura a la que se encuentra atado el árbol.

Las estacas están separadas, obviamente, 6 metros.

El árbol se encuentra atado a '4633212 ≅= metros de altura.

La otra cuerda mide metros. '2957228 ≅=

19. Con los datos que aparecen en la figura, calcula la longitud de la diagonal d del trapecio.

La diagonal d mide 17 centímetros.

20. Una finca tiene forma triangular. Sus dimensiones son 700 m, 701 m y 702 m. Calcula los metros cuadrados de te-rreno que tiene. La finca tiene una superficie de 212.782 m2.

21. Dado el triángulo ABC cuyos lados miden 13 cm, 14 cm y 15 cm, se pide: a) La altura sobre el lado mayor. b) El área del triángulo conocido el resultado anterior. c) El área, utilizando la fórmula de Herón. La altura sobre el lado mayor, el de 15 cm, mide 11’2 cm. El área de dicho triángulo es 84 cm2.

22. Un triángulo isósceles tiene 160 cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 40 cm. Calcula los lados del triángulo y su área. Ayuda: Expresa uno de los lados en función del otro.

Los lados miden a = 50 cm y b = 60 cm.

Su área es de 1.200 cm2.

23. Utilizando el teorema de la altura, representa en la recta real los números irracionales .5y 15 ,12

24. Utilizando el teorema del cateto, representa en la recta real los números irracionales .15y 12 ,8

25. Utilizando el teorema de Pitágoras, representa en la recta real los números irracionales .13y 10 ,5

26. Construye un cuadrado equivalente a un rectángulo cuyos lados miden 6 cm y 3 cm, es decir, que tenga la misma área.

27. Dibuja un triángulo de base 8 cm y altura sobre la misma 6 cm. Calcula numérica y gráficamente el lado del cuadra-do equivalente a este triángulo. Comprueba que ambos resultados coinciden.

Estos últimos ejercicios se basan en construcciones geométricas con regla y compás, mi consejo es que …

¡¡Ánimo y a dibujar!!

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