PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
DANIELE DE LIMA KRAMM
Resolução de problemas: possíveis relações entre raciocínio
lógico e desempenho em Matemática
Mestrado em Educação: Psicologia da Educação
São Paulo
2014
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
DANIELE DE LIMA KRAMM
Resolução de problemas: possíveis relações entre raciocínio
lógico e desempenho em Matemática
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação: Psicologia da Educação sob a orientação do Prof. Dr. Sergio Vasconcelos de Luna.
São Paulo
2014
Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Dedico este trabalho especialmente à minha filha Beatriz, pela vivência do amor
mais pleno e incondicional, a quem eu destino todas as minhas forças, no intuito
de construir um mundo melhor.
AGRADECIMENTOS
Agradeço imensamente ao meu marido, Alexandre, que possibilitou a
concretização deste sonho. Obrigada pela motivação e incentivo, por dividir comigo
cada momento de angústia e alegria ao longo deste período, sempre buscando me fazer
compreender e aceitar as minhas escolhas. Por ser meu grande companheiro neste e em
tantos outros sonhos, por compartilhar comigo a vida e construir de forma tão especial a
nossa família. E, ainda, por sua preciosa contribuição nas análises estatísticas.
À meus pais, Valter e Renata, e meus irmãos, Marco e Gabriel, por me
ensinarem o dom do amor e do respeito ao próximo, pelo apoio e incentivo aos meus
estudos e, principalmente, pela presença, preocupação e cuidado constantes.
À minha sogra, Maria Celi, por ter me auxiliado em momentos cruciais deste
trabalho, cuidando da minha filha com tanto amor, paciência e carinho.
Meu agradecimento muito especial ao meu professor e orientador Sergio
Vasconcelos de Luna, que, além de ter exercido de forma exemplar a sua função, me
apoiou, compreendeu e respeitou em todos os momentos deste trabalho. Sou
extremamente grata por ter tido a oportunidade de trabalhar com você. Com certeza os
seus ensinamentos me acompanharão por toda a vida. Obrigada por compreender
minhas inseguranças, por me incentivar a cada pequeno passo dado, por todas as
dúvidas esclarecidas, e, principalmente, por sua dedicação e paciência.
Agradeço também aos professores e profissionais do PED, em especial à
Professora Mitsuko Antunes (carinhosamente chamada de Mimi), por ter me concedido
a honra de acompanhá-la como monitora em sua disciplina e por todas as conversas em
que buscava reduzir as minhas angústias; e ao Edson, pelo cuidado, atenção e
auxílio prestados durante todo o curso.
Aos meus colegas de turma no mestrado, que proporcionaram momentos
fundamentais de discussão e reflexão, em especial à Marina, Carol e Cícero, pelo
carinho, companheirismo, pelas trocas de experiência, angústias e muitas risadas. Vocês
tornaram a minha experiência no Mestrado muito mais especial!
Não poderia deixar de agradecer às Professoras Miriam Marinotti e Melania
Moroz, por tantos conhecimentos compartilhados e por aceitarem, gentilmente, fazer
parte dessa banca.
Agradeço aos professores e gestores da escola pesquisada, em especial à minha
colega de mestrado Milene Rovaron, à Denise Politano e à Alice Dias da Silva, que
aceitaram fazer parte desse estudo, contribuindo sobremaneira para o bom andamento
da pesquisa e favorecendo em todos os aspectos a realização da mesma.
Por fim, agradeço ao CNPq, pelo financiamento da bolsa de estudos durante o
período de realização da pesquisa.
Há um tempo em que é preciso abandonar as roupas usadas que já têm a forma de nossos corpos e esquecer os nossos caminhos que nos levam sempre aos mesmos lugares.
É o tempo da travessia.
E, se não ousarmos fazê-la, teremos ficado para sempre à margem de nós mesmos.
Fernando Pessoa
RESUMO
Kramm, D. L. (2014). Resolução de problemas: possíveis relações entre raciocínio lógico e desempenho em matemática. Dissertação de Mestrado. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, Brasil.
Na educação, constata-se a preocupação em desenvolver o comportamento de solucionar problemas como uma das responsabilidades da escola, à qual caberia a tarefa de prover os estudantes com procedimentos para que sejam capazes de responder aos desafios da vida contemporânea. O presente estudo teve como tema central a resolução de problemas, buscando identificar e compreender possíveis relações entre o desempenho em tarefas envolvendo raciocínio lógico e o desempenho em matemática. Para tanto, foram avaliadas 12 crianças de 8 e 9 anos de idade, frequentando o 3o ano do ensino fundamental de uma escola da rede pública de ensino na cidade de São Paulo. O instrumento para a realização deste estudo continha 12 questões que envolviam problemas sem número, 12 problemas com e sem solução possível e 36 problemas com algum tipo de violação lógica, sendo que 12 delas abordavam violações causais, 12 implicavam violações temporais e 12 eram compostas por violações gerais. Os sujeitos responderam aos 60 problemas, cujo critério de acerto implicava que a resposta estivesse na direção prevista e que fosse acompanhada da justificativa correta, obtida mediante inquérito da pesquisadora. Foram realizados os seguintes procedimentos para a análise dos dados: 1. Análise do desempenho individual em cada problema; 2. Análise da dificuldade relativa de cada questão em cada tipo de problema (em função do número de acertos obtidos neles); 3. Classificação das justificativas; 4. Análise do desempenho por classificação dos alunos (fortes e fracos); 5. Realização de testes estatísticos por meio do Minitab Statistical Software. Os resultados possibilitaram identificar a relação entre o desempenho em matemática e o comportamento de resolver problemas lógicos, sugerindo haver relação entre estes raciocínios. Palavras-chave: Resolução de problemas. Raciocínio lógico. Aprendizagem matemática.
ABSTRACT
Kramm, D. L. (2014). Problem solving: Possible relationships between logical reasoning and mathematics performance. Master’s Thesis. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, Brazil.
In education, there has been concern in developing problem-solving behavior as one of
the responsibilities of the school, whose task includes that of providing students with
procedures to enable them to meet the challenges of contemporary life. The present
study had problem solving as its central theme and aimed at identifying and
understanding possible relationships between performance on tasks involving logical
thinking and mathematics performance. To this end, subjects were 12 children aged 8
and 9 years old which attended the third year of elementary school - of a public school
in the city of São Paulo. The instrument for data gathering was composed by12
questions involving problems without number, 12 problems with and without possible
solution, 36 problems with some sort of logical violation (12involvingcausal violations,
12 implied temporal violations and 12 consisted of general violations). The subjects
responded to the 60 problems whose correctness criterion required that the answer was
in the predicted direction and was accompanied by proper justification, obtained by the
inquiry provoked by the researcher. The following procedures for data analysis were
performed by: 1. Individual performance on each problem; 2.Analysis of the relative
difficulty of each question in each type of problem (depending on the number of hits
obtained in them); 3.Analysis of the justifications; 4.Analysis of performance for
classification of students (previously classified as strong or weak performers on
mathematics), and 5. Performing Statistical using Minitab Statistical Software testing. It
was possible to identify relationship between mathematics performance and behavior in
solving logical problems.
Keywords: Problem solving. Logical reasoning. Learning mathematics.
SUMÁRIO
Introdução O sistema avaliativo no Brasil e o desempenho em Matemática
O Índice de Desenvolvimento da Educação – IDEB O Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM O Programa Internacional de Avaliação de Estudantes – PISA O que demonstram os resultados das avaliações – IDEB, ENEM e PISA
16 18 19 21 23 25
Resolução de problemas e educação
Aspectos históricos da área de estudos relativa à Resolução de Problemas Algumas contribuições da Análise do Comportamento
27 29 32
Resolução de Problemas: questões conceituais e algumas reflexões
Dificuldades metodológicas no estudo da resolução de problemas A resolução de problemas na matemática cotidiana e na matemática formal Estudos que abordam a relação entre raciocínio lógico e o desempenho matemático
34 40 41 46
Estudo I Reexame das questões Descrição do Pré-teste
Descrição da primeira aplicação Descrição da segunda aplicação
49 49 59 60 61
Estudo II Objetivo Método Sujeitos Local Material Procedimentos de aplicação
Contato inicial com a escola Esclarecimentos aos sujeitos sobre a pesquisa Aplicação do instrumento
63 63 64 64 65 65 68 68 69 70
Resultados Procedimento de análise dos dados Apresentação dos resultados por sujeito e por grupo de problemas
1. Análise dos grupos de problemas 1.1. Problemas com e sem solução 1.2. Problemas sem número 1.3. Problemas mistos 1.4. Comparação entre os resultados dos sujeitos por tipo de problemas
(matemáticos x lógicos) 2. Análise das questões 3. Classificação das justificativas 4. Análise do desempenho das crianças, segundo a classificação (fraco e
forte) 5. Análises Estatísticas
5.1. Problemas com e sem solução 5.2. Problemas sem número 5.3. Problemas gerais 5.4. Problemas de inversão temporal 5.5. Problemas de inversão causal 5.6. Problemas lógicos 5.7. Problemas matemáticos
74 74 76 76 77 78 79 83 84 100 112 115 117 119 121 124 126 129 130
Discussão
132
Referências Bibliográficas
136
APÊNDICES e ANEXO
Apêndice A – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido 141
Apêndice B – CD com as transcrições das aplicações 142
Apêndice C – Folha de registro de respostas 143
Anexo I – Escala dos níveis de proficiência em Matemática definidos no PISA
148
TABELAS
TABELA 1. Evolução do IDEB nos anos iniciais do Ensino Fundamental
20
TABELA 2. Evolução do IDEB nos anos finais do Ensino Fundamental
20
TABELA 3. Escala de notas do ENEM 2012, 1011 e 2010
22
TABELA 4. Comparação entre os resultados do Brasil no PISA
24
TABELA 5. Alterações realizadas nos problemas sem número
52
TABELA 6. Alterações realizadas nos problemas com e sem solução
54
TABELA 7. Alterações realizadas nos problemas gerais
56
TABELA 8. Alterações realizadas nos problemas de inversão causal
57
TABELA 9. Alterações realizadas nos problemas de inversão temporal
58
TABELA 10. Hierarquia do desempenho dos sujeitos, segundo o número de acertos nos 12 problemas com e sem solução
77
TABELA 11. Hierarquia do desempenho dos sujeitos, segundo o número de acertos nos 12 problemas sem número
78
TABELA 12. Número de acertos de cada sujeito em cada tipo de questão lógica
79
TABELA 13. Resultados totais verificados nas questões lógicas
80
TABELA 14. Desempenho dos sujeitos por tipo de problema
83
TABELA 15. Distribuição percentual do número de acertos por questão – problemas de inversão causal
85
TABELA 16. Distribuição percentual do número de acertos por questão - problemas com e sem solução
90
TABELA 17. Distribuição percentual do número de acertos por questão - problemas sem número
95
TABELA 18. Distribuição percentual do número de acertos por questão – problemas gerais
98
TABELA 19. Distribuição percentual do número de acertos por questão Problemas de inversão temporal
99
TABELA 20. Distribuição percentual do número de acertos por questão – problemas com e sem solução
103
TABELA 21. Distribuição percentual do número de acertos por questão – problemas sem número
105
TABELA 22. Distribuição percentual do número de acertos por questão – problemas de inversão temporal
108
TABELA 23. Distribuição percentual do número de acertos por questão – problemas com e sem solução
109
TABELA 24. Frequência das categorias dos problemas com e sem solução e dos problemas sem número
110
TABELA 25. Síntese do desempenho dos sujeitos fortes e fracos por grupo de problemas: distribuição percentual do número de acertos
114
FIGURAS
Figura 1. Cálculo numérico realizado pela criança C para responder ao problema 2 91
Figura 2. Cálculo numérico realizado pela criança I para resolver o problema 8 94
Figura 3. Cálculo numérico realizado pela criança I para solucionar o problema 12 94
Figura 4. Distribuição dos números da soma realizada pela criança E 111
Figura 5. Cálculo numérico realizado pela criança C
111
16
O presente estudo teve como tema central a resolução de problemas, buscando
identificar e compreender possíveis relações entre raciocínio lógico e aprendizagem
matemática.
Para explicitar as razões que levaram a esta opção temática e fornecer ao leitor
informações que possibilitem a compreensão dos tópicos desenvolvidos ao longo desta
pesquisa, a seção inicial – O sistema avaliativo no Brasil e o desempenho em
Matemática - apresenta informações gerais de como está estabelecido o sistema de
avaliação da educação básica no país. Esta parte é finalizada com a apresentação de
resultados dos processos avaliativos nacionais e internacionais, a fim de fornecer
informações do desempenho dos estudantes brasileiros em matemática.
Em seguida, são apresentadas reflexões acerca dos objetivos fundamentais da
educação e sobre como estão dispostas as questões que envolvem a resolução de
problemas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs).
A próxima seção busca levantar os aspectos históricos da área que estuda a
resolução de problemas, procurando compreender seu percurso em linhas gerais, até ser
utilizada como metodologia de ensino pela Educação Matemática Moderna.
A seguir, apresenta-se uma breve descrição dos estudos em Matemática e
Resolução de Problemas na Psicologia, visando identificar as possíveis contribuições
desta última. O intuito desta seção é apresentar ao leitor as pesquisas que vêm se
desenvolvendo em Análise do Comportamento, principal referencial teórico deste
trabalho.
A seção seguinte aborda questões conceituais sobre resolução de problemas, a
partir da concepção da Psicologia da Educação. Busca estabelecer uma reflexão acerca
dos desafios conceituais e as dificuldades metodológicas que são colocadas ao estudioso
17
da resolução de problemas. Apresenta, também, o estudo do grupo de pesquisadores da
Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) a respeito da resolução de problemas na
matemática formal e na matemática realizada fora da escola, em situações cotidianas.
Este estudo estabelece a correlação entre habilidades lógicas e o desempenho
matemático, e fornece subsídios fundamentais para a reflexão a ser estabelecida ao
longo desta pesquisa.
A seção “Estudo I” apresenta o pré-teste do instrumento e a pesquisa realizada
por Luna e Marinotti (2011), que fundamentou este estudo, discutindo-se os principais
resultados e as dificuldades presentes naquele momento, que levaram à justificativa
desta replicação e as alterações realizadas no instrumento de pesquisa.
O “Estudo II” transcorre sobre os aspectos metodológicos, chegando à
apresentação e análise dos resultados, que subsidiam a seção final, de discussão.
Espera-se que esta pesquisa possa contribuir para as reflexões que estão sendo
desenvolvidas a respeito da temática resolução de problemas, ampliando os
conhecimentos acerca do comportamento infantil diante de uma situação problema, que
possam subsidiar intervenções mais efetivas neste campo.
18
O SISTEMA AVALIATIVO NO BRASIL E O DESEMPENHO EM MATEMÁTICA
Este capítulo realiza uma descrição dos sistemas avaliativos, buscando
inicialmente apresentar como estes se desenvolveram no Brasil, e, posteriormente
abordar as avaliações que são realizadas no âmbito mundial, comparando-se o
desempenho dos alunos brasileiros com o de outros países, quanto aos aspectos que
envolvem a matemática.
Estas informações visam a problematizar os resultados obtidos por estudantes
brasileiros em matemática, fundamentando a necessidade do desenvolvimento de
pesquisa na área de resolução de problemas.
O Ministério da Educação (MEC) é o órgão responsável pela gestão do sistema
educacional brasileiro, ao qual cabe, por meio do Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), a missão de promover estudos,
pesquisas e avaliações com o objetivo de subsidiar políticas públicas para a área
educacional no país.
O Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb) é uma avaliação em larga
escala, aplicada no Brasil desde 1990. O Saeb, atualmente, inclui a Avaliação Nacional
da Educação Básica (Aneb) e a Avaliação Nacional do Rendimento Escolar (Anresc),
conhecida como Prova Brasil, aplicadas a cada 2 anos, além da Avaliação Nacional de
Alfabetização (Ana), aplicada pela primeira vez em 2013, e que terá periodicidade
anual.
A Aneb é realizada por amostragem, envolvendo alunos das redes públicas e
privadas de ensino, em cada unidade da Federação. São avaliados alunos matriculados
no 5o e 9o ano do Ensino Fundamental, e do 3o ano do Ensino Médio e tem como
objetivo avaliar a qualidade, equidade e a eficiência da educação brasileira.
19
A Anresc (ou “Prova Brasil”) é composta por provas de Língua Portuguesa e
Matemática, além de questionários socioeconômicos aplicados aos alunos participantes
e à comunidade escolar. É aplicada a estudantes do 5º e 9º ano do ensino fundamental,
em escolas da rede pública de ensino com mais de 20 estudantes matriculados por série
alvo da avaliação.
A “Ana” é uma avaliação censitária, composta por provas de leitura e escrita e
de matemática. Avalia estudantes do 3o ano do ensino fundamental de escolas públicas
das zonas urbana e rural, organizadas no regime de 9 anos. Tem como objetivo principal
avaliar os níveis de alfabetização e letramento em Língua Portuguesa, alfabetização
Matemática e as condições de oferta do Ciclo de Alfabetização nas redes públicas. Foi
incorporada ao Saeb recentemente, por meio da Portaria 482, de 7 de junho de 20131.
O Índice de Desenvolvimento da Educação – IDEB
Os resultados decorrentes do Saeb, juntamente com os dados de aprovação
obtidos a partir do Censo Escolar, compõem o Índice de Desenvolvimento da Educação
Básica (Ideb), criado pelo Inep em 2007 com o objetivo de sintetizar a aprovação e
média de desempenho dos estudantes em língua portuguesa e matemática.
As tabelas 1 e 2 apresentam, respectivamente, os dados da evolução do IDEB
nos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental. Seus dados estão analisados em
conjunto, a seguir.
1 Disponível em www.inep.gov.br, consultado em 18/02/2014.
20
Tabela 1. Evolução do IDEB nos anos iniciais do Ensino Fundamental
IDEB Observado Metas
2005 2007 2009 2011 2007 2009 2011 2013 2021
Total 3.8 4.2 4.6 5.0 3.9 4.2 4.6 4.9 6.0
Dependência Administrativa
Pública 3.6 4.0 4.4 4.7 3.6 4.0 4.4 4.7 5.8
Estadual 3.9 4.3 4.9 5.1 4.0 4.3 4.7 5.0 6.1
Municipal 3.4 4.0 4.4 4.7 3.5 3.8 4.2 4.5 5.7
Privada 5.9 6.0 6.4 6.5 6.0 6.3 6.6 6.8 7.5
Fonte: Brasil/Inep, disponível em http://ideb.inep.gov.br/resultado/, consultado em 14/02/2013.
Tabela 2. Evolução do IDEB nos anos finais do Ensino Fundamental
IDEB Observado Metas
2005 2007 2009 2011 2007 2009 2011 2013 2021
Total 3.5 3.8 4.0 4.1 3.5 3.7 3.9 4.4 5.5
Dependência Administrativa
Pública 3.2 3.5 3.7 3.9 3.3 3.4 3.7 4.1 5.2
Estadual 3.3 3.6 3.8 3.9 3.3 3.5 3.8 4.2 5.3
Municipal 3.1 3.4 3.6 3.8 3.1 3.3 3.5 3.9 5.1
Privada 5.8 5.8 5.9 6.0 5.8 6.0 6.2 6.5 7.3
Fonte: Brasil/Inep, disponível em http://ideb.inep.gov.br/resultado/, acesso em 14/02/2013.
Os dados do Ideb têm demonstrado avanços na educação brasileira. No que se
refere ao Ensino Fundamental, o índice aumentou de 3,8 em 2005 para 5,0 em 2011
para os anos iniciais, e de 3,5 para 4,1 no mesmo período para os anos finais, conforme
demonstram as Tabelas 1 e 2. Ressalta-se que o índice varia em uma escala de 0 a 10
pontos. Estes resultados representam a superação das metas estabelecidas pelo MEC
para todos os biênios (2007, 2009 e 2011).
21
O Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM
O ENEM é um exame individual, voluntário, realizado anualmente por alunos
concluintes ou que já concluíram o ensino médio. Tem como principal objetivo avaliar
o desempenho dos estudantes, com base em cinco competências e 21 habilidades que
estruturam a avaliação. Dentre as competências, destaca-se a solução de problemas,
definida pela capacidade de selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e
informações representadas de diferentes formas, para o enfrentamento de situações-
problema, segundo uma visão crítica com vista à tomada de decisões (Brasil, 2008).
Além da divulgação dos resultados individuais, para cada aluno participante, e
os resultados gerais das escolas, o Inep disponibiliza um Relatório Pedagógico, em que
apresenta aos professores e dirigentes escolares os resultados gerais do exame, a partir
do cruzamento de dados entre o desempenho dos participantes com algumas variáveis
socioeconômicas disponibilizadas por meio do questionário específico para este fim,
com o intuito de incitar estudos e pesquisas mais aprofundadas sobre os resultados do
Enem, que possibilitem a melhoria contínua do ensino no País.
Até 2008, o Enem era uma prova clássica, com 63 questões interdisciplinares,
que não estavam relacionadas diretamente aos conteúdos ministrados no Ensino Médio.
O Exame se dividia em Prova de Redação e Prova Objetiva, com graus distintos de
dificuldade por questão. As questões que envolvem a competência de solução de
problemas integravam a Prova Objetiva, juntamente com o domínio da linguagem,
compreensão de fenômenos, construção de argumentos consistentes e elaboração de
propostas de intervenção na realidade.
A Prova Objetiva contemplava 13 questões de baixo nível de dificuldade (20%),
25 questões de nível médio (40%) e 25 questões de alto nível de dificuldade (40%).
22
Em 2010, a maioria das instituições federais passou a usar o resultado do Enem
como forma de ingresso em seu processo seletivo, e o Exame passou a abordar o
currículo do Ensino Médio mais diretamente.
Desde então, foram implementadas mudanças no Exame, que passou a utilizar
quatro grupos de provas diferentes em cada processo seletivo, além da redação. O novo
exame passou a ser composto por perguntas objetivas em quatro áreas do conhecimento:
linguagens, códigos e suas tecnologias (incluindo redação); ciências humanas e suas
tecnologias; ciências da natureza e suas tecnologias e matemáticas e suas tecnologias.
Cada grupo está composto por 45 questões de múltipla escolha, aplicados em dois dias.
Com estas atualizações, o MEC busca a reformulação do currículo do ensino
médio e mudança do acúmulo excessivo de conteúdo, atualmente cobrado nos
vestibulares. A proposta é oferecer outro tipo de formação, voltada para a solução de
problemas, além de promover a mobilidade dos alunos pelo país, por meio de uma
avaliação unificada.
A tabela 3 apresenta os resultados das notas mínimas e máximas obtidas por
área, nos Exames realizados no novo modelo.
Tabela 3. Escala de notas no Enem 2012, 2011 e 2010.
Prova 2012 2011 2010
Nota mínima
Nota máxima
Nota mínima
Nota máxima
Nota mínima
Nota máxima
Ciências humanas e suas tecnologias 295,6 874,9 252,6 793,1 265,1 883,7
Ciências da natureza e suas tecnologias 303,1 864,9 265 867,2 297,3 844,7
Linguagens e códigos e suas tecnologias 295,2 817,9 301,2 795,5 254 810,1
Matemática e suas tecnologias 277,2 955,2 321,6 953 313,4 973,2
Fonte: Brasil/Inep, disponível em http://portal.inep.gov.br/web/enem/, acesso em 14/02/2013.
23
Destaca-se que, dentre as questões objetivas do último Exame (2012),
“Matemática e suas tecnologias” apresentou a menor nota de 277,2 pontos e a maior
nota com 955,2 pontos.
A nota mínima da prova de matemática foi a que sofreu a maior queda na
comparação do Enem 2012 com a edição anterior. Em 2011, o mínimo registrado foi de
321,6, enquanto que em 2012, a nota mais baixa foi 277,2. A nota máxima mudou
pouco, de 953 em 2011 para 955,2 em 2012.
O Programa Internacional de Avaliação de Estudantes – PISA
No que se refere à avaliação da educação no âmbito internacional, destaca-se o
Programme for International Student Assessment- PISA (Programa Internacional de
Avaliação de Estudantes), desenvolvido e coordenado pela Organização para
Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), e do qual participam mais de 60
países (Horta Neto, 2007). No Brasil, o PISA é coordenado pelo Inep. As avaliações
acontecem a cada 3 anos e abrangem três áreas do conhecimento – Leitura, Matemática
e Ciências – havendo, a cada edição do programa, maior ênfase em cada uma dessas
áreas. Em 2003 e 2012 o foco desta avaliação foi em Matemática.
O objetivo do PISA é avaliar se os estudantes de 15 anos, que tenham pelo
menos 7 anos de estudo na educação básica, adquiriram conhecimentos e habilidades
essenciais para uma plena participação nas sociedades modernas, de modo a subsidiar
políticas públicas mais efetivas para a educação básica. No Brasil, este instrumento
avalia estudantes matriculados entre o 7º ano do ensino fundamental e a 3ª série do
ensino médio.
24
Embora a população-alvo da presente pesquisa seja constituída por estudantes do
3º ano do ensino fundamental, optou-se por considerar os dados do PISA, tendo em
vista a concepção de educação como um processo contínuo. Entende-se, portanto, que
os resultados apresentados por alunos que estão nas séries finais do ensino fundamental
e médio podem refletir as lacunas de aprendizagem desde o ingresso na vida escolar.
O PISA contempla também a aplicação de questionários específicos para os
alunos e para as escolas, objetivando elaborar indicadores contextuais que possibilitem
relacionar o desempenho dos alunos a variáveis demográficas, socioeconômicas e
educacionais.
A Tabela 4 apresenta os resultados do Brasil nas áreas avaliadas no PISA de
2000 a 2012.
Tabela 4. Comparação entre os resultados do Brasil no PISA
Fonte: Brasil/ Inep, disponível em http://portal.inep.gov.br/internacional-novo-pisa-resultados. Acesso em
18/02/2014. (ênfase acrescentada)
Analisando-se os resultados quantitativos em matemática, conforme avaliados
no PISA até 2012, observa-se uma evolução nos resultados brasileiros, que sobem de
334 pontos, em 2000, para 391, em 2012.
Os resultados do PISA 2012 (OECD, 2012) demonstram que o Brasil,
comparativamente aos países da América Latina, apresenta um resultado abaixo do
Chile, México, Uruguai e Costa Rica, encontrando-se com desempenho superior ao da
Colômbia e Peru.
25
Estabelecendo-se um paralelo com as demais áreas avaliadas no PISA, destaca-
se que, em Matemática, o Brasil obteve notas mais baixas em todas as avaliações,
apresentando, em 2012, 391 pontos nesta área do conhecimento, enquanto que 410
pontos para Leitura e 405 pontos para Ciências. O escore em Matemática obtido pelo
Brasil em 2012 é similar ao de países como Albânia, Argentina, Jordânia e Tunísia.
Nas avaliações realizadas em 2003 e 2012, cujo enfoque foi em Matemática, os
estudantes foram classificados em seis níveis de proficiência em Letramento
Matemático (capacidade de analisar, refletir e comunicar-se efetivamente ao elaborar,
resolver e interpretar problemas matemáticos em diversas situações que envolvem
conceitos quantitativos, espaciais, probabilísticos e outros conceitos matemáticos).
Os resultados do PISA 2012 demonstram a falta de domínio dos estudantes
avaliados nos conteúdos matemáticos, uma vez que 67,1% dos participantes encontram-
se abaixo do nível 2 de proficiência em letramento matemático, enquanto que somente
0,8% apresentaram resultados compatíveis com os maiores níveis de domínio, 5 e 6
(OECD, 2012).
No Anexo I, encontra-se a escala utilizada no PISA com a pontuação que
delimita os níveis de proficiência em Matemática, descrevendo o que seria esperado que
os alunos de cada nível fizessem. Pela leitura dessa escala, é possível verificar quais as
competências identificadas nos estudantes brasileiros a partir do nível que atingiram.
O que demonstram os resultados das avaliações – IDEB, ENEM e PISA
Os dados do sistema avaliativo brasileiro e internacional apresentam resultados
inquietantes, que fundamentam a necessidade de estudos acerca dos problemas
educacionais detectados por meio destes instrumentos.
26
Se, por um lado, o Ideb demonstra certo avanço nos resultados nacionais, por
outro, os dados apresentados pelo ENEM e pelo PISA, revelam que, ainda que os
resultados tenham melhorado, constata-se a falta de domínio em matemática por parte
dos alunos, colocando o Brasil no grupo de países que se encontram abaixo da média
mundial.
Tendo em vista estes resultados, é notável que, embora o país demonstre uma
melhora nos seus resultados educacionais globais, ele se encontre muito aquém das
expectativas, o que aponta para a baixa qualidade do ensino brasileiro.
Apesar dos avanços, a educação matemática para os alunos que concluem o
ensino médio ainda é muito deficiente. A preocupação com a qualidade da educação
deve ser elemento central nas discussões das políticas educacionais brasileiras.
Os resultados supracitados fornecem o diagnóstico da precária qualidade da
educação no Brasil. As pesquisas que envolvem a aprendizagem, e, no caso deste
estudo, mais especificamente a resolução de problemas, são um meio de fomentar novas
práticas em educação, que possibilitem, além do incremento no desempenho dos
estudantes, melhores condições de resolver os problemas postos pela sociedade
contemporânea.
27
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E EDUCAÇÃO
Este tópico objetiva apresentar informações acerca de como a temática da
resolução de problemas é compreendida na educação e, mais especificamente, como
esta questão é abordada na política educacional brasileira.
Na literatura sobre educação, constata-se a preocupação em desenvolver o
comportamento de solucionar problemas como uma das responsabilidades da escola, à
qual caberia a tarefa de prover nos estudantes o domínio de procedimentos para que
sejam capazes de responder aos desafios da vida contemporânea.
No âmbito da política educacional brasileira, destacam-se os Parâmetros
Curriculares Nacionais - PCNs (Brasil, 1997), que objetivam apontar metas de
qualidade que possibilitem ao aluno compreender fenômenos sociais e culturais e
intervir neles, e atribuem à escola o papel de facilitadora na inserção do aluno no
quotidiano das questões sociais relevantes, formando cidadãos capazes de atuar de
maneira competente na sociedade. Neste sentido, a escola deve atuar na perspectiva de
construção da cidadania, proporcionando o desenvolvimento de sujeitos autônomos e
capazes de raciocinar lógica e criticamente.
Para tanto, solucionar problemas torna-se um comportamento valioso e
imprescindível. Corroborando esta concepção da educação e da escola, os PCNs
indicam como um dos objetivos do ensino fundamental:
(...) que os alunos sejam capazes de (...) questionar a realidade
formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando
para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a
capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e
verificando sua adequação (Brasil, 1997, p. 69).
28
Está reconhecida oficialmente, portanto, a necessidade e relevância da resolução
de problemas como conteúdo curricular da Educação Básica, que permita ao aluno
buscar estratégias apropriadas não somente para solucionar problemas escolares, mas,
principalmente, problemas da realidade social quotidiana.
Mais especificamente no campo da aprendizagem matemática, os PCNs foram
criados a partir das propostas do NCTM – National Council of Teachers of
Mathematics, uma organização de educadores profissionais na área, cujos estudos
acabaram por nortear os princípios e padrões da educação matemática no mundo.
Estes parâmetros definem a resolução de problemas como ponto de partida das
atividades matemáticas, objetivando desenvolver a capacidade de resolver problemas,
explorá-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir deles, como um dos
propósitos de se ensinar matemática (Onuchic, 1999).
Os PCNs para a matemática definem as seguintes competências e habilidades a
serem desenvolvidas, dentre outras:
Identificar o problema (compreender enunciados, formular
questões, etc.); procurar, selecionar e interpretar informações
relativas ao problema; formular hipóteses e prever resultados;
selecionar estratégias de resolução de problemas; interpretar e
criticar resultados numa situação concreta; distinguir e utilizar
raciocínios dedutivos e indutivos; fazer e validar conjecturas,
experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos
conhecidos, relações e propriedades; discutir ideias e produzir
argumentos convincentes (Brasil, 1997. Disponível em
www.portal.mec.gov.br, acesso em 14/03/2013, p.46).
29
Na mesma linha, Echeverría e Pozo (1998) apontam que a perspectiva vigente da
educação incorpora a ideia de uma escola capaz de promover nos seus alunos a
capacidade de aprender a aprender, ou seja, além de transmitir os conhecimentos que já
fazem parte da cultura da sociedade, a escola deve proporcionar meios para que os
alunos adquiram habilidades que lhes possibilitem aprender por si mesmos novos
conhecimentos, sendo capazes de enfrentar situações e contextos diversos, compatíveis
com as rápidas mudanças culturais, tecnológicas e profissionais presentes nas
sociedades atuais.
Segundo Echeverría e Pozo (1998, p. 15), a educação deve ir além de ensinar a
resolver problemas, ensinando também “(...) a propor problemas para si mesmo, a
transformar a realidade em um problema que mereça ser questionado e estudado” (grifo
dos autores). Nesta perspectiva, a aprendizagem da solução de problemas deve estar
atrelada à experiência cotidiana, de forma que o aluno possa questionar-se ao invés de
receber somente respostas já elaboradas.
Neste sentido, o comportamento de solucionar problemas é fundamental para a
vida em sociedade. Pressupõe utilizar conhecimentos disponíveis para dar respostas a
“novas situações”, habituando o aluno a encontrar por si mesmo suas próprias respostas
e soluções para as novas perguntas que lhe são apresentadas diariamente.
Aspectos históricos da área de estudos relativa à resolução de problemas
Neste tópico, será realizada uma breve descrição dos aspectos históricos da
resolução de problema, buscando compreender seu percurso em linhas gerais, até ser
utilizada como metodologia de ensino pela Educação Matemática Moderna. Para tanto,
foi utilizado o artigo que subsidiou a palestra de encerramento do I Seminário de
30
Resolução de Problemas realizado pela Universidade Estadual Paulista “Júlio de
Mesquita Filho” – UNESP, em 2008, proferido pela Professora Dra. Lourdes de la Rosa
Onuchic e os artigos da Professora Beatriz S. D´Ambrosio que apresentam as principais
influências teóricas para o tema no campo da educação matemática.
A resolução de problemas é uma prática muito antiga, e pode ser encontrada
desde a evolução da matemática como ciência, propondo respostas a problemas de
ordem prática, como a divisão de terras, a cobrança de impostos e os cálculos de
construções. Na educação, a resolução de problemas é identificada nos currículos de
matemática desde a Antiguidade, encontrando-se registros de problemas matemáticos na
história antiga egípcia, chinesa, babilônica e grega (Onuchic, 1999).
Nas décadas de 1960 e 1970, o ensino de matemática foi influenciado pelo
movimento conhecido como Matemática Moderna. Entretanto, os questionamentos
continuavam, por exemplo: “(...) como ensinar a matemática de modo a preparar os
alunos para um mundo de trabalho que exige conhecimentos matemáticos?” (Onuchic,
1999, p.6).
A partir de então, passa-se a aceitar a ideia de que a resolução de problemas
merecia mais atenção e, a partir do final dos anos 1970, se constata a emergência do
campo da resolução de problemas, ao ponto de vir a ser recomendada como foco da
matemática escolar nos anos 1980 pela NCTM, como comentado anteriormente.
Stanic e Kilpatrick (apud Onuchic, 1999), analisam a influência de Polya e
Dewey para a área, inferindo que a interpretação equivocada do trabalho destes autores
resultou em uma visão muito limitada da aprendizagem da resolução de problemas.
Na mesma linha, D´Ambrosio (2008) problematiza as principais influências de
Polya e Dewey nas propostas de ensino-aprendizagem baseadas na resolução de
problemas. Para esta autora, as propostas curriculares que assumiam como base teórica
31
o pensamento de Polya resultaram em programas de resolução de problemas como um
procedimento que seguia passos determinados, ensinando-se regras heurísticas ou
estratégias de resolução.
Na visão da autora, a interpretação da proposta de Polya foi bastante limitada,
resultando em projetos curriculares em que “(...) a resolução de problemas reduz-se a
procedimentos determinados pelo professor” (D´Ambrosio, 1989, p. 15).
No que se refere a Dewey, a autora aponta que sua influência norteou propostas
curriculares baseadas nas experiências dos alunos, em que as crianças deveriam “(...)
enfrentar problemas reais e resolver os mesmos sem uma preocupação em acumular
regras e procedimentos” (D´Ambrosio, 2008).
D´Ambrosio (2008) critica os projetos de educação matemática que tendem a
supervalorizar a matemática formal, fazendo com que o aluno acredite que a solução
matemática de um problema não estaria necessariamente relacionada com uma situação
real, ou ainda, que o aluno não se propunha a resolver um dado problema se não tivesse
aprendido o algoritmo ou processo de solução apropriada. Para a autora, esta visão
fortalece a concepção equivocada adotada por muitos professores, de que a
aprendizagem da matemática depende exclusivamente do número de exercícios que o
aluno resolve.
A partir da década de 1990, foi dada maior ênfase à resolução de problemas na
educação matemática, acarretando novas propostas curriculares. As propostas iniciais
embasavam-se no ensino de regras heurísticas e passos na resolução de problemas,
conforme aponta D´Ambrosio (2008). Atualmente, a resolução de problemas é utilizada
como “(...) uma metodologia de ensino em que o professor propõe ao aluno situações-
problema caracterizadas por investigação e exploração de novos conceitos” (idem, p.
17).
32
Este breve resgate histórico teve por objetivo fornecer pistas acerca da resolução
de problemas como objeto investigativo da educação. Considera-se que estas
informações, embora tratem especificamente da educação matemática, possam fornecer
elementos importantes para o entendimento da resolução de problemas como objeto de
estudo aqui proposto.
Algumas contribuições da Análise do Comportamento
Apresentam-se aqui alguns estudos realizados a partir do referencial teórico da
Análise do Comportamento, buscando identificar suas contribuições para a temática.
Skinner abordou a resolução de problemas em diferentes momentos da sua obra,
atribuindo um papel fundamental à escola como principal responsável pela instalação
deste repertório, como será detalhado adiante. Entretanto, para Luna e Marinotti (2003),
havia, pelo menos até então,
(...) um número baixíssimo de estudos sobre resolução de
problemas, dentro de uma perspectiva analítico-comportamental.
(...) Assim, o caminho aberto por ele [Skinner], em termos
conceituais, precisa ser trilhado em termos empíricos se, como
analistas do comportamento, quisermos ter algo a oferecer do
ponto de vista da educação formal, escolar (Luna& Marinotti,
2003, pp. 3-5).
Carmo e Prado (2004) relatam uma pequena produção de trabalhos de
abordagem analítico-comportamental na área de ensino-aprendizagem de Matemática,
embora ressaltem o grande alcance em termos de contribuições à educação matemática
das pesquisas já realizadas. Sugerem, entretanto, que os analistas do comportamento
33
estão pouco engajados neste tipo de pesquisa, possivelmente por desconhecerem o que
vem sendo produzido neste campo.
No intuito de conhecer o que a Análise do Comportamento tem produzido em
termos de pesquisa com foco em educação matemática, Del Rey (2009) realizou na sua
dissertação de Mestrado um levantamento das teses e dissertações produzidas no Brasil
no período de 1970 a 2005. O objetivo do autor foi o de analisar as produções
fundamentadas na análise comportamental que investigavam comportamentos
matemáticos. Como resultado, o autor identificou que o primeiro estudo científico dos
comportamentos envolvidos no ensino e aprendizagem da matemática foi realizado em
1970. Ao longo dos 35 anos pesquisados pelo autor, apenas 29 teses e dissertações
foram identificadas.
Vale ressaltar que o trabalho de Del Rey não verificou as produções publicadas
em periódicos e livros, nem aquelas apresentadas (mas não publicadas) em eventos
científicos. Com o intuito de reduzir esta lacuna, Carmo e Henklain (2011) produziram
o levantamento das publicações de analistas do comportamento sobre ensino-
aprendizagem da matemática, no período de 1992 a 2011, em eventos e periódicos
científicos, mais especificamente os Encontros da ABPMC – Associação Brasileira de
Psicologia e Medicina Comportamental e as Reuniões Anuais da SBP – Sociedade
Brasileira de Psicologia, tendo em vista a representatividade das contribuições dos
analistas do comportamento brasileiros para a ciência e a sociedade nestes eventos.
Os dados revelam uma produção moderada de trabalhos, que, em geral, discutem
as contribuições da análise do comportamento na compreensão e no ensino de
comportamentos matemáticos (Carmo & Henklain, 2011). Nas considerações finais, os
autores corroboram a importância de se ampliarem os estudos nesta área, aumentando as
contribuições comportamentais aos pesquisadores de Educação Matemática.
34
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
QUESTÕES CONCEITUAIS E ALGUMAS REFLEXÕES
A expressão resolução de problemas é utilizada em diversas disciplinas, muitas
vezes com perspectivas e terminologias diferentes. Nesta seção, serão apresentadas
algumas questões conceituais fundamentais acerca da resolução de problemas,
utilizando-se como referencial teórico principalmente as reflexões de Skinner (1972,
1974/2006, 1991 e 2000) e Echeverría e Pozo (1998).
A vida quotidiana remete constantemente a situações que exigem a resolução de
problemas, sejam estes simples, como a escolha do melhor trajeto a seguir para o
trabalho, até os mais complexos, cujas consequências da escolha afetam diretamente
nossa história de vida, como a opção profissional. Tanto crianças quanto adultos são
requisitadas a solucionar problemas diariamente, variando seus tipos e graus de
complexidade. Mas, o que define uma situação-problema?
Lester (apud Pozo et al., 1998, p. 15) identifica um problema como “(...) uma
situação que um indivíduo ou um grupo quer ou precisa resolver e para a qual não
dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à solução”.
Esta afirmação corrobora o que afirmara Skinner em 1967: uma situação é
problemática quando o sujeito não dispõe de uma resposta imediata para esta situação.
Para chegar à solução, precisa alterar a situação problemática, ou a si mesmo, emitindo
um conjunto de comportamentos. Nas palavras de Skinner (1991): “Um problema é a
situação que não evoca uma resposta efetiva; nós o resolvemos mudando a situação até
que a resposta ocorra” (p. 35).
35
Dito de outra forma, um problema só pode ser considerado como tal na medida
em que o indivíduo identifique a situação como problemática e não disponha de uma
resposta imediata para solucioná-la, consistindo em uma situação nova ou diferente do
que já foi aprendido anteriormente.
Moroz (1993b) descreve esta conceituação de Skinner da seguinte forma:
Para Skinner, a alteração deste contexto de modo a propiciar a
ocorrência da resposta, que momentaneamente não podia ser
emitida, é a resolução de problemas: em outras palavras, a
resolução de problemas envolve o conjunto de comportamentos
emitidos pelo sujeito no sentido de tornar mais provável a
emissão da resposta-solução (Moroz, 1993b, p. 132).
O conjunto de respostas que antecedem a resposta-solução denomina-se,
tecnicamente, respostas preliminares ou precorrentes.
Skinner exemplifica a resposta preliminar com uma situação na qual o sujeito
deve pegar a mala de um amigo no aeroporto, cuja única identificação é um número
correspondente entre um cartão e a mala. O sujeito pode emitir diversas respostas que
não o levem diretamente à identificação (solução), como selecionar algumas malas por
amostragem. Ele pode, também, emitir comportamentos mais eficazes, como marcar as
malas já examinadas. Esta última resposta é um exemplo de comportamento preliminar
ou precorrente; ela agiliza o reforçamento do comportamento final, ao reduzir o número
de malas que faltam até encontrar a mala correta. Nesta situação, a marca de giz
constitui o que Skinner denomina estímulo discriminativo.
36
Para o autor, resolver um problema vai além, portanto, da simples emissão da
resposta que lhe constitui a solução, “(...) é uma questão de dar os passos necessários
para tornar tal resposta mais provável, via de regra mudando o ambiente” (Skinner,
2006, p. 98). O indivíduo, ao deparar-se com uma situação problemática, emite diversas
respostas disponíveis no seu repertório até que consiga chegar à resposta-solução. Como
visto no exemplo da mala, essas respostas preliminares geram estímulos discriminativos
que controlam outras respostas, funcionais ou não, até que uma delas mostre ser a
resposta-solução.
Na tentativa de resolver um dado problema, o sujeito pode emitir várias
respostas, sendo que somente algumas delas levam à solução e integram o processo
comportamental de solucionar problemas. Desta forma, esse conjunto de
comportamentos que lhe possibilita chegar a uma determinada solução deve compor o
seu repertório comportamental. No exemplo apresentado, o sujeito, para chegar à
resposta-solução de identificar a mala correta, emite outros comportamentos que fazem
parte do seu repertório, como selecionar algumas malas por amostragem, e marcar as
malas já checadas.
Skinner (apud Bitencourt, 2009) aborda outro conceito fundamental para
compreender o comportamento de resolução de problemas:
Um meio de encorajar a emissão de resposta que talvez prove
ser a solução é a manipulação de estímulos... Aperfeiçoar ou
ampliar a estimulação disponível é especialmente eficiente;
aumentamos as probabilidades de uma solução quando
examinamos cuidadosamente um problema, quando
consideramos todos os fatos, ou quando apontamos estímulos
37
relevantes colocando o problema em seus termos mais claros.
Um passo além é arranjar ou rearranjar estímulos (Skinner, apud
Bitencourt, 2009, p.7).
Ou seja, as alterações que o sujeito produz no ambiente ou em si mesmo, são
produto do que Skinner denomina manipulação de estímulos. Portanto, a análise do
processo de solucionar problemas deve contemplar a avaliação dos estímulos presentes
quando o sujeito está se comportando na tentativa de resolver um dado problema. Neste
sentido, Luna e Marinotti (2003, p.6) indicam que “(...) a resposta para a questão do
ensino da resolução de problemas pode estar na instalação de um repertório de
comportamentos pré-correntes”.
Neste aspecto, Skinner (apud Moroz, 1993b) destaca que os comportamentos
preliminares podem ocorrer de forma encoberta, ou seja, não se manifestarem
publicamente. Segundo Moroz, (1993b), o autor complementa que estes
comportamentos precorrentes que favorecem o aparecimento de ideias são passíveis de
serem ensinados de forma direta, preparando o sujeito para o autogoverno intelectual,
colocando o aluno dependente não somente do que o professor diz ou faz.
Outro aspecto importante para a compreensão da temática proposta é a distinção
conceitual que Skinner faz entre solução e resolução de problema. Denomina de
solução a resposta que o indivíduo emite no sentido de eliminar a condição aversiva ou
de privação. Skinner refere-se à resolução do problema como “(...) o processo de achar a
solução, ou seja, envolve a emissão de comportamentos que, manipulando variáveis,
tornem mais provável a emissão da resposta-solução” (Skinner, apud Luna & Marinotti,
2003, p.6).
38
Esta distinção remete a uma reflexão acerca da resolução de problemas como
algo complexo, que se relaciona com o contexto da tarefa (ou com as contingências) e
com o sujeito que a enfrenta (a partir do histórico das consequências dos
comportamentos emitidos por ele anteriormente).
Na concepção de Skinner, a resolução de problemas está além da aplicação de
algoritmos, compreendido em linhas gerais como uma sequência ordenada de passos
bem definidos necessários para a execução de uma tarefa, ou para a resolução de um
problema. Diferentes algoritmos podem ser utilizados para a realização da mesma
atividade. Por exemplo, um algoritmo para se vestir pode descrever que o sujeito deva
colocar as meias antes da calça, enquanto que outro possa estabelecer como primeiro
passo vestir a calça e depois as meias. Ambos chegam ao resultado final de vestir-se,
embora com a ordenação diferente dos passos a serem seguidos.
Em matemática, o algoritmo é o conjunto de processos (e símbolos que o
constituem) para efetuar um cálculo. Um exemplo é o cálculo da média aritmética
semestral de um aluno, cujo algoritmo seria: obter as notas da primeira e segunda
avaliação, somá-las e dividir o resultado por dois.
Outra forma utilizada para a resolução de problemas, também criticada por
Skinner, é a utilização de regras heurísticas, que, embora consideradas importantes, não
garantem a resolução do problema. O Dicionário Houaiss (2011, p.1524) explica o
conceito de heurística em contextos diversos: no contexto científico, como “a ciência
que tem por objetivo a descoberta dos fatos”; no contexto de problematização, como: “a
arte de inventar, de fazer descobertas”, ou “o método de investigação baseado na
aproximação progressiva de um dado problema”; e ainda, no contexto pedagógico,
como: “método educacional que consiste em fazer descobrir pelo aluno o que se lhe
quer ensinar”.
39
Na resolução de problemas, falar em heurística implica estabelecer métodos e
regras que conduzem à investigação para se chegar à resolução de um dado problema.
Skinner questiona a utilização de algoritmos e regras heurísticas para a resolução
de problemas, referindo-se a eles como processos de “natureza mecânica”,
complementando: “Uma vez que um artifício ou prática heurística tenha sido formulada
e programada, não pode ser diferenciada em nenhum aspecto importante da resolução
algorítmica de problemas” (Skinner, 1972, p. 85).
A partir desta concepção postulada por Skinner, Luna e Marinotti (2003)
afirmam que:
“Assim, independentemente do valor que algoritmos e regras
heurísticas tenham no ensino de resolução de problemas
matemáticos, fica claro que, para ele [Skinner], o seu emprego
não constitui resolução de problemas, no sentido estrito em que
emprega o termo” (Luna & Marinotti, 2003, p.9).
Os autores complementam que o estudo do comportamento de resolver
problemas estaria, portanto, relacionado não à necessidade de resolver um problema
isolado, mas na possibilidade de instalar um repertório comportamental que torne os
sujeitos mais aptos a enfrentar e resolver situações problemáticas (Luna & Marinotti,
2003, p.9), que corrobora o objetivo desta pesquisa.
A apresentação destes conceitos básicos buscou mostrar a complexidade que
envolve a instalação de um repertório de comportamentos que torne o sujeito mais
proficiente na resolução de problemas.
40
Dificuldades metodológicas no estudo da resolução de problemas
O estudo da resolução de problemas encontra desafios metodológicos,
assinalados por Skinner e sistematizados por Luna e Marinotti (2003), que serão
discutidos neste tópico.
Um desafio metodológico importante consiste no fato de que a determinação do
que seja uma situação-problema deve ocorrer do ponto de vista do indivíduo que com
ele se defronta. O que é identificado como problema para um sujeito, pode não o ser
para outro, a depender do seu repertório para solucioná-lo, e/ou das condições de
privação ou de estimulação aversiva. Ou ainda, para um indivíduo, uma situação pode
ser considerada problemática em um dado momento, mas não em outro. Há, portanto,
uma barreira metodológica imposta ao estudo da resolução de problemas, que consiste
na determinação da situação-problema, já que uma situação não é problemática em si
mesma, mas depende da história do sujeito frente a ela.
No campo da educação, esta dificuldade torna-se um entrave para o educador, já
que não basta criar um problema e pedir que o aluno o resolva; é necessário propiciar
condições que tornem provável que o aluno esteja engajado na resolução dele.
O acesso do pesquisador-observador aos eventos relacionados à resolução de
problemas também é um fator crítico nos estudos dessa natureza, já que muitos
problemas permitem diferentes modalidades de solução. Além disso, a maioria dos
comportamentos que o sujeito emite na tentativa de solucionar um problema acontece
de forma encoberta, o que dificulta sua observação, análise e, consequentemente, o
planejamento e condução do seu ensino.
Considerando-se os estudos que abordam esta temática, uma alternativa para esta
questão é explorar o relato verbal do indivíduo, o que pode facilitar o acesso do
41
pesquisador aos comportamentos encobertos emitidos pelo sujeito diante da situação-
problema, na tentativa de solucioná-la. Essa questão será retomada adiante, quando da
apresentação dos procedimentos propostos para este estudo.
A resolução de problemas na matemática cotidiana e na matemática formal
Apresentam-se aqui algumas considerações acerca da reconhecida importância
do estudo da resolução de problemas para a área da matemática. Para tanto, será
realizada inicialmente uma reflexão acerca da relação entre resolução de problemas e a
matemática, e, posteriormente, será apresentado o estudo do grupo de pesquisadores da
Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) acerca da resolução de problemas na
matemática formal e na matemática realizada fora da escola, em situações cotidianas.
A relação entre a matemática e a resolução de problemas é bastante reconhecida,
e tornou-se mais evidente a partir de meados dos anos 1980, conforme aponta
Echeverría (apud Pozo et al., 1998, cap. 2). A autora aborda que os estudos nesta área
remetem à ideia de que
(...) uma pessoa que tem sucesso no campo da matemática é uma
pessoa que sabe raciocinar e pensar de maneira adequada. E, no
sentido inverso, uma pessoa que sabe raciocinar aprenderá
facilmente o conhecimento matemático. Consequentemente,
ensinar os procedimentos matemáticos pode contribuir para
desenvolver e exercitar a capacidade geral de raciocínio dos
alunos (idem, p. 44).
A importância dada ao estudo do pensamento lógico-matemático reflete-se nos
currículos da Educação Básica, conforme consta nos PCNs, e justifica-se por
42
representar um repertório supostamente passível de ser generalizado para outras áreas e
à vida quotidiana.
Outro ponto relevante que justifica estudos no campo da resolução de problemas
e de como se desenvolve o raciocínio lógico-matemático, reside no fato que “A
matemática é o idioma das ciências e da tecnologia” (Echeverría, apud Pozo et al.,
1998, p. 45). Aprender a solucionar problemas matemáticos contribuiria, neste sentido,
para aumentar um repertório comportamental necessário para a aprendizagem do
conhecimento científico e tecnológico de maneira geral.
Conforme comentado anteriormente, a vida quotidiana propicia uma série de
situações consideradas frequentemente como problemas a serem solucionados pelos
indivíduos, dos mais simples aos mais complexos. Aprimorar o estudo na área de
resolução de problemas possibilitaria, portanto, o desenvolvimento de uma importante
ferramenta a ser utilizada em situações corriqueiras e de grande importância para a vida
prática, como pedir um empréstimo, avaliar os descontos na folha de pagamento,
analisar os resultados de um processo eleitoral, dentre tantas outras.
Entretanto, esta concepção mais utilitária da matemática, e mais precisamente da
resolução de problemas, parece não ser identificada pelos alunos, conforme aponta
Echeverría (apud Pozo et al., 1998). A autora refere diversos trabalhos, revisados por
Schoenfeld, em 1992, em que estudantes identificam que “(...) a Matemática e a solução
de problemas matemáticos constituem um conhecimento descontextualizado, cuja
aprendizagem não possui outros objetivos a não ser o de obter boas notas na escola”
(Echeverría, apud Pozo et al., 1998, p. 47).
No Brasil, um grupo de pesquisadores da UFPE sistematizou estudos realizados
ao longo de 10 anos do programa de mestrado em Psicologia, consolidados no livro “Na
43
vida dez, na escola zero”, com a primeira edição publicada em 1988 (Carraher, Carraher
& Schliemann, 2001).
O objetivo desta obra foi o de debater a utilização da matemática na vida
cotidiana, propondo uma relação interpretativa entre os campos da psicologia, da
matemática e da educação. Ao resolver um problema matemático cotidiano (como fazer
cálculos na feira, por exemplo), o sujeito raciocina (sendo o raciocínio objeto de estudo
da Psicologia). A forma como a criança pensou acerca deste problema pode ser objeto
de ensino da escola, mas pode ocorrer dentro e fora dela, o que justifica o interesse da
educação por estes estudos, que compreendem a matemática como uma ciência formal,
mas também a identificam como uma forma de atividade humana. Como tal, não se
estrutura necessariamente por meio das leis da lógica, podendo, inclusive, ocorrer por
indução, contrariamente ao que postula a matemática científica formal.
Os estudos realizados pelo grupo de Psicologia Cognitiva da UFPE são
fundamentais para a compreensão da relação que se estabelece entre raciocínio lógico e
aprendizagem matemática, embora adotem um referencial teórico distinto da Análise do
Comportamento, tendo como principal abordagem metodológica um híbrido entre o
método clínico-piagetiano e a etnografia.
Os estudos foram realizados com o objetivo de compreender como se estabelecia
o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático em crianças, adolescentes e
adultos, fora do contexto da sala de aula. Analisaram a matemática da vida diária de
trabalhadores que, na maioria das vezes, não utilizam os conceitos matemáticos formais
ensinados na escola.
Foram investigadas soluções matemáticas negociadas em situações cotidianas
como, por exemplo, vendas na feira e apostas no jogo do bicho. A ideia era investigar as
discrepâncias existentes entre o desempenho em problemas matemáticos nas situações
44
naturais do dia-a-dia e na sala de aula, ou seja, estabelecer uma interpretação que
possibilitasse comparar as diferenças entre a matemática enquanto atividade humana e a
matemática formal.
Outro ponto de interesse era compreender as formas de pensar do sujeito que
utiliza a matemática da vida cotidiana, resolvendo problemas matemáticos, muitas vezes
complexos, sem a instrução sistemática fornecida por um professor na educação formal.
O livro apresenta os principais resultados de diferentes estudos realizados. São
eles: como crianças que cometem erros absurdos na escola, conseguem utilizar a
matemática de forma efetiva para resolver os problemas cotidianos; a análise das
características da matemática oral, e como estas são ignoradas no contexto escolar;
como as fórmulas, ainda que muito bem ensinadas, não dão conta de resolver alguns dos
problemas cotidianos; e a análise de trabalhadores que utilizam a matemática complexa
para resolver problemas diários, como mestres de obras, cambistas do jogo do bicho e
feirantes, ainda que não tenham recebido este conhecimento da educação formal.
Importa destacar que os resultados destes estudos apontam que,
tradicionalmente, o ensino da matemática se faz sem se levar em consideração o que o
aluno já sabe ou conhece, o que acarreta perda de significado das atividades
matemáticas realizadas na sala de aula (Carraher, Carraher & Schliemann, 2001 p. 21).
Dito de outra forma, a resolução de problemas na escola tem objetivos diferentes dos
utilizados para resolver os problemas na vida cotidiana. Com isso, o problema perde o
significado para o aluno, já que na escola o comportamento de resolver problemas, em
geral, consiste na aplicação de fórmulas, algoritmos e regras descontextualizadas.
Segundo os autores, o que diferencia as situações diárias das escolares é o significado
que elas têm para o sujeito.
45
Outro ponto importante destacado a partir dos resultados destes estudos é a
sugestão de que “(...) os algoritmos ensinados na escola para a realização de operações
aritméticas podem constituir um obstáculo para o raciocínio da criança, talvez por
interferir com o significado dos próprios números com os quais a criança deve operar”
(idem, p. 36). Como exemplo, citam discrepâncias no desempenho de crianças avaliadas
na situação informal e formal. Na primeira situação, conseguiam realizar a conta (200 –
80) para fornecer o troco facilmente, mas utilizavam o algoritmo (neste exemplo,
“baixar os zeros”) de forma incorreta para a mesma conta realizada em situação formal,
acarretando no resultado final errado.
Diante dos principais resultados decorrentes destes estudos, constatou-se a
possibilidade de múltiplas lógicas na resolução de problemas matemáticos. Entretanto,
essas técnicas informais, em geral, não são aproveitadas pela escola, ainda que levem ao
resultado correto.
Considerando estes resultados, apresentam como um caminho possível para o
ensino-aprendizagem da matemática a combinação da experiência cotidiana com a
experiência escolar. Desta forma, não propõem o abandono do uso de algoritmos,
fórmulas e modelos simbólicos matemáticos, mas sugerem que a educação matemática
deve possibilitar que estes modelos se relacionem com as experiências diárias que lhe
proporcionarão significado.
Ao discutir as discrepâncias entre a matemática diária e a matemática escolar, as
questões levantadas pelo grupo da UFPE extrapolam o âmbito acadêmico, possuindo
aplicações práticas que fornecem pistas importantes para o campo da psicologia e a
educação.
46
Estudos que abordam a relação entre raciocínio lógico e desempenho matemático
Neste tópico, buscar-se-á analisar a relação entre raciocínio lógico e desempenho
matemático, apresentando pesquisas realizadas na área de Psicologia que abordam estes
aspectos.
A maioria das pesquisas refere-se ao ensino da matemática e à orientação de
professores. As propriedades lógico-matemáticas incorporadas por Piaget fundamentam
grande parte dos estudos que, em geral, estão calcados na vertente construtivista-
piagetiana. Como comentado anteriormente, foi identificada ausência relativa de
pesquisa sobre habilidades lógicas em crianças da parte de pesquisadores empregando o
referencial analítico-comportamental (Luna & Marinotti, 2011).
Os autores destacam o estudo realizado por Nunes, Bryant, Evans, Bell, Gardner
e Carraher (apud Luna & Marinotti, 2011), em que foi estabelecida a correlação entre
habilidades lógicas e desempenho matemático, além de constatar a eficácia do treino em
lógica para produzir um bom desempenho matemático.
Com base na pesquisa de Nunes e Bryant (apud Luna e Marinotti, 2011),
entende-se que para chegar a informações mais precisas sobre os mecanismos que
levam as crianças a resolver um problema, é condição fundamental conhecer e analisar
os tipos de questões que ela formula diante de uma situação tida como problemática,
além de avaliar se essas questões permitem resolver seus problemas eficientemente.
Para a Análise do Comportamento, o estudo da resolução de problemas, mais
especificamente de problemas lógicos, requer a compreensão dos comportamentos
preliminares envolvidos na solução, visando favorecer a análise destes elementos e
contribuir para o desenvolvimento de metodologias de ensino mais eficientes nesta área.
47
Tendo em vista este objetivo, foi desenvolvida por Luna & Marinotti, no período
de 2009-2010, uma pesquisa que buscou estabelecer relações possíveis entre o
desempenho em matemática e o desempenho em tarefas envolvendo raciocínio lógico
com 12 crianças, entre 7 e 8 anos, estudantes da rede pública de São Paulo. Este
trabalho, além das justificativas expostas anteriormente, norteou o direcionamento do
presente estudo.
Na pesquisa supracitada, o desempenho em matemática foi determinado a partir
da avaliação realizada pelas professoras, que classificaram seis dos seus alunos como
“fracos” e seis deles como “fortes” nesta disciplina. Cada criança foi submetida a quatro
instrumentos que abordavam diferentes tipos de problemas: sem número, sem solução
possível, com algum tipo de violação lógica e silogismos. O critério de acerto exigia
que a resposta estivesse na direção esperada e que fosse acompanhada pela justificativa
correta, obtida por inquérito.
Conforme consta no relatório da pesquisa (Luna & Marinotti, 2011), aspectos de
naturezas diferentes comprometeram o desenvolvimento e os resultados do estudo,
impedindo que o seu objetivo maior fosse atingido, ou mesmo testado. No entanto, as
conclusões decorrentes deste trabalho constituem informação relevante para a
compreensão do comportamento de resolução de problemas, o que corrobora a
relevância desta proposta de estudo.
A pesquisa de Luna e Marinotti foi desenvolvida no intuito de
(...) demonstrar se a classe de estímulos antecedentes ‘não
matemáticos’ que controla determinados repertórios (estabelecer
relações; discriminar entre informações relevantes/irrelevantes;
organizar informações verbais; derivar conclusões a partir de
premissas/informações dadas, etc.) controla igualmente
48
repertórios que envolvem problemas matemáticos. (...) Existe
/qual a correlação entre o desempenho em situações que
envolvem proposições lógicas não verbais x verbais x
desempenho em problemas matemáticos? (Luna & Marinotti,
2011, p.5)
Os resultados apontam que a solução de problemas lógicos esta contemplada no
repertório das crianças, já que todas elas, independentemente de sua classificação (forte
ou fraco), conseguiram resolver problemas lógicos de diferentes naturezas e apresentar
justificativas para suas respostas. Mesmo questões em forma de silogismo puderam ser
satisfatoriamente resolvidas por várias dessas crianças seguindo a estrutura “premissa
maior à premissa menor à conclusão” e justificando adequadamente sua resposta.
Entretanto, o referido relatório aponta que “Não foi possível verificar, conforme
esperado, a relação entre problemas envolvendo algum tipo de raciocínio matemático
com aqueles exigindo raciocínio lógico, uma vez que o desempenho dos alunos no
primeiro tipo de problemas foi precário” (Luna & Marinotti, 2011, p.20). Algumas
variáveis importantes foram detectadas como tendo alto grau de interferência sobre o
desempenho das crianças e deveriam ser consideradas na reelaboração de novos
instrumentos. Este aspecto será discutido adiante ao abordar os instrumentos a serem
utilizados neste estudo.
O presente estudo teve a seguinte finalidade – descrever e analisar possíveis
relações entre raciocínio lógico e desempenho em matemática. Ele é relatado sob a
forma de dois estudos: o primeiro, que aborda o pré-teste realizado e a análise dos
resultados da pesquisa anterior, que nortearam a reformulação do instrumento; e o
segundo, que aborda os aspectos metodológicos e procedimentais da pesquisa,
chegando aos resultados e discussões decorrentes deste estudo.
49
ESTUDO I
Conforme comentado anteriormente, este estudo é uma replicação da pesquisa
realizada por Luna e Marinotti (2011). O Estudo I objetivou subsidiar as alterações no
instrumento e nos procedimentos da pesquisa atual, e foi dividido em dois momentos:
reexame das questões do instrumento, a partir da análise dos resultados da pesquisa
anterior; e realização de pré-teste com duas crianças. Esses procedimentos serão
descritos a seguir.
Reexame das questões
Com o intuito de avaliar alguns dos problemas detectados na pesquisa anterior,
foi realizado o reexame de cada questão que integrava o instrumento, tomando-se como
base de análise os resultados descritos no relatório de pesquisa, bem como um pré-teste,
aplicado com o objetivo de treinar a pesquisadora, além de possibilitar a avaliação
criteriosa dos problemas apresentados às crianças.
A partir desses dois procedimentos, optou-se por realizar mudanças em alguns
desses problemas, que resultaram no instrumento da pesquisa atual.
O instrumento utilizado na pesquisa anterior era composto por quatro conjuntos
de problemas envolvendo raciocínio matemático e problemas de lógica, totalizando 84
questões. Alguns destes problemas constituíram adaptações daqueles empregados por
Marinotti (1992), e os demais foram elaborados pelo grupo de pesquisadores que
desenvolveram o projeto anteriormente.
Seguem abaixo os conjuntos de problemas do instrumento utilizado na pesquisa
de Luna e Marinotti (2011):
Conjunto I - 12 problemas sem número;
Conjunto II - 12 problemas com e sem solução possível;
50
Conjunto III - 36 problemas com algum tipo de violação lógica (12 problemas com
inversão causal (IC), 12 problemas com inversão temporal (IT) e 12 problemas gerais
(G), nos quais a violação lógica baseava-se em outras razões, que não as descritas em IC
e IT);
Conjunto IV - 24 questões de silogismos, distribuídos em quatro tipos distintos: fatos
conhecidos – conclusão coerente com as premissas; fatos conhecidos – conclusão
incoerente com as premissas; fatos contrários ao conhecido – conclusão coerente com as
premissas; e fatos contrários ao conhecido – conclusão incoerente com as premissas.
Destaca-se que, para a presente pesquisa, optou-se por retirar o conjunto IV, que
envolve as questões de silogismos2, por dois motivos: o fato de o presente estudo ter
contado somente com uma pesquisadora, enquanto que a pesquisa anterior foi
desenvolvida por quatro estudantes; e o fato de que, sendo realizada na escola, a
quantidade excessiva de problemas implicaria a ausência de cada criança da sala de aula
por um longo período.
O relatório da pesquisa anterior apontava que algumas variáveis parecem ter
interferido no desempenho das crianças, e que deveriam ser consideradas na
reelaboração dos instrumentos. Desta forma, foi realizada uma análise detalhada de cada
questão, considerando-se, principalmente, o número de erros em cada uma delas. As
alterações buscaram contemplar os seguintes problemas identificados na pesquisa
anterior:
2 Como as questões de silogismos foram retiradas desta pesquisa, apresenta-se neste momento a definição utilizada por Meira, Dias & Spinillo para o termo: “Silogismo é um tipo de argumento dedutivo que consiste de duas premissas e uma conclusão. Por exemplo: Todo homem é mortal. Sócrates é homem. Portanto, Sócrates é mortal. A primeira premissa (Premissa Maior) é uma afirmativa universal, enquanto a segunda (Premissa Menor) e a conclusão são afirmativas particulares. Assim, o sujeito necessita julgar se a conclusão pode ser inferida validamente das duas premissas, sem considerar a veracidade do conteúdo das mesmas” (Meira, Dias & Spinillo, 1993, pp. 113-114).
51
a. O conteúdo de muitos dos problemas apresentados às crianças poderiam
estar em desacordo com o que os sujeitos estavam estudando, implicando
operações relativamente complexas e abordando termos desconhecidos por
boa parte delas, como lucro, revenda etc., ou seja, as questões poderiam estar
acima do repertório dessas crianças;
b. Algumas questões poderiam ter uma formulação ambígua ou inadequada
exercendo forte controle sob as respostas das crianças, a ponto de superar as
violações lógicas;
c. Os problemas propostos poderiam estar tratando de situações que não faziam
parte do quotidiano as crianças analisadas, ou seja, elas não estariam
familiarizadas com as situações descritas em cada questão.
O reexame das questões a partir do relatório da pesquisa anterior, sinalizou a
necessidade de revisão de alguns destes problemas, de forma a considerar a natureza das
formulações verbais, buscando contemplar os aspectos mencionados acima. Essas
alterações foram realizadas levando-se em consideração o número de erros por questão.
No que se refere aos “problemas sem número”, 11 dos 12 sujeitos avaliados na
pesquisa anterior obtiveram abaixo de quatro acertos e, somente um deles obteve o
número máximo de seis acertos neste grupo de problemas. Esse resultado sugeriu que
“(...) os problemas contidos nessa tarefa estavam muito acima do repertório dos alunos”
(Luna e Marinotti, 2011, p.18).
Esse grupo de problemas sofreu alterações em todas as questões, exceto em duas
delas, visando a reduzir o número de referentes e tornar as perguntas mais diretas, de
forma a simplificá-las e facilitar o seu entendimento. As modificações estão descritas e
escritas em itálico na tabela abaixo.
52
Tabela 5. Alterações realizadas nos Problemas sem Número
PROBLEMAS PESQUISA ANTERIOR PROBLEMAS PESQUISA ATUAL
Emprestei 11 revistas para o meu primo. Quando ele me devolver as revistas, como posso fazer para saber se o número de revistas é o mesmo que eu emprestei para ele?
Emprestei algumas revistas para o meu primo. Quando ele me devolver, como posso fazer para saber se o número de revistas é o mesmo que eu emprestei para ele?
Você acaba de ler um livro de História, outro de Geografia e outro de Ciências. Se sua mãe perguntar quantas páginas já leu, o que precisa fazer para responder?
SEM ALTERAÇÃO
Minha mãe quer mandar fazer uma almofada. Como é que ela pode fazer para saber o preço da almofada, quando já sabe: quanto custa a espuma, quanto custa o tecido e quanto a costureira cobra para fazer?
Hoje eu quero fazer brigadeiro. Como é que eu posso saber o preço da receita, se eu já sei: quanto custa o chocolate, quanto custa o leite condensado e quanto custa a manteiga?
Mamãe foi ao supermercado. Ela recorda a quantidade de dinheiro que levou e o preço total do que comprou. Como é que ela vai fazer para saber se o troco que a moça do caixa lhe deu está certo?
Mamãe foi ao supermercado. Ela sabe quanto deu para a moça do caixa e o valor da conta. Como é que ela vai fazer para saber se o troco que recebeu está certo?
Uma cozinheira vai ao supermercado. Na hora de comprar ovos, percebe que não se lembra de quantos ainda têm na geladeira, mas se lembra de quantos ela havia comprado antes e quantos tinha usado. O que ela tem que fazer para saber quantos ovos restam na geladeira?
Minha tia foi ao mercado comprar ovos para fazer um bolo. Ela não se lembrava de quantos ainda tinha na geladeira, mas sabia quantos ela havia comprado antes e quantos usou. O que ela tem que fazer para saber quantos ovos restam na geladeira?
A mãe de Paulo comprou Coca-Cola e guaraná para festa de aniversário dele. No dia seguinte, viu que sobraram garrafas cheias. Como foi que ela fez para descobrir quantos refrigerantes as crianças haviam tomado?
Paulo comprou refrigerantes para sua festa de aniversário. No dia seguinte, queria saber quantos refrigerantes as crianças haviam tomado. Ele viu que sobraram garrafas cheias. Como foi que ele fez para descobrir quantos refrigerantes as crianças tomaram?
A mãe de Marina estava fazendo embrulhos de presente para o Natal e só comprou 20 folhas de papel porque tinha 20 presentes para embrulhar. Como a empregada recolheu as folhas amassadas e as levou embora, como a mãe de Marina pode fazer para saber quantas folhas foram rasgadas?
A mãe de Marina estava fazendo embrulhos de presente para o Natal e usava uma folha para cada presente. Tinha em casa algumas folhas que sobraram do ano anterior. Como ela deve fazer para saber quantas folhas deve comprar para embrulhar os 20 presentes?
53
No que se refere aos “problemas com e sem solução possível”, observou-se que
quatro dos 12 sujeitos avaliados na pesquisa anterior acertaram 50% ou mais das 12
questões apresentadas (um sujeito acertou nove, dois sujeitos acertaram sete, e um
sujeito acertou seis questões). Três crianças não obtiveram acertos neste grupo de
problemas.
Analisando-se o número de acerto por questão, decidiu-se adaptar quatro delas,
respeitando-se o critério de manter problemas com e sem solução para não direcionar as
respostas, conforme demonstra a Tabela abaixo.
Paulo vai viajar com um grupo de amigos e já conseguiu saber o preço de uma passagem. Como Paulo deverá fazer para saber quanto devem pagar em conjunto?
Paulo vai viajar com um grupo de amigos e já conseguiu saber o preço de uma passagem. Como Paulo deverá fazer para saber quanto vai custar todas as passagens?
Um comerciante comprou vestidos. O que deve fazer para ganhar dinheiro ao revender?
O dono de uma loja de roupas comprou vestidos para vender em sua loja. Se ele quiser ganhar algum dinheiro na venda dos vestidos, o que deve fazer?
Joana recebeu uma caixa de doces. Decide comer igual número todos os dias, mas quer saber quanto durará a caixa agindo desta maneira. O que deve fazer?
SEM ALTERAÇÃO
O tio Luiz volta contente de viagem. Conta a todo mundo por quanto vai vender o terreno e o lucro que vai ter nessa venda. O que devo fazer para descobrir quanto ele pagou pelo terreno?
O tio Luiz volta contente de viagem. Conta a todo mundo por quanto vai vender o terreno e quanto vai ganhar nessa venda. O que devo fazer para descobrir quanto ele pagou pelo terreno?
Num desfile militar, os soldados estão arrumados em 4 fileiras com o mesmo número de soldados. Eles passam marchando muito depressa, de forma que não dá para contar um por um. Como podemos calcular quantos soldados estão desfilando?
Num desfile militar, os soldados estão arrumados em 4 fileiras com o mesmo número de soldados. Se eu souber quantos soldados tem em cada fileira o que devo fazer para saber quanto soldados estão marchando no total?
54
Tabela 6. Alterações realizadas nos Problemas com e sem solução
PROBLEMAS PESQUISA ANTERIOR PROBLEMAS PESQUISA ATUAL
O pai de Júlia tinha 27 galinhas na sua chácara.
Uma doença matou 27 delas. Com quantas
galinhas ficou o pai de Júlia?
SEM ALTERAÇÃO
A mãe de Paulo faz salgadinhos para vender. Fez
12, na semana passada. A irmã de Paulo ajudou-a
e fez mais 7. Quantos salgadinhos elas tinham
para vender?
SEM ALTERAÇÃO
O pai de João foi à farmácia com 15 reais para
comprar um remédio. Mas, o dinheiro não deu e
ele teve de pegar mais 4 reais. Quanto custava o
remédio?
SEM ALTERAÇÃO
Minha avó deu 7 bolinhos para mim, 7 para a
minha irmã e 10 para a minha tia. Quantos
bolinhos sobraram?
SEM ALTERAÇÃO
Meu pai usou 4 parafusos para pregar uma
prateleira e 12 para consertar o armário da sala.
Quantos parafusos ainda sobraram na caixa?
SEM ALTERAÇÃO
Antônio leu 19 páginas de um livro. Se ler mais
28, acabará de ler o livro. Quantas páginas tem o
livro?
SEM ALTERAÇÃO
Paulinho tem 3 carrinhos e 4 aviões. Quantos
soldadinhos ele tem?
SEM ALTERAÇÃO
Um navio está levando 26 cabras e 13 bodes.
Qual é a idade do capitão do navio?
SEM ALTERAÇÃO
Na maratona realizada pela escola de Carla,
começaram correndo 31 crianças. Terminaram a
corrida 17. Quantas pararam antes da chegada?
Na corrida realizada pela escola de
Carla, começaram correndo 31
crianças. Terminaram a corrida 17.
Quantas crianças assistiram a corrida?
55
No que se refere aos “problemas com violação lógica”, nove dos 12 sujeitos
avaliados na pesquisa anterior acertaram acima de 50% das questões apresentadas.
Neste grupo de problemas, foi destacado por Luna e Marinotti (2011), um
desequilíbrio no controle exercido por diferentes grupos de questões (gerais – possíveis
e impossíveis, de inversão causal – possíveis e impossíveis e de inversão temporal –
possíveis e impossíveis).
Analisando-se os problemas gerais, optou-se por manter todas as questões
gerais: impossíveis, tendo em vista a discussão realizada na pesquisa anterior, de que
estes problemas estariam adequados ao repertório de crianças. Seguindo o mesmo
critério, optou-se por adaptar duas das questões gerais possíveis, por terem apresentado
baixo índice de acertos, conforme demonstra a tabela abaixo.
No segundo tempo do jogo de basquete, Maria
fez mais 13 pontos e ficou com 22. Quantos
pontos tinha Maria no primeiro tempo do jogo?
Na primeira parte do jogo de basquete,
Maria fez 13 pontos. Terminou o jogo
com 22. Quantos pontos ela fez na
segunda parte do jogo?
Fui com meu primo ao mercado. A dúzia de
bananas custava 2 reais e ele comprou 2 dúzias.
Com quanto dinheiro eu fiquei?
Meu primo foi ao mercado. A dúzia de
bananas custava 2 reais e ele comprou 2
dúzias. Com quanto dinheiro eu fiquei?
Minha professora disse que meu peso é 15 quilos
e a do meu irmão é 17 quilos. Qual é o peso da
minha irmã mais nova?
Minha professora disse que meu peso é
15 quilos e a do meu irmão é 17 quilos.
Qual é o peso da minha irmã?
56
Tabela 7. Alterações realizadas nos Problemas Gerais
Quanto às questões de inversão causal, levando-se em consideração o número
elevado de erros, foram alteradas duas delas, como pode ser visto na Tabela 8.
PROBLEMAS COM VIOLAÇÃO LÓGICA – GERAIS IMPOSSÍVEIS
QUESTÃO PESQUISA ANTERIOR QUESTÃO ATUAL
A chuva que entrou pela janela do meu quarto secou toda a minha cama.
SEM ALTERAÇÃO
O pai de Alfredo abriu o guarda-chuva porque não estava mais chovendo.
SEM ALTERAÇÃO
Tomei toda a salada com colher. SEM ALTERAÇÃO
O patrão disse para Mauro que ia lhe dar um aumento porque ele estava trabalhando muito mal.
SEM ALTERAÇÃO
Lúcia foi descendo da árvore até chegar no alto dela. SEM ALTERAÇÃO
Faltou luz na casa de Antônio durante dois dias, mas, mesmo assim, o gelo que estava no congelador não se derreteu.
SEM ALTERAÇÃO
Às vezes, eu quero brincar com minha boneca, mas ela diz que não quer e daí eu não posso brincar.
SEM ALTERAÇÃO
Meu irmão é filho único do meu pai. SEM ALTERAÇÃO
PROBLEMAS COM VIOLAÇÃO LÓGICA – GERAIS: POSSÍVEIS
João comeu toda a comida que estava no seu prato, mas continuou com fome.
SEM ALTERAÇÃO
Marcelo tropeçou em uma pedra e não caiu. O cachorro de Marcelo é muito bravo, mas nunca mordeu ninguém.
Flávia é mais nova do que sua irmã Carla, mas ela é mais alta do que Carla.
SEM ALTERAÇÃO
A mãe de Joana a trancou em casa; após alguns minutos, Joana foi ao mercado.
A mãe de Joana comprou tomates, mas eles não eram vermelhos.
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Tabela 8. Alterações realizadas nos problemas de Inversão Causal
No que se refere às questões de inversão temporal (possíveis e impossíveis),
analisando-se o número de acerto por problema, foram adaptadas quatro das questões,
sendo 2 do grupo “impossíveis” e 2 do grupo “possíveis”. As alterações podem ser
visualizadas na Tabela 9.
PROBLEMAS COM VIOLAÇÃO LÓGICA – INVERSÃO CAUSAL: IMPOSSÍVEIS
Tirei a blusa porque fiquei com frio. SEM ALTERAÇÃO
A professora não deu aula hoje; por isso ela ficou doente. SEM ALTERAÇÃO
Francisco não conseguiu terminar a prova porque tirou nota baixa.
SEM ALTERAÇÃO
Eu me cortei com a faca porque saiu muito sangue. SEM ALTERAÇÃO
A ponta do lápis de Francisco quebrou porque ele não conseguiu terminar a lição.
A escada tinha muitos degraus para subir porque eu fiquei muito cansado
A pedra era muito pesada porque eu não consegui empurrá-la. SEM ALTERAÇÃO
A história que eu ouvi era muito triste porque eu chorei. SEM ALTERAÇÃO
O time de João fez mais cestas na partida porque ganhou o jogo.
SEM ALTERAÇÃO
PROBLEMAS COM VIOLAÇÃO LÓGICA – INVERSÃO CAUSAL: POSSÍVEIS
Meu pai mandou acender as luzes porque estava muito escuro. SEM ALTERAÇÃO
O time de basquete da minha escola ganhou a partida porque fez mais cestas que o outro time.
SEM ALTERAÇÃO
O passarinho conseguiu fugir porque esqueceram aberta a porta da gaiola.
SEM ALTERAÇÃO
O sorvete derreteu porque ficou fora da geladeira. O sorvete derreteu porque ficou muito tempo fora da geladeira.
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Tabela 9. Alterações realizadas nos Problemas de Inversão Temporal
PROBLEMAS COM VIOLAÇÃO LÓGICA – INVERSÃO TEMPORAL: IMPOSSÍVEIS
Vou convidar meus amigos para virem na minha festa de aniversário, na semana passada.
SEM ALTERAÇÃO
O homem que construiu minha casa fez primeiro o telhado; depois, levantou as paredes.
SEM ALTERAÇÃO
Marcelo está na pré-escola. Ele adora olhar as fotos da viagem que fez para os EUA quando era adolescente.
Marcelo está na pré-escola. Ele adora olhar as fotos da viagem que fez quando era adolescente.
Quando chegar o Natal, eu ganhei muitos presentes. SEM ALTERAÇÃO
Quando minha mãe era criança, eu brincava muito com ela. SEM ALTERAÇÃO
Tirei nota B na prova da semana que vem. SEM ALTERAÇÃO
Meu time fez dois gols no primeiro tempo, mas acabou perdendo de 1 a 0.
SEM ALTERAÇÃO
Depois que as roupas secarem mais rapidamente, o sol vai sair.
Antes de meu pai colocar água na piscina, eu nadei bastante nela.
PROBLEMAS COM VIOLAÇÃO LÓGICA – INVERSÃO TEMPORAL: POSSÍVEIS
Minha irmã tem 8 anos. Ela vai fazer 9 anos no ano que vem. SEM ALTERAÇÃO
No domingo eu fui para a cama às 7 horas da noite porque tinha de levantar cedo na segunda-feira.
SEM ALTERAÇÃO
Hoje acordei bem disposto porque ontem fui deitar cedo e dormi bem.
Hoje acordei descansado porque ontem fui deitar cedo e dormi bem
No mês que vem, eu vou jogar futebol na praia. Eu saí cedo de casa e cheguei muito atrasado na escola.
59
Descrição do Pré-teste
A etapa de pré-teste foi realizada com duas crianças, sendo uma de 8 anos e uma
de 7 anos, ambas do sexo masculino.
Para cada aplicação do pré-teste foi utilizado somente um conjunto de problemas
com violação lógica. Desta forma, foram aplicadas três baterias de 12 questões cada,
sendo um bloco de problemas sem número, um bloco de problemas com/sem solução e
outro de problemas de violação lógica, totalizando 36 questões por aplicação.
Nas duas aplicações, as instruções iniciais variaram de acordo com o
instrumento a ser aplicado. Foram colocados à disposição da criança papel, lápis e
borracha, indicando que ela poderia se valer do que quisesse para resolver os problemas.
A primeira aplicação seguiu a seguinte ordem: inicialmente foram apresentados
os problemas sem número, em seguida os problemas com e sem solução possível e, por
último, os problemas com algum tipo de violação lógica (denominados “Mistos”).
Optou-se por alterar a ordem na segunda aplicação, de forma a iniciar com as questões
que as crianças respondiam com maior facilidade, passando para a seguinte: problemas
sem solução possível, problemas com algum tipo de violação lógica e problemas sem
número.
Como se tratava de um teste, e não de um procedimento de ensino, não foi dado
nenhum feedback às crianças quanto ao acerto ou erro dos problemas.
O tempo médio da aplicação na fase do pré-teste foi de aproximadamente 1 hora.
A pesquisadora deveria estar atenta para o momento de encerrar a aplicação, que se
daria com a conclusão das questões ou quando, de alguma forma, a criança pedisse para
interrompê-la ou apresentasse sinais de cansaço. Como o instrumento no pré-teste foi
60
reduzido para 36 questões, todas as aplicações foram concluídas, já que as crianças
apresentaram condições adequadas para tal.
Os resultados obtidos por meio destas aplicações forneceram pistas importantes
para a condução de um inquérito de confronto mais sistemático por parte da
pesquisadora, possibilitando prever possíveis respostas por parte das crianças.
Descrição da primeira aplicação
A primeira aplicação, realizada com a criança de 8 anos, foi conduzida na casa
da mesma. A criança estava à espera da pesquisadora e a aplicação ocorreu na mesa que
se encontrava na sala de jantar. A pesquisadora posicionou-se à esquerda da criança e o
computador foi disposto de forma que fosse possível a leitura dos slides por parte de
ambos.
No primeiro momento, com o objetivo de criar um ambiente descontraído e
favorável à aplicação do instrumento, foram abordadas questões quotidianas, como
“você tem irmãos”, “o que gosta de fazer nos finais de semana”, “onde estuda” etc.
Em seguida, foi explicado à criança que se tratava de um trabalho escolar da
pesquisadora, e perguntado a ela se estaria disposta a participar. A criança demonstrou
saber do que tratava a pesquisa (“minha mãe me contou que é de matemática, que vou
resolver alguns problemas”). Inicialmente, esta informação parece ter despertado o
interesse da criança para a aplicação, pois, ao questionar se gostava de resolver
problemas na escola, a criança responde: “eu sou muito bom em matemática, você vai
ver”.
Foi informado que a conversa seria gravada, para que a pesquisadora pudesse
discutir este material posteriormente com seu professor. O gravador foi apresentado à
criança, demonstrando seu funcionamento. Foram realizados alguns testes, gravando a
61
voz da pesquisadora e da criança e reproduzindo o trecho gravado. Esta ação teve como
objetivo favorecer a descontração da criança com relação ao aparelho. Em seguida, o
gravador foi posicionado fora do seu campo visual, de forma a evitar que o mesmo
pudesse distrair sua atenção.
Descrição da segunda aplicação
A segunda aplicação, realizada com uma criança de 7 anos, foi feita na sua
escola, a pedido da mãe que trabalha no mesmo local. Uma auxiliar de classe levou a
criança e a pesquisadora a uma sala de artes. Este fato inicialmente atrapalhou a
aplicação, tendo em vista que a parede da sala era de vidro, desviando a atenção da
criança diante do movimento intenso no corredor. A pesquisadora sugeriu a mudança na
posição da mesa onde seria realizada a aplicação, de forma que ambos ficassem de
costas para o vidro.
Da mesma forma que na primeira aplicação, inicialmente foram feitas questões
quotidianas e, em seguida, prestados esclarecimentos acerca do que se tratava o
trabalho. A criança demonstrou saber que se tratava de questões matemáticas, um tanto
apreensivo: “é como uma prova de matemática?”. Neste momento, a pesquisadora
esclareceu que se tratava de um trabalho para a sua faculdade, que seria apresentado e
discutido com o seu professor para buscar compreender como as crianças solucionam os
problemas, tanto na escola, quanto fora dela.
Neste pré-teste, foi utilizado o aplicativo de gravação do iPad, tendo em vista a
facilidade no manuseio do equipamento e na posterior transcrição. Do mesmo modo
ocorrido com o gravador na situação anterior, o sujeito foi informado de que seria
realizada a gravação da nossa conversa, para que a pesquisadora pudesse discutir
posteriormente com seu professor. Entretanto, o tablet atraiu demasiadamente a atenção
62
da criança, o que prejudicou a aplicação. Em diversos momentos a criança se levantou
da mesa dirigindo-se ao equipamento, demonstrando curiosidade.
Tendo em vista esta experiência, optou-se por utilizar o gravador durante as
aplicações realizadas na pesquisa em pauta.
Destaca-se que a realização do pré-teste foi fundamental, possibilitando
familiaridade da pesquisadora com os problemas, instruções e o inquérito necessário
para cada grupo de questão.
63
ESTUDO II
Objetivo
A fim de facilitar a leitura do relatório, a pesquisa desenvolvida foi nomeada de
“Estudo II”, e visou avaliar as respostas emitidas por crianças de 8 e 9 anos diante de
situações-problema, buscando identificar possíveis relações entre raciocínio lógico e
desempenho em matemática.
Tendo em vista os aspectos descritos no Estudo I, as alterações referem-se,
fundamentalmente, ao instrumento de pesquisa, aos sujeitos (estudantes do 3o ano do
ensino fundamental), à análise dos dados das justificativas emitidas também para as
questões que envolviam números, tendo em vista que a análise realizada anteriormente
privilegiou somente as justificativas das questões de raciocínio lógico, e por fim, a
realização de testes estatísticos como instrumento complementar à análise dos
resultados.
Cabe destacar que, para a análise das justificativas das questões lógicas, foram
mantidas as categorias desenvolvidas na pesquisa anterior. Entretanto, para as questões
que envolviam números, foi necessário o desenvolvimento de novas categorias, tendo
em vista a particularidade das respostas.
As demais etapas seguiram a mesma metodologia empregada anteriormente por
Luna e Marinotti (2011).
64
MÉTODO
Sujeitos
Participaram do estudo 12 crianças, de ambos os sexos, com idade entre 8 e 9
anos, estudantes do3o ano do Ensino Fundamental, de uma escola estadual da cidade de
São Paulo.
A seleção dos sujeitos foi realizada a partir da avaliação da professora, que
indicou, dentre seus alunos, seis que apresentaram o melhor desempenho em
Matemática e seis com os piores resultados nesta disciplina. A seleção contou, portanto,
com a indicação de 12 crianças. Foi orientado à professora que procurasse realizar a
seleção a partir da sua percepção do desempenho dos alunos em sala de aula, combinada
com os resultados apresentados pelos estudantes nas avaliações formais de Matemática.
A pesquisa anterior mostrou que a chance de perda de sujeitos ao longo da
pesquisa não seria desprezível, o que levou ao estabelecimento de uma lista de alunos
sobressalentes, caso fosse necessário realizar alguma substituição. Entretanto, a seleção
inicial realizada pela professora permaneceu ao longo de toda a aplicação, não tendo se
realizado qualquer substituição.
Local
A pesquisa foi realizada em uma escola estadual da cidade de São Paulo, situada
na zona oeste da capital. A escola está em funcionamento desde 1922, e, atualmente,
atende alunos de 6 a 11 anos de idade, funcionando nos turnos matutino e vespertino,
com turmas do 1o ao 5o ano do Ensino Fundamental.
Para as aplicações, foi disponibilizada uma sala, situada no mesmo corredor da
classe do 3o ano. Este espaço contava com armários e estantes de livros didáticos, uma
mesa com oito cadeiras e um ventilador.
65
Material
Conforme descrito na seção Estudo I, o instrumento de aplicação foi alterado,
levando-se em consideração o pré-teste do mesmo e o reexame das questões a partir dos
resultados descritos na pesquisa anterior.
O instrumento de pesquisa atual constou de três conjuntos de questões
envolvendo raciocínio matemático e problemas de lógica.
Os problemas estavam divididos da seguinte forma: 12 problemas sem número,
12 problemas com/sem solução possível e 36 problemas de violação lógica (12 de
Inversão Causal, 12 de Inversão Temporal e 12 Gerais), totalizando 60 problemas.
Tal como ocorreu na pesquisa anterior e na etapa de pré-teste, os problemas
foram apresentados em Power Point, sendo uma questão por slide. O tamanho da fonte
(por volta de 40) e o espaçamento das linhas dependeram da quantidade de texto
disposto em cada lâmina, de forma a tornar a leitura visível.
Foi utilizado o equipamento notebook, levando-se em consideração que a
visibilidade na tela é apropriada para a leitura dos problemas, se desejável, por parte da
criança.
O computador foi colocado em uma mesa, de forma que ficasse visível tanto
para a aplicadora quanto para a criança. A pesquisadora posicionou-se sempre à
esquerda da criança, um pouco mais afastada da tela.
Foram disponibilizados materiais de apoio, como fichas de contagem, papel,
lápis e borracha, explicitando-se que poderiam ser utilizados para eventuais operações
numéricas ou outro tipo de operação que a criança considerasse necessária à resolução
dos problemas.
Segue abaixo uma breve descrição dos tipos de problemas que compuseram o
instrumento da pesquisa.
66
• Problemas sem número. Foram aplicados 12 problemas nos quais a resposta do
sujeito deveria indicar como proceder para encontrar a solução, sem, contudo, efetuar
qualquer operação. Seguem abaixo dois exemplos de problemas sem número:
Minha mãe quer fazer um brigadeiro. Como é que ela pode saber o preço do
brigadeiro, quando ela já sabe: quanto custa o chocolate, quanto custa o
leite condensado e quanto custa a manteiga?
Emprestei algumas revistas para o meu primo. Quando ele me devolver as
revistas, como posso fazer para saber se o número de revistas é o mesmo
que eu emprestei para ele?
• Problemas com e sem solução possível. Foram aplicados 12 problemas, parte dos
quais tinham como resposta correta a indicação de que ele é insolúvel e a razão disso.
Para evitar que rapidamente o sujeito discriminasse que todos eram insolúveis, foram
elaborados problemas com solução, intercalados aos primeiros. Nos problemas que
podiam ser solucionados, esperou-se que a criança fornecesse a resposta correta e/ou
as operações matemáticas adequadas ao problema. Dois exemplos desses tipos de
problema são:
Problema com solução possível: Antônio leu 19 páginas de um livro. Se ele
ler mais 28, acabará de ler o livro. Quantas páginas tem o livro?
Problema sem solução possível: Paulinho tem 3 carrinhos e 4 aviões.
Quantos soldadinhos ele tem?
• Problemas de violação lógica. Foram empegados três conjuntos de problemas, de
acordo com o tipo de violação lógica envolvida: problemas com inversão causal (IC),
problemas com inversão temporal (IP) e problemas gerais (G). Nos três casos, pelo
mesmo motivo citado anteriormente, as questões impossíveis (oito de cada tipo)
67
foram intercaladas, em ordem aleatória, com questões em que não havia violação
lógica, denominados possíveis (quatro de cada tipo).
o Problemas com inversão causal, nos quais causas e consequências são invertidas,
como por exemplo:
Tirei a blusa porque fiquei com frio. (Além de identificar que a frase estava
incorreta, esperava-se que a criança identificasse o seguinte erro de inversão causal:
“Fiquei com frio porque tirei a blusa”).
O time de João ganhou o jogo porque fez menos gols na partida. (Esperava-se
que a criança justificasse ser impossível ter ganhado o jogo tendo feito menos gols na
partida).
o Problemas com inversão temporal, nos quais a sequência temporal dos fatos é
invertida. Exemplos:
Tirei nota B na prova da semana que vem. (Esperava-se que a criança
justificasse não ser possível, por tratar-se de uma prova que ocorreria somente na
semana que vem).
Quando chegar o Natal, eu ganhei muitos presentes. (Esperava-se que a criança
justificasse não ser possível, por tratar-se de um evento que ainda não ocorreu).
o Problemas gerais, nos quais a violação lógica baseia-se em outras razões que não
as descritas em IC e IT. Exemplos:
A chuva que entrou pela janela do meu quarto secou toda a minha cama.
(Esperava-se que a criança justificasse que a chuva deveria molhar, e não secar a cama).
Lúcia foi descendo da árvore até chegar no alto dela. (Esperava-se que a criança
identificasse que, para chegar ao alto da árvore, deveria subir, e não descer).
68
Para efeitos de aplicação, e para reduzir a probabilidade de que os sujeitos
identificassem algum tipo de padrão em uma sequência em que todas as questões são da
mesma natureza, todas elas, inclusive as possíveis e impossíveis, foram embaralhadas
aleatoriamente e compuseram um conjunto que passou a ser denominado de Mistos.
O conjunto final apresentava, portanto, 36 questões, um número excessivo para
ser aplicado em uma única sessão. Por essa razão, as 36 questões foram divididas em
três blocos de 12 questões cada uma (ficando cada aplicação deste instrumento,
equiparada em número aos 12 problemas sem número e os 12 com/sem solução
possível).
Procedimentos de aplicação
Contato inicial com a escola
Foi realizada uma reunião inicial com a direção da instituição, prestando-se os
esclarecimentos acerca da pesquisa. A diretora mostrou-se bastante interessada pelo
trabalho, o que contribuiu sobremaneira para o bom andamento das aplicações.
No segundo momento, a reunião foi realizada com a presença da professora
responsável pela turma do 3o ano, no sentido de conhecer e discutir o projeto com a
pesquisadora. Estas atividades foram realizadas em encontros pessoais na escola,
visando favorecer o acesso e a inserção da pesquisadora na instituição.
Ao longo destes encontros, foi estabelecido o calendário de aplicações, de
acordo com a disponibilidade dos participantes, respeitando-se as atividades do
calendário escolar.
Em um terceiro encontro, a documentação referente ao Comitê de Ética foi
entregue à direção, que foi orientada acerca das providências necessárias para
69
autorização de participação de cada criança, mediante a assinatura do Termo de
Consentimento Livre e Esclarecido (Apêndice A).
Este documento foi encaminhado para cada aluno selecionado, acompanhado de
uma carta da Diretora, que esclarecia acerca da necessidade de assinatura dos pais,
autorizando ou não a participação da criança. Todos os pais autorizaram a respectiva
participação, e os termos individuais devidamente assinados estão em posse da
pesquisadora.
Foi acordado com a diretora e com a professora, que os resultados decorrentes
da pesquisa seriam franqueados à escola, da forma que considerarem mais conveniente,
como: relatório, exposição, discussão com professores etc.
A pesquisa foi devidamente cadastrada e submetida ao Comitê de Ética da PUC-
SP, tendo sido aprovada na Plataforma Brasil, sob o registro número
22189613.8.0000.5482.
Esclarecimento aos sujeitos sobre a pesquisa
As crianças selecionadas foram informadas de que haviam sido “sorteadas” pela
professora para ajudar a pesquisadora em um trabalho escolar. Nesse momento, foi
perguntado se gostariam de participar desse trabalho e, como todas responderam
afirmativamente, passaram a fazer parte da pesquisa.
A professora realizou a apresentação da pesquisadora para toda a classe, e foram
prestados alguns esclarecimentos gerais acerca do trabalho, em uma linguagem que
fosse acessível à faixa etária de 8 e 9 anos.
70
Aplicação do instrumento
No primeiro contato, cada criança veio acompanhada da professora para a sala
de aplicação. Inicialmente, a pesquisadora conversava com a criança durante algum
tempo sobre questões gerais, realizando perguntas a respeito do que gostava de fazer,
onde morava, se tinha irmãos, o que fazia nos fins de semana etc.
Em seguida, a pesquisadora esclarecia que estava realizando um trabalho para a
escola e que precisaria que ela (a criança) a ajudasse. Foi perguntado a cada sujeito se
estaria disposto a participar. Após a anuência da criança, era explicado o que ela deveria
fazer.
As crianças foram informadas de que a “brincadeira” seria gravada. Foi
realizado um aquecimento em relação ao equipamento, durante o qual a pesquisadora
dizia à criança como ele funcionava, gravava a voz dela etc. Foi dito à criança algo
como: “Você já viu um gravadorzinho como este? Sabe como ele funciona? Quer ouvir
a sua voz gravada? Vou te mostrar como é que ele funciona...”. Em seguida, o trecho
gravado era reproduzido para a criança.
Este procedimento foi fundamental para familiarizar a criança com o
instrumento, bem como para favorecer uma aproximação com a pesquisadora, tendo em
vista que as crianças demonstraram grande interesse no momento de gravar e ouvir a
sua voz no aparelho.
Conforme já indicado, todos os problemas foram apresentados na tela do
computador. A tela foi posicionada de modo que se a criança desejasse ler o problema,
ela poderia fazê-lo com facilidade.
71
As instruções variaram de acordo com o instrumento aplicado, como descrito
abaixo.
Problemas sem número
Antes de iniciar a apresentação dos primeiros problemas, era dito à criança:
Vou contar para você uma historinha. Veja se você consegue ajudar o vendedor:
Um vendedor vende laranjas no mercado por um preço mais barato do que
comprou. Ele está perdendo ou ganhando dinheiro?
Problemas sem solução
Eu vou ler para você alguns problemas. Preste atenção em cada um e quando eu
terminar a leitura, gostaria que você resolvesse o problema. Se você achar que não dá
para resolver aquele problema, você me diz por quê. Você entendeu? Quer que eu
explique de novo? Então vamos lá.
Em relação aos problemas lógicos, foram fornecidas as seguintes instruções para
as crianças:
Problemas Mistos
Nossa conversa vai ajudar uma professora que eu conheço. A escola dela
recebeu livros para os alunos estudarem, mas ela começou a encontrar erros nos livros.
Você acha certo ter erro em livro de escola? Não pode, não é?! Então, por causa disso,
eu pensei que a gente podia ajudar a professora a encontrar os erros.
Então, vamos lá... Eu vou ler uma frase que está no livro e você me diz se acha
que a frase está certa, se ela pode ficar no livro, se ela não diz nada de errado, ou se
você acha que a frase vai ensinar alguma coisa errada para as crianças, porque ela
72
está dizendo alguma coisa que não está certa. Para eu poder explicar para a professora
depois, eu vou sempre perguntar para você porque você acha que a frase pode ficar, ou
porque você acha que é melhor tirar a frase. OK?
Eu vou dar exemplo para ver se você entendeu o que nós vamos fazer.
1.Todo dia o sol nasce quadrado. A frase pode ficar no livro? Ou você acha que ela tem
de ser tirada do livro? Por quê?
2. Meu cachorro tem quatro patas e duas orelhas. (idem)
3. O lugar onde as crianças estudam se chama escola. (idem)
4. O lugar onde eu compro pão se chama farmácia. (idem)
Muito. Bem. Você entendeu direitinho. Podemos continuar brincando?
Em geral, as instruções foram mantidas para todos os tipos de problemas,
inclusive para os mistos, tendo em vista o seguinte comentário no relatório da pesquisa
anterior: “(...) considerou-se bastante satisfatórias as soluções encontradas no que se
refere às instruções dadas às crianças nos problemas mistos, (...) o tempo todo eles
pareceram bastante comprometidos com a tarefa de localizar erros nos livros da
professora a quem tentavam ajudar” (Luna & Marinotti, 2011, p.49).
Por se tratar de um teste e não de um procedimento de ensino, nenhum feedback
foi dado ao sujeito quanto ao acerto ou erro da resposta. Dessa forma, a pesquisadora
manteve o inquérito, mesmo quando a resposta estava correta (caso contrário, a
realização de inquérito poderia funcionar como uma pista de que a resposta estivesse
errada, promovendo sua reformulação).
O tempo médio de aplicação foi de uma hora e cinco minutos. Sete crianças
concluíram todos os problemas em uma única sessão, e cinco crianças necessitaram de
dois encontros em dias distintos para responder todas as questões. A sessão se encerrava
73
com a conclusão das questões previstas para aplicação naquele dia, ou quando, de
alguma forma, a criança pedisse para interrompê-la ou apresentasse sinais de cansaço.
Além da gravação, a pesquisadora contou com uma folha onde registrava
ocorrências consideradas relevantes, contribuindo para a fase de interpretação dos
resultados.
Ao final da aplicação, independentemente do desempenho da criança, foram
mostrados stickers (adesivos de superheróis, carros, motos, ou mais femininos, como
caras de bonecas, estrelinhas etc.). Foi combinado com as crianças participantes que, ao
final de todas as aplicações, os stickers seriam levados à sala de aula para que todos os
alunos da classe pudessem escolher alguns. Os participantes da pesquisa tiveram a
oportunidade de fazer a escolha de mais uma cartela de seu interesse. A principal função
era tornar a participação atraente, especialmente para que se sentissem motivadas a
voltar em outro momento para dar continuidade à pesquisa.
74
RESULTADOS
Procedimento de análise dos dados
Todas as aplicações foram transcritas pela pesquisadora. O grande volume delas
levou à decisão de incluí-las como apêndice em um CD, para eventuais consultas
(Apêndice B).
A tabulação das respostas ocorreu, inicialmente, por meio de registro em uma
tabela, dividida por grupo de problemas. Em cada questão era marcado acerto ou erro
em dois momentos: a resposta inicial da criança, e a resposta dada após o inquérito.
Nesta tabela também foram dispostas colunas em que era possível registrar o tipo de
resposta (visando a identificar similaridades nas mesmas e facilitar a posterior
classificação), bem como acrescentar observações e dúvidas que pudessem decorrer
daquela resposta. A tabela pode ser consultada no Apêndice C.
Esse registro inicial possibilitou a extração de elementos para compor a análise
dos dados, considerando o que foi observado durante as aplicações, resultando em uma
síntese dos resultados de cada sujeito em todos os problemas.
No segundo momento, foram analisadas as justificativas dadas pelos sujeitos
para cada problema, a fim de examinar o raciocínio desenvolvido por cada criança para
resolver as questões. A análise das justificativas dos problemas que envolvem raciocínio
lógico (denominados Mistos) mostrou ser possível classificá-las segundo as categorias
já utilizadas por Luna & Marinotti na pesquisa anterior. Para as demais questões
(conjuntos de problemas com e sem solução e sem número), foi necessário o
desenvolvimento de novas categorias, tendo em vista a particularidade das respostas. As
categorias estão descritas adiante.
75
A partir desse tratamento preliminar, os dados foram agrupados em tabelas, de
forma a possibilitar o cruzamento dos mesmos, o que subsidiou a análise dos resultados
deste estudo.
Após a análise dos dados que foram dispostos nas tabelas, foi realizada a análise
estatística, visando a auxiliar na compreensão dos mesmos. Para tanto, foram utilizadas
ferramentas do Minitab Statistical Software (versão DEMO), que possibilitou o
desenvolvimento dos gráficos Bloxpot e os Testes de Hipóteses.
O bloxpot (gráfico de caixa) é utilizado para avaliar a distribuição dos dados. É
formado pelo primeiro e terceiro quartil e pela mediana (segundo quartil). A diferença
entre os quartis (Q3 – Q1) é uma medida da variabilidade dos dados. Essa ferramenta
pode ser também utilizada para uma comparação visual entre dois ou mais grupos
(Braga, 2010).
Nesta pesquisa, o bloxpot foi utilizado para auxiliar a análise do desempenho das
crianças classificadas como fortes ou fracas em matemática pela professora. A opção
por esta ferramenta se deu por ser um método menos influenciado por valores atípicos.
Além do bloxpot, o Teste de Hipóteses foi utilizado por ser uma técnica que
possibilita realizar inferências estatísticas, ou seja, a partir dos dados amostrais, pode-se
inferir sobre uma determinada população (Braga, 2010). Neste estudo, o Teste de
Hipóteses buscou evidenciar se existe diferença significativa entre os desempenhos dos
alunos classificados como fortes ou fracos, nos diversos grupos de problemas.
Ressalta-se que, embora tenham sido considerados e analisados os desempenhos
individuais de cada criança, os resultados decorrentes das análises estatísticas dos dois
blocos de alunos (fortes e fracos) possibilitou estabelecer uma comparação efetiva entre
esses desempenhos, auxiliando sobremaneira a análise geral e ampliando a
confiabilidade dos resultados da pesquisa.
76
Apresentação dos resultados por sujeito e por grupo de problemas
Neste tópico serão detalhados cinco procedimentos de análise:
1. Análise dos grupos de problemas;
2. Análise das questões;
3. Classificação das justificativas;
4. Análise do desempenho das crianças, segundo a classificação (forte e fraco);
5. Análises Estatísticas.
1. Análise dos grupos de problemas
Esses dados foram analisados a partir do desempenho de cada criança nos
diferentes tipos de problemas. Visando a melhor visualização e posterior comparação
dos resultados, serão apresentados inicialmente os dados decorrentes dos problemas que
requerem algum conhecimento matemático: item 1.1 Problemas com e sem solução
possível e item 1.2 Problemas sem número. Em seguida, apresentar-se-ão os resultados
dos problemas que envolvem raciocínio lógico: item 1.3 Problemas Mistos (Gerais, de
Inversão Causal e de Inversão Temporal).
No final deste grupo, apresenta-se o item 1.4 Comparação entre os resultados
nos três grupos de problemas (sem número, com e sem solução e mistos). Esta última
análise objetiva estabelecer possíveis relações entre o desempenho dos sujeitos nas
questões matemáticas (Problemas com e sem solução e Problemas sem número) com as
questões que envolvem raciocínio lógico (Problemas Mistos).
77
1.1 Problemas com e sem solução
Na tabela 10 são apresentados os resultados de cada sujeito, em ordem
decrescente, de acordo com o número de acertos obtidos nos 12 problemas com e sem
solução possível.
Tabela 10. Hierarquia do desempenho dos sujeitos, segundo o número de acertos nos 12 problemas com e sem solução possível.
SUJEITO CLASSIF. N ACERTOS % ACERTO B FORTE 12 100% G FORTE 11 92% A FORTE 10 83% H FORTE 10 83% D FORTE 7 58% J fraco 7 58% F FORTE 6 50% I fraco 5 42% K fraco 5 42% L fraco 3 25% C fraco 2 17% E fraco 1 8%
A análise do desempenho apresentado pelos sujeitos neste grupo de problemas,
permite identificar uma diferença entre as respostas dos alunos classificados como forte
(caselas azuis), cujos resultados demonstram maior número de acertos, em detrimento
dos classificados como fracos (caselas vermelhas), com exceção do sujeito J, que teve
resultado igual a um aluno classificado como forte e superior a outro assim classificado.
(D e F, respectivamente).
Cabe destacar que a maioria das crianças classificadas como fraca obteve
desempenho igual ou inferior a 58% de acertos. Esta leitura sugere que os alunos que
apresentam melhores desempenhos em matemática na escola (classificados como fortes
pela professora), obtiveram também os melhores resultados nos problemas com e sem
solução possível.
78
1.2 Problemas sem número
Na tabela 11 são apresentados os resultados de cada sujeito, em ordem
decrescente, de acordo com o número de acertos obtidos nos 12 problemas sem número.
Tabela 11. Hierarquia do desempenho dos sujeitos, segundo o número de acertos nos
12 problemas sem número
SUJEITO CLASSIF. N ACERTOS % ACERTO B FORTE 11 92% G FORTE 11 92% H FORTE 11 92% A FORTE 8 67% F FORTE 8 67% J fraco 8 67% D FORTE 7 58% I fraco 6 50% E fraco 5 42% K fraco 5 42% L fraco 5 42% C fraco 3 25%
Da mesma forma como ocorreu no grupo anterior, os alunos classificados como
fortes em matemática pela professora (caselas azuis) obtiveram melhores resultados nos
problemas sem número, com exceção, novamente, do sujeito J, que apresentou resultado
igual a dois alunos classificados como fortes (A, F) e superior a outro aluno classificado
como forte (D).
No que se refere ao percentual geral de acertos, cabe destacar que a maioria das
crianças classificadas como fraca (caselas vermelhas) obteve desempenho igual ou
inferior a 50% de acertos. Estes resultados, por um lado, referendam a classificação feita
pela professora (exceto, talvez, pelo aluno J) e, por outro, falam a favor da validade das
questões como medida de desempenho em matemática. Neste sentido, acredita-se que o
estudo em pauta possa confrontar os resultados obtidos nos problemas matemáticos com
79
os desempenhos nos problemas lógicos, possibilitando pensar a relação existente entre
estes raciocínios.
1.3 Problemas Mistos, (Gerais – G, de Inversão Causal – IC e de Inversão
Temporal – IT)
Este item descreve os resultados detalhados dos problemas que envolvem
violação lógica, denominados Mistos no instrumento de pesquisa. Para tanto, a tabela 12
apresenta o desempenho de cada sujeito, em cada tipo de problema, e sua porcentagem
total de acertos.
Tabela 12. Número de acertos de cada sujeito em cada tipo de questão lógica
GERAIS INVERSÃO CAUSAL
INVERSÃO TEMPORAL
SUJEITO CLASSIF*. G-I G-P IC-I IC-P IT-I IT-P TOTAL % H F 7 4 7 4 8 4 34 94% B F 6 3 7 4 7 4 31 86%
J f 8 3 3 4 8 4 30 83% A F 8 3 1 4 8 4 28 78% F F 8 3 0 4 8 4 27 75% D F 6 3 1 4 8 4 26 72%
I f 6 4 1 4 8 3 26 72% G F 6 3 0 4 8 4 25 69%
K f 5 3 1 4 8 4 25 69%
E f 7 2 0 4 8 3 24 67%
L f 5 3 0 4 6 4 22 61%
C f 4 1 0 2 5 2 14 39% *Legenda: F – alunos classificados como fortes em Matemática pela professora. f– alunos classificados como fracos em Matemática pela professora. G, IC e IP referem-se aos tipos de problemas I significa impossível e P, possível
Nos problemas que envolvem violações lógicas, os alunos classificados como
fortes em matemática pela professora obtiveram melhores resultados, com exceção dos
sujeitos J e I, que foram classificados como fracos, e apresentaram desempenho superior
80
ou igual a alguns alunos classificados como fortes (83 e 72%, respectivamente).
Particularmente o desempenho de J (fraco) indica que alunos que apresentam
dificuldades matemáticas, podem responder apropriadamente a problemas lógicos.
Na Tabela 13 são apresentados os resultados nas questões de violação lógica, por
tipo (IT, IC e G).
Tabela 13. Resultados totais verificados nas questões lógicas
Problema N de questões Sujeitos Total de
resp. N acerto % acerto Média acerto/questão
Amplitude de acertos
IT 12 12 144 135 94% 5,58 2 8
Gerais 12 12 144 112 78% 4,63 1 8 IC 12 12 144 67 47% 2,79 0 7
De acordo com os resultados apresentados na Tabela 12, cabe destaque para os
dados do grupo de problemas de Inversão Causal (IC), que obteve o menor percentual
de acerto (47%). A média foi de 2,79 acertos por questão dessa natureza, com amplitude
variando entre 0 e 7 acertos, o que indica que uma das questões de Inversão Causal não
obteve nenhum acerto. Essa discussão será realizada com mais detalhes na seção
destinada à análise das questões, abaixo.
A partir deste resultado curioso, identifica-se que, no grupo estudado, embora
tenha sido constatado que, em geral, os sujeitos identificam a inversão causal, a maioria
não consegue expressar a justificativa esperada para o erro (que, neste caso, seria
colocar a sentença na ordem correta, excluindo a inversão causal). Por exemplo: no
problema “eu me cortei com a faca porque saiu muito sangue”, a justificativa esperada
para a identificação causal foi dada somente pelos sujeitos B e H, respectivamente: “Tá
81
errada. Saiu muito sangue porque eu me cortei com a faca” e “Seria assim: saiu muito
sangue porque eu me cortei com a faca. Tá errada, invertida”.
Os exemplos abaixo foram utilizados por diferentes crianças, possibilitando
verificar que elas identificam o erro na sentença, mas as justificativas não explicam a
inversão causal:
Exemplo 1:
C – ERRADO. DEVIA SER EU ME CORTEI COM A FACA E SAIU MUITO SANGUE.
P – DÁ PRA TER OUTRO JEITO DELA FICAR CERTA?
C – EU ME CORTEI COM A FACA, MAS SAIU MUITO SANGUE.
Exemplo 2:
C – NÃO. TEM QUE TIRAR “MUITO SANGUE”. TEM QUE FICAR: “EU CORTEI A FACA E SAIU MUITO SANGUE”.
P – MAS AQUI ESTÁ ESCRITO PORQUE (RELEIO).
C – TEM QUE TIRAR O “PORQUE”.
P – E FICA COMO?
C – EU ME CORTEI COM A FACA E SAIU MUITO SANGUE.
P – E SEM COLOCAR O “E”, SERÁ QUE A GENTE CONSEGUE ARRUMAR ESSA FRASE?
C – EU CORTEI COM A FACA. SAIU MUITO SANGUE.
Comparando-se os dados da Tabela 13 com os resultados individuais dos
sujeitos pesquisados, expostos na Tabela 12, pode-se verificar que os menores
percentuais de acerto ocorreram entre as crianças classificadas como fracas pela
professora. Ainda assim, somente três alunos obtiveram percentual de acerto acima de
50%. Mesmo os alunos classificados como fortes, obtiveram um baixo número de
acerto em questões dessa natureza.
82
Se compararmos esses resultados com a análise das justificativas, observa-se que
apenas os sujeitos B e H demonstraram reconhecer e justificar coerentemente a inversão
causal apresentada nesse grupo de problema. Neste sentido, as questões que abordam
violação lógica do tipo IC parecem não estar adequadas ao repertório de crianças do
nível de escolaridade contemplado neste estudo. Esse aspecto será retomado na seção de
Discussão deste relatório.
Os problemas de Inversão Temporal, por sua vez, obtiveram o maior número
de acertos. Das 144 respostas, 135 foram corretas. Das 12 questões que abordavam a
inversão temporal, o percentual mínimo de acerto foi de 83%.
Com exceção da criança C, que obteve um percentual de 58% de acertos, o mais
baixo deles, os demais sujeitos pesquisados apresentaram altos índices de acerto.
Esse resultado pode indicar que os problemas dessa natureza integram o
repertório das crianças da faixa etária pesquisada, tendo em vista que as justificativas
apresentadas fundamentaram coerentemente as respostas, no sentido de identificar e
corrigir as inversões temporais presentes nos problemas.
Quanto aos problemas Gerais, o percentual de acertos foi de 78%, ou seja, das
144 respostas, 112 estavam corretas. Embora se observe um resultado inferior aos
problemas de inversão temporal, os dados caminham em direções similares quanto ao
desempenho das crianças consideradas fortes ou fracas pela professora. Novamente,
com exceção da criança C (42% de acertos), todos os demais apresentaram alto índice
de acertos, acima de 67%, embora neste grupo os menores percentuais tenham sido
observados em crianças classificadas como fracas em Matemática.
83
1.4 Comparação entre os resultados dos sujeitos por tipo de problemas
(Matemáticos x Lógicos)
A fim de possibilitar a comparação dos resultados dos problemas matemáticos,
descritos nos itens 1.1 e 1.2 com os problemas de raciocínio lógico, descritos no item
1.3, apresenta-se a Tabela 14, com os resultados dos sujeitos nos três grupos de
questões, na ordem que foram apresentados no instrumento: problemas com e sem
solução possível, problemas mistos (violação lógica) e problemas sem número.
Tabela 14. Desempenho dos sujeitos por tipo de problema
PROBLEMAS
Sujeito Class. Com e
sem sol. Gerais IC IT Sem núm. Total
H F 83% 92% 92% 100% 92% 92% B F 100% 75% 92% 92% 92% 90% G F 92% 92% 58% 100% 92% 78% A F 83% 92% 42% 100% 67% 77% J f 58% 92% 33% 100% 67% 75% F F 50% 75% 42% 100% 67% 68% D F 58% 83% 42% 92% 58% 67% I f 42% 75% 33% 100% 50% 62% K f 42% 67% 42% 100% 42% 58% E f 8% 75% 33% 92% 42% 50% L f 25% 67% 33% 83% 42% 50% C f 17% 42% 17% 58% 25% 32%
Os resultados apresentados na Tabela 14 sugerem ser possível considerar que
existe relação entre os desempenhos nos problemas matemáticos com os problemas que
envolvem raciocínio lógico, já que, com exceção do sujeito J, classificado como fraco
pela professora e que obteve resultados superiores a dois sujeitos classificados como
fortes (F e D), os demais alunos classificados pela professora como fortes em
matemática apresentaram os melhores resultados nos três grupos de problemas.
84
Comparando-se os resultados com a pesquisa anterior, observam-se algumas
diferenças com relação aos percentuais de acerto por grupo de questões. Na pesquisa de
Luna e Marinotti (2011), os Problemas sem número foram os que geraram o menor
número de acertos (percentual máximo de 50%), enquanto que, na atual, esse índice foi
equivalente somente ao das crianças classificadas como fracas.
Outra diferença marcante foi constatada com as questões Mistas. Na pesquisa
anterior, o grupo de problemas gerais foi o que obteve menor percentual de acerto, fato
este não observado na pesquisa atual, em que o menor índice de acerto ocorreu com os
problemas de inversão causal.
Esses resultados serão retomados adiante, ao se apresentarem os estudos
estatísticos realizados para melhor compreender os desempenhos gerais dos sujeitos por
classificação (fortes e fracos).
2. Análise das questões
Nesta seção, serão analisados todos os problemas individualmente, separados
por tipo. Esta análise envolve, além do critério acerto/erro, a justificativa apresentada
por cada sujeito para formular sua resposta.
A análise detalhada de cada tipo de questão é de particular interesse para a
continuidade da pesquisa. No entanto, para o presente propósito, a tabulação dos acertos
tem como função primordial analisar o grau de dificuldade de cada problema proposto,
o que pode fornecer pistas importantes acerca do instrumento em si, bem como da
formulação das questões em particular.
Assim, uma questão que apresentou muitos erros pode indicar:
85
1. que o raciocínio exigido está além daquele que os sujeitos podem
desenvolver, ou;
2. que a formulação do problema é ambígua/inadequada/imprópria.
Essa identificação foi realizada a partir do exame das respostas e justificativas
apresentadas pelos sujeitos.
Serão apresentados a seguir, os resultados por questão e por tipo, seguindo a
ordem crescente, segundo o percentual de acertos. A tabela 15 mostra o percentual de
acertos em cada questão, nos problemas de Inversão Causal.
Tabela 15 – Distribuição do percentual do número de acertos por questão – Problemas de Inversão Causal
De acordo com os resultados apresentados na tabela acima, pode-se identificar
que os problemas de inversão causal impossíveis (ou seja, que apresentavam violações
lógicas causais) foram produtores da maior parte de erros por parte dos participantes,
resultando em percentual máximo de 33% de acertos.
PROBLEMA DE INVERSÃO CAUSAL TIPO N
ACERTOS % ACERTOS
Tirei a blusa porque fiquei com frio. IC-I 0 0% Eu caí porque machuquei a testa IC-I 2 17% Francisco não conseguiu terminar a prova porque tirou nota baixa. IC-I 4 33% Eu me cortei com a faca porque saiu muito sangue. IC-I 3 25% A escada tinha muitos degraus para subir, porque eu fiquei muito cansado. IC-I 3 25% A pedra era muito pesada, porque eu achei difícil empurrá-la. IC-I 4 33% A história que eu ouvi era muito triste porque eu chorei. IC-I 2 17% O time de João fez mais cestas na partida porque ganhou o jogo. IC-I 3 25% Meu pai mandou acender as luzes porque estava muito escuro. IC-P 12 100% O time de basquete da minha escola ganhou a partida porque fez mais cestas que o outro time. IC-P 11 92% O passarinho conseguiu fugir porque esqueceram aberta a porta da gaiola. IC-P 12 100% O sorvete derreteu porque ficou muito tempo fora da geladeira IC-P 11 92%
86
Cabe destaque à questão 1 (Tirei a blusa porque fiquei com frio), que não foi
acertada por nenhum dos sujeitos, inclusive pelas duas crianças que conseguiram
identificar e justificar a inversão nas demais questões.
Analisando-se as justificativas, sugere-se que este tipo de problema não deve ser
levado em consideração nesta análise, tendo em vista que todos os sujeitos
transformaram a frase em “tirei a blusa porque fiquei com calor” ou “coloquei a blusa
porque estava com frio”, não assimilando a inversão causal correta: “fiquei com frio
porque tirei a blusa”. Essa análise possibilita inferir que a questão apresenta erro na sua
formulação, pela possibilidade ambígua de resposta correta.
Seguem alguns exemplos de respostas utilizadas pelas crianças, a fim de ilustrar
o exposto acima:
(Problema): Tirei a blusa porque fiquei com frio (Resposta esperada:
“Fiquei com frio porque tirei a blusa”)
Exemplo 1:
C – TÁ CERTO.
P – TÁ CERTO?
C – PORQUE ELA TROCOU A BLUSA, AÍ TAVA MUITO QUENTE, EU POSSO TIRAR.
P – MAS OLHA COMO TÁ ESCRITO: (RELEIO).
C – AH! TÁ ERRADO.
P – E COMO QUE SERIA O CERTO?
C – TIREI A BLUSA PORQUE FIQUEI COM CALOR.
P – TEM ALGUM OUTRO JEITO DELA FICAR CERTA?
C – ESTAVA MUITO CALOR E EU TIREI A BLUSA.
87
Exemplo 2:
C – NÃO. ENTÃO ELE TIROU A BLUSA PORQUE FICOU COM FRIO? AÍ ELE IA FICAR COM MAIS FRIO AINDA. ELE TINHA QUE FALAR: COLOQUEI A BLUSA PORQUE ESTAVA MUITO FRIO, AÍ “TARIA” CERTO.
Exemplo 3:
C – NÃO. PORQUE SE ELA TÁ COM FRIO, PORQUE ELA VAI TIRAR A BLUSA?
P – E O QUE ACONTECEU COM ESSA FRASE?
C – AO INVEZ DE COLOCAR: EU COLOQUEI A BLUSA PORQUE FIQUEI COM FRIO, ELA COLOCOU: TIREI A BLUSA PORQUE FIQUEI COM FRIO.
P – TEM OUTRO JEITO DE DEIXAR ELA CERTA?
C – NÃO.
P – ENTÃO DESSE JEITO ELA NÃO PODE FICAR NO LIVRO?
C – NÃO.
No que diz respeito às demais questões, e ao baixo percentual de acerto nos
problemas que apresentavam violações lógicas (impossíveis), cabe destacar que, embora
os sujeitos tenham identificado que a sentença estava incorreta, mesmo as crianças
classificadas como fortes pela professora, não conseguiram, em sua maioria, apresentar
a justificativa esperada para essas questões.
Por exemplo:
(Problema) A escada tinha muitos degraus para subir, porque eu fiquei
muito cansado. (Justificativa esperada: “Eu fiquei muito cansado, porque a escada
tinha muitos degraus para subir”).
Exemplo 1:
C – EU ACHO QUE ESTÁ ERRADO.
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P – POR QUÊ?
C – ELE TINHA QUE FALAR: EU SUBI AS ESCADAS E FIQUEI MUITO CANSADO.
P – VAMOS TENTAR MEXER SÓ COM AS PALAVRINHAS QUE ESTÃO AQUI? COMO A GENTE DEIXA ELA CERTA?
C – HUM... QUANDO EU SUBI A ESCADA TINHA MUITOS “DEGRAIS” E QUANDO CHEGUEI NO TOPO FIQUEI CANSADO.
P – MAS AÍ VOCÊ COLOCOU UM MONTE DE PALAVRAS! E SE A GENTE USAR SÓ AS QUE ESTÃO AQUI?
C – A ESCADA É MUITO... PERA AÍ. A ESCADA TINHA MUITOS DEGRAIS. EU FIQUEI CANSADO.
Exemplo 2:
C – TÁ ERRADA.
P – POR QUÊ?
C – PORQUE EU FIQUEI CANSADO NÃO, NÃO PODE.
P – COMO FICARIA CERTO?
C-‐ A ESCADA TINHA MUITOS DEGRAUS, E EU FIQUEI MUITO CANSADO.
P – MAS E SEM COLOCAR O “E”, COMO VOCÊ ACHA QUE PODERIA SER?
C – NÃO SEI.
P – TENTA.
C-‐ A ESCADA TINHA MUITOS DEGRAUS PRA SUBIR. EU FIQUEI MUITO CANSADO.
Identifica-se que, em geral, as crianças utilizaram como estratégia a alteração da
frase, substituindo o “porque” por “e”, ou separando a frase em duas partes, para que
então fizesse sentido. São apresentados, abaixo, exemplos destes tipos de substituições
realizadas pelos sujeitos.
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1.1. Exemplos de substituições do “porque” por “e” nos problemas de inversão causal:
Problema Justificativa esperada Exemplos de justificativas dadas pelas crianças
Eu me cortei com a faca porque saiu muito sangue
Saiu muito sangue porque eu me cortei com a faca
Eu me cortei com a faca E saiu muito sangue
A escada tinha muitos degraus para subir, porque eu fiquei muito cansado.
Eu fiquei muito cansado porque a escada tinha muitos degraus para subir
A escada tinha muitos degraus E eu fiquei muito cansado
A história que eu ouvi era muito triste porque eu chorei
Eu chorei porque a história que eu ouvi era muito triste
A história é triste E ele chorou
1.2. Exemplos de separação da frase em duas partes, nos problemas de inversão causal:
Problema Justificativa esperada Exemplos de justificativas dadas pelas crianças
Eu me cortei com a faca porque saiu muito sangue
Saiu muito sangue porque eu me cortei com a faca
Eu me cortei com a faca. Saiu muito sangue
A escada tinha muitos degraus para subir, porque eu fiquei muito cansado
Eu fiquei muito cansado porque a escada tinha muitos degraus para subir
A escada tinha muitos degraus para subir. Eu fiquei muito cansado
A pedra era muito pesada porque eu achei difícil empurrá-‐la
Eu achei difícil empurrá-‐la, porque a pedra era muito pesada
A pedra era pesada. Eu achei difícil empurrá-‐la
Cabe destacar que o “erro” apresentado pelos sujeitos implica que eles discriminaram
que a afirmação estava incorreta, tanto assim que consideraram necessário alterá-la (poderiam
simplesmente ter dito que ela estava certa). Entretanto, o que as controlou não foi a inversão
causal.
Os resultados obtidos com as questões do tipo “inversão causal - impossível” são
similares ao constatado na pesquisa anterior, em que esses problemas também obtiveram baixo
percentual de acertos (48,86% naquela ocasião). No relatório da pesquisa de Luna e Marinotti já
havia sido destacado que: “No caso específico das questões ICI a porcentagem indica que o
número total de erros foi maior que o de acertos, indicando grande dificuldade dos sujeitos com
aquelas questões” (Luna e Marinotti, 2011, p.22).
A Tabela 16 lista o número de acertos por questão, dentre os 12 problemas com
e sem solução.
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Tabela 16. Distribuição percentual do número de acertos por questão –
problemas com e sem solução
N PROBLEMA Natureza N acertos
%
1 O pai de João foi à farmácia com 15 reais para comprar um remédio. Mas, o dinheiro não deu e ele teve de pegar mais 4 reais. Quanto custava o remédio? C/S 11 92%
2 Minha professora disse que meu peso é 15 quilos e a do meu irmão é 17 quilos. Qual é o peso da minha irmã? S/S 4 33%
3 Minha avó deu 7 bolinhos para mim, 7 para a minha irmã e 10 para a minha tia. Quantos bolinhos sobraram? S/S 5 42%
4 No segundo tempo do jogo de basquete, Maria fez 13 pontos. Terminou o jogo com 22. Quantas faltas ela cometeu? S/S 5 42%
5 O pai de Júlia tinha 27 galinhas na sua chácara. Uma doença matou 27 delas. Com quantas galinhas ficou o pai de Júlia? C/S 8 67%
6 Meu primo foi ao mercado. A dúzia de bananas custava 2 reais e ele comprou 2 dúzias. Com quanto dinheiro eu fiquei? S/S 4 33%
7 Paulinho tem 3 carrinhos e 4 aviões. Quantos soldadinhos ele tem? S/S 7 58%
8 Meu pai usou 4 parafusos para pregar uma prateleira e 12 para consertar o armário. Quantos parafusos ainda sobraram na caixa? S/S 6 50%
9 Antônio leu 19 páginas de um livro. Se ler mais 28, acabará de ler o livro. Quantas páginas tem o livro? C/S 7 58%
10 Um navio está levando 26 cabras e 13 bodes. Qual é a idade do capitão do navio? S/S 7 58%
11 A mãe de Paulo faz salgadinhos para vender. Fez 12, na semana passada. A irmã de Paulo ajudou-a e fez mais 7. Quantos salgadinhos elas tinham para vender? C/S 10 83%
12 Numa corrida, começaram correndo 31 crianças. Terminaram a corrida 17. Quantas crianças assistiram a corrida? S/S 5 42%
Legenda:
C/S = com solução
S/S = sem solução
Os resultados apresentados nos problemas com e sem solução indicam que as
questões de número 2, 3, 4, 6, 8 e 12 obtiveram percentual de acerto igual ou abaixo de
50%. Esses dados podem apontar para a necessidade de revisão destes problemas.
Destaca-se que todos eram sem solução possível, o que pode sugerir que as crianças não
estão acostumadas a considerar problemas que não possuem solução aparente.
As justificativas dadas pelos sujeitos estudados indicam que, além da dificuldade
para considerar que um problema pode não apresentar solução, tendem a realizar algum
tipo de operação numérica para solucioná-los. Neste sentido, o raciocínio numérico
91
parece se sobrepor à análise da possibilidade ou não de solucionar um problema
matemático.
Na questão 2, por exemplo, a maioria das justificativas apresentadas foi
decorrente da soma dos quilos. A mesma estratégia foi utilizada para responder às
questões 3, 4, 6, 8 e 12.
Com o intuito de ilustrar essa afirmação, seguem alguns exemplos de cálculos
numéricos realizados pelos sujeitos como estratégia para solucionar os problemas sem
solução:
1. Exemplos de operações numéricas realizadas para solucionar problemas
sem solução:
a. Justificativa da criança C para responder o problema 2
(Leitura do Problema) Minha professora disse que meu peso é 15 quilos e a do meu irmão é 17 quilos. Qual é o peso da minha irmã?
Figura 1. Cálculo numérico realizado pela criança C para responder ao problema 2.
b. Justificativa da criança D para responder o problema 2:
C – OI?
P – DÁ PRA RESOLVER ESSE?
C – 32.
P – POR QUÊ?
92
C – PORQUE SE JUNTAR OS 2 DÁ 32.
P – MAS PARA VOCÊ SABER O PESO DA IRMÃ VAI JUNTAR OS DOIS?
C – É.
P – VAI FAZER UMA SOMA?
C – É.
c. Justificativa da criança D para responder o problema 3:
(Leitura do Problema) Minha avó deu 7 bolinhos para mim, 7 para a minha irmã e 10 para a minha tia. Quantos bolinhos sobraram?
C – É DE MENOS.
P – COMO QUE ELE VAI FAZER ESSA CONTA DE MENOS? COMO A GENTE SABE QUANTOS BOLINHOS FICARAM NA CAIXA? SERÁ QUE DÁ PRA FAZER ESSE PROBLEMA?
C – 7 MAIS 7 É 14, NÉ? ACHO QUE COM MAIS 10... (PAUSA). DEU 24.
P – SOBRARAM 24 BOLINHOS NA CAIXA?
C – É.
d. Justificativa da criança A para responder o problema 4:
(Leitura do problema) No segundo tempo do jogo de basquete, Maria fez 13 pontos. Terminou o jogo com 22 pontos. Quantas faltas ela cometeu?
C – AÍ DÁ PRA FAZER. A GENTE FAZ UMA CONTA DE MENOS, PRA GENTE DESCOBRIR O RESULTADO. DARIA 22 MENOS 13, E O RESULTADO QUE DESSE AÍ, SERIA QUANTAS FALTAS ELA COMETEU. AÍ DÁ PRA RESOLVER.
P – COMO A GENTE FARIA? A GENTE IA FAZER UMA CONTA COM QUAIS NÚMEROS?
C – 22 MENOS 13.
P – COMO QUE FICARIA O RESULTADO?
C – (FAZ A CONTA NO PAPEL). FICARIA 11.
P – COMO VOCÊ FEZ A CONTINHA?
C – 2 MENOS 3 DÁ 1, E 2 MENOS 1 DÁ 1. PERA AÍ. (REFAZ A CONTA NO PAPEL). ENTÃO ELA FEZ 9 PONTOS. ELA COMETEU 9 FALTAS.
P – ELA COMETEU 9 FALTAS OU 9 PONTOS?
93
C – 9 PONTOS, É. 9 PONTOS
P – E QUANTAS FALTAS ELA COMETEU?
C – 22 NO TOTAL.
P – 22 FALTAS?
C – NÃO. 22. PRA ELA CHEGAR NAQUELE RESULTADO ELA FEZ 9, E ELA TERMINOU COM 22. ELA TÁ COM 13 E ELA FEZ 9. TERMINOU COM 22.
P – ENTÃO ELA TERMINOU O JOGO COMO?
C – NO MEIO DO JOGO ELA FEZ 9 PONTOS.
P – 9 PONTOS? E QUANTAS FALTAS ELA COMETEU?
C – NO TOTAL É... 22.
e. Justificativa da criança F para responder o problema 6:
(Leitura do Problema) Meu primo foi ao mercado. A dúzia de bananas custava 2 reais e ele comprou 2 dúzias. Com quanto dinheiro eu fiquei?
C – (PAUSA). EU ACHO QUE ELE FICOU COM NENHUM.
P – POR QUÊ?
C – EU ACHO QUE A BANANA CUSTAVA 2 REAIS.
P – A DÚZIA DE BANANAS CUSTAVA 2 REAIS, E ELE COMPROU 2 DÚZIAS. COM QUANTO DINHEIRO EU FIQUEI?
C – NADA.
P – COMO QUE É A CONTA QUE VOCÊ FEZ?
C – EU ACHO QUE EU FIZ 2 MENOS 2.
P – E COM ESSA CONTINHA DE SUBTRAÇÃO, O RESULTADO DIZ QUE EU FIQUEI COM NENHUM DINHEIRO?
C – É.
f. Justificativa da criança I para responder o problema 8:
(Problema) Meu pai usou 4 parafusos para pregar uma prateleira e 12 para consertar o armário. Quantos parafusos ainda sobraram na caixa?
94
C – DÁ.
P – COMO?
C – EU FAÇO ASSIM, COLOCO 12 MENOS 4, AÍ VAI DAR O RESULTADO.
P – VAI DAR QUANTOS SOBRARAM?
C – ACHO QUE DÁ. (FAZ A CONTA NO PAPEL):
Figura 2. Cálculo numérico realizado pela criança I para resolver o problema 8
C – FICOU 10.
P – 10? ENTÃO, SE ELE USOU 4 PARAFUSOS PARA PREGAR A PRATELEIRA E 12 PRA CONSERTAR O ARMÁRIO, SOBRARAM 10 NA CAIXA?
C – É.
P – VOCÊ ACHA QUE ESSE PROBLEMA DÁ PRA RESOLVER?
C – ACHO.
g. Justificativa da criança I para resolver o problema 12:
(Problema): Numa corrida, começaram correndo 31 crianças. Terminaram a corrida 17. Quantas pessoas assistiram a corrida?
Figura 3. Cálculo numérico realizado pela criança I para solucionar o problema 12.
A Tabela 17 apresenta o percentual de acerto nas questões dos Problemas sem número.
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Tabela 17. Distribuição percentual do número de acertos por questão
Problemas sem número
PROBLEMA
N ACERTOS
% ACERTO
1
Minha tia foi ao mercado comprar ovos para fazer um bolo. Ela não se lembrava de quantos ainda tinha na geladeira, mas sabia quantos ela havia comprado antes e quantos usou. O que ela deve fazer para descobrir quantos ovos restam na geladeira?
5 42%
2
Hoje eu quero fazer brigadeiro. Como é que eu posso saber quanto vai custar a receita se eu já sei: quanto custa o chocolate, quanto custa o leite condensado e quanto custa a manteiga?
10 83%
3 Pedro vai viajar com os amigos e já sabe o preço de uma passagem. Como ele deverá fazer para saber quanto custarão todas as passagens? 10 83%
4 O dono de uma loja comprou vestidos para vender. Se ele quiser ganhar algum dinheiro nessa venda, o que deve fazer? 2 17%
5 Mamãe foi ao supermercado. Ela sabe quanto deu para a moça do caixa e sabe o valor da conta. Como é que ela vai fazer para saber se o troco que recebeu está certo? 6 50%
6 Emprestei algumas revistas para o meu primo. Quando ele me devolver, como posso fazer para saber se o número de revistas é o mesmo que eu emprestei para ele? 11 92%
7
Joana ganhou uma caixa de doces. Ela decidiu comer o mesmo número de doces todos os dias, mas quer saber quanto vai durar a caixa agindo dessa maneira. O que fazer? O que ela deve fazer?
8 67%
8
O tio Luiz volta contente de viagem. Conta a todo mundo por quanto vai vender o terreno e quanto vai receber a mais do que comprou nessa venda. O que devo fazer para descobrir quanto ele pagou pelo terreno?
2 17%
9 Você acaba de ler um livro de História, outro de Geografia e outro de Ciências. Se sua mãe perguntar quantas páginas já leu, o que precisa fazer para responder? 9 75%
10
Num desfile militar, os soldados estão arrumados em fileiras com o mesmo número de soldados. Se eu souber quantos soldados tem em cada fileira o que devo fazer para saber quanto soldados estão marchando?
7 58%
11
Paulo comprou refrigerantes para sua festa de aniversário. No dia seguinte, ele viu que sobraram garrafas cheias e queria saber quantos refrigerantes as crianças haviam tomado. Como foi que ele fez para descobrir?
8 67%
12
Marina quer embrulhar as lembranças de Natal, usando uma folha para cada presente. Ela tem em casa algumas folhas e sabe o número de presentes que deve embrulhar. Como ela pode fazer para descobrir quantas folhas deve comprar para embrulhar todos os presentes?
10 83%
Os resultados apresentados nos problemas sem número indicam que as questões
de número 1, 4, 5 e 8 obtiveram percentual de acerto igual ou abaixo de 50%. Esses
dados apontam para a necessidade de revisão destes problemas.
Apenas duas crianças acertaram os problemas 4 e 8 (17%), cinco acertaram a
questão 1 (42%) e seis acertaram a 5 (50%).
96
Realizando a análise das justificativas que acompanharam as respostas dos
sujeitos, é possível identificar similaridade nas respostas das questões 4 e 8, que, por sua
vez, também apresentam formulações parecidas, envolvendo o conceito de “venda”.
Cabe destacar que, na pesquisa anterior, essas questões foram apresentadas com a
palavra “lucro” na sua formulação. Diante dos resultados apresentados no relatório de
pesquisa, sugeriu-se alteração nessas questões, acreditando que este conceito ainda não
havia sido assimilado pelas crianças da faixa etária de 7-8 anos.
As questões foram adaptadas, suprimindo-se a palavra “lucro”. Ainda assim,
esses problemas parecem não estar apropriados para a faixa etária atual (8-9 anos).
Na maioria das justificativas, observa-se que o conceito de “venda” parece estar
associado ao conceito de “ganhar dinheiro”, ou seja: o próprio ato de vender algo, no
entendimento da maioria das crianças aqui avaliadas, já pressupõe “ganhar dinheiro”.
No intuito de averiguar essa percepção inicial, a pesquisadora explorou e pôde
constatar, através do inquérito, esse entendimento por parte das crianças, como pode ser
observado nos exemplos abaixo:
a. Justificativa da criança B para solucionar o problema 4:
(Leitura do Problema) O dono de uma loja comprou vestidos para vender. Se ele quiser ganhar algum dinheiro nessa venda, o que deve fazer?
(...) C – VENDER PELO MESMO PREÇO QUE ELE COMPROU.
P – AÍ ELE GANHA ALGUM DINHEIRO?
C – AGORA QUE EU PERCEBI QUE SE ELE AUMENTASSE, ELE IA TER QUE DEIXAR O VESTIDO MELHOR. COLOCAR ENFEITES NO VESTIDO, COISA ASSIM.
P – ENTENDI. AÍ SE ELE VENDER PELO MESMO PREÇO ELE CONSEGUE GANHAR DINHEIRO?
C – CONSEGUE.
97
b. Justificativa da criança J para solucionar o problema 4:
(Leitura do Problema) O dono de uma loja comprou vestidos para vender. Se ele quiser ganhar algum dinheiro nessa venda, o que deve fazer?
C – VENDER OS VESTIDOS.
P – ELE TEM QUE VENDER POR QUANTO? PELO MESMO PREÇO, POR MAIS, POR MENOS?
C – PELO MESMO VALOR QUE ELE COMPROU.
P – E SE ELE VENDER PELO MESMO VALOR ELE GANHA ALGUM DINHEIRO?
C – GANHA.
P – POR QUÊ?
C – PORQUE SE A PESSOA VAI COMPRAR ALGUM VESTIDO, ELA VAI TER QUE PAGAR O VESTIDO, NÃO VAI? ENTÃO ELE VAI GANHAR DINHEIRO. A PESSOA VAI DAR O DINHEIRO PRA ELE.
c. Justificativa da criança L para solucionar o problema 8:
(Leitura do problema) O tio Luiz volta contente de viagem. Conta a todo mundo por quanto vai vender o terreno e quanto vai receber a mais do que comprou nessa venda. O que devo fazer para descobrir quanto ele pagou pelo terreno?
(...)
C – 200, PORQUE TERRENO TEM QUE SER OU 200 OU 100. PORQUE 1 REAL NÃO VAI DAR! PODE SER 50... AÍ ELE VAI DAR E O MESMO QUE O HOMEM VAI DAR PRA COMPRAR A CASA DELE, VAI DAR O MESMO PREÇO QUE ELE TEM.
P – AÍ ELE NÃO VAI BOTAR NADA A MAIS, VAI VENDER PELO MESMO PREÇO?
C – ISSO.
P – E ELE VAI GANHAR DINHEIRO?
C – VAI.
A seguir, a tabela 18 apresenta o percentual de acertos por questão, nos problemas de violação lógica – Gerais.
98
Tabela 18. Distribuição percentual dos acertos por questão – Problemas Gerais
PROBLEMAS GERAIS TIPO N
ACERTO %
ACERTO 1. A chuva que entrou pela janela do meu quarto secou toda a minha cama. G-I 12 100% 2. O pai de Alfredo abriu o guarda-chuva porque não estava mais chovendo. G-I 11 92% 3. Tomei toda a salada com colher. G-I 9 75% 4. O patrão disse para Mauro que ia lhe dar um aumento porque ele estava
trabalhando muito mal. G-I 11 92% 5. Lúcia foi descendo da árvore até chegar no alto dela. G-I 11 92% 6. Faltou luz na casa de Antônio durante seis dias, mas, mesmo assim, o gelo que
estava no congelador não se derreteu. G-I 7 58% 7. Às vezes, eu quero brincar com minha boneca, mas ela diz que não quer e daí eu
não posso brincar. G-I 11 92% 8. Meu irmão é filho único do meu pai. G-I 5 42% 9. João comeu toda a comida que estava no seu prato, mas continuou com fome. G-P 12 100% 10. O cachorro de Marcelo é muito bravo, mas nunca mordeu ninguém. G-P 9 75% 11. Flávia é mais nova do que sua irmã Carla, mas é mais alta do que Carla. G-P 5 42% 12. A mãe de Joana comprou tomates, mas eles não eram vermelhos. G-P 9 75%
Os resultados apresentados nos problemas gerais indicam que as questões de
número 8 e 11 obtiveram percentual de acertos abaixo de 50% (ambas 42%). Das 12
crianças pesquisadas, cinco acertaram essas questões.
Constata-se que a maioria das crianças não identificou a incoerência presente no
problema 8 (meu irmão é filho único do meu pai), considerando a frase correta. Quanto
à questão 11 (Flávia é mais nova que sua irmã Clara, mas é mais alta do que ela), a
maioria das crianças não compreendeu essa possibilidade. Esses dados podem apontam
a necessidade de revisão destes problemas, não sendo possível considerá-los para a
análise geral dos resultados esperados para este estudo.
A tabela 19 mostra o percentual de acertos nas questões de violação lógica do
tipo Inversão Temporal.
99
Tabela 19. Distribuição do percentual do número de acertos por questão – Problemas de Inversão Temporal
PROBLEMAS DE INVERSÃO TEMPORAL Natureza N
ACERTOS % ACERTOS
1. Vou convidar meus amigos para virem na minha festa de aniversário, na semana passada. IT-I 11 92%
2. O homem que construiu minha casa fez primeiro o telhado, e, depois, levantou as paredes. IT-I 12 100%
3. Marcelo está na pré-escola. Ele adora olhar as fotos da viagem que fez quando era adolescente. IT-I 12 100%
4. Quando chegar o Natal, eu ganhei muitos presentes. IT-I 10 83% 5. Quando minha mãe era criança, eu brincava muito com ela. IT-I 12 100% 6. Tirei nota B na prova da semana que vem. IT-I 12 100% 7. Meu time fez dois gols no primeiro tempo, mas acabou perdendo de 1a 0. IT-I 10 83% 8. Antes de meu pai colocar água na piscina, eu nadei bastante nela. IT-I 11 92% 9. Minha irmã tem 8 anos. Ela vai fazer 9 anos no ano que vem. IT-P 12 100% 10. No domingo eu fui para a cama às 7 horas da noite porque tinha de levantar
cedo na segunda-feira. IT-P 11 92% 11. Hoje acordei descansado porque ontem fui deitar cedo e dormi bem IT-P 10 83% 12. No mês que vem, Júlia vai visitar sua avó IT-P 12 100%
Os problemas de Inversão Temporal apresentaram altos índices de acerto, todos
acima de 83%. Esse resultado indica que questões desta natureza estão apropriadas para
as crianças da faixa etária pesquisada, e que as mesmas apresentam facilidade para
identificar inversões lógicas desta natureza.
As crianças em geral expuseram justificativas coerentes para suas respostas,
conseguindo com facilidade transformá-las em sentenças corretas.
Ressalta-se que a questão 3 (Marcelo está na pré-escola. Ele adora olhar as fotos
da viagem que fez quando era adolescente), necessita de um pequeno ajuste, tendo em
vista que algumas crianças demonstraram desconhecer o significado da palavra “pré-
escola”. O mesmo ocorreu com a questão 11 (hoje acordei descansado porque ontem
fui deitar cedo e dormi bem), quanto à palavra “descansado”. Ao observar este fato, a
pesquisadora procurou, após a leitura destes problemas, certificar-se do entendimento da
criança, esclarecendo-a quando necessário.
100
3. Classificação das justificativas
Conforme descrito anteriormente, as aplicações foram transcritas na íntegra pela
pesquisadora, com o intuito de buscar regularidades nas justificativas apresentadas pelas
crianças.
No estudo anterior, realizado por Luna e Marinotti (2011), essa parte da análise
privilegiou os problemas de violação lógica, que exigiam particularmente justificativas
específicas. Naquela ocasião, a leitura das justificativas expostas pelas crianças mostrou
que elas podiam ser agrupadas segundo suas similaridades. Foram criadas, a partir de
então, categorias que possibilitaram a análise das justificativas dos problemas Gerais, de
Inversão Causal e de Inversão Temporal.
Para o atual estudo, após a avaliação das justificativas apresentadas pelos
sujeitos, foi possível identificar similaridades nas respostas, possibilitando o uso das
mesmas categorias para esses problemas, com exceção de duas delas, que não
apareceram nas respostas atuais (“justificativa incompreensível” e “apontar solução”).
As justificativas dos problemas com e sem solução e dos problemas sem número
não foram contempladas na pesquisa anterior, tendo em vista a particularidade das
respostas apresentadas naquela ocasião. Para este estudo, considerou-se válido realizar
também a análise das justificativas apresentadas para estes grupos de problemas.
Entretanto, as categorias utilizadas para analisar os problemas Mistos não se
aplicavam às justificativas dadas para as demais questões, evidenciando a necessidade
de novos agrupamentos para essas respostas. Em decorrência disso, foram utilizados
dois grupos de categorias para a análise das justificativas: um grupo para os problemas
101
de violação lógica (Mistos), e outro grupo para os problemas com e sem solução e
problemas sem número.
As 11 categorias que foram utilizadas para analisar as justificativas dos
problemas Mistos estão descritas a seguir:
AF - Alterar formulação. Ao invés de justificar a inadequação da frase proposta, a criança apresenta a formulação correta.
Ex.: Francisco não conseguiu terminar a prova PORQUE tirou nota baixa. Resposta: Francisco não conseguiu terminar a prova E tirou nota baixa.
CP - Conhecimento prévio. Justificativa se baseia em fatos anteriormente conhecidos e/ou vividos pela criança, ou seja, em situações particulares e não na possibilidade/impossibilidade lógica do que é afirmado.
Ex.: Porque já aconteceu comigo ou Porque eu tinha um passarinho e quando abri o portão... ele fugiu.
CRI - Controle por regra inadequada. Justificativa envolve a afirmação de relações incorretas ou circunstanciais.
Ex.: Me cortei com a faca porque saiu muito sangue... Resposta: Não pode, porque se cortar morre.
CV - Controle verbal. Justificativas que evidenciam forte controle verbal da resposta, pelo fato de a criança não compreender algum termo ou expressão do enunciado; ou por interpretar de forma distinta algum termo ou expressão; seja, ainda, por evidenciar controle por cadeias intraverbais.
Ex. Depois que as roupas secarem mais rapidamente, o sol vai sair. Resposta: O sol não pode sair.
Imp - Imprecisão. A justificativa sugere que a criança identificou corretamente o erro, porém a formulação verbal de sua resposta foi incompleta ou imprecisa.
Ex.: Vou convidar meus amigos para virem na minha festa de aniversário, na semana passada. Resposta: Não pode porque a semana passada já teve passado!
Inc - Incoerência. A justificativa é contraditória em relação à resposta (pode / não pode), isto é, a criança afirma que a frase representa um fato que PODE ocorrer, porém a justificativa remete a razões pelas quais o fato NÃO PODERIA ocorrer, e vice-versa.
Inq - Inquérito. Justificativas que parecem ter sido emitidas basicamente em função de um inquérito inadequado (por exemplo, induzindo a resposta da criança) ou da
102
inexistência do mesmo. Ou seja, nesta categoria estão aquelas justificativas que parecem ter sido produzidas, prioritariamente, por deficiências na aplicação do procedimento.
Ex - O sorvete derreteu porque ficou fora da geladeira.
Resposta: é só por o sorvete dentro da geladeira que ele congela pra gente comer
Inquérito - Então pode por no livro?
Resposta – Pode.
IC - Inserir condições que tornariam a frase possível ou comentários a partir dela.
Ex - O sorvete derreteu porque ficou fora da geladeira.
Resposta: Derrete por causa do sol.
JM-C - Julgamento moral ou convencional. A justificativa dada pela criança enfoca a adequação moral e/ou convencional do fato descrito na questão e não sua possibilidade / impossibilidade lógica.
Ex.: Meu time fez dois gols no primeiro tempo, mas acabou perdendo de 1a 0.
Resposta: Pode, porque o que importa é o jogo, não quem vence, quem não vence.
Pt - Parte. A criança justifica não considerando o enunciado como um todo, mas apenas parte ou elementos o mesmo.
Ex.: Quando chegar o Natal, eu ganhei muitos presentes. Resposta: Pode, porque pode ganhar presentes.
NJ - Não justificar. A criança não apresenta justificativa, seja por omissão, seja explicitando seu desconhecimento: Ah, essa eu não sei.
As categorias que foram utilizadas para avaliar as justificativas dos problemas
com e sem solução e dos problemas sem número seguem abaixo:
NII - Não identificar a impossibilidade. A resposta não evidencia que o problema não
apresenta solução.
NIP – Não identificar a possibilidade. A resposta não vislumbra uma solução possível
para um problema que apresenta solução.
RCN - Realiza cálculo numérico para responder. A criança insere números e utiliza
estratégias de cálculos para responder uma questão.
EC - Errar o cálculo numérico - A criança erra o raciocínio numérico necessário para
solucionar um problema, ou erra a conta propriamente dita.
103
CV - Controle verbal – Justificativas que evidenciam forte controle verbal da resposta,
seja pelo fato de a criança não compreender algum termo ou expressão do
enunciado, seja por interpretar de forma distinta algum termo ou expressão.
NJ - Não justifica ou não responde.
Ressalta-se que a mesma justificativa pôde ser classificada em mais de uma
categoria. Para possibilitar melhor visualização, as análises foram divididas segundo os
grupos de categorias acima.
3.1.Classificação das justificativas dos problemas Mistos
A Tabela 20 apresenta a distribuição das justificativas por questão para os
problemas Mistos.
Tabela 20. Classificação das justificativas por questão – Problemas Mistos
Problemas Mistos
JUSTIFICATIVAS PROBLEMAS GERAIS TIP0 AF CP CRI CV Imp Inc Inq IC JM-C Pt NJ
A chuva que entrou pela janela do meu quarto secou toda a minha cama. G-I O pai de Alfredo abriu o guarda-chuva porque não estava mais chovendo. G-I 1 Tomei toda a salada com colher. G-I 1 1 1 O patrão disse para Mauro que ia lhe dar um aumento porque ele estava trabalhando muito mal. G-I 1 Lúcia foi descendo da árvore até chegar no alto dela. G-I 1 Faltou luz na casa de Antônio durante seis dias, mas, mesmo assim, o gelo que estava no congelador não se derreteu. G-I 4 Às vezes, eu quero brincar com minha boneca, mas ela diz que não quer e daí eu não posso brincar. G-I 1 1 Meu irmão é filho único do meu pai. G-I 1 1 1 2 5 João comeu toda a comida que estava no seu prato, mas continuou com fome. G-P O cachorro de Marcelo é muito bravo, mas nunca mordeu ninguém. G-P 1 3 Flávia é mais nova do que sua irmã Carla, mas é mais alta do que Carla. G-P 5 1 1 A mãe de Joana comprou tomates, mas eles não eram vermelhos. G-P 1 2 1
SUBTOTAL 3 1 14 1 1 2 3 3 2 0 7
104
PROBLEMAS DE INVERSÃO CAUSAL TIPO AF CP CRI CV Imp Inc Inq IC JM-C Pt NJ Tirei a blusa porque fiquei com frio. IC-I Eu caí porque machuquei a testa IC-I 5 1 1 2 Francisco não conseguiu terminar a prova porque tirou nota baixa. IC-I 4 1 1 1 1 1 Eu me cortei com a faca porque saiu muito sangue. IC-I 7 1 1 2 A escada tinha muitos degraus para subir, porque eu fiquei muito cansado. IC-I 8 1 1 A pedra era muito pesada, porque eu achei difícil empurrá-la. IC-I 5 1 1 1 A história que eu ouvi era muito triste porque eu chorei. IC-I 6 1 1 2 O time de João fez mais cestas na partida porque ganhou o jogo. IC-I 4 2 3 Meu pai mandou acender as luzes porque estava muito escuro. IC-P O time de basquete da minha escola ganhou a partida porque fez mais cestas que o outro time. IC-P 1 O passarinho conseguiu fugir porque esqueceram aberta a porta da gaiola. IC-P O sorvete derreteu porque ficou muito tempo fora da geladeira IC-P 2
SUBTOTAL 39 0 1 0 5 0 1 1 3 7 12
PROBLEMAS DE INVERSÃO TEMPORAL TIPO AF CP CRI CV Imp Inc Inq IC JM-C Pt NJ Vou convidar meus amigos para virem na minha festa de aniversário, na semana passada. IT-I 1 O homem que construiu minha casa fez primeiro o telhado, e, depois, levantou as paredes. IT-I Marcelo está na pré-escola. Ele adora olhar as fotos da viagem que fez quando era adolescente. IT-I Quando chegar o Natal, eu ganhei muitos presentes. IT-I 1 2 Quando minha mãe era criança, eu brincava muito com ela. IT-I Tirei nota B na prova da semana que vem. IT-I Meu time fez dois gols no primeiro tempo, mas acabou perdendo de 1a 0. IT-I 1 1 Antes de meu pai colocar água na piscina, eu nadei bastante nela. IT-I 1 Minha irmã tem 8 anos. Ela vai fazer 9 anos no ano que vem. IT-P No domingo eu fui para a cama às 7 horas da noite porque tinha de levantar cedo na segunda-feira. IT-P 1 Hoje acordei descansado porque ontem fui deitar cedo e dormi bem IT-P 1 1 1 No mês que vem, Júlia vai visitar sua avó. IT-P
SUBTOTAL 1 2 0 1 1 1 1 1 1 2 0
TOTAL 43 3 15 2 7 3 5 5 6 9 19
105
Visando a complementar os dados acima, apresenta-se a tabela 21, que mostra a
frequência das categorias das justificativas dadas para os problemas Mistos, na ordem
decrescente.
Tabela 21. Frequência das categorias - problemas mistos
CATEGORIAS N AF Alterar formulação 43 NJ Não justificar 19 CRI Controle por regra inadequada 15 Pt Parte 9 Imp Imprecisão 7 JM-C Julgamento moral ou convencional 6 Inq Inquérito 5
IC Inserir condições que tornariam a frase possível ou comentários a partir dela
5
CP Conhecimento prévio 3 Inc Incoerência 3 CV Controle verbal 2
Na pesquisa realizada anteriormente por Luna e Marinotti (2011), as
justificativas que apareceram com maior frequência foram classificadas como “controle
por regra inadequada”.
No presente estudo, a justificativa que apresentou maior número de incidência
nos problemas mistos foi a de “alterar formulação”, enquanto que “controle por regra
inadequada” apareceu em terceiro lugar. Conforme comentado anteriormente, a maioria
das crianças utilizou como estratégia para os problemas de Inversão Causal a troca da
palavra “porque” por “e”, o que pode ser visualizado numericamente por meio da tabela
acima.
106
A categoria “não justificou” obteve 19 incidências. A partir da análise das
respostas, pode-se constatar que, em algumas ocasiões, as crianças parecem não
justificar sua resposta por esquiva. Utilizam frases como: “está muito difícil essa, vamos
passar para outra”, ou “essa eu não sei responder”. Embora o inquérito tenha sido
realizado nessas situações, as crianças demonstravam certo desconforto quando a
questão estava além da sua compreensão.
No “controle por regra inadequada”, que aparece com o terceiro maior número
de incidência, a criança utiliza relações incorretas ou circunstanciais para compor sua
justificativa.
As questões que apresentaram mais justificativas desse tipo foram: “Flávia é
mais nova do que Carla, mas é mais alta do que ela”, e “Faltou luz na casa de Antônio
durante seis dias, mas, mesmo assim, o gelo que estava no congelador não se derreteu”.
O primeiro problema, discutido anteriormente nos resultados por questão, apresentou
um grande número de erros, o que indica necessidade de reformulação. No segundo
problema, as justificativas apresentadas pelas crianças parecem não identificar a relação
entre o congelador e a energia elétrica, como pode ser observado abaixo:
Resposta da criança C para a questão 10:
C – PODE.
P – POR QUE VOCÊ ACHA QUE PODE?
C – PORQUE NÃO DERRETE NO CONGELADOR, SÓ NA GELADEIRA.
P – MESMO SE FALTAR LUZ POR SEIS DIAS?
C – NÃO, SE TIVER NO CONGELADOR NÃO VAI DERRETER.
Resposta da criança H para a questão 10:
C – (PAUSA). EU ACHO ASSIM, BOM... EU NÃO ENTENDI DIREITO O QUE DISSE ESSA FRASE. (RELÊ).
107
P – VOCÊ ACHA QUE É POSSÍVEL?
C – SIM.
P -‐ PODE SER, MESMO SEM ENERGIA?
C – É QUE A ENERGIA É QUENTE, E O CONGELADOR É GELADO. ENTÃO O GELO QUE FICOU LÁ NÃO DERRETEU.
P – ENTÃO ESSA FRASE A GENTE DEIXA OU TIRA?
C – DEIXA.
3.2. Classificação das justificativas dos problemas com e sem solução e dos
problemas sem número
Inicialmente, serão apresentadas as classificações decorrentes dos problemas
com e sem solução (tabela 22), e, em seguida, os categorias dos problemas sem número
(tabela 23).
108
Tabela 22. Classificação das justificativas por questão – Problemas com e sem solução
109
Tabela 23. Classificação das justificativas por questão – Problemas sem número.
JUSTIFICATIVAS
110
Com o intuito de complementar os dados acima, apresenta-se a tabela 24, que
mostra a frequência das categorias das justificativas dadas para os problemas com e sem
solução e para os problemas sem número.
Tabela 24. Frequência das categorias dos problemas com e sem solução e dos
problemas sem número
JUSTIFICATIVA com e sem sol.
sem num. TOTAL
NII Não identificar a impossibilidade. 49 0 49 NIP Não identificar a possibilidade. 1 14 15
RCN Realizar cálculo numérico para responder. 49
0 49 EC Errar o cálculo numérico. 37 26 63 CV Controle verbal. 3 11 14 NJ Não justifica ou não responde. 8 13 21
Como pode ser observado pelos dados expostos na tabela 24, a justificativa
com maior incidência é a de “Errar o cálculo numérico”. Esse dado corrobora a
tendência comentada anteriormente de os alunos incluírem números e realizarem
cálculos, mesmo para as questões que não necessitam disso (26 erros dessa natureza
ocorreram nas questões sem número).
A partir da reunião realizada com a professora da classe, foi identificado que os
alunos já haviam adquirido na escola os conceitos de multiplicação e divisão. Ainda
assim, a professora sugeriu que as questões priorizassem somas e subtrações, ao
comentar que a multiplicação e a divisão ainda eram foco de muitas dúvidas e erros na
turma em questão.
Desta forma, as questões foram adaptadas, para que pudessem ser resolvidas
por meio das operações de soma e subtração, não sendo necessário realizar cálculos de
multiplicação e divisão para responder os problemas.
111
Ainda assim, observou-se um alto índice de erros nos cálculos numéricos, tanto
na operação em si, como no raciocínio utilizado para realizar a conta. Mesmo em
questões mais simples, como “O pai de Júlia tinha 27 galinhas na sua chácara. Uma
doença matou 27 delas. Com quantas galinhas ficou o pai de Júlia?”, foram observados
6 erros de cálculo.
Esse dado confirma as estatísticas apontadas nas avaliações nacionais, quanto
ao baixo desempenho dos alunos em conteúdos de Matemática. Constata-se que, de
fato, os estudantes apresentam dificuldades na realização de cálculos numéricos. Alguns
dos participantes não sabiam sequer realizar a disposição correta dos números, como
demonstra o exemplo abaixo:
Figura4. Distribuição dos números para realização de soma realizada pela criança E, na
tentativa de realizar a operação “17+9”.
Figura5. Cálculo numérico realizado pela criança C, na tentativa de efetivar a operação “17 -15”.
112
As justificativas classificadas como “não identificar a impossibilidade” e
“realizar cálculo numérico para responder”, que aparecem em segundo lugar como as
mais utilizadas, estão, de certa forma, imbricadas ao comentado no parágrafo acima. As
justificativas com maior incidência são decorrentes da tendência de realizar cálculos,
mesmo quando não necessários, como nos problemas sem número e nos problemas sem
solução.
Nas transcrições, podem ser observadas falas que corroboram essa afirmação,
como: “porque se tivesse o número, ia dar para saber quanto custa” (sujeito K), ou “não
tem como responder essa, porque não tem um número, não ia dar pra saber quanto
custa” (sujeito F), ou ainda, “mas quantos amigos são?” (sujeito J).
Quanto aos problemas sem solução, algumas falas são ilustrativas da
dificuldade de a criança compreender que alguns problemas não apresentam solução:
“tem como resolver, mas eu não sei” (sujeito I), ou “eu acho que dá pra resolver, mas eu
não sei que conta faz” (sujeito H).
Outro fato interessante é a tendência observada de seguir determinadas regras,
que nem sempre são corretas, como: “se falar tirou, tem que fazer uma conta de menos”
ou “se tem colocou, a conta é de mais”. Em alguns momentos, a utilização desse tipo de
regra parece levar a criança ao raciocínio equivocado no momento de solucionar o
problema.
4. Análise do desempenho das crianças por grupos de classificação (fortes e fracos)
Os resultados apresentados até o momento, privilegiaram os dados individuais
das crianças. A análise destes dados fundamentou os resultados gerais da pesquisa.
Entretanto, a questão proposta por este estudo “Existe relação entre o desempenho
113
matemático e o comportamento de resolver problemas lógicos” ainda permanecia sem
uma resposta objetiva.
A partir desta inquietação, optou-se por realizar a análise dos desempenhos das
crianças em dois blocos: as classificadas como fortes e as classificadas como fracas em
matemática pela professora. Esperava-se que essa análise possibilitasse avaliar se os
desempenhos eram distinguíveis entre os sujeitos (fortes e fracos), fornecendo pistas
acerca da relação entre a matemática e o raciocínio lógico.
Como discutido anteriormente, o tratamento dos dados decorrentes dos dois
blocos de sujeitos foi realizado mediante análise estatística, e os resultados são
apresentados adiante.
Inicialmente, será apresentada a tabela 25, que mostra a síntese dos
desempenhos das crianças, por classificação da professora em forte e fraco em
Matemática, nos cinco tipos de problemas. Esta análise buscou identificar se, na
pesquisa em pauta, os alunos com melhor desempenho em matemática (classificados
como fortes pela professora) apresentam diferenças importantes se comparados com os
de pior desempenho (por ela classificados como fracos), nos diversos grupos de
problemas.
114
Tabela 25. Síntese do desempenho dos sujeitos fortes e fracos por grupo de problemas:
distribuição percentual do número de acertos
A partir desses resultados, constata-se que as maiores discrepâncias entre os
percentuais de acerto dos alunos classificados como fortes e fracos pela professora estão
nos problemas com e sem solução (78% e 32%, respectivamente) e nos problemas sem
número (78% e 44%, respectivamente). Ressalta-se que estes são os grupos de questões
que abordam os problemas de raciocínio matemático. Nos problemas Mistos, que
apresentam violações lógicas, ainda que os alunos fortes tenham apresentado melhor
desempenho, essas diferenças foram menores.
Esses dados podem indicar que os desempenhos entre fortes e fracos se
distinguem em todos os grupos de problemas pesquisados, sendo em maior grau para os
problemas numéricos, e em menor grau para os problemas lógicos, fato este não
observado na pesquisa realizada anteriormente por Luna e Marinotti (2011).
Com o intuito de comparar estatisticamente os resultados entre os dois grupos
(fortes e fracos), e complementar a análise descrita acima, apresenta-se a seguir os
resultados decorrentes dos testes estatísticos realizados no Software Minitab.
PROBLEMAS FORTES % FRACOS % COM E SEM SOL. 56 78% 23 32% IT 71 99% 63 88%
GERAIS 60 83% 51 71%
IC 40 56% 27 38% SEM NUM 56 78% 32 44%
115
5. Análises Estatísticas
Apresenta-se abaixo a análise estatística realizada para os cinco grupos de
problemas, e duas análises complementares, em que as questões foram agrupadas em
dois blocos: problemas matemáticos (com e sem solução e sem número) e problemas
lógicos (G, IC e IT).
As análises dos grupos de problemas foram estruturadas apresentando,
inicialmente, o bloxpot, que mostra a distribuição empírica dos desempenhos dos alunos
fortes e fracos. Em seguida, são apresentados os resultados dos Testes de Hipóteses, que
analisam as diferenças entre os desempenhos.
Para as análises complementares, que agrupam os problemas matemáticos e os
problemas lógicos, foram realizados os Testes de Hipóteses. Essas duas ferramentas são
descritas a seguir, visando a favorecer a leitura e compreensão dos dados dispostos nas
figuras.
Após a apresentação do bloxpot e dos testes de hipóteses, é realizada a análise
desses dados, para cada um dos testes estatísticos executados.
A distribuição dos dados no bloxpot:
A primeira figura das análises estatísticas, o bloxpot, consiste em uma
representação gráfica da distribuição dos dados dos dois blocos de sujeitos:
classificados como fortes e fracos pela professora. No bloxpot, o retângulo cinza
representa a dispersão dos dados (número de acertos) dos alunos considerados fortes
pela professora. O retângulo vermelho representa a dispersão dos dados dos alunos
considerados fracos em matemática.
116
Nestes gráficos, a linha central de cada retângulo representa a mediana dos
dados (Q2). A parte inferior da figura, representa a distribuição dos dados no primeiro
quartil (Q1) e a parte superior representa a distribuição no terceiro quartil (Q3).
Portanto, os valores dispostos na caixa equivalem a 50% dos dados.
Um segmento de reta vertical conecta o topo da caixa ao maior valor observado
e outro segmento conecta a base da caixa ao menor valor observado. Estes segmentos
denominam-se whiskers, ou fio de bigode. Esses valores (whiskers) representam os 50%
restantes dos dados. Em algumas situações, estes dados podem sair dos limites
calculados (valores atípicos, ou outliers), normalmente representados pelo símbolo
asterisco.
O Teste de Hipóteses:
As figuras dispostas abaixo do bloxpot, representam os resultados do Teste de
Hipótese realizado para cada grupo de problemas. O teste comparou o desempenho dos
dois blocos de crianças: os classificados como fortes e os classificados como fracos em
matemática pela professora.
O teste de hipótese, consiste na definição da hipótese nula (H0), que indica que
os resultados das populações comparadas são iguais. Neste estudo, H0 indica que o
percentual de erros gerado pelo grupo de alunos fortes é igual aos classificados como
fracos. Essa hipótese é testada contra uma hipótese alternativa (H1), que afirma outros
valores para cada população (a hipótese alternativa aqui utilizada considera que o
percentual de erros gerado pelo grupo classificado como fortes é menor que o dos
classificados como fracos).
117
O teste foi realizado tomando-se como base o número de erros por blocos de
sujeitos. Foram consideradas 72 respostas para cada grupo (resultantes da multiplicação
de 6 alunos fortes/fracos pelo número de problemas de cada grupo).
O percentual de confiabilidade (power) é uma função relacionada ao tamanho
amostral e o nível de diferença a ser detectado pelo teste. Foi considerado um alfa de
0,05, capaz de detectar a diferença com índice de confiabilidade de 90% ao teste, tendo
em vista o tamanho amostral de 12 crianças e a opção pelo teste bicaudal, que atribui
regiões de rejeição em ambas as caudas. Neste caso, 90% correspondem à região de
aceitação e 10% (5% de cada lado do gráfico) à região de rejeição de H0.
Na segunda parte da figura, é possível identificar o distanciamento do ponto “0”:
se o ponto “0” não integrar o intervalo de confiabilidade, pode-se rejeitar a hipótese de
que os desempenhos das populações sejam iguais, ou seja, neste caso, as populações
podem ser classificadas como distintas.
Serão apresentadas a seguir as análises estatísticas desenvolvidas para os
Problemas com e sem solução.
5.1. ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS PROBLEMAS COM E SEM SOLUÇÃO
118
Os critérios para execução dos testes de hipótese foram satisfeitos.
Resultados do Teste de Hipótese – MINITAB -‐ Two proportion test.
119
A partir da análise dos dados dispostos na figura acima, é possível constatar que
existe diferença entre os desempenhos dos alunos classificados como fortes e fracos,
nos problemas som e sem solução. O percentual de erros dos alunos fortes foi
significantemente menor que o dos alunos classificados como fracos (p < 0,05), sendo
essa diferença de 45,8%.
A seguir, são apresentadas as análises decorrentes dos resultados dos alunos
fortes e fracos nos problemas sem número. Destaca-se que os dados foram suficientes
para detectar a diferença entre os desempenhos dos alunos fortes x fracos.
5.2. ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS PROBLEMAS SEM NÚMERO
Os critérios para execução dos testes de hipótese foram satisfeitos.
120
Resultados do Teste de Hipótese – MINITAB -‐ Two proportion test.
121
A partir da análise dos dados dispostos na figura acima, é possível constatar que
existe diferença entre os desempenhos dos alunos classificados como fortes e fracos,
nos problemas sem número, tal como ocorreu com os problemas com e sem solução.
O percentual de erros dos alunos fortes foi significantemente menor que o dos alunos
classificados como fracos (p < 0,05), sendo essa diferença de 33,33%.
Comparando-se os dois tipos de problemas matemáticos, constata-se que os
desempenhos são significativamente distintos entre os alunos fortes e fracos (p < 0,05
nos dois casos), sendo essa diferença maior nos problemas sem solução.
A seguir são apresentadas as análises decorrentes dos resultados dos alunos
fortes e fracos nos Problemas Gerais. Destaca-se que, para esse grupo de problemas,
os dados não foram suficientes para concluir que o percentual de desempenho seja
distinto entre os dois grupos, o que pode ser visualizado por meio do bloxpot.
5.3. ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS PROBLEMAS GERAIS
122
Os critérios para execução dos testes de hipótese foram satisfeitos
Resultados do Teste de Hipótese – MINITAB -‐ Two proportion test.
123
A partir da análise dos dados dispostos na figura acima, não é possível afirmar
que existe diferença significativa entre os desempenhos dos alunos classificados como
fortes e fracos, nos problemas gerais. Embora o percentual de erros dos alunos fortes
seja menor que o dos fracos, não é possível afirmar que essa diferença (12,5%) seja
estatisticamente significativa, uma vez que, neste grupo, p > 0,05.
A seguir são apresentadas as análises decorrentes dos resultados dos alunos
fortes e fracos nos Problemas de Inversão Temporal. Destaca-se que, para esse grupo
de problemas, os dados não foram suficientes para concluir que o percentual de
desempenho seja distinto entre os dois grupos. Esse fato decorre do pequeno número de
erros ocorridos entre os alunos fortes para os problemas de inversão temporal (somente
1), que foi considerado um outlier (ou valor atípico), simbolizado pelo asterisco no
bloxpot. Braga (2010) aponta que a existência de outliers implica, tipicamente,
prejuízos na interpretação dos resultados dos testes estatísticos.
124
5.4. ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS PROBLEMAS de INVERSÃO TEMPORAL
Os critérios para execução dos testes de hipótese foram satisfeitos
125
Resultados do Teste de Hipótese – MINITAB -‐ Two proportion test.
126
Ainda com a dificuldade comentada acima, os dados apresentados nos Testes de
Hipóteses permitem constatar que existe diferença significativa entre os desempenhos
dos alunos classificados como fortes e fracos, nos problemas de inversão temporal. O
percentual de erros dos alunos fortes é significativamente menor que o dos fracos (p <
0,05).
A seguir são apresentadas as análises decorrentes dos resultados dos alunos
fortes e fracos nos Problemas de Inversão Causal. Para este grupo, os dados foram
suficientes para detectar a diferença entre os desempenhos dos alunos fortes x fracos em
matemática.
5.5 ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS PROBLEMAS de INVERSÃO CAUSAL
Os critérios para execução dos testes de hipótese foram satisfeitos.
127
Resultados do Teste de Hipótese – MINITAB -‐ Two proportion test.
128
A partir da análise dos dados dispostos na figura acima, é possível constatar que
existe diferença entre os desempenhos dos alunos classificados como fortes e fracos,
nos Problemas de Inversão Causal, tal como ocorreu com os problemas de inversão
temporal. O percentual de erros dos alunos fortes foi significantemente menor que o dos
alunos classificados como fracos (p < 0,05), sendo essa diferença de 18,06%.
Comparando-se os três tipos de problemas lógicos, constata-se que os
desempenhos são distintos entre os alunos fortes e fracos, sendo essa diferença
estatisticamente significativa para os problemas de inversão causal e temporal (p < 0,05
nos dois casos), mas não para os problemas gerais (em que p > 0,05).
Com o intuito de possibilitar a comparação do desempenho dos sujeitos fortes e
fracos para os problemas matemáticos e para os lógicos, foram realizadas mais duas
análises estatísticas. Nelas, foram reunidos os problemas sem número e com/sem
solução, formando o grupo de problemas matemáticos; e os problemas gerais, de
inversão causal e de inversão temporal, constituindo o grupo de problemas lógicos.
Essa análise possibilitou comparar estatisticamente as diferenças no desempenho
para os dois grupos de problemas, como pode ser observado abaixo.
129
5.6. ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS PROBLEMAS LÓGICOS
Resultados do Teste de Hipótese – MINITAB -‐ Two proportion test.
130
A partir da análise dos dados dispostos na figura acima, é possível constatar que
existe diferença entre os desempenhos dos alunos classificados como fortes e fracos,
nos problemas lógicos (IC, IT e G). O percentual de erros dos alunos fortes foi
significantemente menor que o dos alunos classificados como fracos (p < 0,05).
A seguir são apresentadas as análises decorrentes dos resultados dos alunos
fortes e fracos nos problemas matemáticos (com e sem solução e sem número).
5.7. ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Resultados do Teste de Hipótese – MINITAB -‐ Two proportion test.
131
A partir dos dados apresentados na figura acima, é possível concluir que existe
diferença entre os desempenhos dos alunos classificados como fortes e fracos, também
nos problemas matemáticos. O percentual de erros dos alunos fortes foi
significativamente menor que o dos alunos classificados como fracos (p < 0,05).
Portanto, estatisticamente, é possível afirmar, que os desempenhos entre alunos
fortes e fracos são distintos, tanto nos problemas lógicos, quanto nos matemáticos. O
teste realizado comprova que o percentual de erros dos alunos fortes é
significativamente menor que o dos alunos fracos. Destaca-se, também, que a diferença
nos desempenhos é maior nos problemas matemáticos (39,58%) que nos problemas
lógicos (13,89%).
132
DISCUSSÃO
Este estudo foi realizado com o objetivo de testar possíveis relações entre o
desempenho matemático e o comportamento de resolver problemas lógicos de crianças
entre 8 e 9 anos, estudantes da rede pública de ensino na cidade de São Paulo.
As conclusões decorrentes dos resultados desta pesquisa sugerem haver relação
entre estes raciocínios – o lógico e o matemático, uma vez que as crianças que
apresentaram melhor desempenho em Matemática obtiveram melhores resultados nos
problemas com e sem solução possível, nos problemas sem número e nos problemas
com violações lógicas.
Quanto aos aspectos metodológicos, a pesquisa anterior foi realizada por quatro
estudantes, e esta por somente uma pesquisadora. Esta alteração foi importante, uma vez
que a aplicação do instrumento pode variar consideravelmente, ainda que seja realizado
um treino eficaz. As transcrições realizadas na pesquisa anterior demonstraram essas
diferenças, fundamentalmente no que diz respeito ao inquérito realizado para cada
questão. É possível que esse fato tenha acarretado em dificuldades nas análises
realizadas anteriormente, o que não ocorreu para este estudo.
A partir dos resultados obtidos nas análises das questões, constatou-se que
algumas delas estariam além do repertório das crianças avaliadas (vocabulário,
julgamento crítico/lógico necessário etc.), com formulações ambíguas/inadequadas para
esta faixa etária. Esses resultados podem sugerir que a formulação das questões contêm
controles verbais fortes em direção oposta à da solução, como já observado na pesquisa
de Luna e Marinotti (2011).
133
Este fato possivelmente decorre da metodologia adotada para a elaboração do
instrumento. As questões foram adaptadas da pesquisa realizada anteriormente por Luna
e Matinotti (2011), considerando-se os resultados apresentados naquela ocasião.
Entretanto, não foi realizado um levantamento prévio do repertório das crianças em
estudo, o que, de certa forma, pode ter prejudicado o desempenho em algumas questões.
Os problemas que abordam lucro, ou ganho de dinheiro, podem exemplificar o exposto,
já que a maioria das crianças parecia não dominar esses conceitos.
Neste sentido, sugere-se que pesquisas futuras contemplem uma análise
criteriosa do repertório das crianças, no que diz respeito ao vocabulário e,
principalmente, aos conceitos lógicos e matemáticos a serem explorados nos problemas.
Ainda com relação ao instrumento, constatou-se, em linhas gerais, baixo
desempenho nos problemas de Inversão Causal, sugerindo que este tipo de questão pode
não ser apropriado para análises dessa natureza com crianças da faixa etária de 8 a 9
anos.
Tal como detectado na pesquisa anterior, os problemas com e sem solução
salientaram que os sujeitos detêm uma noção incorreta do que seja um problema. Ficou
claro nas aplicações que as crianças, principalmente as classificadas como fracas em
Matemática pela professora, tendem a considerar que todos os problemas apresentam
solução, realizando cálculos numéricos mesmo quando não seria necessário fazê-lo.
Destaca-se que esse grupo de problemas obteve a maior discrepância de
resultados entre os alunos classificados como fortes e fracos pela professora.
Esse fato também foi corroborado na análise das questões sem número. Em
geral, as crianças utilizam estratégias de cálculo numérico para conseguir compreender
e resolver o problema, ainda que não seja necessário fazer isso.
134
Quanto ao comportamento dos sujeitos ao longo das aplicações, cabe destacar
que o teste realizado com o gravador mostrou-se bastante eficaz, uma vez que, além de
ter familiarizado o aluno com o instrumento que estaria presente ao longo da aplicação,
possibilitou a aproximação com a pesquisadora.
No que diz respeito aos aspectos motivacionais, considera-se que as crianças
iniciaram a aplicação interessadas nos problemas. Em algumas situações, entretanto, a
dificuldade em resolver uma sequência de problemas fez com que a situação se
configurasse como um estímulo aversivo, apresentando respostas de esquiva, tais como
o sujeito C, que foi para o quadro tentar resolver os problemas, ou o sujeito L, que não
realizou nenhuma conta no papel, e emitia como resposta números totalmente aleatórios
ao problema, possivelmente na tentativa de acelerar a resolução do mesmo. Por outro
lado, os acertos mostraram-se como reforçadores para permanecer na pesquisa. Em
geral, os alunos com melhores desempenhos concluíram a aplicação em um encontro e
em menor tempo.
Ainda assim, importa destacar que não ocorreram perdas de sujeitos ao longo
das aplicações. Todos os alunos, mesmo os que necessitaram de mais de um encontro,
conseguiram concluir todos os problemas.
É importante salientar que a realização dos testes estatísticos foi fundamental
para desenvolver a compreensão acerca dos resultados, ampliando a confiabilidade da
pesquisa. Na maioria dos dados analisados por tipo de problemas, mesmo com o
pequeno grupo amostral (12 crianças), foi possível detectar estatisticamente as
diferenças entre os desempenhos dos alunos. Somente na análise dos problemas gerais,
essa diferença não pôde ser validada estatisticamente. Neste sentido, estudos futuros são
135
necessários para aprofundar o entendimento acerca do desempenho dos alunos nesses
problemas.
Os resultados decorrentes desta pesquisa permitem identificar a relação entre
desempenho matemático e lógico, tendo em vista que, os resultados dos alunos fortes x
fracos foi significativamente distinto, tanto para os problemas matemáticos, quanto para
os problemas lógicos.
Este estudo ressalta a importância da ampliar a compreensão acerca da temática
da resolução de problemas, por acreditar-se que esse comportamento prepara o aluno
para lidar com situações novas, dentro e fora da escola. Torna-se fundamental,
entretanto, ampliar os problemas abordados em sala de aula, para que possam romper a
barreira de resoluções por meio de regras e procedimentos padronizados.
Futuros trabalhos são essenciais para avaliar como se estabelece a relação entre
raciocínio lógico e desempenho matemático, considerando-se a complexidade da
questão e sua relevância para a área. Acredita-se que estudos dessa natureza possam
contribuir para a melhora do ensino e da aprendizagem matemática.
136
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Azzi, Trad.). São Paulo: Martins Fontes.
141
APÊNDICE A
PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO - PUC/S P Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação: Psicologia da Educação
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Seu filho/sua filha está sendo convidado (a) para participar da pesquisa de mestrado intitulada:
Resolução de Problemas: possíveis relações entre raciocínio lógico e aprendizagem matemática, sob
orientação do Prof. Dr. Sergio Vasconcelos de Luna, da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Esta pesquisa estuda relações entre o desempenho em tarefas envolvendo raciocínio lógico e o
desempenho em matemática. Para isso, vamos pedir que ele/ela resolva alguns exercícios que serão
apresentados na tela de um computador. A conversa entre a pesquisadora e a criança será gravada para
que possamos estudar as respostas mais tarde. Queremos lhe assegurar que haverá total sigilo sobre seu
nome, bem como sobre o seu desempenho. Suas respostas serão analisadas e eventualmente o produto
final poderá ser publicado ou divulgado em eventos, mas essa divulgação assegurará a omissão de
qualquer elemento que permita a sua identificação.
A participação é voluntária, e poderá ser interrompida a qualquer momento sem que isso lhe
cause qualquer ônus ou transtorno de qualquer espécie.
Você não terá nenhum custo ou quaisquer compensações financeiras. Não haverá riscos, danos
ou maleficências de qualquer natureza relacionada à sua participação. Por outro lado, sua participação
possibilitará o aumento do conhecimento científico para a área de educação.
A pesquisadora estará à disposição para discutir os resultados com você, se isso for de seu
interesse e fará isso também com a direção da escola e com as professoras.
Você receberá uma cópia deste termo onde consta o celular e e-mail do pesquisador responsável,
podendo tirar suas dúvidas sobre o projeto e sua participação. Desde já agradecemos sua colaboração.
________________________________ Orientador
Prof. Dr. Sergio V. de Luna – 3670-8527
E-mail: [email protected]
_______________________________ Orientanda
Daniele de Lima Kramm – 97451-8084
E-mail: [email protected]
Entendi todos os aspectos envolvidos na minha participação na pesquisa e concordo em fazê-lo
de forma voluntária.
São Paulo, _____ de __________________ de 2013.
Nome do pai ou responsável: __________________________________________
Assinatura: __________________________________________________
142
APÊNDICE B
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O PAULO - cologia da Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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FICIA UNIVama de Estud
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CA DE SÃOducação: Psic
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C – NÃO.
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FICIA UNIVama de Estud
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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CA DE SÃOducação: Psic
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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EIXAR NO LIV
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E CATÓLIduados em Ed
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MUITO TRISTE
MUITO TRISTE
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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MUITO BRAV
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PUC/S P ducação
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QUE ELA IA T
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11. (IC‐P) O s
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C – TÁ ER
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C – NÃO
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P – TODO
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ÃO A GENTE
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RRADO? COM
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O PAULO - cologia da Ed
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FICIA UNIVama de Estud
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O PAULO - cologia da Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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E CATÓLIduados em Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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O PAULO - cologia da Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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E CATÓLIduados em Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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PUC/S P ducação
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FICIA UNIVama de Estud
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AZER ELA FICA
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E CATÓLIduados em Ed
MAS NÃO SAB
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ÃO FALA.
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raus para su
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U ACHO QUE
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CA DE SÃOducação: Psic
BE EXPLICAR
boneca, mas
tos presente
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A?
E TÁ ERRADO
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A).
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O PAULO - cologia da Ed
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eu fiquei mu
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PUC/S P ducação
não quer e d
GANHOU M
S.
uito cansado
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daí eu
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1
MIST
1
2
3
4
PONTIFProgra
12. (IC‐I) Eu c
C – TÁ ER
P – E COM
C – NÃO S
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1. (G‐I) A ch
C – ERRA
P – POR Q
C ‐ PORQ
2. (IC‐I) Tire
C – TÁ ER
P – COMO
C ‐ TIREI A
P – TEM M
C – NÃO.
3. (IT‐P) Min
C – TÁ CE
P – POR Q
C – PORQ
P – NÃO T
C – SERIA
4. (G‐I) O
trabalhan
C – TÁ ER
P – POR Q
C – PORQ
FICIA UNIVama de Estud
caí porque m
RRADO, NÃO
MO FICARIA
SEI TAMBÉM
BLEMAS COM
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DO.
QUÊ?
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ei a blusa po
RRADA.
O QUE SERIA
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MAIS ALGUM
nha irmã tem
ERTA.
QUÊ?
QUE SE ELA T
TEM NADA E
A ERRADO SE
patrão disse
ndo muito m
RRADO.
QUÊ?
QUE ELE TEM
VERSIDADEdos Pós-Grad
machuquei a
É SÓ PORQU
CERTA ESSA
M.
M VIOLAÇÃO
trou pela jan
A NÃO SECA,
orque fiquei
A?
RQUE FIQUE
M JEITO DESS
m 8 anos. Ela
TEM 8 ANOS
ESTRANHO?
E ELA TIVESSE
e para Mau
mal.
M QUE GANHA
E CATÓLIduados em Ed
testa.
UE ELE CAIU
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O LÓGICA – IC
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ELA MOLHA
com frio.
EI COM CALO
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a vai fazer 9
ELA VAI FAZ
E 8 E FIZESSE
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CA DE SÃOducação: Psic
QUE ELE MA
C, IT E GERA
quarto seco
A.
OR.
CAR CERTA?
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NTO SE ELE T
O PAULO - cologia da Ed
ACHUCOU A
IS
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o que vem.
aumento po
TIVESSE TRA
PUC/S P ducação
TESTA.
inha cama.
orque ele e
BALHANDO
estava
BEM.
5
6
7
8
PONTIFProgra
5. (IC‐P) O t
que o ou
C – TÁ CE
P – POR Q
C – PORQ
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P – QUEM
C ‐ É.
6. (IT‐I) O h
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C – TÁ ER
P – POR Q
C – PORQ
P – NÃO
C – NÃO.
7. (IC‐I) A hi
C – NÃO.
P – COMO
C – EU AC
P – E EU C
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C – TIRAR
P – VOCÊ
P – NÃO.
8. (G‐P) O c
C – TÁ CE
P – PODE
C – NÃO
FICIA UNIVama de Estud
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ERTO.
QUÊ?
QUE O TIME
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RRADO.
QUÊ?
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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CESTAS GAN
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E CATÓLIduados em Ed
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TRUÍDO AS PA
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QUE EU OUV
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muito bravo,
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CA DE SÃOducação: Psic
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HA ESCOLA
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VI ERA MUITO
O QUE A GEN
mas nunca
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O PAULO - cologia da Ed
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O TRISTE E EU
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PUC/S P ducação
ue fez mais c
ESTAS E GAN
, depois, lev
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guém.
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1
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PONTIFProgra
9. (IT‐I) Qu
C – TÁ ER
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C – (PAUS
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P – POR Q
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C – TÁ ER
P – POR Q
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1. (G‐I) O pa
C – TÁ ER
P – POR Q
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FICIA UNIVama de Estud
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NDO MINHA
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o congelado
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QUÊ?
RQUE O SO
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QUÊ?
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VERSIDADEdos Pós-Grad
mãe era cri
QUE TIPO...
RINCANDO C
E DEIXARIA E
MÃO ERA C
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r não se der
O QUE TÁ ER
A QUE TÁ ER
UANDO ACA
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A GELADEIRA
eteu porque
ORVETE COM
na pré‐escola
DA TÁ NO PR
M VIOLAÇÃO
o abriu o gua
IR O GUARD
onseguiu ter
E CATÓLIduados em Ed
ança, eu bri
ELA ERA PEQ
COM ELA.
LA CERTA?
RIANÇA EU N
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RRADA, MAS
RRADA, TENT
ABA A LUZ, A
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e ficou muito
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O LÓGICA – IC
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rminar a pro
CA DE SÃOducação: Psic
ncava muito
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NÃO BRINCA
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S EU NÃO SEI
TA ME EXPLI
A GELADEIRA
E DERRETE,
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C, IT E GERA
porque não e
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ova porque t
O PAULO - cologia da Ed
o com ela.
M TINHA O FI
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mas, mesmo
CONSERTAR
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A FICA LIGAD
É ISSO?
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O FORA DA
os da viagem
LE JÁ É ADOL
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estava mais
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tirou nota ba
PUC/S P ducação
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A.
assim, o gel
R ESSA FRAS
DA NA TOMA
ra.
GELADEIRA
m que fez qu
LESCENTE.
chovendo.
NDO.
aixa.
AINDA,
o que
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3
4
5
PONTIFProgra
C – (PAUS
P – POR Q
C – NÃO
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P – TÁ ER
C – EU AC
P – TENTA
C – NÃO
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P – MAS O
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P – MAS S
C – EU AC
P – MAS V
C – NÃO.
3. (G‐P) A m
C – TÁ CE
4. (IC‐I) Eu m
C – TÁ ER
P – POR Q
C – EU NÃ
P – TENTA
C – SÓ QU
5. (IC‐P) O
C – TÁ CE
P – PODE
C – PORQ
FICIA UNIVama de Estud
SA). TÁ ERRA
QUÊ?
O É SÓ PORQ
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RRADO?
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A ME EXPLIC
O, TÁ CERTA
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CHO QUE EU
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CHO QUE TÁ
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me cortei co
RRADO.
QUÊ?
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A!
UE EU ACHO
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ERTA.
E FICAR? POR
QUE DEIXARA
VERSIDADEdos Pós-Grad
ADO.
QUE ELE NÃ
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CAR MELHOR
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O TÁ ESCRITO
NÃO ENTEN
Á CERTA OU
ERRADA.
TÁ CONSEGU
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UE TEM ALG
m a faca por
CAR. (RISOS)
QUE TÁ ERR
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R QUÊ?
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E CATÓLIduados em Ed
O CONSEGU
R.
ÃO CONSEGU
EU ACHO
O (RELEIO).
NDI DIREITO
ERRADA?
UINDO EXPLIC
omates, ma
UNS TOMAT
rque saiu m
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RADA.
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A DA GAIOLA
CA DE SÃOducação: Psic
UIU TERMINA
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QUE ELE N
ESSA.
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TES QUE VEM
uito sangue.
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ABERTA E E
O PAULO - cologia da Ed
AR A PROVA
AR A PROVA
NÃO RESPO
ram vermelh
M MEIO VERD
.
aberta a po
LE CONSEGU
PUC/S P ducação
A QUE ELE T
VA, ELE TEVE
ONDEU ALGU
hos.
DES.
orta da gaiola
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6
7
8
9
1
PONTIFProgra
6. (IT‐I) Vou
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C – TÁ ER
P – O QU
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P – E AQU
C – VOU C
7. (G‐P) Joã
C – TÁ CE
P – PODE
C – É A M
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P – PODE
C – PODE
8. (G‐I) Lúc
C – TÁ ER
P – TEM A
C – LUCIA
9. (IT‐I) Tire
C – TÁ ER
P – POR Q
C – PORQ
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P – COMO
C – TIREI
10. (IT‐P) No
cedo na s
C – TÁ CE
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FICIA UNIVama de Estud
u convidar
passada.
RRADA.
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ERTA.
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MESMA COIS
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E ACONTECER
E.
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RRADA.
QUÊ?
QUE ELE NEM
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O A GENTE P
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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NDA IA SER, E
PODERIA DEIX
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E CATÓLIduados em Ed
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VEM. SEMAN
que estava
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re até chega
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VORE ATÉ CH
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XAR ESSA FR
SEMANA PAS
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DORMIR NO
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CA DE SÃOducação: Psic
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GOS PARA V
NA PASSADA
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MER TODA A
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HEGAR NO A
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RASE CERTA?
SSADA.
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O PAULO - cologia da Ed
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JÁ PASSOU.
o, mas conti
A COMIDA DO
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LTO DELA.
LTO DELA.
E JÁ FALOU
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CEDO, PRA E
PUC/S P ducação
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QUE TIROU
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1
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1
PONTIFProgra
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C – EU
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P – TÁ ES
C ‐ TÁ.
12. (IT‐I) Me
C – EU AC
P – (RELE
C – HUM
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P – TEM M
C – (ACEN
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1. Minha ti
quantos
quantos
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C – CONT
P – COMO
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P – ELÁ N
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C – NÃO
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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TA QUE ELA
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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3
4
PONTIFProgra
C – OITO
P – ENTÃ
PROBLEM
ALGUNS
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RESOLVE
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2. Hoje eu
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quanto c
C – PODE
P – POSSO
C – ELE D
P – QUE C
C – NÃO S
P – ELE S
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C – ELE JU
P – AÍ ELE
C – DE M
P – ENTÃ
C – É.
3. Pedro va
fazer par
C – ELE D
P – COMO
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P – CADA
C – É.
4. O dono
dinheiro
FICIA UNIVama de Estud
E NOVE.
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MAS, TEM A
QUE AS CR
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R ALGUNS.
MAS AS CRIA
quero fazer
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usta a mant
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O. (RELEIO).
DEVE FAZER U
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SEI.
SABE O PREÇ
GA. E COMO
UNTA A CON
E SABE O PRE
AIS.
O ELE VAI SO
i viajar com
ra saber qua
DEVERÁ SOM
O É QUE ELE
COMPRA A
ENS.
A PASSAGEM
de uma loja
nessa venda
VERSIDADEdos Pós-Grad
RA! ACHO Q
ALGUNS QUE
RIANÇAS NÃ
? E TAMBÉ
ESSA PESQ
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r brigadeiro
quanto cus
eiga?
VO?
UMA CONTA
ÇO DOS INGR
ELE FAZ PRA
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EÇO DO BRIG
OMAR OS ING
os amigos e
nto custarão
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QUE ELE CO
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E CATÓLIduados em Ed
QUE VOCÊ É
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ÃO CONSEGU
ÉM NÃO TE
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A IDADE CON
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A.
REDIENTES,
A SABER O PR
COLATE, DO
GADEIRO? EN
GREDIENTES
e já sabe o p
o todas as pa
M TODAS AS
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PASSAGENS
OMPROU ELE
vestidos pa
e fazer?
CA DE SÃOducação: Psic
BOA EM MA
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que eu poss
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REÇO DO BR
LEITE COND
NTÃO É UMA
S, É ISSO?
reço de uma
assagens?
PASSAGENS.
MA?
DOS AMIGO
E SOMA, PRA
ara vender.
O PAULO - cologia da Ed
ATEMÁTICA,
ITO DIFÍCEIS
VER. MAS A
MA VOCÊ N
O TAMBÉM
ESOLVER.
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o custa o lei
LATE, LEITE C
IGADEIRO TO
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A CONTA DO
a passagem.
.
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Se ele quis
PUC/S P ducação
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S, POR ISSO
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anto vai cus
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CONDENSAD
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A COM TODA
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VOCÊ
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A.
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5
PONTIFProgra
P – O QU
DINHEIRO
C – ELE T
P – PRA E
C – DE M
5. Mamãe f
valor da
certo?
P – ELA T
QUANTO
CERTO?
C – ELA T
P – COMO
C – TEM
DINHEIRO
CERTO?
P – ACHO
QUANTO
QUE ELA
C – NÃO.
P – ELA D
C – A MA
P – ENTÃ
CAIXA DE
C – ELA
TROCO.
P – MAS S
C – JÁ SE
AÍ ELA FA
P – QUAN
C – É.
FICIA UNIVama de Estud
UE ELE TEM
O?
EM QUE AUM
ELE AUMENT
AIS.
foi ao super
conta. Com
TINHA O DINH
FOI A COMP
TEM QUE FAZ
O?
QUE FAZER
O DE QUANT
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FOI A COM
DEU O DINH
DEU A MAIS O
AIS.
ÃO COMO E
EU ESTÁ CERT
TEM QUE T
SE ELA QUER
I. QUANTOS
AZ O RESULTA
NTO QUE ELA
VERSIDADEdos Pós-Grad
QUE FAZER
MENTAR.
TAR, ELE VAI
rmercado. E
mo é que ela
HEIRO NA M
PRA. QUE CO
ZER UMA CO
R QUANTO
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PRA E QUER
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LA TEM QU
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R SABER JUST
S QUE DEU A
ADO E VAI D
A DEU PRA M
E CATÓLIduados em Ed
R COM O PR
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Ela sabe qua
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MÃO, E SABE
ONTA ELA TE
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A TEM QUE
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O?
S?
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TAMENTE O
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DAR O VALOR
MOÇA E QUA
CA DE SÃOducação: Psic
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CONTINHA?
anto deu pa
para saber s
QUANTO ELA
EM QUE FAZE
NOS.
EM QUE PA
PAGAR. SER
EBER TROCO
ANTO TEM Q
RA SABER SE
A DEU E QU
TROCO?
QUANTOS QU
R DO TROCO.
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O PAULO - cologia da Ed
ESTIDO PRA
ra a moça d
se o troco q
A DEU PRA M
ER PRA SABE
GAR E TIRA
Á QUE ELA
. ELA DEU O
QUE RECEBER
O TROCO Q
UANTO QUE
UE ELA VAI D
.
CONTA?
PUC/S P ducação
GANHAR AL
do caixa e s
que recebeu
MOÇA DO CA
ER SE O TROC
A, ELA VAI D
DEU O DINH
O DINHEIRO,
R DE TROCO.
QUE A MOÇ
E VAI SOBRA
DAR DE DINH
LGUM
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u está
AIXA E
CO TÁ
DAR O
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HEIRO.
6
7
8
9
PONTIFProgra
6. Empreste
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C – CONT
P – E COM
C – QUAN
7. Joana ga
todos os
fazer? O
C – EU AC
QUE ELA
P – ELA Q
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C – EU NÃ
P – É DIFÍ
C – É.
8. O tio Lui
terreno e
para desc
C – PODE
P – POSSO
C – EU NÃ
P – A GE
TEM COM
C – MAS
9. Você aca
mãe perg
C – TEM
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P – COMO
FICIA UNIVama de Estud
ei algumas re
ra saber se o
TAR.
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que ela deve
CHO QUE SE
QUER COME
QUER COMER
COMER A M
TEMPO VAI
ÃO SEI... ESS
ÍCIL ESSE?
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ÃO SEI ESSE.
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MO A GENTE
ESSE EU NÃO
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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m livro de His
tas páginas j
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E CATÓLIduados em Ed
a o meu prim
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uanto vai du
MA CAIXA E
CAIXA?
QUANTIDAD
ANTIDADE P
AIXA?
EI.
gem. Conta
mais do que
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VAI VENDER
ANTO ELE PAG
FAZER.
stória, outro
já leu, o que
UE TEM EM C
FAZ?
CA DE SÃOducação: Psic
mo. Quando
mesmo que
TEM QUE CO
M A MESMA
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urar a caixa
E QUER COM
DE TODO DIA
POR DIA. E
a todo mun
comprou ne
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GOU.
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e precisa faze
CADA LIVRO,
O PAULO - cologia da Ed
ele me devo
e eu emprest
ONTAR E VER
A QUANTIDA
o mesmo n
agindo dess
MER TODA A
A. ELA TEM A
AÍ, COMO
ndo por qua
essa venda.
O ELE VAI RE
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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5. (IC‐P) O
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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FICIA UNIVama de Estud
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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PONTIFProgra
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8. (G‐I) Lúc
C – NÃO
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C – NÃO
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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PUC/S P ducação
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PONTIFProgra
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FICIA UNIVama de Estud
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PONTIFProgra
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FICIA UNIVama de Estud
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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PUC/S P ducação
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PONTIFProgra
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FICIA UNIVama de Estud
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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PUC/S P ducação
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4
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PONTIFProgra
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FICIA UNIVama de Estud
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RRADA. PORQ
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M VIOLAÇÃO
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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6
7
8
PONTIFProgra
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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PONTIFProgra
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E CATÓLIduados em Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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3
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PONTIFProgra
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C – PORQ
P – ENTÃ
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C – TÁ ER
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3. (G‐P) A m
C – TÁ CE
P – POR Q
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P – E POR
C – PORQ
P – ENTÃ
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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CHOVENDO
aixa.
AIXA.
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5
6
7
PONTIFProgra
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P – TÁ ER
C – (PAUS
P – POR Q
C – CALM
P – (RELE
C – EU AC
P – A GEN
C – PODE
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C – EU NÃ
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C – TÁ CE
P – POR Q
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P – E POR
C – PORQ
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C – NÃO,
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C – TÁ CE
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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E CATÓLIduados em Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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1
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PONTIFProgra
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C – TÁ CE
P – POR Q
C – PORQ
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C – TÁ CE
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C – NÃO.
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C – TÁ CE
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P – E COM
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FICIA UNIVama de Estud
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RRADA.
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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M. ELA NEM
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E CATÓLIduados em Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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1
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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PENSAR EM
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brigadeiro. C
quanto custa
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E COMPRA.
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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M O LEITE CO
O PAULO - cologia da Ed
AS, É ISSO?
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A USOU?
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PUC/S P ducação
se lembrava
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M A CABEÇA)
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O LÓGICA – IC
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CA DE SÃOducação: Psic
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CONTA PRA S
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C, IT E GERA
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M O GARFO.
GARFO FICA C
O PAULO - cologia da Ed
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CERTA?
PUC/S P ducação
, ela fez 12
rrida 17. Qu
AÍ, ENTÃO S
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SÓ DÁ
2
3
4
PONTIFProgra
2. (IC‐I) O ti
C – A GEN
P – (RELE
C – ESSE T
P – A GEN
C – PODE
P – NÃO T
C – NÃO.
3. (IT‐P) Hoj
P – VOCÊ
C – SEI.
P – (RELE
C‐ ELE AC
P – VOCÊ
C – (PAUS
4. (G‐I) Meu
C – A GEN
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P – VOCÊ
C – TENH
P – E QU
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C – NÃO,
P – ENTÃ
ELA DO L
C – A GEN
P – VOCÊ
C – ACHO
FICIA UNIVama de Estud
ime de João
NTE PODE M
EIO).
TÁ CERTO.
NTE PODE DE
E.
TEM NADA E
je acordei de
Ê SABE O QUE
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Ê ACHA QUE T
SA). TÁ CERT
u irmão é filh
NTE PODE M
ODE POR MIN
M PODE SER.
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O.
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PORQUE CO
ÃO, SERÁ QU
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NTE DEIXA.
Ê ACHA QUE T
O.
VERSIDADEdos Pós-Grad
fez mais ces
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EIXAR DESSE
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E É DESCANS
SCANSADO E
TÁ CERTO?
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MUDAR A PAL
NHA... MEU.
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E ESSA FRAS
TÁ CERTA?
E CATÓLIduados em Ed
stas na parti
STA, A GENTE
E JEITO?
porque ontem
SADO?
E ONTEM ELE
.
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LAVRA IRMÃ
... NÃO... M
UMA IRMÃ,
OUTRO IRM
SE TÁ CERTA
CA DE SÃOducação: Psic
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E PODE PÔR.
m fui deitar
E FOI DORMI
ÃO. A GENTE
INHA IRMÃ
A GENTE P
ÃO?
OU TÁ ERRA
O PAULO - cologia da Ed
anhou o jog
.. É...
cedo e dorm
R BEM.
PODE TIRAR
É FILHA ÚN
ODE DIZER
ADA? A GENT
PUC/S P ducação
go.
mi bem.
R ESSA PALA
ICA DO MEU
QUE ELA É
TE DEIXA OU
VRA E
U PAI.
FILHA
U TIRA
5
6
7
8
9
1
PONTIFProgra
5. (IC‐P) Me
P – VOÊ A
C – TÁ.
P – PODE
C – PODE
6. (IT‐I) Ant
C – TÁ ER
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P – E COM
C – ANTE
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7. (G‐P) Fláv
P – SERÁ
C – TÁ.
P – POR Q
C – PORQ
P – OLHA
C – FLAV
FLAVIA É
P – PODE
C – PODE
8. (G‐I) Às
eu não po
C – A BON
9. (IT‐I) Qu
C – TÁ CE
P – COMO
C – QUAN
10. (IC‐I) A e
FICIA UNIVama de Estud
eu pai mand
ACHA QUE ES
EMOS DEIXAR
E, NÃO TÁ ER
tes de meu p
RRADA. POR
EM ÁGUA.
MO TINHA Q
ES DO MEU
E EU NADEI B
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QUE ESSA TÁ
QUÊ?
QUE A FLAVIA
A COMO TÁ F
VIA É MAIS A
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E SER? PODE
E.
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osso brincar
NECA NÃO F
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ERTO. AH... E
O TERIA QUE
NDO CHEGO
escada tinha
VERSIDADEdos Pós-Grad
dou acender
SSA TÁ CERT
R ESSA?
RRADO.
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RQUE COMO
QUE FICAR?
PAI COLOCA
BASTANTE.
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Á CERTA?
A, NÃO, A CA
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ALTA E A CA
A, MAS ELA É
DEIXAR ESSA
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r o Natal, eu
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E SER?
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E CATÓLIduados em Ed
as luzes por
TA?
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ARLA É MAIS
QUI (RELEIO)
ARLA É MAIS
MAIS ALTA.
A FRASE?
r com minha
, COMO ELA
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AQUI TÁ ERR
EU GANHEI M
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CA DE SÃOducação: Psic
rque estava
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NCHEU AIND
A... NÃO... M
mas é mais
ALTA DO QU
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a boneca, m
A NÃO FALA,
tos presente
RADA.
MUITOS PRES
ubir, porque
O PAULO - cologia da Ed
muito escur
i nela bastan
DA A PISCINA
MEU PAI CO
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UE A FLÁVIA,
TÃO A... ENT
as ela diz qu
EU POSSO B
es.
SENTES.
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PUC/S P ducação
ro.
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A, COMO EL
OLOCOU ÁGU
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TÃO, POR IS
ue não quer
RINCAR.
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LE VAI
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1
1
MIST
1
2
PONTIFProgra
C – TÁ C
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P – E TÁ C
C – TINHA
P – COMO
C‐ A ESC
ENTÃO...
FICOU M
P – ENTÃ
C – PODE
11. (IT‐P) No
C – TÁ ER
P – E NÃO
C – NÃO.
P – POR Q
C – PORQ
P – PODE
C – PODE
12. (IC‐I) Eu
C – PODE
P – VOCÊ
C – TÁ CE
P – PODE
C‐ PODE.
TOS 2 ‐ PROB
1. (G‐I) A ch
C – TÁ E
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2. (IC‐I) Tire
FICIA UNIVama de Estud
CERTO. PORQ
ESCADA.
CERTA? ELE F
A QUE MUDA
O FICARIA?
CADA TINHA
A GENTE...
UITO CANSA
O VOCÊ ACH
E.
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RRADO, PORQ
O PODE SER
QUÊ?
QUE NO MÊS
E DEIXAR ESS
E.
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E SER EU CAÍ
Ê ACHA QUE T
ERTO.
E DEIXAR, EN
BLEMAS COM
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ERRADO. PO
OLHADA.
ei a blusa po
VERSIDADEdos Pós-Grad
QUE ELE TÁ
FALOU QUE
AR.
MUITOS D
NÃO PODE
ADO DEPOIS
HA QUE A GE
m, Júlia vai v
QUE Ó... POD
NO MÊS QU
QUE VEM...
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machuquei a
E MACHUQU
TÁ CERTA DE
TÃO?
M VIOLAÇÃO
trou pela jan
RQUE A CH
orque fiquei
E CATÓLIduados em Ed
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MUDAR, PO
QUE SUBIU A
ENTE PODE D
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E VEM?
. MAS TÁ CER
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UEI A TESTA.
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O LÓGICA – IC
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CA DE SÃOducação: Psic
QUE FICOU
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A ESCADA!
DEIXAR?
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... PORQUE M
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A, ENTÃO A
O PAULO - cologia da Ed
MUITO CAN
S QUE SUBIU
EU FIQUEI M
CERTO, ELE T
IA VAI VISITA
M. TÁ CERTO
MACHUQUEI
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ou toda a mi
A CAMA DEL
PUC/S P ducação
NSADO DEPO
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MUITO CANS
TÁ FALANDO
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O SIM.
I A MINHA T
inha cama.
LE TINHA QU
OIS DE
SADO.
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VÓ.
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3
4
5
6
7
8
PONTIFProgra
C – TÁ ER
3. (IT‐P) Min
C – TÁ CE
P – PODE
C – PODE
4. (G‐I) O p
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C – ELE
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P – NÃO T
C‐ O PAT
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5. (IC‐P) O
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C – TÁ CE
P – TÁ CE
C – PORQ
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C – TÁ ER
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7. (IC‐I) A hi
C – TÁ CE
TRISTE.
P – MAS V
C – TÁ CE
P – PODE
C – PODE
8. (G‐P) O c
FICIA UNIVama de Estud
RRADA. TIREI
nha irmã tem
ERTA.
E DEIXAR ESS
E, PORQUE T
patrão disse
ndo muito m
NÃO PODE
LE TÁ TRABA
O DELE, SÓ Q
TÁ CERTA, E
TRÃO DISSE
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tro time.
ERTO.
ERTO? POR Q
QUE ELE FEZ
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RRADO. POD
DES E DEPOIS
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ERTO, PORQU
VOCÊ ACHA
ERTO.
E DEIXAR ESS
E.
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VERSIDADEdos Pós-Grad
A BLUSA PO
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SA?
EM SENTIDO
e para Maur
mal.
DAR AUME
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PARA MAU
DO MUITO B
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QUÊ?
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DE SER O HO
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E CATÓLIduados em Ed
ORQUE FIQU
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ALANDO QU
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muito bravo,
CA DE SÃOducação: Psic
EI COM CALO
anos no ano
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QUE ELE TÁ
DE SER DEMIT
RABALHANDO
SER?
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ganhou a pa
HOU O JOGO
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CONSTRUIU A
porque eu c
E A HISTÓRIA
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mas nunca
O PAULO - cologia da Ed
OR.
o que vem.
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TIDO. E O PA
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O.
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PUC/S P ducação
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guém.
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9
1
1
PONTIFProgra
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P – MAS
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P – MAS À
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P – E AÍ, V
C ‐ DEIXA
P – ENTÃ
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C – É, PO
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C – NÃO,
10. (G‐I) Falt
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C – TÁ ER
P – TÁ CE
C – TÁ CE
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P – NÃO
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C – PORQ
SÓ QUE A
P – E SE E
C – DERR
FICIA UNIVama de Estud
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VOCÊ ACHA
A.
O PODE DEIX
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BRAVAS MAS
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PORQUE ELA
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o congelado
RRADO, PORQ
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ERTO. NÃO,
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A.
ENTENDI. O
HOU.
QUE A LUZ
O GELO.
sorvete derre
QUE O SORV
AÍ, OU A GEN
ELE FICAR FO
ETE.
VERSIDADEdos Pós-Grad
OLOCAR NÃO
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QUE TÁ A G
E PODE SER
QUE A GENT
XAR? PODE A
RAS FAZEM
S NÃO MORD
SSOAL PASSA
mãe era cri
A NÃO TINHA
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QUE NA CAS
ERRADA?
TÁ ERRADO
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O QUE PODE
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ETE ELE NÃO
NTE CHUPA O
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E CATÓLIduados em Ed
O MORDEU
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GENTE NÃO P
BRAVO E NÃ
TE DEIXA OU
ACONTECER?
A MESMA C
DEM?
A LONGE.
ança, eu bri
A NASCIDO A
nio durante
reteu.
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. PORQUE E
DE USAR A
E ACONTECE
PODE SER A
e ficou muito
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OU PÕE NA G
CA DE SÃOducação: Psic
NINGUÉM...
SSOAS.
PODE DEIXAR
ÃO MORDER?
TIRA ESSA F
?
OISA
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AINDA, SE EL
seis dias, m
UZ... (RELÊ).
LE PODE... A
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GELADEIRA.
O PAULO - cologia da Ed
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R?
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RASE?
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mas, mesmo
A LUZ DO CO
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. TENTA ME
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E PODE FICA
PUC/S P ducação
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ONGELADOR
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EXPLICAR O
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CELO É
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DEIRA,
1
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1
2
3
PONTIFProgra
P – ENTÃ
C – TÁ ER
P – POR Q
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P – E VOC
C – TÁ ER
P – POR Q
C – PORQ
PODE VIR
P – ENTÃ
C – TÁ.
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C – TÁ ER
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P – QUAN
C – TÁ.
P – POR Q
C – ADOL
TOS 3 ‐ PROB
1. (G‐I) O pa
C – O PA
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2. (IC‐I) Fra
C – TÁ E
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FICIA UNIVama de Estud
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RRADA.
QUÊ?
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CÊ ACHA QU
RRADO.
QUE TÁ ERRA
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O ESSA FRAS
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escente.
RRADO. Ó... M
QUE FEZ QU
NDO ERA AD
QUÊ?
LESCENTE JÁ
BLEMAS COM
ai de Alfredo
AI DE ALFRE
ancisco não c
RRADA. POR
OTA ALTA.
IM QUE FICA
M QUE TIRAR
mãe de Joana
VERSIDADEdos Pós-Grad
SE TÁ CERTA
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E ELA TÁ CER
ADO?
VETE NÃO PO
OU A GENTE
SE TÁ ERRAD
a pré‐escola
MARCELO ES
ANDO ERA P
OLESCENTE T
É ADULTO.
M VIOLAÇÃO
o abriu o gua
DO ABRIU O
conseguiu te
RQUE Ó... FR
ARIA CERTO?
R NOTA ALTA
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E CATÓLIduados em Ed
A OU ERRADA
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ODE FICAR M
DEIXA NA GE
DA?
a. Ele adora
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PRÉ‐ESCOLAR
TÁ ERRADO?
O LÓGICA – IC
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O GUARDA‐C
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A.
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CA DE SÃOducação: Psic
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R.
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C, IT E GERA
porque não e
CHUVA PORQ
ova porque
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s eles não er
O PAULO - cologia da Ed
U MUITO T
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E ADORA OLH
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TERMINAR A
ram vermelh
PUC/S P ducação
TEMPO FOR
A GELADEIRA
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chovendo.
A CHOVEND
baixa.
A PROVA PO
hos.
A DA
A, ELE
uando
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DO. TÁ
ORQUE
4
5
6
7
8
PONTIFProgra
C – A MÃ
P – MAS
C – NÃO.
P – ENTÃ
C – TÁ.
4. (IC‐I) Eu
C – PORQ
P – TÁ CE
C – TÁ CE
P – VOCÊ
C – PODE
5. (IC‐P) O p
C – TÁ CE
P – PODE
C – PORQ
6. (IT‐I) Vou
semana p
C – ESSA
MINHA F
7. (G‐P) Joã
C – (PAUS
P – PODE
C – MEU
P – PODE
C – PODE
8. (G‐I) Lúc
C – TÁ C
DESCANS
P – (RELE
FICIA UNIVama de Estud
ÃE DE JOANA
PODE ACONT
NÃO EXISTE
O ESSA FRAS
me cortei co
QUE ELE SE C
ERTA OU ERR
ERTA.
Ê ACHA QUE
E. ELE SE COR
passarinho c
ERTA.
E FICAR? POR
QUE O PASSA
u convidar
passada.
A TÁ ERRADA
ESTA DE ANI
o comeu tod
SA). TÁ CERT
E SER ESSA? P
IRMÃO FAZ
E DEIXAR?
E.
ia foi descen
ERTO, PORQ
SOU.
EIO).
VERSIDADEdos Pós-Grad
COMPROU T
TECER DE EL
E DE OUTRA C
SE TÁ ERRAD
om a faca po
ORTOU E SA
RADA?
ESSA PODE D
RTOU E SAIU
onseguiu fug
R QUÊ?
ARINHO FUG
meus amig
A, PORQUE Ó
IVERSÁRIO N
da a comida
TA.
POR QUÊ?
ISSO, ELE PA
ndo da árvor
QUE ELA FOI
E CATÓLIduados em Ed
TOMATES E
LA TER COMP
COR.
DA?
orque saiu m
AIU MUITO SA
DEIXAR? (RE
MUITO SAN
gir porque e
IU PORQUE
gos para vir
Ó... VOU CO
NA SEMANA
que estava
ARECE UM L
re até chega
I NO ALTO D
CA DE SÃOducação: Psic
ELES ERAM V
PRADO TOM
muito sangue
ANGUE.
LEIO).
NGUE.
esqueceram
DEIXARAM A
rem na min
ONVIDAR ME
PASSADA, N
no seu prato
EÃO!
r no alto del
DA ÁRVORE,
O PAULO - cologia da Ed
VERMELHOS
ATES SEM SE
e.
aberta a por
A PORTA DA
nha festa de
EUS AMIGOS
ÃO, NA SEM
o, mas conti
la.
DEPOIS CHE
PUC/S P ducação
S.
ER VERMELH
rta da gaiola
GAIOLA ABE
e aniversári
S PARA VIRE
MANA QUE VE
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EGOU NO A
HO?
a.
ERTA.
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M NA
EM.
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LTO E
9
1
1
1
PROB
PONTIFProgra
C – TÁ CE
P – POR Q
C – PORQ
P – E ELA
C – NÃO,
P – ENTÃ
C – (PAUS
P – TÁ CE
C – PORQ
9. (IT‐I) Tire
C – PODE
DA SEMA
10. (IT‐P) No
cedo na s
C – TÁ CE
P – TÁ CE
C – POR
LEVANTA
11. (IC‐I) A pe
C – A PED
AQUI, E
EMPURRÁ
P – ASSIM
C‐ (ACENA
12. (IT‐I) Me
C – TÁ ER
P – TEM M
C – QUER
BLEMAS SEM
FICIA UNIVama de Estud
ERTO.
QUÊ?
QUE A ÁRVOR
VAI DESCEN
ELA VAI SUB
O SERÁ QUE
SA). TÁ CERT
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QUE ELA FOI
ei nota B na
E SER ASSIM:
ANA PASSADA
o domingo e
segunda‐feir
ERTO.
ERTO? POR Q
R QUE ELE
AR CEDO.
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DRA É MUITO
ESSA AQUI
Á‐LA ACHEI D
M FICARIA CE
A POSITIVAM
eu time fez d
RRADO. PORQ
MAIS UM GR
RO FAZER.
M NÚMERO
VERSIDADEdos Pós-Grad
RE PODE SER
NDO PRA CHE
BINDO.
E TÁ CERTA O
TO.
QUÊ?
DESCANSAR
prova da se
: TIREI NOTA
A.
eu fui para a
ra.
QUE VOCÊ AC
FOI DORMIR
uito pesada,
O PESADA PO
: A PEDRA
DIFÍCIL.
ERTA?
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QUE ELE JÁ F
RUPO, VOCÊ
E CATÓLIduados em Ed
R GRANDE E
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OU ERRADA?
R LÁ NO ALTO
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A B NA PROV
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R 7 HORAS,
porque eu a
ORQUE EU...
ERA MUITO
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primeiro tem
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QUER FAZER
CA DE SÃOducação: Psic
ELA PODE D
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O PAULO - cologia da Ed
ESCANSAR LÁ
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PARAR?
PUC/S P ducação
LÁ NO ALTO D
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PONTIFProgra
1. Minha ti
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C – CONT
P – CONT
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C – ENT
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P – NÃO
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C – NÃO.
2. Hoje eu
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C – ELA Q
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P – ELA
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C – ELA S
P – O QU
C – ELA JÁ
P – E CO
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C – NÃO.
P – NÃO T
C – NÃO,
P – E SEM
C – NÃO,
FICIA UNIVama de Estud
a foi ao me
ainda tinha
usou. O q
a?
TAR.
TAR O QUE?
TAR OS OVOS
TÁ LÁ NO ME
S ELA TINHA
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TÃO ELA PO
RIR E VOLTAR
TEM OUTRO
quero fazer
e eu já sei:
usta a mant
QUER SABER
PRECISAR CO
A SABE QU
SADO E A
IRO INTEIRO
ABE, PORQU
E ELA JÁ SAB
Á SABE A REC
OMO ELA SA
ZER?
TEM COMO
PORQUE SE
M O NÚMERO
NÃO DÁ.
VERSIDADEdos Pós-Grad
ercado comp
a na geladei
que ela dev
S, QUANTOS
RCADO. ELA
A COMPRADO
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R PRO SUPER
O JEITO? UM
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QUANTO QU
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CEITA E QUA
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TIVESSE O N
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E CATÓLIduados em Ed
prar ovos pa
ra, mas sab
ve fazer pa
S TEM NA GE
A NÃO LEMBR
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R LÁ NO M
RMERCADO E
A CONTINHA
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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E CATÓLIduados em Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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FICIA UNIVama de Estud
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PONTIFProgra
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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PONTIFProgra
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E CATÓLIduados em Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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FICIA UNIVama de Estud
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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O PAULO - cologia da Ed
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PUC/S P ducação
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P – POR Q
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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E CATÓLIduados em Ed
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PUC/S P ducação
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FICIA UNIVama de Estud
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VERSIDADEdos Pós-Grad
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E CATÓLIduados em Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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O PAULO - cologia da Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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FICIA UNIVama de Estud
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CA DE SÃOducação: Psic
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CA DE SÃOducação: Psic
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O PAULO - cologia da Ed
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FICIA UNIVama de Estud
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E CATÓLIduados em Ed
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CA DE SÃOducação: Psic
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