Reseaux et signal : des outils de traitement dusignal pour l’analyse des reseaux
Nicolas Tremblaysous la direction de Pierre Borgnat
Prix de these, GRETSI 2015
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Collaborateurs-trices
Mon directeur de these ! : Pierre Borgnat.
ENS Lyon : Patrice Abry, Benjamin Audit, Rasha Boulos, PatrickFlandrin, Benjamin Girault, Paulo Goncalves, Ronan Hamon, PabloJensen, Jean-Francois Pinton, Stephane Roux.
CPT Marseille : Alain Barrat.
Japon : Hiroshi Esaki, Romain Fontugne, Kensuke Fukuda.
Etats-Unis : Arnaud Delorme, Cary Forest, Mark Nornberg.
Etudiants co-encadres : Reda Alami, Remi Menaut,Nathanael Willaime.
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 1 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 2 / 43
Qu’est-ce qu’unreseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 2 / 43
Qu’est-ce qu’unreseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 2 / 43
Qu’est-ce qu’unreseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
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Qu’est-ce qu’unreseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 2 / 43
Qu’est-ce qu’unreseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 2 / 43
Qu’est-ce qu’unreseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 3 / 43
Pourquoianalyser des
reseaux ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 3 / 43
Reseauxinformatiques :
lien entre structureet vulnerabilite
Pourquoianalyser des
reseaux ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 3 / 43
Reseauxbiologiques :
lien entre structure etfonction biologique
Reseauxinformatiques :
lien entre structureet vulnerabilite
Pourquoianalyser des
reseaux ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 3 / 43
Reseaux dedistribution :
lien entre structureet efficacite
Reseauxbiologiques :
lien entre structure etfonction biologique
Reseauxinformatiques :
lien entre structureet vulnerabilite
Pourquoianalyser des
reseaux ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 3 / 43
Reseaux dedistribution :
lien entre structureet efficacite
Reseaux detransport :
lien entre structureet flux de passagers
Reseauxbiologiques :
lien entre structure etfonction biologique
Reseauxinformatiques :
lien entre structureet vulnerabilite
Pourquoianalyser des
reseaux ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 3 / 43
Reseaux dedistribution :
lien entre structureet efficacite
Reseaux detransport :
lien entre structureet flux de passagers
Reseaux sociaux :lien entre structure et
vitesse de diffusion(d’une rumeur, d’une
maladie...)
Reseauxbiologiques :
lien entre structure etfonction biologique
Reseauxinformatiques :
lien entre structureet vulnerabilite
Pourquoianalyser des
reseaux ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 4 / 43
Premiere etape :modeliser sous forme
de graphes
Commentanalyser un
reseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 4 / 43
Premiere etape :modeliser sous forme
de graphes
Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Commentanalyser un
reseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 4 / 43
Premiere etape :modeliser sous forme
de graphes
Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Commentanalyser un
reseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 5 / 43
. Alice, Bob, et Charlottesont amis.
. Bob et David sontamis.
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 5 / 43
. Alice, Bob, et Charlottesont amis.
. Bob et David sontamis.
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 5 / 43
. Alice, Bob, et Charlottese connaissent.
. Bob et David sont tresbons amis.
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 5 / 43
. Alice, Bob, et Charlottese connaissent.
. Bob et David sont tresbons amis.
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 5 / 43
monde reel monde modelise
. Alice, Bob, et Charlottese connaissent.
. Bob et David sont tresbons amis.
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
reseau : ensemble decomposants interconnectes
graphe : ensemble de nœudsconnectes par des liens
AliceBob
CharlotteDavid
interconnectes
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 6 / 43
monde reel monde modelise
{composants
nœuds
liens
}
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
reseau : ensemble decomposants interconnectes
graphe : ensemble de nœudsconnectes par des liens
AliceBob
CharlotteDavid
interconnectes
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 6 / 43
monde reel monde modelise
{composants nœuds
liens
}
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 7 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 7 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 8 / 43
Premiere etape :modeliser sous forme
de graphes
Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Commentanalyser un
reseau ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
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Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
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Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
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Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
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Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
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Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 9 / 43
Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 9 / 43
Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 9 / 43
Deuxieme etape :analyser les graphes
obtenus
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Du signal “classique” au signal sur graphe
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 10 / 43
J F M A M J J A S O N D−20
0
20
40
C
0 5 10 15 205
10
15
C
Heure
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Du signal “classique” au signal sur graphe
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 10 / 43
J F M A M J J A S O N D−20
0
20
40
C
0 5 10 15 205
10
15
C
Heure
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Du signal “classique” au signal sur graphe
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 10 / 43
J F M A M J J A S O N D−20
0
20
40
C
0 5 10 15 205
10
15
C
Heure
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Du signal “classique” au signal sur graphe
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 10 / 43
J F M A M J J A S O N D−20
0
20
40
C
0 5 10 15 205
10
15
C
Heure
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Du signal “classique” au signal sur graphe
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 10 / 43
J F M A M J J A S O N D−20
0
20
40
C
0 5 10 15 205
10
15
C
Heure
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Du signal “classique” au signal sur graphe
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 10 / 43
J F M A M J J A S O N D−20
0
20
40
C
0 5 10 15 205
10
15
C
Heure
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 11 / 43
Contributions methodologiques :
• Detection multiechelle decomunautes
• Analyse multi-echelle• Bootstrap de sous-graphes
contraints• EMD sur graphe
Contributions experimentales :
Deploiement Sociopatterns dans deuxcontextes :• une conference scientifique. 342
participants. Une semaine• le laboratoire de Physique de
l’ENS. 100 participants. Deuxsemaines.
Contributions applicatives :
• Sociologie : analyse de reseauxSociopatterns [Phys Rev E ’13],
• Energie : detection automatiqued’anomalies de consommationd’energie [ICASSP ’13, IPSN ’13],
• Biologie : point de vue “reseau”des matrices d’interactionschromosomiques [GRETSI ’15],
• Histoire de l’art : classification detexture de papier photo [SPMAG
’15, GRETSI ’15]
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 11 / 43
Contributions methodologiques :
• Detection multiechelle decomunautes
• Analyse multi-echelle• Bootstrap de sous-graphes
contraints• EMD sur graphe
Contributions experimentales :
Deploiement Sociopatterns dans deuxcontextes :• une conference scientifique. 342
participants. Une semaine• le laboratoire de Physique de
l’ENS. 100 participants. Deuxsemaines.
Contributions applicatives :
• Sociologie : analyse de reseauxSociopatterns [Phys Rev E ’13],
• Energie : detection automatiqued’anomalies de consommationd’energie [ICASSP ’13, IPSN ’13],
• Biologie : point de vue “reseau”des matrices d’interactionschromosomiques [GRETSI ’15],
• Histoire de l’art : classification detexture de papier photo [SPMAG
’15, GRETSI ’15]
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 11 / 43
Contributions methodologiques :
• Detection multiechelle decomunautes
• Analyse multi-echelle• Bootstrap de sous-graphes
contraints• EMD sur graphe
Contributions experimentales :
Deploiement Sociopatterns dans deuxcontextes :• une conference scientifique. 342
participants. Une semaine• le laboratoire de Physique de
l’ENS. 100 participants. Deuxsemaines.
Contributions applicatives :
• Sociologie : analyse de reseauxSociopatterns [Phys Rev E ’13],
• Energie : detection automatiqued’anomalies de consommationd’energie [ICASSP ’13, IPSN ’13],
• Biologie : point de vue “reseau”des matrices d’interactionschromosomiques [GRETSI ’15],
• Histoire de l’art : classification detexture de papier photo [SPMAG
’15, GRETSI ’15]
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 12 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 12 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 12 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 12 / 43
Traitement du signal
Analyse des graphes
Transformée de Fourier sur graphe
Ondelettes sur graphe
Détection multiéchelle
de communautés
I.
II.
III.
Analyse multi-échelle sur graphe
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 13 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Trois matrices utiles
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 14 / 43
La matrice d’adjacence : La matrice des forces :
La matrice laplacienne :
La matrice laplacienne :
W =
0 1 1 01 0 1 11 1 0 00 1 0 0
S =
2 0 0 00 3 0 00 0 2 00 0 0 1
L = S−W =
2 −1 −1 0−1 3 −1 −1−1 −1 2 00 −1 0 1
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Trois matrices utiles
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 14 / 43
La matrice d’adjacence : La matrice des forces :
La matrice laplacienne :
La matrice laplacienne :
W =
0 .5 .5 0.5 0 .5 4.5 .5 0 00 4 0 0
S =
1 0 0 00 5 0 00 0 1 00 0 0 4
L = S−W =
1 −.5 −.5 0−.5 5 −.5 −4−.5 −.5 1 0
0 −4 0 4
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Trois matrices utiles
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 14 / 43
La matrice d’adjacence : La matrice des forces :
La matrice laplacienne :
La matrice laplacienne :
W =
0 1 0 0 ··· 0 11 0 1 0 ··· 0 00 1 0 1 ··· 0 0...
......
......
...0 0 0 0 ··· 0 11 0 0 0 ··· 1 0
S =
2 0 0 0 ··· 0 00 2 0 0 ··· 0 00 0 2 0 ··· 0 0...
......
......
...0 0 0 0 ··· 2 00 0 0 0 ··· 0 2
L = S−W =
2 −1 0 0 ··· 0 −1−1 2 −1 0 ··· 0 00 −1 2 −1 ··· 0 0...
......
......
...0 0 0 0 ··· 2 −1−1 0 0 0 ··· −1 2
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Theoreme classique
Toute matrice circulante de MN(C) estdiagonalisable par la matrice de Fourier classique F :
F =1√N
1 1 1 1 ··· 11 ω ω2 ω3 ··· ωN−1
1 ω2 ω4 ω6 ··· ω2(N−1)
1 ω3 ω6 ω9 ··· ω3(N−1)
......
......
...1 ωN−1 ω2(N−1) ω3(N−1) ··· ω(N−1)(N−1)
avec ω = exp(−2iπ
N ) la racine n-ieme de l’unite.
id est :les modes de Fourier classiques (les colonnes de F)sont vecteurs propres de toute matrice circulante.
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 15 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Comment definir une matrice de Fourier sur graphe ?[Sandryhaila, Moura ’13]
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 16 / 43
Le cas classique :
Wcl =
0 1 0 0 ··· 0 11 0 1 0 ··· 0 00 1 0 1 ··· 0 0...
......
......
...0 0 0 0 ··· 0 11 0 0 0 ··· 1 0
Par le theoreme : les modes deFourier classiques sont lesvecteurs propres de Wcl
Le cas d’un graphequelconque :
W
Par analogie : les modes deFourier sont les vecteurs propres
de la matrice d’adjacence W.
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Comment definir une matrice de Fourier sur graphe ?[Sandryhaila, Moura ’13]
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 16 / 43
Le cas classique :
Wcl =
0 1 0 0 ··· 0 11 0 1 0 ··· 0 00 1 0 1 ··· 0 0...
......
......
...0 0 0 0 ··· 0 11 0 0 0 ··· 1 0
Par le theoreme : les modes deFourier classiques sont lesvecteurs propres de Wcl
Le cas d’un graphequelconque :
W
Par analogie : les modes deFourier sont les vecteurs propres
de la matrice d’adjacence W.
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Comment definir une matrice de Fourier sur graphe ?[Hammond, Shuman, Vandergheynst ’11]
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 17 / 43
Le cas classique :
Lcl =
2 −1 0 ··· 0 −1−1 2 −1 ··· 0 0...
......
......
0 0 0 ··· 2 −1−1 0 0 ··· −1 2
Par le theoreme : les modes deFourier classiques sont les
vecteurs propres de Lcl
Le cas d’un graphequelconque :
L
Par analogie : les modes deFourier sont les vecteurs propres
de la matrice laplacienne L.
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Comment definir une matrice de Fourier sur graphe ?[Hammond, Shuman, Vandergheynst ’11]
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 17 / 43
Le cas classique :
Lcl =
2 −1 0 ··· 0 −1−1 2 −1 ··· 0 0...
......
......
0 0 0 ··· 2 −1−1 0 0 ··· −1 2
Par le theoreme : les modes deFourier classiques sont les
vecteurs propres de Lcl
Le cas d’un graphequelconque :
L
Par analogie : les modes deFourier sont les vecteurs propres
de la matrice laplacienne L.
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
L’analogie choisie
L = IN − S−1/2WS−1/2
Les vecteurs propres :
χ = (χ1|χ2| · · · |χN)
representent une matrice(orthonormee) de Fourier du
graphe.
Les valeurs propres :
0 = λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λN ≤ 2
representent les frequences aucarre de chaque mode de
Fourier χi .
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 18 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Illustration
Basse Frequence : Haute Frequence :
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 19 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Phenomene de localisation
Graphe boucle :
λ
nu
me
ro d
u n
oe
ud
0.08 0.33 1.1 1.5 1.97
1
4
7
10
13
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
Graphe comete :
λ
nu
me
ro d
u n
oe
ud
0.02 0.53 1.24 1.28 1.89
1
4
7
10
13−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 20 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Phenomene de localisation
Graphe boucle :
λ
nu
me
ro d
u n
oe
ud
0.08 0.33 1.1 1.5 1.97
1
4
7
10
13
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
Graphe comete :
λ
nu
me
ro d
u n
oe
ud
0.02 0.53 1.24 1.28 1.89
1
4
7
10
13−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 20 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
La transformee de Fourier
• soit f ∈ RN un signal sur un graphe de taille N.
• f est obtenue en decomposant f sur les vecteurs propres χi :
f =
< χ1, f >< χ2, f >< χ3, f >
...< χN , f >
, i.e. f = χ> f
• Reciproquement, la transformee de Fourier inverse s’ecrit :
f = χ f
• Le theoreme de Parseval reste valide : ∀(g , h) < g , h >=< g , h >
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 21 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Filtrage
Soit une fonction filtre g definiedans l’espace de Fourier.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2λ
g(λ
)
Dans l’espace de Fourier, le signal filtre par g s’ecrit :
f g =
f (1) g(λ1)
f (2) g(λ2)
f (3) g(λ3)...
f (N) g(λN)
= G f avec G =
g(λ1) 0 0 ... 00 g(λ2) 0 ... 00 0 g(λ3) ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... g(λN)
Dans l’espace des nœuds, le signal filtre f g s’ecrit donc :
f g = χ Gχ> f
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 22 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Les ondelettes classiques
• Classiquement, une ondelette ψest une fonction de carresommable, oscillante et demoyenne nulle.
• Par translation de a et dilatationde s de l’ondelette-mere ψ, onobtient la famille d’ondelettesfilles ψs,a.
Decomposer un signal sur une famille d’ondelettes a desapplications en analyse (singularites, etc. . .), en compression de
donnees (format JPEG, etc. . .), . . .
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 23 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Les ondelettes classiques
� Une ondelette-fille ψs,a est une translation de a et une dilatationde s de l’ondelette-mere ψ � :
ψs,a(x) =1
sψ
(x − a
s
)⇔ ψs,a(x) =
∫∞−∞ ψ(sω)δa(ω) expiωx dω
• ψ(sω) agit comme un banc de filtres defini en dilatant par unfacteur s le noyau de filtre ψ(ω).
• Le noyau de filtre ψ(ω) est necessairement passe-bande :
• ψ(0) = 0 : la moyenne de ψ est nulle• limω→+∞
ψ(ω) = 0 : ψ est de carre sommable.
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 24 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Ondelettes classiquespar analogie−−−−−−→ Ondelettes sur graphe
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 25 / 43
[Hammond et al. ’11]
Monde classique Monde des graphes
Variable reelle x nœud a
Variable de Fourier ω val. propres λi
Noyau de filtre ψ(ω) g(λi)⇔ G
Banc de filtres ψ(sω) g(sλi)⇔ Gs
Modes de Fourier exp−iωx vec. propres χi
Transf. Fourier de f∫∞−∞ f (x) exp−iωx dx χ> f
L’ondelette a l’echelle s centree autour d’un nœud a s’ecrit :
ψs,a(x) =∫∞−∞ ψ(sω)δa(ω) expiωx dω ⇒
ψs,a = χGs δa = χGsχ>δa
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Ondelettes classiquespar analogie−−−−−−→ Ondelettes sur graphe
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 25 / 43
[Hammond et al. ’11]
Monde classique Monde des graphes
Variable reelle x nœud a
Variable de Fourier ω val. propres λi
Noyau de filtre ψ(ω) g(λi)⇔ G
Banc de filtres ψ(sω) g(sλi)⇔ Gs
Modes de Fourier exp−iωx vec. propres χi
Transf. Fourier de f∫∞−∞ f (x) exp−iωx dx χ> f
L’ondelette a l’echelle s centree autour d’un nœud a s’ecrit :
ψs,a(x) =∫∞−∞ ψ(sω)δa(ω) expiωx dω ⇒ ψs,a = χGs δa = χGsχ
>δa
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Illustration d’ondelettes sur graphe
Une ondelette :
Translatee : Dilatee :
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 26 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
En resume
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 27 / 43
Matrice de Fourierdu graphe
Transformee de Fouriersur graphe :
f = χ>f
Filtrage sur graphe :
f g = χ Gχ> f
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2λ
g(λ
)
Banc de filtres :
0 1 20
2
4
6
8
λ
g(s
λ)
s=7
s=13
s=25
s=47
Ondelettes surgraphe :
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
En resume
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 27 / 43
Matrice de Fourierdu graphe
Transformee de Fouriersur graphe :
f = χ>f
Filtrage sur graphe :
f g = χ Gχ> f
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2λ
g(λ
)
Banc de filtres :
0 1 20
2
4
6
8
λ
g(s
λ)
s=7
s=13
s=25
s=47
Ondelettes surgraphe :
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
En resume
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 27 / 43
Matrice de Fourierdu graphe
Transformee de Fouriersur graphe :
f = χ>f
Filtrage sur graphe :
f g = χ Gχ> f
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2λ
g(λ
)
Banc de filtres :
0 1 20
2
4
6
8
λ
g(s
λ)
s=7
s=13
s=25
s=47
Ondelettes surgraphe :
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
En resume
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 27 / 43
Matrice de Fourierdu graphe
Transformee de Fouriersur graphe :
f = χ>f
Filtrage sur graphe :
f g = χ Gχ> f
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2λ
g(λ
)
Banc de filtres :
0 1 20
2
4
6
8
λ
g(s
λ)
s=7
s=13
s=25
s=47
Ondelettes surgraphe :
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
En resume
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 27 / 43
Matrice de Fourierdu graphe
Transformee de Fouriersur graphe :
f = χ>f
Filtrage sur graphe :
f g = χ Gχ> f
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2λ
g(λ
)
Banc de filtres :
0 1 20
2
4
6
8
λ
g(s
λ)
s=7
s=13
s=25
s=47
Ondelettes surgraphe :
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 28 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
But de la detection de communautes
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 29 / 43
someone
someone
ei Π=−1
1) Simplifier la lecture :
ei Π=−1
2) Nous donner de l’intuition :
ei Π=−1 ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
But de la detection de communautes
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 29 / 43
someone
someone
ei Π=−1
1) Simplifier la lecture :
ei Π=−1
2) Nous donner de l’intuition :
ei Π=−1 ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
But de la detection de communautes
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 29 / 43
someone
someone
ei Π=−1
1) Simplifier la lecture :
ei Π=−1
2) Nous donner de l’intuition :
ei Π=−1 ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
But de la detection de communautes
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 29 / 43
someone
someone
ei Π=−1
1) Simplifier la lecture :
ei Π=−1
2) Nous donner de l’intuition :
ei Π=−1 ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
La detection de communautes classique [Fortunato ’10]
Communaute : groupe de nœuds plus connectes entre eux qu’avecle reste du graphe.Detection de communautes : trouver une partition qui separe legraphe en communautes.
Quelques methodes classiques :
• [Newman et al. ’04] Optimisation de la fonction de modularite :
Q = 12N
∑ij
[Aij −
didj2N
]δ(ci , cj).
• [Donath et al. ’73] Clustering spectral : utilise les premiersvecteurs propres du laplacien.
• [Zhou et al. ’04] Approches de marches aleatoires.
• [Rosvall et al. ’08] Approches via la theorie de l’information.
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 30 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Trois exemples de detection de communautes
• (A) Topologie non-uniforme
• (B) Reseau de contacts dans une ecole primaire [Stehle et al. ’11]
• (C) Modele de graphe hierarchique [Sales-Pardo et al. ’07]
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 31 / 43
A B C
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
But de la detection multiechelle de communautes
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 32 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 33 / 43
Nœud A :
Nœud B :
Coef.Corr. :
Resultat :
A petite echelle :
-0.50
Communautesdifferentes
A plus grandeechelle :
0.97
Meme communaute
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 33 / 43
Nœud A :
Nœud B :
Coef.Corr. :
Resultat :
A petite echelle :
-0.50
Communautesdifferentes
A plus grandeechelle :
0.97
Meme communaute
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Algorithme [EUSIPCO ’13]
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 34 / 43
1. Soit un graphe G et une echelle s ∈ R∗.2. Calculer les ondelettes Ψs .
3. Calculer la matrice de distance decorrelation Ds :
Ds(a, b) = 1− ψ>s,aψs,b
||ψs,a||2 ||ψs,b||2.
4. A partir de Ds , generer undendrogramme a l’aide d’un algorithmede clustering hierarchique.
5. Couper le dendrogramme au niveau deson plus grand saut pour obtenir lapartition a l’echelle s.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
corr
ela
tion d
ista
nce
nodes
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
corr
ela
tion d
ista
nce
nodes
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Algorithme [EUSIPCO ’13]
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 34 / 43
1. Soit un graphe G et une echelle s ∈ R∗.2. Calculer les ondelettes Ψs .
3. Calculer la matrice de distance decorrelation Ds :
Ds(a, b) = 1− ψ>s,aψs,b
||ψs,a||2 ||ψs,b||2.
4. A partir de Ds , generer undendrogramme a l’aide d’un algorithmede clustering hierarchique.
5. Couper le dendrogramme au niveau deson plus grand saut pour obtenir lapartition a l’echelle s.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
corr
ela
tion d
ista
nce
nodes
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
corr
ela
tion d
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nce
nodes
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Algorithme [EUSIPCO ’13]
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 34 / 43
1. Soit un graphe G et une echelle s ∈ R∗.2. Calculer les ondelettes Ψs .
3. Calculer la matrice de distance decorrelation Ds :
Ds(a, b) = 1− ψ>s,aψs,b
||ψs,a||2 ||ψs,b||2.
4. A partir de Ds , generer undendrogramme a l’aide d’un algorithmede clustering hierarchique.
5. Couper le dendrogramme au niveau deson plus grand saut pour obtenir lapartition a l’echelle s.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
corr
ela
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nodes
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
corr
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nce
nodes
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 35 / 43
La transformee en ondelettesrapide [Shuman et al. ’11] :
Soit l’approximation polynomiale de g :
g(sλ) 'm∑i=1
αiλi , i.e. Gs '
m∑i=1
αiΛi .
Soit un signal f , sa T.O. s’ecrit :
χGsχ>f '
m∑i=1
αiχΛiχ>f =m∑i=1
αiLi f .
⇒ plus besoin de diagonaliser L !
FWT s f =m∑i=1
αiLi f
Calcul rapide de Ds :[GLOBALSIP ’13]
1. Generer une matrice aleatoiregaussienne de moyenne nulle etde variance 1 :
R = (r1|r2| . . . |rη) ∈ RN×η
2. Calculer la T.O de chacun desvecteurs aleatoires ri :
FWT sR = [f>s,1|f>s,2| · · · |f
>s,N ]>
3. On peut montrer que :
Ds(a, b) ' 1− Corr(fs,a, fs,b)
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 35 / 43
La transformee en ondelettesrapide [Shuman et al. ’11] :
Soit l’approximation polynomiale de g :
g(sλ) 'm∑i=1
αiλi , i.e. Gs '
m∑i=1
αiΛi .
Soit un signal f , sa T.O. s’ecrit :
χGsχ>f '
m∑i=1
αiχΛiχ>f =m∑i=1
αiLi f .
⇒ plus besoin de diagonaliser L !
FWT s f =m∑i=1
αiLi f
Calcul rapide de Ds :[GLOBALSIP ’13]
1. Generer une matrice aleatoiregaussienne de moyenne nulle etde variance 1 :
R = (r1|r2| . . . |rη) ∈ RN×η
2. Calculer la T.O de chacun desvecteurs aleatoires ri :
FWT sR = [f>s,1|f>s,2| · · · |f
>s,N ]>
3. On peut montrer que :
Ds(a, b) ' 1− Corr(fs,a, fs,b)
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
L’interet des vecteurs aleatoires
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 36 / 43
• Gain de temps de calcul significatif
• Empiriquement, on trouve qu’ilsuffit de c vecteurs aleatoires pourcorrectement detecter unestructure a c communautes. Lienavec l’acquisition comprimee ?
• L’algorithme devient stochastique.Soit J realisations, definissons unestabilite a l’echelle s : [GRETSI ’13]
γa(s) = 2J(J−1)
∑(i,j)∈J,i 6=j
simi(P is ,P
js)
20 40 60 80 100
3.23.43.63.8
44.2
η
<co
mp
. tim
e>
(se
c)
20 40 60 80 1000
0.5
1
η<
ratio
s>
LS Recall
MS Recall
SS Recall
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 37 / 43
Ondelettes et communautés multiéchelles
"acquisition comprimée" à l'aide de la T.O. de vecteurs aléatoires
mesure de stabilité
test statistique pour extraire les
échelles pertinentes
performance proche de l'état de l'art
généralisation de méthodes existantes
dans un même formalisme
design de filtres d'ondelettes adaptés
[IEEE TSP ’14]
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 38 / 43
Traitement du signal
Analyse des graphes
III.
Analyse multi-échelle sur graphe
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Analyse multi-echelle d’un signal sur graphe
Un banc defiltres classique :
H0
H1
G0
G1
x x
2
2 2
2approx.
details
Quels equivalents (pour les graphes) des operateurs de decimation ?
1D classique :
2D classique :
[Narang et al. ’12] :
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2 34
5
1
2
34
5
[Shuman et al. ’13] :
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 39 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Analyse multi-echelle d’un signal sur graphe
Un banc defiltres classique :
H0
H1
G0
G1
x x
2
2 2
2approx.
details
Quels equivalents (pour les graphes) des operateurs de decimation ?
1D classique :
2D classique :
[Narang et al. ’12] :
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2 34
5
1
2
34
5
[Shuman et al. ’13] :
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 39 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Analyse multi-echelle d’un signal sur graphe
Un banc defiltres classique :
H0
H1
G0
G1
x x
2
2 2
2approx.
details
Quels equivalents (pour les graphes) des operateurs de decimation ?
1D classique :
2D classique :
[Narang et al. ’12] :
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2 34
5
1
2
34
5
[Shuman et al. ’13] :
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 39 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Analyse multi-echelle d’un signal sur graphe
Un banc defiltres classique :
H0
H1
G0
G1
x x
2
2 2
2approx.
details
Quels equivalents (pour les graphes) des operateurs de decimation ?
1D classique :
2D classique :
[Narang et al. ’12] :
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2 34
5
1
2
34
5
[Shuman et al. ’13] :
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 39 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Analyse multi-echelle d’un signal sur graphe
Un banc defiltres classique :
H0
H1
G0
G1
x x
2
2 2
2approx.
details
Quels equivalents (pour les graphes) des operateurs de decimation ?
1D classique :
2D classique :
[Narang et al. ’12] :
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2 34
5
1
2
34
5
[Shuman et al. ’13] :
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 39 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Gardons, non plus “unnœud par paire”, mais “unnœud par communaute” :
1
2
3
4
1
24
3
1
23
4
5
1
2
34
5
x1(j-1)
A1(j-1)
on : x1(j)
A1(j)
on :
level (j-1) level (j)
With one connected subgraph
decomposition
With another connected subgraph
decomposition
(x, A)
Analysis block (1)
(...)
(xN1, AN1)~ ~(1)
(x2, A2)(1)
(x1, A1)(1)
Q2T
Q1T
Q3T
QN1
T~
(x3, A3)(1)
Synthesis block (1)
Q2
Q1
Q3
QN1~
(x, A)
Approximation:
Details:
(x, A)Analysisblock(1)
(...)
(xN1, AN1)~ ~(1)
(x2, A2)(1)
(x1, A1)(1)
Analysisblock(2)
(...)
(xN2, AN2)~ ~(2)
(x2, A2)(2)
(x1, A1)(2)
Analysisblock(3)
(...)
(xN3, AN3)~ ~(3)
(x2, A2)(3)
(x1, A1)(3)
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 40 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Gardons, non plus “unnœud par paire”, mais “unnœud par communaute” :
1
2
3
4
1
24
3
1
23
4
5
1
2
34
5
x1(j-1)
A1(j-1)
on : x1(j)
A1(j)
on :
level (j-1) level (j)
With one connected subgraph
decomposition
With another connected subgraph
decomposition
(x, A)
Analysis block (1)
(...)
(xN1, AN1)~ ~(1)
(x2, A2)(1)
(x1, A1)(1)
Q2T
Q1T
Q3T
QN1
T~
(x3, A3)(1)
Synthesis block (1)
Q2
Q1
Q3
QN1~
(x, A)
Approximation:
Details:
(x, A)Analysisblock(1)
(...)
(xN1, AN1)~ ~(1)
(x2, A2)(1)
(x1, A1)(1)
Analysisblock(2)
(...)
(xN2, AN2)~ ~(2)
(x2, A2)(2)
(x1, A1)(2)
Analysisblock(3)
(...)
(xN3, AN3)~ ~(3)
(x2, A2)(3)
(x1, A1)(3)
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 40 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Gardons, non plus “unnœud par paire”, mais “unnœud par communaute” :
1
2
3
4
1
24
3
1
23
4
5
1
2
34
5
x1(j-1)
A1(j-1)
on : x1(j)
A1(j)
on :
level (j-1) level (j)
With one connected subgraph
decomposition
With another connected subgraph
decomposition
(x, A)
Analysis block (1)
(...)
(xN1, AN1)~ ~(1)
(x2, A2)(1)
(x1, A1)(1)
Q2T
Q1T
Q3T
QN1
T~
(x3, A3)(1)
Synthesis block (1)
Q2
Q1
Q3
QN1~
(x, A)
Approximation:
Details:
(x, A)Analysisblock(1)
(...)
(xN1, AN1)~ ~(1)
(x2, A2)(1)
(x1, A1)(1)
Analysisblock(2)
(...)
(xN2, AN2)~ ~(2)
(x2, A2)(2)
(x1, A1)(2)
Analysisblock(3)
(...)
(xN3, AN3)~ ~(3)
(x2, A2)(3)
(x1, A1)(3)
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 40 / 43
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Application (entre autres...) au debruitageSignal sur graphe
original :
Signal bruite :(σ = 1/4)
SNR=12
B. de filtre de[Narang et al. ’13] :
SNR=13.3
B. de filtre bases surles communautes :
SNR=16.8
B. de filtre bases sur lescommunautes (avec“edge-awareness”) :
SNR=23.3
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[soumis a IEEE TSP]
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Application (entre autres...) au debruitageSignal sur graphe
original :
Signal bruite :(σ = 1/4)
SNR=12
B. de filtre de[Narang et al. ’13] :
SNR=13.3
B. de filtre bases surles communautes :
SNR=16.8
B. de filtre bases sur lescommunautes (avec“edge-awareness”) :
SNR=23.3
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[soumis a IEEE TSP]
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Application (entre autres...) au debruitageSignal sur graphe
original :
Signal bruite :(σ = 1/4)
SNR=12
B. de filtre de[Narang et al. ’13] :
SNR=13.3
B. de filtre bases surles communautes :
SNR=16.8
B. de filtre bases sur lescommunautes (avec“edge-awareness”) :
SNR=23.3
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[soumis a IEEE TSP]
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Application (entre autres...) au debruitageSignal sur graphe
original :
Signal bruite :(σ = 1/4)
SNR=12
B. de filtre de[Narang et al. ’13] :
SNR=13.3
B. de filtre bases surles communautes :
SNR=16.8
B. de filtre bases sur lescommunautes (avec“edge-awareness”) :
SNR=23.3
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[soumis a IEEE TSP]
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Perspectives
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Ondelettes et communautes :
• Strategie distribuee ?
• Optimisation filtresd’ondelettes ?
• Communautes recouvrantes ?
Analyse multiechelle :
• Compression conjointe de lastructure d’un graphe et dusignal defini dessus ?
• Transformees (e.g. de Fourier)sur graphe rapide ?
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Perspectives
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Ondelettes et communautes :
• Strategie distribuee ?
• Optimisation filtresd’ondelettes ?
• Communautes recouvrantes ?
Analyse multiechelle :
• Compression conjointe de lastructure d’un graphe et dusignal defini dessus ?
• Transformees (e.g. de Fourier)sur graphe rapide ?
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Perspectives
N. Tremblay Reseaux et traitement du signal GRETSI, le 9 septembre 2015 43 / 43
Graphes dynamiques ?
• Signal dynamique sur graphestatique : video sur graphe ?
• Signal dynamique sur graphedynamique ?
• Approches tensorielles ?• Ondelettes : marqueur de la
deformation topologiquelocale
Ou va-t-on ?
• Analyse des graphes vs.traitement du signal sur graphes
• Reduit aux signaux classiques 1ou 2D le TSG ne fait pas mieuxque l’etat de l’art.
• Collaboration necessaire avectous les domaines d’application
Introduction Traitement du signal sur graphe Ondelettes et communautes Analyse multi-echelle Perspectives
Perspectives
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Graphes dynamiques ?
• Signal dynamique sur graphestatique : video sur graphe ?
• Signal dynamique sur graphedynamique ?
• Approches tensorielles ?• Ondelettes : marqueur de la
deformation topologiquelocale
Ou va-t-on ?
• Analyse des graphes vs.traitement du signal sur graphes
• Reduit aux signaux classiques 1ou 2D le TSG ne fait pas mieuxque l’etat de l’art.
• Collaboration necessaire avectous les domaines d’application