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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resonances et temps de vie des etats metastables enelectrodynamique quantique non relativiste
Jeremy Faupin
Institut de Mathematiques de BordeauxUniversite de Bordeaux 1
Collaboration avecW.K. Abou Salem, J. Frohlich, I.M. Sigal
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Introduction
Systeme physique
• N particules quantiques (electrons) de parametres xj , pj , qj = q,mj = m• En interaction avec le champ electromagnetique quantifie
Hypotheses
• Particules non relativistes, spins negliges, ~ = c = 1• Constante de structure fine supposee suffisamment petite
Operateur de Schrodinger
Hp =NX
j=1
p2j
2m+ V dans L2(R3N)
Objectif
Etudier le comportement des valeurs propres et vecteurs propres excites de Hp
sous l’effet du couplage avec le champ de photons
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Introduction
Systeme physique
• N particules quantiques (electrons) de parametres xj , pj , qj = q,mj = m• En interaction avec le champ electromagnetique quantifie
Hypotheses
• Particules non relativistes, spins negliges, ~ = c = 1• Constante de structure fine supposee suffisamment petite
Operateur de Schrodinger
Hp =NX
j=1
p2j
2m+ V dans L2(R3N)
Objectif
Etudier le comportement des valeurs propres et vecteurs propres excites de Hp
sous l’effet du couplage avec le champ de photons
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Introduction
Systeme physique
• N particules quantiques (electrons) de parametres xj , pj , qj = q,mj = m• En interaction avec le champ electromagnetique quantifie
Hypotheses
• Particules non relativistes, spins negliges, ~ = c = 1• Constante de structure fine supposee suffisamment petite
Operateur de Schrodinger
Hp =NX
j=1
p2j
2m+ V dans L2(R3N)
Objectif
Etudier le comportement des valeurs propres et vecteurs propres excites de Hp
sous l’effet du couplage avec le champ de photons
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Temps devie des etatsmetastables
Introduction
Systeme physique
• N particules quantiques (electrons) de parametres xj , pj , qj = q,mj = m• En interaction avec le champ electromagnetique quantifie
Hypotheses
• Particules non relativistes, spins negliges, ~ = c = 1• Constante de structure fine supposee suffisamment petite
Operateur de Schrodinger
Hp =NX
j=1
p2j
2m+ V dans L2(R3N)
Objectif
Etudier le comportement des valeurs propres et vecteurs propres excites de Hp
sous l’effet du couplage avec le champ de photons
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metastables
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Plan de la presentation
1 Resonances en qed non relativisteDefinition du modeleExistence de resonances
2 Temps de vie des etats metastablesResultatsEsquisse de preuve
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Resonanceset etats
metastables
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Partie I
Resonances en electrodynamique quantique
non relativiste
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Resonanceset etats
metastables
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Espace de Fock
• Espace de Hilbert pour un photon : L2(R3 × 1, 2)• Espace de Fock symetrique pour le champ de photons :
Fs = C⊕Mn≥1
SnL2((R3 × 1, 2)n) =
Mn≥0
Fns
ou Sn est l’operateur de symetrisation
• Operateurs de creation et d’annihilation a∗λ(k) et aλ(k) :
a∗λ(k) : Fns → Fn+1
s
aλ(k) : Fns → Fn−1
s
• Relations canoniques de commutation :
[a∗λ(k), a∗λ′(k ′)] = [aλ(k), aλ′(k ′)] = 0
[a∗λ(k), aλ′(k ′)] = δλλ′δ(k − k ′)
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Espace de Fock
• Espace de Hilbert pour un photon : L2(R3 × 1, 2)• Espace de Fock symetrique pour le champ de photons :
Fs = C⊕Mn≥1
SnL2((R3 × 1, 2)n) =
Mn≥0
Fns
ou Sn est l’operateur de symetrisation
• Operateurs de creation et d’annihilation a∗λ(k) et aλ(k) :
a∗λ(k) : Fns → Fn+1
s
aλ(k) : Fns → Fn−1
s
• Relations canoniques de commutation :
[a∗λ(k), a∗λ′(k ′)] = [aλ(k), aλ′(k ′)] = 0
[a∗λ(k), aλ′(k ′)] = δλλ′δ(k − k ′)
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Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Espace de Fock
• Espace de Hilbert pour un photon : L2(R3 × 1, 2)• Espace de Fock symetrique pour le champ de photons :
Fs = C⊕Mn≥1
SnL2((R3 × 1, 2)n) =
Mn≥0
Fns
ou Sn est l’operateur de symetrisation
• Operateurs de creation et d’annihilation a∗λ(k) et aλ(k) :
a∗λ(k) : Fns → Fn+1
s
aλ(k) : Fns → Fn−1
s
• Relations canoniques de commutation :
[a∗λ(k), a∗λ′(k ′)] = [aλ(k), aλ′(k ′)] = 0
[a∗λ(k), aλ′(k ′)] = δλλ′δ(k − k ′)
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Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Espace de Fock
• Espace de Hilbert pour un photon : L2(R3 × 1, 2)• Espace de Fock symetrique pour le champ de photons :
Fs = C⊕Mn≥1
SnL2((R3 × 1, 2)n) =
Mn≥0
Fns
ou Sn est l’operateur de symetrisation
• Operateurs de creation et d’annihilation a∗λ(k) et aλ(k) :
a∗λ(k) : Fns → Fn+1
s
aλ(k) : Fns → Fn−1
s
• Relations canoniques de commutation :
[a∗λ(k), a∗λ′(k ′)] = [aλ(k), aλ′(k ′)] = 0
[a∗λ(k), aλ′(k ′)] = δλλ′δ(k − k ′)
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metastables
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Modele standard en qed non relativiste
• Espace de Hilbert pour les electrons non relativistes et le champ dephotons :
H = L2(R3N)⊗Fs ' L2(R3N ;Fs) 'Z ⊕
R3N
Fs(X )dX
• Hamiltonien de Pauli-Fierz agissant dans H :
HSM :=NX
j=1
1
2m(pj − qAj)
2 + V + Hf
ou Aj =R ⊕
R3N A(xj)dX et
A(x) =Xλ=1,2
ZR3
χΛ(k)p|k|
ελ(k)“a∗λ(k)e−ik·x + aλ(k)e ik·x
”dk
Hf =Xλ=1,2
ZR3
|k|a∗λ(k)aλ(k)dk
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Modele standard en qed non relativiste
• Espace de Hilbert pour les electrons non relativistes et le champ dephotons :
H = L2(R3N)⊗Fs ' L2(R3N ;Fs) 'Z ⊕
R3N
Fs(X )dX
• Hamiltonien de Pauli-Fierz agissant dans H :
HSM :=NX
j=1
1
2m(pj − qAj)
2 + V + Hf
ou Aj =R ⊕
R3N A(xj)dX et
A(x) =Xλ=1,2
ZR3
χΛ(k)p|k|
ελ(k)“a∗λ(k)e−ik·x + aλ(k)e ik·x
”dk
Hf =Xλ=1,2
ZR3
|k|a∗λ(k)aλ(k)dk
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Modele standard en qed non relativiste
• Espace de Hilbert pour les electrons non relativistes et le champ dephotons :
H = L2(R3N)⊗Fs ' L2(R3N ;Fs) 'Z ⊕
R3N
Fs(X )dX
• Hamiltonien de Pauli-Fierz agissant dans H :
HSM :=NX
j=1
1
2m(pj − qAj)
2 + V + Hf
ou Aj =R ⊕
R3N A(xj)dX et
A(x) =Xλ=1,2
ZR3
χΛ(k)p|k|
ελ(k)“a∗λ(k)e−ik·x + aλ(k)e ik·x
”dk
Hf =Xλ=1,2
ZR3
|k|a∗λ(k)aλ(k)dk
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Existence de resonances (1)
Point de vue : traitement perturbatif de l’interaction electrons-photons
→ Changement d’echelle : HSMg =
PNj=1
12m
(pj − gAj)2 + V + Hf
→ Constante de couplage g supposee suffisamment petite
Difficulte : Comportement infrarouge de A(x)
→ Transformation de Pauli-Fierz U =R ⊕
R3N e−igPN
j=1 xj ·A(0) dX
HPFg = UHSM
g U−1 =X
j
1
2m(pj − geAj)
2 + Ig + Hf + V + K
eA(xj) = A(xj)− A(0) (→ |e±ik·xj − 1| ≤ |k||xj |)
Ig (X ) =ig
2π
Xλ=1,2
ZR3
|k|1/2χΛ(k)ελ(k) · (X
j
xj)[a∗λ(k)− aλ(k)]dk
K(X ) = Cg 2(X
j
xj)2 + [fonction bornee]
→ Troncature spatiale χ(xj) inseree dans l’interaction
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metastables
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Existence de resonances (1)
Point de vue : traitement perturbatif de l’interaction electrons-photons
→ Changement d’echelle : HSMg =
PNj=1
12m
(pj − gAj)2 + V + Hf
→ Constante de couplage g supposee suffisamment petite
Difficulte : Comportement infrarouge de A(x)
→ Transformation de Pauli-Fierz U =R ⊕
R3N e−igPN
j=1 xj ·A(0) dX
HPFg = UHSM
g U−1 =X
j
1
2m(pj − geAj)
2 + Ig + Hf + V + K
eA(xj) = A(xj)− A(0) (→ |e±ik·xj − 1| ≤ |k||xj |)
Ig (X ) =ig
2π
Xλ=1,2
ZR3
|k|1/2χΛ(k)ελ(k) · (X
j
xj)[a∗λ(k)− aλ(k)]dk
K(X ) = Cg 2(X
j
xj)2 + [fonction bornee]
→ Troncature spatiale χ(xj) inseree dans l’interaction
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Existence de resonances (1)
Point de vue : traitement perturbatif de l’interaction electrons-photons
→ Changement d’echelle : HSMg =
PNj=1
12m
(pj − gAj)2 + V + Hf
→ Constante de couplage g supposee suffisamment petite
Difficulte : Comportement infrarouge de A(x)
→ Transformation de Pauli-Fierz U =R ⊕
R3N e−igPN
j=1 xj ·A(0) dX
HPFg = UHSM
g U−1 =X
j
1
2m(pj − geAj)
2 + Ig + Hf + V + K
eA(xj) = A(xj)− A(0) (→ |e±ik·xj − 1| ≤ |k||xj |)
Ig (X ) =ig
2π
Xλ=1,2
ZR3
|k|1/2χΛ(k)ελ(k) · (X
j
xj)[a∗λ(k)− aλ(k)]dk
K(X ) = Cg 2(X
j
xj)2 + [fonction bornee]
→ Troncature spatiale χ(xj) inseree dans l’interaction
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Existence de resonances (2)
• Decomposition : HPFg = H0 + Wg = [Hp ⊗ I + I ⊗ Hf ] + Wg
• Dilatations complexes Uθ : k 7→ e−θk
HPFg,θ = UθHPF
g U−1θ = H0,θ + Wg,θ
Theoreme [V. Bach, J. Frohlich, I.M. Sigal ’98]
Soit λj < Σ une valeur propre non degeneree de Hp. Il existe g0 > 0 tel quepour tout 0 < g ≤ g0, il existe une valeur propre non degeneree λj,g de HPF
g,θ
telle que λj,g ne depend pas de θ (pour θ convenablement choisi) et
λj,g →g→0
λj
Theoremes
• [JF ’08] Existence de resonances pour un atome d’hydrogene confine parson centre de masse (Effet Lamb-Dicke), en utilisant les dilatationscomplexes k 7→ e−θk, xj 7→ eθxj
• [I.M. Sigal ’09] Existence de resonances pour HSMg
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Existence de resonances (2)
• Decomposition : HPFg = H0 + Wg = [Hp ⊗ I + I ⊗ Hf ] + Wg
• Dilatations complexes Uθ : k 7→ e−θk
HPFg,θ = UθHPF
g U−1θ = H0,θ + Wg,θ
Theoreme [V. Bach, J. Frohlich, I.M. Sigal ’98]
Soit λj < Σ une valeur propre non degeneree de Hp. Il existe g0 > 0 tel quepour tout 0 < g ≤ g0, il existe une valeur propre non degeneree λj,g de HPF
g,θ
telle que λj,g ne depend pas de θ (pour θ convenablement choisi) et
λj,g →g→0
λj
Theoremes
• [JF ’08] Existence de resonances pour un atome d’hydrogene confine parson centre de masse (Effet Lamb-Dicke), en utilisant les dilatationscomplexes k 7→ e−θk, xj 7→ eθxj
• [I.M. Sigal ’09] Existence de resonances pour HSMg
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Existence de resonances (2)
• Decomposition : HPFg = H0 + Wg = [Hp ⊗ I + I ⊗ Hf ] + Wg
• Dilatations complexes Uθ : k 7→ e−θk
HPFg,θ = UθHPF
g U−1θ = H0,θ + Wg,θ
Theoreme [V. Bach, J. Frohlich, I.M. Sigal ’98]
Soit λj < Σ une valeur propre non degeneree de Hp. Il existe g0 > 0 tel quepour tout 0 < g ≤ g0, il existe une valeur propre non degeneree λj,g de HPF
g,θ
telle que λj,g ne depend pas de θ (pour θ convenablement choisi) et
λj,g →g→0
λj
Theoremes
• [JF ’08] Existence de resonances pour un atome d’hydrogene confine parson centre de masse (Effet Lamb-Dicke), en utilisant les dilatationscomplexes k 7→ e−θk, xj 7→ eθxj
• [I.M. Sigal ’09] Existence de resonances pour HSMg
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metastables
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Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Existence de resonances (2)
• Decomposition : HPFg = H0 + Wg = [Hp ⊗ I + I ⊗ Hf ] + Wg
• Dilatations complexes Uθ : k 7→ e−θk
HPFg,θ = UθHPF
g U−1θ = H0,θ + Wg,θ
Theoreme [V. Bach, J. Frohlich, I.M. Sigal ’98]
Soit λj < Σ une valeur propre non degeneree de Hp. Il existe g0 > 0 tel quepour tout 0 < g ≤ g0, il existe une valeur propre non degeneree λj,g de HPF
g,θ
telle que λj,g ne depend pas de θ (pour θ convenablement choisi) et
λj,g →g→0
λj
Theoremes
• [JF ’08] Existence de resonances pour un atome d’hydrogene confine parson centre de masse (Effet Lamb-Dicke), en utilisant les dilatationscomplexes k 7→ e−θk, xj 7→ eθxj
• [I.M. Sigal ’09] Existence de resonances pour HSMg
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Definitiondu modele
Existencederesonances
Temps devie des etatsmetastables
Existence de resonances (2)
• Decomposition : HPFg = H0 + Wg = [Hp ⊗ I + I ⊗ Hf ] + Wg
• Dilatations complexes Uθ : k 7→ e−θk
HPFg,θ = UθHPF
g U−1θ = H0,θ + Wg,θ
Theoreme [V. Bach, J. Frohlich, I.M. Sigal ’98]
Soit λj < Σ une valeur propre non degeneree de Hp. Il existe g0 > 0 tel quepour tout 0 < g ≤ g0, il existe une valeur propre non degeneree λj,g de HPF
g,θ
telle que λj,g ne depend pas de θ (pour θ convenablement choisi) et
λj,g →g→0
λj
Theoremes
• [JF ’08] Existence de resonances pour un atome d’hydrogene confine parson centre de masse (Effet Lamb-Dicke), en utilisant les dilatationscomplexes k 7→ e−θk, xj 7→ eθxj
• [I.M. Sigal ’09] Existence de resonances pour HSMg
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Partie II
Temps de vie des etats metastables
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Temps de vie
• λj,g resonance associee a λj :
λj,g = λj + g 2c + O(g 5/2)
• Vecteur propre non perturbe φj associe a la valeur propre λj de Hp
• Ω vide de photons → Ψj = φj ⊗ Ω vecteur propre associe a la valeurpropre λj de H0
Theoreme [D. Hasler, I. Herbst, M. Huber ’08]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀0 < ε < 1/3, ∃Cε, ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHSM
g φj ⊗ Ω”
= e−it(λj +g2c) + b(t, ε), |b(t, ε)| ≤ Cεgε
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal ’09]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHSM
g φj ⊗ Ω”
= e−itλj,g + O(g 2/3)
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Temps de vie
• λj,g resonance associee a λj :
λj,g = λj + g 2c + O(g 5/2)
• Vecteur propre non perturbe φj associe a la valeur propre λj de Hp
• Ω vide de photons → Ψj = φj ⊗ Ω vecteur propre associe a la valeurpropre λj de H0
Theoreme [D. Hasler, I. Herbst, M. Huber ’08]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀0 < ε < 1/3, ∃Cε, ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHSM
g φj ⊗ Ω”
= e−it(λj +g2c) + b(t, ε), |b(t, ε)| ≤ Cεgε
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal ’09]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHSM
g φj ⊗ Ω”
= e−itλj,g + O(g 2/3)
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Temps de vie
• λj,g resonance associee a λj :
λj,g = λj + g 2c + O(g 5/2)
• Vecteur propre non perturbe φj associe a la valeur propre λj de Hp
• Ω vide de photons → Ψj = φj ⊗ Ω vecteur propre associe a la valeurpropre λj de H0
Theoreme [D. Hasler, I. Herbst, M. Huber ’08]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀0 < ε < 1/3, ∃Cε, ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHSM
g φj ⊗ Ω”
= e−it(λj +g2c) + b(t, ε), |b(t, ε)| ≤ Cεgε
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal ’09]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHSM
g φj ⊗ Ω”
= e−itλj,g + O(g 2/3)
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Temps de vie
• λj,g resonance associee a λj :
λj,g = λj + g 2c + O(g 5/2)
• Vecteur propre non perturbe φj associe a la valeur propre λj de Hp
• Ω vide de photons → Ψj = φj ⊗ Ω vecteur propre associe a la valeurpropre λj de H0
Theoreme [D. Hasler, I. Herbst, M. Huber ’08]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀0 < ε < 1/3, ∃Cε, ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHSM
g φj ⊗ Ω”
= e−it(λj +g2c) + b(t, ε), |b(t, ε)| ≤ Cεgε
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal ’09]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHSM
g φj ⊗ Ω”
= e−itλj,g + O(g 2/3)
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Modele de Nelson
• Hamiltonien non perturbe dans L2(R3N)⊗Fs(L2(R3)) :
H0 = Hp ⊗ I + I ⊗ Hf
• Hamiltonien de Nelson :
HNg = H0 + Wg ,
Wg = gNX
j=1
ZR3
χΛ(k)
|k|1/2−µ
he−ik·xj a∗(k) + e ik·xj a(k)
idk
• Dilatations complexes Uθ : xj 7→ eθxj , k 7→ e−θk
HNg,θ = UθHN
g U−1θ = H0,θ + Wg,θ
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHN
g φj ⊗ Ω”
= e−itλj,g + O(g2+4µ5+2µ )
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Modele de Nelson
• Hamiltonien non perturbe dans L2(R3N)⊗Fs(L2(R3)) :
H0 = Hp ⊗ I + I ⊗ Hf
• Hamiltonien de Nelson :
HNg = H0 + Wg ,
Wg = gNX
j=1
ZR3
χΛ(k)
|k|1/2−µ
he−ik·xj a∗(k) + e ik·xj a(k)
idk
• Dilatations complexes Uθ : xj 7→ eθxj , k 7→ e−θk
HNg,θ = UθHN
g U−1θ = H0,θ + Wg,θ
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHN
g φj ⊗ Ω”
= e−itλj,g + O(g2+4µ5+2µ )
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Modele de Nelson
• Hamiltonien non perturbe dans L2(R3N)⊗Fs(L2(R3)) :
H0 = Hp ⊗ I + I ⊗ Hf
• Hamiltonien de Nelson :
HNg = H0 + Wg ,
Wg = gNX
j=1
ZR3
χΛ(k)
|k|1/2−µ
he−ik·xj a∗(k) + e ik·xj a(k)
idk
• Dilatations complexes Uθ : xj 7→ eθxj , k 7→ e−θk
HNg,θ = UθHN
g U−1θ = H0,θ + Wg,θ
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHN
g φj ⊗ Ω”
= e−itλj,g + O(g2+4µ5+2µ )
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Modele de Nelson
• Hamiltonien non perturbe dans L2(R3N)⊗Fs(L2(R3)) :
H0 = Hp ⊗ I + I ⊗ Hf
• Hamiltonien de Nelson :
HNg = H0 + Wg ,
Wg = gNX
j=1
ZR3
χΛ(k)
|k|1/2−µ
he−ik·xj a∗(k) + e ik·xj a(k)
idk
• Dilatations complexes Uθ : xj 7→ eθxj , k 7→ e−θk
HNg,θ = UθHN
g U−1θ = H0,θ + Wg,θ
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal]
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, on a : ∀t ≥ 0,“φj ⊗ Ω, e−itHN
g φj ⊗ Ω”
= e−itλj,g + O(g2+4µ5+2µ )
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Troncature infrarouge
• Interaction avec les bosons d’energie ≥ σ :
W >σg,θ = ge−(1+µ)θ
NXj=1
Z|k|≥σ
χΛ(e−θk)
|k|1/2−µ
he−ik·xj a∗(k) + e ik·xj a(k)
idk
Hσg,θ = H0,θ + W >σ
g,θ
Remarque : Il existe une valeur propre complexe λ>σj,g de Hσ
g,θ issue de
λj , mais λ>σj,g depend de θ
• Isomorphisme :
V : Fs(L2(R3))→ Fs(L2(|k| ≥ σ))⊗Fs(L2(|k| ≤ σ)),
VHσg,θV−1 = H>σ
g,θ ⊗ I + I ⊗ H6σf ,θ ,
ou H>σg,θ = Hp,θ + H>σ
f ,θ + W >σg,θ
Theoreme
Il existe un “gap” d’ordre O(σ) autour de λ>σj,g dans le spectre de H>σ
g,θ
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Troncature infrarouge
• Interaction avec les bosons d’energie ≥ σ :
W >σg,θ = ge−(1+µ)θ
NXj=1
Z|k|≥σ
χΛ(e−θk)
|k|1/2−µ
he−ik·xj a∗(k) + e ik·xj a(k)
idk
Hσg,θ = H0,θ + W >σ
g,θ
Remarque : Il existe une valeur propre complexe λ>σj,g de Hσ
g,θ issue de
λj , mais λ>σj,g depend de θ
• Isomorphisme :
V : Fs(L2(R3))→ Fs(L2(|k| ≥ σ))⊗Fs(L2(|k| ≤ σ)),
VHσg,θV−1 = H>σ
g,θ ⊗ I + I ⊗ H6σf ,θ ,
ou H>σg,θ = Hp,θ + H>σ
f ,θ + W >σg,θ
Theoreme
Il existe un “gap” d’ordre O(σ) autour de λ>σj,g dans le spectre de H>σ
g,θ
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Troncature infrarouge
• Interaction avec les bosons d’energie ≥ σ :
W >σg,θ = ge−(1+µ)θ
NXj=1
Z|k|≥σ
χΛ(e−θk)
|k|1/2−µ
he−ik·xj a∗(k) + e ik·xj a(k)
idk
Hσg,θ = H0,θ + W >σ
g,θ
Remarque : Il existe une valeur propre complexe λ>σj,g de Hσ
g,θ issue de
λj , mais λ>σj,g depend de θ
• Isomorphisme :
V : Fs(L2(R3))→ Fs(L2(|k| ≥ σ))⊗Fs(L2(|k| ≤ σ)),
VHσg,θV−1 = H>σ
g,θ ⊗ I + I ⊗ H6σf ,θ ,
ou H>σg,θ = Hp,θ + H>σ
f ,θ + W >σg,θ
Theoreme
Il existe un “gap” d’ordre O(σ) autour de λ>σj,g dans le spectre de H>σ
g,θ
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Troncature infrarouge
• Interaction avec les bosons d’energie ≥ σ :
W >σg,θ = ge−(1+µ)θ
NXj=1
Z|k|≥σ
χΛ(e−θk)
|k|1/2−µ
he−ik·xj a∗(k) + e ik·xj a(k)
idk
Hσg,θ = H0,θ + W >σ
g,θ
Remarque : Il existe une valeur propre complexe λ>σj,g de Hσ
g,θ issue de
λj , mais λ>σj,g depend de θ
• Isomorphisme :
V : Fs(L2(R3))→ Fs(L2(|k| ≥ σ))⊗Fs(L2(|k| ≤ σ)),
VHσg,θV−1 = H>σ
g,θ ⊗ I + I ⊗ H6σf ,θ ,
ou H>σg,θ = Hp,θ + H>σ
f ,θ + W >σg,θ
Theoreme
Il existe un “gap” d’ordre O(σ) autour de λ>σj,g dans le spectre de H>σ
g,θ
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Traitement perturbatif
Soit P>σg,θ la projection associee a la valeur propre λ>σ
j,g de H>σg,θ . On
decompose :HN
g,θ = eHσg,θ + fW 6σ
g,θ ,
avec
eHσg,θ = Hσ
g,θ +“λj,g − λ>σ
j,g
”V−1(P>σ
g,θ ⊗ I )V
fW 6σg,θ = W 6σ
g,θ −“λj,g − λ>σ
j,g
”V−1(P>σ
g,θ ⊗ I )V
Proposition
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, pour tout σ > 0 :‚‚‚W 6σg,θ [Hf + 1]−1
‚‚‚ = O(gσ1/2+µ)˛λj,g − λ>σ
j,g
˛= O(g 2σ1+µ)‚‚‚P>σ
g,θ − P>σ0,θ
‚‚‚ = O(gσ−1/2)
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Traitement perturbatif
Soit P>σg,θ la projection associee a la valeur propre λ>σ
j,g de H>σg,θ . On
decompose :HN
g,θ = eHσg,θ + fW 6σ
g,θ ,
avec
eHσg,θ = Hσ
g,θ +“λj,g − λ>σ
j,g
”V−1(P>σ
g,θ ⊗ I )V
fW 6σg,θ = W 6σ
g,θ −“λj,g − λ>σ
j,g
”V−1(P>σ
g,θ ⊗ I )V
Proposition
Il existe g0 > 0 t.q. pour tout 0 < g < g0, pour tout σ > 0 :‚‚‚W 6σg,θ [Hf + 1]−1
‚‚‚ = O(gσ1/2+µ)˛λj,g − λ>σ
j,g
˛= O(g 2σ1+µ)‚‚‚P>σ
g,θ − P>σ0,θ
‚‚‚ = O(gσ−1/2)
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Methode de Hunziker (1)
Soit f ∈ C∞0 (R) a support dans un voisinage d’ordre O(σ) de λj“Ψj , e
−itHNg f (HN
g )Ψj
”= limε0
1
2iπ
ZR
e−itz f (z) (Ψj , [Rg (z − iε)− Rg (z + iε)] Ψj) dz
=1
2iπ
ZR
e−itz f (z)ˆ`
Ψj,θ,Rg,θ(z)Ψj,θ
´−`Ψj,θ,Rg,θ(z)Ψj,θ
´˜dz
= F (t, θ)− F (t, θ) + O(g−2σ3/2+µ)
avec
F (t, θ) =1
2iπ
ZR
e−itz f (z)“ψj,θ ⊗ Ω>σ, eR>σ
g,θ (z)ψj,θ ⊗ Ω>σ”
dz
Decomposition en parties singulieres et regulieres :
eR>σg,θ (z) = bR>σ
g,θ (z) +P
>σg,θ
λj,g−z
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Methode de Hunziker (1)
Soit f ∈ C∞0 (R) a support dans un voisinage d’ordre O(σ) de λj“Ψj , e
−itHNg f (HN
g )Ψj
”= limε0
1
2iπ
ZR
e−itz f (z) (Ψj , [Rg (z − iε)− Rg (z + iε)] Ψj) dz
=1
2iπ
ZR
e−itz f (z)ˆ`
Ψj,θ,Rg,θ(z)Ψj,θ
´−`Ψj,θ,Rg,θ(z)Ψj,θ
´˜dz
= F (t, θ)− F (t, θ) + O(g−2σ3/2+µ)
avec
F (t, θ) =1
2iπ
ZR
e−itz f (z)“ψj,θ ⊗ Ω>σ, eR>σ
g,θ (z)ψj,θ ⊗ Ω>σ”
dz
Decomposition en parties singulieres et regulieres :
eR>σg,θ (z) = bR>σ
g,θ (z) +P
>σg,θ
λj,g−z
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Methode de Hunziker (1)
Soit f ∈ C∞0 (R) a support dans un voisinage d’ordre O(σ) de λj“Ψj , e
−itHNg f (HN
g )Ψj
”= limε0
1
2iπ
ZR
e−itz f (z) (Ψj , [Rg (z − iε)− Rg (z + iε)] Ψj) dz
=1
2iπ
ZR
e−itz f (z)ˆ`
Ψj,θ,Rg,θ(z)Ψj,θ
´−`Ψj,θ,Rg,θ(z)Ψj,θ
´˜dz
= F (t, θ)− F (t, θ) + O(g−2σ3/2+µ)
avec
F (t, θ) =1
2iπ
ZR
e−itz f (z)“ψj,θ ⊗ Ω>σ, eR>σ
g,θ (z)ψj,θ ⊗ Ω>σ”
dz
Decomposition en parties singulieres et regulieres :
eR>σg,θ (z) = bR>σ
g,θ (z) +P
>σg,θ
λj,g−z
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Methode de Hunziker (2)
F (t, θ) =1
2iπ
ZR
e−itz f (z)“ψj,θ ⊗ Ω>σ, eR>σ
g,θ (z)ψj,θ ⊗ Ω>σ”
dz
Deformation du contour d’integration : g 2 γ ≤ Cσ
Γ(γ)
jλj−1λ j+1λ
λ j,g
γ)D(
Cρ
Dρ
γ
f=1
supp(f)
ZR
e−itz f (z)[. . . ]dz =
ZΓ(γ)
e−itz f (z)[. . . ]dz +
ZCρ
e−itz f (z)[. . . ]dz
+
ZZD(γ)\Dρ
e−itz(∂z f )(z)[. . . ]dzdz
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Conclusion
• Optimisation :“Ψj , e
−itHNg f (HN
g )Ψj
”= e−itλj,g + O(g 2σ−1) + O(g−2σ3/2+µ)
On conclut en optimisant le choix du parametre de troncature σ
• Remarque : Lien avec la notion de pole du prolongement analytique dela resolvante :
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal]
Il existe g0 > 0 et D dense, tels que pour tout 0 < g < g0 et Ψ ∈ D,
FΨ(z) = (Ψ, [Hg − z]−1Ψ)
possede un prolongement analytique depuis C+ dans un domaine Wj,g lie aλj,g , tel que
FΨ(z) =p(Ψ)
λj,g − z+ r(z ,Ψ), |r(z ,Ψ)| ≤ C(Ψ)
|λj,g − z |β ,
avec β < 1
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
Conclusion
• Optimisation :“Ψj , e
−itHNg f (HN
g )Ψj
”= e−itλj,g + O(g 2σ−1) + O(g−2σ3/2+µ)
On conclut en optimisant le choix du parametre de troncature σ
• Remarque : Lien avec la notion de pole du prolongement analytique dela resolvante :
Theoreme [W.K. Abou Salem, JF, J. Frohlich, I.M. Sigal]
Il existe g0 > 0 et D dense, tels que pour tout 0 < g < g0 et Ψ ∈ D,
FΨ(z) = (Ψ, [Hg − z]−1Ψ)
possede un prolongement analytique depuis C+ dans un domaine Wj,g lie aλj,g , tel que
FΨ(z) =p(Ψ)
λj,g − z+ r(z ,Ψ), |r(z ,Ψ)| ≤ C(Ψ)
|λj,g − z |β ,
avec β < 1
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Resonanceset etats
metastables
JeremyFaupin
Introduction
Resonancesen qed nonrelativiste
Temps devie des etatsmetastables
Resultats
Esquisse depreuve
References
• W.K. Abou Salem, J. Faupin, J. Frohlich and I.M. Sigal, On the theory ofresonances in non-relativistic qed and related models. A paraıtre dans Adv. inAppl. Mathematics.
• V. Bach, J. Frohlich and I.M. Sigal, Quantum electrodynamics of confinednon-relativistic particles. Adv. in Math. 137, 299-395, (1998).
• V. Bach, J. Frohlich and I.M. Sigal, Renormalization group analysis of spectralproblems in quantum field theory. Adv. in Math. 137, 205-298, (1998).
• J. Faupin, Resonances of the confined hydrogen atom and the Lamb-Dickeeffect in non-relativistic qed. Ann. Henri Poincare, 9, no 4, 743-773, (2008).
• D. Hasler, I. Herbst and M.Huber, On the lifetime of quasi-stationary states innon-relativisitc QED. Ann. Henri Poincare 9, no. 5, 1005–1028, (2008)
• W. Hunziker, Resonances, metastable states and exponential decay laws inperturbation theory. Comm. Math. Phys. 132, 177-182, (1990).
• I.M. Sigal, Ground state and resonances in the standard model of thenon-relativistic QED. Preprint (2008).
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