Líneas rectas
y
ecuaciones lineales
Líneas rectas
• Una propiedad
importante de una línea
recta es que sube o baja
pronunciadamente.
• La medida del grado de inclinación de una
recta se llama pendiente.
Líneas rectas
m=𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
eleva
ció
n
recorrido
Líneas rectas Para calcular la pendiente de una línea recta,
necesitamos dos puntos por los cuales pasa la
recta.
Ejemplo: Determinar la pendiente de la recta
que une los puntos (1, -3) y (3, 7).
Note: pendiente
positiva, recta que
sube en el plano.
m =𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
Líneas rectas
Dado una recta cualquiera y dos puntos sobre
ella, podemos usar la fórmula para pendiente
para determinar la ecuación que define la recta:
m=𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
𝑚 𝑥 − 𝑥1 = 𝑦 − 𝑦1
o lo que es igual
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
forma punto-pendiente de la
recta.
Líneas rectas
Ejemplo: Determine una ecuación de la línea recta que
pasa por el punto (3, -1) y que tiene pendiente -3.
y – (-1) = -3(x – 3)
y + 1 = -3x + 9
y = -3x + 8 ó
y = 8 – 3x
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
Líneas rectas
Ejemplo: Determine una ecuación de la línea recta que
pasa por el punto (5, 6) y (1, -2).
Primeramente, calcular la pendiente:
m =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
6−(−2)
5−1
=
8
4
= 2
y – (-2) = 2(x – 1)
y + 2 = 2x – 2
y = 2x – 4
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
Ecuaciones lineales • La ecuación de la forma
y = mx + b , donde m ≠ 0
se conoce como una ecuación lineal que
está en la forma pendiente-ordenada al
origen o pendiente-intercepto.
• Por ejemplo, y = 4x – 7 , es la ecuación de la
recta que tiene pendiente igual a 4 y que
cruza el eje de y en el punto (0, -7).
Líneas rectas
Líneas rectas
• Otra característica de una línea recta es que si se dibuja sobre un plano cartesiano, siempre cortará el eje de y UNA vez y el eje de x UNA vez.
• El punto donde la gráfica corta el eje de y se conoce como ordenada al origen o intercepto en y.
• El punto donde la gráfica corta el eje de x se conoce como intercepto en x.
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente -3 e intercepto en y en (0,9). Solución: Usando el modelo y = mx + b, sustituimos y = -3x + 9 o y = 9 – 3x
Gráfica de una Ecuación
• Una solución de una ecuación en dos
variables es un par ordenado, (a, b), cuyos
valores al ser sustituidos en una ecuación
dada producen un enunciado cierto.
• La gráfica de una ecuación es un dibujo,
trazado o boceto del conjunto de todas las
soluciones de una ecuación.
Ejemplos •a.
•Determina si el par ordenado (5, 7) es una solución de 2x + 3y = 18.
• 2(5) + 3(7) ? 18
• 10 + 21 ? 18
• 11 = 18
• FALSO
• (5, 7) no es solución.
•b.
•Determina si el par ordenado (3, 4) es una solución de 2x + 3y = 18.
• 2(3) + 3(4) ? 18
• 6 + 12 ? 18
• 18 = 18
• CIERTO
• (3, 4) es solución.
Intercepto en x
•El int-x es un punto con forma (a, 0). Para hallar el valor de a, asignamos y = 0. Luego, resolvemos para x.
•Ejemplo: Deteminar el int-x de
2x + 3y = 18.
• 2x + 3(0) = 18
• 2x = 18
• x = 9
• El int-x es (9, 0).
Intercept - y
•El int-y es un punto con forma (0, b). Para hallar el valor de b, asignamos x = 0. Luego, resolvemos para y.
•Ejemplo: Deteminar el int-y de
2x + 3y = 18.
• 2(0) + 3y = 18
• 3y = 18
• y = 6
• El int-y es (0, 6).
Esbozar o trazar una gráfica
• Una forma de esbozar o trazar (“sketch”)
la gráfica de una ecuación es determinar
suficientes soluciones de la ecuación
(puntos en la gráfica), hasta obtener una
imagen clara de la forma general de la
gráfica.
• Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18.
–Ya sabemos que el int – x es: (9, 0)
–Ya sabemos que el int – y es: (0, 6)
•Podemos determinar una tercera solución reemplazando x con el valor de 5, y simplificando para y.
Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18
(cont.)
2 5 3y 18
10 3y 18
3y 8
y 8
3
Por lo tanto, es una solución. 5,8
3
•Trazar la gráfica:
• 2x + 3y = 18.
•int-x: (9, 0)
•int-y : (0, 6)
•Tercer punto:
5,8
3
Ejemplo (cont.)
Ejemplo: Trazar la gráfica y – 2x + 1= 0
• Para facilitar, reescribimos la ecuación como:
y = 2x – 1 .
• Luego, elegimos determinemos los interceptos:
int – y: y = 2(0) – 1 = -1 Por lo tanto, (0,-1) es el
intercepto en y.
int – x: 2x – 1 = 0
2x= 1
x = ½ Por lo tanto, (1/2 , 0) es el
intercepto en x-
Ejemplo: Trazar la gráfica
y – 2x + 1= 0 (cont.)
• Algunas soluciones
adicionales:
• Localiza los puntos en un
plano.
• Une los puntos con una
linea recta.
Ejemplo: rectas horizontales y verticales
Hallar la ecuación de la recta que
pasa por el punto P(-3, 4) y que es
paralela a
(a)el eje de x
(b) el eje de y
SOLUCION:
(a)Una recta paralela al eje de x
es una recta horizontal. Su
pendiente es 0. Su ecuación es
y = 4.
(b)Una recta paralela al eje de y
es una recta vertical. Su
pendiente NO está definida. Su
ecuación es x = -3.