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Sesión 13: Alternativas y Extensiones
Modelos Gráficos ProbabilistasL. Enrique Sucar
INAOE
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 2
Contenido
• Técnicas alternativas– Teoría de Dempster-Shafer– Ejemplo médico
• Lógica y probabilidad– Lógicas probabilistas– Modelos relacionales– Aplicaciones en rec. de gestos y modelado de
estudiantes
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 3
Técnicas Alternativas
• Se han desarrollado algunas técnicas numéricas para manejo de incertidumbre que no siguen los axiomas de probabilidad. Entre éstas se encuentran:• Métodos empíricos o ad-hoc• Teoría de Dempster-Shafer• Lógica difusa
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 4
Técnicas Alternativas• Algunas técnicas se pueden ver como casos
especiales o extensiones de probabilidad• Técnicas que se reducen a casos especiales de
probabilidad– Método de factores de certeza (MYCIN)– Método de pseudo-probabilidades subjetivas
(Prospector)• Técnicas que extienden a probabilidad:
– Teoría de Dempster-Shafer• Técnicas basada en diferentes fundamentos:
– Lógica Difusa
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Teoría de Dempster-Shafer
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 6
AntecedentesTeoría para representar y combinar “grados de creencia”.
Esta teoría se desarrollo básicamente como una alternativa (extensión) a teoría de probabilidad ya que los autores consideraban que ciertas situaciones no eran representadas adecuadamente con dicha teoría. En especial dos aspectos:
• Representación de ''ignorancia"
• Representación de creencia NO asignada
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 7
Ejemplo
• Se tiene una moneda y dos situaciones distintas:1. La moneda es “normal” por lo que tiene la misma
probabilidad de cada lado2. Se sabe que la moneda esta cargada con una mayor
probabilidad de uno de los lados, pero no se sabe cual ni cuanto
• Con probabilidades ambas situaciones se representan igual – P=0.5, no hay forma de distinguir ignorancia de igual probabilidad
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 8
La teoría de DS difiere en dos aspectos básicos de la teoría clásica de probabilidad:
• Los grados de creencia se asignan a subconjuntos en lugar de a elementos individuales del dominio de referencia.
• El axioma de aditividad no se forza, sino se substituye por una desigualdad.
Diferencias con Probabilidad
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 9
Diferencias con Probabilidad
Estas diferencias tiene dos importantes implicaciones:
1.- La creencia en una proposición y su complemento NO necesariamente suman “1”.
2.- Se diferencia ignorancia de probabilidades iguales, dando la creencia no asignada al conjunto de todas las hipótesis.
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 10
Fundamentos TeóricosLa teoría de DS requiere de un conjunto de hipótesis exclusivas y exhaustivas:
Θ - marco de dicernimiento
2Θ - conjunto de todos los subconjuntos de Θ
En base a esto se definen dos medidas:
– asignación básica de probabilidad (bpa)
– función de creencia (Bel)
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 11
Asignación básica de probabilidad (bpa)
• Representa la porción de creencia asignada exactamente a un elemento A (subconjunto de Θ), sin incluir la creencia asignada sus subconjuntos.
bpa=m(A): 2Θ [0,1]
• Debe satisfacer las siguientes propiedades:
1 >= m(A) >= 0 (1)
m(ø) = 0 (2)
Σm(A)=1 (3)
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 12
Ejemplo
• Para el ejemplo de la moneda Θ = {águila, sol}
2Θ = [ {águila, sol}, {águila}, {sol}, ] • Caso 1: igual probabilidad
m({águila}) = 0.5, m({sol}) = 0.5• Caso 2: completa ignoranica
m({águila, sol}) = 1
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Función de creencia (Bel)
• Es la creencia total en el conjunto A, incluyendo la creencia asignada propiamente a A, así como la de todos sus subconjuntos:
Bel(A)=Σm(B), B A
• Se puede demostrar que Bel satisface las siguientes propiedades:Bel(ø) = 0Bel(Θ) = 1Bel(A1A2) >= Bel(A1) + Bel(A2) - Bel(A1A2)
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Función de creencia (Bel)
• Para una hipótesis sencilla (un solo elemento) se tiene que:
Bel(A)=m(A)
• Para una hipótesis en general se tiene que:
Bel(A)>=m(A)
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 15
Función de creencia (Bel)• Para el ejemplo de la moneda:
– Caso 1: • Bel({águila, sol}) = 0.5 + 0.5 + 0 = 1
• Bel({águila}) = m({águila}) = 0.5
• Bel({sol}) = m({sol}) = 0.5
– Caso 2:• Bel({águila, sol}) = 0 + 0 + 1 = 1
• Bel({águila}) = m({águila}) = 0
• Bel({sol}) = m({sol}) = 0
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 16
Regla de Dempster• Para combinar distintas evidencias se calcula su suma ortogonal,
aplicando lo que se conoce como la regla de Dempster, y obteniendo un nuevo grado de creencia (m) basado en la evidencia combinada:
• Esta fórmula la podemos interpretar de la siguiente forma:
– La evidencia E1 asigna la creencia ml al subconjunto Al
– La evidencia E2 asigna la creencia m2 al subconjunto B1
– Entonces el producto de ambas (ml * m2) nos da la creencia en la intersección – A1 B1
ABjAi
ji BmAmAmm 2121
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 17
Ejemplo
• Si hubiera dos evidencias (expertos lanza monedas) respecto a la moneda cargada:– m1(A) = 0.7, m1(Θ) = 0.3– m2(S) = 0.6, m2 (Θ) = 04
• Entonces:m2 \ m1 {A} 0.7 {Θ} 0.3
{S} 0.6 {} 0.42 {S} 0.18{Θ} 0.4 {A} 0.28 {Θ} 0.12
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Regla de Dempster• La creencia total en A es simplemente la suma de las
creencia asignadas de esta forma, es decir, la suma de la creencia de todas la intersecciones entre los conjunto Ai y Bj que den como resultado A.
• Surge un problema si alguna de las intersecciones de el conjunto vacío, ya que no se puede asignar creencia a dicho conjunto (implicaría que la suma de bpa no sea l). Para resolver este caso hay que normalizar los bpa, es decir, inflar las creencias de los demás subconjuntos en forma proporcional a la creencia asignada al conjunto vacío.
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 19
Regla de Dempster• Entonces la regla de Dempster en su forma general
es:
• Los nuevos valores de Bel para cada hipótesis son calculados de la misma forma, sumando los bpa's.
BjAiji
ABjAi
ji
BmAmKdonde
Ak
BmAmAmm
21
2121
:
,1
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 20
Ejemplo
• Normalizando:– k = 0.42 1-k = 0.58
• Entonces:– m1 m2({S}) = 0.18 / 0.58 = 0.310– m1 m2({A}) 0.28 / 0.58 = 0.483– m1 m2({Θ}) 0.12 / 0.58 = 0.207
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 21
Posibilidad• Mientras que Bel nos da la cantidad de creencia en cierta
hipótesis, otra medida denominada la posibilidad (plausibility – Pl) indica la máxima creencia que pudiera asignarse a la hipótesis. La posibilidad se define como:
P1(A) = 1-Bel(~A)
• Bel da la creencia mínima y P1 la creencia máxima. Ambas definen un intervalo de creencia:
[Bel(A), P1(A)]
• El rango dentro del cual estaría la creencia en A de acuerdo a la evidencia conocida. La diferencia entre Bel y Pl nos indica la ignorancia, es decir, la creencia que NO ha sido asignada ni a la hipótesis ni a su complemento (o demás hipótesis).
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 22
Ejemplo
• Para el caso anterior:– Pl({A}) = 1 – 0.310 = 0.690– Pl({S}) = 1 – 0.483 = 0.517
• Entonces:– A: [0.483 0.690]– S: [0.310 0.517]
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Otro Ejemplo
• Consideremos una aplicación médica en la que hay cuatro posibles enfermedades (hipótesis):– Hepatitis (h/hep)– Cirrosis (c/cirr)– Cálculos en la vesícula (v/gall)– Pancreatitis (p/pan)
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Ejemplo Médico
• Marco de dicernimiento (hipótesis) - jerarquía:
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Ejemplo Médico - subconjuntos
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 26
Ejemplo Médico
• Evidencia 1:intrahepática – 0.6
• Evidencia 2:no hepatitis – 0.7
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 27
Ejemplo Médico
• A partir de las bpa se puede calcular el grado de creencia – Bel, por ejemplo:
Bel(intrahepática) = Bel({hep,cerr}) =m(hep,cerr) + m(hep) + m(cerr) =0.18 + 0 + 0.42 = 0.60
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Ejemplo Médico• Evidencia 3:
hepatitis – 0.8
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 29
Ejemplo Médico• Cálculo de Bel:
k = 0.336+0.224 = 0.56, 1-k = 0.44
Bel(hep) = (0.144+0.096)/0.44 = 0.545Bel(cerr) = 0.084/0.44 = 0.191Bel(hep,cerr) = 0.036/0.44 = 0.082Bel(cirr,gall,pan) = 0.056/0.44 = 0.127Bel(Θ) = 0.024/0.44 = 0.055
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Aplicaciones
• La teoría de DS se ha llevado a diversas aplicaciones:
– Medicina
– Robótica
– Visión
• Aunque los resultados son alentadores, en general es más compleja que el uso de probabilidad y la diferencia no es significativa
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 31
Ventajas
• Intervalo de creencia
• Representación de ignorancia
• Representa “la forma en que los expertos usan la evidencia”
• Modular
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 32
Desventajas
• Asume fuentes de evidencia independientes
• Interpretación de los valores finales (Bel)
• Bel no se puede interpretar como frecuencias
• Complejidad computacional (hipótesis sencillas, redes)
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 33
Referencias• Lucas & Van Der Gaag, Principles of Expert Systems,
Addison-Wesley, 1991 – Cap. 5
• Buchanan & Shortliffe, Ruled-Based Expert Systems, Addison-Weslev, 1984 - Cap 10-13.
• Shafer, A Mathematical Theory of Evidence, Princeton Univ. Press. 1976.
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 34
Lógica y Probabilidad
• Lógica probabilista• Redes bayesianas con nodos lógico• Modelos relacionales probabilistas• Otras propuestas
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 35
Lógica y Probabilidad
• Lógica es la forma más utilizada para la representación de conocimiento
• Tiene una semántica y sintaxis bien definida, y una alta capacidad expresiva
• Pero tiene problemas para manejo de incertidumbre ...
• Una alternativa es la combinación de lógica y probabilidad
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 36
Lógica y probabilidad
• Existen varias propuestas para “integrar” lógica y probabilidad, partiendo de la lógica probabilista de Nilsson, e incluyendo entre otras:– Modelos relacionales probabilistas [Koller]– Programas lógicos – probabilistas [Haddawy]– Lógica de alternativas independientes [Poole]– Redes bayesianas con nodos lógicos [Morales y Sucar]
• Esta es todavía un área activa de investigación y aún no hay una solución definitiva
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 37
Lógica Probabilística
• Se basa en lógica de predicados y probabilidad [Nilsson 86]
• Si se tiene incertidumbre sobre el valor de verdad de una oración lógica, S, se considera que hay dos mundos posibles:– W1, donde S es verdadera, con una probabilidad p1– W2, donde S es falsa, con una probabilidad p2=1-p1
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 38
Lógica Probabilística
• Si se tiene L oraciones hay 2L mundos posibles, aunque muchos son lógicamente inconsistentes (K < 2L mundos)
• La probabilidad de una oración es la suma de probabilidades de los mundos en que es verdadera:
= P(S) = i pi, S = verdadera en Wi
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 39
Ejemplo
• Dadas las 3 oraciones:(1) P, (2) Q, (3) P Q
• Hay 4 mundos posibles:w1 – p=V, q=V w2 – p=V, q=F w3 – p=F, q=V w4 – p=F, q=F
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 40
Ejemplo
• Entonces la probabilidad de las oraciones es:
(1) 1 = 1(p1)+1(p2)+0(p3)+0(p4)(2) 2 = 1(p1)+0(p2)+1(p3)+0(p4)(3) 3 = 1(p1)+0(p2)+0(p3)+0(p4)
• En forma matricial (V es la matriz de valores de verdad):
= V P
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 41
Lógica Probabilístcia
• Las ecuaciones anteriores representan un mapeo lineal de las probabilidades de los mundos posibles a las de las oraciones.
• Junto con los axiomas de probabilidad: pi = 0, 0 < pi < 1
• Restringen los valores de probabilidad de las oraciones lógicas (pero no los determinan)
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 42
Espacio de Probabilidades
• Las probabilidades de las oraciones están dentro de un espacio convexo en el hipercubo 0—1, limitadas por los hiperplanos descritos por las ecuaciones
• Esto implica que puede haber múltiples soluciones y no es claro como seleccionar alguna de ellas
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 43
Redes lógico - probabilistas
• Nodos lógicos – programas lógicos• Nodos probabilistas – redes bayesianas
W V
X Y
Z
Z:binario-
relación (X,Y)multivaluado -
relación (X,Y,Z)
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 44
Inferencia• La probabilidad de Z depende de los valores de X
y Y, y si R es satisfecha:
P(Z) = R(x,y) P(x) P(y)• Razonamiento
– fuera de línea: obtener la CPT para todos los valores de Y y Y (discretas) – determinar para el nodo lógico P(Z | X, Y)
– en línea: evaluar durante propagación• discreta: calcular la suma para todas las variables
desconocidas • continua: técnicas de muestreo
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 45
Fuera de línea
• Ejemplo:Z = Rel(X,Y) = X > YX: 1, 3 Y: 0, 2
Z=true X=1 X=3Y=0 1 1Y=2 0 1
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 46
En línea• If X= 3, Y=?
P(Z=true) = 0.3• If X=1, Y=0
P(Z=true) = 1.0• If X & Y unknown
P(Z=true) = 0.58
Dados: P(X)=[0.7, 0.3]; P(Y)=[0.4, 0.6]
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 47
Aplicación: reconocimiento de gestos
• Basado en relaciones entre diferentes partes del cuerpo (mano, cara, torso)
• Estas relaciones están expresada como nodos lógicos en redes dinámicas lógico-probabilistas
• El modelo se usa para la obtener la probabilidad de cada gesto mediante propagación de probabilidades
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 48
Relaciones espaciales
above
right
torso
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 49
Modelo
S
hand Face
right
Torso
above
S
torso
hand Face
right
Torso
above torso
A
T T+1
SX,Y A SX,Y
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 50
Modelos relacionales probabilistas [Koller, 1999]
Las entidades básicas son objetos del dominio. Los objetos del dominio son particionados en clase: X1,...,Xn.
Clases: X1= ProfessorX2= CourseX3= RegistrationX4= Student
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 51
Modelos relacionales probabilistas [Koller, 1999]
Cada clase es asociada con un conjunto de atributos: A(Xi).
A(X4)={Intelligence,Ranking}
X2.Difficulty = difficulty attribute of Course class
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 52
Modelos relacionales probabilistas [Koller, 1999]
Los arcos representan dependencias probabilistas:Padres de la misma clasePadres de diferentes clases
Se usa explicitamente la estructura relacional del modelo.El modelo de dependencia se especifica al nivel de clases.Un atributo de un objeto depende de los atributos de las clases relacionadas
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 53
Modelos relacionales probabilistas [Koller, 1999]
Se basan en los mismo principios de las redes bayesianas. Permiten representar a diferentes objetos dentro del mismo modelo.Combinan las ventajas de las bases de datos relacionales con la representación de incertidumbre mediante modelos gráficos.
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 54
Aplicación: modelo del estudiante paraun tutor inteligente
• Se representa en forma genérica el modelo del estudiante para un tutor orientado a laboratorios virtuales
• Dicho modelo se puede adaptar a diferentes experimentos y dominios
• Un vez seleccionado el dominio/experimento, el modelo se instancia a una red bayesiana sobre la cual se hace la inferencia
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 55
Modelo relacional del estudiante
Student
Knowledgeitems
ExperimentresultsExperiments
StudentStudent
Knowledgeitems
Knowledgeitems
Experimentresults
ExperimentresultsExperimentsExperiments
Experimentresults
Experimentresults
Student behavior
Knowledgeitems
Knowledgeitems
KnowledgeSub-theme
Knowledgeitems
Knowledgeitems
Knowledgetheme
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 56
Modelo relacional del estudiante
Student (X1) A (X1): Student_Id Student_Name Major Quarter Category
Approved Courses (X2) A (X2): Student_Id Course_Id Course_Name
Knowledge Items(X3) A (X3): K_item_Category K_item_id K_item_name K_item_ proficiency
Student (X1) A (X1): Student_Id Student_Name Major Quarter Category
Approved Courses (X2) A (X2): Student_Id Course_Id Course_Name
Student (X1) A (X1): Student_Id Student_Name Major Quarter Category
Knowledge Items(X3) A (X3): K_item_Category K_item_id K_item_name K_item_ proficiency
Knowledge Items (X2 )
A (X2):Student_IdK_item_IdK_item_NameK_item_known
Student behavior (X3 )
A (X3):
Behavior_var 2
Student IdExperiment_idBehavior_var1
Knowledge Items(X3) A (X3): K_item_Category K_item_id K_item_name K_item_ proficiency
Knowledge Items(X3) A (X3): K_item_Category K_item_id K_item_name K_item_ proficiency
Experiment Results (X4)
A (X4):Experiment_idExperiment_repetitionsExp_succesfulExperiment_eficiencyExp_performance
Student (X1) A (X1): Student_Id Student_Name Major Quarter Category
Student (X1) A (X1): Student_Id Student_Name Major Quarter Category
Experiment_descrip (X5)
A (X5):Experim_idExperim_descriptionVariable_1Variable_2Variable_3…..
Approved Courses (X2) A (X2): Student_Id Course_Id Course_Name
Approved Courses (X2) A (X2): Student_Id Course_Id Course_Name
Knowledge Theme(X2 )
A (X2):Student_IdK_Theme_IdK_Theme_NameK_Theme_known
Approved Courses (X2) A (X2): Student_Id Course_Id Course_Name
Approved Courses (X2) A (X2): Student_Id Course_Id Course_Name
Knowledge Sub-theme(X3 )
A (X3):Student_IdK_sub-theme_IdK_subtheme_NameK_subtheme_known
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 57
Modelo relacional del estudiante
• Esqueleto extraído del modelo relacional
Experiment results Experiment behavior
Knowledge
Student
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 58
Modelo relacional del estudiante
• Modelo (RB) experimento particular (1)Experiment results Experiment behavior
Knowledge objects
Student
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Modelo relacional del estudiante
• Modelo para otros experimentos
Experiment results Experiment behavior
Knowledge objects
Student
Experiment behavior
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Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 60
Referencias
• Nilsson, Probabilistic Logic• Koller, Halpern, AAAI 1996• Avilés, Sucar, Mendoza, Vargas, RUR
Workshop, IJCAI 2003• Noguez, Sucar, IJEE 2006• Poole, Artificial Intelligence 1997