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Dirk Proske, Peter Lieberwirth, Pieter van Gelder: „Sicherheitsbeurteilung historischer Steinbogenbrücken“

ISBN 3-00-018131-8 Sonderdruck zum 16. Dresdner Brückenbausymposium,

Dirk Proske Verlag, Dresden 2006

Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonstigen Kennzeichnungen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme, dass diese von jedermann frei benutzt werden dürfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschützte Kennzeichen handeln, wenn sie

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Soweit in diesem Werk Verfahren oder Techniken erläutert werden, darf der Leser zwar darauf vertrauen, dass

die Autoren große Sorgfalt darauf verwandt hat, dass die Angaben dem Wissensstand bei Fertigstellung des Werkes entsprechen. Für die Anwendung kann jedoch keine Gewähr übernommen werden.

Dirk Proske Peter Lieberwirth Pieter van Gelder

Sicherheitsbeurteilung historischer

Steinbogenbrücken

Die Autoren möchten sich recht herzlich bei:

Herrn Prof. Han Vrijling, Herrn Prof. Jürgen Stritzke,

Frau Dr. Ulrike Köhler, Herrn Prof. Ulrich Quast,

Herrn Dr. Bill Harvey, Frau Angela Heller,

Frau Cornelia Dehne, Herrn Dipl.-Ing. Michael Frenzel,

Herrn Dipl.-Ing. Stephan Loos, Frau Dipl.-Ing. Alice Becke

und allen lieben Kollegen des Institutes für Massivbau

bedanken.

Proske, Lieberwirth & van Gelder

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„Der eine (Beamte) lässt Gewölbe und Widerlager streng nach der Vorschrift nachrechnen. Geringe Überschreitungen der zulässigen Beanspruchungen lässt er zu. Bei größeren Überschreitungen verbietet er den Verkehr der schwereren Lokomotivreihe oder, wenn ihr Verkehr unbedingt gefordert wird, lässt er ein durchaus gesundes und noch gar nicht sehr altes Bauwerk abtragen und durch einen Neubau ersetzen. Hierzu entschließt er sich leicht, wenn er auf der betreffenden Strecke nur ein oder zwei solcher Verkehrshindernisse hat. Dem anderen ist ein solcher Entschluss viel schwerer gemacht, denn er hat auf seiner Strecke eine große Anzahl gewölbter Brücken, darunter solche mit vielen Öffnungen. Wenn er in der gleichen Weise verfährt wie sein Nachbar, spricht er damit das Todesurteil über eine große Anzahl bewährter Bauwerke aus, deren Umbau nicht nur sehr viel Geld kostet, sondern auch schwere Betriebsstörungen mit sich bringt. Er lässt gar nicht oder nur angenähert nachrechen, weil er ohnehin weiß, dass es Überbeanspruchungen gibt, und erlaubt, wenn vielleicht auch schweren Herzens, den Verkehr der schweren Lokomotiven. Ist nun der erste Beamte zu loben und verstößt der zweite gegen seine Pflicht?“ R. KERN 1941 [289]

Sicherheit historischer Steinbogenbrücken

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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ......................................................................................................................... 15

1.1 Allgemeines.............................................................................................................. 15 1.2 Vor- und Nachteile von Bogenbrücken.................................................................... 22 1.3 Gliederung................................................................................................................ 23 1.4 Begriffe und Aufbau................................................................................................. 29 1.5 Klassifizierung von statischen Brückentypen .......................................................... 36 1.6 Formen der Bogensystemlinie.................................................................................. 40 1.7 Geschichte der Steinbogenbrücken .......................................................................... 42 1.8 Bogenbrücken aus anderen Materialien ................................................................... 52

1.8.1 Stählerne Bogenbrücken .................................................................................. 52 1.8.2 Hölzerne Bogenbrücken................................................................................... 52 1.8.3 Stahlbetonbogenbrücken .................................................................................. 53

1.9 Anzahl von Bogenbrücken ....................................................................................... 54 2 Einwirkungen auf Bogenbrücken..................................................................................... 61

2.1 Straßenverkehrslasten............................................................................................... 61 2.2 Eisenbahnverkehrslasten .......................................................................................... 76 2.3 Anfahrlasten ............................................................................................................. 78 2.4 Bremslasten .............................................................................................................. 79 2.5 Windlasten................................................................................................................ 81 2.6 Setzungen ................................................................................................................. 81 2.7 Temperaturlasten...................................................................................................... 82 2.8 Schneelasten ............................................................................................................. 83 2.9 Eigenlasten ............................................................................................................... 83

3 Berechnung von Bogenbrücken ....................................................................................... 85 3.1 Allgemeines.............................................................................................................. 85 3.2 Empirische Regeln ................................................................................................... 86

3.2.1 Historische Regeln ........................................................................................... 86 3.2.2 MEXE-Methode ............................................................................................. 101 3.2.3 FILEV-Methode ............................................................................................. 103

3.3 Stabmodelle............................................................................................................ 105 3.3.1 Einzelstäbe ..................................................................................................... 105 3.3.2 Verbundquerschnitte ...................................................................................... 111

3.4 Finite Elemente Modelle ........................................................................................ 114 3.5 Diskrete Elemente Models ..................................................................................... 118 3.6 Tragfähigkeitsversuche .......................................................................................... 119 3.7 Vergleich ................................................................................................................ 123 3.8 Mitwirkende Breite ................................................................................................ 127

4 Mauerwerksfestigkeit ..................................................................................................... 131 4.1 Mauerwerk ............................................................................................................. 131

4.1.1 Mauersteine .................................................................................................... 132 4.1.2 Mörtel ............................................................................................................. 137

4.2 Zentrische maximale Druckspannung.................................................................... 140 4.2.1 DIN 1053-100 ................................................................................................ 141 4.2.2 DIN 1053-1 .................................................................................................... 141


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4.2.3 Empirische Ansätze........................................................................................ 142 4.2.4 Modell nach Hilsdorf ..................................................................................... 142 4.2.5 Modell nach Mann ......................................................................................... 143 4.2.6 Modell nach Berndt........................................................................................ 144 4.2.7 Modell nach Sabha ......................................................................................... 145 4.2.8 Modell nach Ohler.......................................................................................... 145 4.2.9 Modell nach Stiglat ........................................................................................ 145 4.2.10 Modell nach Francis, Horman & Jerrems ...................................................... 146 4.2.11 Modell nach Khoo & Hendry......................................................................... 146 4.2.12 Modell nach Schnackers................................................................................. 146 4.2.13 Modell nach Ebner ......................................................................................... 147

4.3 Spannungs-Dehnungs-Beziehung .......................................................................... 147 4.4 Momenten-Normalkraft-Interaktion....................................................................... 148 4.5 Mehrschaliges Mauerwerk ..................................................................................... 149

4.5.1 Modell nach Warnecke................................................................................... 149 4.5.2 Modell nach Egermann .................................................................................. 149

4.6 Schubfestigkeit ....................................................................................................... 150 4.7 Nachweise .............................................................................................................. 151 4.8 Qualität der Modelle............................................................................................... 153

5 Untersuchungsmöglichkeiten an Bogenbrücken............................................................ 155 5.1 Einleitung ............................................................................................................... 155 5.2 Zerstörende Verfahren............................................................................................ 157 5.3 Zerstörungsarme Verfahren.................................................................................... 157 5.4 Zerstörungsfreie Verfahren .................................................................................... 158

5.4.1 Ultraschall ...................................................................................................... 158 5.4.2 Impact-Echo-Verfahren.................................................................................. 159 5.4.3 Radar .............................................................................................................. 159 5.4.4 Leitfähigkeitsmessung.................................................................................... 161 5.4.5 Tomographie .................................................................................................. 161 5.4.6 Experimentelle Tragfähigkeitsuntersuchung.................................................. 161

6 Schäden an Bogenbrücken ............................................................................................. 163 6.1 Allgemeines............................................................................................................ 163 6.2 Verwitterung des Fugenmaterials........................................................................... 166 6.3 Abplatzungen und Schalenbildungen..................................................................... 166 6.4 Salzangriffe ............................................................................................................ 167 6.5 Chemische Verwitterung........................................................................................ 168 6.6 Biologische Verwitterung ...................................................................................... 168 6.7 Mechanische und physikalische Verwitterung....................................................... 169 6.8 Verformungen ........................................................................................................ 169 6.9 Risse ....................................................................................................................... 172

6.9.1 Längsrisse....................................................................................................... 173 6.9.2 Stirnringrisse .................................................................................................. 173 6.9.3 Rückenfugenrisse ........................................................................................... 173 6.9.4 Querrisse......................................................................................................... 174 6.9.5 Schrägrisse ..................................................................................................... 174 6.9.6 Verschobene Steine ........................................................................................ 174

6.10 Spezielle Schäden an Stirnwänden......................................................................... 175


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6.11 Instandsetzungsverfahren ....................................................................................... 176 6.11.1 Allgemeines.................................................................................................... 176 6.11.2 Steinsanierung ................................................................................................ 181 6.11.3 Mörtelsanierungen.......................................................................................... 182 6.11.4 Stahlbetonplatte.............................................................................................. 184 6.11.5 Verpressungen................................................................................................ 184 6.11.6 Bewehrungen.................................................................................................. 185 6.11.7 Vorspannung .................................................................................................. 187 6.11.8 Spritzbeton ..................................................................................................... 188 6.11.9 Brüstungssanierung ........................................................................................ 188 6.11.10 Verbreiterungen.......................................................................................... 189 6.11.11 Beispiele ..................................................................................................... 189 6.11.12 Gewölbebrücken der 2. Generation............................................................ 191

7 Sicherheitskonzept ......................................................................................................... 193 7.1 Begriffe................................................................................................................... 193

7.1.1 Sicherheit........................................................................................................ 193 7.1.2 Risiko ............................................................................................................. 195 7.1.3 Gefahr............................................................................................................. 196 7.1.4 Schaden .......................................................................................................... 196 7.1.5 Statistik und Wahrscheinlichkeit.................................................................... 197 7.1.6 Graue Mengen ................................................................................................ 197

7.2 Probabilistische Sicherheitsuntersuchungen .......................................................... 206 7.2.1 FORM............................................................................................................. 208 7.2.2 SORM............................................................................................................. 210 7.2.3 Monte-Carlo-Simulation ................................................................................ 216 7.2.4 Verknüpfung von Einzelsicherheitsindizes.................................................... 218

7.3 Programmtechnische Umsetzung........................................................................... 223 7.4 Verbindung von Strukturmechanik und Probabilistik............................................ 224 7.5 Zielsicherheitsmaß im Bauwesen........................................................................... 226 7.6 Sicherheitselement Teilsicherheitsfaktor ............................................................... 236

7.6.1 Verfahren nach Murzewski ............................................................................ 240 7.6.2 Verfahren nach GruSiBau .............................................................................. 241 7.6.3 Verfahren nach Eurocode 1............................................................................ 241 7.6.4 Verfahren nach JCSS ..................................................................................... 241 7.6.5 Statistische Prüfverfahren .............................................................................. 242 7.6.6 Verfahren nach Val & Stewart ....................................................................... 246 7.6.7 Verfahren nach Melchers & Faber ................................................................. 247 7.6.8 Vollprobabilistische Rechnung ...................................................................... 247 7.6.9 Grenzen der Teilsicherheitsmodelle............................................................... 248

7.7 Sicherheitselement Fraktilwert............................................................................... 252 7.7.1 Normalverteilung ........................................................................................... 254 7.7.2 Lognormalverteilung...................................................................................... 256 7.7.3 Weibullverteilung........................................................................................... 257 7.7.4 Verfahren nach Leicester ............................................................................... 257 7.7.5 Verfahren nach Öfverbeck ............................................................................. 258 7.7.6 Verfahren nach Jaeger und Bakht .................................................................. 258

8 Beispiele ......................................................................................................................... 261


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8.1 Probabilistische Bogenberechnungen in der Literatur ........................................... 261 8.2 Bogenbrücke ...................................................................................................... 263 8.3 Bogenbrücke ...................................................................................................... 266 8.4 Bogenbrücke ...................................................................................................... 270 8.5 Bogenbrücke ...................................................................................................... 274 8.6 Bogenbrücke ...................................................................................................... 275 8.7 Steindecker ............................................................................................................. 275

9 Ergebnisse ...................................................................................................................... 277 9.1 Ermittelte operative Versagenswahrscheinlichkeiten ............................................ 277 9.2 Beispiele für den Sicherheitsfaktor in der Literatur ............................................... 278 9.3 Eigene Berechnungen............................................................................................. 279 9.4 Kritik am Sicherheitsfaktor .................................................................................... 281

10 Ausblick ..................................................................................................................... 283 11 Literatur...................................................................................................................... 285


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1 Einleitung “The first bridges men built were in wood, which were suited to their requirements at the time. But then they began to think about the immortality of their names. And because their richness gave them heart and made better things available to them, they began to build bridges in stone, which lasted longer, cost more, and brought glory to those that built them.” A. PALLADIO 1570, entnommen M. CORRADI [107]

1.1 Allgemeines In der materiellen Welt existieren allein natürliche Phänomene. Der Begriff der Technik, die als ein wesentliches Merkmal der menschlichen Kultur angesehen wird, spiegelt diese Tatsache bereits per Definition wider: Unter Technik versteht man Verfahren und Fähigkeiten zur praktischen Anwendung von Naturgesetzen. Diese Aussage gilt auch für das technische Produkt Brücke. Wie Abb. 1 zeigt, ist die Natur sehr wohl in der Lage, Brücken ohne menschliches Zutun zu erschaffen: Seit Jahrmillionen existieren Brücken als materielle Erscheinung, geschaffen aus geologischen Formationen durch Wind und Wasser oder als umgestürzten Bäume, die einen Bach kreuzen. In dem Augenblick jedoch, in dem nicht mehr allein die Kräfte der Natur, sondern die Kräfte der Vernunft eine Brücke errichten, ändert sich die Situation grundlegend. Dann entsteht ein künstliches Phänomen. Das Künstliche unterscheidet sich vom Natürlichen durch die Vereinbarung eines Zwecks. So wird beispielsweise aus einer Linie ein künstliches Phänomen, wenn sich die Linie zu einem Buchstaben formt. Dieser Buchstabe bedarf aber zuvor einer Vereinbarung. Basierend auf diesem Ansatz kann eine Brücke als künstliches Phänomen betrachtet werden. Zunächst scheint es so, als ob der Begriff der Kunst mit dem Begriff künstlich verwandt ist. Tatsächlich aber ist die Bindung des Begriffs Kunst viel stärker zum Begriff der Technik ausgerichtet. Ursprünglich beschreibt das Wort Kunst ein hohes Maß für die Fertigkeit, mit der ein Mensch eine Tätigkeit ausübt. Dabei wurde der Begriff später auf das von ihm geschaffene Produkt ausgeweitet. Ein Beispiel für ein Produkt, welches den Begriff Kunstwerk verdient, ist der zwischen 1662 und 1665 erschienene Weltatlas „Atlas Maior“ (Nachauflage 2005). Der Atlas zeigt die Geographie der bekannten Welt in einer bis damals unerreicht hohen Qualität. Der Amsterdamer Verleger JOAN BLAEU schrieb im Vorwort zu den enthaltenen Landkarten: „[Mit Ihnen d.V.] überschreiten wir unbetretbare Berge, überqueren ohne Risiko Meere und Flüsse“ [193].


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Abb. 1: Naturbogen im Arch National Park (USA) [386] Der Erkundungsdrang des Menschen, der ihn dazu treibt, seinen eigenen Lebensraum zu erweitern, kann letztendlich nicht von Karten allein, vom bloß-begrifflichen, befriedigt werden. Aber diese Landkarten können ein Aufruf dazu sein. Die räumliche Bewegung von Menschen und Objekten besitzt nicht nur in der Wissenschaft, sondern auch im heutigen Alltag eine große Bedeutung. Seit Beginn der Menschwerdung konnte der Mensch große räumliche Distanzen nur über sehr lange Zeiträume zurücklegen. Der Einzelne konnte sich nicht allzu weit vom Ort seiner Herkunft entfernen. Die aus landwirtschaftlichen Gründen notwendige und nach dem Ende der letzten Eiszeit vor 10.000 Jahren begonnene Sesshaftigkeit des Menschen stand zunächst einmal ebenfalls im Widerspruch zum menschlichen Wunsch nach Mobilität. Aber die Sesshaftigkeit führte zu einem unerwarteten Effekt: Es wurde lohnenswert, „unbetretbare Berge“ überschreitbar und „Meere und Flüsse“ ohne Risiko überquerbar zu machen, da dies regelmäßig geschehen musste. Die Erweiterung der dem menschlichen Bewegungsapparat innewohnenden Fähigkeiten hinsichtlich der Erhöhung der Geschwindigkeit, hinsichtlich der Erhöhung der bewegten Mengen und hinsichtlich der Reichweite hat vermutlich mit dem Beginn der Sesshaftigkeit zu Entwicklungen von verbesserten Bewegungs- bzw. Transportsystemen geführt. Dazu zählt neben der Zähmung des Pferdes auch die Erfindung des Rades, die häufig als eine der größten Erfindungen der Menschheit angesehen wird, denn für ein sich um seine Achse drehendes Rad gibt es kein Vorbild in der Natur. Das Rad ist die Grundlage für den Bau von Fahrzeugen, die auf sehr ökonomische Weise den Transport von Gütern und Menschen erlauben. Grundlage für den Einsatz von Rädern zum Transport ist jedoch eine geeignete Oberflächenbeschaffenheit der Wege. Eine der Anforderungen an diese ist eine gewisse Geradlinigkeit und Horizontalität der Rollfläche. Auch dem menschlichen und tierischen Bewegungsapparat erleichtert eine solche Geradlinigkeit die Fortbewegung.


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Dies ist von Bedeutung, da Zugtiere wie Pferde seit der Einführung des Rades vor ca. 5.000 bis 6.000 Jahren zum Antrieb von Wagen dienten. Die freie und effiziente Bewegung sowohl von rädernen Wagen und von Menschen und Tieren ist zum Beispiel nicht bei der Bewegung durch Flüsse gegeben. Auch sehr steile Wege führen bei Mensch und Tier schnell zur Ermüdung und sind für Radwagen ungeeignet. Es entstand deshalb vermutlich bereits sehr frühzeitig der Wunsch, die Bewegung für Menschen und Güter dadurch zu vereinfachen, in dem ungeeignete Wegstecken horizontal oder vertikal umgangen und verkürzt werden. Brücken folgen dieser Idee. Sie sind Bauwerke, die zur Überquerung von Hindernissen dienen. Sie können von verschiedenen Verkehrsmitteln (Straßen- und Eisenbahnbrücke), von Menschen (Fußgängerbrücke) und Tieren, aber auch zur Überführung von Wasser genutzt werden. Vergleicht man Brücken mit den oben genannten Landkarten, so sind sie Einladung und Werkzeug zur Bewegung im doppelten Sinne: Sie zeigen das Ziel des Weges, genau wie die Karte, aber sie bieten auch einen physischen Zugang. Abb. 2 zeigt eine erste prähistorische Steinbalkenbrücke zur Überquerung eines Baches. Weitere Beispiele für diese ersten primitiven Brücken sind die Steinbrücken von Dartmoor (BROWN [70]), Steinbalkenbrücken in Gizeh (2.500 v. Chr.) oder in China (500 v. Chr.) (HEINRICH [245]).

Abb. 2: Steinbrücke Dartmoor (BROWN [70]) Die bei der Herstellung der historischen Brücken erbrachten physischen und psychischen Leistungen sind beachtlich. Selbst in der heutigen Zeit mit ihren umfangreichen zur Verfügung stehenden technischen Hilfsmitteln spüren viele Menschen eine innere Rührung, wenn sie sich der Schönheit und Größe außergewöhnlicher historischer Brückenbauwerke hingeben. Dies gilt insbesondere für die mächtigen Bogenbrücken der Römer, wie z.B. dem Pont du Gard in Frankreich oder der Brücke von Alcántara in Spanien. Manche dieser über 50 Generationen alten Bauwerke wurden von römischen Legionen ebenso überquert wie von deutschen und amerikanischen Panzern im II. Weltkrieg, wie die Ponte Milvio (HEINRICH


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[245], STRAUB [530]). Diese militärischen Operationen hatten im Wesentlichen immer das Ziel der Zerstörung, der Destruktion. Im Gegensatz dazu ist eine Brücke eine Konstruktion, sie ist eine Synthese. An dieser Stelle sei angemerkt, dass auch der Mensch eine Synthese ist. Die lateinische Übersetzung des Begriffes Synthesis lautet: compositio, auch additio (VON HÄNSEL-HOHENHAUSEN [568]). Die vorliegende schriftliche Arbeit ist eine Komposition einer Analyse. Eine Analyse wiederum ist eine Zerlegung, denn das lateinische Wort dafür lautet reductio (VON HÄNSEL-HOHEN-HAUSEN [568]). Das Ziel dieser Analyse aber ist die Förderung der eigentlichen Konstruktion, die Förderung der Synthese. Förderung kann weit über die alltäglichen Zeiträume hinausreichen. Sie kann und sollte kommende Generationen umfassen. Zum Beispiel haben unsere Vorfahren uns gefördert, indem sie noch heute nutzbare Brücken errichtet haben. Die Bewahrung und Anerkennung der Fähigkeiten zur Errichtung historischer Brücken ist aus Sicht des Verfassers eine Pflicht gegenüber kommenden Generationen. Dieser Pflicht kann man am besten nachkommen, wenn man die historischen Brückenbauwerke einer Verwendung zuführt und deren Nutzungsdauer verlängert. So wie die Arbeit ein unerlässliches Kriterium der Würde eines Menschen ist, so ist die Verwendung einer Brücke ein unerlässliches Kriterium für ihre Daseinsberechtigung. Diese Bauwerke werden aber nur dann genutzt, wenn die Vorteile aus der Nutzung größer als die möglichen Nachteile sind. Ein wesentlicher Nachteil eines historischen Bauwerkes kann eine ungenügende Tragfähigkeit unter den heutigen Lasten sein. Die Einhaltung der modernen Sicherheitsanforderungen ist aber für jedes Produkt unabdingbar, auch für historische Bauwerke. Die genannte Forderung der Sicherheit des technischen Erzeugnisses Bauwerk wird durch Sicherheitskonzepte umgesetzt. In den letzten Jahren wurde im europäischen Raum, aber auch national in Deutschland, ein neues Sicherheitskonzept für Bauwerke eingeführt. Die erfolgreiche Integration der historischen Natursteinbogenbrücken in dieses Sicherheitskonzept ist eine Grundlage für die Weiternutzung dieses Brückentyps. Dieser Aufgabe stellt sich die vorliegende Arbeit. Abb. 3 bis Abb. 6 vermitteln einen Eindruck über die große Diversität des Brückentyps Bogenbrücken. Weitere schöne Beispiele sind die Ergänzung des steinernen Pont Trencat in Spanien durch einen Stahlbogen mit geschlossener Stirnwand, eine Brücke im Innenhafen von Duisburg mit flexibler Fahrbahn, die bei Schiffsverkehr hochgehoben und damit zur Bogen-brücke wird (BÜHLER [76]), die Geteshead Millennium Stahlbogenbrücke in Newcastle von Chris Wilkinson mit geschwungener Fahrbahn, die sich bei Schiffsverkehr um ihre Längs-achse dreht, der Puente La Barqueta (Langerscher Balken), die Stahlbogenbrücke mit Abhängung über Ebro in Logrono, die Leonardo Brücke in Norwegen oder die Juscelino Kubitschek Brücke in Brasilien (GOLDBERG [215]). In den letzten Jahren wurden in Großbritannien sogar wieder einige Steinbogenbrücken errichtet. Wie die genannten Beispiele belegen, wird der Brückentyp Bogenbrücke abgewandelt und immer wieder neu erfunden. Die heute verwendete mathematische Optimierung zur Fest-legung von Brückenvarianten, die letztendlich zu eintönigen Standardlösungen führt, wird und ist teilweise schon gescheitert. Eine solche Optimierung bedarf zahlreicher Eingang-sgrößen, die zum Zeitpunkt der Optimierungsberechnung nicht bekannt sein werden. Neben


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dieser Unsicherheit sind oft verschiedene optimale Lösungen möglich. Ein glänzendes Beispiel dafür ist die Vielfalt der lebenden Organismen auf der Erde. Zwar findet man gelegentlich gleiche organische Lösungen, z.B. bei den Bewegungsapparaten, aber häufig eben auch Unterschiede unter gleichen Randbedingungen.

Abb. 3: Minzhu Brücke in China, errichtet 1969 [257]

Abb. 4: Viadukt de Saint-Chamas in Frankreich, errichtet 1848 [268]


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Abb. 7: Steinbogenbrücke in der Innenstadt von Delft

Abb. 8: Schwedenbrücke in der Dresdner Heide (Baujahr 1841)


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1.2 Vor- und Nachteile von Bogenbrücken „Wie der Rücken eines Tigers Wölbt die Brücke sich aus Jade“ G. MAHLER 1860-1911: Das Lied von der Erde, Von der Jugend Alle Lösungen biologischer oder technischer Systeme besitzen Vor- und Nachteile. Ein sicherlich nicht zu unterschätzender Vorteil von Bogenbrücken ist ihre Schönheit. Die Schönheit von Bogenbrücken wird oft auf die Anwendung natürlicher Materialien (Steinsichtigkeit), aber auch auf ihr hohes ästhetisches Maß zurückgeführt. BIRKHOFF [45] hat diesen Begriff 1933 geprägt. Er definiert dieses Maß wie folgt:

OAK

= ,

wobei das ästhetische Maß A zwischen Null und Eins liegt, O der Anzahl der Ordnungsrelationen entspricht und K die Komplexität ist. Die wesentliche Annahme dieses Maßes ist eine Verbindung zwischen Schönheit und Zweckmäßigkeit. Nach PIECHA [418] besitzt der Mensch angeborene und erlernte Bewertungsmechanismen, die die Zweck-mäßigkeit einer Gestaltung beurteilen. Im Ergebnis eines solchen Wahrnehmungs-mechanismus werden Objekte ästhetisch bewertet. BIRKHOFF geht davon, dass ein hohes Maß an ästhetischer Befriedigung bei einem ausgewogenen Verhältnis des Wahrnehmungs-aufwandes von Ordnungsstrukturen innerhalb eines Objektes zur Komplexität des Objektes besteht. Bei Bogenbrücken ist sowohl die Zahl der Ordnungsrelationen als auch die Komplexität sehr gering, so dass gemäß dieser Überlegung Bogenbrücken als schön empfunden werden. Und tatsächlich, Bogenbrücken stellen Touristenattraktionen dar, wie z.B. in der Schweiz. Sie werden vom größten Teil der Bevölkerung als Bestandteil, nicht als Eingriff in die Natur, angesehen. Das mag allerdings auch daran liegen, dass viele historische Bogenbrücken ein hohes Alter und damit ein Gewohnheitsrecht besitzen. Die oben dargestellte Überlegung wird aber auch dadurch gestärkt, dass Bogenbrücken auf vielen historischen Gemälden abgebildet sind und damit bereits damals als ästhetisch empfunden wurden. Es muss an dieser Stelle aber darauf hingewiesen werden, dass die abschliessende numerische Beschreibung von Schönheit bisher nicht gelungen ist. Weiterentwicklungen des BIRKHOFF’schen Maßes, wie z.B. von BENSE, finden aber statt. Die weiteren Vorteile der Bogenbrücken neben ihrer unbestrittenen Schönheit fasste WEBER [578] zusammen: • Geringe Verformungen unter Verkehrslast (bei Eisenbahnbrücken wenige Zehntel

Millimeter), • Gebrauchstauglichkeit und Ermüdung sind irrelevant (Die Gesamtbeanspruchungen

liegen oft im Druckschwellbereich.), • Verwendung von lückenlosen Gleisen auf Grund der geringen Verformungen (keine

Schienenauszüge notwendig), • Hohe Ausfallsicherheit und Robustheit (Unempfindlichkeit gegen unplanmäßige

Einwirkungen),


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• Hohe Schadenstoleranz (Neuerdings verwendet man dafür auch den Begriff Fitness: Ein System besitzt eine hohe Fitness, wenn es trotz einer großen Anzahl auftretender Fehler funktionstüchtig bleibt.),

• Frühzeitiges Anzeigen von Versagen, • Hohes Lebens- und Nutzungsalter, • Gewölbebrücken gewährleisten wie alle Deckbrücken den Reisenden eine ungestörte

Sicht, • Die Baumaterialien können umweltgerecht entsorgt bzw. wieder verwendet werden, • Hervorragende Einfügung in die Landschaft. Nachteile sind nach WEBER [578]: • Deutliche Verringerung der Tragfähigkeit durch große Auflagerverschiebungen (Diese

Aussage gilt aber eigentlich für alle Brücken.), • Der Lichtraum unter der Brücke ist nicht konstant, • Komplizierter Rückbau. Vor- und Nachteile von Bogenbrücken finden sich auch bei Vorteile Bogenbrücken SCHREYER [484]. Natürlich ist eine solche Zusammenstellung immer subjektiv. Es scheint aber, als ob die Vorteile gegenüber den Nachteilen überwiegen. Dieses Ergebnis ist ein gutes Argument für das Ziel „Erhaltung dieser Bauwerke“.

1.3 Gliederung PETRYNA [414] hat in seiner Arbeit eine sehr schöne Darstellung der Basiselemente schädigungsorientierter Sicherheitsanalysen von Bauwerken gezeigt. Die Darstellung besitzt fünf Grundelemente: Lastmodelle, Werkstoffmodelle, Schädigungsmodelle, Tragmodelle und die Formulierung der Nachweisgleichungen. Diese Elemente werden sich auch in dieser Arbeit wiederfinden. Abb. 10 nach MORI & NONAKA [373] und MORI & KATO [372] ist eine andere Darstellungsform einer zeitabhängigen Versagenswahrscheinlichkeit einer Konstruktion, ohne allerdings die Last- und Tragmodelle zu berücksichtigen.

Die relativ abstrakte Darstellung PETRYNA’s kann für konkrete Bauwerke in ein dreistufiges Beurteilungsschema nach DIAMANTIDIS überführt werden (Abb. 11). Hier werden dann nicht nur die einzelnen Bearbeitungspunkte genannt, sondern auch die personelle Zuordnung. Einen nicht so detaillierten Ansatz dazu gibt es auch von CZECHOWSKI [121] (Abb. 12). Abb. 14 ordnet die Sicherheitsbeurteilung in die Brückenverwaltungsabläufe ein. Dass die zuver-lässigkeitstheoretische Untersuchung letztlich nur ein Teil einer übergeordneten und fachübergreifenden Inspektions- und Wartungsstrategie sein kann, zeigt Abb. 13. Hier wird die unterschiedliche historische Entwicklung risikobasierter Inspektionskonzepte in verschiedenen Industriebereichen deutlich. Während in einigen Bereichen, wie z.B. bei der Überwachung von Off-Shore-Plattformen risikobasierte Inspektion und Überwachung Stand-der-Technik ist, hat sich diese Vorgehensweise in anderen Bereichen, z.B. im Bauwesen, bisher nicht durchgesetzt. Dies hat verschiedene Gründe, z.B. unterschiedliche Eigentümer. Während der Eigentümer von Brückenbauwerken der Staat ist und dieser zunächst seiner Schutzpflicht nachkommt und nur eingeschränkt marktwirtschaftlichen Zwängen nach-kommen muss, gehören Erdölplattformen in der Regel am Markt operierenden Firmen. Für


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diese Firmen ist die Schutzpflicht nur eine Teilaufgabe. Dies spiegelt sich dann auch in Wirtschaftlichkeitsbetrachtungen für Sicherheitsmaßnahmen wider. Der Umgang mit Schutzmaßnahmen ist und bleibt aber eine politische Entscheidung.

Mit solchen politischen Entscheidungen kann sich der praktisch tätige Ingenieur in seiner täglichen Arbgeit aber nicht auseinandersetzen. Ideal wäre für diesen sicherlich die Struktierung nach Abb. 11. Trotzdem wird in dieser Arbeit aber PETRYNA’s Systematik gewählt, da sie weniger von organisatorischen Grenzen geprägt ist . Bevor die einzelnen Schwerpunkte jedoch bearbeitet werden, gibt Kapitel 1 zunächst einige allgemeine Informationen über Bogenbrücken.

R

S

RissbreiteVerformung

SpannungTragfähigkeit

RisseBiologischer AngriffMechanischer Angriff

Chemischer Angriff

Abb. 9: Basiselemente einer schädigungsorientierten Zuverlässigkeitsanalyse nach PETRYNA [414]


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t

R, E1

2

3 4

5

6

7

8

entspricht der angezielten Tragfähigkeit der Konstruktion gemäß der Planung. Gerade bei historischen Bauwerken dürften hier außerordentlich große Unterschiede existieren. Insofern ist die Darstellung der empirischen Bemessungsgrundsätze für historische Bogenbrücken notwendig, um diesen Wert abzuschätzen.

baulich umgesetzte Tragfähigkeit. Hier werden konstruktive Änderungen, aber auch Fehler beim Bau mit berücksichtigt.

zeit- und schadensabhängige Entwicklung der Tragfähigkeit. Wiederherstellung der Tragfähigkeit durch eine Instandsetzungsmaßnahme. Eine solche

Maßnahme kann zu einer teilweisen, einer vollständigen oder einer erhöhten Tragfähigkeit führen. Es sind allerdings auch Fälle bekannt, bei denen Instandsetzungsmaßnahmen zu einer Beschleunigung der Schadensentwicklung führen, z.B. Anwendung falscher Mörtel, die auf Grund einer hohen Steifigkeit zu Schäden an den Natursteinen führen.

Einwirkung aus Eigenlast Einwirkung aus Ausbaulast. Hier wird vereinfacht angenommen, dass über die Zeit

Brüstungen umgebaut werden, Hinterfüllungen ausgetauscht und Spargewölbe eingebaut oder verfüllt werden.

Kontinuierlich veränderliche Einwirkungen, wie z.B. Wind. Diese Einwirkungen sind in der Regel für die massiven Bogenbrücken nicht ausschlaggebend. Allerdings kann auch die Verkehrslast bei kontinuierlich befahrenen Brücken zu dieser Einwirkungsart gezählt werden. Diese kann dann durchaus dominant werden.

Impulsartige Einwirkungen, wie z.B. Anpralle, Stöße etc. In der Regel handelt es sich hier um außergewöhnliche Einwirkungen.

Abb. 10: Darstellung der zeitabhängigen Versagenswahrscheinlichkeit in Anlehnung an MORI & NONAKA [373] und MORI & KATO [372]


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VerantwortlicherIngenieur

Forschungs-einrichtung

VerantwortlicherIngenieur mitSpezialisten

Anlass

NutzungsänderungRoutineinspektionSchäden, Verfall

AusreichendeSicherheit


Phase 1: Visuelle Bauwerks- untersuchung Überschlags- berechnung Messungen von Einwirkungen


Phase 2: Detaillierte Bau- werksuntersuchung Intensivere Berech- nungen Zuverlässigkeits- analyse

Forschungs-einrichtung

Ja

NeinAusreichendeSicherheit

Große Konsequenzen

Keine Maßnahmen erforderlich

Verstärkte Bau-werksüberwachung

Begrenzte Bauwerksnutzung Verstärkung Abriss und Neubau

VerantwortlicherIngenieur mitSpezialisten

Phase 3: Gemeinsame

Begehung Gemeinsame Entscheidung

Phase 4a: Weiterführende Sicherheits- beurteilung Zuverlässigkeitsuntersuchung

Phase 4b: Zuverlässigkeitsbemessung

Ja

Nein

Nein

Ja

Abb. 11: Möglicher Ablauf für die Beurteilung von historischen Bauwerken, nach SCHUEREMANS et al. [495], ursprüngliche Grafik nach DIAMANTIDIS


27

BaugesetzNormen, Verwaltungsregeln, sonstige Bestimmungen

PlanerEntwurf

Bauunternehmer Nutzer und EigentümerWartungBauausführung

AuftraggeberAnforderungen

Errichteter Widerstand *R Geplanter Widerstand RdZeitabhängiger Widerstand R(t)

Schädigung-, Wartungsabhängige, Bauplanerische und baulich umgesetzte Zuverlässigkeit

Abb. 12: Abhängigkeit der Zuverlässigkeit einer baulichen Struktur in Anlehung an CZECHOWSKI [121]

ZuverlässigkeitsuntersuchungSemi-probabilistisches oder

probabilistisches Sicherheitskonzept

Bauwesen, Schiffbau, Fahrzeugbau,

Off-shore-Industrie

Optimierung von Inspektion und Wartung

Risikobasierte Inspektion und Wartung

Quantitative Risikoanalyse

Chemische Industrie, Ölindustrie,

Atomindustrie

Risikobasierte Inspektion und Wartung

Risikobasierte Inspektion und Wartung für Strukturen und Prozesse (z.B. für Fahrzeuge und Brücken)

Verfahren 5Verfahren 4


Verfahren 1



Verfahren 1

Abb. 13: Entwicklung risikobasierter Inspektions- und Überwachungskonzepte in verschiedene Industrien nach GOYET [218]


28

Brückenverwaltung

Planmäßige Inspektion

AußerplanmäßigeInspektion

Problemwahrgenommen

Kein Problemwahrgenommen

Problemeigen-schaften (Schwere,

Ursache etc.)Beobachtung

VerkehrserfassungVerkehrsein-schränkung(Gewicht)

Sicherheits-beurteilung

Entwicklung eines Instandsetzungs- und Verkehrskonzeptes

Erfassung und Beurteilung ver-schiedener Instandsetzungsmaßnahmen

Lebensdauerkostenkonzept

Entscheidung für Instandsetzungs-maßnahmen (Einzelverfahren und

Kombinationen)

Ausschreibung, Vergabe der Instandsetzungsmaßnahmen

Ausführung

Beobachtung und Bewertung derInstandsetzungsmaßnahmen

Keine Maßnahme

Kei

ne M

aßna

hme

Beobachtung

Abb. 14: Ablaufdiagramm für Brückeninspektionen, -bewertung und Verstärkung [443]


29

1.4 Begriffe und Aufbau Der Begriff des Bogens lässt sich bis zum althochdeutschen bogo verfolgen. Er findet sich auch im niederländischen boog und im englischen bow. Im deutschen Wörterbuch der Gebrüder GRIMM aus dem 18. Jahrhundert heißt es nach KURRER: „Boge(n) ist nun das krumme, das krumm gehende, springende.“ Die Wurzel des Begriffes Bogen liegt im Verb biegen. Nach KURRER ist „ein Bogen im baustatischen Sinne ein konkav gekrümmtes Tragwerk aus biegefesten Baustoffen“. (KURRER [304]) PAUSER [409] schreibt über Bogenbrücken: „Bögen leiten ihre hohe strukturelle Effizienz von der Ausnutzbarkeit des Querschnittes auf Druck ab“. PAUSER [410] definiert einen Bogen als „einen gekrümmten Druckstab mit Querlast“. WEBER [578] definiert: „Ein Bogen erscheint als ein stabförmiges (linienförmiges) Tragwerk, dessen Systemlinie sich unterhalb seiner Tangenten befindet, also konkav geformt ist. Das Tragwerk erfährt an jeder Endstützung in seiner Hauptkrümmungsebene zwei translatorische Bewegungseinschränkungen. Seine Baumaterialien sind zug-, schub- und druckfest.“ Im Gegensatz dazu steht der Begriff des Gewölbes. Die Herkunft des Begriffes Gewölbe liegt vermutlich im römischen Begriff camera. Dieser Begriff wurde für gewölbte Decken, später nicht nur für die Decke an sich, sondern auch für den Raum unterhalb der Decke verwendet: „... wird camera zum umfassenden Begriff für den ganzen Raum, der von der Decke umspannt wird.“ heißt es dazu im Wörterbuch der Gebrüder GRIMM (nach KURRER [304]). Später wurde der Begriff des Gewölbes wieder auf das Flächentragwerk zurückgeführt. Bereits 1735 findet sich folgende Begriffserklärung: „eine nach einem Bogen von Steinen formierte Decke“. 1857 wird der Begriff auch auf andere Materialien erweitert. (KURRER [304]) Die Festlegung, dass Gewölbe ihre Tragfunktion allein durch druckfeste Baustoffe mit vernachlässigbarer Zugfestigkeit verwirklichen, wurde verschiedentlich angegriffen. Aber wie die folgenden Beispiele belegen, zeigen die Definitionen des Begriffes Gewölbe eine große Divergenz. HASER & KASCHNER [242] definieren: „Als Gewölbebrücken werden überschüttete Tragwerke mit im Aufriss gekrümmter Tragwerksachse betrachtet, die geometrisch auf Grund ihrer geringen Querschnittshöhe zur großen Querschnittsbreite ein Flächengebilde darstellen und sich damit gegenüber den stabförmig aufzufassenden Bogenbrücken abgrenzen.“ LUEGER (entnommen WEBER [578]) definiert: „Gewölbe heißt eine aus einzelnen keilförmigen Steinen zusammengesetzte Steindecke, die dadurch frei schwebt und ihre Nutz- und Eigenlast auf Mauern und Pfeiler überträgt.“ MÖRSCH (entnommen WEBER [578]) definiert: „Die Brückengewölbe sind in statischer Hinsicht als Bogenträger zu betrachten, denn sie üben infolge senkrechter Lasten einen Horizontalschub aus.“


30

DIMITROV (entnommen WEBER [578]) definiert: „Gewölbe, ein Bogenträger, dessen Gestalt sich nach der Stützlinie richtet.“ KURRER (entnommen WEBER [578]) definiert: „Ein Tragwerk ist dann ein Gewölbe, wenn die zur Sicherung der Raumüberspannung erforderliche Tragfunktion allein durch druckfeste Baustoffe mit vernachlässigbarer Zugfestigkeit verwirklicht wird.“ WEBER [578] definiert: „Eine Gewölbebrücke erscheint als Tragwerk zur Überführung von Wegen über Hindernisse. Dieses Tragwerk ist gekennzeichnet durch eine gekrümmte Systemfläche mit entweder nur parabolischen oder parabolischen und elliptischen Punkten außerhalb von Kanten sowie durch eine Lichtweite von mindestens 2,0 m. Sein Material ist druckfest mit vernachlässigbarer kleiner Zugfestigkeit.“ Im üblichen Sprachgebrauch wird die Unterscheidung zwischen Bogen und Gewölbe aber kaum wahrgenommen. Für Durchlässe als Sonderform der Gewölbe- bzw. Bogenbrücken gibt es verschiedene Definitionen. Nach MÖRSCH [375] zeichnen sich Durchlässe durch kleine Spannweiten (< 8 m), durch eine hohe Erdschüttung über dem Scheitel und durch ein hohes Pfeilverhältnis (f/l > 1/3) aus. Andere Veröffentlichungen nennen für Durchlässe eine Spannweite von 2 m (ORBÁN [398]) oder 3 m (BIEN & KAMINSKI [40]). MÖRSCH [375] unterscheidet weiterhin Strom- und Talbrücken mit vollem Gewölbe. Strombrücken zeichnen sich demnach durch flachgesprengte Bögen großer Spannweite und Talbrücken durch hohe Pfeiler und halbkreisförmige Bögen aus. Die Begriffe für die einzelnen Komponenten einer Gewölbebrücke werden in Abb. 15 und Abb. 16 dargestellt. Englischsprachige Begriffe und Begriffserklärungen zu Bogenbrücken-elementen finden sich bei GRIEFE [220]. Unter einem echten Gewölbe versteht man eine radiale Anordnung der Steine, während ein falsches Gewölbe durch Kragarme entsteht. Die Zuordnung der Gewölbe- bzw. Bogenbrücken in die Einteilung der Brücken erfolgt im nächsten Abschnitt. Die verschiedenen Arten von Gewölbebrücken sind in Abb. 17 dargestellt. Weitere Begriffe für Sonderformen von Bögen werden im Folgenden nur angerissen, da sie der Ausbildung von Fensterbogenformen vorbehalten waren. Ein gestelzter Bogen besitzt eine Verlängerung zwischen Krümmung und Kämpfer. Beim steigenden oder einhüftigen Bogen liegen die Kämpfer unterschiedlich hoch. Weitere Bezeichnungen für Bogenformen sind: Rundbogen, Flach-, Stich-, Segmentbogen, Elliptischer Bogen, Korbbogen, Schulter-, Kragsturz-, Konsolbogen, Spitzbogen, Lanzettbogen, Kleeblatt- oder Dreipassbogen, Fächer-, Zackenbogen, Kielbogen, Eselsrücken, Flammenbogen, Vorhangbogen, Tudorbogen, Hufeisenbogen, Sturzbogen. Auf Bogenformen bei Gewölbebrücken wird noch eingegangen.


31

Flügelwände (Wing Wall)

Stirnwand (Spandrel Wall)

Innere Gewölbefläche (Intrados)Äußere Gewölbefläche (Extrados)

Hinterfüllung (Fill, Backfill)

Brüstung (Parapet)

Kämpfer (Springing)

Scheitel (Key)Gewölbestein (Voussoirs)

Widerlager (Abutment) Abb. 15: Bauteilbegriffe für Bogenbrücken überwiegend nach HUGES & BLACKLER [261]

Schlussstein

KämpferAnfänger

Haupt bzw. Stirn

Leibung

Rücken

Widerlager

Abb. 16: Stein- und Bogenbegriffe nach KOCH [293]


32

Flach-, Stich- oder Segmentbogen Schulter-, Kragsturz-, Konsolbogen

Hufeisenbogen Gestelzter Bogen

Einhüftiger Bogen

Kraggewölbe, Unechtes Gewölbe

Kappe

Kappe Wange bzw. Walme

Wange bzw. Walme

Tonnengewölbe Scheitrechter Bogen, Sturzbogen Abb. 17: Gewölbearten nach KOCH [293]


33

Eine Besonderheit stellt die römische Bezeichnung der Brücke nach dem Überführungsgut dar: Äquadukt. Dieser Begriff stammt von dem lateinischen Begriff aquae ductus = Wasserleitung ab. Man versteht heute römisch-antike Anlagen darunter, die oft als Bogenbrücke eine offene oder geschlossene Wasserrinne zu einer Siedlung führten. Die zwischen Gewölbe und Fahrbahn liegenden Aufbauten einer Gewölbebrücke werden als Hinterfüllung bezeichnet. Die Hinterfüllung kann sowohl konstruktiv als auch bei der Wahl der Materialien unterschiedlich ausgebildet sein. So kann die Hinterfüllung aus • Ungebundenem Schüttmaterial (Lockergestein), • Injektionsverfestigtem Boden, • Aufbetonierungen oder Aufmauerungen, • Hohlräumen zur Gewichtseinsparung, längsgegliederten Aufbauten (Stirn- und

Zwischenlängswänden) bestehen (HASER & KASCHNER [242]). Bei vielen Brücken hat man versucht, Gewichtseinsparungen durch Hohlräume und Öffnungen in den Hinterfüllungen zu erreichen. So wurden in zahlreichen Brücken Spar-gewölbe eingebaut. Diese Spargewölbe können sowohl in Längs- als auch in Querrichtung verlaufen. Ein Beispiel für Spargewölbe in Längsrichtung ist die Orleans Bridge von PERRONET (Abb. 18), ein Beispiel für Spargewölbe in Querrichtung ist die Verde Brücke in Italien (Abb. 19). Oftmals verlaufen die Spargewölbe irregulär, sind nebeneinander und übereinander errichtet worden. In vielen Fällen werden die Spargewölbe durch Stirnmauern verdeckt. Für Spannweiten größer 70 m wurden jedoch in der Regel keine Stirnwände mehr eingebaut, um eine ungewollte Versteifung durch die Stirnwände zu vermeiden. Für Brücken mit offenen Stirnwänden sei als weiterführende Literatur MELBOURNE & TAO [350], [351], [349] genannt. Gegen Ende des 20. Jahrhunderts wurden Spargewölbe allerdings wieder zunehmend durch Stirnwände verkleidet. In Italien geht man davon aus, dass alle Brücken mit einer Spannweite größer 20 m Spargewölbe in einer beliebigen Form besitzen. Nach dem Ende des II. Welt-krieges wurden Spargewölbe nur noch sehr selten eingebaut. In der Regel wurden die Brücken vollständig hinterfüllt, da die Personalkosten für die Erstellung der Spargewölbe größer waren als die Materialkosten. BRENCICH & COLLA [61] Eine der ersten Brücken mit Spargewölben in Längsrichtung war die Westminister Brücke in London. 1748 entschied man sich, nachdem Setzungen am Pfeiler 4 aufgetreten waren, die benachbarten Bögen durch dünnere Gewölbe und durch den Einsatz von Spargewölben mit einer geringen Eigenmasse zu errichten, um die Belastungen des Fundamentes zu verringern. BRENCICH & COLLA [61]


34

Abb. 18: Spargewölbe in Längsrichtung nach BRENCICH & COLLA [61]

Abb. 19: Spargewölbe in Querrichtung am Verde Viadukt in Italien, erbaut 1883-1889, Spannweite 18,5 m nach BRENCICH & COLLA [61] Obwohl gelegentlich Spargewölbe mit sehr flachen Bögen, mit elliptischen Bögen und sogar mit Spitzbögen zu finden sind, wurden Spargewölbe in der Regel als Kreisbögen errichtet, um die Horizontallasten in den Wänden der Spargewölbe, insbesondere den Stirnwänden als Außenwände gering zu halten. Bei sehr flachen Bögen (Segmentbögen) der Spargewölbe wurden teilweise Metallketten zur Abtragung der Horizontalkräfte verwendet. Die Lage der Spargewölbe sollte so gewählt werden, dass die Belastungen aus den Wänden der Spargewölbe eine Druckbogenlinie erzeugen, die dem Hauptbogen folgt (SCHAECHTERLE [469], [470]). Die Anwendung von Multiringbögen im Hauptbogen in Verbindung mit Spargewölben führte gelegentlich zu Bogenseparationen. Diese konstruktive Lösung wurde durchaus häufig gegen Ende des 19. und zu Beginn des 20. Jahrhunderts gebaut. Eine originelle Lösung für das Problem der Bogenseparierung findet sich bei der Badstraßenbrücke in Berlin. Diese Brücke wurde 1861 bis 1864 erbaut. Es handelt sich um eine schiefe Multiringbogenbrücke über


35

sechs Felder. In zwei Feldern wurde die Schiefe durch die versetzte Aneinanderreihung gerader Bogenabschnitte erreicht. Diese Bogenabschnitte wurden im Kontaktbereich zur nächsten Bogenreihe durch Stirnwände abgegrenzt. Zusätzlich befindet sich auch in der Mitte eines solchen Bogenabschnitts noch eine Stirnwand. Im Bereich der Kämpfer enden die Stirnwände. Die Verbindung zwischen den Stirnwänden der einzelnen Felder wird durch Spargewölbe über dem Kämpfer erreicht. Diese Spargewölbe waren mit Stein- und Mörtelresten gefüllt. Durch die Kombination aus aussteifenden Wänden und gefüllten Räumen wurde ein minimales Gewicht bei gleichzeitiger regelmäßiger Stützung des Hauptbogens erreicht. Neben der Anwendung von Spargewölben in der Hinterfüllung wurden diese gelegentlich auch in den Pfeilern verwendet. BRENCICH & COLLA [61] Die Möglichkeit von Multiringbögen muss auch geprüft werden, wenn an den Außenseiten des Bogens keine Multiringbögen sichtbar sind. Insbesondere in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts bis in die 30er Jahre des 20. Jahrhunderts wurden Multiringbögen oft durch Natursteine im Randbereich verkleidet. Dadurch entsteht der Eindruck eines dickeren Bogens. Tatsächlich können erhebliche Unterschiede zwischen der scheinbaren Dicke des Bogens und der tatsächlichen Dicke auftreten. Als Beispiel sei hier die Cornigliano Brücke (Italien) aus dem Jahre 1932 genannt. Des Weiteren kann die Dicke des Bogens im inneren Bereich oft erhebliche Streuungen aufweisen, da Steine unterschiedlich genau bearbeitet wurden und verschieden tief in die Hinterfüllung hineinragen. BRENCICH & COLLA [61] Auch die Kämpferausbildung außen und innen wies oft Unterschiede auf, wie Abb. 20 am Beispiel der Verde Brücke in Italien zeigt. Weitere Beispiele für den Unterschied zwischen sichtbarem und konstruktivem Aufbau zeigen Abb. 21 und Abb. 22.

Abb. 20: Ausbildung von Widerlagern am Verde Viadukt. Das linke Bild zeigt den sichtbaren Kämpfer, das rechte Bild zeigt die tatsächliche innere Ausbildung als mehrschaligen Mauerwerksbogen mit auskragenden Kämpfersteinen nach BRENCICH & COLLA [61]


36

Abb. 21: Ausbildung von Kämpfern bei halb-elliptischen Bögen (entnommen BRENCICH & COLLA [61]). Sichtbare Kämpfer müssen nicht mit den statischen Kämpfern übereinstimmen.

Hinter- undAufmauerung

Abb. 22: Beispiele für den Pfeileraufbau nach BRENCICH & COLLA [61]

1.5 Klassifizierung von statischen Brückentypen Die statischen Modelle für Brücken sind begrenzt. Die verschiedenen statischen Systeme von Brücken wurden u.a. von SCHLAICH zusammengestellt (Abb. 23). Im Wesentlichen wurden die Tragmechanismen in früherer Zeit durch die Eigenschaften der zur Verfügung stehenden Materialien eingegrenzt. Mit der Weiterentwicklung der Materialien erweiterten sich auch die Möglichkeiten der Umsetzung von Brückenbauwerken. Wenn man heute in China Bogenbrücken mit einer Spannweite von 1.000 m plant, so hängen diese ungeheuren Spannweiten zu einem wesentlichen Teil an den verbesserten Eigenschaften neuer Materialien. Während sozusagen früher Lage und Form der Einzelelemente einer Brücke durch die Eigenschaften vorgegeben waren, sind die Lage und Form heute freier, da die Eigenschaften der Baumaterialien in größeren Grenzen variiert werden können.


37

Die historischen Baumaterialien waren die normalkraftfähigen Seile (Zug) und das Mauerwerk (Druck) und das biege- und normalkraftfähige Holz. Die Holzgeometrie war jedoch biologisch mit einer begrenzten Querschnittsgröße und einer begrenzten Länge vorgegeben. Innerhalb dieser Grenzen mussten die historischen Brückenbaumeister agieren. Und sie taten dies, indem sie Hängebrücken mit Seilen, Bogenbrücken für Mauerwerk und Balkenbrücken mit Holz schufen. Eine Bogenbrücke und eine Hängebrücke stellt eine Anordnung von einzelnen Tragelementen innerhalb einer Gesamtkonstruktion dergestalt dar, dass die Arten der dominanten Kräfte in den Einzelelementen den Arten der Kräfte des Materials der Einzelelemente möglichst optimal entsprechen. Innerhalb dieser Lösungsgruppen existieren aber Untergruppen, wie z.B. beim Bogen.

Bei den Bogenbrücken unterscheidet man Bögen mit aufgeständerter Fahrbahn, Bögen mit angehängter Fahrbahn und Langesche Balken, bei denen keine Horizontalkräfte nach außen geleitete werden. BIEN & KAMINSKI [40] teilen Steinbogenbrücken gemäß Abb. 24 ein:

Brücken können senkrecht zum kreuzenden Hindernis ausgerichtet sein oder in einem freien Winkel kreuzen. Solche Brückenbauwerke werden auch als schiefe Brücken bezeichnet. Schiefe Bogenbrücken werden meistens noch bezüglich ihres Fugenmusters im Gewölbemauerwerk unterschieden, siehe Abb. 25 und Abb. 26. Die Behandlung schiefer Brücken und Multiringbogenbrücken ist nicht Gegenstand dieser Arbeit. Für ersteren Brückentyp sei auf CHANDLER & CHANDLER [93], CHOO & GONG [99], MELBOURNE [348] und HODGSON [252] verwiesen, für letzteren auf GILBERT & MELBOURNE [210], GILBERT [211] und DREI & FONTANA [156]. Für mehrfeldrige Bogenbrücken seien MOLIN & ROCA [367] und FANNING, SALOMONI & SLOAN [178] als weiterführende Literatur genannt. Abb. 24 zeigte, dass die Gewölbeform der Bogenbrücken für die Einteilung verwendet werden kann. Es sollen deshalb im Folgenden kurz die möglichen Gewölbeformen genannt werden.


38

Abb. 23: Typologie der Brücken nach SCHLAICH [475]


39

Ziegel

Naturstein

Material

Gemischt

Kreisbogen

Parabolischer Bogen

Elliptischer Bogen

Irregulärer Bogen

Bogengeometrie

Schiefer Bogen

Konstant

Bogendicke

Veränderlich

Einfeldbogen

Anzahl der Felder

Mehrfeldbogen

Geschlossene Stirnwände

Überbaukonstruktion

Offene Stirnwände

Abb. 24: Einteilung der Steinbogenbrücken nach BIEN & KAMINSKI [40]


40

Fugen parallel zu den Widerlagern

Englische oder helicoidale Methode

Französische oder orthogonale Methode (die Fugen schneiden die Mittellinie des Bogens rechtwinklig)

Abb. 25: Fugenbilder in schiefen Brücken nach MELBOURNE [348]

Abb. 26: Beispiel eines französischen Verbandes in einer schiefen Brücke (HARVEY [238])

1.6 Formen der Bogensystemlinie Bereits im Kapitel Begriffe wurde darauf hingewiesen, dass der Bogen eine Krümmung besitzt. Das Maß der Krümmung hängt von der jeweiligen Bogenform ab. Ziel der Bogenform ist eine möglichst große Übereinstimmung zwischen Stützlinie und Bogenform. Der Kreis-bogen ergibt sich als Stützlinie bei einer konstanten Radiallast, die Parabel ergibt sich bei einer vertikalen Gleichstreckenlast und der Katenoidbogen (Kettenlinie) ergibt sich bei konstantem Eigengewicht des Bogens (Abb. 27 nach PETERSEN [413]). Die Stützlinie beschreibt den Lastabtrag allein über Normalkräfte, so wie ein Seil seine Kräfte allein über Zug abträgt. Die Affinität zwischen Seil und Bogen findet sich auch bei der Bogenform wieder, nämlich durch die Anwendung der Kettenlinie. Eine kurze Zusammen-fassung möglicher Bogenformen liefert die Tab. 1. Die dort genannten Bogenformen sind der


41

Kreisbogen, der parabelförmige Bogen, der ellipsenförmige Bogen und der Korbbogen. Der Korbbogen ist eine Sonderform des Kreisbogens, da er sich aus mehreren Kreisen mit unterschiedlichen Radien und daraus resultierenden Krümmungen zusammensetzt. Eine weitere Bogenform ist die Zykloide. Eine Zykloide ist eine Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve, meist einer Geraden beschreibt und damit ebenfalls mit dem Kreisbogen verwandt ist. Die Formeln für die Berechnung der Geometrien finden sich unter anderem bei PETERSEN [413]. WEBER [578] verweist auf KAMMÜLLER und SWIDA, die für nicht erdhinterfüllte Gewölbebrücken eine Parabel 4. Ordnung vorschlagen. WEBER [578] selbst nennt auch noch die Sinuskurve bzw. die Halbwelle als Bogenform.

Abb. 27: Optimale Bogenformen für Belastungen nach PETERSEN [413]

Tab. 1: Bogenformen

Kontinuierliches Gewölbe Kreuzgewölbe Bogennamen Steiler Bogen Flacher Bogen

Halbkreis und Bogen-segmente

Parabel-förmiges Gewölbe

Ellipsen-förmiges Gewölbe und Ellipsen-Segmente

Korbbogen

Im Nachhinein kann aber die Ermittlung der Bogenform mit Schwierigkeiten verbunden sein, wie Abb. 28 zeigt. Es handelte sich hierbei um ein historisches Stahlbetongewölbe. Als zweites Beispiel sei die Santa Trinita Brücke in Florenz genannt. FERRONI (1808) nahm an, dass sie als Korbbogen mit sechs Kreissegmenten errichtet wurde, BRIZZI (1951) nahm an, dass es sich um zwei parabolische Bögen handelt, während TORRICELLI davon ausgeht, dass der Bogen zwei logarithmischen Kurven folgt. (CORRADI [107])


42

Die verschiedenen Gewölbeformen sind eng mit der Geschichte der Gewölbebrücken verbunden. Die Römer verwendeten im Wesentlichen den Kreisbogen. Dieser führte durch seinen großen Stich im Verhältnis zur Spannweite auf Grund der großen Brückenhöhe und der damit erforderlichen langen Auffahrten insbesondere innerhalb von Städten zu Problemen. Im 16. Jahrhundert finden zunehmend der polyzentrische Kreisbogen (Korbbogen), die Ellipse oder die Kettenlinie Anwendung. Eine ausführliche Darstellung der Geschichte der Steinbogenbrücken erfolgt im nächsten Abschnitt.

0,00

0,20

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1,00

1,20

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1,60

1,80

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00Länge in m

Höh

e in

m

Aus Zeichnung gemessenKreisbogen

ParabelMessung Architekten

Abb. 28: Bogenform eines historischen Betongewölbes

1.7 Geschichte der Steinbogenbrücken Die Anwendung von Gewölben als eine Form der Überbrückung eines Raumes dürfte mehrere tausend Jahre alt sein. Tonnengewölbe mit einer Spannweite von über 1 m wurden bereits vor über 5.000 Jahren bei mesopotamischen Grabkammern verwendet (KURRER [304]). VON WÖLFEL [570] nennt als erstes bekanntes Gewölbe das Königsgrab von Ur, ca. 4.000 vor Christus. Auch die Sumerer und die Ägypter kannten das Gewölbe (HEINRICH [245], MARTÍNEZ [338], VON WÖLFEL [570]). Die Entstehung der Idee des Gewölbes oder des Bogens ist heute nicht mehr prüfbar. Verschiedene Theorien gehen von Kippvorgängen bei falschen Gewölben oder Kragsteingewölben aus, die zu einem Bogen führten. Andere sehen die Entstehung eines Gewölbes in der Verfeinerung von abgestützten Steinplatten oder die Aufteilung von Steinbalken in Einzelelemente (KURRER [304], HEINRICH [245]). VAN DER


43

VLIST [559] beschreibt die Enstehung der Gewölbebrücke aus Geröllanhäufungen über Bächen. Etwas Ähnliches berichtet auch BÜHLER [76] über den Bau natürlicher Brücken durch die peruanischen Indianer. Die Griechen kannten ebenfalls das Gewölbe. Sie schenkten ihm jedoch nur wenig Beachtung, da die Griechen strenge horizontale und vertikale Bauelemente bevorzugten. Die griechischen Gewölbe wurde erst spät (350 v. Christus) und nur mit geringen Spannweiten (< 10 m) ausgeführt (WEBER [578]). Etwa zur Zeit der Blüte des historischen Griechenlands wurden Gewölbe durch die Nabatäer auf der arabischen Halbinsel in Form von Gurtbogenabdeckungen von Zisternen verwendet. Die Nabatäer sind u.a. durch die Errichtung der Felsstadt Petra im heutigen Jordanien bekannt. (VON WÖLFEL [570]) Einen ersten wesentlichen Entwicklungsschritt erlebte das Gewölbe unter den Etruskern. Die Etrusker lebten vor dem Beginn des Römischen Reiches im nördlichen Mittelitalien. Gelegentlich werden die Etrusker als die Erfinder des Keilsteingewölbes angesehen. Bei einem Keilsteingewölbe besitzt jeder Stein eine keilförmige Form, die eine günstigere Form eines Bogens im Vergleich zum quaderförmigen Stein erlaubt. Die Etrusker kannten allerdings keinen Mörtel. Ingesamt ließ die Ausrichtung der Fugen zum Kreismittelpunkt hin noch zu wünschen übrig, was aber unter Berücksichtigung des Zeitalters durchaus verständlich erscheint. Zur Zeit des Römischen Reiches wurden Bögen bezüglich Ausrichtung der Fugen, Anwendung von Mörtel und die Entwicklung fünfeckiger Steine zur Vermeidung flacher Anschlüsse an das Stirnmauerwerk verbessert. Die Römer entwickelten aus den breiten Gewölben der Etrusker weitgespannte Konstruktionen. Sie erreichten Spannweiten bis zu 36 m, wie bei der Brücke in Alcantara in Spanien. Als älteste Brücke der Römer gilt die Brücke über den Teverone (heute Anio) bei Salario in Italien. Vermutlich wurde diese Brücke 600 vor Christus erbaut. Die Brücke wurde ca. tausend Jahre nach ihrer Errichtung durch die Ostgoten zerstört (546 n. Christus). Allerdings begann man bereits 569 n. Christus mit dem Wiederaufbau der Brücke. Diese Brücke hatte eine Spannweite von 22 m und eine lichte Höhe von 11 m. An dieser Brücke wird das Problem der steilen Rampen deutlich, welches die Anwendung des Kreises als Bogenform mit sich bringt. Ein zweiter Nachteil der römischen Brücken waren die mächtigen Pfeiler, die zu einer erheblichen Verringerung des Durch-flussprofils führten. Die Römer versuchten diesen Nachteil entweder durch sehr hochgesetzte Brücken oder durch hochgesetzte Pfeilerdurchbrüche zu vermeiden, die im Hochwasserfall einen zusätzlichen Wasserdurchlass erlaubten. Ein Beispiel für letzteres ist die Fabricius-brücke in Rom (Abb. 30). Diese Brücke wurde vermutlich 62 v. Christus erbaut. Die Fabriciusbrücke besitzt ein unter Wasser geschlossenes Gewölbe (Erdbogen), so dass sich ein Kreis bildet. Eine weitere berühmte römische Bogenbrücke ist die Steinbrücke zur Engelsburg (LEONHARDT [310], siehe Abb. 30). Diese wurde vermutlich 137 n. Christus erbaut. Sie gilt als eine der schönsten Brücken, da sich bei ruhigem Wasser die Bögen durch das Spiegelbild schließen. Die Römer strebten einen solchen harmonischen Ausdruck an. Auf Grund der hervorragenden Steinhauerarbeiten und der sehr guten Fundamentierung sind viele der römischen Brücken auch heute noch in der Lage, Lasten abzutragen. (VON WÖLFEL [570], BROWN [70])


44

Abb. 29: Mögliche Entstehung des Gewölbes nach HEINRICH [245] PIERO GAZZOLA veröffentlichte 1963 einen Katalog, in dem er 293 bekannte römische Brückenbauwerke aufzählt (VON WÖLFEL [570], LELIAVSKY [308]). Nach WEBER [578] existieren weltweit noch 330 römische Gewölbebrücken, welche überwiegend als Halbkreisgewölbe, aber gelegentlich auch Kreissegmentlinien ausgebildet sind. Die meisten der römischen Steinbogenbrücken wurden zwischen 50 vor Christus bis 150 nach Christus errichtet (GAAL [201]). Die Brücken bildeten eine wesentliche Grundlage für das römische Straßensystem, welches wiederum Grundlage für den Bestand des Römischen Reiches war. Die Länge des römischen Straßensystems betrug nach FLETCHER & SNOW [187] 65.000 Meilen. Es erlaubte üblicher-weise eine Tagesstrecke von ca. 85 km. Der römische Kurierdienst Cursus Publicus erreichte mit wechselnden Pferden und Kurieren 300 bis 335 km pro Tag. Unter Kaiser TRAJAN (98 bis 117 nach Christus) besaß Italien 16.000 km Straßenlänge bei ca. 8 Millionen Einwohnern. Damit wurde im Kern des römischen Reiches ein Verhältnis von ca. 2 km Straße pro 1.000 Einwohner erreicht (VON WÖLFEL [570]). Die Bundesrepublik Deutschland erreicht etwa 2,7 km Straße pro 1.000 Einwohner. Das mittlere Pro-Kopf-Einkommen im Römischen Reich lag mindestens 10 % über dem mittleren Pro-Kopf-Einkommen aller anderen Gebiete auf der Welt (Tab. 2 und Tab. 3). Die einzige vergleichbare Region war China. Neben den Straßen-brücken spielten auch die Viadukte eine wesentliche Rolle für die Versorgung im Römischen Reich. Zahlreiche der berühmten römischen Brücken sind Viadukte, wie z.B. der Pont du Gard (GARBRECHT [205]). Der Äquadukt von Segovia, vermutlich 81 bis 96 n. Christus errichtet, erreicht noch heute eine Länge von 818 m bei einer Maximalhöhe von 28 m (GARBRECHT [205]). Die Kreuzungen verschiedener Wasserversorgungsleitungen, wie z.B. der Aqua Claudia/Aqua Anio Novus mit Aqua Marcia/Tepula/Julia verliefen in verschiedenen Ebenen und zeigten ansatzweise das Aussehen moderner Straßenkreuzungen in mehreren Ebenen, wie in einem Gemälde von ZENO DIEMER [205] dargestellt. Die Wasserversorgungs-menge in Rom betrug etwa den gleichen Wert wie in einer modernen Industriegesellschaft (über 140 l pro Person pro Tag).


45

Abb. 30: Ponte Fabricius (links) und Ponte Sant’ Angelo (Engelsbrücke) (rechts) Tab. 2: Entwicklung des Pro-Kopf-Einkommens in den letzten 2.000 Jahren (STREB [532]) Land/Region Pro-Kopf-Einkommen in 1990 US-Dollar im Jahre 0 1000 1820 1998 Westeuropa 450 400 1.232 17.921 USA, Kanada 400 400 1.201 26.146 Japan 400 425 669 20.413 Lateinamerika 400 400 665 6.795 Osteuropa und UdSSR 400 400 667 4.354 Asien ohne Japan 450 450 575 2.936 Afrika 444 440 418 1.368 Welt 444 435 667 5.709 Tab. 3: Durchschnittliches Wachstum des Pro-Kopf-Einkommens seit 2.000 Jahren (STREB [532]) Land/Region Durchschnittliches Wachstum des

Pro-Kopf-Einkommens in % 0-1000 1001-1820 1821-1998 Westeuropa -0,01 0,14 1,51 USA, Kanada 0,00 0,13 1,75 Japan 0,01 0,06 1,93 Lateinamerika 0,00 0,06 1,22 Osteuropa und UDSSR 0,00 0,06 1,06 Asien ohne Japan 0,00 0,03 0,92 Afrika 0,00 0,00 0,67 Welt 0,00 0,05 1,21 Neben den Römern errichteten auch die Perser über einen langen Zeitraum, etwa von 500 vor Christus bis 500 nach Christus, Bogenbrücken. Diese Bogenbrücken waren oft Bestandteil von aufgeschütteten Dämmen oder Staudammbrücken. Es wird vermutet, dass römische Einflüsse auf den persischen Brückenbau existierten (VON WÖLFEL [570]).


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Kurze Zeit nach der Einführung der Bogenbrücken durch die Römer dürften unabhängig davon auch in China Bogenbrücken errichtet worden sein. Neben den Bogenbrücken im römischen Sinne errichteten die Chinesen auch so genannte schlanke Bogenbrücken, in denen die Bogensteindicke deutlich unter der in Europa verwendeten lag. Die erste historisch belegte Brücke dieser Art ist eine Brücke in Luoyang, die vermutlich 282 nach Christus errichtet wurde. Daneben wurden zahlreiche Vielbogenbrücken in den nächsten Jahrhunderten in China errichtet. Eine ca. 800 nach Christus errichtete derartige Bogenbrücke, die Juwelengürtelbrücke bei Suzhou, steht noch heute unter Verkehr. Erwähnt sein ferner die Anji-Brücke. Nach unterschiedlichen Aussagen handelt es sich hierbei um die vermutlich weltweit erste Segmentbogenbrücke, die 605 bis 607 nach Christus errichtet wurde. Die Brücke besitzt eine Spannweite von über 37 m (BROWN [70], YI-SHENG [605]). Weiterhin weltweit bekannt sein dürfte die Marco-Polo-Brücke in China, die 1194 fertig gestellt wurde (VON WÖLFEL [570], YI-SHENG [605]). Mit dem Zerfall des Römischen Reiches um die Mitte des ersten Jahrtausends begann auch der Zerfall des Straßensystems der Römer. Dieser Zerfall schloss auch die Brücken mit ein. Die Wirtschaft schrumpfte und das Pro-Kopf-Einkommen in Europa sank (Tab. 2). Dies ist ein Beleg dafür, dass neben bautechnischen Grundlagen auch wirtschaftliche und soziale Grundlagen eine Voraussetzung für die Errichtung von Brücken sind (HEINRICH [245]). Erst im 11. und 12. Jahrhundert erfasste ein tiefgreifender Wandel Europa, der Umwälzungen in der Landwirtschaft ebenso wie die Entstehung des freien Bürgertums beinhaltete, (HEINRICH [245]). Damit gingen eine Verbesserung der materiellen Grundlagen der Bevölkerung und ein Wachstum des Handels einher. Die Anzahl der Städte nahm um diese Zeit dramatisch zu. So stieg allein in Deutschland die Anzahl der Städte von ca. 100 auf über 3.000 bis zum 14. Jahrhundert. (HEINRICH [245]) Mit dem Wachstum der Städte und des Handels bestanden auch wieder der Bedarf und die Möglichkeit, Steinbrücken zu errichten. Erwähnt sei hier die Mainbrücke in Würzburg (vermutlich 1133-1146), die Donaubrücke Regensburg (1135-1146), die Moldaubrücke in Prag (1158-1172), die Themsebrücke in London (1176-1209), die Rhonebrücke zu Avignon (1178-1188) und die Elbebrücke Dresden (1179-1260). (HEINRICH [245]) Regensburg war zur damaligen Zeit eine der größten Städte in Deutschland und neben Köln das zweite Handelszentrum. In Regensburg kreuzten sich mehrere mitteleuropäische Handelsstraßen. Insbesondere die Verbindungen nach Süden waren damals von ausgesprochener Bedeutung. Venedig und Genua waren die kommerziellen und maritimen Großmächte des westlichen Mittelmeers und besaßen hervorragende Verbindungen nach Osten. Das deutsche Reich umfasste im Hochmittelalter Italien, Deutschland und weite Bereiche des heutigen Frankreichs. Regensburg besaß daher eine sehr zentrale Lage. Von Köln aus wurden dagegen Waren Richtung England verschifft. (LUDWIG & SCHMIDTCHEN [321]) Trotz der zentralen Lage im Deutschen Reich hatte Regensburg eine schwierige Anbindung an das Meer. Im Mittelalter war der Transport von Gütern auf der Straße der teuerste Weg: Kosten für Zölle, Geleitschutz, Schäden an Wagen durch die groben Straßen, Übernachtungskosten, Nahrung für Tiere mussten aufgebracht werden. Die gleiche Strecke


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kostete auf dem Landweg etwa fünfmal soviel wie auf einem Fluss und zehnmal soviel wie auf dem Meer (GANSHOF [203]). Weiterhin ist bekannt, dass man im Mittelalter insbesondere im Frühjahr und Herbst an Furten gelegentlich mehrere Wochen warten musste. So wartete Wilhelm der Eroberer im Herbst 1069 drei Wochen, um den Fluss Aire auf seinem Weg nach York zu überqueren (HARRISON [237]). Oft wurde ein Fluss als unüberwindbare Barriere angesehen, wie z.B. der Yangtze in China (YI-SHENG [605]). Es war deshalb unabdingbar, die Verkehrsverbindungen auf dem Land attraktiver zu gestalten. Als im Jahre 1135 in Regensburg eine ungewöhnliche Trockenheit herrschte, wurde mit dem Bau der Steinernen Brücke begonnen. Die Brücke wurde im Wesentlichen nach römischen Regeln errichtet, wobei sich die Pfeilerfundamente von den römischen Vorlagen unterschieden. Da der römische Beton unbekannt war, musste man die Pfeiler anderweitig schützen. Dazu wurden Inseln um die Pfeiler errichtet, die natürlich als Nachteil eine starke Einengung des Flussquerschnittes verursachten. Die Bögen haben eine Spannweite zwischen 10,4 und 16,7 m. Wahrscheinlich wurden die Erfahrungen beim Bau der Regensburger Brücke in Europa weiter getragen. So vermutet man, dass die Prager Brücke und die Dresdner Brücke mit Hilfe der Regensburger Schule entstanden sind. Auch in anderen europäischen Staaten sollen Brücken-schulen entstanden sein, wie z.B. der Orden der Brückenbrüder in Frankreich. Der Erbauer der Bogenbrücke in Avignon, St. Bénézet, soll Haupt dieses Ordens gewesen sein. Obwohl die Existenz dieses Ordens nicht nachgewiesen wurde, darf die Brücke in Avignon, bis etwa 1188 errichtet, als ein bedeutender Meilenstein der Brückenbaukunst angesehen werden. Die Brücke besitzt eine für damalige Verhältnisse erstaunliche Spannweite von 33 m in Ver-bindung mit außergewöhnlich schlanken Bogenscheiteln. Die Brücke wirkt im Vergleich zu der nur 40 Jahre vorher errichteten Regensburger Brücke außerordentlich schlank und elegant, auch weil sie der Form nach nur ein Kreissegment verwendet. (HEINRICH [245], BROWN [70]) Erst in der Renaissance war die Anwendung des Kreissegmentes weit verbreitet. Auch der Korbbogen fand zunehmend Verbreitung. Mit dem Bogenformen konnten größere Spann-weiten und elegantere Linienführungen als mit dem Kreisbogen erreicht werden. Die Vor-gehensweise zur Entwicklung von Ellipsen wurde zunehmend verbreitet, u.a. von DÜRER. Trotz dieser Hilfsmittel setzte sich weder der Begriff der Ellipse, die nach Dürer „recht-schaffene ablange Rundung“, noch die Anwendung der Ellipse durch. Der ellipsenähnliche polyzentrische Kreisbogen oder Korbbogen erreichte dagegen große Beliebtheit bei den Brückenbauern. (HEINRICH [245]) Insbesondere in Italien erlebte der Bogenbrückenbau im 14. und 15. Jahrhundert eine Blüte. So folgen die Bögen der Ponte Vecchio einem sehr flacher Segmentbogen. Die Bögen dieser 1341-1345 errichteten Brücke besitzen eine Spannweite von 32 m und ein Pfeilerverhältnis von 1:6,5 (HEINRICH [245], BROWN [70]). In Florenz steht neben dem Ponte Vecchio eine weitere berühmte Brücke: die Ponte Santa Trinità. Sie wurde von AMMANATI geplant und 1567-1569 errichtet. Die dreifeldrige Bogenbrücke besitzt Spannweiten von 29 m, 32 m und 29 m. Hier folgen die Bögen einem Korbbogen. Weiterhin verwendete AMMANATI ein kühnes Pfeilerverhältnis von 1:7. Die Brücke war so schlank, dass sich lange Zeit in der Bevölkerung der Glaube einer geringen Tragfähigkeit hielt. Die 1588-1591 von DA PONTE errichtete Rialtobrücke in Venedig überspannt den Kanal Grande mit nur einem Bogen von ca. 28 m


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Spannweite. Die Brücke ist mit 12.000 Holzpfählen außerordentlich aufwendig gegründet. (HEINRICH [245], BROWN [70])

Mit der im Jahre 1597-1602 in Nürnberg erbauten Fleischbrücke gelang der Anschluss der deutschen Brückenbaukunst an die italienische. Die Fleischbrücke besaß einen flachen Bogen von ca. 34 m Spannweite. Die Konstruktion zeigte große Parallen zur Rialtobrücke in Venedig.

Unter PERRONET erreichte der Steinbrückenbau seine Vollendung. PERRONET plante u.a. die Brücke bei Neuilly und die Concorde Brücke in Paris. Insbesondere die mit fünf großen Bögen mit fast 38 m Spannweite und außerordentlich schlanken Pfeilern mit einer Breite von nur 4,2 m (Pfeilerverhältnis 1:9,23) 1768-1774 errichtete Bogenbrücke über die Seine bei Neuilly war ein Meilenstein im Brückenbau. Der zentralistische französische Staat erkannte die Bedeutung des Straßen- und Brückenbaus zu dieser Zeit. Dazu wurde 1716 u.a. ein militärisch organisierter Corps des Ingénieurs des Ponts et Chaussée geschaffen. 1747 entstand in Paris die Schule „Ecole des Ponts et Chaussées“, der PERRONET über 47 Jahr lang vorstand. Neben der Lehrtätigkeit entwickelte er, wie die beiden genannten Brückenbeispiele beweisen, den Brückenbau weiter. Er reduzierte die Pfeilerbreite erheblich. Außerdem war auf Grund des flachen Korbbogens keine Auffahrt auf die Brücke mehr notwendig. (HEINRICH [245], BROWN [70], JESBERG [280])

Abb. 31 fasst die Entwicklung der Bogenformen bildlich zusammen, wobei Formen des 19. und 20. Jahrhunderts schon den Erfolg des neuen Baustoffes Stahlbeton andeuten. Die große Bedeutung der Steingewölbebrücken bis zum 19. Jahrhundert wird aber noch einmal anhand der Arbeiten von HARRISON [237] deutlich. HARRISON [237] untersuchte zunächst die Entwicklung der Anzahl der Brücken über Flüsse in England von ca. 1540 bis Mitte des 19. Jahrhunderts (Tab. 4). Anschließend erfasste er den Anteil der Bogenbrücken an der Gesamtmenge der gebauten Brücken (Tab. 5).

Im Gegensatz zu den bisher verwendeten Quellen geht HARRISON [237] davon aus, dass die ersten Steinbrücken in England am Ende des 11. Jahrhunderts errichtet wurden sind. Das wäre etwa 50 Jahre früher, als z.B. die Regensburger Brücke. HARRISON weist allerdings auch auf die Probleme bei der Deutung des Begriffes Steinbrücken hin. So konnten Steinbrücken steinerne Pfeiler mit einem Holzüberbau oder Brücke mit steinerner Brüstung bedeuten. Die älteste Steinbogenbrücke befand sich nach HARRISON in Oxford. Wahrscheinlich wurde sie von ROBERT D’OILLIY am Ende des 11. Jahrhunderts in Auftrag gegeben. Eine zweite Bogenbrücke in Winchester war unter Umständen sogar älter. Die genaue Bestimmung des Alters und der Bauart dieser Brücken ist jedoch mit erheblichen Unsicherheiten verbunden. Etwa 1086 soll es mehrere Steinbogenbrücken in England gegeben haben. Ab 1100 nahm nicht nur die Anzahl der Steinbogenbrücken zu, auch die Nachweise über solche Brücken mehren sich und werden zunehmend glaubwürdiger (HARRISON [237]).


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1. Jahrhundert

12. Jahrhundert

18. Jahrhundert

19. Jahrhundert

20. Jahrhundert

Abb. 31: Schematische Darstellung der Entwicklung der Bogenformen und der Spannweiten In Frankreich wurden um diese Zeit ebenfalls mehrere Steinbogenbrücken erbaut. Laut verschiedener Quellen wurden auch hier bereits vor 1100 Steinbogenbrücken über die Loire in Blois und Tours erbaut. In Saumur wurde 1162, in Orleans 1176 und in Beaugency 1160-1182 Steinbogenbrücken erbaut. (HARRISON [237]) Eine Blüte erlebte der Steinbogenbrückenbau in Großbritannien zwischen dem späten Hochmittelalter und dem Ende des 19. Jahrhunderts. Im 16. Jahrhundert stellten Steinbogenbrücken den überwiegenden Anteil am Brückenbestand in England. Ein Beispiel für steinerne Bogenbrücken ist die Old Exe Bridge in Exeter, die bei Ausgrabungen Ende der 60er – Anfang der 70er Jahre gefunden wurde. Die Brücke wurde vermutlich im 12. Jahr-hundert errichtet. Die Framwellgate Brücke wurde um 1400 erbait. Die Spannweite der Fram-wellgate Brücke wurde in England erst Mitte des 19. Jahrunderts übertroffen. Ein drittes Beispiel ist die Warkworth Bridge, vermutlich erbaut 1380, mit einer Spannweite von 20 m. Eine sehr schöne Beschreibung der Errichtung von Bogenbrücken in Britannien und Irland im 18. Jahrhundert gibt RUDDOCK [458]. Die Reihe erfolgreicher Natursteinbogenbrücken ließe sich fortsetzen. Viele dieser Brücken zeigten eine hervorragende Tragfähigkeit und Dauerhaftigkeit, auch wenn Alter, Verkehr, Fluten und Stürme den Brücken zusetzten. Der Hauptgrund für den Bau neuer Brücken war aber oft die geringe Breite der historischen Bogenbrücken (HARRISON [237]).


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Tab. 4: Anzahl der Brücken über englische Flüsse [237] Fluss 1540 1765-75 1850 Avon (flussabwärts ab der Finford Brücke) 17 18 20 Great Ouse (ab Claydon Brook bis Ely) 17 24 36 Severn (ab Montford Bridge) 10 10 16 Thames (ab Lechlade) 17 23 36 Trent (ab Stoke-on-Trent) 16 23 30 Ure und Ouse (ab Bainbridge) 10 12 16 Avon (Bristol) (flussabwärts ab Malmsbury) 13 18 21 Avon (Hants.) (ab Salisbury) 7 10 11 Medway (ab Tonbridge) 8 10 12 Stour (Dorset) (ab Blandford) 6 7 7 Tame (Staffs.) (ab Water Orton) 6 9 9 Wear (ab Stanhope) 9 12 15 Tab. 5: Baumaterial der Brücken um ca. 1540 [237] Fluss Anzahl

Brücken Anzahl Steinbrücken

Anzahl Holzbrücken

Material unbekannt

Avon (flußabwärts ab der Finford Brücke) 17 13 3 1 Great Ouse (ab Claydon Brook bis Ely) 17 8 2 7 Severn (ab Montford Bridge) 10 9 1 0 Thames (ab Lechlade) 17 7 9 1 Trent (ab Stoke-on-Trent) 16 5 1 10 Ure und Ouse (ab Bainbridge) 10 6 2 2 Avon (Bristol) (flussabwärts ab Malmsbury) 13 9 0 4 Avon (Hants.) (ab Salisbury) 7 6 0 1 Medway (ab Tonbridge) 8 7 0 1 Stour (Dorset) (ab Blandford) 6 6 0 5 Tame (Staffs.) (ab Water Orton) 6 4 0 2 Wear (ab Stanhope) 9 6 0 3 Die in Sachsen/Deutschland ältesten noch erhaltenen Gewölbebrücken stammen aus dem 13. Jahrhundert, wie z.B. die Elsterbrücke in Kürbitz oder eine Brücke in Plauen. Die Hammerbrücke (1550-1576) und die Altväterbrücke (ca. 1570) an der Freiberger Mulde stammen aus dem 16. Jahrhundert. Sachsen erlebte damals auf Grund des Silberbergbaues eine wirtschaftliche Blütezeit. Das Ende des Silberbergbaus und der dreißigjährige Krieg führten zum wirtschaftlichen Verfall und dem Ende des Neubaus steinerner Gewölbebrücken. Erst der Regierungsantritt des sächsischen Kurfürsten und späteren Königs von Polen Friedrich August I. führte wieder zu einem wirtschaftlichen Aufschwung, der auch seine Spuren im Brückenbau hinterließ. So wurde 1716-1719 in Grimma die Pöppelmannbrücke oder 1715-1717 die Freiberger-Mulde-Brücke in Nossen errichtet. (FRENZEL [195]) Im Rahmen der Entstehung des sächsischen Eisenbahnnetzes wurde 1846-1851 die weltweit größte Ziegelsteinbrücke, die Göltzschtalbrücke im Vogtland errichtet. Ein weiterer wesentlicher Meilenstein des Bogenbrückenbaus in Sachsen war die 1905 errichtete Syratal-brücke in Plauen. Mit einer Spannweite von 90 m ist sie bis heute die weitgespannteste Mauerwerksbrücke Europas. (FRENZEL [195])


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Im 19. Jahrhundert änderten sich die Rahmenbedingungen für den Brückenbau zunehmend. Die industrielle Revolution mit neuen Verkehrsmitteln, insbesondere die Eisenbahn und einem exponentiellen Anstieg der bewegten Güter führte zu völlig neuen Anforderungen. Gleichzeitig setzte sich die wissenschaftliche Herangehensweise auch an ingenieurtechnische Probleme langsam durch. Die Anzahl der Veröffentlichungen über den Bau von Bogenbrücken stieg deutlich an. WIEBEKING [590] veröffentlichte 1809 einen Beitrag seiner geplanten Brücken. 1847 veröffentlichte ARDANT [13], Professor für Baukunst in Metz, ein Buch über die Errichtung von Brückenkonstruktionen, u.a. auch von Bogenbrücken. Er entwickelte einen eigenen Apparat, um Bogenkonstruktionen auf Biegung und Schub zu prüfen. In KURRER und KAHLOW [305] ist der Versuchsaufbau von ARDANT dargestellt. ARDANT konnte z.B. die Verformung des Bogens im Scheitel basierend auf NAVIERS Theorie über:

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K Vy l hE I

⋅= ⋅ ⋅ ⋅⋅

mit y als Verschiebung im Scheitel, l als Spannweite, h als Stich, V als Summe der vertikalen Lasten, EI als Biegesteifigkeit und K als Faktor zur Berücksichtigung der Verteilung der Lasten über dem Bogen berechnen. SCHUBERT [486], der verantwortliche Konstrukteur der Göltzschtalbrücke veröffentlichte seine Gewölbetheorie 1847 bzw. 1848. SCHEFFLER [472] veröffentlichte 1857 eine Theorie der Gewölbe. Die letzten Absätze geben den Eindruck, dass statische Berechnungen erst sehr spät Einzug bei der Planung von Bauwerken fanden. FLECKNER [185] vermutet im Gegensatz dazu, dass bereits um 1200 einfache statische Berechnungen für Gewölbe und Pfeiler in Frankreich durchgeführt wurden. Er weist nach, dass zu dieser Zeit bereits ausreichende Kenntnisse der Mathematik und Mechanik insbesondere an Klosterschulen vorhanden waren. Weitere von FLECKNER durchgeführte Berechnungen belegen, dass quasi alle Pfeiler trotz unterschied-licher Formen und Gestaltungen im Eigenlastzustand überdrückt sind. Dies wäre nach FLECKNER ein eindeutiger Beweis einer Berechnung. Etwa ab den 20er Jahren des 20. Jahrhunderts begann man, die Verformungen an Modellbögen zu erfassen. Ziel war die Umgehung von Berechnungen an statisch unbestimmten Systemen. Für diese Untersuchungen wurde ein Modell eines Bogens benötigt, eine Vorrichtung, um das Modell mit einer Belastung zu beaufschlagen und Mikroskope zur Erfassung der Verformungen. Die Geräte wurden als Verformer bezeichnet. Neben dem Verformer von BEGGS (BEGGS [30], BÜHLER [75]) gab es auch Verformer von MAGNEL und von SCHAECHTERLE (MÖRSCH [374]). In MÖRSCH [374] findet sich eine Abbildung eines Modells eines beidseitig eingespannten Bogens in dem Verformer von SCHAECHTERLE. Die Anwendung der Verformer steht aber in engem Zusammenhang mit Bogenbrücken aus Stahlbeton. Auf Bogenbrücken aus anderem Material wurde bisher nicht eingegangen, so dass im Folgenden eine kurze Zusammenfassung darüber erfolgt.


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1.8 Bogenbrücken aus anderen Materialien

1.8.1 Stählerne Bogenbrücken Die älteste gusseiserne Bogenbrücke wurde 1779 über den Severn Coalbrookdale, England, erbaut (MARTÍNEZ [338], SCHAECHTERLE et al. [467], BROWN [70]). Die Brücke besteht aus fünf Bögen, die nebeneinander stehen und eine Spannweite von 30,5 m besitzen. Der Konstrukteur dieser Brücke war THOMAS PRITCHARD. Zwanzig Jahre später wurde durch TELFORD eine gusseiserne Bogenbrücke mit einer Spannweite von knapp 40 m errichtet. 1796 wurde auch in Deutschland, Schlesien, eine Straßenbrücke über das Striegauer Wasser als eiserne Bogenbrücke errichtet (BÜHLER [76]). In der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurden in Deutschland zahlreiche weitere derartige Brücken erbaut. Auch in England wurden bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts zahlreiche gusseiserne Bogenbrücken mit einer maximalen Spannweite von 72 m errichtet. (MARTÍNEZ [338]) Um die Mitte des 19. Jahrhunderts wurde verstärkt Schmiedeeisen verwendet. So errichtete GUSTAV EIFFEL 1884 den Garabit Viaduct in Frankreich mit einer Spannweite von 165 m. Aber bereits ab etwa 1860 begann der Siegeszug des Stahls. Die Mississippi Brücke in St. Louis, errichtet 1867 bis 1874, war vermutlich die erste große Bogenbrücke aus Stahl. Die Brücke besteht aus drei Bogenfeldern mit einer Spannweite von 158,5 m. Die Brücke ist eine kombinierte Straßen- und Eisenbahnbrücke und trägt heute den Namen ihres Konstrukteurs EADS. (MARTÍNEZ [338]) In den nächsten Jahrzehnten erfolgte die Weiterentwicklung der stählernen Bogenbrücken. Bei biegesteifen Vollwandbögen wurden Spannweiten bis 250 m, bei Bogenfachträgern bis 500 m erreicht. Internationale Beispiele sind die Mälarseerbrücke in Stockholm 1935 mit 204 m, die Henry-Hudson-Brücke in New York mit 244 m oder die Sydney Hafenbrücke in Australien, die 1930 503 m Spannweite erreichte. In Deutschland erreichte z.B. die Wuppertalbrücke bei Müngsten mit einem eingespannten Fachwerkbogen eine Spannweite von 160 m (1893) oder die Rheinbrücke Engers-Neuwied (1918) erreichte mit einem Bogenfachwerkträger mit Zugband 188 m Spannweite (SCHAECHTERLE et al. [467]). 1977 wurde in Fayetteville die New Gorge River Brücke mit einer Spannweite von 518 m errichtet. Den derzeitigen Rekord hält die Lunpu Bogenbrücke in Shangai, China, mit einer Spannweite von 550 m. Die Brücke wurde 2003 eingeweiht. Neueste Entwicklungen im Bereich der stählernen Bogenbrücken sind sogenannte Netzbrücken.

1.8.2 Hölzerne Bogenbrücken Auf Grund seiner Entstehung gestaltet sich die Anwendung von Holz für gekrümmte Bauteile recht schwierig. Die geschickte Verbindung einzelner Holzelemente gestattet jedoch die Herstellung von Holzbogenbrücken. Eine der ersten Darstellungen einer Holzbogenbrücke findet sich auf den Trajansäule in Rom. Die Säule wurde ca. 110 nach Christus erbaut und zeigt u.a. eine Holzbogenbrücke über die Donau, die vermutlich während der Dakerkriege erbaut wurde (Darstellung siehe STEINBRECHER [525]). LEONARDO DA VINCE beschrieb im 15.


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Jahrhundert eine Holzbogenbrücke (CERALDI & ERMOLLI [90]). ANDREA PALLADIO berichtet 1540 über eine Holzbogenbrücke in Norditalien (FLETCHER & SNOW [187]). Im 18. Jahrhundert wurden in England mehrere Holzbogenbrücken errichtet, u.a. die berühmte Old Walton Bridge über die Themse (CERALDI & ERMOLLI [90]). In Frankreich wurde die Holzbrücke Point de Choisy sur la Seine im 18. Jahrhundert errichtet (FLETCHER & SNOW [187]). Diese Brücke besaß im Gegensatz zu PALLADIO’s Brücke kein Fachwerk. Die Colossus-Brücke war die größte jemals gebaute Bogenbrücke aus Holz. Sie wurde von LEWIS WERNWAG über den Schuylkill bei Fairmont in Philadelphia um 1811 mit einer Spannweite von 103,60 m gebaut. Allerdings fiel die Brücke bereits 1838 einem Brand zum Opfer (BÜHLER [76], TROYANO [549], FLETCHER & SNOW [187]). In Venedig wurde die Holzbogenbrücke Ponte dell’ Accademia 1933 bis 1934 als Provisorium errichtet. Das Provisorium erwies sich jedoch als so erfolgreich, dass man die Brücke noch heute bewundern kann. Als japanische Holzbogenbrücke ist vor allem die Kinai-Kyo-Brücke bekannt. Sie dürfte als berühmteste historische Brücke in Japan gelten. (BÜHLER [76], TROYANO [549]) In Russland plante IVAN PETROVIC KULIBIN Mitte des 18. Jahrhunderts eine Holzbogenbrücke mit einer Spannweite von ca. 300 m. Die Brücke sollte die Newa in Petersburg überspannen. Im Dezember 1776 wurde ein Belastungstest an einem Modell 1:10 durchgeführt. Das Modell bestand den Test. Gutachter des Modells waren u.a. LEONHARD EULER und DANIEL BERNOULLI. (BÜHLER [76]). Leider wurde die Brücke niemals errichtet. Moderne Holzbogenbrücken zeigen im Vergleich zu dieser Brücke erhebliche Weiterentwicklungen. So sind Unterbau aus Brettschichtholz und eine Fahrbahnplatte aus Beton wie die Crestawaldbrücke in der Schweiz möglich. Eine weitere Bogenbrücke aus Brettschichtholz ist die Wennerbrücke in der Steiermark (BÜHLER [76]). Besonders interessant ist die Leonardo Brücke in Norwegen (GOLDBERG [215]).

1.8.3 Stahlbetonbogenbrücken MONIER plante die erste Stahlbetonbogenbrücke 1875. Es handelte sich um eine Fußgängerbrücke. Knapp 30 Jahre später, 1904 errichtete HENNEBIQUE die Risorgimento Brücke in Rom mit einer Spannweite von über 100 m (MARTÍNEZ [338]). Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts waren im Betonbau noch immer Bogenbrücken mit einer SPANGENBERGschen Kühnheitszahl (l2/f) bis 700 (Spannweite ins Quadrat geteilt durch den Stich) die Regelausführung. Mit der Risorgimento Brücke in Rom wurde eine Kühnheitszahl von 1.000 erreicht. Damit erfolgte der Übergang zum Balken (PAUSER [410]). MAILLARD und FREYSSINET entwickelten die Stahlbetonbogenbrücken weiter. FREYSSINET baute 1910 eine 100 m Bogenbrücke in Villeneuve-sur-Lot. 1925 konstruierte er die Bogenbrücke in Plougastel aus drei Bögen mit einer Spannweite von jeweils 180 m. Insbesondere die Schalung kristallisierte sich bei den Stahlbetonbogenbrücken als Problem heraus.


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Von 1938 bis 1942 wurde die Sandö Brücke mit einer Spannweite von 264 m erbaut. Bis zur Errichtung der Arrabida Brücke in Porto führte diese Brücke die Liste der größten Bogen-brücken an. Die Arrabida Brücke wurde 1963 eingeweiht. Der Bogen der Brücke besitzt eine Spannweite von 270 m. Noch im gleichen Jahr wurde in Australien die Gladesville Brücke mit einer Spannweite von 305 m eingeweiht. 1979 wurde in Kroatien die Krk Bogenbrücke mit einer Spannweite von 390 m eröffnet. Die zurzeit größte Stahlbetonbogenbrücke ist die Wanxian Brücke über den Jangtse in China mit einer Spannweite von 420 m. Ein gelungenes Beispiel für eine Betonbogenbrücke ist die Kylltalbrücke. Bei den Angeboten für den Millau Viadukt in Frankreich befand sich auch ein Stahlbeton-bogen mit einer Spannweite von 600 m. Brückenspannweiten von 600 m wurden weiterhin von KAMISAKODA et al. [286] diskutiert. Die ersten rechnerischen Untersuchungen zum Bau von Bogenbrücken mit einer Spannweite von 1.000 m unter Verwendung von Reactive Powder Concrete (RPC) wurden von ČANDRLIĆ et al. [84] vorgestellt. MARTINÉZ [338] sieht einen wirtschaftlichen Anwendungsbereich von Bogenbrücken bei Spannweiten bis zu über 1.000 m und üblichen Spannweiten von 500 m. Bogenbrücken aus modernen Baustoffen, wie Stahl oder Beton, besitzen nach wie vor eine hohe Wettbewerbsfähigkeit, wobei diese maßgeblich von der Herstellungstechnologie und den verwendeten Baustoffen abhängt. Neue Technologien, wie z.B. sogenannte CFST (Concrete Filled Steel Tubular) Bogenbrücken sind bereits erfolgreich in Anwendung. Mit diesen können die Spannweiten der reinen Stahlbetonbogenbrücken überschritten werden, wie z.B. die Whusa Bogenbrücke beweist (CHEN, CHEN & HIKOSAKA [94], MARTÍNEZ [338]).

1.9 Anzahl von Bogenbrücken Die Geschichte der Steinbogenbrücken in Verbindung mit der Entwicklung neuer Baustoffe führt zu der Frage, wie groß die Anzahl der Bogenbrücken heute in Deutschland noch ist. In Deutschland existieren mehr als 120.000 Brücken [131]. Obwohl der Großteil dieser Brücken in den letzten Jahrzehnten entstanden ist, bilden Bogenbrücken allgemein bzw. Natursteinbogenbrücken speziell in manchen Regionen einen Großteil der Brückenstruktur. So geht man im Bereich des Straßenbauamtes Zwickau in Sachsen davon aus, dass etwa 1/3 aller Brücken historische Bogenbrücken sind, die am Ende des 19. Jahrhunderts errichtet wurden (BOTHE et al. [57]). Die Anzahl der Straßenbrücken dürfte in Sachsen Anfang der 90er Jahre des 20. Jahrhunderts ca. 4.000 betragen haben (BARTUSCHKA [24]). Nach verschiedenen Schätzungen beträgt der Anteil der Gewölbe und Bogenbrücken daran ca. 32 %. PURTAK [431] spricht von mehreren tausend Brücken im sächsischen Verkehrswege-netz. SCHMITT [481] geht davon aus, dass 1/3 aller Eisenbahnbrücken mit einer Spannweite zwischen 10 und 20 m historische Bogenbrücken sind. Eine grobe Schätzung der Bundesbahn [398] geht von ca. 35.000 Steinbogenbrücken in Deutschland aus. Das entspräche etwa 40 % aller Durchlässe und Brücken und ca. 30 % aller Brücken mit einer Spannweite größer 2 m.


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Für Großbritannien werden ca. 20.000 Eisenbahn-Steinbogenbrücken geschätzt (UIC [268], ORBÁN [398]). MELBOURNE et al. [353] und MURRAY [380] schätzen die Gesamtanzahl der Steinbogenbrücken in Großbritannien auf 40.000. Im Gegensatz dazu schätzt CHOO [98] die Anzahl der Steinbogenbrücken der Britischen Eisenbahn auf über 40.000. SMITH [508] weist darauf hin, dass die Britische Wasserwegeverwaltung 2.400 Brücken besitzt und unterhält, von denen die meisten Natursteinmauerwerks- oder Ziegelsteinmauerwerksbogenbrücken sind.

Für Großbritannien schätzt man die Gesamtanzahl der Brücken auf 150.000, 13.000 dieser Brücken gehören zum Autobahn- und Fernstraßennetz. Von diesen sind ca. 0,7 % Stein-bogenbrücken. In Frankreich gehören ca. 21.000 Brücken zum Autobahn- und Fernstraßen-netz, davon 24 % Mauerwerksbrücken. In Spanien beträgt der Anteil der Steinbrücken 8 % und in Slowenien 6 % am Autobahn- und Fernstraßennetz. In Norwegen liegt der Anteil der Bogenbrücken am Fernstraßennetz bei nahezu vernachlässigbaren 1,3 %. (WOODWARD et al. [600])

BRENCICH & COLLA [61] schätzen die Anzahl der Steinbogenbrücken der italienischen Eisenbahn mit einer Spannweite größer als 8 m und errichtet in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts auf mindestens 7.000. CAVICCHI & GAMBAROTTA [89] beziffern in einem Vortrag die Anzahl der Mauerwerksbogenbrücken der italienischen Eisenbahn mit einer Spannweite größer 2 m auf über 12.000, wobei davon 80 % eine Spannweite kleiner 5 m haben. KARAVEZIROGLOU-WEBER, STAVRAKAKIS & KARAYIANNI [287] schätzen die Anzahl der Steinbogenbrücken in Zentralgriechenland auf ca. 300.

Eine Statistik für Steinbogenbrücken in Polen geben BIEN und KAMINSKI [40]. Sie gehen von ca. 1.000 Eisenbahn-Steinbogenbrücken und 2.000 Straßen-Steinbogenbrücken aus, wobei sie nur Brücken mit mehr als 3 m Spannweite zählen. Werden auch Bauwerke mit kurzen Spann-weiten dazugezählt, so erhöht sich die Anzahl auf über 20.000. Im Gegensatz dazu sieht RADMOSKI [440] den Anteil der Mauerwerksbrücken am Straßennetz als vernachlässigbar an und erfasst ihn statistisch nicht.

In den USA schätzt man die Anzahl der Mauerwerksbogenbrücken auf etwas weniger als 1.000 (BOOTHBY & ROISE [54]). Gemessen an der Gesamtzahl von 600.000 Brücken in den USA ist der Anteil der Mauerwerksbogenbrücken als vernachlässigbar anzusehen (GAAL [201], DUNKER [159]). Trotzdem lassen sich zahlreiche Beispiel für Bogenbrücken in den USA finden [536], [174], [188], [250]. In Virginia, USA, sollen 187 historische Bogenbrücken aus Beton und Mauerwerk existieren (MILLER, CLARD & GRIMES [358]). Der Anteil der Stahlbetonbogenbrücken bei den Highwaybrücken beträgt weniger als 2 Promille. (GAAL [201], DUNKER [159]). In den USA wurde nach dem Einsturz der Silverbridge am Pleasant Point, West Virgina, 1967 der Federal Highway Act 1968 in den USA ins Leben gerufen, der eine Brückenbestandserfassung beinhaltet.

Nach einer inoffiziellen Statistik sind 70 % der Brücken in China Bogenbrücken (DAWEN & JINXIANG [125]). Über Schäden an Steinbogenbrücken in Indien wird in [66] berichtet. In Russland existieren historische Steinbogenbrücken z.B. in Sankt Petersburg. Beispiele von Steinbogenbrücken in Irland sind in [534] genannt. Über gemauerte Eisenbahnbogenbrücken auf einer Gebirgsstrecke in Eritrea (Afrika) berichtet SEILER [499].


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In Spanien erfolgte ab 1985 eine systematische Erfassung des Brückenbestandes des Autobahn-Straßensystems. Bis 1996 wurden über 8.000 Brücken erfasst. Von diesen Brücken sind 2.824 Mauerwerksbrücken, das entspricht etwa einem Drittel. Insbesondere bei kleinen Spannweiten, Durchflüssen, Entwässerungsrohren etc. besitzen diese Mauerwerksbrücken einen großen Anteil. Der Anteil liegt bei 60 bis 70 %. Bei üblichen Brückenspannweiten liegt der Anteil unter 10 % (YÁÑEZ & ALONSO [8]). Es wird hier angenommen, dass es sich bei Mauerwerksbrücken um Bogenbrücken handelt.

1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 19750

20

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Baujahr

Bau

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isen

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brüc

ken

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euts

chla

nd in

%

Gewölbebrücken aus Mauerwerk und unbewehrtem BetonEisen- bzw. StahlüberbautenWalzträger-in-Beton-ÜberbautenStahlbetonüberbautenSpannbetonüberbauten

Bemerkung: Holzbrücken sind in dieser Statistik nicht enthalten. Obwohl nach WEBER ab 1865 gemäß der Technischen Vereinbarungen des Vereins Deutscher Eisenbahnverwaltungen Holzbrücken in Deutschland für den Eisenbahnbau nicht mehr genehmigungsfähig waren, gab es einige Ausnahmen. Bis 1860 waren Holzbrücken als permanente Brücken bis zu einer Stützweite von 40 m errichtet worden. In anderen Ländern, z.B. den USA und Kanada, machten Holzbrücken einen erheblichen Anteil am Brückenbestand aus. WEBER [578] Abb. 32: Bauweise der Eisenbahnneubaubrücken nach WEBER [578] Nach WEBER [578] konkurrierten bis ca. 1860 bei den deutschen Eisenbahngesellschaften Steinbogenbrücken und Holzbrücken. Danach nahm der Anteil der Bogenbrücken beim Neubau durch die Einführung des Schweißeisens und dem Bau von Walzträger-in-Beton Eisenbahnbrücken deutlich ab (Abb. 32). Nach dem Ende des II. Weltkrieges wurden noch einmal zahlreiche Bogenbrücken (meistens in Beton) wiedererstellt. Seitdem ruht der Neubau von Steinbogenbrücken. WEBER [578]


57

Um genauere Angaben über den Bestand der Gewölbebrücken im Eisenbahnnetz zu erhalten, führte der Internationale Eisenbahnverband (UIC) eine Untersuchung durch. Dreizehn Eisenbahngesellschaften nahmen an der Untersuchung teil (UIC [268]). Über 200.000 Bogenbrücken wurden in Eisenbahngesellschaften gezählt. Insgesamt machen die Stein-bogenbrücken 60 % der Brückeninfrastruktur der teilnehmenden Eisenbahngesellschaften aus. Eine kurze Zusammenfassung der Statistik der Brücken findet sich in Tab. 6 und in Abb. 33. Einige Eigenschaften dieser Brücken sind in Abb. 34 zusammengefasst. Eine ältere, von WEBER [578] vorgestellte Statistik nennt etwas andere Zahlen für die internationalen Eisenbahnen. Die Ergebnisse dieser Untersuchung sind in Tab. 7 zusammengefasst. WEBER [578] schätzt übrigens den Wert aller Eisenbahnbrücken in Deutschland mit einer Spannweite kleiner 20 m auf über 66 Milliarden DM (1993 Preise).

Tab. 6: Anzahl der Steinbogenbrücken in verschiedenen Eisenbahnorganisationen (UIC [268]) Eisenbahn-organisationen

SNCF (Frankreich)

RFI (Italien) NR (UK) REFER

(Portugal) DB

(Deutschland)RENFE

(Spanien) CD

(Tschechien)Anzahl Stein-bogenbrücken und Durchlässe (l<2 m)

78.000 1) 56.888 17.867 11.746 35.000 1) 4.858

Anzahl Stein-bogenbrücken 18.060 16.500 1) 874 8.653 3.144 2.391

Anteil am ge-samten Brücken-bestand mit Durch-lässen

76,8 94,5 46,9 89,8 38,9 18,9

Anteil am ge-samten Brücken-bestand ohne Durchlässe

43,5 39,6 27,5 49,3 35,8

1) Geschätzte Zahl

Eine noch umfassendere Statistik über die Anzahl von Bogenbrücken wird das so genannte Sustainable Bridges Project erbringen. Es handelt sich um ein von der EU gefördertes Forschungsprojekt, welches seit dem 1. Dezember 2003 läuft und über 32 Partner verbindet. Ziel dieses Forschungsprojektes ist die Erhöhung der Infrastrukturkapazität für Passagiere und Güter. Im Rahmen der bisherigen Arbeiten erfolgte eine Klassifizierung der Brücken in den europäischen Partnerländern. Dabei wurde festgestellt, dass • ca. 8 % aller Brücken Verbundbrücken • ca. 24 % aller Brücken Betonbrücken • ca. 31 % aller Brücken Stahlbrücken • ca. 37 % aller Brücken Bogenbrücken sind. Von den Bogenbrücken sind 33 % Stein- und 67 % Ziegelbrücken. Basierend auf diesen Daten wird die Anzahl der Eisenbahnbogenbrücken auf 70.000 geschätzt. Die Unterhaltung der Bogenbrücken macht ca. 20 % der gesamten Unterhaltungskosten der Eisenbahn aus. (BELL [31])


58

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20

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RFI

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lien)

NR

(UK

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REF

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gal)

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JR (J

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)

Ant

eil i

n %

Anteil am Brückenbestand mit DurchlässenAnteil am Brückenbestand ohne Durchlässe

Abb. 33: Anteil Bogenbrücken am Brückenbestand von Eisenbahngesellschaften (UIC [268])

Verteilung der Spannweite der Bögen

59,6%20,6%

11,3%

8,5%bis 2 m2 bis 5 m5 bis 10 mgrößer 10 m

Verteilung der Anzahl der Bögen

85,2%

5,1%

5,7%4,0% 1 Bogen

2 Bögen

mehr als 3 Bögen3 Bögen

Verteilung des Zustandes der Bogenbrücken

42,0%

43,0%

14,0%1,0%

gutmittelmäßigschlechtsehr schlecht

Verteilung des Alters der Bogenbrücken3,8%

15,1%

69,4%

11,7%jünger als 50 Jahre50 bis 100 Jahre100 bis 150 Jahreälter als 150 Jahre

Abb. 34: Eigenschaften der Bogenbrücken im Bestand von Eisenbahngesellschaften [268]


59

Tab. 7: Anzahl der Steinbogenbrücken in verschiedenen Eisenbahnorganisationen nach WEBER [578] Eisenbahngesellschaften Betriebs-

länge in km Anzahl EBS Brücken-

dichte Anzahl GB % GB Älteste

GB Belgische (SNCB/NMBS) 3.432 3.400 10 600 18 1845 Britische (BR) 16.528 26.240 16 13.000 50 1825 Bulgarische (BDŽ) 4.299 982 2 62 6 1867 Dänische (DSB) 2.344 1.500 6 135 9 1853 Deutsche (DB) 4087 32.017 8 9.146 29 1837 Finnische (VR) 5.874 1.905 3 60 3 1861 Französische (SNCF) 32.731 28.259 9 13.167 47 1840 Griechische (CH, OSE) 2.484 21.000 8 710 34 1883 Italienische (FS) 16.112 59.473 37 37.400 63 1850 Irische (CIE) 1.944 2.752 14 1.484 54 1839 Jugoslawische (JŽ) 2.770 619 22 1874 Luxemburgische (CFL) 275 282 10 149 53 1859 Niederländische (NL) 2.753 2.790 10 50 2 1842 Norwegische (NSB) 4.027 2.700 7 311 12 1888 Österreichische (ÖBB) 5.605 5.048 9 1.200 24 1838 Polnische (PKP) 25.254 8.500 3 1.020 12 1842 Portugiesische (CP) 3.054 1.928 6 883 46 1875 Rhätische (RhB) 375 489 13 931 1888 Rumänische (CFR) 11.430 4.067 4 240 6 1859 Schwedische (SJ) 9.846 3.500 4 100 3 1857 Schweizerische (SBB)* 2.985 5.267 18 914 17 1847 Spanische (RENFE) 13.041 6.371 5 3.205 50 1860 Tschechoslowakische (ČSD) 13.100 9.411 7 3.213 34 1845 Ungarische (MAV) 7.605 2.375 3 278 12 1845 GB – Gewölbebrücke EBS – Eisenbahnbrücken, die von Schienenfahrzeugen befahren werden Betriebslänge – Gesamtlänge der von einer Bahn betriebenen Strecken Brückendichte – Anzahl EBS pro 10 km Betriebslänge *Der Wert 1.000 Natursteinbogenbrücken im Schweizer Eisenbahnnetz wird auch von BERSET [36] genannt. Nach JACKSON [271] haben Bogenbrücken aber die geringsten Unterhaltungskosten im Vergleich zu allen anderen Brückentypen. Der hohe Anteil der Unterhaltungskosten der Bahnen für diesen Brückentyp mag daher durch das hohe Alter der Brücken bedingt sein [271]. In der Tat sind in den letzten Jahren in Großbritannien auch wieder einige Ziegel- und Natursteinbogenbrücken errichtet worden (WALLSGROVE [571]), weil die Unterhaltungs-kosten im Vergleich zu anderen Brücken- und Materialtypen geringer sind. Sowohl bei den neu errichteten Gewölbebrücken als auch bei den historischen Brücken sind die Sicherheitsanforderungen für Bauwerke zu erfüllen. Die Sicherheit der Bauwerke hängt sowohl von der Tragwerkskapazität als auch von den Einwirkungen auf das Tragwerk ab. Gerade die Verkehrslasten als Einwirkung haben sich in den letzten Jahren erheblich vergrößert und können damit sicherheitsrelevant werden.


60


61

2 Einwirkungen auf Bogenbrücken “Briefly, then, modern bridges everywhere are anti-social. When war is afoot, they imperil the best-made plans of strategists; and even in strikes they have to be guarded by soldiers, as if they were convents where dethroned queens lived unhappily with suffragette princesses. Though we have lived for many years on the brink of war, every highway in Europe and America is at the mercy of bridgewreckers. Is it not dumbfounding that no respect has been paid anywhere to the social guardianship that bridges and roads ought to perform?” SPARROW über Brücken am Vorabend des I. Weltkrieges, 1914 aus R.F. BECQUÉ [27]

2.1 Straßenverkehrslasten Von BENZ und von DAIMLER/MAYBACH wurde in den 80er Jahren des 19. Jahrhunderts parallel das Benzinauto entwickelt. Diese Entwicklung war die Grundlage für den heutigen massenhaften Straßenverkehr. Das heißt aber nicht, dass es davor keinen schweren Straßen-verkehr gab. An der Probebelastung des Blauen Wunders in Dresden am 11. Juli 1893 nahmen neben Straßenbahnwagen, mit Steinen und Ankern, beladen auch drei Dampfstraßen-walzen, drei gewöhnliche steinerne Straßenwalzen vier- bzw. zweispännig, drei gefüllte Wassersprengwagen mit Doppelgespann, eine marschierende Schützenkompanie und anwesende Privatpersonen teil. Insgesamt aber hat seit der Einführung der Kraftfahrzeuge eine ungeheure Entwicklung des Verkehrsaufkommens in Deutschland stattgefunden. Diese Entwicklung wird in den Abb. 35 und Abb. 36 deutlich. Sowohl die Anzahl als auch die Masse der Fahrzeuge hat zugenommen. Vor etwas mehr als 100 Jahren gab es überhaupt keinen motorisierten Fahrzeugverkehr. In den fünfziger Jahren gab es 2,5 Millionen gemeldete Kraftfahrzeuge in der Bundesrepublik Deutschland. Davon waren allerdings ca. die Hälfte Krafträder und nur ca. 700.000 Personen-kraftwagen (Kraftfahrzeugbundesamt [301]). Heute sind in Deutschland über 44 Millionen Personenkraftwagen gemeldet und Fahrzeuge mit einem Gesamtgewicht von bis zu 44 Tonnen dürften auf deutschen Straßen genehmigungsfrei verkehren. Die Genehmigungen für Großraum- und Schwerverkehr für Bundesstraßen und Autobahnen sind zudem in den letzten Jahren exponentiell gestiegen (NAUMANN [384]). Auf den Autobahnen verkehren heutzutage Schwerlasttransporte mit einem Gesamtgewicht von über 70 Tonnen (HANNAWALD, REINTJES & GRAßE [235]).


62

0

10

20

30

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1990

2000

2010

Jahr

Anz

ahlv

onP

KW

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illio

nen

Abb. 35: Entwicklung des PKW Bestandes in Deutschland, überwiegend nach dem Deutschen Kraftfahrzeugbundesamt [300]

0

50

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150

200

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350

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1986

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1993

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1995

1996

1997

Bin

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Mrd

.tkm

Änderung der Methodik zur Erfassung des Straßengüter-fernverkehrs 1990/1991

Binnenschiffverkehr

Eisenbahnverkehr

LKW-Fernverkehr

Rohrfernleitungen

Abb. 36: Entwicklung der Verkehrsträger


63

Bei der Planung und dem Entwurf von Straßenbrücken steht der Ingenieur vor der Aufgabe, die möglichen Verkehrseinwirkungen für die nächsten Jahrzehnte abzuschätzen. Um diese Aufgabe zu vereinfachen, wurden Lastmodelle entwickelt, die Eingang in die relevanten Normen gefunden haben. Lastmodelle für den Straßenverkehr in Normen versuchen die Einwirkungen aus Straßenverkehrslasten realitätsnah, aber mit einem akzeptablen Bearbeitungsaufwand für den Ingenieur zu beschreiben. Besonders geschickt gewählte Modelle erfüllen beide Ansprüche in einem hohen Maß. Insbesondere die Umsetzung des letzten Anspruches wurde im Rahmen der Einführung der DIN-Fachberichte [151] mit den verschiedenen Einwirkungskombinationen vielfach kritisch hinterfragt. Außerhalb der Kritik stehen aber die intensiven wissenschaftlichen Grundlagen des Verkehrslastmodells. Hierbei sei beispielhaft die Arbeit von SEDLACEK und MERZENICH [355] genannt. Das Straßenverkehrslastmodell des DIN-Fachberichtes beruht zu wesentlichen Teilen auf dem Eurocode 1, hierbei insbesondere auf der ENV 1991-3 [167]. Das Lastmodell gilt für Brücken mit Einzelspannweiten kleiner 200 m und einer Fahrbahnbreite kleiner bzw. gleich 42 m. Dynamische Lasterhöhungsfaktoren sind bereits in die charakteristischen Einwirkungen integriert, soweit sie erforderlich sind. Im Gegensatz zur ENV 1991-3 kennt der DIN-Fachbericht nur drei Lastmodelle: das Lastmodell 1 mit Doppelachse und gleichmäßig verteilten Flächenlasten, das Lastmodell 2 mit einer Einzelachse für kurze Bauteile und das Lastmodell 4, welches üblicherweise als Menschengedränge interpretiert wird. Ein weiteres Lastmodell für Sonderfahrzeuge aus der ENV 1991-3 wurde im DIN-Fachbericht nicht übernommen. Tab. 8 nennt die charakteristischen Verkehrslasten des Lastmodells 1 und Tab. 9 zeigt die Verteilung der Flächen auf der Fahrbahn für den DIN-Fachbericht und die DIN 1072. Tab. 8: Charakteristische Lasten für Lastmodell 1 nach DIN-Fachbericht 101

Stellung Doppelachse Gleichmäßig verteilte Last

Achslast Qik in kN

Anpassungsfaktor αQk

Qik × αQk qik

in kN/m2 Anpassungsfaktor

αqk Fahrstreifen 1 300 0,8 240 9,0 1,0 Fahrstreifen 2 200 0,8 160 2,5 1,0 Fahrstreifen 3 100 0,0 0 2,5 1,0 Andere Fahrstreifen

0 - 0 2,5 1,0

Restfläche 0 - 0 2,5 1,0


64

Tab. 9: Charakteristische Lasten für Lastmodell 1 nach DIN-Fachbericht 101 und DIN 1072 Lastannahmen nach DIN-Fachbericht 101 Lastannahmen nach DIN 1072 Charakteristische vertikale Verkehrslastein-wirkungen im Bereich der Tandemachse

Charakteristische vertikale Verkehrslasteinwirkungen im Bereich des SLW

q1=9 kN/m2

q2=2,5 kN/m2

Q1 Q2

Q1= 2 120 kN Q2= 2 80 kNQ1 Q2

P1= 3 100 kN

p2=3 kN/m2

P2= 3 150 kNP1 ϕP2 P2

P1 ϕ

Charakteristische vertikale Verkehrslastein-wirkungen außerhalb des Bereichs der Tandemachse

Charakteristische vertikale Verkehrslasteinwirkungen außerhalb des Bereichs des SLW

q1=9 kN/m2

q2=2,5 kN/m2

3,0 3,0

p1=5 kN/m2

p2=3 kN/m2p1 ϕ

3,0 3,0

Geometrie der Tandemachse: Geometrie des Schwerlastwagens:

1,2

2,0

0,4

0,4

Fahrtrichtung

1,5 1,5

6,0

2,0 3,0

0,2

1,5 1,5

0,2 0,20,2

Das Verkehrslastmodell der DIN 1072 [143] kennt zwei Brückenregelklassen. Zum einen existiert die Brückenklasse 60/30, die im Zuge von Neubauten der Bundesautobahnen, Bundesfern-, Land-, Kreis- und Stadtstraßen Verwendung fand. Bauwerke für untergeordnete Straßen, wie Kreisstraßen, Gemeinde- oder Wirtschaftswege konnten für die Brückenklasse 30/30 bemessen werden. Das Verkehrslastmodell für die Brückenklasse 60/30 beinhaltet wie das Modell 1 des DIN-Fachberichtes 101 eine Hauptspur, eine Nebenspur und so genannte Restflächen. Die Hauptspur wird mit einer Flächenlast von 5 kN/m2 und sechs Einzellasten des Schwerlastwagens SLW 60 beaufschlagt. Zusätzlich werden die Lasten der Hauptspur stützweitenabhängig und in Abhängigkeit von der Überschüttung mit einem dynamischen


65

Schwingbeiwert erhöht. Die Nebenspur wird mit einer Flächenlast von 3 kN/m2 und sechs Einzellasten des Schwerlastwagens SLW 30 beaufschlagt. Für die Nebenspur wird kein Schwingbeiwert angesetzt. Die Restflächen erhalten eine Flächenlast von 3 kN/m2. Im Gegensatz zum DIN-Fachbericht werden die Flächenlasten in der Hauptspur und in der Nebenspur nicht im Bereich der Schwerlastwagen angesetzt. Tab. 9 nennt die charakteristischen Verkehrslasten der Brückenklasse 60/30 und zeigt die Verteilung der Flächen auf der Fahrbahn. Damit erlaubt Tab. 9 einen direkten Vergleich der Verkehrslasten nach DIN-Fachbericht 101 und DIN 1072. Neben den beiden genannten Brückenregelklassen kennt die DIN 1072 aber auch die Brückennachrechnungsklassen BK 16/16, BK 12/12, BK 9/9, BK 6/6 und BK 3/3. Tab. 10 listet die charakteristischen Lasten für diese Brückenklassen auf. Weitere historische Lastbilder für LKWs finden sich z.B. in LELIASKY [308] für einen Standard 20 Tonnen LKW und einen Standard 8 Tonnen LKW. Tab. 10: Charakteristische Lasten für die Brückennachrechnungsklassen nach DIN 1072 Brückenklasse 16/16 12/12 9/9 6/6 3/3Gesamtlast in kN für den LKW 160,00 120,00 90,00 60,00 30,00Vorderräder Radlast in kN 30,00 20,00 15,00 10,00 5,00 Aufstandsbreite in m 0,26 0,20 0,18 0,14 0,14Hinterräder Radlast in kN 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 Aufstandsbreite in m 0,40 0,30 0,26 0,20 0,20Einzelachse Last in kN 110,00 110,00 90 60,00 30,00 Aufstandsbreite in m 0,40 0,40 0,30 0,26 0,20Flächenlast p1 in kN/m2 5,00 4,00 4,00 4,00 3,00Flächenlast p2 in kN/m2 3,00 3,00 3,00 2,00 2,00

1,5 3,0 1,5

6,0

2,0 3,0

0,2 0,2

Auf

stan

dsbr

eite

Man kann also feststellen, dass die DIN 1072 eine große Anzahl von Abstufungen der charakteristischen Verkehrslasten erlaubt. Diese Abstufung findet sich nicht im DIN-Fachbericht 101. Neben den normativen Verkehrslastmodellen wurden im Rahmen wissenschaftlicher Arbeiten weitere Verkehrslastmodelle entwickelt. So stammen weitere Arbeiten im deutschsprachigen Raum von KÖNIG und GERHARDT [297], SPAETHE [514], SCHÜTZ [497], KRÄMER und POHL [302], POHL [421] und PUCHE und GERHARDT [427], BOGATH [49], BOGATH & BERGMEISTER [50] und ABLINGER [2]. Eine weitere Arbeit stammt von CRESPO-MINGUILLÓN & CASAS [112]. Als Beispiele für andere normative Straßenverkehrslastmodelle seien das HA-KEL und HB Lastbild in Großbritannien, das HB-17 Lastbild in den USA oder in Australien das Lastmodell


66

T44 oder L44 genannt (SCHÄFER [471]). Die hohe Mannigfaltigkeit an Modellen ist nicht zuletzt auf die Vielzahl von Einflussparametern zurückzuführen, die innerhalb eines Verkehrslastprognosemodells berücksichtigt werden müssen. Der Straßenverkehr ist und wird in Deutschland auf absehbare Zeit der wichtigste Verkehrs-träger sein. Seine hohe Geschwindigkeit, Massenhaftigkeit, Allbenutzbarkeit und Allgegen-wart sind jedem vertraut. Auf der Straße kann jedes nicht an Schienen gebundene Gefährt zu jeder Zeit an jedes von Straßen erschlossene Ziel fahren. Und die Menge der erschlossenen Ziele ist im Vergleich zu allen anderen Verkehrsträgern gewaltig. Diese Vorteile aus Sicht des Straßenverkehrsnutzers führen bei der Entwicklung von Straßen-verkehrslastmodellen zu erheblichen Problemen, da dadurch die Anzahl der zu berück-sichtigenden Einflussfaktoren für Verkehrslastmodelle sehr hoch wird. Um solche Modelle, die mit einem vertretbaren Aufwand für den Ingenieur nutzbar sein sollen, trotzdem zu entwickeln, werden Kategorien von belastungsbeeinflussenden Faktoren gebildet. In Tab. 11 sind vier Kategorien dargestellt. Tab. 11: Einflussfaktoren für die Ermittlung der charakteristischen Straßenverkehrseinwir-kungen (SCHÜTZ [497])

Verkehrsstärke Verkehrsfluss Fahrzeugkollektiv Einzelfahrzeug • Durchschnittliche

tägliche Verkehrsstärke • Durchschnittliche

tägliche Schwerver-kehrsstärke

• Maximale stündliche Verkehrsstärke

• Fahrzeugabstand • Spuraufteilung • Geschwindigkeit

• Häufigkeit der einzelnen Fahrzeugarten

• Achsanzahl • Achslasten • Achsabstände • Schwingungs-

verhalten

Zusätzlich zu den Einflussfaktoren des Verkehrs müssen auch Bauwerksparameter berücksichtigt werden. Dies sind z.B. das statische System der Brücke oder die Qualität der Fahrbahnoberfläche, die wiederum als lokale, regelmäßige und regellose Unebenheit ausgedrückt werden kann. Vereinfachend wird aber dafür oft die Qualität der Fahrbahn-oberfläche in Abhängigkeit von der Straßenkategorie angegeben (Tab. 12). Tab. 12: Fahrbahnoberflächenqualität in Abhängigkeit von der Straßenkategorie nach SEDLACEK und MERZENICH [355] Straßenkategorie Fahrbahnqualität Autobahnen Sehr gut Bundesstraßen Gut bis sehr gut Landstraßen Gut Kreisstraßen Mittel Nach der Einteilung der maßgebenden Einflussfaktoren benötigt man realitätsnahe Werte für die Faktoren. Diese müssen für den Verkehrsfluss durch Messungen gewonnen werden. Trotz der Vielzahl von automatischen Messstellen auf Autobahnen und Landes- bzw. Staatstraßen in der Bundesrepublik Deutschland (Alte Bundesländer), ist der Anteil von Messstellen auf


67

untergeordneten Straßen sehr gering. 1991 waren über 300 Messstellen jeweils auf Auto-bahnen und Staatsstraßen installiert, aber nur 15 Messstellen auf Kreis- und Gemeinde-straßen, die für das Verkehrsaufkommen auf den zu betrachtenden untergeordneten Straßen von Interesse sind [318]. Auch auf europäischer Ebene erfolgte eine Vielzahl von Messungen auf Autobahnen im Hinblick auf die Entwicklung eines einheitlichen europäischen Verkehrs-lastmodells. Dieses Modell sollte sich besonders durch hohen LKW-Verkehr auszeichnen, um die Charakteristika des zukünftigen schweren Fernverkehrs zu erfassen. Aus der bei den Messungen ermittelten Gesamthäufigkeit von Fahrzeug- und Achslasten werden in der Regel verschiedene Klassen gebildet. SEDLACEK und MERZENICH [355] schlagen z.B. vier LKW-Fahrzeugklassen vor (Tab. 13). Tab. 13: Fahrzeugklassen nach SEDLACEK und MERZENICH [355] Klasse Fahrzeug-

beschreibung Repräsentativfahrzeug Bild

Klasse 1 Fahrzeug mit zwei Achsen

Zweiachser

Klasse 2 Fahrzeug mit

mehr als zwei Achsen

Dreiachser

Klasse 3 Sattelschlepper Zweiachszugmaschine mit

Dreiachsauflieger

Klasse 4 Lastzüge Dreiachseinzelfahrzeug mit

Zweiachsanhänger

Innerhalb der Klassen wird in der Regel eine bimodale Häufigkeitsverteilung der Fahrzeug-masse beobachtet (Abb. 37 und Abb. 38). Diese bimodale Verteilung setzt sich aus der Verteilung der Masse des unbeladenen LKWs und der Verteilung der Masse des beladenen LKWs zusammen. POHL [421] hat deshalb in seinem Modell auch die Verteilung des LKW-Gewichts und die Verteilung der Ladung als streuende Größen angenommen, während andere Autoren die Achslasten der Fahrzeuge als streuende Größen betrachten. Eine Zusammen-fassung statistischer Annahmen für die streuenden Fahrzeug-, Achslasten und Fahrzeuganteile am Gesamtverkehr durch verschiedene Autoren findet sich bei GEIßLER [207].


68

Rel

ativ

e H

äufig

keit

Unbe-ladener LKW

Bela-dener LKW

Qzul 1,3..1,4 Qzul

Fahrzeuggesamtgewicht Q Abb. 37: Prinzipielle bimodale Verteilung der Fahrzeuggesamtgewichte einzelner Fahrzeugtypen (entnommen GEIßLER [207], siehe z.B. auch QUAN [435])

Abb. 38: Prinzipielle bimodale Verteilung der Achslasten (GEIßLER [207]) Messdaten für Fahrzeuglasten und Fahrzeuganteile für eine gewichtsbeschränkt beschilderte Brücke wurden an der Brücke „Blaues Wunder“ in Dresden erfasst. Die Brücke ist in Abb. 39 dargestellt. Abb. 40 zeigt die Häufigkeitsverteilung der im Oktober 2001 ermittelten Fahrzeuggewichte der Schwerfahrzeuge und die Annäherung durch eine bimodale Normalverteilung. Korrelationswerte für Lasten der Achsen mehrachsiger Fahrzeugen finden sich z.B. bei COOPER [106].


69

Abb. 39 : Das „Blaue Wunder“ in Dresden Die Ermittlung der Fahrzeuglasten erfolgte durch eine Achslastwaage, die vor der Brücke in die Straße eingebaut wurde. Außerdem besteht die Möglichkeit der Ermittlung von Über-fahrkurven. Aus diesen Überfahrkurven wiederum kann die Fahrzeugklasse ermittelt werden. Am „Blauen Wunder“ können die Fahrzeugklassen Motorrad, PKW/Großraumlimousine, Lieferwagen < 3,5 t, PKW/Lieferwagen mit Anhänger < 3,5 t, LKW mit und ohne Anhänger > 3,5 t, Sattelschlepper und Bus unterschieden werden. Zur Kontrolle wurde weiterhin eine Fotoregistriereinrichtung installiert, die bei Fahrzeugen > 15 t ausgelöst wird, die keine Busse sind. Busse mit einer Gesamtmasse größer 15 t dürfen die Brücke passieren. Am „Blauen Wunder“ bilden LKW und Lastzüge nur 1,5 % des durchschnittlichen täglichen Verkehrsaufkommens. Der Anteil der LKWs mit mehr als 15 t beträgt weniger als 4 ‰. Dies dürfte allerdings auch an der abschreckenden Wirkung der Fotoregistriereinrichtung liegen. Allgemein kann festgestellt werden, dass die Messung am „Blauen Wunder“ schlüssige Werte für gewichtsbeschränkt beschilderte Straßen liefert. GEIßLER [207] und RUPPERT et al. [460] verweisen aber auch darauf, dass mit einer regelmäßigen Überschreitung um 40 % der zulässigen Tonnage gerechnet werden muss. Beim „Blauen Wunder“ konnten auf Grund der zugelassenen Überfahrten der Busse noch höhere Überschreitungen der zulässigen Tonnage beobachtet werden. Die Erfassung dieser Überschreitung bei gewichtsbeschränkt beschilderten Brücken kann innerhalb eines statistisch fundierten Verkehrslastmodells erfolgen, welches auch die Grundlage für die Verkehrslastmodelle des DIN-Fachberichtes und des Eurocodes 1 ist.


70

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Gesamtfahrzeuggewicht in Tonnen

Rel

ativ

e H

äufig

keit

Messergebnisse

Multimodale Normalverteilung

Abb. 40: Häufigkeitsverteilung der gemessenen Gesamtfahrzeuggewichte der Schwerfahrzeuge am „Blauen Wunder“ im Oktober 2001 Die Gültigkeit des statistisch abgesicherten Verkehrslastmodells des DIN-Fachberichtes und des Eurocodes ist die Grundlage für die nachfolgend beschriebene Entwicklung von Anpassungsfaktoren für das Lastmodell 1. Die Ermittlung der Anpassungsfaktoren für die Nachrechnungsklassen basiert auf den vorhandenen Messdaten des „Blauen Wunders“ und einer Monte-Carlo-Simulation. Die Begriffe Brückenklasse 30/30, 16/16, 12/12 werden im Folgenden so verstanden, dass ein Anpassungsfaktor für das Lastbild 1 des DIN-Fach-berichtes entwickelt wird, der dieser Brückenklasse der DIN 1072 äquivalent ist bzw. einer gewichtsbeschränkten Beschilderung entspricht. Um Eingangsgrößen für die Simulation zu erhalten, wird der Schwerlastverkehr über das „Blaue Wunder“ in vier Klassen unterteilt (LKW, LKW mit Anhänger, Sattelschlepper, Bus). Da die Angaben vom „Blauen Wunder“ keine Informationen über die Lastverteilung auf die Achsen und über die Fahrzeuggeometrie beinhalten, wird hierfür auf die Angaben von MERZENICH [355] zurückgegriffen. Die Annäherung der Achslasten der Fahrzeuge erfolgt ebenfalls in Anlehnung an MERZENICH [355] durch eine bimodale Normalverteilung. Die Ermittlung des Anpassungsfaktors geschieht wie folgt: 1. Simulation der Fahrzeugklasse gemäß Fahrzeuganteile am Verkehr „Blaues Wunder“ 2. Simulation des Fahrzeuggewichts gemäß Fahrzeuggewichte am „Blauen Wunder“ 3. Simulation der Achslastanteile am Fahrzeuggewicht gemäß MERZENICH 4. Berechnung der Achslasten aus dem Fahrzeuggesamtgewicht und den Achslastanteilen 5. Simulation der Achsabstände gemäß MERZENICH 6. Berechnung des maximalen Feldmomentes eines Einfeldträgers.


71

Vereinfachend wird angenommen, dass bei fünfachsigen Fahrzeugen die fünfte Achse soviel trägt wie die vierte. Die maßgebende Laststellung wurde iterativ bestimmt. Die Simulation erfolgte ca. 5.000-mal pro Länge des Einfeldträgers. Die Länge des Einfeldträgers wurde zusätzlich variiert. Für die maximalen Feldmomente einer bestimmten Einfeldträgerlänge ergab sich als Ergebnis der Simulation jeweils eine Häufigkeitsverteilung. Der charakteristische Wert der Verkehrslast dieser Verteilung ist mit einer mittleren Wiederkehrperiode von tausend Jahren festgelegt [355]. Für die Bestimmung dieses Fraktilwertes wurde neben der Annahme der Normalverteilung auch eine Log-Normalverteilung geprüft. Nach der Ermittlung der Feldmomente durch die Simulation des Verkehrs wurde ein Anpassungsfaktor für das Lastbild 1 gemäß DIN-Fachbericht 101 so gewählt, dass sich die Kurve der Feldmomente mit abgeminderten Lastbild 1 der Kurve der Feldmomente aus der Simulation von oben anschmiegt. Neben der bisher erläuterten Simulation des fließenden Verkehrs muss auch eine Stausituation geprüft werden. Stau wurde bei großen Spannweiten des Einfeldträgers relevant und musste daher bei der Entwicklung der Anpassungsfaktoren ebenfalls berücksichtigt werden. Die vorgeschriebene Vorgehensweise wurde zunächst für die Brückenklasse 16/16 durch-geführt. Für die Ermittlung des Anpassungsfaktors für die Brückenklasse 12/12 musste die Vorgehensweise variiert werden, da dafür keine Messwerte vorlagen. Dazu wurden die Mittelwerte der Messdaten des „Blauen Wunders“ mit dem Faktor 0,75 multipliziert. Dieser Wert ergibt sich aus dem Verhältnis von 12/16 = 0,75. Die Standardabweichungen wurden ohne Änderung beibehalten. Auch die Anteile der Fahrzeugtypen am Gesamtverkehrs-aufkommen wurden übernommen. Die Vorgehensweise zur Ermittlung des Anpassungsfaktors ist nun identisch zur Brückenklasse 16/16. Für die Brückenklasse 30/30 wurden ebenfalls Anpassungsfaktoren ermittelt. Auch hier lagen keine Messdaten vor. Die für die Brückenklasse 12/12 verwendete Vorgehensweise der Korrektur der Mittelwerte der Messdaten des „Blauen Wunders“ ließ sich bei dieser Brücke allerdings nicht anwenden. Basierend auf den Messdaten des Blauen Wunders und des Auxerre-Verkehrs wurde eine neue Gesamtgewichtsverteilung konstruiert, die sowohl Mittelwerte als auch Standardabweichungen und Anteile der Fahrzeugtypen im Vergleich zu den Messwerten des „Blauen Wunders“ verändert (Abb. 41). Anschließend wurde wieder die bereits beschriebene Simulation durchgeführt.


72

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70


Rel

ativ

e H

äufig

keit

Messwerte "Blaues Wunder"

Messwerte "Auxerre-Verkehr"

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42


Rel

ativ

e H

äufig

keit

Abb. 41: Entwicklung einer synthetischen Fahrzeugverteilung für die Brückenklasse 30/30 aus den Messwerten vom „Blauen Wunder“ und vom Auxerre-Verkehr nach LOOS [318] Parallel zur Ermittlung der Anpassungsfaktoren für die Brückenklassen 30/30, 16/16 und 12/12 erfolgte eine Kontrolle der Ergebnisse durch die Nachrechnung des Auxerre-Verkehrs mit der beschriebenen Vorgehensweise. Für diesen Verkehr müsste sich ein Anpassungsfaktor von 1,0 für die Achs- und Flächenlast ergeben, sollte die Vorgehensweise korrekt sein. Es


73

wurde ein Wert von 1,0 für die Achslast und 0,9 für die Flächenlast ermittelt. Der Wert von 0,9 wurde von den Verfassern als zusätzliche Sicherheit im Lastmodell 1 interpretiert. Zur weiteren Kontrolle wurden die entwickelten Verkehrslastmodelle mit dem Modell nach POHL [421] verglichen. POHL [421] unterscheidet innerhalb seines Verkehrlastmodells in Lang-, Mittel- und Kurzstreckenverkehr. Langstreckenverkehr entspricht etwa dem Schwer-lastverkehr auf deutschen Autobahnen, Mittelstreckenverkehr fließt auf Bundes- und Landes-straßen und Kurzstreckenverkehr findet sich u.a. wahrscheinlich auch auf gewichtsbeschränkt beschilderten Brücken. Der Ablauf der Simulation bei der Anwendung des Verkehrslast-modells nach POHL unterscheidet sich geringfügig von der bisher beschriebenen Vorgehens-weise. Weiterhin wurden für den Kurzstreckenverkehr zwei Varianten unterschieden: Fahrzeugklassen 1 bis 4 und nur die Fahrzeugklassen 1 bis 2 nach Tab. 13. Abb. 42 fasst alle durchgeführten Untersuchungen in Form der Angabe eines charakteristischen Feldmomentes eines Einfeldträgers mit verschiedener Stützweite für die verschiedenen Verkehrslastmodelle zusammen. Es erlaubt einen direkten Vergleich der Verkehrslastmodelle nach POHL mit den ermittelten Verkehrslastmodellen für gewichts-beschränkt beschilderte Brücken. Zusätzlich sind in das Diagramm noch die Simulations-ergebnisse für den Auxerre-Verkehr und das Lastbild 1 des Eurocodes 1 eingetragen. BK bedeutet innerhalb des Diagramms eine Abminderung des Lastmodells 1 durch einen Anpassungsfaktor. Im Rahmen dieses Abschnittes wurden die Anpassungsfaktoren für das Verkehrslastmodell 1 des DIN-Fachberichtes gemäß der gewohnten Nachrechnungsklassen der DIN 1072 für die BK 30/30, BK 16/16 und BK 12/12 erweitert. Grundlagen für die Ermittlung der Ab-minderungsfaktoren waren dabei Verkehrsmessungen an der Brücke „Blaues Wunder“ in Dresden und des Auxerre-Verkehrs. Die dabei ermittelten Anpassungsfaktoren sind in Tab. 14 zusammengefasst. Eine Unter-teilung der Fahrbahnbelagqualität wurde notwendig, da die berücksichtigten Brückenklassen sicherlich auch über Straßen zu finden sind, die keine gute oder sehr gute Fahrbahnqualität besitzen (Tab. 12). Die Berücksichtigung der Fahrbahnqualität wird notwendig, da in die charakteristischen Verkehrslasten der dynamische Lasterhöhungsfaktor integriert ist, der wiederum von der Fahrbahnqualität abhängt. Für die Berechnung des dynamischen Last-erhöhungsfaktors wurde das Modell von MERZENICH verwendet [355]. Die Wahl der Fahr-bahnqualität zeigt für den Fahrstreifen 1 aber nur geringe Auswirkungen. Beim Fahrstreifen 2 sind die Auswirkungen größer, allerdings ist hier auch der Absolutbetrag der Einwirkung geringer als bei Fahrstreifen 1. Weiterhin ist zu erkennen, dass die Flächenlast des Fahr-streifens 2 nicht abgemindert wurde. Die hier vorgestellten Ergebnisse basieren zu großen Teilen auf der Arbeit von LOOS [318]. Militärlasten wurden dabei nicht berücksichtig [518]. Die in der Praxis gelegentlich vorgefundene Abminderung des Lastmodelles 1 durch Faktoren (0,9; 0,8; 0,7 etc. z.B. nach VOCKRODT [565]) sollte für die Nachrechnung von historischen Bauwerken nicht verwendet werden, da die ursprünglichen Annahmen des Lastmodells 1 verletzt werden.


74

0

2500

5000

7500

10000

12500

15000

17500

20000

22500

5 8 10 15 20 25 30 40 50 60

Stützweite in m

Feld

mom

ent e

ines

Ein

feld

träge

rs in

kN

m

Pohl Langstrecke

Pohl Mittelstrecke

Pohl Kurzstrecke

BK 30/30

BK 16/16

BK 12/12

Simulation Auxerre

Eurocode 1, Lastmodell 1

Abb. 42: Feldmomente infolge charakteristischer Verkehrslast für verschiedene Lastmodelle inklusive dynamischer Lasterhöhungsfaktoren nach LOOS [318] Tab. 14: Anpassungsfaktoren für gewichtsbeschränkt beschilderte Brücken 30, 16 und 12 Tonnen und bei Nachrechnung des Auxerre-Verkehrs nach LOOS [318]. Zusätzlich wurden die Anpassungs-faktoren für das Lastmodell 1 nach DIN-Fachbericht 101 angegeben. Brückenklasse Belagqualität Fahrstreifen 1 Fahrstreifen 2 αQ1 αq1 αQ2 αq2 12/12 Gut 0,30 0,28 0,20 1,00 Mittel 0,30 0,30 0,25 1,00 16/16 Gut 0,35 0,30 0,35 1,00 Mittel 0,35 0,40 0,45 1,00 30/30 Gut 0,55 0,70 0,50 1,00 Mittel 0,60 0,70 0,80 1,00 Simulation Auxerre-Verkehr Gut 1,00 0,90 1,00 1,00 Lastmodell 1 nach DIN-FB 101 0,80 1,00 0,80 1,00 Einen anderen Weg der Anpassung der Verkehrslasten an die lokalen Verhältnisse verfolgen BAILEY & HIRT [18] in der Schweiz. Ihr Verfahren zeigt deutlich stärker die wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen der Verkehrslastmodelle. Für diese Anpassung der Verkehrslast an lokale Gegebenheiten müssen folgende Daten ermittelt werden: • Maximale Masse eines LKW maxq in kN/m, • Mittelwert der Masse der LKWs Qµ in kN/m,

• Standardabweichung der Masse der LKWs Qσ in kN/m,


75

• Verkehrsaufkommen N, • Anteil des Schwerverkehrs am Verkehrsaufkommen HV, • Anteil des frei fließenden Verkehrs am Verkehrsaufkommen F. Mittels dieser Daten werden sechs Koeffizienten ermittelt, mit denen ein Abminderungsfaktor für das Standardlastbild bestimmt werden kann:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

6( )Q

c c c c c cc c c c c c

α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=+ + + + +

Die notwendigen Eingangsparameter ergeben sich aus: max

1 max0, 2 0,8 (40 in kN/m 80)73

qc q= ⋅ + ≤ ≤

21 (6 in kN/m 20)

0,65 0,3514,5

QQ

c µµ= ≤ ≤⋅ +

31 (2 in kN/m 8)

0,6 0,46,0

QQ

c σσ= ≤ ≤⋅ +

41 (0,1 0,4)

0,7 0,30,25

c HVHV= ≤ ≤⋅ +

5 95

1 (10 10 )log( ) 0,08 0,33

c NN

= ≤ ≤⋅ +

6 0,2 0,8 (40 100)94Fc F= ⋅ + ≤ ≤

Der Abminderungsfaktor wird wie folgt berücksichtigt: d

Q

QQα

= .

Das folgende Beispiel, welches BAILEY & HIRT [18] entnommen wurde, zeigt die einfache Anwendbarkeit: Maximale Masse eines LKW maxq in kN/m 70

Mittelwert der Masse der LKWs Qµ in kN/m 14

Standardabweichung der Masse der LKWs Qσ in kN/m 6

Verkehrsaufkommen N 20·106 in 10 Jahren Anteil des Schwerverkehrs am Verkehrsaufkommen HV 0,05 aufgerundet auf 0,1 Anteil des frei fließenden Verkehrs am Verkehrsaufkommen

A C F

1 % stehend 2 % mit 40 km/h 500 Fahrzeuge pro Stunde

Mit diesen Werten ergeben sich c1 = 0,99; c2 = 1,02; c3 = 1,0; c4 = 1,72; c5 = 1,09; c6 = 1,01 und schließlich 1,68Qα = . Das Problem bei diesem Verfahren liegt sicherlich in der messtechnischen Erfassung der Eingangsgrößen. Verkehrslastmessungen werden z.B. in CASAS & CRESPO-MINGUILLON [86]


76

und HANNAWALD, REINTJES UND GRAßE [235] erläutert. Ein weiteres Modell wird in der Europäischen COST-Studie vorgestellt [172].

2.2 Eisenbahnverkehrslasten Die Eisenbahn wurde 1804 von RICHARD TREVITHICK erfunden, der quasi eine Dampf-maschine auf Räder stellte. Zunächst wurden Eisenbahnen für Gütertransporte verwendet, ab 1829 auch für den Personentransport. ROBERT STEPHENSONS gewann mit seiner Lokomotive das Evaluierungsverfahren in Form eines Wettrennens. In den nächsten einhundert Jahren gab es eine wahre Eisenbahnhysterie (Tab. 15). Tab. 15: Entwicklung der Streckenlänge der Eisenbahn in „Deutschland“ nach MANN [331] Jahr Streckenlänge der Eisenbahn in „Deutschland“ in km 1840 549 1850 6044 1870 19575 1910 61148 In Zusammenhang mit der Erweiterung des Streckennetzes steht der Bau zahlreicher Ge-wölbebrücken im Zeitabschnitt von 1845 – 1890, später wurden durch den aufkommenden Eisenbau viele Überbauten in Stahl ausgeführt. Aufgrund des stark steigenden Bedarfs hin-sichtlich der Personen- und Gütertransporte auf der Schiene wurde die Fahrzeugentwicklung vorangetrieben. Die Leistungssteigerung der Dampflokomotiven war verbunden mit einem erheblichen Anstieg der Fahrzeugmassen. Zum Vergleich – von 1835 bis 1922 erhöhte sich das Gewicht maßgeblicher Loks von 10 auf 175 Tonnen, die zugehörige Meterbelastung stieg von 2,5 auf 13,67 Tonnen (BEYER [37]). Nach WEBER [578] bestand der Berechnungslastenzug zu Beginn des Eisenbahnbaus in Deutschland (1845-1876) aus einem Lokzug, also den wirklichen Betriebslasten. Dazu wurde eine Lock mit einer Gesamtlänge von 7,0 m und Radabständen von 2,40 bzw. 1,40 m ver-wendet. Die Radlasten betrugen einmal 5,0 Tonnen und zweimal 4,5 Tonnen. Die Höchst-geschwindigkeit betrug 40 km/h. Erst 1877 wurde bei den Württembergischen Staatseisen-bahnen ein Lastbild eingeführt. Als Beispiel für die Entwicklung der Verkehrslasten für die Bemessung von Eisenbahnbrücken finden sich in Tab. 16 einige Werte für Spanien. Tab. 16: Entwicklung von Eisenbahnlasten in Spanien nach VEGA [562] Gleichlast kg/m 1877 4.900 1902 6.230 1925 10.780 1956 13.400 1975 12.000 Das heute in Deutschland gültige Lastbild UIC 71 für Brückenneubauten wurde auf deter-ministischer Grundlage als Summenlastbild der tatsächlichen Bahnbetriebslasten entwickelt


77

und 1971 eingeführt. Die Einführung eines neuen Lastbildes IM 2000 ist bisher gescheitert. Der Schienenschwerverkehr wird zusätzlich durch die Schwerlastbilder SW/0 und SW/2 abgedeckt. Zur Berücksichtigung streckenspezifischer Betriebslasten, wie z.B. häufigem und schwerem Güterverkehr, kann nach DIN-FB 101 das Lastbild klassifiziert werden mit α·UIC 71, wobei α innerhalb der Grenzen von 0,75 und 1,33 liegt. Bei ausschließlichem Personenverkehr sind demzufolge auch Abminderungen denkbar.

Für die Nachrechnung bestehender Steinbogenbrücken ist ein statischer Nachweis für die genannten Normlastbilder nicht immer zwingend erforderlich, wenn die betreffende Bahnstrecke in eine niedrigere Streckenklasse als UIC 71 eingestuft ist. Tab. 17 enthält Beispiele für derartige in Deutschland gültige Einstufungen und die zugehörigen Betriebslastenzüge. Derartige Vorgehensweisen erfordern eine sehr enge Zusammenarbeit zwischen dem Netzbetreiber (z.B. DB Netz AG) und dem Aufsteller der statischen Nachweise. Die Einführung eines neuen Lastbildes IM 2000 ist bisher gescheitert.

Tab. 17: Verkehrslastbilder für UIC 71 und Nachrechungsklassen C3 und D4 (DB). Das Lastbild UIC-2000 wurde WEBER [578] entnommen. Außerdem ist noch der historische Lastenzug G1 abgebildet.

Verkehrsbelastung UIC 71

156 kN/m80 kN/m 80 kN/m

3 x 1,60 m

4 x 240 kN80 kN/m 80 kN/m

0,8 m 0,8 m

6,40 mbeliebig beliebig


Verkehrsbelastung UIC C3-Wagen

72 kN/m64 kN/m

1,80 m

4 x 200 kN

1,5 m 1,5 m

11,10 m

beliebig beliebig

4,50 m1,80 m

64 kN/m

11,10 m

Streckenklasse D4

80 kN/m

4 x 225 kN80 kN/m 80 kN/m

1,5 m


beliebig

1,5 m

1,8

m

1,8

m4,

65 m

11,0 m2,0 1,5 1,5 1,5 1,5 3,0

18 t 18 t 18 t 18 t 18 t

Lastenzug G1 Lokomotive = 8,18 t/mp

Verkehrsbelastung UIC 2000

2 x 300 kN110 kN/m


110 kN/m


78

Seit der Entwicklung des Dampflokbetriebes, der für einen Großteil alter Gewölbe bemessungswirksam war, hat sich insbesondere der Güterschwerverkehr hinsichtlich maß-gebender Belastungsverhältnisse stark gewandelt. Die Leistungen der Lokomotiven liegen heute weit über denen des Dampflokbetriebes, was sich u.a. in gestiegenen Anfahrzugkräften und damit auch höheren normativen Anfahrlasten bezogen auf die zugehörige vertikale Auf-last äußert. Die maximal möglichen Radsatzlasten schwerer Güterwagen können bei voller Beladung deutlich über denjenigen der Loks liegen und sind betriebsbedingt (durch Über-ladung, Feuchtegehalt von Schüttgütern etc.) auch gewissen Schwankungen unterworfen. Ein internationales Lastgrenzenraster für Güterwagen gibt die Höchstlademasse an, bis zu der ein bestimmter Wagen bei Beförderung über Strecken der angegebenen Klasse beladen werden darf (Tab. 18). Tab. 18: Lastgrenzenraster eines modernen Drehgestellflachwagens und Interpretation gemäß den Dienstvorschriften der DB AG A/B1 B2/C2 C3/C4 D2 D3 D4 Klasseneinteilung Radsatzlast 38,0 t 56,0 t 65,0 t 56,0 t 67,0 t 77,0 t A B C D Zugelassen bis 120 km/h

Fahrzeugmasse je Längeneinheit t/m 16 t 18 t 20 t 22,5 t

1 5,0 A B1 2 6,4 B2 C2 D2 3 7,2 C3 D3 4 8,0 C4 D4 Die Schnittstelle zwischen den Streckenklassen und der Einflussnahme auf den Bahnbetrieb wird durch ein bahninternes Kontrollsystem realisiert und äußert sich in der Praxis beispiels-weise in Fahrgeschwindigkeitsregelungen (Beeinflussung des Schwingbeiwertes für Trag-werke) oder der Leichterung von Güterzügen. Wesentlich ist, dass die Bahn über ein Kontrollsystem mit Rückkopplungseffekt zwischen Streckenbelastbarkeit und Betriebsbelastung verfügt. Aus den Darlegungen ist erkennbar, dass seitens des Netzbetreibers immer dann ein ganz besonders großes Interesse an der rechnerischen Ausschöpfung der Bogentragfähigkeit be-steht, wenn ein altes Gewölbe maßgebend für die Streckeneinstufung wird. Ist der Nachweis durch den Tragwerksingenieur nicht zu erbringen, so wird der Steinbogen zwangsläufig über kurz oder lang aus wirtschaftlichen Gründen ersetzt. Weitere Hintergrundinformationen zu Eisenbahnlasten finden sich u.a. in den ERRI-Berichten [168], [169], [170], [171], im UIC-Bericht [554] oder bei TOBIAS, FOUTCH & CHOROS [544].

2.3 Anfahrlasten Für die Nachrechnung von Gewölbebrücken gültige Modulfamilie 805 verweist auf die Lastansätze gemäß DS 804. Bei Einzelgewölben mit ausreichender Überschüttung, mittlerer Stützweite und durchgehender Schienenanordnung (d.h. keine Schienenauszugsvorrichtung


79

o.ä.) werden nur geringe Kräfte aus Anfahren und Bremsen direkt über das Gewölbe übertragen. WEBER [578] geht davon aus, dass auf Grund der lückenlosen Gleise bei Bogenbrücken in der Regel Anfahr- und Bremskräfte von Schienenfahrzeugen auf die angeschlossenen Fahrwegebereiche übertragen werden. Nach Aussage von WEBER [578] sind Anfahr- und Bremsrucke messtechnisch in Gewölben daher nicht erfassbar. Gemäß einer älteren Version des Eurocode 1, Abschnitt 3.4 durften Brems- und Anfahrkräfte für den Bogen vernachlässigt werden. DS 804 berücksichtigt die Reduzierung der auf max. 1.000 kN begrenzten Anfahrlast Fx für kurze Bauwerke durch den Beiwert ξ in folgender Form:

ξ⋅⋅= lFx 3,33 Die Belastungslänge der Anfahrlast ist auf 30 m begrenzt. Für Einzelgewölbe mit der Stützweite l gilt ξ = 0,5. Für lange Gewölbereihen sind abhängig von der Konstruktionsform und der Pfeilersteifigkeit bauwerksspezifische Überlegungen notwendig, hier wird im Regel-fall die Bremslast über eine größere Eintragungslänge bemessungswirksam. Wichtig ist, dass für die im vorangestellten Abschnitt bezeichneten niedrigeren Streckenklassen als UIC 71 keine Abminderungen der Anfahr- und Bremskräfte gegenüber den Normlasten aus DS 804 vorgenommen werden dürfen. Diese Regelung ist plausibel wenn man bedenkt, dass die leistungsstärksten Streckenlokomotiven unter D4 (DB) fahren dürfen. Als Vergleichswert zu Anfahrlasten im betrieblichen Schienenverkehr soll die derzeit stärkste Diesellokomotive der DB AG genannt werden. Die BR 241 als umgebaute und modernisierte Lok der Baureihe 232 (Worowschilowgrad) wird überwiegend im schweren Güterverkehr in Einfachtraktion eingesetzt und realisiert bei einer Baulänge von 20,82 m eine maximale Anfahrzugkraft von 450 kN.

2.4 Bremslasten Die normative Bremslast nach DS 804 wird äquivalent zur Anfahrlast wie folgt ermittelt:

, in kNx x BrF f l ξ= ⋅ ⋅ .

Je Gleis ist im Personen- und Güterverkehr , 20 in kN/mx Brf = anzunehmen. Im Schienenschwerverkehr, d.h. für Brücken, die nach dem Lastbild SSW bemessen werden, ist ein erhöhter Wert von 35, =Brxf kN/m anzusetzen. Die vergleichsweise größeren Fahrzeugmassen des Schienenschwerverkehrs ermöglichen die Übertragung höherer Bremskräfte auf den Oberbau. Für hohe und schlanke Unterbauten (Pfeiler bei Gewölbereihen) wird häufig eine Lastkombination aus relativ geringen vertikalen Verkehrslasten (niedrige Streckenklasse), verhältnismäßig großen Anfahr- und Bremslasten sowie Seitenwind auf die Brücke bemessungswirksam. Ein Beispiel zeigt Abb. 43.


80

Im Regelfall sollte es gelingen, die H-Kräfte innerhalb eines Teilstückes (zwischen zwei sog. „Gruppenpfeilern“) rechnerisch über die Unterbauten abzuleiten. Die Durchkopplung der Längskräfte ist dann gesondert nachzuweisen, ggf. kann der Zwickelbeton (Aufbeton) der Steinbögen mit in Ansatz gebracht werden. Bei nachträglich aufgebrachten Fahrbahnwannen (bessere Verteilung der Lasten) auf Gewölbebrücken sind diese für den Längskraftabtrag i.d.R. nicht ansetzbar, da die Fertigteilelemente mit durchgehenden Querfugen ausgebildet werden.

Abb. 43: Eisenbahnviadukt aus Naturstein-Mauerwerk mit Gruppen- und Normalpfeilern

Für Straßenbrücken galt bisher die DIN 1072 (12/85) und Beiblatt 1 zur DIN 1072 (12/85), wobei dort Minimal- und Maximalkräfte angegeben wurden (Beispiel):

kN 900kN 80)1605,0160(3/1

max

min

==⋅+⋅=

FF

..

Heute gelten die DIN-Fachberichte bzw. der Eurocode. Abb. 44 zeigt beispielhaft Bremskräfte nach Eurocode. Gemäß DIN 1072 waren die Brems- und Verschiebungswiderstände der Lager zu addieren, wenn keine genaue Berechnung erfolgt. Eine genaue Berechnung hat die Steifigkeiten der Pfeiler zu berücksichtigen PFOHL [417], WEIHERMÜLLER & KNÖPPLER [582], SEDLACEK und MERZENICH [355]. Dazu können z.B. FE-Modelle verwendet werden.


81

Bre

msk

raft

in k

N1400

1200

1000

800

600

400

200

00 25 50 75 100 125 150 175 200

Brückenlänge in m

Eurocode 1

400 kN Fahrzeuge

300 kN Fahrzeuge

200 kN Fahrzeuge

Abb. 44: Bremskräfte auf Brücken in Abhängigkeit von der Brückenlänge und dem Bemessungsfahrzeug (SEDLACEK & MERZENICH [355])

2.5 Windlasten

Zwar treten auch an Bogenbrücken Windeinwirkungen auf, aber diese haben in der Regel durch die hohe Eigenlast der Brücke nur geringe Auswirkungen. Bei hohen, schlanken Pfeilern kann eine Berücksichtigung aber notwendig werden. Wind wurde bei Eisenbahnbrücken bisher z.B. gemäß DS 804, Abs. 65 und Tabelle 11 angesetzt, wobei in Windbelastung mit und ohne Verkehr unterschieden wird. Hintergrundinformationen über Windlasten finden sich u.a. bei LIEBERWIRTH [312].

2.6 Setzungen Da Gewölbebrücken ihre statische Integrität zu einem erheblichen Teil aus der geringen Verschiebbarkeit der Widerlager ziehen, können Setzungen bei Steinbogenbrücken zu Schäden führen. Allerdings sollten Setzungen bei historischen Brücken abgeklungen sein. Über die Auswirkungen von Setzungen berichten zum Beispiel JAGFELD [278], [279] und OCHSENDORF [400]. OCHSENDORF [400] nennt eine Verringerung der Tragfähigkeit von Bogenbrücken durch Schäden in den Widerlagern/Pfeilern von bis zu 15 %. Von Bedeutung ist ferner die Veränderung der Lage der Gelenke im Bogen. Über den Baugrund in Ver-bindung mit historischen Gründungen berichtet GOLDSCHEIDER [216].


82

2.7 Temperaturlasten Über die Berücksichtigung von Temperaturbelastungen existieren unterschiedliche Meinungen. Nach UIC-Kodex muss ein Temperaturgradient über den Gewölbequerschnitt nicht berücksichtigt werden. Die über den Querschnitt gleichmäßig verteilte Temperatur-schwankung ist mit ± 15 K anzusetzen. Den gleichen Wert gab auch eine ältere Eurocode 1, Abschnitt 3.4 für Gewölbebrücken an: BOTHE ET AL. [57] stellen die Berechnung einer Stahlbetonbogenbrücke vor. Bei einer linearelastischen Berechnung (maximale Spannung) ergibt sich eine maximale Verkehrslast von 56 kN/m ohne Temperaturbelastung und 14 kN/m mit Temperaturbelastung. Bei einer nichtlinearen Berechnung, die die Grenzdehnung und die Gesamtstabilität als Versagens-kriterium verwendet, ergeben sich nur geringfügige Unterschiede für die maximalen Verkehrsbelastungen mit und ohne Temperatur. So ergeben sich bei der Verwendung der mittleren Betondruckfestigkeit 102 kN/m für die alleinige maximale Verkehrsbelastung und 100 kN/m für die maximale Verkehrsbelastung in Verbindung mit Temperatur. Abb. 45 zeigt die maximale Verkehrslast für verschiedene Betonfestigkeiten des Bogens bei einer nicht-linearen Berechnung jeweils mit und ohne Temperatur. Dazu schreibt BOTHE ET AL. [57] „Im Gegensatz zur linearen Schnittgrößenermittlung sind die Grenzlasten mit und ohne Temperaturbelastung nahezu gleich.“ Diese Berechnung zeigt sehr deutlich, dass Zwangsbeanspruchung aus Temperatur die Gesamttragfähigkeit des Bogens nur geringfügig beeinflusst.

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35

Verschiebung in mm

p in

kN

/m

K 1

K 2

K 3 K 3 - T

K 2 - T

K 1 - T

Abb. 45: Grenzlast eines historischen Bogens unter Berücksichtigung einer Temperaturbelastung von –5 K und ohne Temperaturbelastung aus BOTHE ET AL. [57]


83

Zusätzlich sei erwähnt, dass gemäß der historischen DIN 1072 (1952) die Temperatur-belastung für gemauerte Bogenbrücken mit voller Hinterfüllung, vollem Gewölbe ohne Gelenke bis zu einer Spannweite von 20, 0 m und einem Pfeilerverhältnis von f/l>1,5 vernachlässigt werden durfte. PIETSCH [419] empfiehlt entweder Berechnungen unter Berücksichtigung des plastischen Verhaltens von Mauerwerk oder eine Abminderung der Steifigkeit des Mauerwerks in Abhängigkeit von der Temperaturänderung. Dazu wird unterschieden: Tagestemperaturschwankung 01,0tE E= ⋅ Mittelange Temperaturschwankung 00,5mE E= ⋅ Jahrestemperaturschwankung 00, 2jE E= ⋅ Damit ergeben sich deutlich geringere Schnittgrößen und Spannungen infolge Temperatur. Der Faktor 0,2 stimmt z.B. ebenfalls sehr gut mit den Angaben in THÜRMER [537] überein. Dort wird festgestellt, dass bei der nichtlinearen Berücksichtigung der Temperatur die Spannungen um 70 % fallen. Ein weiteres Beispiel für den rechnerischen Umgang mit Temperaturbelastungen bei Eisenbahnbrücken wird von PATZSCHKE [408] genannt. Beim Wahrener Viadukt konnte die Ausbildung eines Dreigelenkbogens durch Temperaturbelastung im Sommer 1992 beobachtet werden. Da die Gelenkbildung mit hohen Verformungen im Bogen- und Gleisbereich verbunden war, wurden zur Beschränkung der Verformungen bei einer späteren Baumaßnahme bautechnische Gelenke im Bogenscheitel eingebaut. (PATZSCHKE [408]). Auch SCHLEGEL, WILL & POPP [479] berichten darüber, dass bei der Göltzschtalbrücke die jahreszeitlichen Temperaturschwankungen durchaus zu deutlichen Verformungen führen. ROBINSON, PRENTICE & PONNIAH [452] verwenden ABACUS zur Untersuchung von klimatischen Wärmeeinwirkungen auf Bogenbrücken. Die hierbei berücksichtigte maximale Temperatur betrug 31°C und minimale Temperatur 0°C. Als Grundlage dienten Verformungsmessungen. Die Autoren untersuchten hierbei besonders die Erwärmung der Stirnwände und der Brüstung und die Auswirkungen auf den Bogen.

2.8 Schneelasten Schneelasten dürfen bei Brücken vernachlässigt werden. Hintergrundinformationen zur statistischen Modellierung von Schneelasten finden sich u.a. LIEBERWIRTH [312], JCSS [281], SOUKHOV [513] und MEHLHORN [346].

2.9 Eigenlasten

Für die Berechnung der Eigenlasten werden die Wichten und Volumina der Baustoffe der verschiedenen Bauelemente benötigt. Die Ermittlung der Volumina erfolgt in der Regel gemäß den vorliegenden Bauwerksdokumenten und gestaltet sich dann einfach (Abb. 46). Liegen unzureichende Bauwerksdokumente vor, so hat eine Bauwerkserkundung zu erfolgen.


84

Die Erfassung der vorhandenen Geometrie kann durchaus mit Problemen verbunden sein. Sie ist nicht zu unterschätzen. Die Ausbildung konstruktiver Details im Inneren der Brücke, wie z.B. Sprengkammern oder andere verfüllte oder unverfüllte Hohlräume, sorgt gelegentlich für Überraschungen. Bohrungen oder zerstörungsfreie Prüfungen können bei der Erkundung hilfreich sein. Sind die Geometrien ermittelt, so kann anhand vorliegender Prüfkörper oder gemäß DIN 1055-1 die Wichte der Baustoffe ermittelt werden, wie z.B.für

• Wichte Porphyr γP =28 kN/m3 (DIN 1055-1, Juni 2002, Tabelle 6, Zeile 12), • Wichte Sandstein γS =27,0 kN/m3 (DIN 1055-1, Juni 2002, Tabelle 6, Zeile 15), • Wichte Normalbeton γB =24 kN/m3 (DIN 1055-1, Juni 2002, Tabelle 1, Zeile 21).

2,8 10 1,5 10 101,5

1,83,0

8,0

2,0Achse Gleis

Abb. 46: Geometriewerte einer Brücke Für Baustoffe wurde der charakteristische Wert als Mittelwert festgelegt, da die Streuung relativ gering ist (prEN 1990 Eurocode 0 Definition für kleine Streuung Variations-koeffizient < 0,05). Bei größeren Streuungen oder empfindlichen Bauwerken sollen 95 % Fraktilwerte verwendet werden. Diese Änderungen werden aber meistens durch die Teilsicherheitsbeiwerte 0,95 und 1,05 realisiert. Der Teilsicherheitsfaktor für Eigenlast beträgt nach DS 805 γG = 1,20 und fällt auch hier geringer aus, als in der DIN 1055-100 [141] mit 1,35. Die Problematik geringer Teilsicherheitsfaktoren für Eigenlasten wird zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal behandelt. Der Eurocode 1, Abschnitt 3.4 machte in einer früheren Version verschiedene spezielle Angaben zum Nachweis bei Gewölbebogenbrücken: • Die Teilsicherheitsfaktoren für ungünstig wirkende Eigenlast der Konstruktion durften auf

1,1 herabgesetzt werden, die Teilsicherheitsfaktoren für günstig wirkende Eigenlast auf 1,0 angehoben werden. HERRBRUCH, GROß & WAPENHANS [247] haben z.B. 1,35 und 0,9 gewählt.

• Die Teilsicherheitsfaktoren für Auflasten wie Überschüttungen und Oberbau durften mit 1,2 bei ungünstiger Wirkung und 0,9 bei günstiger Wirkung gewählt werden.

• Für den gesamten Querschnitt soll eine gleichmäßige Temperaturänderung von ± 15 Kelvin angesetzt werden.


85

3 Berechnung von Bogenbrücken „Eine Gewölbebrücke kann alles ertragen, nur keine statische Berechnung.“ Unbekannter Verfasser, entnommen W.K. WEBER 1999 [578]

3.1 Allgemeines Die beschriebenen Einwirkungen bewirken eine Antwort des Brückenbauwerkes. Diese Antworten liegen entweder innerhalb oder außerhalb eines zulässigen Reaktionsbereiches. Bereiche außerhalb des zulässigen Reaktionsbereiches führen in der Regel zu Schäden am Bauwerk. Für die Beurteilung der Reaktionen des Bauwerkes werden Berechnungsmodelle benötigt. In den Berechnungsmodellen beliebiger Bauwerke spiegeln sich der menschliche Wissensstand und seine praktische Umsetzung wider. Diese Tatsache wird besonders bei Konstruktionen mit einer langen Geschichte deutlich. Für Bogenbrücken, die gerade eine solche lange Geschichte besitzen, exstieren daher eine Vielzahl von verschiedenen Berechnungsverfahren und Konstruktionsregeln. Als Beispiele für Berechnungsansätze seien hier willkürlich FALTER [177], WOLF [597], VON LEIBBRAND [569], LACHMANN [306], HAASE [230], GILBRIN [212] und FAIN [175] genannt. Eine pauschale Festlegung eines geeigneten Modells ist schon daher nicht zulässig, da es durchaus Beispiele zuverlässiger Bauwerke mit einer langen Lebensdauer gibt, die mittels empirischen Regeln konstruiert wurden. Die Wahl eines geeigneten Berechnungsmodels hängt von der jeweiligen Fragestellung und den für die Untersuchung zur Verfügung stehenden Ressourcen ab. Im Rahmen der COST-Studie der Europäischen Kommission wurden verschiedene Beurteilungsstufen für die Bewertung von Bogenbrücken eingeführt (Tab. 19). Diesen Stufen sind jeweils Modelle zugeordnet. Diese verschiedenen Modelle werden in den folgenden Abschnitten erläutert. Zunächst werden empirische Regeln zusammengestellt, die am längsten zur Konstruktion von Steinbogenbrücken verwendet wurden.


86

Tab. 19: Empfohlene Analyseverfahren für verschiedene Beurteilungsstufen für bestehende Bauwerke gemäß der COST-Studie der Europäischen Kommission COST 345 [172] Bauwerkstyp Untertyp Beurteilungsstufe

1 2 3 4 5

Brü

cken

Bog

en

Empi

risch

ode

r 2-D

-Mod

ellie

rung

, lin

ear e

last

isch

2-D

ode

r 3-D

, lin

ear e

last

isch

, ni

chtli

near

ode

r pla

stis

ch, R

issm

o-de

llier

ung

2-D

ode

r 3 D

, lin

ear o

der

nich

tline

ar, e

last

isch

ode

r pla

stis

ch,

Träg

erro

st o

der F

EM,

Ber

ücks

icht

igun

g de

r B

oden

-B

auw

erks

-Int

erak

tion,

R

issm

odel

lieru

ng, V

erw

endu

ng

bauw

erks

spez

ifisc

her B

elas

tung

en

und

Bau

mat

eria

lken

nwer

te

Det

ailli

erte

FE-

Mod

ellie

rung

des

un

ters

ucht

en B

auw

erke

s

Zuve

rläss

igke

itsun

ters

uchu

ng

mitt

els p

roba

bilis

tisch

er V

erfa

hren

3.2 Empirische Regeln

3.2.1 Historische Regeln HENRI GAUTIER benannte 1717 fünf Probleme bei der Planung von Steinbogenbrücken (nach HEYMAN [249]):

. Abschätzung der Form des Bogens,

. Abschätzung der Dicke des Bogens im Scheitelbereich,

. Abschätzung der Dicke der Fundamente und Pfeiler aller Arten von Brücken,

. Abschätzung der Dicke innerer Pfeiler in Abhängigkeit von den Abmessungen des Bogens,

. Abschätzung der Dicke der Flügelwände, um die Erde zurückzuhalten. Diese Aufgabe versuchte man in der Geschichte der Bogenbrücken überwiegend empirisch, dass heißt aus der bloßen Erfahrung heraus, zu lösen. Der Übergang zu analytischen Methoden ist jedoch fließend. Empirische Regeln beschreiben die Tragfähigkeit von Bogenbrücken basierend auf Geometrieverhältnissen der einzelnen Elemente der Bogenbrücke. Beispielhaft für solche empirischen Regeln seien die Geometrieverhältnisse von ALBERTI genannt (Abb. 47).


87

h

d=h/4

2 d

l d . d=4 .. 6

c>l/1

0l >hPfähle /8

Pfähle Pfähle>l /12 Abb. 47: Empirische Angaben nach ALBERTI um 1450 (HEINRICH [245])


88

Grenzen der Versagensmechanismen von kreisförmigen Bögen mit konstanter Dicke gibt auch CORRADI [108] an (Tab. 20). Tab. 20: Grenzen der Versagensmechanismen von kreisförmigen Bögen

Ohne Hinterfüllung Fallende Hinterfüllung Horizontale HinterfüllungR = Radius Außenseite Gewölbe r = Radius Innenseite Gewölbes

krit = RKr

µ = Reibungskoeffizient a = Winkel Versagenspunkt H = Normalkraft im Scheitel W = Eigenlast

Versagensmechanismus

Rrα

mM

H W

β=45°

Rr

α

mM

H Wx

Rr

α

mM

H Wx

Gelenkbildung

α

krit

0,3951,1136

54

µ

α

≥=

= °K krit

0,5111,184

50

µ

α

≥=

= °K krit

0, 2581,044

68

µ

α

≥=

= °K

Gelenkbildung und Gleiten

α

krit

0,309 0,3951,2205 1,113629 54

µ

α

≤ <≤ <

° ≤ < °K krit

0, 406 0,5111, 264 1,18420 50

µ

α

≤ <≤ <

° ≤ < °K krit

0, 236 0,2581,1138 1,04444 68

µ

α

≤ <≤ <

° ≤ < °K

Gleiten

α

krit

0,3091,2205

29

µ

α

<=

= °K krit

0, 4061, 264

20

µ

α

<=

= °K krit

0, 2361,1138

44

µ

α

<=

= °K

Auch für die Bemessung der Gewölbewiderlager gab es empirische Regeln, wie z.B. die BLONDEL’sche Regel [530]. An dieser Stelle sollen aber nur die historischen empirischen Regeln für die Form und Dicke des Bogens zusammengefasst werden. I. Regeln für die Form des Bogens Grundparameter der Form des Bogens sind die Spannweite und der Stich. Zunächst kann man untersuchen, welches Verhältnis von Spannweite zu Stich errichtete Brücken besitzen. PURTAK [431] veröffentlichte eine statistische Erfassung für das Verhältnis Bogenstich/Stützweite über die Stützweite (Abb. 48).


89

0,2

0,4

0,6

0,8

0 2010 30 40Stützweite in ml

Bog

enst

ich

zu S

tütz

wei

te

0,0

Abb. 48: Verhältnisse von Bogenstich zu Stützweite über die Stützweite für Bogenbrücken nach PURTAK [431] Das Verhältnis von Stich zu Spannweite kann man als Parameter für die Formfindung verwenden:

2f fsl a

= =⋅

.

Dabei sollte für Segmentbögen gelten: 1/9 < s < 1/6, gelegentlich wurde auch ein Mindestwinkel von 60° am Kämpfer gefordert, welches einem Verhältnis von s = 1/7,5 entspricht. Gegen Ende des 18. Jahrhunderts wurde in zunehmendem Maße der Korbbogen verwendet. Bereits erwähnt wurde die Neuilly Brücke von PERRONET, deren Bögen aus elf Kreisen zusammengesetzt waren. Bei dieser Brücke wurde s = ¼ eingehalten. Im 19. Jahr-hundert wurde zunehmend die Ellipse verwendet, da sie sich leichter berechnen ließ als der Korbbogen. Auch hier wurde in der Regel s = ¼ gewählt. Es galt die Regel, dass s > 1/5 bzw. 1/6 sein sollte. Tatsächlich aber wurden Brücken mit s = 1/10 (Nemours Brücke von PERRONET 1792) und 1/15 (Souppes) gebaut. (CORRADI [107]) Neben den Mindest- bzw. Maximalwerten gab es auch Empfehlungen für optimale Werte. So wurde für Kreis- und Korbbögen ein Wert von s = ½ empfohlen. Für Korbbögen wurde weiterhin die Anzahl der Kreissegmente festgelegt. Es galt die Regel, wenn s = 1/3 und l > 10 m, sollten drei Kreissegmente verwendet werden. Für die Spannweiten 10 m < l < 40 m sollten fünf Kreissegmente und für l > 40 m sollten sieben Segmente verwendet werden. Galt das Verhältnis s = ¼, so sollten entsprechen der genannten Spannweiten 5, 7 und 9 Kreissegmente zur Ermittlung der Bogenform verwendet werden. Für größere s-Verhältnisse wurde ein Kreisbogen mit dem Radius

2 48

l frf

+ ⋅=⋅

empfohlen.

Die geringe empfohlen Anzahl der Kreissegmente im Korbbogen führte zu einem ästhetischen Problem: Der Sichtbarkeit der Übergänge. Deshalb wurde später empfohlen, die


90

Anzahl der Segmente zu erhöhen. SEJOURNE empfahl wieder die Anwendung von Ellipsen. VIVIANI verwendete eine Zykloide als Form für die Brücke über den Fluss Arzana. Bei zwei Brücken zwischen Pistoia und Modena wurde eine Kreisevolvente als Bogenform gewählt. Im Mittelalter wurden die Brücken oft mit Spitzbogen oder mit parabolischer Form errichtet. Weiterhin wurde für Bogen insbesondere im 18. Jahrhundert die Kettenlinie verwendet. Die Kettenlinie wurde z.B. in Boucicault, Orleans oder Avignon genutzt. (CORRADI [107]) TOLKMITT schlug vor, die Bogenform in Abhängigkeit von der Belastung zu ermitteln. Er nahm die Belastung in quadratischer Form an:

2

0

nk

kk

p a z=

= ⋅∑ , wobei ak eine Konstante war und z die Koordinate in Bogenlängsrichtung. Die

Form sollte dann der Formel folgen: 2

2

d y pdz H

= −

Löste man diese Gleichung, so erhielt man: 2 2

0

1(2 1) (2 2)

nkk

k

ay kH k k

⋅ +

=

= ⋅⋅ + ⋅ ⋅ +∑

Üblicherweise wurde die Reihe nach dem zweiten Term abgebrochen. FREYSSINET verwendete für die Bernard Brücke über die Balbigny-Regny Eisenbahnlinie n = 4. Tafeln für die Berechnung wurden u.a. von KÖGLER bereitgestellt. CORRADI [107] Eine weitere eingesetzte Bogenformformel lautete:

1 log(cos( ))y a za

= ⋅

LEBERT’s parabolische Kurven lauteten log(cos( ))y k a z= ⋅ ⋅ und 2log(cosh( ))y m a z= ⋅ ⋅ . (CORRADI [107])

Weitere Ausführungen zur Bogenform finden sich im gleichnamigen Abschnitt. II. Bogendicke am Scheitel, entspricht der Schlusssteindicke 1669 veröffentlich FABRI ein geometrisches Gewölbemodell, welches einem heutigen statischen Dreigelenkbogen entspricht. Basierend auf diesem Modell ergaben sich folgende Formeln für die Gewölbedicke d in Abhängigkeit vom Radius R der Außenleibung (KURRER [304]):

1 2 (3 2 2) 0,343= ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅d R R Für den Radius r der Innenleibung ergab sich:

(4 2 5) 0,657= ⋅ ⋅ − = ⋅r R R Die Stützlinie liegt damit vollständig im Gewölbeprofil. Bei einem angenommen Bruchwinkel von 45° betrüge die erforderliche Gewölbedicke:

. 0,5 (2 2) 0,293= ⋅ ⋅ − = ⋅o Fabrid R R Gewölbe mit dieser Dicken sind gemäß FABRI immer stabil. Gewölbe mit geringeren Dicken können stabil oder instabil sein. (KURRER [304])


91

COUPLET geht in seinen 1730 veröffentlichten Grenzwert für die Dicke von beobachteten Bruchmechanismen aus. Er gibt die folgende Regel an:

. 0,096= ⋅u Coupletd R Gewölbe mit geringeren Dicken sind immer labil. Gewölbe mit größeren Dicken können stabil sein. (KURRER [304]) Sowohl die Formel von FABRI als auch von COUPLET beziehen sich auf Bruchwinkel von 45°. HEYMAN ermittelte den Bruchwinkel für Gewölbe mit minimalen Dicken zu 58,8°. Dafür bestimmt er einen Grenzwert der Dicke zu (KURRER [304]):

, 0,101= ⋅u Heymand R ALBERTI schlägt folgende Mindestdicke vor (KURRER [304]):

,2 0,13110⋅= = ⋅u Albertird R

Eine weitere empirische Regel ist CROIZETTE-DESNOYER’S Formel (CORRADI & FILEMIO [108], MARTÍN-CARO & MARTÍNEZ [337], MODENA et al. [364]):

2d a b r= + ⋅ ⋅ mit d = Bogendicke am Scheitel, r ist der Radius, a und b sind Koeffizienten in Abhängigkeit davon, ob es sich bei der Brücke um eine Eisenbahn- oder Straßenbrücke handelt. GENIO CIVILE Formel für die Berechnung der Bogendicke am Scheitel lautet (CORRADI & FILEMIO [108]):

0,05 0,40 2 (10 )100

ld h l lf

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅

Eine weitere Formel stammt von SEJOURNE (MARTÍN-CARO & MARTÍNEZ [337]). Empirische Regeln für die Bemessung von Bögen nach einer Zusammenstellung von BUSCH & ZUMPE [80] ergeben die folgende Forderung für die Dicke des Bogens im Scheitelbereich:

0,37 0,028 0,37 0,028 10 m 0,65 mSd l= + ⋅ = + ⋅ = > 0,5 m Dieser Wert kann unter Berücksichtigung der Faktoren Mauerwerksgüte, Überschüttung und Belastung mit 0,3 bis 1,9 multipliziert werden. Die erforderliche Überschüttungshöhe berechnet sich wie folgt:

0,5 0,015 0,5 0,015 10 m 0,65 mh l= + ⋅ = + ⋅ = < 0,7 m

Die Normalspannung ergibt sich überschlägig im Bogenscheitel zu: 2

8q lN H

f⋅= =⋅

Eine einfache Überschlagsformel für die Spannung im Scheitel stammt von DISCHINGER

[154]: 2

8σ γ= ⋅

⋅il

f, wobei γi ein ideelles Gewicht dargestellt, welches bei weitgespannten

flachen Brücken bei ca. 30 und bei kleinen hohen Brücken bei 40 kN/m3 liegt. Ein Beispiel aus [154] für eine Brücke mit 100 m Spannweite und 10 m Stich ergibt

210030 3,75 MPa8 10

σ = ⋅ =⋅


92

Inwieweit die genannten empirischen Regeln in der Tat umgesetzt wurden, kann man anhand einer Statistik der Bogendicke über die Stützweite untersuchen. PURTAK [431] und BUSCH und ZUMPE [80] haben für das Verhältnis Bogendicke im Scheitel zu Spannweite Datenerhebungen durchgeführt (Abb. 49 und Abb. 50).

20

60

100

140

40

80

120

0 2010 30 40

Stützweite in ml

Bog

endi

cke

am S

chei

tel i

n cm

Abb. 49: Verhältnisse von Stützweite zu Bogendicke für Bogenbrücken nach PURTAK [431]

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,00,0 20 40 60 80

Spannweite in ml

Bog

endi

cke

im S

chei

tel i

n m

Abb. 50: Verhältnisse von Stützweite zu Bogendicke für Bogenbrücken nach BUSCH und ZUMPE [80] Die Aufgabe beim Entwurf von Bogenbrücken bestand darin, möglichst optimale Geometrien zu finden. Da keine oder kaum Berechnung durchgeführt wurden, sollten einfache Regeln für die Wahl der Bogenform und für die Abmessungen der Widerlager und Pfeiler genügen. Bis


93

zum 18. Jahrhundert war die Anwendung geometrischer Empfehlungen die Regel. Für die Dicke e des Steines wurden erste Empfehlungen von ALBERTI, PALLADIO und SERLIO aufgestellt. Wenn e die Dicke des Schlusssteins war, so galt 1/15 (ALBERTI), 1/12 (PALLADIO) und 1/17 (SERLIO). Diese Werte beruhten im Wesentlichen auf Beobachtungen römischer Brücken. GAUTIER empfahl zum Beginn des 18. Jahrhunderts

2118

le ⋅= für Bögen aus harten Steinen mit einer Spannweite größer 10 m und für weiche

Steine eine Mindestdicke von e = 0,32 m. Die Bogenform wurde dabei nicht berücksichtigt. Beim Pont de Gard wurde eine Werte von e/l = 1/15 erreicht. Regeln aus dem 19. Jahrhundert stammen u.a. von (CORRADI [107]): DUPUIT 0,5e k l= ⋅ k = 0,15 für Segmentbogenbrücken (segmental arches)

k = 0,20 für Halbkreisbogenbrücken RANKINE 0,5e k R= ⋅ k = 0,191 R ist der Radius eines Bogens, der durch den Bogenkämpfer und den Schlussstein geht. Die folgenden Formeln galten nur für Halbkreisbogenbrücken (CORRADI [107]) GAUTIER 1 2e k k l= + ⋅ 1 0,32 mk = 2 1/15k = PERRONET 1 2e k k l= + ⋅ 1 0,325 mk = 2 (1/ 24 1/144)k = − LESGUILLIER 1 2e k k l= + ⋅ 1 0,10 mk = 2 0,20k = PERRONETS (CORRADI [107]) Formel konnte nicht für Spannweiten größer 50 m angewendet werden, da sie dort deutlich zu große Werte ergab. DEJARDIN (CORRADI [107]) gab folgende Faktoren an: Halbkreisbogen 1 2e k k l= + ⋅ 1 0,30 mk = 2 0.045k = Kreis mit 120° 1 2e k k l= + ⋅ 1 0,30 mk = 2 0,025k = Semielliptisch 1 2e k k l= + ⋅ 1 0,30 mk = 2 0,014k = Weitere Formelen sind (CORRADI [107]): Semi-oval 0, 20e l= ⋅ Bei Deutschen und Russischen Ingenieuren verbreitet 0, 43 0,10e ρ= + ⋅ Für Segmentbogenbrücken wurden die folgenden Formeln verwendet (CORRADI [107]): PERRONET 0,325 0,0694e ρ= + ⋅ LESGUILLIER 0,10 0, 20e l= + ⋅ L’ÉVEILLÉ 0,33 0,033e l= + ⋅ Deutsche und Russische Ingenieure 0, 43 0,10e ρ= + ⋅ DUPUIT 0,15e ρ= ⋅


94

Für Elliptische Bogenbrücken (CORRADI [107])

Deutsche und Russische Ingenieure 0, 43 0,10e ρ= + ⋅ DUPUIT 0,20e ρ= ⋅

Für ρ gilt (CORRADI [107]):

Segmentbogenbrücken 2lρ =

Kreisbogenbrücken 2

8 2l f

fρ = +

⋅

Elliptische Bogenbrücken 2

4l

fρ =

⋅

GAUTHEY (CORRADI [107]) empfahl die folgenden Regeln für Halbkreisbögen und vergleichbare Bögen.

0,33 me = 2 ml < 0,33 m 1/ 48e l= + ⋅ 2 m 16 ml< < 1/ 24e l= ⋅ 16 m 32 ml< < 1,33 m 1/ 48 ( 32 m)e l= + ⋅ − 32 ml >

CASTIGLIANO stellte fest, dass die Formel zwischen Kreisbogen und Segmentbogen dadurch umgerechnet werden können, dass eine Spannweite l in einem Kreisbogen einer Spann-weite ' 0.866l l= ⋅ . Damit ergab sich für DUPUITS Formel anstelle von 0,20 als Faktor ein Wert von 0,14. Die Korrektur galt auch für L’ÉVEILLÉ’S Formel. (CORRADI [107]) KAVENS Formel lautet (CORRADI [107]):

0, 25 m 0,025 0,00333 le lf

⎛ ⎞= + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Die Formel war gültig für Spannweiten kleiner 12 m und für Bögen aus sehr hartem Steinmaterial. Zusätzlich durfte die Höhe des Überbaus im Scheitel 1,50 m nicht überschreiten. Bei größeren Höhen musste die Formel korrigiert werden: Bei Eisenbahnbrücken 1 0, 214 h+ ⋅

Bei Straßenbrücken 1 0,14 h+ ⋅ Weiterhin empfahl KAVEN die Erhöhung der Dicke um den Faktor 1,5, wenn die Brücke in Ziegelbauweise errichtet wurde. (CORRADI [107]) HUSTE’S Formel (CORRADI [107]) e α ρ= ⋅ mit α = 0,165 für Bögen errichtet aus hartem Steinmaterial α = 0,220 für Bögen errichtet aus Ziegelsteinen α = 0,247 für Bögen errichtet aus weichem Steinmaterial


95

Italienische Ingenieure (CORRADI [107]) 200,20 m

40 1000l l le

f+= + + +

RÉSAL’S Formel (CORRADI [107])

0,15 m 0,202

lef

= + ⋅⋅

CROIZETTE-DESNOYERS (CORRADI [107])

1 2e k k ρ= + ⋅ mit ρ als Krümmung des Bogens. Die Faktoren hängen von der Form des Bogens ab (CORRADI [107]):

Halbkreisbogen Straßenbrücke Eisenbahnbrücke

/f l 1k 2k 1k 2k 1/2 0,15 0,15 0,20 0,17

Kreisbogen oder Segmentbogen Straßenbrücke Eisenbahnbrücke

/f l 1k 2k 1k 2k 1/4 0,15 0,15 0,20 0,17 1/6 0,15 0,14 0,20 0,16 1/8 0,15 0,13 0,20 0,15 1/10 0,15 0,12 0,20 0,14 1/12 0,15 0,12 0,20 0,13 Für schiefe Brücken empfahl RÉSAL eine Erhöhung der Dicke gemäß

'sinee

α=

wobei α die Schiefe der Brücke (Winkel) entspricht. Weitere Formeln zur Ermittlung der Bogenscheiteldicke wurden LELIAVSKY [308] entnommen. Die Formel von HEINZERLING lautet:

rkke ⋅+= 21 mit k1 k2 0,4 0,028 Ziegelmauerwerk 0,42 0,032 Bruchsteinmauerwerk Die Formel nach SCHWARZ lautet:

σ zul2112,0 Qle ⋅⋅+=

Weitere Formeln stammen von MELAN, LANDBERG, MEHRTENS (entnommen LELIAVSKY [308])


96

III. Bogendicke am Kämpfer DEJARDIN (1845) schlägt folgende Formel vor, wobei der Winkel vom Scheitel gemessen wird (CORRADI [107]):

1 cosee

ϕ=

Damit folgt die Rückseite des Bogens einer Nicomede conchoid (Muschellinie des Nikomedes) oder Pericycloid, wenn die Innenseite des Gewölbes kreisförmig verläuft. Die genannte Formel kann allerdings nicht für Halbkreisbögen verwendet werden, da dann die Dicke des Kämpfersteines unendlich würde. Vereinfacht verändert man die Dicke der Bogensteine ab dem typischen Versagenspunkt (60°) nicht mehr. Man erhält dann eine maximale Dicke von 1 1,4e e= ⋅ . Diesem Vorschlag folgt auch TAVERNIER (1907). Er schlägt allerdings eine andere Formel für den veränderlichen Bereich vor (CORRADI [107]):

1 cosee

ϕ= .

Eine weitere Formel für kreisförmige Bögen, die häufig verwendet wurde, lautet: 1,125 ( ) 1, 25 ( )e R eρ ρ⋅ + ≤ < ⋅ + . Die damit erzielten Ergebnisse liegen zwischen denen von DEJARDIN und TAVERNIER. Auch CROIZETTE-DESNOYERS Regeln waren weit verbreitet (CORRADI [107]):

2f fsl a

= =⋅

mit s 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8 1/10 1/12 kreisförmig - 1,80 - 1,40 1,25 1,15 1,10 elliptisch 1,80 1,60 1,40 - - - - WEBER [578] beschreibt die Veränderungen der halben Gewölbedicke quadratisch oder bilinear. IV. Dicke des Fundaments Nachdem die Bogenform, die Dicke des Bogens im Scheitel und am Kämpfer festgelegt war, musste noch die Stärke des Widerlagers ermittelt werden. Auch dafür gab es zahlreiche empirische Empfehlungen. Folgende weitere Parameter werden dafür benötigt: Ss als Dicke des Widerlagers, h als Höhe zwischen Kämpfer und Unterkante Fundament, h1 Höhe der Hinterfüllung. Die Variable H wird definiert als

0,60H h f e= + + + 1 0,60 mh <

1H h f e h= + + + 1 0,60 mh > Folgende Formeln existieren für verschiedene Bogenformen:


97

Halbkreisbogen LESGUILLIER (0,60 0,04 )sS h l= + ⋅ ⋅ L’ÉVEILLÉ 0,865 ( 0, 25 )(0,60 0,162 )

(0, 25 )sl h lS l

H l e⋅ ⋅ + ⋅= + ⋅ ⋅

⋅ ⋅ +

Deutsche und Russische Ingenieure 150,30524 6 12s

h hS l= + ⋅ + +

Segmentbogenbrücken LESGUILLIER

0,60 1,10 2 0,04slS h lf

⎡ ⎤⎛ ⎞= + ⋅ − + ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

L’ÉVEILLÉ (0,33 0, 212 )

( )sl hS l

H f e⋅= + ⋅ ⋅

⋅ +

Deutsche Ingenieure 13 20,305 0,125

12sl f h hS l

l f⎛ ⎞⋅ − ⋅ += + ⋅ ⋅ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

Italienische Ingenieure 10 0,50,05 0,20100s

l lS h lf

⎛ ⎞+ ⋅⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Halbelliptische Bögen LESGUILLIER

0,60 0,05 2 0,04slS h lf

⎡ ⎤⎛ ⎞= + ⋅ − + ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

L’ÉVEILLÉ 0,54 0,84(0, 43 0,154 )0,65s

h f lS lH f e

⎛ ⎞+ ⋅ ⋅⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠Deutsche Ingenieure 10 0,50,05 0,20

100sl lS h l

f⎛ ⎞+ ⋅⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Manuale del’Ingenere 1

0,170,42 0,44 bei 1,50 m2s

lS l h hf

⎛ ⎞⋅= ⋅ + + ⋅ <⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

1

1

0,170,42 0,44 0,01852

bei 1,50 m und mit

slS l h H h

fh H h f e

⎛ ⎞⋅= ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠≥ = + +

HÜTTE 3 1,008 6sl l f hS

f l⎛ ⎞⋅ −= ⋅ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

und für Halbkreisbögen 5 1,0024 6s

hS l= ⋅ + +

CROIZETTE-DESNOYER 0,33 0,212

( )sl hS l

H f e⎛ ⎞⋅= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ +⎝ ⎠

Italienische Eisenbahn 0,20 0,030 ( 2 ) 0,10sS e hρ= + ⋅ + ⋅ + ⋅ Die Widerlagerbreite entsprach der Pfeilerbreite. Zusätzlich galt für die Pfeiler, dass sie mindestens die doppelte Breite des Bogens im Scheitel besitzen müssen. In Abhängigkeit, ob


98

die Pfeiler in einem Fluss standen, mussten weitere Einflüsse berücksichtigt werden. Die Formeln für die Dicke des Pfeilers gemäß verschiedener Quellen lauten: L’ÉVEILLÉ Kreisbogen

(0,33 0,212 )

hHE D

f eD

= + ⋅ ⋅+

Halbkreisbogen 0,25

(0,60 0,162 )0,250,865

h DHE D

D eD

+ ⋅

= + ⋅ ⋅⋅ +

⋅

Korbbogenbrücken 0,54

(0,42 0,154 )0,465

0,84

h DHE D

D eD

+ ⋅

= + ⋅ ⋅⋅ +⋅

SÉJOURNE 1

5E l> ⋅

0, 4 0,15E l= + ⋅ 0,8 0,1E l= + ⋅

PERRONET 2, 25E e= ⋅ CASTIGLIANO

2sSE =

COLOMBO 0, 20 ' 0,6E h= ⋅ + 16

E l= ⋅ , 110

E l= ⋅

h’ als Pfeilerhöhe vom Fundamten zum Kämpfer Weitere verwendete Formel 0, 292 2E e= + ⋅ Weitere verwendete Formel 2,50 für 10 m

3,50 für 10 mE e lE e l

= ⋅ ≤= ⋅ >

Weitere verwendete Formel 1 110 5

l E l⋅ < < ⋅

Mindestwert 1E e>∑ , wenn mehrere Bögen

h ist die Höhe zwischen Kämpfer und Bruchpunkten, e ist die Dicke des Bogens im Scheitel, f ist die Höhe zwischen der Oberseite des Scheitels und den Bruchpunkten, H ist der horizontale Abstand zwischen den Bruchpunkten, D (Width) als Spannweite des Bogens.


99

Die Bruchpunkte wurden bei 60° angenommen. Weiterhin gilt 0, 25f D= ⋅ . Die meisten Formeln wurden CORRADI [107] entnommen. Einige Formeln finden sich auch in BARATTA & COLLETTA [22]. V. Maximale Bogenlänge WEBER [578] schätzt die maximalen Spannweiten von Gewölbe- und Bogenbrücken für verschiedene Baumaterialien ab:

limw

l σπγ

= ⋅

Diese Werte wurden für verschiedene Materialien in Tab. 21 zusammengefasst.

Tab. 21: Grenzspannweiten von Bogenbrücken aus verschiedenen Materialien nach WEBER [578]

Material lim l in m St 37 6467 GS- 52 7585 Ziegelmauerwerk 205-748 Natursteinmauerwerk 145-785 Stahlbeton 228-1870 Leichtbeton 524-2244 Nadelholz 6912-8639 Weitere übliche Parameter für die maximale Auslastung von Bogenbrücken sind so genannte Kühnheitszahlen. Zunächst sei RÉSAL’S Kühnheitszahl genannt, die sich wie folgt berechnet:

2lA ρ⋅=

Dieser Wert wurde für verschiedene Bogenbrücken in Tab. 22 ermittelt.

Tab. 22: RÉSAL’S Kühnheitszahl für verschiedene Bogenbrückenbauwerke nach CORRADI [107]

Brücke l in m f in m e in cm A Fouchard Brücke 26,0 2,6 33,8 439 Nogent Brücke 50,0 25,0 25,0 625 Tournon Brücke 49,2 17,7 25,9 639 Antoinette Brücke 50,0 15,9 27,6 690 Lavaur Brücke 61,5 27,5 30,9 931 Mosca Brücke 44,8 5,6 7,6 1066 Cloris Brücke 50,0 7,4 46,0 1150 Chester Brücke 61,0 12,8 42,9 1308 Cabin John Brücke 67,0 17,6 40,7 1363 Trezzo Brücke 72,3 20,7 42,0 1517 Soupees Arch 37,9 2,1 88,0 1667 Eine weitere derartiger Leistungsparameter ist SPANGENBERGs Kühnheitszahl. Folgt die Systemlinie einer Bogenbrücke einer Parabel 2. Ordnung, so entspricht die SPANGENBERG’sche Kühnheitszahl nach WEBER [578] gleicht dem achtfachen


100

Krümmungsradius der Parabel im Stich. Die Form der SPANGENBERG’schen Kühnheitszahl lässt sich nach WEBER [578] für andere Bogenformen anpassen (Tab. 23).

Tab. 23: Korrekturen der SPANGENBERG’sche Kühnheitszahl für verschiedene Bogenformen nach WEBER [578]

Form der Systemlinie SPANGENBERG’sche Kühnheitszahl

2lkf

=

Parabel 2. Ordnung 8 ρ⋅ Parabel 4. Ordnung 8 (1 )cρ⋅ ⋅ − Kettelinie 1. Art 2

28 148

lρρ

⎛ ⎞≈ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Kreiskurvenstück 8 1

2frr

⎛ ⎞⋅ ⋅ −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Sinuskurve (Halbwelle) 2π ρ⋅ Obere Ellipsenhälfte 4 ρ⋅ WEBER [578] kritisiert sowohl die Definition als auch inhaltliche Mängel der SPANGENBERG’schen Kühnheitszahl. So wäre die Berücksichtigung der Bogendicke zwingend. Basierend auf der Selbstauslastung der Tragstruktur nach HUGI:

gg p

ω =+

definiert WEBER [578] gp

χ = und 1

χωχ

=+

.

WEBER [578] führt ein Kühnheitsmaß ein, welches • das statische System, • die Querschnittsgeometrie, • das Lastbild, • das Baumaterial, • die Schlankheit, • die Tragwerksgröße, berücksichtigt. Das von WEBER [578] entwickelte Kühnheitsmaß lautet:

0

0

3 12

3 1162

k

k

λω

θ λ

⋅ +=

⋅ + ⋅ − mit 0

fkl

= , ll

θ = , 4

ld

λ = , d

w

flγ

=

und d4 als Dicke des Bogens im Viertelspunkt. WEBER [578] hat dieses Maß auf verschiedene Brückenbauwerke angewendet (Tab. 24).


101

Tab. 24: WEBER’sche Kühnheitszahl für verschiedene Brückenbauwerke

Brücke Jahr l in m f/l d4 l/d4 Mat. 2) ω k Thur-Brücke Kurmmenau, Schweiz 1911 63,3 1/4,57 2,26 27,99 SMW 0,65 289 Illerbrücken St. Buchlow-Kempten 1906 63,8 1/2,48 1,94 32,89 SB 0,51 158 Illerbrücken St. Buchlow-Lindau 1906 64,5 1/2,34 1,98 32,58 QMW 0,51 151 Prut-Brücke Karemča, Ukraine 18921) 65,0 1/3,63 2,60 25,0 QMW 0,48 236 Rummel-Brücke Sidi-Rached, Algerien 1912 68,0 1/3,09 1,52 44,74 QMW 0,65 210 Adda-Brücke bei Morbegno, Italien 1904 70,0 1/7,00 1,73 40,46 QMW 0,61 490 Roizonne-Brücke bei La Mure, Frankreich 1916 79,5 1/2,10 1,60 49,66 QMW 0,70 169 Valserine-Brücke bei Montages, Frankreich 1910 80,3 1/4,01 2,00 40,15 QMW 0,69 322 Pétruss-Brücke, Luxemburg 1903 84,6 1/2,71 1,80 47,03 QMW 0,71 229 Soča-Brücke bei Solkan, Slowenien 1927 85,0 1/3,90 2,45 34,69 QMW 0,59 332 Friedensbrücke in Plauen, Vogtland 1904 90,0 1/5,00 1,65 54,55 KMW 0,69 495 Lot-Brücke in Villeneuve, Frankreich 1920 96,3 1/6,23 1,45 66,38 SB 0,82 600 Nanpan-Brücke Changhong, China 1961 112,5 1/5,43 2,21 50,90 QMW 611 Chang-Brücke Jiuxigou bei Fengdu, China 1972 116,0 1/80 1,87 62,03 QMW 928 Wuchao-Brücke bei Fong-Huan, China 1990 120,0 1/50 1,50 80,00 QMW 0,88 600 120 m Brückenprojekt, Österreich-Ungarn 120,0 1/3,6 5,10 23,53 QMW 0,69 432 1) 1916 durch russische Armee zerstört, 1927 wieder aufgebaut 2) SMW – Schichtenmauerwerk mit Kalkstein, SB – Stampfbeton, QMW – Quadermauerwerk Die Entwicklung empirischer Regeln ist noch nicht abgeschlossen. So entwickelten MARTINEZ, REVILLA & ARAGON TORRE [339] Zielkurven der Scheitelbogendicke in Abhängigkeit von der Druckfestigkeit des Steines, dem Verhältnis von Spannweite und Stich und der Spannweite an, mit denen umgehend die Prüfung der Tragfähigkeit einer Brücke erfolgen kann.

3.2.2 MEXE-Methode Als MEXE-Methode wird das Military Engineering Experimental Establishment Verfahren zur Beurteilung von Bogenbrücken bezeichnet. Dieses Verfahren hat insbesondere in Groß-britannien (HUGES & BLACKLER [261]) eine weite Verbreitung gefunden, wird aber auch im internationalen UIC-Kodex [553] verwendet. In Großbritannien begann PIPPARD gegen Ende der 30er Jahre des letzten Jahrhunderts die Entwicklung eines Verfahrens zur Berechnung von Bogenbrücken. Grundlage dieses Verfahrens war die Annahme eines linearelastischen Materialverhaltens. Insbesondere während des II. Weltkrieges wurde das Verfahren zur Berechnung der Tragfähigkeit von Brücken unter Militärlasten verwendet. Nach dem II. Weltkrieg musste das Verfahren auf Grund der neu eingeführten NATO-Lasten überarbeitet werden. Diese Überarbeitung basierte auf den Vorarbeiten von PIPPARD und bildete die 1. Generation des MEXE-Verfahrens. In den 50er Jahren wurden in Großbritannien zahlreiche Tests an Bögen durchgeführt, die eine Überarbeitung des MEXE-Verfahrens erlaubten. In den 60er Jahren wurde das MEXE-Verfahren den aktuellen Verkehrlasten angepasst und als modifiziertes MEXE-Verfahren eingeführt. (DAS [124])


102

Die Anwendung soll kurz an einem Beispiel demonstriert werden. Zunächst müssen die Randbedingungen geprüft werden (Tab. 25). Diese sind im vorliegenden Fallbeispiel eingehalten. Tab. 25: Randbedingungen MEXE Forderung Vorhanden Spannweite kleiner 20 m 10 m eingehalten Bogenstich größer ein ¼ der lichten Weite ¼ ×10=2,5>1,8 m eingehalten Auffüllung zwischen 30 und 105 cm 1,2-0,5 = 0,7 m eingehalten Die Tragfähigkeit des Bogens berechnet sich wie folgt:

adm pQ Q f= ⋅

mit1,5 m

admadm

Qq = und 1S M J C Nf f f f f f

fΦ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Der Faktor f berücksichtigt eine Vielzahl von Eingangsparametern, die an einem Beispiel untersucht werden sollen. Bogenformfaktor:

0,6 0,6( )1, 4 (1,8 1, 4)0,78 2,3 2,3 0,951,8 1, 4

q c qS

c c

r r rf

r r− −= = → = ⋅ = ⋅ =

Weitere Faktoren müssen Tabellen bzw. Diagrammen entnommen werden. Im vorliegenden Fall soll gelten: Materialfaktor:

1,0Mf = Fugenfaktor

J W mof f f= ⋅ Fugenbreitenfaktor:

0,8 Fugenbreite > 12,5 mmWf = → Mörtelfaktor:

0,9 loser, bröckliger Mörtelmof = → Zustandsfaktor

0,85 Längsrisse innerhalb des mittleren Drittels des Bogenscf = → Faktor für mehrere Bögen

0,8 Bogen getragen von zwei PfeilernNf = → 10,95 1,0 0,8 0,9 0,85 0,8 0,372

1, 25f = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Gemäß Diagramm 3 (UIC-Kodex [553]) ergibt sich: 425 kNpQ =

0, 425 MN 0,372 0,158 MNadmQ = ⋅ = 0,158 MN 0,105 MN/m

1,5 madmq = = .


103

Die MEXE-Methode ist sehr einfach und schnell anwendbar und hat deshalb eine weite Verbreitung gefunden. BRENCICH et al. [64] üben allerdings Kritik an der MEXE-Methode und weisen darauf hin, dass das Verfahren unter Umständen zu unsicheren Ergebnissen führt. Ingesamt aber wird das Verfahren seit Jahrzehnten erfolgreich angewandt.

3.2.3 FILEV-Methode

hO

cf

bphp l/2cO l/2

Abb. 51: Bezeichnungen bei der FILEV-Methode Ein zweites sehr einfaches Verfahren ist die FILEV-Methode. MARTÍN-CARO & MARTÍNEZ [337] haben basierend auf einem SOFISTIK Modells für nahezu 800 Brückenmodelle mit verschiedenen Parameterkombinationen Bruchlasten berechnet. Die veränderlichen Einwirkungen wurden entweder als Einzellast mit veränderlichem Ort oder als Linienlast über die halbe Bogenlänge bzw. über die gesamte Bogenlänge angesetzt. Der Eintragungsort der Einzellast wurde zwischen 1/5 der Bogenspannweite und ½ der Bogenspannweite variiert. Bei der Einzellast wurde nur Versagen infolge Vier-Gelenk-Bogen oder Schub berücksichtigt. Bei den Linienlasten wurde zusätzlich ein Druckversagen des Mauerwerks im Modell berücksichtigt. Die Bogenbreite wurde konstant mit 3,00 m angenommen. Die Lastausbreitung durch Hinterfüllung wurde mit 30° gewählt. Eigenlast wurde beim Lastfall veränderliche Einzellasten mit dem Faktor 1,0 und bei veränderlichen Linienlasten mit dem Faktor 1,0 und 1,35 berücksichtigt.

Basierend auf diesen numerischen Ergebnissen wurde ein vereinfachtes Berechnungsverfahren entwickelt, welches im Wesentlichen auf einem Approximationsansatz und einer Entkopplung von Parametern basiert. Auf Grund dieser Annahmen besitzt dieser Rechenansatz eine Vielzahl von verschiedenen Grenzen. Diese Verfahrensgrenzen lauten: 1. Die Brücke ist geradlinig, also nicht schief und nicht gekrümmt. 2. Es handelt sich um einen Bogen. 3. Benachbarte Bögen haben die gleiche Spannweite. 4. Widerlager werden als unendlich steif betrachtet. 5. Die Brücke ist unbeschädigt. 6. Hinterfüllung ist nicht hohl. 7. Die Spannweite liegt zwischen 2 und 20 m. 8. Der minimale Verhältnis von Stich zu Spannweite liegt bei f/l > 1/6 9. Das Verhältnis Bogendicke im Scheitel zu Spannweite gehorcht Tab. 26


104

Tab. 26: Verhältnis Bodendick im Scheitel zu Spannweite l in m 2,0-5,0 5,0-7,5 7,5-10,0 10,0-15,0 15,0-20,0 c/l≥ 0,10 0,09 0,07 0,06 0,05

10. Hinterfüllung ist oberhalb der Bogenrückens zwischen den Widerlagern vorhanden. Die Höhe der Hinterfüllung wird in Abhängigkeit vom Verhältnis Bogenstich zu Spannweite zwischen hohen Bögen (f/l =1/2) mit hbackfill = 0,6 × f und niedrigen Bögen (f/l = 1/6) h = 0,30 × f ermittelt. 11. Die Überschüttungshöhe über den Scheitel liegt zwischen 0,25 m und 2,00 m 12. Die maximale Pfeilerhöhe beträgt 10 m. 13. Die Pfeilerbreite beträgt mindestens 1/6 der Bogenspannweite

In Tab. 27 sind die untersuchten Parameter für die Tragfähigkeit des Bogens unter Einzellast zusammengefasst.

Tab. 27: Untersuchte Parameterkombinationen für Einzellast Spannweite l in m

c/l f/l Ho in m hp in m bp/l µ γ in kN/m3 γfill in kN/m3

5,00 0,10 ½ 0,25 2,0 ¼ 0,60 20,0 18,0 7,50 0,09 ¼ 0,50 5,0 1/6 0,80 10,00 0,07 1/6 2,00 10,0 1/8 12,50 0,06 15,00 0,05 17,50 20,00 Für die Untersuchungen der Tragfähigkeit bei Linienlast sind die Parameter in Tab. 28 zusammengefasst.

Tab. 28: Untersuchte Parameterkombinationen für Linienlast Spannweite l in m

f/l ho in m fc in MPa γ in kN/m3

5,00 ½ 0,40 4,0 20,0 10,00 1/6 6,0 20,00 8,0 10,0 Für die Tragfähigkeit des Bogens unter Einzellast wird folgende Formel vorgeschlagen:

21 2( )= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅P a l b l c k k

Die Parameter a, b und c ergeben sich in Abhängigkeit vom Verhältnis Bogendicke zu Spannweite und sind in Tab. 29 zusammengestellt.


105

Tab. 29: Parameter a, b und c c/l a b c 0,10 24,432 15,80 792 0,09 29,891 -183,15 1092 0,07 20,000 -190,00 1020 0,06 14,927 -173,30 1095 0,05 3,304 7,41 345 Der Parameter k1 berücksichtigt das Verhältnis Stich zu Spannweite:

2

1 2

11 0,05 4 wenn 0, 25 und 2

1 0,03 4

l f hf l l

klf

⎧ ⎛ ⎞− ⋅ − ≤ ≥⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎛ ⎞⎪ + ⋅ −⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩

Der Parameter k2 berücksichtigt die Höhe der Auffüllung im Scheitel: 2

2 12,50

hk ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

Die Berechnungen für den Fall Gleichlast zeigen eine starke, nahezu lineare Abhängigkeit von der Mauerwerksdruckfestigkeit. Die Abhängigkeit von dem Verhältnis Stich zu Spann-weite ist geringer und ist nur von Bedeutung bei mäßigen Spannweiten (Tab. 30). Tab. 30: Zusammenfassung der Ergebnisse l = 5 m l = 10 m l = 20 m f ≤ 6 MPa f > 6 MPa f ≤ 7 MPa f > 7 MPa Q = 1,230 q = 185 × f + 75 q = 210 × f + 75 q = 50 × f + 788 q = 95 × f + 140 Nach der kurzen Beschreibung empirischer bzw. vereinfachter Verfahren wird im Folgenden auf die klassischen Stabmodelle eingegangen.

3.3 Stabmodelle

3.3.1 Einzelstäbe Mit der Einführung analytischer Modelle zur Berechnung von Bogenbrücken begann auch die Epoche der Stabmodelle. Die ersten Stabmodelle folgten teilweise noch der Forderung der Berechenbarkeit (statisch bestimmtes System). Diese Forderung besteht heute nicht mehr. Um nun die Stabmodelle immer mehr der Wirklichkeit anzunähern, ist eine Evolution dieser Modelle erkennbar (Tab. 31). Zunächst verändern sich nur Anzahl und Lage der Gelenke im Bogen. Dann werden auch Hinterfüllungen, Fahrbahnaufbauten und elastische Lagerungen berücksichtigt, um die Wirklichkeitsnähe der Modelle zu erhöhen. Die Berücksichtigung z.B. der Hinterfüllung ist notwendig, da diese erheblichen Einfluss auf die Tragfähigkeit des Bogens besitzt.


106

Tab. 31: Stabmodelle Eingespannter Bogen ohne Hinterfüllung

Zweigelenkbogen ohne Hinterfüllung

Dreigelenkbogen ohne Hinterfüllung, z.B. DS 805 oder UIC 71 [553]

Hinterfüllung angesetzt

Modell nach VOIGTLÄNDER [567]

Modell nach MODEL [362]

Model nach GOCHT [214]

Bereits seit langem ist bekannt, dass die Hinterfüllung eines Bogens zu einer Erhöhung der Tragfähigkeit des Bogens führen kann. So verwies CRAEMER [110] 1943 auf die erzwungene Drucklinie durch die Hinterfüllung. FISCHER [183], [184] untersuchte die Schubspannungen zwischen Bogen und Hinterfüllung, wobei FISCHER nur Dreigelenkbögen berücksichtigte. JÄGER [274] bestätigte eine höhere Tragfähigkeit durch den Verbund zwischen Bogen und


107

Hinterfüllung durch Kernbohrungen. HERZOG [248] stellt eine geringere Exzentrizität der resultierenden Druckkräfte fest, wenn eine Hinterfüllung vorhanden ist. Dies führt zu einer günstigeren Spannungsverteilung und damit ebenfalls zu einer höheren Tragfähigkeit. Grundlage dieser Untersuchung ist allerdings die Annahme eines gleichen E-Moduls bei Bogen und Hinterfüllung. BIENERT [41] und BIENERT et al. [43] befassen sich ebenfalls mit den Auswirkungen der Hinterfüllung auf die Tragfähigkeit. Eine umfangreiche Literaturrecherche zur Berücksichtigung der Hinterfüllung findet sich bei GOCHT [214].

GOCHT [214] hat für den Fall, dass kein Schubverbund zwischen Bogen und Hinterfüllung auftritt ein neues Modell entwickelt. In diesem wird der Bogen mit der Fahrbahnplatte durch Pendelstäbe verbunden. Dadurch wird eine Kopplung mit einer biegesteifen Fahrbahnplatte erreicht und die Tragfähigkeit erhöht, ohne dass die Hinterfüllung tragend mitwirkt.

Abb. 52: Modell nach GOCHT [214] bei schubsteifem Verbund von Hinterfüllung und Bogen (links ohne Kämpferfuge und rechts mit Kämpferfuge)

Abb. 53: Mittragender Querschnitt bei Halbkreisbögen nach GOCHT [214] Auch BRENCICH & COLLA [61] weisen darauf hin, dass durch die Hinterfüllung die Stützlinie verändert wird. Mit dem Hinweis auf die eingestürzte Traversa-Eisenbahnbrücke zwischen Turin und Genua (Abb. 54) belegen sie, dass der geometrische Kämpferbereich nicht zwangsläufig dem statischen Modell entsprechen muss. Vielmehr kann durch die Hinterfüllung, wenn diese über den Kämpfer geführt wird, ein flacher Bogen mit verringerter Spannweite entstehen. Die Lage und Einspannungsbedingungen am Kämpfer hängen also auch von der Hinterfüllung ab. In Abb. 55 wird der Einfluss der Höhe der Hinterfüllung im Scheitel auf die Bogentragfähigkeit nach SMITH, GILBERT & CALLAWAY [507] für einen Reibungswinkel von 60° dargestellt. Die Stabmodelle, unabhängig ob sie eine Hinterfüllung berücksichtigen, dienen in der Regel zur Identifikation von Versagensmechanismen. Für die Untersuchung der Ausbildung eines Mechanismus nimmt HEYMAN [249] folgende Eigenschaften des Mauerwerks an: 1. Keine Zugfestigkeit 2. Scheinbar unendliche hohe Druckfestigkeit 3. Gleitvorgängen zwischen den Steinen finden nicht statt.


108

Vermutlich wurden diese Eigenschaften zum ersten Mal für die Untersuchung des Tragverhaltens von Steinbogenbrücken von COUPLET (1730) aufgestellt (nach WEBER [578]).

Eingestürzter Bereichdes Bogens

Eing

estü

rzte

r Bog

en

Pfeilerbereich

Abb. 54: Traversa Brücke in Italien (oben Draufsicht und unten Ansicht der eingestürzten Brücke nach BRENCICH & COLLA [61])

Trag

fähi

gkei

t

Höhe der Hinterfüllung im Scheitel Abb. 55: Wirkungen der Hinterfüllung auf die Tragfähigkeit Die Wahl des statischen Systems eines Stabmodels für einen Bogen wird in der Regel kontrovers diskutiert. Häufig besagen die Regeln, wie z.B. die DS 805, dass jedes System, welches zu einem Gleichgewicht führt, angewendet werden kann. Auf der anderen Seite werden gelegentlich Systeme vorgegeben (Abb. 56). Dadurch soll z.B. berücksichtigt werden, dass reine Gelenke im Bogen nicht auftreten, wenn sie nicht konstruktiv hergestellt wurden. MODEL gibt an, dass die Schnittkraftänderungen infolge Rissbildung maximal 30 % betragen. Die Ausbildung eines Kämpfergelenkes mit Momentenfreiheit ist basierend auf diesen Unter-suchungen nicht möglich. Auf der anderen Seite geht MODEL davon aus, dass sich Risse über größere Bereiche im Scheitel, Kämpfer oder Viertelspunkt entwickeln. Dies entspricht in der Regel auch der verschmierten Rissmodellierung in FE-Modellen.


109

p Φ

p Φ

Abb. 56: Statische Systeme und Belastungen für Bogenbrücken nach DS 805 Historische und aktuelle Forschungen haben aber gezeigt, dass historische Bogenbauwerke im Grenzzustand der Tragfähigkeit gerade nicht längere gerissene Bereiche aufweisen, sondern in der Regel einen großen Riss im Bereich der maximalen Belastung haben. In diesem Bereich treten größere Rotationen auf, als dies eine linear-elastische Berechnung wider-spiegelt. Abb. 57 belegt dies (entnommen JAGFELD und BARTHEL [277]). Auch BRENCICH & GAMBAROTTA [65] bestätigen diese Aussage durch ein Bild eines Gelenkes am Bogen der Brücke über den Scrivia in Alessandria/Italien. Mauerwerk unter Normalkraftbelastung. N N

Angenommenes Rissbild im Mauerwerk unter kombinierter Momenten- und Normalkraftbelastung.

Tatsächlich beobachtetes Rissbild im Mauerwerk unter kombinierter Momenten- und Normalkraftbelastung im Bruchzustand. Abb. 57: Gelenkbildung in Mauerwerk nach JAGFELD und BARTHEL [277] Eine zusätzliche Erweiterung der Stabmodelle kann durch die Berücksichtigung der Stirn-wände im Modell erfolgen. VOIGTLÄNDER [567] gibt eine Spannungsverringerung im Bogen bei Stirnwänden im Vergleich zu Bögen ohne Stirnwände von 80 % an. Ergebnisse aus Ver-suchen bestätigen eine Verringerung im Kämpferbereich, nicht aber im Scheitel. Dort wirkt die Stirnvormauerung getrennt vom Bogen. Ein vollständiger Verbund ist nicht vorhanden. TRIEBECKER entwickelte ein Verfahren zur Berücksichtigung der Mitwirkung der Stirnvor-mauerung. Dabei wird ein starr eingespannter Bogen durch einen zusätzlichen Träger ausge-steift. Triebecker geht von einem kontinuierlichen Spannungsverlauf und rechteckigen Querschnittsformen aus. Auch SCHREYER benennt 1960 die positive Wirkung der Stirnvormauerung [484].


110

Besteht keine durchgehende Hinterfüllung im Bogen, so kann diese trotzdem positiv im Modell berücksichtigt werden. Nach BRAUNE wirken auch nichtstetige Hinterfüllungen von Bögen mit, so z.B. Queraufbauten und Spargewölbe [60]. Über die Mitwirkung des massiven Aufbaus berichtet auch FISCHER [184]. Mit einem von MOLINS & ROMA [366] entwickelten Rechenverfahren wurden bei Annahme des Bogens ohne Hinterfüllung beim Bogen 15 kN Bruchlast und bei Berücksichtigung der Hinterfüllung beim Bogen 16 kN Bruchlast ermittelt. Bei Annahme der Mitwirkung der Stirnwände konnte eine Tragfähigkeit von 46 kN für den Bogen und 48 kN für den Bogen

ermittelt werden. Jedoch erst die Berücksichtigung der Steifigkeit der Zugelemente führt zu realitätsnahen Ergebnissen mit 60 kN für den Bogen und 91 kN für den Bogen . Tab. 32: Rechenergebnisse von MOLINS & ROMA [366] Bogen Bogen Gemessene Bruchlast 60 kN 95 kN Rechnerische Bruchlast Bogen und Hinterfüllung beim Bogen 2 15 kN 16,1 kN Bogen und Stirnvormauerung 46 kN 48 kN Bogen und Stirnvormauerung und Berücksichtigung der Zugstäbe

60 kN 91 kN

Zu ähnlichen Ergebnissen kommen auch CAVICCHI & GAMBROTTA [88]. Sie untersuchen den Einfluss der Hinterfüllung auf die Tragfähigkeit von Bogenbrücken. Dabei rechneten sie unter anderem die bei einem Versuch in Großbritannien geprüfte Prestwood Brücke nach. Diese Brücke besaß eine Spannweite von 6,55 m, einen Stich von 1,428 m und eine Dicke im Scheitel von 0,22 m. Die Dicke der Hinterfüllung im Scheitel betrug 0,165 m. Die Belastung wurde am ¼ Punkt über die gesamt Breite der Brücke von 3,0 m eingetragen. Die Brücke versagte ebenfalls durch Bildung eines Vier-Gelenk-Bogens. Die Bruchlast betrug 228 kN. Die Druckfestigkeit des Mauerwerks wurde mit 4,0 MPa angenommen. Eine Berechnung mit dem von CAVICCHI & GAMBROTTA [88] vorgestellten Verfahren erbrachte eine Tragfähigkeit des Bogens ohne Hinterfüllung von 46 kN. Damit beträgt die Tragfähigkeit des Bogens allein etwa 1/5. Bei einem zweiten Beispiel berechneten CAVICCHI & GAMBROTTA [88] Tragfähigkeitswerte für den Bogen allein von ½ bis 1/3 der Gesamttragfähigkeit mit Hinterfüllung.

WEBER [578] geht davon aus, dass durch die Mitwirkung einer Hinterfüllung und von Gleisen bei Eisenbahnbrücken im Vergleich zum reinen Bogen eine Erhöhung um den Faktor 1,5 vorhanden ist. WEBER [578] beziffert sogar die Anteile der Einzelnen Bauelemente am Lastabtrag im Bruchzustand an einer einfeldrigen Gewölbebrücke (Abb. 58). Die Deutsche Reichsbahn erlaubte eine pauschale Erhöhung der rechnerischen Tragfähigkeit um 20 % bei Einbau einer Fahrbahnplatte [132].


111

Gewölbe42%

Hinterfüllung17%

Stirnwände24%

Gehwegkappen4%

Schotterbett10%

Versuchsaufbau3%

Schienen1%

Abb. 58: Anteil der einzelnen Elemente am Tragverhalten der geprüften Bogenbrücken Schauenstein nach WEBER [578] Die Anwendung von Hinterfüllungen, Bogenhintermauerungen und Stirnwänden führte bei Tragfähigkeitsversuchen nach ROYLES & HANDRY [457] zu einer Erhöhung der Tragfähigkeit im Vergleich zum reinen Bogen um den Faktor 2 bis 12. BECKE [25] gibt eine maximale Erhöhung der rechnerischen Tragfähigkeit durch Hinterfüllung um den Faktor 3 an. Aller-dings muss hierbei in wirksame und unwirksame Hinterfüllung unterschieden werden. Die Einteilung hängt von der Steifigkeit der Hinterfüllung ab. Hinterfüllungen mit einer Steifig-keit kleiner einem hundertstel der Bogensteifigkeit gelten als unwirksam. Diese Faktoren belegen sehr eindrucksvoll, dass einfache Stabmodelle ohne Berücksichtigung von Hinterfüllungen und Stirnwänden zu einer Unterschätzung der Tragfähigkeit der Bogen-brücken führen. Eine Möglichkeit, diese zusätzlichen Tragreserven rechnerisch zu erschließen, besteht in der Modellierung von Verbundquerschnitten.

3.3.2 Verbundquerschnitte Eine Einführung in die Berechnung von Verbundquerschnitten gibt HANNAWALD [234]. Bei den Verbundquerschnitten muss man zunächst in Querschnitte mit festem und nach-giebigem Verbund unterscheiden. Sind Relativverschiebungen innerhalb einer Kontaktfuge ausgeschlossen, so besteht fester Verbund. Die Eigenschaften des Gesamtquerschnittes sind dann von den geometrischen Werten und den Steifigkeiten der Einzelquerschnitte des Gesamtquerschnittes abhängig. Vereinfacht kann man, wie z.B. von BECKE [25] vorge-schlagen, die Bogendicke um einen bestimmten Faktor erhöhen, um die Mitwirkung der Hinterfüllung für den Bogen als Verbundquerschnitt zu modellieren. Allerdings ist die Höhe der Hinterfüllung veränderlich, so dass die Bogendicke dann über die Längsachse variabel sein müsste.


112

Bogenquerschnitt

Zusatzquerschnitt aus Hinterfüllung

Breite b

Höh

e H

inte

r-fü

llung

h2

Bog

en-

höhe

h1

1/2

h 1a

A E1 1,

A E2 2,

Abb. 59: Verbundquerschnitt ohne Nachgiebigkeit (keine Relativverschiebungen zwischen Bogen und Hinterfüllung)

Formeln für die Berechnung des ideellen Querschnittes sind u.a. aus dem Holzbau bekannt. So kann die Lage der Spannungsnulllinie wie folgt ermittelt werden (Bezeichnungen siehe Abb. 59):

( ) ( )( )∑

+⋅⋅=iEAhhEAa 212

21

Bei gleicher Höhe von Bogen und Hinterfüllung vereinfacht sich die Formel zu:

21

21 EE

Eha+

⋅=

Die effektive Biegesteifigkeit ergibt sich zu:

∑ ⋅+= ))()(()( 2aEAEIEI iieff

)(12

)()( 22

2111

31

21 aEhEhbhbEEEI eff ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+= .

Treten in der Kontaktfuge Relativverschiebungen auf, so verringert sich die Mitwirkung der Hinterfüllung. Die bisher gezeigten Stabmodelle berücksichtigten die Hinterfüllung durch Federn und Stäbe oder verzichten auf die Hinterfüllung. Eine Verschiebung zwischen Hinterfüllung und Gewölberücken wird in der Realität aber auftreten. Der Umfang der möglichen Verschiebungen hängt von der Oberflächenform des Rückens, dem verwendeten Material und den Normalspannungen ab. Vereinfacht sollen diese Faktoren durch einen Nachgiebigkeitsfaktor γ berücksichtigt werden.

Er bestimmt sich wie folgt:

1

11

γ =+ k

mit 1 11 2

1

( )π ⋅ ⋅ ⋅=⋅

E A skK l

mit

(EA)2 Dehnsteifigkeit des Querschnittsteiles 2, das an das Querschnittsteil 1 nachgiebig angeschlossen ist,

K1/s1 Fugensteifigkeit der Fuge über die das Querschnittsteil 1 an des Querschnittsteil 2 nachgiebig angeschlossen ist,

s1 Abstand der fiktiv in eine Reihe geschobenen Verbindungsmittel über die das Querschnittsteil 1 an das Querschnittsteil 2 nachgiebig angeschlossen ist,

l Abstand der Momentennullpunkte (Stützweite bei Einfeldträgern, 0,8 × li für Durchlaufträger, 2 × lk für Kragträger)


113

Die Lage der Spannungsnulllinie bei Annahme gleicher Höhe von Bogen und Hinterfüllung und bei Berücksichtigung eines Nachgiebigkeitsfaktors kann wie folgt ermittelt werden (Bezeichnungen siehe Abb. 59):

21

21 EE

Eha⋅+

⋅⋅=γ

γ

Die effektive Biegesteifigkeit erhält man dann ebenfalls in Abhängigkeit vom Nachgiebigkeitsfaktor:

))((12

)()( 222

211

31

21 ahEaEhbhbEEEI eff −⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+= γ .

Die effektive Normalkraftsteifigkeit erhält man zu: 2211)( AEAEEA eff ⋅⋅+⋅= γ

Der Verlauf der Gewölbelinie verändert sich durch die Berücksichtigung der Hinterfüllung und kann sogar aus dem Bogen selbst heraustreten (Abb. 60). Dies stimmt sehr gut überein mit den Untersuchungen z.B. von GOCHT.

Systemlinie mit Überhöhung im Viertelsbereich und Abflachung im ScheitelSystemlinie mit konstantem VerbundquerschnittUrsprüngliche Systemlinie

Abb. 60: Verlauf der Gewölbesystemlinie nach BECKE [25] Schnittgrößen im Bogenquerschnitt:

( )( )

( )( )

( )( )effeffi EI

aEAMEE

ENEI

aEAMEA

EANN ⋅⋅⋅++

⋅=⋅⋅⋅+⋅=∑

1

21

1111 γγ

( )( )effEI

EIMM 11 ⋅=

Die Berücksichtigung der Hinterfüllung bei der Modellierung als Stabverbundsystem ist eine Möglichkeit. Das Verfahren der Finiten Elemente bietet aber neben der Berücksichtigung des nachgiebigen Verbundes auch die Möglichkeit, weitere Effekte des Tragverhaltens von Bogenbrücken zu erfassen, wie z.B. das richtungsabhängige nichtlineare Tragverhalten von Mauerwerk.


114

3.4 Finite Elemente Modelle Für die numerische Simulation des nichtlinearen Verhaltens von Mauerwerk stehen bereits zahlreiche programmtechnische Umsetzungen zur Verfügung. Während SEIM [500], SEIM & SCHWEIZERHOF [501], DIALER [135], LOURENÇO [320] (DIANA), MOJSILOVIĆ [365], BAKER [19], CHOO et al. [98], LOO [317] (LSARCH), PARIKH & PATWARDHAN [407], HUSTER [264] und SCHLEGEL [477], [479] eigene Programme bzw. Zusätze für marktübliche FE-Programme (ANSYS) entwickelt haben, verwenden andere Autoren reine marktübliche Programmpakete. Abb. 61 zeigt verschiedene Fließflächen für das Versagen von Mauerwerk in verschiedenen Programmen. JAGFELD [278] (Mischverfahren), PROSKE [424] und BRENCICH et al. [62] haben das Programm ANSYS mit den Grenzflächen von WILLAM-WARNKE [594] für die Berechnung von Bogenbrücken bzw. Gewölben angewendet. PURTAK [430], [431], [546] nutzt das DRUCKER-PRAGER Modell für die Berechnung von Mauerwerksbogenbrücken. Für repräsentative Mauerwerksmodelle verwenden WEIGERT [581] und WEDLER [579] Kontaktelemente in ANSYS. WITZANY & JÄGER [596], FRUNZIO & MONACO [198], TRAUTZ [548], HÄNEL & REINTJES [233], DROESE & BODENDIEK [158] und MELBOURNE & TAO [349] haben ebenfalls ANSYS für Bogenbrückenberechnungen angewendet, wobei letztere Rissabbildungen variiert haben (verschmiert, diskret, gemischt). MILDNER [359] verwendete die Programme SOFISTIK und ANTRAS für Gewölbebrücken. Das Programm MAFEA im UIC-Kodex [553] arbeitet mit nichtlinearen Stabelementen, wie z.B. auch BOTHE et al. [57] mit SOFISTIK und MÖLLER et al. [370] mit STATRA. Mit SOFISTIK arbeitete u.a. auch HERRBRUCH [247]. Andere Autoren nutzten das FE-Modell nur, um komplexe Geometrien zu berücksichtigen und rechnen linearelastisch (REINTJES [446] und MILDNER & MILDNER [360]). Einige Autoren geben Risse im Mauerwerksbogen vor (ORLANDO et al. [399]). SCHUEREMANS [490] und CERVENKA [91] verwenden das Programm ATENA für Mauerwerksberechnungen. SLOWIK, FIEDLER & KAPPHAHN [505] nutzen ATENA für die Berechnung von Bogenbrücken. BRENCICH & COLLA [61], BRENCICH & DE FRANCESCO [63] und HEALEY & COUNSELL [244] verwenden das Programm LUSAS. Ein zweites Beispiel für Bogenmauerwerksberechnungen mit LUSAS findet sich in [323]. ROTS & VAN ZIJL haben die Anwendung des niederländischen FE-Programmes DIANA zur Berechnung von Mauerwerks-strukturen gezeigt [456]. STAVROULI & STAVROULAKIS [521] und MURA ET AL. [379] verwendeten das Programm MARC zur rechnerischen Untersuchung von historischen Bogenbrücken. Ein weiteres FE-Programm kam bei AOKI ET AL. [9] zum Einsatz. Überlegungen zur Effektivität verschmierter oder diskreter Rissmodellierung finden sich bei AOKI & SABIA [11]. Strategien zur Umgehung des erhöhten Rechenaufwandes bei Kontaktelementen und Veränderung der Kontaktbedingungen für die Mauerwerks-modellierung finden sich ebenfalls bei AOKI & SATO [12]. Andere Autoren weisen darauf hin, dass das Verfahren der Finiten-Elemente nicht für die numerische Abbildung von Mauerwerk geeignet ist, sondern verwenden so genannte Diskrete Elemente Modelle (CHIOSTRINIE et al. [97], DIALER [134]). Prinzipielle Probleme sind bekannt (CHIOSTRINI [97]). Ein weiterer Ansatz sind so genannte X-FEM. Mit der Anwendung der X-FEM besteht die Möglichkeit, Risssimulationen ohne Neuvernetzung auch in 3 D Modelle durchzuführen. Die Finiten Elemente werden mit zusätzlichen Funktionen, z.B. Sprungfunktionen, ausgelegt [200]. BLOCK [47] geht ebenfalls auf die Grenzen der FE-Modellierung von Mauerwerksgewölbebrücken ein.


115

Beispiele für Versagenshüllflächen von Mauerwerk finden sich in Abb. 61. Eine weitere Versagenshüllfläche stammt von MOJSILOVIC [365] und PAGE [405]. Der Nachteil komplexer mechanischer Modellierungen des Mauerwerks ist in der großen Anzahl benötigter Eingangsparameter zu sehen. So werden für die Berechnung nach SCHLEGEL & RAUTENSTRAUCH [477] 19 Eingangsparameter benötigt, wie z.B. Zugfestigkeit senkrecht und quer zur Lagerfuge im Vorbruch und Nachbruchbereich, Haftscherfestigkeiten und Restreibungswinkel. PROSKE [424] hat an einer Brücke über 160 m Bohrkerne gewonnen und gezeigt, dass die Bestimmung der Materialparameter durch den Gewinnungsprozess gestört ist (Bohrkühlwasser, Sägevorgänge). Zwar besteht die Möglichkeit, die Bohrkerndaten mit zu verwenden, aber Mörtelprobekörper oder Haftzugprobekörper sind nur schwer zu gewinnen. Auch der Nachbau von so genannten repräsentativen Mauerwerkskörpern mit Steinen aus dem Bauwerk und neuem Mörtel mit Eigenschaften des historischen Mörtels ist nur schwer realisierbar. Letztendlich muss ein Kompromiss gefunden werden zwischen Umfang der Modellierung und den vorliegenden Daten. Im vorliegenden Fall wurde deshalb wieder auf das Modell von WILLAM-WARNKE zurückgegriffen, da hierfür zwei Eingangsgrößen ausreichend sind.

σx

σy

Versagenskriterien für Mauerwerk nach GANZ (entnommen SEIM [500])

σ

σy

σx

Versagenskriterien für Mauerwerk nach DHANASEKAR [500]


116

σy

σx

Versagenskriterien nach LOURENÇO [320]

σy

σx

Versagenskriterien nach SEIM [500] Abb. 61: Fließflächen für Mauerwerk nach verschiedenen Autoren Das Stoffgesetz von WILLAM-WARNKE mit seiner Implementierung in ANSYS liefert in der Regel deutlich auf der sicheren Seite liegende Ergebnisse. Überschreitet die Spannung innerhalb eines Elementes die zulässige Spannung der Grenzfläche, so wird die Steifigkeit dieses Elementes bei dem Modell von WILLAM-WARNKE reduziert. Die Grenzfläche wird aus der einaxialen Zug- und Druckfestigkeit des Materials berechnet. Erfahrungen zeigen jedoch, dass die Umlagerungskapazität in der ANSYS-Version begrenzt ist. Die Universität Hamburg-Harburg gab einen allgemeinen Erhöhungsfaktor von ca. 1,4 an. Da in der Regel ein schubsteifer Verbund zwischen Bogen und Hinterfüllung modelliert wird, der zu einer Tragfähigkeitserhöhung führt und gleichzeitig das Modell von WILLAM-WARNKE zu konservativ rechnet, können die Ergebnisse durchaus realitätsnah werden. Tab. 33 zeigt einige Beispiele für FE-Bogenbrückenmodelle (überwiegend mit dem FE-Programm ANSYS erstellt).


117

Tab. 33: Beispiele von FE-Modellierungen von Bogenbrücken

Bogenbrücke (ANSYS) nach PROSKE [424]

Bogenbrücke (ANSYS)

Bogenbrücke (ANSYS)

Bogenbrücke (ANSYS) nach FRENZEL [195]

Göltzschtalbrücke (ANSYS) nach SCHLEGEL & WILL [478]


118

Verde High Bridge (LUSAS) nach BRENCICH & COLLA [61]

Bahrmühlenviadukt (ANSYS) nach REINTJES [446]

Versuchsnachrechnung (ANSYS) nach PURTAK [431]

3.5 Diskrete Elemente Modelle Berechnungen mit dem Verfahren der Finiten Elemente zeigen insbesondere bei den großen Rissen im Mauerwerk im Grenzzustand der Tragfähigkeit oft Iterationsprobleme. Es bietet sich in solchen Fällen an, auf das Verfahren der Diskreten Elemente zurückzugreifen. Das Verfahren der Diskreten Elemente Methode ist ein Ansatz zur Simulation von Bewegungsprozessen von endlich vielen, beliebig geformten Elementen unter Berück-sichtigung deren Wechselwirkungen. Die DEM unterscheidet sich von der FEM dadurch, dass kein Kontinuum mit fest miteinander verbundenen Elementen abgebildet wird. Bei der DEM dürften sich die einzelnen Elemente frei im Raum bewegen, wobei Kontakte zwischen den Elementen aber berücksichtigt werden müssen. Es werden sowohl die statischen, als auch die kinematischen Randbedingungen erfüllt. Die statischen Randbedingungen beinhalten im Einzelnen: • Stoffgesetze der diskreten Elemente, • Stoffgesetze der Kontaktdiskontinuitäten, • äußere Felder. (NEUBERG [387]) Die Stoffgesetze der diskreten Elemente beschreiben deren Verformung unter äußeren Einwirkungen. Die Stoffgesetze der Kontaktdiskontinuitäten beschreiben die Wechselwirkungen der einzelnen Elemente untereinander. Die äußeren Felder beschreiben Kräfte, die auf alle Elemente wirken, wie z.B. das Gravitationsfeld. Die kinematischen Randbedingungen beinhalten das Newtonsche Axiom und dessen Übertragung auf die Rotationsbewegung. Die gesamte Berechnung erfolgt durch eine abwechselnde Ermittlung


119

der statischen und dynamischen Beziehungen über eine konkrete Zeit. Die definierte Zeit bzw. der Zeitschritt erlaubt auch die Berücksichtigung sich zeitlich verändernder Felder. Statische Lösungen sind als Sonderfall möglich. (NEUBERG [387]) CHIOSTRINIE et al. [97], BIĆANIĆ, STIRLING & PEARCE [38], [39] und DIALER [134] haben DEM für die Berechnung von Mauerwerks-konstruktionen verwendet. KEIP & KONIETZKY [288] haben für dynamische Mauerwerks-berechnungen ebenfalls DEM genutzt (Programme UDEC und 3DEC). MAUNDER [342] OWEN et al. [404] ROBERTI & CALVETTI [451], LEMOS [309] und SCHLEGEL [476] haben Driskrete Elemente Verfahren für die Berechnung von Mauerwerksbogenbrücken verwendet. BROOKES & COLLINGS [67] und JACKSON [271] (Abb. 62) haben das Programm ELFEN für die Nachrechnung von Bogenbrücken eingesetzt. Auch MAMAGHANI, AYDAN & KAJIKAWA [329] verwenden DEM für die Nachrechnung von Mauerwerk.

nach JACKSON [271] (ELFEN)

Abb. 62: Diskrete Elemente Berechnung einer Bogenbrücke

3.6 Tragfähigkeitsversuche Über erste Versuche des Österreichisches Ingenieur- und Architektenvereins an bewehrten und unbewehrten Betonbogenbrücken mit einer Spannweite von maximal 23 m bis zum Jahre 1895 berichtet HUERTA [259]. In Deutschland wurde nach WEBER [578] ein erster Trag-fähigkeitsversuch 1908 an einer Dreigelenkstrassengewölbebrücke aus Stampfbeton durch-geführt. Es handelte sich um eine 1902 errichtete Brücke auf einer Industrieausstellung in Düsseldorf. Die Brücke war für eine 230 kN Dampfwalze und für Menschengedränge bemessen (4 kN/m2). Die Brücke besaß eine Spannweite von 28 m und einen Stich von knapp 2 m. Die Gewölbedicken betrugen an den Kämpfern 0,75 m, an den Viertelspunkten 0,85 m und am Scheitel 0,65 m. Die Hinterfüllung wurde für den Versuch entfernt. Die maximal beim Versuch aufbringbare Last von 4.230 kN wurde voll ausgeschöpft. Unter dieser Last ließ man die Brücke zwei Tage stehen, sie versage jedoch nicht. Das Verhältnis von rechnerischer Last zu Versuchslast betrug 18,4.

In den USA wurden 1935 Versuche an Stahlbetonbögen durchgeführt (JÄGER [273]). 1936 führten PIPPARD und seine Mitarbeiter Tests an Bogenbrückenmodellen durch. Dabei erkannten sie, dass die Bögen Gelenke ausbildeten und demzufolge die linearelastischen Berechnungsverfahren erweitert werden müssen, da sie solche Gelenke nicht berücksichtigen können. PIPPARD & CHITTY führten ein Verfahren ein, welches sie Instabilitätsanalyse nannten. Die bekannten Werke von HEYMAN, der die plastischen Verfahren später zunehmend propagierte, basieren auf diesen Arbeiten. (DAS [124])


120

Ende der 80er, Anfang der 90er Jahre des 20. Jahrhunderts wurden in Großbritannien etwa zehn Steinbogenbrücken (acht Steinbogenbrücken und zwei Modelle) geprüft ([105], DAS [124]). Einige der Versuche wurden im Bolton Laboratory durchgeführt [450]. Diese und weitere der im Auftrag des Transport and Road Research Laboratory (TRRL, später TRL) durchgeführten Versuche boten ausreichend Material für Nachrechnungen. Insbesondere die letztgenannten Versuche wurden an realen Brückenbauwerken durchgeführt. Die Mehrzahl der Brücken versagte durch Bildung eines Vier-Gelenk-Mechanismus. Wenige Brücken versagten durch Knicken oder durch Versagen der Druckfestigkeit des Natursteinmaterials. Weitere Angaben zu den Steinbogenbrücken finden sich in Tab. 34.

In diesem Zusammenhang sei auch auf die Auswertung der britannischen Versuche in ROYLES & HANDRY [457] hingewiesen. Sie klassifizieren die Versuche hinsichtlich:

Druckbogen allein Druckbogen mit Füllmaterial Druckbogen mit Füllmaterial und Bogenhintermauerung Druckbogen mit Füllmaterial, Bogenhintermauerung und Stirnwänden.

Bei den Tests wurde festgestellt, dass insbesondere durch die Lastverteilung infolge der Hinterfüllung eine Laststeigerung des Bogens erzielt wurde, da die für den Bogen so ungünstigen Einzellasten nicht mehr auftraten. Einen weiteren Anstieg der Tragfähigkeit bewirkten Bogenhintermauerungen, also steifere Hinterfüllungen und Stirnwände. Der traglaststeigernde Einfluss dieser konstruktiven Elemente wuchs dabei mit abnehmendem Verhältnis von Spannweite zu Bogenhöhe. Die Anwendung von Hinterfüllung, Bogenhintermauerungen und Stirnwänden führte zu einer Erhöhung der Tragfähigkeit im Vergleich zum reinen Bogen um den Faktor 2 bis 12 ROYLES & HANDRY [457].

Tab. 34: Eigenschaften der geprüften Gewölbebrücken [105], [450] Brücke Spannweite in m Stich in m Bogendicke in mm Breite in m Schiefe in Grad Bridgemil 18,30 2,85 711 8,3 0 Bargower 10,36 5,18 588 8,68 16 Preston 5,18 1,64 360 8,7 17 Prestwood 6,55 1,43 220 3,6 0 Torksey 4,90 1,15 343 7,8 0 Shinafoot 6,16 1,19 542 7,03 0 Strathmashie 9,42 2,99 600 5,81 0 Barlae 9,86 1,69 450 9,8 29 Bundee 4,00 2,00 250 6,0 0 Bolton 6,00 1,00 220 6,0 0 Die Bundesbahn prüfte 1989 in Schauenstein (Oberfranken) die Tragfähigkeit einer eingleisigen Natursteinbogenbrücke. Die Versuche an der Eisenbahnbrücke Schauenstein werden ausführlich bei WEBER [578] vorgestellt und bei HOCH & SCHMITT [251] erwähnt. Bei der Brücke selbst handelt es sich um eine Brücke aus Stampfbeton und einer Haustein-Verkleidung auf der 1976 stillgelegten Stecke Selbitz-Helmbrechts. Die Brücke, die 1919 erbaut wurde, hatte eine Spannweite von 14,0 m und eine lichte Pfeilerhöhe von 4,20 m. Die Breite des Gewölbes betrug 3,65 m. Das Gewölbe hatte im Scheitel eine Höhe von 0,75 m und im Viertelspunkt eine Höhe von 0,87 m. Die Stirnwände besaßen eine Höhe von 0,83 m. Die Kennlinie des Gewölbes folgte sowohl am Rücken als auch an der Leibung einem Korbbogen (3 bzw. 5 polyzentrische Kreislinienstücke). WEBER [578]


121

Die Einzellast wurde auf der Fahrbahnplatte in einem Viertelspunkt über eine Stahlbeton-traverse eingetragen. Die Brücke widerstand einer Belastung von 3.840 kN. Bei dieser Last musste der Versuch abgebrochen werden, da die Tragfähigkeit der Erdanker, die als Rück-verankerung der Stahlbetontraverse verwendet wurden, erschöpft war. Als Ergebnis konnte jedoch festgestellt werden, dass die Brücke das Stadium eines Dreigelenkbogens übersprang und sofort in den Viergelenkmechanismus überging. Das Gewölbe zeigte eine horizontale Verformung von 4,7 mm und eine vertikale Verformung von 9,0 mm unter dem Lastein-leitungspunkt. Auf der leerseitigen Gewölbeseite wurden eine Anhebung von 0,1 mm und eine Horizontalverschiebung um 3,0 mm gemessen. Ergänzend sei angemerkt, dass bis zu 30 % der Bruchlast die Stirnwände in direkter Verbindung mit dem Gewölbe mitwirkten. Die Gleise, die auf der Brücke lagen, beteiligten sich an der Lastabtragung mit einer Normalkraft von bis zu ca. -140 kN. WEBER [578] Im nächsten Schritt wurden das Gleis und die Hinterfüllung an der leerseitigen Gewölbeseite ausgebaut. Bei einer Bruchlast von 3.450 kN war die Bildung eines Viergelenkmechanismus abgeschlossen. Der Last wurde jedoch noch einmal zurückgefahren, wobei sich die ursprüngliche Gewölbeform wieder einstellte. Alle Bruchfugen schlossen sich. Eine erneute Belastung bis zu 2.398 kN brachte die Brücke dann zum Versagen. WEBER [578] ROCA & MOLLINS [453] prüften zwei Brücken mit einer Spannweite von 3,2 m und einem Stich von 0,65 bzw. 1,6 m. Die Brücken wurden in den Viertelspunkten belastet. Detail-informationen zu den Brücken finden sich in Tab. 35. Die Brücken versagten bei einer Einzellast von jeweils 60 bzw. 95 kN. Beide Brücken versagten durch Bildung eines Vier-Gelenk-Systems. Zwei Gelenke bildeten sich bereits bei einer sehr geringen Last im Bogen: Ein Gelenk direkt unter der Last und das zweite Gelenk im nahe gelegenen Kämpfer. Bei 60 bis 75 % der Bruchlast löste sich die Stirnwand vom Bogen. Das dritte Gelenk im Scheitel begann sich ab 80-90 % der Bruchlast zu bilden. Die Bildung des vierten Gelenkes im von der Last abgewandten Scheitel führte zum Versagen des Bogens. Beim flachen Bogen wurde eine vertikale Verschiebung im Scheitel von 4,5 cm erreicht und beim Bogen 2 wurde der Versuch bei einer Verschiebung von 2,0 cm abgebrochen. Über Versuche an einer Mauerwerksbogenbrücke ohne Hinterfüllung im Labor in den Niederlanden berichtet VERMELTFOORT [563]. Aktuell finden Versuche in Dresden an der Technischen Universität statt (Abb. 63). Die Versuche wurden von GEIßLER und PURTAK durchgeführt. PURTAK entwickelt ebenfalls ein Verfahren zur Nachrechnung von Bogenbrücken.


122

Tab. 35: Eigenschaften der von ROCA & MOLLINS [453] geprüften Gewölbebrücken Brücke Brücke Spannweite 3,20 m 3,20 m Stich 0,65 m 1,60 m Gesamtlänge 5,20 m 5,20 m Gesamthöhe 0,95 m 2,15 m Breite 1,00 m 1,00 m Bogendicke 0,14 m 0,14 m Dicke Stirnvormauerung 0,14 m 0,14 m Hinterfüllungshöhe im Scheitel 0,10 m 0,10 m Maximale Hinterfüllungshöhe 0,78 m 1,17 m Anzahl Zugstäbe (Horizontale Festhaltung) 6 8 Belastung im ¼ Punkt ¼ Punkt Steindruckfestigkeit (längs) 56,8 MPa 56,8 MPa E-Modul (längs) 12.750 MPa 12.750 MPa Steindruckfestigkeit (quer) 51,0 MPa 51,0 MPa E-Modul (quer) 10.450 MPa 10.450 MPa Mörteldruckfestigkeit (40 × 40 × 80 mm) 8,34 MPa 8,34 MPa Mörtelbiegezugfestigkeit (40 × 40 × 160 mm) 2,68 MPa 2,68 MPa Mörtel-E-Modul 780 MPa 780 MPa Kontaktfuge Hinterfüllung Reibungsbeiwert 0,33-0,36 0,33-0,36 Mauerwerkdruckfestigkeit 21,0 14,0 Wichte Hinterfüllung 18 kN/m3 18 kN/m3


123

Abb. 63: Versuche von PURTAK & GEIßLER in Dresden im Juli 2005

3.7 Vergleich Einen Vergleich zwischen experimentell bestimmten Bruchlasten und üblichen Programmen zur Berechnung von Bogenbrücken erlauben sowohl Tab. 36 als auch die Abb. 64. Teilweise wurden Berechnungsverfahren auch an anderen Programmen kalibriert. So wurde das FILEV Verfahren mit dem Programm RING geprüft. Die Übereinstimmung ist sehr gut, wie Tab. 37 und Abb. 65 zeigen. Im Folgenden werden die Programme kurz vorgestellt. Das Programm ARCHIE wurde ursprünglich 1983 an der Universität Dundee entwickelt. Es basiert zu wesentlichen Teilen auf Arbeiten von HEYMAN. Zusätzlich aber kann es z.B. horizontalen Erddruck bei der Berechnung berücksichtigen. ARCHIE berechnet zunächst die Lage der Gelenke unter Eigen- und Verkehrslast. Anschließend wird die Stützlinie ermittelt. ARCHIE berechnet eine untere Schranke der Tragfähigkeit. Nachteilig sind: • keine Angaben von Verformungen, • mehrschalige Bögen können nicht berücksichtigt werden, • Versagen wird immer durch Viergelenkbogenmechanismus beschrieben, • mehrfeldrige Bögen können nicht berücksichtigt werden.


124

Betonhinterfüllungen, Aussteifungen, Spargewölbe können nicht berücksichtigt werden. (BROOKES & COLLINGS [67]). 1999 wurde das Programm ARCHIE-M von der Firma Obvis Ltd. vorgestellt. Das Programm unterscheidet sich geringfügig von ARCHIE, so z.B. bei Annahmen über die Verteilung des Bodendruckes oder die Verteilung von Einzellasten in Längsrichtung. (BROOKES & COLLINGS [67]). Eine Probeversion ist unter http://www.obvis.com/ erhältlich. Das Programm RING wurde seit Beginn der 90er Jahre am Bolton Institute und an der Universität Sheffield entwickelt. Die Berechnung der Tragfähigkeit im Programm basiert ebenso wie im Programm ARCHIE auf der Entwicklung eines Mechanismus. Im Vergleich zum Programm ARCHIE besitzt RING jedoch einige Vorteile. So können mit dem Programm RING mehrschichtige Bögen und Schubversagen berechnet werden. Da aber die gleichen Grundlagen wie bei ARCHIE verwendet werden, gelten auch ähnliche Einschränkungen bei diesem Programm: • keine Angaben von Verformungen, • Knicken wird nicht berücksichtigt, • Betonhinterfüllungen, Aussteifungen, Spargewölbe können nicht berücksichtigt werden. (BROOKES & COLLINGS [67]). Eine Probeversion ist unter http://www.shef.ac.uk/ring/ erhältlich. Das Programm ARCO (Analysis of masonry arches and vaults), welches unter http://civserv.ing.unibs.it/utenti/gelfi/arco.htm heruntergeladen werden kann, sei der Vollständigkeit nur erwähnt. Tab. 36: Tabellarischer Vergleich experimenteller und berechneter Bruchlasten von Bogenbrücken [105], [450] Berechnete Bruchlast mit dem Programm

Experimentelle Bruchlast CTAP ARCHIE MINIPOINT ARCH MAFEA

Bridgemill 310 183 278 245 217 219 Bargower 560 601 336 350 411 403 Preston 210 184 130 181 73 95 Prestwood 22 0 2 7 6 8 Torksey 108 103 91 124 69 91 Shinafoot 250 268 204 295 205 257 Dundee 104 90 23 123 67 96 Bolton 117 41 39 124 43 52 Strathmashie 132 118 142 112 109 120 Barlae 290 232 216 320 182 165


125

0

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 700Experimentelle Bruchlast in kN

Ber

echn

ete

Bru

chla

stin

kNRING

0

100

200

300

400

500

600

700


Ber

echn

ete

Bru

chla

stin

kN

CTAP

0

100

200

300

400

500

600

700


Ber

echn

ete

Bru

chla

stin

kN

ARCHIE

0

100

200

300

400

500

600

700


Ber

echn

ete

Bru

chla

stin

kN

MINIPOINT

0

100

200

300

400

500

600

700


Ber

echn

ete

Bru

chla

stin

kN

ARCH

0

100

200

300

400

500

600

700


Ber

echn

ete

Bru

chla

stin

kN

MAFEA

Abb. 64: Vergleich experimenteller und berechneter Bruchlasten von Bogenbrücken [105], [450]


126

Tab. 37: Tabellarischer Vergleich der Ergebnisse von RING und FILEV Berechnungen (MARTÍN-CARO & MARTÍNEZ [337])

Fall

Spann-weite in m

Stich in m

Bogen-dicke in m

Überschüttung im Scheitel in m

Rechnerische Bruchlast mit FILEV in kN

Rechnerische Bruchlast mit RING in kN

Verhältnisse der rechnerischen Bruchlasten

1 5,0 2,50 0,500 0,5 1541 1525 1,0105 2 5,0 1,25 0,500 0,5 1726 2135 0,8084 3 7,5 3,75 0,750 0,5 2376 2438 0,9746 4 7,5 1,88 0,750 0,5 2662 3175 0,8384 5 7,5 3,75 0,675 0,5 1456 1580 0,9215 6 7,5 1,88 0,675 0,5 1630 2010 0,8109 7 10,0 5,00 0,700 0,5 1165 1393 0,8363 8 12,5 2,50 0,700 0,5 1305 1400 0,9321 9 12,5 6,25 0,750 0,5 1312 1405 0,9338 10 12,5 2,50 0,750 0,5 1666 1790 0,9307 11 12,5 6,25 0,875 0,5 1841 1798 1,0239 12 12,5 2,50 0,875 0,5 2338 2640 0,8856 13 15,0 7,50 0,900 0,5 1928 1890 1,0201 14 15,0 3,00 0,900 0,5 2449 2390 1,0247 15 18,0 9,00 0,900 0,5 1750 1750 1,0000 16 18,0 3,60 0,900 0,5 2046 2000 1,0230 17 20,0 10,00 1,000 0,5 1887 1790 1,0542 18 20,0 4,00 1,000 0,5 2397 2475 0,9685

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Berechnete Bruchlast mit FILEV in kN

Ber

echn

ete

Bru

chla

stm

itR

ING

inkN

Abb. 65: Grafischer Vergleich der Ergebnisse von RING und FILEV Berechnungen (MARTÍN-CARO & MARTÍNEZ [337]) ELFEN ist ein Finite-Elemente/Diskrete-Elemente-Programm, welches auch für die Nach-rechung von Bogenbrücken verwendet wird. Es ermöglicht eine Berechnung des Versagens unabhängig von vorgegebenen Versagensmechanismen. Vorteile sind:


127

• Elastisches und plastisches Verhalten des Mauerwerks können beschrieben werden. Das beinhaltet Knicken und Beulen, Materialzerstörung etc.

• Kontaktelemente beschreiben die Verbindung Mörtel/Steine und können die geringe Zugfestigkeit, Risse, Gleiten und Gelenke abbilden.

• Bewehrung kann berücksichtigt und Auszugsversagen der Bewehrung ermittelt werden. • Explizite Darstellung von Stirnwandtrennung vom Bogen, Mörtelverlust oder lokale

Öffnungen. (BROOKES & COLLINGS [67]) Das Programm ELFEN wird seit 1984 durch die Firma Rockfield Software Limited weiterentwickelt und vertrieben. Die Firma ist eng mit der Universität of Wales in Swansea verbunden. (BROOKES & COLLINGS [67]) Die Ergebnisse der Nachrechnung von Tragfähigkeitsversuchen an Gewölbebrücken sind in Tab. 38 zusammengefasst. Tab. 38: Nachrechnungen mit dem Programm ELFEN [271] Experimentelle

Bruchlast [KN/m]ELFEN Berechnete Bruchlast [KN/m]

Verhältnis Berechnet zu Experimentell

5 m Span TRL Laboratory Arch – Mortar Bonded Brick Rings

121 122 1,01

5 m Span TRL Laboratory Arch – Separated Brick Rings

100 98 0,98

5 m Span Melbourne Arch – Separated Brick Rings

166 189 1,14

5 m Span Melbourne Arch – Mortar Bonded Brick Rings

332 293 0,88

3 m Single Span Melbourne Arch – Mortar Bonded Brick Rings

188 165 0,90

3 m Multispan Melbourne Arch – Mortar Bonded Brick Rings

111 100 0,90

TRRL – 9.5 m Single Span Stone Arch -Strathmarshie Bridge () indicates with mortar softening

270 257 (252) 0,95 (0,93)

Archtec Strengthened Arch – 5 m Span Separated Brick Rings

205 209 1,02

Archtec Strengthened Arch – 5 m Span Separated Brick Rings

224 226 1,01

3.8 Mitwirkende Breite Die bisher vorgestellten Stabmodelle entsprachen einer Reduktion des räumlichen Tragwerks Gewölbe. Die Berücksichtigung der Querverteilung der Lasten (Abb. 66) zeigt jedoch eine geringere Beanspruchung des Tragwerkes, als es eine Stablösung ergibt. Deshalb erfolgt in der Regel eine Berücksichtigung der Lastausbreitung von Einzellasten in die Querrichtung des Tragwerks.


128

Breite bH

öhe

Hin

ter-

füllu

ng h

2

Bog

en-

höhe

h1

1/2

h 1

Breite bm

Breite bS

φ

Lastaus-breitungs-winkel

Abb. 66: Darstellung des Lastausbreitungswinkels, der mitwirkenden Breite am Scheitel und der rechnerischen mitwirkenden Breite nach FRENZEL [195] Für die Ausbreitung der Einzellasten werden in verschiedenen Normen Lastausbreitungs-winkel angegeben (entnommen FRENZEL [195]): • eine ungebundene Auffüllung zu 30 Grad, siehe auch DIN 1055-1, • Aufmauerungen bzw. Aufbetonierungen zu 45 Grad (HASER & KASCHNER [242]), • Mauerwerk zu 30 Grad (DIN 1053-1 1996). Bei üblichen Aufschüttungshöhen sind die Unterschiede aber vernachlässigbar. In der deutschen DIN 1075 und DIN-Fachbericht 101 sind z.Z. keine Angaben zur Lastverteilung in Querrichtung enthalten. Allerdings geben andere Vorschriften Empfehlungen: • TGL 12999 (03/1977): „Nachrechnung bestehender Straßenbrücken“ gültig bis 08/1989 • SBA-Vorschrift 169/89 (09/1989): „Brücken im Verkehrsbau - Nachrechnung von

Straßenbrücken aus Beton und Mauerwerk“ gültig bis 1990 HASER & KASCHNER [242] empfehlen basierend auf diesen genannten Vorschriften: Einspurige Straßenbrücken Zweispurige Straßenbrücken bm = 4 m bm = 7 m bm = 0,25× l bm ≤ b Der größere Wert ist maßgebend Die mitwirkende Breite ist mit der wirklich zur Verfügung stehenden Gewölbebreite abzustimmen. Diese Berücksichtigung kann bei Eisenbahnbrücken durch die Ermittlung der mitwirkenden Plattenbreite gemäß DS 804 geschehen. Dabei ist zu beachten, ob das Bauwerk als überschüttet anzusehen ist (Überschüttungshöhe größer 60 cm – DS 804, Abs. 47). Die


129

Spurbreite beträgt 1,435 m. Bei einer Schotterdicke von 60 cm darf eine Mindestlastaus-breitung von 3,0 m angenommen werden (DS 804, Abs. 47 Bild 10a). Für eine Beispielbrücke ist die Breite im Natursteinbogen einmal für den Scheitel und den Kämpfer im Original-zustand und einmal für den Scheitel nach Einbau einer Fahrbahnplatte dargestellt (Abb. 67).

3 m

Natursteinbogen

Bogenhinterfüllung

45°

0,7 m~ 3 m

0,5 m

Viertelspunkt

3 m

Stahlbetonplatte 0,30 m

Natursteinbogen 0,5 m

Bogenhinterfüllung

Scheitel

3 m

Natursteinbogen

Bogenhinterfüllung

45°

2,4

~ 3,25 m

0,5

Kämpfer

Abb. 67: Berechnung der mitwirkenden Breite an einem Beispiel Die mitwirkende Breite ist bei veränderlicher Aufschüttungshöhe über die Länge eine orts-veränderliche Funktion (Längsachse). Um den dadurch verursachten Rechenaufwand zu verringern, darf in der Regel eine mittlere mitwirkende Breite berücksichtigt werden. Aus der mitwirkenden Breite am Scheitel bS und am Kämpfer bk darf die mittlere Plattenbreite wie folgt berechnet werden (DS 805, Abs. 138):

2sk

mbbb += .

Für die Berücksichtigung von horizontalen Kräften auf die Stirnvormauerung erscheint es ratsam, einen größeren Lastausbreitungswinkel zu verwenden. In Abb. 68 ist das verwendete Modell für eine Beispielbrücke dargestellt.


130

3 m

Natursteinbogen 0,5 m

Bogenhinterfüllung

0,5 m0,7 m

Lastausbreitungswinkel 45°

FH

GS

hH=1,0 m

l= 1 mb=1,0 m

h=0,7 m

Abb. 68: Berücksichtigung der mitwirkenden Breite für die Untersuchung der Stirnwand

Ansicht

21

3

Abb. 69: Vertikalspannungsverteilung σY in kN/m2 Stelle nach FRENZEL [195] Finite-Elemente-Berechnungen zur Beschreibung des dreidimensionalen Tragverhaltens von Bogenbrücken finden sich bei FRENZEL [195] und NAUTIYAL [385].


131

4 Mauerwerksfestigkeit “Numerical models are best suited to problems within a known solution space.“ M.F.M. YOSSEF, Delft 2005

4.1 Mauerwerk Mauerwerk ist ein Mehrkomponenten-Baustoff. Auf Grund der enormen Vielfalt der physikalischen und geometrischen Eigenschaften der Komponenten (Tab. 39) entwickelten sich zahlreiche rechnerische Modelle, die für spezielle Situationen ausgelegt waren. Prinzipiell gibt es für die Modellierung von Mauerwerk verschiedene Ansätze. Diese sind in Abb. 70 dargestellt.

Tab. 39: Einflüsse auf die Mauerwerksfestigkeit nach WENZEL [587]

Steine Mörtel Mauerwerk Bauteil Druckfestigkeit Biegezugfestigkeit Verformungskennwerte Rauhigkeit Oberflächenbearbeitung

Druckfestigkeit Haftverbund mit Stein

Fugendicke Fugenfüllung Hohlraumvolumen Schichtdicke Verband in Wandebene Verband quer zur Wandebene

Abmessungen Schlankheit Lagerungsbedingungen Aussteifungen Verbindung zwischen Bauteilen Richtung der Beanspruchung Exzentrizitäten

Stein

LagerfugeStossfuge

MakroelementVerschmiert,HomogenVerschmierte Fuge

Stein Fuge

Stein Mörtel

Abb. 70: Numerische Mauerwerksmodelle nach MESKOURIS et al. [356]


132

4.1.1 Mauersteine

4.1.1.1 Arten von Gesteinen Gesteine sind statistisch homogene, natürliche Mineralgemenge, die in einem durch geodynamische Prozesse bedingten Verband stehen (HERRBACH [246]). Gesteine werden in der Regel nach ihrer Entstehung in ein so genanntes genetisches System eingeteilt. Dieses System unterscheidet drei Hauptgruppen (Tab. 40): Aus Mineralschmelzen wie Magma und Lava entstehen magmatische Gesteine, aus nach einem Transport abgelagerten Verwitterungs-produkten entstehen durch diagenetische Vorgänge Sedimentgesteine und durch Um-kristallisation unter erhöhtem Druck und Temperatur entstehen metamorphe Gesteine. Tab. 40: Gruppen von Gesteinsarten Hauptgruppe Untergruppe Gesteinsart (Beispiel) Magmatische Gesteine (Magmatite) Plutonite (Tiefengesteine) Granit Vulkanite (Ergussgesteine) Basanit Ganggesteine Gabbro Sedimentgesteine (Sedimentite) Klastite Sandstein Chemische Sedimente Kalkstein Biogene Sedimente Kieselschiefer Methamorphe Gesteine (Metamorphite) Glimmerschiefer Allerdings gelingt durch die Einordnung der Gesteine gemäß ihrer Genese keine ausreichende Klassifizierung (BÖRNER & HILL [55]). Weitere Unterscheidungsmerkmale wie Farben, Gefüge oder technische Eigenschaften werden verwendet, um so genannte Varietäten zu bestimmen. In BÖRNER [209] oder auch PESCHEL [412] werden diese Unterschiede deutlich. Eigenschaften und mögliche Anwendungen von Natursteinen werden in PESCHEL [412], DIENEMANN und BURRE [136], GÄBERT et al. [202] und SCHUBERT [488] vorgestellt. Eine kurze Zusammenfassung gibt Tab. 41. Tab. 41: Eigenschaften von Natursteinen nach STEIN [524] Wichte in

kN/m3 Druckfestigkeit in MPa

Biegezugfestigkeit in MPa

Wärmeausdehnungs-koeffizient in mm/mK

Granit, Syenit 28 160-240 10-20 0,80 Diorit, Gabbro 30 170-300 10-22 0,88 Quarzporphyr 28 180-300 15-20 Basaltlava 24 80-150 8-12 Diabas 29 180-250 15-25 0,75 Quarzit, Grauwacke 27 150-300 12-20 Quarzsandstein 27 120-200 3-15 Dichte Kalk- und Dolomitsteine 28 80-180 6-15 0,75 Sonstige Kalksteine 28 20-90 5-8 Travertine 26 20-60 4-10 0,68 Vulkanischer Tuffstein 20 2-6 Gneise 30 160-280 10-15


133

Bei der Ermittlung der Festigkeit des Natursteins müssen zahlreiche Effekte berücksichtigt werden: z.B. die Prüfkörperform, der Feuchtgehalt des Steins, die Schichtung des Natursteins etc. Abb. 71 zeigt die Entwicklung der Biegezugfestigkeit von Granitstein in Abhängigkeit von der Höhe des Versuchsbalkens. Im linken Bereich (kleine Höhen) ist eine Vielzahl verschiedener Granitsteinarten zusammengefasst. Die genauen Literaturquellen finden sich in CURBACH & PROSKE [119].

0

5

10

15

20

25

30

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Höhe in m

Bie

gezu

gfes

tigke

it in

MPa

.

Ergebnisse LiteraturErgebnisse KerneErgebnisse SteindeckerEinaxiale Zugfestigkeit

Linie

Linie

Linie : charakteristische Werte mit AusreißernLinie : charakteristische Werte ohne Ausreißern

Abb. 71: Biegezugfestigkeit von Granit in Abhängigkeit von der Prüfkörpergröße (aus CURBACH, GÜNTHER & PROSKE [114]) Die Streuung der Festigkeitseigenschaften von Naturstein wird in den Abb. 72 und Abb. 73 für Sächsischen Sandstein (Steinbruch Lohmen) deutlich. Es handelt sich hierbei um 500 Stichproben der Druck- und Spaltzugfestigkeit. Auch eine Korrelationsanalyse wurde mit diesen Daten durchgeführt, wobei Abb. 74 nur eine geringe Übereinstimmung zeigt. Weitere statistische Auswertungen mit einer Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen für Festigkeitseigenschaften von Rotem Mainsandstein finden sich z.B. in PROSKE [424]. Einen umfangreichen Katalog über Mittelwerte und Streuwerte von Naturstein findet sich bei PESCHEL [412]. Auf die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen von Natursteinen wird hier nicht weiter eingegangen. Beispielhaft zeigt Abb. 75 die Spannungs-Dehnungs-Werte bei einem Festigkeitsversuch von Schlesischem Sandstein. Siehe dazu z.B. für Sandstein ALFES [7].


134

0

10

20

30

40

50

60

70

80

30 33 37 40 43 46 49 52 55 59 62 65 68 71 74 78 81 84 87 90 93 97 99

Druckfestigkeitsklassen in MPa

Abs

olut

e H

äufig

keit

Abb. 72: Häufigkeitsverteilung der Druckfestigkeit von Sandsteinprobekörpern aus dem Steinbruch Lohmen/Sachsen nach CURBACH und PROSKE [117]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

2,0 2,3 2,5 2,8 3,0 3,2 3,5 3,7 4,0 4,2 4,4 4,7 4,9 5,1 5,4 5,6 5,9 6,1 6,3 6,6 6,8 7,1Spaltzugfestigkeitsklasse in MPa

Abs

olut

e H

äufig

keit

Abb. 73: Häufigkeitsverteilung der Spaltzugfestigkeit von Sandsteinprobekörpern aus dem Steinbruch Lohmen/Sachsen nach CURBACH und PROSKE [117]


135

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

20 40 60 80 100

Steindruckfestigkeit

Stei

nspa

ltzug

fest

igke

it

Abb. 74: Korrelation zwischen Steinspaltzugfestigkeit und Steindruckfestigkeit für Probekörper aus dem Steinbruch Lohmen/Sachsen nach CURBACH und PROSKE [117]

Span

nung

en in

MPa

Dehnungen in ‰1 2 30

10

20

30

40

Abb. 75: Spannungs-Dehnungs-Beziehung für schlesischen Sandstein nach FRENZEL [195]

4.1.1.2 Bearbeitungsformen Innerhalb einer Region wurden oft gleiche Steinsorten verwendet. Betrachtet man z.B. geologische Karten, wie die sächsische geologische Karte [209], so findet man häufig zugeordnet zu den geologischen Fundorten auch Bauwerke aus dem entsprechenden Material.


136

Sedimentgesteine wurden in den früheren Jahrhunderten häufig für Natursteinmauerwerk verwendet, da sie einfach abgebaut und bearbeitet werden konnten. Gleichzeitig waren sie häufig oberflächennah zu finden. So wurden in Sachsen im großen Umfang Bauwerke aus oder mit Sandstein erstellt. Auch magmatische Gesteine wurden für Bauwerke verwendet. Die Gewinnung und Verbauung von Granit in der rheinischen Tiefebene im Odenwald in Deutschland erfolgte bereits durch die Römer im 2. Jahrhundert n. Christus (MÜLLER [377]). Die Bearbeitung dieser Gesteine gestaltete sich allerdings weitaus schwieriger als bei den Sedimentgesteinen. Dadurch existieren verschieden Steinbearbeitungsstufen. Bruch- und Feldsteine sind in der Regel abhängig von der Gesteinsart uneben und bruchrauh. Die Größe der Steine ist starken Streuungen unterworfen und hängt vermutlich auch von der Festigkeit und der damit möglichen Bearbeitbarkeit ab. Parallele Lagerfugen treten nur dann auf, wenn die Steine aufgrund geologischer Vorgänge eigene Trenngefüge besitzen. Solche Trenngefüge sind z.B. Schichtungen oder Schieferungen. Hausteine werden an der Fugenfläche grob behauen. Sie werden durch Spalten gewonnen. Stoß- und Lagerfugen stehen teilweise senkrecht aufeinander. Die gewünschte Geometrie ist abhängig von der Steinfestigkeit und der damit möglichen Bearbeitbarkeit. Werksteine besitzen Ansichtsflächen, die werkmäßig maßgerecht und gestalterisch bearbeitet werden. Die Stoß- und Lagerfugen stehen nicht nur senkrecht aufeinander. Die Ansichtsflächen können ebenfalls unterteilt werden. Siehe hierzu Tab. 42 und Abb. 76. Tab. 42: Bearbeitungsarten von Steinen nach WARNECKE [575] Bezeichnung gespitzt geflächt gepillt scharriert breit scharriert 1. Arbeitsgang 2. Arbeitsgang Muster

Werkzeug

Spitzfläche

Doppelglattfläche

Doppelzahnfläche

Scharriereisen

ScharrierhammerZeit Bis Mitte des

11. Jahrhunderts Bis Anfang des 12. Jahrhunderts

Ende 12. bis Ende 13. Jahrhundert

Mitte 15. bis Ende 17. Jahrhunderts

Ab Mitte des 17. Jahrhunderts

Weitere Bearbeitungstypen sind die belgische Oberflächenbearbeitung, holländische, weitere Oberflächenbearbeitungen [559].


137

Abb. 76: Bearbeitungsmuster von Steinen nach VAN DER VLIST et al. [559]

4.1.2 Mörtel Viele Bogenbrücken wurden aus Mauerwerk ohne Mörtel erstellt, so z.B. der Pont du Gard (GARBRECHT [205]). Bei dieser Trockenbauweise verwendete man jedoch oft Eisenklammern, um die Verbindung der Quader zu gewährleisten (STAUB [530]). Nach VIGNOLI erhöhen Eisenklammern und Dübel die Tragfähigkeit der Bögen bis zu 30 % (entnommen ARMALY, BLASI & HANNAH [14]). Nichtsdestotrotz ist bei der überwiegenden Mehrzahl der heute noch existierenden Brücken Mauerwerk mit Mörtel verwendet worden. Dieser Mörtel unterscheidet sich allerdings deutlich von dem heute eingesetzten Mörtel. Er war weicher, was zu großen Verformungen im Bogen führen konnte, wenn die Fugen stark ausgebildet waren (siehe Abb. 77).

Zahlreiche Veröffentlichungen zu Eigenschaften von historischen Mörteln finden sich in der Literatur, so z.B. BARONIA & BINDA [23], HUESMANN & KNÖFEL [260], KÖFEL & SCHUBERT [292], KNÖFEL & MIDDENDORF [291] WISSER & KNÖFEL [595], WARNECKE [575], FRANKEN & MÜLLER [192], FREYBURG [197] oder FRANKEN [191]. .

Heutiger Kalk-zementmörtel

Historischer KalkmörtelDru

cksp

annu

ng in

MPa

Dehnung in ‰0,0 -2,0 -4,0 -6,0 -8,0 -10,0 -12,0

1,0

2,0

3,0

4,0

Abb. 77: Vergleich eines historischen mit einem modernen Mörtel aus WARNECKE [575]


138

Span

nung

en in

MPa

Dehnungen in ‰1 2 40 3 5 6

Wasserkaltmörtel (68 %)

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0 Hydraulischer Kaltmörtel (70 %)

Sumpfkalkmörtel (72 %)

HistorischerKalkmörtel (75 %)

Abb. 78: Spannungs-Dehnungs-Linien verschiedener Kalkmörtel nach FRENZEL [195]

Mas

sepr

ozen

t

Sieblochweite in mm (log. Maßstab)

0,00,09 0,9 2,0 4,0

102030405060708090

100

0,2

BAC

Mas

sepr

ozen

t

Sieblochweite in mm (log. Maßstab)

0,00,09 0,9 2,0 4,0

102030405060708090

100

0,2

BAC

Abb. 79: Vergleich von Sieblinien bei historischem Mauermörtel (links) und römischem Mauermörtel (rechts) nach WISSER & KNÖFEL [595]

Wasser-Bindemittel-Verhältnis

Mechanische Eigenschaften des Mörtels

in Mauerwerksfugen

Steinsaugverhalten

Mörtelalter

UmgebungstemperaturEntfernung zur freien Oberfläche (Luftzutritt)

Fugenhöhe

Mörtelverdichtung

Wasserrückhaltevermögen des Mörtels

Abb. 80: Einflüsse auf die mechanischen Eigenschaften des Mörtels im Mauerwerk nach HUSTER [264]


139

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0

Festigkeitsklasse in MPa

Abs

olut

e H

äufig

keit

Abb. 81: Mörteldruckfestigkeiten nach BARONIA & BINDA [23]

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

3 6 9 12 15 18 21 und größer


Abs

olut

e H

äufig

keit

Abb. 82: Gemessene Mörteldruckfestigkeiten an einer Brücke


140

Ein Beispiel, bei dem man zunächst die Ursache des Versagens eines Bauwerkes unzureichenden Mörteleigenschaften zuordnete, ist der Einsturz des Stadtturmes in Pavia. Bei diesem plötzlichen Einsturz des mittelalterlichen Stadtturmes in Pavia, der immerhin vier Menschenleben forderte, konnte Mörtelversagen als Ursache ausgeschlossen werden. Wie in PROSKE [424] wurden auch hier Proben aus dem Mauerwerk entnommen und verschiedenen chemischen und physikalisch-mechanischen Tests unterworfen. Abb. 81 zeigt die Verteilung der Mörteldruckfestigkeit für den mittelalterlichen Stadtturm. Die Ergebnisse stimmen sehr gut mit den Ergebnissen der Mörteldruckfestigkeiten der Alten Mainbrücke Lohr überein. In beiden Fällen zeigt die Mörtelfestigkeit große Streuungen. Dabei ist nicht nur zu beachten, dass die messbaren Daten streuen, auch die Zensierung der Daten ist zu berücksichtigen. Bei einem Großteil der Probekörper übersteigen die Belastungen im Gewinnungsprozess die Festigkeiten. Deshalb sind die gemessenen hohen Druckfestigkeiten wie in Tab. 43 vorsichtig zu bewerten. Die Werte in Tab. 44 erscheinen deutlich differenzierter. Es handelt sich hierbei um übliche Mörtelfestigkeiten von Ziegelsteinmauerwerk vor 1920. Für Mörtelprüfungen existieren verschiedene Empfehlungen und Regelungen, z.B. [144]. Tab. 43: Druckfestigkeiten historischer Mörtel nach PAPAYIANNI & STEFANIDOU [406] Bauwerk Historische Periode Druckfestigkeit in MPa Römisches Forum 2. Jahrhundert 2,5-4,0 Galerious Palast 3. Jahrhundert 3,0-4,5 Acheropiitos 5. Jahrhundert 2,3-3,0 Hagia Sophia 7. Jahrhundert 2,0-6,0 Hagios Panteleimonas 14. Jahrhundert 1,0-1,4 Hagia Aikaterini 13. Jahrhundert 1,6-2,0 Bezesteni 16. Jahrhundert 2,5-3,5 Old house Mouson 19. Jahrhundert 1,5-2,0 Tab. 44: Festigkeitseigenschaften historischer Mörtel entnommen COST 345 [173] Mörtelbezeichnung Mischungsverhältnis

Zement:Kalk:Sand (Volumen) Druckfestigkeit in MPa

I 1:0-0,25:3 11-16 II 1:0-5:4,5 4,5-6,5 III 1:1:5-6 2,5-3,6 IV 1:2:8-9 1,0-1,5 V 1:3:10-12 0,5-1,0 VI 0:1:2-3 (hydraulischer Kalk) 0,5-1,0 VII 0:1:2-3 (reiner Kalk) 0,5-1,0

4.2 Zentrische maximale Druckspannung Basierend auf den Eigenschaften der Einzelkomponenten des Mauerwerks müsste es nun möglich sein, die Eigenschaften des Verbundwerkstoffes zu entwickeln. Tatsächlich ist dieser Versuch sehr häufig unternommen worden. Verschiedene Mauerwerksmodelle nach verschiedenen Autoren in zeitlicher Reihenfolge [430], [496], [332] sind im Folgenden aufgelistet:


141

KRÜGER (1916), GRAF (1926), DRÖGSLER (1933), VOELLMY (1937), DRÖGSLER (1938), HANSSON (1939), HERMANN (1942), KREÜGER (1943), NYLANDER (1944), SVENSON (1944), HALLER (1947), EKBLAD (1949), ONISZCZYK (1951), BRÖCKER (1961), HILSDORF (1965/69), MONK (1967), FRANCIS, HORMAN & JERREMS (1970), KHOO & HENDRY (1972), BRENNER (1973), SCHNACKERS (1973), KIRTSCHIG (1975), PROBST (1981), SCHULENBERG (1982), RUSTMEIER (1982), MANN (1982/83), ATKINSON, NOLAND & ABRAMS (1985), OHLER (1986), BERNDT (1992/96), SABHA & PÖSCHEL (1993), BABYLON (1994), EBNER (1996) Allerdings bedarf die Nennung der Modelle einer Unterscheidung. Viele Modelle basieren allein auf Versuchen, während andere Verfasser theoretische Modelle entwickelten, die später an Versuchen kalibriert wurden. Zahlreiche Modelle gelten nur für ganz bestimmte Mauer-werksarten oder ganz bestimmtes Steinmaterial, so dass die bloße Aneinanderreihung der Modelle dem tatsächlichen Sachverhalt sicherlich nicht gerecht wird. Zunächst wird deshalb als Ausgangspunkt der Betrachtungen der Mauerwerksmodelle die neue deutsche Norm DIN 1053-100 herangezogen, wobei das Augenmerk im vorliegenden Fall ausschließlich auf Natursteine gerichtet ist.

4.2.1 DIN 1053-100

Die DIN 1053-100 August 2004 gibt Werte für die Mauerwerksfestigkeit mit Naturstein an: Güteklasse Grundeinstufung Fugenhöhe zu

Steinlänge Neigung der Lagerfuge tan α

Übertragungsfaktor η

N1 Bruchsteinmauerwerk ≤ 0,25 ≤ 0,30 ≥ 0,50 N2 Hammerrechtes

Schichtenmauerwerk ≤ 0,20 ≤ 0,15 ≥ 0,65

N3 Schichtenmauerwerk ≤ 0,13 ≤ 0,10 ≥ 0,75 N4 Quadermauerwerk ≤ 0,07 ≤ 0,05 ≥ 0,85 Güteklasse Gesteinsfestigkeit fbk Werte fk in Abhängigkeit von der Mörtelgruppe in MPa I II IIa III N 1 ≥ 20 MPa 0,6 1,5 2,4 3,6 ≥ 50 MPa 0,9 1,8 2,7 4,2 N 2 ≥ 20 MPa 1,2 2,7 4,2 5,4 ≥ 50 MPa 1,8 3,3 4,8 6,0 N 3 ≥ 20 MPa 1,5 4,5 6,0 7,5 ≥ 50 MPa 2,1 6,0 7,5 10,5 ≥ 100 MPa 3,0 7,5 9,0 12,0 N 4 ≥ 5 MPa 1,2 2,0 2,5 3,0 ≥ 10 MPa 1,8 3,0 3,6 4,5 ≥ 20 MPa 3,6 6,0 7,5 9,0 ≥ 50 MPa 6,0 10,5 12,0 15,0 ≥ 100 MPa 9,0 13,5 16,5 21,0

4.2.2 DIN 1053-1 Die DIN 1053 (11/1996) ist für die Berechnung von Mauerwerkskonstruktionen vorgesehen. Im Kapitel 12 wird Natursteinmauerwerk behandelt, wobei die Ermittlung der Mauerwerks-


142

druckfestigkeit auf MANN zurückzugehen scheint, da die Steindruckfestigkeit nur geringen Einfluss auf die Mauerwerksdruckfestigkeit lt. DIN 1053, Abschnitt 12, Tabelle 13 hat und die Steinzugfestigkeit nicht angesetzt wird. [139] Güteklasse Gesteinsfestigkeit fst Grundwerte der zulässigen Druckspannung σo in Abhängigkeit von der

Mörtelgruppe in MPa I II IIa III N 1 ≥ 20 MPa 0,2 0,5 0,8 1,2 ≥ 50 MPa 0,3 0,6 0,9 1,4 N 2 ≥ 20 MPa 0,4 0,9 1,4 1,8 ≥ 50 MPa 0,6 1,1 1,6 2,0 N 3 ≥ 20 MPa 0,5 1,5 2,0 2,5 ≥ 50 MPa 0,7 2,0 2,5 3,5 ≥ 100 MPa 1,0 2,5 3,0 4,0 N 4 ≥ 20 MPa 1,2 2,0 2,5 3,0 ≥ 50 MPa 2,0 3,5 4,0 5,0 ≥ 100 MPa 3,0 4,5 5,5 7,0

4.2.3 Empirische Ansätze Empirische Ansätze zur Beschreibung der Druckfestigkeit von einschaligem Mauerwerk be-sitzen auf Grund der einfachen Modellbildung (Regression) eine weite Verbreitung. Ein übli-cher Ansatz ist (SCHUBERT, KRÄMER):

ccmo

bcstcmas ffaf ,,, ⋅⋅=

Diese Gleichung findet sich z. B. im Eurocode 6. Dort wird das 5 %-Fraktil der Mauerwerks-druckfestigkeit mit folgender Formel über die mittleren Druckfestigkeiten von Stein und Mörtel ermittelt.

25,0,,

75,0,,,, 40,0 mcmomcstkcmas fff ⋅⋅=

MANN gibt für diesen Ansatz folgende Parameter an: 18,0

,,66,0,,,, 83,0 mcmomcstmcmas fff ⋅⋅=

Diese Ansätze liefern für Natursteinmauerwerk meistens unbefriedigende Ergebnisse. In der DS 805 wird ein ähnlicher Ansatz vorgeschlagen:

20,0,,

70,0,,,, 80,0 mcmomcstmcmas fff ⋅⋅=

4.2.4 Modell nach Hilsdorf HILSDORF entwickelte ein Modell, das auf einem mehraxialen Spannungszustand in Stein und Mörtel basiert. Dieser mehraxiale Spannungszustand entsteht aus dem geringen E-Modul des Mörtels, der jedoch in seiner Verformung durch den Stein behindert wird (Abb. 83). Dadurch entstehen Querdruckspannungen im Mörtel und Querzugspannungen im Stein. Ursprünglich nahm HILSDORF an, dass ein unverschieblicher Verbund zwischen Mörtel und Stein besteht. Diese Aussage revidierte er 1969. Das Berechnungsverfahren wurde für künstliche Steine ent-wickelt. Trotzdem kann das Verfahren auch für Natursteinmauerwerk verwendet werden. Als nachteilig ist der sogenannte Ungleichförmigkeitsfaktor anzusehen, da die Angaben über die Wahl dieses Faktors nur teilweise nachvollziehbar sind (WEIGERT [581], WEDLER [579],).


143

)( ,,,,

,

, cmospstcstspst

cst

cmas faffaf

uf

f ⋅+⋅⋅+

=

mit u als Ungleichförmigkeitsfaktor im Bruchzustand und 1,4

ht

a =

Stein: Druck-Zug-Zug

Mörtel: Druck-Druck-Druck

Mauerwerk unter Druckbelastung

Spannungen in Stein und Mörtel

Abb. 83: Spannungszustand im Mauerwerk unter Normallast nach HILSDORF

4.2.5 Modell nach Mann MANN stellte fest, dass das Verhalten von Mauerwerk aus künstlichen Steinen und Naturstein-mauerwerk nicht vergleichbar ist. Die Ungleichförmigkeit der Steine und Fugen führt zu einem qualitativ anderen Verhalten des Mauerwerkes. Ursache dafür ist eine im Vergleich zu künstlichen Steinen höhere Zugfestigkeit der Natursteine und eine geringere Mörtelfestigkeit des alten Mauerwerks im Vergleich zu modernem Mauerwerk. Darum wird das Versagen des Mörtels für das Versagen des Mauerwerks maßgebend. Allerdings widersprechen die Er-gebnisse von Versuchen an Mauerwerk mit Sandfugen (also Druckfestigkeit des Mörtels = 0) den Aussagen von MANN, da die Mauerwerksdruckfestigkeit nach MANN Null wäre, das Versagen jedoch infolge Zerreißen des Steines auftrat (WARNECKE, ROSTASY & BUDELMANN [576]). MANN gab folgende Formeln an:

üfff cmocmas ⋅⋅= ,, mit

α42

cos3211

198

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−−

⋅=

bt

f

MW

S

AAü =


144

MANN’s Formel kann für Bruchsteinmauerwerk mit sehr schlechtem Mörtel verwendet werden. Vergleichbar mit MANN’s Ansatz ist der Ansatz von RUSTMEIER [462].

4.2.6 Modell nach Berndt BERNDT (BERNDT [34], BERNDT & SCHÖNE [35], WENZEL [587]) entwickelte ein Verfahren zur Beschreibung der Drucktragfähigkeit von Schichtenmauerwerk aus Elbsandstein. BERNDT geht von einem Spaltzugversagen der Steine aus: Er addiert die Spaltzugkräfte infolge Ausbreitung der Druckkraft im Stein von der Fugenbreite auf die volle Breite des Steines und die Spaltzugkraft infolge Dehnungsbehinderung des Mörtels im Stein.

,,

,

,

' 0,7

1

st cma c

st c

st sp

ff ft v b dk

h v h b f

=⎡ ⎤⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +⎢ ⎥−⎣ ⎦

mit 0,3...0,5k = , 'tan 45

2

td tρ

≈ +⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

und ' min10 cm

hh ⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭.

Für die damit ermittelte Mauerwerksdruckfestigkeit existiert ein Sicherheitskonzept, für die in Tab. 45 die Elemente kurz zusammengefasst sind (BERNDT & SCHÖNE [35]).

Tab. 45: Elemente des Sicherheitskonzeptes nach BERNDT & SCHÖNE [35]

Faktor Erläuterung

1m Berücksichtigt die Umrechnung der mittleren Mauerwerksdruckfestigkeit auf den 5 % Fraktilwert

2m Berücksichtigt geringe Schlankheiten von Mauerwerksprüfkörpern

3m Berücksichtigt nicht gegebene Möglichkeit der Lastumlagerung bei Pfeilern

4m 426,00,396,13645,11645,11

,1,4 =⋅−=⋅−=

cstfsm

Berücksichtigt die Umrechnung der mittleren Steindruckfestigkeit auf den 5 % Fraktilwert

604,016,376,0645,11645,11

,1,4 =⋅−=⋅−=

spstfsm

Berücksichtigt die Umrechnung der mittleren Steinspaltzugfestigkeit auf den 5 % Fraktilwert

5m Berücksichtigt den Einfluss der Fugendicke auf die Bruchlast 85,05 =m

6m Berücksichtigt das Sprödbruchverhalten des Mauerwerks 85,06 =m

7m Berücksichtigt den Einfluss der Schichtung des Steins auf die Druckfestigkeit 90,07 =m

8m Berücksichtigt die Dauerstandsfestigkeit des Mauerwerks 90,08 =m


145

Um eine Vorstellung über die Größenordnung der Abminderung zu erhalten, wird beispielhaft ein Wert ermittelt:

151,090,090,085,085,0604,0426,087652,41,41 =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= mmmmmmm

66,4151,09,30,,,, =⋅=⋅= ∏mff mcmakcma MPa. Es ergibt sich ein globaler Sicherheitsfaktor von ca. 4 bis 5.

4.2.7 Modell nach Sabha SABHA (SABHA & SCHÖNE [463], SABHA & WEIGERT [464], WENZEL [587]) geht vom gleichen Ansatzpunkt wie BERNDT aus: Dem Vorhandensein zweier Mechanismen zur Erzeugung von Spaltzugkräften im Stein. Allerdings berücksichtigt er die Lage der Maxima der Spaltzug-kräfte, die nicht identisch ist. Während die maximale Spaltzugkraft infolge Kraftausbreitung in halber Höhe des Steins liegt, befindet sich das Maximum der Spaltzugkraft infolge Ver-formungsbehinderung des Mörtels in der Nähe der Fuge im Stein. SABHA addiert darum die beiden Spaltzugkräfte nicht (WENZEL [587]) und erhält deshalb höhere zulässige Festigkeiten als BERNDT.

, ,,

,

,

2 st c st sp

ma cst sp

st c

k f ff f

kf

⋅ ⋅ +=

+

mit

,

,

1,6 1, 45 1 st sp

st c

ftkb f⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

BOYE [59] stellte eine Erweiterung des Verfahrens von SABHA vor.

4.2.8 Modell nach Ohler Der UIC-Kodex [553] stellt eine Formel vor, die auf dem Modell von OHLER [401] basiert.

mcstS

mcstF

mcmomcstmcmocma

fhfhb

ffaff

,,

,,

,,,,,,,

05,025,0

1

5,05,05,0

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+

⋅−⋅⋅+⋅=

mit hF als Dicke der Mörtelfuge und hS als Dicke der Steine. Die Spaltzugfestigkeit wird innerhalb dieser Formel als 5 % Wert der Steindruckfestigkeit abgebildet. Weitere Modelle seien im Folgenden nur kurz genannt. Weitere Informationen finden sich u.a. bei PURTAK [430].

4.2.9 Modell nach Stiglat STIGLAT hat ein Modell für die Ermittlung der maximalen Druckspannung von Bruchsteinmauerwerk aus Sandstein entwickelt. Der Ansatz basiert auf der Untersuchung von


146

Probekörpern. Dabei hat STIGLAT eine recht einfache Formel entwickelt, die allein von der Steinwichte und der Mörtelgruppe abhängt:

IIIMG für IIMG für IMG für

MPa) 2,3557,18(024,0MPa) 2,3557,18(017,0

MPa) 2,3557,18(007,0

−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

=γγγ

maf

Für das Versagen des Mauerwerks wird Steinversagen maßgebend. (entnommen HUSTER [264])

4.2.10 Modell nach Francis, Horman & Jerrems Das Modell von FRANCIS, HORMAN & JERREMS beruht auf den Vorarbeiten von HILSDORF (PURTAK [430], SIMON [503]).

)1(1

1

,

,,,

momo

stS

stmomo

st

spst

cstcstcma

EE

th

EE

ff

ff

µ

µµ

−⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅

+

⋅=

4.2.11 Modell nach Khoo & Hendry KHOO und HENDRY nähern die durch Versuche ermittelten Bruchkurven von Stein und Mörtel durch eine kubische Gleichung an:

0)002,0249,0(

)053,0278,1(

)113,0203,0(

)162,0997,0(

3,2

,3,

,

2,

,2,

,

,,

,

,,

=⋅⋅

⋅−⋅

+⋅⋅

⋅−⋅

+⋅⋅+⋅

+⋅⋅+⋅

cmascmo

s

cst

spst

cmascmo

s

cst

spst

cmass

cst

spst

cmos

spst

ffth

ff

ffth

ff

fth

ff

fthf

Basierend auf den Arbeiten von KHOO & HENDRY entwickelt PROBST ein verfeinertes Modell (SIMON [503]).

4.2.12 Modell nach Schnackers Das Modell nach SCHNACKERS sei nur noch kurz genannt. Weitere Ausführungen sind bei PURTAK [430] zu finden:


147

th

ftfh

fs

spmospsts

mascmas +

⋅+⋅⋅=

,,

,21

µ.

4.2.13 Modell nach Ebner Auch die Formel nach EBNER sei nur kurz genannt und wieder auf PURTAK [430] verwiesen:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−⋅⋅−=

lbn

cdtf sy

cmas 1)tan21(2,114,0

,

σϕ

Weitere Modelle, wie z.B. nach ATKINSON, NOLAND & ABRAMS, RUSTMEIER [462] oder PÖSCHEL existieren, werden hier aber nicht behandelt. Siehe dazu z.B. PURTAK [430] und HUSTER [264]. Eine Beurteilung der verschiedenen Mauerwerksmodelle findet sich bei HUSTER [264] und WARNECKE, ROSTASY & BUDELMANN [576].

4.3 Spannungs-Dehnungs-Beziehung Im Folgenden werden verschiedene mögliche Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für Mauerwerk unter zentrischer Belastung zusammengefasst. Die Zusammenfassung basiert im Wesentlichen auf der Arbeit von GLOCK [213]. GLOCK [213] nennt Ansätze: • ANGERVO (zugkraftfreie mineralische Werkstoffe) • LEWICKI (Beton) • SARGIN (Beton) • JÄGER (Mauerwerk) • DIN 1045 (Beton) • Eurocode 6 (Mauerwerk) (Abb. 84)

εm

σ

fm,k

3,5 ‰2,0 ‰

Abb. 84: Spannungs-Dehnungs-Beziehung für Mauerwerk nach Eurocode 6

Spannungs-Dehnungs-Linien für Mauerwerk finden sich auch bei LISSAI [315], BECKER & BERNARD [26] und WALTHELM [572]. BECKER & BERNARD [26] gehen davon aus, dass eine


148

rechnerische Untersuchung der Tragfähigkeit mit nichtlinearen Ansätzen (Spannungs-Dehnungs-Linien) eine mindestens 25% Erhöhung der Tragfähigkeit erbringt. Sie schlagen eine parabolische Spannungs-Dehnungs-Linie vor. Die unterschiedlichen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen zeigen verschiedene Auswirkungen bei der Berechnung der Bemessungsnormalkraft mit Ausmitte (Abb. 85).

N

e c

t

σ= ⋅ ⋅N k c 1,5=k 1,78=k 1,8=k 1,95=k 2,0=k

Abb. 85: Verschiedene Spannungsverteilung in einem Wandquerschnitt (MANN [333])

4.4 Momenten-Normalkraft-Interaktion PURTAK hat Momenten-Normalkraft-Diagramme erstellt, die direkt für Tragfähigkeits-nachweise von Mauerwerkswänden, später auch von Bogenbrücken verwendet werden können. Abb. 86 zeigt beispielhaft eine solche Traglastkurve für Bogenbrücken (PURTAK [430]). Auch LISSAI [315] hat solche M-N-Diagramm vorgestellt.

Bruc

hlas

t in

MN

/mN y

Bezogene Ausmittigkeit = 6 / m e d0,0

18

161412

108

642

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

d hftf

st st

mo,c

st,c

/ = 80 cm /40 cm= 1,8 Mpa

= 1,5 cm = 56 Mpa

Gelenkbildung

Abb. 86: Spannungszustand im Mauerwerk unter Normallast nach PURTAK


149

4.5 Mehrschaliges Mauerwerk Neben dem bisher betrachteten einschaligen Mauerwerk, tritt insbesondere bei den Pfeilern der Bogenbrücken auch mehrschaliges Mauerwerk auf. Da die Brückenpfeiler über die Breite nicht komplett gemauert sind, sondern anhand der Bohrungen nachgewiesen wurde, dass die Pfeiler hinterfüllt sind, handelt es sich bei den vorliegenden Pfeilern nicht um einschaliges, sondern um zweischaliges Mauerwerk. Die Grundlagen des Tragverhaltens zweischaligen Mauerwerks werden z. B. in (WARNECKE, ROSTASY & BUDELMANN [576]) erläutert. An dieser Stelle seien nur die Modelle von WARNECKE und EGGERMANN erwähnt.

4.5.1 Modell nach Warnecke WARNECKE [574] verwendet ein Interaktionsdiagramm für die Bestimmung der zulässigen Schnittkräfte. Dabei geht er von der Annahme aus, dass eine korrekte Wiedergabe der Festigkeiten allein aus Bohrungen nicht möglich ist. Für eine kohäsive Innenschale werden folgende Formeln verwendet:

1=++ HohlraumStMo vvv

St

St

momo

St

i Ev

vEv

E+

⋅−=

2)1(1

St

mocmoicmas v

vff−

⋅=1,,,

Die Druckfestigkeit der Außenschale darf nach den bisher genannten Verfahren für einschaliges Mauerwerk ermittelt werden [579].

4.5.2 Modell nach Egermann Folgende Annahmen werden in diesem Verfahren getroffen (WENZEL [587]): • Außenschalen in Ziegelmauerwerk und Läuferverband, Schlankheiten kleiner 13,3, • Kohäsive Innenschalen, • Glatte Grenzfläche zwischen Innen- und Außenschale, • Ebener Verschiebungszustand, • Symmetrische Lagerungsbedingungen (Volleinspannung an Mauerkrone und Fuß), • Starre Bettung des gesamten Querschnitts, Der Grundwert der zulässigen Druckspannung der Außenschalen darf wieder wie für einscha-liges Mauerwerk bestimmt werden, allerdings gilt:

cmasDA ff ,⋅⋅= ϕλ αα fDA Mauerwerkdruckfestigkeit der äußeren Schale fmas,c Mauerwerkdruckfestigkeit der äußeren Schale (einschalig berechnet) αϕ Einfluss der Spannrichtung bei Vorspannung

αϕ = 1 Spannrichtung || zur Lastrichtung


150

αϕ = 2 Spannrichtung ⊥ zur Lastrichtung

αλ = 1 für 0,21

Wcr NN ≥

0,2

W

cr

NN⋅=λα für 0,2

1Wcr NN <

MWDAW AN ,0, σ⋅=

AA Querschnittsfläche der Außenschale 2

20,7crk

E INs

π ⋅= ⋅ ⋅ Knicklast

MWDE ,1000 σ⋅≈ Steifigkeit

I Flächenträgheitsmoment des ungerissenen Querschnittes 0,7 Abminderung für gerissenen Querschnitt sk Knicklänge

AAf

AAf

AAff I

cmasA

cmasA

cmasmas 3,,2

2,,1

1,, 3,175,075,0 ⋅+⋅+⋅= .

Es erfolgt eine Abminderung der zulässigen Mauerwerkdruckfestigkeit der äußeren Schale und eine Erhöhung der zulässigen Mauerwerkdruckfestigkeit der inneren Schale, da sich ein räumlicher Spannungszustand ausbildet. Oft sind die Veränderungen der Mauerwerks-festigkeit aber vernachlässigbar.

4.6 Schubfestigkeit Neben diesen für FE-Programme bereitgestellten komplizierten Verfahren gibt es auch ver-einfachte Vorgehensweisen. So stellen die Versuche von MANN & MÜLLER (BAIER [17]) erste Anhaltspunkte für den Schubspannungsnachweis dar. BERNDT [34] hat für den Schubnach-weis von Naturmauerwerk, insbesondere Elbsandstein, das folgende Verfahren entwickelt. Demnach werden für Sandsteinmauerwerk unter Schubbeanspruchung drei Versagensarten unterschieden (Abb. 87): I. Versagen der Lagerfugen infolge Reibung

xHSf σµτ ⋅+=

II. Versagen des Steinmaterials durch Überschreitung der Steinzugfestigkeit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

+

⋅=

7,07,0

21

4,1max

,

,

,

,

,

σσ

σ

τ

kff

kff

kf

spst

cst

spst

cst

cst

III. Versagen des Steinmaterials durch Überschreitung der Steindruckfestigkeit


151

21

7,04,1

21

7,0

,,

,2

,

,

,

,,

σ

σ

σ

τk

fkff

fkff

ff

cstspst

cst

cst

spst

cst

cstcmas +

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅−+⋅

≈

Die Darstellung der einzelnen Versagensarten im kartesischen Koordinatensystem ergibt nachstehend abgebildeten Hüllkurvenzug, wobei für alle Wertepaare σx - τ innerhalb der Hüllkurve die Schubtragfähigkeit gewährleistet ist. τ

σx fmas,c

Schubbereich

I II III

COULOMB'-sche Reibung

Schiefe Haupt-zugkräfte

Schiefe Haupt-druckkräfte

fHS

Abb. 87: Hüllkurvenzug für schubbeanspruchtes Sandsteinmauerwerk In der DIN 1053-1 [139] wird eine maximale Schubspannung von 0,3 MPa für Naturstein-mauerwerk zugelassen. Eigene numerische Simulationen zeigen mögliche mittlere Mauer-werkschubfestigkeiten größer 3 MPa und 5 % Fraktilwerte zwischen 2 und 3 MPa (BAIER [17]).

4.7 Nachweise Mit den ermittelten Spannungen können dann die Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und Tragfähigkeit durchgeführt werden. Die Nachweisformate unterscheiden sich allerdings in den verschiedenen Regelungen (Tab. 46). Dies ist zum Teil aber auf die aktuelle Umstellung der Sicherheitskonzepte im Bauwesen zurückzuführen.

Tab. 46: Vergleich der Nachweisformate nach EC 6 und DIN 1053

Norm Beanspruchung ≤ Tragfähigkeit EC 6 ≤d dN R

DIN 1053-2 γ σ β⋅ ≤R R

DIN 1053-1 (Feb. 1990) zul σ σ≤ D

DIN 1053-100 ≤d dN R

Die Bemessungsspannung ermittelt sich nach DIN 1053-100 [140] zu


152

kd

MγΦ ⋅ ⋅= t fR ,

wobei z.B. für den Wandkopf gilt:

1 2Φ = − ⋅ et

1 hi a= + +e e e e und bei der halben Wandhöhe

1,14 1 2 0,02⎛ ⎞Φ = ⋅ − ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

me ht t

.

Bei linearelastischer Berechnung im Grenzzustand der Tragfähigkeit darf der Abstand der Druckresultierenden d/12 bzw. 2 cm nicht unterschreiten. Die zulässige maximale Druckspannung ergab sich zu:

,, 1,8 2, 4

γ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

MW kMW d

MW

f cfd

für 1 13 12

> ≥cd

.

Die Knicksicherheit von Pfeilern muss untersucht werden, falls für die Schlankheit gilt:

10λ = >kld

. Die Tragfähigkeit des Pfeilers darf dann pauschal mit einem Faktor abgemindert

werden: 25

15λ−=k für 10 25λ< < .

In Deutschland gibt es bezüglich der Durchführung der Nachweise für Bogenbrücken keine Besonderheiten. International existieren jedoch Nachweisregeln, die auf Bogenbrücken ausgerichtet sind. Im Gegensatz zu anderen Vorschriften ist hier der Nachweis der Gebrauchstauglichkeit zu erbringen. Dazu muss nachgewiesen werden, dass • die Randspannung im Gebrauchstauglichkeitszustand kleiner als 65 % der

charakteristischen Druckfestigkeit des Mauerwerk ist und • die rechnerischen vertikalen Durchbiegungen im Bogenscheitel unter Verkehrslast kleiner

als 1/1.000 der Bogenspannweite sind. Für die Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit legt der britische BABTIE Draft [271] fest: • Risstiefe kleiner 0,25 × h • Spannung kleiner 0,4 × fk • Keine Zugspannung und Torsion unter quasi-ständigen Einwirkungen Die normativen Nachweise basieren auf einem Sicherheitskonzept. Wenn nun, wie bei historischen Bauwerken häufig der Fall, die normativen Nachweise nicht erfüllt werden können, erscheint es vernünftig, die Grundlagen des Sicherheitskonzeptes zu hinterfragen, um mögliche Reserven in diesem Bereich zu erschließen. Das heißt nicht, dass die


153

Sicherheitsanforderungen für historische Bauwerke eingeschränkt werden sollen. Vielmehr können auf Grund der Tatsache, dass diese Bauwerke unter ganz spezifischen, klar definierten Rahmenbedingungen funktionieren, zusätzliche Informationen in das Sicherheitskonzept mit einfließen. Diese Informationen liegen in der Regel bei Neubauten nicht vor.

4.8 Qualität der Modelle In den letzten Kapiteln wurden verschiedene Modelle zur Beschreibung von Natursteinbogen-brücken bzw. deren Elementen vorgestellt. Dabei unterschieden sich die Modelle hinsichtlich der Komplexität, der Anzahl der erforderlichen Eingangsgrößen und der Genauigkeit des Ergebnisses. Unter der Annahme, dass alle Eingangsgrößen bekannt sind, sollte ein komplexeres Modell Ergebnisse mit einer höheren Genauigkeit liefern. Gerade bei historischen Bauten allgemein und bei Mauerwerksbauten speziell ist aber eine Vielzahl von Eingangsgrößen nur schwierig messtechnisch erfassbar. Dadurch kann ein sehr komplexes Modell, welches ursprünglich mit dem Ziel einer höheren Genauigkeit entwickelt wurde, unter Umständen eine geringere Genauigkeit liefern. Ideal wäre ein Verfahren, welches mit einer geringen Anzahl Eingangsparameter eine hohe Genauigkeit erzielt, in dem die vorhandenen Daten maximal genutzt werden können. Es existieren deshalb verschieden Empfehlungen für den Modellierungsaufwand bei der Nachrechnung von historischen Mauerwerkskonstruktionen. LOURENÇO [319] empfiehlt für die Nachrechnung historischer Mauerwerksbauwerke: • ziehe, soweit möglich, einfache Modelle komplexen Modellen vor, • wähle ein Modell, welches prüfbar ist und dem man vertrauen kann, • modelliere einzelne Elemente der Bauwerkes anstelle einer ganzen Struktur, • verwende nur dreidimensionale Modelle, wenn sie notwendig sind, • vermeide linearelastische Berechnungen für historische Bauwerke Für die Anwendung von 3D Modellen bei der Untersuchung von Steinbogenbrücken sprechen sich HARVEY, TOMOR & SMITH [241] aus. Weiterhin wird der Unterschied der Auswirkungen von Vereinfachungen dargelegt. Während bei Neubauten die Kosten für eine geringe Überbemessung kaum beachtenswert erscheinen und im einstelligen Prozentbereich liegen, kann eine Unterschätzung der Tragfähigkeit des historischen Bauwerkes zu umfangreichen Verstärkungsmaßnahmen oder sogar zum Abriss führen (DALY [122]). Eine Bilddokumentation über den Abriss einer historischen Steinbogenbrücke findet man bei [1].


154

Komplexere Modelle benötigen i.d.R.mehr Eingangsgrößen

Abb. 88: Abhängigkeit der Qualität eines Modells von der Anzahl der Eingangsgrößen und der Komplexität des Modells


155

5 Untersuchungsmöglichkeiten an Bogenbrücken “Here and elsewhere, we shall not obtain the best insight into things until we see them growing from the beginning.” ARISTOTELES aus VANMARKE, E. [561]

5.1 Einleitung Die Bereitstellung der für eine rechnerische Modellierung notwendigen Eingangsgrößen in Form einer Bauwerkserkundung ist ein wesentlicher Bestandteil bei der Untersuchung existierender Bauwerke. Sie steht oft in Interaktion mit der Erstellung eines rechnerischen Modells. Während bei neuen Bauwerken die Konstruktion der Idee des statischen Systems folgt, ist der Sachverhalt bei existierenden Bauwerken umgekehrt: Hier wird die Konstruktion untersucht, um das statische System zu erfassen. Oft liegen zu Beginn einer solchen Untersuchung unzureichende Daten vor (LOURENÇO [319]): • wichtige geometrische Daten sind unbekannt, • Informationen über den inneren Aufbau der Konstruktion fehlen oder sind unvollständig, • die Eigenschaften der Baumaterialien sind unbekannt und teilweise schwer nachprüfbar, • die Art und Weise der Herstellung des Bauwerkes ist unbekannt, • mögliche Schäden im Bauwerk sind unbekannt, • Berechungsgrundlage des Bauwerkes ist unbekannt und heutige Normen nicht anwendbar

auf derartige Bauwerke, • es treten große Streuungen bei den mechanischen Eigenschaften der Baumaterialien auf,

teilweise auf Grund der Bauweise, teilweise auf Grund der Verwendung von Naturbaustoffen (siehe hierzu auch GORETZKY [217], FRANKE, DECKELMANN & GORETZKY [190], KIRTSCHIG [290]).

Um das Tragverhalten der Konstruktion wirklichkeitsnah beschreiben zu können, muss eine Bauwerkserkundung durchgeführt werden. Bei einer solchen Erkundung kann man sich ver-schiedener Technologien bedienen. In Tab. 42 sind verschiedene Verfahren zusammen-gestellt. Weitere Verfahren zur Untersuchung von Mauerwerkskonstruktionen finden sich in SCHUEREMANS & VAN GEMERT [494]. Prinzipiell unterscheidet man in zerstörende, zerstörungsarme und zerstörungsfreie Prüfverfahren.


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Tab. 47: Zusammenstellung möglicher Verfahren zur Untersuchung von historischen Mauerwerksstrukturen nach SCHUEREMANS et al. [495], siehe auch WENZEL & KAHLE [586] Verfahren Eigenschaften Anwendung Sichtung historischer Unterlagen

ND, IS, IL Gewinnung von Informationen über die Bauwerksgeometrie, die Bauwerksmaterialien, Bau-werksveränderungen und über die Belastungsgeschichte

Visuelle Bauwerksuntersuchung

ND, IS Bildet die Grundlage aller Untersuchungen, da billig, effizient und zerstörungsfrei. Die Verwendung von Schadensatlanten und Expertensystemen kann dabei nützlich sein.

Fotogrammetrie ND, IS Verwendung für Dokumentation, zunehmend auch für Messungen, z.B. von großen Rissen

Messung des elektrischen Widerstandes

ND, IS Qualitative Erfassung von Mauerwerkseigenschaften, wie Hohlräume, Schichten etc. Häufig verwendet vor und nach Verpressungen

Radiographie ND, IS Durch die Durchstrahlung des Mauerwerks mit Gammastrahlen können Hohlräume, Stahlanker etc. erfasst werden. Für Mauerwerk müssen allerdings sehr leistungsstarke Geräte verwendet werden. Dies führt zu großen Sicherheitsauflagen.

Infrarotthermographie ND, IS Erfassung von Mauerwerksschichten, Hohlräumen etc. Magnetoskopische Untersuchungen

ND, IS Erfassung von Stahlelementen in dicken Mauerwerkswänden möglich

Radaruntersuchungen ND, IS Erfassung von Mauerwerksschichten, Hohlräumen etc. Impulsuntersuchung ND, IS Durch Hammerschläge werden 0,3-0,5 kHz-Wellen im

Material erzeugt. Die Wellengeschwindigkeit ist ein Maß für die Dichte des Materials. Dadurch können Dichteschwankungen im Mauerwerk erfasst werden.

Ultraschalluntersuchung ND, IS Erfassung von Dichteänderungen. Wird in der Regel nur bei homogenen Materialien (Naturstein) verwendet. Bei der Anwendung in Mauerwerk werden in der Regel nur geringe Messtiefen erreicht.

Vibrationsuntersuchung ND, IS Ermittlung relativer Steifigkeitsunterschiede und Erfassung von Schäden bei Beobachtungen über lange Zeiträume

Endoskopie ND, SD, IS Visuelle Untersuchung der inneren Struktur von Mauerwerk. Oft in Verbindung mit Videountersuchungen. Wird in der Regel nach Bohruntersuchungen durchgeführt.

Flat Jack D, IS Erfassung der Spannungsdehnungslinie und der Druckfestigkeit von Mauerwerk

Belastungstests ND, IS Überprüfung der Tragfähigkeit eines Bauwerkes bis zu einer bestimmten Grenze

Monitoring IS Kontinuierlich Erfassung wichtiger Bauwerksdaten, wie z.B. Dehnungen, Rissweitenentwicklung etc.

Legende: D: Zerstörend (Destruktiv); SD: zerstörungsarme (Semi-destruktiv); ND: zerstörungsfreie (Non-destruktive), IS: Auf der Baustelle (In-situ); IL: Im Labor


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5.2 Zerstörende Verfahren Für die rechnerische Untersuchung werden neben der Geometrie auch Materialkenngrößen benötigt. Die Materialkenngrößen werden durch materialtechnische Versuche ermittelt. Dazu sind Probekörper erforderlich.

Für Mauerwerk findet sich in der Literatur der Vorschlag der Entnahme von nicht benötigten Steinen aus einem Bauwerk (STIGLAT [527]). Dies ist in der Realität ohne Einschränkung der Funktionsfähigkeit eines Bauwerkes kaum möglich. Auch sollte aus denkmalschützerischen Gründen die visuelle Veränderung des Bauwerkes durch Baumaßnahmen so gering wie möglich sein (BUDELMANN [73], WENZEL [588]).

Auch wenn die Materialentnahme durch Bohrungen lt. STIGLAT [527] und BERNDT [35] für die Abschätzung von Mauerwerksfestigkeiten Unsicherheiten in sich birgt, überwiegt der Vorteil der einfachen technologischen Gewinnung. Die Bohrungen können neben der Materialbeschaffung auch zur Prüfung des Aufbaus von Bauwerken dienen. Die visuelle Störung des Bauwerkes ist im Verhältnis zur Menge an gewonnenem Material außer-ordentlich gering, wenn bei Brückenbauwerken vertikal von der Fahrbahn in die Brücke gebohrt wird. Neben den Materialproben und dem möglichen Blick in das Bauwerk (Endoskopie) erlaubt der Bohrvorgang selbst Rückschlüsse auf Mauerwerkseigenschaften. Ein wichtiger Indikator für den vor dem Bohrvorgang vorhandenen Porenraum im Mauerwerk ist der Verlust an Kühlwasser. Ebenso können die Bohrprotokolle mit den an den Bohrkernen gesichteten Materialien verglichen werden.

STIGLAT [527] empfiehlt, Bohrkerne nicht kleiner 200 mm für die Ermittlung der Belastbar-keit von Natursteinmauerwerkswänden zu verwenden. Dieser Empfehlung konnte in der Praxis oft nicht gefolgt werden. Die Bohrdurchmesser liegen darum oft im Bereich von 10 bis 15 cm.

Nach der Gewinnung der Bohrkerne werden diese gesichtet (Abb. 89). Anschließend kann ein Profil erstellt werden und eine Einteilung der Bohrkerne gemäß Definition DIN 4022 [146] (großstückig, stückig, kleinstückig) erfolgen. Anschließend können aus den Bohrkernen Probekörper für Materialversuche gewonnen werden. Auch für chemische, spektrographische und mikroskopische Untersuchungen kann Material bereitgestellt werden.

Über Bohruntersuchungen an einer historischen Bogenbrücke berichtet auch AOKI ET AL. [9].

5.3 Zerstörungsarme Verfahren Zu den zerstörungsarmen Prüfverfahren gehören nach FORDE [189]: • Pull-out tests, • Pull-off tests, • Penetration test (Windsor-Probe, Schmidthammer). Auf diese wird hier nicht weiter eingegangen.


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Abb. 89: Bohrkerne

5.4 Zerstörungsfreie Verfahren Für Mauerwerksbrücken können mit zerstörungsfreien Verfahren Angaben zu: • Form und Aufbau der Kämpfer, • Dicke des Bogens, • Aufbau der Hinterfüllung und Suche nach Spargewölben, • Dichte der Hinterfüllung. gemacht werden (nach FORDE [189]). ASTUDILLO [15] stellt die Anwendung zerstörungsfreier Messverfahren bei der Untersuchung von Brücken vor. BENSALEM ET AL. [32] verwendet zerstörungsfreie Messungen zur Erfassung des Abfalls des Sicherheitsfaktors vom Grundwert. AOKI ET AL. [10] und BINDA & SAISI [44] haben ebenfalls zerstörungsfreie Verfahren zur Untersuchung von Mauerwerk verwendet. WENDRICH [585] und MAIERHOFER, WENDRICH & KÖPP [328] stellen ein europäisches Forschungsprojekt ONSITEMASONRY zur Untersuchung der Möglichkeiten zerstörungsfreier Prüfung von Mauerwerk vor bzw. berichten über erste Versuche.

5.4.1 Ultraschall Für die Anwendung von Ultraschall zur Untersuchung von Mauerwerk gibt es eine Vielzahl von Arbeiten. Beispielhaft dafür sei hier nur SCHUBERT, KÖHLER & LAUSCH [485] oder MÜLLER & GARKE [378] genannt. Die prinzipielle Idee wird kurz beschrieben (entnommen PFEFFERKORN [416]).


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Mechanische Wellen breiten sich in einem Material umso besser aus, je dichter dieses ist und je besser die Bindungsverhältnisse sind. Die Ultraschalluntersuchung nutzt diese Tatsache. Dazu werden in den zu untersuchenden Körper Schallwellen im Bereich von 46 bis 350 kHz eingetragen und von einem Empfänger registriert. Aus der Laufzeit der Wellen kann dann die Ultraschallgeschwindigkeit im Material bestimmt werden und diese mit Zielwerten verglichen werden (Tab. 48). Diese ist abhängig von einigen Materialeigenschaften, wie Gefügestruktur, Porengehalt etc., so dass indirekt Informationen darüber gewonnen werden. Allerdings treten in der Praxis Störfaktoren, wie z.B. Wasser oder Feuchtigkeit auf, die die Ultraschallgeschwindigkeit beeinflussen.

5.4.2 Impact-Echo-Verfahren Auch das Impact-Echo Verfahren basiert auf der Idee, dass im ungestörten Material eine bessere Wellenausbreitung erfolgt. Hier werden allerdings mit einem Hammer Stöße in Mauerwerkswände eingetragen. Die eingetragenen Impulse werden mit Aufnehmern erfasst. Die Anzahl der Impulse wird ausgewertet. Bei beschädigtem Material fällt die Anzahl der Impulse geringer aus als bei einem unbeschädigten und homogenen Material. (LEAIRD [307]) Gemäß FORDE [189] liegt der Frequenzbereich zwischen 1 kHz bis zu 300 Hz. Nach FORDE [189] ist das Impact Echo Verfahren bereits erfolgreich zur Untersuchung des Aufbaus von Kämpfern und Widerlagern bei Brücken in Schottland verwendet worden.

Tab. 48: Beispiele für mittlere Ultraschallgeschwindigkeiten in verschiedenen Materialien

Material mittlere Ultraschallgeschwindigkeit in m/s Gutes Ziegelmauerwerk 3.100 Schlechtes Ziegelmauerwerk 2.500-2.700 Konstruktionsbeton >4.500 Granitmauerwerkspfeiler 3.300-3.500 Roter Sandsteinpfeiler 1.970 Gelber Sandsteinpfeiler 2.040 Weißer Sandsteinpfeiler 1.700 Stahlstab 5.100 Stahlkörper 6.100 Trockener sandiger Boden 200-300 Trockener sandiger Lehm 400-600 wassergesättigter sandiger Lehm 1.300-2.400 Wasser 1.430-1.680 Kalkstein und Dolomit 4.000-6.000

5.4.3 Radar Die folgende Vorstellung der Radarmethode ist überwiegend KÖHLER [295] entnommen. Die Radarmethode ist eine Weiterentwicklung üblicher Georadarmethoden, die traditionell für die


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Untersuchung von Bodenstrukturen eingesetzt werden. Weitere Anwendungsbereiche sind Untersuchungen von Bauteilstrukturen, Fundamentresten, verschütteten Gewölben und archäologischen Ausgrabungen. Siehe hierzu Beispiele in KAHLE & ILLICH [285], ILLICH [267], bei der BAM [20], [21] oder WIGGENHAUSER & MEYERHOFER [592]. Bei Radaruntersuchungen werden Radarwellen in das Innere eines Bauteiles eingebracht. Treffen diese Wellen auf Inhomogenitäten, wie Trennflächen, Sprünge, Änderungen des Feuchte- und Salzgehaltes, Hohlräume oder Metallgegenstände im Bauteil, so werden die Radarwellen reflektiert. Die Sende- und Empfangsantenne sind bei der Radaruntersuchung oft nebeneinander in einem Gehäuse untergebracht (Abb. 90). Dadurch kann die Intensität und Laufzeit der Wellen gemessen und die Tiefenlage der Reflektionsschicht berechnet werden. Die kombinierten Sende- und Empfangsantennen werden langsam über das Bauteil bewegt, um nicht nur punktuelle Ergebnisse zu erhalten. Die Daten werden in der Regel gespeichert, um später ausführliche Auswertungen zu ermöglichen. Die bei den Messungen gewonnenen Tiefenprofile können dreidimensional zusammengestellt werden. Die häufig verwendeten 1 GHz-Antennen besitzen eine Eindringtiefe von ca. 1,0-1,5 m. Die Auflösung hängt wesentlich von der Frequenz ab und beträgt bei 1 GHz ca. 3 cm. Bei Mauerwerksbogenbrücken wurden häufig niedrige Frequenzen (100 MHz) verwendet (FORDE [189]). Die Radaruntersuchung diente dabei zur Erfassung von Rissen und Hohlräumen, zur Erfassung des Salzgehaltes in Beton und Mauerwerk und zur Erfassung der Höhe des kapillaren Steigens des Wassers im Mauerwerk (FORDE [189]). CLARK et al. [101], [102] beschreibt Radar- und Infrarotuntersuchungen an einer Bogenbrücke im Labor mit dem Ziel der Feuchtigkeitserfassung.

Abb. 90: Naturstein mit Radarantenne (Labor KÖHLER)


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Um einen Eindruck über die Qualität der Ergebnisse von Radar- und Ultraschallunter-suchungen zu geben, sind in Tab. 49 die Ergebnisse zweier Ultraschall-, einer Radar-untersuchung und der gemessenen Biegefestigkeiten von Granitsteindeckern angegeben (CURBACH, GÜNTHER & PROSKE [114]).

Tab. 49: Vergleich der ermittelten Festigkeiten von Granitsteindeckern mit verschiedenen Verfahren

Stein-decker

Ultraschall Ultraschall Radar Gemessene Biege-zugspannung in MPa

1 geringe Festigkeit geringe Festigkeit geringe Festigkeit 4,233 2 mäßige bis gute - gute bis sehr gute 9,664 3 mäßige bis gute gute bis sehr gute gute bis sehr gute 12,700 4 gute bis sehr gute geringe bis mäßige mäßige bis gute 9,534 5 gute bis sehr gute - geringe 10,207 Es zeigt sich, dass alle Verfahren den besonders wenig tragfähigen Stein ermitteln können. Bei den anderen Steinen gibt es dagegen erhebliche Abweichungen.

5.4.4 Leitfähigkeitsmessung Leitfähigkeitstests können zur Erfassung des Salzgehaltes des Mauerwerks und Erfassung der Dicke der Steine verwendet werden (FORDE [189]).

5.4.5 Tomographie COTE [109] stellt die tomographische Untersuchung der Pfeiler des Le Pont-Neuf in Paris vor. Zunächst wurden bei der topographischen Untersuchung 250 Einzelmessungen am unverpressten Pfeiler durchgeführt. Mit den Messergebnissen konnte ein räumliches Bild der Geschwindigkeitsverteilung der Ultraschallwellen im Pfeiler konstruiert werden. Anschließend wurde die Geschwindigkeit in Dichte übersetzt. Dabei zeigte sich eine große Inhomogenität des verwendeten Kalksteins im Inneren des Pfeilers. Daraufhin wurde der Pfeiler verpresst und anschließend wieder topographisch untersucht. Nach dem Verpressen zeigen die topographischen Bilder eine größere Homogenität.

5.4.6 Experimentelle Tragfähigkeitsuntersuchung Neben den bisher genannten Verfahren bietet sich auch eine experimentelle Tragfähig-keitsuntersuchung von Bogenbrücken an. Grundlegende Arbeiten zur experimentellen Bestimmung der Tragfähigkeit von Brücken wurden von OPITZ und STEFFENS veröffentlicht. Als Beispiele für Messungen wird die Schrotebrücke und Anna-Ebert-Brücke in Magdeburg genannt (MILDNER [359]). Auch VOCKRODT & SCHWESINGER [566] führten experimentelle


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Tragfähigkeitsuntersuchungen an einer historischen Bogenbrücke durch. STEFFENS [523], GUTERMANN & STEFFENS [228] und GUTERMANN [229] geben Erläuterungen und zeigen Beispiele der experimentellen Traglastuntersuchung. Über experimentelle Traglastunter-suchungen an Bogenbrücken berichten auch FANNING & BOOTHBY [179]. Die Dauerüber-wachung eines Viaduktes wird von BOLLE [51] vorgestellt. Die fotogrammetrische Erfassung von Verformungen an einer Gewölbebrücke wird von ALBERT & SEYLER [6] erläutert. Über experimentelle und numerische Untersuchungen von massiven Gewölbebrücken berichten ferner SLOWIK, FIELDER & KAPPHAHN [505] und SLOWIK [506].


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6 Schäden an Bogenbrücken „Die Brücke - das ist der quasirationale Tatbestand im Bild, der die Spannung ausgleicht. Dieser Ausgleich steht aber der Wirkung der im Bild eingeschlossenen Naturkräfte nicht im Wege. Cézanne überzeugt uns, dass Natur und vernünftiges Beginnen des Menschen sich nicht widersprechen.„ M.W. ALPATOW über Brücken in den Bildern P. CÉZANNE (1839-1906) aus R.F. BECQUÉ [27]

6.1 Allgemeines In der Biologie ist Altern ein Vorgang des späteren Lebensabschnittes. Altern ist kein krankhafter Zustand. Er ist aber mit einer fortschreitenden Verminderung der Fähigkeiten des Organismus verbunden, den Anforderungen der Umwelt gerecht zu werden. Weiterhin wird Altern mit reduzierten Organreserven definiert. (STRASSER [529]) Diese Eigenschaften treffen nicht nur auf lebende Wesen und Gesellschaften, sondern auch auf technische Erzeugnisse zu. Der Ingenieur muss die Alterung einer Baustruktur berücksichtigen, soll das geforderte Sicherheitsniveau eines Bauwerks über die geplante Lebensdauer erfüllt werden. Das Bauwerk soll also nicht nur im Neuzustand alle Funktionen erfüllen und attraktiv sein, sondern auch am Ende seines Lebens. Im englischen Sprachraum spricht man gelegentlich von graceful degradation (anmutige Alterung) als einer wünschenswerten Eigenschaft von technischen Erzeugnissen. Bei Stahlbetonkonstruktionen (DIN 1045-1 [138]) sind lebensdauerbeschränkende, so genannte dauerhaftigkeitsbeschränkende Einwirkungen relativ klar identifiziert, wie z.B. Karbonatisierung, Chloridangriff, Sulfatangriff, Frost-Tausalzangriff etc. Auch für Natursteinmauerwerk in Bogenbrücken existieren solche dauerhaftigkeitsbeschränkenden Einwirkungen. Sie führen zu einer Veränderung der Beschaffenheit der Konstruktion und teilweise zu Schäden. Solche Veränderungen in Form von Schäden können an vielen historischen Bogenbrücken beobachtet werden. Das liegt allerdings nicht so sehr an der geringen Qualität dieser Brücken als vielmehr an dem hohen Alter in Verbindung mit steigender Beanspruchung. Eine Definition des Begriffes Schaden findet sich im Kapitel Sicherheitskonzept. Schäden an Steinbogenbrücken können sein (BIEN & KAMINSKI [40]):

• Inkompatible Verformungen (Verformungen, die zu Veränderungen der ursprünglichen Geometrie des Bauwerkes führen),

• Materialzerstörung (chemisch oder physikalisch), • Materialdiskontinuitäten (Risse),


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• Materialverlust (heraus gefallene Steine), • Schäden an Schutzeinrichtungen (Beschädigte Abdichtung), • Verformungsschäden (Verformungen am Bauwerk, die aber nicht zu Veränderungen

der ursprünglichen Geometrie des Bauwerkes führen, dazu werden z.B. herausgeschobene Stirnwände gerechnet),

• Verschmutzungen (Pflanzenbewuchs, Beschmierungen etc.). Typische Schadensbilder an Bogenbrücken zeigen u.a. YÁÑEZ & ALONSO [8] (Abb. 91). Eine Klassifikation der Schadensbilder an Steinbogenbrücken der europäischen Eisenbahn-gesellschaften stellt ORBÁN [398] in Tab. 50 vor. MILDNER [359] nennt ebenfalls häufige Schäden an Mauerwerksbogenbrücken.

Riss im Übergang zum WiderlagerRiss in der BrüstungEckrissHerausgefallene SteineAblösungenLängsrissAblösung des BogensAblösung der StirnwandRisse in der FlügelwandKreuzrisseScheitelrissSchmutzablagerungen

1 3

1

4 6

57

8

2

9

123456789101112

Abb. 91: Häufigste Schäden an Bogenbrücken nach ANGELES YÁÑEZ & ALONSO [8]


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Tab. 50: Beschädigungsgrad der Steinbogenbrücken der Eisenbahngesellschaften in Europa nach ORBÁN [398]

Nr. Schadenstyp 1 Note 2 1 Schäden an der Abdichtung 3 2,1 2 Materialalterung 2,4 3 Ablösung und Bewegung der Flügelwände 3,0 4 Ablösung und Bewegung der Stirnwände 3,5 5 Schäden an Pfeilern, Widerlagern und Fundamenten 4,0 6 Geometrische Probleme der Tragstruktur 4,0 7 Andere Probleme 4 4,0 8 Risse im Bogen durch Setzungen bzw. Rutschungen 4,2 9 Schäden am Fahrbahnübergang 4,3 10 Beschädigungen durch Überlastung 4,3 11 Verformungen 4,4 12 Risse im Bogen durch Überlastung 4,5 13 Schäden durch konzentrierte Lasten an der Brüstung 4,6 1 In vielen Fällen kann die Schadensursache nicht mehr ermittelt werden. 2 Berechnet als Mittelwert aus den Angaben der einzelnen Eisenbahnverkehrsgesellschaften. Die Ziffern bedeuten: 1 = Sehr häufig = ca. 50 % der Brücken 2 = Häufig = ca. 25 % der Brücken 3 = Gelegentlich = ca. 10 % der Brücken 4 = Selten = ca. 5 % der Brücken 5 = Ausnahme = weniger als 5 % der Brücken 3 Viele historische Brücken wurden ohne Abdichtung erbaut. Trotzdem sind natürlich an diesen Brücken Wasserschäden zu beobachten. Diese Brücken wurden mit dazugezählt. 4 Andere Probleme sind Schäden infolge Pflanzenbewuchs, Schäden infolge Erdbeben, Schäden infolge Anprallen, Schäden infolge falscher Instandsetzung, Schäden infolge Instandhaltung der Eisenbahnstrecke, Beispiele für den Einsturz von Bogenbrücken sind auch aus der jüngeren Geschichte bekannt. Am 9. April 1978 stürzten sechs der 15 Bögen der Wilson Brücke in Tours, Frankreich ein [549], [454]. Ein zweites Beispiel ist der Einsturz zweier Pfeiler und der zugehörigen Bögen der Brücke Molins de Rei in der Nähe von Barcelona [549]. Ein Pfeiler stürzte am 7. Februar 1971 und der zweite am 1. Januar 1972 ein. In [549] werden Bilder der Einstürze beider Brücken gezeigt. Weiterhin versagte der Bogen der Westminister Bridge in Humberside Country 1983 [543].

Neben den Konstruktiven Schäden können auch Schäden am Baustoff selbst auftreten. Mauerwerk ist, wie bereits erwähnt, ein Mehrkomponenten-Baustoff. Prinzipiell kann man daher die Schäden am Mauerwerk in Mörtelschäden und Steinschäden unterteilen.


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6.2 Verwitterung des Fugenmaterials

Das Fugenmaterial, also der Mörtel, besitzt in der Regel eine deutlich geringere Festigkeit und Lebensdauer als die Natursteine. Natursteine können Hunderte oder Tausende von Jahren ihre Eigenschaften erhalten und nur geringe Verschleißerscheinungen zeigen, während Verwitterungen und Auswitterungen des Fugenmaterials die Regel sind. In die ausgewitterten Fugen kann Feuchtigkeit leichter eindringen und die Verwitterung des Fugenmateriales weiter beschleunigen. Auch kann das eingetretene Wasser zu Auswaschungen führen. Abb. 92 zeigt die Möglichkeit des Eindringens von Wasser bei hervortretendem Mörtel.

Stein

Altmörtel

Stein

Verfug-mörtel

Abb. 92: Eindringen von Feuchtigkeit in die Fuge nach BARTUSCHKA [24]

6.3 Abplatzungen und Schalenbildungen

Oberflächennahe Schäden am Naturstein treten oft als Abplatzungen oder Schalenbildungen auf (Abb. 93). Diese Schäden werden in Abhängigkeit von der Tiefe klassifiziert: • Abmehlen der Steinoberflächen in konvexer oder konkaver Form • Abblättern der Oberflächen in dünnen Schichten und Häuten • Abplatzen stärkerer Steinschichten von 10 mm und mehr Die Ursachen für solche Schäden sind vielfältig. Klassische Abwitterung, Bindemittelverlust, Rissbildung durch Frosteinwirkung, Bakterien als Nitrifikanten oder durch Salze sind möglich. Hierzu existiert umfangreiche Literatur, wie SAUDER & WIESEN [466], BEEGER [29], POSCHLOD [422], WEISS [583], [468] oder BLÄUER [46]. Ein interessantes Beispiel für schalenförmige Abplatzungen liefern MANN et al. In einem Eisenbahntunnel traten Abplatzungen durch die chemische Umwandlung des Mörtels in Gipsmörtel durch die Rauchgase von Dampflokomotiven auf. Über den Zustand bewitterter Mauerwerksoberflächen berichtet auch GARRECHT [206].


167

Unveränderter SteinAuflockerungszone

Verdichtungszone durch Auskristallisation

SchmutzkrusteBlasenförmige Ablösung der Schale

Schale bereits abgelöst und aufgerissen

Glimmer- oder Tonlage (Wassereindringmöglichkeit)Ablösung dünner Gesteinslagen infolge Frost- bzw. Salzsprengung

Unveränderter Stein

Abb. 93: Abplatzungen und Schalenbildungen nach BARTUSCHKA [24]

6.4 Salzangriffe Bauschädliche Salze sind durch ihre Löslichkeit in Wasser gekennzeichnet. Neben der hygroskopischen Feuchteaufnahme schädigen Salze aber auch durch treibende Angriffe. So treten im Wechselspiel von Durchfeuchtungen und Trocknung kristalline Phasen des Salzes auf, die in der Regel mit einer Volumenvergrößerung einhergehen. Ist das Porensystem gesättigt, so kann der Kristallisationsdruck Zerstörungen im Baustoffgefüge verursachen. Neben dem Kristallisationsdruck kann auch ein Hydratationsdruck entstehen und zur Zerstörung des Materials führen. Hierbei lagern die Salze in gewissen Temperaturbereichen chemisch Wasser an. Auch dieser Prozess ist mit einer Volumenvergrößerung verbunden. Angaben zum Kristallisations- und Hydratationsdruck in Abhängigkeit von der Sättigung finden sich z.B. bei WEBER [577]. Die wichtigsten bauschädlichen Salze sind noch einmal in Tab. 50 zusammengefasst. Im Vergleich zur Feuchtigkeit führen Salze in der Regel zu größeren Schäden. Jedoch benötigen Salze die Feuchtigkeit als Transportmedium, so dass in der Regel immer beide Schadenstypen auftreten. [577] Schäden in Verbindung mit Feuchte und Salzen sind [577]: • Frostschäden, • Schalenbildungen durch hygrisches Quellen und Schwinden, • Kristallisationsschäden durch Salze, • Hydratationsschäden durch Salze, • Frost-Tausalz-Schäden, • Bindemittelumwandlungen hervorgerufen durch saure Abgase, • Schäden durch Mikroorganismen.


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Tab. 51: Die wichtigsten bauschädlichen Salze sind nach WEBER [577]

Sulfatverbindungen MgSO4 · 7 H2O Bittersalz, Magnesiumsalz CaSO4 · 2 H2O Gips, Kalziumsulfat Na2SO4 · 10 H2O Glaubersalz, Natriumsulfat Nitratverbindungen Mg(NO3)2 · 6 H2O Magnesiumnitrat Ca(NO3)2 · 4 H2O Kalziumnitrat 5 Ca(NO3)2 · 4 NH3NO3 · 10 H2O Kalksalpeter Chloridverbindungen CaCl2 · 6 H2O Calciumchlorid NaCl Kochsalz, Natriumchlorid Carbonatverbindungen Na2CO3 · 10 H2O Soda, Natriumkarbonat K2CO3 Pottasche, Kaliumcarbonat Da Salzschäden durch Behinderung des Wassereintrittes ausgeschlossen oder verzögert werden können, dient die Hydrophobierung der Steine auch zum Schutz vor Salzschäden. Bei normal saugfähigen Baustoffen wird das Wasser mehr oder weniger schnell aufgesaugt. Der Benetzungswinkel geht gegen Null. Durch Hydrophobieren kann man aber den Benetzungswinkel konstant auf Werte zwischen 90° und 180° halten. Dies führt, da die Saugfähigkeit vom Kosinus des Benetzungswinkels abhängt, zu einer negativen Steighöhe und damit verbunden zu einer Aufhebung des kapillaren Saugens. Der Baustoff wird also nicht abgedichtet, er verliert vielmehr seine Saugfähigkeit durch das Hydrophobieren. Wasser, welches unter Druck an dem Baustoff ansteht, kann trotzdem in den Baustoff eindringen.

6.5 Chemische Verwitterung Die chemische Verwitterung beschreibt einen natürlichen Umwandlungsprozess des Mauerwerksmateriales infolge verschiedener chemischer Reaktionen. Meistens ist die Einwirkung von Feuchtigkeit die Grundlage für diese chemischen Reaktionen. Mit der Feuchtigkeit und Schwefeldioxid, Stickoxiden oder Kohlendioxid aus der Luft werden Säuren und Basen gebildet. Diese Chemikalien lösen dann die Bindemittel aus dem Naturstein und führen zu Ausblühungen, Absanden, Abblättern oder Abbröckelungen von Steinmaterial. (BARTUSCHKA [24])

6.6 Biologische Verwitterung Unter biologischer Verwitterung versteht man eine Beschädigung des Baumaterials bzw. Bauwerkes durch biologische Vorgänge, in der Regel Bewuchs. Es handelt sich z.B. um Bemoosung oder Bewuchs durch größere Pflanzen, bei denen die Wurzeln tief in das Mauerwerk eindringen. MATTHECK, TESARI & BETHGE [341] nennen 0,4 bis 0,7 MPa Druckkraft in Querrichtung von Baumwurzeln und bis 50 MPa Zugkraft in Längsrichtung der Baumwurzeln. Verankert sich ein Baum durch die Wurzel und überträgt er die genannten Kräfte in Steine, so kann es zu Bewegungen der Steine kommen. Ein bekanntes Beispiel für die Konsequenzen von


169

Wurzelverankerungen an Gasleitungen nennen MATTHECK, TESARI & BETHGE [341]. Infolge der Wurzelverankerung des Baums an der Gasleitung wurde die Gasleitung angehoben. 1993 kam es auf Grund dieses Effektes in einer Norddeutschen Stadt zu einer Gasexplosion.

6.7 Mechanische und physikalische Verwitterung Die physikalische Verwitterung basiert auf unterschiedlichen physikalischen Eigenschaften verschiedener Materialien im Naturstein oder bei verschiedenen Natursteinen. So können z.B. verschiedene thermische Ausdehnungskoeffizienten zu unterschiedlichen Dehnungen und damit zu Spannungen führen. Diese können dann Risse verursachen. Diese Risse wiederum sind eine Eintrittsmöglichkeit für Wasser, welches zu einer Fortsetzung der Schädigung führen kann. Die physikalische Schädigung stellt aber für Brückenbauwerke in der Regel keine maßgebende Schädigungsform dar. (BARTUSCHKA [24])

6.8 Verformungen Verformungen an Elementen oder am Gesamtbauwerk können zu Schäden führen. Allerdings treten Verformungen an Bogenbrücken bereits bei der Herstellung auf: Nach dem Abbau der Schalung von Bogenbrücken zeigen die Gewölbe bereits große Verformungen. Die Gesamt-verformungen betrugen bei historischen Brücken aus dem 18. Jahrhundert bis zu 1,1 cm/m Spannweite im Scheitel. Um Risse in den Stirnwänden zu vermeiden, wurden diese oft erst ein halbes Jahr nach dem Bogen errichtet. Bis zu diesem Zeitpunkt war oft ca. 1/3 der Kriechverformungen im Bogen abgeklungen. Die großen Verformungen traten bei den Bogenbrücken in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts nicht mehr auf (0,1-0,4 mm/m Spannweite). Diese Tatsache ist vermutlich darauf zurückzuführen, dass die Mörtelqualität besser war (Kalk-Zement-Mörtel). BRENCICH & COLLA [61] Als Beispiel für die Verformungen von Bogenbrücken wird hier die Syratalbrücke in Plauen betrachtet. Die Verformung im Scheitel betrug im Jahre 1995 55,57 cm. Bis zum Jahre 2070 soll die Verformung nur noch auf 56,90 cm steigen. Die Brücke hat eine Spannweite von 90 m. Damit entspricht die Verformung 0,55/90 m = 6/1.000. Einen zeitlichen Verlauf der Scheitelverformungen zeigt Abb. 94. Die Verformung hat verschiedene Ursachen. Den Versuch der Zuordnung der Ursachen unternimmt Abb. 95.


170

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,00

Sche

itels

enku

ng in

cm

1904

1909

1914

1919

1924

1929

1934

1939

1944

1949

1954

1959

1964

1969

1974

1979

1984

Jahr

1989

1994

1 2 3 4 5 6 7 8

Erste Schäden durch große Verformungen 1912 Erste Sanierungsarbeiten 1922/23 Umfangreiche Sanierungsarbeiten 1933 Einbringen einer neuen Bewegungsfuge 1938 Bombentreffer 1945 Reparatur durch Verplombung 1946-48 Austausch des Fahrbahnbelages 1984 Erneuerung Fahrbahnasphaltierung 1993

Abb. 94: Verformungsverlauf der Syratalbrücke mit zeitlichen Eckpunkten nach WOLFF [598]

56,72%

20,14%

12,68%

3,60%

2,88%

0,88%2,00%1,10%

KriechenElastische VerformungKriegsschädenSchwindenFrühere EingriffeZunahme des VerkehrsLehrgerüstabweichungWiderlagerverschiebung

Abb. 95: Anteil der Ursachen der Verformungen nach WOLFF [598]


171

Vertikaler Riss allein durch Stossfugen Vertikaler Riss durch Stein und Stossfuge

Horizontaler Riss allein durch Lagerfugen Horizontaler Riss durch die Steine

Diagonalriss durch Stoss- und Lagerfugen Diagonalriss durch die Steine

Senkrechter Riss durch die Steine

Abb. 96: Typische Rissarten in Mauerwerk nach AL BOSTA [5]. Zu weiteren Rissbildern in Mauerwerksbauten siehe auch JÄGER [275] und WALTHELM [572], [573].


172

Aber bereits PERRONET waren die großen Verformungen der Bögen bekannt. An der Neuilli Brücke in Paris (1782-1783) maß er nach dem Abbau des Lehrgerüstes eine Verformung von 0,7 cm pro m Spannweite. Das entsprach 60 % der gesamten Verformung über die Lebenszeit. 30 % der Verformung erfolgten in den nächsten 12 Monaten und die restlichen Verformungen wurden nach fünf Jahren gemessen. BRENCICH & COLLA [61] Mögliche Verformungen des Hauptbogens sowie Setzungen werden oft durch Risse in den Spargewölben und den Stirnwänden sichtbar. BRENCICH & COLLA [61] WEBER benennt die Verformungen für die 49 m spannende Lavourbrücke nach dem Freisetzen mit 66 mm.

6.9 Risse Unter einem Riss versteht man die physikalische Trennung eines homogenen Körpers. Die Trennung erfolgt in der Regel durch das Überschreiten der Zugfestigkeit dieses Körpers. Risse treten besonders bei Baustoffen mit einer geringen Zugfestigkeit auf. Dies gilt z.B. für den Beton, aber auch für Mauerwerk (Abb. 96). Risse stellen damit eine Schädigung eines Materials dar, die aber nicht zwingend einer Schädigung eines Bauteils oder eines Bauwerkes entspricht. Vielmehr kann die Entstehung von Rissen bei der Planung eines Bauwerkes berücksichtigt werden, sie kann sogar gewollt sein, wie z.B. beim Stahlbetonbau. Rückenfugenriss

StirnringrissQuerriss am ScheitelQuerriss am Kämpfer Längsriss

LängsrissQuerriss

Rückenfugenriss

Stirnringriss

Abb. 97: Typische Rissbilder bei Gewölbebrücken (BIENERT [42])


173

Risse in Mauerwerksbogenbrücken können ein Zeichen für eine Überlastung des Bauwerkes sein. Da die Lage der Risse im Bauwerk Hinweise auf die Art der Überlastung gibt, soll im Folgenden auf die verschiedenen Risse bei Bogenbrücken eingegangen werden (Abb. 97). Die Erläuterungen sind u.a. BIENERT [42] und dem UIC-Codex 71 [553] entnommen.

6.9.1 Längsrisse Längsrisse verlaufen parallel zur Stützweite der Brücke. Sie können über die gesamte Stützweite verlaufen oder nur in einzelnen Bereichen auftreten. Längsrisse induzieren Zugspannungen quer zur Stützweite. Diese Zugspannungen können verschiedene Ursachen haben, u.a. einseitige Setzungen des Bauwerkes (der überwiegende Anteil der Längsrisse), Querbiegung des Bauwerkes infolge einseitiger Verkehrsbelastung bei breiten Gewölben mit mehreren Verkehrsspuren oder hohe Schwindbeanspruchungen bei breiten Betongewölben. Längsrisse sind häufig auch mit Schäden an der Dichtung verbunden. Im Allgemeinen stellen Längsrisse keine unmittelbare Gefährdung für die Tragfähigkeit der Brücke dar. Risse in Längsrichtung im Bogen werden u.a. auch von BOOTHBY, HULET & STANTON [53] genannt.

6.9.2 Stirnringrisse Stirnringrisse sind eine Sonderform der Längsrisse. Stirnringrisse befinden sich direkt hinter der Stirnvormauerung im Gewölbe. Sie können bis in die Unterbauten durchlaufen. Die Ursachen für diese Risse sind in der Regel Steifigkeitsunterschiede zwischen Stirnvormauerung und Hinterfüllung, große Verkehrslasten, die zu Bewegungen der Stirnvormauerung führen oder Durchfeuchtungsprobleme bei schadhafter Dichtung. Im Gegensatz zu den gutmütigeren Längsrissen können Stirnringrisse zu deutlichen Änderungen des Tragverhaltens auf Grund der Abkopplung der Stirnvormauerung führen. Sollte die Stirnvormauerung in der Statik der Brücke mit herangezogen worden sein, so kann die Tragfähigkeit nachhaltig negativ beeinflusst werden. (BARTUSCHKA [24])

6.9.3 Rückenfugenrisse Wie die Stirnringrisse sind auch die Rückenfugenrisse Längsrisse. Auch sie entsprechen einer Trennung der Stirnvormauerung vom Gewölbe. Allerdings sind die Auswirkungen auf die Tragfähigkeit geringer, da diese Risse in der Regel bei geringer Verzahnung zwischen Gewölbe und Stirnvormauerung auftreten und daher in der Regel bei solchen Brücken die Stirnvormauerung planmäßig nicht zum Lastabtrag herangezogen wurde. Weitere Ursachen neben dem ungenügenden Verbund können Steifigkeitsunterschiede zwischen Gewölbebogen und Hinterfüllung, Schwindverkürzungen, hohe Seitenbelastungen infolge Verkehr oder Frosteinwirkungen sein. (BARTUSCHKA [24])


174

6.9.4 Querrisse Querrisse im Gewölbe verlaufen rechtwinklig zur Stützweite. Sie treten häufig im Scheitel oder im Kämpferbereich auf und sind ein Zeichen für eine Gelenkbildung im Gewölbe (Abb. 98). Sie sind damit ein ernstzunehmendes Indiz für eine hohe Auslastung des Gewölbes. Diese Risse können auch im Viertelspunkt auftreten. Ursachen für die Risse sind im Wesentlichen: Überbeanspruchung des Gewölbes bzw. Unterdimensionierung des Gewölbes, Setzungen, Eintrag konzentrierter Lasten bei zu geringer Überschüttungshöhe, ungeeignete Gewölbeformen oder Schubspannungen in horizontalen Arbeitsfugen in der Hinterfüllung.

Abb. 98: Risse bei horizontalen Verschiebungen der Widerlager (COMO [104]) Eine ausführliche Arbeit über die Beanspruchung von Gewölben durch horizontale Verschiebungen der Auflager findet sich bei OCHSENDORF [400]. OCHSENDORF hat ein Programm zur Berechnung der Stabilität von Bögen bei Horizontalverschiebungen der Auflager entwickelt.

6.9.5 Schrägrisse Schrägrisse im Gewölbe treten relativ selten auf. Die Auswirkungen auf die Tragfähigkeit müssen im Einzelfall untersucht werden. Ursachen können lokale Schwachstellen des Mauerwerks oder ungleichmäßige Lastverteilung sein. Die ungewollte Mitwirkung von Stirnvormauerungen kann im Kämpferbereich in den Stirnvormauerungen zu schrägen Rissen führen. (BARTUSCHKA [24])

6.9.6 Verschobene Steine Gelegentlich treten an Brücken einzelne verschobene Steine auf. Hier ist zu untersuchen, warum die einzelnen Steine hervortreten. Meistens kommen verschobene Steine bei Bogenbrücken mit geringer Überschüttungshöhe, hohen Einzellasten und geringem Verbund zwischen den Steinen vor. Solche Steine können für unter der Brücke verlaufenden Verkehr zu einer Gefährdung werden. (BARTUSCHKA [24])


175

6.10 Spezielle Schäden an Stirnwänden Stirnwände und Brüstungen können spezielle Schäden aufweisen. So hat MELBOURNE [347] verschiedene Schadensbilder in Abb. 99 dargestellt. Abb. 100 zeigt das Gleiten einer Stirn-wand an einer Brücke. Beispiele für das Herauskippen von Stirnwänden, im Wesentlichen nach Erdbeben, zeigt ROTA [455].

Kippen Ausbeulen

Gleiten Abtrennung

Abb. 99: Mögliche Schäden an Stirnwänden nach MELBOURNE [347]

Abb. 100: Verschobene Stirnwand COMO [104] stellt Schadensbilder der Stirnwände von Bogenbrücken durch die vertikale Setzung eines Zwischenpfeilers dar (Abb. 101). FAUCHOUX & ABDUNUR [180] haben solch ein Schadensbild tatsächlich an einer Brücke mit einer Setzung des Mittelpfeilers


176

vorgefunden. Sie haben die Brücke durch Entfernung der Hinterfüllung und Vernadeln des Bogenmauerwerks mit der neuen Hinterfüllung C 20 saniert.

Abb. 101: Schadensbildern durch vertikale Setzung eines Zwischenpfeilers (COMO [104])

6.11 Instandsetzungsverfahren

6.11.1 Allgemeines Sind an Bauwerken Schäden aufgetreten, so werden die Bauwerke Instand gesetzt. Die Instandsetzung ist ein Bestandteil der Instandhaltung. Unter Instandhaltung versteht man gemäß der DIN 31051 [145] alle Maßnahmen zur Bewahrung und Wiederherstellung des Soll-Zustandes sowie zur Feststellung und Beurteilung des Ist-Zustandes eines technischen Systems. Die Instandhaltung umfasst die Gesamtheit aller Maßnahmen aus Inspektion, Wartung und Instandsetzung. Instandhaltung beinhaltet z.B. die Schadens- und/oder Fehlersuche, das Ergreifen von Sicherheitsmaßnahmen, den Ausbau, das Zerlegen und das Prüfen von technischen Systemen, das Ausbessern und Austauschen, den Zusammenbau und den Einbau, das Einstellen sowie den Probelauf inkl. Abnahme und Freigabe. Unter Inspektion versteht man alle Maßnahmen zur Feststellung und Beurteilung des Ist-Zustandes der technischen Mittel eines Systems. Dazu gehören Prüfen, Messen, Beurteilen und Dokumentieren. (CURBACH, EHMANN, KÖSTER, PROSKE, SCHMOHL & TAFERNER [120])

Beispielhaft für die Instandhaltungsplanung sind in Tab. 52 Intervalle für verschiedene Maßnahmen angegeben.

Es ist sicher sinnvoll, im Rahmen einer Inspektion auch immer eine Wartung durchzuführen. Deshalb werden die Kosten für Inspektion und Wartung auch nicht getrennt betrachtet. Unter Wartung versteht man alle Maßnahmen zur Bewahrung des Soll-Zustandes eines technischen Systems. Hierzu gehören Prüfen, Nachstellen, Auswechseln, Ergänzen, Schmieren, Konservieren und Reinigen. (CURBACH, EHMANN, KÖSTER, PROSKE, SCHMOHL & TAFERNER [120])


177

Tab. 52: Wiederkehrperiode von Instandsetzungsmaßnahmen an Bogenbrücken nach STEELE at al. [522] Instandsetzungsmaßnahme Maßnahme alle … durchführen Bereinigung von Pflanzen, Moos etc. 5 Jahre Ersatz einzelner Steine 10 Jahre Mauerwerksinstandsetzung 15 Jahre Brüstung und Geländer erneuern 15 Jahre Sohle reinigen 20 Jahre Pfeiler sanieren 40 Jahre Sanierung 120 Jahre Großsanierung 200 Jahre

MELCHERS & FABER [354] schlagen einen Instandsetzungsfaktor gemäß 0,0 RMR R ⋅=

vor. Der Wert M hängt von der Art der Qualität der Instandsetzungsmaßnahme ab (Tab. 53). Eine hervorragende Instandsetzungsmaßnahme stellt die Tragfähigkeit eines Bauwerkes vollständig wieder her. Eine Instandsetzungsmaßnahme mit geringer Qualität führt nur zu einer 90 % Wiederherstellung der Tragfähigkeit. Hier handelt es sich allerdings um ein sehr einfaches Modell. Häufig werden gerade bei historischen Bogenbrückenbauwerken Er-höhungen der Tragfähigkeit notwendig. Wie bereits erwähnt wurden auch schon Instand-setzungsmaßnahmen durchgeführt, die eine Verringerung der Tragfähigkeit zur Folge hatten. Diese Effekte können mit dem einfachen Modell nicht berücksichtigt werden. (MELCHERS & FABER [354])

Tab. 53: Statistische Eigenschaften des Faktors M nach MELCHERS & FABER [354] Qualität der Instandsetzung Mittelwert Standardabweichung Gering 0,90 0,10 Gut 0,95 0,05 Exzellent 1,00 0,02 ORBÁN [398] hat eine Untersuchung über die Häufigkeit von Instandsetzungsverfahren von Mauerwerkseisenbahnbogenbrücken veröffentlicht (Tab. 54). Neben der einfachen Nennung wurde auch die Häufigkeit der Anwendung der Instandsetzungsmethode erfasst. ROMBOCK [454] nennt folgende Instandsetzungsverfahren für Natursteine: • Reinigung und Hydrophobierung von Naturstein, • Behandlung von Salzschäden an Natursteinmauerwerk, • Natursteinkonservierung, • Chemische Steinreinigung, • Trockenlegung von Mauerwerk, • Mechanische Steinreinigung, • Festigung von Naturstein, • Ergänzung von Naturstein.


178

Tab. 54: Verfahren zur Instandsetzung nach ORBÁN [398] Prozentzahl der Eisenbahn-

gesellschaften, die Erfahrung mit diesen Techniken haben

Verfahren zur Instandsetzung der Abdichtung - Abwasserrohe neu verlegt und durch den Bogen geführt 58 % Betonhinterfüllung bzw. Betonplatte mit Abdichtung 42 % Abdichtung ohne Verbund auf dem Bogen 33 % Injektion von Zement oder Mikrozement im Gewölbe 25 % Injektion von Gel durch das Gewölbe hindurch 17 % Verfahren zur Erhöhung der Tragfähigkeit des Bogens - Injektionen in das Gewölbe 83 % Spritzbeton an die Unterschale (sichtbare Seite) des Gewölbes 58 % Betonhinterfüllung bzw. Betonplatte auf das Gewölbe 42 % Vernadeln von Rissen mit anschließendem Verpressen der Nadeln 33 % Unterstützung des Gewölbes mit Stahlbögen 25 % Verfahren zur Erhöhung der Tragfähigkeit der Widerlager, Gründungen und Pfeiler

-

Bohrpfähle durch das Widerlager 67 % Vernadelung mit Verfüllung der Nadeln 50 % Schutz vor Auskolkungen (Spundwände, Betonmanschetten, Steinpflasterungen um den Pfeiler)

42 %

Einbau von Stahlbetonplatten 33 % Injektion in den Boden 33 % Methoden zur Herstellung der Tragwirkung der Bogenbreite Zuganker und Ankerplatten 67 % Verbindung der Stirnwände mit dem Bogen 17 % Stahlbetonfahrbahnplatte auf dem Bogen 25 % Spritzbeton auf der Bogeninnenseite und Befestigung der Stirnwände an der Spritzbetonschicht durch Zugelemente

8 %

Untersuchungsphase

Natursteinbauwerk

Schadensermittlung

DenkmalbehördeZustimmung Sanierungsvorhaben

Anforderungen an Konservierung

Sanierungsziel

VorarbeitenSchadensaufnahme, Probeentnahme

Naturwissenschaftliche Untersuchungen

Konservierungsplan

Abb. 102: Untersuchungsphase entnommen BARTUSCHKA [24]


179

Ausführungsphase

KonservierungsplanFugensanierung, Reinigung, Steinersatz, Steinaustausch,

Steinfestigkeit, Hydrophobierung, Umbau- und Verstärkungsmassnahmen

MusterplanErprobung der Sanierungsmassnahmen am Objekt

Leistungsverzeichnis

Auswahl von Fachfirmen

Ausschreibung

DenkmalbehördeZustimmung

Abnahme

Objektbetreuung

Abb. 103: Ausführungsphase entnommen BARTUSCHKA [24]

Zur Wiederherstellung bzw. Erhöhung der Tragfähigkeit von Gewölbebrücken nennt BARTUSCHKA [24] folgende Maßnahmen: • Austausch des Hinterfüllungsmateriales durch höherwertiges, bindiges Material, • Ausbildung einer Spritzbetonschale, • Aufbringen eines Ersatzbogens oder eines Verstärkungsbogens, • Ausbildung einer Brücke in Brücke (siehe z.B. auch Brücke NOTKUS & DULINSKAS [393]) • Aufbetonieren einer auskragenden Fahrbahnplatte. BARTUSCHKA [24] unterscheidet weiterhin eine Untersuchungs- und eine Ausführungsphase. Die Abläufe dieser beiden objektbezogenen Phasen sind in Abb. 102 und Abb. 103 zusammengefasst. PAGE (entnommen COST 345 [173]) gibt in Tab. 55 eine Zuordnung der Instandsetzungsmaßnahmen zu aufgetretenen Schäden an Mauerwerksbogenbrücken. Eine Zusammenfassung verschiedener Sanierungsverfahren geben auch HAMID, MAHMOUD & EL MAGD [236].


180

Tab. 55: Instandsetzungsmaßnahmen an Mauerwerksbogenbrücken nach PAGE entnommen COST 345 [173] Schaden Instandsetzungsmaßnahme Fugenschäden, Mörtelverlust Fugensanierung

Mauerwerksreparatur Betonbogen über Gewölbebrücken Spritzbetonschale Stahlmantel Austausch der Hinterfüllung Brücke in Brücke (Stahl oder Beton)

Schäden am Steinbogen

Anderweitige Reparaturtechniken Verpessungen Innere Mörtelauswaschungen (Separationen) Bewehrungselemente (Zugbänder) GEWI-Stäbe Bewegungen des Fundamentes/Widerlager Unterbauungen Bewehrungselemente (Zugbänder) Einbau von Balken Austausch der Hinterfüllung und Einbau von Beton Abriss und Neubau der Stirnwand

Bewegungen der Stirnwand

Verpressungen Trennung Stirnwand - Bogen Vernadelungen

Austausch der Hinterfüllung und Einbau von Beton Mangelhafte Hinterfüllung Bewehrung der Hinterfüllung Einbau einer Dichtung Wasserschäden Verbesserung der Entwässerung

In ROMBOCK [454] wird eine Vielzahl von Schadensfällen und Restaurierungs- und Sanierungsarbeiten an Natursteinbrücken vorgestellt. Gemäß STANDFUß & THOMASS gilt [519], dass an historischen Brücken das Aussehen so wenig wie möglich verändert werden sollte. Spritzbeton sollte nur dann als Verstärkungs-maßnahme verwendet werden, wenn die Anwendung anderer Sanierungsverfahren ausgeschlossen ist. In der Regel aber kann selbst bei stark beschädigtem Naturstein-mauerwerksgewölbe die Tragfähigkeit durch so genanntes Beimauern wieder hergestellt werden. Dazu muss ein Stützgerüst unter dem Bogen errichtet werden und anschließend werden die beschädigten Bereiche ausgemauert. Dazu müssen selbstverständlich Steine verwendet werden, die in Format und Material dem ursprünglichen Natursteinmauerwerk entsprechen. Nach der Rekonstruktion des Gewölbes ist die Abdichtung mit großer Sorgfalt herzustellen. Die Trockenlegung des Gewölbes ist die Grundlage für den Erfolg jeder Instandhaltungsmaßnahme. MABON [325] bezeichnet das Einbringen einer Hinterfüllung aus Beton und das Aufbringen einer Stahlbetonplatte als populärstes Verstärkungsverfahren von Natursteinbogenbrücken. Weiterhin nennt MABON [325] die Möglichkeit des Aufbringens von Spritzbeton und eine so genannte Oberflächenbewehrung, die in eingeschnittene Lücken eingetragen oder auf den Bogen aufgeklebt wird.


181

6.11.2 Steinsanierung Bei der Beschreibung der Schäden an Steinen wurde u.a. auf die Schäden durch Salzein-wirkung eingegangen. Die Maßnahmen gegen Salze lassen sich in zwei Gruppen einteilen: chemische Salz-behandlung und physikalische Salzbehandlung. Bei der chemischen Salzbehandlung versucht man, die schädlichen Salze im Mauerwerk in unschädliche Salze umzuwandeln. Da aber im Mauerwerk eine Vielfalt von Salzen anzutreffen ist, können durch diese Maßnahme wahr-scheinlich nicht alle Salze unschädlich gemacht werden. Die physikalische Entsalzung umfasst die Verwendung von Zwischenputzen als Salzspeicher, eine Lösung, die für Brücken nicht infrage kommen dürfte. Weiterhin sind elektro-physikalische Verfahren, basierend auf der Elektroosmose zu nennen. Neben den bisher genannten Sanierungsverfahren sollte immer auch eine Reinigung des Natursteinmauerwerks erfolgen. Tab. 56 ordnet verschiedene Reinigungsverfahren unter-schiedlichem Steinmaterial zu. Bei lokalen Steinschäden kann eine Steinergänzung erfolgen. Diese wird bis zu Fehlstellen kleiner 200 cm2 mit Restaurierungsmörtel ausgeführt. BARTUSCHKA [24]. Für Steinergänzungen aus Naturstein gilt: 1. Ausspitzen, mindestens 2 cm tief, Schwalbenschwanzförmig (siehe Abb. 104) 2. Bei größeren Ausbesserungsstellen sollten Armierungen aus nichtrostendem Stahl mit eingebaut werden. Dabei darf nicht über Fugen armiert werden. 3. Eine steinmetzmäßige Überarbeitung der Oberfläche sollte erfolgen-

Falsches Ausspitzen eines Steines Richtiges Ausspitzen eines Steines

Abb. 104: Richtiges Ausspitzen für Steinergänzungen nach BARTUSCHKA [24]


182

Tab. 56: Geeignete Reinigungsverfahren für verschiedene Natursteine (entnommen BARTUSCHKA [24])

Kal

twas

serr

eini

gung

(d

ruck

los)

Dru

ckw

asse

rrei

nigu

ng

(hei

ß/ka

lt)

Dam

pfst

rahl

rein

igun

g

Sand

stra

hlen

Rei

nigu

ngsp

aste

n

Kieselig + + – Kalkig + – +

Sandstein

Tonig + + – + Saugfähig, Weich

+ –

Grobporig + + Grobporig, poliert

+ + –

Dicht + +

Kalkstein

Dicht, poliert + + – + Granit, Diorit + + + Syenit, Labradorit (poliert) + + – + Tuff + – +

Nicht poliert + + – + Marmor Poliert + + – +

Kristalliner Schiefer (nicht poliert)

+

Phyllit, Serpentinit (poliert) + – + Unglasiert + – + Ziegel Glasiert + – +

Weitere Umfangreiche Ausführungen zur Sanierung von Naturstein finden sich z.B. bei RUFFERT [459], NODOUSHANI [389], [390], WIHR [593], REUL [449], BIENERT [42] und SAUDER & WIESEN [466]. Die Sanierung am Steinmaterial sollte immer auch mit Sanierungen des Fugenmateriales in Verbindung stehen, da sich beide gegenseitig beeinflussen.

6.11.3 Mörtelsanierungen Die Mörtelsanierung besteht in der Regel aus der Entfernung loser Mörtelteile und im Einbringen eines neuen Fugenmateriales. Dies kann händisch oder durch Einpressen erfolgen. Verschiedene Techniken werden bei BARTUSCHKA [24] und JÄGER [275] vorgestellt. Der Ablauf des Trockenspritzverfahrens ist in Abb. 105 beispielhaft dargestellt.


183

1

2

3

4

5

Natursteinmauerwerk Offene bzw. defekte Fuge Schalenhinterfüllung Handhammer Ausgeräumter Fugenmörtel

Ausräumen des alten Fugenmörtels per Hand oder druckluftunterstützt

1

2

3

45

Natursteinmauerwerk Offene bzw. defekte Fuge Schalenhinterfüllung Punktstrahldüse Ausgeräumter Fugemörtel und Strahlgut

Reinigung der Fugenflanken mittels Nasssandstrahlen

1

2

3

45

Natursteinmauerwerk Offene bzw. defekte Fuge Schalenhinterfüllung Punktstrahldüse Traßkalkmörtel zum Verfugen

Tiefenverfugung durch punktuelles Spritzen über Punktstrahldüsen

Abb. 105: Ablauf des Trockenspritzverfahrens (entommen BARTUSCHKA [24])

Die Auswahl des Mörtelmateriales muss mit großer Sorgfalt erfolgen, da die Wahl unsachgemäßer Mörtel zu zusätzlichen Schäden am Mauerwerk führen kann (Abplatzungen durch Kantenpressungen an den Steinen auf Grund der hohen Steifigkeit des eingebrachten Mörtels und/oder Eintritt von Feuchtigkeit durch abgeplatzten Mörtel, siehe Abb. 92). So existieren zahlreiche Untersuchungen und Empfehlungen zur Auswahl sanierungsgeeigneter Mörtel. ZSCHEILE [613] untersuchte Faserstopfmörtel zur Sanierung von historischem Mauerwerk. SULEIMAN [533] und TRAUTMANN & KNÖFEL [547] prüften die Eignung von Hüttensand-Gips-Zement zur Fugensanierung historischer Bauwerke. MANITA & TRIANTAFILLOU [330] benennen Eigenschaften von Reparaturmörteln für historisches


184

Mauerwerk. PAPAYIANNI & STEFANIDOU [406] geben eine Auswahl der Mörtel zur Sanierung historischer Bauwerke an. BUDELMANN & TWELMEIER [74] untersuchten die Dauerhaftigkeit des Verbundes zwischen Sanierungsmörteln und Naturstein.

6.11.4 Stahlbetonplatte Stahlbetonplatten werden relativ häufig als traglasterhöhende Maßnahme bei Bogenbrücken verwendet. MIRI & HUGHES [361] haben Versuche an Modellen im Maßstab 1:12 durchgeführt, die die Erhöhung der Tragfähigkeit eindrucksvoll belegen. Die Fahrbahn führt in Abhängigkeit vom Verhältnis Stich zu Spannweite zu einem Erhöhungsfaktor der Tragfähigkeit des Bogens zwischen 3,2 und 3,7. Prinzipiell ergaben die Versuche von MIRI & HUGHES die in Abb. 106 gezeigten Kraft-Verformungskurven für die Bögen.

Bel

astu

ng

Verformung des Bogens

Bogen ohne Fahrbahnplatte

Bogen mit Fahrbahnplatte

Abb. 106: Verformungsverhalten (qualitativ) eines Bogens mit und ohne Fahrbahnplatte nach MIRI & HUGHES [361]

6.11.5 Verpressungen Verpressungen können aus verschiedenen Gründen an Mauerwerksbogenbrücken durchgeführt werden. Sie können zur Abdichtung ebenso wie zur Homogenisierung des Mauerwerks dienen, indem Hohlräume geschlossen werden. Sollen Abdichtungen durch Verpressungen durchgeführt werden, so muss das Injektionsmaterial neben der Funktion der Abdichtung auch den technologischen Verpressvorgang erlauben. Das bedeutet, dass das Material eine hohe Eindringfähigkeit in das Mauerwerk besitzt. Deswegen sind Injektionsmittel in der Regel niedermolekular. Weiterhin handelt es sich um echte Lösungen. Emulsionen und Suspensionen werden seltener verwendet. Seit den 80er Jahren verwendet man statt Zementschlemmen und Zementsuspensionen zunehmend andere Injektionsmittel. Diese sind: • Alkalisilikatlösungen, • Alkalimethylsilikonatlösungen, • Kombination aus Alkalisilikatlösungen und Alkalimethylsilikonatlösungen, • Alkalipropylsilikonatlösungen,


185

• Silane und niedermolekulare oligomere Siloxane in organischen Lösungsmitteln, • Wasserverdünnbare Silikonmikroemulsionskonzentrate, • Bitumenlösungen und –schmelzen, • Bitumenemulsionen, • Organische Harze in organischen Lösungsmitteln, • Paraffine. Verpressungen besitzen aber eine relativ große Unsicherheit hinsichtlich der Wirksamkeit und Langzeitwirkung. Darum ist im Vorfeld die Eignung des Mauerwerks für das Injektions-material zu prüfen und während der Baumaßnahme eine geeignete Qualitätssicherung durchzuführen. In der Regel wird man weiterhin eine Probeinjektion durchführen, um z.B. auch die notwendige Menge des Injektionsmateriales abschätzen zu können. Einige Monate nach der Injektion sollte eine Probebohrung durchgeführt werden oder zerstörungsfreie Prüfverfahren (Ultraschall etc) verwendet werden, um die Effizienz der Verpressmaßnahme zu beurteilen. Dass das Verpressen von Mauerwerk erfolgreich eingesetzt werden kann, belegte z.B. SCHUEREMANS et al. [495].

6.11.6 Bewehrungen Verpressen ist bereits ein Verfahren, durch welches eine Verbesserung der Eigenschaften innerhalb der Mauerwerksstruktur erzielt werden soll. Zu dieser Klasse zählt auch der Einbau von Bewehrungen, deren Flächenanteil im Vergleich zum Mauerwerk nur gering ist. In diesem Bereich zählt auch die Vernadelung von Mauerwerk. Beispiele für den Einbau von Bewehrungen an Bogenbrücken zeigen Abb. 107 und Abb. 108. Auf ein besonderes Bewehrungsverfahren für Bogenbrücken, das so genannte Archtec-Verfahren, wird im Folgenden näher eingegangen.

2 cm

Abb. 107: Bewehrungskonzept nach WOODWARD entnommen COST 345 [173]


186

GEWI-Stäbe

Vernadelung

Abb. 108: Einbau von GEWI-Stäben und Vernadelung eines Pfeilers nach COST 345 [173]

6.11.6.1 Archtec-Verfahren

Mit dem Archtec-Verfahren [68] wurden seit 1998 in Großbritannien, in den USA und Australien über 130 Bogenbrücken verstärkt. Als konkretes Beispiel sei die Wisconsin Avenue Bridge in den USA genannt (DARDEN & SCOTT [123]).

Das Verfahren besteht darin, den tragenden Bogen durch Bewehrungseisen zu verstärken. Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um die Viertelspunkte des Bogens. Zum Einbringen der Bewehrung ist es nicht notwendig, die Hinterfüllung zu entfernen. Vielmehr reicht es aus, Bohrungen durchzuführen, die Bewehrung, z.B. GEWI-Stäbe in die Bohrlöcher einzuführen und die Bohrlöcher zu verpressen. Abb. 109 zeigt beispielhaft die mögliche Lage solcher Bewehrungseisen mit einer Länge von ca. 2,5 m. Die Wirksamkeit solcher Bewehrungseisen wurde durch Versuche bestätigt. Dabei wurden sowohl an den Bögen als auch an den Bewehrungseisen Dehnmessstreifen befestigt. Natürlich können die Bewehrungseisen nur bei den Verkehrslasten mittragen. (BROOKES & MULLET [68], MABON [325], OWEN ET AL. [403], TILLY & BROOKES [542])

Abb. 109: Längsschnitt einer Bogenbrücke mit Lage der Bewehrungsstäbe


187

6.11.6.2 Profile und GEWI-Stäbe OLIVEIRA & LOURENÇO [396] stellen den Einbau von Bewehrungselementen im Bogen (Abb. 110) bzw. oberhalb des Bogenrückens zur Aufnahme von Zugkräften quer zur Längsachse vor. Beim Einbau oberhalb des Bogenrückens werden Profile verwendet. Etwas Ähnliches beschreibt FALCONER [176], der seine Bewehrung an der Oberseite des Bogens in den Gewölbesteinen verankert. Für die Stirnwandverankerung als Sofortinstandsetzungs-maßnahme existieren in Deutschland Musterzeichnungen (BMVBW [78]).

Abb. 110: Bewehrungselemente im Bogen

6.11.6.3 Nichtmetallische Bewehrungen Neben klassischen stählernen Bewehrungselementen können auch nichtmetallische Bewehrungen verwendet werden. Der Vorteil dieser Bewehrung ist die Korrosionsfreiheit der Bewehrungselemente. In der Tat sind solche Bewehrungselemente bereits erfolgreich eingebaut worden. So berichtet MODENA et al. [364] vom Einbau von CFRP (Carbon Fiber Reinforced Polymer) Bewehrungselementen längs und quer in den Bogen. MELBOURNE & TOMOR [352] haben ebenfalls CFRP innen in Bögen geklebt. Auch HODGSON [253] beschreibt die Verstärkung von Mauerwerksbogenbrücken mit CFRP Elementen. BERGMEISTER [33] berichtet von der Sanierung einer Stahlbetonbogenbrücke in Querrichtung mittels CFK-Elementen. Über Untersuchungen zur Verstärkung historischer Bogenbrücken mit FRP berichten DE LORENZIS & NANNI [126], CREAZZA & SAETTA [111] VALLUZZI & MODENA [558] und BORRI, CORRADI & VIGNOLI [56] (siehe Abb. 111).

6.11.7 Vorspannung Auf vorgespanntes und vernadeltes Mauerwerk wird hier nicht eingegangen, siehe z.B. GANZ [204] und ULLRICH [555].


188

Abb. 111: Verstärkung von Bogenbrücken mit FRP nach BORRI, CORRADI & VIGNOLI [55]

6.11.8 Spritzbeton

Obwohl die Anwendung von Spritzbeton aus Sicht der Denkmalpflege keine wünschenswerte Lösung darstellt, wird sie gelegentlich angewandt. Musterzeichnungen für Spritzbetonschalen als Bogenverstärkung an der Gewölbeunterseite finden sich z.B. beim BMVBW [78].

6.11.9 Brüstungssanierung

Die bisherigen Erläuterungen von Schäden an Bogenbrücken nannten auch Schäden an Brüstungen und Stirnwänden. Gerade für den Schaden Abtrennung der Stirnwand wurden Sanierungstechniken entwickelt, die z.B. in Abb. 112 und Abb. 113 dargestellt sind. Weitere Angaben dazu finden sich in COST 345 [173].

Abb. 112: Bewehrte Brüstung nach WELCH, entnommen COST 345 [173]


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Dränage

Polypropylen-Sandsäckegefüllt mit granularem Material

Gewebe zur Rückverankerung(um die Sandsäckegelegt)

Bogen

Abb. 113: Bewehrte Verfüllung nach WELCH, entnommen COST 345 [173]

6.11.10 Verbreiterungen Die mangelnde Breite von historischen Brücken stellt ein großes Problem bei der Anpassung an moderne Verkehrsbedingungen dar. Deshalb ist die Verbreiterung der Straßenbrücken eine übliche Baumaßnahme an solchen Brücken: In Spanien ist ein Fünftel aller Autobahnbrücken in den letzten Jahren verbreitert worden (YÁÑEZ & ALONSO [8]). Nach HARRISON [237] war der Hauptgrund für den Bau neuer Ersatzbrücken in Großbritannien oft die mangelhafte Breite der alten Bogenbrücken. Beispiele für sehr gelungene Verbreiterungen von historischen Bogenbrücken finden sich bei TROYANO [549]. So erfolgte die Verbreiterung beim Pont Vieux de Albi über den Fluß Tarn und in Burgo in Spanien mit flacheren Bögen. Ein Beispiel für eine Verbreiterung beschreiben auch PARIKH & PATWARDHAN [407]. Über die Verbreiterung der Marienbrücke in Dresden berichteten KOETTNITZ & SCHWENKE [294]. Siehe zu diesem Thema auch [601] und OSTEROTH [402]. Weitere Beispiele von Instandsetzungsmaßnahmen an historischen Bogenbrücken erfolgen im nächsten Abschnitt. Dieser Abschnitt kann in keiner Weise vollständig sein. Er soll aber durch die kurze Schilderung von Fallbeispielen einen Eindruck über die Probleme in der Praxis vermitteln.

6.11.11 Beispiele Der historischen Werrabrücke der Stadt Münden in Niedersachsen wurde 1977 bei einer Brückenhauptprüfung eine ungenügende Tragfähigkeit bescheinigt. Gründe dafür waren u.a. Auswaschungen vor den Pfeilen, starke Auswölbungen und Verdrückungen des Mauerwerks an Pfeilern und Stirnwänden, Auswaschungen der Mauerwerksfugen, Ausblühungen und starke Verwitterungen an Steinen und starke Korrosion an Stahlankern, Eisenklammern und Geländer. (SCHWARTZ [498])


190

Auf Grund der historischen Bedeutung des Bauwerkes wurde eine Instandsetzung durch-geführt. Die Instandsetzung beinhaltete den Ersatz des Stahlgeländers durch massive Brüstungen. Das Gewölbe wurde im Kaltwasser-Hochdruck-Verfahren gereinigt, zerstörte Steine wurden durch neue Natursteine ersetzt und kleine Schäden an Natursteinen wurden durch Mineros-Steinmasse ersetzt. Dieses Material besteht aus Steinmehl, welches in einen 2-Komponenten-Kunstoff eingebettet wird. (SCHWARTZ [498]) Ein weiteres Beispiel ist die Sanierung der Tauberbrücke in Lauda. Die historische dreibögige Brücke wurde ursprünglich 1512 mit Spannweiten zwischen 6 und 7 m errichtet. Auf Grund der gestiegenen Verkehrsbelastungen verschoben sich im Laufe der Zeit Stirnwände und Widerlagerwände, und in der Bogenleibung entstanden breite Risse. Um die Brücke zu sichern wurden zunächst Klammern und Anker eingebaut. In den 30er Jahren wurde ein Stahlbetonkorsett an der Oberseite des Bogens erbaut. Auf Grund weiter zunehmender Schäden erfolgte in den 60er Jahren eine Herabsetzung der Tragfähigkeit der Brücke von 16 auf 9 Tonnen. Die Brücke wurde abgerissen und mit veränderter Spannweite und Breite in Stahlbeton neu erbaut. Als Gründungen wurden Stahlbetonrammpfähle verwendet. In Anlehnung an die historische Brücke wurde die neue Brücke mit Naturstein, teilweise Originalteilen, verkleidet. So wurden für die Brückenkanzeln Brückenkreuze aus dem Jahre 1593 verwendet. [77] Als drittes Beispiel dient die Hochbrücke Dingolfing. Diese Brücke wurde 1612 als fünf-bögige Ziegelbogenbrücke mit Spannweiten zwischen 5,40 m und 6,35 erbaut. Die Pfeiler haben eine Breite von 1,20 bis 1,35 m. Die Länge der Brücke beträgt 54 m und die maximale Höhe beträgt 5,60 m einschließlich Brüstung. Das Ziegelmaterial zeigte auf Grund langer Durchfeuchtungen erhebliche Schäden. Teilweise lösten sich einzelne Steine aus dem Verband. Unterschiedliche Setzungen der Pfeiler hatten zwar nicht zu Schäden an den Bögen geführt, aber die Stirnwände zeigten erhebliche Risse. Die Brücke wurde mehrmals, so 1750, 1850 und 1890 instand gesetzt. Die letzte umfangreiche Sanierung erfolgte 1966. [77] Die Instandhaltung umfasste: Abtrag und Wiederaufbau der Stirnwände, Abtrag der Hinterfüllung und Wiederaufbau in Magerbeton, Einbau einer Abdichtung und Entwässerung, Entfernung schadhafter Mauerwerksbereiche und fachgerechtes Ausmauern. Es wurden eigens Ziegel angefertigt. Weiterhin wurde das Mauerwerk durch Sandstrahlen gereinigt und neu verfugt. Dazu wurde Sumpfkalkmörtel mit Trasszusatz verwendet. Zusätzlich entschied man sich, die Fahrbahn vom Bogen durch den Einbau einer rahmenartigen Stahlbeton-konstruktion zu entkoppeln. Die Stahlbetonkonstruktion war direkt mit den Pfeilern verbunden, der Bogenscheitel aber durch eine 5 cm dicke Styroporschicht von der Stahlbetonplatte getrennt. [77] Bei Sanierung der Alten Dreisam-Brücke Eichstetten handelt es sich um eine 1784 errichtete Gewölbebrücke mit fünf Korbbögen. Die Bögen haben eine Spannweite zwischen 4,70 m und 5,00 m. Die Pfeiler haben eine Breite von 1,35 m. Die Brücke hat eine Breite von 4,6 m. Die Bögen sind am Rand aus Natursteinquadern, in den inneren Bereichen der Bogenleibung mit grob verfugtem Bruchstein errichtet. Die Stirnwände sind ebenfalls aus Natursteinquadern erbaut. Die Steine sind flächig und besitzen teilweise Bossen und Randschlag. Die Brüstung wurde in unregelmäßigem Bruchsteinmauerwerk errichtet. [77]


191

1950 erfolgte an der Brücke eine Sanierung. Dazu wurden eine Hinterfüllung aus Magerbeton und eine Fahrbahnplatte aus Stahlbeton aufgebracht. Die Stirnwände wurden durch Zugstäbe mit Ankerplatten gesichert. Bei der Kocherbrücke Griesbach wurden ebenfalls eiserne Anker zur Sicherung der Stirnwände eingebaut. [77] Bei der Wurmbrücke in Hessen, die 1777 errichtet wurde, musste nur eine Stahlbetonplatte und eine neue Abdichtung bei einer Sanierung 1979 eingebaut werden. Diese fünffelddrige Bogenbrücke aus Bundsandstein mit Spannweiten zwischen 3,0 und 4,5 m ist eine der wenigen Bogenbrücken, die nicht im 2. Weltkrieg gesprengt wurden. [77] Die Nagoldbrücke Hirsau ist eine 1560 erbaut Bogenbrücke aus Bundsandstein mit einer Gesamtlänge von 51,30 m. Die vier Kreissegmentbögen haben eine Spannweite zwischen 7,30 m und 13,00 m. Die Pfeiler besitzen Breiten zwischen 3,00 und 5,40 m. Die Brücke wurde u.a. 1852 bis 1855 instand gesetzt. 1914 wurde die Brücke von 5,0 m auf knapp 12 m verbreitert. Dazu wurden Stahlbetonbögen angebaut, die aber an den Stirnflächen Natursteinverkleidungen erhielten. [77] Weitere Beispiele finden sich bei KOETTNITZ & SCHWENKE [294], GÜNTHER, SCHÄFER & SCHWENKE [225], VOCKRODT [565], PATZSCHKE [408] und ZAHN [608].

6.11.12 Gewölbebrücken der 2. Generation Um den Instandhaltungs- und Instandsetzungsbedarf bei zukünftigen Gewölbebrücken zu verringern, schlägt WEBER [578] Verbesserungen der Bauart von Gewölbebrücken vor. Er bezeichnet diese Brücken als Gewölbebrücken der 2. Generation. Diese Brücken zeichnen sich aus durch: • Verzicht auf Hintermauerung oberhalb des nutzbaren Gewölberückens. Vorteil wäre eine

statisch erheblich bessere Beschreibbarkeit und nach Aussagen von WEBER geringere Kosten.

• Die Hinterfüllung oberhalb des Gewölberückens sollte mit nichtbindigem, grobkörnigem Bodenmaterial erfolgen. Geogitter oder Stahlbänder zur Begrenzung des Druckes auf Stirnwände sollten mit eingebaut werden. Oberhalb der Hinterfüllung sollte die Abdichtung erfolgen.

• Besonderes Augenmerk muss auf eine langlebige und kontrollierbare Entwässerung gerichtet werden.

• Unter Umständen verzicht auf Stirnwände. • Anwendung neuer Technologien, um die Kosten für die Lehrgerüste zu verringern. • Nutzung neu erschlossener Natursteinressourcen in Osteuropa oder auf der Iberischen

Halbinsel. • Anwendung von neuen automatischen Steinbearbeitungsverfahren. Beispiele für Gewölbebrücken der 2. Generation sind doppelt gekrümmte Gewölbebrücken aus China (1964). In Großbritannien wurde in den 90er Jahren die Kimbolton Butts Brücke als Ziegelsteinbogenbrücke neu errichtet.


192


193

7 Sicherheitskonzept

7.1 Begriffe Bauwerke müssen sicher sein. Dies ist eine der grundlegenden Anforderungen an das technische Erzeugnis Bauwerk. Im Vergleich zu anderen technischen Erzeugnissen wird die Frage der ausreichenden Sicherheit von Bauwerken in der Regel aber nicht mehr von der Öffentlichkeit wahrgenommen. Im Gegensatz dazu wird bei Kraftfahrzeugen oder Flugzeugen die Sicherheit häufig als ein Werbeargument für die Erzeugnisse verwendet. Offensichtlich wird die Sicherheit von Bauwerken von der Öffentlichkeit als ausreichend angesehen. Es besteht somit kein Bedarf zur Erhöhung von Sicherheitsforderungen. Das bedeutet, dass die Sicherheitsforderung für technische Systeme im Bauwesen in den letzten Jahrzehnten in den entwickelten Industrieländern gut erfüllt wurde. Ausnahmen bilden sicherlich hierbei Bauwerke unter außergewöhnlichen Einwirkungen, wie sie z.B. Erdbebenbelastungen darstellen. Obwohl auch hier in den letzten Jahrzehnten erhebliche Fortschritte erzielt wurden, akzeptiert die Öffentlichkeit in solchen Fällen in einem gewissen Umfang eine Nichterfüllung des Anspruches Sicherheit. Weniger akzeptiert wird allerdings mangelnde Sicherheit im normalen Brückenbau. In diesem Bereich ist der Umfang der Gefährdung durch bestimmte Einwirkungen bekannt. Damit können diese Gefährdungen gezielt erfasst und durch Sicherheitskonzepte verringert werden. Die dazu notwendigen Verfahren und Vorkehrmaßnahmen sollen innerhalb dieses Abschnittes beschrieben werden. Für das Verständnis der Verfahren ist jedoch zunächst eine klare Definition verschiedener Begriffe erforderlich.

7.1.1 Sicherheit Der Begriff der Sicherheit beschreibt das Maß der Bewahrung oder des Erreichens eines vorgegebenen Zustandes. Die Forderung nach Sicherheit von Menschen oder Lebewesen allgemein beinhaltet die Aufrechterhaltung der Lebensfunktionen. Die Sicherheit von Menschen, nämlich die Erhaltung der lebensnotwendigen physischen und psychischen Funktionen eines Menschen, entspricht damit einem grundlegenden Menschenrecht. Das Recht auf Sicherheit findet sich deshalb in vielen grundlegenden Gesetzen, wie z.B. der Verfassung der Bundesrepublik Deutschland. Das Empfinden über die physischen und psychischen lebensnotwendigen Funktionen stimmt zwar bei Menschen in vielen Bereichen überein, weist aber auch Unterschiede auf. Deshalb ist der Begriff der Sicherheit zunächst ein rein philosophischer Begriff (HOF [254], MURZEWSKI [382]). Er bezeichnet einen Zustand der „Beruhigung des Geistes, aus der Überzeugung heraus, dass keinerlei Katastrophe oder Unglücksfall droht“ [382], einen „Zustand des Unbedroht seins“ oder „in Erfahrung gegründetes und sich bestätigendes Gefühl, von gewissen Gefahren nicht vorrangig getroffen zu werden.“. In der deutschen Sprache gibt es eine Vermengung der Begriffe Sicherheit und Gewissheit „Sicherheit ist ... Gewissheit von


194

Individuen oder sozialen Gebilden über die Zuverlässigkeit von Sicherheits- und Schutzreinrichtungen ...“ (MURZEWSKI [382]). Bei technischen Erzeugnissen, wie z.B. Bauwerken, beinhaltet Sicherheit in der Regel auch die Aufrechterhaltung der Funktionsfähigkeit des Systems, da diese die Grundlage für die Sicherheit der Menschen ist, die dieses technische Produkt verwenden. Definitionen des Begriffes Sicherheit finden sich daher auch in verschiedenen technischen Normen. Beispielhaft genannt seien DIN EN 61508-4 [149], DIN EN 14971 [150] oder DIN VDE 31000 Teil 2 [153]. DIN EN 61508-4 [149], ISO/IEC Guide 51 und DIN EN 14971 [150] definieren Sicherheit als Freiheit von unvertretbaren Risiken. DIN VDE 31000 Teil 2 [153] versteht unter Sicherheit S eine Sachlage, bei der das vorhandene Risiko vorh R nicht größer als das Grenzrisiko zul R ist: vorh zul vorh zul

≤ ⇒

> ⇒

R R SR R S

Gelegentlich findet man in der Literatur auch die Definition der Sicherheit in der folgenden Form

1= −S R . Diese Definition widerspricht allerdings der z.B. aus DIN VDE 31000 bekannten Definition. Während Sicherheit dort als eine qualitative Größe verstanden wird, ist in der letztgenannten Formel Sicherheit ein quantitatives Maß und widerspricht damit der philosophischen Definition des Begriffes Sicherheit. In beiden Fällen aber basiert die mathematische Formulierung der Sicherheit auf dem Komplementärereignis Risiko. Der Begriff des Risikos wird im Folgenden noch definiert. Doch zunächst sei auf die Definition des Begriffes Sicherheit im Bauwesen eingegangen. Im Bauwesen versteht man unter Sicherheit die qualitative Fähigkeit eines Tragwerkes, Einwirkungen zu widerstehen (DIN 1055-100 [160], DIN ISO 8930, Anhang 1.2 [270]). Natürlich kann ein Bauwerk nicht allen theoretisch möglichen Einwirkungen widerstehen, aber es muss den meisten der Einwirkungen in einem ausreichenden Maß widerstehen (DIN 1055-9 5.2 (2) [142]). Die Entscheidung, ob ein Bauwerk sicher ist oder nicht, muss mit einem quantitativen Maß erbracht werden. Die Zuverlässigkeit eines Tragwerkes ist ein solches quantitatives Maß. Diese wird in den gegenwärtig vorliegenden Bauvorschriften als Wahrscheinlichkeit interpretiert (u.a. DIN ISO 8930, 1.1. & 1.2 [270]). Damit ist eine Aussage, ob ein Bauwerk sicher ist oder nicht, durch den Vergleich von Wahrscheinlichkeiten möglich. Weitere Sicherheitskonzepte sind zurzeit Gegenstand der Forschung, wie z.B. das fuzzy-probabilistische Sicherheitskonzept (MÖLLER ET AL. [368]). Auf das Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsfaktoren wird später noch eingegangen. Zusätzlich kennen die Bauvorschriften (EC 1, 2.1-2.2 [423], 3.1-3.2, insbesondere 3.2 (2) [152], DIN 1055-9 [142], GruSiBau 3.1 [391], CEB [103]) für die Untersuchung von Bauwerken unter außergewöhnliche Einwirkungen, wie z.B. Erdbeben, den Begriff des Risikos. Die Sicherheit gilt dann als erbracht, wenn das vorhandene Risiko ein bei vergleichbaren Situationen von der Gesellschaft akzeptiertes Risiko nicht übersteigt (DIN 1055-9, Abs. 5.1 (3), Eurocode 1). Diese Definition entspricht der bereits bekannten aus DIN VDE 31000.


195

7.1.2 Risiko Allgemein beschreibt der Begriff des Risikos die Möglichkeit des Misslingens einer Handlung unter Berücksichtigung der Konsequenz. Der Begriff beurteilt damit einen möglichen zukünftigen Zustand, der mit einer Beeinträchtigung oder einem Verlust verbunden ist. Der Begriff ist daher immer mit einer Wertung von Ereignissen verbunden und kann daher nur unter Schwierigkeiten allein mit objektiv messbaren Eigenschaften beschrieben werden. Er berücksichtigt oft auch subjektive Beurteilungen (JUNGERMANN & SLOVIC [283], RENN [447]). Mathematisch definiert man Risiko im klassischen Sinne als Produkt aus Häufigkeit H bzw. Wahrscheinlichkeit eines schadenserzeugenden Ereignisses und dem Schaden bzw. der Konsequenz K, der durch das Ereignis verursacht wird (DIN IEC 56 410, VDI 4006, ISO/IEC Guide 73): R H K= ⋅ . Die fachspezifische Definition des Begriffes Risiko im Bauwesen entspricht dieser genannten Definition (z.B. CEB [103]). Es lassen sich jedoch in verschiedenen Fachgebieten zahlreiche weitere Definitionen finden (z.B. ISO 10006, IEEE Standard P 1540, NASA, EPA, ANSI), die sich hinsichtlich der Berücksichtigung und Definition des Schadens unterscheiden (HALL [232]). Die Definitionen des Begriffes Risiko können klassifiziert werden nach JUNGERMANN & SLOVIC [284]: 1. Risiko als Wahrscheinlichkeit eines Schadens, 2. Risiko als Ausmaß eines Schadens, 3. Risiko als Funktion von Wahrscheinlichkeit und Ausmaß des Schadens, 4. Risiko als Varianz der Wahrscheinlichkeitsverteilung aller möglichen Konsequenzen einer Entscheidung, 5. Risiko als Semivarianz der Wahrscheinlichkeitsverteilung aller möglichen Konsequenzen einer Entscheidung, 6. Risiko als gewichtete lineare Kombination der Varianz und des Erwartungswertes der Wahrscheinlichkeitsverteilung aller möglichen Konsequenzen einer Entscheidung. Eine umfangreiche Behandlung der Formulierung von Risikoparametern findet sich bei PROSKE [425]. Insbesondere die letzten drei Klassen werden häufig im Bereich des Handels und der Finanzmathematik verwendet. Die wachsende Bedeutung des Handels im 16. Jahrhundert mit der zunehmenden Schifffahrt führte vermutlich auch zur Entstehung und ersten Anwendung des Wortes Risiko. Obwohl es davor bereits Begriffe für Gefahr, Unsicherheit und Zufall, wie z.B. virtù oder fortitudo gab, erlaubte erst der damals eingeführte italienische Begriff risco die Beschreibung von Wagnis (MATHIEU-ROSAY [340]). Nachweislich tauchte der Begriff des Risikos nicht vor 1600 in vielen Staaten Europas auf, z.B. in Italien nicht vor 1598, in England nicht vor 1661. Weitere Ausführungen zur Herkunft des Begriffes finden sich bei FUCHS [199]. Als einen Sonderfall beinhaltet der Begriff des Risikos den Begriff des Grenzrisikos. Dieser Begriff war z.B. Inhalt der Definition des Begriffes Sicherheit. Unter dem Vergleichs- oder


196

Grenzrisiko versteht man i.A. dasjenige Risiko, welches von der Gesellschaft gerade noch toleriert wird (VDI 4006 Teil 1).

7.1.3 Gefahr Umgangssprachlich ist Gefahr eine Sonderform eines Risikos. So versteht man unter Gefahr die mögliche Beeinträchtigung der Gesundheit bzw. den Verlust von Leben. Zwar sind beide Begriffe, Gefahr oder Risiko, prognostisch, umgangssprachlich jedoch ist beim Begriff der Gefahr die Eintrittswahrscheinlichkeit größer. Dies findet sich z.B. auch in einem Urteil des Hessischen Verwaltungsgerichtshofs, der Gefahr als eine „Sachlage ..., die bei ungehindertem Ablauf erkennbar zu einem Schaden durch von außen kommende Ereignisse führen würde, wobei Gewissheit nicht erforderlich sei, sondern große Wahrscheinlichkeit genüge“ beschreibt. Technische Regelungen verwenden etwas andere Definitionen. So entspricht Gefahr gemäß DIN EN 61508-4 einer potentiellen Schadensquelle. DIN VDE 31000 Teil 2 versteht Gefahr als eine Sachlage, bei der das Risiko größer als das Grenzrisiko ist. Im Bereich der Risikoforschung gibt es noch eine weitere Definition, die einen klaren Unterschied zwischen Risiko und Gefahr herausstellt. Während Gefahr im Sinne dieser Definitionen auf eine externe, dispositionale Perspektive negativer Folgen beruht, besitzt das Risiko eine interne, subjektive Perspektive. Gefahren existieren dann z.B. als latente negative Umwelteigenschaften. Gewitter beinhalten die Gefahr von Blitzeinschlägen. Gegen die Möglichkeit eines Blitzschlags kann man zunächst keine vermeidende Aktion durchführen. Man kann aber gegen das aus der Gefahr des Blitzeinschlages resultierende Risiko eines Hausbrandes etwas unternehmen, wie z.B. einen Blitzableiter installieren. Der Begriff des Risikos beinhaltet also einen gewissen Entscheidungsspielraum. Der Begriff ist daher die Grundlage für die Wertung und Auswahl von Handlungen (LUHMANN [322]).

7.1.4 Schaden Unter einem Schaden versteht man ganz allgemein einen Nachteil. Die Formulierung von Nachteilen sind ein Gegenstand des Bereichs Juristik und Judikatur. Auf Grund dieser Tatsache finden sich dort, teils sogar in Gesetzen, Definitionen des Begriffs Schaden. So wird Schaden als durch „ein Ereignis oder einen Umstand verursachte Beeinträchtigung eines Gutes oder Wertminderung des ursprünglichen Zustandes einer Sache“ oder als „eine Einbuße, die jemand infolge eines bestimmten Ereignisses an seinen Lebensgütern erleidet“ verstanden. Die Definition von Nachteilen, die eine Funktion der Zeit, aber auch der Sichtweise sind, kann noch nicht als abgeschlossen gelten. Sie wird vielmehr oft Gegenstand von Einzelfallentscheidungen sein. Um die Beurteilung von Schäden zu vereinfachen, hat man verschiedene Schadensklassen eingeführt. So dürften vielen Lesern die juristischen Begriffe Sachschaden, Vermögensschaden, Folgeschaden oder Vertrauensschaden bekannt sein.


197

Im technischen Bereich versteht man unter Schaden ebenfalls einen Nachteil durch Verletzung von Rechtsgütern auf Grund eines bestimmten technischen Vorganges oder Zustandes (DIN VDE 31000 Teil 2).

7.1.5 Statistik und Wahrscheinlichkeit Die in der technischen Literatur verwendete Darstellung des Risikos unter Berücksichtigung der Möglichkeit eines Schadensereignisses ist eng mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeits-rechnung verbunden. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung zufälliger Ereignisse. Sie dient im vorliegenden Fall dazu, basierend auf Häufigkeitsinformationen von Schadensfällen aus der Vergangenheit, Rückschlüsse auf die zukünftige Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse zu ziehen. Den zufälligen Ereignissen, wie z.B. Erdbebenbelastungen, werden Wahrscheinlichkeiten für ihr Eintreten zugeordnet. Die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist natürlich an gewisse Randbedingungen gebunden, die eingehalten werden müssen. Die Grundlagen für die Wahrscheinlichkeits-rechnung finden sich unter anderem in den Axiomen von KOLMOGOROFF [296]. Sind diese Grundlagen nicht mehr eingehalten, müssen andere Prognoseverfahren angewandt werden. Hierbei wären die Fuzzy-Theorie (MÖLLER ET AL. [368]) und Theorie der neuronalen Netze zu nennen. Risikodefinitionen aufbauend auf derartigen Theorien sind zurzeit noch Gegen-stand der Forschung. Die Weiterentwicklung wissenschaftlicher Risiko- und Sicherheits-modelle zeigt sich auch an der Entwicklung der Sicherheitskonzepte im Bauwesen. So hat das aktuelle Sicherheitskonzept im Bauwesen mit der Bearbeitung und Einführung der Eurocodes eine wesentliche Umstellung erfahren. Im Folgenden soll aber gezeigt werden, dass neben den häufig verwendeten mathematischen Verfahren zur Beschreibung der Unsicherheit gerade in den letzten Jahrzehnten neue Verfahren entwickelt wurden.

7.1.6 Graue Mengen Die vollständige Vorhersage zukünftiger Ereignisse ist nach dem derzeitigen Verständnis der Welt unmöglich. Unsicherheit ist ein wesentlicher Bestandteil der bekannten Welt. Aber die aktive Rolle des Menschen und die damit verbundenen notwendigen Vorhersagen zukünftiger Ereignisse zwingen den Menschen, die Unsicherheit zu berücksichtigen. Im letzten Jahrhundert haben sich theoretisch-mathematische und empirisch-mathematische Modelle zur Extrapolation zukünftiger Ereignisse in nahezu allen Fachgebieten durchgesetzt und die reinen empirischen Regeln verdrängt. Im Gegensatz zu den reinen empirischen Regeln, die implizit Unsicherheit beinhalten, bedürfen die mathematischen Modelle einer besonderen Berücksichtigung der Unsicherheit. Dazu stehen verschiedene Verfahren bereit, wobei hierbei zu allererst die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu nennen wären. Weitere Verfahren sind die in den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts von ZADEH entwickelten Fuzzy-Modelle [607], aber auch Entrophy basierte Werte (z.B. SHANNONS Entrophy als Maß fehlender Informationen) (BROWN [69]), Degrees of belief (Subjektive Wahrscheinlichkeit),


198

Expertensysteme (Delphi-Befragungen), Künstliche Intelligenz, Neuronale Netzwerke, Datamining, Rough Sets, Convex Modelling (QUI [433], [434]) oder genetische Verfahren. WEN & CHANG [584] verweisen in diesem Zusammenhang darauf, dass mehr als 300 mathematische Verfahren zur Entwicklung von Vorhersagemodellen existieren. Oft führen verschiedene Verfahren zu identischen Ergebnissen, wie z.B. die Herleitung der GUTENBERG-RICHTER-Formel für die Stärke und Häufigkeit von Erdbeben (BROWN [69]). In den 80er Jahren wurde in China das System der Grauen Zahlen durch DENG [128] einge-führt. Seither wurde dieses mathematische Verfahren zur Beschreibung der Unsicherheit auf vielen Gebieten in China verwendet. So wurden Graue Zahlen für die Abschätzung des Auf-kommens an Schmutzwasser (JUN & BAO [282]), Temperaturvorhersagemodelle (DOUNIS et al. [155]), Transportprobleme (BAI, MAO & LU [16]), Energieverbrauchsvorhersagen (YOU-XIN et al. [606]), für die Planung von Unterhaltungsmaßnahmen (GUO & DUNNE [226]), für Flut- und Murenprognosen (YAN, ZHOU & YAN [604]) oder für die Identifikation von Bauteilveränderungen (XUE et al. [603], CHEN, ZHU & CHEN [96]) verwendet.

Auf Grund der Tatsache, dass die Veröffentlichungen überwiegend in Chinesisch gehalten waren, fand dieses Verfahren nur sehr wenig Beachtung im europäischen Raum. Deshalb soll im Folgenden eine kurze Einführung in das Thema der Grauen Zahlen erfolgen.

Der Name Graue Zahlen beschreibt den Informationsgehalt, den eine Zahl besitzt. Im Ver-gleich dazu steht eine Schwarze Zahl, über die keine Informationen vorliegen. Eine Weiße Zahl ist eine vollständig bekannte Zahl. Eine Zusammenstellung der Eigenschaften der Schwarzen, Grauen und Weißen Zahlen findet sich in Tab. 57.

Nach RESCHER [448] ist der Wissensumfang gleich dem Logarithmus der Informationsmenge.

Tab. 57: Bedeutung der Grautöne Schwarz Grau Weiß Information Unbekannt Unvollständig Vollständig Darstellung Dunkel Grau Leuchtend Resultat Keine Lösung Mehrere Lösungen Eine Lösung Prozess Neu Erfahrungen liegen vor Alt Eigenschaften Chaotisch Komplex Ordnung Vorstellung Negativ Übergang Positiv Die Informationsmenge wird aber begrenzt, z.B. durch • einem begrenzten Stichprobenumfang (unendlicher Stichprobenraum), • einen kleinen Stichprobenumfang bei endlichen Stichprobenraum, • und fehlenden Stichprobendaten resultieren. Festlegungen über notwendige Stichprobenumfänge für statistische Untersuchungen finden sich z.B. in [520]. Da diese Anforderungen gelegentlich nicht umgesetzt werden können, bedient man sich dann anderer Verfahren, wie z.B. Fuzzy-Modelle. Eine Überführung von Fuzzy-Modellen in Graue Modelle wurde bereits vorgestellt (TSAUR [550]). Eine kurze Unterscheidung der Modelle Probabilistik-Fuzzy-Graue Systeme erfolgt in Tab. 58 (siehe auch NG [388]).


199

Tab. 58: Unterscheidung von Grauen, Probabilistischen und Fuzzy Systemen

Aspekt Graues System Probabilistisches System Fuzzy Set System Grundlage Haze Sets Cantor Sets Fuzzy Sets Unsicherheit Trübung mit Grenzen Zufälligkeit Kognitive Unsicherheit Konzept Informationsmenge Wahrscheinlichkeitstheorie Membership Funktion Stichprobenumfang Gering Groß Empirisch Informationsmenge Gering Groß Empirisch Ziel Reale Bedingungen Statistische Gesetzmäßigkeiten Kognitive Zugehörigkeit

7.1.6.1 Begriffe Eine Graue Zahl ist eine Zahl, deren exakter Wert unbekannt ist. Eine Graue Zahl wird als ⊗ dargestellt (DENG [128], WONG [599] GUO & LOVE [227], LIN, CHEN & LIU [314]). Innerhalb dieser Definition sind verschiedene Klassen Grauer Zahlen bekannt: Graue Zahl mit Untergrenze [ , ]a⊗∈ ∞ Graue Zahl mit Obergrenze [ , ]a⊗∈ ∞ Graue Zahl mit Intervall [ , ]a a⊗∈ Kontinuierliche Graue Zahl [ ]a n a⊗∈ ≤ ≤ Diskrete Graue Zahl 1 2 3[ ... ]ia n n n n a⊗∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Schwarze Zahl [ , ]⊗ ∈ ∞ ∞ oder 1 2[ , ]⊗∈ ⊗ ⊗ Weiße Zahl [ , ]a a⊗∈ mit a a= Whitenization Prozess Prozess zur Ermittlung einer repräsentativen Zahl. Bei

Grauen Zahlen, die um einen Wert schwanken, wählt man hier in der Regel den Mittelwert

(1 ) 0,5 0.5a b a bα α⊗ = ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅% Die Grundrechenarten für Graue Zahlen sind wie folgt definiert, wenn 1 [ , ]a b⊗ ∈ mit a b< und 2 [ , ]c d⊗ ∈ mit c d< : Addition 1 2 3 [ , ]a c b d⊗ + ⊗ = ⊗ ∈ + + Negative Graue Zahl 1 3 [ , ]b a− ⊗ = ⊗ ∈ − Differenz 1 2 1 2 3( ) [ , ]a d b c⊗ − ⊗ = ⊗ + − ⊗ = ⊗ ∈ − − Multiplikation 1 2 3 [min{ , , , },max{ , , , }]ac ad bc bd ac ad bc bd⊗ ×⊗ = ⊗ ∈ Reziproke 1

1 3 [1/ ,1/ ]b a−⊗ = ⊗ ∈ Division

13

2

min , , , ,max , , ,a a b b a a b bc d c d c d c d

⊗ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⊗ ∈ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⊗ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

Skalare Multiplikation 1 2 [ , ]k k a k b⋅⊗ = ⊗ ∈ ⋅ ⋅


200

Unter Verwendung dieser Regeln ist es möglich, Matrizenoperationen auszuführen. Damit kann z.B. eine Finite-Elemente-Berechnung mittels Grauer Zahlen durchgeführt werden. Dies ist bisher aber, soweit dem Verfasser bekannt, noch nicht durchgeführt worden. Die Einführung der Rechenregeln der Grauen Zahlen verdeutlicht jedoch noch nicht das Konzept, welches sich hinter diesen Zahlen verbirgt und welches im Folgenden näher erläutert werden soll.

7.1.6.2 Konzept Die grundlegende Annahme für die Modellbildung in der überwiegenden Anzahl der wissenschaftlichen Fachgebiete ist das Vorhandensein stetiger und differenzierbarer Funktionen zur Beschreibung von Abhängigkeiten. Diese Annahme kann auf Grund der begrenzt vorliegenden Daten in der Regel nicht geprüft werden. Die in vielen Gebieten auftretenden Probleme bei der Prognose, so z.B. in den Sozialwissenschaften, können möglicherweise auf die Korruption der Annahme zurückgeführt werden. Die Idee bei der Anwendung Grauer Zahlen liegt nun darin, die Differential- und Integralrechnung für diskrete Zahlenreihen zu erlauben. Es soll eine Zahlenreihe, z.B. Messwerte in der Form

(0)

(0)

(0) (0)

(0)

(1)(2)(3)

...( )

xx

X x

x k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

vorliegen. Zunächst wird das Integral dieser Zahlenreihe untersucht:

1

0 0

( ) ( ) lim ( )b n

k kx ka

F x f x dx f x−

∆ → =

= = ∆∑∫ .

Eine integrierte Funktion besitzt weniger Extremstellen, sie verläuft in der Regel gleichmäßiger als die ursprüngliche Funktion. Betrachtet man solche Extremwerte als Ausreißer, so werden diese Ausreißer durch den Integrationsprozess eliminiert. Die gegebene Zahlenreihe (0)X wird nun integriert, in dem gilt:

(1) (0)

0( )

k

ix x i

=

=∑

Die Integration soll als Operator D bezeichnet werden (0) (1):D X X→ . Weitere Operationen, also Integrationen, sind möglich:

( ) ( 1)

0( )

kr r

ix x i−

=

=∑ .

Im nächsten Schritt wird die Ermittlung des Differenzials betrachtet. Dazu wird die Reihe


201

( )

( )

( ) ( )

( )

(1)(2)(3)

...( )

r

r

r r

r

xx

X x

x k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

herangezogen. Das Differential ergibt sich dann zu: ( ) ( )

( )

0

( ) ( 1)( ) limr r

r

t

d x k x kX kdt t∆ →

− −=∆

Berücksichtigt man die Ermittlung von ( )rX , so erkennt man, dass gilt: 1

( 1) ( 1)

( ) ( 1)1 1( ) ( )

( ) ( )1

k kr r

r ri ix i x i

d X k x kdt

−− −

−= =

−= =∑ ∑

Damit können Summen bzw. Differenzen der Messreihen als Integrale und Differentiale betrachtet werden und sind dann ineinander überführbar. Die Überführung der Reihen kann nun auf Differentialgleichungen angewendet werden. Zunächst soll die Differentialgleichung 1. Ordnung: dx a x bdt

+ ⋅ =

betrachtet werden. Diese Gleichung wird auch als Grey Model GM(1,1) bezeichnet. Dazu wird zunächst (1)x x= gewählt und man erhält:

(1)(1)dx a x b

dt+ ⋅ =

Da (1)

(0)dx xdt

= gilt, kann man schreiben:

(0) (1)x a x b+ ⋅ = Allerdings stimmen jetzt die Zeitpunkte nicht. Diese Zeitverschiebung wird korrigiert, in dem man anstelle von (1)x mit dem Mittelwert zweier benachbarter (1)x rechnet. Dazu wird

(1) (1) (1)( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)z k x k x k= ⋅ + ⋅ − . Der Wert 0,5 ist veränderbar. Im Rahmen der vorliegenden Untersuchungen wurde ein Verfahren umgesetzt, welches den Wert im Sinne des kleinsten Fehlerquadratsumme optimiert, wobei gilt

(1) (1) (1)( ) ( ) (1/ ) ( 1)z k f x k f x k= ⋅ + ⋅ − . Das entspricht einem Whitenization-Prozess. Die Differentialgleichung wird nun zu:

(0) (1)x a z b+ ⋅ = Mit den Originaldaten und den Umrechnungen der Reihen können nun die noch unbekannten Parameter a und b der Differentialgleichung bestimmt werden. Dazu wird das folgende Gleichungssystem aufgestellt.

(0) (1)

(0) (1)

(0) (1)

(2) (2)(3) (3)(4) (4)

...

x a z bx a z bx a z b

= − ⋅ += − ⋅ += − ⋅ +

Schreibt man dieses Gleichungssystem in Matrixform, so erhält man die Matrix


202

(1)

(1)

(1)

(2) 1(3) 1(4) 1

zB z

z

⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

und den Vektor

(0)

(0)

(0)

(2)(3)(4)

xY x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Die Bestimmungsgleichung für die noch unbekannten Parameter ist 1( )T Ta

B B B Yb

−⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Die gegebene inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung dx a x bdt

+ ⋅ =

gehorcht der Form dx r x kdt

= ⋅ + .

Diese Differentialgleichung kann wie folgt gelöst werden: /

/dx dt rx k r

=+

.

Beide Seiten werden integriert und man erhält: 1ln( / )x k r r t C+ = ⋅ +

Weiter erhält man: 1/ exp( ) exp( )x k r r t C+ = ± ⋅ ⋅ .

Isoliert man nun x, so ergibt sich:

1exp( ) exp( ) kx r t Cr

= ⋅ ⋅ − .

Im nächsten Schritt werden die ursprünglichen Bezeichnungen und Vorzeichen verwendet: (1)

1( ) a k bx k C ea

− ⋅= ⋅ + .

Da (1) (0)(1) (1)x x= gilt, ergibt sich

(1) (0) ( 1)1(1) (1) a k bx x C e

a− ⋅ −= = ⋅ +

(0) (1 1)1

(0)1

(0)1

(1)

(1) 1

(1)

a bx C ea

bx Ca

bC xa

− ⋅ −= ⋅ +

= ⋅ +

= −

und man erhält: (1) (0)ˆ ( 1) (1) a kb bx k x e

a a− ⋅⎛ ⎞+ = − ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Gemäß der ursprünglichen Definition der Reihe kann man auch wieder die Originalreihe berechnen:

(0) (1) (1)ˆ ˆ ˆ( 1) ( 1) ( )x k x k x k+ = + − . Verwendet man anstelle der Lösung der Differentialgleichung die Differenzenmethode, so erhält man:


203

20

0(1)1 0,5ˆ ( )

1 0,5 1 0,5

k b a xax ka a

− − ⋅− ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⋅ + ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

■ Beispiel Im Folgenden soll die Anwendung an einem Beispiel gezeigt werden. Dazu wird zunächst eine Schädigungsfunktion einer Brücke gewählt. CZECHOWSKI [121] beschreibt die Schädigung einer baulichen Struktur über eine solche Schädigungsfunktion. Der Widerstand der Struktur ist dann:

)()(min_ tRtRRd ≤⋅≤ φ mit

φ(t) als Schädigungsfunktion. MORI & NONAKA [373] und MORI & KATO [372] verwenden in ihren Arbeiten eine zeitabhängige Schädigungsfunktion der Art

btag ⋅−= 1 In Tab. 59 werden Beispiele für Exponenten dauerhaftigkeitsbeschränkender Einwirkungen für Betonkonstruktionen für diese Funktion angegeben:

Tab. 59: Beispiele für Exponenten für die Schädigungsgleichung (MORI & NONAKA [373] und MORI & KATO [372])

Funktionstyp Exponent Beispiel Wurzelgesetz b = 0,5 Diffusion (z.B. Chloridangriff bei Stahlbeton) Linear b = 1,0 Korrosion Parabolisch b = 2,0 Sulfatangriff bei Beton Bei der vorgestellten Formel mit den Exponenten gemäß Tab. 59 handelt es sich um Potenz-funktionen. Im Folgenden wird aber eine Exponentialfunktion für die Schädigungsent-wicklung an historischen Natursteinbogenbrücken vorgeschlagen, da Schäden an solchen Brücken bald weitere, neue Schäden nach sich ziehen. So kann eine Schädigung der Dichtung zu Schäden des Mörtels oder Schäden an den Steinen führen. Risse im Mauerwerk können bewachsen werden und dies zu weiteren Rissen führen. Die Annahme einer Exponential-funktion erlaubt die Anwendung des Grey Model GM(1,1). Basierend auf verschiedenen Berechnungen liegt eine Entwicklungsbeschreibung der Sicherheit für eine Bogenbrücke vor (Tab. 59). Mit einem Grey Model GM(1,1) erfolgt eine Extrapolation. Natürlich ist auch eine klassische Regression möglich.

Tab. 60: Abnahme der Sicherheit einer Brücke über die Zeit Jahr Sicherheitsfaktor 1970 1,567 1980 1,283 1990 1,034 2000 1,050 2010 extrapoliert 0,900


204

Beide, sowohl eine klassische Regressionsberechnung, als auch die Lösung mittels Grauer Modelle besitzen Grenzen. Beide Modelle unterscheiden sich durch die Festlegung der Hintergrundinformationen. Während das Graue Modell eine Lösungsfunktion festlegt, wird bei der nichtlinearen Regression aus dem Pool aller möglichen Funktionen diejenige gewählt, die eine optimale Annäherung im Sinne nichtlinearer Regression erlaubt. Allerdings ist auch hier eine Vorauswahl möglich. Der Erfolg der Näherung durch die Grauen Zahlen hängt wesentlich von dem grundlegenden deterministischen Modell, also der Differentialgleichung ab. Weitere Modelle für die Lösungen werden in der Literatur vorgestellt, so z.B. das VERHULST Modell. Bei einem VERHULST Modell geht man davon aus, dass sich die Schädigungsentwicklung ab einem bestimmten Grand wieder verzögert. Das VERHULST Modell, benannt nach dem belgischen Mathematiker VERHULST, kann Grenzen exponentieller Wachstumsgesetze berücksichtigen. Die Differentialgleichung dafür lautet.

( )dy r a y ydt

= − ⋅ ⋅ .

Setzt man hier wieder die Reihen gemäß des GM(1,1) ein, so erhält man:

( )(1) 2(1) (1)( ) ( )dx a x t b x t

dt+ ⋅ = ⋅

( )(1) 2(1) (1)( ) ( )dx a x t b x t

dt= − ⋅ + ⋅

(1)(1) (1)( ( )) ( )dx a b x t x t

dt= − + ⋅ ⋅

(1) (1)(1)( )1 ( )dx x tr x t

dt k⎛ ⎞

= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Das kann umgeschrieben werden:

1dy yr ydt k

⎛ ⎞= ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

, rka

= ,

und man erhält als Lösung: 0

0 0( ) r t

y kyy k y e ⋅

⋅=+ − ⋅

. Eine Umformung gemäß

0

0 00 0

1 1 1r t r t

y k kyk ky e y ey y

⋅ ⋅

⋅= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − ⋅ ⋅ + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

und die Rücksubstitution

r a= − , akb

= , (1)y x= , t k= führen zu

(1)

0

ˆ ( )11 1(1)

a k

abx k

a eb x

⋅

=⎛ ⎞

+ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠


205

Damit kann auch wieder die Gesetzmäßigkeit der ursprünglichen Reihe erfasst werden. Beim Grauen Modell GM(1, n) handelt sich um ein Modell für eine multidimensionale Extrapolation (TIEN [540]):

(1)(1) (1) (1) (1)

1 2 ... ndx a x b x b x b xdt

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ oder geschrieben

(1)(1) (1) (1) (1) (1)1

1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( )n n

dX t b X t b X t b X t b X t b X tdt

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ .

In der Literatur wurden in den letzten Jahren zahlreiche weitere graue Modelle entwickelt, so z.B. UIRGM(1,1) [610], DGDMMI(1,1,1) [539], GDM(2,2,1) [95], GFM(1,1) [95], GM(2,2) [256], GM(0,N) [256] und DGDM(1,1,1) [541] oder Graue Markov-Prozess [258]. Um sich von der Vorauswahl der Lösungsfunktion bei den Grauen Modellen zu befreien, kann der so genannte Graue Relationskoeffizient verwendet werden. Bei diesem Modell werden verschiedene Vektoren oder Reihen miteinander verglichen.

(0)

(0)

(0) (0)

(0)

(1)(2)(3)

...( )

xx

X x

x k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

1

1

1 1

1

(1)(2)(3)...( )

xx

X x

x k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

...

(1)(2)(3)...( )

i

i

i i

i

xx

X x

x k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

Ein Differenzvektor kann für den Vergleich der verschiedenen Reihen verwendet werden:

(0) (1)

(0) (1)

(0) (1)

(0) (1)

(1) (1)

(2) (2)

(3) (3)

...

( ) ( )

x x

x x

X x x

x k x k

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Der Graue Relationskoeffizient wird definiert als: min min max max

( )max max

i k i ki

i k

X Xk

X X

αξ

+=

+ mit 0 1α≤ ≤ .

Der Wert ist Abhängig von den Umgebungsbedingungen:

1α = Umgebungsbedingungen identisch 0α = Umgebungsbedingungen unabhängig

Die Relationskoeffizienten können wie folgt interpretiert werden:


206

0,9 1ξ< ≤ Vollständige Abhängigkeit 0,8 0,9ξ< ≤ Gute Übereinstimmung 0,6 0,8ξ< ≤ Mittlere Übereinstimmung 0,0 0,6ξ< ≤ Keine Übereinstimmung Der Graue Relationskoeffizient wurde z.B. schon zur Identifikation von Systemver-änderungen in Bauteilen verwendet (XUE et al. [603], CHEN, ZHU & CHEN [96]). Für Graue Systeme liegt aber noch kein anwendungsbereites Sicherheitskonzept vor, so dass im Folgenden auf das verwendete probabilistische Sicherheitskonzept von Bauwerken eingegangen wird.

7.2 Probabilistische Sicherheitsuntersuchungen Die ersten Vorschläge zur Verwendung von Wahrscheinlichkeiten im Bauwesen gehen auf eine Arbeit in Deutschland von MAYER (1926) [343] und in der Sowjetunion von CHOCIALOV (1929) zurück. In den 30er Jahren befassten sich bereits, unabhängig voneinander, STRE-LECKIJ (1935) in der Sowjetunion, W. WIERZBICKI (1936) in Polen und PROT (1936) in Frank-reich mit der Beschreibung der Sicherheit von Bauwerken als Zufallserscheinungen (MURZEWSKI [382]). Bereits im Jahre 1944 wurde in der Sowjetunion ein Dekret durch die Volkskommissare zum Beginn der Arbeiten für die Einführung der wahrscheinlich-keitstheoretischen Methode der Grenzzustände herausgegeben (TICHÝ [538]). 1947 veröffent-lichte FREUDENTHAL seinen bekannten Aufsatz über die Sicherheit von Bauwerken [196]. In den 50er Jahren flossen die ersten Erkenntnisse in Bauvorschriften ein (MURZEWSKI [382]). In Deutschland erlebte die Forschung zu diesem Thema in den 70er Jahren eine Blüte durch die Einrichtung des Sonderforschungsbereich 96 ,,Zuverlässigkeitstheorie der Bauwerke“ in München. Zurzeit wird durch das Joint Committee on Structural Safety der IABSE, CIB, RILEM, fib and ECCS bereits an einem ersten vollprobabilistischen Modelcode gearbeitet [281]. Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen sind heute fester Bestandsteil moderner Vor-schriften im Bauwesen (GruSiBau [391], E DIN 1055-100, DIN 18 800, Eurocode 0 bis 8). Ziel der Durchführung derartiger Berechnungen ist, wie bereits o. g., die Ermittlung der Wahr-scheinlichkeit bzw. eines äquivalenten Ersatzmaßes des Strukturverhaltens. Dies geschieht durch so genannte wahrscheinlichkeitstheoretische bzw. probabilistische Berechnungen. Eingangsgrößen derartiger Berechnungen sind keine deterministischen, eindeutig zuordenba-ren Zahlen, sondern Zufallsvariablen, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen gehorchen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen kann man multiplikativ verknüpfen und erhält daraus eine Verbundwahrscheinlichkeitsdichte. Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte bildet in Abhängigkeit von der Anzahl der streuenden Größen und der Art und Weise der einzelnen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ein mehrdimensionales Volumen. Das Volu-men selbst bzw. das Integral hat über alle Zufallsvariablen von minus unendlich bis plus unendlich immer den Wert 1. Durch beliebige funktionale Zusammenhänge der Zufalls-variablen, im vorliegenden Fall die Tragfähigkeit der Bogenbrücken, wird das Volumen in zwei Teile geschnitten. Der eine Teil des Volumens ist die Überlebenswahrscheinlichkeit und


207

der andere die Versagenswahrscheinlichkeit. Im Bauwesen ist es auf Grund der o. g. gesetzlichen Forderungen üblich, dass die Versagenswahrscheinlichkeit sehr geringe Werte annimmt. Den funktionalen Zusammenhang bezeichnet man üblicherweise als Grenzzustand bzw. Grenzzustandsgleichung 0)( ≤Xg . In vielen Fällen ist aber die Grenzzustandsgleichung nicht mehr analytisch geschlossen darstellbar, sondern sie beinhaltet Ergebnisse der dynamischen Finite-Elemente-Berechnungen.

Abb. 114: Darstellung der Zuverlässigkeit als Wahrscheinlichkeit der Überschreitung eines Grenzzustandes, der eine Funktion der Einwirkung S und des Widerstandes R eines Tragwer-kes ist. Die Unsicherheiten der beiden Größen folgen statistischen Verteilungsfunktionen. In Abb. 114 wird die erläuterte Problemstellung für eine zweidimensionale Aufgabe verdeut-licht. Ein Maß für die Wahrscheinlichkeit des Versagens ist genau derjenige Teil des Volumens ∫ ∫ ⋅ dsdrsfrf SR )()( , welcher durch 0),( ≤SRg abgetrennt wird. Die Aufgabe der

probabilistischen Verfahren besteht nun darin, das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte-funktionen zu ermitteln:

∫ ∫= dxxfP xf )(... .

Grundlage für die Wahl der Wahrscheinlichkeit als Zuverlässigkeitsmaß ist eine statistische Beschreibung der Eingangsgrößen der Nachweise. Dieser Hintergrund spiegelt sich in den existierenden Bauvorschriften allein durch die Tatsache wieder, dass die charakteristischen Werte von Eingangsgrößen überwiegend als Fraktilwerte von Widerstands- oder Einwir-kungsgrößen definiert sind. Mit der statistischen Beschreibung der Eingangsgrößen wird natürlich implizit vorausgesetzt, dass genügend Informationen über die Zufallsgröße vorhanden sind und dass in der Tat die veränderlichen Einwirkungen und Eigenschaften von Materialien zufälligen Schwankungen unterliegen. Systematische Fehler können also durch diesen Ansatz nicht berücksichtigt werden. Um solche Fehler auszuschließen, werden grundlegende Forderungen erhoben, die sich sowohl auf die Bauplanung als auch auf die Ausführung beziehen (DIN 1055-100 [160]).


208

7.2.1 FORM Diese geringen Versagenswahrscheinlichkeiten erlauben es, bestimmte Vereinfachungen bei der Ermittlung des mehrdimensionalen Integrales einzuführen. Die Vereinfachungen haben zu einer drastischen Verringerung der bis dahin erforderlichen Rechenzeit und auf Grund des einfachen Algorithmus zu einer weiten Verbreitung dieser Verfahren geführt. Die Grundidee besteht darin, die mehrdimensionale Integration näherungsweise in eine Extremwertaufgabe zu überführen. Ziel der Rechnung ist dann nicht mehr die Versagenswahrscheinlichkeit bzw. das Volumen selbst, sondern der Sicherheitsindexβ, ein für das Volumen repräsentatives Längenmaß. Der Sicherheitsindex ist der geringste Abstand zwischen Grenzzustandsgleichung und Koordinatenursprung im Gaußnormalraum. In diesem Raum ist der Sicherheitsindex ein Maß für das durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und die Grenzzustandsgleichungen gebildete Volumen gemäß ( )fP β= Φ − . Im Gaußnormalraum folgt jede Zufallsvariable einer standardisierten Gaußnormalverteilungsdichtefunktion. Eine standardisierte Dichtefunktion hat den Mittelwert Null und die Standardabweichung Eins. Die grundlegende Annahme für dieses Verfahren ergibt sich aus der erforderlichen Bedingung der Transformierbarkeit jeder beliebigen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in eine Gauß-normalverteilungsdichtefunktion. Zusätzlich wird angenommen, dass die Grenzzustands-gleichung näherungsweise liniearisiert werden kann. Aus dieser Linearisierung rührt auch der Name dieses Verfahrens: First Order Reliability Method (FORM).

0Sicherer Berei

ch βUnsicherer Bereich

y2

h y

yy

( ) = - -

= 0

β αα

1

21

2

y*1 = α1 β

y* 2 =

α

2β

u1

arccos α1

arccos α2

y1

Abb. 115: Darstellung des Sicherheitsindex, y steht für die transformierten und normierten Zufallsgrößen und h ist die Grenzzustandsgleichung im Normalraum Das Ergebnis dieser Rechnung ist aber nicht nur der kürzeste Abstand zwischen Koordinaten-ursprung und Grenzzustandsgleichung, sondern zusätzlich der Wert jeder Zufallsvariablen, unter der der geringste Abstand erreicht wird. In Abb. 115 werden diese Werte *

1y und *2y


209

genannt. Transformiert man diese Werte wieder in die Originaldichtefunktion, entsprechen sie denjenigen Werten der Zufallsgrößen, bei denen mit der höchsten Wahrscheinlichkeit das Ver-sagen eintritt. Diese Werte werden als Bemessungswerte bezeichnet. Diesen Begriff findet man auch in den Vorschriften. Interessant ist in einer vollprobabilistischen Rechnung aber, dass die Bemessungswerte von den statistischen Eigenschaften der anderen Zufallsgrößen abhängen. Diese Tatsache wiederum spiegelt sich nicht in den Vorschriften wieder und zeigt die in den Normen vorgenommenen Vereinfachungen. Im Folgenden wird das Verfahren von RACKWITZ-FIEßLER (entnommen SPAETHE [515]), wel-ches auch als Normal-Tail-Approximation bezeichnet wird, kurz beschrieben. Das Konzept dieses Verfahren lässt sich in wenigen Worten zusammenfassen: Transformation aller normal-verteilten und nichtnormalverteilten Zufallsvariablen in normierte normalverteilte Zufallsva-riablen, Transformation der Grenzzustandsgleichung und Extremwertsuche des kürzesten Abstandes zwischen dem Koordinatenursprung und der Grenzzustandsgleichung. Die Transformation in den standardisierten Raum von nichtnormalverteilten Zufallsvariablen erfolgt gemäß:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= *

**

** 1)(

i

i

i

ix

xi

xix

mxxf

σϕ

σ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= *

*** )(

i

i

ix

xiix

mxxF

σΦ

mit *

ix als Bemessungspunkt, *ixm und *

ixσ als Mittelwert bzw. Standardabweichung der Normalverteilung, die als Näherung der Originalverteilung gewählt wurde. Eine Umformung nach diesen Größen ergibt:

)))((()(

1 *1*

*ix

ixx xF

xf i

i

i

−= Φϕσ

))(( *1***ixxix xFxm

iii

−−= Φσ . Anschließend erfolgt die Iteration nach dem Verfahren von RACKWITZ-FIEßLER: 1. Setze den Iterationszähler auf k = 0 und wähle einen vorläufigen Bemessungspunkt )(k

ix 2. Rechne alle nicht normalverteilten Zufallsgrößen näherungsweise in normalverteilte Zu-fallsgrößen nach den folgenden Formeln für Mittelwert und Standardabweichung um:

*( ) 1 ( )( )

1 ( ( ( )))( )i i

i

k kx x ik

x i

F xf x

−σ = ϕ Φ

*( ) ( ) ( ) 1 ( )( ( ))i i i

k k k kx i x x im x F x−= − σ Φ

mit i = 1, 2, ..., m und m als Anzahl der Zufallsgrößen. 3. Berechne den zugehörigen Wert von )(k

ix im standardisierten Raum )(kiy


210

( ) *( )( )

*( )i

i

k ki xk

i kx

x my

−=

σ.

4. Berechne die Grenzzustandsgleichung und die Ableitungen der Grenzzustandsgleichung im Punkt )(k

iy .

)x()y( )()( kk gh =

( ) ( ) ( )

*( )

k k k

kii

i i i i

xh g gy x y x

= = =

∂∂ ∂ ∂= ⋅ = ⋅σ∂ ∂ ∂ ∂

y y x x x x

5. Berechne die Koeffizienten der Tangentialhyperebene an 0)y( =h im Punkt ( )ky .

( )

( )

( )1/ 22

1

k

k

iki

m

j j

hy

hy

=

= =

∂∂

α =⎛ ⎞⎛ ⎞∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑

y y

y y

( )

( )

( ) ( )

1( )1/ 22

1

( )k

k

mk k

jj jk

m

j j

hh y yy

hy

= =

= =

∂−∂

δ =⎛ ⎞⎛ ⎞∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

∑

y y

y y

6. Ein neuer Näherungswert für den Bemessungspunkt im Originalraum kann wie folgt ge-schätzt werden:

( 1) *( ) *( ) *( ) ( )

i i

k k k k ki x i xx m α σ δ+ = − ⋅ ⋅

mit i =1,2,...,m 7. Prüfe, ob )()1( k

ik

i xx ≈+ , wenn erfüllt, dann ist der Bemessungspunkt gefunden und für den

Sicherheitsindex gilt δβ = bei h(0) > 0. Ist die Bedingung nicht erfüllt, führe die Iteration mit Schritt 2 fort. Das vorgeschlagene Verfahren ist äußerst praktisch und ergibt recht genaue und schnelle Lösungen bei Verteilungen, die nicht allzu stark von der Normalverteilung abweichen und bei nicht zu stark gekrümmten Grenzzustandsgleichungen mit möglichst nur einem Bemessungs-punkt. Die große Verbreitung wahrscheinlichkeitstheoretischer Ansätze basiert zu einem nicht unbeträchtlichen Teil auf der theoretischen Arbeit zur FORM von HASOFER & LIND [243] und der hier vorgestellten algorithmischen Umsetzung von RACKWITZ und FIEßLER [181].

7.2.2 SORM

7.2.2.1 Verfahren von BREITUNG Bei den FORM-Algorithmen wurde davon ausgegangen, dass die Krümmung der Grenzzu-standsgleichung vernachlässigbar gering ist. Man kann aber versuchen, die Krümmung der


211

Grenzzustandsgleichung in die Ermittlung des Sicherheitsindex mit einfließen zu lassen. Da-durch erzielt man u. U. eine höhere Genauigkeit des Sicherheitsindex im Vergleich zur FORM-Rechnung. Das Verfahren von BREITUNG zur Berücksichtigung der Krümmung der Grenzzustandsgleichung wird in diesem Abschnitt vorgestellt. Die Näherung der Grenzzustandsgleichung wird dann wie folgt beschrieben:

0)yy(B)yy(21)y()yy()y()y( ***** =−⋅⋅−+∇⋅−+= y

TT hhh

By ist die Matrix der zweiten und gemischten Ableitungen von h(y) im standardisierten Raum am Bemessungspunkt. BREITUNG nähert die Versagenswahrscheinlichkeit mit folgender For-mel:

11/ 2

1

( ) (1 )m

f ii

P a−

−

=

= Φ −β − β ⋅∏

mit ai und i = 1, 2, ..., m - 1 als Hauptkrümmungen von h im Bemessungspunkt im standardi-sierten Raum. Die Ermittlung der Hauptkrümmungen ist das eigentliche Problem dieses Ver-fahrens und gestaltet sich wie folgt. Um die Hauptkrümmungen zu ermitteln, wird eine Drehung des Koordinatensystems notwen-dig. Zur Durchführung dieser Drehung benötigt man eine Matrix, die mittels des SCHMIDT’schen Orthogonalisierungsverfahrens bestimmt werden kann. Es gelte

uDy ⋅= bzw. für die neuen Koordinaten im gedrehten System

yDu ⋅= T . Für die Matrix gelte:

Tm )d,...,d,d(D 21=

mit α=1d und k

kk f

f=d , wobei ∑−

=

−=1

1

d)de(ek

lll

Tkkkf 2, 3, ...,k m= und ek = k-ter

Einheitsvektor. Im neuen System gilt dann

* * ( ,0,0,...,0) T T= = βu D y und

1

,0,0,...,0 T

uu

gg hu

⎛ ⎞∂∇ = ⋅∇ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠D

0)u( * =ug , DBDB yT

u = und damit wird der Tayloransatz zu

* * *1 1

1

1( ) ( ) ( ) 0 2

Tuu

gu uu

∂− ⋅ + − ⋅ ⋅ − =∂

u u B u u .

Die Hauptkrümmungen sind die Wurzeln der Gleichung


212

1

ˆdet 0

/u

u

ag u

⎛ ⎞− ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

B I .

uB̂ ist die Matrix der zweiten und gemischten Ableitungen und wird aus uB durch Streichen der ersten Zeile und ersten Spalte erstellt. I ist die Einheitsmatrix. Die Näherung von BREITUNG gibt gute Ergebnisse, wenn die Krümmungen klein und der Si-cherheitsindex groß ist. Das Verfahren wurde SPAETHE [515] entnommen.

7.2.2.2 TVEDT’S Korrektur für BREITUNG Die Näherung der Versagenswahrscheinlichkeit erfolgt durch drei Terme. Zwei Terme können als Korrektur für das Verfahren von BREITUNG interpretiert werden. Damit ist das Verfahren von TVEDT eine Erweitung des Verfahrens von Breitung. Dieses Verfahren wurde nur probeweise in die Berechnungen integriert und ist nicht Bestandteil der beispielhaft im Anhang dargestellten Berechnungsergebnisse. Der Rechenablauf gliedert sich wie folgt, wo-bei die Hauptkrümmungen ai wieder bereitgestellt werden müssen (aus KÖYLÜOGLU & NIELSEN [299]):

fP−= 1γ

)(1 321 AAA ++−=γ mit 1

1/ 21

1

( ) (1 )n

jj

A a−

−

=

= Φ −β + β∏

1 11/ 2 1/ 2

21 1

[ ( ) ( )] (1 ) (1 ( 1) )n n

j jj j

A a a− −

− −

= =

⎧ ⎫= βΦ −β − ϕ β ⋅ + β − + β +⎨ ⎬

⎩ ⎭∏ ∏

1 11/ 2 1/ 2

31 1

( 1)[ ( ) ( )] (1 ) Re (1 ( i) )n n

j jj j

A a a− −

− −

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= β + βΦ −β − ϕ β ⋅ + β − + β +⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∏ ∏

Das Verfahren von TVEDT liefert im Gegensatz zum Verfahren von BREITUNG nicht nur gute Ergebnisse bei großen, sondern bereits bei mittelgroßen Sicherheitsindizes. Bei kleinen Si-cherheitsindizes reichen die beiden Korrekturterme nicht aus, eine ausreichend hohe Genau-igkeit des Sicherheitsindex zu gewährleisten [299]. Das gleiche gilt für negative Krümmun-gen. Aus diesem Grund hat TVEDT das Verfahren weiterentwickelt.

7.2.2.3 Exaktes Verfahren nach TVEDT Für paraboloide Grenzzustandsgleichungen ergibt die folgende Formel exakte Ergebnisse (aus KÖYLÜOGLU & NIELSEN [299])). Die Krümmung darf positiv oder negativ sein, auch der Sicherheitsindex darf beliebige Werte annehmen:

fP−= 1γ


213

21

12 2 1/ 410

1

1 1 exp( 1/ 2 )0,5 sin arctan( ) d2 (1 )

n

j nj

jj

aa

∞ −

−=

=

⎡ ⎤ − θγ = + βθ + θ θ⎢ ⎥π ⎣ ⎦ θ + θ∑∫

∏

Der Nachteil dieses Verfahrens ist die erforderliche numerische Lösung des Integrales. Des-halb wurden weitere SORM Verfahren entwickelt.

7.2.2.4 Verfahren von KÖYLÜOGLU & NIELSEN KÖYLÜOGLU & NIELSEN [299] stellten das folgende Verfahren vor. Ausgangspunkt für ihre Überlegungen war die Tatsache, dass die meisten SORM Verfahren bei einem kleinen Sicher-heitsindex nicht funktionieren, z. B. BREITUNG oder TVEDT’S Korrektur für BREITUNG. Gemäß der üblichen Formel für SORM-Integrale

fP−= 1γ und unter der Annahme, dass alle Krümmungen ai positiv sind, geben KÖYLÜOGLU & NIELSEN folgende Formel an:

1

1 0,1

2 21 1 1

1,1 2,11 1 10,1 0,1 0,1

31 1

3,11 10,1 0,1

11 ( )1 /

1 1 1 22 1 / 4 1 / 1 /

1 28 1 / 1 /

n

j j

n n nk k k

k k kk k k

n nk k

k kk k

a c

a a ac ca c a c a c

a aca c a c

−

=

− − −

= = =

− −

= =

γ = − Φ −β+

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎢ ⎥⋅ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ + + +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

∏

∑ ∑ ∑

∑ ∑2

1

1 0,1

31

1 0,1

1 /

+12 + 1 /

nk

k k

nk

k k

aa c

aa c

−

=

−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎫⎤⎛ ⎞ ⎪⎥⎜ ⎟ ⎬+ ⎥⎝ ⎠ ⎪⎦ ⎭

∑

∑ K

Für ausschließlich negative Krümmungen ai ergibt sich: 1

1 0,2

2 21 1 1

1,2 2,21 1 10,2 0,2 0,2

31 1

3,21 10,2 0,2

11 ( )1 /

1 1 1 22 1 / 4 1 / 1 /

1 28 1 / 1 /

n

j j

n n nk k k

k k kk k k

n nk k

k kk k

a c

a a ac ca c a c a c

a aca c a c

−

=

− − −

= = =

− −

= =

γ = − Φ +β−

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎢ ⎥⋅ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ − − +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

∏

∑ ∑ ∑

∑ ∑2

1

1 0,2

31

1 0,2

1 /

+12 + 1 /

nk

k k

nk

k k

aa c

aa c

−

=

−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎫⎤⎛ ⎞ ⎪⎥⎜ ⎟ ⎬+ ⎥⎝ ⎠ ⎪⎦ ⎭

∑

∑ K

Die generalisierte Form für positive und negative Krümmungen ai der Grenzzustandsgleichung lautet gemäß KÖYLÜOGLU & NIELSEN wie folgt:


214

1 1

1,20,20,2

1 1

1,11 0,10,1

1

1,11 0,10,1

1 1( ) ( ) 12 1 /1 /

1 1 1 12 1 /1 /

1 1 ( ) 12 1 /1 /

n nk

j m k m kj

m mk

j k m kj

mk

k kj

ada ca d

aca ca c

ada ca d

− −

= =

− −

= =

−

=

⎡ ⎧ ⎫⎪ ⎪γ = Φ β + Φ −β + +⎢ ⎨ ⎬−− ⎪ ⎪⎢ ⎩ ⎭⎣⎤⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎥⋅ − + +⎨ ⎨ ⎬⎬++ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭⎦

⎧⎪− Φ β + +⎨ ++ ⎩

∏ ∑

∏ ∑

∑

K

K

K1

1

1 1

1,21 0,20,2

1 1 1 12 1 /1 /

m

j

n nk

j m k kj

aca ca c

−

=

− −

= =

⎡ ⎫⎪⎢ ⎬

⎪ ⎪⎢ ⎭⎣⎤⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎥⋅ − + +⎨ ⎨ ⎬⎬−− ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭⎦

∏

∏ ∑ K

In Abhängigkeit davon, wann die Terme abgebrochen werden, ergeben sich verschiedene Nä-herungsansätze. Bei einer Ein-Term-Näherung für positive Krümmungen wird der Koeffizient zu

0,1( )( )

c Φ −β=ϕ β

,

und 01,21,1 === Kcc und bei einer Zwei-Term-Näherung zu

0,1( ) 1( ) 1 1 ( ) / ( )

c⎛ ⎞Φ −β= ⎜ ⎟ϕ β + − βΦ −β ϕ β⎝ ⎠

,

1,1( ) ( )1( ) ( )

c ϕ β βΦ −β= −Φ −β ϕ β

und 01,31,2 === Kcc . Bei drei Termen ergeben sich die Koeffizienten zu:

1,10,1

1 ( )( )

cc

ϕ β− =Φ −β

,

1,12,12

0,1 0,1

1 ( )2 2( )

cc

c cβϕ β− + =Φ −β

,

21,1 2,1

3 20,1 0,1 0,1

1 ( 1) ( )3 6( )

c cc c c

β − ϕ β− + =Φ −β

und 01,41,3 === Kcc . Diese drei Gleichungen können zu einer kubischen Gleichung mit mindestens einer positiven reellen Lösung umgeformt werden. Diejenige Lösung für c0,1, die kleiner als

0,1( ) 1( ) 1 1 ( ) / ( )

c⎛ ⎞Φ −β= ⎜ ⎟ϕ β + − βΦ −β ϕ β⎝ ⎠

ist, sollte verwendet werden. Für die andere Krümmung ergeben sich bei einer Ein-Term-Näherung die Koeffizienten zu:

0,2( )( )

c Φ β=ϕ β


215

und 02,22,1 === Kcc , bei einer Zwei-Term-Näherung zu

0,2( ) 1( ) 1 1 ( ) / ( )

c⎛ ⎞Φ β= ⎜ ⎟ϕ β + + βΦ β ϕ β⎝ ⎠

1,2( ) ( )1( ) ( )

c −ϕ β βΦ β= +Φ β ϕ β

,

und 02,32,2 === Kcc , und bei einer Drei-Term-Näherung zu

1,20,2

1 ( )( )

cc

ϕ β+ =Φ β

,

1,22,22

0,2 0,2

1 ( )2 2( )

cc

c cβϕ β+ + = −Φ β

,

21,2 2,2

3 20,2 0,2 0,2

1 ( 1) ( )3 6( )

c cc c c

β − ϕ β+ + =Φ −β

und 02,42,3 === Kcc . Diese drei Gleichungen können zu einer kubischen Gleichung mit mindestens einer positiven reellen Lösung umgeformt werden. Diejenige Lösung für c0,2, die kleiner als

0,2( ) 1( ) 1 1 ( ) / ( )

c⎛ ⎞Φ β= ⎜ ⎟ϕ β + − βΦ β ϕ β⎝ ⎠

,

ist, sollte verwendet werden. Bei einer Näherung der d-Terme durch eine Ein-Term Formulierung erhält man:

1,01,0 2cd = , 2,02,0 2cd = und 01,21,1 === Kdd und 02,22,1 === Kdd . In der Berechnung der Brücken wurde diese Näherung des d-Terms und eine Ein-Term bzw. eine Drei-Term-Formulierung für die c-Faktoren gewählt und umgesetzt.

7.2.2.5 Verfahren von CAI & ELISHAKOFF CAI & ELISHAKOFF [83] nennen die gleiche Kritik wie KÖYLÜOGLU & NIELSEN [299] an BREITUNG’S Verfahren. Sie teilen das ursprüngliche SORM-Integral in zwei Teile und nähern die Funktion dann durch eine TAYLOR-Reihe an. Das Verfahren von CAI & ELISHAKOFF [83] ist relativ einfach zu handhaben:

2

1 2 31( ) exp ( )

22fP D D D⎛ ⎞β= Φ β + − + + +⎜ ⎟π ⎝ ⎠K .

Die einzelnen Glieder der TAYLOR-Reihe werden wie folgt ermittelt:

1 jj

D = λ∑

22

1 32 j j k

j j k

D≠

⎛ ⎞= − β ⋅ λ + λ λ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑


216

2 3 23

1 ( 1) 15 96 j j k j k l

j j k j k l

D≠ ≠ ≠

⎛ ⎞= β − ⋅ λ + ⋅ λ λ + λ λ λ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ .

Basis für die Berechnung sind wiederum die Hauptkrümmungen, die allerdings schon bei der SORM-Berechnung mittels BREITUNGS Verfahren bereitgestellt worden waren:

2j ja = − λ . Nach ZHAO & ONO [611] kann man die Aussagen zur Genauigkeit der SORM-Verfahren zu-sammenfassen: • Alle SORM-Verfahren zeigen eine Abhängigkeit der Lösung von der Anzahl der Variablen

und dem durch FORM ermittelten und bereitgestellten Sicherheitsindexes. • Alle SORM-Verfahren bringen hinreichende Näherungen bei großen Radien (kleine Krüm-

mungen) und einer kleinen Anzahl von Variablen. • Für Grenzzustandsgleichungen mit Krümmungen, die unterschiedliche Vorzeichen besit-

zen, zeigen alle Verfahren Fehler. Für positive Krümmungen und wenige Variablen erbringen BREITUNG’s Formel und TVEDT’s Formel gute Ergebnisse. CAI & ELISHAKOFF’s Ansatz erbringt bei positiven Krümmungen nur gute Ergebnisse, wenn der Sicherheitsindex der mit FORM ermittelt wurde, nicht zu groß ist. CAI & ELISHAKOFF’s Vorschlag erbringt immer gute Ergebnisse bei negativen Krümmungen.

7.2.3 Monte-Carlo-Simulation Die Monte-Carlo-Simulation ist im Gegensatz zu den bisher behandelten Extremwertverfah-ren ein Integrationsverfahren. Der Name dieses Verfahrens unterstellt eine gewisse Universa-lität und legt nahe, dass auch eine Anwendung in anderen Bereichen des Lebens als nur Bau-wesen möglich ist. Das Prinzip dieses Verfahrens folgt dem Motto des zufälligen Probierens. Die einzige Bedingung besteht in der Qualitätsanforderung an die Realisierung von Zufälligkeit. Dazu verwendet man Zufallszahlengeneratoren, die so genannte Pseudo-Zufallszahlen erstellen. Solche Generatoren sind bereits in viele Programme integriert und in umfangreichem Maße in der Literatur dokumentiert [395]. Der große Vorteil dieses Verfahrens ist in der unkomplizierten Anwendung zu sehen. Mathematisch wird das Verfahren wie folgt beschrieben:

N

ffVfVdVf

22

−

±≈∫ .

V entspricht dem Volumen. Die eckigen Klammern entsprechen dem arithmetischen Mittel-wert der Funktion über die Anzahl N der Stichproben:

∑∑==

≡≡N

ii

N

ii xf

Nfxf

Nf

1

22

1

)(1 )(1 .

Der “plus-minus”-Term stellt hierbei den Ein-Standardabweichungs-Fehlerschätzer unter An-nahme eines normalverteilten Fehlers des Integrals dar [395]. Ein großer Vorteil der Monte-Carlo-Simulation wird hier bereits deutlich. Der Fehler ist unabhängig von der Anzahl der Dimensionen, also der Anzahl der veränderlichen Eingangsgrößen (der Zufallsvariablen).


217

Der Ablauf gestaltet sich wie folgt: Prüfe unter zufälliger Variation der Eingangsgrößen, ob die Grenzzustandsgleichung eingehalten ist, erfasse die Anzahl der Fälle, in denen die Struk-tur versagt und setze sie ins Verhältnis zur Gesamtanzahl der Rechnungen. Das Ergebnis ist die Versagenswahrscheinlichkeit der Struktur. Solche Rechnungen lassen sich relativ einfach in viele FE-Programme einbinden, die eine eigene Programmiersprache beinhalten, wie z. B. Sofistik, DIE oder ANSYS. Die erforderliche Stichprobenanzahl für eine ausreichende Genauigkeit der Monte-Carlo-Si-mulation kann nach verschiedenen Verfahren abgeschätzt werden. Im Folgenden seien zwei Beispiele nach FLEDERER [186] genannt:

2

(1 )11

f ferf

P Pn

Pε

−= ⋅

− ε bzw. 2

(1 )f ferf

P Pn kε

−= ⋅

ε

mit Pε als Signifikanzniveau, ε als Konfidenz (statistischer Fehler) und kε als ein Faktor. Gerade bei den im Bauwesen üblichen geringen Versagenswahrscheinlichkeiten werden da-durch erhebliche Stichprobenumfänge notwendig. Als Beispiel (nach MACKE [326]) soll eine Versagenswahrscheinlichkeit von 10-6 mit einem statistischen Fehler von ε ≤ 50% errechnet werden. Der erforderliche Stichprobenumfang beträgt 4 × 106. Wenn ein statistischer Fehler von ε ≤ 10% gefordert wird, so muss die Stichprobenanzahl bereits 108 betragen. Die hohen erforderlichen Stichprobenanzahlen führen insbesondere bei komplexen mechani-schen Modellen wie sie die strukturmechanische Beschreibung der beiden Brücken bei einem Anprall darstellt, zu einer Rechenzeit, die den praktischen Einsatz des Verfahrens fraglich erscheinen lässt. Um diesen Nachteil zumindest teilweise auszuschalten, sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, die zusätzliche a-priori-Informationen in die Berechnung ein-fließen lassen. Eine Möglichkeit stellt die Varianzreduktion der Lösung durch eine Transfor-mation der Verteilungen in den Bereich des erwarteten Versagens dar. Damit wird klar, dass für diese Lösung eine grobe Schätzung des Lösungsbereiches bekannt sein muss. Die Trans-formation wird im Folgenden erläutert.

7.2.3.1 Stichprobenreduzierte Monte-Carlo-Simulation Das ursprüngliche mehrdimensionale Integral zur Bestimmung der Versagenswahrscheinlich-keit, welches

∫ ∫<

=0

xd)x(...g

xf fP

lautete, wird durch die Einführung einer Indikator- oder Wichtungsfunktion auf den gesamten Definitionsbereich erweitert, also ∫ ∫=

x alle

xd)x()(... xf fxIP , wobei für I(x) gelten soll:

⎩⎨⎧

≥<

=0)x(00)x(1

)x(gg

I .


218

Erweitert man das neue Integral um eine passende Verteilungsdichte hv(v) zu

alle x

( )... ( ) ( )d( )

xf v

v

fP I hh

= ∫ ∫vv v vv

,

kann man eine erwartungstreue Schätzung für die Versagenswahrscheinlichkeit mit folgender Formel ermitteln

1

1 ( )ˆ ( )( )

cmx n

f nnc v n

fP Im h=

= ∑ vvv

.

Auch die Varianz der Schätzung kann angeben werden:

2

2

1

1 1 ( )ˆ ˆVar[ ] ( )1 ( )

cmx n

f n fnc c v n

fP I Pm m h=

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑vvv

.

Das Problem bei diesem Verfahren liegt in der Wahl der passenden Verteilungsdichtefunktion hv(v). Hat man eine ungefähre Vorstellung über die mögliche Lage der Bemessungspunkte, kann man damit hv(v) wählen. Dann erhält man bei der Rechnung einfach mehr erfolgreiche Stichproben und kann damit die erforderliche Anzahl der Stichproben teilweise drastisch verringern. Dieses Verfahren wird als Importance Sampling (SPAETHE [515], SONG [509], MAES, BREITUNG & DUPUIS [327], IBRAHIM [265]) bezeichnet. Man kann sich auch vorstellen, die Dichte hv(v) dynamisch nach jeder Stichprobe neu anzupassen und von den bisher ermittelten Ergebnissen abhängig zu gestalten. Dieses Verfahren wird als Adaptive Sampling bezeichnet (BUCHER [72], MORI & ELLINGWOOD [371]). Weitere Verfahren zur Verringerung des Rechenaufwandes bei der Monte-Carlo-Simulation seien nur am Rande erwähnt, wie z. B. Stratified Sampling, Recursive Stratified Sampling, Antithetic Variances oder das Latin Hypercube Verfahren.

7.2.4 Verknüpfung von Einzelsicherheitsindizes Die hier nicht behandelte Hypersphere Division Methode und die Monte-Carlo-Simulation sind in der Lage, mehrere Grenzzustandsgleichungen bei einer Berechnung zu berück-sichtigen. Bei den FORM- und SORM-Algorithmen wird aber immer nur eine Grenzzustands-gleichung untersucht. Bei der Tragfähigkeitsuntersuchung einer Bogenbrücke kann es unter-schiedliche Nachweisgleichungen und damit unterschiedliche Grenzzustandsgleichungen geben. Die Unterschiede betreffen i. w. die Lage des Nachweisbereiches in den FE-Modellen. Die einzelnen Grenzzustandsgleichungen müssen miteinander verknüpft werden, um einen Gesamtwert für die Brücken angeben zu können. Hierbei müssen Annahmen über die Korrelation zwischen den einzelnen Grenzzustandsgleichungen getroffen werden. Zuerst sei angenommen, dass die Sicherheitsabstände für die Grenzzustandsgleichungen sto-chastisch unabhängig sind. Dann ist die Systemsversagenswahrscheinlichkeit

∏=

−−=n

jfjf PP

1

)1(1 .


219

Sind die einzelnen Versagenswahrscheinlichkeiten recht klein, kann man anstelle des Pro-duktes mit einer Summe arbeiten:

∑=

≈n

jfjf PP

1.

Der Fehlerterm für die Summe ist nicht größer als 2

121)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤ ∑

=

n

jfjf PPF .

Wählt man anstelle der Versagenswahrscheinlichkeit den Sicherheitsindex, kann man einen Systemsicherheitsindex nach folgender Formel angeben:

1 1

1 1

1 ( ) ( )n n

sys j jj j

− −

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −Φ − Φ ≈ −Φ Φ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ∑β β β .

Gibt es eine Korrelation zwischen den einzelnen Grenzzuständen, kann man eine mehrdimen-sionale Normalverteilung aufstellen. Dabei gilt für die Korrelation

1 1 2 2 ...Tjk j k j k j k jm km= = + + +ρ α α α α α α α α ,

wobei )...( 21 jmjjTj αααα +++= die Wichtungsfaktoren der m Zufallsvariablen der j-ten

Grenzzustandsgleichung und jβ der zugehörige Sicherheitsindex ist. Die Korrelationsmatrix für die Grenzzustände wird zu

12 1

21

1 2

11

1

n

n n

R

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

L

M

M O M

L

ρ ρρ

ρ ρ

und der Vektor der Sicherheitsindizes zu

1

2

n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

M

ββ

β

β

.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Seriensystem erhält man durch folgende Umformung sf PP −= 1

1

1 ( ( ) 0)n

jj

P g X=

⎛ ⎞= − ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠I

1

1 ( ( ) 0)n

jj

P h Y=

⎛ ⎞= − ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠I

Transformation in den Stan-dardnormalraum

1

1 ( ( ) 0)n

jj

P l Y=

⎛ ⎞≈ − ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠I

Linearisierung der Grenzzu-standsgleichung

*

1

1 ( )n

j jj

P Z=

⎛ ⎞= − − ≤ β⎜ ⎟

⎝ ⎠I

1 ( , )n= − Φ Rβ wobei ( , )nΦ β R die n-dimensionale standardisierte Normalverteilung ist

11

1 21/ 2/ 2

1 1( , ) exp d ,d , d2(2 )

nT

n nny y y

R−

−∞ −∞

⎛ ⎞Φ = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫R R yL L

β β

β ψπ

.


220

Für die Ermittlung dieser Funktion gibt es verschiedene Computerprogramme (SCHERVISH [473], GENZ [208], DREZNER [157]). Für den Sonderfall gleicher Korrelation zwischen den einzelnen Grenzzuständen ergibt sich:

11

1

R

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

L

M

M O M

L

ρ ρρ

ρ ρ

zu

1

( , ) ( ) d1

ni

ni

xx x+∞

=−∞

⎛ ⎞+ ⋅Φ = Φ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

∏∫R β ρβ ϕρ

.

Eine Möglichkeit bei verschiedenen Korrelationskoeffizienten ist die Berechnung und Ver-wendung eines mittleren Korrelationskoeffizienten. Diese Näherung liegt in den meisten Fällen auf der sicheren Seite. Man kann die einzelnen Werte der Korrelationsmatrix auch als Produkte auffassen, die man in die einzelnen Faktoren zerlegen kann. Die Matrix kann dann wie folgt geschrieben werden:

1 2 1

2 1i i

1 2

11

, 1, 1, , = 1, 2, ...,

1

n

n n

R i j n

⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟= < <⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

L

M

M O M

L

λ λ λ λλ λ

λ λ

λ λ λ λ

und für die Normalverteilung gilt

xxxn

i i

iin d

1)()R,(

12∫ ∏

∞+

∞− = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−⋅+=

λλβΦϕβΦ .

RACKWITZ (entnommen SPAETHE [515]) hat auf Grundlage dieser Modifikation der Korrelati-onsmatrix der einzelnen Grenzzustände ein Verfahren zur Abschätzung von oberen und unteren Schranken entwickelt.

kjjkkj ≠≤⋅ ρλλ für eine obere Schranke der Versagenswahrscheinlichkeit

kjjkkj ≠≥⋅ ρλλ für eine untere Schranke der Versagenswahrscheinlichkeit Es gilt wieder 1 ,1 ≤≤− kj λλ . Eine optimale Anpassung erreicht man, wenn jkkj ρλλ =⋅ , das

wird aber nur in den seltensten Fällen möglich sein. Haben die verschiedenen jkρ ungefähr die gleiche Größenordnung, kann man folgende Wahl für die Faktoren treffen

kjjkjj ≠= }{max ρλ für die untere Schranke und

kjjkjj ≠= }{min ρλ für die obere Schranke.

Dafür muss natürlich gelten, dass der kleinste Wert jkρ positiv ist.


221

Eine bessere Schätzung kann man durch eine Wertung der Bedeutung einzelner Grenzzu-stände erreichen. Wählt man nämlich die drei Grenzzustände mit der größten Versagenswahr-scheinlichkeit bzw. dem kleinsten Sicherheitsindex, so kann man die Faktoren besser anpas-sen als durch die alleinige Wahl des Größt- bzw. Kleinstwertes. Diese Grenzzustände erhalten die Nummern 1, 2, 3 und die Faktoren werden nach folgender Regel ermittelt:

1 2 12 2 3 23 1 3 13, , ⋅ = ⋅ = ⋅ =λ λ ρ λ λ ρ λ λ ρ

12 13 21 23 31 321 2 3

23 13 12

, , ⋅ ⋅ ⋅= = =ρ ρ ρ ρ ρ ρλ λ λρ ρ ρ

und für die verbleibenden Werte gelte

1min 4,5... jk

j k jk

j≤ +

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

ρλ

λ für obere Schranken

1max 4,5... jk

j k jk

j≤ +

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭

ρλ

λ für untere Schranken.

Die Bedingung 1 ,1 ≤≤− kj λλ kann jedoch bei diesem Verfahren Probleme hervorrufen. Bei Seriensystemen steigt die Versagenswahrscheinlichkeit, wenn die Korrelation zwischen den Grenzzustandsgleichungen abnimmt. Man kann die genannten Gleichungen für die Versagenswahrscheinlichkeit als Schranken für die Systemwerte verwenden. Die Schranken lauten dann wie folgt:

∑∏==

<−−≤≤n

jfj

n

jfjffjj

PPPP11

)1(1max

bzw. für den Sicherheitsindex

1 1

1 1

min 1 ( ) ( )n n

j sys j jj j j

β β β β− −

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ ≥ −Φ − Φ > −Φ Φ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ ∑ .

Auf der Basis des allgemeinen Additionssatzes von Wahrscheinlichkeiten kann man genauere Schranken angeben. DITLEVSEN (entnommen SPAETHE [515]) schlägt dazu folgende Formel vor:

1 2

1min

( ) max ( )n n

fj j kk jj j

PP F P F F

<= =

⎧⎪≤ ⎨ − ∩⎪⎩∑ ∑

11

21

0( ) max

( ) ( )

nj

fj j j k

k

P P FP F P F F

−

==

⎧⎪≥ + ⎨ − ∩⎪⎩

∑ ∑


222

Der Term des Durchschnittes der beiden Versagenswahrscheinlichkeiten kann wie folgt genä-hert werden

);,()( 2 jkkjkj FFP ρββΦ −−≈∩ . Setzt man diese Näherung in die Schranken von DITLEVSEN ein, verschwinden die Wahr-scheinlichkeiten und die Gleichungen werden zu:

21 2

1min

( ) max ( , ; )n n

fj j k jkk jj j

Pβ β β ρ

<= =

⎧⎪≤ ⎨ Φ − − Φ − −⎪⎩∑ ∑

11

2 21

0( ) max

( ) ( , ; )

nj

fj j j k jk

k

P ββ β β ρ

−

==

⎧⎪≥ Φ − + ⎨Φ − − Φ − −⎪⎩

∑ ∑.

Die zweidimensionale Normalverteilung kann approximiert werden gemäß

1 1 1 12 2 2 2 2

1 1

( ; ; ) ( ) 1 1

x w x wx x w dwλ λρ ϕλ λ

+∞

−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅Φ = Φ ⎜ ⎟ ⋅Φ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

mit 1λ ρ= , 2λ ρ= für 0ρ >

1λ ρ= − , 2λ ρ= − − für 0ρ < .

Die hier vorgestellten Verfahren wurden programmtechnisch umgesetzt. Es wurde dabei da-von ausgegangen, dass es sich bei den Brücken um Seriensysteme handelt, d. h. wenn auch nur ein Element versagt, versagt die ganze Brücke. Der Vollständigkeit halber sei für ein paralleles System noch die Ermittlung des Systemindex wie folgt angeben:

, ,1 ( 1)

t i t sn

nρβ β + ⋅ −= ⋅

mit βt,s = Systemindex, βt,i = Sicherheitsindex der einzelnen Grenzzustände, n = Anzahl aller Elemente, ρ = Korrelationskoeffizient mit ρ = 0, wenn der Ausfall eines Elementes keinen Einfluss auf andere Elemente hat, und ρ = 1, wenn alle Elemente gleichzeitig versagen. RACKWITZ & HOHENBICHLER [439] habe parallele Systeme mit verschiedenen Materialeigenschaften untersucht.


223

7.3 Programmtechnische Umsetzung

Die bisher geschilderten probabilistischen Berechnungsverfahren stehen heute in kommerziellen Programmen zu Verfügung. Tab. 61 nennt einige Programme mit wenigen Angaben zum Hersteller.

Tab. 61: Kommerzielle probabilistische Berechnungsprogramme Programm Entwickler/Vertrieb Homepage VAP [483] ETH Zürich http://www.ibk.baum.ethz.ch/proserv/vap.html CALREL University of California, Berkeley http://www.ce.berkeley.edu FERUM University of California, Berkeley http://www.ce.berkeley.edu/~haukaas/FERUM/ferum.html NESSUS Southwest Research Institute, San

Antonia, Texas http://www.nessus.swri.org/

PERMAS INTES GmbH, Stuttgart http://www.intes.de SLANG Bauhausuniversität Weimar http://www.uni-weimar.de/Bauing/ism/Slang ISPUD Universität Innsbruck http://www.uibk.ac.at/c/c8/c810 COSSAN Universität Innsbruck http://www.uibk.ac.at/c/c8/c810 PROBAN Det Norske Veritas Software http://www.dnv.com STRUREL RCP GmbH http://www.strurel.de ANSYS [344]

ANSYS Inc. http://www.ansys.com

SARA [394], FREET

Universität Brünn, Cervenka Consulting

http://www.cervenka.cz

RACKV Technische Universität Dresden/Universität für Bodenkultur Wien

=WURZEL(MMULT(MTRANS(F12:F18);MMULT(MINV(B21:H27);(F12:F18))))

Grenzzustandsgleichung

Abb. 116: Durchführung einer probabilistischen Berechnung mit EXCEL (unter Verwendung des Solvers)


224

Da eine probabilistische Berechnung als Extremwertaufgabe gelöst werden kann, sind solche Berechnungen prinzipiell auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm mit Extremwert-suche durchführbar. So bietet das Programm EXCEL standardmäßig einen Funktions-extremwertsucher, der zur Ermittlung des Sicherheitsindex verwendet werden kann. Der Extremwertsucher findet sich im Menü Extras unter Solver. Sollte in dem Menü kein Punkt Solver vorhanden sein, so muss im Menüpunkt Extras im Untermenüpunkt Add-Ins der Solver aktiviert werden. Die genaue Vorgehensweise bei der Durchführung der probabilistischen Berechnung wird z.B. bei LOW & TEH [324] beschrieben. Abb. 116 zeigt den Bildschirm bei einer solchen Berechnung.

7.4 Verbindung von Strukturmechanik und Probabilistik Die bisher vorgestellten Verfahren mit Ausnahme der Monte-Carlo-Simulation und die hier nicht behandelte Hypershpere Division Methode basieren auf einer analytisch geschlossen bekannten Grenzzustandsgleichung, die differenzierbar sein muss. Wenn aber in der Grenzzustandsgleichung z. B. Terme aus einer FE-Rechnung enthalten sind, so gilt diese Grundlage nicht mehr. Durch die Beschreibung des Anprallverhaltens der Brücke mittels dynamischer FEM-Berechnungen tritt dieser Fall ein. Es ist darum notwendig, für die FORM/SORM-Algorithmen ein Verfahren zu verwenden, welches aus den einzelnen Lösungen der FE-Modelle eine differenzierbare Fläche entwickelt, das aber, im Gegensatz zur Monte-Carlo-Simulation oder der Hypershpere Division Methode, die Anzahl der Aufrufe der FE-Rechungen so gering wie möglich hält, um eine einigermaßen akzeptable Rechenzeit zu erhalten. Ein derartiges Verfahren ist das Antwort-Flächen-Verfahren. Dieses Verfahren kommt ursprünglich aus der chemischen Versuchsplanung. Auch dort versuchte man, durch eine optimale Strategie eine funktionale Abhängigkeit zwi-schen Eingangswerten und einem Versuchsergebnis zu beschreiben. Im Bereich der Ermitt-lung der Versagenswahrscheinlichkeit stehen noch weitere Verfahren bereit (GRUNDMANN & HARTMANN [222]), die aber nicht Inhalt der vorliegenden Arbeit sind. Die Idee des Antwort-Flächen-Verfahrens wurde bereits in zahlreichen Veröffentlichungen entweder allgemein (BOX & DRAPER [58], REINHART [445]) oder auch mit spezieller Ausrich-tung auf das Bauwesen (BUCHER & BOURGUND [71], RAJASHEKHAR & ELLINGWOOD [441] beschrieben. Das Ziel der Untersuchung besteht darin, einen funktionalen Zusammenhang zwischen ver-schiedenen Eingangsgrößen und einer nur punktweise ermittelbaren Ausgabegröße aufzustel-len. Die Funktion f (X, K), wobei X der Vektor der Eingangsgrößen und K der Vektor ver-schiedener Konstanten in der Funktion ist, mit dem Ergebnis g = f (X, K) sei analytisch ge-schlossen unbekannt. Gleichwohl existiere ein Verfahren, entweder versuchstechnisch oder mathematisch, um einzelne Funktionswerte zu ermitteln. Da die Funktion selbst nicht bekannt ist, wird eine Näherungsfunktion ( )g X% eingeführt, um f(X, K) lokal approximieren zu kön-nen. Die Form der Näherungsfunktion kann frei gewählt werden.


225

In Abhängigkeit von der Anzahl der einzelnen ermittelten Funktionswerte und der gewählten Funktion sind die Koeffizienten der Antwort-Fläche entweder unterbestimmt, bestimmt oder überbestimmt. Wenn mehr Funktionswerte vorhanden sind als für die Berechnung der Koef-fizienten der Antwort-Fläche notwendig, sind die Koeffizienten überbestimmt. In diesem Fall sollte ein Kriterium mit einer Minimierung des Fehlers verwendet werden. Insbesondere im Anhang C sind verschiedene Verfahren zur Erstellung von Funktionen aus einzelnen Funktionswerten mittels linearer oder nichtlinearer Regression dargestellt. Auf Grund der einfachen Handhabung, der Möglichkeit der Beschreibung von Krümmungen und der geringen Anzahl der Funktionsaufrufe wird sehr häufig der quadratische Ansatz für die Antwort-Fläche gewählt. Entweder gelte ohne gemischte Glieder

∑∑==

⋅+⋅+=n

iii

n

iii xcxbag

1

2

1

~

oder unter Berücksichtigung der gemischten Glieder XCXBX ⋅⋅+⋅+= TTAg~ ,

wobei A, B und C Konstanten sind.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nB

BB

M2

1

B ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnn

n

CC

CCCC

C

1

21

11211

M

K

Die Koeffizienten A, B und C können, wenn sie nicht überbestimmt sind, durch die Lösung eines

linearen Gleichungssystems ermittelt werden. Dies wäre z. B. bei einem quadratischen Ansatz

für zwei Variable der Fall. Verallgemeinert man diesen Fall auf n-Variablen ohne

Berücksichtigung gemischter Glieder, benötigt man 2 × n + 1 Funktionsaufrufe. Bei ausreichen-der Anzahl der Lösungen von f kann man dann schreiben:

( ) ( , )g f=X X K% . Auf Grund der lokalen Approximation und der Minimierung der Anzahl der Funktionsaufrufe sollten die Eingangsgrößen zur Ermittlung der Funktionswerte mit Bedacht gewählt werden. Es gibt hierfür verschiedene Modelle, auf die im Einzelnen in dieser Arbeit nicht eingegangen werden soll. Eine Verschmelzung des FORM-Algorithmus mit der Erstellung der Antwortflä-che geschieht wie folgt:

( )( )( ( ) ( ))m D

D

gx xg g x

µµ µµ

= + −− ,

mit xm als neuem Zentralpunkt im Punktraster wie in Abb. 117 dargestellt, µ ist der Mittelwert der Basisvariablen, xD ist der Bemessungspunkt berechnet durch FORM unter Verwendung der quadratischen Antwort-Fläche [71]. Der Startpunkt des Punkterasters war in [71] der Mittelwert der einzelnen Zufallsvariablen. Wenn man den Mittelwert der Basisvariablen µ durch xm1, und xm durch xm2 ersetzt, kann man eine Iteration durchführen. Dieses Iterations-schema ist vom Verfasser verwendet worden. Das verwendete Punkteraster ist [441] entnom-men.


226

2

x1D1

xD2

g( )=0Xg( )=0X

~

xh σ

x

Abb. 117: Punktraster für die Antwort-Fläche mit zwei Variablen

Ein entscheidender Vorteil des Antwort-Flächen-Verfahrens ist die einfache Anwendung. Die Integration in bereits bestehende Programme ist oft möglich. Die Rechnung ist leicht ver-ständlich und nachvollziehbar und die Anzahl der Rechnungen ist i. d. R. relativ gering, gleichwohl Ausnahmen, insbesondere bei einer großen Anzahl von Eingangsgrößen und komplexen Grenzzustandsgleichungen, auftreten. Dieser Nachteil führt dazu, dass ggf. nur grobe Lösungen möglich sind [441]. Diese Aussage stimmt auch mit den Erfahrungen des Autors überein. Als Beispiel sei die Antwort-Fläche der FE-Rechnung der Schubdübel in MICHLER [357] genannt, siehe dazu auch Anhang C. Gleichwohl in RAJASHEKHAR & ELLINGWOOD [441] auch weitere Vorschläge für die Lösung des Problems angeboten werden, wurde hier ein anderer Weg beschritten. Das hier vorgestellte Antwort-Flächen-Verfahren ermittelt die Koeffizienten nur anhand der letzten Rechnungen. Überzählige Lösungen werden in dem Antwort-Flächen-Verfahren nicht berücksichtigt. Im Rahmen einer derartigen Iterationsrechnung kann man aber alle Ergebnisse speichern und später darauf zurückgreifen. Der im Folgenden vorgeschlagene Algorithmus erlaubt die Verwendung aller Berechnungsergebnisse. Das übliche Antwort–Flächen–Verfahren benötigt in Abhängigkeit von der Wahl des Punkte-rasters eine bestimmte Anzahl von Lösungen der Grenzzustandsgleichung. Diese Festlegung führt zu zwei Nachteilen: Zum einen ist die Mindest- bzw. Maximalanzahl der Lösungen fest-gelegt und zum Zweiten werden immer einige Lösungen in uninteressanten Bereichen benö-tigt. Neuere Verfahren versuchen, diese Probleme zu umgehen. Ein Beispiel dafür ist die sogenannte polyhedrale Näherung der Antwort-Fläche.

7.5 Zielsicherheitsmaß im Bauwesen Wurde der Sicherheitsindex bzw. die Versagenswahrscheinlichkeit berechnet, so müssen diese im Folgenden mit Zielwert gemäß zulvorh ββ ≥ oder ff PP zulvorh ≤ verglichen werden. Diese finden sich in zahlreichen Veröffentlichungen (Tab. 62, Tab. 63, Tab. 64, Tab. 65, Tab. 66, Tab. 67, Tab. 68). Trotzdem der Vielzahl der Aufsätze zeigen die Werte aber eine hohe Homogenität. In der Regel gilt für Neubauten eine Versagenswahrscheinlichkeit von 10-6 pro Jahr oder ein Sicherheitsindex von 3,8 pro Jahr.


227

Tab. 62: Zielversagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr nach CEB [103] Durchschnittliche Anzahl der gefährdeten Personen Wirtschaftliche Folgen gering mittel groß Gering ( < 0,1) 10-3 10-4 10-5 Mittel 10-4 10-5 10-6 Groß ( > 10) 10-5 10-6 10-7 Tab. 63: Zielversagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr [515] Versagens- Art des Bruches Folgen zäh spröde Nicht schwer 6,2·10-3-1,3·10-3 1,3·10-3-2,3·10-4 Schwer 1,3·10-3-2,3·10-4 1,3·10-5 und weniger

Tab. 64: Zielversagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr in skandinavischen Ländern [515] Sicherheitsklasse Folgen im Versagensfall Versagenswahrscheinlichkeit im GZT

pro Jahr Niedrige Sicherheitsklasse Leichte Personenschäden

Unwesentliche wirtschaftliche Verluste 1,0·10-4

Normale Sicherheitsklasse Einige Personenschäden Wesentliche wirtschaftliche Verluste

1,0·10-5

Hohe Sicherheitsklasse Erhebliche Personenschäden Sehr hohe wirtschaftliche Verluste

1,0·10-6

Tab. 65: Zielwerte der Niederländische Norm NEN 6700 mit Werten für die Nutzungsdauer

Sicherheitsindex Sicherheits-

klasse ökonomische Verluste

Wahrscheinlichkeit des Verlu-stes von Menschenleben Windlast

dominiert Andere Lasten dominieren

1 Klein Vernachlässigbar 1,0·10-2 6,9·10-4 2 Mittel Klein 1,0·10-2 3,4·10-4 3 Groß Groß 4,7·10-3 1,6·10-4

Tab. 66: Zielversagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr in der DDR [194] Zuverlässigkeitsklassen Folgen Versagenswahr-

scheinlichkeit I Sehr große Gefahren für die Bevölkerung

Sehr große wirtschaftliche Folgen Katastrophenartige Zustände

1,0·10-7

II Große Gefahren für die Bevölkerung Große wirtschaftliche Folgen Große kulturelle Verluste

1,0·10-6

III Gefahren für Personengruppen Wesentliche wirtschaftliche Folgen

1,0·10-5

IV Geringe Personengefährdung Geringe wirtschaftliche Folgen

1,0·10-4

V Sehr geringe Personengefährdung Sehr geringe wirtschaftliche Folgen

7,0·10-4


228

Tab. 67: Zielwerte für Versagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr in der GruSiBau [391]

Mögliche Folgen von Gefährdungen, die Art des Grenzzustandes Sicher-heits-klasse

vorwiegend die Tragfähigkeit betreffend

vorwiegend die Gebrauchs-fähigkeit betreffen

Tragfähigkeit Gebrauchs-tauglichkeit

1 Keine Gefahr für Menschenle-ben und geringe wirtschaftliche Folgen

Geringe wirtschaftliche Folgen, geringe Beeinträchtigung der Nutzung

1,34·10-5 6,21·10-3

2 Gefahr für Menschenleben und/ oder beachtliche wirtschaftliche Folgen

Beachtliche wirtschaftliche Folgen, beachtliche Beein-trächtigung der Nutzung

1,30·10-6 1,35·10-3

3 Große Bedeutung der baulichen Anlage für die Öffentlichkeit

Große wirtschaftliche Folgen, große Beeinträchtigung der Nutzung

1,00·10-7 2,33·10-4

Tab. 68: Zielwerte für Versagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr in der DIN 1055-100 [160], [141] Anhang A oder im Eurocode 1 [165] Grenzzustand Versagenswahrscheinlichkeit Lebensdauer Jahreswert Tragfähigkeit 7,24·10-5 1,30·10-6 Ermüdung Gebrauchstauglichkeit 6,68·10-2 1,35·10-5 Tab. 69: Zielwerte für Versagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr in der ISO/CD 13822: 1999 Grenzzustand Sicherheitsindex Gebrauchstauglichkeit Reversibel 0,0 Irreversibel 1,5 Ermüdung Prüfbar 2,3 Nicht prüfbar 3,1 Tragfähigkeit Sehr geringer Versagenskonsequenzen 2,3 Geringe Versagenskonsequenzen 3,1 Übliche Versagenskonsequenzen 3,8 Große Versagenskonsequenzen 4,3 Tab. 70: Zielwerte für Versagenswahrscheinlichkeiten pro Jahr nach JCSS Modelcode

Versagenskonsequenz Versagenskonsequenzen Versagenskonsequenzen Kosten der Sicherungsmaßnahmen Gering Mittlere Große Geringe Kosten 3,1 3,3 3,7 Mittlere Kosten 3,7 4,2 4,4 Hohe Kosten 4,2 4,4 4,7


229

Tab. 71: Umrechnung einer Versagenswahrscheinlichkeit in einen Sicherheitsindex Versagenswahr-scheinlichkeit

10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 0,5

Sicherheitsindex -7,03 -6,71 -6,36 -5,99 -5,61 -5,19 -4,75 -4,26 -3,72 -3,09 -2,33 -1,28 0,0 Die bisher genannten Werte galten für Standardneubauten mit einer definierten Lebensdauer. Um Besonderheiten von Bauwerken gerecht zu werden, dürfen die Sicherheitsziele gemäß Eurocode angepasst werden. Diese Differenzierung berücksichtigt z.B. die Konsequenz eines möglichen Versagens einer Struktur. Dies geschieht durch die Wahl von Schadensfolge-klassen CC (Tab. 72), die weiterhin eine Differenzierung der Zielversagenswahrschein-lichkeit durch die Festlegung einer Zuverlässigkeitsklasse RC (Tab. 73) erlauben. Eine vergleichbare Vorgehensweise findet sich quasi auch in den Regelungen der DDR (Tab. 66) und der GruSiBau (Tab. 67). Tab. 72: Einteilung von Schadensfolgeklassen Schadensfolgeklassen Merkmale Beispiele im Hochbau oder bei sonstigen

Ingenieurbauwerken CC 3 Hohe Folgen für Menschenleben oder

sehr große wirtschaftliche, soziale oder umweltbeeinträchtigende Folgen

Tribünen, öffentliche Gebäude mit hohen Versagensfolgen (z. B. eine Konzerthalle)

CC 2 Mittlere Folgen für Menschenleben, beträchtliche wirtschaftliche, soziale oder umweltbeeinträchtigende Folgen

Wohn- und Bürogebäude, öffentliche Gebäude mit mittleren Versagensfolgen (z. B. ein Bürogebäude)

CC 1 Niedrige Folgen für Menschenleben und kleine oder vernachlässigbare wirtschaftliche, soziale oder umweltbeeinträchtigende Folgen

Landwirtschaftliche Gebäude ohne regelmäßigen Personenverkehr (z. B. Scheunen, Gewächshäuser)

Tab. 73: Einteilung von Zuverlässigkeitsklassen Zuverlässigkeitsklasse 1 Jahr Bezugszeitraum 50 Jahre Bezugszeitraum RC 3 5,2 4,3 RC 2 4,7 3,8 RC 1 4,2 3,3 Diese Adaption des Sicherheitszieles wird praxisgerecht in eine Variation der Teilsicherheitsfaktoren der Einwirkungsseite umgesetzt. Dazu dürften die Teilsicherheitsfaktoren mit einem Faktor KFI multipliziert werden (Tab. 74). Tab. 74: Korrekturfaktor für eine Variation der Teilsicherheitsfaktoren der Einwirkungsseite

Zuverlässigkeitsklasse KFI-Beiwert für Einwirkungen RC1 RC2 RC3 KFI 0,9 1,0 1,1


230

Auch die Differenzierung der Teilsicherheitsbeiwerte der Widerstandsseite ist möglich. Dazu werden verschiedene Überwachungsstufen bei der Planung und Ausführung der Bauelemente berücksichtigt. Die Varianten bei der Planung sind in Tab. 75 zusammengefasst, die Varianten bei der Herstellung in Tab. 76. Tab. 75: Einteilung von Überwachungsklassen bei der Planung Überwachungsmaß- nahmen bei der Planung

Merkmale Mindestanforderungen an die Prüfung statischer Berechnungen, von Zeichnungen und Anweisungen

DSL 3 in Verbindung mit RC 3

Verstärkte Überwachung

Prüfung durch unabhängige Drittstelle: Prüfung durch eine von der Planungsstelle organisatorisch unabhängige Prüfstelle (Fremdüberwachung)


Normale Überwachung

Prüfung durch eine von der Planungsstelle unabhängige Prüfstelle in der eigenen Organisation (Eigenüberwachung durch eigene Prüfstelle)



Eigenüberwachung: Prüfung durch die Planungsstelle selbst.

Tab. 76: Einteilung von Überwachungsklassen bei der Herstellung Überwachungsmaß- nahmen bei der Herstellung

Merkmale Überwachung durch unabhängige Drittstelle (Fremdüberwachung)

IL 3 in Verbindung mit RC 3

Verstärkte Überwachung

Überwachung durch Überwachungsstelle der eigenen Organisation



Prüfung durch eine von der Planungsstelle unabhängige Prüfstelle in der eigenen Organisation (Eigenüberwachung durch eigene Prüfstelle)



Eigenüberwachung

ANMERKUNG Zusammen mit den Überwachungsstufen werden Prüfpläne für Bauprodukte und die Herstellung von Bauwerken definiert. Da diese baustoffabhängig sind, werden Einzelheiten in den jeweiligen Ausführungsnormen angegeben. Bei den bisher vorgestellten Methoden wurden die Sicherheitsziele von neuen Bauwerken variiert. Im Folgenden soll auf die mögliche Variation der Sicherheitsziele von historischen Bauwerken eingegangen werden. Dazu existieren in der Tat Ansätze, die teilweise sogar in Normen umgesetzt wurden. So erlaubt der Kanadische Standard CAN/CSA-S6-88 eine Anpassung des Sicherheitsindex (Tab. 77).


231

Tab. 77: Variabler Zielsicherheitsindex in Abhängigkeit von verschiedenen Rand-bedingungen nach dem Kanadischen Standard CAN/CSA-S6-88: Canadian Limit States Design Standard (entnommen CASAS et al [87] und COST 345 [172])

3,5 ( ) 2,0E S I PCβ = − ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ≥

Anpassungsfaktor für Elementversagen E∆ Plötzlicher Verlust der Tragfähigkeit ohne Warnung 0,0 Plötzlicher Verlust der Tragfähigkeit ohne Warnung aber Resttragfähigkeit 0,25 Allmähliches Versagen mit Warnung 0,50 Anpassungsfaktor für Systemversagen S∆

Versagen eines Elements führt zum Systemversagen 0,00 Versagen eines Elementes führt nicht zum Systemversagen 0,25 Versagen eines Elementes führt nur zu einem lokalen Versagen 0,50 Anpassungsfaktor für Überwachung

I∆ Element ist nicht überwachbar -0,25 Element wird regelmäßig kontrolliert 0,00 Kritische Elemente werden besonders bewertet 0,25 Anpassungsfaktor für Verkehrsaufkommen PC∆

Alle Verkehrsarten ohne Sondergenehmigung 0,00 Verkehrsarten mit Sondergenehmigung 0,60 STRAUSS & BERGMEISTER [531] haben ebenfalls eine Abstufung des Sicherheitsindex für die Nachrechnung von Stahlbetonbauwerken vorgeschlagen. SCHUEREMANS & VAN GEMERT [493] verwenden eine abgewandelte Form des Kanadischen Codes (Tab. 78). Tab. 78: Variabler Zielsicherheitsindex in Abhängigkeit von verschiedenen Randbedingungen nach dem Kanadischen Standard CAN/CSA-S6-88: Canadian Limit States Design Standard in modifizierter Form entnommen SCHUEREMANS & VAN GEMERT [493]

3,5 ( ) 2,0S R P Iβ = − ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ≥

Anpassungsfaktor für Elementversagen S∆

Plötzlicher Verlust der Tragfähigkeit ohne Warnung 0,0 Plötzlicher Verlust der Tragfähigkeit ohne Warnung aber Resttragfähigkeit 0,25 Allmähliches Versagen mit Warnung 0,50 Risikoanpassungsfaktor R∆ Große Anzahl bei einem Einsturz gefährdeter Menschen (100 bis 1000) 0,00 Übliche Anzahl bei einem Einsturz gefährdeter Menschen (10 bis 99) 0,25 Geringe Anzahl bei einem Einsturz gefährdeter Menschen (1 bis 9) 0,50 Anpassungsfaktor für bisherig beobachtete Tragfähigkeit I∆ Keine Belege für eine ausreichende Tragfähigkeit 0,00 Zufriedenstellende bisherige Tragfähigkeit oder Traglastversuch 0,25 Anpassungsfaktor für die Überwachung PC∆

Komponente ist nicht kontrollierbar -0,25 Komponente wird regelmäßig überwacht 0,00 Kritische Komponenten werden von Experten überwacht 0,25 Basierend auf der möglichen Variation des Zielsicherheitsindex berechnen SCHUEREMANS & VAN GEMERT [493] neue Teilsicherheitsfaktoren für die Einwirkungsseite. Die Widerstands-seite halten sie konstant (Tab. 79). Für die Ermittlung dieser Teilsicherheitsfaktoren gelten die


232

Annahmen, dass alle Größen lognormalverteilt sind. Die Eigenlast besitzt eine Variationskoeffizient von 7 %, die Verkehrslast von 30 % und die Mauerwerksfestigkeit von 25 %. Mit Tab. 79 wird es möglich, nach einer pauschalen Zuordnung der Veränderungen für den Sicherheitsindex die zugehörigen Teilsicherheitsfaktoren auszuwählen und einen Nachweis im semi-probabilistischen Sicherheitskonzept zu führen. SADOVSKÝ [465] stellt einen Faktor für die Abminderung des Teilsicherheitsfaktors der Einwirkungsseite in Abhängigkeit von der Risikoklasse dar (Tab. 80). Speziell für die Eigenlast geben ŽNIDARIČ & MOSES [612] eine Variation des Teilsicherheitsfaktors in Abhängigkeit vom Umfang der Untersuchung des Bauwerkes an (Tab. 81). Tab. 79: Teilsicherheitsfaktoren für die Einwirkungsseite bei veränderlichem Zielsicherheitsindex nach SCHUEREMANS & VAN GEMERT [493].

Teilsicherheitsfaktor 1,5S R P I∆ + ∆ + ∆ + ∆ ≤ Eigenlast Verkehrslast

Kombinationsbeiwert

-0,25 1,42 1,56 0,69 0,00 1,35 1,50 0,70 0,25 1,28 1,45 0,71 0,50 1,22 1,39 0,72 0,75 1,16 1,34 0,73 1,00 1,10 1,29 0,74 1,25 1,05 1,25 0,75 1,50 1,00 1,20 0,76 Tab. 80: Faktor zur Variation des Einwirkungsteilsicherheitsfaktors nach SADOVSKÝ [465] Zuverlässigkeitsklasse Bedeutung des Bauwerkes 0γ Nutzungsdauer

U Außergewöhnlich > 1,00 I Hoch 1,00 II Normal 0,95 III Gering 0,90 Mehr als fünf Jahre 0,80 Bis zu fünf Jahren Tab. 81: Teilsicherheitsfaktor für die Eigenlast historischer Bauwerke nach ŽNIDARIČ & MOSES [612] Information über den Aufbau Umfangreiche Untersuchung des Aufbaus 1,20 Vorliegen der Zeichnungen 1,40 Vereinfachte Erfassung des Aufbaus 1,60 Auch der Teilsicherheitsfaktor für die veränderlichen Einwirkungen kann angepasst werden.


233

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Lognormal

Gumbel

Normal

Normal

Lognormal

GumbelγQ

γR

Teils

iche

rhei

tsfak

tor

Variationskoeffizient VQ

Abb. 118: Teilsicherheitsfaktor für die veränderliche Einwirkung und die Widerstandsseite in Abhängigkeit vom Variationskoeffizient der veränderlichen Einwirkung und in Abhängigkeit vom Verteilungstyp nach SCHNEIDER [482]

Die Wahl der klassischen Teilsicherheitsfaktoren für die Einwirkungsseite ist deshalb immer noch Gegenstand der Forschung. So lagen die Teilsicherheitsfaktoren für die Eigenlasten im ETV Beton der DDR nach WIESE ET AL. [591] zum Teil deutlich unter den Werten nach DIN 1045-1. Da die damit in den letzten dreißig Jahren geplanten und errichteten Bauwerke abgesehen von Dauerhaftigkeitsproblemen, keine Tragsicherheitsprobleme oder Gebrauchs-tauglichkeitsprobleme offenbart haben, scheint ein geringerer Teilsicherheitsfaktor für die Eigenlast möglich zu sein. Auch im Bereich des Eurocodes 1 bzw. der ISO 22111 [269] denkt man über eine Staffelung des Teilsicherheitsfaktors für die Eigenlast nach. So legt der Eurocode 1, in Abs. 6.4.3.2 für die Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit unter anderem die folgende Einwirkungskombination fest:

, , ,1 ,1 , 0, ,1 1

( )d G j k j P k Q k Q j i k ij i

E G P Q Qξ γ γ γ γ ψ≥ >

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅∑ ∑

Der Reduktionsfaktor ξ gilt für die ungünstigste ständige Einwirkung. Der Wert ξ wird analog dem Kombinationsbeiwert ermittelt [221]. Wählt man den Wert mit ca. 0,85 [221] ergibt sich für den Teilsicherheitsfaktor 1,15. Das entspricht ungefähr dem Wert der ETV Beton (1,2). Der Teilsicherheitsfaktor für veränderliche Einwirkungen von 1,2 bis 1,4 nach ETV Beton zeigt bei Berücksichtigung der geringeren Kombinationsbeiwerte in der DIN 1045-1 kaum Unterschiede, da sich z.B. 1,30 × 0,9 = 1,17 und 1,50 × (1,0+0,7+0,7)/3 = 1,2 ergibt. Neuere Untersuchungen von CHANA [92], zeigen, dass die Anwendung der o.g. Formel insbesondere für die im Betonbau üblichen Verhältnisse von Eigenlast zu veränderlichen Lasten eine ausreichende Sicherheit bei gleichzeitig hoher Wirtschaftlichkeit bietet. Diese Verhältnisse dürften auch für Bogenbrücken gelten. MARKOVA [336] bestreitet dies teilweise, wobei aus Sicht der Autoren die Vorgehensweise von CHANA nachvollziehbarer bleibt. HALDIMANN [231] gibt für Stahlkonstruktionen Teilsicherheitsfaktoren für die Verkehrslast von 1,80, für


234

die Eigenlast 1,30 und für den Materialfaktor 1,10 an. Der Teilsicherheitsfaktor für die Vorspannung schwankt deutlich, siehe dazu Tab. 82. PLOCH [420] schlägt prinzipiell Werte zwischen 0,95 und 1,2 vor. Wirkt die Vorspannung ungünstig und die Eigenlast günstig, so wird empfohlen, die Vorspannung mit 1,35 und die Eigenlast mit 0,8 bis 0,9 anzusetzen. Dies ist für Bogenbrücken von besonderem Interesse, da die Eigenlast dort in der Regel günstig wirkt. Damit wären für Bogenbrücken prinzipiell zwei Fälle zu unterscheiden. Im ersten Fall dürfte die Eigenlast wie bisher mit 1,35 angesetzt werden, im zweiten Fall mit einem Wert kleiner 1. HERRBRUCH, GROß & WAPENHANS [247] haben 1,35 und 0,9 gewählt.

Tab. 82: Teilsichheitsfaktoren für ständige Einwirkungen und die Vorspannung, Zusammenstellung nach PLOCH [420]

Eurocode DIN 1045 Ständige

Einwirkung Vorspannung Ständige

Einwirkung Vorspannung

Wirkt ungünstig 1,35 1,20 1,35 1,00 Wirkt günstig 1,00 1,00 1,00 1,00

Ständige Einwirkung Ständige Einwirkung Dominante Sub-

dominante Dominante Sub-

dominante Wirkt ungünstig 1,33 1,13 1,42 1,21 Wirkt günstig 0,62 0,85 0,67 0,92

Diese Variation gilt aber nicht nur für die Einwirkungs-, sondern auch für die Widerstands-seite. Einen Überblick über die international gebräuchlichen Teilsicherheitsfaktoren geben GRAUBNER UND GLOWIENKA [219]. WIESE ET AL. [591] zeigen den Unterschied zwischen ETV Beton und DIN 1045-1 bzw. Eurocode. SØRENSEN zeigt in Untersuchungen die Abhängigkeit der Teilsicherheitsfaktoren vom Zielsicherheitsindex. Man beachte hierbei den insgesamt sehr geringen Teilsicherheitsfaktor für die Widerstandsseite (Tab. 84). Dies stimmt mit den Untersuchungen von SCHNEIDER [482] überein (Abb. 118). Auch SØRENSEN [512] und Rambøll [442] scheinen geringere Teilsicherheitsfaktoren für die Widerstandsseite zu bestätigen. Es wurde hierbei vereinfachend angenommen, dass die Werte von Holz auf Mauerwerk übertragbar sind. Tab. 83: Materialteilsicherheitsfaktor nach ETV Beton nach WIESE ET AL. [591]

Herstellungsart Norm bzw. Standard γc oder kb γd oder mb res.γc oder kb DIN 1045-1 1,35 – 1,35 Beton

Werkfertigung ETV Beton 1,30 1,00 1,30 DIN 1045-1 1,50 – 1,50

0,80 1,63 0,85 1,53 0,90 1,44

Beton Baustellen -fertigung

TGL 33403, Tab. 6 mit mb4 als Anpassungs-faktor für senkrechten Betoniervorgang

1,30

0,95 1,37 DIN 1045-1 1,15 1,15 Bewehrungsstahl ETV Beton 1,16 1,00 1,15


235

Tab. 84: Optimale Teilsicherheitsfaktoren nach SØRENSEN [512] β = 3,8 β = 4,3 β = 4,8 γG 1,00 1,00 1,00 γQ1 1,39 1,60 1,83 γQ2 1,24 1,38 1,53 ξ 1,14 1,16 1,18 γStahl 1,11 1,13 1,16 γBeton 1,21 1,27 1,33 γHolz 1,27 1,35 1,45 Tab. 85: Vergleich der Materialteilsicherheitsfaktoren nach dem so genannten Finnischen Konzept und dem Eurocode nach Rambøll [442] EN 1990 FIN γBewehrung 1,08 1,11 γBeton 1,31 1,34 γStahl 1,14 1,16 γHolz 1,32 1,34 Auch für die Teilsicherheitsfaktoren der Widerstandsseite ist eine Staffelung möglich. So variiert SØRENSEN [511] den Widerstandsteilsicherheitsfaktor in Abhängigkeit verschiedener Parameter. Er geht von der Grundformulierung des Teilsicherheitsfaktors der Widerstands-seite gemäß Eurocode aus:

dd

m

mm ηγ

= ⋅ .

Der Materialfaktor setzt sich aus verschiedenen Anteilen zusammen: 0 1 2 3 4 5mγ γ γ γ γ γ γ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

wobei die Anteile in Tab. 86 kurz erläutert sind. Die COST 345 Studie der europäischen Kommission stellt fest, dass die Sicherheitsfaktoren der gültigen Vorschriften nicht für existierende Bauwerke angewendet werden sollen (Zitat: „The safety margins … exceed those that are reasonable to accept for the assessment of existing structures.“). Begründet wird dies mit zusätzlichen Informationen über das existierende Bauwerk und einer besseren Erfassung der Verkehrsbelastung durch Messungen. Es wird daher vorgeschlagen, die Teilsicherheitsfaktoren für bestehende Bauwerke zu senken. Eine weitere Absenkung in Abhängigkeit von zusätzlichen Bauwerkserkundungen ist möglich. Es wird weiterhin darauf hingewiesen, dass das optimale Sicherheitsniveau bei neuen Bauwerken in der Regel über dem von alten Bauwerken liegt, weil sicherheits-erhöhende Maßnahmen bei Neubauten kostengünstiger umsetzbar sind als bei existierenden Bauwerken. Außerdem ist der Sicherheitsanspruch bei neuen Bauwerken höher, da die Anfangssicherheit den Abfall des Sicherheitsniveaus infolge Alterung abpuffern muss, während historische Bauwerke dieses alterungsbedingt niedrigere Sicherheitsniveau bereits erreicht haben. [172]


236

Tab. 86: Faktoren zur Anpassung des Teilsicherheitsfaktors der Widerstandsseite nach SØRENSEN [511] Faktor Einteilung Betrag

Geringe Sicherheitsklasse 0,90 Normale Sicherheitsklasse 1,00

Konsequenz des Versagens 0γ

Hohe Sicherheitsklasse 1,10 Duktiles Versagen mit Reserve 0,90 Duktiles Versagen ohne Reserven 1,00

Versagensart 1γ

Sprödes Versagen 1,10 Materialunsicherheit

2γ Ergibt sich aus den Materialuntersuchungen

Gute Modelle 0,95 Normale Modelle 1,00

Abweichungen im Berechnungsmodell

3γ

Schlechte Modelle 1,10 Hoch 0,95 Normal 1,00

Unsicherheit bei der Übertragung der Materialeigenschaften von Probekörper zur Baustelle

4γ

Gering 1,10 Umfangreiche Überwachung 0,95 Normale Überwachung 1,00

Überwachungsparameter 5γ

Geringe Überwachung 1,10

7.6 Sicherheitselement Teilsicherheitsfaktor Es ist zu vermuten, dass sich bereits die ersten Baumeister Gedanken über die Sicherheit der von ihnen errichteten Bauwerke machten. Angeblich stammt die erste Formulierung eines Sicherheitsfaktors aus dem 3. Jahrhundert vor Christus von PHILO VON BYZANTIUM [502]. Er formulierte den Sicherheitsfaktor wie folgt:

Tragfähigkeit 1,0Belastung

γ = > .

Für unterschiedliche Baustoffe wurden im Laufe der Zeit verschiedene solcher globalen Sicherheitsfaktoren entwickelt. Mit zunehmendem Wissen verringerte sich der Betrag der Sicherheitsfaktoren. So wurde beim Ziegelmauerwerk 1880 noch eine zehnfache Sicherheit gefordert (BUSCH und ZUMPE [80]). 1887 hielt man eine sieben- bis achtfache Sicherheit für ausreichend [80]. Später wurde eine fünffache Sicherheit für genügend erachtet [80], vor ca. 50 Jahren wurde noch eine vierfache Sicherheit für Mauerwerk gefordert (SCHLEICHER [480]) und heute geht man bei der Nachrechnung historischer Bauwerke etwa von einem globalen Sicherheitsfaktor von 3,0 (WENZEL [587], MANN [335], TONON & TONON [545]) bzw. 3,4 (HARVEY [240], [130]) aus. Im frühen 19. Jahrhundert änderte sich auf Grund des Beginns der Industriellen Revolution und der damit verbundenen Einführung neuer Materialien und neuer Einwirkungen das Sicherheitsdenken. Zu dieser Zeit verwendete man für den Stahl einen Lastfaktor von üblicherweise 4 bis 6. Dieser Wert wurde auf die bei Probebelastungen ermittelten Werte aufgeschlagen. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden die zulässigen Spannungen eingeführt und erfolgreich angewendet. Die zulässigen Spannungen wurden jedoch


237

Fachgebietsweise und Materialweise entwickelt, so dass sich bis Mitte des 20. Jahrhunderts große Unterschiede bei der Sicherheit zeigten. Bereits zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde deshalb der Versuch unternommen, baustoffunabhängige globale Sicherheitsfaktoren zu entwickeln, die in Abhängigkeit von den Streuungen der Einwirkungen und Widerstände gewählt wurden. In Tab. 87 sind solche Werte von VISODIC [564] und in Tab. 88 die Empfehlungen von NORTON [392] angegeben. Ein weiterer Vorschlag stammt von PUGSLEY [429].

Tab. 87: Globaler Sicherheitsfaktor nach VISODIC [564]

Sicherheitsfaktor Kenntnisse der Einwirkung Kenntnisse des Materials Umgebungsbedingungen 1,2-1,5 Ausgezeichnet Ausgezeichnet Kontrollierbar 1,5-2,0 Gut Gut Konstant 2,0-2,5 Gut Gut Normal 2,5-3,0 Durchschnitt Durchschnitt Normal 3,0-4,0 Durchschnitt Durchschnitt Normal 3,0-4,0 Gering Gering Unbekannt

Tab. 88: Globaler Sicherheitsfaktor nach NORTON [392]

Sicherheitsfaktor Kenntnisse der Einwirkung Kenntnisse des Materiales Umgebungsbedingungen 1,3 Bekannt durch Untersuchungen Besonders gut bekannt Wie bei Versuchen 2 Gute Näherung Gute Näherung Kontrollierbar,

Raumbedingungen 3 Normale Näherung Normale Näherung Gemäßigt 5 Grobe Schätzung Grobe Schätzung Extrem Auf Grund der großen Sicherheitsunterschiede in den verschiedenen Fachgebieten begann man etwa z.Z. des II. Weltkrieges die Einführung von statistisch basierten Sicherheitskonzepten zu diskutieren. Während des II. Weltkrieges wurden erste Versuche unternommen, Flugzeuge und Raketen mit Hilfe probabilistischer Konzepte zu bemessen. Zur Entwicklung der Sicherheitsfaktoren im Bauwesen siehe u.a. die Zusammenstellungen von BEEBY [28] und PUGSLEY [428]. Das Normenwerk im Bauwesen erlebt zurzeit jedoch eine Umstellung der Sicherheits-konzepte, die den Abschied vom globalen Sicherheitsfaktor bedeuten. Das neue semi-probabilistische Sicherheitskonzept zeichnet sich durch eine Vielzahl von Sicherheitsfaktoren aus. Die Sicherheitsfaktoren werden deshalb als Teilsicherheitsfaktoren bezeichnet. Dadurch soll es möglich werden, die den jeweiligen Eingangsgrößen inhärenten Unsicherheiten unmittelbar der Eingangsgröße zuzuordnen. Die Entwicklung von Teil-sicherheitsfaktoren wurde in der Literatur, zum Teil auch an Beispielen, intensiv diskutiert (AHNER & SOUKHOV [3], BYFIELD & NETHERCOT [82], [383], Sørensen [510]). Die Umstellung auf das moderne Sicherheitskonzept erfolgte jedoch nicht schlagartig für alle Baustoffe einheitlich, sondern schrittweise. So wurde zunächst in Deutschland die DIN 1055-100 eingeführt, die die Grundlage für das neue Sicherheitskonzept bildet. Anschließend wurden einige Normen zur Beschreibung von Einwirkungen, wie z.B. die DIN 1055-1 eingeführt. Seit dem Jahre 2001 gibt es eine neue Norm für den Beton- und Stahlbetonbau (DIN 1045-1). Im Stahlbau erfolgte die Umstellung bereits vor mehreren Jahren mit der Einführung der neuen DIN 18 800. Bei anderen Baustoffen steht die Einführung nationaler


238

Normen mit dem neuen Sicherheitskonzept aber noch aus, so z.B. beim Mauerwerksbau mit der DIN 1053-100 oder beim Holzbau. Die entsprechenden Entwürfe und die sehr weit fortgeschrittenen europäischen Normen erlauben aber einen Blick in die Zukunft. Die neuen Normen sind aber im Wesentlichen auf neue Bauwerke ausgerichtet (VAL & STEWART [557]). Zusätzlich erfassen sie nur eine begrenzte Anzahl von Baustoffen. Die in einigen Regionen nur lokal eingesetzten Baustoffe oder neuartigen Baustoffe werden in den Normen nicht behandelt. Es kann deshalb für den Ingenieur notwendig werden, den Teilsicherheitsfaktor für die Festigkeit eines bestimmten Materiales selbst zu ermitteln. Das soll im Folgenden am Beispiel von Natursteinmaterial demonstriert werden. Doch zunächst wird noch einmal auf das neue Sicherheitskonzept eingegangen (Abb. 119).

Holzbau

Stahlbau

Stahlbeton

Plastbau

Textilbeton

Sicherheits-konzept

EigenlastenWindlastenSchneelastenAußergewöhnliche L.TemperaturlastenBaulasten

Einwirkungen

Holzbau

Stahlbau

Stahlbeton

Plastbau

Aluminium

Textilbeton

BV SK

BV SK

BV SK

BV SK

BV SK

BV SK

BV

BV

BV

BV

BV

BV

EigenlastenWindlastenSchneelastenAußergewöhnliche L.TemperaturlastenBaulasten

Einwirkungen

BV: BerechnungsverfahrenSK: Sicherheitskonzept

Aluminium

Abb. 119: Umbau des Sicherheitskonzeptes im Bauwesen Die Nachweise der Gebrauchstauglichkeit und der Tragfähigkeit werden in den neuen Normen durch den Vergleich von Bemessungswerten der Einwirkungs- und Widerstandsseite erbracht:

d dE R≤ . Die Berechnung der Einwirkungsseite richtet sich nach der jeweils zu verwendenden Einwirkungskombination. Als Beispiel für die Ermittlung des Bemessungswertes der Einwirkungskombination ist hier die Formel für die ständige und vorübergehende Einwir-kungskombination im Grenzzustand der Tragfähigkeit dargestellt:

, , ,1 ,1 , 0, ,1 1

d G j k j P k Q k Q i i k ij i

E E G P Q Qγ γ γ γ ψ≥ >

⎧ ⎫= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑ .

In der Formel wird die Zuordnung der Teilsicherheitsfaktoren deutlich. Die Formulierung der Widerstandsseite hängt z.B. im Stahlbetonbau von der Art und Weise der Schnittkraftermittlung ab. Im Falle der linearelastischen Schnittgrößenermittlung gilt:


239

0,1,; ; ; ;yk p k pktk calckd

c s s s s

f f fffR R αγ γ γ γ γ

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠,

während für den nichtlinearen Fall die folgende Formel zu verwenden ist:

0,11 ( ; ; ; ; )d cR yR tR p R pRR

R R f f f f fγ

= .

Die Veränderung des Aufbaus der Formeln deutet bereits an, dass auch das Teilsicherheits-faktorenkonzept Problemen beinhaltet. Zwar liegen Teilsicherheitsfaktoren bereits in großem Umfang vor, aber, wie bereits erwähnt, nicht für alle Baustoffe. Tab. 89 listet bereits ermittelte Teilsicherheitsfaktoren für die verschiedenen Baustoffe auf.

Tab. 89: Teilsicherheitsfaktoren für Widerstandsgrößen im Bauwesen

Material Norm ständige u. vor-übergehende Einwirkung.

Außerge-wöhnliche Einw.

Ermüdung, Gebrauchs-tauglichkeit

Normalbeton bis C 50/60 DIN1045-1 1,50 1,30 1,50

Normalbeton ab C 50/60 DIN1045-1 1,50

1,1500

− ckf 1,30

1,1500

− ckf -

Unbewehrter Beton DIN1045-1 1,80 1,55 - Unbewehrter Beton FU-B [133] 1,25 Fertigteilwerk DIN1045-1 1,35 - Nachweis schlanker Träger gegen seitliches Ausweichen DIN1045-1 2,00 - -

Betonstahl DIN1045-1 1,15 1,00 1,15 Spannstahl DIN1045-1 1,15 1,00 1,15 Stahl-Fließgrenze EC 4 1,10 1,00 Stahl-Zugfestigkeit EC 4 1,25 1,00 Stahl-Zugfestigkeit EC 4 1,00 1,00 Holz EC 5 1,30 1,00 1,00 Mauerwerk (Kategorie A) EC 6, [334] 1,7 (I)/2,0 (II) 1,20 Mauerwerk (Kategorie B) EC 6 2,2 (I)/2,5 (II) 1,50 Mauerwerk (Kategorie C) EC 6 2,7 (I)/3,0 (II) 1,80 Mauerwerk Verbund-Stahl EC 6 1,50/2,20 Mauerwerk DIN 1053-100 1,50-1,875 1,30-1,625 Wandbänder (K. A-C) EC 6, [334] 2,50 1,20 Floatglas & Gussglass [81] 1,80 1,40 1,40 ESG/TVG [81] 1,50 1,30 1,30 Silikonglas [81] 5,00 2,50 2,50 Kohlenstofffaser-Lamelle [33], s.a. [397] 1,20 Kohlenstofffaser Gelege [33] 1,30 * Kohlenstofffaser Kabel [33] 1,20 * Kohlenstoff Kleber [33] 1,50 * Fassadenplatten (materialunhängig) DIN 18 516 2,00 Aluminium (Streckgrenze) EC 9 1,10 Aluminium (Zugfestigkeit) EC 9 1,25 Bambus in Hongkong [535] 1,50 Textilbewehrter Beton [116] 1,80 Beton unter mehrachsiale Belastung [115] 1,35-1,70 * Beachte Montagesicherheitsfaktoren [33]


240

Wie kann man aber nun für andere Materialien Teilsicherheitsfaktoren ermitteln? Zunächst ist festzustellen, dass die Teilsicherheitsbeiwerte nicht unabhängig von den jeweiligen charakteristischen Werten festgelegt werden können. Vielmehr dienen beide – die Teilsicherheitsfaktoren und die charakteristischen Werte von Baustoffen – dazu, die erforderliche Sicherheit zu gewährleisten. Zunächst soll aber der Teilsicherheitsfaktor bestimmt werden. Laut Eurocode 1 [165] gibt es zwei Möglichkeiten, den Teilsicherheitsfaktor festzulegen: „a) Die erste ... erfolgt auf der Grundlage einer Ausrichtung an langer und erfolgreicher Geschichte der Bautradition. Für die meisten vorgeschlagenen Beiwerte in den vorliegenden Eurocodes ist dies das leitende Prinzip. b) Ein zweiter Weg ruht auf der Grundlage statistischer Auswertung von Versuchsdaten und Baustellenbeobachtungen. Dieser Weg sollte im Rahmen einer probabilistischen Wahrschein-lichkeitstheorie beschritten werden.“ Es ist jedoch nicht immer notwendig, eine vollprobabilistische Berechnung durchzuführen. Vielmehr existieren vereinfachte Verfahren in Anlehnung an probabilistische Berechnungen. Solch ein vereinfachtes Verfahren zur Ermittlung des Teilsicherheitsfaktors wird z.B. in den Grundlagen der Sicherheit baulicher Anlagen (GruSiBau) [391] vorgestellt. Historisch älter ist aber das Verfahren, welches in MURZEWSKI [382] veröffentlicht wurde.

7.6.1 Verfahren nach Murzewski

MURZEWSKI [382] stellt basierend auf CEB-Arbeiten Teilsicherheitsfaktoren in Abhängigkeit von den Variationskoeffizienten der Materialfestigkeit vor (Tab. 90, Tab. 91). Die Tabellen wurden ursprünglich für Beton entwickelt, lassen sich aber auch auf Mauerwerk übertragen. Für die Anwendung der Tabellen müssen die Art des Bauwerkes, der Variationskoeffizient und der Verteilungstyp bekannt sein. Der Vorteil bei diesen Tabellen ist die einfache Anwendbarkeit.

Tab. 90: Teilsicherheitsfaktoren für Lognormalverteilte Festigkeiten Bauwerksklasse Variationskoeffizient 0,05 0,10 0,15 0,20 Staumauern 1,26 1,58 1,95 2,43 Eisenbahn- und Straßenbrücken, Kulturhäuser, Theater 1,23 1,49 1,82 2,16 Wohnhäuser, Industriebauten 1,20 1,40 1,65 1,91 Lager, Bunker, Gerüste 1,15 1,31 1,46 1,62 Zweitrangige Bauelemente 1,10 1,17 1,22 1,25

Tab. 91: Teilsicherheitsfaktoren für Normalverteilte Festigkeiten Bauwerksklasse Variationskoeffizient 0,05 0,10 0,15 0,20 Staumauern 1,24-1,30 1,46-1,85 Eisenbahn- und Straßenbrücken, Kulturhäuser, Theater 1,21-1,26 1,41-1,67 1,60-2,47 Wohnhäuser, Industriebauten 1,18-1,22 1,35-1,53 1,50-2,00 1,65-2,86 Lager, Bunker, Gerüste 1,15-1,16 1,27-1,37 1,38-1,61 1,49-1,92 Zweitrangige Bauelemente 1,10-1,11 1,17-1,19 1,21-1,25 1,23-1,28


241

7.6.2 Verfahren nach GruSiBau Laut Grundlagen der Sicherheit baulicher Anlagen (GruSiBau), Abschnitt 6.1 [391], dürfen die Streuungen der Einwirkungs- und Widerstandseite entkoppelt betrachtet werden. Für die Ermittlung des Bemessungswertes gilt: d m Ri R Rf f α α β σ= − ⋅ ⋅ ⋅ mit 0,8Rα = , 1 1,0Rα = ,

0, 4Riα = für i>1 und 3,8 0,5β = ± . Der Teilsicherheitsfaktor ergibt sich dann zu:

k

d

ff

γ = .

Beispiel: Der charakteristische Wert der Steindruckfestigkeit für Postaer Sandstein wurde mit

, 58,05 MPa 1,648 10,32 MPa 41,04 MPast kf = − ⋅ = ermittelt. Für den Bemessungswert ergibt sich nach GruSiBau:

58,05 0,8 3,8 10,32 26,657 MPad mf f α β σ= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = . Für den Teilsicherheitsfaktor erhält man dann:

41,04 MPa 1,5426,66 MPa

k

d

ff

γ = = = .

7.6.3 Verfahren nach Eurocode 1 Der Eurocode 1 [165], [166], [164] verwendet das gleiche Verfahren wie die GruSiBau. Allerdings wird die Entkopplung der Einwirkungs- und Widerstandsseite geprüft. Dazu muss das folgende Verhältnis der Standardabweichungen von Einwirkung und Widerstand eingehalten werden:

0,16 7,6S

R

σσ

< < .

Weiterhin werden für die Ermittlung des Bemessungswertes seit der Ausgabe vom August 1994 (Deutsche Fassung Oktober 1994) [165] in Anhang A Abschnitt A 3 sowohl für die Normal- als auch für Lognormalverteilung die Formeln für die Ermittlung des Bemessungswertes angegeben:

d mf f α β σ= − ⋅ ⋅ und expd mf ffσα β⎛ ⎞

= ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

mit 0,8α = .

Im Eurocode 1 findet sich seit der Fassung Februar 2000 bzw. Januar 2001 ein zusätzlicher Faktorη, der Versuchsbedingungen oder besondere Eigenschaften des Baustoffs, wie z.B. die Dauerstandsfestigkeit bei der Berechnung des Teilsicherheitsfaktors berücksichtigen soll:

k

d

ff

γ η= ⋅ .

7.6.4 Verfahren nach JCSS

Der Eurocode basiert in sicherheitsrelevanten Abschnitten in großem Umfang auf dem ModelCode des Joint Committee of Structural Safety. Dort werden Widerstandsgrößen allgemein definiert:


242

R a x= Θ⋅ ⋅ mit Θ Faktor zur Berücksichtigung der Unsicherheit im Berechnungsmodell, a Faktor zur Berücksichtigung der Unsicherheit geometrischer Kenngrößen, x Faktor zur Berücksichtigung der Unsicherheit der Materialfestigkeit. Für den Bemessungswert gilt:

k k kd

M

a xRγ

Θ ⋅ ⋅= .

Unter Annahme von Lognormalverteilungen für die drei Eingangsgrößen ergibt sich: exp( 0,4 ) (1 0,4 )d R RV Vµ α β µ α βΘ Θ Θ ΘΘ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

exp( 0,4 ) (1 0, 4 )d a R a a R aa V Vµ α β µ α β= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ exp( ) (1 )d x R x x R xx V Vµ α β µ α β= ⋅ − ⋅ ⋅ ≈ ⋅ − ⋅ ⋅

und exp( (0,4 0,4 )d d d d a x R a xR a x V V Vµ µ µ α βΘ Θ= Θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ +

Für den Teilsicherheitsfaktor gilt dann

exp( (0, 4 0, 4 ) 1,645 )k k kM R a x x

d

a x V V V VR

γ α β ΘΘ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅

In der Regel wird 8,3=β und 8,0=Rα gelten. Der Modelcode des JCSS listet die in Tab. 92 genannten Teilsicherheitsfaktoren auf. Tab. 92: Teilsicherheitsfaktor auf der Widerstandsseite nach JCSS VΘ aV xV Mγ

0,05 0,05 0,05 1,20 0,05 0,05 0,15 1,29 0,05 0,05 0,25 1,46 0,10 0,05 0,05 1,33 0,10 0,05 0,15 1,38 0,10 0,05 0,25 1,53 0,20 0,05 0,05 1,37 0,20 0,05 0,15 1,45 0,20 0,05 0,25 1,60

7.6.5 Statistische Prüfverfahren Neben den bisher vorgestellten Verfahren, die auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren, existieren vereinfachte Verfahren, die allein aus einer geringen Versuchsanzahl einen Teilsicherheitsfaktor ermitteln. Die scheinbare Vereinfachung wird aber oft mit versteckten Annahmen erreicht. Deshalb ist die Anwendung solcher statistisch orientierten Verfahren zur Berechnung von Teilsicherheitsfaktoren beschränkt. Meistens sind die Verfahren für einen ganz bestimmten Bauwerkstyp oder Bauwerkeselement entwickelt worden.


243

7.6.5.1 Australian Standard for Statistical Proof Loading Der Bemessungswert einer Widerstandsgröße ermittelt sich nach dieser australischen Vorschrift Australian Standard Procedure for Statistical Proof Loading (ASL) [444] zu:

min,nd

ff

φ=

mit fd als Bemessungswert, fmin,n als Minimalwert der Widerstandsgröße, der bei n Versuchen nicht unterschritten wurde und φ als Korrekturfunktion. Die Korrekturfunktion ist an einen Faktor k gekoppelt, der den Einfluss des Vertrauensbereiches, der Versuchsanzahl und des gewählten Fraktilwerts berücksichtigt:

ln(1 )( , , )ln(1 )

RVck p c n

n p⎧ ⎫−= ⎨ ⎬⋅ −⎩ ⎭

mit c als Vertrauensbereich (üblicherweise 50 % oder 90 %), n Anzahl der Versuche und p gewählter Fraktilwert (üblicherweise 5 %-Fraktil für Widerstandsgrößen). Damit kann der charakteristische Wert der Widerstandsgröße wie folgt ermittelt werden:

min,

( , , )n

k

ff

k p c n=

.

Der Wert für φ muss der Vorschrift entnommen werden. Als Beispiel sei ϕ für eine weibull-verteilte Widerstandsgröße mit einem Variationskoeffizienten von 0,2, einer lognormal-verteilten Belastung mit einem Variationskoeffizienten von 0,3 und einem Zielsicherheits-index von 3 in Tab. 93 angegeben.

Tab. 93: φ -Werte

Anzahl der Versuche c= 90% c= 50% 1 3,92 3,00 2 3,36 2,57 3 3,07 2,34 4 2,88 2,20 5 2,73 2,09 6 2,63 2,01 7 2,54 1,94 8 2,46 1,88 9 2,40 1,83 10 2,34 1,79

Bei einer höheren Versuchsanzahl kann φ für c=90 % mittels 0,22393,9232 nφ −= ⋅ geschätzt werden. Der Teilsicherheitsfaktor ist dann der Quotient aus der charakteristischen Festigkeit und dem Bemessungswert:

k

d

ff

γ =.


244

Beispiel: Die Spaltzugfestigkeitsprüfung von 59 Prüfkörpern aus Rotem Mainsandstein mit einem

Mittelwert von 4,72 MPa, einem Kleinstwert von 1,55 MPa und einem Variationskoeffizient von 0,278 ergibt:

0,278ln(1 0,9)( , , ) 0,927

59 ln(1 0,05)k p c n ⎧ ⎫−= =⎨ ⎬⋅ −⎩ ⎭

min, 1,55 1,672 MPa( , , ) 0,927

nk

ff

k p c n= = =

0,2239 0,22393,9232 3,9232 59 1,57nϕ − −= ⋅ = ⋅ = min, 1,55 0,98 MPa

1,57n

d

ff

ϕ= = =

1,57 MPa 1,60,98 MPa

k

d

ff

γ = = = .

Für den Teilsicherheitsfaktor erhält man 1,6 und der Bemessungswert liegt bei 0,98 MPa.

7.6.5.2 Australian Standard for Probabilistic Load Testing Im Australian Standard Procedure for Probabilistic Load Testing (APL) [444] wird der Bemessungswert der Widerstandsgröße als Produkt aus einer Korrekturfunktion und dem Verhältnis von Labor- zu Baustellenwerten ermittelt.

Bemessungswert für die Widerstandsgröße md T

sf

ffm

φ=

Korrekturfaktor 2

2 22,115 exp 3 0,32r

T rv vφ ⎡ ⎤

= ⋅ − − ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

Variationskoeffizient der Widerstandsgröße 2 2 2r n l sv C v v= ⋅ +

Varianz der Tests 11( 3)nnC

n n−= +−

.

Dabei sind φt Korrekturfaktor, fm Mittelwert des Widerstandes bei den Versuchen, msf Korrek-turfaktor zur Beschreibung der Unterschiede zwischen Labor und Baustelle, n Anzahl der Ver-suche, vl Variationskoeffizient der Versuche, vs Faktor, der die Entnahme der Proben bewertet: für konzentrierte Entnahme vs = 0,1 und für breit gefächerte Entnahme vs = 0. Grundlage für das

Verfahren ist die Annahme lognormalverteilter Widerstands- und Belastungsgrößen. Für die

Belastungsgröße gilt ein Variationskoeffizient von 0,3, der Zielsicherheitsindex liegt bei 3,0.

Beispiel: Auch hier soll wieder die Spaltzugfestigkeit des Roten Mainsandstein geprüft werden:

1 59 11 1 1,017( 3) 59 (59 3)nnC

n n− −= + = + =− ⋅ −

2 2 21,017 0, 278 0,1 0,089r lv = ⋅ + =

20,0892,115 exp 3 0,089 0,3 0,5692Tφ ⎡ ⎤= ⋅ − − ⋅ + =⎢ ⎥⎣ ⎦


245

4,720,569 2,687 MPa1

md T

sf

ffm

φ= = ⋅ = .

Der Bemessungswert liegt deutlich über dem Wert des ASL-Verfahrens.

7.6.5.3 Standard für probabilistische Tragfähigkeitsversuche Der Standard für Probabilistische Tragfähigkeitsversuche (AISI) [444] benutzt ebenfalls einen Produktansatz für den Entwurfswert mit

d mf fφ= ⋅

mit der Korrekturfunktion 01,5 exp( )m mM F vφ β= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ,

Variationskoeffizient 2 2 2 20 m f p qv v v Cv v= + + +

und dem Test-Varianz-Korrektur-Faktor 1( 3)nCn

−=−

.

Dabei sind fm der Mittelwert der bei den Versuchen ermittelten Widerstandsgröße, Mm und Fm

Mittelwerte eines Materialfaktors und eines Produktionsfaktors, β der Zielsicherheitsindex, vm

der Variationskoeffizient des Materialfaktors, vf der Variationskoeffizient des Produktions-faktors, vp der Variationskoeffizient der Versuche, vq der Variationskoeffizient der Last sowie

C der Korrekturfaktor für die Varianz während der Versuche. Alle Zufallsgrößen wurden

lognormalverteilt angenommen. Der Korrekturfaktor C wurde mit einer Student-t-Verteilung

geschätzt. Beispiel:

Auch hier soll wieder die Spaltzugfestigkeit des Roten Mainsandstein geprüft werden: 1 59 1 1,035

( 3) (59 3)nCn

− −= = =− −

2 2 2 2 2 2 2 20 0,01 0,1 1,035 0,278 0,01 0,3m f p qv v v Cv v= + + + = + + ⋅ + =

01,5 exp( ) 1,5 1,0 1,0 exp( 4,2 0,3) 0,425m mM F vφ β= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = 0, 425 4,72 MPa 2,01 MPad mf fφ= ⋅ = ⋅ =

Der Bemessungswert liegt deutlich über dem Wert des ASL-Verfahrens und unterhalb des APL-Verfahrens.

7.6.5.4 Verfahren nach Reid REID [444] hat für weibullverteilte Widerstandsgrößen eine verbesserte Formel für φ entwickelt. Die Formel liegt den Autoren nicht in geschlossener Form, sondern nur in Form einer Tab. 94 Tabelle vor. Die Werte wurden für einen Variationskoeffizient der Wider-standsgröße von 0,2 und einen Zielsicherheitsindex von 3 ermittelt. Ansonsten gelten alle Angaben nach dem APL-Verfahren. Aus [444] können die exakten Werte für φ durch lineare Interpolation geschätzt werden.

Tab. 94: Verbesserte φ -Werte nach REID [444]

vr 0,001 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 φ 0,6200 0,5800 0,4100 0,2300 0,1200 0,0500 0,0200 0,0150 0,0100 0,0050 0,0001


246

Beispiel: Das Beispiel gilt wieder für die Spaltzugfestigkeit des Roten Mainsandsteins:

2 2 21,017 0, 278 0,1 0,089r lv = ⋅ + =

0,089 0, 298rv = = 0,23Tφ =

4,720,23 1,08 MPa1

md T

sf

ffm

φ= = ⋅ = .

7.6.6 Verfahren nach Val & Stewart VAL & STEWART [557] beschreiben die Ermittlung des Teilsicherheitsfaktors der Widerstandsseite für bestehende Bauwerke mit dem folgenden Ansatz:

ηγγ ⋅=

m

estkd

ff ,

Mit df als Bemessungswert der Widerstandsgröße,

estkf , als geschätzter charakteristischer Wert der Widerstandsgröße,

mγ als Teilsicherheitsfaktor für die Materialeigenschaft,

ηγ als Teilsicherheitsfaktor zur Berücksichtigung der Unsicherheit. In Tab. 95 ist ein Beispiel aus VAL & STEWART [557] zusammengefasst.

Tab. 95: Beispiele der Teilsicherheitsfaktoren für einen Materialparameter ohne Vorinformationen und sechs geprüften Stichproben nach VAL & STEWART [557]

Variationskoeffizient der Stichproben

mγ ηγ

Variationskoeffizient des Kalibrierungsfaktors 0,05 0,10 0,15

0,04 1,1 1,07 1,19 1,27 0,08 1,4 1,05 1,17 1,24 0,12 1,6 1,04 1,15 1,21 0,16 1,9 1,03 1,10 1,19 0,20 2,2 1,02 1,07 1,15

Stehen bereits vorab Informationen zur Verfügung, so verringert sich der Teilsicherheitsfaktor deutlich. In anderen Worten, die Berücksichtigung allgemeiner Informationen zum Baumaterial und die Berücksichtigung bauwerksspezifischer Informationen kann zu einer Verringerung des anzusetzenden Teilsicherheitsfaktors führen. Ein Informationsgewinn führt zur Verringerung der Unsicherheit bei der Einschätzung der Tragfähigkeit des Bauwerkes und dies wird konsequent in der Berechnung berücksichtigt. In einem Beispiel von VAL & STEWART [557] verringert sich der Teilsicherheitsfaktor mγ von ca. 1,5 auf ca. 1,3. In Tab. 96 ist ein zweites Beispiel zusammengefasst. Hier lagen a priori statistische Informationen vor.


247

Zusätzlich wurden bauwerksspezifische Tests durchgeführt, die einen Variationskoeffizienten von 0,10 ergaben.

Tab. 96: Beispiele der Teilsicherheitsfaktoren für einen Materialparameter mit Vorinformationen und sechs geprüften Stichproben anch VAL & STEWART [557]

A priori-Variationskoeffizient

mγ

0,05 1,36 0,10 1,25 0,15 1,21

7.6.7 Verfahren nach Melchers & Faber MELCHERS & FABER [354] setzen eine Schädigungsfunktion bei historischen Bauwerken allein auf den Sicherheitsfaktor an und berechnen dann minimale Sicherheitsfaktoren.

MDPMM ϕϕϕγγ ⋅⋅⋅= 0 ϕP, ϕD und ϕM sind Faktoren zur Berücksichtigung des Alterungsprozesses, der Schutzmaßnahmen gegen Alterungsprozesse des Bauwerkes und Überwachungsmaßnahmen. Weitere Ausführungen siehe MELCHERS & FABER [354].

7.6.8 Vollprobabilistische Rechnung Gemäß Normenwerk (Eurocode 1, GruSiBau oder DIN 1055-100) darf man die Sicherheitselemente auch über eine vollprobabilistische Rechnung bestimmen. Der Teilsicherheitsfaktor wird dann aus dem in der probabilistischen Berechnung ermittelten Bemessungswert und dem charakteristischen Wert berechnet. Auf die Durchführung einer probabilistischen Berechnung wird an dieser Stelle nicht weiter eingegangen, siehe hierzu SPAETHE [515]. Beispielhaft werden die Ergebnisse einer solchen Berechnung hier aber gezeigt

Beispiel: Eine vollprobabilistische Berechnung für die Biegetragfähigkeit eines Graniteinfeldträgers mit fünf streuenden Eingangsgrößen erbrachte folgende Ergebnisse: FORM NACH RACKWITZ-FIEßLER BETA= 3.412650346755980 (Sicherheitsindex) PF = 3.217227955159460D-004 (operative Versagenswahrscheinlichkeit) SORM NACH BREITUNG BETA= 3.286201930389830 PF = 0.000508164862933 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 1 GLIED BETA= 3.334328976328580 PF = 4.278674262343520D-004 SORM NACH KOEYLUEOGLU / NIELSEN 3 GLIEDER BETA= 3.294599440799100 PF = 0.000493218468959 SORM NACH CIA / ELISHAKOFF BETA= 3.293368183562280 PF = 0.000495384168923


248

Neben dem Sicherheitsindex und der Versagenswahrscheinlichkeit ergab die Berechnung für die Biegezugfestigkeit: X = 3.692605375906770 (Bemessungswert) XM = 10.400000000000000 (Mittelwert) SIGM= 2.560000000000000 (Standardabweichung) ALPHA= -0.971570410864827 (Wichtungsfaktor)

Aus dem Bemessungswert und einer vorher ermittelten charakteristischen Biegezugfestigkeit ergibt sich der Teilsicherheitsfaktor zu:

5,32 MPa 1, 443,69 MPa

k

d

ff

γ = = = .

7.6.9 Grenzen der Teilsicherheitsmodelle Parallel zur Einführung der Teilsicherheitsfaktoren gestattet die DIN 1045-1 auch die Anwendung nichtlinearer Schnittgrößenermittlungen für die Bemessung von Stahl-betonkonstruktionen. Bei der Anwendung der nichtlinearen Verfahren werden aber die Grenzen des Konzeptes der Teilsicherheitsfaktoren sichtbar. Insbesondere EIBL [162], [163] hat frühzeitig darauf hingewiesen, dass bei einer nichtlinearen Rechnung aus der rechnerischen Abminderung der Festigkeit eines Materiales durch den Teilsicherheitsfaktor nicht zwangsläufig eine Sicherheitserhöhung für die Traglast des Bauteiles hergeleitet werden kann (siehe auch TUE [552]). Vielmehr muss sich der Sicherheitsfaktor auf die Traglast beziehen, da Umlagerungen durch die nichtlineare Rechnung realitätsnah abgebildet werden sollen. Umlagerungen können aber nur realitätsnah beschrieben werden, wenn realitätsnahe Materialeigenschaften verwendet werden. Die Materialeigenschaften, wie z.B. Festigkeiten, erfüllen durch die Anwendung von Teilsicherheitsfaktoren diese Bedingung nicht mehr. Damit verliert sich für nichtlineare Berechnungen das Konzept der Teilsicherheitsfaktoren auf der Widerstandsseite, da sich die direkte Zuordnung zu den Materialeigenschaften als unsicher erweisen kann. Die DIN 1045-1 führt unter Abschnitt 5.2 (2) b deshalb einen Sicherheitsfaktor γ R für den durch die nichtlineare Berechnung ermittelten Tragwiderstand ein:

0,11 ( ; ; ; ; )d cR yR tR p R pRR

R R f f f f fγ

= .

Zum Vergleich ist die Formulierung für den Widerstand bei linearelastischer Schnittgrößenermittlung in der DIN 1045-1, 5.2 (2) a angegeben:

0,1,; ; ; ;yk p k pktk calckd

c s s s s

f f fffR R αγ γ γ γ γ

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Im untersuchten Fall der Bogenbrücke existiert allerdings nur ein Baustoff, der unbewehrte Beton des historischen Bogens. Damit ergibt sich bei einer nichtlinearen Berechnung:

1 ( )d cR

R R fγ

= .

Diese Schreibweise darf gemäß den oben erwähnten Überlegungen von EIBL nicht dazu verleiten, den Sicherheitsfaktor γ R auf das nichtlineare Stoffgesetz anzuwenden. Es gilt:

1 ( ) cc

R R

fR f Rγ γ

⎛ ⎞≠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ oder nach QUAST [436] ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠ cm

R

ccmc

R

EfREfR ,),(1γγ

.


249

Eine Veränderung der Betondruckfestigkeit und damit der Spannungs-Dehnungs-Linie durch den Sicherheitsfaktor führt zu einem anderen Tragverhalten. Die DIN 1045-1 folgt dieser Vorstellung nur zum Teil, denn sie verzerrt die Spannungs-Dehnungs-Linie für Beton bewusst, um die Unabhängigkeit des Sicherheitsfaktors γ R von der Art des Versagens (Versagen mit oder ohne Vorankündigung) zu erreichen. Dieser einheitliche Sicherheitsfaktor γ R wird durch die Verwendung des Mittelwertes der Stahlfestigkeit und durch die Einführung eines rechnerischen Mittelwertes cRf der Betondruckfestigkeit gemäß DIN 1045-1 Abs. 8.5.1 (4) realisiert:

0,851,1

cR ck

yR yk

f ff f

α= ⋅ ⋅= ⋅

.

Bei genauer Betrachtung der Gleichung fällt auf, dass der rechnerische Mittelwert cRf unterhalb des 5%-Fraktilwertes liegt. Das entspricht zunächst nicht den Grundlagen der Statistik. Die physikalische Begründung für diesen Effekt ist die Veränderung der Grundgesamtheit des Betons. Für den Beton auf der Baustelle wird eine geringere Festigkeit im Vergleich zu den unter Laborbedingungen gelagerten Probekörpern (KÖNIG, AHNER & TUE [298], [4]) angenommen. Es sei an dieser Stelle aber noch einmal direkt darauf hingewiesen, dass das Ziel der Einführung des rechnerischen Mittelwertes cRf allein ein verfahrenstechnisches ist, nämlich den Sicherheitsfaktor γ R konstant zu halten. Dieses Ziel geben EIBL [162] und SIX [504] auf. Sie schlagen vor, mit unverzerrten mittleren Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für den Beton und den Stahl zu arbeiten und als realitätsnahe Materialwerte statistische Mittelwerte zu wählen:

1 ( ; )d cm ymR

R R f fγ

=

mit 1,11,1

= ⋅= ⋅

cm ck

ym yk

f ff f

.

Um Angaben über den Sicherheitsfaktor γ R in Abhängigkeit von der Versagensart (Versagen mit und ohne Vorankündigung) zu erhalten, wurden von verschiedenen Autoren probabilistische Berechnungen durchgeführt. EIBL [161] gibt für Durchlaufträger, bei denen primär ein duktiles Versagen auftritt, nach derartigen Rechnungen , 1,30γ =R ductile an. Interessanterweise stimmt dieser Wert gut mit dem Teilsicherheitsfaktor von Stahl überein, da sich aus der Erhöhung des Fraktilwertes zum Mittelwert von 1,1 für den Sicherheitsfaktor

1,1 1,1 1,15 1,27 1,30R sγ γ= ⋅ = ⋅ = ≈ ergibt. Bei einem Versagen, welches maßgebend durch die Betoneigenschaften geprägt wird, ergab sich etwa , 1,70γ =R brittle [161]. Auch dieser Wert lässt

sich auf den Teilsicherheitsfaktor von Beton zurückführen 1,1 1,1 1,50 1,65 1,70R cγ γ= ⋅ = ⋅ = ≈ . Im Korridor zwischen rein duktilem Versagen und rein sprödem Versagen wird sich eine Abstufung des Sicherheitsfaktors vergleichbar mit der alten DIN 1045 notwendig machen. SIX [504] hat durch umfangreiche Berechnungen für stabilitätsgefährdete Bauteile den folgenden Zusammenhang entwickelt:


250

2 10,085 /

,0

1,1ρ ρ

ργ γρ

−⎛ ⎞

= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

totR brittle c mit 0 1%ρ = .

Für unbewehrten Beton ergibt sich in Anlehnung an SIX etwa ein Wert von 1,8 [504]. In der vorliegenden Untersuchung wurden die Verfahren II. bis IV. angewandt. Es zeigte sich, wie erwartet, dass die Manipulation der Spannungs-Dehnungs-Linie einen deutlichen Einfluss auf die rechnerische Tragfähigkeit des Bogens besitzt. Aus Sicht der Verfasser wird für die Nachrechnung von historischen Betonbögen die Verwendung eines 1,8Rγ = und eines versuchstechnisch bestimmten cmf empfohlen. Dieser Wert wurde auch durch die probabilistische Berechnung der Verfasser bestätigt. Der ermittelte Sicherheitsfaktor lag in Abhängigkeit vom Modell und den gewählten statistischen Eingangsparametern zwischen 1,61 und 1,79. Die vier genannten Vorgehensweisen lassen sich auf die beiden bisher vorgestellten Verfahren, konstanter Sicherheitsfaktor γ R und modifizierte charakteristische Festigkeit bzw. veränderlicher Faktor γ R und die Wahl von Mittelwerten als charakteristische Festigkeit zurückführen. Beide Verfahren sind denkbar. Prinzipiell ist die freie Verschiebung von Sicherheiten zwischen charakteristischen Werten und Sicherheitsfaktoren möglich, da beide Elemente gemeinsam dazu dienen, die erforderliche Sicherheit zu erbringen. Fraktilwerte als charakteristische Werte sind in der Norm bekanntlich gerade so gewählt, dass man im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit keine Sicherheitsfaktoren benötigt. Rein theoretisch hätte man auch andere charakteristische Werte wählen können, die dann dazu führen, dass man unterschiedliche Sicherheitsfaktoren für die Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und der Tragsicherheit benötigt. Bei nichtlinearen Berechnungen sind die Auswirkungen der Aufteilung der Sicherheit in charakteristische Werte und Teilsicherheitsfaktoren schwer abschätzbar. Das zeigen die hier vorgestellten eigenen Berechnungen des Bogens. Übrigens folgt auch die DIN 1045 8.6 (7) bei der nichtlinearen Berechnung nach Theorie II. Ordnung nicht mehr dem Konzept von cRf , wie PFEIFFER & QUAST [415] und QUAST [438] zeigen. Gemäß QUAST [436] gilt dort:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛s

s

yk

c

cks

s

yk

c

cms

s

yk

c

cm

c

cm Ef

kfREf

kfREfEfR ,,,85,0,,,,,, 21 γγγγγγγ

International bereits seit über 30 Jahren und in Deutschland seit 20 Jahren werden schlanke Druckglieder nach Theorie II. Ordnung so bemessen. Anwendung finden diese Regeln u.a. in der DIN 1056 für Schornsteine und in der DIN 4228 für Masten. QUAST [436] Bei dieser Vorgehensweise wird keine Unterscheidung hinsichtlich des Materialversagens mehr notwendig. Dieses Konzept ist nach QUAST [436] nicht nur für schlanke Bauteile anwendbar, sondern kann auf andere Bauteile übertragen werden. Bei unbewehrten Betonbögen oder Mauerwerksbögen, die nur aus einem Material bestehen, gilt dann

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠

R

cm

R

cmcmcm

R

EfREfRγγγ

,),(1 (QUAST [436])


251

Nach QUAST [437] liegen die Ursprünge des γ R -Konzeptes in dem ursprünglichen Konzept bei der Einführung nichtlinearer Berechnungen. Man ging nämlich davon aus, dass bei der nichtlinearen Berechnung der Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und der Tragfähigkeit quasi in einer Rechnung erfasst werden könnte. Allerdings berücksichtigte man dabei nicht, dass sich die Einwirkungskombinationen unterscheiden, so dass diese Idee heute nicht mehr umsetzbar ist. Mit der beschriebenen Problematik der Anwendung des Teilsicherheitskonzeptes für nicht-lineare Berechnungen setzt sich auch XU [602] auseinander. Er entwickelt ein erweitertes Teilsicherheitsfaktorenkonzept für Verbundträger. Dazu überführt er die Definition aus dem Eurode

EC4−

≤R

dd

ESγ

in SYSCSRM

dd

ESγγγ ⋅⋅

≤)(

.

RMγ ist ein Teilsicherheitsfaktor, der auf einen Mittelwert als charakteristischen Wert bezogen ist.

CSγ ist ein zusätzlicher Teilsicherheitsfaktor (Anpassungsfaktor) auf der Querschnittsebene.

RMγ ist ein zusätzlicher Teilsicherheitsfaktor (Anpassungsfaktor) auf der Systemebene. Dieses Modell dürfte durchaus auch für Steinbogenbrücken interessant werden. Dann müsste ein Teilsicherheitsfaktor für den Querschnitt und ein Teilsicherheitsfaktor für die System-tragfähigkeit bereitgestellt werden. Der Teilsicherheitsfaktor am Querschnitt müsste weiterhin einen Teilsicherheitsfaktor für die Hinterfüllung und für den Bogen besitzen. Inwieweit noch ein Teilsicherheitsfaktor für den Verbund anzusetzen wäre, müsste bei der Ausarbeitung dieses Modells untersucht werden. MURZEWSKI [381] kritisiert das Sicherheitsindex-Verfahren zur Entwicklung von Teilsicherheitsfaktoren. Er weist auf Beispiele hin, in denen dieses Verfahren falsche Ergebnisse liefert und stellt ein neues Verfahren vor, das κ-Verfahren. Zielgröße ist hier nicht mehr die operative Versagenswahrscheinlichkeit, sondern ein Risikowert κ. Der κ-Faktor kann bestimmt werden, wenn 0,05 0, 40v< < gilt, und die Widerstandsgröße lognormal und Einwirkungsgröße normalverteilt ist:

0,7Sβ β= ⋅ und 0,8Rβ β= ⋅ 1(1 )R R Rvγ β −= − ⋅

1S S Svγ β= + ⋅

3,20 2,0R Rvβ = − ⋅ 3,17 1,2S Svβ = − ⋅ exp( )R R Rvγ β= ⋅ 1S S Svγ β= + ⋅

Auf die Arbeiten von SCHNEIDER [482] bezüglich der Ermittlung von Teilsicherheitsfaktoren für die Widerstandsseite wurde bereits eingegangen. Hier waren Teilsicherheitsfaktoren für


252

die Widerstandsseite < 1 ermittelt worden. Solche Teilsicherheitsfaktoren finden sich für die außergewöhnliche Einwirkung Brand auch bei HOSSER [255]. Bei einer Raumfläche von 2500 m2 Fläche, einer Risikoklasse 1 und der Annahme – keine Sprinkleranlage – ergibt sich ein Teilsicherheitsfaktor von 0,93 für die Materialfestigkeiten bei Brand. In solchen Fällen muss ein besonderes Augenmerk auf die Wahl der Fraktilwerte gelegt werden.

7.7 Sicherheitselement Fraktilwert In den Normen wird festgelegt, dass der charakteristische Festigkeitswert fk von Baustoffen einem 5 %-Fraktilwert der Grundgesamtheit der statistischen Verteilung dieses Wertes entspricht. Diese Festlegung findet sich z.B. in der baustoffunabhängigen DIN 1055-100, Abschnitt 6.4, Absatz (2) [160] oder im Eurocode 1. Die Angabe eines 5 %-Fraktilwerts ist aber auch in zahlreichen baustoffbezogenen Normen enthalten, wie z.B.:

• Betonstahl DIN 488 (90 %-Vertrauensbereich), • Betondruckfestigkeitsprüfung DIN 1045, DIN 1048, • Mauerwerk nach Eignungsprüfung DIN 1053

(SCHUBERT [487] 75 %-Vertrauensbereich), • Außenwandbekleidungen DIN 18516-1, 3, 5 (75 %-Vertrauensbereich), • Mauerwerk DIN 18152 04.87:Vollsteine und Vollblöcke

(90 %-Vertrauensbereich), • Betonstahl ENV 100080 (90 %-Vertrauensbereich), • Holzbau DIN V ENV 1995 (84,1 %-Vertrauensbereich, Variationskoeffizient größer

gleich 0,1; mindestens 30 Stichproben), • Mauerwerk Gasbeton (95 %-Vertrauensbereich), • Empfehlung künstliche Steine (SCHUBERT [487]), • Natursteine 90 %-Aussagesicherheit (SCHUBERT [487]).

Um einen 5 %-Fraktilwert zu berechnen, benötigt man zunächst statistische Angaben der jeweiligen Größe. Daraus kann eine Wahrscheinlichkeitsfunktion erstellt werden, die die Streuung der Größe erfasst. Es existiert eine Vielzahl von Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Einige nennt Tab. 97. Eine Übersicht über die Familien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben PLATE, BOBEE & ASHKAR [48] und FISCHER [182]. In der Regel werden aber nur drei verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen für Baustoffeigenschaften verwendet: die Normalverteilung, die Lognormalverteilung und die Weibullverteilung (FISCHER [182], Eurocode 1 [165], GruSiBau [391]). Die Normalverteilung lässt sich sehr elegant mit dem Zentralen Grenzwertsatz begründen, der besagt, dass die Summe beliebig verteilter Zufalls-größen einer Normalverteilung folgt. Und in der Tat wird die Festigkeit vieler Baustoffe von zahlreichen zufälligen Größen beeinflusst, wie z.B. beim Beton (RÜSCH, SELL & RACKWITZ [461]). Natürlich gibt es für den Zentralen Grenzwertsatz auch Randbedingungen, die eingehalten werden müssen (VAN DER WERDEN [560]). So darf eine einzelne streuende Größe in dieser Summe nicht dominant sein. Außerdem können bei der Normalverteilung negative Werte auftreten, die sich physikalisch nicht interpretieren lassen, wie z.B. eine negative Druck- oder Zugfestigkeit. In solchen Fällen kann man eine Lognormalverteilung verwenden. Auch diese kann auf den Zentralen Grenzwertsatz zurückgeführt werden, in dem man keine Addition der einzelnen Größen, sondern eine Multiplikation fordert. Die Weibullverteilung


253

wird in der Regel bei Materialeigenschaften angewendet, die sich mit dem Modell der „Kette“ beschreiben lassen (WEIBULL [580]). Eine „Kette“ versagt an ihrem schwächsten Glied, Umlagerungen sind also nicht möglich. Das Verhalten von keramischen Baustoffen oder Glas lässt sich sehr gut mit diesem Modell beschreiben. Unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bekannt sind, soll im Folgenden die Ermittlung eines 5 %-Fraktilwertes gezeigt werden. Grundlagen der statistischen Auswertung von Versuchsergebnissen finden sich z.B. in DIN 53 804 [147].

Tab. 97: Beispiele für Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen. Dopplungen sind auf Grund verschiedener Bezeichnungen von Verteilungen möglich.

Name der Verteilung Name der Verteilung 1 χ-Verteilung 29 LAPLACE-Verteilung 2 Allgemeine PARETO-Verteilung 30 Logarithmische PEARSON-Typ-3 Verteilung 3 Arcsin-Verteilung 31 Logarithmisch-logistische Verteilung 4 Betaverteilung 32 Logistische Verteilung 5 Binomialverteilung 33 Lognormalverteilung 6 BIRNBAUM-SAUNDERS-Verteilung 34 LORENZ-Verteilung 7 BREIT-WIGNER Verteilung 35 MAXWELL-Verteilung 8 CAUCHY-Verteilung 36 NEVILLE-Verteilung 9 ERLANG-Verteilung 37 PARETO-Verteilung 10 Exponential-Verteilung 38 PEARSON, Typ III, Gammaverteilung 11 Extremwertverteilung Typ I max 39 PEARSON-Typ-3-Verteilung 12 Extremwertverteilung Typ I min 40 POISSON-Verteilung 13 Extremwertverteilung Typ II max 41 Polyaverteilung 14 Extremwertverteilung Typ II min 42 Potentialverteilung 15 Extremwertverteilung Typ III max 43 Potenznormal-Verteilung 16 Extremwertverteilung Typ III min 44 RAYLEIGH-Verteilung 17 FISHER-Verteilung 45 Rechteck oder Gleichverteilung 18 FRÉCHET-Verteilung 46 Reverse WEIBULL-Verteilung 19 F-Verteilung 47 ROSSI-Verteilung 20 Gammaverteilung (Γ-Verteilung) 48 SIMPSON- oder Dreieckverteilung 21 GAUSS- oder Normalverteilung 49 Sinus-Verteilung 22 Generalisierte Extremwertverteilung 50 SNEDECOR-Verteilung 23 Generalisierte PARETO-Verteilung 51 STUDENT-t-Verteilung 24 Geometrische oder räumliche Verteilung 52 TUKEY’sche Lambdaverteilung 25 GUMBEL-Verteilung 53 WAKEBY-Verteilung 26 Hypergeometrische Verteilung 54 WEIBULL-Verteilung 27 KRICKIJ-MENKEL-Verteilung 55 WISHART’s-Verteilung 28 LANDAU-Verteilung 56 Z-Verteilung


254

7.7.1 Normalverteilung Der 5 %-Fraktilwert fk der Festigkeit lässt sich bei einer Normalverteilung wie folgt berechnen (STORM [528]):

k mf f k σ= − ⋅ , wobei fm der Mittelwert und σ die Standardabweichung seien. Ist der Mittelwert und die Standardabweichung bekannt, so beträgt der k-Faktor für einen 5 %-Fraktilwert 1,645. In der Regel aber ist weder der Mittelwert noch die Standardabweichung bekannt. Zwar konvergiert der Mittelwert sehr schnell mit der Anzahl der Stichproben, aber diese Konvergenz ist bereits bei der Ermittlung der Standardabweichung deutlich ungünstiger. Diese Unsicherheit der Verteilungsparameter wird bei der Wahl des k-Faktors berücksichtigt, so dass der k-Faktor von der Versuchsanzahl abhängt. Wenn man eine Normalverteilung und einen 95 %-Ver-trauensbereich unterstellt, ergibt sich z.B. für 15 Versuche k = 1,76 aus der Student-t-Ver-teilung (Tab. 5). Bei sehr großen Stichproben erhält man wieder k = 1,645. Mit diesen beiden genannten k-Werten und dem empirischen Mittelwert und der empirischen Standardabweichung s erhält man:

1,76k mf f s= − ⋅ bzw. 1,645k mf f s= − ⋅ . Der Eurocode 1 [166] legt etwas andere k-Werte fest. So ist dort der k-Faktor bei 15 Versuchen 1,84. Damit würde sich ergeben:

1,84k mf f s= − ⋅ . Tab. 6 listet die Regelungen unterschiedlicher Normen für die Bestimmung eines 5 %-Fraktil-wertes im Betonbau auf.

Tab. 98: k-Faktoren bei Student-t-Verteilung (Freiheitsgrad = Stichprobenanzahl – 1)

Freiheitsgrad Fraktilwerte Freiheitsgrad Fraktilwerte 5% 2,5% 5% 2,5%

1 6,314 12,706 20 1,725 2,086 2 2,920 4,303 21 1,721 2,080 3 2,353 3,182 22 1,717 2,074 4 2,132 2,776 23 1,714 2,069 5 2,015 2,571 24 1,711 2,064 6 1,943 2,447 25 1,708 2,060 7 1,895 2,365 26 1,706 2,056 8 1,860 2,306 27 1,703 2,052 9 1,833 2,262 28 1,701 2,048

10 1,812 2,228 29 1,699 2,045 11 1,796 2,201 30 1,697 2,042 12 1,782 2,179 40 1,684 2,021 13 1,771 2,160 60 1,671 2,000 14 1,761 2,145 80 1,664 1,990 15 1,753 2,131 100 1,660 1,984 16 1,746 2,120 200 1,653 1,972 17 1,740 2,110 500 1,648 1,965 18 1,734 2,101 1000 1,646 1,962


255

Tab. 99: Ermittlung charakteristischer Werte für die Betondruckfestigkeit

Vorschrift Forderung Bemerkungen DIN 1045

5i ck

m ck

f ff f

≥≥ +

n=3 oder n=6 7.4.3.5.2 Festigkeitsanforderungen (2) Bei Beton gleicher Zusammensetzung und Herstellung darf jedoch jeweils einer von 9 aufeinander folgenden die Nennfestigkeit um höchstens 20 % unterschreiten; dabei muss jeder Serien-Mittelwert von 3 aufeinander folgenden Würfeln die Werte der Serien-festigkeit mindestens erreichen.

DIN 1084 1,641,64

m ck

m ck

f f sf f σ

≥ + ⋅≥ + ⋅

Statistische Auswertung mit der Stich-probenstandardabweichung s, mindestens jedoch s = 3 N/mm2 bzw. mit der Standard-abweichung der Grundgesamtheit σ, bestimmt aus 35 Festigkeitswerten oder σ = 7 N/mm2.

ENV 206: 1990

Kriterium 1 (mindestens 6 aufeinander folgende Druckfestigkeitsprüfungen):

i ck

m ck

f f kf f sλ

≥ −≥ + ⋅

bzw. für n=15

41,48

i ck

m ck

f ff f s

≥ −≥ + ⋅

Kriterium 2 (n=3 aufeinander folgende Druckfestigkeitsprüfungen)

15

i ck

m ck

f ff f

≥ −≥ +

prEN 206: 1997

Kriterium 1 1m ckf f≥ + für n=2 bis 4 2m ckf f≥ + für n=5 bis 6 1,48m ckf f σ≥ + ⋅ für n ≥ 15

Kriterium 2 4−≥ cki ff für n=2 bis 6 4−≥ cki ff für n ≥ 15

Nachweis mit σ, wenn aus den letzten 15 Ergebnissen eine Standardabweichung s1 berechnet wird, die die folgende Voraussetzung erfüllt:

σσ ⋅≤≤⋅ 37,163,0 1s

E DIN 1045-3 2,581,645i ckf fn

σ⎛ ⎞≥ + + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

für

n > 6

mf ist der Mittelwert, ckf ist der charakteristische Wert und if ist ein Einzelwert. Die erfor-derlichen Faktoren für die ENV 206: 1990 können in Abhängigkeit von der vorliegenden Stichprobenanzahl dieser Tabelle entnommen werden. n 31) 41) 51) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 λ 2,11 2,02 1,93 1,87 1,77 1,72 1,67 1,62 1,58 1,55 1,52 1,5 1,48 k 1 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 1) Diese Werte finden sich nicht in der Vorschrift. Die Werte wurden von den Verfassern extrapoliert.


256

Die Berechnung eines 5 %-Fraktilwertes wird im Folgenden an einem Beispiel dargestellt: Beispiel:

Es sind 500 Druckfestigkeitswerte von Postaer Sandstein gegeben. Der Mittelwert der Druckfestigkeit beträgt 58,05 MPa und die Standardabweichung 10,32 MPa. Es wird eine Normalverteilung vorausgesetzt. Bei 500 Versuchen gilt k = 1,648. Für den charakteristischen Wert der Druckfestigkeit gilt dann:

, 58,05 MPa 1,648 10,32 MPa 41,04 MPast kf = − ⋅ = . Zum Vergleich wird der charakteristische Wert von Postaer Sandstein basierend auf verschiedenen Veröffentlichungen abgeschätzt. Da hierbei der Stichprobenumfang nicht bekannt ist, wird vereinfacht mit k = 1,645 gerechnet: GRUNERT [224]: , 1,645 45,6 1,645 11,6 26,52 MPast k mf f σ= − ⋅ = − ⋅ =

GRUNERT, GRUNERT & GRIEGER [223]: , 1,645 31,6 1,645 6,8 20, 41 MPast k mf f σ= − ⋅ = − ⋅ =

PESCHEL [412]: , 1,645 41,6 1,645 11,6 22,52 MPast k mf f σ= − ⋅ = − ⋅ = .

7.7.2 Lognormalverteilung Die Lognormalverteilung erlaubt die Produktformulierung des Zentralen Grenzwertsatz. Die Vorgehensweise für die Berechnung des 5 %-Fraktilwertes bei Annahme einer Lognormal-verteilung gestaltet sich analog zur Normalverteilung. Allerdings müssen die einzelnen Stichprobenwerte zunächst logarithmiert werden.

' * ln( )= − ⋅ =L y k s L

1=

=∑n

i

i

yyn

mit ln( )i iy x=

( )2

1*1

n

ii

y ys

n=

−=

−

∑

Beispiel: Es liegen vier Druckfestigkeitsversuche von Natursteinmauerwerk aus Postaer Sandstein aus historischem Baubestand vor (Tab. 100). Für die Versuche ist die charakteristische Mauerwerksdruckfestigkeit zu bestimmten.

Tab. 100: Druckfestigkeitsversuche von Natursteinmauerwerk

Stichprobe Einzelwert in MPa Logarithmierte Einzelwerte

1 6,70 1,90 2 6,20 1,82 3 5,70 1,74 4 6,60 1,89

Mittelwert 6,30 1,84 Standardabweichung 0,39 0,06

Der charakteristische Wert der Mauerwerksdruckfestigkeit bei Annahme einer Normalverteilung ergibt sich zu: , 6,30 MPa 2,353 0,39 MPa 5,37 MPamw kf = − ⋅ = . Bei Annahme einer Lognormalverteilung ergibt sich: , exp(1,84 2,353 0,06) 5, 47 MPamw kf = − ⋅ = .


257

7.7.3 Weibullverteilung Bei Annahme einer Weibullverteilung ergibt sich der 5 %-Fraktilwert:

1

1 ln(1 )k

kf qλ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Bei den Faktoren λ und k handelt es sich um Parameter der Weibullverteilung. q ist die Wahrscheinlichkeit, in diesem Fall also 0,05. Der Mittelwert und die Standardabweichung berechnen sich wie folgt:

1/0

11kmf f

kλ − ⎛ ⎞= + ⋅Γ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2

1/ 2 11 1k

k kσ λ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Γ + − Γ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Damit können bei bekanntem Mittelwert und bekannter Standardabweichung die Verteilungsparameter bestimmt werden.

Beispiel: Für das Beispiel der vier Druckfestigkeitsversuche an Natursteinmauerwerk aus Postaer Sandstein ergibt sich bei einem Mittelwert von 6,3 MPa und einer Standardabweichung von 0,39 MPa für k = 20,01 und für λ = 5,84×10-17. Damit erhält man für den 5 %-Fraktilwert:

120,01

17

1 ln(0,95) 5,58 MPa5,84 10kf −

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠.

7.7.4 Verfahren nach Leicester Ein weiteres Verfahren zur Schätzung von Fraktilwerten, aber ohne Wahl einer Wahrscheinlichkeitsfunktion, ist die LEICESTER-Methode (HUNT & BRYANT [263]). Dabei ergibt sich der 5 %-Fraktilwert aus:

2,71 ⋅⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

kvf A

n

mit

n Anzahl der Versuche, möglichst größer als 30

v Variationskoeffizient, möglichst kleiner als 0,5

A 5 %-Fraktil, durch lineare Interpolation aus den Versuchsdaten ermittelt. Beispiel:

Für die 500 Steindruckfestigkeitsversuche ergab sich aus den Versuchsdaten ein empirischer 5 %-Fraktilwert zu 42,3 MPa. Die Ermittlung dieses Wertes lässt sich z.B. sehr einfach mit dem Programm EXCEL und der Funktion Rang und Quantil im Menüpunkt Analyse-funktionen im Menü Extras durchführen. Ergibt sich kein exakter 5 %-Fraktilwert, so wird zwischen den Werten darunter und darüber linear interpoliert. Der Variationskoeffizient beträgt 0,177. Damit ergibt sich:

2,7 0,17742,3 MPa 1 42, 26 MPa500⋅⎛ ⎞= ⋅ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠kf .


258

7.7.5 Verfahren nach Öfverbeck Als weiteres Verfahren sei das ÖFVERBECK Power Limit genannt (HUNT & BRYANT [263]). Mit Hilfe einer Konstante ε kann aus einer vorgeschriebenen Anzahl von Versuchswerten q der 5 %-Fraktilwert gemäß folgender Gleichung berechnet werden.

11 /( 1)

1

qq

k q ii

f x xε ε−

− −

=

= ∏

Die Konstante ist in Abhängigkeit von der Versuchsanzahl in Tab. 101 angegeben.

Tab. 101: ÖFERBECKS Konstante in Abhängigkeit von der Versuchsanzahl

Versuchs- anzahl n

Anzahl der verwendeten, sortierten Versuchswerte q Öfverbeck-Konstante ε

5 2 5,93 6 2 5,35 7 2 4,85 8 2 4,42 9 2 4,03

10 3 3,31 11 3 3,12 12 3 2,96 13 3 2,80 14 3 2,66 15 3 2,53 20 4 2,22 30 5 1,80 40 6 1,58 50 7 1,44

Beispiel:

Es wird wieder auf das Beispiel der Mauerwerksdruckversuche mit Postaer Sandstein zu-rückgegriffen. Allerdings liegen nur vier Versuche vor. In Anlehnung an Tab. 7 wird die An-zahl der verwendeten sortierten Versuchwerte q = 2 und die Öfverbeck-Konstante ε = 6,00 gewählt. Die sortierten Versuchsdaten lauten: 5,7, 6,2, 6,6 und 6,7 MPa, Damit ergibt sich:

61 2 11 /( 1) 1 6,00 1 6 6/(2 1)

2 51 1

5,76,2 5,7 3,74 MPa6,2

qq

k q i ii i

f x x x xε ε− −

− − − − −

= =

= = = ⋅ = =∏ ∏ .

7.7.6 Verfahren nach Jaeger und Bakht JAEGER und BAKHT [272] stellen ein Verfahren zur Schätzung von Fraktilwerten vor, welches eine Kombination mehrerer Wahrscheinlichkeitsfunktionen verwendet. Sie bezeichnen diese künstliche Verteilung als „log arc sinh normal polynomial-Verteilung“. Bei Ansatz eines quadratischen Polynoms in der Verteilung und der Berücksichtigung des kleinsten, mittelsten und größten Versuchswertes kann man die folgenden Schritte abarbeiten, um einen Fraktilwert abzuschätzen: 1. Schritt: Sortierung der Daten,


259

2. Schritt: Berechnung des Mittelwertes. Dabei wird festgelegt: Bei einer ungeraden Anzahl von Versuchergebnissen (Stichproben) ist der Mittelwert der mittlere Wert (also eigentlich der Median). Bei einer geraden Anzahl von Versuchsergebnissen (Stichproben n = 2 k) sei der Mittelwert:

1( )2

k km

f ff ++=

3. Schritt: Für jedes Versuchsergebnis x wird ein y ermittelt: 2 2

2i m

ii m

f fyf f−=

⋅ ⋅ 4. Schritt: Wähle einen charakteristischen Wert, z.B. ein 5 %-Fraktil. Wähle den entsprechenden k-Wert einer Normalverteilung, also für ein 5 %-Fraktil k = z* = -1,645. 5. Schritt: Wähle aus Tab. 102 ein z1 entsprechend der Versuchsanzahl n.

Tab. 102: z1-Werte

Versuchs-anzahl n

z1

10 -1,34 11 -1,38 12 -1,43 13 -1,47 14 -1,50 15 -1,53 16 -1,56 17 -1,59 18 -1,62 19 -1,65 20 -1,67

Als Näherung kann empfohlen werden: 2

1 0,8004 0,0649 0,0011z n n= − − ⋅ + ⋅

6. Schritt: Ermittle den charakteristischen y-Wert.

2* ** 1 1

1 12 2n ny y y yz zy

z z⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7. Schritt:

* * 2( 1 ( )k mf f y y= + + Das vorgestellte Verfahren wird von JAEGER und BAKHT als das numerisch stabilste bezeichnet. Es gibt aber auch Variationen des Verfahrens. Sie umfassen neben der Erhöhung des Polynomgrades auch die Wahl anderer Punkte. Entscheidet man sich z.B. nicht für den kleinsten, mittelsten und größten Versuchswert, sondern für den kleinsten, mittelsten und zweitkleinsten Wert, erhält man eine geringfügig andere Näherung für den Fraktilwert.

Beispiel: Bei der Prüfung von 15 Granitkörpern wurde die Biegezugfestigkeit ermittelt. Die einzelnen auf eine Höhe bezogenen Biegezugfestigkeiten finden sich in Tab. 103:


260

Tab. 103: Sortierung der einzelnen Stichproben

Lfd. Nr. Biegezug-

festigkeit in MPa Prozent yi 1 14,710 100,00% 0,35106 2 12,802 92,80% 0,20674 3 12,700 85,70% 0,19858 4 12,506 78,50% 0,18291 5 11,150 71,40% 0,06719 6 10,829 64,20% 0,03793 7 10,822 57,10% 0,03729 8 10,426 50,00% 0,00000 9 10,208 42,80% -0,02113

10 10,002 35,70% -0,04153 11 9,919 28,50% -0,04987 12 9,664 21,40% -0,07597 13 9,412 14,20% -0,10250 14 6,281 7,10% -0,52875 15 4,233 0,00% -1,02851

Gemäß Schritt 2 ergibt sich: 10,426 MPamf = . Die einzelnen Werte für y finden sich in der Tabelle (Schritt 3). Es soll ein 5 %-Fraktilwert der Biegezugfestigkeit ermittelt werden, so dass z* = -1,645 und z1= 1,53 gilt. Damit erhält man

2* 1,0286 0,351 1,645 1,0286 0,351 1,645 1,133

2 1,53 2 1,53y − − − − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )210, 426 MPa 1,133 1 ( 1,133) 3,94 MPakf = ⋅ − + + − = .

Alle Verfahren beruhen auf einer statistisch erfassten Beschreibung der Unsicherheit von Eingangsdaten für die Berechnung. Es bietet sich aus diesem Grund an, eine solche Berechnung direkt an Bogenbrücken durchzuführen. Dazu wurden Beispiele aus der Literatur zusammengefasst und eigene Berechnungen ausgeführt. Diese werden im nächsten Kapitel vorgestellt.


261

8 Beispiele

8.1 Probabilistische Bogenberechnungen in der Literatur MODENA & SONDA [363] haben für eine 1948 errichtete Stahlbetonbogenbrücke mit einer Spannweite von 60 m eine probabilistische Berechnung durchgeführt. Der Sicherheitsindex für a priory Daten lag zwischen 3,78 (7,93 × 10-5) und 4,44 (4,41 × 10-6). Nach der Gewinnung zusätzlicher Daten ermittelten sie an verschiedenen Querschnitten des Bogens Versagenswahrscheinlichkeiten zwischen 5,80 (3,27 × 10-9) und 6,68 (1,17 × 10-11). CASAS [85] führte probabilistische Berechnungen an mehreren historischen Bogenbrücken durch. Er verwendete zwei Modelle: Ein linear-elastisches Modell, in dem Versagen definiert wird, wenn ein zusätzliches Gelenk entsteht und ein nichtlineares Modell, bei dem Versagen durch Überschreiten der Druckfestigkeit oder durch die Bildung eines Vier-Gelenk-Mechanismus erfasst wird. Das einfache Modell basiert auf folgender Formel:

2c

N Mg Hf B N

= − − ⋅⋅

mit

H als Bogendicke (Normalverteilung mit einem Variationskoeffizient von 10 %), B als Bogenbreite (Normalverteilung mit einem Variationskoeffizient von 5 %), fc als Druckfestigkeit des Mauerwerks (Normalverteilung mit einem Variationskoeffizient von 20 %), M als Biegemoment (Gumbelverteilung für veränderlichen Anteil und Normalverteilung für ständige Einwirkungen, 10 % C.o.V. für veränderlichen Anteil und 5 % für ständige Einwirkungen), N als Normalkraft (Gumbelverteilung für veränderlichen Anteil und Normalverteilung für ständige Einwirkungen, 10 % C.o.V. für veränderlichen Anteil und 5 % für ständige Einwirkungen). Die genannten Zahlenwerte gelten für die Magarola Bogenbrücke. Die Ergebnisse für das lineare Modell sind in Tab. 104 zusammengestellt.

Tab. 104: Sicherheitsindizes für die Magarola Bogenbrücke

Keine Korrelation ρ = 0 Starke Korrelation ρ = 0,9 Kämpferbereich 1,54 1,64 Viertelspunkt 4,81 4,82 Scheitel 1,11 1,14 Die Ergebnisse stimmen allerdings nicht mit den Beobachtungen überein. Die Brücke trägt die bisherigen Lasten ohne Einschränkungen und ohne Hinweise auf eine unzureichende Sicherheit. In der Tat erbrachte die nichtlineare Berechnung für die Magarola Brücke Sicherheitsindizes zwischen 10,6 und 14,3 unter Verkehr und 11,6 und 15,5 für die Brücke ohne Verkehr.


262

Die Ergebnisse für die Jerge Bogenbrücke bei normalem Verkehr sind in Tab. 105 zusammengestellt.

Tab. 105: Sicherheitsindizes für die Jerge Bogenbrücke

Keine Korrelation Mittlere Korrelation Starke Korrelation Kämpferbereich 3,64 3,71 4,26 Viertelspunkt 3,60 3,61 4,32 Scheitel 3,85 3,84 4,75 Die Ergebnisse für die San Rafael Bogenbrücke bei normalem Verkehr sind in Tab. 106 zusammengestellt.

Tab. 106: Sicherheitsindizes für die San Rafael Bogenbrücke

Keine Korrelation Kämpferbereich 5,49 Viertelspunkt 7,99 Scheitel 7,39 In Tab. 107 sind alle von CASAS [85] durchgeführten Berechnungen zusammengefasst. Zunächst einmal kann keine generelle Aussage über die ermittelten Sicherheitswerte gemacht werden. Bei der linear-elastischen Berechnung treten sowohl akzeptable als auch inakzeptable Werte auf. Grundlage für die Einwirkungen waren streuende Lastannahmen gemäß Eurocode 1. Es erscheint aber glaubhaft, dass nicht alle Bogenbrücken für derartige Einwirkungen geplant waren. Insofern sind die unterschiedlichen Sicherheitsindizes erklärbar. Interessant ist allerdings der teilweise sehr starke Anstieg der Sicherheitsindizes beim Übergang zum nichtlinearen Modell. Die Mitwirkung der Hinterfüllung wurde dabei teilweise noch nicht berücksichtigt. Die Berechnung bestätigt die Aussage, dass lineare Berechnungen für Natursteinbogenbrücken keine wirklichkeitsnahe Darstellung der Tragfähigkeit erbringen.

Tab. 107: Zusammenfassung aller Berechnungen von CASAS [85]

Material Spannweite in m β linear-elastisch β nichtlinear Magarola Ziegel 20,0 1,6 13,0 Jerte Granitstein 22,5 3,5 6,0 San Rafael Beton 24,0 5,5 17,6 Duenas Kalkstein 15,0 0,24 10,0 Quintana Beton 19,0 7,0 Torquemada Beton 40,0 4,5 SCHUEREMANS, SMARS & VAN GEMERT [491], [492], [494] stellen die probabilistische Berechnung eines Mauerwerksgewölbes vor. Dieses besitzt allerdings eine außerordentlich geringe Sicherheit. So beträgt der statische Sicherheitsfaktor bei Verwendung von Mittelwerten nur 2,39 und der geometrische Sicherheitsfaktor 1,23. Weiterhin stellen SCHUEREMANS & VAN GEMERT probabilistische Untersuchungen von Mauerwerk vor, auf die aber hier nicht eingegangen wird.


263

QUAN [435] stellt eine probabilistische Berechnung einer Stahlbetonbogenbrücke vor. Dabei erhält er Werte des Sicherheitsindex zwischen 3,53-4,31. Die Berechnung erfolgt mit einem selbstständig entwickelten Programm. Die Sicherheitwerte werden als zu gering eingestuft. ŽAK, FLORIAN & HRADIL [609] stellen eine probabilistische Berechnung einer historischen Bogenbrücke vor. Das mechanische Modell wurde in ANSYS umgesetzt, aber es wurden keine Ergebnisse vorgestellt. BUSCH [79] führte eine umfangreiche probabilistische Unter-suchung der Marienbrücke in Dresden durch. MÖLLER ET AL. [370] und MÖLLER ET AL. [369] verwendeten ebenfalls probabilistische Berechnungsmethoden zur Sicherheitsbeurteilung von Natursteinbogenbrücken. Probabilistische Berechnungen an Mauerwerk wurden u.a. von TSCHÖTSCHEL [551] vorgestellt. Im Folgenden werden einige eigene probabilistische Berechnungen von Gewölbebrücken vorgestellt. Das Augenmerk dabei liegt aber eher auf der Vorstellung der Bauwerke als in der Detaildarstellung der Berechnungen.

8.2 Bogenbrücke Die Bogenbrücke befindet sich ca. 30 km nordwestlich von Würzburg. Bei der Brücke handelt es sich um eine Sechsfeld-Steinbogenbrücke, die in den Jahren 1872-1875 errichtet wurde. Die Bögen besitzen eine Spannweite von ca. 25 m, die Pfeiler haben eine Breite von ca. 4 m. Die ursprüngliche Konstruktion wurde überwiegend in qualitativ hochwertigem Quadermauerwerk aus rotem Mainsandstein erstellt. Eine Ansicht des Bauwerks ist in Abb. 120 zu sehen. Das Fundament wurde bei Erbauung der Brücke flach auf Mainkies gegründet (Abb. 121). Nach Angaben der Lohrer Zeitung [316] wurden bereits in den Jahren 1939-40 die ursprünglichen Holzspundwände der Flusspfeiler im Rahmen der Mainkanalisation und der damit verbundenen Absenkung der Flusssohle durch doppelte Stahlspundwände ersetzt und die Pfeilerfüße mit einer Betonmanschette versehen. Im Jahre 1945 wurde der Pfeiler III gesprengt. Dies führte zum Einsturz der Bögen 3 und 4. Bereits im gleichen Jahr begann der Wiederaufbau, nachdem eine Behelfsbrücke errichtet worden war. Der Wiederaufbau des Pfeilers erfolgte nach Beräumung etwa ab Oberkante Betonmanschette. Diese Vermutung wurde 1985 durch eine Bestandsaufnahme bestätigt, bei der Taucher von zahlreichen Rissen in der Betonmanschette dieses Pfeilers berichten [516]. Diese Risse sind vermutlich im Wesentlichen auf die Sprengung zurückzuführen.

Abb. 120: Ansicht der Bogenbrücke


264

Abb. 121: Aufnahmen der Brücke (H. MICHLER)

Abb. 122: Schematischer Aufbau der Brücke Die historisch gewachsenen baulichen Besonderheiten und die damit verbundenen Unregelmäßigkeiten werden noch einmal sehr schön in der Explosionsdarstellung in deutlich (Abb. 122). Der Aufbau der Pfeiler über die Höhe ist in Abb. 123 dargestellt.


265

Abb. 123: Schematischer Aufbau der Pfeiler über die Höhe Für die Modellierung der Brücke wurden sowohl Stabelemente als auch ein Finite Elemente Modell entwickelt (Abb. 124). Die Eingangsgrößen stammten zum überwiegenden Teil aus Materialuntersuchungen. Für die Gewinnung von Material wurden intensive Bohrunter-suchungen durchgeführt. Die statistischen Eingangsdaten sind in Tab. 108 zusammengefasst.

Tab. 108: Eingangsdaten

Materialparameter Verteilungstyp xm s Einheit Sandsteindruckfestigkeit Lognormal. 75,40 21,30 MPa Betondruckfestigkeit Lognormal 47,90 22,28 MPa Sandsteinspaltzugfestigkeit Lognormal 4,72 1,30 MPa Betonzugfestigkeit (einaxial.) Lognormal 1,15 0,69 MPa Sandstein E-Modul Lognormal 28534,60 7079,60 MPa Beton E-Modul Lognormal 22552,60 8682,10 MPa Dichte Sandstein Normal. 2,27 0,15 kg/dm3 Dichte Beton Normal 2,26 0,10 kg/dm3 Mörteldruckfestigkeit Lognormal 11,00 7,25 MPa Steinhöhe (Außenschale Pfeiler) Normal 0,7 0,13 m Steinbreite (Außenschale Pfeiler) Lognormal 0,8 0,08 m Fugenhöhe (Außenschale Pfeiler) Lognormal 0,037 0,048 m


266

Abb. 124: ANSYS-Modell der Brücke

Mit dem Modell der Brücke wurde eine umfangreiche probabilistische Untersuchung durchgeführt. Umfangreiche Ausführungen finden sich dazu in PROSKE [424].

8.3 Bogenbrücke Bei der Bogenbrücke handelt es sich um eine Eisenbahnbrücke, die zwischen 1911 und 1913 errichtet wurde. Diese Eisenbahnbrücke besteht aus drei Ziegelsteinbögen mit Beton-hinterfüllung. Zunächst wurden für die Brücke verschiedene statische Modelle entwickelt. Ausgehend vom einfachen Stabmodell wurde das Modell der Brücke über elastische 2- und 3D Finite Elemente Modell zum nichtlinearen Modell erweitert. Abb. 125 zeigt ein 2D Finite Elemente Modell der Brücke mit Belastung (ATENA). Da die Gleise auf der Brücke nicht symmetrisch angeordnet sind (Abb. 126), wurde auch ein 3D Modell entwickelt (Abb. 128). Die Bögen wurden dabei über Schalenelemente modelliert, die an die Pfeiler biegesteif angeschlossen wurden (Abb. 127). Eine nichtlineare Berechnung unter Verwendung des Stoffgesetzes von WILLAM-WARNKE benötigte auf einer IBM Workstation mit 2 GB Arbeitsspeicher ca. eine Stunde.


267

Schalen-elemente

Steifer Bogen(20.000 MPa)Steife Hinterfüllung(20.000 MPa-Beton)

2 Verkehrsbelastung UIC 71 1,3 (symbolisch)

Weiche Vor-mauerung-Schäden-(6.000 MPa)

Weiche Hinterfüllung(6.000 MPa)

Abb. 125: ATENA-Berechnungsmodell der Brücke. Oben ist sind die Einwirkungen und einige Details zur Modellierung angegeben.

110 214190 220 110

10 90

Abb. 126: Geometrische Vereinfachung für den Lasteintrag der Verkehrslast


268

Schalenelement

Volumenelement

Abb. 127: Biegesteifer Anschluss Um Eingangsparameter für die Modelle zu erhalten, wurden an dem Bauwerk Probe-bohrungen ausgeführt. An dem dabei gewonnenen Material konnten Festigkeitsunter-suchungen durchgeführt werden. Für die Zylinderbetondruckfestigkeit wurden ein Mittelwert von ca. 23 MPa und eine Standardabweichung von 9,8 MPa ermittelt. Die Bohrungen erfolgten horizontal. Trotzdem wurde angenommen, dass diese Werte auf die vertikale Belastungsrichtung übertragbar sind. Neben den Betonprüfungen erfolgten Festigkeits-untersuchungen am Mörtel. Hier wurden überraschend hohe Werte in Abhängigkeit von der Ziegelart ermittelt. Die mittleren Mörteldruckfestigkeiten lagen zwischen 30 und 60 MPa mit Standardabweichungen von 14 und 6 MPa. Weiterhin wurden Festigkeitsuntersuchungen an Steinkörpern aus Bohrkernen durchgeführt. Die Steindruckfestigkeit lag im Mittel bei 50 MPa mit einer Standardabweichung von 22 MPa. Die Spaltzugfestigkeit betrug im Mittel 3,1 MPa. Für die Hinterfüllung wurden weiterhin Werte aus Bogenbrücke übernommen. In Abb. 125 werden die unterschiedlichen Spannungen in den Bauteilen auf Grund der unterschiedlichen Steifigkeiten der Elemente (Pfeilervormauerung, Schäden, Bogenschale) erkennbar. Im Bereich der Kämpfer treten Spannungsspitzen auf. Diese Spannungsspitzen sind

auf die weiche Vormauerung und die steifere und festere Hinterfüllung zurückzuführen. Es wird

angenommen und auch in diesen Bildern deutlich, dass sich die Vormauerung der Bogenbe-lastung entzieht. Die maximalen Druckspannungen bei nichtlinearer Berechnung liegen dann

etwa bei ca. 10 MPa im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Die vorliegende Untersuchung zeigt, dass bei vernachlässigter Mitwirkung der Mauerwerks-außenschale der Kern allein tragfähig bleibt, allerdings unter der Annahme, dass der charakteristische Wert korrekt gewählt wurde (ca. 5 MPa). Die ermittelten maximalen Spannungen im Pfeiler betragen ca. 2 MPa. Nach der deterministischen Berechnung erfolgte eine probabilistische Berechnung der Brücke. Dafür wurden die Druckfestigkeiten normalverteilt und für die Spaltzugfestigkeit lognormalverteilt angenommen. Die statistische Modellierung der Eisenbahnlasten erfolgte in Anlehnung an LIEBERWIRTH [311].


269

Abb. 128: ANSYS-Berechnung der Brücke.


270

8.4 Bogenbrücke Die Bogenbrücke ist eine Eisenbahnbrücke. Die Natursteinbogenbrücke mit einer Länge von 423 m besteht aus 34 Bögen und 33 Pfeilern. Die Bögen haben eine Spannweite von etwa 10 m. Bei den Pfeilern werden zwei verschiedene Pfeilertypen unterschieden: Regelpfeiler und so genannte Gruppenpfeiler. Die Gruppenpfeiler besitzen eine Breite von 2,8 m und die Regelpfeiler eine Breite von 1,5 m. Jeder dritte Pfeiler ist ein Gruppenpfeiler, die übrigen sind Regelpfeiler. Die Brücke wurde um 1871 im Rahmen des Baus der Strecke Leipzig – Chemnitz errichtet. 1929 und 1930 wurde im Rahmen von Sanierungsarbeiten die Abdichtung an der Brücke erneuert und es erfolgte ein Gleisumbau. Die Brücke wurde ursprünglich zweigleisig geplant. Heute verläuft auf dem überwiegenden Teil der Brücke nur noch ein Gleis. Im vorderen Bereich der Brücke findet sich jedoch ein Weiche, so dass in diesen Bereich ein zweigleisiger Überbau vorliegt. Das äußere Bild der Brücke zeigt insgesamt ein hochwertiges Bauwerk (Abb. 129). Allerdings sind in einigen Bereiche Rissschäden aufgetreten. Auch geringe Verschiebungen der Stirnmauerung sind vorhanden.

Abb. 129: Ansicht Bogenbrücke Zunächst wurde auch für diese Brücke ein Stabmodell entwickelt. Dabei wurden die Stabmodelle eingespannter Bogen, Zweigelenk- und Dreigelenkbogen, GOCHT-Modell (nach Einbau einer Fahrbahnplatte) und Stabmodell mit Berücksichtigung der Hinterfüllung durch horizontale Federn verwendet. Die Horizontalstäbe wurden unterschiedlich angesetzt: • Horizontalstäbe zwischen Bögen biegesteif (kleine Momente möglich), • Horizontalstäbe zwischen Bögen gelenkig, • Horizontalstäbe, die Zugkräfte erhalten, werden entfernt.


271

Der Bogen selbst wurde dann als Zweigelenkbogenbild gemäß DS 805 übernommen. Am Kämpfer wurden Kragarme angesetzt. Am linken Bogen wurden keine Rückhängefedern oder Stäbe vorgesehen, so dass die eingetragene Last nur auf die drei Bögen und die Federn übertragen wird. Das einzige horizontale Lager befindet sich rechts. Die Federn an den Kragelementen sind elastische Bettungen. Abb. 131 zeigt das Modell. Die Federsteifigkeiten wurden gemäß Abb. 131 ermittelt. Eine Anwendung der horizontalen Federn bzw. Stäbe findet sich z.B. auch bei HUGHES, DAVIES & TAUNTON [262].

34

1 23 4

Abb. 130: Stab-Modellierung der Brücke mit Abbildung der Hinterfüllung durch Federn

Berechnung Federsteifigkeiten

1 kN

1 kN

Vertikale Feder Horizontale Feder

Abb. 131: Stab-Modellierung der Brücke mit Abbildung der Hinterfüllung durch Federn Anschließend wurden zwei 3D Finite Elemente Modell der Brücke erstellt (Abb. 132). Die Berechnungen wurden zunächst linear-elastisch, anschließend nichtlinear durchgeführt. Abb. 133 zeigt beispielhaft die Ergebnisse der nichtlinearen Berechnung. Die in diesem Bild sichtbaren Kreise symbolisieren Risse. Zur Prüfung der Ergebnisse wurde eine 2D nicht-lineare Berechnung mit einem zweiten Programm durchgeführt (Abb. 134).


272

Abb. 132: ANSYS-Modellierung der Brücke


273

Abb. 133: ANSYS-Modellierung der Brücke mit Rissbild

Abb. 134: ATENA-Modellierung der Brücke mit Rissbild Eingangsdaten für die Modelle basieren sowohl auf Versuchen aus Bauwerksmaterial als auch auf Daten aus der Literatur, da der Stichprobenumfang der Materialprüfungen unzureichend war. Im Bogenbereich wurde Sandstein-Quadermauerwerk mit Postaer Elbsandstein verwendet und im Pfeilerbereich Zyklopenmauerwerk mit Steinen aus Porphyr. Der Mittelwert der Sandsteindruckfestigkeit betrug 39 MPa mit einer Standardabweichung von 13,6 MPa. Die Spaltzugfestigkeit wurde nach PURTAK [430] mit


274

0,081·Steindruckfestigkeit berechnet. Die Standardabweichung wurde in Anlehnung an Bogenbrücke gewählt. Weiterhin wurden Daten nach GRUNERT, GRUNERT & GRIEGER [223], GRUNERT [224], PESCHEL [412], PURTAK [430] und JÄGER & WENZEL [276] für den Sandstein verwendet. Die ermittelte Druckfestigkeit des Porphyrs wurde von 90 MPa (gemessen) auf 70 MPa auf Grund der geringen Stichprobenmenge runtergesetzt. Damit liegt man auch im Vergleich zu Veröffentlichungen (SCHUBERT [488], RUSTMEIER [462], PESCHEL [412]) auf der sicheren Seite. Für die probabilistische Berechnung wurden Normalverteilungen mit Ausnahme einer Lognormalverteilung für die Spaltzug- und Mörtelfestigkeit gewählt. Die statistische Modellierung der Eisenbahnlasten erfolgte ebenfalls wieder in Anlehnung an LIEBERWIRTH [311].

8.5 Bogenbrücke Bei der Bogenbrücke handelt es sich nicht um ein reales Bauwerke. Die Brücke soll einer repräsentativen Brücke entsprechen. Die Brücke hat eine Spannweite von 20 m. Für diese Brücke erfolgte eine umfangreiche Modellierung durch FRENZEL [195] (Stabmodell, FE-Modell) und BECKE [25]. In Abb. 135 und Abb. 136 sind das ANSYS- bzw. das ATENA-Modell der Brücke abgebildet.

Abb. 135: ANSYS-Modellierung der Brücke nach FRENZEL [195]

Abb. 136: ATENA-Modellierung der Brücke nach BECKE [25]


275

Die statistischen Annahmen der Materialeingangsgrößen für die probabilistische Berechnung wurden in Anlehnung an die Literatur gewählt. Für die Einwirkungen aus Straßenverkehr wurde eine Extremwertverteilung verwendet.

8.6 Bogenbrücke Bei der Bogenbrücke handelt es sich um eine Stahlbetonbogenbrücke für den Straßen-verkehr aus dem Jahre 1928. Der Bogen hat eine Spannweite von knapp 25 m und eine Dicke am Kämpfer von ca. 1,75 m und am Scheitel von 0,66 m. Für diese Brücke wurde von BOTHE [57] ein nichtlineares Stabmodell entwickelt. Mit diesem Stabmodell wurde basierend auf gemessenen und teilweise gewählten Eingangsparametern eine probabilistische Berechnung zur direkten Ermittlung eines Teilsicherheitsfaktors durchgeführt. Der dabei ermittelte Teilsicherheitsfaktor für die nichtlineare Berechnung der Betonbogenbrücke mit einem Stabmodell betrug zwischen 1,7 und ca. 1,8.

8.7 Steindecker Steindecker sind Steinbalken, die als kleine Brücken verwendet werden. Obwohl Steindecker keine Bogenbrücken sind und sich damit nicht direkt in die bisher verwendete Systematik einfügen, so bestand bei diesen historischen Bauwerken die gleiche Fragestellung wie bei den historischen Bogenbrücken, nämlich die Entwicklung von Sicherheitselementen gemäß der neuen Vorschriftengeneration im Bauwesen. CURBACH, GÜNTHER & PROSKE [114] haben unter Verwendung der in Abschnitt Teilsicher-heitsfaktoren genannten Verfahren Teilsicherheitsfaktoren für Granitsteindecker entwickelt. Bestandteil dieser rechnerischen Untersuchung war auch eine probabilistische Berechnung. Neben den theoretischen Untersuchungen wurden Biegeversuche durchgeführt. Dabei wurden 22 Granitsteindecker mit einer Spannweite von 1,5 m auf Biegung kraftgesteuert geprüft (Abb. 137). Unter Berücksichtigung des Maßstabseffektes ergab sich eine Streuung der Biegezugfestigkeiten gemäß Abb. 138. In dieser Abbildung tritt deutlich ein Ausreißer hervor. Nachdem dieser Ausreißer versuchstechnisch und statistisch identifiziert wurde, erfolgten zerstörende (Bohrungen und Festigkeitstests an Bohrkernen) und zerstörungsfreie Unter-suchungen mit dem Ziel, den Ausreißer auf anderem Wege zu erfassen. Dies war zum überwiegenden Teil erfolgreich. Basierend auf den Versuchen und der statistischen Aus-wertung wurden zwei Teilsicherheitsfaktoren festgelegt: Erfolgt keine Prüfung auf Ausreißer bzw. Störungen im Steinmaterial, so beträgt der Teil-sicherheitsfaktor 1,7. Verläuft hingegen eine Prüfung auf Homogenität des Steinmaterials erfolgreich, so darf der Teilsicherheitsfaktor auf 1,5 abgemindert werden. Parallel dazu werden die charakteristischen Biegezugfestigkeiten verändert. Details zur beschriebenen Untersuchung finden sich in CURBACH & PROSKE [119] und CURBACH, GÜNTHER & PROSKE [114].


276

Abb. 137: Versuchsstand Biegeversuch Granitsteindecker

0

2

4

6

8

10

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Abs

olut

e H

äufig

keit

Abb. 138: Streuung der Biegezugfestigkeit der Versuchskörper


277

9 Ergebnisse „... So eine Arbeit wird eigentlich nie fertig, man muss sie für fertig erklären, wenn man nach Zeit und Umständen das möglichste getan hat.“ J.W. VON GOETHE: Italienische Reise, 1829

9.1 Ermittelte operative Versagenswahrscheinlichkeiten

Bisher wurden die untersuchten Brückenbauwerke, aber auch die sonstigen Beispiele nur kurz erläutert. Ziel der durchgeführten Berechnungen war aber die Bereitstellung von operativen Versagenswahrscheinlichkeiten zur Prüfung der Sicherheit dieser Bauwerke und die Ermittlung von Wichtungsfaktoren für Widerstandsseite zur direkten Ermittlung der Teilsicherheitsfaktoren. In Tab. 109 sind deshalb die berechneten und die der Literatur entnommene operativen Versagenswahrscheinlichkeiten für Bogenbrücken zusammengefasst.

Tab. 109: Zusammenfassung der ermittelten Versagenswahrscheinlichkeiten für Bogenbrücken aus Natursteinmauerwerk und unbewehrtem Beton Brückenbauwerk Jahr Gewählter Wert Spannweite Bezug QuelleMuldenbrücke Podelwitz (LSSa) 1888 591,50·10-6 0,21·10-6 -1183,0·10-6 Jahr [369] Flöhabrücke Olbernhau 0,04·10-6 Jahr [370] Syraltalbrücke Plauen 1905 360,00·10-6 0,0018·10-6-730,90·10-6- Jahr [370] Bogenbrücke (BERNDT-Modell) 1875 4,10·10-6 Jahr Bogenbrücke 8,80·10-6 Jahr Künstliche Brücke 130,00·10-6 1,3·10-3 Jahr [491] Bogenbrücke 350,00·10-6 Jahr Stahlbetonbogenbrücke 4,41·10-6 7,93·10-5-1,17·10-11 Jahr [363] Magarola Brücke 5,48·10-2-10-12 Jahr [85] Jerte Brücke 2,33·10-4- 9,87·10-10 Jahr [85] San Rafael Brücke 1,90·10-8-10-12 Jahr [85] Duenas Brücke 4,05·10-1 -10-12 Jahr [85] Quintana Brücke 1,28·10-12 Jahr [85] Torquemada Brücke 3,40·10-6 Jahr [85] Marienbrücke Dresden 1846 1.279,00·10-6 2,11·10-6-2555,0·10-6 Belastung [79] Brücke (MANN-Modelle) 1875 33.430,00·10-6 48,12·10-6-66810,0·10-6 Belastung Brücke (BERNDT-Modell) 1875 248,00·10-6 159,20·10-6-337,0·10-6 Belastung Bogenbrücke 1913 343,00·10-6 Belastung Brücke Schwarzenberg 1928 159,00·10-6 Belastung a Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit Zunächst zeigt sich eine sehr hohe Varianz der berechneten Werte. Während einige Brücken in Abhängigkeit vom verwendeten Berechnungsverfahren eine so geringe Versagens-wahrscheinlichkeit besitzen, dass sie nicht mehr darstellbar ist (>10-12), zeigt sich bei anderen


278

Brücken oder der gleichen Brücke bei Wahl eines anderen Modells eine sehr hohe Versagens-wahrscheinlichkeit (10-1). Will man nun die Wichtungsfaktoren für die Widerstandseite dieser vorgestellten Berechnungen verwenden, so zeigt sich auch hier eine große Streuung. In anderen Worten, es lässt sich kein einheitlicher Wichtungsfaktor für die Bogenbrücken finden.

9.2 Beispiele für den Sicherheitsfaktor in der Literatur Zunächst kann man den Teilsicherheitsfaktor für das Mauerwerk basierend auf dem bisher üblichen globalen Sicherheitsfaktor herleiten. Dieser Weg wurde z.B. in der DS 805, Tabelle 1 und Abs. 146 beschritten:

1 (1,25 1,5 1,3) 1,3531,5

1,35 1,5 2,0

S

M

global

γ

γγ

= ⋅ + + =

== ⋅ ≈

Auch die alte DIN 1053 definierte einen globalen Sicherheitsfaktor für neues Mauerwerk: Wände und kurze Wände (Pfeiler Fläche kleiner 1.000 cm2): 2,0Sγ = und andere kurze Wände: 2,5Sγ = . Für historisches Natursteinmauerwerk werden in der Literatur Werte genannt, die um 3,0Sγ = (WENZEL [587], MANN [335], TONON & TONON [545]) bzw. 3,4 (HARVEY [240], [130]) liegen. Die neue DIN 1053-100 nennt einen Teilsicherheitsfaktor für Mauerwerk von 1,5-1,625 [140]. Der UIC-Kodex empfiehlt für historisches Mauerwerk einen Teilsicherheitsfaktor von 2,0 [553]. Für eine Lebensdauer 120 findet sich im englischen Raum eine Regelung folgender Art:

5,16,0 ,

,kmas

dmas

ff ⋅=

Das ergibt einen Sicherheitsfaktor von 2,5. Die Eigenlast besitzt einen Sicherheitsfaktor zwischen 0,95 und 1,2. Wählt man einen mittleren Sicherheitsfaktor von 1,4 als Sicherheits-faktor für Eigenlast und Verkehrslast, ergibt einen globaler Sicherheitsfaktor von 3,5. Dieser Ansatz wurde allerdings im aktuellen Regelwerk BD 21/01 wieder entfernt [129]. CURBACH & PROSKE [118] empfehlen für Sächsisches Natursteinmauerwerk basierend auf den Ver-suchen von BERNDT einen Teilsicherheitsfaktor von 1,8. Für die Bogenbrücke wurde ein Teilsicherheitsfaktor für die nichtlineare Berechnung von unbewehrten Betonbogenbrücken von ca. 1,8 ermittelt (BOTHE ET AL. [57]). Des Weiteren existieren generelle Vorschläge für den Teilsicherheitsfaktor von Bogen-brücken. HEYMAN definiert einen geometrischen Sicherheitsfaktor aus dem Verhältnis von vorhandener Bogendicke zu erforderlicher Bogendicke. Denn geometrischen Sicherheits-faktor erwähnt auch HUERTA [259]. Als Ziel für den geometrischen Teilsicherheitsfaktor nennen MARTINEZ, REVILLA & ARAGON TORRE [339] Werte von 3 bis 4. Tatsächliche aber fanden die Autoren geometrische Sicherheitsfaktoren an drei Brücken zwischen 1,7 und 3,60.


279

Aus dem geometrischen Sicherheitsfaktor entwickelt DE RUBEIS [127] einen mechanischen Sicherheitsfaktor:

geomin

ee

γ =

mech geo( )Fγ γ= Die Untersuchungen von DE RUBEIS [127] führen zu der Annahme, dass zwischen dem geometrischen und dem mechanischen Sicherheitsfaktor von schweren Steinbogenbrücken ein linearer Zusammenhang besteht.

WEBER [578] geht davon aus, dass jede einfeldrige Eisenbahngewölbebrücke, • deren Material im Gewölbe die erforderliche Festigkeitsanforderungen im Sinne des

Kantens beim Bruchvorgang erfüllt, • deren Stirnwände keine Verschiebungen oder Kippungen aufweisen und • deren Widerlager keine oder nur geringe Nachgiebigkeiten aufweisen ausreichend standsicher ist. Als ausreichend standsicher bezeichnet er einen Teilsicherheits-faktor von 1, 45γ ≥ . WEBER geht davon aus, dass Risse rechtwinklig zur Brückenachse im Gewölbe, die zur Ruhe gekommen sind, keine tragfähigkeitsverringernden Wirkungen aufweisen.

9.3 Eigene Berechnungen

Bisher wurde ein Teilsicherheitsfaktor für die Mauerwerksfestigkeit verwendet. Dieser Ansatz wird beibehalten: Keine einzelnen Teilsicherheitsfaktoren für die Steindruckfestigkeit, die Steinspaltzugfestigkeit und die Mörtelfestigkeit (Tab. 110). Teilsicherheitsfaktoren für Geometriewerte werden hier ebenfalls nicht berücksichtigt. Für die Geometrie wird deshalb hier, wie üblicherweise im Konstruktiven Betonbau, mit Mittelwerten gearbeitet. Während dort aber die Geometrie relativ genau erfassbar bzw. bekannt ist, ist dies bei historischen Bauwerken oft nicht der Fall. Hier sollte die Möglichkeit bestehen, entweder mit Teilsicher-heitsfaktoren ungleich 1 zu arbeiten oder einen erhöhten messtechnischen Aufwand zu betreiben. Beide Verfahren sollten gleichberechtigt sein, dass heißt, ein erhöhter mess-technischer Aufwand muss durch einen verringerten Teilsicherheitsbeiwert belohnt werden.

Tab. 110: Beispiele für Wichtungsfaktoren für die einzelnen Komponenten in den Mauerwerksfestigkeitsformeln Parameter Wichtungsfaktor Steindruckfestigkeit (Berndt) 0,00004-0,008 Steinspaltzugfestigkeit (Berndt) 0,9987 Steinhöhe (Berndt) 0,0188 Fugenhöhe (Berndt) 0,0468 Fugenbreite (Berndt) 0,0053 Mörtelfestigkeit (Mann) 0,9844 Für die Ermittlung des Teilsicherheitsfaktors für die Natursteinmauerwerksbogenbrücken sollen zunächst die Wichtungsfaktoren verglichen werden.


280

Im Modell von BERNDT dominiert die Steinspaltzugfestigkeit, im Modell von MANN dagegen die Mörtelfestigkeit. Die Dominanz der Steinspaltzugfestigkeit wurde auch von LIEBERWIRTH [313] bestätigt. Noch schwieriger gestaltet sich die Wahl von Teilsicherheitsfaktoren basierend auf Wichtungsfaktoren bei Schubnachweisen. Hier ändern sich die Mechanismen und damit die modell- und dateninhärenten Unsicherheiten. Auf dieses Problem wurde bereits in PROSKE [424] hingewiesen.

Auch die Streuung der Einwirkungen hat Auswirkungen auf den Wichtungsfaktor der Widerstandsseite. Abb. 139 zeigt die Verteilung der Quadrate der Wichtungsfaktoren für eine Straßennatursteinbogen- und eine Eisenbahnnatursteinbogenbrücke. Die Unterschiede der Wichtung der Verkehrslasten treten deutlich hervor.

Vereinfacht wird angenommen, dass diese Streuungen allein über die Verkehrslast-modellierung erfasst werden. Dass heißt, die Wichtungsfaktoren müssen korrigiert werden. Weiterhin müssen die verschiedenen Mauerwerksarten berücksichtigt werden. Dazu wird folgender Ansatz gewählt: Basierend auf den ermittelten Wichtungsfaktoren, die zwischen 0,5 und 0,99 lagen, werden in Anlehnung an bestehende Regeln Grenzen eingeführt: So soll der maximale Teilsicherheitsfaktor gemäß UIC Kodex 2,0 sein, der minimale Teilsicherheits-faktor gemäß der bisherigen Ergebnisse 1,7. Die Staffelung erfolgt über die Qualität des Mauerwerks. Die vorgeschlagene Staffelung findet sich in Tab. 111.

Mauerwerks-druckfestigkeit

Reibungsfaktoren

Spann-weite

Verkehrslast

StichReibungsfaktoren

Stich

Verkehrslast

Mauerwerks-druckfestigkeit

Spann-weite

Abb. 139: Beispiele für das Verhältnis der Quadrate der Wichtungsfaktoren für eine Eisenbahnmauerwerksbogenbrücke (links) und eine Straßenmauerwerksbogenbrücke (rechts)

Tab. 111: Klassifizierung der Teilsicherheitsfaktoren für Mauerwerk

γ =2,0 γ =1,9 γ =1,8 γ =1,7


281

Im Gegensatz dazu stehen die Arbeiten von HARVEY [240]. Er verweist auf die übliche Vor-gehensweise in Großbritannien, bei der der Teilsicherheitsfaktor für die Steinbogenbrücken überwiegend unabhängig von der Mauerwerksfestigkeit ist. Dafür wird der Teilsicherheits-faktor aber mit einer Modellierungskomponente versehen. Der Teilsicherheitsfaktor ergibt sich dann aus:

larche_modemasarche mas, γγγ ⋅= mit 5,1mas =γ und 1,1larche_mode =γ .

Das ergibt unabhängig vom Mauerwerkstyp einen Wert von ca. 1,65 (≈ 1,70). Allerdings sollte dieser Modellierungsfaktor abhängig von der Qualität des Modells sein. Nun ist es aber schwierig, die Qualität eines Modells normativ zu erfassen. Deshalb kann man anstelle der Qualität der Schwierigkeitsgrad bei der Erstellung eines Modells als Indikator verwenden. Dies könnte aussehen wie in Tab. 112:

Tab. 112: Vorschläge für Modellteilsicherheitsfaktoren

Statisches Modell γarche_model Eingespannter Stab, Zwei- und Dreigelenkbogen 1,0 Gelenk-Mechanismus-Modell 1,0-1,1 FE-Modell – wenige Eingangsparameter 1,1-1,2 FE-Modell – viele Eingangsparameter 1,2-1,5

9.4 Kritik am Sicherheitsfaktor Die Anwendung von Teilsicherheitsfaktoren bei Bogenbrücken zeigt einige Besonderheiten. Zunächst ist die Festlegung eines Teilsicherheitsfaktors für die Grundgesamtheit der Mauer-werksarten mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden. Daher rührt auch die Abhängigkeit des Teilsicherheitsfaktors von den Herstellungsklassen im Eurocode. Auf der anderen Seite genügt im Holzbau, wo ebenfalls eine hohe Individualität des Materials vorhanden ist, ein Teilsicherheitsfaktor. Hier passt man die charakteristischen Werte den individuellen Eigen-schaften an. Bei den Natursteinbrücken kommt zusätzlich zur schwierigen Erfassbarkeit der Unsicherheit des Materials auch noch die Schwierigkeit der numerischen Modellierung des Bauwerkes dazu. Ein Sicherheitsfaktor, der auf Grundlage linear-elastischer Analyse ermittelt wurde, kann sich erheblich von dem mittels nichtlinearer Analyse ermittelten Sicherheits-faktor unterscheiden. Die berechneten Sicherheitsfaktoren müssen dadurch mit großer Vorsicht interpretiert werden. Zu dieser Aussage kommt auch LOURENÇO [319]. LOURENÇO [319] weist auch darauf hin, dass die Unterschiede bei den ermittelten Sicherheitsfaktoren nicht als Grund für die Auswahl eines Berechnungsverfahrens verwendet werden sollen. Vielmehr müssen die Verfahren gewählt werden, die den jeweiligen Bedingungen angepasst sind. HARVEY [239] geht davon aus, dass eine normative Regelung der Auswahl von Berechnungsverfahren zur Beurteilung der Tragfähigkeit von Steinbogenbrücken nicht gelingen wird. Er plädiert für eine Stärkung des einzelnen Ingenieurs zur Beurteilung der Tragfähigkeit. Die Problematik der Anwendung des Teilsicherheitsfaktors ist im Wesentlichen in der langen Geschichte dieses Brückentyps begründet. Während bei anderen Materialien die Entwicklung


282

der Modelle und der Materialien parallel verlief, verhielt sich die Entwicklung der Natursteinbogenbrücken anders. Hier wurden probeweise reale Bauwerke ohne vorliegendes Sicherheitskonzept errichtet. Diese mangelnde Systematik führte zu einer außerordentlichen Vielfalt dieses Konstruktionstyps. Die Anwendung eines Teilsicherheitsfaktors für ein Material und einen Konstruktionstyp basiert aber gerade auf einer möglichen Abgrenzung. Verändern würde sich die Situation nur, wenn man massenhaft neue Bogenbrücken aus Mauerwerk errichten würde. In diesem Fall würden Standardbemessungsverfahren entstehen, wie sie z.B. auch PURTAK entwickelt. Eine Klassifizierung gemäß der verwendeten empirischen Formeln und der Belastungen könnte eine schnelle Kontrolle der Tragfähigkeit und die Wahl eines Sicherheitsfaktors erbringen. Dann müsste man einen Katalog von Sicherheitsfaktoren für Natursteinbogen-brücken entwickeln. Dieser Weg wurde in der vorliegenden Arbeit vermieden, da er den Umfang einer solchen Arbeit bei weitem sprengen würde. Die Grenzen des verwendeten Modells treten aber mit zunehmender Detailaufarbeitung zutrage.


283

10 Ausblick „Die Grundfunktion des menschlichen Gehirns ist die Reduktion von Komplexität“ ERNST PÖPPEL, 2006 [303] Der Mensch kann niemals die gesamte Realität in einem Gedankenmodell geschlossen abbilden. Alle Modelle abstrahieren und vereinfachen. Dies gilt z.B. für soziologische, chemische oder mathematische Modelle. Die Modelle folgen dann den Gesetzmäßigkeiten und Grenzen des jeweiligen Fachgebietes. Tatsächlich aber versucht der Mensch, Modelle mit dynamischen Grenzen zu entwickeln. Fachgebiete sind allein administrative und pädagogische Vereinfachungen. Das heißt, wenn die innerhalb der Grenzen entwickelten Verfahren der Realität nicht mehr in einem ausreichenden Maße genügen, so erweitert der Mensch die Abstraktionsgrenzen. Diese Entwicklungstendenz findet jedoch ihren Widerpart in den Effektivitätsanforderungen von Modellen. Modelle müssen anwendbar sein, die Kapazitäten müssen vorhanden sein, um Modelle zu nutzen. Ein Modell, welches z.B. die gesamte menschliche Entwicklung beschreibt, auf der anderen Seite aber einen langen Zeitraum zur Lösung benötigt, ist nicht anwendbar. Die Umsetzung dieser Forderungen wird sehr schön in der Entwicklung von hoch spezialisierten Forschungsmodellen und einfachen Ingenieurmodellen im Bauwesen deutlich (UNTERWEGER [556]). Der Mensch verwendet für die Entwicklung von Modellen seine ihm bisher zugegangenen Informationen und das daraus erworbene Wissen. Die Bewahrung der Vergangenheit in Form von Materie und Information ist damit unabdingbar, denn sie macht unseren heutigen Zugang zur Welt aus. Jeder Mensch besitzt jedoch, geprägt durch die genetisch festgelegten Start-werte und durch seinen eigenen Lebenslauf, eine individuelle Vergangenheit, Geschichte und damit Erfahrung. Damit unterscheiden sich auch die Informationsmenge und die Informationsverarbeitung von Mensch zu Mensch. Wenn Menschen trotzdem zu einem vergleichbaren Ergebnis kommen, so scheint das für die Unabhängigkeit vom Zugang der Welt zu sprechen. Wir nennen dies Objektivität. Die innerhalb der Natur geltenden Gesetze komplizierter Systeme besitzen diese Eigenschaft der Objektivität. Auch das Modell für die Tragfähigkeit einer Bogenbrücke sollte diese Objektivität besitzen. Tatsächlich aber zeigt die Erfahrung, dass an diesem Punkt unterschiedliche Meinungen auftreten. Ingenieure werden unterschiedliche Modelle entwickeln. Manche werden den hier vorgestellten Modellen und der beschriebenen Vorgehensweise zustimmen, andere nicht. Kann damit die Tragfähigkeit nur subjektiv beurteilt werden? Besitzt Sicherheit erhebliche subjektive Komponenten (siehe Definition Sicherheit)? Und wenn ja, wie sind diese normativ zu erfassen? Die Forschung wird sich sicherlich weiter mit Bogenbrücken befassen (SCHUBERT [489], PURTAK, GEIßLER & LIEBERWIRTH [432], ICOMOS [266], CIRIA [100], SCHIEMANN [474]) und dem Pfad der Objektivierung folgen. Es wird sich aber zeigen, dass die Abbildung von Bogenbrücken weit über die Grenzen der Objektivität hinausgeht. Nicht


284

umsonst werden Steinbogenbrücken in vielen Büchern rein subjektiv behandelt (WIDMER [589], STIGLAT [526], SPROTTE [517], PEARCE & JOBSON [411], MÜHLEN [376], DIETRICH [137], CRUPPERS [113], BONATZ & LEONHARDT [52]). Die Grenzen einer objektiven Beschreibung komplizierter Systeme (Brücken) durch komplexe Systeme (Menschen) werden deshalb auch Inhalt einer weiteren Arbeit sein (PROSKE [426]). Indem der Mensch der Brücke als Schöpfer entgegen tritt, wird aus dem realisierten Brücken-bauwerk mehr als nur die Querung eines Hindernisses. Deshalb sollen Brücken auch ästhetisch und effektiv sein, sie sollen Stolz machen und die Baumeister überdauern. Aber wird es uns gelingen, Brücken zu erschaffen, die noch im Jahre 4.000 n. Christus von Menschen überschritten werden, so, wie wir heute Brücken überschreiten, die vor 2.000 Jahren errichtet worden? “In everything that man pushed by his vital instinct, builds and raises, for me, nothing is more beautiful or more precious than bridges. Bridges are more important than houses, more sacred because they are more useful than temples. They belong to everybody and they are the same for everybody, always built in the right place in which the major part of human necessity crosses, more durable than all other constructions.” IVO ANDRIC (Nobelpreisträger für Literatur 1961), 1892-1975, entnommen ARMALY, BLASI & HANNAH [14]


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Download - Sicherheitsbeurteilung historischer Steinbogenbrücken

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