UNIDAD I SISTEMAS NUMERICOS

OBJETIVO

Comprender la representación numérica de los sistemas: decimal, binario y

sexagesimal y discutir los métodos de conversión entre los sistemas de nuestro

interés.

MAPA CONCEPTUAL

TEMARIO

UNIDAD 1. SISTEMA NUMERICO

1.1 Sistema binario

1.2 Sistema sexagesimal

1.3 Aplicaciones prácticas

INTRODUCCION

A lo largo de la evolución del hombre, la necesidad de contar ha sido

indispensable. Muchos utilizaron sus dedos de las manos y de los pies como

instrumento de cálculo, contando así hasta veinte. Con los sistemas de

numeración tenemos una manera simbólica, distinta de la escritura ordinaria,

para representar a los números.

Un sistema de numeración no es más que un conjunto de símbolos y reglas de

generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema y

aunque distintas culturas adoptaron sistemas de numeración propios, el sistema

decimal indoarábigo que, como su nombre lo indica, tiene por base al diez es

usado en la mayor parte de los países. En todos ellos se observa un método

común. Básicamente, éste consiste en cambiar el símbolo o su posición al

alcanzar un valor determinado, añadir nuevas unidades hasta volver a alcanzar

ese valor, agregar entonces un símbolo de segundo orden y así sucesivamente.

El valor que se toma como referencia recibe el nombre de base del sistema de

numeración, que en caso de los sistemas decimales es el 10.

Según las reglas que se sigan para representar los números, los sistemas de

numeración se dividen en posicionales y no posicionales.

En los sistemas posicionales, el valor de los símbolos que componen el sistema

depende del valor que se les ha asignado, y de la posición que ocupan en el

número (Ejemplo; Números decimales, sistema babilonio, sistema binario,

sistema maya).

En los sistemas no posicionales: El valor de los símbolos que componen el

sistema es fijo, y no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del

número (Ejemplo; Números romanos, número egipcios, número chinos)

El sistema de numeración que empleamos es el DECIMAL, pues está formado

por 10 símbolos. (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y las reglas que los vinculan: cada

unidad está formada por diez unidades del orden inferior, es decir 1 decena

está formada por 10 unidades simples; 1 centena por 10 decenas; 1 unidad de

mil por 10 centenas; etc.

Ejemplo: en el número 4.876, el 6 ocupa el lugar de las unidades simples, el 7

el de las decenas, el 8 el de las centenas y el 4 el de las unidades de mil. Si

cambiamos el orden de las cifras cambia el valor del número. Así 6.487 será

distinto que 4.876.

Esto no sucede de la misma forma en un sistema no posicional, por ejemplo el

romano, el número XV representa al 15 y si permutamos los símbolos VX, no

obtenemos ningún nuevo número. Estos sistemas son denominados ADITIVOS.

El romano, CCCXXIV y el decimal, 324.

Podemos observar que, un sistema del tipo aditivo es sencillo de interpretar,

sólo se necesitan sumar los valores de los símbolos utilizados. Pero requieren

de gran cantidad de símbolos para representar números mayores.

El posicional, es más económico, con sólo diez símbolos podemos continuar la

serie numérica indefinidamente. El número 324 , está formado por 300+ 20+ 4.

Esta unidad tiene como fin presentar otros sistemas posicionales con

bases distintas al diez. El sistema binario, es uno de ellos, el cual tiene gran

importancia en el lenguaje de las computadoras y el sistema sexagesimal,

utilizado en el cálculo de ángulos y el tiempo.

1.1 SISTEMA BINARIO

OBJETIVO:

Conocer el sistema numérico binario y comprender la necesidad de su

nacimiento.

El sistema binario, es un sistema de numeración posicional en el que los

números se representan utilizando solamente dos cifras cero y uno (0 y 1).

Este sistema es muy práctico para los cálculos automatizados con sistemas

electrónicos digitales, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje,

estos dos estados son indispensables para enviar y recibir información.

Notación: Se acostumbra representar los dígitos binarios (bits) de diversas

maneras, dependiendo del

contexto, por ejemplo:

1= encendido = ON = alto = H

0= apagado = OFF = bajo = L

Para comprender el funcionamiento del sistema binario, pondremos un ejemplo

de la vida real:

Actualmente es muy común ver sistemas automatizados, tales como: las

puertas de los supermercados, la iluminación de nuestro hogar, los climas que

se autoregulan, los tinacos que se llenan solos, los semáforos, etc. Todos

éstos avances tecnológicos son gracias a los sistemas digitales que requieren

de únicamente dos valores, el 0 y el 1. Es decir, activado o desactivado.

Para automatizar un sistema, es necesario de tres cosas:

1. Entrada: Se utilizan sensores para indicar la necesidad requerida,

ejemplo, si está oscuro habrá una fotoresistencia quien indicará el nivel

de iluminación ( el 1 indicará la noche y el 0 el día).

2. Una unidad de control: Ahí se procesa la información de entrada, si es de

noche, entonces se activará una lámpara, se envía la información de 1,

caso contrario se apagará, se envía 0.

3. Salida: Se le llama así al actuador, es decir, al dispositivo que deberá

encenderse o apagarse, de acuerdo a la información enviada por el

controlador. Ver Fig. 1.1

Fig. 1.1

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

MODALIDAD ESCOLARIZADO

No aplica

MODALIDAD CUATRIMESTRAL

No aplica

MODALIDAD MIXTO

INVESTIGACION DOCUMENTAL

Investigar las reglas de conversión de un sistema binario a decimal y viceversa

y de un sistema sexagesimal a decimal y viceversa.

1.2 SISTEMA SEXAGESIMAL

OBJETIVO

Comprender el sistema numérico posicional sexagesimal.

El sistema sexagesimal es un sistema posicional que emplea la base 60, los

símbolos permitidos para este sistema son 1,2,3,…,59. Se le denomina

sexagesimal porque 60 unidades de un orden forman 1 unidad del orden

superior.

El sistema sexagesimal también es llamado sistema babilónico, debido a que

tuvo su origen en la antigua Mesopotamia entre los años 2.000 y 3.000 a.C.,

primera civilización con un alto nivel de Matemáticas. Este sistema utilizaba la

cuña para representar unidades del 1 al 10 y la cuña horizontal para

representar las decenas. A partir del número 50, usaba un criterio posicional, es

decir:

En el mundo cotidiano persisten dos aplicaciones muy comunes del sistema

sexagesimal: la medición del tiempo y la medición de ángulos.

Medición del tiempo:

La subdivisión del tiempo: una hora se divide en 60 minutos y un minuto, en 60

segundos. Este sistema horario se combina con el sistema duodecimal, de

base 12, que se emplea para medir el número de horas del día (en dos bloques

de doce horas). Nuevamente, estas subdivisiones tienen valor sólo en el mundo

cotidiano; en el ámbito científico, se trabaja con el segundo como unidad base

de tiempo y con un sistema de numeración decimal, (décimas de segundo,

centésimas,...). Así tenemos que:

Medición del tiempo

1 día = 24 Hras

1 hora = 60 min

1

minuto

= 60 seg

Medición del ángulo:

Se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales. Cada grado (°),

se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos (‘) y cada minuto

en 60 partes iguales llamadas segundos (“). Esto es:

Medición de ángulos

1 grado = 60 min

1 minuto = 60 seg

En el Sistema Internacional de unidades, se ha suprimido el grado sexagesimal

como medida estándar para reemplazarlo por el radián.

Para expresar los números en el sistema sexagesimal, se sigue un convenio

que consiste en emplear los números del sistema decimal (de 0 a 59),

separados de dos en dos por comas. Para indicar la coma decimal, se

emplearía un punto y coma sexagesimal. Por ejemplo, el número 45;53;36

corresponde a 45 +53/60 + 30/60² = 45,89 en grados decimal.

Un radián (símbolo rad) se define como un ángulo central cuyo arco mide un

radio de circunferencia. De esta forma, para barrer toda una circunferencia

se necesitan 2π radianes.

Un grado sexagesimal (símbolo º) es la 90ª parte de un ángulo recto,

entendido éste como el que forman dos rectas perpendiculares entre sí. Por

tanto, una circunferencia completa describe un ángulo de 360º.

La equivalencia entre radianes y grados sexagesimales es la siguiente:

2 π rad = 360º

1.3 APLICACIONES PRACTICAS

OBJETIVO

Visualizar las diferentes utilidades que tienen los sistemas numéricos en

nuestra vida cotidiana.

En este capítulo, veremos en dónde se utilizan los sistemas binarios y los

sistemas sexagesimales y las reglas de conversión entre los sistemas binarios-

sistemas decimales y sistemas sexagesimales-sistemas decimales.

Como se vió anteriormente, el sistema binario requiere únicamente de dos

dígitos, 0 y 1. Este sistema es ideal para el uso en sistemas digitales, ya que

éstos están construidos de dispositivos de dos estados (Apagado o Encendido);

por ejemplo, los relevadores, los transistores, interruptores, etc.

Uno de los sistemas digitales más conocidos por nosotros, es la computadora;

éste dispositivo se comunica a través de un lenguaje binario, es decir que para

que trabajen los circuitos que se encuentran dentro de la computadora

requieren de una combinación de 0s y 1s. Por ejemplo: cada vez que pulsamos

una tecla en el teclado de un computador, una combinación de 7 bits únicos son

generados. Esta combinación se guarda en un registro que se puede interpretar

como un número binario. Así, un registro de 7 bits se representará como sigue:

1 0 1 1 0 1 0

Aunque esta representación es indispensable en la computadora para

funcionar, resulta incomprensibles para los seres humanos; razón por la que por

lo general para que un número binario tenga sentido para nosotros, debemos

convertirlo a nuestro sistema numérico, el decimal.

Conversión del sistema binario a decimal:

Como el sistema binario es un sistema posicional; es decir, cada dígito tiene un

valor único, dependiendo del valor que ocupa; para pasar un número de base 2

a base 10 se sigue el mismo procedimiento utilizado en el sistema decimal. A

continuación se mostrarán los pasos necesarios para transformar un número

binario a un número decimal.

Procedimiento:

1. Indicar la posición que ocupan los dígitos binarios, comenzando por la

posición cero en el extremo derecho. Ver tabla 1.1.

2. Anote los pesos o potencias de base 2 correspondientes a las posiciones

de los bits del número a convertir. Ver tabla 1.1.

3. Sumar el valor decimal correspondiente de los valores posicionales de los

binarios 1. Esto, debido a que, el dígito binario 0 genera un valor decimal

igual a cero.

Posición … 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Peso … 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

Valor decimal…

1024 51225

6128 64

3

216 8 4 2 1

Tabla 1.1.

Ejemplo: Convertir el siguiente número binario 1100112 al decimal.

Siguiendo los pasos, anotamos en primer lugar las posiciones que ocupan los

dígitos del número binario, luego anotamos los pesos únicamente de los dígitos

que son 1 y en donde el dígito sea 0, se escriben ceros. Enseguida se calculan

las potencias de base 2 elevado al exponente indicado. Puede guiarse de la

Tabla 1.1. Esto es:

Posición 5 4 3 2 1 0

Número binario 1 1 0 0 1 1

Peso 25 24 0 0 21 20

Valor decimal3

216 0 0 2 1

Por último se suman los valores decimales resultantes, es decir:

32+16+0+0+2+1=51d

Así,

110011=51d

Otra forma de visualizar la conversión del número binario a decimal es

multiplicando cada dígito del número binario por el número 2 elevado a la

posición que ocupa (comenzando de derecha a izquierda).

Ejemplo : Retomando el mismo número binario del ejemplo 1, tenemos:

110011d=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20

¿1×36+1×16+0×8+0×4+1×2+1×1

¿32+16+2+1

¿51d

Conversión del sistema decimal a binario:

La conversión del sistema decimal a binario, es una operación inversa a la

transformación del sistema binario a decimal; es decir, que se hará una división

en lugar de una multiplicación. Este método se le conoce como “División

Repetida” y se presenta a continuación:

Procedimiento:

1. Dividir el número inicial en base 10 sucesivamente por 2, hasta obtener un

cociente menor que 2.

Si el residuo de la división no es un número entero, se marca un 1 y

se toma el número entero para volver a dividir entre dos.

Si el residuo es un número entero, se marca un cero y se toma el

número para volver a dividir entre dos.

2. Una vez terminadas las divisiones, el resultado se obtiene escribiendo los

residuos de izquierda a derecha en orden decreciente respecto a su

significancia, es decir, primero el más significativo (MSB), hasta el bit

menos significativo (LSB) que se escribe en el extremo derecho.

Ejemplo: Calcular la expresión numérica en binario del número 321d

Solución:

321 ÷ 2 = 160 y sobra 1 - significativo

160 ÷ 2 = 80 y sobra 0

80 ÷ 2 = 40 y sobra 0

40 ÷ 2 = 20 y sobra 0

20 ÷ 2 = 10 y sobra 0

10 ÷ 2 = 5 y sobra 0

5 ÷ 2 = 2 y sobra 1

2 ÷ 2 = 1 y sobra 0

1 ÷ 2 = 0 y sobra 1 + significativo

El número buscado, se lee de abajo hacia arriba, es decir del bit más

significativo al bit menos significativo. Así, tenemos:

321d = 1010000012

Hasta aquí, se ha visto la utilización del sistema binario y las reglas de

conversión para el mejor entendimiento del lenguaje humano y el lenguaje de

las computadoras. A continuación se presenta la importancia que tiene el

aprender el sistema sexagesimal.

Aunque progresivamente ha sido abandonado con el paso del tiempo, el

sistema sexagesimal se utilizó con profusión en el pasado para medir ángulos y

resolver triángulos y funciones trigonométricas. En la actualidad, se sigue

empleando en este contexto, aunque en menor medida. También quedan

vestigios del mismo en el sistema horario de división del tiempo.

En el mundo cotidiano persisten dos aplicaciones muy comunes del sistema

sexagesimal:

La medida de ángulos: en grados, minutos y segundos (por ejemplo

23º15’47’’). En el Sistema Internacional de unidades, se ha suprimido el

grado sexagesimal como medida estándar para reemplazarlo por el

radián.

La subdivisión del tiempo: una hora se divide en 60 minutos y un minuto,

en 60 segundos. Este sistema horario se combina con el sistema

duodecimal, de base 12, que se emplea para medir el número de horas

del día (en dos bloques de doce horas). Nuevamente, estas

subdivisiones tienen valor sólo en el mundo cotidiano; en el ámbito

científico, se trabaja con el segundo como unidad base de tiempo y con

un sistema de numeración decimal, (décimas de segundo, centésimas,...)

Como en la práctica no se usan cantidades sexagesimales «puras», sino

expresadas en unidades y sus fracciones (grados, minutos y segundos para los

ángulos; horas, minutos y segundos para el tiempo), las conversiones

presentan ciertas peculiaridades.

Conversión del sistema sexagesimal a decimal:

Medida del tiempo:

Para pasar de una cantidad de tiempo medido en formato sexagesimal a la

unidad decimal (el segundo), se procede según la siguiente fórmula de

conversión:

h (horas) m (‘) s (‘’) = h × 602 + m × 60 + s (segundos).

Ejemplo: Convertir 2 h 50’ 34’’ a segundos.

Solución:

2 h 50’ 34’’ = 2 × 602 + 50 × 60 + 34 = 10,234 s

Medida de ángulos

En el sistema decimal habitual, los ángulos planos se miden en términos de una

unidad denominada radián. No obstante, es muy frecuente efectuar esta medida

según el sistema de numeración sexagesimal, en grados, minutos y segundos.

Para convertir los grados sexagesimales a grados decimales, se sigue la

siguiente regla:

Grados sexagesimal = grados + (minutos/60) + (segundos/3600)

Ejemplo : Sea una latitud de 74º 21’ 42’’ convertir a grados decimales.

Solución:

74º 21’ 42’’ =74+21/60+42/3600 = 74.3616º decimales.

Conversión de grados decimales a grados sexagesimales   :

Medida del tiempo:

El paso inverso, de decimal a sexagesimal, se efectúa del modo siguiente:

1. Dividiendo la cantidad decimal por 602 (3600); el cociente obtenido son las

horas.

2. Dividiendo el resto de la operación anterior por 60; el cociente son los

minutos.

3. El resto de esta segunda operación son los segundos.

Ejemplo: Pasar los 34530 segundos al sistema sexagesimal

1. 2. 3.

30

El resultado es: 34530 = 9h35’30’’

Medida del ángulo:

1. El número que se encuentre antes de la coma indica los grados.

2. Multiplicar el número que esta después de la coma por 60, el número antes

de la coma se convierte en los minutos.

3. Multiplicar el número que está después de la coma por 60, el resultado

corresponde a los segundos.

Ejemplo : Sea una latitud de 345,873º convertirla a grados sexagesimales.

Solución :

1. Los grados corresponde a la parte entera = 345º

2. 0.873x60= 52.38 , la parte entera corresponde a los minutos = 52’

3. 0.38x60=22.8, la parte entera corresponde a los segundos = 22’’

El resultado es:

345,873º = 345º52’22’’

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

MODALIDAD ESCOLARIZADO

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Expresa los siguientes números binarios en notación decimal.

1. 11010

2. 011

3. 11100011

4. 111011

5. 1001

6. 101

7. 1000110

8. 1111

9. 11001101

10.101010

2. Expresa en números binario los siguientes números.

1. 34

2. 57

3. 100

4. 67

5. 2346

6. 2006

7. 66

8. 987

9. 678

10.3245

3. Pasa a segundos las siguientes medidas de ángulos

1. 5°35’17’’

2. 17°46’82’’

3. 30’

4. 76°21’5’’

5. 15°

6. 28’60’’

7. 14°56’’

8. 47°90’20’’

4. Expresa en grados, minutos y segundos

1. 24,980’’

2. 3,456’’

3. 2,376’’

4. 65,986’’

5. 123,890’’

6. 4,561’’

7. 566’’

8. 20’’

MODALIDAD CUATRIMESTRAL

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Expresa los siguientes números binarios en notación decimal.

1. 11010

2. 011

3. 11100011

4. 1000110

5. 1111

6. 11001101

7. 101010

2. Expresa en números binario los siguientes números.

1. 57

2. 100

3. 67

4. 2006

5. 66

6. 987

7. 3245

3. Pasa a segundos las siguientes medidas de ángulos

1. 5°35’17’’

2. 17°46’82’’

3. 30’

4. 76°21’5’’

5. 28’60’’

6. 14°56’’

7. 47°90’20’’

4. Expresa en grados, minutos y segundos

1. 3,456’’

2. 2,376’’

3. 65,986’’

4. 123,890’’

5. 4,561’’

6. 566’’

7. 20’’

MODALIDAD MIXTO

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Expresa los siguientes números binarios en notación decimal.

1. 11010

2. 111011

3. 1001

4. 101

5. 1111

2. Expresa en números binario los siguientes números.

1. 57

2. 100

3. 67

4. 987

5. 678

3. Pasa a segundos las siguientes medidas de ángulos

1. 5°35’17’’

2. 30’

3. 15°

4. 28’60’’

5. 14°56’’

4. Expresa en grados, minutos y segundos

1. 24,980’’

2. 3,456’’

3. 123,890’’

4. 566’’

5. 20’’

AUTOEVALUACION

1. La base del sistema de numeración decimal es:

A. 2

B. 10

C. 20

D. 60

2. El número 14 expresado en el sistema de numeración binario es:

A. 1001

B. 1010

C. 1100

D. 1110

3. El número 10101001 expresado en el sistema decimal es:

A. 69

B. 96

C. 169

D. 196

4. Si un sistema de numeración es posicional significa que:

A. los símbolos utilizados tienen valor por sí mismos.

B. cada dígito tiene un valor dependiendo de su posición dentro del número.

C. existen varias maneras de expresar un mismo número.

D. posee un conjunto de símbolos que le permiten expresar cantidades

II. Verdadero o falso.

5) _____ 5 centenas equivalen a 500 unidades.

6) _____ El sistema romano es posicional.

7) _____ El sistema de numeración maya está escrito en base 60

Respuesta: 1.B, 2.D, 3.C , 4.B, 5. V, 6.F, 7.F

GLOSARIO

Dígito: Un dígito en un sistema numérico es un símbolo que no es combinación

de otros y que representa un entero positivo.

Bit: Es un dígito binario (Abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 o un

1.

Sensor: Parte de un lazo o un instrumento que primero detecta el valor de una

variable de proceso y que asume una correspondencia, predeterminación, y

estado inteligible o salida. El sensor puede ser integrado o separado de un

elemento funcional o de un lazo. Al sensor también se le conoce como detector

o elemento primario

Posicionales: El valor de los símbolos que componen el sistema depende del

valor que se les ha asignado, y de la posición que ocupan en el número

(Números decimales).

No Posicionales: El valor de los símbolos que componen el sistema es fijo, y

no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del número (Números

romanos)

Fotoresistencia: Es un componente electrónico cuya resistencia disminuye con

el aumento de intensidad de luz incidente. Puede también ser llamado

fotorresistor, fotoconductor, célula fotoeléctrica o resistor dependiente de la luz,

cuya siglas, LDR, se originan de su nombre en inglés light-dependent resistor.

Su cuerpo está formado por una célula o celda y dos patillas