Download - Site de Daniel Huilier - 1 Introduction · 2010. 8. 17. · Les écoulements à surface libre 1 Introduction Les écoulements à surface libre sont des écoulements qui s’écoulent

Chapitre 4

Les écoulements à surface libre

1 Introduction Les écoulements à surface libre sont des écoulements qui s’écoulent sous l’effet de la gravité en

étant en contact partiellement avec un contenant (canal, rivière, conduite) et avec l’air dont la

pression est généralement à surface libre. Contrairement aux écoulements en charge, la section

d’écoulement devient une caractéristique de l’écoulement et non plus seulement de la géométrie du

contenant.

1.1 Classification des écoulements

Un écoulement qui ne varie pas dans le temps est un écoulement permanent autrement, il est non

permanent. À l’échelle de quelques heures, un écoulement en rivière peut être considéré comme

permanent, par contre l’écoulement dans un estuaire est continuellement en changement sous l’effet

des marées.

On dit qu’un écoulement est uniforme si l’aire de sa section d’écoulement est constante tout le long

de son parcours, autrement il est non uniforme. Si la non-uniformité est faible, on qualifiera

l’écoulement de graduellement varié. Si le changement de section s’effectue sur une courte

distance, alors l’écoulement sera brusquement varié. Un écoulement permanent, le long d’une

rivière, est une succession d’écoulements uniformes, graduellement et brusquement variés.

GCI 21429 - Systèmes hydrauliques Écoulements à surface libre

2

De plus, en fonction du rapport de la vitesse du fluide sur la célérité d’une onde de surface (nombre

de Froude1, Fr), l’écoulement peut avoir un comportement torrentiel (Fr>1), critique (Fr=1), ou

fluvial (Fr<1).

2 L’écoulement permanent uniforme Cet écoulement, le plus simple mais pas nécessairement le plus fréquent, apparaît dans un canal,

lorsque la profondeur d’écoulement est constante sur la longueur du canal et que la pente de la

surface libre est égale à la pente du fond.

2.1 Considérations théoriques

Considérons un volume d’eau dans un canal incliné tel que montré à la figure 1 :

Fig. 1 – Équilibre des forces sur une portion d’écoulement permanent uniforme.

L’équation de conservation de quantité de mouvement peut s’écrire :

F1 − F2 − τ wPL +W sinθ = ρQ V2 −V1( ) 1

1 William Froude (1810 – 1879) : Ingénieur anglais qui a contribué à l’avancement de l’hydraulique et de la mécanique des fluides. Ses travaux ont surtout porté sur les vagues et les écoulements à surface libre. Le nombre de Froude a été nommé ainsi, en 1919, par le professeur allemand Moritz Weber (1871 – 1951) en l’honneur de Froude qui, en réalité, ne l’a jamais utilisé.


3

Où, F1 et F2 sont les forces de pression hydrostatique, τw est la contrainte de frottement entre l’eau et

le périmètre mouillé P le long de la distance L, W est le poids du volume d’eau considéré et θ est

l’angle du canal par rapport à l’horizontale.

Si l’écoulement est uniforme y1 et y2 sont égaux, par conséquent F1 et F2 et Q1 et Q2 sont aussi

égaux. L’équation 1 se simplifie alors en :

τ w =

WPL

sinθ =γALPL

sinθ =γAP

sinθ = γRsinθ

où A est la section d’écoulement et R est le rayon hydraulique ( R = A P ). Lorsque l’angle θ est

petit, sin θ = tg θ est égal à la pente du canal S.

La relation précédente s’écrit finalement :

τ w = γRS 2

La contrainte de frottement est estimée pour un écoulement turbulent par :

τ w = fρ V 2

8 3

f est un coefficient de frottement qui dépend de la rugosité du canal et du nombre de Reynolds de

l’écoulement (d’une façon similaire au diagramme de Moody).

2.2 L’équation de Chézy

En portant l’équation. 3 dans l’équation, 2, on obtient :

V = C RS 4

Ce qui est l’équation de Chézy2 où C est le coefficient de Chézy égal à 8g f [L-1/2/T].

À partir de données expérimentales, Manning3 a développé une expression pour le coefficient de

Chézy où le coefficient de frottement intervient sans dimension :

2 Antoine de Chézy : Mathématicien et ingénieur français (Châlons-sur-Marne, 1718 — Paris, 1798).Il est l'auteur d'une formule, qui porte son nom, utilisée pour calculer la vitesse d'écoulement des fluides. Il fut collaborateur de l'ingénieur Perronet et dirigea la construction de nombreux ouvrages d'art, dont les ponts de Neuilly et du Tréport.


4

C =

αR1 6

n 5

où n est le coefficient de frottement de Manning et α est un coefficient d’unité qui vaut 1 en système

international et 1,486 en système anglo-saxon.

2.3 L’équation de Manning

En remplaçant C dans la formule de Chézy, on obtient la formule de Manning :

V =

αn

R2 3S1 2 6

En introduisant le débit Q = AV , on a :

Q =

αn

AR2 3S1 2 7

On trouvera des valeurs typiques du coefficient de Manning au tableau 1.

2.4 Autres formules d’écoulements

2.4.1 Formule de Manning-Strickler

V = KsR2 3 S

Q = Ks AR2 3 S

Ks = 26 1d65

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1 6

où d65 est le diamètre en mètre correspondant à 65 % passant en poids.

2.4.2 Formule de Darcy-Weisbach

Parfois, pour les conduites d’égout, on utilise cette forme de l’équation de Darcy-Weisbach :

V =

8gf

RS

3 Robert Manning : Ingénieur irlandais (1816 – 1897), a passé la majeure partie de sa carrière à développer une formule simple, homogène sur le plan des unités, pour évaluer les écoulements à surface libre.


5

Tableau 1 – Quelques valeurs du coefficient de Manning4

Description n

Parois très lisses : Mortier de ciment et sable très lisse, planches rabotées, tôles métalliques sans soudures saillantes. Mortier lissé

0,010 à 0,0111 0,0119

Parois lisses : Planches avec des joints mal soignés, enduits ordinaires, grès Béton lisse, canaux en béton avec des joints nombreux Maçonnerie ordinaire, terre exceptionnellement régulière

0,0125

0,0134

0,0142

Parois rugueuses : Terre irrégulière, béton rugueux ou vieux, maçonnerie vieille ou mal soignée

0,0167

Parois très rugueuses : Terre très irrégulière avec des herbes, rivières régulières en lit rocheux Terre en mauvais état, rivière en lit de cailloux Terre complètement à l’abandon, torrents transportant de gros blocs

0,020

0,025

0,05 à 0,0667

2.5 Section d’écoulement et périmètre mouillé

L’équation de Manning (ou de Chézy) sert à calculer le débit ou la vitesse moyenne dans des canaux

de sections variées qui sont entièrement définies par l’aire de la section d’écoulement A et le

périmètre mouillé P. Ces deux variables sont fonction de la hauteur normale d’écoulement yn. Si

cette dernière est connue, l’évaluation du débit (où de la vitesse) est directe. Cependant, ce qui

intéresse plus le concepteur est de prédire la hauteur d’écoulement pour un débit donné dans une

section de géométrie connue. Cet aspect sera discuté dans la section suivante.

2.5.1 Périmètre mouillé

Le périmètre mouillé P est défini comme la partie du contour de la section d’écoulement qui est en

contact avec l’eau. C’est fondamentalement l’endroit où s’exerce l’effet de la rugosité de paroi sur

4 A. Lencastre, Hydrauliquegénérale, Erolles – Safege, Paris, 1996


6

l’écoulement. La partie du contour de la section d’écoulement qui est en contact avec l’air est la

largeur au miroir T.

2.5.2 Section d’écoulement

L’aire de la section d’écoulement A se calcule comme l’aire de la surface comprise à l’intérieur du

contour total de la section d’écoulement (périmètre mouillé et largeur au miroir). Cela se calcule

facilement pour les sections de forme simple. Pour les sections plus compliquées, comme pour les

rivières, on procèdera à une intégration numérique.

Tableau 2 – Quelques sections simples

Géométrie Périmètre mouillé Aire de la section

yn

b

P = 2yn + b A = byn

yn

b m

1

P = 2yn 1+ m2 + b A = byn + myn2

D

θ yn

P = D θ

2

A =D2

8θ + sinθ( ),

θ = 2arccos 1−

2yn

D⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

yn 1

m

P = yn 1+ 1+ m2( )

A =

m2

yn2


7

Pour les sections plus complexes, on les découpe en sections plus simples puis, pour chaque sous-

sections Ai, on calcule, pour l’équation de Manning, un coefficient de débit ki :

ki =

αni

AiRi2 3 8

Ceci permet d’attribuer à chaque section un coefficient de frottement différent. Le débit total

s’écrit :

Q = S1 2 ki∑ 9

2.6 L’écoulement critique

L’écoulement critique apparaît lorsque l’énergie spécifique de l’écoulement est minimale. L’énergie

spécifique E est définie comme la somme de la hauteur d’écoulement et de la hauteur de l’énergie

cinétique, soit :

E = y +

V 2

2g= y +

Q2

2gA2 10

En observant la figure 2, on constate que l’énergie spécifique est minimale lorsque la hauteur

d’écoulement est égale à yc la hauteur critique. Cette valeur peut être obtenue par annulation de la

dérivée de l’énergie spécifique par rapport à y.

dEdy

=1−Q2

gA3

dAdy

=0 11

Sachant que :

dA = T ( y)dy

l’équation 11 devient :

Q2

g=

A3

T ou encore V 2

2g=

A2T

12

En définissant la profondeur hydraulique D comme le rapport de l’aire de la section sur la largeur au

miroir ( D = A T ), on obtient :


8

VgD

=1 = Fr 13

Ce qui signifie bien, qu’un régime critique le nombre de Froude est égal à 1. Au-delà de cette valeur,

l’écoulement est en régime torrentiel et en deçà, il est en régime fluvial.

Fig. 2 – Diagramme d’énergie spécifique.

2.6.1 La hauteur critique

Pour un débit, il existe, indépendamment de la pente du canal une hauteur critique yc que l’on peut

calculer à partir de l’équation 12. La difficulté de calcul dépend de l’expression de A. Pour un canal

à section rectangulaire :

A = byc et T = b

d’où :


9

Q2

g=

b3 yc3

b donc yc =

Q2

gb2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

1 3

Dans le cas général, il faut résoudre l’équation 12 pour yc par une méthode itérative de type Newton-Raphson.

2.6.2 La pente critique

Une fois la profondeur critique déterminée, on peut aussi calculer la pente d’écoulement pour

laquelle un débit donné coulera à la hauteur critique. Avec yc on calcule Ac et Rc et l’on tire de

l’équation de Manning la pente correspondante :

Sc =

n2Q2

α2 A2 R4 3 14

2.7 Calcul de la hauteur normale

Pour un débit donné et une pente de canal fixé, l’écoulement s’effectue avec une certaine hauteur

d’eau. Cette hauteur d’eau est ce que l’on appelle la hauteur normale. En comparant cette hauteur

d’eau avec la hauteur critique, qui n’est pas fonction de la pente du canal, on est en mesure de

déterminer si l’écoulement est fluvial, critique ou torrentiel. Cette information sera très utile lorsque

l’on voudra évaluer les écoulements variés.

Le principe de base du calcul de la hauteur normale consiste à résoudre une équation d’écoulement

en termes de débit (Chézy, Manning ou autre) de telle sorte que seule la profondeur soit inconnue.

Dans la suite de cette section, nous nous limiterons à l’équation de Manning.

L’équation d’écoulement n’étant pas linéaire ni quadratique, il n’est pas pratiquement possible de

trouver une solution analytique. On a alors recours à une méthode itérative.

Plusieurs volumes d’hydraulique proposent une méthode par essais et erreurs. Bien que cette

méthode soit utilisable pour faire une évaluation rapide, il est difficile de l’introduire dans un calcul

systèmatique, surtout si l’on fait effectuer les calculs par un ordinateur. Nous proposons donc ici

deux méthodes soit : la méthode de Newton-Raphson qui recèle les fondements théoriques du

processus itératif et la méthode du solveur d’Excel qui est utile en pratique et qui est basée sur la

méthode précédente.


10

2.7.1 Méthode de Newton-Raphson

Le problème consiste à résoudre pour yn l’équation suivante :

F = Q2 −

αn

A( yn )( )2R( yn )( )2 3

S1 2 = 0

La méthode à suivre est la suivante :

1) On dérive la fonction F par rapport à yn :

2)

′ F =dFdy

= −αn

2 AdAdy

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ 23

R−1 3 dRdy

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ S1 2 = −

4αS1 2

3nA

dAdy

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ R−1 3 dR

dy⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

3) On choisit une valeur de départ y0 pour la hauteur d’eau.

4) On calcule une correction avec la formule de Newton-Raphson :

5) Δy =

−F( y0 )′ F ( y0 )

6) On corrige la hauteur d’eau :

7) y1 = y0 + Δy

8) On calcule une norme y1 − y0 , si elle est inférieure à une précision acceptable on

choisit yn = y1 puis on quitte le processus itératif. Si cette exigence n’est pas

satisfaite, on pose y0 = y1 et l’on retourne à l’étape 3.

2.7.2 Utilisation du solveur d’Excel

Cette opération s’effectue sur deux cellules. Dans la première, appelée cellule variable, on inscrit la

valeur initiale de yn puis dans l’autre cellule, la cellule cible, on tape la formule de la fonction F.

Dans le menu Outils, on sélectionne : Solveur… puis dans la fenêtre du solveur, on spécifie les

adresses des cellules cible et variable. On appuie ensuite sur le bouton Résoudre pour démarrer le

processus itératif. La précision, le nombre d’itérations et la méthode itérative peuvent être ajusté en

appuyant sur le bouton Option.


11

Tableau 3 – Calcul de la hauteur normale sur Excel

b= 10 S= 0.01 Q= 10 n= 0.015 g= 9.81

F(yn)= Q-(1/n)*b*yn*(b*yn/(b+2*yn))^(2/3)*S^(1/2) Résolution avec le solveur variable yn= 0.32863448 cible Q-F(yn)= 3.1276E-11

3 L’écoulement graduellement varié

3.1 Généralités

L’écoulement graduellement varié reste un écoulement permanent, c’est-à-dire que le débit reste

constant dans le temps. Par contre les changements de sections d’écoulement, généralement causés

par des changements de pentes, rendent l’écoulement non uniforme. Les transitions seront

considérées comme s’opérant sur des distances relativement longues, d’où le terme de graduel.

3.2 Principes de base

Considérons une section courte d’un canal pour lequel de la surface libre n’est plus parallèle au

fond :

Fig. 3 – Diagramme d’énergie pour un écoulement non uniforme.


12

On écrit l’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 :

p1

γ+ z1 +

V12

2g=

p2

γ+ z2 +

V22

2g+ ΔH 15

On considère que la pression varie de façon hydrostatique du fond jusqu’à la surface libre, si bien

qu’au fond (référencé par z), on a y = p γ ; on écrit donc :

y1 + z1 +

V12

2g= y2 + z2 +

V22

2g+ ΔH 16

En introduisant la notion d’énergie spécifique E = y +

V 2

2g, on obtient encore :

z1 + E1 = z2 + E2 + ΔH 17

On divise par ∆x puis on passe à la limite, sachant que ΔH = H1 − H2 :

z2 − z1

Δx+

E2 − E1

Δx= −

ΔHΔx

⇒ dzdx

+dEdx

= +dHdx

⇒ dEdx

= −dzdx

+dHdx

18

En posant la pente de la ligne d’énergie S f = −

dHdx

, c’est-à-dire la perte de charge par unité de

surface et la pente du fond S0 = −

dzdx

il reste :

dEdx

= S0 − S f 19

Sachant que E est une fonction de y et que y est une fonction de x, donc

dEdx

=∂E∂y

dydx

et en

exprimant l’énergie spécifique en en termes de débit (eq 10 et 11), on peut écrire

dEdx

= 1−Q2TgA3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

dydx

d’où l’on tire :

dydx

=S0 − S f

1−Q2TgA3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

20


13

Sf sera calculé avec une équation d’écoulement permanent uniforme, pour l’équation de Manning on

aura :

S f =

nQαAR2 3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

La résolution de l’équation 20 est à la base du calcul de la position de la surface libre pour les

écoulements graduellement variés. C’est ce que l’on appelle le calcul des courbes de remous.

Remarquons ici que le numérateur de l’expression 20 s’annule pour

Q2

g=

A3

T ce qui correspond à

l’énergie spécifique minimale et à la hauteur d’écoulement critique.

3.3 Courbes de remous typiques

Les courbes de remous peuvent se classifier selon la pente du canal. On a déjà vu (section 2.6.2)

qu’il existait pour un débit donné une pente de canal pour laquelle l’écoulement se fait à la hauteur

critique. Les pentes de canal inférieures à cette pente critique seront considérées comme faible. Cela

formera le groupe M (pour mild slope en anglais). Les pentes supérieures à la pente critique

formeront le groupe S (pour steep slope en anglais), On notera par C le groupe des courbes pour les

canaux à pente critique puis par H les courbes sur des canaux horizontaux et enfin A (pour adverse

slope en anglais) pour les canaux en contre-pente.

3.3.1 Courbes M

Ces courbes ont en commun S0 < Sc et yn > yc , on a donc un écoulement de type fluvial.

• Courbe M1 :

La hauteur d’écoulement y connue est plus grande que la hauteur normale yn, en amont elle

tend vers la pente de la profondeur normale, en aval, elle tend vers l’horizontale. Le calcul

progresse de l’aval vers l’amont. Elle représente l’entrée d’un écoulement permanent

uniforme dans un réservoir.

• Courbe M2

La hauteur d’écoulement y connue est comprise entre la hauteur critique yc et la hauteur

normale yn, en amont, elle tend vers la pente de la profondeur normale, en aval, elle chute

brusquement vers la hauteur critique. Le calcul progresse de l’aval vers l’amont. Elle


14

représente le passage d’un écoulement permanent uniforme vers une section critique comme

une chute ou encore une augmentation forte de la pente d’écoulement.

• Courbe M3

La hauteur d’écoulement y connue est inférieure à la hauteur critique yc, en amont, sa pente

commence à remonter rapidement, en aval, elle remonte brusquement vers la hauteur

critique. Le calcul progresse de l’amont vers l’aval. Elle représente le passage d’un

écoulement permanent uniforme torrentiel vers un ressaut hydraulique comme au pied d’un

déversoir ou d’un orifice.

M1

M2

M3

y normal

y critique

fond

Fig. 4 – Courbes M

3.3.2 Courbes S

Ces courbes ont en commun S0 > Sc et yn < yc , on a donc un écoulement de type torrentiel.

• Courbe S1 :

La hauteur d’écoulement y connue est plus grande que la hauteur normale yn, en amont elle

coupe perpendiculairement la ligne de hauteur critique (ressaut), en aval, elle tend vers

l’horizontale. Le calcul progresse de l’aval vers l’amont. Elle représente l’entrée d’un

écoulement après ressaut dans un réservoir.

• Courbe S2


15

La hauteur d’écoulement y connue est comprise entre la hauteur critique yc et la hauteur

normale yn, en amont, elle naît brusquement de la hauteur critique x, en aval, elle tend vers la

hauteur normale. Le calcul progresse de l’amont vers l’aval. Elle représente le passage rapide

d’un écoulement permanent uniforme torrentiel lors d’une augmentation de pente.

• Courbe S3

La hauteur d’écoulement y connue est inférieure à la hauteur normale yn, en amont, sa pente

commence à remonter rapidement, en aval, elle remonte brusquement vers la hauteur

critique. Le calcul progresse de l’amont vers l’aval. Elle représente le passage d’un

écoulement du pied d’un déversoir ou d’un orifice vers un canal rapide.

S1

S2

S3

y critique

y normal

fond

Fig. 4 – Courbes S

3.3.3 Courbes C

Les courbes C sont intermédiaires entre les courbes M et les courbes S.

• Courbe C1

La courbe C1 représente le passage entre M1 concave et S1 convexe, elle est donc droite et

horizontale

• Courbe C2

La courbe C2 n’existe pas car les hauteur normale et critique sont confondues.

• Courbe C3


16

La courbe C3 représente le passage entre M3 convexe et S3 concave, elle est donc droite et

horizontale

3.3.4 Courbes H et A

Les courbes H et A sont des cas particuliers des courbes M pour lesquelles on ne peut pas définir de

régime uniforme donc la hauteur normale n’existe pas puisqu’elle devient infinie. Seules subsistent

les courbes H2, H3, A2 et A3 qui ressemblent aux courbes M2 et M3.

3.4 Calcul des courbes de remous pour les canaux réguliers (Direct Step Method)

Cette méthode permet de calculer les lignes d’eau dans le cas où la géométrie des sections

d’écoulement ne change pas d’un endroit à l’autre. La méthode de calcul consiste à calculer les

hauteurs à partir d’un endroit où la hauteur d’eau est connue. De cet endroit, on cherche, vers

l’amont où l’aval selon le type de courbes de remous à calculer, à quel endroit la hauteur d’eau

augmentée d’un incrément positif ou négatif est située; autrement dit, on calcule plutôt un ∆x qu’un

∆y.

L’équation de base est celle des écoulements graduellement variés (éq. 20) :

dydx

=S0 − S f

1− Q2TgA3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

d’où l’on tire dx puisque dy est imposé :

dx =

1−Q2TgA3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ dy

S0 − S f

=

∂E∂y

dy

S0 − S f

=dE

S0 − S f

21

On peut écrire cette équation sous une forme différentielle en utilisant le schéma de la figure 3 :

Δx =

E2 − E1

S0 − S f 22


17

Dans laquelle l’énergie spécifique est définie par : Ei = yi +

Q2

2gAi2 et la pente de frottement est

définie au milieu de l’intervalle ∆x : S f = S f 1+ S f 2( ) 2.

Pour illustrer cette méthode, considérons un canal rectangulaire dont la pente passe de faible à forte,

c’est-à-dire pour laquelle la hauteur normale passe de supérieure à la hauteur critique à inférieure.

Pour un débit de 20 m3/s, et une largeur de 5 m et un coefficient de Manning de 0,015, on calcule la

hauteur et la pente critique :

yc =

Q2

gb2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1 3

=202

9,81× 52

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1 3

=1,177m et

Sc =nQ

AR2 3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

=0,015× 20

5×1,177( ) 5 ×1,1775 + 2 ×1,177

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2 3

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

2

= 0,0035

Choisissons des pentes S1 = 0.001 pour la partie fluviale et S2 = 0.01 pour la partie torrentielle. La

hauteur normale de la première partie sera au-dessus de la hauteur critique et elle sera en dessous

pour la partie torrentielle si bien qu’elle devra passer par la hauteur critique à l’endroit où la pente

change brusquement.

Pour la suite des calculs, nous utiliserons une feuille de calcul Excel.

Données n = 0.015

b = 5.000 m

Q = 20.000 m3/s

g = 9.810 m/s2

Profondeur critique

yc = 1.177 m

Sc = 0.003

Régime fluvial

S1 = 0.001

yn1 = 1.829 m

Q-f(yn)= 0.000

dyf = 0.033 m

Régime torrentiel

S2 = 0.010

yn2 = 0.825 m

Q-f(yn)= 0.000

dyt = 0.018 m


18

Tronçon fluvial, courbe M2 de yc à ynf vers l'amont

y A P E Sf dx x z M2 zc zn

1.177 5.886 7.354 1.766 0.0035 0.0 0.000 1.177 1.177 1.829

1.210 6.049 7.419 1.767 0.0032 -0.6 -0.6 0.001 1.210 1.178 1.830

1.242 6.212 7.485 1.771 0.0030 -1.8 -2.3 0.002 1.245 1.179 1.832

1.275 6.375 7.550 1.777 0.0028 -3.1 -5.5 0.005 1.280 1.183 1.835

1.308 6.538 7.615 1.785 0.0026 -4.7 -10.2 0.010 1.318 1.187 1.839

1.340 6.701 7.680 1.794 0.0024 -6.5 -16.7 0.017 1.357 1.194 1.846

1.373 6.864 7.746 1.806 0.0022 -8.5 -25.2 0.025 1.398 1.202 1.854

1.405 7.027 7.811 1.818 0.0021 -10.9 -36.1 0.036 1.441 1.213 1.865

1.438 7.190 7.876 1.832 0.0020 -13.7 -49.7 0.050 1.488 1.227 1.879

1.471 7.353 7.941 1.848 0.0018 -16.9 -66.7 0.067 1.537 1.244 1.896

1.503 7.516 8.006 1.864 0.0017 -20.8 -87.5 0.087 1.591 1.265 1.917

1.536 7.679 8.072 1.882 0.0016 -25.6 -113.0 0.113 1.649 1.290 1.942

1.568 7.842 8.137 1.900 0.0015 -31.5 -144.5 0.145 1.713 1.322 1.974

1.601 8.005 8.202 1.919 0.0015 -39.0 -183.5 0.183 1.784 1.361 2.013

1.634 8.168 8.267 1.939 0.0014 -48.8 -232.2 0.232 1.866 1.409 2.062

1.666 8.331 8.332 1.960 0.0013 -62.2 -294.4 0.294 1.961 1.472 2.124

1.699 8.494 8.398 1.981 0.0012 -81.6 -376.0 0.376 2.075 1.553 2.205

1.731 8.657 8.463 2.003 0.0012 -112.2 -488.2 0.488 2.220 1.665 2.317

1.764 8.820 8.528 2.026 0.0011 -167.1 -655.3 0.655 2.419 1.832 2.485

1.797 8.983 8.593 2.049 0.0011 -295.0 -950.3 0.950 2.747 2.127 2.780

1.829 9.146 8.659 2.073 0.0010 -926.2 -1876.5 1.876 3.706 3.054 3.706

Tronçon torrentiel, courbe S2 de yc à ynt vers l'aval

y A P E Sf dx x z S2 zc zn

1.177 5.886 7.354 1.766 0.0035 0.0 0.000 1.177 1.177 0.825

1.160 5.798 7.319 1.766 0.0037 0.1 0.1 -0.001 1.159 1.176 0.824

1.142 5.709 7.284 1.767 0.0038 0.2 0.3 -0.003 1.139 1.174 0.822

1.124 5.621 7.249 1.769 0.0040 0.4 0.6 -0.006 1.118 1.171 0.819

1.107 5.533 7.213 1.773 0.0042 0.5 1.1 -0.011 1.095 1.166 0.814

1.089 5.445 7.178 1.777 0.0044 0.7 1.9 -0.019 1.071 1.159 0.806

1.071 5.357 7.143 1.782 0.0046 0.9 2.8 -0.028 1.044 1.149 0.797

1.054 5.269 7.108 1.788 0.0048 1.2 4.0 -0.040 1.014 1.137 0.785

1.036 5.181 7.072 1.796 0.0051 1.5 5.5 -0.055 0.981 1.122 0.770

1.019 5.093 7.037 1.805 0.0053 1.9 7.3 -0.073 0.945 1.104 0.752

1.001 5.005 7.002 1.815 0.0056 2.3 9.6 -0.096 0.905 1.081 0.729

0.983 4.917 6.967 1.827 0.0059 2.8 12.4 -0.124 0.859 1.053 0.701

0.966 4.829 6.932 1.840 0.0062 3.4 15.8 -0.158 0.807 1.019 0.667

0.948 4.741 6.896 1.855 0.0066 4.2 20.1 -0.201 0.747 0.976 0.624

0.931 4.653 6.861 1.872 0.0070 5.3 25.4 -0.254 0.677 0.923 0.571

0.913 4.565 6.826 1.891 0.0074 6.8 32.1 -0.321 0.592 0.856 0.504

0.895 4.477 6.791 1.913 0.0078 8.9 41.0 -0.410 0.485 0.767 0.415

0.878 4.389 6.756 1.936 0.0083 12.2 53.2 -0.532 0.346 0.645 0.293

0.860 4.301 6.720 1.962 0.0088 18.2 71.4 -0.714 0.146 0.463 0.111

0.843 4.213 6.685 1.991 0.0094 32.3 103.7 -1.037 -0.195 0.140 -0.212

0.825 4.125 6.650 2.023 0.0100 104.1 207.8 -2.078 -1.253 -0.901 -1.253


19

-2.000

-1.500

-1.000

-0.500

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

-500.0 -400.0 -300.0 -200.0 -100.0 0.0 100.0 200.0

Fig. 5 – Courbes M2 et S2

3.5 Calcul des courbes de remous pour les canaux naturels (Standard Step Method)

Dans les canaux naturels, la forme géométrique change à chaque section et les débits et vitesses sont

moins uniformes sur la section que dans le cas des canaux à géométrie constante. Le terme d’énergie

cinétique devra être corrigé par un coefficient α. Par ailleurs, le profil de la surface libre ne sera plus

calculé en hauteur d’écoulement par rapport au fond mais par rapport à une référence fixe et

horizontale. Le principe du calcul reste fondamentalement semblable au cas précédent en utilisant

l’équation de Bernoulli :

α1

V12

2g+ η1 = α2

V22

2g+ η2 + ΔH 23

où η = z + y .


20

Fig. 6 – Écoulement graduellement varié, variables pour le calcul des courbes de remous dans les canaux naturels.

Le coefficient α s’écrit en fonction du débit de chaque sous-section d’aire Ai en utilisant le

coefficient de débit ki défini à l’équation 8 :

α =

ki3

Ai2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ A2∑

K3

avec A = Ai∑ et K = Ki∑ . Les valeurs typiques du coefficient α varient de 1,1 à 2,0.

Si, d’une section à l’autre, l’aire varie significativement, il faut prévoir une perte de charge locale en

introduisant un coefficient KL. Enfin la perte de charge par frottement sera évalué en moyenne sur le

segment ∆x au moyen d’une équation d’écoulement en régime permanent uniforme :

ΔH = S f Δx =

Q1

K1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+Q2

K2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ Δx2

L’équation 23 devient alors :


21

F(η1) = α1 1+ KL( )V1

2

2g+ η1 −α2 1+ KL( )V2

2

2g−η2 −

Q1

K1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

+Q2

K2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ Δx2

= 0 24

Dans le cas d’un écoulement fluvial de type M1, M2 et S1, on procède de l’aval vers l’amont, c’est-

à-dire que l’on connaît tous les paramètres de la section 2 et que l’on calcule ceux de la section 1.

Comme le problème est non linéaire, on procède par une méthode itérative de Newton-Raphson :

η1 = η01 +−F(η01)dFdη η 01

où η1 est une valeur amélioré de la position de la surface libre à la section 1 calculée à partir d’une

valeur estimée η01. On procède par itération jusqu’à ce que les deux valeurs soient suffisamment

proche.

4 Écoulement brusquement varié, le ressaut hydraulique Un des cas les plus fréquents d’exemple d’écoulement brusquement varié est sans nul doute le

ressaut hydraulique. Ce dernier se caractérise par le passage brusque d’une hauteur d’écoulement en

régime torrentiel à une hauteur d’eau en régime fluvial (fig. 7). Cette situation se présente

généralement lorsqu’un écoulement torrentiel généré, par exemple sur une forte pente (où yn < yc)

atteint une zone de faible pente (où yn > yc). Le maintien d’une hauteur d’eau sous la hauteur critique

vient impossible et la hauteur d’eau devra remonter pour retrouver la hauteur normale d’une faible

pente. Cela ne se produit pas en douceur mais plutôt de façon brusque et ajitée.


22

Fig. 7 – Ressaut hydraulique.

La détermination des hauteurs y1 et y2, les hauteurs conjuguées nous permettrons de trouver l’endroit

sur les courbes de remous, calculées en régime torrentiel de l’amont vers l’aval et en régime fluvial

de l’aval vers l’amont, où se produira le ressaut. Pour calculer ces hauteurs, il n’est pas possible

d’utiliser l’équation de Bernoulli car nous les formules d’écoulement uniforme ne sont pas

applicables entre e les sections 1 et 2 et, par conséquent, nous ne pouvons calculer la perte de charge

provoquée par le ressaut.

On utilise plutôt le principe de conservation de la quantité de mouvement qui s’écrit, pour un fluide

incompressible :

F = VρVr n

CS

⌠

⌡

⎮ ⎮ ⎮

∑ dA 25

Dans le cas du ressaut on considère uniquement les forces horizontales de pression aux sections 1 et

2. Les flux de quantité de mouvement ne peuvent intervenir qu’à ces mêmes sections et en

considérant la vitesse et la masse volumique constante, l’équation 25 devient :

γyG1A1 − γyG2 A2 = ρQV2 − ρQV1


23

où yG1 et yG2 sont les ordonnées des centres de gravité de chaque section. Sachant que

A1V1 = A2V2 = Q , on écrit alors :

γyG1A1 − γyG2 A2 = ρ Q2

A2

− ρ Q2

A1

26

Par ailleurs, comme le nombre de Froude Fr =

Vgy

défini avec la hauteur d’eau moyenne sur la

section y = A T , on écrit :

Fr =

Q2TgA3

De plus en expriment l’ordonnée du centre de gravité comme une proportion de la hauteur d’eau

moyenne, yG = θy , l’équation 26 devient :

θ1 −θ2

y2

y1

A2

A1

= Fr12 A1

A2

−1⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 27

Cette équation de déterminer l’une des deux hauteurs d’eau connaissant l’autre.

Dans le cas d’un canal rectangulaire, θ1 = θ2 =

12

et

A2

A1

=y2

y1

, l’équation 27 devient :

y2 =

y1

2−1+ 1+ 8Fr1

2( ) Dans le cas d’un canal trapézoïdal, la relation entre la hauteur d’eau est plus compliquée et la

solution n’est plus explicite :

yG = y 4my + 3b

6 my + b)( )⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Une fois connues, les hauteurs conjuguées, on peut maintenant utiliser l’équation de Bernoulli pour

déterminer la perte de charge du ressaut :

ΔH1−2 =

Q2

2gA12 + y1 + z1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

Q2

2gA22 + y2 + z2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 28


24

La position du ressaut se calcule en établissant les courbes de remous torrentielle en amont et fluvial

en aval. Pour l’une ou l’autre de ces courbes, on calcule la hauteur conjuguée correspondante.

Quand cette hauteur conjuguée intercepte l’autre courbe de remous cela signifie que la quantité de

mouvement est en équilibre de part et d’autre du ressaut et que le ressaut se trouve à cet endroit.

La longueur du ressaut se détermine, pour les canaux rectangulaires, au moyen de l’abaque

suivante :

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Fr1

S=0

S=0.05

S=0.1

S=0.15

S=0.20

S=0.25

Fig. 8 – Longueur Lr du ressaut pour un canal rectangulaire.

EXEMPLE

Un canal rectangulaire horizontal, de 5 m de largeur et de 100 m de longueur, reçoit un débit de 20

m3/s avec une hauteur d’eau de 0,55 m. L’extrémité aval du canal est terminé par un seuil qui monte

la hauteur d’écoulement à 1,68 m. Le coefficient de Manning est de 0,015.

La hauteur critique est :


25

yc =

Q2

gb2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1 3

=202

9,81× 52

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1 3

=1,177m

L’amont du canal est donc en régime torrentiel et l’aval, en régime fluvial. Par la méthode des

canaux réguliers, on calcule les courbes H2 et H3. On calcule ensuite la hauteur conjuguée de la

courbe H3. La courbe de cette hauteur conjuguée coupe à x = 45 m.

On calcule le nombre de Froude pour y1 = 0,74 sur la courbe H3, ce qui donne Fr1=2, on détermine

alors la longueur du ressaut au moyen du graphique de la figure 8. On obtient Lr= 7,4 m que l’on

répartit de part et d’autre de la position du ressaut, soit x1 = 41,3 m et x2 = 48,7 m, on évalue ensuite

les hauteurs correspondantes y1 = 0,71 m et y2 = 1,77 m. Ceci nous permet d’utiliser l’expression 28

pour évaluer la perte du ressaut à 2,4 m.

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0

H2

H3

y conj

Ressaut

Fig 9 – Ressaut entre une courbe H3 et H2.

5 Singularités dans les canaux Les singularités dans les canaux sont des obstacles qui provoquent des variations locales de la

hauteur d’écoulement.

5.1 Seuils

Les seuils sont utilisés soit pour mesurer le débit dans un canal, soit pour réguler le débit et contrôler

les niveaux d’eau. Il s’agit de structures par-dessus lesquelles l’écoulement doit passer.


26

Fig. 9 – Seuils à crête mince : a) droit, b) profilé (type Creager)

Le débit est fonction de la portion de la hauteur amont y qui excède la hauteur du seuil Hs :

Q = Ks 2g Ls y − Hs( )3 2 29

où Ls est la largeur du seuil, généralement égale à la largeur du canal. Le coefficient de débit est

déterminé empiriquement par :

Ks = 0,40 + 0,05

y − Hs( )Hs

30

Si la largeur L du seuil n’est pas égale à la largeur du canal on devra calculer une largeur effective

comme, par exemple :

Ls = L − 0,2 y − Hs( ) pour L / y − Hs( )> 3

Parfois le seuil a une crête longue par rapport à la direction de l’écoulement. Dans ce cas, si

l’énergie cinétique de la vitesse d’approche est négligeable, la hauteur d’eau sur le seuil est critique

et est égale à 2/3 de la différence entre le niveau amont et le niveau de la crête :


27

Fig. 10 – Seuil à crête longe

yc =

23

H

et le débit est :

Q = KsLs 2g H 3 2 avec Ks ≅ 0,38 31

5.2 Vannes

Les vannes sont placées dans les canaux pour régler la hauteur et la vitesse d’écoulement (fig. 11).

Hydrauliquement, elles se comportent comme des orifices c’est-à-dire que l’on observe à la sortie

une contraction de la veine liquide (vena contracta) et que le débit est proportionnel à la racine

carrée de la charge hydraulique disponible.

Q = Cc A 2g y1 − y2( ) 32

Le coefficient de contraction Cc est défini par rapport à la hauteur d’écoulement aval et l’ouverture

de la vanne hv :

Cc =

y2

hv

Si l’écoulement est libre à la sortie de la vanne, le coefficient de contraction varie de 0,5 à 0,6.


28

Fig. 11 – Vanne-orifice

5.3 Transitions

Les transitions sont des changements de section qui s’effectuent sur une distance relativement

courte. En général, les contractions se font avec des pentes 1:1 et les élargissements se font avec un

rapport transversal/longitudinal de 1:4.

Ces singularités provoquent une perte de charge locale et l’écoulement en amont et en aval est

considéré comme uniforme.

La perte de charge s’écrit :

ΔH =

S f 1 + S f 2

2Δx +

KL V12 −V2

2

2g 33

Le coefficient KL est de l’ordre de 0,15 pour une contration graduelle et de l’ordre de 0,3 pour un

élargissement graduel.


29

Fig. 12 – Transition de section dans un canal

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