Soluciones enteraspara una ecuacion
crıtica con elp-laplaciano
Luis Lopez RiosIIMAS-UNAM
Un problemacuasilineal crıtico
Resultados preliminares
Soluciones nodalesenteras
Minimizacion consimetrıas
Soluciones enteras para una ecuacion crıticacon el p-laplaciano
Luis Fernando Lopez Rıos
Instituto de Investigaciones en Matematicas Aplicadas y en Sistemas
UNAM
Seminario de Ecuaciones Diferenciales y Analisis Numerico
noviembre 2018
Soluciones enteraspara una ecuacion
crıtica con elp-laplaciano
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Un problemacuasilineal crıtico
Resultados preliminares
Soluciones nodalesenteras
Minimizacion consimetrıas
El p-laplaciano
Para Ω un dominio de RN consideremos
J(u) =
∫Ω
|∇u|p.
I Puntos crıticos de J∫Ω
|∇u|p−2∇u∇ϕ = 0 para toda ϕ ∈ C∞0 (Ω)
I Ecuacion de Euler-Lagrange
∆pu = div(|∇u|p−2∇u) = 0 en Ω.
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Un problemacuasilineal crıtico
Resultados preliminares
Soluciones nodalesenteras
Minimizacion consimetrıas
Propiedades
∆pu = div(|∇u|p−2∇u)
I p = 2: laplaciano
I p > 2: operador degenerado
I 1 < p < 2: operador singular
Inmersion de Sobolev:
D1,p0 (Ω) → Lp
∗(Ω),
I D1,p0 (Ω) es la clausura de C∞c (Ω) en el espacio
D1,p(RN) := u ∈ Lp∗(RN) : ∇u ∈ Lp(RN)
I p∗ := Np/(N − p) es el exponente crıtico de Sobolev.
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Minimizacion consimetrıas
Un problema cuasilineal crıtico
Consideremos el problema
(℘) −∆pu = |u|p∗−2u en RN ,
para dimensiones N ≥ 4 y p ∈ (1,N).
Objetivo: hallar soluciones de (℘) en D1,p(RN).
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Un problemacuasilineal crıtico
Resultados preliminares
Soluciones nodalesenteras
Minimizacion consimetrıas
Estados fundamentales
ξ
U(x) = cN,p
(1
1+|x|p
p−1
) N−pp
,
Uλ,ξ(x) = λ−N−pp U
(x−ξλ
),
λ > 0, ξ ∈ RN .
I La mejor constante en la desigualdad de Sobolev se alcanzaen la familia Uλ,ξ; Talenti ’76
I Las unicas soluciones positivas de (℘) son las funcionesUλ,ξ
I p = 2: Gidas, Ni, Nirenberg ’79 y Caffarelli, Gidas, Spruck ’89I p 6= 2: Sciunzi ’16, Damiscelli, Merchan, Montoro, Vetois,...
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Un problemacuasilineal crıtico
Resultados preliminares
Soluciones nodalesenteras
Minimizacion consimetrıas
Perfil de concentracion: caso semilineal (p = 2)
Consideremos el problema subcrıtico
(℘q)
−∆u = |u|q−2u en Ω,
u = 0 en ∂Ω,
donde Ω es un dominio acotado y q ∈ (2, 2∗). Sea uq unasolucion positiva de (℘q).
¿Que sucede con la sucesion uq cuando q → 2∗?
I uq converge a una solucion positiva de (℘2∗)
I o la sucesion explota en un numero finito de puntos de Ω.Perfil de explosion: estado fundamental
Bahri-Li-Rey ’95
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Minimizacion consimetrıas
Soluciones nodales: caso semilineal
Existen infinitas soluciones nodales de (℘), estas son invariantesbajo la accion de G = O(k)×O(m), k + m = N + 1, k,m ≥ 2, enRN vıa la proyeccion estereografica (Ding ’86)
Observaciones
I Si p = 2, (℘) es invariante bajo transformaciones de Mobius
I El p-Laplaciano es invariante bajo rotaciones, traslaciones yescalamientos. Sin embargo, solo existen versiones adecuadasde la transformada de Kelvin para p = 2 y p = N (Lindqvist’16)
v(x) := |x |2−Nu(
x
|x |2
).
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Minimizacion consimetrıas
Soluciones nodales: caso semilineal
I Metodo de reduccion de Lyapunov-Schmidt: existencia desoluciones nodales de (℘) a traves de “agregacion” de estadosfundamentales (del Pino, Musso, Pacard, Pistoia ’11).
I Este metodo no puede aplicarse si p 6= 2: el operadorlinealizado alrededor de los estados fundamentales no estabien estudiado.
I Nuevo tipo de soluciones nodales para (℘): se obtienen conun argumento variacional que combina simetrıas adecuadascon concentracion de soluciones de un problema subcrıticoasociado (Clapp ’16).
I Adaptaremos este enfoque al caso cuasilineal.
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Caso cuasilineal
I Existencia y multiplicidad de soluciones del problema
−∆pu = |u|p∗−2u en D1,p
0 (Ω).
en algunos dominios con suficientes simetrias y/o “agujerospequenos” (Mercuri, Pacella ’14; Mercuri, Sciunzi, Squassina’15; Clapp, Tiwari ’16)
I Existencia y multiplicidad de soluciones enteras de unproblema cuasilineal crıtico obtenido al agregar un termino deorden p a (℘) (Barletta, Candito, Marano, Perera ’17).
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Soluciones nodales enteras
Clapp, Lopez Rıos, JDE ’18Supongamos que N = 4n + m con n ≥ 1 y m ∈ 0, 1, 2, 3.Entonces (℘) tiene al menos n soluciones nodales no radiales.
ObservacionToda solucion de (℘), sin importar el signo, pertenece a C 1,α
loc (RN)para algun α ∈ (0, 1) y
|u(x)| ≤ C0(1 + |x |N−pp−1 )−1, |∇u(x)| ≤ C0(1 + |x |
N−1p−1 )−1
(Vetois ’16).
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Minimizacion consimetrıas
Minimizacion con simetrıas
I Sea G un subgrupo cerrado de O(N)
I φ : G → Z/2 = −1, 1 un homorfismo continuo de grupos
I Consideramos funciones φ-equivariantes
u(gx) = φ(g)u(x) ∀g ∈ G , x ∈ Ω.
Notacion
I G -orbita: Gx := gx : g ∈ GI G -puntos fijos: XG := x ∈ X : Gx = x
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Minimizacion con simetrıas
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Minimizacion con simetrıas
(℘φ) −∆pu = |u|p∗−2u en Ω
I Ω ⊂ RN dominio acotado, suave y G -invariante
I u ∈ D1,p0 (Ω)φ := u ∈ D1,p
0 (Ω) : u es φ− equivariante
Hipotesis sobre las simetrıas
(S1) φ : G → Z2 es sobreyectiva
(S2) Existe ξ ∈ RN tal que g ∈ G : gξ = ξ ⊂ Ker φ
(S3) Para cada x ∈ RN se tiene dim(Gx) > 0 o Gx = x
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Minimizacion consimetrıas
Minimizacion con simetrıas
I Las soluciones no triviales de (℘φ) son los puntos crıticos delfuncional de energıa
J(u) :=1
p‖u‖p − 1
p∗|u|p
∗
p∗
en la variedad de Nehari
N φ(Ω) := u ∈ D1,p0 (Ω)φ : u 6= 0, ‖u‖p = |u|p
∗
p∗
I cφ(Ω) := ınfu∈Nφ(Ω) J(u)
ProposicionExiste una sucesion (uk) ⊂ D1,p
0 (Ω)φ tal que
J(uk)→ cφ(Ω), J ′(uk)→ 0 en (D1,p0 (Ω))′.
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Perfil asintotico
Se tiene una de las siguientes posibilidades:
1. uk converge en D1,p0 (Ω) a un mınimo de J en Nφ(Ω),
2. o existe una sucesion de G -puntos fijos (ξk) ⊂ RN , unasucesion (εk) ⊂ (0,∞) y una solucion del problema
−∆pw = |w |p∗−2w en D1,p
0 (H)φ,
con las siguientes propiedades:
(i) ξk → ξ, ξ ∈ (Ω)G y HG 6= ∅;(ii) W ∈ Nφ(H) y J(W ) = cφ∞ := cφ(RN);
(iii) lımk→∞
∥∥∥∥uk − ε− N−pp
k W(
x−ξkεk
)∥∥∥∥ = 0.
I H es un semi-espacio o todo RN .
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Observaciones
I Si Ω tiene un G -punto fijo entonces
cφ(Ω) = cφ(RN) =: cφ∞
ProposicionSean G un subgrupo de O(N) y φ : G → Z2 un homomorfismocontinuo con las propiedades ya mencionadas. Entonces J alcanzaun mınimo en N φ(RN).
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Ejemplo en R4 ≡ C2
I Sea Γ el grupo generado por eiθ, % : θ ∈ [0, 2π)
eiθ(ζ1, ζ2) := (eiθζ1, eiθζ2), %(ζ1, ζ2) := (−ζ2, ζ1),
para (ζ1, ζ2) ∈ C2. Definamos φ : Γ→ Z2 como φ(eiθ) := 1 yφ(%) := −1
I Grupo: definimos G := Γ2 actua sobre R4 ≡ C2 de lasiguiente manera
(γ1, γ2)(z1, z2) := (γ1z1, γ2z2)
I Homomorfismo: definamos φ : G → Z2 de la siguiente manera
φ(γ1, γ2) := φ(γ1)φ(γ2)
I Orbitas: G (z1, z2) = Γz1 × Γz2
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Perfil asintotico
Se tiene una de las siguientes posibilidades:
1. uk converge en D1,p0 (Ω) a un mınimo de J en Nφ(Ω),
2. o existe una sucesion de G -puntos fijos (ξk) ⊂ RN , unasucesion (εk) ⊂ (0,∞) y una solucion del problema
−∆pw = |w |p∗−2w en D1,p
0 (H)φ,
con las siguientes propiedades:
(i) ξk → ξ, ξ ∈ (Ω)G y HG 6= ∅.(ii) W ∈ Nφ(H) y J(W ) = cφ∞ := cφ(RN).
(iii) lımk→∞
∥∥∥∥uk − ε− N−pp
k W(
x−ξkεk
)∥∥∥∥ = 0.
I H es un semi-espacio o todo RN .
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I Paso 1: (uk) es acotada en D1,p0 (Ω)φ. Entonces existe una
subsucesion uk u debilmente en D1,p0 (Ω)φ.
I Si u 6= 0 entonces uk converge en D1,p0 (Ω) a un mınimo de J
en Nφ(Ω).
I Paso 2: si u = 0 tenemos∫Ω
|uk |p∗→ Ncφ(Ω)
Funcion de concentracion de Levy: para δ ∈ (0, N2 cφ(Ω)) fijo
existen sucesiones (εk en (0,∞) y (xk) en RN tales que
δ = supx∈RN
∫Bεk (x)
|uk |p∗
=
∫Bεk (xk )
|uk |p∗
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ProposicionDadas (εk) en (0,∞) y (xk) en RN , existe una sucesion (ξk) enRN tal que, despues de tomar una subsucesion,
ε−1k dist(Gxk , ξk) ≤ C0 para todo k,
y se tiene una de las siguientes dos posibilidades
(a) ξk ∈ ΩG ,
(b) o para cada m ∈ N, existen g1, ..., gm ∈ G tales que
ε−1k |giξk − gjξk | → +∞ cuando k →∞ si i 6= j .
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I Paso 4: tomamos (ξk) como en la proposicion anterior.Entonces |gkxk − ξk | ≤ C0εk para ciertos gk ∈ G y
δ =
∫Bεk (gkxk )
|uk |p∗≤∫BC1εk
(ξk )
|uk |p∗
I ξk ∈ (RN)G : De no ser ası, para cada m ∈ N existirıang1, ..., gm ∈ G con BC1εk (giξk) ∩ BC1εk (gjξk) = ∅ si i 6= j y
mδ ≤m∑i=1
∫BC1εk
(giξk )
|uk |p∗≤∫
Ω
|uk |p∗
= Ncφ(Ω) + o(1)
I Definimos Ωk := y ∈ RN : εky + ξk ∈ Ω y
wk(y) := εN−pp
k uk(εky + ξk) para y ∈ Ωk
I wk es φ-equivariante y acotada en D1,p(RN). wk W 6= 0I Pasando a una subsucesion ξk → ξ ∈ (RN)G y εk → 0.
Ademas ε−1k dist(ξk , ∂Ω)→ d ∈ [0,∞]
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(a) d =∞: en este caso ξk ∈ Ω y H = RN
(b) d <∞: en este caso ξ ∈ ∂Ω, H es un semi-espacio y HG 6= ∅I Conclusion: W es una solucion no trivial de
−∆pw = |w |p∗−2w en D1,p
0 (H)φ.