SONLU ELEMANLAR METODUNUNMÜHENDİSLİKTE UYGULAMALARI
Doç. Dr. M. A. Sahir ARIKANMakina Mühendisliği Bölümü Öğretim Üyesi
CAD/CAM Merkezi UzmanıOrta Doğu Teknik Üniversitesi
SONLU ELEMANLAR METODU'NUN
MÜHENDİSLİKTE UYGULAMALARI
Doç. Dr. M. A. Sahir ARKAN
Maldna Mühendisliği Bölümü Öğretim Üyesi
CAD/CAM Merkezi Uzmanı
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
1. Giriş
Sonlu elemanlar metodu, günümüzde karmaşık mühendislik problemlerinin hassas
olarak çözülmesinde etkin olarak kullanılan bir sayısal metoddur. ilk defa 1956 yılında uçak
gövdelerinin gerilme analizi için geliştirilmiş olan bu metodun, daha sonraki on yıl içerisinde
uygulamalı bilimler ve mühendislik problemlerinin çözümünde de basan île kullanılabileceği
anlaşılmıştır. Daha sonraki yıllarda ise sonlu elemanlar metodu ve çözüm teknikleri hızlı
gelişmeler kaydetmiş ve günümüzde bir çok pratik problemin çözümü için kullanılan en iyi
roetodlardan birisi olmuştur. Metodun değişik mühendislik alanîan için bu kadar popüler
olmasının ana nedenlerinden birisi genel bir bilgisayar programının yalnız giriş verilerini
değiştirerek herhangi bir özel problemin çözümü için kuHamîabilmesidir.
Sonlu elemanlar metodundaki temel düşünce, karmaşık bir probleme, problemi basite
indirgeyerek bir çözüm bulmaktır. Esas problemin daha basit bir probleme indirgenmiş olması
nedeni ile kesin sonuç yerine yaklaşık bir sonuç elde edilmekte, ancak bu sonucun çözüm için
daha fazla çaba harcayarak iyileştirilmesi ve kesin sonuca çok yaklaşılması, hatta kesin sonuca
ulaşılması mümkün olmaktadır. Elde bulunan konvansiyonel matematiksel araçlann kesin
sonucu, hatta yaîdaşık bir sonucu dahi bulmakta yetersiz kalması durumunda ise sonlu
elemanlar metodu kullanılabilecek tek metod olmaktadır.
Sonlu elemanlar metodunda, çözüm bölgesi, çok sayıda, basit, küçük, birbirine bağlı,
sonlu eleman adı verilen alt bölgelere ayrılmaktadır. Bu metodun, freze tezgahı gibi karmaşık
bir geometrik şekli modellemek için nasıl kullanılabileceği Şekil 1.1'de verilmiştir. Böyle bir
tezgahm çalışması esnasında oluşacak olan deplasmanlan, gerilmeleri, vb. kesin olarak bulmak
hemen hemen imkansız olduğundan, tezgah şekilde görülen parçalara ayrılarak modellenmiştir.
Şekil 1.1. Freze Tezgahının Sonlu Elemanlar ile Modellenmesi
Metoda sonlu elemanlar isminin verilmesi yeni ise de, sonlu elemanlar düşüncesi
gerçekte günümüzden birkaç yüzyıl önce kullanılmıştır. îlk matematikçiler bir dairenin
çevresini, Şekil 1.2'de görüldüğü gibi, daireyi çokgene indirgeyerek (problemi basitleştirerek)
hesaplamışlardır. Günümüzün deyimi ile bu çokgenin her kenan bir sonlu elemandır. Bu basit
çözümün incelenmesi sonucunda genel sonlu eleman uygulamaîan için de geçerli olan iki
özellik ortaya çıkmaktadır.
- Dairenin dışındaki ve içindeki çokgenlerin çevreleri, dairenin çevresinin üst
ve alt sınırlandır.
- Çokgenin kenar sayısının artırılması ile, bu yöntemle bulunacak olan yaklaşık çözüm
yukandan veya aşağıdan gerçek çözüme ulaşacaktır.
Şekil 1.2. Dairenin Çevresinin Sonlu Elemanlar Yaklaşımı ile Bulunması
2
2. Sonlu Elemanlar Mefodu'nun Uygulama Aîanfarı
Sonlu elemanlar metodu, yapısal mekanik problemlerinin yanınısıra, ısı iletimi,
akışkanlar mekaniği, elektrik ve manyetik alanlar ile ilgili mühendislik problemlerinin çözümü
için de basan ile kullanılmaktadır. Metodun bu kadar çok uygulama alanı bulmasının
nedenlerinden birisi, değişik mühendislik problemlerinin arasındaki benzerliklerdir. Bu
benzerlikler aşağıdaki problemler için verilmiş olan difransiyel denklemlerden de anlaşılabilir.
Sonlu elemanlar metodu'nun bazı uygulama alanîan Tablo 2.1 'de, bazı uygulama örnekleri ise
Tablo 2.2'de verilmiştir.
Tek Bovutlu Isı İletimi
a „ A 9 T N . . a T
k - Isı iletim katsayısı,
A - Kesit alanı,
T - Sıcaklık,q - Birim zamanda birim hacim başına enerji üretimi,
c - özgül ısı,
P - Yoğunluk.
Tek Boyutlu Akış
d x K d x d x
P - Yoğunluk,
A - Kesit alam,
$ - Potansiyel fonksiyonu,
u - Akış hızı.
Eksenel Yük Altındaki Çubuk
^— (A E v— ) = 0d x d x
A - Kesit alanı,
E - Elasîisite modülü,
u - Eksenel deplasman.
3
Tablo 2.1. Sonlu Elemanlar Metodu'nun Uygulama Alanîan
UvculamaAlanı DeneeProblemleri
- İnşaat
Mühendisliği
- Uçak
Mühendisliği
- Isı îletimi
- Çerçevelerin,
levhalann, çaülann,
duvarlann, yapıîann,
köprülerin, kinşlerin,
makaslann vs. ve
öngerilimli beton
elemanîann statik
analizi
- Gövdenin, kanatlann,
kanatçıkların statik
analizi
- Roketlerin, füzelerin
statik analizi
- Sürekli rejim için
katı ve akışkanlarda
sıcaklık dağılımı
- Doğal frekanslar
- Stabilité analizi
- Doğal frekanslar
- Stabilité analizi
jicwcinc rj uujcmıcn
- Gerilme dalgalannm
ilerlemesi
- Yapıîann periyodik
olmayan yüklere
cevabı
- Yapıların gelişigüzel
yüklere cevabı
- Yapıların periyodik
olmayan yüklere
cevabı
- Roket çıkışlannda,
içten yanmalı
motorlarda, türbin
kanatlarında;
kanatçıklarda ve
binalarda ısı akışı
- Jeomekanik Hafriyatların, istinad
duvarlarının, yeraltı
boşluklarının, kaya ve
toprak yapıların
etkileşiminin analizi
Toprakta, tepelerde
baraj gövdelerinde
ve maîdna temellerinde
gerilme analizi
Baraj gövdesi ile - Zamana bağlı toprak
göletin ve toprak ile ve yapı etkileşimi
yapıların etkileşiminin problemleri
incelenmesi, doğal - Toprak ve kayalarda
frekanslann sızıntı problemleri
bulunması - Toprak ve kayalarda
gerilme dalgalarının
ilerlemesi
problemleri •
4
Tablo 2.1. Sonlu Elemanlar Metodu'nun Uygulama Alanlan (Devamı)
Uygulama Alanı Dense Problemleri özdeger Problemleri İlerleme Problemleri
Hidrolik ve
Su Kaynaklan
Mühendisliği, -
Hidrodinamik
Nükleer
Mühendislik
Hidrolik yapıların ve
barajlann analizi
Potansiyel, serbest
yüzey, sınır tabakası
ve viskoz akışlar ile
transonik aerodinamik
problemlerin çözümü
- Nükleer basınçlı
kapların ve yapıların
analizi
- Reaktör parçalannda
sürekli rejim için
sıcaklık dağılımı
Sığ havuzlann,
göllerin, limanîann
doğal periyotlannın
bulunması
Sıvılann rijit ve
esnek kaplardaki
hareketleri
Yapılann doğal
frekanslan
Yapıların stabilité
analizi
Kararsız akış ve
dalga ilerlemesi
analizi
Gözenekli yapılarda
sızıntı
Gaz dinamiği
Magnetohidrodinamik
akışlar
Yapılann dinamik
yüklere cevabı
Reaktör parçalannda
kararsız sıcaklık
dağılımı
Reaktör yapılarının
ısıl ve viskoelastik
analizi
Biyomedikal
Mühendislik
Mekanik
Tasarım
- Kemiklerde, dişlerde,
gözlerde, vs. gerilme
analizi
- Doğal yapılar ve
protezler için yük
taşıma kapasitesi
analizi
- Kalp kapakçıklannın
mekaniği
- Basınçlı kaplann,
pistonların, kompozit
malzemenin, dişlilerin,
vs. gerilme analizi
- Gerilme konsantrasyonu
problemleri
-
-
Makina
elemanlarının, takım
tezgahlarının,
dişlilerin vs. doğal
frekanslan ve
stabilité problemleri
Kafatasının darbeanalizi
Anatomik yapılann
dinamiği
Dinamik yük altında
çatlak ve kırılma
mekaniği problemleri
5
Tablo 2.2. Sonlu Elemanlar Metodu için Uygulama Örnekleri
1. Hidrolik ve Su Kaynaklan
Mühendisliği
2. Toprak Mekaniği
3. Kaya Mekaniği
4. Hidroelastisite
5. Magnetohidrodinamik
YcraJtı sulannı taşıyan geçirimli katmanların analizi,
Göllerde su dolaşımının analizi ve termal analiz,
Haliçlerde, nehirlerde ve denizlerde geî-git sonucu
oluşan yayılma ve dağılmanın analizi,
KanallardaJd akışların analizi.
Yamaçlar, kazılar ve setler için gerilme analizi,
Temellerin yük taşıma ve oturma analizi.
Yamaçlar ve kazılar için gerilme analizi,
Tünellerin, madenlerin, kuyulann, oyuklann ve sondaj
deliklerinin analizi,
Eklem, çatlak, kınk, katman gibi jeolojik özelliklerin
analizi.
Sıvıların elastik kaplardaki hareketleri,
Baraj gövdesi ile göletin etkileşiminin analizi.
Kanal ve borularda magnetohidrodinamik akışlann
analizi.
6. Elektrik ve Manyetik Alanlar - Elektrik ve manyetik alanlann analizi.
7. Biyomekanik
8. Temas Problemleri
9. Nükleer Mühendislik
îO.Korozyon
- Alyuvarların ve plasmanın kılcal damarlardaki
hareketlerinin incelenmesi,
- Eklemlerde yağlama analizi,
- Kalbin gerilme analizi,
- Kemiklerin gerilme analizi,
- Başın analizi.
- Elastik çarpmanın analizi.
- Beton reaktör gövdelerinin analizi,
* Ç°k graplu nötron yayılması probleminin çözümü.
- Yerel korozyon hücrelerinin analizi.
6
Tablo 2.2. Sonlu Elemanlar Metodu için Uygulama Örnekleri (Devarru)
11 .Kompozit Malzemeler
12. Mekanizma
13. Otomotiv
14. Kırılma Mekaniği
15.Aeroelastisite
16. Türbomakinaîar
H.Eşanjör
18. Takım Tezgahlan
19. Metal Biçimlendirme
20. Döküm
- Katmanlı ahşap sistemlerin analizi,
- Sandviç kabukların analizi,
- İnce tabakalı levhalann analizi.
- Mekanizmaların deplasman ve gerilme analizi,
- Dişlilerin gerilme analizi.
- Araç gövdelerinin analizi.
- Gerilme yoğunluğu faktörlerinin bulunması,
- Çatlak ilerlemesinin analizi.
- Kaldırma özelliğine sahip yüzeylerde yük dağılımı,
aynlma ve kanat hareklerinin analizi.
- Akış hesaplan,
- Rotor kanatçıklarında sıcaklık dağılımı.
- Eşanjörlerde sıcaklık dağılımının analizi.
- Torna tezgahı, fireze tezgahı, radyal matkap, vb.'nin
yapısal analizi.
- Soğuk ve sıcak haddeleme, ekstürüzyon, derin çekme,
vb. gibi işlemlerin analizi.
- Katılaşmanın analizi.
3. Sonlu Elemanlar Metodu'nun Modelleme ve Çözüm Basamakları
Sonlu elemanlar metodu'nda katı, sıvı veya gaz gibi gerçek cisimler veya kontinyum,
birbirine bağlanmış, sonlu eleman adı verilen alt bölümler ile tarif edilmektedir. Bu elemanlar
birbirlerine düğüm noktası adı verilen özel noktalardan bağlanmışlardır. Düğüm noktalan
genellikle elemanlann birbirine bağlandıklan yerler olan eleman sınırlannda bulunmaktadır.
Kontinyumun içerisindeki deplasman, gerilme, sıcaklık, basınç, hız vs. gibi değişkenlerin
7
gerçekte nasıl değiştiği bilinemediğinden, bunlann basit fonksiyonlar ile yaklaşık olarak ifade
edilebildikleri varsayılmaktadır. Bu yaklaşık fonksiyonlar, değişkenlerin düğüm noktalanndaki
değerleri cinsinden ifade edilmektedir. Sistem için denge denklemleri vs. gibi yeni denklemler
yazıldığı zaman, bilinmeyenleri değişkenlerin düğüm noktalanndaki değerleri olan ve ortak
çözülmeleri gereken yeni denklemler ortaya çıkmaktadır. Genellikle matris denklemleri
şeklinde olan bu denklemlerin çözülmesi ile de değişkenlerin düğüm noktalanndaki değerleri
elde edilmektedir. Yaklaşık fonksiyonlann, değişkenlerin düğüm noktalanndaki değerleri
cinsinden ifade edilmiş oîmalan nedeni ile de, bu fonksiyonlann eleman içerisindeki ve sonuç
olarak ta bütün kontinyum içerisindeki değerleri bulunmakta, ve istenilen sonuçlar elde edilmiş
olmaktadır.
Genel bir kontinyum problernininin sonlu elemanlar metodu ile çözümü daima belirli
basamaklardan oluşan bir yöntem ile elde edilmektedir. Bu yöntem bir statik yapı probleminin
çözümü için aşağıdaki basamaklardan oluşmaktadır. Bunlardan 1,4 ve 5. basamaklar sonlu
elemanlar programının kullanıcısı tarafından, diğerleri ise program tarafından yerine
getirilmektedir.
I .Yapının veya çözüm bölgesinin elemanlara ayrılması
Sonlu elemanlar metodunda ilk basamak, yapıyı veya çözüm bölgesini alt bölümlere
yani sonlu elemanlara ayırmaktır. Bu ayırımda uygun sonlu elemanlar kullanılmalı, elemanlann
cinsi, sayısı ve düzeni tesbit edilmelidir. Bazı sonlu eleman örnekleri Şekil 3.1'de, bir ankastre
kutu kirişin modelinin sonlu elemanlar yöntemi ile çözüm için hazırlanması Şekil 3.2'de
verilmiştir. Basit geometriler veya az sayıda eleman için manuel olarak yapılabilecek bu
modelleme işleminin, karmaşık geometriler veya çok sayıda eleman için bu şekilde
yapılabilmesi imkansız hale gelmekte, ve bu iş için ilk işlemci ("preprocessor") adı verilen
programlar kullanılmaktadır.
2 . H e r elemanın özelliklerinin formüle edilmesi,
Eleman katılık matrislerinin ve yük vektörlerinin bulunması
Karmaşık bîr yapının herhangi bir yük altındaki deplasmanının kesin olarak tahmin
edilmesi imkansız olduğundan, bir eleman için, bilinmeyen çözümü yaklaşık olarak ifade
edilebilecek uygun bir deplasman modeli seçilmelidir. Bu model hesaplamalar açısından basit
olmalı, ancak bazı yakınsama gereklerini de yerine getirmelidir. Çoğunlukla bu model bir
poîinom şeklinde olmaktadır. Denge denklemleri veya varyasyonel prensipler ve yaklaşık
deplasman modeli kullanılarak eleman katılık matrisleri ve yük vektörleri bulunmalıdır.
S
Giriş Verisi
Düğüm Noktalarının Koordinatları
Düğüm Noktalarının Serbestlikleri
Eleman Bağlantıları
Yükler (Kuvvet ve/veya Moment)
Malzeme Özellikleri
Veri Hazırlama
Manuel
Özel bir Geometri İçin Yazılmış Ek İşlemciler
Kaü Cisim Modelini Kullanarak Veri Hazırlayan İlk İşlemciler
Çıktı
Deplasmanlar
Birim Uzamalar
Gerilmeler
Çıktı'nın Değerlendirilmesi
Manuel
Son İşlemciler
Şekil 3.2. Kutu Kirişin Modelinin Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Çözüm için Hazırlanması
10
3.Vapının veya çözüm bölgesinin sonlu elemanlar modeli'inin elde
edilebilmesi için elemanların birleştirilmesi
Yapının çok sayıda elemandan oluşmuş olması nedeni ile, her bir eleman için bulunmuş
olan katılık matrisleri, yük vektörleri ve denge denklemleri uygun bir şekilde birleştirilmeli ve
genel denge denklemleri elde edilmelidir.
4.Bilinen yüklerin (kuvvet ve/veya moment) uygulanması
§. Yapının nasıl desteklendiğinin belirtilmesi
Düğüm noktalan için bilinen deplasman değerleri (genellikle sıfır) belirtilmelidir.
6.Bilinmeyen düğüm noktası deplasmanlarının bulunması
Genel denge denklemleri problemin sınır şartlan uygulanarak düzeltilmeli ve daha sonra
düğüm noktalannın deplasmanlan çözülmelidir.
7.Eleman gerilme ve birim uzamalarının hesaplanması
Düğüm noktalannın deplasmanlan ile katı hal mekaniği ve yapısal mekaniğin gerekli
denklemleri kullanılarak eleman birim uzamalan ve gerilmeleri hesaplanmalıdır.
Bir sonlu elemanlar programının çıktısı, yukanda hesaplanan değişkenlerin düğüm
noktalanndaki veA'eya elemanlardaki değerlerinden oluşmaktadır. Bu değerlerin anlaşılmasının
ve değerlendirilmesinin basit geometriler veya az sayıda eleman için kolay olmasına karşılık,
karmaşık geometriler veya çok sayıda eleman için bu iş zorlaşmakta, ve sonuçlar kullanıcıya
kolay anlaşılabilir bir şekilde, örneğin grafik yöntemler ile son işlemci ("postprocessor") adı
verilen bilgisayar programlan kullanılarak verilmektedir.
Ortasında delik bulunan levha için değişik elemanlar modelleri ve elde edilen sonuçlar
Şekil 3.3'te verilmiştir.
11
4. Sonlu Elemanlar Program Paketleri
Özel problemlerin çözümü için genel bir programın kullanılabiliyor olması, sonlu
elemanlar metodunun güçlü ve çok amaçlı bir araç olmasına neden olmuş ve çok sayıda genel
amaçlı sonlu elemanlar program paketi geliştirilmiştir. Bu paketlerden bazıları oldukça genel
amaçlı olup, değişik mühendislik alanlarındaki problemlerin çözümü için çok az veya hiç bir
değişikliğe gerek duyulmadan kullanılabilmektedir. Bu paketlerden günümüzde yaygın olarak
kullanılanlar ve kullanılma alanları Tablo 4.1'de verilmiştir. Bu paketlerden birisi olan
NASTRAN ("National Aeronautics and Space Administration Structural Analysis"), yaklaşık
150 000 satırdan oluşmakta ve bir uçak veya otomobil gövdesinin komple çözümü için
kolaylıkla kullanılabilmektedir.
Süperbilgisayarîann gelişmesi, sonlu elemanlar teknolojisinin de gelişmesine neden
olmuş, bu tip bilgisayarların özelliklerinden tümüyle yararlanabilmek için paralel sayısal
algoritmalar, programlama stratejileri ve programlama dilleri geliştirilmiştir. Günümüzde düşük
fiyatlı mikrobilgisayarların yaygınlaşması ile de bir çok sonlu elemanlar program paketi
mikrobilgisayarlar üzerinde de çalışabilecek şekilde adapte edilmiş veya geliştirilmiştir. Ucuz
olmalarına, kolay kullanılabiliyor olmalarına karşılık, daha büyük sistemler ile kıyaslandığında,
mikrobilgisayarların düşük hesaplama hızlan, sınırlı bilgi depolama kapasiteleri ve genellikle
aynı anda tek iş yapabiliyor olmaları gibi dezavantajları da bulunmaktadır. Mikrobilgisayarlar
için adapte edilmiş veya geliştirilmiş olan sonlu elemanlar program paketleri Tablo 4.2'de
verilmiştir.
13
