Download - TAIMS [BREVIAR 1]
TAIMS / Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/ conf. V.E. Oltean
BREVIAR MATEMATICĂ ŞI TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE
I. Sisteme liniare continue - preliminarii matematice Cuvinte cheie: ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi, ecuaţie caracteristică, sistem diferenţial liniar cu coeficienţi constanţi, matrice, polinom caracteristic al unei matrice, valori proprii, exponenţiala unei matrice, sistem dinamic liniar continuu şi invariant, vector de stare (componenta liberă şi componenta forţată), matrice de tranziţie, transformarea Laplace.
1 Ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi
Cazul omogen (liber) Fie ecuaţia diferenţială liniară, omogenă, cu coeficienţi constanţi,
,0 ,,0 ,
,0)(d
)(d...d
)(dd
)(d011
1
1
≠=∈
=++++−
−
−
ni
n
n
nn
n
n
ania
tyattya
ttya
ttya
R
( 1)
unde R este mulţimea numerelor reale şi R∈t este variabila timp (continuu). Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei ( 1) este
0... 011
1 =++++ −− aaaa n
nn
n λλλ . ( 2)
Numărul întreg n ≥ 1 se numeşte ordinul ecuaţiei diferenţiale. Dacă se cunosc cele n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice ( 2), λ1, …, λn, atunci se poate determina familia de soluţii ale ecuaţiei ( 1) (tabelul 1); dacă, în plus, se precizează cele n condiţii iniţiale
00
1)1(
0'000 d
)(d, ... ,d
)(d),(tt
nn
tt ttyy
ttyytyy
=−
−
=
===1n-
(în general, t0=0), atunci se poate determina unica
soluţie a ecuaţiei ( 1), care satisface condiţiile iniţiale date.
Cazul neomogen (forţat) Fie u : R → R o funcţie continuă şi derivabilă de ordin m şi ecuaţia diferenţială neomogenă
. ,0 ,,0 ,,0 ,, ,d
)(dd
)(d
00
nmamjnibat
tubt
tya njij
jm
jj
n
ii
i
i <≠==∈=∑∑==
R ( 3)
Soluţia generală a ecuaţiei ( 3) este de forma
)()()( tytyty fl += , ( 4)
unde yl(.) este soluţia ecuaţiei omogene ( 1), ataşate ecuaţiei ( 3), iar yf(.) este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.
Tabelul 1. Tipologia soluţiilor ecuaţiei diferenţiale omogene ( 1)
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice ( 2) Forma soluţiei ecuaţiei diferenţiale omogene ( 1).
I) n rădăcini reale şi distincte λ1, λ2,…, λn reale constante,
,...)(
21
2121
C,...,CCeCeCeCty
n
tn
tt nλλλ +++=
II) rădăcina λ1 este reală şi multiplă de ordinul r1, 1 ≤ r1 ≤ n
Componenta soluţiei, corespunzătoare rădăcinii λ1, este:
reale constante,
,)...()(
110
12
11
01
1
11
11
C,...,CC
eCtCtCty
r
tr
rr
−
−−− +++= λ
III) k rădăcini reale, λ1, λ2,…, λk, multiple, cu ordinele de multiplicitate,
respectiv,
r1, r2,…, rk şi nrk
i i =∑ =1
12
11
01
111
...)(
,)(...)()()( 22
11
−−−
−
−−−
+++=
+++=
iii
i
kk
rrr
r
tr
tr
tr
CtCtCtQ
etQetQetQty λλλ
IV) două rădăcini complex conjugate, simple1
R∈±= βαβαλ , ,2,1 j
Componentele soluţiei, corespunzătoare rădăcinilor βα j± , sunt:
tetytety tt ββ αα sin)( ;cos)( 21 ==
2 Sisteme dinamice liniare, continue şi invariante
2.1 Preliminarii: elemente de algebră liniară Fie matricea pătrată, reală2
ni,jaaa
aaA ij
nnn
n
,...,2,1 , ,
1
111
=∈⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= R
L
MOM
L
. ( 5)
Se notează . nnnjiijaA ×
≤≤ ∈= R,1)(Matricea unitate de ordinul n este
. 10
01
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
L
MOM
L
nI ( 6)
Polinomul caracteristic al matricei A este polinomul de grad n, definit prin
nnn
n
nA
aa
aaAIP
−−
−−=−=
λ
λλλ
L
MOM
L
1
111
)det()( . ( 7)
Fie o matrice oarecare, un vector nenul, cu n componente şi
numărul complex λ∈C. Dacă
nnA ×∈R⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−∈
0
0Mnx R
xAx λ= , ( 8)
1 Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini complexe multiple, se procedează ca în cazul III. 2 Rezultatele prezentate în continuare sunt mai generale, fiind valabile pentru matrice pătrate complexe . nnA ×∈C
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 2/19
atunci λ se numeşte valoare proprie a matricei A iar x este un vector propriu asociat lui λ. Consecinţă: valorile proprii ale matricei A sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice
0)( =λAP . ( 9)
Spectrul matricei A este mulţimea valorilor proprii3
C⊂=Λ ,...,,)( 21 nA λλλ . ( 10)
Seria ∑ ≥=+++++=
0
2
!!!2!11
k
kka
ka
kaaae LL este convergentă, cu a∈R un număr arbitrar
şi fixat. Pentru orice matrice , se numeşte exponenţiala matricei A suma seriei nnA ×∈R
∑≥
=+++++=0
2
!1
!1
!21
!11
k
kkn
A Ak
Ak
AAIe LL . ( 11)
Seria ( 11) este convergentă, deoarece condiţia ∞<= ∑ ji ijaA,
este îndeplinită [11]. nnA ×∈∀ R
Fie R∈t variabila timp (continuu). Exponenţiala de matrice de funcţii (de timp) este
∑≥
=+++++=0
22 )(!
1!
1!2
1!1
1
k
kkkn
At Atk
tAk
tAAtIe LL . ( 12)
Câteva proprietăţi ale exponenţialei de matrice
P1. , cu matricea nulă de ordin n. nIe nn =×0nn×0
C∈∀== λλλλ ),(ediagIee nIn (a se vedea nota4).
P2. Dacă , atunci nnndiagA ×∈= R),,( 21 λλλ K ),,,( 21 neeediage A λλλ K=
şi . R∈∀= teeediage tttAt n ),,,,( 21 λλλ K
P A) Dacă şi AnnBA ×∈R, B = B A atunci . În plus, BAABBA eeeee +=⋅=⋅R∈∀=⋅=⋅ + teeeee tBAAtBtBtAt ,)( .
B) şi . R∈∀⋅=+21
)( , ,2121 tteee AtAtttA nnA ×∈∀ RC) şi . R∈∀===⋅ ×−− tIeeee n
ttAAAtAt nn , 0)( nnA ×∈∀ RConsecinţă: este inversabilă şi Ate
,][ 1 R∈∀= −− tee AtAt şi . nnA ×∈∀ R ( 13) P4. Derivarea unei matrice de funcţii înseamnă derivarea fiecărui element al matricei şi
,dd R∈∀⋅= teAet
AtAt şi . nnA ×∈∀ R ( 14)
P5. Dacă , cu T o matrice inversabilă (de schimbare de coordonate), atunci
.
nnTA ×∈R,
R∈∀⋅⋅= −−
tTeTe AtTAtT ,1)(1
3 Valorile proprii sunt reale sau complex conjugate, deoarece polinomul caracteristic PA(λ) are coeficienţii reali.
4 este matricea pătrată care are elementele de pe diagonală egale cu a şi restul elementelor nule. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
a
aadiag
K
MOM
K
0
0)(
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 3/19
2.2 Sisteme dinamice liniare, continue şi invariante Un sistem dinamic liniar, continuu, invariant (cu coeficienţi constanţi), monovariabil (cu o intrare şi o ieşire), notat , este descris de ecuaţiile de stare ),,)(( TcbAΣ
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+=Σ•
),()(
,)( ),()()( )( 00
txcty
xtxtbutAxtxT
( 15)
unde: este continuă (eventual pe porţiuni), RR →:(.)u
n
n tx
txtx R∈
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
)(
)()(
1
M este vectorul de stare (sau starea sistemului),
RU ⊂∈)(tu este intrarea (sau comanda), cu U mulţimea valorilor intrării, R∈)(ty este ieşirea (sau măsura), respectiv, la momentul R∈t ,
00 )( xtx = este condiţia iniţială, (în general, t0=0), nnA ×∈R este matricea sistemului ( 15) (de forma ( 5)),
11
×∈⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= n
nb
bb RM este vectorul coloană al coeficienţilor intrării, iar
( ) nn
T ccc ×∈= 11 RK este vectorul linie al coeficienţilor ieşirii.
În ( 15), concentrează toată istoria sistemului care influenţează evoluţia acestuia pentru .
00 )( xtx =
0tt ≥Starea sistemului ( 15), la un moment , este 0tt ≥
∫ −− +=t
t
tAttA buexetx0
0 d)()( )(0
)( θθθ , ( 16)
iar ieşirea sistemului ( 15) este
∫ −− +=t
t
tATttAT buecxecty0
0 d)()( )(0
)( θθθ . ( 17)
În expresia ( 16), starea este suma dintre componentă liberă , reprezentând 0)( 0)( xetx ttA
l−=
soluţia sistemului liber , cu )()( tAxtx =•
00 )( xtx = şi componenta forţată
∫ −=t
t
tAf buetx
0
d)()( )( θθθ , ce depinde de intrarea u. Similar, răspunsul ( 17) se descompune în
răspunsul liber şi răspunsul forţat . 0)( 0)( xecty ttAT
l−= ∫ −=
t
t
tATf buecty
0
d)()( )( θθθ
)( 0)( ttAet −=Φ , R∈t , se numeşte matricea de tranziţie de la t0 la t a sistemului ( 15), iar relaţia ( 16), cu , este soluţia sistemului diferenţial din ( 15). R∈tIncluderea perturbaţiilor în modelul unui sistem dinamic liniar, continuu, invariant şi monovariabil
Dacă se consideră atât acţiunea perturbaţiilor v, cât şi o distincţie între măsură şi mărimea reglată, atunci modelul ( 15) se rescrie sub forma
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=++=
Σ
•
),()(
),()(
,)( ),()()()(
)(00
txgtz
txcty
xtxtvetbutAxtx
T
Tv
( 18)
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 4/19
unde: este continuă (eventual pe porţiuni), , RR →:(.)u ntx R∈)( R∈)(tu , , ,
şi au, respectiv, aceeaşi semnificaţie ca în ecuaţiile ( 15); este perturbaţia şi este mărimea reglată (sau de calitate), respectiv, la
R∈)(ty nnA ×∈R1×∈ nb R nTc ×∈ 1R R∈)(tvR∈)(tz R∈t ; ( ) 1
1×∈= nT
nvvv eee RK este
vectorul coeficienţilor perturbaţiei v, iar ( ) nn
T ggg ×∈= 11 RK este vectorul coeficienţilor
mărimii z.
x0x0
Mărimea reglată z
Măsura yComanda uIeşireIntrare
yu (Σ) x∈R n
(stare)
a)
(Σ) x∈R n
(stare)
Perturbaţiav
b) Fig. 1 – a) Schema bloc a sistemului dinamic descris de ecuaţiile de stare ( 15); b) schema bloc a modelului sistemic ( 18).
Modelul unui sistem dinamic liniar, continuu şi multivariabil
Un sistem dinamic liniar, continuu, invariant, multivariabil (cu m intrări şi p ieşiri) şi neperturbat este descris de ecuaţiile de stare
⎪⎩
⎪⎨⎧
==+=Σ
•
),()(,)( ),()()()( 00
tCxtyxtxtButAxtx
( 19)
unde: este continuă (eventual pe porţiuni), mu RR →:(.)
n
n tx
txtx R∈
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
)(
)()(
1
M este vectorul de stare,
m
m tu
tutu R∈
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
)(
)()(
1
M este vectorul de comenzi (sau comanda),
p
p ty
tyty R∈
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=)(
)()(
1
M este vectorul ieşirilor (sau măsurilor),
nnA ×∈R este matricea sistemului, mnB ×∈R este matricea coeficienţilor intrărilor, iar npC ×∈R este matricea coeficienţilor ieşirilor.
um
.
.
.
x0
yp
y1
.
.
.
u1(Σ)
x ∈ R n
Fig. 2 - Schema bloc a sistemului multivariabil ( 19).
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 5/19
Liniarizarea ecuaţiilor de stare ale unui sistem neliniar, continuu, multivariabil, invariant şi neperturbat. Puncte staţionare.
Fie ecuaţiile neliniare şi invariante ale unui sistem cu m intrări5
))(),(()( tutxftx =•
, 00 )( xtx = , ( 20) unde mu RR →:(.) este continuă (eventual pe porţiuni), iar ( ) nT
n txtxtx R∈= )()()( 1 K şi
( ) mTm tututu R∈= )()()( 1 K sunt, respectiv, starea şi intrarea (sau comanda) la momentul R∈t .
este un vector de funcţii diferenţiabile, , . ( Tnfff K1= ) RRR →× mn
if : ni ,,2,1 K=mnux RR ×∈),( ** este un punct staţionar al sistemul ( 20) dacă . 0),( ** =uxf
Definim abaterile *)()( xtxtx −= şi *)()( ututu −= . Ecuaţiile de stare liniare de forma ( 19) se obţin, în general, prin liniarizarea ecuaţiilor neliniare ( 20) în jurul unui punct staţionar
şi reprezintă dinamica “micilor abateri” în jurul punctului staţionar ales. mnux RR ×∈),( **
Matricele A şi B din ( 19) se obţin, respectiv, conform relaţiilor următoare:
),(1
1
1
1
),(1
1
1
1
**
**
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(
uuxxm
nn
m
uuxxn
nn
n
uuxf
uuxf
uuxf
uuxf
B
xuxf
xuxf
xuxf
xuxf
A
==
==
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
L
MM
L
L
MOM
L
( 21)
1. Ecuaţiile de stare ale unui sistem dinamic permit o evaluarea a comportării interne a sistemului. Componentele vectorului de stare se numesc variabile de stare (sau variabile interne).
2. Modelul monovariabil ( 15) este o particularizare a modelului ( 19). 3. Modelele ( 15), ( 18) şi ( 19) sunt adecvate cercetărilor teoretice (calcule analitice privind
proprietăţile sistemelor), aplicării tehnicilor de optimizare dinamică cu criteriu pătratic [3] şi aplicării metodelor numerice de integrare.
4. Calculul componentei libere a stării unui sistem liniar ( 15), (( 18) sau ( 19)) este relativ simplu şi intervine în definiţia stabilităţii interne a sistemului dinamic respective.
5. Fără a intra în detalii, reamintim că oricărei ecuaţii diferenţiale, liniare, cu coeficienţi constanţi, de ordinul n, de forma ( 3), i se poate asocia o familie de ecuaţii de stare ( 15), adică o familie de triplete . Această transformare de modele se face, în ),,)(( TcbAΣprincipiu, prin scrierea unui sistem diferenţial (neunic!) de ordinul n (alcătuit din n ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi), pe baza ecuaţiei ( 3). Problema alegerii variabilelor de stare este o chestiune nu întotdeauna simplă.
5 Pentru simplitate, se consideră că întregul vector de stare se regăseşte la ieşire.
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 6/19
3 Transformarea Laplace
3.1 Definiţie, proprietăţi fundamentale şi exemple Fie , , o funcţie reală de variabila timp RR →:f )(tft a R∈t . Funcţia este o funcţie de tip original Laplace dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 1)
f0)( =tf , pentru orice , 2) este
continuă pe porţiuni pe intervalul 0<t f
[ )∞,0 şi 3) 0>∃M un majorant şi R∈∃a , numit indice de creştere, astfel încât atMetf <)( , . Se notează cu O mulţimea funcţiilor original Laplace0≥∀t 6.
Notăm cu C mulţimea numerelor complexe (sau planul complex) şi fie C∈+= ωσ js variabila complexă.
Fie o funcţie fixată de indice şi fie semiplanul O∈f a )Re(|)( assaD >=∈= σC . Funcţia complexă , definită prin C→)(: aDF
∫∞
−=≡0
d)()()( tetftfsF stL , ( 22)
se numeşte transformata Laplace a funcţiei . Se mai notează, pe scurt: f
)()( sFtfL→ sau fF L= . ( 23)
Transformarea Laplace, notată L, este un operator definit pe mulţimea O, care face să corespundă oricărei funcţii , funcţia complexăO∈f fF L= , definită în ( 22).
Principalele proprietăţi ale transformării Laplace sunt descrise, succint, în tabelul 2, iar transformatele Laplace ale unor funcţii elementare, reprezentând semnale uzuale în tehnica reglării automate, sunt listate în tabelul
3.2 Calculul transformatei Laplace inverse prin descompunerea în expresii raţionale simple
Fie şi presupunem că transformata sa Laplace este o raţională strict proprie O∈f)()()(
sPsZsF = , adică
şi sunt polinoame cu proprietatea )(sZ )(sP PZ gr gr < . Se consideră problema calculului funcţiei
, numită transformata Laplace inversă a funcţiei . Pentru aceasta, se parcurg următorii paşi:
)()( 1 sFtf −= L )(sF
Pasul 1. Se descompune raţionala în raţionale simple, de forma celor din coloana din dreapta a
tabelului )(sF
Pasul 2. Pentru fiecare termen al descompunerii, se folosesc corespondenţele din tabelul Apoi, în baza teoremei de liniaritate (tabelul 2), se calculează ca sumă a imaginilor, în timp, astfel obţinute.
)()( 1 sFtf −= L
În descompunerea raţionalei )()()(
sPsZsF = pot să apară patru cazuri principale.
a) Dacă are n poli reali, simpli, , atunci )(sF nss ,,1 K
n
n
ssR
ssRsF
−++
−= L
1
1)( , ( 24)
iar problema constă în determinarea reziduurilor , iR ni ,1= .
6 Funcţiile de timp cu aceste proprietăţi modelează, printre altele, semnalele ce apar, în tehnică, în momentul conectării unor echipamente. De exemplu, conectarea unui motor electric la o sursă de tensiune constantă se poate modela printr-un semnal de tip treaptă (a se vedea şi tabelul 3).
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 7/19
b) Dacă are un pol real , cu multiplicitatea r, atunci el va genera, în descompunere, un termen de forma
)(sF ks
k
kr
k
rkr
k
rk
ssR
ssR
ssR
−++
−+
− −− 1,
11,,
)()(L , ( 25)
unde , ikR , ri ,1= , sunt reziduurile ce trebuie calculate.
c) Dacă are doi poli complex conjugaţi simpli, )(sF βα js ±=2,1 , atunci lor le corespunde, în descompunere, un termen de forma
22)( βα +−+⋅
sRsR ba , ( 26)
unde şi sunt reziduuri ce trebuie calculate. aR bR
d) Dacă are doi poli complex conjugaţi, )(sF βα js ±=2,1 , cu multiplicitatea r, atunci lor le corespunde, în descompunere, un termen de forma
221,1,
1221,1,
22,,
)(])[(])[( βαβαβα +−
+⋅++
+−
+⋅+
+−
+⋅−
−−
sRsR
sRsR
sRsR ba
rrbra
rrbra
L , ( 27)
unde , , iaR , ibR , ri ,1= , sunt reziduuri ce trebuie calculate.
În expresiile ( 24), ( 25), ( 26) şi ( 27), reziduurile se calculează fie prin identificarea coeficienţilor polinomului de la numărătorul expresiei în care s-a descompus transformata – aduse la acelaşi numitor - cu coeficienţii polinomului , fie prin aplicarea formulei generale prezentate în continuare.
)(sF)(sZ
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 8/19
Tabelul .2 Proprietăţi de calcul uzuale ale transformării Laplace
Denumirea teoremei Relaţia de calcul, cu notaţiile: f - funcţia original şi )()( tfsF L≡ - transformata Laplace
Teorema de liniaritate ),()()()( 2121 sFsFtftf βαβα +=+L R∈∀ βα , şi O∈∀ 21, ff
Teorema asemănării ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=αα
α sFtf 1)(L , , 0 >∈∀ αα R
Teorema deplasării argumentului complex
)()( asFetf at −=L , a,a 0 >∈∀ R
Teorema derivării transformatei n
nnn
ssFtft
d)(d)1()( −=L
Teorema integrării originalului
)(1d)(0
sFs
ft
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∫ θθL
Teorema derivării originalului
)0()(d
)(d+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ fssF
ttfL
)0(')0()(d
)(d 22
2
++ −−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
fsfsFst
tfL
)0()0()0()(d
)(d )1()2(1+
−+
−+
− −−−−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ nnnn
n
nfsffssFs
ttf
KL
cu , )(lim)0( )(
00
)( tff k
tt
k
>→
+ = nk <≤0 şi derivata de ordinul k a lui f )(kf
Teorema valorii finale Dacă este derivabilă şi derivata sa este O∈f O∈'f şi, în plus, există , atunci )(lim)( tff
t ∞→=∞ )()(lim
0∞=
→fssF
s.
Teorema valorii iniţiale Dacă este derivabilă şi derivata sa este O∈f O∈'f şi dacă există şi , atunci )(lim)0(
00
tfftt>→
+ = )(lim ssFs ∞→
)0()(lim +∞→
= fssFs
.
Transformata Laplace a produsului de convoluţie a două semnale
Dacă O∈21, ff şi O∈∗ 21 ff , atunci
)()(d)()())(( 210
2121 sFsFtfftfft
⋅→−=∗ ∫L
θθθ
Teorema întârzierii Dacă O∈21, ff , 0>θ , 0)(1 =tf , dacă θ<t şi )()( 21 θ−= tftf , dacă θ≥t ,
atunci )()( 21 sFesF sθ−=
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 9/19
Tabelul .3 Transformate Laplace ale unor funcţii elementare
Funcţia O∈f Transformata Laplace )()( tfsF L≡
)(tδ 7 (impulsul Dirac de arie unitară, cu ) 1d)( =∫∞
∞−ttδ 1
⎩⎨⎧
≥<
=0 ,10 ,0
)(1tt
t (funcţia treaptă unitară) s1
tt ⋅)(1 (funcţia rampă unitară) 21s
!)(1
ntt
n⋅ 1
1+ns
C∈⋅ aet at ,)(1 as −1
atn
entt ⋅⋅
!)(1 1)(
1+− nas
tt ωsin)(1 ⋅ 22 ωω+s
tt ωcos)(1 ⋅ 22 ω+ss
tet at ωsin)(1 ⋅⋅ 22)( ωω
+− as
tet at ωcos)(1 ⋅⋅ 22)( ω+−
−
asas
Observaţii finale
1) În general, dacă )()()(
sPsZsF = este o raţională cu proprietatea şi care are
poli distincţi, cu multiplicităţile, respectiv, , astfel încât
PZ gr gr <
qss ,,1 K qrr ,,1 K Pnrq
k k gr 1
==∑ =, atunci
semnalul în domeniul timp are expresia
tsjq
k
r
j
kj kk
etjR
sFtf 1
1 1
1
)!1()()( −
= =
− ⋅−
== ∑∑L , , 0≥t ( 28)
cu reziduurile
k
k
k
k
ss
rkjr
jr
kkj sssF
sjrR
=−
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
= ]))(([dd
)!(1 )(
. ( 29)
2) Dacă, în raţionala )()()(
sPsZsF = , polinoamele şi au proprietatea )(sZ )(sP PZ gr gr = ,
atunci în descompunerea în fracţii simple apare un reziduu suplimentar 0)(lim ≠=∞→∞ sFR
s.
7 Fie funcţia dreptunghiulară . Atunci impulsul (sau distribuţia) Dirac este
⎩⎨⎧ ≤≤
=altfel ,0
0pentru ,/1)(
εεδε
tt )(lim)(
00
tt ε
εε
δδ>→
= .
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 10/19
3.3 Aplicaţii ale transformării Laplace în studiul sistemelor dinamice
Rezolvarea, în mulţimea O, a ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi
Ipoteză: în ecuaţia ( 3), . Aplicând proprietăţile transformării Laplace din tabelul 2 şi folosind corespondenţele din tabelul 3, se parcurg următorii paşi:
O∈(.)u
1) Se calculează transformata Laplace a intrării )()( tusU L= . Se transformă ecuaţia diferenţială ( 3) în domeniul operaţional, obţinându-se o ecuaţie algebrică cu necunoscuta
. )()( tysY L=2) Se rezolvă ecuaţia algebrică de la pasul 1, explicitând dependenţa lui de (şi,
eventual, de condiţiile iniţiale, dacă acestea sunt nenule). )(sY )(sU
3) Se calculează , aplicând metoda expusă în subsecţiunea 2. )()( 1 sYty −= L
Ecuaţia diferenţială(variabila t)
Ecuaţia algebrică(variabila s)
Transformarea L
Soluţionare înoperaţional ⇒ Y(s)
Soluţionare în domeniultimp ⇒ y(t)
Transformarea L−1
Fig. 3 – Schema de calcul a soluţiei ecuaţiei diferenţiale liniare ( 3), folosind transformata Laplace.
Calculul analitic al exponenţialei de matrice Ate
Fie matricea . [11], ceea ce reprezintă o generalizare a relaţiei
scalare , cu (tabelul 3), iar
nnA ×∈R 1)()(1 −−=⋅ AsIet nAtL
1)()(1 −−=⋅ aset atL R∈a
)( 11 −− −= AsIe nAt L , . 0≥t ( 30)
Se reaminteşte că
)det()(adj)( 1
AsIAsIAsI
n
nn −
−=− − , ( 31)
unde este chiar polinomul caracteristic ( 7) al matricei A. )det()( AsIsP nA −=
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 11/19
Tabelul 4 Elemente standard de transfer
Sim-bol Denumire Ecuaţia diferenţială Funcţia de transfer
)(/)()( sUsYsH f= şi parametrii modelului
u y= yfH (s)
P Element
proporţional )()( tKuty = ,
- nu este o ecuaţie diferenţială, ci o relaţie pur statică
KsH =)(
K > 0 – factorul de amplificare
I Element integrator )(
d)(d
tutty
TI = sT
sHI
1)( =
TI [sec] > 0 – constanta de timp de integrare
D Element derivator t
tuTty D d
)(d)( =
- este un element ideal
sTsH D=)(
TD [sec] > 0 – constanta de timp de derivare
PT1 Element proporţional, de întârziere de ordinul 1
)()(d
)(dtKuty
tty
T =+ 1
)(+
=Ts
KsH
K > 0 – factorul de amplificare T [sec] > 0 – constanta de timp
PT2 Element proporţional, de întârziere de ordinul 2
)()(d
)(d2
d)(d
2
22 tKuty
tty
Tt
tyT =++ ζ
sau
)()(d
)(d2
d)(d 22
2
2tuKty
tty
tty
nnn ωωζω =++
12)(
22 ++=
TssTKsHζ
sau
22
2
2)(
nn
n
ssK
sHωζω
ω++
=
K > 0 – factorul de amplificare T [sec] > 0 – constanta de timp ωn = 1/T[sec-1] > 0 – frecvenţa
naturală ζ ∈[0, 1] – factorul de amortizare
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 12/19
Tabelul 5 Funcţii de transfer asociate comportărilor dinamice ale unor elemente fizice analogice
Tipul sistemului fizic
Electric Mecanic - translaţie Mecanic - rotaţie
Blocul de transfer
iu H(s)
i [A] – intensitate u [V] – tensiune
vF H(s)
F [N] – forţă v [m/sec] – viteză de
translaţie
ωM H(s)
M [N.m] – moment ω [1/sec] – viteză de
rotaţie
Element fizic
Rezistenţă
rezistenţă R [Ω]
Amortizor coeficient de frecare vâscoasă
qv [N.sec/m]
Amortizor coeficient de frecare vâscoasă
qr [N.m.sec]
Legea fizică uR
i ⋅=1 F
qv
v⋅=
1 Mqr
⋅=1ω
Elem
ente
pro
porţi
onal
e
Funcţia de transfer R
1 vq
1 rq
1
Element fizic
Condensator
capacitate C [F]
Resort
rigiditate k [ N/m]
Resort
rigiditate kr [N.m]
Legea fizică
tuCi
dd⋅=
tF
kv
dd1⋅=
tM
kr dd1⋅=ω
Elem
ente
der
ivat
oare
Funcţia de transfer
Cs sk⋅
1 skr
⋅1
Element fizic Bobină
inductivitate L [H]
Corp
de masă m [kg]
Corp cu momentul de inerţie
J [kg.m2]
Legea fizică
∫= tu
Li d 1 ∫= tF
mv d 1 ∫= tM
Jd 1ω
Elem
ente
inte
grat
oare
Funcţia de transfer Ls
1 ms1
Js1
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 13/19
Tabelul 5 Funcţii de transfer asociate comportărilor dinamice ale unor elemente fizice analogice – continuare
Tipul sistemului fizic
Hidraulic Pneumatic Termic
Blocul de transfer
q∆p H(s)
∆p [N/m2] – diferenţă de
presiune q [m3/sec] – debit volumic
dm/dt∆p H(s)
∆p [N/m2] – diferenţă de presiune qm=dm/dt [kg/sec] – debit masic
φθ H(s)
θ [K] – temperatură φ [kJ/h] – flux de căldură
Element fizic
Rezistenţă rezistenţă hidraulică
rh[kg/m3.sec]
Rezistenţă rezistenţă pneumatică
rp [1/m.sec]
Perete neted rezistenţă termică
rt [K.h/kJ]
Legea fizică pr
qh
∆⋅=1 p
rtm
p∆⋅=
1dd θφ ⋅=
tr1
Elem
ente
pro
porţi
onal
e
Funcţia de transfer hr
1 pr1
tr1
Element fizic
Rezervor
capacitate hidraulică
Ch [m4.sec2/kg]
Rezervor capacitate pneumatică
Cp [m.sec2]
Rezervor
capacitate calorică
Ct [kJ/K]
Legea fizică
tp
Cq h dd⋅=
tp
Ctm
p dd
dd
⋅= t
Ct ddθφ ⋅=
Elem
ente
der
ivat
oare
Funcţia de transfer
sCh sC p sCt
Element fizic
Element cu inductivitatea hidraulică
Lh [kg/m4]
Element cu inductivitatea pneumatică
Lp [1/m]
Legea fizică ∫ ∆= tpL
qh
d 1 ∫ ∆= tpLt
m
pd 1
dd
Elem
ente
inte
grat
oare
Funcţia de transfer sLh
1 sL p
1
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 14/19
Tabelul 6 Graficele răspunsurilor indiciale ale elementelor standard de transfer (formele curbelor).
Element Funcţia de transfer )(/)()( sUsYsH f=
y = yfH (s)
u
Polii funcţiei de transfer Graficul răspunsului indicial u(t)=1(t)
u
t
1
0
P KsH =)(
K > 0
- yf
t
K
0
I sT
sHI
1)( =
TI [sec] > 0 s1=0
jω
σ
tgα=1/TI
α
yf
t0
D sTsH D=)(
TD [sec] > 0
- yf = TD δ
t0
PT11
)(+
=Ts
KsH
K > 0, T [sec] > 0 s1
−1/T
jω
σ
yf
t
K
0
ζ∈(0,1) s2
σ
21 ζω −njs1
jω
21 ζω −− nj−ζωn
yf
t
K
0
2K
ζ = 0 s2
s1 njω
σ
jω
njω−
yf
t
K
0
2K
PT222
2
2)(
nn
n
ssKsH
ωζωω
++=
K > 0,
ζ ∈ [0, 1],
ωn [sec-1] > 0
ζ = 1 −ωn
s1 = s2
σ
jω yf
t
K
0
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 15/19
Tabelul 7 Reprezentări în frecvenţă ale elementelor standard de transfer (formele curbelor).
Element Funcţia de transfer Caracteristicile (semi)logaritmice
dB)]([ ωH , )(ωϕ .
Hodograful )(UVV = , , 0>ω
HU Re)( =ω , HV Im)( =ω .
P KsH =)(
K > 0
0
[H(ω)]dB
ω[lg(ω )]ϕ(ω)
ω[lg(ω )]
K > 1
(K,0)0
V
U
I sT
sHI
1)( =
TI [sec] > 0 1/TI
[H(ω)]dB
ω[lg(ω )]ϕ(ω)
ω[lg(ω )]
-20[dB/dec]
-π/20
0
V
U
D sTsH D=)(
TD [sec] > 0
0ω[lg(ω )]
1/TD
[H(ω)]dB
ω[lg(ω )]ϕ(ω)
+20[dB/dec]
π/2
0
V
U
PT11
)(+
=Ts
KsH
K > 0, T [sec] > 0
[H(ω)]dB
ω[lg(ω )]ϕ(ω)
ω[lg(ω )]
-20[dB/dec]
-π/2
1/T
0
(K,0)0
V
U
PT222
2
2)(
nn
n
ssKsH
ωζωω
++=
K > 0,
ζ ∈ [0, 1],
ωn [sec-1] > 0
[H(ω)]dB
ω[lg(ω )]ϕ(ω)
ω[lg(ω )]
-40[dB/dec]
-π/2
-π
ζ ∈ (0, 1)
ωn
0
(K,0)0
V
U
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 16/19
II. Puncte de echilibru ale sistemului liniar de ordinul 2 –portrete de fază Fie sistemul dinamic
)(xfx =& , , open, nW R→:f nW R⊂ (1)
cu f de clasă . 1CPentru o condiţie iniţială , urma lăsată de soluţia lui (1) în spaţiul stărilor, 0x WI →γ : ,
, se numeşte traiectorie şi, cf. teoremei de unicitate, prin orice punct trece o singură traiectorie. Reprezentarea geometrică a mulţimii traiectoriilor se numeşte portret de fază.
),( 0xtt φa
Fie o aproximare liniară a sistemului (1) în jurul unui punct singular W∈x~ , descrisă de sistemul
xAx ˆˆ =& , (2)
unde
xxx ~ˆ −= , )~(xfA x∇= . (3)
Reamintim că soluţia problemei de condiţie iniţială
Axx =& , nR∈= Kx )0( (4)
este
Kx Atet =φ ))0(,( . (5)
Sistemul (2) are un echilibru în origine 0x = dacă A este nesingulară şi respectiv un continuum de echilibre, altfel.
Pentru sisteme de ordinul 2 de forma (2), dacă A este nesingulară, atunci valorile proprii ale lui A oferă informaţii calitative despre natura punctelor singulare ale sistemului iniţial (1).
Iată cele mai importante cazuri. Cazul I. A are valori proprii reale de semne opuse µ<<λ 0 . Originea este numită punct şa
(saddle) (Fig.2a) Cazul II. Ambele valori proprii au partea reală negativă, 0<λ , 0<µ . Acest caz se numeşte
atractor (sink), şi 0)(lim =∞→
tt
x , pentru orice iniţializare Kx =)0( .
Dacă A este diagonalizabilă cu valorile proprii egale 0<λ=µ , atunci portretul de fază descrie un focar (stabil) (Fig.2b). Dacă A este diagonalizabilă cu valorile proprii distincte, , 0<λ 0<µ ,
, portretul de fază este un nod (Fig.2c). µ≠λDacă A NU este diagonalizabilă şi are valorile proprii cu partea reală negativă, portretul de
fază se numeşte nod degenerat (improper node) (Fig2d). Dacă valorile proprii ale lui A sunt β±α j , 0<α , portretul de fază este un focar stabil (spiral
sink) (Fig.2e). Cazul III. Toate avlorile proprii au partea reală POZITIVA. În acest caz, numit sursă,
(source) ∞=∞→
)(lim tt
x and 0)(lim =−∞→
tt
x .
Cazul IV. Valorile proprii sunt pur imaginare, β± j . Acest caz este numit centru (centre) şi soluţiile sunt periodice cu aceaaşi periadă (Fig.2f).
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 17/19
a-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-60
-40
-20
0
20
40
60
x1
x2
saddle, eigenvalues: -0.1, 0.1
b-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
x2
stable focus, eigenvalues:-1, -1
c-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
x2
stable node, eigenvalues:-2, -1
d-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
x2
improper node, eigenvalues:-1, -1
e-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
x2
spiral sink (focus), eigenvalues:-1+j, -1-j
f-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x1
x2
center, eigenvalues:+j, -j
Fig. 4. Exemple de reprezentare grafică folosind simularea în MATLAB a portretelor de fază pentru sisteme de ordinul 2
Axx =& .
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 18/19
______________________________________________________________________________ TAIMS/ Masterat AII/sem.I, anul I/2009-2010/conf.V.E.Oltean 19/19