Ejercicios 5

1. Demuestra explıcitamente que:

(a) �φ = 0, con � = gµ ν ∇µ∇ν , y φ una funcion escalar, se puedereescribir como

�φ =1√−g

(√−g gµ ν φ,ν

),µ.

Al operador � se le conoce como D’Alambertiano.

2. Utilizando el cuadripotenical electromagnetico, Aµ, que se relaciona con eltensor de Faraday Fµ ν = Aµ; ν−Aν;µ = Aµ, ν−Aν, µ (muestra esta ultimaigualdad), escribe las ecuaciones de Maxwell, Fµ ν ; ν = jµ y F(µ ν ;λ) = 0en terminos de este cuadripotencial.

3. Como se ve en las notas, el cuadrivector corriente, jµ, definido como jµ =ρ0 u

µ, satisface la ecuacion de continuidad, escrıbela. Discute cual es lanorma de este cuadrivector.

4. Considera el tensor de energıa esfuerzos de un fluido perfecto:

Tµν = ρ0 c2 h

uµ uν

c2+ p gµν ,

con ρ0 la densidad de energıa en reposo, h la entalpıa por unidad deenergıa, definida como h = 1 + ε + p

c2 ρ0, con ε la energıa interna y p la

presion. Demuestra que:

(a) Tµν uµ uν = ρ0 c

2 (1 + ε) ≡ µ, lo que nos da una forma covariante dedefinir a la densidad de energıa, µ

(b) Si me voy a un sistema de referencia en el que me muevo con elfluido, (este sistema se le llama el marco comovil), el tensor de energıaesfuerzos del fluido perfecto toma la forma

Tµν =

−µ c2 0 0 0

0 p 0 00 0 p 00 0 0 p

Demuestralo y escribe explıcitamente esta transformacion.

(c) Finalmente, muestra que la divergencia del tensor de energıa esfuer-zos igual a cero, T ν µ;µ = 0, junto con la ecuacion de continuidad,jµ;µ = 0 implica la ecuacion de Euler para fluidos (en el lımite norelativista),

∂t ~v +(~v · ~∇

)~v +

~∇ pµ c2

+ ~∇φ = 0, (1)

con φ el potencial gravitatorio y muestra que tambien implica laforma de la primera ley de la termodinamica para procesos adiabaticos:dU + p dV = 0

1

5. El tensor de energıa esfuerzos para el campo escalar es

Tµν = φµ φν +1

2gµν (φα φ

α + V (φ)) ,

donde φµ denota ∂µ φ y V (φ) es el potencial escalar. Muestra que sudivergencia igual a cero, implica a la ecuacion de Klein Gordon:

�φ− d V

dφ= 0.

2