Teilchenbewegung in elektrischen und magnetischen Feldern
Elektrisches Feld: eZeeqEqF ,,;
Magnetfeld: BqF
v Lorentzkraft
B B
+
in Feldrichtung: rechtsherum linksherum
Elektron Ion
ece m
Be
ici m
BeZ
Reines (homogenes) Magnetfeld
Gyrationsfrequenz: Zentrifugalkraft = Lorentzkraft
rBqrm 2
Frequenz positiv, aber Vorzeichen der Ladung entscheidet über Drehsinn
Gyration im Magnetfeld
ece m
Be
ici m
BeZ Gyrationsfrequenz:
Fusionsplasmen: Ionen: 30 … 60 MHz (Kurzwelle) Elektronen: 100 … 150 GHz (mm-Wellen)
Technische Plasmen (0.1 T) Elektronen: 2.5 GHz (Mikrowelle)
Reines (homogenes) Magnetfeld
Gyrationsradius:
v
rrv ,
Be
mr e
Le v
BeZ
mr i
Li v
2 Freiheitsgrade in Senkrechtbewegung:
m
TkTk
m BB
2v,
2
v2
ece m
Be
Be
mr e
ge v
Gyration im Magnetfeld
Gyrationsradius:
• 10 keV Elektron im Erdmagnetfeld (5 10-5 T): 6.75 m
• Sonnenwind-Proton, v=300 km/s, 5 10-9 T: 626 km
• 1 keV He+ ion in Sonnenatmosphäre (5 10-2 T): 0.183 m
• 3.5 MeV He2+ in 8T Fusionsreaktor: 3.38 cm
• heutige Fusionsexperimente (2T, 1 keV): Elektronen: 53 m Ionen: 2.2 mm
BeZ
mr i
gi v
Be
mr e
ge v
BeZ
mr i
gi v
ece m
Be
ici m
BeZ
Reines (homogenes) Magnetfeld
Gyrationsfrequenz:
Gyrationsradius:
Elektron Ion
Einzelteilchen verhält sich diamagnetisch
Gyration kann man für Diagnostik und Heizung nutzen
Temperaturmessung:
• wegen beschleunigter Bewegung Strahlung bei Gyrationsfrequenz• Strahlung optisch dick T aus B(T)
Tkc
Tkh
c
hI B
Tk
h
B
B
3
2
03
3 8
1exp
8
Temperatur ~ Intensität
Gyration kann man für Diagnostik und Heizung nutzen
Temperaturmessung:
• wegen beschleunigter Bewegung Strahlung bei Gyrationsfrequenz• Strahlung optisch dick T aus B(T)
Plasmaheizung:
Einstrahlen von Wellen bei ce oder ci (bzw. doppelte Frequenz), siehe Kapitel Plasmawellen
Teilchendriften
BvqFdt
vdm
Bewegungsgleichung:
Bei zusätzlicher Kraft F keine einfachen Kreisbahnen mehr
“guiding centre” Ansatz (für B(r,t), F(r,t) = const)
gc rrr
BvqB
mrg
2
Teilchendriften durch Kraft senkrecht zum MF
gc rrr
BvqB
mrg
2
Bewegungsgleichung für Führungszentrum:
BBvqFqB
vBdt
vd
qB
mv
dt
rdv c
c
22
1
BvqFdt
vdm
Teilchendriften durch Kraft senkrecht zum MF
Führungszentrum: BBvqFqB
vvc
2
1
2||2 qB
BFvv
qB
BFvvc
2qB
BFvD
Umformen mit Vektor-Identität:
Kraft senkrecht zum MF führt zu Drift senkrechtzur Kraft und zum MF:
vBvBvBvBBBvBBv 22||
22
ExB-Drift:
E
B
Ionwird beschleunigt,
= größererGyroradius
Elektronwird gebremst,
= kleinererGyroradius
EqF
2B
BEvD
ExB-Drift ist für Elektronen und Ionen gleich groß und hat gleiche Richtung!
ExB-Drift:
E
B
Ionwird beschleunigt,
= größererGyroradius
Elektronwird gebremst,
= kleinererGyroradius
BvD
Drift verschwindet im mitbewegten System
BvEE D
'
EE
B
BBE
B
BBEBv BE
D
22
2B
BEvD
0'E
ExB-Drift:2B
BEvD
Anwendung: Ionentriebwerk für interplanetare Missionen
B
+
-
E
v
Bsp: B=1T, H-Plasma, v=1000 km/s, E-Feld?m
V
B
vE D 610
Andere Kräfte senkrecht zum MF:
2qB
BFvD
Schwerkraft:
Zentrifugalkraft:
gmF
rmF
Für ladungsunabhängige Kräfte ist Drift von Elektronen undIonen in entgegengesetzte Richtung und führt zur Ladungstrennung!
Beispiele:
Beispiel Schwerkraft:
e
ieeieg m
Z
m
B
Bgnvvenj
2
2, eZB
Bgmv i
iD
2, eB
Bgmv e
eD
Beispiel Schwerkraft:
plasma B
2, eZB
Bgmv i
iD
2, eB
Bgmv e
eD
-+
g
.
E
2B
BEvD
F
Drift im inhomogenen Magnetfeld
höheres Feld:kleinerer Gyroradius
kleineres Feld:größerer Gyroradius
grad B
• “guiding centre” Ansatz problematisch, außerLr
BB
Kraft auf geladenes Teilchen im inhomogenen MF: BF
Drift im inhomogenen Magnetfeld
BF
B
E
B
mv
qB
mv
m
qBqrqIA kin
Lc
,
22
2
222
Magnetisches Moment: IALr
qvI
2 Lcrv
2
LrA
2cq
I
m
qBc
qB
mvrL
Drift im inhomogenen Magnetfeld
BF
BBqB
mv
qB
BFvD
3
2
2 2
B
mv
2
2
Krümmungsdrift
Wegen
folgt aus endlichem Gradienten von B auch eine Krümmung
BB eBeBB )(0
Bewegung parallel zu gekrümmten Feldlinien, relevante Kraft: Zentrifugalkraft
cc
z RR
vmrmrmF
2
2||2
Lokaler Krümmungsradius, im Vakuum: 0 B
0: Rc BRan
Krümmungsdrift
Lokaler Krümmungsradius, im Vakuum: 0 B
0: Rc BRan
r
z
B
RR
RB
RB
110
In 2D:
RB
1~
B
Be
R R
1Allgemein:
cRB
1~
Krümmungsdrift
BRR
mv
qB
BFv c
cD
2
2||
2
B
Be
R cRc
1
BBqB
mvvD
3
2||
cc
RR
vmF
2
2||
Be
mr e
ge v
BeZ
mr i
gi v
ece m
Be
ici m
BeZ
Reines (homogenes) Magnetfeld
Gyrationsfrequenz:
Gyrationsradius:
Elektron Ion
Einzelteilchen verhält sich diamagnetisch
Teilchendriften
BvqFdt
vdm
Bewegungsgleichung:
Bei zusätzlicher Kraft F keine einfachen Kreisbahnen mehr
“guiding centre” Ansatz (für B(r,t), F(r,t) = const)
gc rrr
BvqB
mrg
2
Zusammenfassung Teilchendriften
2qB
BFvD
Kraft senkrecht zum MF führt zu Drift senkrechtzur Kraft und zum MF:
2B
BEvD
ExB-Drift ist für Elektronen und Ionen gleich groß und hat gleiche Richtung!
Drift im inhomogenen Magnetfeld BBqB
mvvD
3
2
2
BBqB
mvvD
3
2||Krümmungsdrift
Anwendung: Driften in ringförmigen Magnetfeldern
BBvvqB
mvD
22||3 2
1B- und Krümmungsdrift:
Ladungstrennung durch B- und Krümmungsdrift führt auf E-Feld,ExB-Drift transportiert Teilchen nach außen
Adiabatische Invarianten
Wiederholung aus Mechanik: Invarianten bei periodischer Bewegung
.constdqp
Gyration ist fast periodische Bewegung, wenn Bdt
dB
r
BB c
g
,
• p und q: kanonisch konjugierter Impuls und Ort
LpqH ii
i potkin EEH potkin EEL
• nach periodischer Bewegung Energieänderung =0:
0LH
• Invariante der Bewegung:
0qpt
Adiabatische Invarianten
Aus Mechanik findet man für periodische Bewegung: .constdqp
Gyration ist fast periodische Bewegung, wenn Bdt
dB
r
BB c
g
,
Elektron im elektromagnetischen Feld: Aevmp
vdt
qd
Verwende Zylinderkoordinaten (r,,z) und :zeBB
eAmvpdtvdq
Adiabatische Invarianten
Elektron im elektromagnetischen Feld:
Zylinderkoordinaten (r,,z) und :zeBB
eAmvpdtvdq
homogenes Bz-Feld:
2/2/ mvmvBermvp L
AB
zz erArr
A
1
drrBrA z zBrrA 2
2
1
eB
mvrL
Adiabatische Invarianten
Elektron im elektromagnetischen Feld:
cdqp Magnetisches Moment ist adiabatische Invariante!
mvBermvp g 2
32/
dtvmvdqmvdqp 2
3
2
3
drdtv L
d
eB
mvmvdrmv L
2
3
2
3
cB
mv
e
m
2
3
Magnetischer Spiegel
Reflexion eines Teilchens im Gebiet höheren Magnetfeldes
Invarianz des magnetischen Moments:B
mv
2
2
bei gleichzeitiger Energieerhaltung führt zu sinkender Parallel-Energiebei Bewegung in Gebiete mit steigendem B, bis zu v||=0 (Reflektion)
Spiegelbedingung: )(2
))()((2 max
2min
2||min
2 Bvm
BvBvm
Magnetischer Spiegel
)(2
)(2 min
2
min
maxmax
2 Bvm
B
BBv
m
min
min2
max
max2 )()(
B
Bv
B
Bv
min
max
min2
min2||
)(
)(1
B
B
Bv
Bv
)(2
))()((2 min
2
min
maxmin
2||min
2 Bvm
B
BBvBv
m
Spiegelbedingung:
Magnetischer Spiegel
1)(
)(
min
max
min2
min2|| B
B
Bv
Bv
Bmax Bmin >>
u.U. Reflektion!Spiegelmaschine
Spiegelmaschinen zum Einschluß heißer Plasmen?
v
v||
Verlustkegel
eingeschlosseneTeilchen
Auffüllung durch Stöße !
spontanerVerlust
Teilchen mit hoher Parallelenergie gehen verloren!(im thermischen Plasma wird “Verlustkegel” durch Stöße immer wieder aufgefüllt)
Spiegelbedingung unabhängig von Masse und Ladung, aber Elektronen haben höhere Stoßfrequenz -> Elektronen gehen schneller verloren
die in Heizzone den Elektronen zugeführte Senkrechtenergie wird vollständig (B1>>B2) in Parallelenergie der Ionen umgesetzt.
Heizzone
zu behandelndesSubstrat (Wafer)
B1
B2
>>
Magnetischer Spiegel zur Oberflächenbehandlung
Van-Allen-Gürtel
„Faszination Polarlicht“
Formen- und Farbenvielfalt
Vorhang
ruhiger Bogen
Bänder
bewegende „Wolken“
Van-Allen-Gürtel
• Erdmagnetfeld: 3 10-5 T, B ~ 1/r3 am Äquator (Dipolfeld)
• B-Drift der Elektronen und Ionen
B
B
BxB
Ionenwestwärts
Elektronenostwärts
Van-Allen-Gürtel
• Erdmagnetfeld: 3 10-5 T, B ~ 1/r3 am Äquator (Dipolfeld)• isotrope Verteilung von 1keV Protonen und 30 keV Elektronen• n=107m-3 an r=5 Rerde
• B-Drift der Elektronen und Ionen (Krümmungsdrift hier vernachlässigt, aber eigentlich auch relevant)
T
RrrB 3
5
/
103)(
TRrB 7104.2)5(
B
B
qB
mvv B
2
2
rB
B 3
smvion /39.0 smvelektron /1017.1 4
Elektronen umrunden Erde in ca. 5 Stunden, Stromdichte: 1.9 10-8 A/m2
R=6380 km
Höhere adiabatische Invarianten
constdsJ ||v2. Invariante:
mittlere Parallelgeschindigkeit in einem (geschlossenen) magnetischen Spiegel ist konstant
Bsp: Drift im Erdmagnetfeld, Magnetfeld ist nicht streng axisymmetrisch (Sonnenwind)!
Sonnenwind und Erdmagnetfeld Magnetosphäre
Teilchenstrahlung aus Sonnenkorona
Elektronen, Protonen 86%, Heliumkerne 13%
Zeitlich stark variabel
Teilchenbewegungen im Magnetfeld
und elektrischen Feld
Bugstoß-welle
Sonnenwind
Sonnenwind
Sonnen-
wind
Plasmaschicht
Höhere adiabatische Invarianten
constdsJ ||v2. Invariante:
Frage: Kommt ein im Magnetfeld der Erde gefangenes Teilchen zwischen Umkehrpunkten wieder an die gleiche Stelle, obwohl Feld nicht exakt axisymmetrisch ist?
• wegen Energieerhaltung (v2=const) und =const. (v
2/B=const) am Umkehrpunkt B= const.
• Da wegen J=const. die Länge der Feldlinien zwischen 2 Umkehrpunkten gleich bleibt, muss Teilchen immer wieder an gleichen Ort zurückkehren
Höhere adiabatische Invarianten
3. Invariante:
.2 consteRAdt
dmRp
Rdpdqp
In Axialsymmetrie bleibt verallgemeinerter Impuls erhalten
Beispiel:
• Drift im Erdmagnetfeld: Fluss umschlossen von Teilchenbahn bleibt konstant
• im axisymmetrischen Tokamak können Teilchen stoßfrei nicht verloren gehen
Bahnkurven energiereicher Teilchen
“guiding-centre”-Ansatz nicht mehr gerechtfertigt (Gyrationsradius nicht mehr klein gegen Krümmungsradius der Feldlinien)
“Störmer-Bahnen”
Polarisationsdrift
Betrachte zeitlich variierendes (Zeitänderung langsam gegen Gyrationsfrequenz )
BtE
)(
2B
BEvD
BB c
Bewegungsgleichung in x-Richtung:
BvqFdt
vdm
zxy
xzyx
Bqvvm
qEBqvvm
xxxzyx EqBv
m
qEqBvqvm
z
22
Polarisationsdrift
Betrachte zeitlich variierendes (Zeitänderung langsam gegen Gyrationsfrequenz )
BtE
)(
2B
BEvD
BB c
Bewegungsgleichung in x-Richtung:
xzxx EqBvm
qvm 2
2
Mittelung über Gyrationsbewegung: 0xvm
xz
x EqB
mv
2
Polarisationsdrift
Betrachte zeitlich variierendes (Zeitänderung langsam gegen Gyrationsfrequenz )
BtE
)(
2B
BEvD
dt
Ed
B
m
B
BdtEdm
dt
vdmF D
2
/
Polarisationsdrift:dt
Ed
qB
mpol
2v
bewirkt Polarisationsstrom (entgegengesetzte Drift für Elektronen und Ionen)
BB c
dt
Ed
B
mnvvne eipol
2j
Betrachte: Kondensator mit magnetisiertem Plasma gefüllt
0/ DED frei
Polarisation verringert E-Feld
Maxwell-Gleichung: t
DjH frei
t
Dj frei
gebfreifrei jjjD
jgeb:Polarisationsstrom
Dielekrizitätskonstante eines magnetisierten Plasmas
Dielekrizitätskonstante eines magnetisierten Plasmas
gebfreifrei jjjD
jgeb:Polarisationsstrom
Freier Strom=Gesamtstrom für D=0 E
t
Ej
0
020
EB
nmED
ti
Polarisationsstrom
Mit folgt: ED
0 20
1B
nmi
00
2 1
c
20
2
1B
nmc i i
Anm
Bv
0
2
2
1Av
c
t
Dj frei
Dielekrizitätskonstante eines magnetisierten Plasmas
2
2
1Av
c
• wegen c>>vA: elektrische Felder in Plasmen sehr gut abgeschirmt
• Ausnahme: Felder mit hohen Frequenzen
Diamagnetische Drift
Keine Massenbewegung, aber Strom:
Kraft auf Teilchen hervorgerufen durch endlichen Druckgradienten:
npF /
2qnB
BpvD
2B
BpjD
-Pinch
Bz
nT>0
r
ZylindrischePlasmasäulein Bz-Feld
j=j
z
“diamagnetischer” Strom reduziert von außen angelegtes Magnetfeld
Diamagnetische Ströme
B
Elektronen-Nettobewegung nach unten
Te=const
ne
r
jdia
Druckgradient erzeugt Ströme senkrecht zum MF
B
Elektronen-Nettobewegung nach unten
ne=const
Te
r
jdia Gyro-Radius ~ T1/2
-Pinch
Bz
nT>0
r
ZylindrischePlasmasäulein Bz-Feld
j=j
z
Plasmaeinschluss: Bjp
p(r)
B(r)
0
p(r)
B(r)
r0
Kaum Änderung des von außen angelegten Feldes“niedrig-ß”-Fall
Starke Änderung des von außen angelegten Feldes“hoch-ß”-Fall (ß=1 falls B=0)