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RISOLUZIONE DI UN TELAIO CON IL METODOMATRICIALE
Si ringrazia lIng. Fabio Di Trapani per la collaborazione alla redazione del presente documento.
Universit degli Studi di PalermoFacolt di Ingegneria
Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica
a.a. 2005- 2006
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Dati e considerazioni preliminari
DATI
Aste di sezione rettangolare aventitutte le dimensioni:
mm300B mm600H Area
2180000mmAMomento dinerzia
43 mm540000000060030012
1I
Coeff. Dilatazione termica16 C00001,01010
Modulo Elastico
MPaRE CKc 312205700 2N/mm30CKR
Effettuata la numerazione dei nodi e delle
aste, si posiziona il sistema di riferimento
globale O(X,Y) e i sistemi di riferimento
locali i( y, ) in modo che questi possano
sovrapporsi al primo in verso attraverso una
rotazione oraria o antioraria.
Il posizionamento dei sistemi di riferimento
locali definito attraverso le seguenti tabelle
in cui sono denominati con i e k gli estremi
dellasta j
646
435
324
423
212
151
kestr.i.estrasta
l
EI4
l
EI60
l
EI2
l
EI60
l
EI6
l
EI120
l
EI6
l
EI120
00l
EA00
l
EAl
EI2
l
EI60
l
EI4
l
EI60
l
EI6
l
EI120
l
EI6
l
EI120
00l
EA00
l
EA
K
22
2323
22
2323
j
La risposta del sistema nota una volta noti gli spostamenti generalizzati
dei nodi 1, 2, 3, 4.Il telaio in esame costituito da aste canoniche ossia
aste che non presentano discontinuit interne, sono dunque gi note le
espressioni delle rigidezze.
La matrice di rigidezza della generica asta assume pertanto la formaseguente:
Valori di rigidezza assiale,flessionale, a taglio.
3kiik
kiik
ki,aik,a
lEI12VV
l
EI4
l
EA
5 6
1 2
3
4
P= 40 KN
F= 30 KN P
20C
40C
2500
2500
1000
2000 2000 4000
2500
1
2
3
4
5
6
X
Y
5 6
1 2
3
4
5 6
1=O 2
3
4
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La matrice di trasformazione)j(
della j-esima asta, che consente la rotazione del sistema di riferimento
globale a quello locale data da:
l00
0xx)yy(
0yyxx
l1 ikik
ikik
)j(
Calcolo delle matrici di rigidezza, delle matrici di trasformazione e delle forze diincastro perfetto.
Si calcolano la matrice di rigidezza e matrici di trasformazione, inoltre si calcolano i vettori delle forze di
incastro perfetto relative a ciascuna asta, al fine di definire il sistema risolvente finale.
Le matrici di rigidezza sono ottenute mettendo a fattor comune il modulo elastico Ec
Le calcolazioni hanno fornito i seguenti risultati.ASTA 1 (estremi 5-1)
mm3500l1
Matrice di rigidezza
57,6171428
9,264451,1
0043,51
29,30857149,2644057,6171428
89,264451,1089,264451,1
0043,510043,51
)1(
11
)1(
15
)1(
51
)1(
55)1(
SYM
EKK
KKK c
Matrice di trasformazione
100
001
010
3500
1
350000
003500
035000)1(
Lasta 1 non presenta carichi in campata e pertanto il vettore delle forze di incastro perfetto nullo.
ASTA 2 (estremi 1-2)mm4000l2
Matrice di rigidezza
5400000
202501,1
0045
2700000202505400000
202501,10202501,1
00450045
)2(
22
)2(
21
)2(
12
)2(
11)2(
SYM
EKK
KKK c
-
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Matrice di trasformazione
100
010
001
4000
1
400000
040000
004000)2(
II
Vettore delle forze dincastro perfetto
Convenzione della Scienza delle Costruzioni.
2
2lba
Nmm200000008Pl
l2
lP
lbPa
Nmm200000008
Pl
l
2
lP
l
Pab
2
2
3
2
2
2
2
21
2
2
3
2
2
2
2
12
Convenzione del Cross.
N200002
PTT
Nmm200000008
Pl
1221
212
0NN
Nmm200000008
Pl
1221
221
Per le date condizioni di carico non sorgono sforzi normali
20000000
20000
020000000
20000
0
ff
)2(
2,0
)2(
1,0 [N-mm]
P= 40 KN
21
P= 40 KN
20002000
y
x
P/2 P/2
Pl/8 Pl/8
a b
-
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ASTA 3 (estremi 2-4)
Matrice di rigidezza
68,4579181
17,145662,0
0016,38
84,228959017,1456068,4579181
17,145662,0017,145662,00016,380016,38
)3(
44
)3(
42
)3(
24
)3(
22)3(
SYM
EKK
KKK c
Matrice di trasformazione
1000848,0530,0
0530,0848,0
4717
1
471700040002500
025004000)3(
Vettore delle forze dincastro perfetto
Il carico P si viene scomposto nelle sue componenti Pne P t , rispettivamente normale e parallela allasse
della trave. Ci consente di calcolare le forze di incastro perfetto per sovrapposizione degli effetti
provenienti dai due schemi.
N21200sinPP
N33920cosPP
324000
2500arctg
t
n
Valutazione degli effetti di Pn
mm176929484717b
mm2948
cos
2500a
Convenzione della Scienza delle Costruzioni
Nmm49,14063947l
abP2
3
2
n24 Nmm40,234372622
3
2
42 l
baPn
Convenzione del Cross
Nmm49,1406394724 Nmm40,2343726242
mm4717yyxxl 2422
423
P
2500
2
4a
Pn
Pt
42
a
Pn = 33,92 KN
a b
4717 mm
4000
2500
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Per la valutazione dei tagli dincastro perfetto si scrive unequazione di equilibrio alla rotazione con
riferimento ai momenti noti( vedasi figura seguente) seguita da unequazione di equilibrio alla traslazione
verticale.
049,140639474,234372622948339204717TaPb)(aT 424242n42
N24,23186T42
NPTTPTT nn 76,107333392024,231860 42244224
Alla Cross
N76,10733T42 N24,23186T42
Valutazione degli effetti di Pt
Pt
a b
2
Lo schema risulta una volta iperstatico per le date condizioni di carico.
Per determinare gli sforzi normali di incastro perfetto che sorgono agli estremi 2 e 4 si applica il metodo
delle forze, dopo aver svincolato uno dei due estremi.
Lequazione di congruenza allestremo 2 :
0)P()N( tx,224x,2
ed essendo:
EA
bP)P(
EA
)ba(N)N(
ttx,2
2424x,2
si ha:
N56,7950ba
bPN0
EA
bP
EA
)ba(N t24
t24
Per calcolare 42N sufficiente scrivere unequazione di equilibrio alla traslazione orizzontale:
N44,13243NPN0NPN 24t4242t24
42
a b
N 24
Y
X
P t= 21,20 KN
Pn42
T24 T42
24
a b
-
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Gli sforzi normali sopra calcolati sono gi alla cross per come sono state concepite le equazioni diequilibrio
Il vettore delle forze di incastro perfetto pertanto il seguente:
4,23437262
24,23186
44,13249
49,14063947
76,10733
56,7950
f
f)3(
4,0
)3(
2,0 [N-mm]
ASTA 4 (estremi 2-3)mm4717l4
Matrice di rigidezza
)3(
)4(
33
)4(
32
)4(
23
)4(
22)4(
KKK
KKK
Matrice di trasformazione [mm]
100
0848,0530,0
0530,0848,0
4717
1
471700
040002500
025004000)4(
Vettore delle forze dincastro perfetto
La presenza di un carico termico trapezoidale induce al calcolo delle forze di incastro perfetto per
sovrapposizione degli effetti mediante due schemi, uno con un carico termico uniforme laltro con un
carico termico a farfalla ( vedasi figura sotto ).
40C
20C
2
3
l
2 3
30 C
30 C
+10 C
-10 C
32
a)
b)
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Schema (a)
Lo schema (a) per la presenza del carico termico uniforme, risulta una volta iperstatico a sforzo normale.
Si risolve utilizzando nuovamente il metodo delle forze con i versi positivi alla Cross.
Lequazione di congruenza allestremo 2 :
0)t()N( x,223x,2 ;e calcolando gli spostamenti:
tl)t(
EA
lN)N(
4x,2
42323x,2
N1685880tEAN0tlEA
lN234
423
Per il calcolo di 32N sufficiente scrivere unequazione di equilibrio alla traslazione orizzontale.
N1685880tEANN0NN 23323223
Schema (b)
Per risolvere lo schema (b) si utilizza lanalogia del Mohr abbinata al metodo delle forze.
Svincolando lo schema che si presenta il seguente:
X1
2 3
-10C
+10C
X2
Lequazione di congruenza :
0)t()X()X(22212
Che sufficiente a risolvere il problema poich per simmetria di carico si ha:
XXX 21
E noto che:
EI6
Xl)X(
EI3
Xl)X(
422
412
Le rotazioni prodotte dal carico termico si valutano attraverso lanalogia di Mohr. Le curvature che sigenerano sono negative, costanti e pari a 2aDt/H, pertanto il carico sulla trave ausiliaria positivo e
costante (vedasi figura).
X
Y
N23
23
30
30
-
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2 3
32
( - ) 2 t/H
l t/Hl t/H
Il valore della rotazione allestremo 2, coincidente con il taglio sulla trave di Mohr :
HEI
tl)t( 42
Infine:
H
tEI2X0
H
tl
EI6
Xl
EI3
Xl3223
444
Secondo la convenzione del Cross:
Nmm5619600H
tEI223 ; Nmm5619600
HtEI2
32
Il momento costante lungo la trave e pertanto non sorgono sforzi di taglio.
Il vettore delle forze di incastro perfetto allora il seguente:
56196000
0
1685880
56196000
0
1685880
f
f)4(
3,0
)4(
2,0 [N-mm]
ASTA 5 (estremi 3-4)mm5000l5
Matrice di rigidezza [N-mm]
4320000
129652,00036
2160000129604320000
129652,00129652,0
00360036
)5(
44
)5(
43
)5(
34
)5(
33)5(
SYM
E
KK
KKK c
Matrice di trasformazione [mm]
100
001
010
5000
1
500000
005000
050000)5(
Lasta 5 non presenta carichi in campata e pertanto il vettore delle forze di incastro perfetto nullo.
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ASTA 6 (estremi 4-6)mm1000l6
Matrice di rigidezza [N-mm]
21600000
3240080,64
00180
1080000032400021600000
3240080,6403240080,64
0018000180
)6(
66
)6(
64
)6(
46
)6(
44)6(
SYM
EKK
KKK c
Matrice di trasformazione [mm]
100
001
010
1000
1
100000
001000
010000)6(
Anche lasta 6 scarica in campata e non sorgono forze di incastro perfetto.
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Sistema risolvente
Il sistema risolvente che rappresenta in forma matriciale unequazione di equilibrio nella quale sono
incogniti gli spostamenti generalizzati ha la forma:
fFK
ed cos composto:
)3(
4,0
)4(
3,0
)4(
2,0
)3(
2,0
)2(
2,0
)2(
1,01
4
3
2
1
)6(
44
)5(
44
)3(
44
)5(
43
)3(
42
)5(
34
)5(
33
)4(
33
)4(
32
)3(
24
)4(
23
)4(
22
)3(
22
)2(
22
)2(
21
)2(
12
)2(
11
)1(
11
f
f
fff
f
0
0
0
F
KKKKK0
KKKK0
KKKKKK
00KKK
4
3
2
1
Tale sistema ha valore nel sistema di riferimento globale e pertanto necessario convertire le grandezze
in precedenza calcolate e riferite ai sistemi locali delle aste.
I sottoblocchi da cui composta la matrice di rigidezza globale sono prelevati dalle matrici di rigidezza
locali delle aste e vengono inseriti dopo la conversione che avviene tramite le rispettive matrici di
trasformazione nel seguente modo (es. sottoblocco)1(
11K ):
)1()1(
11
T)1()1(
11KK
Anche i vettori delle forze di incastro perfetto locali devono essere riferiti al sistema globale, ad esempio
per il vettore)2(
1,0f si ha :
)2(
1,0
T)2()2(
1,0 ff
Il vettore dei carichi nodali invece direttamente valutato nel sistema di riferimento globale:
0
0
0
F
F
1
;
0
0
30000
F1
Attraverso linversione della matrice di rigidezza globale si risale al vettore degli spostamenti incogniti.
000013,0
009905,0
029403,0
000062,0
000661,0
025834,1
000141,0
562204,0
269681,0000064,0
015157,0
236610,0
)fF(K 1
4
3
2
1
-
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Calcolo delle sollecitazioni di estremit. Verifica dellequilibrio
Una volta ricavati gli spostamenti nel sistema di riferimento globale necessario, valutare le loro
componenti nei singoli sistemi locali. Ci allo scopo di determinare le sollecitazioni)j(
iS , )j(
kS di
estremit di ciascuna asta in funzione dei suoi spostamenti, valutati nel sistema locale attraverso
lespressione:
)j(
k,0
)j(
i,0
)j(
k
)j(
i)j(
kk
)j(
ki
)j(
ik
)j(
ii)j(
k
)i(
i
f
f
KK
KK
S
S
Ad esempio per lasta 1 si ha:
0
00
KK
KK
S
S)1(
1
)1(
11
)1(
15
)1(
51
)1(
55)1(
1
)1(
5
per lasta 2 :
)2(
2,0
)2(
1,0
)2(
2
)2(
1)2(
22
)2(
21
)2(
12
)2(
11()2
2
)2(
1
f
f
KK
KK
S
S
e cosi via per le altre aste.
Si riportano di seguito i valori di sollecitazione delle aste accompagnati da una verifica di equilibrio.
I valori delle sollecitazioni di estremit, che nei vettori di sollecitazione sono espressi in [N-mm], sono
espressi nelle figure e nei calcoli di verifica in in [KN-m] per questioni di spazio.
ASTA 1
31900933
16463
24336
25719406
16463
24336
S
S)1(
1
)1(
5 [N-mm]
Verifica:
Equilibrio alla rotazione attorno al punto 5:
01,050,346,1690,3172,25 OK
1
5
X
Y
24,33
16,46
31,90
25,72
16,46
24,33
[KN-m]
-
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ASTA 2
14556451
15664
46461
31900923
24336
46461
S
S
)2(2
)2(
1[N-mm]
Verifica
Equilibrio alla traslazione verticale: 4099,3966,1533,24 OKEquilibrio alla rotazione attorno al punto 1: 01,0466,1555,142409,31 OK
ASTA 3
63838810
42255
59826
35480082
8335
38626
)3(
4
)3(
2
S
S [N-mm]
Verifica
Equil. alla trasl. X : 1310cos83,59sin25,42sin33,8cos63,38 OK
Equil. alla trasl. Y : 5108sin83,59cos25,4240cos33,8sin63,38 OKEquil. alla rotaz. attorno al punto2 : 026,072,425,4284,6350,24048,35 OK
40 KN
X
Y
1 2
46,46
24,33
31,90
15,66
46,46
14,55
[KN-m]
[KN-m]
4
2
XY
40 KN
32
38,63
8,33
35,48
42,2563,84
59,83
-
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ASTA 4
47844086
46521664
50036543
465
21664
S
S)4(
3
)4(
2 [N-mm]
Verifica
Equilibrio alla rotazione attorno al punto 2: 03,0717,446,084,4704,50 OK
ASTA 5
42778281
18124
11876
47844076
18124
11876
S
S)5(
4
)5(
3 [N-mm]
Verifica
Equilibrio alla rotazione attorno al punto 3: 02,0512,1878,4284,47 OK
ASTA 6
25401317
46462
5566421060520
46462
55664
)6(
6
)6(4
S
S [N-mm]
Verifica: Equilibrio alla rotazione attorno al punto 4
0146,4640,2506,21 OK
3
2
X
Y32
0,46
21,66
50,04
0,4621,6
47,84
[KN-m]
[KN-m]
[KN-m]
3
4
X
Y
11,87
47,84
18,12
18,12
11,87
42,78
25,40
55,66
46,46
46,46
21,06
55,66
Y
X
6
4
-
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DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI
SFORZO NORMALE [KN]
-Compressione+Trazione
TAGLIO [KN]
Convenzione per itagli positivi
-46,46
-24,
34
-38,63
-59,83
-21,6
6
+11,8
7
-55,66
+46,46
+18,
12
+0,46
-42,25
-8,33
-16,
46
-15,66
+24.33
-
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MOMENTO FLETTENTE [KNm]
Convenzioneper i momentipositivi
Verifica di equilibrio ai nodi
NODO 2
01,055,1448,3504,50 OK
NODO 4
006,2178,4284,63 OK[KN-m]
[KN-m]
31,90
3
5,40
25,72
14,55
50,0
4
4
7,84
42,78
63
,84
21,06
25,40
2
50.04
14,55
35,48
4
42,78
63,84
21,06
-
7/25/2019 Telaio metodo matriciale ( Fabio di Trapani )
17/17
Verifica dellequilibrio globale
F= 30 KN
P= 40 KN
P= 40 KN
16,46
24,34
25,72
5 6
25,40
46,46
55,66
Equil. alla trasl.lungo X: 046,4646,1630 OK
Equil. alla trasl.lungo Y: 066,5534,244040 OK
Equil. rotaz. att.al p.to 5: 004,040,25866,555,6402405,33072,25 OK
Deformata
3'3
4'
4
6
2'
2
5
1' 1