Fisica ILuis Carlos Pardo
Planta 2 edifici C Despatx C2 4Planta 2, edifici C, Despatx C2.4
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
4.- Transformacions de Galileu
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
4.- Transformacions de Galileu
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
Producte escalar
El producte escalar de dos vectors és l’escalar x x y y z zA B A B A B A B
A
Producte escalar
cos 0A B AB
pot ser expressat comA B A
B
P l l j ió d A l di ió d UPer calcular una projecció de A en la direcció de U
cosAUA
Producte vectorial
El producte vectorial de dos vectors és el vector
ˆˆ ˆi j kBA B
, ,x y z y z z y z x x z x y y x
x y z
A B A A A A B A B A B A B A B A BB B B
B
uté la propietat i A B A
A B B
A
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
1.- Breu repàs de derivadesDerivades en una dimensió f
Derivada = canvi ftgx
ff
x
x
f
df
Si els canvis son petits, la tangent es una derivadaf
xx
df
'dftg fdx
0ff
dxdf
dxfdxdxdfdf '
xx0x
dx
Si volem obtenir un canvi “gran” de la derivada: integrem
'f x
df f dx 'x
f f f d 'x
f f f d
0
'f f f0 0f x
df f dx (integral definida, no cal constant d’integració)
0
0 'x
f f f dx 0
0 'x
f f f dx Si f’=cte 0 0'f f f x x
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
Cinemàtica del punt2.- Cinemàtica del punt
p
G lil G lil i iGalileo Galilei… eppur si muove
1.- Breu repàs de derivadesSi f=posició i x=temps xp p
xtg v
xx
Velocitat mitjana xtg vt
t
x
j x
x v t Calculem un desplaçament ttx v t Calculem un desplaçament
Si els canvis son petitsvelocitat en un puntx
dxvdt
0xx
dtdx
Velocitat instantània
tt0t
dt
t0t
1.- Breu repàs de derivadesSi f=velocitat i x=temps vp
vtg a
vv
Acceleració mitjana tg at
t
v
j
v a t Calculem un increment de velocitat
tt
Si els canvis son petitsacceleració en un puntv
dvadt
0vv
dtdx
Velocitat instantània
tt0t
dt
t0t
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
1.- Breu repàs de derivadesObtenim la posició en funció del temps
x t
t
dVELOCITAT CONSTANT (MRU)
dx
0 0x t
dx vdt (integral definida, no cal constant d’integració)
0
0t
x x vdt 0 0( )x x v t t v ctedxv ctedt
Integrem
ACCELERACIÓ CONSTANT (MRU) (segona llei de Newton)
dva ctedt
Integremv t
dv adt a cte 0
t
v v adt 0 0( )v v a t t dt0 0v t
0t 0 0( )
0 0( )dxv v a t tdt
!!!!v cte
Integrem 0 0
0 0( )x t
x t
dx v a t t dt 2
0 0 0 01( ) ( )2
x x v t t a t t
1, 2, 5, t7, t14
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
Cinemàtica del punt
Vector Posició ,r x y ,r x y
x
y
Pot variar amb el temps!! ( ) [ ( ), ( )]r t x t y t
2( ) [2 ]r t t t
x
y ( ) ( ), ( )r t x t y t
( ) [2 , ]r t t t y
Vector desplaçament 2 1 2 1 2 1( , )r r r x x y y
dr
( )dr dx dy ( )r tDesplaçament "petit" = diferencial
dt )(x
( , )dr dx dy... és a dir quan a passat un dt
rdtr )(y
Cinemàtica del punt
Vector posició
( ) ( ) ( )t t t
)](),(),([)( tztytxtr 2( ) [2 , ]r t t t
nt
int
x
y ( ) ( ), ( )r t x t y t
deriv
a tegrant
,dr dx dyv rdt dt dt
Vector velocitat( )r t
( )v tx
dt dt dt ( ) [2, 2 ]v t t
Tangent a la trajectòria!!!
y
El podem fer unitari dividint pel seu mòdulp p
( ) [2, 2 ]v t t
22 2 2( ) 2 2 4 4 2 1v t t t t
2 2
[2, 2 ] [1, ]ˆ( )2 1 1
t tv tt t
Útil per projectar l’acceleració en la direcció de la trajectòria
Cinemàtica del punt
Vector posició
( ) ( ) ( )t t t
)](),(),([)( tztytxtr 2( ) [2 , ]r t t t
nt
int
x
y ( ) ( ), ( )r t x t y t
deriv
a tegrant
,dr dx dyv rdt dt dt
Vector velocitat( )r t
( )v tx
dt dt dt ( ) [2, 2 ]v t t
Tangent a la trajectòria!!!ivan
t integ
y
ˆV t l ió
der grant
( )r t
v
nR
2 2 2
2 2 2,dv d r d x d ya v rdt dt dt dt
Vector acceleració( ) [0, 2]a t
dt dt dt dt
7,t1,t2,t3
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
Moviment parabòlicDos ingredients:
velocitat inicial gravetaty g
0 0,x yv v v 0,a g
x
y
Agafant aquestSistema de referència
Escrivim les equacions en x i en y:
posició velocitat
0 0 0( )xx x v t t
20 0 0 0
1yy y v t t g t t
p0x xv v
0 0y yv v g t t 0 0 0 02yy y g 0 0y y g
y
h0 yv maxh
x0xvmaxd
Moviment parabòlicSuposem t0=0, y0=0 i X0=0 per simplificar
Condició hmax 0yv 0 yvt
g
2 20 0 0
max 012
y y yy
v v vh v g
g g g
g 2g g g
2vCondició dmax 0y
02 yvt
g 0 0
max
2 x yv vd
g
y 0yv
v maxh0 yv
11, 18, t5, t12
x0xvmaxd 0y
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
Cinemàtica del puntObjectiu:
Acceleració tangencial (at): ens dona informació sobre canvis en celeritat (mòdul de velocitat)
Separar els canvis en la direcció dels canvis en la celeritat
ens dona informació sobre canvis en celeritat (mòdul de velocitat)
component binormalpcap a on gira
Acceleració normal (an): ens dona informació sobre canvis en direcció
Cinemàtica del puntObjectiu:
Separar els canvis en la direcció dels canvis en la celeritat
MatemàticamentMatemàticament
vvv ˆDireccióCeleritat
d
tn uddvu
dvdvv
ddv
ddtvd
dvdvv
ddv
dvdv
dvvd
dvda ˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆˆˆˆ
tn dtdtdt
dtvddtdtdtdtdt ˆ
Cinemàtica del puntObjectiu:
Relacionar an amb el radi de curvatura
a
a
( )r t
ta
Na CURVR
ˆd dd
vd ˆ)(ˆ tv
)(tr
Per semblança de triangles
ˆˆ C
dv drv R
Rd
)(ˆ dttv rd
CURVv RCURVR
ˆ 1v
2
ˆ 1
CURV CURV
dv dr vdt R dt R
dtvdvRCURVˆ
2
ˆN NCURV
va uR
CURV CURV CURV
Dividint per dt... i definint Radi de curvatura
Cinemàtica del puntLes components tangent i normal es calculen com ˆ ˆ,v n
ˆ ˆT na a v a n
normal (a )tangencial (a )
ˆTdva a vdt
2
ˆNva a vR
normal (an) tangencial (at)
componentdt cR
vv
ˆ vdvdn ˆˆˆ vector unitariv dtdt
ˆTa v
a
ˆNa n( )r t
R
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
Cinemàtica del punt( )t Angle (en funció del temps)( )
( ) dtdt
g ( p )
Velocitat angular
( ) dtdt Acceleració angular
( )tMCU 0( )t cte
R
( )0 0 0( ) ( )t t t cos ( )x R t
MCUA
1 0 0( )t t t
20 0 0 0
1( ) ( )2
t t t t t
Cinemàtica del puntMagnituds angularsMagnituds lineals
( )t
( ) dtd
Angle (en funció del temps)
Velocitat angular
Posició( )x t
( ) dxv tdt
Velocitat ( )dt
( ) dtdt
g
Acceleració angular
dt
( ) dva tdt
Acceleració
dtMCU 0( )t cte MRU 0( )v t v cte
0 0 0( ) ( )t t t 0 0 0( ) ( )x t x v t t
MCUA
1 0 0( )t t t
MRUA
1 0 0( )v t v t t
20 0 0 0
1( ) ( )2
t t t t t 20 0 0 0
1( ) ( )2
x t x v t t a t t
Cinemàtica del punt
ˆTa a v
MCU
Na cteT
2v
0ta
Nc
vaR
MCUA
R
MCUA2
2 2 2N
va R RtR
ta cte
Cinemàtica del puntRelació moviment circular coordenades cartesianes
2 2 2 2 2 2( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( )r t R t R t R t t R
( ) cos ( ) sin ( )r t R t R t
( )r t R
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )tsin ( )y R t
( ) cos ( ), sin ( )r t R t R t ( )r t R
R
( )cos ( )x R t
Cinemàtica del punt
P i ió
( ) cos ( ), sin ( )r t R t R t
Posició
MCU (t0=0, φ0=0) 0( )t t
( ) cos sinr t R t t
( )tsin ( )y R t
0 0( ) cos ,sinr t R t t
( ) sin cosv t R t t
Velocitat
R
( )cos ( )x R t
0 0 0( ) sin ,cosv t R t t
0( )v t R
La celeritat és constant
20 0 0( ) cos ,sina t R t t
0( )v t R La celeritat és constantAcceleració
20( )a t R
Components de l’acceleració
El mòdul d’acc. és constant
20na R
0 0t
d v d Ra
dt dt
21, 24, t4, t9
Tema 2
CINEMÀTICA DEL PUNTCINEMÀTICA DEL PUNT
1.- Breu repàs de càlcul vectorial
2.- Breu repàs de derivades
3 - Cinemàtica del punt3.- Cinemàtica del punt
3.1.- Cinemàtica en una dimensió3 1 1 - Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.1. Velocitat i acceleració (mitjana i instantànies)3.1.2.- Equacions del moviment
3.2.- Cinemàtica en dues dimensions (vectors r,v, i a)( , , )
3.3.- Moviment parabòlic
3.3.- Components intrínseques de l’acceleració: normal i tangencial
3.4.- Moviment circular
4.- Transformacions de Galileu
Transformacions de GalileuCom veu un observador que es mou un objecte respecte a un que està quiet?
y’y
r
'r
xv
v t 'xx’x
xv t x
x
'y y' xr r v t 'y y
x' xx x v t ' xx x v t
20, t8, t10
Saturn devorant els seus fills
Peter Paul Rubens1577-1640
Saturn devorant els seus fills
Peter Paul Rubens1577-1640
Francisco José de Goya1746 – 1828