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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tema 4. Distribuciones de probabilidad continuas(Parte I)
ESTADISTICA EMPRESARIAL - Grado en ADE
Jose Jaime Noguera [email protected]
10 de marzo de 2019
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
CONTENIDOS
1 Distribucion Uniforme
2 Distribucion Normal
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Distribucion Uniforme en [a, b]
Funcion de densidad: f (x) = 1b−a , con a ≤ x ≤ b.
Diremos que X → U(a, b)Funcion de distribucion: F (x) = x−a
b−a para a ≤ x ≤ bMedia: E [x ] = b+a
2 .
Varianza: Var(X ) = (b−a)2
12
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Distribucion Uniforme en [a, b] . EJEMPLO
A una conferencia se espera que lleguen entre 100 y 150 personas.a) Define una variable aleatoria contınua que modelice el
problema.b) Halla la funcion de densidad.c) Halla la esperanza.d) Halla la varianza.e) Probabilidad de que lleguen menos de 132 personas.
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Distribucion Uniforme en [a, b]. EJEMPLO
A una conferencia se espera que lleguen entre 100 y 150 personas.a) Define una variable aleatoria contınua que modelice el
problema: X → U(100, 150)b) Halla la funcion de densidad: f (x) = 1
150−100 , con100 ≤ x ≤ 150
c) Halla la esperanza: E [X ] = 100+1502
d) Halla la varianza: Var(X ) = (150−100)2
12e) Probabilidad de que lleguen menos de 132 personas:
P(X ≤ 132) = 132−100150−100 = 0,64
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Definicion
La Distribucion Normal se define como aquella distribucion cuyafuncion de densidad es
fX (x) = 1σ√
2πe− 1
2σ2 (x−µ)2, −∞ < x <∞, σ > 0
Si una variable aleatoria, X , tiene dicha funcion de densidad lo ex-presamos como:
X ; N(µ, σ).
Se puede demostrar que si X ; N(µ, σ), entonces:
E [X ] = µ y V (X ) = σ2.
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Normal estandar
Si µ = 0 y σ = 1, denominamos a la distribucion como normalestandar. La grafica en este caso es:
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Areas bajo N(0, 1)
Si Z ; N(0, 1), para hallar P{a < Z < b} debemos calcular el areabajo la curva normal entre x = a y x = b, es decir,
P(a < Z < b) =∫ b
a
1√2π
e− 12 x2dx .
Dicha integral no admite una expresion explıcita por lo que debecalcularse mediante un metodo numerico. Ası pues, podemos utilizar:
Software R, mediante pnorm(x,0,1) que nos da la P(Z < x).Otro software o calculadora.Uso de tablas. Estas tablas se pueden utilizar en el examen.
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)La Tabla A.5 nos proporciona P(Z ≤ z) para
z ∈ {−3,50;−3,51; . . . ; 3, 59}.Por ejemplo P(Z < 1, 96) = 0, 9750.¿Como calcular P(Z > 1, 96)?Por simetrıa: P(Z > 1, 96) = P(Z < −1, 96) = 0,25.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P(Z > 1, 5) = P(Z < −1,5) = 0,0668.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P(Z > 1, 2) = 1− P(Z < 1, 2) = 1− 0,8849 = 0, 1151
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
−3 −2 −1 0 1 2 30.
00.
10.
20.
30.
4
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P{Z > −1,5} = 1− P{Z < −1, 5} = 1− 0, 0668 = 0, 9332,O bien P{Z > −1,5} = P(Z < 1,5)
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
−3 −2 −1 0 1 2 30.
00.
10.
20.
30.
4
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P(2 < Z < 2,5) = P(Z < 2, 5)− P(Z < 2)= 0,9938− 0,9772= 0, 0166.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tabla N(0, 1)
P(|Z | < 1) = P(−1 < Z < 1) = P(Z < 1)− P(Z < −1)= 0, 8413− 0,1587 = 0, 6826.
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Tipificacion
Si partimos de una X ; N(µ, σ) debemos transformarla a unaN(0, 1) ya que solo dispondremos de dicha tabla. Si estuviesemostrabajando con el software R, esto no serıa necesario. Este procesose denomina tipificacion.
TipificacionLa relacion existente entre Z ; N(0, 1) y una X ; N(µ, σ) es lasiguiente:
Z = X − µσ
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Ejemplo
Sabemos que la altura de los jovenes de entre 14 y 18 anos de unalocalidad sigue una normal con media 174 cm y desviacion tıpica 7cm. Calcula la probabilidad de que un joven de 15 anos mida entre170 y 176 cm.Sea X la variable aleatoria objeto de estudio, X ; N(174, 7).Tipificando Z = X−174
7 ; N(0, 1). Por tanto:
P(170 < X < 176) = PÅ170− 174
7 <X − 174
7 <176− 174
7
ã= P(−0, 57 < Z < 0, 29)= P(Z < 0, 29} − P{Z < −0,57)= 0,6141− 0,2843= 0,3298
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
Calcular la abcisa de una N(0, 1)
Supongamos que queremos conocer el z tal que P(Z ≤ zp) =0, 3632. Para ello, simplemente debemos buscar en la tabla y ob-tenemos que zp = −0,35.
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
EJERCICIOS
EJERCICIO 1. Si X → U(2, 5) calculaa) P(X ≤ 2, 4)b) P(X ≤ 7)c) P(X > 7)d) P(X > 2, 7)
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
EJERCICIOS
EJERCICIO 2. Si X → N(0, 1) calculaa) P(X ≤ 2, 5)b) P(X ≤ −2, 54c) P(X > 2, 14)d) P(X > −1, 53)e) P(−0, 56 < X < 2, 18)
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Distribucion Uniforme Distribucion Normal
EJERCICIOS
EJERCICIO 3. Si X → N(45, 8) calculaa) P(X ≤ 49)b) P(X ≤ 40c) P(X > 53)d) P(X > 36)e) P(41 < X < 56)