Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
TEMA 5. LIMITES, CONTINUIDAD YASINTOTAS
MATEMATIQUES APLICADES A LAS CCSS II
Jose Jaime Noguera NogueraIES JOSEP IBORRA
25 de noviembre de 2020
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
IntroduccionSi representamos la funcion f (x) = x2−3x
x−4 , obtenemos:
Podemos decir que:lım
x→+∞f (x) = +∞
lımx→−∞
f (x) = −∞lımx→4
f (x) = ±∞, o bien lımx→4−
f (x) = −∞, lımx→4+
f (x) = +∞.
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
IntroduccionSi ahora representamos la funcion f (x) = x2−3x
x2−4 , obtenemos:
Podemos decir que:lım
x→+∞f (x) = 1
lımx→0
f (x) = 0lımx→2
f (x) = ±∞
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
Lımite cuando x →∞
Si queremos expresar a que tiende la funcion cuando la x se hacearbitrariamente grande, lo denotamos ası: lım
x→+∞f (x). Puede ocurrir
que sea finito o infinito.
Definicion de lımite finito cuando x → +∞Dada una funcion f definida en (a, b), decimos que lım
x→+∞f (x) = L
si ∀ε > 0, ∃K > 0, tal que si x > K , entonces |f (x)− L| < ε
Definicion de lımite infinito cuando x → +∞Dada una funcion f definida en (a, b), decimos que
lımx→+∞
f (x) =∞ si ∀M > 0, ∃K > 0, tal que si x > K , entoncesf (x) > M
Analogamente se puede definir para lımx→−∞
f (x) = L, lımx→∞
f (x) = L,lım
x→−∞f (x) =∞, . . .
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
Lımite cuando x → x0
Decimos que el lımite de una funcion f (x) cuando x tiende a x0 esL y lo denotamos por
lımx→x0
f (x) = L,
si f (x) ”se acerca” a L cuando x ”se acerca” a x0.
La definicion formal es la siguiente:
Definicion de lımite finito cuando x → x0
Dada una funcion f definida en (a, b), decimos que lımx→x0
f (x) = Lsi ∀ε > 0, ∃δ > 0, tal que si 0 < |x − x0| < δ, entonces|f (x)− L| < ε
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
Lımite cuando x → x0
Figura: Definicion de lımite finito.
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Lımite cuando x → x0
De la misma manera dicho lımite puede ser infinito, denotandolocomo:
lımx→x0
f (x) = +∞,
Cuya definicion formal es:
Definicion de lımite infinito cuando x → x0
Dada una funcion f definida en (a, b), decimos quelım
x→x0f (x) = +∞ si ∀M > 0, ∃δ > 0, tal que si 0 < |x − x0| < δ,
entonces f (x) > M
Analogamente se puede definir lımx→x0
f (x) = −∞.
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
Lımite cuando x → x0
Mediante la expresion lımx→x−0
f (x) denotamos el lımite lateral por la
izquierda de x0, que significa a lo que tiende la funcion cuando nosacercamos a f (x) por la izquierda de x0.Tenemos diferentes opciones:
lımx→x−
0
f (x) = +∞
lımx→x−
0
f (x) = −∞
lımx→x+
0
f (x) = +∞
lımx→x+
0
f (x) = −∞
lımx→x−
0
f (x) = L
lımx→x+
0
f (x) = L
Decimos que el lımite finito en un punto x0 es L si existen amboslımites laterales por la izquierda y por la derecha de x0 y ademasambos son L, es decir:
lımx→x0
f (x) = L⇔ lımx→x−0
f (x) = L = lımx→x+
0
f (x)
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Propiedades de los lımitesSi tenemos dos funciones f y g para las que existen los lımites
lımx→x0
f (x) = L, lımx→x0
g(x) = K ,
se cumple que:lım
x→x0[cf (x)] = c · lım
x→x0f (x) = c · L (siendo c ∈ R)
lımx→x0
(f (x)± g(x)) = lımx→x0
f (x)± lımx→x0
g(x) = L± K
lımx→x0
(f (x) · g(x)) = lımx→x0
f (x) · lımx→x0
g(x) = L± K
lımx→x0
f (x)g(x) =
lımx→x0
f (x)
lımx→x0
g(x) = LK (con K 6= 0)
lımx→x0
f (x)g(x) = lımx→x0
f (x)lım
x→x0g(x)
= LK (con L > 0)
lımx→x0
ln f (x) = ln(
lımx→x0
f (x))
= ln L (con L > 0)
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Ejercicios de lımites
En los siguientes ejercicios utilizamos este esquema1 lım
x→∞3x2 + 5x − 1 = ∞
2 lımx→∞
3x12 =∞
3 lımx→∞
3x =∞
4 lımx→∞
(12
)x= 0
5 lımx→∞
log3 x5
x = 0
6 lımx→∞
x1000
2x = 0
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Ejercicios de lımites
7 lımx→∞
x5 − 3x2 + 7−2x3 − 5x + 1 = −∞
8 lımx→∞
3x5 − 3x2 + 77x2 − 5x4 + 1 = −∞
9 lımx→∞
3x5 − 3x2 + 77x5 − 5x4 + 1 = 3
7
10 lımx→∞
3 3√x9 +√
x√x8 + 5x2
= lımx→∞
3 · x 93 + x 1
2
x 82 + 5x2
= 0
11 lımx→∞
3 3√x5 − 3x3
3x + 5√x6' lım
x→∞3 3√x5
5√x6=∞. Mas rigurosamente:
= lımx→∞
3 3√x5−3x3
x53
3x+ 5√x6
x53
= lımx→∞
3 3√
x5
x5 − 3 x3
x5
3x
x53
+ 5√
x6
x5·53
= lımx→∞
33
√���
1
x5
x5 − 3���
0
x3
x5
���7
03x
x53
+5
√���7
0
x6
x253
= 30 =∞
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Ejercicios de lımites
12 lımx→∞
6√
x5 − 4x3 4√16x10 + 7x
' lımx→∞
6√
x5
3 4√16x10= lım
x→∞6x 5
2
3 4√16 · x 104
= 1
13 lımx→∞
x5 − 2x6 − 53x2 + 1 =∞−∞ = lım
x→∞x5︸︷︷︸
orden 5
− 2x6 − 53x2 + 1︸ ︷︷ ︸
orden 6−2=3
=∞
14 lımx→∞
x3
2x + 4− 3x4
x2 + 1 =∞−∞ = lımx→∞
x3
2x︸︷︷︸orden 2
+ 4− 3x4
x2 + 1︸ ︷︷ ︸orden 2
=
lımx→∞
x3(x2 + 1) + 2x(4− 3x4)2x(x2 + 1) = lım
x→∞
−5x5 + x3 + 8x2x3 + 2x = −∞
15 lımx→∞
√5x + 3−
√2x =∞−∞ = lım
x→∞
√5x + 3︸ ︷︷ ︸
orden 12
−√
2x︸ ︷︷ ︸orden 1
2
=
lımx→∞
(√
5x + 3−√
2x)(√
5x + 3 +√
2x)√5x + 3 +
√2x
=
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Ejercicios de lımites
15 lımx→∞
((√
5x + 3)2 − (√
2x)2)
√5x + 3 +
√2x
= lımx→∞
3x + 3√5x + 3 +
√2x
=∞
16 lımx→∞
(x2 + 71 + x2
) x2+1x
= 1∞ =
elım
x→∞
(x2 + 71 + x2 − 1
)·(
x2 + 1x
)= e
lımx→∞
6x = e0 = 1
17 lımx→−∞
√2x2 + x + x = lım
x→∞
√2(−x)2 + (−x) + (−x) =
lımx→∞
√2x2 − x − x = ∞−∞ = lım
x→∞
√2x2 − x︸ ︷︷ ︸orden 1
− x︸︷︷︸orden 1
=
lımx→∞
(√
2x2 − x − x) · (√
2x2 − x + x)√2x2 − x + x
= lımx→∞
x2 − x√2x2 − x + x
=∞
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Ejercicios de lımites
18 lımx→−∞
3x3 − 5x2 + 84x2 + 7 = lım
x→∞3(−x)3 − 5(−x)2 + 8
4(−x)2 + 7
lımx→∞
−3x3 − 5x2 + 84x2 + 7 = −∞
19 lımx→∞
(−2x5 + 3xx2 − 5x5
) x3+2x2
=(2
5
)∞= 0
20 lımx→2
2x3 − 53x + 1 = 2 · 23 − 5
3 · 2 + 1 = 117
21 lımx→2
x3
2x − 4 = 80 = ±∞. Hay que estudiar lımites laterales:[
1,93
2·1,9−4 = −]⇒ lım
x→2−
x3
2x − 4 = −∞[2,13
2·2,1−4 = +]⇒ lım
x→2+
x3
2x − 4 = +∞
No hay lımite.
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Ejercicios de lımites
22 lımx→2
x2 − 2xx2 − x − 2 = 0
0 = lımx→2
x(x − 2)(x + 1)(x − 2) = lım
x→2
x(x + 1) = 2
3
23 lımx→3
x2 − 6x + 9x3 − 4x2 + x + 6 = 0
0 = lımx→3
(x − 3)2
(x + 1)(x − 2)(x − 3)lımx→3
x − 3(x + 1)(x − 2) = 0
24 lımx→5
√x2 − 3x − 10
3√x − 5= 0
0 = lımx→5
6
√(x2 − 3x − 10)3
(x − 5)2
lımx→5
6
√√√√((x + 2)(x − 5))3
(x − 5)2 = lımx→5
6√
(x + 2)3(x − 5) = 0
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Asıntotas
ASINTOTA HORIZONTAL. Si lımx→+∞
f (x) = L o bienlım
x→−∞f (x) = L, entonces y = L es asıntota horizontal (a
derecha o a izquierda).ASINTOTA VERTICAL. Si lım
x→x0f (x) = ±∞ (o bien
lımx→x+
0
f (x) = ±∞ o lımx→x−0
f (x) = ±∞ en el caso de estar
definida por partes, siendo x0 el punto con definicionesdistintas a derecha e izquierda), entonces x = x0 es asıntotavertical)
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Asıntotas
ASINTOTA OBLICUA. Si se cumple:lım
x→+∞f (x) = ±∞ (o bien lım
x→−∞f (x) = ±∞)
m = lımx→+∞
f (x)x 6= 0,±∞ (o bien m = lım
x→−∞f (x)
x 6= 0,±∞)b = lım
x→+∞(f (x)−mx) 6= ±∞ (o bien
b = lımx→−∞
(f (x)−mx) 6= ±∞)
Entoncesy = mx + b,
es asıntota oblicua.
EN LAS PAU NO SE VA A PEDIR EL CALCULO DE ASINTOTASOBLICUAS
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Asıntotas
A tener en cuenta:
Si una funcion f tiene asıntota horizontal por la derecha (porla izquierda), entonces no puede tener asıntota oblicua por laderecha (por la izquierda). Lo inverso tambien es cierto.Una funcion f puede tiene asıntota horizontal por la derecha yasıntota oblicua por la izquierda.Si una funcion es del tipo f (x) = polinomio
polinomio , solo puede tenerasıntota oblicua si el polinomio del numerador tiene un gradomas que el del denominador.
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Ejercicios de asıntotas
Halla las asıntotas de las funciones:1 f (x) = 2x
x−5
A.H. lımx→+∞
2xx−5 = 2→ y = 2 es A.H.
lımx→−∞
2xx−5 = lım
x→+∞= −2x−x−5 = 2
Sera necesario calcular el lımite cuando x → −∞ cuando la funcion esf (x) = polinomio
polinomio ?
No, porque obtendremos el mismo resultado que para x →∞
A.V. lımx→5
2xx−5 = ±∞→ x = 5 es A.V.
A.O. No tiene porque sı tiene A.H.2 f (x) = x2+3
x−5
A.H. lımx→+∞
x2+3x−5 = +∞ No tiene A.H.
A.V. lımx→5
x2+3x−5 = 28
5 ±∞→ x = 5 es A.V.
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Ejercicios de asıntotas2 f (x) = x2+3
x−5
A.O. m = lımx→+∞
f (x)x = lım
x→+∞
x2+3x−5x = lım
x→+∞x2+3
x2−5x = 1
n = lımx→+∞
(f (x)−mx) = lımx→+∞
(x2+3x−5 − x
)=
lımx→+∞
x2+3−x2+5xx−5 = lım
x→+∞3+5xx−5 = 5
Por tanto y = x + 5 es A.O.3 f (x) = 2x+1
x3−3x2−10xA.H. lım
x→+∞2x+1
x3−3x2−10x = 0→ y = 0 es A.H.A.V. Hay que resolver la ecuacion x3 − 3x2 − 10x = 0→ x(x2 − 3x − 10) = 0. Resolviendo la ecuacion de segundogrado, obtenemos x = 5 y x = −2. Por tanto:
lımx→0
2x+1x3−3x2−10x = 1
0 = ±∞→ x = 0 es A.V.lımx→5
2x+1x3−3x2−10x = 11
0 = ±∞→ x = 5 es A.V.lım
x→−22x+1
x3−3x2−10x = −30 = ±∞→ x = −2 es A.V.
A.O. No tiene, ya que sı tiene A.H. y son excluyentes.
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Ejercicios de asıntotas
4 f (x) = 12x3
4x2−1
A.H. lımx→+∞
12x3
4x2−1 = +∞→ No hay A.H.A.V. Resolviendo la ecuacion 4x2 − 1 = 0, obtenemos x = 1
2 yx = − 1
2 :lım
x→ 12
12x3
4x2−1 =320 = ±∞→ x = 1
2 es A.V.
lımx→− 1
2
12x3
4x2−1 = − 32
0 = ±∞→ x = − 12 es A.V.
A.O. m = lımx→+∞
f (x)x = lım
x→+∞
12x34x2−1
x = lımx→+∞
12x3
4x3−x = 3
n = lımx→+∞
(f (x)−mx) = lımx→+∞
(12x3
4x2−1 − 3x)
=
lımx→+∞
12x3−12x3+3x4x2−1 = lım
x→+∞3x
4x2−1 = 0Por tanto y = 3x es A.O.
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Ejercicios de asıntotas
5 f (x) = ex
xA.H. lım
x→+∞ex
x = +∞
lımx→−∞
ex
x = lımx→+∞
e−x
−x = lımx→+∞
1−xex = 0
Por tanto, y = 0 es A.H. a izquierda.A.V. lım
x→0ex
x = ±∞→ x = 0 es A.V.
A.O. m = lımx→+∞
f (x)x = lım
x→+∞
exxx = lım
x→+∞ex
x2 = +∞
m = lımx→−∞
exxx = lım
x→+∞
e−x−x−x = lım
x→+∞1
x2ex = 0No hay A.O.
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Ejercicios de asıntotas
6 f (x) =
2x6−1x5−x6 si x < 0,x2−1
x si x ≥ 0
A.H. lımx→+∞
f (x) = lımx→+∞
x2−1x =∞
lımx→−∞
f (x) = lımx→−∞
2x6−1x5−x6 = lım
x→∞2x6−1−x5−x6 = −2
Por tanto, y = −2 es una A.H. a izquierda. Con esto yasabemos que no puede tener A.O. por la izquierda, aunque sıpodrıa tener por la derecha.A.V. x5 − x6 = x5(1− x) se anula en x = 0 y x = 1. Dadoque 2x6−1
x5−x6 solo esta definida para x < 0 deberemos estudiar:lım
x→0−
2x6−1x5−x6 = −1
0 = +∞[
2·(−0,1)6−1(−0,1)5−(0,1)6 = +
]Por tanto x = 0 es una asıntota vertical.
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Ejercicios de asıntotas
6 Por otra parte el denominador de x2−1x se anula en 0. Ya
sabemos que en x = 0 hay una asıntota vertical. En cualquiercaso, la estudiamos por la derecha ya que esta definida parax ≥ 0:lım
x→0+x2−1
x = −10 = −∞
[(0,1)2−1
0,1 = −]
A.O. Debemos estudiar por la izquerda y por la derecha,aunque como ya vimos que por la izquierda tiene A.H. y esexcluyente con la A.O., solo debemos ver a la derecha:m = lım
x→∞
x2−1xx = lım
x→∞x2−1
x2 = 1
n = lımx→+∞
(f (x)−mx) = lımx→+∞
(x2−1
x − x)
=
lımx→+∞
(x2−1−x2
x
)= 0
Luego y = 1 es una A.O. por la derecha.
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Continuidad en un punto
Se dice que la funcion f (x) es continua en el punto a si se cumpleque lım
x→af (x) = f (a).
IMPORTANTE: La definicion anterior implica 3 condiciones:C1 La funcion esta definida en a, i.e., ∃f (a).C2 Existe y es finito el lımite lım
x→af (x).
C3 lımx→a
f (x) = f (a).
Si no se cumple alguno de los puntos anteriores, la funcion es dis-continua.
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Propiedades
La suma (o diferencia) de funciones continuas es una funcioncontinua.El producto de funciones continuas es un funcion continua.El cociente de funciones continuas (en las que el denominadorno se anula) es una funcion continua.La composicion de funciones continuas es una funcion continua,es decir, si g es continua en a y f es continua en g(a), entoncesf (g(a)) es continua en a .
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Tipos de discontinuidad
EVITABLE (Figura 2): Existe el lımite en el punto, es decirlım
x→a−f (x) = l = lım
x→a+f (x), pero no es igual a f (a) o bien
f (a) no existe.DE SALTO FINITO: Hay lımite y es finito tanto por laizquierda como por la derecha, pero no coinciden, es decirlım
x→a−f (x) 6= lım
x→a+f (x).
DE SALTO INFINITO: al menos uno de los lımites laterales esinfinito.
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Discontinuidad evitable
Figura: DISCONTINUIDAD EVITABLE: Izquierda: No esta definida lafuncion en el punto. Derecha: La funcion esta definida en el punto, perono coincide con el limite en dicho punto.
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Discontinuidad de salto
Figura: Izquierda: Discontinuidad de salto finito. Centro: Discontinuidadde salto infinito. Derecha: Discontinuidad de salto infinito (en algunoslibros se llama asintotica).
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Estudio de la continuidad
Si nos piden estudiar la continuidad de una funcion debemos estu-diar:
Puntos donde se anule el denominador.Si la funcion esta definida por partes estudiar los extremos delos intervalos de definicion.
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Continuidad por tipo de funcion
Las funciones polinomicas son continuas en todo R.Las funciones racionales, f (x) = polinomio
polinomio son continuas si nose anula el denominador.Si f (x) = n
√g(x) son continuas en todo R si n es impar, pero
en [0,+∞) si n es par.Las funciones seno y coseno son continuas en todos los reales.La funcion tangente es continua excepto cuando cos(x) = 0.La funcion exponencial es continuas en todos los reales.La funcion logaritmo es continua en (0,+∞).
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Ejercicios de continuidad
Estudia la continuidad de las funciones, indicando el tipo de discon-tinuidad en caso de tenerlas:
1 f (x) = 3x + 5x3
La funcion es continua en todos los reales por ser suma defunciones continuas.
2 f (x) = x+2x2−6x+9
Debemos ver cuando se anula el denominador. Resolvemos laecuacion x2 − 6x + 9 = 0 y obtenemos x = 3 como raız doble.Luego estudiamos las 3 condiciones de continuidad en x = 3:
C1 f (3) = 50 → No existe.
C2 lımx→3
x+2x2−6x+9 = 5
0 = ±∞Luego la funcion es continua en todos los reales excepto enx = 3 donde hay una discontinuidad de salto infinito.
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Ejercicios de continuidad
3 f (x) = log(3x − 4)Debemos ver cuando 3x − 4 > 0⇒ x > 4
3 . Luego la funciones continua en ( 4
3 ,+∞).4 f (x) =
√7− 4x
Debemos ver cuando 7− 4x ≥ 0⇒ −4x ≥ −7⇒ x ≤ 74 .
Luego es continua en (−∞, 74 ].
5 f (x) = 2x+34x2−9
El denominador se anula cuando 4x2 − 9 = 0⇒ x = ±32
En x = 32
C1 f ( 32 ) = 6
0 No existe.C2 lım
x→ 32
2x+34x2−9 = 6
0 = ±∞.
Luego en x = 32 la funcion presenta una discontinuidad de
salto infinito.
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
Ejercicios de continuidad
5 En x = −32
C1 f (−32 ) = 0
0 → No existe.C2 lım
x→− 32
2x+34x2−9 = 0
0 = lımx→− 3
2
2x+3(x− 3
2 )(x+ 32 ) =
lımx→− 3
2
2(x+ 32 )
(x− 32 )(x+ 3
2 ) = lımx→− 3
2
2x− 3
2= −2
3
C3 No se cumple porque @f (−32 ).
Luego en x = −32 la funcion presenta una discontinuidad
evitable.La funcion es continua en todo R excepto en los puntosx = ±3
2
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
Ejercicios de continuidad
6 f (x) =
x si x < 2,4− x si 2 < x < 5−1 si x ≥ 5
Los posibles puntos de discontinuidad son x = 2 y x = 5.En x = 2
C1 f (2)→ No esta definido
C2
lım
x→2−f (x) = lım
x→2−x = 2
lımx→2+
f (x) = lımx→2+
4− x = 2
lımx→2
f (x) = 2
C3 No se cumple ya que f (2) no esta definido.Por tanto la funcion presenta una discontinuidad evitable enx = 2.
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
Ejercicios de continuidad
6 En x = 5C1 f (5) = −1
C2
lımx→5−
f (x) = lımx→5−
4− x = −1lım
x→5+f (x) = lım
x→5+−1 = −1
lımx→5
f (x) = −1
C3 ¿f (5) = lımx→5
f (x)? SıPor tanto la funcion es continua en x = 5.Resumiendo, la funcion es continua en todo R excepto enx = 2 donde presenta una discontinuidad evitable.
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
Ejercicios de continuidad
7 f (x) =
3x+7x+3 si x ≤ −2,
x2 − 5 si x > −2Posible puntos de discontinuidad x = −3 y x = −2En x = −3
C1 f (−3) = −20 @
C2 lımx→−3
3x+7x+3 = −2
0 = ±∞La funcion presenta una discontinuidad de salto infinito en x = −3.En x = −2
C1 f (−2) = 11 = 1
C2
lım
x→−2−f (x) = lım
x→−2−3x+7x+3 = 1
lımx→−2+
f (x) = lımx→−2+
x2 − 5 = −1
@ lımx→5
f (x)
La funcion presenta una discontinuidad de salto finito en x = −2Resumiendo, la funcion es continua en todo R excepto enx = −3 y en x = −2.
Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad
Ejercicios de continuidadOtro tipo de ejercicio que ha salido en las PAU es:Hallar el valor de a para que la funcion sea continua:
f (x) =
3xx−2 si x ≤ 1,x2 − a si x > 1
El unico posible punto de discontinuidad es x = 1. En x = 2 seanula el denominador de 3x
x−2 pero esa parte solo esta definida parax ≤ 1.En x = 1
C1 f (1) = 3·11−2 = −3
C2
lım
x→1−f (x) = lım
x→1−3x
x−2 = −3lım
x→1+f (x) = lım
x→1+x2 − a = 1− a
Se debe
cumplir que −3 = 1− a⇒ a = 4C3 ¿f (1) = lım
x→1f (x)? Sı, si a = 4.
Por tanto para que la funcion sea continua el valor de a debe ser 4.