Download - Tema 6 - Analiză - clasa a 11-a.pdf
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
1
Tema 6 Analiz - clasa a 11-a
1) S se calculeze limitele irurilor definite prin
termenul general:
a)
( ) [(
) ];
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
;
i)
( );
j)
;
k) ( )
( ) ;
l) (
)
;
m)
n)
;
o)
;
p) ( )
;
q) ( )
( );
r) ( )
( );
s) ( )
( )
;
t)
.
2) S se calculeze limitele irurilor definite prin:
a)
;
b)
;
c)
;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ( );
h) ( );
i) (
)
;
j)
( );
k)
;
l)
.
3) Calculai:
a)
(
);
b)
;
c)
(
)
;
d)
[ ( )
( )]
;
e)
(
);
f)
g)
;
h)
( )
( );
i)
( )
( );
j)
( )
;
k)
(
)
;
l)
;
m)
(
)
;
n)
(
)
;
o)
(
);
p)
(
);
q)
(
);
r)
;
s)
( )
( )
;
t)
;
u)
(
)
;
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
2
v)
(
).
4) S se afle , i , astfel nct:
a)
[
( )] ;
b)
(
) ;
c)
(
)
;
d)
( )
;
e)
( ) .
5) Fie irul (
) (
)
(
), .
a) S se aduc la forma cea mai simpl.
b) S se arate c
, oricare ar fi
.
c) S se calculeze
.
6) S se studieze convergena irurilor:
a) , , ;
b) , , ,
[ ];
c) ,
, ;
d) ,
, .
n caz de convergen, s se calculeze limita.
7) Fie ( ) o progresie geometric cu
i raia , i
,
.
a) S se calculeze i , n funcie de
i .
b) tiind c
i
, s
se afle i .
8) Calculai:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
;
i)
(
);
j)
( );
k)
( );
l)
(
);
m)
(
);
n)
(
);
o)
;
p)
;
q)
;
r)
( )
;
s)
(
)
;
t)
[ ( ) (
)];
u)
( )
( );
v)
;
w)
;
x)
( )
( );
y)
( )
( );
z)
(
).
9) Calculai:
a)
(
)
;
b)
(
)
;
c)
(
);
d)
(
);
e)
( )
( );
f)
( )
( );
g)
( );
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
3
h)
( );
i)
;
j)
;
k)
[ ( ) ];
l)
;
m)
(
)
;
n)
(
)
;
o)
( )
.
10) Calculai:
a)
( );
b)
( );
c)
( );
d)
( );
e)
( );
f)
;
g)
;
h)
;
i)
;
j)
;
k)
;
l)
| |;
m)
;
n)
;
o)
;
p)
;
q)
;
r)
;
s)
(
)
;
t)
(
)
;
u)
(
)
;
v)
(
)
;
w)
(
)
;
x)
(
)
;
y)
(
)
;
z)
;
11) Calculai:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
( ) ;
e)
(
)
;
f)
( );
g)
( );
h)
( ).
12) Calculai:
a)
;
b)
( ) ;
c)
( ) ;
d)
( );
e)
(
);
f)
( )
( );
g)
;
h)
( ) ;
i)
(
);
j)
( )
;
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
4
k)
;
l)
( )
( );
m)
( )
( );
n)
(
)
;
o)
(
);
p)
( );
q)
( );
r)
(
)
;
s)
( )
( ) ( ) ;
t)
;
u)
(
);
v)
;
w)
.
13) Calculai:
a)
( );
b)
( );
c)
( );
d)
( );
e)
;
f)
( );
g)
( )
;
h)
( );
i)
;
j)
;
14) Stabilii dac urmtoarele funcii au limit n
punctul indicat:
a) , ( ) {
,
;
b) { } , ( )
( ) ,
c) , ( )
, ;
d) , ( ) { | |
| |
, .
15) S se determine pentru care funcia
,
( ) {
are limit n
.
16) S se determine pentru care funcia
{ } ,
( ) {
( )
are limit n .
17) S se determine , astfel nct s fie
ndeplinite egalitile:
a)
(
) ;
b)
( ) ;
c)
( ) ;
d)
(
)
;
e)
.
18) S se determine asimptotele funciilor
( D este domeniul maxim de
definiie) , definite prin:
a) ( )
;
b) ( )
;
c) ( )
;
d) ( ) ;
e) ( ) ;
f) ( ) ;
g) ( ) ;
h) ( )
;
i) ( )
;
j) ( )
;
k) ( ) ( );
l) ( )
;
m) ( )
;
n) ( ) ;
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
5
o) ( ) ;
p) ( )
;
q) ( )
;
r) ( ) | |
;
s) ( ) ;
t) ( )
;
u) ( ) .
19) Fie { } , ( )
.
a) S se determine asimptotele la graficul
funciei .
b) S se calculeze
[ ( ) ( )
( )].
20) Fie , ( )
.
a) S se determine i , astfel nct
( )
.
b) Pentru s se determine
asimptotele la graficul funciei.
( este domeniul maxim de definiie)
21) Se consider funcia , ( )
. S se determine asimptota la
graficul funciei spre .
22) Fie ( ) , ( )
. S se
calculeze:
a)
( );
b)
[ ( )]
.
23) S se determine limitele laterale n :
a) ( )
;
b) ( )
( ) ;
c) ( )
.
24) S se calculeze:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
(
);
g)
(
)
;
h)
;
i)
;
j)
;
k)
(
)
;
l)
;
m)
;
n)
( ) (
);
o)
(
)
;
p)
(
);
q)
;
r)
[
(
)
]
.
25) S se determine , astfel nct urmtoarele
funcii s fie continue pe :
a) ( ) {
;
b) ( ) {( )
.
26) S se indice punctele de discontinuitate i
natura lor pentru funcia , dac:
a) ( ) {
;
b) ( ) {
;
c) ( ) {
.
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
6
27) Se consider funcia , ( )
{
( ]
( ]
( )
[ )
.
a) S se arate c i sunt puncte
de discontinuitate pentru funcia i s
se determine natura lor.
b) S se determine domeniul de
continuitate al funciei .
28) S se determine pentru care
funcia ,
( ) {
(
)
este
continu n , ( ) ( ) i exist
( ) ( )
.
29) Se consider funcia , ( )
.
a) S se determine dac funcia poate fi
prelungit prin continuitate n i s se
scrie prelungirea ei prin continuitate.
b) S se determine asimptota la graficul
funciei spre .
30) S se precizeze dac funciile urmtoare pot
fi prelungite prin continuitate n i s
se scrie prelungirile lor prin continuitate:
a) ( )
;
b) ( )
;
c) ( )
;
d) , ( )
;
31) S se studieze continuitatea funciei
, ( )
.
32) S se arate c fiecare ecuaie are cel puin o
soluie pe intervalul indicat:
a) pe [ ];
b) pe ;
c) pe (
).
33) S se arate c urmtoarele ecuaii au cel
puin o soluie n intervalul indicat:
a) ( );
b)
[ );
c) , [ ].
34) S se arate c ecuaia are
trei rdcini reale distincte i s se calculeze
partea ntreag a fiecrei rdcini.
35) S se rezolve inecuaiile:
a)
;
b) (
)
.
36) S se calculeze derivatele funciilor:
a) ( ) ;
b) ( )
;
c) ( )
;
d) ( )
;
e) ( ) ;
f) ( ) ;
g) ( ) ;
h) ( )
;
i) ( ) ( ) ;
j) ( ) ;
k) ( )
;
l) ( )
;
m) ( ) ( );
n) ( ) ;
o) ( ) ( ) ;
p) ( ) ;
q) ( ) ;
r) ( ) ;
s) ( ) ( ).
37) S se studieze derivabilitatea funciilor:
a) [ ) , ( ) | | ;
b) , ( ) {
;
c) , ( ) {
;
d) , ( ) {
;
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
7
e) [ ) ,
( ) {
[ );
f) , ( ) { ( )
.
38) S se determine punctele unghiulare i
punctele de ntoarcere:
a) , ( ) | |;
b) ( ) | |;
c) , ( )
{
( ]
( )
[ ]
( )
;
d) , ( ) {
( ]
( )
( )
.
39) Se consider funcia , ( )
{
. S se determine
, astfel nct funcia s fie
derivabil n
.
40) S se determine i , astfel nct funcia
( ) {
s fie
derivabil pe .
41) S se determine parametrii reali i
pentru care funciile urmtoare sunt
derivabile pe domeniul maxim de definiie:
a) ,
( ) {
( ) ;
b) ,
( ) {
( ) .
42) Calculai:
a)
;
b)
.
43) S se determine punctele de pe graficul
funciei , ( ) n
care tangenta este paralel cu dreapta de
ecuaie i s se scrie ecuaiile
tangentelor.
44) S se scrie ecuaia tangentei la graficul
fiecrei funcii n punctul indicat:
a) ( ) , ;
b) ( ) , .
45) S se scrie ecuaia tangentei la graficul
funciei n punctul indicat:
a) ( )
,
;
b) ( )
,
.
46) Fie , ( ) .
a) S se arate c ( ) , oricare ar fi
.
b) S se arate c este bijectiv.
c) S se calculeze ( ) ( ).
d) S se arate c ( ) ( ) .
47) Fie ( ) ( ), ( ) .
S se arate c este bijectiv i s se
calculeze ( ) ( ).
48) Fie , ( )
.
a) S se determine intervalele de
monotonie i punctele de extrem.
b) S se determine Im .
c) S se determine intervalele de
convexitate i concavitate i punctele de
inflexiune.
49) S se determine intervalele de monotonie i
punctele de extrem pentru funciile
urmtoare, fiind domeniul maxim de
definiie:
a) ( )
, ;
b) ( )
, ;
c) ( ) , ;
d) ( ) ( ) , ;
e) ( ) , ;
f) ( )
, .
50) Calculai :
a) [ ] , ( )
;
b) [
] , ( )
;
c) [ ] , ( ) ( ).
51) Se consider funcia { } ,
( )
( ) .
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
8
a) S se determine asimptotele graficului
funciei .
b) S se demonstreze c nu are puncte de
extrem local.
c) S se calculeze
[ ( ) ( )
( )] .
52) S se determine intervalele de convexitate i
concavitate i punctele de inflexiune pentru
urmtoarele funcii ( , unde este
domeniul maxim de definiie):
a) ( ) ;
b) ( ) ;
c) ( )
;
d) ( )
;
e) ( )
;
f) ( ) ( );
g) ( ) ;
h) ( ) ;
i) ( )
;
j) ( )
;
k) ( ) .
53) Fie { } , ( )
.
S se determine:
a) ( );
b)
( ) ( )
;
c) asimptota spre ;
d) intervalele de monotonie ale funciei ;
e) ( )( ) .
54) S se arate c:
a)
{ }, ;
b) ( )
( ) , { }, .
55) Fie , ( ) .
a) S se demonstreze c ( )( )
.
b) S se calculeze
( ) ( ) ( )( )
.
56) Se consider funciile {
} ,
( )
i {
} ,
( )
, .
a) S se determine ( )( ), ,
{
}.
b) S se calculeze
[ ( )
( )
( )( )
].
57) Fie , ( ) ( )
( ).
a) S se determine pentru care
este cresctoare pe .
b) Pentru , s se scrie ecuaia
tangentei la grafic n punctul de
intersecie cu axa Oy.
58) Artai c
.
59) Fie , ( )
.
a) S se determine domeniul maxim de
definiie i domeniul de derivabilitate
.
b) S se determine dac exist intervale pe
care este constant i s se precizeze
constanta.
60) Fie , ( )
.
a) S se determine monotonia i punctele
de extrem ale funciei .
b) S se determine numrul punctelor de
inflexiune.
61) Fie ( ) , ( )
( )
, ( ) .
a) S se studieze monotonia funciilor i
.
b) Determinai numrul de soluii reale ale
ecuaiei ( ) ( ).
62) S se arate c funcia ( ) ,
( )
este
convex.
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
9
63) S se determine numerele reale
pentru care funciei [ ] ,
( ) { [ ]
( ] i se
poate aplica teorema lui Rolle.
64) S se arate c funciei [ ] ,
( ) {
[ ]
( ] i se poate aplica
teorema lui Lagrange i s se aplice efectiv
teorema.
65) S se determine pentru care
funciei [ ] ,
( ) { [ ]
( ] i se poate
aplica teorema lui Lagrange i s se aplice
efectiv aceast teorem.
66) S se determine numrul soluiilor reale ale
ecuaiei .
67) S se discute, dup valorile parametrului
real , numrul rdcinilor reale ale ecuaiei
.
68) S se demonstreze inegalitile:
a) ;
b) ;
c) ( )
;
d) ( ) ( ) ;
e)
;
f)
[ );
g)
.
69) Trasai graficul funciei :
a) ( )
;
b) ( )
;
c) ( )
.
70) Fie [ ] , ( )
.
a) S se determine i .
b) S se demonstreze c ( ) i
( )
, oricare ar fi [ ].
c) S se arate c ecuaia ( ) are
soluie unic pe [ ].
71) Fie ( ] { } , ( )
| |
.
a) S se calculeze limitele funciei n
capetele domeniului de definiie.
b) S se stabileasc monotonia funciei.
c) S se demonstreze c ecuaia ( )
are soluie unic pe intervalul ( ).
72) Fie , ( )
( ).
a) S se calculeze ( ).
b) S se arate c este cresctoare.
c) S se determine monotonia i punctele
de extrem ale funciei .
d) S se rezolve inecuaia ( ) .
73) Se consider funcia ( ) ,
( )
.
a) S se arate c funcia este convex pe
( ].
b) S se determine asimptotele graficului
funciei .
c) S se arate c irul
( ), , este convergent.
74) Se consider funcia ( ) ,
( ) i irul ( ) ,
, .
a) S se determine asimptotele graficului
funciei .
b) S se arate c
( ) ( )
, .
c) S se arate c irul ( ) este
descresctor i are termeni pozitivi.
75) Fie funcia , ( )
.
a) S se determine asimptota la graficul
funciei spre .
b) S se arate c funcia este strict
cresctoare pe .
c) S se arate c funcia este mrginit.
d) S se arate c irul ( ) , definit prin
( ) este
convergent.
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
10
76) Fie funcia [ ] , ( )
( ) .
a) S se calculeze
( )
.
b) S se determine punctele n care funcia
nu este derivabil.
c) S se arate c funcia este convex.
77) Se consider funcia , ( )
( )
a) S se calculeze ( ), .
b) Demonstrai c ( )
.
c) S se demonstreze c funcia ,
( ) ( ) ( )
este
constant.
78) Fie [ ) , ( ) .
a) Determinai tangenta la graficul funciei
, care este paralel cu prima bisectoare.
b) Artai c
( ) ( )
, .
c) Artai c irul ( ) definit prin
( ),
, este convergent.
79) Fie funcia ( ) , ( )
i irul
.
a) S se arate c funcia este strict
cresctoare pe ( ).
b) S se demonstreze c
( )
, .
c) S se demonstreze c irul ( ) este
convergent.
80) Se consider funcia ( ) ,
( )
(
) (
) i irul
(
), .
a) S se demonstreze c funcia este
strict cresctoare pe ( ).
b) S se arate c ( ) ( ).
c) S se demonstreze c irul ( ) este
strict descresctor.
81) Se consider funcia , ( )
( ).
a) S se studieze monotonia funciei .
b) S se determine asimptotele graficului
funciei .
c) S se arate c
( ) .
82) S se arate c ecuaia ( ) are
cel puin o soluie n intervalul [
].
83) S se determine asimptota spre la
graficul funciei , ( )
.
84) Se consider funcia , ( )
.
a) S se determine asimptotele graficului
funciei .
b) S se precizeze monotonia i punctele de
extrem ale funciei .
c) S se determine punctele de inflexiune
ale funciei .
85) S se determine domeniul maxim de
definiie i asimptotele la graficul funciei
definite prin ( )
.
86) S se rezolve inecuaia
.
87) S se calculeze
[
(
)].
88) Fie , ( )
. S se
arate c ( ) .
89) Se consider funcia , ( )
( ) i irul ( ) definit prin
relaiile , ( ) .
a) Calculai derivata funciei .
b) Determinai monotonia irului ( ) .
c) Artai c ( ) ( ) .
90) Se consider funciile ,
( ) ( ) i
( ) ( ).
a) S se determine valoarea minim a
funciei .
b) S se arate c ( ( ) ) ( ) ,
.
c) S se demonstreze c ( ) .
91) Fie , ( ) . Calculai
( ) ( ) ( )( )
( )( ).
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
11
92) Fie , ( ) . Calculai
( ) ( ) ( ) ( )( )
.
93) Fie { } , ( )
.
a) S se determine ( )( ) .
b) S se calculeze
[ ( )
( )
( )( )
].
94) Fie , ( ) . S se
calculeze ( )( ).
95) Se consider funcia ( ) ,
( ) ( )
.
a) S se arate c ( ) ( )
.
b) S se calculeze
( ).
c) S se arate c funcia este
descresctoare.
96) Fie , ( )
.
a) Precizai monotonia i punctele de
extrem ale funciei .
b) Stabilii intervalele pe care este
convex sau concav.
97) Fie , ( ) .
a) S se determine asimptotele la graficul
funciei .
b) S se determine intervalele de
monotonie i punctele de extrem pentru
funcia .
c) S se determine valorile numrului real
pentru care ( ) .
d) S se determine intervalele pe care
este convex sau concav i punctele de
inflexiune.
98) Fie , ( ) .
a) S se calculeze
( )
( ).
b) S se demonstreze c funcia este
inversabil.
c) S se calculeze
( )
.
99) Fie , ( ) .
a) S se scrie ecuaia tangentei la graficul
funciei n punctul de abscis .
b) S se determine asimptotele la graficul
funciei .
c) S se arate c funcia este inversabil.
d) S se calculeze ( ) ( ).
e) S se calculeze
( )
.
100) Pentru fiecare se consider
funcia , ( ) .
a) S se arate c funcia este strict
cresctoare.
b) S se arate c ecuaia ( ) are o
unic soluie , oricare ar fi .
c) S se arate c irul ( ) este
nemrginit.
d) S se calculeze
.
101) Fie [ ) , ( )
| | | |.
a) S se studieze derivabilitatea funciei .
b) S se determine punctele de extrem
local ale funciei .
102) Fie { } , ( )
,
.
a) S se determine valorile lui pentru
care funcia are trei puncte de extrem
local.
b) Pentru , s se precizeze intervalele
de monotonie i punctele de extrem ale
lui .
103) Se consider funcia [ ] ,
( ) {
( )
( )
{ }.
S se stabileasc:
a) domeniul de continuitate al funciei ;
b) domeniul de derivabilitate al funciei ;
c) intervalele de monotonie i punctele de
extrem ale funciei .
104) S se arate c, pentru orice numr real ,
, este adevrat relaia
.
105) Se consider funcia { } ,
( )
, . S se
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
12
determine i , astfel nct graficul
funciei s admit asimptota ,
iar punctul ( ) s se afle pe grafic.
106) Fie { } , ( )
.
a) S se stabileasc intervalele de
monotonie ale funciei .
b) S se arate c ( )
{ }.
c) S se determine ( )( ), ,
{ }.
107) S se determine valorile parametrului
real pentru care ecuaia
are soluii reale.
108) Se consider funcia ( este
domeniul maxim de definiie), ( ) arctg
, .
a) S se determine pentru care
( ( )) .
b) Pentru , s se determine
domeniul de derivabilitate i intervalele
de monotonie ale funciei .
109) Se consider funcia ( ) ,
( ) .
a) S se determine intervalele de
monotonie ale funciei .
b) S se determine valorile lui pentru
care ( ) , ( ).
c) S se determine numrul de rdcini
reale ale ecuaiei ( ) , unde
este un parametru real.
110) Fie ( ) , ( ) .
a) S se arate c ( ) ( )( ),
.
b) Determinai monotonia funciei .
c) S se determine valoarea minim a
funciei .
d) S se calculeze
( ).
e) S se arate c este convex pe ( ).
f) Artai c irul ( ) , definit prin
( ) i ( ), ,
este convergent.
111) Fie , ( )
.
a) S se arate c graficul funciei admite
asimptot spre .
b) S se arate c funcia este inversabil.
c) S se calculeze ( ) ( ) i ( ) (
).
d) S se calculeze
( ( ))
.
112) Fie , ( )
.
a) Artai c ( ) , .
b) Scriei ecuaia tangentei la graficul
funciei n punctul ( ( )).
c) Artai c funcia , ( )
( ) ( ) admite exact un punct de
extrem.
d) S se calculeze
( )
.
113) Fie , ( )
.
a) Artai c , ( ) ( )
este funcie strict cresctoare.
b) Artai c ecuaia ( ) are o soluie
unic .
c) Artai c irul dat de ,
( ), este convergent
ctre .
114) Fie ( ) , ( ) ( ).
a) S se determine ecuaia tangentei la
graficul funciei n punctul de abscis
.
b) S se demonstreze c funcia este
concav.
c) S se calculeze
( ) ( )
( ).
115) Fie , ( ) .
a) S se arate c funcia este strict
cresctoare.
b) S se arate c funcia este inversabil.
c) S se calculeze
( )
.
116) Fie , ( ) .
a) S se arate c funcia este concav pe
intervalul [ ).
b) Calculai
( ( ) ( )).
c) S se rezolve inecuaia ( )
.
-
Tema 6 - Analiz clasa a 11-a
13
117) Fie , ( ) ( ).
a) Artai c funcia este strict
cresctoare.
b) Studiai convergena irului ( ) dat
de i ( ), .
c) Demonstrai c ( ) ( ) ,
.
118) Fie , ( ) .
a) S se studieze monotonia funciei .
b) Artai c ( ) ( ) ( )
, oricare ar fi .
c) S se arate c graficul funciei admite
asimptot spre .
119) Fie , ( ) ( )
.
a) S se scrie ecuaia tangentei la graficul
funciei n punctul de abscis .
b) S se arate c funcia admite dou
puncte de extrem.
c) S se determine ecuaia asimptotei la
graficul funciei spre .
d) S se determine asimptota vertical la
graficul funciei .
120) Fie , ( )
.
a) S se determine asimptotele la graficul
funciei .
b) S se determine punctele de inflexiune
ale graficului funciei .
c) Calculai
( ( ) ( )).
121) Fie { } , ( )
.
a) S se scrie ecuaia tangentei la graficul
funciei n punctul de abscis .
b) S se determine asimptotele graficului
funciei .
c) Calculai
(
( ) ( ) ( ))
.
122) Fie ( ) , ( ) .
a) Artai c graficul funciei nu admite
asimptot spre .
b) Artai c ecuaia ( ) are o soluie
unic (
).
c) Artai c
( ), unde
este numrul definit la punctul b).
123) Fie , ( ) .
a) Determinai asimptotele la graficul
funciei .
b) Determinai punctul n care tangenta la
graficul funciei este paralel cu prima
bisectoare.
c) Artai c valoarea minim a funciei
este 1.
d) Artai c funcia , ( )
( ) nu este derivabil n .
124) Fie ( ) , ( )
.
a) S se determine asimptotele la graficul
funciei .
b) S se studieze monotonia funciei .
c) S se determine intervalele de
convexitate i concavitate i punctele de
inflexiune ale funciei .
d) S se calculeze
(
).