Download - Tema VI (Funciones Cuadráticas)
Tema VIFunciones Cuadráticas
Precálculo
Función Cuadrática
2
Una es una función que puede ser
escrita en la form
función cuadr
a
ática
0 .f x a x h k a
La gráfica de una función cuadrática tiene forma
de U y se conoce como una parábola.
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Vértice de una Parábola
• Si una parábola abre hacia arriba, tiene un punto mínimo.
• Si una parábola abre hacia abajo, tiene un punto máximo.
• Este punto más bajo o más alto es el vértice de la parábola.
• La forma del vértice de una función cuadrática es f(x) = a(x – h)2 + k.
• El vértice de la parábola es (h, k).
Forma del Vértice de una Función Cuadrática
2
kx af x h
Indica una reflexión a través del eje de x y/o una compresión o estiramiento vertical.
Indica una translación horizontal
Indica una translación vertical
Escribiendo Funciones Cuadráticas Transformadas
• Utiliza las siguientes descripciones para escribir las funciones cuadráticas en la forma del vértice.
1) La función f(x) = x2 es reflejada a través del eje de x, estirada verticalmente por un factor de 6 y trasladada 3 unidades a la izquierda para crear g.
2) La función f(x) = x2 es comprimida verticalmente por un factor de 1/3 y trasladada 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo para crear g.
3) La función f(x) = x2 es reflejada a través del eje de x y trasladada 5 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba para crear g.
4) La función f(x) = x2 es comprimida verticalmente por un factor de 1/3 y luego trasladada 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo para crear g.
Eje de Simetría
• El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de una parábola que divide la parábola en dos mitades congruentes.
• La función cuadrática f(x) = a(x – h)2 + k tiene el eje de simetría x = h.
Identificando el Eje de Simetría
• Identifica el eje de simetría para la gráfica de:
1. f(x) = 2(x + 2)2 – 3
2. f(x) = (x – 3)2 + 1
3. f(x) = -½(x + 5)2 – 8
Forma Estándar
• La forma estándar de una función cuadrática es f(x) = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0.
Propiedades de una Parábola
• Para f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, la parábola tiene las siguientes propiedades:
– La parábola abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0.
– El eje de simetría es la recta x = -b/2a.
– El vértice es el punto (-b/2a, f(-b/2a)).
– El intercepto en y es c.
Graficando Funciones Cuadráticas en Forma Estándar
• Considera la función f(x) = x2 - 4x + 6.
– Determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo.
– Encuentra el eje de simetría.
– Encuentra el vértice.
– Encuentra el intercepto en y.
– Grafica la función.
Graficando Funciones Cuadráticas en Forma Estándar
• Considera la función f(x) = -4x2 - 12x - 3.
– Determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo.
– Encuentra el eje de simetría.
– Encuentra el vértice.
– Encuentra el intercepto en y.
– Grafica la función.
Graficando Funciones Cuadráticas en Forma Estándar
• Considera la función f(x) = -2x2 - 4x.
– Determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo.
– Encuentra el eje de simetría.
– Encuentra el vértice.
– Encuentra el intercepto en y.
– Grafica la función.
Valores Mínimos y Máximos
• Abre hacia arriba– Cuando una parábola abre hacia arriba, el valor de y del
vértice es un mínimo.– El dominio es todos los números reales.– El alcance es todos los valores mayores o iguales al
mínimo.
• Abre hacia abajo– Cuando una parábola abre hacia abajo, el valor de y del
vértice es un máximo.– El dominio es todos los números reales.– El alcance es todos los valores menores o iguales al
máximo.
Encontrando Valores Mínimos o Máximos
• Encuentra el valor mínimo o máximo de cada función. Luego establece el dominio y el alcance de la función.
1. f(x) = 2x2 – 2x + 5
2. f(x) = x2 – 6x + 3
3. f(x) = -2x2 – 4
Ceros de una función
Un es el valor de entrada
que hace que el valor de salida ( ) sea igual a
cero.
Los ceros de una función son
cero de un
los inter
a funció
ceptos e
n
n .
x
f x
x
x
y
Las coordenadas xson los ceros.
Raíces de una Ecuación
• La solución de una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 son raíces.
• Las raíces de una ecuación son los valores de la variable que hacen la ecuación cierta.
Propiedad del Producto Cero
• Para todo número real a y b,
– Si el producto de dos cantidades es igual a cero, por lo menos una de las cantidades es igual a cero.
– Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.
Encontrando Ceros por Factorización
• Encuentra los ceros de cada función por factorización.
1. f(x) = x2 – 8x + 12
2. g(x) = 3x2 + 12x
3. f(x) = x2 – 5x – 6
4. g(x) = x2 – 8x
5. f(x) = x2 – 4x – 12
6. g(x) = 3x2 + 18x
Encontrando Raíces Factorizando
• Encuentra las raíces de cada ecuación por factorización.
1. 9x2 = 1
2. x2 – 4x = -4
3. 25x2 = 9
4. x2 + 25 = 10x
Utilizando Ceros para Escribir Funciones
1. Escribe una función en forma estándar con ceros 2 y -1.
2. Escribe una función en forma estándar con ceros 5 y -5.
3. Escribe una función en forma estándar con ceros 4 y -7.
Propiedad de la Raíz Cuadrada
• Para resolver una ecuación cuadrática, puedes sacar la raíz cuadrada a ambos lados. Asegúrate de considerar las raíces positivas y negativas.
2Si y es un número real
no negativo, entonces .
x a a
x a
Resolviendo Ecuaciones Utilizando la Propiedad de Raíces Cuadradas
23) 4 20 5x 24) 8 16 49x x 25) 4 11 59x 21) 3 4 68x 22) 10 25 27x x
26) 12 36 28x x
Completando el Cuadrado
2
2Para completar el cuadrado de , suma .2
bx bx
2
2
2
2
2
bx bx
bx
2
2
2
2
2
6
66
2
6 9
3
x x
x x
x x
x
Completando el Cuadrado
• Completa el cuadrado para cada expresión. Escribe la expresión que resulta como un binomio cuadrado.
1. x2 – 2x + __2. x2 + 5x + __3. x2 + 4x + __4. x2 – 4x + __5. x2 + 3x + __6. x2 – 14x + __7. x2 + 9x + __
Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas ax2
+ bx + c = 0 por Completando el Cuadrado
2
1) Reúne todos los términos con variable en un lado de la ecuación y las constantes al otro lado.
2) Si es necesario, divide en ambos lados para hacer que el coeficiente que contiene sea 1.
3) Comple
x
2
ta el cuadrado sumando a ambos lados de la ecuación.2
4) Factoriza la expresión que contiene variables como un cuadrado perfecto.
5) Saca la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
6) Resuel
b
ve por los valores de la variable.
Resolviendo una Ecuación Cuadrática Completando el Cuadrado
1. x2 = 27 – 6x
2. 2x2 + 8x = 12
3. x2 – 2 = 9x
4. 3x2 – 24x = 27
5. x2 = 12x – 20
6. 18x + 3x2 = 45
Escribiendo una Función Cuadrática en la Forma del Vértice
• Escribe cada función cuadrática en la forma del vértice e identifica el vértice.
1. f(x) = x2 + 10x – 13
2. g(x) = 2x2 – 8x + 3
3. f(x) = x2 + 24x + 145
4. g(x) = 5x2 – 50x + 128
5. f(x) = x2 + 16x – 12
6. g(x) = 3x2 – 18x + 7
Números Imaginarios
La unidad imaginaria está definida como 1.i
2 1f x x
Números Imaginarios
• Un número imaginario es la raíz cuadrada de un número negativo.
• Los números imaginarios se puede escribir de la forma bi, donde b es un número real e i es la unidad imaginaria.
• El cuadrado de un número imaginario es el número negativo original.
Simplificando Raíces Cuadradas de Números Negativos
• Expresa cada número en términos de i.
1) 3 16
2) 75
3) 12
4) 2 361
5) 633
6) 5 121
Resolviendo una Ecuación Cuadrática con Soluciones Imaginarias
• Resuelve cada ecuación
1. x2 = -81
2. 3x2 + 75 = 0
3. x2 = -36
4. x2 + 48 = 0
5. 9x2 + 25 = 0
Números Complejos
• Un número complejo es un número que puede ser escrito de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i = √-1
• a es la parte real, b es la parte imaginaria.
• Números reales son números complejos con b= 0.
• Números imaginarios son números complejos con a = 0.
Igualando Dos Números Complejos
• Dos números complejos son iguales si y solamente si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.
• Encuentra los valores de x y y que hacen cada ecuación cierta.
1. 3x – 5i = 6 – (10y)i
2. 2x – 6i = -8 + (20y)i
3. -8 + (6y)i = 5x - i√6
4. 4x + 10i = 2 – (4y)i
Encontrando Ceros Complejos de Ecuaciones Cuadráticas
• Encuentra los ceros de cada función.
1. f(x) = x2 – 2x + 5
2. g(x) = x2 + 10x + 35
3. f(x) = x2 + 4x + 13
4. g(x) = x2 – 8x + 18
5. f(x) = x2 + 10x + 26
6. g(x) = x2 + 4x + 12
Encontrando Conjugados Complejos
• El conjugado complejo de cualquier número complejo a + bi es el número complejo a – bi.
• Encuentra cada conjugado complejo.1. 2i – 15
2. -4i
3. 9 – i
4. i - √3
5. -8i
6. 8 + 5i
7. 6i
La Fórmula Cuadrática
2
2
Si 0 0 ,
entonces las soluciones, o raíces, son
4.
2
ax bx c a
b b acx
a
Funciones Cuadráticas con Ceros Reales
• Encuentra los ceros de cada función utilizando la Fórmula Cuadrática.
2 3 7f x x x
Funciones Cuadráticas con Ceros Reales
• Encuentra los ceros de cada función utilizando la Fórmula Cuadrática.
2 8 10f x x x
Funciones Cuadráticas con Ceros Complejos
• Encuentra los ceros de cada función utilizando la Fórmula Cuadrática.
22 2f x x x
Funciones Cuadráticas con Ceros Complejos
• Encuentra los ceros de cada función utilizando la Fórmula Cuadrática.
23 8f x x x
Discriminante
• El discriminante es la parte de la Fórmula Cuadrática que puedes utilizar para determinar el número de raíces reales de una ecuación cuadrática.
2 4b ac
Discriminante
2 2
2
2
2
El discriminante de la ecuación 0 0 es 4 .
Si 4 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales.
Si 4 0, entonces la ecuación tiene una solución real.
Si 4 0, entonces l
ax bx c a b ac
b ac
b ac
b ac
a ecuación tiene dos soluciones complejas.
Analizando Ecuaciones Cuadráticas Utilizando el Discriminante
• Encuentra el tipo y número de soluciones para cada ecuación.
2 4 8x x
Analizando Ecuaciones Cuadráticas Utilizando el Discriminante
• Encuentra el tipo y número de soluciones para cada ecuación.
2 4 2x x
Analizando Ecuaciones Cuadráticas Utilizando el Discriminante
• Encuentra el tipo y número de soluciones para cada ecuación.
2 30 12x x
Plano Complejo
• El plano complejo es un conjunto de ejes coordenados el eje horizontal representa números reales y el eje vertical representa números imaginarios.
Graficando Números Complejos
• Grafica cada número complejo.
1. -3 + 0i
2. -3i
3. 4 + 3i
4. -2 + 4i
Determinando el Valor Absoluto de un Número Complejo
• Encuentra cada valor absoluto.
1. |1 – 2i|
2. |23i|
3. |3 + 5i|
Sumando y Restando Números Complejos
• Suma o resta. Escribe el resultado de la forma a + bi.
1. (10 + 3i) – (10 – 4i)
2. (4 + 2i) + (-6 – 7i)
3. (5 – 2i) – (-2 – 3i)
Multiplicando Números Complejos
• Multiplica. Escribe tu respuesta de la forma a + bi.
1. (7 + 2i)(7 – 2i)
2. (6i)(6i)
3. -2i(2 – 4i)
4. (3 + 6i)(4 – i)
Evaluando Potencias de i
12
25
7
42
14
63
1) 3
2)
13)
2
4)
5) 6
6)
i
i
i
i
i
i
Dividiendo Números Complejos
3 7Simplifica .
8
i
i
Dividiendo Números Complejos
3Simplifica .
2
i
i
Dividiendo Números Complejos
3 10Simplifica .
5
i
i
Dividiendo Números Complejos
2 8Simplifica .
4 2
i
i