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8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
1/26
1. Ecuaciones de 1er grado
Resuelve mentalmente:
a) x + 2 = 5 b) x 3 = 4 c) 4x = 12 d) (x 3)(x + 5) = 0
Solucin:
a) x = 3 b) x = 7 c) x = 3 d) x = 3, x = 5
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168 SOLUCIONARIO
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4x + 12 = 6x 8
b) 6 + 3x = 4 + 7x 2x
c) 8x 2x + 4 = 2x
d) 4x + 3x 4 = 3x + 8
Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3(x + 2) + 2x = 5x 2(x 4)
b) 4 3(2x + 5) = 5 (x 3)
c) 2(x 3) + 5(x + 2) = 4(x 1) + 3
d) 5 (2x + 4) = 3 (3x + 2)
Resuelve mentalmente:
a) (x 2)(x + 3) = 0
b) (2x + 1)( x 4)(3x + 5) = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) = +
b) = +
c) + 3x = + x
d) + = 0
Solucin:
a) x = 7 b) x = 5/12
c) x = 3/25 d) x = 5
10 3x5
x 23
x 12
14
x 24
x3
7x 510
92
7 x2
x 1
9
x 5
6
x 3
4
4
Solucin:
a) x1 = 2, x2 = 3
b) x1 = 1/2, x2 = 4, x3 = 5/3
3
Solucin:
a) x = 1 b) x = 19/5
c) x = 5/3 d) x = 0
2
Solucin:
a) x = 10 b) x = 1
c) x = 1 d) x = 3
1
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6 Ecuacionesde 1er y 2 grado
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2/26
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 169
G
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2. Ecuaciones de 2 grado
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
x2 = 25
x2 = 0
x2 = 49
5x2 = 0
x2 1 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
x2 6x = 0
x2 16 = 0
7x2 = 0
x2 5x + 6 = 0
x2 + 5x = 0
x2 25 = 0
x2 9x = 0
x2 = 81
Solucin:
x1 = 9, x2 = 9
17
Solucin:
x1 = 0, x2 = 9
16
Solucin:
x1 = 5, x2 = 5
15
Solucin:
x1 = 0, x2 = 5
14
Solucin:
x1 = 3, x2 = 2
13
Solucin:
x1 = x2 = 0
12
Solucin:
x1 = 4, x2 = 4
11
Solucin:
x1 = 0, x2 = 6
10
Solucin:
x1 = 1, x2 = 1
9
Solucin:
x1 = x2 = 0
8
Solucin:
x1 = 7, x2 = 7
7
Solucin:
x1 = x2 = 0
6
Solucin:
x1 = 5, x2 = 5
5
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Resuelve mentalmente si es posible:
a) x2 = 0 b) x(x 3) = 0 c) x2 = 16 d) x2 = 25
Solucin:
a) x = 0 b) x = 0, x = 3 c) x = 4, x = 4 d) No tiene solucin.
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3/26
170 SOLUCIONARIO
G
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S.L.
x2 9 = 0
x2 4x + 4 = 0
x2 + 8x = 0
4x2 81 = 0
2x2 3x 20 = 0
4x2 3x = 0
x2 = 4
8x2 2x 3 = 0
x(x 3) = 10
(x + 2)(x + 3) = 6
(2x 3)2 = 8x
2x(x 3) = 3x(x 1)
=
x + = 1
Solucin:
x1 = 5, x2 = 8
x2 + 230
9x 410
31
Solucin:
x1 = 1/2, x2 = 3/2
38
x2 + x2
3x2
30
Solucin:
x1 = 3, x2 = 0
29
Solucin:
x1 = 1/2, x2 = 9/2
28
Solucin:
x1 = 5, x2 = 0
27
Solucin:
x1 = 2, x2 = 5
26
Solucin:
x1 = 1/2, x2 = 3/4
25
Solucin:
x1 = 2, x2 = 2
24
Solucin:
x1 = 0, x2 = 3/4
23
Solucin:
x1 = 5/2, x2 = 4
22
Solucin:
x1 = 9/2, x2 = 9/2
21
Solucin:
x1 = 0, x2 = 8
20
Solucin:
x1 = x2 = 2
19
Solucin:
x1 = 3, x2 = 3
18
3. Nmero de soluciones. Factorizacin
Calcula mentalmente las siguientes races cuadradas y da todas las soluciones reales:
a) b) c)
Solucin:
a) 1 b) 0 c) No tiene solucin real.
22 4 262 4 952 4 6
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UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 171
G
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Sin resolverlas y sin hallar el discriminante, calculamentalmente cuntas soluciones tienen las ecuaciones:
5x2 12x = 0
x2 + 25 = 0
2x2 = 0
x2 81 = 0
Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cun-
tas soluciones tienen:
x2 6x + 7 = 0
x2 8x + 16 = 0
2x2 3x + 5 = 0
3x2 9x 3 = 0
Halla mentalmente la descomposicin factorial de lossiguientes polinomios:
x2 + 4x + 4
x2 6x + 9
x2 25
4x2 + 4x + 1
Halla la descomposicin factorial de los siguientes poli-
nomios:
2x2 + 9x 5
8x2 + 14x 15
x2 16
5x2 + 3x
Solucin:
5x(x + 3/5)
47
Solucin:
(x + 4)(x 4)
46
Solucin:
8(x + 5/2)(x 3/4)
45
Solucin:
2(x + 5)(x 1/2)
44
Solucin:
(2x + 1)2
43
Solucin:
(x + 5)(x 5)
42
Solucin:
(x 3)2
41
Solucin:
(x + 2)2
40
Solucin:
= 81 + 36 = 117 > 0 Tiene dos soluciones.
39
Solucin:
= 9 40 = 31 < 0 No tiene solucin real.
38
Solucin:
= 64 64 = 0 Tiene una solucin doble.
37
Solucin:
= 36 28 = 8 > 0 Tiene dos soluciones.
36
Solucin:
Tiene dos soluciones.
35
Solucin:
Tiene una solucin doble.
34
Solucin:
No tiene solucin real.
33
Solucin:
Tiene dos soluciones.
32
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4. Problemas de ecuaciones
Calcula mentalmente:
a) El lado de un cuadrado cuya rea es 16 m2
b) Tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 12Solucin:
a) 4 m b) 3, 4, 5
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172 SOLUCIONARIO
G
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S.L.
Halla, en cada caso, una ecuacin de 2 grado cuyassoluciones son:
x1 = 5, x2 = 7
x1 = 2/5, x2 = 3
x1 = 4, x2 = 2/3
x1 = 3/5, x2 = 1/2
Calcula la suma y el producto de las soluciones de lassiguientes ecuaciones, sin resolver stas:
5x2 15x + 9 = 0
x2 6x + 12 = 0
2x2 5 = 0
3x2 14x = 0
Solucin:
14S =, P = 0
3
55
Solucin:
5S = 0, P =
2
54
Solucin:
S = 6,P = 12
53
Solucin:
15 9S = = 3, P =
5 5
52
Solucin:
(x 3/5)(x + 1/2) = 0
x2 x/10 3/10 = 0
10x2 x 3 = 0
51
Solucin:
(x + 4)(x + 2/3) = 0
x2 + 14x/3 + 8/3 = 0
3x2 + 14x + 8 = 0
50
Solucin:
(x 2/5)(x + 3) = 0
x2 + 13x/5 6/5 = 0
5x2 + 13x 6 = 0
49
Solucin:
(x 5)(x + 7) = 0 x2 + 2x 35 = 0
48
La suma de dos nmeros es 36, y uno es el dobledel otro. Calcula dichos nmeros.
Solucin:
x + 2x = 36 x = 12
Los nmeros son: 12 y 24
56
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6/26
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 173
G
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La base de un rectngulo mide 8 cm ms que laaltura. Si su permetro mide 64 cm, calcula lasdimensiones del rectngulo.
Se mezcla caf de 4,8 /kg con caf de 7,2 /kg. Sise desea obtener 60 kg de mezcla a 6,5 /kg,cuntos kilos de cada clase se deben mezclar?
Una madre tiene 26 aos ms que su hijo, y dentrode 10 aos la edad de la madre ser el doble de ladel hijo. Cuntos aos tienen en la actualidad?
Una moto sale de una ciudad A hacia otra B conuna velocidad de 70 km/h.Tres horas ms tarde, uncoche sale de la misma ciudad y en el mismo senti-do con una velocidad de 100 km/h. Cunto tiem-po tardar el coche en alcanzar a la moto?
Halla dos nmeros cuya diferencia sea 5 y la sumade sus cuadrados sea 73
La suma de los cuadrados de dos nmeros conse-cutivos es 181.Halla dichos nmeros.
Calcula las dimensiones de una finca rectangularsabiendo que tiene 3 dam de larga ms que deancha y su superficie es de 40 dam2
Solucin:
x(x + 3) = 40 x = 5, x = 8
La solucin negativa no tiene sentido.
Ancho = 5 dam
Largo = 8 dam
63
Solucin:
Los nmeros son x y x + 1x2 + (x + 1)2 = 181 x = 9, x = 10
Hay dos soluciones:
N menor = 9 N mayor = 10
N menor = 10 N mayor = 9
62
Solucin:
Un nmero x y el otro x 5
x2 + (x 5)2 = 73 x = 8, x = 3
Hay dos soluciones:
N mayor = 8 N menor = 3
N mayor = 3 N menor = 8
61
Solucin:
El espacio que recorre la moto es igual que el querecorre el coche y la frmula es e = v t
70t = 100(t 3) t = 10
El coche tarda 7 horas en alcanzar a la moto.
60
Solucin:
x + 36 = 2(x + 10) x = 16
Edad del hijo = 16 aos.
Edad de la madre = 42 aos.
59
Solucin:
4,8x + 7,2(60 x) = 6,5 60 x = 17,5
Caf A: 17,5 kgCaf B: 42,5 kg
58
Solucin:
2(x + 8) + 2x = 64 x = 12
Las dimensiones son: Altura = 12 cm,Base = 20 cm
57
x
x + 8
Caf A
4,8
x
4,8x + 7,2(60 x) = 6,50 60
Caf B
7,2
60 x
Mezcla
6,5
60
Precio (/kg)
Peso (kg)
Dinero ()
Actualmente Dentro de 10 aos
Hijo x x + 10
Madre x + 26 x + 36
A B100 km/h
70 km/h
x
x + 3
rea = 40 dam2
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7/26
174 SOLUCIONARIO
G
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Ejercicios y problemas
1. Ecuaciones de 1er grado
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
x + 2 = 9
x 2 = 3
3x = 15
= 7
4x = 3
x 5 = 0
5x + 7 = 0
(x 4)(x + 5) = 0
(3x + 2)(5x 6)(x + 5) = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
7x + 2 = 4x 10
5 + 3x 2x = 7 + 4x x
6x 3x + 5 = 2x + 1
6 4x + 2x 6 = 2x + 5
4(x + 5) + 3x = 4x 3(x 4)
9 2(3x + 4) = 5 3(x 4)
12 (7x + 5) = 4 (5x + 2)
5(x 2) + 3(x + 2) = 6(x 1)
= +
Solucin:
x = 5/2
4x + 32
x 13
6x 12
81
Solucin:
x = 1
80
Solucin:
x = 5/2
79
Solucin:
x = 16/3
78
Solucin:
x = 4/3
77
Solucin:
x = 5/4
76
Solucin:
x = 4
75
Solucin:
x = 1
74
Solucin:
x = 4
73
Solucin:
x1 = 2/3, x2 = 6/5, x3 = 5
72
Solucin:
x1 = 4, x2 = 5
71
Solucin:
x = 7/5
70
Solucin:
x = 5
69
Solucin:
x = 3/4
68
Solucin:
x = 21
x3
67
Solucin:
x = 5
66
Solucin:
x = 5
65
Solucin:
x = 7
64
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8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
8/26
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 175
G
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= 2
2(x 3) = 5 + x
+ = 0
2. Ecuaciones de 2 grado
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
x2 = 81
2x2 = 0
x2 = 36
7x2 = 0
x2 64 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
x2 12x = 0
(x 2)2 16 = 0
x2 6x 7 = 0
(x + 1)2 = 4x
x2 + x 6 = 0
x2 25 = 0
x(x 4) = 2x(x 3)
3(x 2)2 27 = 0
4x2 9 = 0
Solucin:
x1 = 3/2, x2 = 3/2
98
Solucin:
x1 = 1, x2 = 5
97
Solucin:
x1 = 0, x2 = 2
96
Solucin:
x1 = 5, x2 = 5
95
Solucin:
x1 = 2, x2 = 3
94
Solucin:
x1 = x2 = 1
93
Solucin:
x1 = 1, x2 = 7
92
Solucin:
x1 = 2, x2 = 6
91
Solucin:
x1 = 0, x2 = 12
90
Solucin:
x1 = 8, x2 = 8
89
Solucin:
x1 = x2 = 0
88
Solucin:
x1 = 6, x2 = 6
87
Solucin:
x1 = x2 = 0
86
Solucin:
x1 = 9, x2 = 9
85
Solucin:
x = 8/3
10 x12
2x 33
x 52
84
Solucin:
x = 6/7
x 24
3x2
83
Solucin:
x = 14
3x 210
4 x5
82
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
9/26
176 SOLUCIONARIO
G
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S.L.
Ejercicios y problemas
6x2 7x 3 = 0
= 3( )
5x2 4x = 2x2
4x2 51x + 36 = 0
= +
3. Nmero de soluciones. Factorizacin
Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cun-tas soluciones tienen:
x2 + x 12 = 0
x2 4x + 13 = 0
9x2 12x + 4 = 0
4x2 12x + 13 = 0
Halla la descomposicin factorial de los siguientes poli-nomios:
4x2 3x
x2 144
9x2 + 12x + 4
20x2 7x 6
Halla, en cada caso, una ecuacin de 2 grado cuyassoluciones son:
x1 = 4, x2 = 5
x1 = 3/4, x2 = 2
x1 = 3, x2 = 1/3
Solucin:
(x + 3)(x + 1/3) = 0
x2 + 10x/3 + 1 = 0 3x2 + 10x + 3 = 0
114
Solucin:(x 3/4)(x + 2) = 0
x2 + 5x/4 3/2 = 0 4x2 + 5x 6 = 0
113
Solucin:
(x 4)(x + 5) = 0 x2 + x 20 = 0
112
Solucin:
20(x + 2/5)(x 3/4)
111
Solucin:
9(x + 2/3)2
110
Solucin:
(x + 12)(x 12)
109
Solucin:
4x(x 3/4)
108
Solucin:
= 144 208 = 64 < 0No tiene soluciones reales.
107
Solucin:
= 144 144 = 0 Tiene una solucin doble.
106
Solucin:
= 16 52 = 36 < 0No tiene soluciones reales.
105
Solucin:
= 1 + 48= 49 > 0 Tiene dos soluciones.
104
Solucin:
x1 = 2/5, x2 = 3
16
5x 3x2
1213
x2 4x6
103
Solucin:
x1 = 3/4, x2 = 12
102
Solucin:
x1
= 0, x2
= 4/3
101
Solucin:
x1 = 9/2, x2 = 0
x4
x2
25x2
3100
Solucin:
x1 = 1/3, x2 = 3/2
99
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8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
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UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 177
G
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x1 = 2/5, x2 = 3/2
Calcula la suma y el producto de las soluciones de lassiguientes ecuaciones, sin resolver stas:
x2 8x + 3 = 0
x2 7x + 2 = 0
6x2 + x 2 = 0
5x2 16x + 3 = 0
4. Problemas de ecuaciones
Calcula tres nmeros enteros consecutivos talesque la suma de los tres sea igual al doble delsegundo.
Si se disminuye la altura de un rectngulo en3,5 cm, el rea disminuye en 21 cm2. Calcula labase del rectngulo.
Hace siete aos, la edad de un padre era cincoveces la del hijo. Si actualmente es solo el triple,qu edad tiene cada uno?
Se mezcla azcar de 1,125 /kg con azcarde1,4 /kg y se obtienen 200 kg de mezcla a1,29 /kg. Cuntos kilos de cada clase se hanmezclado?
Qu ngulo forman las agujas de un reloj a lastres y media?
Solucin:
12x = 180 x = 15
El ngulo que forman es de 90 15 = 75
124
Solucin:
1,125x + 1,4(200 x) = 1,29 200 x = 80
Azcar A: 80 kg
Azcar B: 120 kg
123
Solucin:
5x + 7 = 3(x + 7) x = 7
Edad del hijo = 14 aos.
Edad del padre = 42 aos.
122
Solucin:
3,5x = 21 x = 6
La base mide 6 cm
x
3,5
121
Solucin:
1er nmero: x 1
2 nmero: x3er nmero: x + 1
x 1 + x + x + 1 = 2x x = 0
Primer nmero = 1
Segundo nmero = 0
Tercer nmero = 1
120
Solucin:
S = 16/5, P = 3/5
119
Solucin:
S = 1/6, P = 1/3
118
Solucin:
S = 7, P = 2
117
Solucin:
S = 8, P = 3
116
Solucin:
(x 2/5)(x + 3/2) = 0x2 + 11x/10 3/5 = 0 10x2 + 11x 6 = 0
115
Hace 7 aos Actualmente
Hijo x x + 7
Padre 5x 5x + 7
Azcar A
1,125
x
1,125x +1,4(200 x) = 1,29 200
Azcar B
1,4
200 x
Mezcla
1,29
200
Precio (/kg)
Peso (kg)
Dinero ()
121
2
90 x
x
1110
6
9
8
7
4
5
3
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
11/26
178 SOLUCIONARIO
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
Ejercicios y problemas
Resuelve las siguientes ecuaciones:
4x + 2 = 3x + 8 x
2x + x 12 + 7x = 9x 10
2x 15 + x = 2x 8
5x + 9 + 3x = 2x + 5 + 7x
3(x 7) + 1 = 2x 25
3(x 2) = 4(x 1) 5
2(x 2) 3x = 2(x + 4) 5x
2 (x + 2) = 2 (3 x)
Solucin:
x = 1/2
135
Solucin:
x = 6
134
Solucin:
x = 3
133
Solucin:
x = 5
132
Solucin:
x = 4
131
Solucin:
x = 7
130
Solucin:
x = 2
129
Solucin:
x = 3
128
Un vehculo sale de A con direccin a B y lleva unavelocidad constante de 80 km/h. En el mismo ins-tante, otro vehculo sale de B hacia A con una
velocidad de 60 km/h. Si la distancia entre A y B esde 280 km, a qu distancia de A se cruzan los dosvehculos?
Calcula dos nmeros naturales consecutivos talesque su producto sea 132
Un tringulo rectngulo tiene un rea de 44 m2.Calcula la longitud de los catetos si uno de ellosmide 3 m ms que el otro.
Solucin:
x(x + 3)= 44 x = 11 y x = 8
2
La solucin negativa no tiene sentido.
Los catetos miden:8 m y 11 m
127
Solucin:
x(x + 1) = 132 x = 12 y x = 11
Hay dos soluciones:
Nmero menor = 12, nmero mayor = 11
Nmero menor = 11, nmero mayor = 12
126
Solucin:
El tiempo que tardan ambos es el mismo y la frmu-
ela es e = v t t = v
x 280 x= x = 16080 60
Se encuentran a 160 km de A
280 kmA B
80 km/h 60 km/h
125
Para ampliar
x
x+3
280 km
x C 280 xA B
80 km/h 60 km/h
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
12/26
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 179
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
8(2x + 1) = 7 + 3(5x + 1)
x 3 2(2x 6) = 2(x + 5)
3x (1 2x) 2x = 4 x (5x 6)
4(3x 1) 3(x 2) = 2(4x 2)
= 13
=
1 =
= x
= + 4
= 2
2(5x 4) =
+ = 5x
= 3x + 2
= x +
=
3(x 1) + = +
= +
Solucin:
x = 2
3x 54
20 x12
1 2x4
x + 13
152
Solucin:
x = 1
112
7x 13
116
2x 34
151
Solucin:
x = 11/3
12x + 136
5x8
x + 28
4x 112
150
Solucin:
x = 1/3
89
1 x3
x 25
x 34
149
Solucin:
x = 1/2
11 x14
1 2x7
x + 22
148
Solucin:
x = 4/11
x3
7x + 42
2x 33
3x4
147
Solucin:
x = 2/3
76
x + 32
x + 24
3x 25
146
Solucin:
x = 7
x 12
2 x5
145
Solucin:
x = 13/2
x 12
4x + 13
5x 12
144
Solucin:
x = 1/3
2 5x6
5x 22
x3
143
Solucin:
x = 7
2x 15
x + 32
142
Solucin:
x = 4
7x + 66
5x + 93
141
Solucin:
x = 7
5x + 43
140
Solucin:
x = 6
139
Solucin:
x = 11/9
138
Solucin:
x = 1/5
137
Solucin:
x = 2
136
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
13/26
180 SOLUCIONARIO
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
Ejercicios y problemas
x = +
=
x =
= +
+ = +
18 = 4(1 x)
=
=
=
5x2 = 0
x2 81 = 0
x2 + 2x 15 = 0
x2 144 = 0
2x2 5x 3 = 0
x2 4x = 0
x2 4x 12 = 0
4x2 25 = 0
Solucin:
x1 = 5/2, x2 = 5/2
169
Solucin:
x1 = 2, x2 = 6
168
Solucin:
x1 = 0, x2 = 4
167
Solucin:
x1 = 1/2, x2 = 3
166
Solucin:
x1 = 12, x2 = 12
165
Solucin:
x1 = 5, x2 = 3
164
Solucin:
x1
= 9, x2
= 9
163
Solucin:
x1 = x2 = 0
162
Solucin:
x = 3/5
13
x + 12
x + 34
x 26
161
Solucin:
x = 1
x + 22
178
x 46
2x 18
160
Solucin:
x = 3/2
x 32
78
x 24
x + 33
159
Solucin:
x = 5
x + 13
5 x2
158
Solucin:
x = 14/5
x2
x + 16
116
x 24
157
Solucin:
x = 3
52
2x 15
x + 26
4x + 13
156
Solucin:
x = 3
2x 13
2x 15
13
155
Solucin:
x = 2
x + 19
16
3x + 16
x + 13
154
Solucin:
x = 5/14
x2
2x 34
5x 76
153
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
14/26
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 181
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
2x2 + x 6 = 0
5x2 7x + 2 = 0
x2 169 = 0
3x2 11x + 6 = 0
5x2 9x = 0
x2 = 4x
25x2 25x + 4 = 0
4x2 81 = 0
6x2 + 11x 2 = 0
4x2 + 9x = 0
4x2 7x + 3 = 0
9x2 1 = 0
4x2 8x + 3 = 0
5x2 + x = 0
x2 9x + 20 = 0
4x2 + 3x 10 = 0
25x2 1 = 0
9x2 18x 7 = 0
Solucin:
x1 = 1/3, x2 = 7/3
187
Solucin:
x1 = 1/5, x2 = 1/5
186
Solucin:
x1 = 2, x2 = 5/4
185
Solucin:
x1 = 5, x2 = 4
184
Solucin:
x1 = 1/5, x2 = 0
183
Solucin:
x1 = 3/2, x2 = 1/2
182
Solucin:
x1 = 1/3, x2 = 1/3
181
Solucin:
x1 = 3/4, x2 = 1
180
Solucin:
x1 = 0, x2 = 9/4
179
Solucin:
x1 = 2, x2 = 1/6
178
Solucin:
x1 = 9/2, x2 = 9/2
177
Solucin:
x1 = 4/5, x2 = 1/5
176
Solucin:
x1 = 0, x2 = 4
175
Solucin:
x1 = 0, x2 = 9/5
174
Solucin:
x1 = 2/3, x2 = 3
173
Solucin:
x1 = 13, x2 = 13
172
Solucin:
x1 = 2/5, x2 = 1
171
Solucin:
x1 = 2, x2 = 3/2
170
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
15/26
182 SOLUCIONARIO
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
Ejercicios y problemas
5x2 + 8x 4 = 0
x + 4x2 = 0
4x2 17x + 15 = 0
7x2 5x 2 = 0
(3x 1)2 = 0
x(x 3) = 0
(x 1)(2x 3) = 0
(x + 2)(x 2) = 2(x + 3) + 5
2x(x + 1) (6 + x) = (x + 3)(x 2)
x2 + = 0
x2 = 0
x2 =
x2 = 0
x2 2x =
6x2 + 5 = 5x2 + 8x 10
10x2 23x = 4x2 7
(x 7)2 81 = 0
Solucin:
x1 = 2, x2 = 16
204
Solucin:
x1 = 1/3, x2 = 7/2
203
Solucin:
x1 = 5, x2 = 3
202
Solucin:
x1 = 1/2, x2 = 3
x2
32
201
Solucin:
x1 = 2/3, x2 = 4
83
10x3
200
Solucin:
x1 = 2, x2 = 4/3
83
2x3
199
Solucin:
x1 = 1/2, x2 = 5/4
58
3x4
198
Solucin:
x1 = 13/5, x2 = 2
265
3x5
197
Solucin:
x1 = x2 = 0
196
Solucin:
x1 = 3, x2 = 5
195
Solucin:
x1 = 1, x2 = 3/2
194
Solucin:
x1 = 0, x2 = 3
193
Solucin:
x1 = x2 = 1/3
192
Solucin:
x1 = 2/7, x2 = 1
191
Solucin:
x1 = 3, x2 = 5/4
190
Solucin:
x1 = 1/4, x2 = 0
189
Solucin:
x1 = 2, x2 = 2/5
188
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
16/26
11x2 6x 3 = 2x2 4
= 3
+ = +
=
= +
=
Solucin:
x1 = 11, x2 = 1
2x2 4x 35
x2 4x + 12
210
Solucin:
x1 = 2, x2 = 1
15x9
2(x2 x)6
7x 23
209
Solucin:
x1 = 3, x2 = 1/3
3x + 110
x2 + x2
x2 + 25
208
Solucin:
x1 = x2 = 2
13
x2
4x3
x2
6207
Solucin:
x1 = 9/4, x2 = 3
x + 32
2x2
3206
Solucin:
x1 = x2 = 1/3
205
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 183
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
Se ha plantado 1/5 de la superficie de una huertacon cebollas; 1/15 con patatas; 2/3 con judas y elresto, que son 240 m2, con tomates. Qu superfi-cie tiene la huerta?
Natalia y Roberto tienen, respectivamente, 8 y 2aos. Al cabo de cuntos aos la edad de Nataliaser el doble de la de Roberto?
Qu ngulo forman las agujas delreloj a las tres y cuarto?
Los lados de un rectngulo miden 5 m y 3 m. Alaumentar los lados en una misma cantidad, el reaaumenta en 48 m2. Cunto se ha ampliado cadalado?
Solucin:
(5 + x)(3 + x) = 63
x2 + 8x + 15 = 63
x2 + 8x 48 = 0
x1 = 12, x2 = 4
La solucin negativa no tiene sentido.
Se aumenta 4 m
214
Solucin:
ngulo que forman las agujas: x
12x = 90 x = 7,5
Formarn un ngulo de 7,5
213
Solucin:
8 + x = 2(2 + x) x = 4
Dentro de 4 aos,Natalia tendr 12 y Roberto 6 aos.
212
Solucin:
Superficie de la huerta: x
x x 2x+++ 240 = x x = 36005 15 3
La huerta mide 3600 m2
211
Problemas
Actualmente Dentro de x aos
Natalia 8 8 + x
Roberto 2 2 + x
5 m
3 m
5 + x
15 m2
15 + 48 = 63 m2 3 + x
121
211
10
6
9
8
7
4
5
3
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
17/26
184 SOLUCIONARIO
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
Ejercicios y problemas
Dos ciudades A y B estn a 300 km de distancia. Alas diez de la maana un coche sale desde A haciaB con una velocidad de 80 km/h. Dos horas ms
tarde, otro coche sale desde B hacia A con unavelocidad de 120 km/h. A qu hora se encuentrany a qu distancia de A?
La edad de Rubn es la quinta parte de la edad desu padre.Dentro de 3 aos, la edad de Rubn serla cuarta parte de la edad de su padre. Qu edadtiene cada uno actualmente?
Calcula un nmero tal que, si se le quita su quintaparte, el resultado sea 60
El cristal rectangular de una puerta mide 120 cmms de alto que de ancho y su superficie mide10 800 cm2. Calcula cunto miden los lados delcristal.
El producto de dos nmeros enteros consecutivoses igual al cudruple del menor menos 2 unidades.Encuentra dichos nmeros.
Ana tiene 12 aos, su hermano Pablo tiene 14aos y su padre 42. Cuntos aos deben pasarpara que la suma de las edades de Ana y Pablo seaigual a la de su padre?
Calcula el rea de un crculo sabiendo que si
aumentamos el radio en 6 cm, el rea se hace nue-ve veces ms grande.
Solucin:
9R2 = (R + 6)2 R = 3, R = 3/2
El radio negativo no tiene sentido.
El radio vale R = 3 cm y su rea es 9 cm2
221
Solucin:
12 + x + 14 + x = 42 + x x = 16
Tienen que pasar 16 aos.
220
Solucin:
Nmero menor: xNmero mayor: x + 1
x(x + 1) = 4x 2 x = 1,x = 2
Hay dos soluciones:
El nmero menor: 1, el nmero mayor: 2
El nmero menor: 2 y el nmero mayor: 3
219
Solucin:
x(120 + x) = 10800 x = 60,
x = 180La solucin negativa no tienesentido.
Ancho:60 cm
Alto:180 cm
218
Solucin:
Nmero: x
x x/5 = 60
x = 75
217
Solucin:
4(x + 3) = 5x + 3 x = 9
Edad de Rubn = 9 aos.
Edad del padre = 45 aos.
216
Solucin:
80t + 120(t 2) = 300 t = 2,7
Se encuentran a 2,7 h = 2 h 42 minutos,es decir, a las12 horas y 42 minutos, y a una distancia x = 216 kmde A
x 300 x300 kmA B
80 km/h 120 km/h
215
Actualmente Dentro de 3 aos
Rubn x x + 3
Padre 5x 5x + 3
120+x
x
Actualmente Dentro de x aos
Ana 12 12 + x
Pablo 14 14 + x
Padre 42 42 + x
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
18/26
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 185
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
Se mezclan 1800 kg de harina de 0,42 /kg con3 500 kg de harina de 0,54 /kg. Qu precio tieneel kilo de la mezcla?
Sonia se ha comprado un libro y un disco que te-nan el mismo precio, pero que han rebajado un15% y un 10%, respectivamente, cuando ha ido apagar. Si se ha ahorrado 9 , cunto costaba cadaproducto?
Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarloen 5 unidades, el rea aumente en 395 unidades
cuadradas.
Calcula dos nmeros enteros tales que su di-ferencia sea 2 y la suma de sus cuadrados sea 884.
A qu hora coinciden, por primera vez, las mane-cillas del reloj despus de las 12 horas?
Ruth tiene 17 aos y su madre tiene 47. Cuntoha de transcurrir para que la edad de la hija sea lamitad de la de la madre?
De un tablero de 2 400 cm2 se cortan dos piezascuadradas, una de ellas con 5 cm ms de lado quela otra. Si las tiras de madera que sobran miden1 283 cm2, cunto miden los lados de las piezascuadradas cortadas?
Solucin:
x2 + (x + 5)2 + 1283 = 2400 x = 26 , x = 21
La solucin negativa no tiene sentido.
Las piezas son de 21 cm de lado y de 21 + 5 = 26 cmde lado respectivamente.
228
Solucin:
47 + x = 2(17 + x) x = 13
A los 13 aos.
227
Solucin:
Sea x el ngulo que recorre la aguja minutera.
12(x 30) = x x = 32,73
Se encontrarn cuando la aguja minutera ha recorridoun ngulo de 32,73, es decir, 32,73 : 30 = 1,09 h =1 hora 5 minutos 24 segundos.
12
1 21110
6
9
8
7
4
5
3
226
Solucin:
x2 + (x 2)2 = 884 x = 20, x = 22
Hay dos soluciones:
Nmero menor: 22 nmero mayor: 20
Nmero menor: 20 nmero mayor: 22
225
Solucin:
(x + 5)2 = x2 + 395
x = 37El lado del cuadrado mide 37 unidades.
224
Solucin:
Precio del libro = precio del disco: x
0,15x + 0,1x = 9 x = 36
Los dos productos valan 36
223
Solucin:
0,42 1800 + 0,54 3500 = 5300x
x = 0,499 = 0,5
222
Harina A
0,42
1800
Harina B
0,54
3500
Mezcla
x
5300
Precio (/kg)
Peso (kg)
0,42 1800 + 0,54 3500 = 5 300 xDinero ()
Actualmente Dentro de x aos
Ruth 17 17 + x
Madre 47 47 + x
x
x
x + 5
x+5
x
x
x + 5
x + 5
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
19/26
186 SOLUCIONARIO
G
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S.L.
Ejercicios y problemas
Halla un ngulo que sea igual a un tercio de sungulo suplementario.
Se desea obtener 8000 kg de pienso mezclandomaz a un precio de 0,5 /kg con cebada a un pre-
cio de 0,3 /kg. Si se desea que el precio de lamezcla sea de 0,45 /kg, cuntos kilos de maz yde cebada necesitamos?
Andrs sale a caminar desde su casa a una veloci-dad de 6 km/h. Una hora ms tarde, su hermanaVirginia sale a buscarle en bicicleta a una velocidadde 26 km/h. Cunto tardar en alcanzarlo?
Se desea mezclar 50 kg de azcar blanca de1,24 /kg con azcar morena de 1,48 /kg.Cuntos kilos de azcar morena se necesitanpara que la mezcla salga a 1,32 /kg?
Para profundizar
Elvira compra unos zapatos, una camisa y una cha-queta. Si la camisa cuesta la mitad que la chaquetay sta la mitad que los zapatos,y ha pagado 126 ,
cunto cuesta cada cosa?
Los lados de un rectngulo miden 7 cm y 9 cm. Sise amplan los lados en una misma cantidad, la nue-va rea es de 143 cm2. Cunto se ha ampliado
cada lado?
A qu hora forman las manecillas del reloj unngulo de 120 por primera vez despus de las 12?
Solucin:
Sea x el ngulo de la aguja horaria.
120 + x = 12x x = 10,91
La aguja horaria recorre un ngulode 10,91
La aguja minutera recorre un ngulo de 130,91 quecorresponde a 21,818 minutos, es decir, sern las:
12 horas 21 minutos y 49 segundos.
235
Solucin:
(7 + x)(9 + x) = 143
x = 20, x = 4
La solucin negativa no tienesentido.
Se ha ampliado 4 cm
234
Solucin:
Precio de la camisa: x
x + 2x + 4x = 126 x = 18
La camisa vale 18 , la chaqueta 36 y los zapatos72
233
Solucin:
1,24 50 + 1,48 x = 1,32(50 + x) x = 25
Se necesitan 25 kg de azcar morena.
232
Solucin:
Tiempo que tarda Virginia en alcanzar a Andrs des-de la salida de Andrs:
6t = 26(t 1) t = 13/10 h = 1,3 h
Tarda en alcanzarlo 3/10 hora = 0,3 h = 18 min
231
Solucin:
0,5x + 0,3(8000 x) = 0,45 8000
x = 6000
Maz: 6000 kgCebada: 2000 kg
230
Solucin:
3x = 180 x x = 45
El ngulo es de 45
180 xx
229
Maz
0,5
x
Cebada
0,3
8000 x
Mezcla
0,45
8000
Precio (/kg)
Peso (kg)
0,5x + 0,3(8000 x) = 0,45 8000Dinero ()
Azcar blanca
1,24
50
1,24 50 + 1,48 x = 1,32(50 + x)
Azcar morena
1,48
x
Mezcla
1,32
50 + xPrecio (
/kg)Peso (kg)
Coste ()
9 cm7cm
7+x
9 + x
121
2120
x
1110
6
9
8
7
4
5
3
V A26 km/h 6 km/h
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
20/26
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 187
G
rupoEditorialBruo,
S.L.
Calcula un nmero tal que multiplicado por sumitad sea igual a su cuarta parte ms 9
Halla un nmero cuya mitad ms su cuarta partesea igual a 39
Halla un nmero cuya mitad,ms su tercera parte,ms una unidad, sea igual que el nmero.
Las diagonales de un rombo miden 18 cm y 12 cm.Qu longitud se debe aadir a las diagonales para
que el rea del rombo se duplique?
Halla el valor de ken la siguiente ecuacin de for-ma que su solucin sea 2:
kx 3 = 3x 1
Una solucin de la ecuacin 10x2 11x 6 = 0 es3/2. Calcula la otra solucin sin resolver la ecua-cin.
En la ecuacin 8x2 18x + k = 0, halla el valor dekde forma que una solucin sea el doble de laotra.
Un grifo llena un depsito en 3 horas y otro lohace en 6 horas. Cunto tiempo tardarn en lle-nar el depsito los dos grifos a la vez?
Solucin:
Tiempo que tardan: x
(1/3 + 1/6)x = 1 x = 2
Tardan 2 horas.
243
Solucin:
Sean las soluciones x1, x2 = 2x1x1 + x2 = b/a 3x1 = 9/4 x1 = 3/4
x1
x2
= c/a 2x1
2 = k/8
9/8 = k/8
k = 9
Para k = 9 las soluciones son x1 = 3/4, x2 = 3/2
242
Solucin:
3/2 + x2 = b/a
3/2 + x2 = 11/10x2 = 11/10 3/2 = 2/5
241
Solucin:
2k 3 = 6 1
k = 4
240
Solucin:
(18 + x)(12 + x) 18 12= 2
2 2
x1 = 36, x2 = 6
La solucin negativa no tiene sentido.
Hay que aumentar 6 cm
239
Solucin:
Nmero: x
x x+ + 1 = x x = 62 3
238
Solucin:
Nmero: x
x x+ = 39 x = 522 4
237
Solucin:
Nmero: x
x xx= + 9 x = 4, x = 9/2
2 4
236
12 cm
cmx2
cmx2
18cm
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
21/26
188 SOLUCIONARIO
G
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Ejercicios y problemas
En un rectngulo, el segmento que une los puntosmedios de dos lados consecutivos mide 50 m. Si larazn de los lados es 4/3, calcula el rea del rec-
tngulo.
Julio invierte 14000 en acciones de dos empre-sas. En una gana el 15% y en otra pierde un 3,5%.Sial venderlas obtiene 14620 , cunto invirti en
cada empresa?
Solucin:
Dinero invertido en una empresa: x
0,15x 0,035(14000 x) = 620 x = 6000
En una empresa invierte 6 000 y en la otra8000
245
Solucin:
Sea x la mitad del lado menor.
4x2 + (x)
2= 502 x = 30, x = 30
3
La solucin negativa no tiene sentido.Para x = 30 m,el rea es:
A = 80 60 = 4800 m2
50 m
244
En cunto tiempo recorrer un mvil 4200 m,si parte con una velocidad de 15 m/s y con unaaceleracin de 4,5 m/s2?
Se deja caer una pelota desde 30 m. Si la acelera-cin es de 9,8 m/s2, cunto tiempo tardar lapelota en llegar al suelo? La frmula que tienesque aplicar es:
e = gt2
Solucin:
1 9,8 t2 = 302
t = 2,47 segundos.
1
2
247
Solucin:
1
4,5 t
2+ 15t = 4 2002
t = 40 segundos.
246
Aplica tus competencias
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
22/26
UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 189
G
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Comprueba lo que sabes
Explica cmo se factoriza un trinomio de segun-do grado y pon un ejemplo.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2(3x 5) 4(x 2) = 2 (x 1)
b) = (x + 2)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x2 + 4x 12 = 0
b) = +
Justifica el nmero de soluciones que tienen lassiguientes ecuaciones, sin resolver stas:
a) x2 5x + 7 = 0b) 3x2 12x + 8 = 0
c) x2 4x = 0d) 9x2 + 24x +16 = 0
Escribe una ecuacin de segundo grado que ten-ga como soluciones: x1 = 3/2, x2 = 5
Encuentra un nmero tal que multiplicado porsu cuarta parte sea igual al doble del nmeromenos 3 unidades.
Los lados de un rectngulo miden 9 cm y 7 cm.Si se amplan los lados en una misma cantidad,la nueva rea es de 143 cm2. Cunto se haampliado cada uno?
Teresa tiene 12 aos, su hermano Diego tiene 7aos y su padre 44. Cuntos aos deben pasarpara que la suma de las edades de Teresa y deDiego sea igual a la del padre?
Solucin:
12 + x + 7 + x = 44 + x x = 25 aos.
8
Solucin:
(9 + x)(7 + x) = 143
x2 + 16x 80 = 0
x1 = 20, x2 = 4
La solucin negativa no tiene sentido.
Se ha ampliado 4 cm
7
Solucin:
Nmero: x
xx
= 2x 3 x2 8x + 12 = 04
x1 = 2, x2 = 6
Hay dos soluciones: El nmero 2 y el nmero 6
6
Solucin:(x 3/2)(x + 5) = 0
x2 + 7x/2 15/2 = 0
2x2 + 7x 15 = 0
5
Solucin:
a) = 25 28 = 3 < 0No tiene solucin real.
b) = 144 96 = 48 > 0 Tiene dos soluciones.
c) = 16 > 0 Tiene dos soluciones.
d) = 576 576 = 0 Tiene una solucin doble.
4
Solucin:
a) x1 = 6, x2 = 2 b) x1 = 2/3, x2 = 3
7x15
4 + 10x10
x2 + 5x5
3
Solucin:
a) 5/3 b) 2/5
7x 510
72
7 x5
2
Solucin:Un trinomio de segundo grado ax2 + bx + c conlas soluciones x1 y x2 se descompone factorialmen-te de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2)
Ejemplo
Halla la descomposicin factorial de4x2 + 8x 5
4x2 + 8x 5 = 0 tiene las soluciones
5 1x1 = , x2 = 2 2
5 1Luego: 4x2 + 8x 5 = 4(x + )(x )2 2
1
Edad actual
Teresa 12
Dentro de x aos
12 + x
Diego 7 7 + x
Padre 44 44 + x
9 cm
7 cm
9 + x
7 + x
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
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190 SOLUCIONARIO
G
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Resuelve la siguiente ecuacin:
4 + = x
Resuelve la siguiente ecuacin:
3x2 + x 4 = 0
Halla la descomposicin factorial del polinomiox2 + x 6
Representa grficamente la siguiente parbola ycalcula las soluciones de la ecuacin correspon-diente observando la grfica.
y = x2 2x 3
Plantea el siguiente problema y resulvelo con ayuda de
DERIVE o Wiris:
El lado de un cuadrado mide 3 m ms que ellado de otro cuadrado. Si la suma de las dosreas es 89 m2, calcula las dimensiones de loscuadrados.
Internet.Abre la web:www.editorial-bruno.esy elige Matemticas, curso ytema.
253
Solucin:
Resuelto en el libro del alumnado.
x
x
(x + 3)
(x + 3)2 2
252
Solucin:
Resuelto en el libro del alumnado.
251
Solucin:
Resuelto en el libro del alumnado.
250
Solucin:
Resuelto en el libro del alumnado.
249
Solucin:
Resuelto en el libro del alumnado.
14
x 12
x 23
248
Paso a paso
Windows Derive
Resuelve las siguientes ecuaciones:
6 + 3x = 4 + 7x 2x
4 3(2x + 5) = 5 (x 3)
= +
+ = 0
Solucin:
x = 5
10 3x5
x 23
x 12
257
Solucin:
x = 5/12
7x 510
92
7 x2
256
Solucin:
x = 19/5
255
Solucin:
x = 1
254
Practica
-
8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado
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UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 191
G
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4x2 3x = 0
4x2 81 = 0
x2 5x + 6 = 0
x2 4x + 4 = 0
8x2 2x 3 = 0
Representa grficamente las siguientes parbolasy calcula las soluciones de las ecuaciones corres-pondientes observando las grficas.
a) y = x2 4 b) y = x2 + 4x + 4
c) y = x2 + x + 2 d) y = x2 + x 2Halla la descomposicin factorial de los si-guientes trinomios de segundo grado:
a) x2 9
b) x2 x 12
c) x2 x 20
d) x2 + 8x + 15
Solucin:
a) (x 3)(x + 3)
b) (x + 3)(x 4)
c) (x + 4)(x 5)
d) (x + 3)(x + 5)
264
b)
x1 = x2 = 2
c)
x1 = 1, x2 = 2
d)
x1 = 4, x2 = 2
Solucin:
a)
x1 = 2, x2 = 2
12
14
263
Solucin:
x1 = 1/2, x2 = 3/4
262
Solucin:
x1 = x2 = 2
261
Solucin:
x1 = 3, x2 = 2
260
Solucin:
x1 = 9/2, x2 = 9/2
259
Solucin:
x1 = 0, x2 = 3/4
258
Linux/Windows
123456 654321
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
123456 654321
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
123456 654321
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
123456 654321
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
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192 SOLUCIONARIO
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Halla una ecuacin de segundo grado que tengalas races:
a) x1 = 5, x2 = 3
b) x1 = 1, x2 = 2
c) x1 = 7, x2 = 9
d) x1 = 6, x2 = 8
Plantea los siguientes problemas y resulvelos con ayudade DERIVE o Wiris:
Calcula un nmero tal que si se le quita su quin-ta parte el resultado sea 60
Halla los lados de un tringulo rectngulo sa-
biendo que son nmeros enteros consecutivos.
Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumen-tarlo en 5 unidades, el rea aumente en 395 uni-dades cuadradas.
Se desea mezclar 50 kg de azcar blanca de1,24 /kg con azcar moreno de 1,48 /kg.Cuntos kilos de azcar moreno se necesitanpara que la mezcla salga a 1,32 /kg?
Las diagonales de un rombo miden 18 cm y12 cm. Qu longitud se debe aadir a las diago-nales para que el rea del rombo se duplique?
Solucin:
(18 + x)(12 + x) 18 12 = 2
2 2
x = 36, x = 6La solucin negativa no tiene sentido.
Hay que aumentar 6 cm
270
Solucin:
1,24 50 + 1,48 x = 1,32(50 + x)x = 25 kg
269
Solucin:
(x + 5)2 = x2 + 395
x = 37
268
Solucin:
Cateto menor: x
x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2
x1 = 1, x2 = 3
La solucin negativa no tiene sentido.
Los lados del tringulo miden: 3, 4 y 5 cm
267
Solucin:
x x/5 = 60
x = 75
266
Solucin:
a) x2 2x 15 = 0
b) x2 3x + 2 = 0
c) x2 + 2x 63 = 0
d) x2 2x 48 = 0
265
Windows Derive
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