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Prof. Juliano J. Scremin
Teoria das Estruturas I - Aula 02
Modelagem Estrutural
⚫ Introdução à Modelagem Estrutural
⚫ Reações de Apoio em Estruturas Isostáticas Planas
(Revisão)
⚫ Modelos Estruturais Planos Usuais
⚫ Determinação Estática e Estabilidade de Modelos
Estruturais
1
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Aula 02 - Seção 01:
Introdução à Modelagem Estrutural
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Passos de um Projeto Estrutural
• Concepção (arquitetônica) da obra ⇒ atendimento às necessidades funcionais e econômicas
• Anteprojeto estrutural ⇒ plantas de forma (concreto armado) ⇒ orçamento
• Análise Estrutural ⇒ previsão do comportamento da estrutura
• Dimensionamento ⇒ verificação das hipóteses do anteprojeto
• Detalhamento⇒ especificação detalhada da construção
• Documentação⇒ informações necessárias para construção
3
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Análise Estrutural
• É a etapa do projeto estrutural onde é feita uma previsão sobre o
comportamento da estrutura.
• Isto é uma simulação de como a estrutura responde a todas as
solicitações.
• Para esta simulação é criado um modelo matemático, denominado
Modelo Estrutural.
• Há quatro níveis de abstração da estrutura na Análise Estrutural:
4
Estrutura
Real
Modelo
Estrutural
Modelo
Discreto
Modelo
Computacional
Idealização Métodos de
AnáliseImplementação
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Modelagem Estrutural
• É a idealização do comportamento da estrutura;
• Tem por objetivo a determinação das respostas mecânicas de
uma estrutura devido à ações externas partindo do pressuposto de
serem conhecidas a geometria e os materiais a serem
empregados.
• Respostas Mecânicas:
– Tensões e Esforços Internos;
– Deslocamentos e Deformações;
– Cargas e Modos de Flambagem;
– Freqüência Natural e Modos de Vibração;
– Carga de Ruptura;
5
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Estrutura Real x Modelo Estrutural
• A criação de um modelo estrutural de uma estrutura real é uma
das partes mais importantes da análise estrutural.
• No concepção do modelo estrutural é feita uma idealização do
comportamento real em que são adotadas HIPÓTESES
SIMPLIFICADORAS
• Tipos de Hipóteses Simplificadoras:
– quanto a geomertria;
– quanto às condições de suporte;
– quanto ao comportamento dos materiais;
– quanto às solicitações que atuam sobre a estrutura;
6
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Modelo Estrutural (1)
7
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Modelo Estrutural (2)
8
Estrutura
Real
Modelo
Estruturais
Possíveis
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Modelo Estrutural (3)
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Estrutura
Real
Modelo
Estrutural
Estrutura
Real
Modelo
Estrutural
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Modelo Estrutural (4)
10
EstruturaReal
ModeloEstrutural
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Modelo Estrutural (5)
11
Estrutura
Real
Modelo
Estrutural
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Modelo Estrutural (6)
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Estrutura
Real
Modelo
Estrutural
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Hipóteses Simplificadoras
• Com respeito à geometria:
– Modelo de barras ou contínuo, modelo bi ou tridimensional, etc.?
– Como representar os elementos estruturais: vigas, pilares, lajes,
etc.?
• Sobre as condições de suporte:
– Como a estrutura se conecta com o meio externo?
– Que tipos de apoio considerar?
• Sobre as condições de vinculação entre os elementos:
– Como os elementos resistentes conectam-se entre si?
• Com respeito ao comportamento dos materiais:
– Como representar matematicamente um material?
• Sobre as solicitações:
– Como representar as cargas que atuam na estrutura?
– Quais são os tipos de solicitação: peso próprio, vento, cargas de
ocupação de prédios, variação de temperatura?
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Exemplo de um Detalhamento Estrutural (1)
Planta de Cargas e
Locação de Pilares
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Exemplo de um Detalhamento Estrutural (2)
Plantas de Formas
O desenho para execução
de formas de um pavimento
é composto por uma planta
da estrutura que sustenta
aquele pavimento, isto é, o
conjunto de pilares, vigas e
lajes;
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Exemplo de um Detalhamento Estrutural (3)
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Exemplo de um Projeto Estrutural (4)
Representação de
Elementos nos
Desenhos de
Formas
17
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Do Modelo ao Detalhamento
18
Modelo
Estrutural
Detalhamento
de Armaduras
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Sistema Estrutural
19
Sistema
EstruturalEsforços
Elementos Estruturais
Vínculos
Materiais
Esforços Considerados
Esforços Externos (Cargas / Reações)
Esforços Internos
Vínculos Externos (Apoios)
Vínculos Internos (Ligações)
Geometria
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Vínculos (1)
São condições que limitam a possibilidade de
deslocamento de um ponto (interno / externo) do elemento
resistente.
O número de vínculos pode ser:
20
Insuficiente Suficiente Superabundante
→ estrutura
hipostática ou cadeia
cinemática;
→ estrutura isostática
ou estaticamente
determinada
→ estrutura
hiperestática ou
estaticamente
indeterminada
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Vínculos (2)
Os vínculos podem ser divididos em:
21
Vínculos
Vínculos Externos (Apoios)
Vínculos Internos (Ligações)
• Ligam os elementos de uma estrutura
entre si.
• Restringem deslocamentos internos
relativos.
• Realizam as ligações da estrutura
como corpo rígido com o exterior,
dando origem à reações nas direções
dos movimentos impedidos
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Ligações ou Apoios em Engaste
• 3 graus de liberdade restritos no plano (Ux, Uy e Rz);
• Possui 3 vínculos internos pois impede 2 translações e 1
rotação relativas.
• Corresponde a 3 esforços internos solicitantes: M,V e N
22
MV
N
M V
N
Representações:
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Exemplo de Ligação em Engaste
23
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Exemplos de Ligações em Engaste
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Ligações ou Apoios em Rótula (Articulação)
• 2 graus de liberdade restritos no plano (Ux e Uy);
• Possui 2 vínculos internos pois impede 2 translações
relativas.
• Corresponde a 2 esforços internos solicitantes: V e N.
• O momento fletor M é nulo ( M=0 )
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V
N
V
N
Representações:
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Exemplos de Ligação por Rótula (Articulação)
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Exemplos de Ligação por Rótula (Articulação)
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Exemplos de Ligação por Rótula (Articulação)
28
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Exemplos de Ligações por Rótula (Articulação)
29
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Exemplos de Apoio por Rótula (Articulação)
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Ligações ou Apoios Pantográficos
• 2 graus de liberdade restritos no plano podendo ser
(Ux e Rz) ou (Uy e Rz);
• Possuem 2 vínculos internos pois impedem 1 translação e 1
rotação relativas.
• Correspondem a 2 esforços internos solicitantes:
M e N ou M e V
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M
N
M
N
VV MM
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Exexmplo de Ligação / Apoio Pantográfico
Ligação Pantográfica na Ponte Rio-NiteróiFonte: Aluno Diego Ukasinski
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Apoios Simples
• Restringem apenas 1 grau de liberdade de translação;
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Exemplos de Apoio Simples
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Exemplos de Apoio Simples
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Exemplo de Modelo com Diferentes Vínculos
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Exemplo de Modelo com Diferentes Vínculos
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Exemplo de Modelo com Diferentes Vínculos
38
Modelo Estrutural
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Aula 03 - Seção 02:
Reações de Apoio em Estruturas Isostáticas
Planas (Revisão)
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Sistema Estrutural
40
Sistema
EstruturalEsforços
Elementos Estruturais
Vínculos
Materiais
Esforços Considerados
Esforços Externos (Cargas / Reações)
Esforços Internos
Vínculos Externos (Apoios)
Vínculos Internos (Ligações)
Geometria
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Equações de Equilíbrio no Plano
• Sabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todas ‰as
forças que nele atuam é nula
• Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se
anular, e portanto, considerando as três dimensões no espaço, têm-se as
seguintes de equilíbrio:
• Particularizando-se para o caso de estruturas no plano:
41
𝐹𝑥 = 0
𝑀𝑥 = 0
𝐹𝑦 = 0
𝑀𝑦 = 0
𝐹𝑧 = 0
𝑀𝑧 = 0
𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 𝑀𝑧 = 0
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Cálculo de Reações de Apoio
• A correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completa
especificação de todas as forças externas atuantes sobre a
estrutura;
• Diagrama de Corpo Livre é a representação esquemática do corpo
com as o forças atuantes, substituindo-se os vínculos por forças que
correspondem às reações de apoio;
• Faz-se necessário estabelecer uma convenção de sinais para a
direção e sentido das forças, bem como sentido de giro em relação a
um ponto qualquer da estrutura
42
Inicialmente admite-se um sentido para as reações e
após aplicadas as equações de equilíbrio, caso algum
valor resulte negativo, basta inverter o sentido do
esforço
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Exemplo de Cálculo de Reações de Apoio
43
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Exemplo de Cálculo de Reações de Apoio
44
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Aula 03 - Seção 03:
Modelos Estruturais Planos Usuais
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Sistema Estrutural
46
Sistema
EstruturalEsforços
Elementos Estruturais
Vínculos
Materiais
Esforços Considerados
Esforços Externos (Cargas / Reações)
Esforços Internos
Vínculos Externos (Apoios)
Vínculos Internos (Ligações)
Geometria
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Elementos Estruturais
47
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Modelo de Elemento Estrutural Viga Plana (1)
• Descrição:
Elemento de barra horizontal com
apenas carregamento transversal ao
eixo longitudinal
• Esforços Internos:
M e V
• Deslocamentos possíveis:
Rotação e Translação
• Vinculações :
Todas (engaste, rótula e apoio simples)
48
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Modelo de Elemento Estrutural Viga Plana (2)
49
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Modelo de Elemento Estrutural Escora / Tirante Plano
50
• Descrição: Elemento de barra com extremidades rotuladas ou em apoio simples, sem carregamento transversal , com cargas apenas nas extremidades e podendo ser inclinado (não apenas na horizontal)
• Esforços Internos:N (esforço axial) apenas
• Deslocamentos possíveis:Translações horizontal e vertical das extremidades
• Vinculações :Rótula ou Apoio Simples
• OBS:
– em caso de tração o elemento é denominado tirante.
– em caso de compressão o elemento é denominado escora.
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Modelo de Elemento Estrutural de Barra de Pórtico Plano
51
• Descrição:
Elemento de barra com extremidades
em qualquer tipo de vinculação, com
carregamento transversal e podento
ser inclinado
• Esforços Internos:
M, V e N
• Deslocamentos possíveis:
Translações na horizontal e na vertical
e rotações no plano
• Vinculações:
Todas possíveis para o plano
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Sistema Estrutural
52
Sistema
EstruturalEsforços
Elementos Estruturais
Vínculos
Materiais
Esforços Considerados
Esforços Externos (Cargas / Reações)
Esforços Internos
Vínculos Externos (Apoios)
Vínculos Internos (Ligações)
Geometria
Modelagem do Sistema Estrutural
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Modelo Estrutural de Treliça Plana
• Composto por barras do tipo escora/tirante.
• A cargas são consideradas como sendo aplicadas somente nos nós.
• As barras estão sujeitas somente à Esforço Axial (N);
53
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Modelo Estrutural de Pórtico Plano
• Pode ser composto por barras do tipo viga, escora/tirante ou pórtico.
• Pode ter cargas nodais, transversais e longitudinais.
• As barras podem estar sujeitas a Momento (M), Corte (V) e Axial (N).
54
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Modelo Estrutural de Pórtico Plano
• Pode ser composto por barras do tipo viga, escora/tirante ou pórtico.
• Pode ter cargas nodais, transversais e longitudinais.
• As barras podem estar sujeitas a Momento (M), Corte (V) e Axial (N).
55
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Exemplo de Modelagem Estrutural (Hibbeler)
• Laje quadrada e pilares de concreto em conjunto monolítico.
56
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Exemplo de Modelagem Estrutural (Hibbeler)
• Laje retangular e pilares de concreto em conjunto monolítico.
57
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Modelo Estrutural? Pra que?
• Tacoma Bridge:
– https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs
• Silver Bridge:
– https://www.youtube.com/watch?v=dGQfUWvP0II
58
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Aula 02 - Seção 04:
Determinação Estática e Estabilidade
de Modelos Estruturais
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Determinação Estática
• As equações de equilíbrio ( ΣFx =0 , ΣFy = 0 , ΣMz = 0 ) fornecem as
condições necessárias porém não suficientes para o equilíbrio.
• Em termos de determinação estática as estruturas podem ser:
60
Estruturas Estaticamente Determinadas :
• Estruturas nas quais todas as forças (reações de apoio e esforços internos) podem ser determinadas estritamente a partir das equações de equilíbrio.
Estruturas Estaticamente Indeterminadas :
• Estruturas nas quais equações adicionais correlatas aos deslocamentos relativos (equações de compatibilidade) são necessárias para determinação de todas as forças.
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Identificação do Grau Estático
• Traçar o diagrama de corpo livre para cada uma das “barras”
componentes da estrutura;
• Comparar o número de componentes de momento e força
reativa desconhecidos (r) com o número de barras
componentes (n);
• No plano há 3 equações de equilíbrio para cada barra logo:
61
• Estaticamente Determinadah = r - 3n = 0
• Estaticamente Indeterminadah = r - 3n > 0
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Exemplos de Determinação do Grau Estático (1)
62
Estaticamente Determinada
Estaticamente Indeterminada
de Grau 2
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Exemplos de Determinação do Grau Estático (2)
63
Estaticamente Determinada
Estaticamente Indeterminada
de Grau 1
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Exemplos de Determinação do Grau Estático (3)
64
Estaticamente Indeterminada de Grau 4
Estaticamente Determinada
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Estabilidade do Equilíbrio (1)
65
• A configuração do equilíbrio do arranjo estrutural não poder ser
alterada drasticamente na presença de imperfeições e das ações
perturbadoras.
• Nestes termos é possível indentificar 3 tipos de equilíbrio:
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Estabilidade do Equilíbrio (2)
• Uma estrutura é dita INSTÁVEL quando ocorrem duas situações:
– Restrições Parciais:
• Caso em que uma estrutura ou um dos seus membros não
atende uma das equações de equilíbrio ( ΣFx = 0 , ΣFy = 0 ,
ΣMz = 0 ) ;
– Restrições Impróprias:
• Estruturas que podem ser estaticamente determinadas ou
indeterminadas porém as linhas de ação das forças reativas
cruzam em um ponto comum ou são todas paralelas entre si.
66
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Estabilidade do Equilíbrio (3)
• Em resumo, uma estrutura é dita INSTÁVEL se:
67
• Número de forças reativas menor do que o número de equações de equilíbrio
h = r - 3n < 0
• Número de forças reativas maior ou igual ao número de equações de equilíbrio porém:- reações dos membros são concorrentes- alguns componentes formam um mecanismo colapsável
h = r - 3n ≥ 0
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Exemplos de Estruturas Instáveis (1)
68
Restrição
Parcial
Reações
Concorrentes
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Exemplos de Estruturas Instáveis (2)
69
Reações
Concorrentes
h = r - 3n < 0
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Classificação Estática das Estruturas
70
• Se h < 0ou
• Se h >= 0 em Equilíbrio Instável ou Indiferente
Estruturas Hipostáticas
• h = 0
• Equilíbrio Estável
Estruturas Isostáticas
• h > 0
• Equilíbrio Estável
Estruturas Hiperestáticas
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Alternativa para Definição do Grau Estático de Pórticos
• Indica o número de equações suplementares necessárias para o
cálculo das reações de apoio da estrutura.
71
𝐡𝒑𝒐𝒓𝒕 = 𝐑 − 𝐧′ − 𝟏 .𝐍𝐫𝐢 − 𝐍𝐞𝐞 + 𝟑.𝐐
R – número de reações de apoio;
n’ – número de barras que concorrem a uma rótula interna;
Nri – número de rótulas com n’ barras;
Nee – número de equações de equilíbrio;
Q – número de quadros fechados no modelo estrutural.
Hiperestaticidade
Externa
Hiperestaticidade
Interna
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Alternativa para Definição do Grau Estático de Treliças
• Em treliças o grau estático é calculado de forma mais simples
através de uma única da expressão:
72
𝐡𝒕𝒓𝒆𝒍 = 𝐑 + 𝐛 − 𝟐𝐧
R – número de reações de apoio;
b – número de barras de uma treliça;
n – número de nós que compõe a treliça;
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Rótulas x Equações de Equilíbrio
• Em uma estrutura reticulada hiperestática plana, a adição de
uma rótula com “n” barras convergindo implica na criação
de “(n-1)” equações adicionais para determinação do
equilíbrio da estrutura;
• Isto de seve ao fato de que em uma rótula é conhecido o
valor do momento fletor atuante, ou seja, M = 0 (zero);
73
+1 equação +2 equações +1 equação
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Modelo Estrutural da Gangorra (1)
• Estrutura Hipostática;
* h = r - 3n < 0
* Não há restrição ao giro
• Vínculo Interno:
Engaste
(a barra é interiça – há
momento transmitido ao
longo da barra)
• Vínculo Externo:
Apoio Rotulado
( não há momento
transmitido à fundação )
74
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Modelo Estrutural da Gangorra (2)
• Estrutura Hipostática;* h = r - 3n < 0* Não há restrição ao giro
Equilíbrio Indiferente
• Vínculo Interno: Engaste (a barra é interiça – há momento transmitido ao longo da barra)
• Vínculo Externo: Apoio Rotulado ( não há momento transmitido à fundação )
75
−𝑷𝑳 −𝒒𝑳𝟐
𝟐
𝟐𝑷 + 𝟐𝒒𝑳
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Modelo de Pórtico com Quadro Fechado (1)
76
• Hiperestacidade Interna: 3
• Hiperestacidade Externa: 0
• Barra da base vinculada por
engastes nas barras verticais;
• Hiperestacidade Interna: 3
• Hiperestacidade Externa: 2
• Barra da base vinculada por
rótulas nas barras verticais;
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Modelo de Pórtico com Quadro Fechado (2)
77
![Page 78: Teoria das Estruturas Aula 01 – Apresentação da Disciplina · 1. Aula 02 - Seção 01: Introdução à Modelagem Estrutural. Passos de um Projeto Estrutural • Concepção (arquitetônica)](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070719/5edf9b4cad6a402d666af09e/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemplos de Classificação Estática
78
![Page 79: Teoria das Estruturas Aula 01 – Apresentação da Disciplina · 1. Aula 02 - Seção 01: Introdução à Modelagem Estrutural. Passos de um Projeto Estrutural • Concepção (arquitetônica)](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070719/5edf9b4cad6a402d666af09e/html5/thumbnails/79.jpg)
FIM
79
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Exercícios TE1-2.1 (1)
80
• Determinar o grau estático:
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Exercícios TE1-2.1 (2)
81
• Determinar o grau estático:
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Exercícios TE1-2.1 (3)
82
• Determinar o grau estático:
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Exercício TE1-2.2
83
• Calcule as reações de apoio:
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Exercício TE1-2.3
84
• Calcule as reações de apoio:
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Exercício TE1-2.4
85
• Calcule as reações de apoio:
![Page 86: Teoria das Estruturas Aula 01 – Apresentação da Disciplina · 1. Aula 02 - Seção 01: Introdução à Modelagem Estrutural. Passos de um Projeto Estrutural • Concepção (arquitetônica)](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070719/5edf9b4cad6a402d666af09e/html5/thumbnails/86.jpg)
Exercício TE1-2.5
86
• Calcule as reações de apoio:
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Exercício TE1-2.6
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Exercício TE1-2.7
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Exercício TE1-2.8
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