Download - Teoria de la integral de riemann
Conceptos previos: partición, sumas superiores e inferiores,
integral de Riemann.
Condiciones de integrabilidad.
Propiedades de la integral (Teorema fundamental del Cálculo).
Aplicaciones: procesos acumulativos continuos (valores totales a
partir de marginales), cálculo de áreas, volúmenes, volúmenes de
revolución...
Teoría de la Integral
1
Sea una función definida y acotada en un
intervalo Construiremos la integral de en ,
Teoría de la Integral
:f D R R
, .a b f ,a b
, .b b
a af f x dx
ln( 2), 0,8 .f x x
15.1201609311.90128511
Aproximaciónes por exceso y por defecto,
ln( 2),
0,8 .
f x x
2, 0,10 .f x x
2
ordenados de menor a mayor tales que
Teoría de la Integral
Definición: Llamamos partición de un conjunto A a una colección de
subconjuntos disjuntos de A tales que su unión es el conjunto A.
1 2, ,..., ,mP P P A
1 21
... .m
m ii
P P P P A
, , 1,2,..., , .i jP P O i j m i j
Una partición de un intervalo es conjunto de puntos
0 1, ,..., ,mx x x a b
0 , .mx a x b
,a b
Así, el intervalo queda dividido en m subintervalos:
Para construir la integral consideraremos los m subintervalos
,a b
1 1 2 1, , , ,..., , .ma x x x x b
1 1 2 1, , , ,..., ,ma x x x x b
que se solapan en los extremos. 3
1x 2x 3x4xa b1mx...
Teoría de la Integral
Definición: Decimos que una partición es más fina
que otra si todos los elementos de están en
Ejemplos: son particiones de
es más fina que (esto es, ), ya que
0 1 0 1' ' , ' ,..., ' , ,..., .q mP P x x x x x x
0 1' ' , ' ,..., 'qP x x x 'P .P 0 1, ,..., mP x x x
' 0,3,6P
0,3,6 0,2,3,5,6 .
0,2,3,5,6 ,P 0,6 .
'P PP 'P
1 2 3 4 5 6 0
P
'P
''P''P P
'' 0,1,6 .P
'' 0,1,2,3,5,6 .P P
Puede ocurrir que dos particiones no sean comparables (p.e., y ). P ''P
La unión de dos particiones siempre es más fina que cualquiera de ellas
por separado.
0,2,3,5,6 ,P
' 0,3,6P
4
Teoría de la Integral
0,2
supx
f x
2,4
supx
f x
4,6
supx
f x
6,8
supx
f x
Si la función es continua tiene un
mínimo y un máximo en cada
subintervalo, y coinciden con el ínfimo
y el supremo respectivamente.
Consideremos la función definida y acotada en el
intervalo , y una partición de este. :f D R R
,a b 0 1, ,..., mP x x x
Puesto que está acotada en , lo está en cada subintervalo
Tiene, por tanto, en cada uno de ellos, un ínfimo y un supremo.
f ,a b 1, .i ix x
1 ,
sup ,i i
ix x x
M f x
1 ,
inf .i i
ix x x
m f x
5
Teoría de la Integral
a1x 2x b x
f x
1 2,
supx x x
f x
Si la función no es continua es
posible que en algún subintervalo
tenga un supremo pero no un
máximo, o un ínfimo pero no un
mínimo.
Consideremos la función definida y acotada en el
intervalo , y una partición de este. :f D R R
,a b 0 1, ,..., mP x x x
Puesto que está acotada en , lo está en cada subintervalo
Tiene, por tanto, en cada uno de ellos, un ínfimo y un supremo.
f ,a b 1, .i ix x
1 ,
sup ,i i
ix x x
M f x
1 ,
inf .i i
ix x x
m f x
6
Teoría de la Integral
Definición: Sean la función definida y acotada en el
intervalo , y una partición de este. Llamamos
suma superior asociada a y al número real
:f D R R
,a b 0 1, ,..., mP x x x
f P
1
1
, .m
i i i
i
S f P M x x
Análogamente, la suma inferior es
1
1
, .m
i i i
i
s f P m x x
Las sumas superiores e inferiores son
aproximaciones, por exceso y por defecto
respectivamente, al valor de la integral de la
función en el intervalo.
Si la función es no negativa, también son
aproximaciones al valor del área delimitada
por el eje de abscisas y la gráfica de la
función entre los extremos del intervalo. 7
Teoría de la Integral
Proposición: Sean y dos particiones del intervalo . Si es
más fina que se cumple que
Dem. (esbozo): Por definición,
, , ' .s f P s f P
P 'P ,a b P
'P
, , ' ,S f P S f P
En otras palabras, particiones más finas producen aproximaciones
más exactas al valor de la integral.
1
1
, ,m
i i i
i
S f P M x x
1
1
, ' ' ' ' .q
j j j
j
S f P M x x
Todos los elementos de están en , por lo que
cada subintervalo de se puede
expresar como unión de varios subintervalos de .
P
P
'P'P
1jx jx
f x
1' , 'j jx x
El supremo de la función en cada uno de estos
subintervalos de es menor o igual que el supremo
en el subintervalo de en el que éste está
contenido.
P'P
8
Teoría de la Integral
15.12016093 14.41126539
14.03360387 13.83865432
ln( 2), 0,8 .f x x Ejemplo:
9
Teoría de la Integral
11.90128511 12.80182748
13.22888492 13.43629484
ln( 2), 0,8 .f x x Ejemplo:
10
Teoría de la Integral
2, 0,10 .f x x
4.295243138 2.788328511
-3.610451012 -1.164518564
Ejemplo:
11
Teoría de la Integral
Proposición: Para cualesquiera y , particiones del intervalo
sean o no comparables, se cumple que
Dem.: Consideremos la partición
, , ' .S f P s f P
P 'P , ,a b
En otras palabras, todas las sumas superiores son mayores que las
sumas inferiores con independencia de la partición a la que estén
asociadas.
1 1
1 1
, '' '' '' '' '' '' '' , '' .r r
h h h h h h
h h
S f P M x x m x x s f P
'' '.P P P
'' ,P P , , '' .S f P S f P
'' ',P P , '' , ' .s f P s f P
, , '' , '' , ' .S f P S f P s f P s f P
12
Análogamente, la integral inferior es
Teoría de la Integral Las sumas superiores están acotadas inferiormente por cualquiera
de las sumas inferiores. Por tanto, existe un valor ínfimo de las
sumas superiores.
S
s
P m
ás fin
as
P m
ás fin
as
Definición: Llamamos integral superior de la
función en el intervalo al ínfimo de sus
sumas superiores.
f ,a b
Estas integrales existen y tienen valores reales
siempre que la función es acotada, y se cumple que
.b b
a af x dx f x dx
inf , .b
a Pf x dx S f P
, , ' .S f P s f P
, ' .b
af x dx s f P
.b b
a af x dx f x dx
Dem.: Para cualesquiera y , P 'P
Tomando el ínfimo del primer miembro,
Tomando el supremo del segundo,
.,sup PfsdxxfP
b
a
13
Teoría de la Integral
La integral superior de la función en el intervalo es un
único valor real
para el cual se cumple que para todo existe una partición
tal que
f ,a b
b
af x dx
0 P
0 , .b
aS f P f x dx
Las siguientes caracterizaciones de las integrales superior e inferior
serán útiles para demostrar las propiedades de la integral.
En efecto, por un lado , .b
aS f P f x dx P
Por otro lado, para todo existe una partición
suficientemente fina tal que
, .b
aS f P f x dx
0
Este valor debe ser único. Por reducción al
absurdo, si para algún y
0 , ,S f P A
0 , ,S f P B A B
A B
A
B
S
P m
ás fin
as
b
af x dx
0 A B
, ,S f P B A B , 0.S f P A 14
Teoría de la Integral
Definición: Las integrales superior e inferior de la función en el
intervalo son dos únicos valores reales
para los cuales se cumple que para todo existe una partición
tal que
f
,a b
b
af x dx
0 P
0 , .b
af x dx s f P
Razonando de forma análoga para la integral inferior tenemos las
siguientes definiciones.
,b
af x dx
0 , ,b
aS f P f x dx
15
Teoría de la Integral
Definición: Una función definida y acotada en un
intervalo es integrable si su integral superior e inferior son
iguales. Entonces, la integral de en es el valor común de las
integrales superior e inferior.
:f D R R
,a b
,a bf
.b b
a af x dx f x dx
b
af x dx
S
s
.b
af x dx
.b
af x dx
S
s
b
af x dx
Ejemplo: La función de Dirichlet definida en el intervalo por
no es integrable en .
,0
,1
Qx
QxxD
1,0
1,0 16
Teoría de la Integral
Definición: (Integral como número frontera entre sumas superiores
e inferiores) Una función definida y acotada en un
intervalo es integrable si y sólo si existe un único valor real
para el cual se cumple que para todo existe una partición tal
que
:f D R R ,a b
b
af x dx
0 P
0 , .b
af x dx s f P
0 , ,b
aS f P f x dx
Llamamos integral de en al valor f ,a b .b
af x dx
CNS
La siguiente definición de la integral proporciona una condición
necesaria y suficiente para que una función sea integrable.
*
* En, p.e., Puig Adam (1973) y Rey Pastor (1961). 17
Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CNS de integrabilidad): Una función
definida y acotada en un intervalo es integrable si y sólo si
para todo existe una partición tal que
:f D R R
,a b
0 P
, , .S f P s f P CNS
18
.b
af x dx
,S f P
,s f P
.b
af x dx
.b
af x dx
, .s f P b
af x dx
b
af x dx ,S f P
.b
af x dx
,S f P
,s f P
0
.b
af x dx
Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Dem.: Si es integrable, para todo existe una partición tal
que
f P
0 , .2
b
af x dx s f P
0 , ,2
b
aS f P f x dx
, , .S f P s f P
0
CN
19
Proposición (CNS de integrabilidad): Una función
definida y acotada en un intervalo es integrable si y sólo si
para todo existe una partición tal que
:f D R R
,a b
0 P
, , .S f P s f P
Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CNS de integrabilidad): Una función
definida y acotada en un intervalo es integrable si y sólo si
para todo existe una partición tal que
:f D R R
,a b
0 P
, , .S f P s f P
Dem.(cont.): Si no es integrable, f b
af x dx .
b
af x dx
Para un tal que b
af x dx
b
af x dx
no existe una partición tal que
, , ,S f P s f P
P
ya que para cualquier partición
, , .S f P s f P b
af x dx
b
af x dx
S
s
.b
af x dx
.b
af x dx
CS
20
Si la función es integrable en , para cualquier existe una
partición suficientemente fina tal que
Teoría de la Integral
Definición: (Integral considerada como límite I) Una función
definida y acotada en un intervalo es integrable en si y
sólo si para cualquier sucesión de particiones de cuya
norma tienda a cero se cumple que
,a b
La Integral considerada como límite.
Consideremos el intervalo y una sucesión numerable de particiones
. del mismo para la cual la amplitud del mayor subintervalo (o norma de
la partición) tienda a cero.
,a b
f 0P
.,, PfsPfS
kP
Por tanto, para cualquier sucesión de particiones cuya norma tienda a
cero,
.0,,lim
0max 1
kkxx
PfsPfSkii
Por otro lado, este límite sólo es cero para cualquier sucesión de particiones
cuya norma tienda a cero si se cumple (1) , y, por tanto, si la función es
integrable.
(1)
kP
f
,a b
kP ,a b
b
ak
xxk
xxdxxfPfsPfS
kiikii
.,lim,lim0max0max 11
,a b
21
existe y tiene el mismo valor para cualquier elección de , entonces la
función es integrable y su integral es el valor común del límite.
Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
Elijamos un punto cualquiera en cada subintervalo de una
partición .Esto es,
ii xx ,1it
.i i im f t M
Por tanto, la suma verifica
P
1
1
, ,m
i i i
i
f P T f t x x
, , , , .s f P f P T S f P
Así, si es integrable en , las sumas superior e inferior tienen un
límite común, y este es el mismo que el de la suma para
cualquiera que sea la elección de en cada subintervalo. Esto es,
f ii xx ,1
, ,f P T
it
Por otro lado, si el límite
it
11
max 01
lim ,i i k
m
i i ix x
i
f t x x
11
max 01
lim .i i k
m b
i i iax x
i
f t x x f x dx
22
Se cumple que
1 2 1, ,..., , , .m i i iT t t t t x x
Observación:
Si para alguna elección de no existe el límite anterior o este es distinto
para distintas elecciones de , la función no es integrable.
Por tanto, la existencia del límite para una elección concreta de no
garantiza que la función sea integrable. Así ocurre, por ejemplo, con la
función de Dirichlet, para la cual el límite anterior tiene valor uno o cero
según como elijamos .
asociada a cualquier sucesión de particiones cuya norma
tiende a cero tiene el mismo límite para cualquiera que sea la
elección de en cada subintervalo Entonces
Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
Definición: (Integral considerada como límite II) Una función
definida y acotada en un intervalo es integrable en si y
sólo si toda sucesión de sumas de la forma
,a b
f
kP
,a b
it
1
1
m
i i i
i
f t x x
.,1 ii xx
11
max 01
lim .i i k
m b
i i iax x
i
f t x x f x dx
it
it
it
it 23
Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CS de integrabilidad): Toda función
continua en es integrable en
:f D R R
, .a b ,a b
1
1
, , ,m
i i i i
i
S f P s f P M m x x
1 ,
sup ,i i
ix x x
M f x
1 ,
inf .i i
ix x x
m f x
Dem.:
Así, para demostrar que es integrable basta con probar que para
todo existe una partición tal que f
1
1
.m
i i i i
i
M m x x
0 P
Por ser continua en un intervalo cerrado y acotado (compacto),
para todo existe un tal que
,a bf' 0 0
, ', ' , ' '.x x x x f x f x (Continuidad uniforme)
(1)
Teniendo en cuenta la definición de sumas superiores e inferiores,
24
Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CS de integrabilidad): Toda función
continua en es integrable en
:f D R R
, .a b ,a b
Tomando una partición tal que 1 1,2,..., ,i ix x i m
1, ' , , ' ',i ix x x x f x f x
'.i iM m y
1 1
1 1
' ' .n m
i i i i i i
i i
M m x x x x b a
Así, para esta partición se cumple que
Tomando tenemos el resultado (1) buscado.
'b a
Dem. (cont.):
25
es la integral de en para cualquiera que haya sido la elección de
en y para cualquier sucesión de particiones cuya norma tienda a
cero.
Sea una función continua y, por tanto, integrable en . Entonces el
límite
Teoría de la Integral
it
La Integral considerada como límite.
11
max 01
limi i k
m
i i ix x
i
f t x x
f ,a b
ii xx ,1
f ,a b
Definición: Sea una función continua en un intervalo . Para
cualquier sucesión de particiones cuya norma tienda a cero y una
elección arbitraria de puntos en cada subintervalo
f ,a b
11
max 01
lim .i i k
m b
i i iax x
i
f t x x f x dx
it ii xx ,1
Integral de Cauchy
26
donde es la amplitud de cada intervalo en la partición , y el
número de veces que hemos repetido el proceso.
Tomemos una partición del intervalo en dos subintervalos de igual
amplitud. Subdividiendo sucesivamente cada subintervalo de una partición
en dos con la misma amplitud tenemos la sucesión de particiones:
Ejemplo:
Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
2,1
,2
4,
2
3,
2
22,
2
3,12
P
,4
8,
4
7,
4
6,
4
5,
4
44
P
,8
16,...,
8
10,
8
9,
8
88
P
,2
,24 2
,28 3
,2,11 P ,1
,2
,...,2
,1
,
n
n
n
n
n
n
n
nPn ,2kn
...
.11 a
.2
12 a
.4
14 a
.8
18 a
.1
nan
na knP
...
.2,1,, baxxf
27
Tomemos en cada subintervalo un punto . Con esta
elección, por ser la función creciente, tenemos que el valor en cada
subintervalo coincide con el máximo de la función en el mismo. Así,
Ejemplo (cont.):
Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
.2,1,, baxxf
i it x
,2
4,
2
3,
2
22,
2
3,12
P
,4
8,
4
7,
4
6,
4
5,
4
44
P
,8
16,...,
8
10,
8
9,
8
88
P
,2,11 P 1 1, , 2 2 1,f P T f a
,2
,...,2
,1
,
n
n
n
n
n
n
n
nPn
...
...
ii xx ,1
if t
2
3 1 4 1 3 4 1, , ,
2 2 2 2 2 2 2f P T f f
4
5 6 7 8 1, ,
4 4 4 4 4f P T f f f f
,4
1
4
8
4
7
4
6
4
5
1 2 1
, , ...n
n nf P T
n n n
...
...
28
2 2
1 11 2 ... 1 1 2 ... 1n n n n n n n n n n
n n
Ejemplo (cont.):
Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
.2,1,, baxxf
11 2 1...
n nn n n n
n n n n n
1 2 2 1
, , ...n
n n nf P T
n n n n
n sumandos.
progresión aritmética de diferencia 1. 2
1
2
1 nnnaa n
.2
131
2
11
2
12 n
n
n
nn
nn
nnn
1
2
11max 0
1
3 1 3lim lim .
2 2i i n
n
i i ix x n
i
nf t x x xdx
n
La amplitud de los subintervalos, , tiende a cero si y sólo si
Así, nan
1 .n
29
Teoría de la Integral: Propiedades
Propiedades de la integral:
1. La integral es un número real.
2. .b a
a bf x dx f x dx
3. Linealidad (el conjunto de las f. integrables es un E.V. Y la
aplicación que asocia a cada función su integral es una A.L.).
.b b b
a a af g x dx f x dx g x dx
.b b
a ak f x dx k f x dx
3. I.
3. II.
5. Monotonía I. Si y son integrables en y f g ,a b , ,f x g x x a b
con , entonces .b b
a af x dx g x dx
En particular, si entonces 0 , ,f x x a b
a b
0.b
af x dx
4. Toda función constante es integrable y
.b
ak dx k b a
30
Teoría de la Integral: Propiedades Propiedades de la integral:
6. Monotonía II. Si es integrable en , también lo es , y f ,a b f
.b b
a af x dx f x dx
.b
af x dx A B C
a b x
f
A
B
C
7. Aditividad respecto al intervalo de
integración. Sean Una función
. es integrable en si y sólo si lo es en
. y en , y se cumple que
f.a c b
,a c ,a b
,c b
.b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
f
AC
a b x
B
b
af x dx A B C
a c b x
f
AB
A B
Sin embargo, que una función definida como valor absoluto de otra sea
integrable no garantiza que la original también lo sea.
Contraejemplo: donde es la función de Dirichlet. ,2/1xD D
Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad. .b b b
a a af g x dx f x dx g x dx 3. I.
De estas relaciones tenemos que
Dem.: Sean y integrables en Para todo existe tal que f g , .a b
0 , .2
b
af x dx s f P
0 , ,2
b
aS f P f x dx
0 P
0 , .2
b
ag x dx s g P
0 , ,2
b
aS g P g x dx
(1)
(2)
(3)
(4)
0 , , ,b b
a aS f P S g P f x dx g x dx (1)+(3)
(2)+(4) 0 , , .b b
a af x dx g x dx s f P s g P
Así, 0 , ,b b
a aS f g P f x dx g x dx
0 , .b b
a af x dx g x dx s f g P
Por tanto es integrable en y ,a bf g
.b b b
a a af g x dx f x dx g x dx 32
Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad.
Para ,
Sea integrable en Para todo existe tal que f , .a b
0 , ,b
af x dx s f P
0 , ,b
aS f P f x dx
0 P
(1)
(2)
.b b
a ak f x dx k f x dx 3. II.
0k
0 , ,b
ak S f P k f x dx k
0 , .b
ak f x dx k s f P k
,f k f
0x 1x 2x
f
k f
2M
2k M
1M
1k M
1
1,
sup , .i i
i ix x x
f x f x x x x
1
1,
sup , .i i
i ix x x
k f x k f x x x x
1 1, ,
sup sup .i i i ix x x x x x
k f x k f x
(3)
(4)
Dem.:
33
Teoría de la Integral: Propiedades
Dem. (cont.):
3. Linealidad. .b b
a ak f x dx k f x dx 3. II.
1 ,1
, supi i
m
i i ix x xi
k S f P k f x x x
1 ,1
sup , .i i
m
i i ix x xi
k f x x x S k f P
0 , .b
aS k f P k f x dx k
Por tanto,
0 , .b
ak S f P k f x dx k (3)
Así, cuando (3) es equivalente a 0k
De forma análoga, cuando (4) es equivalente a 0k
0 , .b
ak f x dx s k f P k
Esto garantiza que, para todo la función es integrable en
y 0k k f ,a b
.b b
a ak f x dx k f x dx
34
Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad.
Para ,
Dem. (cont.):
0 , ,b
af x dx s f P
0 , ,b
aS f P f x dx (1)
(2)
.b b
a ak f x dx k f x dx 3. II.
0k
0 , ,b
ak S f P k f x dx k
0 , .b
ak f x dx k s f P k
1
1,
sup , .i i
i ix x x
f x f x x x x
1
1,
sup , .i i
i ix x x
k f x k f x x x x
11
,,
sup inf .i i
i ix x xx x x
k f x k f x
(5)
(6)
,f k f
0x 1x 2x
f
k f
2M1k M
1M
2k M
35
Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad.
Dem. (cont.):
.b b
a ak f x dx k f x dx 3. II.
0 , .b
ak S f P k f x dx k (5)
1 ,1
inf , .i i
m
i i ix x x
i
k f x x x s k f P
Por tanto,
Así, cuando (5) es equivalente a 0k
De forma análoga, cuando (6) es equivalente a 0k
Esto garantiza que, para todo la función es integrable en
y 0k k f ,a b
.b b
a ak f x dx k f x dx
1 ,1
, supi i
m
i i ix x xi
k S f P k f x x x
0 ,b
as k f P k f x dx k 0 , .
b
ak f x dx s k f P k
0 ,b
ak f x dx S k f P k 0 , .
b
aS k f P k f x dx k
36
Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad.
Dem. : Esta propiedad se puede demostrar también aplicando el concepto
de integral considerada como límite.
.b b
a ak f x dx k f x dx 3. II.
Debemos demostrar que existe el límite
b
a
m
i
iiixx
dxxfxxfkii
.lim1
10max 1
m
i
iiixx
xxfkkii 1
10max 1
lim
y tiene el mismo valor para cualquier elección de y cualquier sucesión
de particiones cuya norma tienda a cero. Esto se cumple para , por ser
integrable, y
if
Por tanto,
m
i
iiixx
m
i
iiixx
xxfkxxfkkiikii 1
10max
1
10max 11
limlim
b
adxxfk
En consecuencia es integrable y su integral es b
adxxfkfk
37
Teoría de la Integral: Propiedades
4. Toda función constante es integrable y
.b
ak dx k b a
1 1
1 1
, .m m
i i i i
i i
S k P k x x k x x k b a
Para cualquier partición , PDem.:
1 1
1 1
, .m m
i i i i
i i
s k P k x x k x x k b a
, , .b
as k P s k P k dx k b a
Así, es claro que
38
Teoría de la Integral: Propiedades
5. Monotonía I. Si y son integrables en y f g ,a b , ,f x g x x a b
con , entonces .b b
a af x dx g x dx a b
Dem.: f g ,a b
, , .b
af x dx s f P s g P
, .f x g x x a b Sean y integrables en y
Por reducción al absurdo, si ,b b
a af x dx g x dx
,S f P
,s f P
b
af
,S g P
,s g P
b
ag
para cualquier 0b b
a ag x dx f x dx
existe una partición tal que
, .b b b
a a aS f P f x dx g x dx f x dx
Esto es, , ,b
aS f P g x dx
lo cual contradice (1).
Para cualquier partición ,P
y
, , ,b
aS f P S g P g x dx (1)
39
Teoría de la Integral: Propiedades
6. Monotonía II. Si es integrable en , también lo es , y f ,a b f
.b b
a af x dx f x dx
Dem.: Empezamos demostrando que la función es integrable en f , .a b
1
1
1,,1
, , sup infi i i
i i i
m
i ix x xx x xi
S f P s f P f x f x x x
11
1,,1
sup inf , , .i i i
i i i
m
i ix x xx x xi
f x f x x x S f P s f P
Igual si sup. e inf. son del mismo signo.
, , , , ,S f P s f P S f P s f P
Por ser integrable, para todo existe una partición tal que
Para cualquier partición de se cumple que
f P
P ,a b
0
y es integrable en f , .a b
40
Teoría de la Integral: Propiedades
6. Monotonía II. Si es integrable en , también lo es , y f f
.b b
a af x dx f x dx
Dem. (cont.):
,f x f x x a b
, .f x f x x a b
Por la propiedad de monotonía anterior,
,b b
a af x dx f x dx
.b b b
a a af x dx f x dx f x dx
.b b
a af x dx f x dx
,a b
41
Teoría de la Integral: Propiedades
7. Aditividad respecto al intervalo de integración. Sean
Una función .es integrable en si y sólo si lo es en y en
. , y se cumple que f
.a c b ,a c ,a b
,c b .b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
a c b x
f
AB
Dem.: Empezamos demostrando que si es integrable en y
también lo es en ,a cf ,c b
, .a b
Por ser integrable en y , para cualquier existen particiones
y de y respectivamente tales que ,a c ,c b
1P0
2P ,a c ,c b
1 1, , ,2
S f P s f P
2 2, , ,2
S f P s f P
Así, es una partición de para la cual 1 2P P ,a b
1 2 1 2, , , ,S f P P S f P S f P
1 2 1 2, , , .s f P P s f P s f P
Por tanto, 1 2 1 2, ,S f P P s f P P
y es integrable en , .a bf42
Demostramos ahora que si es integrable en también lo es en
y Por ser integrable en , para cualquier existe una
partición de tal que
Teoría de la Integral: Propiedades
Dem. (cont.):
,a cf , .c b
,a b
,a b
P
0
, , .S f P s f P ,a b
Si no está en , consideramos la partición que resulta de añadir a
el punto . Por ser más fina cumple también la relación anterior.
Descomponiendo en dos particiones, y , de y
respectivamente,
c P 'P Pc
'P1P 2P
1 2' ,P P P
1 1 2 2, , , , , , ,S f P s f P S f P s f P S f P s f P
donde cada sumando es positivo y, por tanto, menor que . En
consecuencia, la función es integrable en los dos subintervalos y
,a c
7. Aditividad respecto al intervalo de integración. Sean
Una función .es integrable en si y sólo si lo es en y en
. , y se cumple que f
.a c b ,a c ,a b
,c b .b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
,a c , .c b
,c b
43
Demostremos ahora que
Teoría de la Integral: Propiedades
Dem. (cont.): .b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
10 , .2
c
af x dx s f P
10 , ,2
c
aS f P f x dx
Las integrales de en y son dos únicos valores para los cuales
se cumple que para cualquier existen particiones y de y
de respectivamente tales que
,a c ,c b
1P0 2P ,a c
,c b
f
20 , .2
b
cf x dx s f P
20 , ,2
b
cS f P f x dx
1 20 , , ,c b
a cS f P S f P f x dx f x dx
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)+(3)
(2)+(4) 1 20 , , .c b
a cf x dx f x dx s f P s f P
1 2, , .S f P P P P
1 2, , .s f P P P P
7. Aditividad respecto al intervalo de integración. Sean
Una función .es integrable en si y sólo si lo es en y en
. , y se cumple que f
.a c b ,a c ,a b
,c b .b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
como queríamos demostrar. 44
Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
2 ,
0,3 .
f x x E x
x
Ejemplo:
Proposición (CS de integrabilidad): Toda función
acotada y con un número finito de puntos de discontinuidad en
es integrable en
:f D R R
, .a b
,a b
RRDf :
integrable fderivable f continua f
2 ,
0,3 .
f x x E x
x
, .a b
En otras palabras, las funciones continuas y las que sólo son
discontinuas en un número finito de puntos son funciones integrables.
45
de para la cual
es continua y, por tanto, integrable, en el intervalo cerrado Por
tanto existe una partición de tal que
Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CS de integrabilidad): Toda función
acotada y con un número finito de puntos de discontinuidad en
es integrable en
:f D R R
, .a b
,a b
Dem.: Sin pérdida de generalidad, supongamos que tiene una única
discontinuidad en Para demostrar que es integrable en
basta con demostrar que lo es en y en , .c a b
f
Consideremos el intervalo (la dem. para es análoga).
,a b ,a c , .c b
,a c
, .a c
f
,a c P , , .S f P s f P
Sea la partición de que resulta de añadir a . 'P c P
Y sean y el supremo e ínfimo de en
, .a c
H h f
, , 1S f P s f P H h H h
Sean y el supremo e ínfimo de en
, .c c
M m f
1 .M m
Para todo existe una partición ' 1 0M m 'P
,a c
,a c
, ' , ' 1 '.S f P s f P H h
xa bcc
f
m
MHh
,c b
f
46
Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Existen, además, funciones con un número infinito de puntos de
discontinuidad que son integrables.
Ejemplo:
1
2
1
3
1
4
1
5
1
610
10,1 ,
1
0 0.
si x
Ef xx
si x
47
Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición: Sea una función definida, acotada e
integrable en un intervalo , y sean y el supremo y el
ínfimo de en . Entonces existe algún tal que
:f D R R ,a b M m
f ,a b ,m M
.b
af x dx b a
a b x
f
M
m
a b x
f
M
m
, ,m f x M x a b
.b b b
a a am dx f x dx M dx
.
b
af x dx
m Mb a
.b
am b a f x dx M b a
, , .
b
af x dx
m Mb a
En efecto,
(Promedio integral) a b x
f
M
m
Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición (Teorema de la Media): Sea una
función continua en un intervalo . Entonces existe algún
tal que
:f D R R ,a b ,c a b
.b
af x dx f c b a
, , .
b
af x dx
m Mb a
Dem.: Por ser la función continua alcanza en el
intervalo un máximo y un mínimo globales, y
estos coinciden con su supremo y ínfimo
respectivamente.
Sabemos que
Por el Teorema de Darboux la función, continua en un compacto, toma
todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo. Por tanto,
, , .
b
af x dx
c a b f cb a
a b x
f
M
m
f c
c
49
Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición (Teorema de la Media): Sea una
función continua en un intervalo . Entonces existe algún
tal que
:f D R R ,a b ,c a b
.b
af x dx f c b a
Observaciones:
1. A menos que la función sea
monótona, en general no hay
garantía de que el punto que verifica
la relación sea único.
2. Que exista un punto que
verifique la relación no garantiza
que la función sea continua.
,c a b
a b x
f
M
m
c 'c
a b x
f
M
m
c 50
Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición: Sea una función integrable en un
intervalo . Entonces la función :f D R R
,a b
, ,x
ax f t dt x a b
es continua en
(Función integral)
, .a b
a b
f
tx
x
a b
f
tx
x
x h
x h x
Dem.:
x h x
a af t dt f t dt
.x h
xf t dt
,,
sup , inf .t x x ht x x h
M f t m f t
Sean
Por ser integrable en f ,m M , ,x x h
.x h
xf t dt x h x h
tal que
x h x
Así,
0 0
lim lim 0,h h
x h x h
y es continua.
Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición (Primer teorema fundamental del cálculo):
Sea una función continua en un intervalo .
Entonces la función integral :f D R R ,a b
es derivable en y se cumple que ,a b ' , .x f x x a b
, ,x
ax f t dt x a b
Dem.: La función integral es derivable si existe y es real el límite
0 0
1lim lim .
x h
xh h
x h xf t dt
h h
Por ser continua, según el teorema de la media tal que f ,c x x h
0 0 0
1 1lim lim lim .
x h
xh h hf t dt f c h f c f x
h h
.x h
xf t dt f c x h x f c h
Teniendo en cuenta que cuando c x 0,h
Por tanto, ' .x f x continua. f
52
Teoremas fundamentales del cálculo integral.
' .f x dx F x F x f x x A
Definición: Una función es una primitiva de otra en un
conjunto si la derivada de la primera coincide con la segunda,
F f
Si es una primitiva de , para cualquier constante la función
también es una primitiva de . En efecto, F f c
G F c f
' ' .G x F x x
Por el primer teorema fundamental sabemos que una función
continua en un intervalo tiene al menos una primitiva, la función
integral. Si tiene otras, estas difieren sólo en una constante.
A
53
Puesto que y difieren en una
constante. Esto es, para algún real,
Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición (Segundo teorema fundamental del cálculo o regla
de Barrow): Sea una función continua en un
intervalo . Y sea tal que :f D R R
,a b
Entonces
' , .F x f x x a b F
.b b
aaf x dx F b F a F x
Dem.: Por ser continua, la función integral es derivable y
' , .x f x x a b
f
, .x
ax f t dt F x c x a b
Fc
0 .a
aa f t dt F a c
.b
ab f t dt F b F a
En el extremo inferior,
En el extremo superior,
.c F a
,,'' baxxFx
54
Teoremas fundamentales del cálculo integral.
función función integral .x
ax f t dt f
integrable, f existe y es continua.
continua
num. finito de
puntos de discont.
ff
CS
continua, f derivable y ' .x f x
(es una primitiva de ) f. tiene al menos
una primitiva
f
CS Para cualquier primitiva de , F f
.b
af t dt F b F a
En resumen,
(Barrow)
55
Teoremas fundamentales del cálculo integral.
7
2
1.dx
xEjemplo:
56
es continua y, por tanto, integrable, y su función integral es
derivable –es una primitiva de -.
f
f
2
1 1, ' .
x
x dt xt x
La función integral así expresada no es útil para la aplicación de la
regla de Barow.
7 7 2 77
22 2 2 2
1 1 1 17 2 .dx x dt dt dt
x t t t
0
La función también es una primitiva de . Así, lnF x x f
7 7
22
17 2 ln7 ln 2.dx F x F F
x
La función integral es 2
12 ln ln 2.
x
x dt F x F xt
c
Cambio de variable.
t x g t
x f x ,c d ,a b
Esta relación se obtiene haciendo la
sustitución , ' .x g t dx g t dt
Proposición: Sea una función continua en Y
sea una función monótona de clase en un
intervalo tal que y
:f D R R , .a b
Entonces
: 'g D R R 1C
,c d .g c a g d b
' .b d
a cf x dx f g t g t dt
.1
32
xxf
.12 tetg t
.2
11
3'
22te
tetgtgf t
t
Ejemplo:
a bc
d
57
Cambio de variable.
Proposición: Sea una función continua en Y
sea una función de clase en un intervalo
tal que y
:f D R R , .a b
Entonces
: 'g D R R 1C ,c d
.g c a g d b
' .b d
a cf x dx f g t g t dt
Dem.: Por ser continua la función integral, , es
derivable y f
x
adzzfx
.' xfx
Esto es, es una primitiva de . f
La función
es composición de dos funciones de clase , y, por tanto, también de
clase . Aplicando la regla de la cadena,
tg
adzzftgtg
1C1C
.'''' tgtgftgtgtg
Por tanto, es una primitiva de (la existencia de
una primitiva está garantizada porque la función subintegral es continua), y
tg tgtgf '
cgdgtgdttgtgfd
c
d
c '
b
adzzfab . 58
'd
En efecto, si la función no es monótona y existen
dos valores y tales que
entonces
Cambio de variable.
Observación: El requisito de monotonia que algunos autores exigen a la
función se puede suavizar. g
'dd ,'dgdg
,'''
d
c
d
cdttgtgfdttgtgf
ya que .0'''
d
d
d
dtgdttgtgf
a b
c
d
.xxf
.242 tttg
.' tgtgf
.820122' 23 ttttgtgf
Ejemplo:
59
Referencias:
Balbas, Gil, Gutierrez (1988). Análisis matemático para la Economía II. Ed.
AC.
Spivak, Michael (1970). Calculus. Cálculo infinitesimal. Vol.II. Ed. Reverté.
Apostol, Tom M. (1960). Análisis Matemático. Ed. Reverté.
Puig Adam, P. (1973). Cálculo integral. Ed. Biblioteca Matemática. Madrid.
Rey Pastor, J. (1961). Elementos de la Teoría de Funciones. Madrid.
60