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TEORIA DEI GRAFI E
TEOREMA DEI QUATTRO COLORI
Matteo Varbaro
Dipartimento di MatematicaUniversita di Genova
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TEORIA DEI GRAFI E
TEOREMA DEI QUATTRO COLORI
Matteo Varbaro
Dipartimento di MatematicaUniversita di Genova
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Quanti colori servono per colorare un qualunque disegno inmodo che regioni adiacenti abbiano colori distinti?
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Quanti colori servono per colorare un qualunque disegno inmodo che regioni adiacenti abbiano colori distinti?
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Quanti colori servono per colorare un qualunque disegno inmodo che regioni adiacenti abbiano colori distinti?
Facendo un po di prove, sembrerebbe che 4 colori siano sempresufficienti
, quindi la domanda e:
BASTANO SEMPRE 4 COLORI?
La risposta a questa semplice domanda e affermativa, maincredibilmente difficile!
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Quanti colori servono per colorare un qualunque disegno inmodo che regioni adiacenti abbiano colori distinti?
Facendo un po di prove, sembrerebbe che 4 colori siano sempresufficienti, quindi la domanda e:
BASTANO SEMPRE 4 COLORI?
La risposta a questa semplice domanda e affermativa, maincredibilmente difficile!
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Quanti colori servono per colorare un qualunque disegno inmodo che regioni adiacenti abbiano colori distinti?
Facendo un po di prove, sembrerebbe che 4 colori siano sempresufficienti, quindi la domanda e:
BASTANO SEMPRE 4 COLORI?
La risposta a questa semplice domanda e affermativa, maincredibilmente difficile!
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Un po di storia
1852: Francis Guthrie (cartografo) pone la domanda a suo fratelloFrederick (studente di Matematica)
1878: il problema viene presentato ad un vasto pubblico dimatematici da Cayley
1879: Kempe pubblica una “dimostrazione”, che pero contiene unerrore
1880: Tait annuncia ulteriori dimostrazioni, che pero non vengonomai presentate
1890: Heawood modifica la dimostrazione di Kempe, provando chesenz’altro bastano 5 colori
1977: finalmente viene dimostrato il Teorema dei quattro colori,grazie ad una collaborazione di Appel e Haken
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Un po di storia
1852: Francis Guthrie (cartografo) pone la domanda a suo fratelloFrederick (studente di Matematica)
1878: il problema viene presentato ad un vasto pubblico dimatematici da Cayley
1879: Kempe pubblica una “dimostrazione”, che pero contiene unerrore
1880: Tait annuncia ulteriori dimostrazioni, che pero non vengonomai presentate
1890: Heawood modifica la dimostrazione di Kempe, provando chesenz’altro bastano 5 colori
1977: finalmente viene dimostrato il Teorema dei quattro colori,grazie ad una collaborazione di Appel e Haken
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Un po di storia
1852: Francis Guthrie (cartografo) pone la domanda a suo fratelloFrederick (studente di Matematica)
1878: il problema viene presentato ad un vasto pubblico dimatematici da Cayley
1879: Kempe pubblica una “dimostrazione”, che pero contiene unerrore
1880: Tait annuncia ulteriori dimostrazioni, che pero non vengonomai presentate
1890: Heawood modifica la dimostrazione di Kempe, provando chesenz’altro bastano 5 colori
1977: finalmente viene dimostrato il Teorema dei quattro colori,grazie ad una collaborazione di Appel e Haken
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Un po di storia
1852: Francis Guthrie (cartografo) pone la domanda a suo fratelloFrederick (studente di Matematica)
1878: il problema viene presentato ad un vasto pubblico dimatematici da Cayley
1879: Kempe pubblica una “dimostrazione”, che pero contiene unerrore
1880: Tait annuncia ulteriori dimostrazioni, che pero non vengonomai presentate
1890: Heawood modifica la dimostrazione di Kempe, provando chesenz’altro bastano 5 colori
1977: finalmente viene dimostrato il Teorema dei quattro colori,grazie ad una collaborazione di Appel e Haken
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Un po di storia
1852: Francis Guthrie (cartografo) pone la domanda a suo fratelloFrederick (studente di Matematica)
1878: il problema viene presentato ad un vasto pubblico dimatematici da Cayley
1879: Kempe pubblica una “dimostrazione”, che pero contiene unerrore
1880: Tait annuncia ulteriori dimostrazioni, che pero non vengonomai presentate
1890: Heawood modifica la dimostrazione di Kempe, provando chesenz’altro bastano 5 colori
1977: finalmente viene dimostrato il Teorema dei quattro colori,grazie ad una collaborazione di Appel e Haken
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Un po di storia
1852: Francis Guthrie (cartografo) pone la domanda a suo fratelloFrederick (studente di Matematica)
1878: il problema viene presentato ad un vasto pubblico dimatematici da Cayley
1879: Kempe pubblica una “dimostrazione”, che pero contiene unerrore
1880: Tait annuncia ulteriori dimostrazioni, che pero non vengonomai presentate
1890: Heawood modifica la dimostrazione di Kempe, provando chesenz’altro bastano 5 colori
1977: finalmente viene dimostrato il Teorema dei quattro colori,grazie ad una collaborazione di Appel e Haken
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Un po di storia
1852: Francis Guthrie (cartografo) pone la domanda a suo fratelloFrederick (studente di Matematica)
1878: il problema viene presentato ad un vasto pubblico dimatematici da Cayley
1879: Kempe pubblica una “dimostrazione”, che pero contiene unerrore
1880: Tait annuncia ulteriori dimostrazioni, che pero non vengonomai presentate
1890: Heawood modifica la dimostrazione di Kempe, provando chesenz’altro bastano 5 colori
1977: finalmente viene dimostrato il Teorema dei quattro colori,grazie ad una collaborazione di Appel e Haken
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Senz’altro almeno 4 colori servono
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Senz’altro almeno 4 colori servono
Le due regioni sono adiacenti, quindi vanno colorate con colori dif-ferenti
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Senz’altro almeno 4 colori servono
Le tre regioni sono tutte adiacenti fra loro, quindi vanno coloratecon colori differenti
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Senz’altro almeno 4 colori servono
Le quattro regioni sono tutte adiacenti fra loro, quindi vanno coloratecon colori differenti
![Page 19: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/19.jpg)
Senz’altro almeno 4 colori servono
E perche non potremmo fare la stessa cosa per cinque regioni?
![Page 20: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/20.jpg)
Senz’altro almeno 4 colori servono
E perche non potremmo fare la stessa cosa per cinque regioni?
Infatti, se riuscissimo a disegnare cinque regioni tutte adiacenti fraloro, chiaramente quattro colori non basterebbero.
![Page 21: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/21.jpg)
Senz’altro almeno 4 colori servono
E perche non potremmo fare la stessa cosa per cinque regioni?
Infatti, se riuscissimo a disegnare cinque regioni tutte adiacenti fraloro, chiaramente quattro colori non basterebbero.
Naturalmente questo e impossibile, perche il teorema dei quattrocolori e stato dimostrato, quindi e vero.
![Page 22: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/22.jpg)
Senz’altro almeno 4 colori servono
E perche non potremmo fare la stessa cosa per cinque regioni?
Infatti, se riuscissimo a disegnare cinque regioni tutte adiacenti fraloro, chiaramente quattro colori non basterebbero.
Naturalmente questo e impossibile, perche il teorema dei quattrocolori e stato dimostrato, quindi e vero.
Quello che ci proponiamo di fare in questo seminario e dimostrarel’impossibilita di fare il disegno descritto, indipendentemente dalteorema dei quattro colori
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TEORIA DEI GRAFI
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Cos’e un grafo?
Un grafo e una coppia G = (V , E ), nella quale V e l’insieme deivertici ed E e l’insieme dei lati
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Cos’e un grafo?
Un grafo e una coppia G = (V , E ), nella quale V e l’insieme deivertici ed E e l’insieme dei lati
![Page 26: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/26.jpg)
Cos’e un grafo?
Un grafo e una coppia G = (V , E ), nella quale V e l’insieme deivertici ed E e l’insieme dei lati
ESEMPI
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Cos’e un grafo?
Un grafo e una coppia G = (V , E ), nella quale V e l’insieme deivertici ed E e l’insieme dei lati
ESEMPI
G = (V , E )
V = {1, 2, 3, 4}
E = {{1, 2}, {2, 3},{3, 4}, {1, 3}}
•
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Cos’e un grafo?
Un grafo e una coppia G = (V , E ), nella quale V e l’insieme deivertici ed E e l’insieme dei lati
ESEMPI
G = (V , E )
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {{1, 2}, {3, 4},{4, 5}, {5, 6}, {3, 6}}
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Cos’e un grafo?
Un grafo e una coppia G = (V , E ), nella quale V e l’insieme deivertici ed E e l’insieme dei lati
ESEMPI
G = (V , E )
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {{1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 4},{2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}}
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Vari disegni di un grafo
Uno stesso grafo puo essere disegnato in modi differenti:
ad esempio, consideriamo il grafo G = (V , E ) in cuiV = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {{1, 4}, {1, 5}, {5, 2}, {2, 6}, {6, 3}, {3, 4}}
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Vari disegni di un grafo
Uno stesso grafo puo essere disegnato in modi differenti:
ad esempio, consideriamo il grafo G = (V , E ) in cuiV = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {{1, 4}, {1, 5}, {5, 2}, {2, 6}, {6, 3}, {3, 4}}
![Page 32: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/32.jpg)
Vari disegni di un grafo
Uno stesso grafo puo essere disegnato in modi differenti:
ad esempio, consideriamo il grafo G = (V , E ) in cuiV = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {{1, 4}, {1, 5}, {5, 2}, {2, 6}, {6, 3}, {3, 4}}
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Vari disegni di un grafo
Uno stesso grafo puo essere disegnato in modi differenti:
ad esempio, consideriamo il grafo G = (V , E ) in cuiV = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {{1, 4}, {1, 5}, {5, 2}, {2, 6}, {6, 3}, {3, 4}}
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Vari disegni di un grafo
Uno stesso grafo puo essere disegnato in modi differenti:
ad esempio, consideriamo il grafo G = (V , E ) in cuiV = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {{1, 4}, {1, 5}, {5, 2}, {2, 6}, {6, 3}, {3, 4}}
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Traduzione del problema dei quattro colori nella teoria deigrafi
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Traduzione del problema dei quattro colori nella teoria deigrafi
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Traduzione del problema dei quattro colori nella teoria deigrafi
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![Page 38: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/38.jpg)
Traduzione del problema dei quattro colori nella teoria deigrafi
5
4
1
2
3
7
8
6
Quindi le regioni di questo disegno si possono indicare con{1,2,3,4,5,6,7,8}
![Page 39: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/39.jpg)
Traduzione del problema dei quattro colori nella teoria deigrafi
5
4
1
2
3
7
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6
Quindi le regioni di questo disegno si possono indicare con{1,2,3,4,5,6,7,8}
e possiamo descrivere le adiacenze cosı:{{1,2},{1,7},{1,5},{1,6},{2,3},{2,8},{2,4},
{2,7},{3,4},{3,8},{4,5},{4,7},{4,8},{5,6},{5,7}}
![Page 40: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/40.jpg)
Traduzione del problema dei quattro colori nella teoria deigrafi
55
4
1
2
3
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8
6
•
•
•
•
•
•
•
•
Quindi possiamo associare al disegno iniziale un grafo G = (V , E ),dove
V={1,2,3,4,5,6,7,8}
![Page 41: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/41.jpg)
Traduzione del problema dei quattro colori nella teoria deigrafi
•
•
•
•
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•
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1
2
3
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6
Quindi possiamo associare al disegno iniziale un grafo G = (V , E ),dove
V={1,2,3,4,5,6,7,8}E={{1,2},{1,7},{1,5},{1,6},{2,3},{2,8},{2,4},{2,7},{3,4},{3,8},{4,5},{4,7},{4,8},{5,6},{5,7}}
![Page 42: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/42.jpg)
Traduzione del problema dei quattro colori nella teoria deigrafi
•
•
•
•
•
•
•
•
5
4
1
2
3
7
8
6
Quindi possiamo associare al disegno iniziale un grafo G = (V , E ),dove
V={1,2,3,4,5,6,7,8}E={{1,2},{1,7},{1,5},{1,6},{2,3},{2,8},{2,4},{2,7},{3,4},{3,8},{4,5},{4,7},{4,8},{5,6},{5,7}}
![Page 43: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/43.jpg)
Grafi planari
Un grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
![Page 44: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/44.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
![Page 45: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/45.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
![Page 46: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/46.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
![Page 47: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/47.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
•
1 2
3
G = K3
![Page 48: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/48.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
•
1 2
3
G = K3
K3 e planare?
![Page 49: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/49.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
•
1 2
3
G = K3
K3 e planare? SI
![Page 50: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/50.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
• •
1 2
3 4
G = K4
![Page 51: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/51.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
• •
1 2
3 4
G = K4
K4 e planare?
![Page 52: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/52.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
• •
1 2
3 4
G = K4
K4 e planare? SI,
infatti possiamo ridisegnarlo in modo planare
![Page 53: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/53.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
• •
1 2
3 4
G = K4
K4 e planare? SI,
infatti possiamo ridisegnarlo in modo planare
• •
•
•
1 2
3
4
G = K4
![Page 54: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/54.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
•
•
•
1 2
3
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K5
![Page 55: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/55.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
•
•
•
1 2
3
4
5
K5
K5 e planare?
![Page 56: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/56.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
ESEMPI
• •
•
•
•
1 2
3
4
5
K5
K5 e planare?
NO, il nostro obiettivo per oggi e
spiegare perche.
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Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
Osserviamo che dimostrare che K5 non e planare significa risponderealla domanda iniziale
![Page 58: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/58.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
Osserviamo che dimostrare che K5 non e planare significa risponderealla domanda iniziale, e dunque dimostrare chenon e possibile disegnare 5 regioni tutte adiacenti fra loro:
![Page 59: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/59.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
Osserviamo che dimostrare che K5 non e planare significa risponderealla domanda iniziale, e dunque dimostrare chenon e possibile disegnare 5 regioni tutte adiacenti fra loro:
infatti se si potesse fare un tale disegno si potrebbe passare al grafoassociato come poco fa
![Page 60: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/60.jpg)
Grafi planariUn grafo si dice planare se puo essere disegnato in modo che i lati“non si incrocino mai”.
I grafi ottenuti da un disegno nel modo descritto nella slideprecedente sono planari!
Osserviamo che dimostrare che K5 non e planare significa risponderealla domanda iniziale, e dunque dimostrare chenon e possibile disegnare 5 regioni tutte adiacenti fra loro:
infatti se si potesse fare un tale disegno si potrebbe passare al grafoassociato come poco fa, e otterremo un disegno planare di K5.
![Page 61: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/61.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
![Page 62: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/62.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
![Page 63: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/63.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
ESEMPI
![Page 64: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/64.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
ESEMPI
• •
•
•
• •
•
1 2
3
4
5 6
7G
![Page 65: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/65.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
ESEMPI
• •
•
•
• •
•
1 2
3
4
5 6
7G Il cammino 2,3,5,2
e chiuso, perche
inizia con 2 e temina con 2
![Page 66: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/66.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
ESEMPI
• •
•
•
• •
•
1 2
3
4
5 6
7G Analogamente il cammino
3,6,5,2,3 e chiuso
![Page 67: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/67.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
ESEMPI
• •
•
•
• •
•
1 2
3
4
5 6
7G Il cammino 1,2,3,7
non e chiuso
![Page 68: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/68.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
![Page 69: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/69.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
ESEMPI
![Page 70: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/70.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
ESEMPI
• •
•
•
•
•
1
2
3 4
5
6
G
![Page 71: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/71.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
ESEMPI
• •
•
•
•
•
1
2
3 4
5
6
G G e connesso, infatti presi due vertici
c’e sempre un cammino che li collega
![Page 72: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/72.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
ESEMPI
• •
•
•
•
•
1
2
3 4
5
6
G G e connesso, infatti presi due vertici
c’e sempre un cammino che li collega.
Ad esempio, 1 e 6 sono collegati
dal cammino 1,2,5,6
![Page 73: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/73.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
ESEMPI
• •
•
• •
••
12
3
5 6
74
G
![Page 74: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/74.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
ESEMPI
• •
•
• •
••
12
3
5 6
74
G G non e connesso
![Page 75: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/75.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
ESEMPI
• •
•
• •
••
12
3
5 6
74
G G non e connesso, ad esempio
nessun cammino collega 1 con 7
![Page 76: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/76.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
- Un grafo e un albero se e connesso e senza cicli
![Page 77: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/77.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
- Un grafo e un albero se e connesso e senza cicli
ESEMPIO
![Page 78: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/78.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
- Un grafo e un albero se e connesso e senza cicli
ESEMPIO
•
••• •
•• •• •
3
1
2
45
867
9 10G G e un albero
![Page 79: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/79.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
- Un grafo e un albero se e connesso e senza cicli
ESEMPIO
•
••• •
•• •• •
3
1
2
45
867
9 10G G e un albero. Le foglie di G
sono i vertici da cui parte un solo lato
![Page 80: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/80.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
- Un grafo e un albero se e connesso e senza cicli
ESEMPIO
•
••• •
•• •• •
3
1
2
45
867
9 10G G e un albero. Le foglie di G
sono i vertici da cui parte un solo lato.
In questo esempio le foglie sono
1,4,6,8,9,10
![Page 81: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/81.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
- Un grafo e un albero se e connesso e senza cicli
- Le facce di un grafo planare sono la aree delimitate dai lati
![Page 82: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/82.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
- Un grafo e un albero se e connesso e senza cicli
- Le facce di un grafo planare sono la aree delimitate dai lati
ESEMPIO
![Page 83: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/83.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
- Un grafo e un albero se e connesso e senza cicli
- Le facce di un grafo planare sono la aree delimitate dai lati
ESEMPIO
•
•
•
•
•
• •
G
![Page 84: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/84.jpg)
Ancora un po di definizioni
- Un ciclo in un grafo e un cammino chiuso
- Un grafo si dice connesso se ogni coppia di vertici e collegata daun cammino
- Un grafo e un albero se e connesso e senza cicli
- Le facce di un grafo planare sono la aree delimitate dai lati
ESEMPIO
•
•
•
•
•
• •A BC
D
EG Le facce di G sono
A,B,C,D,E
![Page 85: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/85.jpg)
VERSO LA DIMOSTRAZIONE DEL FATTO CHE
K5 NON E PLANARE
![Page 86: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/86.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
![Page 87: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/87.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:
n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
![Page 88: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/88.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici,
m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
![Page 89: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/89.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati,
f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
![Page 90: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/90.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
![Page 91: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/91.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
![Page 92: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/92.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
![Page 93: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/93.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
••
• •
![Page 94: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/94.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
••
• •
n = 7
![Page 95: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/95.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
••
• •
n = 7
m = 12
![Page 96: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/96.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
••
• •
n = 7
m = 12
f = 7
![Page 97: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/97.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
••
• •
n = 7
m = 12
f = 7
n − m + f =
![Page 98: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/98.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
••
• •
n = 7
m = 12
f = 7
n − m + f =
= 7 − 12 + 7 =
![Page 99: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/99.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
••
• •
n = 7
m = 12
f = 7
n − m + f =
= 7 − 12 + 7 =
= 2
![Page 100: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/100.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
•
•
•
•
•
•
•
•
![Page 101: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/101.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
•
•
•
•
•
•
•
•
n = 8
![Page 102: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/102.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
•
•
•
•
•
•
•
•
n = 8
m = 15
![Page 103: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/103.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
•
•
•
•
•
•
•
•
n = 8
m = 15
f = 9
![Page 104: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/104.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
•
•
•
•
•
•
•
•
n = 8
m = 15
f = 9
n − m + f
![Page 105: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/105.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
•
•
•
•
•
•
•
•
n = 8
m = 15
f = 9
n − m + f =
= 8 − 15 + 9
![Page 106: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/106.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
•
•
•
•
•
•
•
•
n = 8
m = 15
f = 9
n − m + f =
= 8 − 15 + 9 =
= 2
![Page 107: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/107.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
•
•
•
•
![Page 108: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/108.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
•
•
•
•
n = 7
m = 10
f = 5
![Page 109: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/109.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
ESEMPI
• •
•
•
•
•
•
n = 7
m = 10
f = 5
n − m + f =
= 7 − 10 + 5 = 2
![Page 110: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/110.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
Teorema di Eulero:
![Page 111: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/111.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
Teorema di Eulero:
Per ogni grafo connesso planare si ha la seguente formula:
![Page 112: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/112.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
Teorema di Eulero:
Per ogni grafo connesso planare si ha la seguente formula:
n − m + f = 2
![Page 113: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/113.jpg)
Formula di Eulero
Dato un grafo connesso planare, indichiamo con:n = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
C’e quache relazione fra n, m, f ?
Teorema di Eulero:
Per ogni grafo connesso planare si ha la seguente formula:
n − m + f = 2
Quindi f = m − n + 2
![Page 114: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/114.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
![Page 115: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/115.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
•
•
• •
• • •
• • • • • • • •
• • • • G
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n = n(G ) =n.ro di vertici di G
m = m(G ) =n.ro di lati di G
f = f (G ) =n.ro di facce di G = 1
![Page 116: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/116.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
G
•
•
• •
• • •
• • • • • • • •
• • • •
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n = n(G ) =n.ro di vertici di G
m = m(G ) =n.ro di lati di G
f = f (G ) =n.ro di facce di G = 1
![Page 117: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/117.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
G1
•
•
• •
• • •
• • • • • • • •
• • •
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n(G1) = n − 1
m(G1) = m − 1
![Page 118: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/118.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
G1
•
•
• •
• • •
• • • • • • • •
• • •
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n(G1) = n − 1
m(G1) = m − 1
![Page 119: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/119.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
G2
•
•
• •
• • •
• • • • • • • •
• •
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n(G2) = n − 2
m(G2) = m − 2
![Page 120: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/120.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
G2
•
•
• •
• • •
• • • • • • • •
• •
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n(G2) = n − 2
m(G2) = m − 2
![Page 121: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/121.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
G3
•
•
• •
• • •
• • • • • • • •
•
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n(G3) = n − 3
m(G3) = m − 3
![Page 122: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/122.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
G3
•
•
• •
• • •
• • • • • • • •
•
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n(G3) = n − 3
m(G3) = m − 3
![Page 123: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/123.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
G4
•
•
• •
• • •
• • • • • • • •
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
n(G4) = n − 4
m(G4) = m − 4
![Page 124: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/124.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−4 •
•
• •
n(Gn−4) = n − (n − 4) = 4
m(Gn−4) = m − (n − 4) = m − n + 4
![Page 125: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/125.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−4 •
•
• •
n(Gn−4) = n − (n − 4) = 4
m(Gn−4) = m − (n − 4) = m − n + 4
![Page 126: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/126.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−3 •
•
•
n(Gn−3) = n − (n − 3) = 3
m(Gn−3) = m − (n − 3) = m − n + 3
![Page 127: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/127.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−3 •
•
•
n(Gn−3) = n − (n − 3) = 3
m(Gn−3) = m − (n − 3) = m − n + 3
![Page 128: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/128.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−2 •
•
n(Gn−2) = n − (n − 2) = 2
m(Gn−2) = m − (n − 2) = m − n + 2
![Page 129: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/129.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−2 •
•
n(Gn−2) = n − (n − 2) = 2
m(Gn−2) = m − (n − 2) = m − n + 2
![Page 130: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/130.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−1 •
n(Gn−1) = n − (n − 1) = 1
m(Gn−1) = m − (n − 1) = m − n + 1
![Page 131: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/131.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−1 •
n(Gn−1) = n − (n − 1) = 1
m(Gn−1) = m − (n − 1) = m − n + 1
Abbiamo tolto n − 1 vertici e n − 1 lati a G ,
e non e rimasto nessun lato.
![Page 132: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/132.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−1 •
n(Gn−1) = n − (n − 1) = 1
m(Gn−1) = m − (n − 1) = m − n + 1
Abbiamo tolto n − 1 vertici e n − 1 lati a G ,
e non e rimasto nessun lato.
Questo significa che m = n − 1
![Page 133: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/133.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−1 •
n(Gn−1) = n − (n − 1) = 1
m(Gn−1) = m − (n − 1) = m − n + 1
Abbiamo tolto n − 1 vertici e n − 1 lati a G ,
e non e rimasto nessun lato.
Questo significa che m = n − 1.
In particolare, per un albero,
n −m + f =
![Page 134: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/134.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−1 •
n(Gn−1) = n − (n − 1) = 1
m(Gn−1) = m − (n − 1) = m − n + 1
Abbiamo tolto n − 1 vertici e n − 1 lati a G ,
e non e rimasto nessun lato.
Questo significa che m = n − 1.
In particolare, per un albero,
n −m + f = n−
![Page 135: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/135.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−1 •
n(Gn−1) = n − (n − 1) = 1
m(Gn−1) = m − (n − 1) = m − n + 1
Abbiamo tolto n − 1 vertici e n − 1 lati a G ,
e non e rimasto nessun lato.
Questo significa che m = n − 1.
In particolare, per un albero,
n −m + f = n − (n − 1)+
![Page 136: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/136.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−1 •
n(Gn−1) = n − (n − 1) = 1
m(Gn−1) = m − (n − 1) = m − n + 1
Abbiamo tolto n − 1 vertici e n − 1 lati a G ,
e non e rimasto nessun lato.
Questo significa che m = n − 1.
In particolare, per un albero,
n −m + f = n − (n − 1) + 1
![Page 137: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/137.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−1 •
n(Gn−1) = n − (n − 1) = 1
m(Gn−1) = m − (n − 1) = m − n + 1
Abbiamo tolto n − 1 vertici e n − 1 lati a G ,
e non e rimasto nessun lato.
Questo significa che m = n − 1.
In particolare, per un albero,
n −m + f = n − (n − 1) + 1 = n − n + 1 + 1
![Page 138: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/138.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero nel caso di alberi
Gn−1 •
n(Gn−1) = n − (n − 1) = 1
m(Gn−1) = m − (n − 1) = m − n + 1
Abbiamo tolto n − 1 vertici e n − 1 lati a G ,
e non e rimasto nessun lato.
Questo significa che m = n − 1.
In particolare, per un albero,
n −m + f = n − (n − 1) + 1 = n − n + 1 + 1 = 2
![Page 139: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/139.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
![Page 140: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/140.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
![Page 141: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/141.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• • n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f = ?????
G
![Page 142: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/142.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• • n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f = ?????
G
![Page 143: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/143.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• • n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f =?????
Osserviamo che n(G1) = n(G ) = n,
m(G1) = m(G )− 1 = m − 1 e
f (G1) = f (G )− 1 = f − 1, quindi
G1
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Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• • n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f =
= n(G1)−m(G1) + f (G1) =?
G1
![Page 145: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/145.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• •
G1
n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f =
= n(G1)−m(G1) + f (G1) =?
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Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• •
G2
n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f =
= n(G1)−m(G1) + f (G1) =
= n(G2)−m(G2) + f (G2) =?
![Page 147: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/147.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• •
G2
n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f =
= n(G1)−m(G1) + f (G1) =
= n(G2)−m(G2) + f (G2) =?
![Page 148: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/148.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• •
G3
n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f =
= n(G1)−m(G1) + f (G1) =
= n(G2)−m(G2) + f (G2) =
= n(G3)−m(G3) + f (G3) =?
![Page 149: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/149.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• •
G3
n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f =
= n(G1)−m(G1) + f (G1) =
= n(G2)−m(G2) + f (G2) =
= n(G3)−m(G3) + f (G3) =?
![Page 150: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/150.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• •
G7
n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f =
= n(G1)−m(G1) + f (G1) =
= n(G2)−m(G2) + f (G2) =
= n(G3)−m(G3) + f (G3) =
. . . = n(G7)−m(G7) + f (G7) =?
![Page 151: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/151.jpg)
Dimostrazione della formula di Eulero in generale
Consideriamo un grafo connesso planare
• •
•
•
•
• • •
• •
G7
n = no vertici di G
m = no lati di G
f = no facce di G
n − m + f =
= n(G1)−m(G1) + f (G1) =
= n(G2)−m(G2) + f (G2) =
= n(G3)−m(G3) + f (G3) =
. . . = n(G7)−m(G7) + f (G7) =
. . . = 2
![Page 152: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/152.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
![Page 153: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/153.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
![Page 154: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/154.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
![Page 155: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/155.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
A
B
C
![Page 156: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/156.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
A
B
Cno lati in A + no lati in B + no lati in C =
![Page 157: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/157.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
A
B
Cno lati in A + no lati in B + no lati in C =
= 3 + 3 + 4
![Page 158: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/158.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
A
B
Cno lati in A + no lati in B + no lati in C =
= 3 + 3 + 4 = 10
![Page 159: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/159.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
A
B
Cno lati in A + no lati in B + no lati in C =
= 3 + 3 + 4 = 10
m = no lati del grafo = 5
![Page 160: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/160.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
A
B
Cno lati in A + no lati in B + no lati in C =
= 3 + 3 + 4 = 10
m = no lati del grafo = 5
e 10 = 2 · 5
![Page 161: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/161.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
•
A
B
C
![Page 162: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/162.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
•
A
B
Cno lati in A + no lati in B + no lati in C
![Page 163: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/163.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
•
A
B
Cno lati in A + no lati in B + no lati in C =
= 3 + 3 + 5 = 11
![Page 164: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/164.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
•
A
B
Cno lati in A + no lati in B + no lati in C =
= 3 + 3 + 5 = 11
m = no lati del grafo = 6.
![Page 165: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/165.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
ESEMPI
•
•
•
•
•
A
B
Cno lati in A + no lati in B + no lati in C =
= 3 + 3 + 5 = 11
m = no lati del grafo = 6.
Questa volta 11 < 2 · 6
![Page 166: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/166.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
In generale possiamo affermare che in qualunque grafo planare
![Page 167: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/167.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
In generale possiamo affermare che in qualunque grafo planarela somma, fatta sulle facce, del numero dei lati che delimitano ogniogni faccia, e al piu il doppio del numero dei lati.
![Page 168: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/168.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
In generale possiamo affermare che in qualunque grafo planarela somma, fatta sulle facce, del numero dei lati che delimitano ogniogni faccia, e al piu il doppio del numero dei lati.
Inoltre, poiche ogni faccia e delimitata da almeno tre lati
![Page 169: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/169.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
In generale possiamo affermare che in qualunque grafo planarela somma, fatta sulle facce, del numero dei lati che delimitano ogniogni faccia, e al piu il doppio del numero dei lati.
Inoltre, poiche ogni faccia e delimitata da almeno tre lati,la suddetta somma e senz’altro maggiore o uguale al triplo del nu-mero delle facce.
![Page 170: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/170.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
In generale possiamo affermare che in qualunque grafo planarela somma, fatta sulle facce, del numero dei lati che delimitano ogniogni faccia, e al piu il doppio del numero dei lati.
Inoltre, poiche ogni faccia e delimitata da almeno tre lati,la suddetta somma e senz’altro maggiore o uguale al triplo del nu-mero delle facce.
Indicando con f il numero di facce e con m il numero di lati di ungrafo planare, quindi possiamo scrivere in formule
![Page 171: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/171.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
In generale possiamo affermare che in qualunque grafo planarela somma, fatta sulle facce, del numero dei lati che delimitano ogniogni faccia, e al piu il doppio del numero dei lati.
Inoltre, poiche ogni faccia e delimitata da almeno tre lati,la suddetta somma e senz’altro maggiore o uguale al triplo del nu-mero delle facce.
Indicando con f il numero di facce e con m il numero di lati di ungrafo planare, quindi possiamo scrivere in formule
3 · f ≤ SOMMA SULLE FACCE
![Page 172: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/172.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
In generale possiamo affermare che in qualunque grafo planarela somma, fatta sulle facce, del numero dei lati che delimitano ogniogni faccia, e al piu il doppio del numero dei lati.
Inoltre, poiche ogni faccia e delimitata da almeno tre lati,la suddetta somma e senz’altro maggiore o uguale al triplo del nu-mero delle facce.
Indicando con f il numero di facce e con m il numero di lati di ungrafo planare, quindi possiamo scrivere in formule
3 · f ≤ SOMMA SULLE FACCE ≤ 2 ·m
![Page 173: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/173.jpg)
Facce e lati
In un grafo planare il numero di facce e ”vincolato” dal numero dilati, non solo per la formula di Eulero
In generale possiamo affermare che in qualunque grafo planarela somma, fatta sulle facce, del numero dei lati che delimitano ogniogni faccia, e al piu il doppio del numero dei lati.
Inoltre, poiche ogni faccia e delimitata da almeno tre lati,la suddetta somma e senz’altro maggiore o uguale al triplo del nu-mero delle facce.
Indicando con f il numero di facce e con m il numero di lati di ungrafo planare, quindi possiamo scrivere in formule
3 · f ≤ 2 ·m
![Page 174: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/174.jpg)
Vertici e lati
In un grafo planare e connesso, e intuitivo pensare che, fissato ilnumero dei vertici, non ci possano esser piu di TOT lati.
Ora dimostreremo quest’affermazione, rendendola piu precisa.
Come sempre, dato un grafo planare e connesso, denotiamo conn = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
Ricordando la formula della slide precedente 2 ·m ≥ 3 · f .
Ma dalla formula di Eulero sappiamo che f = m − n + 2, quindi
2 ·m ≥ 3 · f = 3 · (m − n + 2)
Quindi 2 ·m ≥ 3 · (m − n + 2), da cui
m ≤ 3n − 6
![Page 175: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/175.jpg)
Vertici e lati
In un grafo planare e connesso, e intuitivo pensare che, fissato ilnumero dei vertici, non ci possano esser piu di TOT lati.
Ora dimostreremo quest’affermazione, rendendola piu precisa.
Come sempre, dato un grafo planare e connesso, denotiamo conn = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
Ricordando la formula della slide precedente 2 ·m ≥ 3 · f .
Ma dalla formula di Eulero sappiamo che f = m − n + 2, quindi
2 ·m ≥ 3 · f = 3 · (m − n + 2)
Quindi 2 ·m ≥ 3 · (m − n + 2), da cui
m ≤ 3n − 6
![Page 176: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/176.jpg)
Vertici e lati
In un grafo planare e connesso, e intuitivo pensare che, fissato ilnumero dei vertici, non ci possano esser piu di TOT lati.
Ora dimostreremo quest’affermazione, rendendola piu precisa.
Come sempre, dato un grafo planare e connesso, denotiamo conn = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
Ricordando la formula della slide precedente 2 ·m ≥ 3 · f .
Ma dalla formula di Eulero sappiamo che f = m − n + 2, quindi
2 ·m ≥ 3 · f = 3 · (m − n + 2)
Quindi 2 ·m ≥ 3 · (m − n + 2), da cui
m ≤ 3n − 6
![Page 177: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/177.jpg)
Vertici e lati
In un grafo planare e connesso, e intuitivo pensare che, fissato ilnumero dei vertici, non ci possano esser piu di TOT lati.
Ora dimostreremo quest’affermazione, rendendola piu precisa.
Come sempre, dato un grafo planare e connesso, denotiamo conn = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
Ricordando la formula della slide precedente 2 ·m ≥ 3 · f .
Ma dalla formula di Eulero sappiamo che f = m − n + 2, quindi
2 ·m ≥ 3 · f = 3 · (m − n + 2)
Quindi 2 ·m ≥ 3 · (m − n + 2), da cui
m ≤ 3n − 6
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Vertici e lati
In un grafo planare e connesso, e intuitivo pensare che, fissato ilnumero dei vertici, non ci possano esser piu di TOT lati.
Ora dimostreremo quest’affermazione, rendendola piu precisa.
Come sempre, dato un grafo planare e connesso, denotiamo conn = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
Ricordando la formula della slide precedente 2 ·m ≥ 3 · f .
Ma dalla formula di Eulero sappiamo che f = m − n + 2, quindi
2 ·m ≥ 3 · f = 3 · (m − n + 2)
Quindi 2 ·m ≥ 3 · (m − n + 2), da cui
m ≤ 3n − 6
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Vertici e lati
In un grafo planare e connesso, e intuitivo pensare che, fissato ilnumero dei vertici, non ci possano esser piu di TOT lati.
Ora dimostreremo quest’affermazione, rendendola piu precisa.
Come sempre, dato un grafo planare e connesso, denotiamo conn = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
Ricordando la formula della slide precedente 2 ·m ≥ 3 · f .
Ma dalla formula di Eulero sappiamo che f = m − n + 2
, quindi
2 ·m ≥ 3 · f = 3 · (m − n + 2)
Quindi 2 ·m ≥ 3 · (m − n + 2), da cui
m ≤ 3n − 6
![Page 180: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/180.jpg)
Vertici e lati
In un grafo planare e connesso, e intuitivo pensare che, fissato ilnumero dei vertici, non ci possano esser piu di TOT lati.
Ora dimostreremo quest’affermazione, rendendola piu precisa.
Come sempre, dato un grafo planare e connesso, denotiamo conn = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
Ricordando la formula della slide precedente 2 ·m ≥ 3 · f .
Ma dalla formula di Eulero sappiamo che f = m − n + 2, quindi
2 ·m ≥ 3 · f
= 3 · (m − n + 2)
Quindi 2 ·m ≥ 3 · (m − n + 2), da cui
m ≤ 3n − 6
![Page 181: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/181.jpg)
Vertici e lati
In un grafo planare e connesso, e intuitivo pensare che, fissato ilnumero dei vertici, non ci possano esser piu di TOT lati.
Ora dimostreremo quest’affermazione, rendendola piu precisa.
Come sempre, dato un grafo planare e connesso, denotiamo conn = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
Ricordando la formula della slide precedente 2 ·m ≥ 3 · f .
Ma dalla formula di Eulero sappiamo che f = m − n + 2, quindi
2 ·m ≥ 3 · f = 3 · (m − n + 2)
Quindi 2 ·m ≥ 3 · (m − n + 2), da cui
m ≤ 3n − 6
![Page 182: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/182.jpg)
Vertici e lati
In un grafo planare e connesso, e intuitivo pensare che, fissato ilnumero dei vertici, non ci possano esser piu di TOT lati.
Ora dimostreremo quest’affermazione, rendendola piu precisa.
Come sempre, dato un grafo planare e connesso, denotiamo conn = no di vertici, m = no di lati, f = no di facce.
Ricordando la formula della slide precedente 2 ·m ≥ 3 · f .
Ma dalla formula di Eulero sappiamo che f = m − n + 2, quindi
2 ·m ≥ 3 · f = 3 · (m − n + 2)
Quindi 2 ·m ≥ 3 · (m − n + 2), da cui
m ≤ 3n − 6
![Page 183: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/183.jpg)
K5 non e planare
Finalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
![Page 184: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/184.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare
, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
![Page 185: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/185.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
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K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
![Page 187: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/187.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso).
Invece
![Page 188: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/188.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
![Page 189: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/189.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
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1 2
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5
K5
![Page 190: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/190.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
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1 2
3
4
5
K5
n = 5
![Page 191: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/191.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
• •
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1 2
3
4
5
K5
n = 5, m = 10
![Page 192: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/192.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
• •
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•
•
1 2
3
4
5
K5
n = 5, m = 10
3n − 6 = 9
![Page 193: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/193.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
• •
•
•
•
1 2
3
4
5
K5
n = 5, m = 10
3n − 6 = 9
In questo caso, quindi, m > 3n − 6
![Page 194: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/194.jpg)
K5 non e planareFinalmente possiamo spiegare perche K5 non e planare, cioe perchenon e possibile disegnarlo senza che i lati “si incrocino”
Da quanto detto nella slide precedente, in un grafo planare econnesso, deve valere la diseguaglianza m ≤ 3n − 6 (dove m e ilnumero dei lati e n e il numero dei vertici).
Quindi se K5 fosse planare, allora dovrebbe rispettare questaformula (poiche esso e ovviamente connesso). Invece
• •
•
•
•
1 2
3
4
5
K5
n = 5, m = 10
3n − 6 = 9
In questo caso, quindi, m > 3n − 6
Questo significa che K5 non e planare!
![Page 195: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/195.jpg)
Ritorno al problema iniziale
Quindi abbiamo dimostrato che:
NON E POSSIBILE DISEGNARE 5 REGIONI TUTTEADIACENTI FRA DI LORO.
Comunque questo e ben lungi dal dimostrare il teorema dei quattrocolori, infatti
In questo disegno non ci sono quattro regioni tutte adiacenti fra diloro, eppure quattro colori sono necessari.
Questo problema non e locale, questo lo rende cosı difficile!
![Page 196: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/196.jpg)
Ritorno al problema iniziale
Quindi abbiamo dimostrato che:
NON E POSSIBILE DISEGNARE 5 REGIONI TUTTEADIACENTI FRA DI LORO.
Comunque questo e ben lungi dal dimostrare il teorema dei quattrocolori, infatti
In questo disegno non ci sono quattro regioni tutte adiacenti fra diloro, eppure quattro colori sono necessari.
Questo problema non e locale, questo lo rende cosı difficile!
![Page 197: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/197.jpg)
Ritorno al problema iniziale
Quindi abbiamo dimostrato che:
NON E POSSIBILE DISEGNARE 5 REGIONI TUTTEADIACENTI FRA DI LORO.
Comunque questo e ben lungi dal dimostrare il teorema dei quattrocolori, infatti
In questo disegno non ci sono quattro regioni tutte adiacenti fra diloro, eppure quattro colori sono necessari.
Questo problema non e locale, questo lo rende cosı difficile!
![Page 198: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/198.jpg)
Ritorno al problema iniziale
Quindi abbiamo dimostrato che:
NON E POSSIBILE DISEGNARE 5 REGIONI TUTTEADIACENTI FRA DI LORO.
Comunque questo e ben lungi dal dimostrare il teorema dei quattrocolori, infatti
In questo disegno non ci sono quattro regioni tutte adiacenti fra diloro, eppure quattro colori sono necessari.
Questo problema non e locale, questo lo rende cosı difficile!
![Page 199: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/199.jpg)
Ritorno al problema iniziale
Quindi abbiamo dimostrato che:
NON E POSSIBILE DISEGNARE 5 REGIONI TUTTEADIACENTI FRA DI LORO.
Comunque questo e ben lungi dal dimostrare il teorema dei quattrocolori, infatti
In questo disegno non ci sono quattro regioni tutte adiacenti fra diloro, eppure quattro colori sono necessari.
Questo problema non e locale, questo lo rende cosı difficile!
![Page 200: TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI · 2017. 5. 5. · TEORIA DEI GRAFI E TEOREMA DEI QUATTRO COLORI Matteo Varbaro Dipartimento di Matematica Universit a di Genova](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022071504/6124c7e8d91570302c1d4722/html5/thumbnails/200.jpg)
Ritorno al problema iniziale
Quindi abbiamo dimostrato che:
NON E POSSIBILE DISEGNARE 5 REGIONI TUTTEADIACENTI FRA DI LORO.
Comunque questo e ben lungi dal dimostrare il teorema dei quattrocolori, infatti
In questo disegno non ci sono quattro regioni tutte adiacenti fra diloro, eppure quattro colori sono necessari.
Questo problema non e locale, questo lo rende cosı difficile!