Download - Teorija Brojeva - Marko Djikic
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
1/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Osnovni pojmovi teorije brojeva
Marko-Dikic
Univerzitet u NiuPrirodno Matematicki Fakultet
februar 2010
Istraivacka stanica Petnica
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
2/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo
a|b.
a|b a|ca|b c
a|bxa|xb, za svakox N
ab|acb|c.
Teorema (o deljenju sa ostatkom)
Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
3/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo
a|b.
a|b a|ca|b c
a|bxa|xb, za svakox N
ab|acb|c.
Teorema (o deljenju sa ostatkom)
Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
4/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo
a|b.
a|b a|ca|b c
a|bxa|xb, za svakox N
ab|acb|c.
Teorema (o deljenju sa ostatkom)
Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
5/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo
a|b.
a|b a|ca|b c
a|bxa|xb, za svakox N
ab|acb|c.
Teorema (o deljenju sa ostatkom)
Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
6/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo
a|b.
a|b a|ca|b c
a|bxa|xb, za svakox N
ab|acb|c.
Teorema (o deljenju sa ostatkom)
Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
7/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.
Lema
Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.
Beskonacno mnogo prostih brojeva.
Teorema (Osnovna teorema aritmetike)
Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti
brojevi p1
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
8/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.
Lema
Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.
Beskonacno mnogo prostih brojeva.
Teorema (Osnovna teorema aritmetike)
Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti
brojevi p1
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
9/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.
Lema
Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.
Beskonacno mnogo prostih brojeva.
Teorema (Osnovna teorema aritmetike)
Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti
brojevi p1
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
10/31
Deljivost
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.
Lema
Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.
Beskonacno mnogo prostih brojeva.
Teorema (Osnovna teorema aritmetike)
Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti
brojevi p1
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
11/31
j
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.
Lema
Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.
Beskonacno mnogo prostih brojeva.
Teorema (Osnovna teorema aritmetike)
Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti
brojevi p1
-
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
12/31
j
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.
Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i
b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].
Ako jed= (a, b)tada 1= ( ad, bd).(a, b)[a, b] =ab.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
Deljivost
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
13/31
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.
Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i
b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].
Ako jed= (a, b)tada 1= ( ad, bd).(a, b)[a, b] =ab.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
Deljivost
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
14/31
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.
Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i
b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].
Ako jed= (a, b)tada 1= ( ad, bd).(a, b)[a, b] =ab.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
Deljivost
P ti b j i
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
15/31
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.
Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i
b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].
Ako jed= (a, b)tada 1= ( ad, bd).(a, b)[a, b] =ab.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
Deljivost
Prosti brojevi
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
16/31
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.
Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.
Definicija
Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i
b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].
Ako jed= (a, b)tada 1= (ad,
bd).
(a, b)[a, b] =ab.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
Deljivost
Prosti brojevi
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
17/31
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.
Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb
n.
Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.
Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?
Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?
Kriterijumi deljivosti.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
18/31
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.
Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb
n.
Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.
Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?
Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?
Kriterijumi deljivosti.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
19/31
Prosti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.
Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb
n.
Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.
Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?
Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?
Kriterijumi deljivosti.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
20/31
j
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.
Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb
n.
Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.
Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?
Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?
Kriterijumi deljivosti.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
21/31
j
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.
Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb
n.
Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.
Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?
Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?
Kriterijumi deljivosti.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
22/31
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.
Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb
n.
Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.
Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?
Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?
Kriterijumi deljivosti.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
23/31
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Neka je n prirodan broj ve ci od1. Ako skup A ispunjava slede ca dva svojstva:
1o Svaka dva razli cita elementa iz A imaju razli cit ostatak pri deljenju sa m;
2o Za svaki prirodan broj postoji element skupa A koji daje isti istatak pri
deljenju sa m kao i taj broj,
tada A nazivamo potpun sistem ostataka po modulu m.
Definicija
Ako iz potpunog sistema ostataka po modulu m izbacimo sve brojeve koji nisu
uzajamno prosti sa m, dobijamo redukovan sistem ostataka po modulu m.
Definicija
Funkcija : N N koja svakom broju n pridrui broj brojeva manjih od n koji
su uzajamno prosti sa n, naziva se Ojlerova funkcija.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
R l ij k ij d l
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
24/31
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Neka je n prirodan broj ve ci od1. Ako skup A ispunjava slede ca dva svojstva:
1o Svaka dva razli cita elementa iz A imaju razli cit ostatak pri deljenju sa m;
2o Za svaki prirodan broj postoji element skupa A koji daje isti istatak pri
deljenju sa m kao i taj broj,
tada A nazivamo potpun sistem ostataka po modulu m.
Definicija
Ako iz potpunog sistema ostataka po modulu m izbacimo sve brojeve koji nisu
uzajamno prosti sa m, dobijamo redukovan sistem ostataka po modulu m.
Definicija
Funkcija : N N koja svakom broju n pridrui broj brojeva manjih od n koji
su uzajamno prosti sa n, naziva se Ojlerova funkcija.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
Relacija kongr encije po mod l
http://goforward/http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
25/31
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Definicija
Neka je n prirodan broj ve ci od1. Ako skup A ispunjava slede ca dva svojstva:
1o Svaka dva razli cita elementa iz A imaju razli cit ostatak pri deljenju sa m;
2o Za svaki prirodan broj postoji element skupa A koji daje isti istatak pri
deljenju sa m kao i taj broj,
tada A nazivamo potpun sistem ostataka po modulu m.
Definicija
Ako iz potpunog sistema ostataka po modulu m izbacimo sve brojeve koji nisu
uzajamno prosti sa m, dobijamo redukovan sistem ostataka po modulu m.
Definicija
Funkcija : N N koja svakom broju n pridrui broj brojeva manjih od n koji
su uzajamno prosti sa n, naziva se Ojlerova funkcija.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
26/31
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Teorema
Neka su a i m prirodni brojevi za koje je
(a, m) =1. Tada je
a(m) m1.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
27/31
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Dokazati da za svaka tri prirodna broja a, b i c vai:
abc= [a, b, c](ab, bc, ca).
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
28/31
Relacija kongruencije po modulu
Sistemi ostataka
Dokazati ili opovrgnuti tvrdenje: Za svaki prirodan broj n postoji neki
broj koji je deljiv sa n i ciji je zbir cifara n.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
29/31
e ac ja o g ue c je po odu u
Sistemi ostataka
Na ci sve parove prirodnih brojeva(a, n)tako da
n|(a+ 1)n an.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
30/31
j g j p
Sistemi ostataka
Neka je n prirodan broj. Ako je broj1 + 2n + 4n prost, tada je n stepen
trojke. Dokazati.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
DeljivostProsti brojevi
Relacija kongruencije po modulu
http://find/ -
7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic
31/31
Sistemi ostataka
Neka je a prirodan broj i neka je niz(xn)definisan na slede ci na cin:x1=a i
xn+1=
xn
2
, ako je xnparan broj;
3xn+12
, ako je xnneparan broj
za svaki prirodan broj n. Dokazati da je bar jedanclan tog niza paranbroj.
Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva
http://find/