Download - Toan 1- Chuong 7
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËTBI�N SÈ
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng
Ng y 15 th¡ng 12 n«m 2010
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha viNëi dung ch½nh
�¤o h m cõa h m sè
Vi ph¥n cõa h m sè
C¡c �ành lþ v· h m kh£ vi
Cæng thùc Taylor, Maclaurint
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha viNëi dung ch½nh
�¤o h m cõa h m sè
Vi ph¥n cõa h m sè
C¡c �ành lþ v· h m kh£ vi
Cæng thùc Taylor, Maclaurint
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha viNëi dung ch½nh
�¤o h m cõa h m sè
Vi ph¥n cõa h m sè
C¡c �ành lþ v· h m kh£ vi
Cæng thùc Taylor, Maclaurint
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha viNëi dung ch½nh
�¤o h m cõa h m sè
Vi ph¥n cõa h m sè
C¡c �ành lþ v· h m kh£ vi
Cæng thùc Taylor, Maclaurint
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m
�ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′ (x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′ (x0) �÷ñc gåi l �¤o h m cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
V½ dö: T¼m �¤o h m cõa h m sè y = cosx t¤i �iºm x0.
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
cos(x0 + ∆x)− cos x0∆x
= − lim∆x→0
sin(x0 + ∆x
2
)· sin ∆x
2
∆x
2
= − sin(x0)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m
�ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′ (x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′ (x0) �÷ñc gåi l �¤o h m cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
V½ dö: T¼m �¤o h m cõa h m sè y = cosx t¤i �iºm x0.
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
cos(x0 + ∆x)− cos x0∆x
= − lim∆x→0
sin(x0 + ∆x
2
)· sin ∆x
2
∆x
2
= − sin(x0)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m
�ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′ (x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′ (x0) �÷ñc gåi l �¤o h m cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
V½ dö: T¼m �¤o h m cõa h m sè y = cosx t¤i �iºm x0.
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
cos(x0 + ∆x)− cos x0∆x
= − lim∆x→0
sin(x0 + ∆x
2
)· sin ∆x
2
∆x
2
= − sin(x0)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m
�ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′ (x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′ (x0) �÷ñc gåi l �¤o h m cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
V½ dö: T¼m �¤o h m cõa h m sè y = cosx t¤i �iºm x0.
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
cos(x0 + ∆x)− cos x0∆x
= − lim∆x→0
sin(x0 + ∆x
2
)· sin ∆x
2
∆x
2
= − sin(x0)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m
�ành ngh¾a
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′ (x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′ (x0) �÷ñc gåi l �¤o h m cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
V½ dö: T¼m �¤o h m cõa h m sè y = cosx t¤i �iºm x0.
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
cos(x0 + ∆x)− cos x0∆x
= − lim∆x→0
sin(x0 + ∆x
2
)· sin ∆x
2
∆x
2
= − sin(x0)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m mët ph½a
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′+(x0) = lim∆x→0+
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′+(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′−(x0) = lim∆x→0−
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′−(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m mët ph½a
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′+(x0) = lim∆x→0+
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′+(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′−(x0) = lim∆x→0−
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′−(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m mët ph½a
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′+(x0) = lim∆x→0+
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′+(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′−(x0) = lim∆x→0−
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′−(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m mët ph½a
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′+(x0) = lim∆x→0+
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′+(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′−(x0) = lim∆x→0−
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′−(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a �¤o h m mët ph½a
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′+(x0) = lim∆x→0+
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′+(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
�ành ngh¾a �¤o h m ph£i
H m sè f(x) x¡c �ành trong l¥n cªn cõa �iºm x0.
f ′−(x0) = lim∆x→0−
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
f ′−(x0) �÷ñc gåi l �¤o h m ph£i cõa h m f (x) t¤i �iºm x0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành lþ
H m sè y = f (x) câ �¤o h m t¤i �iºm x0 khi v ch¿ khi nâ câ �¤oh m tr¡i v �¤o h m ph£i t¤i �iºm x0 v hai �¤o h m n y b¬ngnhau.
�ành ngh¾a �¤o h m væ còng
N¸u lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x=∞ th¼ ta nâi f (x) câ �¤o h m væ
còng t¤i �iºm x0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành lþ
H m sè y = f (x) câ �¤o h m t¤i �iºm x0 khi v ch¿ khi nâ câ �¤oh m tr¡i v �¤o h m ph£i t¤i �iºm x0 v hai �¤o h m n y b¬ngnhau.
�ành ngh¾a �¤o h m væ còng
N¸u lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x=∞ th¼ ta nâi f (x) câ �¤o h m væ
còng t¤i �iºm x0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′+(0); f ′−(0) bi¸t f (x) =
e
1x , x 6= 0
0, x = 0
f ′+(0) = lim∆x→0+
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0+
e1/∆x − 0∆x
= +∞
f ′−(0) = lim∆x→0−
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0−
e1/∆x − 0∆x
= 0
�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau n¶n khæng tçn t¤i�¤o h m t¤i �iºm x = 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′+(0); f ′−(0) bi¸t f (x) =
e
1x , x 6= 0
0, x = 0
f ′+(0) = lim∆x→0+
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x
= lim∆x→0+
e1/∆x − 0∆x
= +∞
f ′−(0) = lim∆x→0−
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0−
e1/∆x − 0∆x
= 0
�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau n¶n khæng tçn t¤i�¤o h m t¤i �iºm x = 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′+(0); f ′−(0) bi¸t f (x) =
e
1x , x 6= 0
0, x = 0
f ′+(0) = lim∆x→0+
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0+
e1/∆x − 0∆x
= +∞
f ′−(0) = lim∆x→0−
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0−
e1/∆x − 0∆x
= 0
�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau n¶n khæng tçn t¤i�¤o h m t¤i �iºm x = 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′+(0); f ′−(0) bi¸t f (x) =
e
1x , x 6= 0
0, x = 0
f ′+(0) = lim∆x→0+
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0+
e1/∆x − 0∆x
= +∞
f ′−(0) = lim∆x→0−
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x
= lim∆x→0−
e1/∆x − 0∆x
= 0
�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau n¶n khæng tçn t¤i�¤o h m t¤i �iºm x = 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′+(0); f ′−(0) bi¸t f (x) =
e
1x , x 6= 0
0, x = 0
f ′+(0) = lim∆x→0+
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0+
e1/∆x − 0∆x
= +∞
f ′−(0) = lim∆x→0−
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0−
e1/∆x − 0∆x
= 0
�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau n¶n khæng tçn t¤i�¤o h m t¤i �iºm x = 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′+(0); f ′−(0) bi¸t f (x) =
e
1x , x 6= 0
0, x = 0
f ′+(0) = lim∆x→0+
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0+
e1/∆x − 0∆x
= +∞
f ′−(0) = lim∆x→0−
f (0 + ∆x)− f (0)
∆x= lim
∆x→0−
e1/∆x − 0∆x
= 0
�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau n¶n khæng tçn t¤i�¤o h m t¤i �iºm x = 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′(x) bi¸t f (x) = x2 − 3|x |+ 2
f (x) =
{x2 − 3x + 2, x ≥ 0x2 + 3x + 2, x < 0
⇒ f ′(x) =
{2x − 3, x > 02x + 3, x < 0
T¤i �iºm x = 0: f ′+(0) = −3; f ′−(0) = 3.�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau suy ra khæng tçnt¤i �¤o h m t¤i �iºm x = 0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′(x) bi¸t f (x) = x2 − 3|x |+ 2
f (x) =
{x2 − 3x + 2, x ≥ 0x2 + 3x + 2, x < 0
⇒ f ′(x) =
{2x − 3, x > 02x + 3, x < 0
T¤i �iºm x = 0: f ′+(0) = −3; f ′−(0) = 3.�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau suy ra khæng tçnt¤i �¤o h m t¤i �iºm x = 0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′(x) bi¸t f (x) = x2 − 3|x |+ 2
f (x) =
{x2 − 3x + 2, x ≥ 0x2 + 3x + 2, x < 0
⇒ f ′(x) =
{2x − 3, x > 02x + 3, x < 0
T¤i �iºm x = 0: f ′+(0) = −3; f ′−(0) = 3.�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau suy ra khæng tçnt¤i �¤o h m t¤i �iºm x = 0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′(x) bi¸t f (x) = x2 − 3|x |+ 2
f (x) =
{x2 − 3x + 2, x ≥ 0x2 + 3x + 2, x < 0
⇒ f ′(x) =
{2x − 3, x > 02x + 3, x < 0
T¤i �iºm x = 0: f ′+(0) = −3; f ′−(0) = 3.
�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau suy ra khæng tçnt¤i �¤o h m t¤i �iºm x = 0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T¼m f ′(x) bi¸t f (x) = x2 − 3|x |+ 2
f (x) =
{x2 − 3x + 2, x ≥ 0x2 + 3x + 2, x < 0
⇒ f ′(x) =
{2x − 3, x > 02x + 3, x < 0
T¤i �iºm x = 0: f ′+(0) = −3; f ′−(0) = 3.�¤o h m tr¡i v �¤o h m ph£i khæng b¬ng nhau suy ra khæng tçnt¤i �¤o h m t¤i �iºm x = 0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
B£ng �¤o h m cì b£n
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
B£ng �¤o h m cì b£n
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c ph²p to¡n �¤o h m
�¤o h m cõa têng hi»u, t½ch th÷ìng:
1 (αu)′ = αu′
2 (u ± v)′ = u′ ± v ′
3 (u.v)′ = u.v ′ + u′.v
4
(uv
)′=
u′v − v ′u
v2
�¤o h m cõa h m hñp:f = f (u), u = u(x)⇒ f ′(x) = f ′(u) · u′(x)�¤o h m cõa h m ng÷ñc:
x ′(y) =1
y ′(x)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c ph²p to¡n �¤o h m
�¤o h m cõa têng hi»u, t½ch th÷ìng:1 (αu)′ = αu′
2 (u ± v)′ = u′ ± v ′
3 (u.v)′ = u.v ′ + u′.v
4
(uv
)′=
u′v − v ′u
v2
�¤o h m cõa h m hñp:f = f (u), u = u(x)⇒ f ′(x) = f ′(u) · u′(x)�¤o h m cõa h m ng÷ñc:
x ′(y) =1
y ′(x)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c ph²p to¡n �¤o h m
�¤o h m cõa têng hi»u, t½ch th÷ìng:1 (αu)′ = αu′
2 (u ± v)′ = u′ ± v ′
3 (u.v)′ = u.v ′ + u′.v
4
(uv
)′=
u′v − v ′u
v2
�¤o h m cõa h m hñp:f = f (u), u = u(x)⇒ f ′(x) = f ′(u) · u′(x)�¤o h m cõa h m ng÷ñc:
x ′(y) =1
y ′(x)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c ph²p to¡n �¤o h m
�¤o h m cõa h m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
H m y = y(x) �÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:{
x = x(t)y = y(t)
Gi£ sû h m x = x(t) câ h m ng÷ñc t = t(x). Khi �â h my = y(t)=y(t(x)) l h m cõa y theo bi¸n x .
y ′(x) =dy
dx=
y ′(t)dt
x ′(t)dt=
y ′(t)
x ′(t)⇒ y ′(x) =
y ′(t)
x ′(t)�¤o h m cõa
h m ©nH m y = y(x) vîi x ∈ (a, b) cho ©n bði ph÷ìng tr¼nh F (x , y) = 0�º t¼m �¤o h m h m ©n, ta �¤o h m hai v¸, coi x l bi¸n, y l h m theo x
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 1: T¼m �¤o h m cõa h m ng÷ñc h m f (x) = x + x3
f (x) l h m 1− 1 tr¶n R , �¤o h m f ′(x) = 1+ 3x2 6= 0,∀x . Do �â
dx
dy=
1y ′(x)
=1
1 + 3x2
V½ dö 2: T¼m �¤o h m cõa h m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:x = a · cos3t, y = b · sin3t, t ∈ (0, π/2).
x ′(t) = −3acos2t sin t 6= 0,∀t ∈ (0, π/2)
y ′(t) = 3bsin2t cos t
y ′(x) =y ′(t)
x ′(t)=
3bsin2t cos t−3acos2t sin t
= −b
atan t
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 1: T¼m �¤o h m cõa h m ng÷ñc h m f (x) = x + x3
f (x) l h m 1− 1 tr¶n R , �¤o h m f ′(x) = 1+ 3x2 6= 0, ∀x . Do �â
dx
dy=
1y ′(x)
=1
1 + 3x2
V½ dö 2: T¼m �¤o h m cõa h m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:x = a · cos3t, y = b · sin3t, t ∈ (0, π/2).
x ′(t) = −3acos2t sin t 6= 0,∀t ∈ (0, π/2)
y ′(t) = 3bsin2t cos t
y ′(x) =y ′(t)
x ′(t)=
3bsin2t cos t−3acos2t sin t
= −b
atan t
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 1: T¼m �¤o h m cõa h m ng÷ñc h m f (x) = x + x3
f (x) l h m 1− 1 tr¶n R , �¤o h m f ′(x) = 1+ 3x2 6= 0, ∀x . Do �â
dx
dy=
1y ′(x)
=1
1 + 3x2
V½ dö 2: T¼m �¤o h m cõa h m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:x = a · cos3t, y = b · sin3t, t ∈ (0, π/2).
x ′(t) = −3acos2t sin t 6= 0,∀t ∈ (0, π/2)
y ′(t) = 3bsin2t cos t
y ′(x) =y ′(t)
x ′(t)=
3bsin2t cos t−3acos2t sin t
= −b
atan t
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 1: T¼m �¤o h m cõa h m ng÷ñc h m f (x) = x + x3
f (x) l h m 1− 1 tr¶n R , �¤o h m f ′(x) = 1+ 3x2 6= 0, ∀x . Do �â
dx
dy=
1y ′(x)
=1
1 + 3x2
V½ dö 2: T¼m �¤o h m cõa h m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:x = a · cos3t, y = b · sin3t, t ∈ (0, π/2).
x ′(t) = −3acos2t sin t 6= 0, ∀t ∈ (0, π/2)
y ′(t) = 3bsin2t cos t
y ′(x) =y ′(t)
x ′(t)=
3bsin2t cos t−3acos2t sin t
= −b
atan t
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 3: T¼m y ′(x) bi¸t y = y(x) l h m ©n x¡c �ành bði ph÷ìngtr¼nh e2x+y = x3 + cos y
e2x+y (2 + y ′(x)) = 3x2 − y ′(x) · sin y ⇒ y ′(x) =3x2 − 2e2x+y
e2x+y + sin y
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 3: T¼m y ′(x) bi¸t y = y(x) l h m ©n x¡c �ành bði ph÷ìngtr¼nh e2x+y = x3 + cos y
e2x+y (2 + y ′(x)) = 3x2 − y ′(x) · sin y
⇒ y ′(x) =3x2 − 2e2x+y
e2x+y + sin y
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
C¡c v½ dö
V½ dö 3: T¼m y ′(x) bi¸t y = y(x) l h m ©n x¡c �ành bði ph÷ìngtr¼nh e2x+y = x3 + cos y
e2x+y (2 + y ′(x)) = 3x2 − y ′(x) · sin y ⇒ y ′(x) =3x2 − 2e2x+y
e2x+y + sin y
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
�ành ngh¾a
�¤o h m cõa h m y = f (x) l mët h m sèCâ thº l§y mët l¦n núa cõa �¤o h m c§p mët ta �÷ñc kh¡i ni»m�¤o h m c§p 2
f ′′(x) =(f ′(x)
)′Ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta câ �¤o h m c§p n
f (n)(x) =(f (n−1)(x)
)′
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
Cæng thùc leibnitz
Gi£ sû y = f .gDòng quy n¤p ta chùng minh �÷ñc cæng thùc:
(f · g)(n) =n∑
k=0
C kn f
(k) · g (n−k)
⇔ (f · g)(n) = C 0n f
(0) · g (n) + C 1n f
(1) · g (n−1) + · · ·+ Cnn f
(n) · g (0)
Trong �â quy ÷îc f (0) = f ; g (0) = g .Ph÷ìng ph¡p t½nh �¤o h m c§p cao
1 Sû döng �¤o h m c§p cao cõa mët sè h m sè �¢ bi¸t2 Ph¥n t½ch th nh têng c¡c h m �ìn gi£n3 Sû döng cæng thùc leibnitz
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (n)(x) bi¸t y =1
x2 − 4
Gi£i:
y =1
(x − 2)(x + 2)=
14
(1
x − 2− 1
x + 2
)
Sû döng cæng thùc(
1x + a
)(n)
= (−1)nn!1
(x + a)n+1
Ta �÷ñc y (n) =(−1)nn!
4·(
1
(x − 2)n+1− 1
(x + 2)n+1
)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (n)(x) bi¸t y =1
x2 − 4
Gi£i:
y =1
(x − 2)(x + 2)=
14
(1
x − 2− 1
x + 2
)
Sû döng cæng thùc(
1x + a
)(n)
= (−1)nn!1
(x + a)n+1
Ta �÷ñc y (n) =(−1)nn!
4·(
1
(x − 2)n+1− 1
(x + 2)n+1
)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (n)(x) bi¸t y =1
x2 − 4
Gi£i:
y =1
(x − 2)(x + 2)=
14
(1
x − 2− 1
x + 2
)
Sû döng cæng thùc(
1x + a
)(n)
= (−1)nn!1
(x + a)n+1
Ta �÷ñc y (n) =(−1)nn!
4·(
1
(x − 2)n+1− 1
(x + 2)n+1
)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (n)(x) bi¸t y =1
x2 − 4
Gi£i:
y =1
(x − 2)(x + 2)=
14
(1
x − 2− 1
x + 2
)
Sû döng cæng thùc(
1x + a
)(n)
= (−1)nn!1
(x + a)n+1
Ta �÷ñc y (n) =(−1)nn!
4·(
1
(x − 2)n+1− 1
(x + 2)n+1
)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (n)(x) bi¸t y =1
x2 − 4
Gi£i:
y =1
(x − 2)(x + 2)=
14
(1
x − 2− 1
x + 2
)
Sû döng cæng thùc(
1x + a
)(n)
= (−1)nn!1
(x + a)n+1
Ta �÷ñc y (n) =(−1)nn!
4·(
1
(x − 2)n+1− 1
(x + 2)n+1
)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (100)(0) bi¸t y =1
x2 + 4
Gi£i:
y =1
(x − 2i)(x + 2i)=
14i
(1
x − 2i− 1
x + 2i
)
Sû döng cæng thùc(
1x + a
)(n)
= (−1)nn!1
(x + a)n+1
Ta �÷ñc:
y (n) =(−1)nn!
4i·(
1
(x − 2i)n+1− 1
(x + 2i)n+1
)
⇒ y (100) = (−1)100100!4i ·
(1
(−2i)101 −1
(2i)101
)= 100!
4·2100
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (100)(0) bi¸t y =1
x2 + 4
Gi£i:
y =1
(x − 2i)(x + 2i)=
14i
(1
x − 2i− 1
x + 2i
)
Sû döng cæng thùc(
1x + a
)(n)
= (−1)nn!1
(x + a)n+1
Ta �÷ñc:
y (n) =(−1)nn!
4i·(
1
(x − 2i)n+1− 1
(x + 2i)n+1
)
⇒ y (100) = (−1)100100!4i ·
(1
(−2i)101 −1
(2i)101
)= 100!
4·2100
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (100)(0) bi¸t y =1
x2 + 4
Gi£i:
y =1
(x − 2i)(x + 2i)=
14i
(1
x − 2i− 1
x + 2i
)
Sû döng cæng thùc(
1x + a
)(n)
= (−1)nn!1
(x + a)n+1
Ta �÷ñc:
y (n) =(−1)nn!
4i·(
1
(x − 2i)n+1− 1
(x + 2i)n+1
)
⇒ y (100) = (−1)100100!4i ·
(1
(−2i)101 −1
(2i)101
)= 100!
4·2100
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (100)(0) bi¸t y =1
x2 + 4
Gi£i:
y =1
(x − 2i)(x + 2i)=
14i
(1
x − 2i− 1
x + 2i
)
Sû döng cæng thùc(
1x + a
)(n)
= (−1)nn!1
(x + a)n+1
Ta �÷ñc:
y (n) =(−1)nn!
4i·(
1
(x − 2i)n+1− 1
(x + 2i)n+1
)
⇒ y (100) = (−1)100100!4i ·
(1
(−2i)101 −1
(2i)101
)= 100!
4·2100
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan dao hamDao ham cap cao
V½ dö
V½ dö
T½nh y (100)(x) bi¸t
y = sin2x
y = (3x2 + 1) ln x
y = (2x + 3) · cos 2x
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a kh£ vi
H m sè f (x) �÷ñc gåi l kh£ vi t¤i �iºm x0 n¸u
f (x0 + ∆x)− f (x0) = A ·∆x + o(∆x)
Khi �â, A ·∆x �÷ñc gåi l vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i �iºm x0, kþhi»u df (x0) = A ·∆x
�ành lþ
H m sè y = f (x) kh£ vi t¤i x0 khi v ch¿ khi tçn t¤i f ′(x0).
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a kh£ vi
H m sè f (x) �÷ñc gåi l kh£ vi t¤i �iºm x0 n¸u
f (x0 + ∆x)− f (x0) = A ·∆x + o(∆x)
Khi �â, A ·∆x �÷ñc gåi l vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i �iºm x0, kþhi»u df (x0) = A ·∆x
�ành lþ
H m sè y = f (x) kh£ vi t¤i x0 khi v ch¿ khi tçn t¤i f ′(x0).
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi �â:
f (x0 + ∆x)− f (x0) = A ·∆x + o(∆x)
⇒ f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= A +
o(∆x)
∆x
⇒ ∃f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
(A +
o(∆x)
∆x
)= A
Ng÷ñc l¤i, n¸u tçn t¤i
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
⇒ f (x0+∆x)−f (x0)∆x − f ′(x0)→ 0. Suy ra f (x) kh£ vi t¤i x0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi �â:
f (x0 + ∆x)− f (x0) = A ·∆x + o(∆x)
⇒ f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= A +
o(∆x)
∆x
⇒ ∃f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
(A +
o(∆x)
∆x
)= A
Ng÷ñc l¤i, n¸u tçn t¤i
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
⇒ f (x0+∆x)−f (x0)∆x − f ′(x0)→ 0. Suy ra f (x) kh£ vi t¤i x0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi �â:
f (x0 + ∆x)− f (x0) = A ·∆x + o(∆x)
⇒ f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= A +
o(∆x)
∆x
⇒ ∃f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
(A +
o(∆x)
∆x
)= A
Ng÷ñc l¤i, n¸u tçn t¤i
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
⇒ f (x0+∆x)−f (x0)∆x − f ′(x0)→ 0. Suy ra f (x) kh£ vi t¤i x0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi �â:
f (x0 + ∆x)− f (x0) = A ·∆x + o(∆x)
⇒ f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= A +
o(∆x)
∆x
⇒ ∃f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
(A +
o(∆x)
∆x
)= A
Ng÷ñc l¤i, n¸u tçn t¤i
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
⇒ f (x0+∆x)−f (x0)∆x − f ′(x0)→ 0. Suy ra f (x) kh£ vi t¤i x0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi �â:
f (x0 + ∆x)− f (x0) = A ·∆x + o(∆x)
⇒ f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= A +
o(∆x)
∆x
⇒ ∃f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
(A +
o(∆x)
∆x
)= A
Ng÷ñc l¤i, n¸u tçn t¤i
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
⇒ f (x0+∆x)−f (x0)∆x − f ′(x0)→ 0.
Suy ra f (x) kh£ vi t¤i x0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Chùng minh
N¸u f (x) kh£ vi t¤i x0, khi �â:
f (x0 + ∆x)− f (x0) = A ·∆x + o(∆x)
⇒ f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= A +
o(∆x)
∆x
⇒ ∃f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x= lim
∆x→0
(A +
o(∆x)
∆x
)= A
Ng÷ñc l¤i, n¸u tçn t¤i
f ′(x0) = lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
⇒ f (x0+∆x)−f (x0)∆x − f ′(x0)→ 0. Suy ra f (x) kh£ vi t¤i x0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
T½nh ch§t cõa vi ph¥n
Vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i �iºm x0: df (x0) = f ′(x0)dx
T½nh ch§t1 dα = 0, α ∈ R
2 d (αf ) = α · df , α ∈ R
3 d (f + g) = df + dg
4 d (f · g) = gdf + fdg
5 d(
fg
)= gdf−fdg
g2
C¡c t½nh ch§t n y suy ra trüc ti¸p tø t½nh ch§t cõa �¤o h m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
T½nh ch§t cõa vi ph¥n
Vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i �iºm x0: df (x0) = f ′(x0)dx
T½nh ch§t1 dα = 0, α ∈ R
2 d (αf ) = α · df , α ∈ R
3 d (f + g) = df + dg
4 d (f · g) = gdf + fdg
5 d(
fg
)= gdf−fdg
g2
C¡c t½nh ch§t n y suy ra trüc ti¸p tø t½nh ch§t cõa �¤o h m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
T½nh ch§t cõa vi ph¥n
Vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i �iºm x0: df (x0) = f ′(x0)dx
T½nh ch§t1 dα = 0, α ∈ R
2 d (αf ) = α · df , α ∈ R
3 d (f + g) = df + dg
4 d (f · g) = gdf + fdg
5 d(
fg
)= gdf−fdg
g2
C¡c t½nh ch§t n y suy ra trüc ti¸p tø t½nh ch§t cõa �¤o h m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
{y = y(u)u = u(x)
⇒ y = y(u(x))
dy = y ′(x)dx = y ′(u) · u′(x)dx = y ′(u)du
dy = y ′(x)dx ; dy = y ′(u)duHai cæng thùc n y câ d¤ng gièng nhau, khæng phö thuëc bi¸n �ëclªp x hay bi¸n h m u.Vi ph¥n c§p 1 câ t½nh b§t bi¸n.Vi ph¥n cõa h m cho bði ptts{
x = x(t)y = y(t)
⇒ dy = y ′(x)dx =y ′(t)
x ′(t)dx
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
{y = y(u)u = u(x)
⇒ y = y(u(x))
dy = y ′(x)dx = y ′(u) · u′(x)dx = y ′(u)du
dy = y ′(x)dx ; dy = y ′(u)duHai cæng thùc n y câ d¤ng gièng nhau, khæng phö thuëc bi¸n �ëclªp x hay bi¸n h m u.Vi ph¥n c§p 1 câ t½nh b§t bi¸n.Vi ph¥n cõa h m cho bði ptts{
x = x(t)y = y(t)
⇒ dy = y ′(x)dx =y ′(t)
x ′(t)dx
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
{y = y(u)u = u(x)
⇒ y = y(u(x))
dy = y ′(x)dx = y ′(u) · u′(x)dx = y ′(u)du
dy = y ′(x)dx ; dy = y ′(u)du
Hai cæng thùc n y câ d¤ng gièng nhau, khæng phö thuëc bi¸n �ëclªp x hay bi¸n h m u.Vi ph¥n c§p 1 câ t½nh b§t bi¸n.Vi ph¥n cõa h m cho bði ptts{
x = x(t)y = y(t)
⇒ dy = y ′(x)dx =y ′(t)
x ′(t)dx
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
{y = y(u)u = u(x)
⇒ y = y(u(x))
dy = y ′(x)dx = y ′(u) · u′(x)dx = y ′(u)du
dy = y ′(x)dx ; dy = y ′(u)duHai cæng thùc n y câ d¤ng gièng nhau, khæng phö thuëc bi¸n �ëclªp x hay bi¸n h m u.
Vi ph¥n c§p 1 câ t½nh b§t bi¸n.Vi ph¥n cõa h m cho bði ptts{
x = x(t)y = y(t)
⇒ dy = y ′(x)dx =y ′(t)
x ′(t)dx
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
{y = y(u)u = u(x)
⇒ y = y(u(x))
dy = y ′(x)dx = y ′(u) · u′(x)dx = y ′(u)du
dy = y ′(x)dx ; dy = y ′(u)duHai cæng thùc n y câ d¤ng gièng nhau, khæng phö thuëc bi¸n �ëclªp x hay bi¸n h m u.Vi ph¥n c§p 1 câ t½nh b§t bi¸n.
Vi ph¥n cõa h m cho bði ptts{x = x(t)y = y(t)
⇒ dy = y ′(x)dx =y ′(t)
x ′(t)dx
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Vi ph¥n cõa h m hñp
{y = y(u)u = u(x)
⇒ y = y(u(x))
dy = y ′(x)dx = y ′(u) · u′(x)dx = y ′(u)du
dy = y ′(x)dx ; dy = y ′(u)duHai cæng thùc n y câ d¤ng gièng nhau, khæng phö thuëc bi¸n �ëclªp x hay bi¸n h m u.Vi ph¥n c§p 1 câ t½nh b§t bi¸n.Vi ph¥n cõa h m cho bði ptts{
x = x(t)y = y(t)
⇒ dy = y ′(x)dx =y ′(t)
x ′(t)dx
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Ùng döng vi ph¥n t½nh g¦n �óng
y = y(x) l h m kh£ vi trong l¥n cªn cõa x0.
f (x0 + ∆x)− f (x0) = f ′(x0)∆x + o(∆x)
⇒ f (x)− f (x0) ≈ f ′(x0) (x − x0)
∆f ≈ df
Cæng thùc t½nh g¦n �óng nhí vi ph¥n c§p 1:
f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0) (x − x0)
Thay v¼ t½nh gi¡ trà ∆f phùc t¤p, ta t½nh df �ìn gi£n hìn.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Ùng döng vi ph¥n t½nh g¦n �óng
y = y(x) l h m kh£ vi trong l¥n cªn cõa x0.
f (x0 + ∆x)− f (x0) = f ′(x0)∆x + o(∆x)
⇒ f (x)− f (x0) ≈ f ′(x0) (x − x0)
∆f ≈ df
Cæng thùc t½nh g¦n �óng nhí vi ph¥n c§p 1:
f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0) (x − x0)
Thay v¼ t½nh gi¡ trà ∆f phùc t¤p, ta t½nh df �ìn gi£n hìn.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Ùng döng vi ph¥n t½nh g¦n �óng
y = y(x) l h m kh£ vi trong l¥n cªn cõa x0.
f (x0 + ∆x)− f (x0) = f ′(x0)∆x + o(∆x)
⇒ f (x)− f (x0) ≈ f ′(x0) (x − x0)
∆f ≈ df
Cæng thùc t½nh g¦n �óng nhí vi ph¥n c§p 1:
f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0) (x − x0)
Thay v¼ t½nh gi¡ trà ∆f phùc t¤p, ta t½nh df �ìn gi£n hìn.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
V½ dö
V½ dö 1
Cho f (x) = x3 + x2 − 2x + 1a. T½nh ∆f v df n¸u x thay �êi tø 2 �¸n 2.01b. T½nh ∆f v df n¸u x thay �êi tø 2 �¸n 2.05
Gi£ia. f (2) = 23 + 22 − 2.2 + 1 = 9
f (2.01) = (2.01)3 + (2.01)2 − 2. (2.01) + 1 = 9.140701
∆f = f (x0 + ∆x)− f (x0) = f (2.01)− f (2) = 0.140701
df = f ′(x0) (x − x0) =(3.22 + 2.2− 2
)× 0.01 = 0.14
b. T÷ìng tü, ∆f = 0.717625, df = 0.7Khi x thay �êi nhä ∆f v df c ng g¦n nhau.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
V½ dö
V½ dö 1
Cho f (x) = x3 + x2 − 2x + 1a. T½nh ∆f v df n¸u x thay �êi tø 2 �¸n 2.01b. T½nh ∆f v df n¸u x thay �êi tø 2 �¸n 2.05
Gi£ia. f (2) = 23 + 22 − 2.2 + 1 = 9
f (2.01) = (2.01)3 + (2.01)2 − 2. (2.01) + 1 = 9.140701
∆f = f (x0 + ∆x)− f (x0) = f (2.01)− f (2) = 0.140701
df = f ′(x0) (x − x0) =(3.22 + 2.2− 2
)× 0.01 = 0.14
b. T÷ìng tü, ∆f = 0.717625, df = 0.7Khi x thay �êi nhä ∆f v df c ng g¦n nhau.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
V½ dö
V½ dö 1
Cho f (x) = x3 + x2 − 2x + 1a. T½nh ∆f v df n¸u x thay �êi tø 2 �¸n 2.01b. T½nh ∆f v df n¸u x thay �êi tø 2 �¸n 2.05
Gi£ia. f (2) = 23 + 22 − 2.2 + 1 = 9
f (2.01) = (2.01)3 + (2.01)2 − 2. (2.01) + 1 = 9.140701
∆f = f (x0 + ∆x)− f (x0) = f (2.01)− f (2) = 0.140701
df = f ′(x0) (x − x0) =(3.22 + 2.2− 2
)× 0.01 = 0.14
b. T÷ìng tü, ∆f = 0.717625, df = 0.7Khi x thay �êi nhä ∆f v df c ng g¦n nhau.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
V½ dö
V½ dö 2
T½nh g¦n �óng 4√17
Gi£i Ta x²t h m sè f (x) = 4√x . �p döng cæng thùc t½nh g¦n �óng
ta câ:4√
x0 + ∆x ∼= 4√x0 +
1
4 4√
x03∆x
Chån x0 = 16, ∆x = 1 ta câ:4√17 ∼= 4
√16 +
1
4 4√163
.1 = 2 +1
4.23= 2.031
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
V½ dö
V½ dö 2
T½nh g¦n �óng 4√17
Gi£i Ta x²t h m sè f (x) = 4√x . �p döng cæng thùc t½nh g¦n �óng
ta câ:4√
x0 + ∆x ∼= 4√x0 +
1
4 4√
x03∆x
Chån x0 = 16, ∆x = 1 ta câ:4√17 ∼= 4
√16 +
1
4 4√163
.1 = 2 +1
4.23= 2.031
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
V½ dö
V½ dö 2
T½nh g¦n �óng 4√17
Gi£i Ta x²t h m sè f (x) = 4√x . �p döng cæng thùc t½nh g¦n �óng
ta câ:4√
x0 + ∆x ∼= 4√x0 +
1
4 4√
x03∆x
Chån x0 = 16, ∆x = 1 ta câ:4√17 ∼= 4
√16 +
1
4 4√163
.1 = 2 +1
4.23= 2.031
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Vi ph¥n c§p cao
df (x) = f ′(x)dx l mët h m theo bi¸n x
. Vi ph¥n (n¸u câ) cõadf (x) �÷ñc gåi l vi ph¥n c§p 2 cõa h m y = f (x)
d2f (x) = d (df ) = d(f ′(x)dx
)= dxd
(f ′(x)
)= dx
(f ′(x)
)′dx = f ′′(x)dxdx = f ′′(x)dx2
T÷ìng tü, vi ph¥n c§p n l vi ph¥n (n¸u câ) cõa vi ph¥n c§p n− 1
dnf (x) = f (n)(x)dxn
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Vi ph¥n c§p cao
df (x) = f ′(x)dx l mët h m theo bi¸n x . Vi ph¥n (n¸u câ) cõadf (x) �÷ñc gåi l vi ph¥n c§p 2 cõa h m y = f (x)
d2f (x) = d (df ) = d(f ′(x)dx
)= dxd
(f ′(x)
)= dx
(f ′(x)
)′dx = f ′′(x)dxdx = f ′′(x)dx2
T÷ìng tü, vi ph¥n c§p n l vi ph¥n (n¸u câ) cõa vi ph¥n c§p n− 1
dnf (x) = f (n)(x)dxn
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha vi
Dinh nghiaCac phep toan vi phanUng dung
Vi ph¥n c§p cao
df (x) = f ′(x)dx l mët h m theo bi¸n x . Vi ph¥n (n¸u câ) cõadf (x) �÷ñc gåi l vi ph¥n c§p 2 cõa h m y = f (x)
d2f (x) = d (df ) = d(f ′(x)dx
)= dxd
(f ′(x)
)= dx
(f ′(x)
)′dx = f ′′(x)dxdx = f ′′(x)dx2
T÷ìng tü, vi ph¥n c§p n l vi ph¥n (n¸u câ) cõa vi ph¥n c§p n− 1
dnf (x) = f (n)(x)dxn
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ
Dao hamVi phan
Cac dinh ly ve ham kha viPhat bieu cac dinh ly
C¡c �ành lþ v· h m kh£ vi
�ành lþ Rolle: Cho h m y = f (x) thäa m¢n li¶n töc tr¶n [a, b], kh£vi trong (a, b) v f (a) = f (b). Khi �â tçn t¤i mët �iºm c ∈ (a, b)sao cho f ′(c) = 0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 7: PH�P T�NH VI PH�N H�M SÈ MËT BI�N SÈ