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TorsiónEjercicio N° 1 de la Guía de
Problemas Propuestos
Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
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Para las siguientes barras, todas de secciones circulares, de las figuras que a continuación se detallan, se pide analizar lo
siguiente:
EnunciadoDatos:Mt = 11 tmG = 0,85 E6 kg/cm2D = 17,50 cmL = 80 cm
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1. Reacciones de vínculo externo.2. Diagrama de momentos torsores a lo
largo de las barras.3. Diagrama de tensiones tangenciales a
lo largo de las barras.4. Diagrama de tensiones tangenciales en
la sección T-T que está ubicada a L/2.5. Diagrama de ángulos de torsión
específicas.6. Diagrama de ángulos de torsión.
Consignas
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Problema a)
Cálculo de las reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser constante a lo largo de toda la barra e igual al valor de la reacción de vínculo.
tBBtT MMMMM 0
cmkgmtcteMM tB 5101111
Datos:Mt = 11 t.mG = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 17,5 cmL = 80 cm
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Problema a)
Cálculo de las tensiones tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:
Al ser constante el momento torsor y la sección de la barra a lo largo de todo el eje, en la sección T-T las tensiones tendrán el valor del punto anterior.
23
5
3
4
00
32,045.150,1710111616
32;2
cmkg
cmcmkg
DMDJ
J
DMt
t
232,045.1cmkg
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Problema a)
Cálculo del ángulo torsión y de torsión específicas
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:
cmcmcmkg
cmkgDGM
DJJG
M
t
t
11041,150,171085,0
10113232
32;
4
42
6
5
4
4
00
El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue:
0112,08011041,13232 44
04
0
cm
cmL
DGMdx
DGMdxx t
Lt
L
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Problema a)
Veamos los gráficos
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Problema b)
Cálculo de las reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser una función lineal a lo largo de toda la barra por lo que:
LmMMLmM tBBtT 0
cmkgcmtkg
mmtLmdxmM
xmdxmdxmxM
L
ttB
x
tt
x
tt
5
0
00
1036,91201
10008,7
Datos:mt = 7,8 t.m/mG = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 95 cmL = 120 cm
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Problema b)
Cálculo de las tensiones tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:
En la sección T-T las tensiones tendrán el valor de la expresión del punto anterior en x = L/2:
3
4
00
1632
;2DxmxDJ
J
DxMx t
t
23
3
3278,2
952
120108,716
216
cmkg
cm
cmcmcmkg
DLmt
LxTT
23
3
3max 56,595
120108,71616
cmkg
cm
cmcmcmkg
DLmt
BLx
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Problema b)
Cálculo del ángulo torsión y de torsión específicas
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:
4
4
00
3232
;DGxmDJ
JGxM tt
El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue:
64
2
04
04
0max 1026,8163232
DGLmdxx
DGMdx
DGxmdxx t
Lt
Lt
L
cmcmcmkg
cmcmcmkg
DGLmt
Lx
x
11038,1951085,0
120108,73232
0
7
42
6
3
4max
0min
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Problema b)
Veamos los gráficos
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Problema c)
Cálculo de las reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser una función lineal a lo largo de toda la barra por lo que:
LmMMMLmMM ttBBttT 0
xLmMdxmLmMxM tt
x
tttt 0
Datos:Mt = 11 t.mmt = 7,8 t.m/mG = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 111 cmL = 180 cm
cmkgcmtkg
mmtcmkgM
LmMxMM
B
ttxtB
55
0
1004,251801
10008,71011
cmkgMLLmMxMM tttLxtA
51011
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Problema c)
Cálculo de las tensiones tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:
xLDm
DMxDJ
J
DxMx tt
t
33
4
00
161632
;2
235
3max
3330max
32,9180108,7101111116
161616
cmkgcm
cmcmkgcmkg
cm
LmMDD
LmDMx tt
ttBx
23
5
3min 096,411110111616
cmkg
cmcmkg
DMx t
ALx
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Problema c)
Cálculo de las tensiones tangenciales en T-T
En la sección T-T las tensiones tendrán el valor de la expresión del punto anterior para x = L/2:
3332
216
21616
D
LmMLL
Dm
DMxx
tttt
LxTT
23
35
71,6111
2180108,7101116
cmkg
cm
cmcmcmkgcmkg
x TT
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Problema c)
Cálculo del ángulo de torsión específico
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:
4
0
32DG
xLmMJGxM ttt
cm
cmcmkg
cmcmcmkgcmkg
DGLmM
B
ttxB
1108,19
1111085,0
180108,710113232
8max
42
6
35
40
Para la sección “B” resulta:
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Problema c)
Cálculo del ángulo de torsión específica para la sección A y el ángulo de torsión
Para la sección “A” resulta:
cmcmcmkg
cmkgDGM
A
tLxA
11068,81111085,0
101132
32
8
42
6
5
4
El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue
232
23232
323232
4
2
44
04
04
04
0
xLmMDGxx
DGmx
DGLmMx
dxxDGmdx
DGLmMdx
DGxLmMdxx
ttttt
Lt
Ltt
Ltt
L
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Problema c)
Cálculo del ángulo de torsión para las secciones A y B
El ángulo de torsión “” para la sección “B” resulta:
00
xBxx
El ángulo de torsión “” para la sección “A” resulta:
5
46
35
4
1056,21111085,0
2180108,7101118032
232
cmcmkg
cmcmcmkgcmkgcm
x
DG
LmMLxx
A
tt
LxA
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Problema c)
Veamos los gráficos
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Problema d)
Cálculo de las reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser constate por tramos, por lo que:
21210 ttCCttT MMMMMMM
AtL
LtCttL
t MMxMMMMxM 1221
2
0
Datos:Mt1 = 12 t.m ; L1 = 95 cmMt2 = 8,5 t.m ; L2 = 120 cmG = 0,85 x 106 kg/cm2
A1 = 17,5 cm2 ; A2 = 26,5 cm2
D1 = 4,72 cm ; D2 = 5,81 cm
cmkgcmkgcmkgM
cmkgM
C
A
555
5
105,20105,81012
1012
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Problema d)
Cálculo de las tensiones tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:
0
2J
DxMx
t
En la sección T-T las tensiones tendrán el valor del punto anterior en x = L/2:
208,532342
cmkgx L
TT
23
5
31
23
5
32
0
5812072,410121616
8,5323481,5105,201616
1
2
212
cmkg
cmcmkg
D
Mx
cmkg
cmcmkg
D
MMx
tL
L
ttL
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Problema d)
Cálculo del ángulo de torsión específico
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:
40
32DGxM
JGxM tt
cmcmcmkg
cmkgDG
Mx
cmcmcmkg
cmkgDG
MMx
tL
L
ttL
1029,072,41085,0
10123232
10215,081,51085,0
105,203232
42
6
5
41
42
6
5
42
0
1
2
212
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Problema d)
Cálculo del ángulo de torsión
El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue
dxDxM
Gdx
JGxMdxxx
Lt
Lt
L
0
40 00
32
radcm
cmkg
cmcmkgradDG
LMxx
x
radcm
cmkg
cmcmkgDG
LMMxx
tBA
C
ttL
B
339,572,41085,0
95101232587,232
0
587,281,51085,0
120105,203232
42
6
5
41
1
42
6
5
42
2
0
1
212
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Problema d)
Veamos los gráficos
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Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
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Muchas Gracias