Trabalho e Energia (Fısica I)
Prof. Leandro Alexandre da Silva
Tec. Processos Metalurgicos 2013/1
Trabalho e Energia (Fısica I) Prof. Leandro Alexandre da Silva
O que vimos ate agora:
∑~F = m~a (segunda lei de Newton)
dW = ~F · d~r (definicao de trabalho infinitesimal)
W =
∫ B
A
~F · d~r (definicao de trabalho total)
Se o movimento e unidimensional e a forca constante:
W = Fx(xB − xA) = |~F | cos θ(xB − xA)
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O que vimos ate agora:
~I =
∫ t
t0
~Fdt (Impulso)
~I = ~F (t − t0) (caso a forca nao dependa do tempo)
Teorema momento-impulso:
∆~p = ~I
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Mais exemplos:
Determine o trabalho total (subida + descida) realizado pelagravidade num lancamento vertical.
Calcule o trabalho necessario para distender uma mola por2cm sem aceleracao. Sabe-se que, quando um corpo de massaigual a 4Kg e suspenso pela mola, o comprimento da mesmaaumenta de 1, 50cm.
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Mais exemplos:
Determine o trabalho total (subida + descida) realizado pelagravidade num lancamento vertical.
Calcule o trabalho necessario para distender uma mola por2cm sem aceleracao. Sabe-se que, quando um corpo de massaigual a 4Kg e suspenso pela mola, o comprimento da mesmaaumenta de 1, 50cm.
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Mais exemplos:
Determine o trabalho total (subida + descida) realizado pelagravidade num lancamento vertical.
Calcule o trabalho necessario para distender uma mola por2cm sem aceleracao. Sabe-se que, quando um corpo de massaigual a 4Kg e suspenso pela mola, o comprimento da mesmaaumenta de 1, 50cm.
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Energia Cinetica e o Teorema Trabalho-Energia
Seja a definicao de trabalho infinitesimal:
dW = ~F · d~r
dW = md~v
dt· d~r = md~v · d
~r
dt= m~v · d~v
dW = m (vxdvx + vydvy + vzdvz)
Imaginando que um corpo de desloca de um ponto A, onde possuivelocidade ~vA = vxA i + vyA j + vzAk , para um ponto B, onde possui
velocidade ~vB = vxB i + vyB j + vzB k, temos:
W = m
[∫ vxB
vxA
vxdvx +
∫ vyB
vyA
vydvy +
∫ vzB
vzA
vzdvz
]Trabalho e Energia (Fısica I) Prof. Leandro Alexandre da Silva
Energia Cinetica e o Teorema Trabalho-Energia
W = m
[∫ vxB
vxA
vxdvx +
∫ vyB
vyA
vydvy +
∫ vzB
vzA
vzdvz
]=
W = m
[v2xB − v2
xA
2+
v2yB − v2
yA
2+
v2zB − v2
zA
2
]
W = mv2xB
2+ m
v2yB
2+ m
v2zB
2−
(mv2xA
2+ m
v2yA
2+ m
v2zA
2
)=
W =m
2~v2B −
m
2~v2A
A grandeza m~v2/2 damos o nome de energia cinetica, simbolizadapor Ec , K ou T .
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Energia Cinetica e o Teorema Trabalho-Energia
Portanto,
W = TB − TA = ∆T
Teorema trabalho-energia cinetica:
Independentemente da forma da forca ~F e da trajetoria seguidapela partıcula, o valor do trabalho W realizado pela forca e sempreigual a variacao da energia cinetica T entre o fim e o inıcio datrajetoria.
De outra forma:O trabalho realizado sobre uma partıcula por uma dada forcaresultante ~F e igual a variacao de sua energia cinetica.
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Energia Cinetica e o Teorema Trabalho-Energia
Exemplos:
Analisar novamente o problema do lancamento vertical.
Durante uma tempestade, um caixote desliza pelo pisoescorregadio de um estacionamento, sofrendo umdeslocamento ~d = −3im ao ser empurrado pelo vento com
uma forca ~F =(
2i − 6j)N. (a) Determine o trabalho
realizado sobre o caixote; (b) Se o caixote tem uma energiacinetica de 10J no inıcio do deslocamento, qual e a suaenergia cinetica ao final do deslocamento?Depois de deslizar sobre uma superfıcie horizontal sem atritocom velocidade v = 0, 5m/s, um caixote de massam = 0, 40Kg colide com uma mola de constante elasticak = 750N/m e comeca a comprimı-la. No instante em que opote para momentaneamente por causa da forca exercida pelamola, de que distancia d a mola foi comprimida?
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Energia Cinetica e o Teorema Trabalho-Energia
Exemplos:
Analisar novamente o problema do lancamento vertical.
Durante uma tempestade, um caixote desliza pelo pisoescorregadio de um estacionamento, sofrendo umdeslocamento ~d = −3im ao ser empurrado pelo vento com
uma forca ~F =(
2i − 6j)N. (a) Determine o trabalho
realizado sobre o caixote; (b) Se o caixote tem uma energiacinetica de 10J no inıcio do deslocamento, qual e a suaenergia cinetica ao final do deslocamento?
Depois de deslizar sobre uma superfıcie horizontal sem atritocom velocidade v = 0, 5m/s, um caixote de massam = 0, 40Kg colide com uma mola de constante elasticak = 750N/m e comeca a comprimı-la. No instante em que opote para momentaneamente por causa da forca exercida pelamola, de que distancia d a mola foi comprimida?
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Energia Cinetica e o Teorema Trabalho-Energia
Exemplos:
Analisar novamente o problema do lancamento vertical.Durante uma tempestade, um caixote desliza pelo pisoescorregadio de um estacionamento, sofrendo umdeslocamento ~d = −3im ao ser empurrado pelo vento com
uma forca ~F =(
2i − 6j)N. (a) Determine o trabalho
realizado sobre o caixote; (b) Se o caixote tem uma energiacinetica de 10J no inıcio do deslocamento, qual e a suaenergia cinetica ao final do deslocamento?
Depois de deslizar sobre uma superfıcie horizontal sem atritocom velocidade v = 0, 5m/s, um caixote de massam = 0, 40Kg colide com uma mola de constante elasticak = 750N/m e comeca a comprimı-la. No instante em que opote para momentaneamente por causa da forca exercida pelamola, de que distancia d a mola foi comprimida?
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Conservacao de energia
Pense, por exemplo, nos seguintes sistemas: massa-mola,pendulo, lancamento vertical etc
Em todos eles, observamos a variacao da energia cinetica.
Para onde “vai” a energia cinetica perdida, e de onde “vem” aenergia cinetica ganha?
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Conservacao de energia
Forca conservativa: e toda forca que pode ser obtida atraves deuma funcao V denominada energia potencial.Por definicao, se F e conservativa, existe uma funcao V tal que
F = −dV
dx= −V ′(x)
Exemplo: Considere a forca peso. Mostre que a mesma pode serobtida atraves da funcao V = mgy .
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Conservacao de energia
Da definicao
F = −dV
dx,
Podemos escrever:
dV = −Fdx = −dW
Portanto, ∫ B
AdV = −
∫ B
AFdx
VB − VA = −∫ B
AFdx∫ B
AFdx = VA − VB
Logo, W = VA − VB
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Conservacao de energia
A funcao V damos o nome de energia potencial.Usando o teorema trabalho-energia cinetica, podemos escrever:
W = TB − TA = VA − VB
Portanto,
TB + VB = TA + VA
A soma T + V damos o nome de energia total do sistema (ouenergia mecanica), que e a soma de sua energia cinetica epotencial.
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Conservacao de energia
Os resultados anteriores nos permitem enunciar os seguintesteoremas:
Teorema trabalho-forca conservativa
O trabalho realizado por forcas conservativas e independente datrajetoria.
Teorema da conservacao da energia total
Se a forca que atua sobre um corpo e conservativa, a energia totalde tal corpo e invariante em qualquer ponto de sua trajetoria.
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Conservacao de energia
Exercıcio: Imagine que voce entra numa sala onde estao espalhadosos seguintes itens: uma corda, dois ganchos, um bloco de massaM, uma arma cujo projetil possui massa m e o teorema deconservacao de energia total. Determine a velocidade do projetil.
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Conservacao de energia
Exercıcio: Imagine que voce entra numa sala onde estao espalhadosos seguintes itens: uma corda, dois ganchos, um bloco de massaM, uma arma cujo projetil possui massa m e o teorema deconservacao de energia total. Determine a velocidade do projetil.
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Conservacao de energia
Exemplos:
O Grande Colisor de Hadrons (LHC) acelera feixes de protonsate 7TeV . Sendo mp = 1, 675× 10−27Kg , determine avelocidade desta partıcula imediatamente antes de umacolisao. (1eV = 1, 6× 10−19J)
Um corpo de massa m = 2Kg desliza por um trilho sem atritodo ponto A ate o ponto C. Determine o trabalho realizadopela gravidade ao longo do trajeto de 5m, e a velocidade noponto B.
Determine a expressao da energia potencial de uma mola.
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Conservacao de energia
Exemplos:
O Grande Colisor de Hadrons (LHC) acelera feixes de protonsate 7TeV . Sendo mp = 1, 675× 10−27Kg , determine avelocidade desta partıcula imediatamente antes de umacolisao. (1eV = 1, 6× 10−19J)
Um corpo de massa m = 2Kg desliza por um trilho sem atritodo ponto A ate o ponto C. Determine o trabalho realizadopela gravidade ao longo do trajeto de 5m, e a velocidade noponto B.
Determine a expressao da energia potencial de uma mola.
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Conservacao de energia
Exemplos:
O Grande Colisor de Hadrons (LHC) acelera feixes de protonsate 7TeV . Sendo mp = 1, 675× 10−27Kg , determine avelocidade desta partıcula imediatamente antes de umacolisao. (1eV = 1, 6× 10−19J)
Um corpo de massa m = 2Kg desliza por um trilho sem atritodo ponto A ate o ponto C. Determine o trabalho realizadopela gravidade ao longo do trajeto de 5m, e a velocidade noponto B.
Determine a expressao da energia potencial de uma mola.
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Conservacao de energia
Exemplos:
O Grande Colisor de Hadrons (LHC) acelera feixes de protonsate 7TeV . Sendo mp = 1, 675× 10−27Kg , determine avelocidade desta partıcula imediatamente antes de umacolisao. (1eV = 1, 6× 10−19J)
Um corpo de massa m = 2Kg desliza por um trilho sem atritodo ponto A ate o ponto C. Determine o trabalho realizadopela gravidade ao longo do trajeto de 5m, e a velocidade noponto B.
Determine a expressao da energia potencial de uma mola.
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Conservacao de energia
Exemplos:
O Grande Colisor de Hadrons (LHC) acelera feixes de protonsate 7TeV . Sendo mp = 1, 675× 10−27Kg , determine avelocidade desta partıcula imediatamente antes de umacolisao. (1eV = 1, 6× 10−19J)
Um corpo de massa m = 2Kg desliza por um trilho sem atritodo ponto A ate o ponto C. Determine o trabalho realizadopela gravidade ao longo do trajeto de 5m, e a velocidade noponto B.
Determine a expressao da energia potencial de uma mola.
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Conservacao de energia
Exemplos:
O Grande Colisor de Hadrons (LHC) acelera feixes de protonsate 7TeV . Sendo mp = 1, 675× 10−27Kg , determine avelocidade desta partıcula imediatamente antes de umacolisao. (1eV = 1, 6× 10−19J)
Um corpo de massa m = 2Kg desliza por um trilho sem atritodo ponto A ate o ponto C. Determine o trabalho realizadopela gravidade ao longo do trajeto de 5m, e a velocidade noponto B.
Determine a expressao da energia potencial de uma mola.
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Graficos de energia:
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