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Semana 9 [1/59]
Transformaciones lineales
19 de septiembre de 2007
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [2/59]
TNI
Teorema Núcleo-ImagenU, V espacios vectoriales sobre K,
T : U → V transformación lineal, dim U < ∞.
Entonces:dim U = dim KerT + dim ImT .
Si dim U = n, y el rango de T es n, luego
dim KerT = 0.
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [3/59]
TNI
Teorema Núcleo-ImagenU, V espacios vectoriales sobre K,
T : U → V transformación lineal, dim U < ∞.
Entonces:dim U = dim KerT + dim ImT .
Si dim U = n, y el rango de T es n, luego
dim KerT = 0.
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [4/59]
TNI
Teorema Núcleo-ImagenU, V espacios vectoriales sobre K,
T : U → V transformación lineal, dim U < ∞.
Entonces:dim U = dim KerT + dim ImT .
Si dim U = n, y el rango de T es n, luego
dim KerT = 0.
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [5/59]
TNI
Teorema Núcleo-ImagenU, V espacios vectoriales sobre K,
T : U → V transformación lineal, dim U < ∞.
Entonces:dim U = dim KerT + dim ImT .
Si dim U = n, y el rango de T es n, luego
dim KerT = 0.
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [6/59]
Aplicaciones
ProposiciónSea T : U → V aplicación lineal.
1 Si dim U = dim V entonces
T inyectiva ⇔ T epiyectiva ⇔ T biyectiva.
2 Si dim U > dim V , T no puede ser inyectiva.
3 Si dim U < dim V , T no puede ser epiyectiva.
4 Como conclusión de (2) y (3)
U isomorfo a V ⇔ dim U = dim V .
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [7/59]
Aplicaciones
ProposiciónSea T : U → V aplicación lineal.
1 Si dim U = dim V entonces
T inyectiva ⇔ T epiyectiva ⇔ T biyectiva.
2 Si dim U > dim V , T no puede ser inyectiva.
3 Si dim U < dim V , T no puede ser epiyectiva.
4 Como conclusión de (2) y (3)
U isomorfo a V ⇔ dim U = dim V .
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [8/59]
Aplicaciones
ProposiciónSea T : U → V aplicación lineal.
1 Si dim U = dim V entonces
T inyectiva ⇔ T epiyectiva ⇔ T biyectiva.
2 Si dim U > dim V , T no puede ser inyectiva.
3 Si dim U < dim V , T no puede ser epiyectiva.
4 Como conclusión de (2) y (3)
U isomorfo a V ⇔ dim U = dim V .
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [9/59]
Aplicaciones
ProposiciónSea T : U → V aplicación lineal.
1 Si dim U = dim V entonces
T inyectiva ⇔ T epiyectiva ⇔ T biyectiva.
2 Si dim U > dim V , T no puede ser inyectiva.
3 Si dim U < dim V , T no puede ser epiyectiva.
4 Como conclusión de (2) y (3)
U isomorfo a V ⇔ dim U = dim V .
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [10/59]
Propiedades
PropiedadesT : U → V es lineal y W subespacio de U entonces
1 T (W ) es subespacio de V.
2 dim T (W ) ≤ dim U.
3 Si T es inyectiva dim T (W ) = dim W .
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [11/59]
Propiedades
PropiedadesT : U → V es lineal y W subespacio de U entonces
1 T (W ) es subespacio de V.
2 dim T (W ) ≤ dim U.
3 Si T es inyectiva dim T (W ) = dim W .
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [12/59]
Propiedades
PropiedadesT : U → V es lineal y W subespacio de U entonces
1 T (W ) es subespacio de V.
2 dim T (W ) ≤ dim U.
3 Si T es inyectiva dim T (W ) = dim W .
Transformaciones lineales
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Teorema del Núcleo-Imagen (TNI) Semana 9 [13/59]
Propiedades
PropiedadesT : U → V es lineal y W subespacio de U entonces
1 T (W ) es subespacio de V.
2 dim T (W ) ≤ dim U.
3 Si T es inyectiva dim T (W ) = dim W .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [14/59]
Matriz representante
U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, dim U = p, dim V = q.
βU = {u1, ..., up}, βV = {v1, ..., vq} bases de U y V respectivamente.
Una transformación lineal T : U → V está dada por su acción sobre la baseβU :
T (u1) = a11v1 + a21v2 + ... + aq1vq
T (u2) = a12v1 + a22v2 + ... + aq2vq...
T (up) = a1pv1 + a2pv2 + ... + aqpvq
Esta información la guardamos en una matriz de q filas y p columnas.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [15/59]
Matriz representante
U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, dim U = p, dim V = q.
βU = {u1, ..., up}, βV = {v1, ..., vq} bases de U y V respectivamente.
Una transformación lineal T : U → V está dada por su acción sobre la baseβU :
T (u1) = a11v1 + a21v2 + ... + aq1vq
T (u2) = a12v1 + a22v2 + ... + aq2vq...
T (up) = a1pv1 + a2pv2 + ... + aqpvq
Esta información la guardamos en una matriz de q filas y p columnas.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [16/59]
Matriz representante
U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, dim U = p, dim V = q.
βU = {u1, ..., up}, βV = {v1, ..., vq} bases de U y V respectivamente.
Una transformación lineal T : U → V está dada por su acción sobre la baseβU :
T (u1) = a11v1 + a21v2 + ... + aq1vq
T (u2) = a12v1 + a22v2 + ... + aq2vq...
T (up) = a1pv1 + a2pv2 + ... + aqpvq
Esta información la guardamos en una matriz de q filas y p columnas.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [17/59]
Matriz representante
U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, dim U = p, dim V = q.
βU = {u1, ..., up}, βV = {v1, ..., vq} bases de U y V respectivamente.
Una transformación lineal T : U → V está dada por su acción sobre la baseβU :
T (u1) = a11v1 + a21v2 + ... + aq1vq
T (u2) = a12v1 + a22v2 + ... + aq2vq...
T (up) = a1pv1 + a2pv2 + ... + aqpvq
Esta información la guardamos en una matriz de q filas y p columnas.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [18/59]
Matriz representante
Matriz representanteSe denomina matriz representante de T , con respecto a las bases βU y βV ala matriz:
MβUβV (T ) =
a11 a12 ... a1p
a21 a22 ... a2p... ... ...
aq1 aq2 ... aqp
∈ Mqp(K)
donde, q = dim U, p = dim V .
ObservaciónEsta matriz depende de las bases consideradas.¿Qué pasa si cambiamos las bases?Lo veremos pronto.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [19/59]
Matriz representante
Matriz representanteSe denomina matriz representante de T , con respecto a las bases βU y βV ala matriz:
MβUβV (T ) =
a11 a12 ... a1p
a21 a22 ... a2p... ... ...
aq1 aq2 ... aqp
∈ Mqp(K)
donde, q = dim U, p = dim V .
ObservaciónEsta matriz depende de las bases consideradas.¿Qué pasa si cambiamos las bases?Lo veremos pronto.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [20/59]
Ejemplo
ea T : R4 → R3, definida por
T (x) =
1 1 0 00 1 1 00 0 1 1
x1
x2
x3
x4
.
β = βU = {e1, e2, e3, e4}, base canónica de R4, y
β′ = βV ={(
110
)
,(
101
)
,(
011
)}
base de R3.
Luego
T (e1) = T(
1000
)
=(
100
)
=12
(
110
)
+12
(
101
)
−12
(
011
)
T (e2) = T(
0100
)
=(
110
)
= 1(
110
)
+ 0(
101
)
+ 0(
011
)
T (e3) = T(
0010
)
=(
011
)
= 0(
110
)
+ 0(
101
)
+ 1(
011
)
T (e4) = T(
0001
)
=(
001
)
= −12
(
110
)
+12
(
101
)
+12
(
011
)
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [21/59]
Ejemplo
ea T : R4 → R3, definida por
T (x) =
1 1 0 00 1 1 00 0 1 1
x1
x2
x3
x4
.
β = βU = {e1, e2, e3, e4}, base canónica de R4, y
β′ = βV ={(
110
)
,(
101
)
,(
011
)}
base de R3.
Luego
T (e1) = T(
1000
)
=(
100
)
=12
(
110
)
+12
(
101
)
−12
(
011
)
T (e2) = T(
0100
)
=(
110
)
= 1(
110
)
+ 0(
101
)
+ 0(
011
)
T (e3) = T(
0010
)
=(
011
)
= 0(
110
)
+ 0(
101
)
+ 1(
011
)
T (e4) = T(
0001
)
=(
001
)
= −12
(
110
)
+12
(
101
)
+12
(
011
)
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [22/59]
Ejemplo
ea T : R4 → R3, definida por
T (x) =
1 1 0 00 1 1 00 0 1 1
x1
x2
x3
x4
.
β = βU = {e1, e2, e3, e4}, base canónica de R4, y
β′ = βV ={(
110
)
,(
101
)
,(
011
)}
base de R3.
Luego
T (e1) = T(
1000
)
=(
100
)
=12
(
110
)
+12
(
101
)
−12
(
011
)
T (e2) = T(
0100
)
=(
110
)
= 1(
110
)
+ 0(
101
)
+ 0(
011
)
T (e3) = T(
0010
)
=(
011
)
= 0(
110
)
+ 0(
101
)
+ 1(
011
)
T (e4) = T(
0001
)
=(
001
)
= −12
(
110
)
+12
(
101
)
+12
(
011
)
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [23/59]
Ejemplo
De donde
Mββ′(T ) =
12 1 0 −1
2
12 0 0 1
2
−12 0 1 1
2
∈ M34(R)
Tomemos ahora, en R3, la base canónica, β′ ={(
100
)
,(
010
)
,(
001
)}
:
T (e1) =(
100
)
= 1e′1 + 0e′
2 + 0e′3
T (e2) =(
110
)
= 1e′1 + 1e′
2 + 0e′3
T (e3) =(
011
)
= 0e′1 + 1e′
2 + 1e′3
T (e4) =(
001
)
= 0e′1 + 0e′
2 + 1e′3
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [24/59]
Ejemplo
De donde
Mββ′(T ) =
12 1 0 −1
2
12 0 0 1
2
−12 0 1 1
2
∈ M34(R)
Tomemos ahora, en R3, la base canónica, β′ ={(
100
)
,(
010
)
,(
001
)}
:
T (e1) =(
100
)
= 1e′1 + 0e′
2 + 0e′3
T (e2) =(
110
)
= 1e′1 + 1e′
2 + 0e′3
T (e3) =(
011
)
= 0e′1 + 1e′
2 + 1e′3
T (e4) =(
001
)
= 0e′1 + 0e′
2 + 1e′3
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [25/59]
Ejemplo
De donde
Mββ′(T ) =
12 1 0 −1
2
12 0 0 1
2
−12 0 1 1
2
∈ M34(R)
Tomemos ahora, en R3, la base canónica, β′ ={(
100
)
,(
010
)
,(
001
)}
:
T (e1) =(
100
)
= 1e′1 + 0e′
2 + 0e′3
T (e2) =(
110
)
= 1e′1 + 1e′
2 + 0e′3
T (e3) =(
011
)
= 0e′1 + 1e′
2 + 1e′3
T (e4) =(
001
)
= 0e′1 + 0e′
2 + 1e′3
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [26/59]
Ejemplo
Luego,
Mββ′(T ) =
1 1 0 00 1 1 00 0 1 1
¡La matriz es distinta!
La matriz representante con respecto a las bases canónicas es la matrizasociada a T .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [27/59]
Ejemplo
Luego,
Mββ′(T ) =
1 1 0 00 1 1 00 0 1 1
¡La matriz es distinta!
La matriz representante con respecto a las bases canónicas es la matrizasociada a T .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [28/59]
Ejemplo
Luego,
Mββ′(T ) =
1 1 0 00 1 1 00 0 1 1
¡La matriz es distinta!
La matriz representante con respecto a las bases canónicas es la matrizasociada a T .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [29/59]
Relación entre T y Mββ′(T )
Sea u ∈ U, entoncesu = α1u1 + ... + αpup,
y por lo tanto T (u) =∑p
j=1 αjT (uj), pero T (uj) =∑q
i=1 mijvi y por lo tanto
T (u) =
p∑
j=1
αj
q∑
i=1
mijvi =
q∑
i=1
(
p∑
j=1
αjmij)vi .
Si α = (α1, ..., αp) son las coordenadas de u entonces Mα son las de T (u).
Esto permite trabajar con M en vez de T .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [30/59]
Relación entre T y Mββ′(T )
Sea u ∈ U, entoncesu = α1u1 + ... + αpup,
y por lo tanto T (u) =∑p
j=1 αjT (uj), pero T (uj) =∑q
i=1 mijvi y por lo tanto
T (u) =
p∑
j=1
αj
q∑
i=1
mijvi =
q∑
i=1
(
p∑
j=1
αjmij)vi .
Si α = (α1, ..., αp) son las coordenadas de u entonces Mα son las de T (u).
Esto permite trabajar con M en vez de T .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [31/59]
Relación entre T y Mββ′(T )
Sea u ∈ U, entoncesu = α1u1 + ... + αpup,
y por lo tanto T (u) =∑p
j=1 αjT (uj), pero T (uj) =∑q
i=1 mijvi y por lo tanto
T (u) =
p∑
j=1
αj
q∑
i=1
mijvi =
q∑
i=1
(
p∑
j=1
αjmij)vi .
Si α = (α1, ..., αp) son las coordenadas de u entonces Mα son las de T (u).
Esto permite trabajar con M en vez de T .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [32/59]
Relación entre T y Mββ′(T )
Sea u ∈ U, entoncesu = α1u1 + ... + αpup,
y por lo tanto T (u) =∑p
j=1 αjT (uj), pero T (uj) =∑q
i=1 mijvi y por lo tanto
T (u) =
p∑
j=1
αj
q∑
i=1
mijvi =
q∑
i=1
(
p∑
j=1
αjmij)vi .
Si α = (α1, ..., αp) son las coordenadas de u entonces Mα son las de T (u).
Esto permite trabajar con M en vez de T .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [33/59]
Relación entre T y Mββ′(T )
Sea u ∈ U, entoncesu = α1u1 + ... + αpup,
y por lo tanto T (u) =∑p
j=1 αjT (uj), pero T (uj) =∑q
i=1 mijvi y por lo tanto
T (u) =
p∑
j=1
αj
q∑
i=1
mijvi =
q∑
i=1
(
p∑
j=1
αjmij)vi .
Si α = (α1, ..., αp) son las coordenadas de u entonces Mα son las de T (u).
Esto permite trabajar con M en vez de T .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [34/59]
Espacio de transformaciones lineales
DefiniciónU, V espacios vectoriales sobre K, con dim U = p y dim V = q.
Definimos
LK(U, V ) = {T : U → V/T es transformación lineal }
LK(U, V ), dotado de las operaciones:
(λT )(x) = λT (x), ∀λ ∈ K, ∀T ∈ LK(U, V )
(T + T ′)(x) = T (x) + T ′(x), ∀T , T ′ ∈ LK(U, V )
es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [35/59]
Espacio de transformaciones lineales
DefiniciónU, V espacios vectoriales sobre K, con dim U = p y dim V = q.
Definimos
LK(U, V ) = {T : U → V/T es transformación lineal }
LK(U, V ), dotado de las operaciones:
(λT )(x) = λT (x), ∀λ ∈ K, ∀T ∈ LK(U, V )
(T + T ′)(x) = T (x) + T ′(x), ∀T , T ′ ∈ LK(U, V )
es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [36/59]
Espacio de transformaciones lineales
DefiniciónU, V espacios vectoriales sobre K, con dim U = p y dim V = q.
Definimos
LK(U, V ) = {T : U → V/T es transformación lineal }
LK(U, V ), dotado de las operaciones:
(λT )(x) = λT (x), ∀λ ∈ K, ∀T ∈ LK(U, V )
(T + T ′)(x) = T (x) + T ′(x), ∀T , T ′ ∈ LK(U, V )
es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [37/59]
Espacio de transformaciones lineales
DefiniciónU, V espacios vectoriales sobre K, con dim U = p y dim V = q.
Definimos
LK(U, V ) = {T : U → V/T es transformación lineal }
LK(U, V ), dotado de las operaciones:
(λT )(x) = λT (x), ∀λ ∈ K, ∀T ∈ LK(U, V )
(T + T ′)(x) = T (x) + T ′(x), ∀T , T ′ ∈ LK(U, V )
es un espacio vectorial sobre el cuerpo K.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [38/59]
Espacio de transformaciones lineales
Considerando
ϕ : LK(U, V ) → Mqp(K)
T 7→ ϕ(T ) = MβUβV (T )
Tenemos entonces que:LK(U, V ) ∼= Mqp(K)
De donde:
dimLK(U, V ) = dim Mqp(K) = pq = dim U dim V .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [39/59]
Espacio de transformaciones lineales
Considerando
ϕ : LK(U, V ) → Mqp(K)
T 7→ ϕ(T ) = MβUβV (T )
Tenemos entonces que:LK(U, V ) ∼= Mqp(K)
De donde:
dimLK(U, V ) = dim Mqp(K) = pq = dim U dim V .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [40/59]
Espacio de transformaciones lineales
Considerando
ϕ : LK(U, V ) → Mqp(K)
T 7→ ϕ(T ) = MβUβV (T )
Tenemos entonces que:LK(U, V ) ∼= Mqp(K)
De donde:
dimLK(U, V ) = dim Mqp(K) = pq = dim U dim V .
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [41/59]
Composición de transformaciones lineales
Sean T : U → V , L : V → W transformaciones lineales, luego L ◦T : U → Wes también lineal.
Sean dimU = p, dimV = q, dimW = r con basesβU = {ui}
pi=1, βV = {vi}
qi=1, βW = {wi}
ri=1, respectivamente.
¿Cuál es la expresión de MβUβW (L ◦ T )?
MβUβW (L ◦ T ) = MβV βW (L) · MβUβV (T ).
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [42/59]
Composición de transformaciones lineales
Sean T : U → V , L : V → W transformaciones lineales, luego L ◦T : U → Wes también lineal.
Sean dimU = p, dimV = q, dimW = r con basesβU = {ui}
pi=1, βV = {vi}
qi=1, βW = {wi}
ri=1, respectivamente.
¿Cuál es la expresión de MβUβW (L ◦ T )?
MβUβW (L ◦ T ) = MβV βW (L) · MβUβV (T ).
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [43/59]
Composición de transformaciones lineales
Sean T : U → V , L : V → W transformaciones lineales, luego L ◦T : U → Wes también lineal.
Sean dimU = p, dimV = q, dimW = r con basesβU = {ui}
pi=1, βV = {vi}
qi=1, βW = {wi}
ri=1, respectivamente.
¿Cuál es la expresión de MβUβW (L ◦ T )?
MβUβW (L ◦ T ) = MβV βW (L) · MβUβV (T ).
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [44/59]
Composición de transformaciones lineales
Sean T : U → V , L : V → W transformaciones lineales, luego L ◦T : U → Wes también lineal.
Sean dimU = p, dimV = q, dimW = r con basesβU = {ui}
pi=1, βV = {vi}
qi=1, βW = {wi}
ri=1, respectivamente.
¿Cuál es la expresión de MβUβW (L ◦ T )?
MβUβW (L ◦ T ) = MβV βW (L) · MβUβV (T ).
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [45/59]
Matriz representante de la inversa
ProposiciónSi T es invertible entonces Mββ′(T ) es una matriz invertible y más aún
(Mββ′(T ))−1 = Mβ′β(T−1).
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [46/59]
Matriz representante de la inversa
ProposiciónSi T es invertible entonces Mββ′(T ) es una matriz invertible y más aún
(Mββ′(T ))−1 = Mβ′β(T−1).
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [47/59]
Una matriz y su transformación asociada
TeoremaPara toda matriz A ∈ Mnn(K), las propiedades siguientes son equivalentes
1 A es invertible.
2 TA : Kn → Kn, v 7→ TA(v) = Av es un isomorfismo.
3 El conjunto {A•j}nj=1 es base de Kn.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [48/59]
Una matriz y su transformación asociada
TeoremaPara toda matriz A ∈ Mnn(K), las propiedades siguientes son equivalentes
1 A es invertible.
2 TA : Kn → Kn, v 7→ TA(v) = Av es un isomorfismo.
3 El conjunto {A•j}nj=1 es base de Kn.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [49/59]
Una matriz y su transformación asociada
TeoremaPara toda matriz A ∈ Mnn(K), las propiedades siguientes son equivalentes
1 A es invertible.
2 TA : Kn → Kn, v 7→ TA(v) = Av es un isomorfismo.
3 El conjunto {A•j}nj=1 es base de Kn.
Transformaciones lineales
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Matriz Representante de una T.L. Semana 9 [50/59]
Una matriz y su transformación asociada
TeoremaPara toda matriz A ∈ Mnn(K), las propiedades siguientes son equivalentes
1 A es invertible.
2 TA : Kn → Kn, v 7→ TA(v) = Av es un isomorfismo.
3 El conjunto {A•j}nj=1 es base de Kn.
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [51/59]
Matriz de pasaje
Sea entonces V un espacio vectorial sobre K , dimV = n,sean β = {vi}i=1 y β′ = {v ′
i }ni=1 dos bases de V .
Luegov ′
1 = p11v1 + p21v2 + ... + pn1vn... ... ...
v ′j = p1jv1 + p2jv2 + ... + pnjvn... ... ...
v ′n = p1nv1 + p2nv2 + ... + pnnvn
DefiniciónDenominamos matriz de pasaje o de cambio de base de β a β′ a la matriz:
P = Pββ′ = (pij) =
p11 ... p1j ... p1n... ... ...
pn1 ... pnj ... pnn
= Mβ′β(idV )
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [52/59]
Matriz de pasaje
Sea entonces V un espacio vectorial sobre K , dimV = n,sean β = {vi}i=1 y β′ = {v ′
i }ni=1 dos bases de V .
Luegov ′
1 = p11v1 + p21v2 + ... + pn1vn... ... ...
v ′j = p1jv1 + p2jv2 + ... + pnjvn... ... ...
v ′n = p1nv1 + p2nv2 + ... + pnnvn
DefiniciónDenominamos matriz de pasaje o de cambio de base de β a β′ a la matriz:
P = Pββ′ = (pij) =
p11 ... p1j ... p1n... ... ...
pn1 ... pnj ... pnn
= Mβ′β(idV )
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [53/59]
Matriz de pasaje
Sea entonces V un espacio vectorial sobre K , dimV = n,sean β = {vi}i=1 y β′ = {v ′
i }ni=1 dos bases de V .
Luegov ′
1 = p11v1 + p21v2 + ... + pn1vn... ... ...
v ′j = p1jv1 + p2jv2 + ... + pnjvn... ... ...
v ′n = p1nv1 + p2nv2 + ... + pnnvn
DefiniciónDenominamos matriz de pasaje o de cambio de base de β a β′ a la matriz:
P = Pββ′ = (pij) =
p11 ... p1j ... p1n... ... ...
pn1 ... pnj ... pnn
= Mβ′β(idV )
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [54/59]
Matriz de pasaje
Sea entonces V un espacio vectorial sobre K , dimV = n,sean β = {vi}i=1 y β′ = {v ′
i }ni=1 dos bases de V .
Luegov ′
1 = p11v1 + p21v2 + ... + pn1vn... ... ...
v ′j = p1jv1 + p2jv2 + ... + pnjvn... ... ...
v ′n = p1nv1 + p2nv2 + ... + pnnvn
DefiniciónDenominamos matriz de pasaje o de cambio de base de β a β′ a la matriz:
P = Pββ′ = (pij) =
p11 ... p1j ... p1n... ... ...
pn1 ... pnj ... pnn
= Mβ′β(idV )
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [55/59]
Matriz de pasaje
Dado x ∈ V .
α = (α1, ..., αn) ∈ Kn y α′ = (α′1, ..., α
′n) ∈ Kn, sus coordenadas con respecto
a las base β y β′ respectivamente.
Se tiene entonces:
v =
n∑
j=1
α′jv
′j =
n∑
j=1
α′j(
n∑
i=1
pijvi) =
n∑
i=1
(
n∑
j=1
pijα′j)vi
Pero, además, v =n
∑
i=1αivi .
Como la representación es única, concluímos:
αi =n
∑
j=1
pijα′j 1 ≤ i ≤ n
matricialmente:α = Pα′.
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [56/59]
Matriz de pasaje
Dado x ∈ V .
α = (α1, ..., αn) ∈ Kn y α′ = (α′1, ..., α
′n) ∈ Kn, sus coordenadas con respecto
a las base β y β′ respectivamente.
Se tiene entonces:
v =
n∑
j=1
α′jv
′j =
n∑
j=1
α′j(
n∑
i=1
pijvi) =
n∑
i=1
(
n∑
j=1
pijα′j)vi
Pero, además, v =n
∑
i=1αivi .
Como la representación es única, concluímos:
αi =n
∑
j=1
pijα′j 1 ≤ i ≤ n
matricialmente:α = Pα′.
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [57/59]
Matriz de pasaje
Dado x ∈ V .
α = (α1, ..., αn) ∈ Kn y α′ = (α′1, ..., α
′n) ∈ Kn, sus coordenadas con respecto
a las base β y β′ respectivamente.
Se tiene entonces:
v =
n∑
j=1
α′jv
′j =
n∑
j=1
α′j(
n∑
i=1
pijvi) =
n∑
i=1
(
n∑
j=1
pijα′j)vi
Pero, además, v =n
∑
i=1αivi .
Como la representación es única, concluímos:
αi =n
∑
j=1
pijα′j 1 ≤ i ≤ n
matricialmente:α = Pα′.
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [58/59]
Matriz de pasaje
Dado x ∈ V .
α = (α1, ..., αn) ∈ Kn y α′ = (α′1, ..., α
′n) ∈ Kn, sus coordenadas con respecto
a las base β y β′ respectivamente.
Se tiene entonces:
v =
n∑
j=1
α′jv
′j =
n∑
j=1
α′j(
n∑
i=1
pijvi) =
n∑
i=1
(
n∑
j=1
pijα′j)vi
Pero, además, v =n
∑
i=1αivi .
Como la representación es única, concluímos:
αi =n
∑
j=1
pijα′j 1 ≤ i ≤ n
matricialmente:α = Pα′.
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [59/59]
Matriz de pasaje
Sea T : U → V lineal y consideremos cuatro bases:
β, β̃ bases de U
β′, β̃′ bases de V .
¿Cómo se relacionan Mββ′(T ) y Mβ̃β̃′(T )?
Mβ̃β̃′(T ) = Mβ̃β̃′(idV ◦ T ◦ idU) = Mβ′β̃′(idV )Mββ′(T )Mβ̃β(idU).
TU, β̃ −→ V , β̃′
idU
y Tx
idV
U, β −→ V , β′
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [60/59]
Matriz de pasaje
Sea T : U → V lineal y consideremos cuatro bases:
β, β̃ bases de U
β′, β̃′ bases de V .
¿Cómo se relacionan Mββ′(T ) y Mβ̃β̃′(T )?
Mβ̃β̃′(T ) = Mβ̃β̃′(idV ◦ T ◦ idU) = Mβ′β̃′(idV )Mββ′(T )Mβ̃β(idU).
TU, β̃ −→ V , β̃′
idU
y Tx
idV
U, β −→ V , β′
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [61/59]
Matriz de pasaje
Sea T : U → V lineal y consideremos cuatro bases:
β, β̃ bases de U
β′, β̃′ bases de V .
¿Cómo se relacionan Mββ′(T ) y Mβ̃β̃′(T )?
Mβ̃β̃′(T ) = Mβ̃β̃′(idV ◦ T ◦ idU) = Mβ′β̃′(idV )Mββ′(T )Mβ̃β(idU).
TU, β̃ −→ V , β̃′
idU
y Tx
idV
U, β −→ V , β′
Transformaciones lineales
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Matriz de Pasaje o de Cambio de Base Semana 9 [62/59]
Matriz de pasaje
Sea T : U → V lineal y consideremos cuatro bases:
β, β̃ bases de U
β′, β̃′ bases de V .
¿Cómo se relacionan Mββ′(T ) y Mβ̃β̃′(T )?
Mβ̃β̃′(T ) = Mβ̃β̃′(idV ◦ T ◦ idU) = Mβ′β̃′(idV )Mββ′(T )Mβ̃β(idU).
TU, β̃ −→ V , β̃′
idU
y Tx
idV
U, β −→ V , β′
Transformaciones lineales