Transformation de Fourier
Olivier Guedon
5eme seance Big Blue Botton.
mercredi 22 avril 2020
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Chapitre 3 - Transformation de Fourier1ere partieTransformation de Fourier d’une fonction de L1(R).
DefinitionSoit f ∈ L1(R) a valeurs reelles ou complexes. On pose
∀y ∈ R, f (y) =∫R
f (x)e−ixydx
La fonction f est la transformee de Fourier de f .
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Chapitre 3 - Transformation de Fourier1ere partieTransformation de Fourier d’une fonction de L1(R).
DefinitionSoit f ∈ L1(R) a valeurs reelles ou complexes. On pose
∀y ∈ R, f (y) =∫R
f (x)e−ixydx
La fonction f est la transformee de Fourier de f .
f (0) =∫R
f (x)dx
1l[−1,1](y) =2 sin(y)
y/∈ L1(R).
‖f‖∞ ≤ ‖f‖1
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Chapitre 3 - Transformation de Fourier1ere partieTransformation de Fourier d’une fonction de L1(R).
DefinitionSoit f ∈ L1(R) a valeurs reelles ou complexes. On pose
∀y ∈ R, f (y) =∫R
f (x)e−ixydx
La fonction f est la transformee de Fourier de f .
Theoreme
L1(R) → C00(R)
f 7→ f
est une application lineaire continue de norme ≤ 1, ou C00(R) est
l’ensemble des fonctions continues de limite nulle en l’infini.
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Lorsqu’on a parle des series de Fourier, on a deja etabli le fait suivant
Rappel
Si g est continue sur [a,b] et si g est C1 par morceaux sur [a,b] alors
g(b)− g(a) =∫ b
ag′(x)dx .
On peut facilement en deduire la proposition suivante
PropositionSi f est continue sur R, nulle en dehors d’un intervalle ferme borne[a,b], C1 par morceaux sur [a,b] alors
∀y ∈ R, iy f (y) = f ′ (y).
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 5 / 14
Lorsqu’on a parle des series de Fourier, on a deja etabli le fait suivant
Rappel
Si g est continue sur [a,b] et si g est C1 par morceaux sur [a,b] alors
g(b)− g(a) =∫ b
ag′(x)dx .
On peut facilement en deduire la proposition suivante
PropositionSi f est continue sur R, nulle en dehors d’un intervalle ferme borne[a,b], C1 par morceaux sur [a,b] alors
∀y ∈ R, iy f (y) = f ′ (y).
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 5 / 14
PreuvePour y fixe, on applique le rappel a gy (x) = f (x)e−ixy .
f (b)e−iby − f (a)e−iay =
∫ b
a
(f ′(x)e−ixy − iyf (x)e−ixy
)dx
Donc
0 =
∫ b
af ′(x)e−ixydx − i y
∫ b
af (x)e−ixydx
Rappel
Si g est continue sur [a,b] et si g est C1 par morceaux sur [a,b] alors
g(b)− g(a) =∫ b
ag′(x)dx .
PropositionSi f est continue sur R, nulle en dehors d’un intervalle ferme borne[a,b], C1 par morceaux sur [a,b] alors
∀y ∈ R, iy f (y) = f ′ (y).
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PreuvePour y fixe, on applique le rappel a gy (x) = f (x)e−ixy .
f (b)e−iby − f (a)e−iay =
∫ b
a
(f ′(x)e−ixy − iyf (x)e−ixy
)dx
Donc
0 =
∫ b
af ′(x)e−ixydx − i y
∫ b
af (x)e−ixydx
Rappel
Si g est continue sur [a,b] et si g est C1 par morceaux sur [a,b] alors
g(b)− g(a) =∫ b
ag′(x)dx .
PropositionSi f est continue sur R, nulle en dehors d’un intervalle ferme borne[a,b], C1 par morceaux sur [a,b] alors
∀y ∈ R, iy f (y) = f ′ (y).
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PreuvePour y fixe, on applique le rappel a gy (x) = f (x)e−ixy .
f (b)e−iby − f (a)e−iay =
∫ b
a
(f ′(x)e−ixy − iyf (x)e−ixy
)dx
Donc
0 =
∫ b
af ′(x)e−ixydx − i y
∫ b
af (x)e−ixydx
Rappel
Si g est continue sur [a,b] et si g est C1 par morceaux sur [a,b] alors
g(b)− g(a) =∫ b
ag′(x)dx .
PropositionSi f est continue sur R, nulle en dehors d’un intervalle ferme borne[a,b], C1 par morceaux sur [a,b] alors
∀y ∈ R, iy f (y) = f ′ (y).
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 6 / 14
PreuvePour y fixe, on applique le rappel a gy (x) = f (x)e−ixy .
f (b)e−iby − f (a)e−iay =
∫ b
a
(f ′(x)e−ixy − iyf (x)e−ixy
)dx
Donc
0 =
∫ b
af ′(x)e−ixydx − i y
∫ b
af (x)e−ixydx
PropositionSi f est continue sur R, nulle en dehors d’un intervalle ferme borne[a,b], C1 par morceaux sur [a,b] alors
∀y ∈ R, iy f (y) = f ′ (y).
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 6 / 14
On peut alors prouver la proposition generale suivante
Proposition
Si f est continue sur R, C1 par morceaux sur R telle que f ∈ L1(R) etf ′ ∈ L1(R) alors
∀y ∈ R, f ′ (y) = i y f (y).
PreuveEn 2 etapes.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 7 / 14
On peut alors prouver la proposition generale suivante
Proposition
Si f est continue sur R, C1 par morceaux sur R telle que f ∈ L1(R) etf ′ ∈ L1(R) alors
∀y ∈ R, f ′ (y) = i y f (y).
PreuveEn 2 etapes.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 7 / 14
Preuve - etape 1Tout d’abord, montrons que lim|y |→+∞ |f (y)| = 0.
Soit y ∈ R alors f estcontinue et C1 par morceaux sur [0, y ] donc
f (y)− f (0) =∫ y
0f ′(x)dx
Les integrales de Riemann et de Lebesgue coıncident puisque f ′ estcontinue par morceaux. Comme f ′ ∈ L1(R) alors
y 7→∫ y
0f ′(x)dx
admet une limite en + et en − l’infini.Donc f admet une limite en + et en − l’infini. Et comme f ∈ L1(R) alorsnecessairement cette limite est nulle.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 8 / 14
Preuve - etape 1Tout d’abord, montrons que lim|y |→+∞ |f (y)| = 0.
Soit y ∈ R alors f estcontinue et C1 par morceaux sur [0, y ] donc
f (y)− f (0) =∫ y
0f ′(x)dx
Les integrales de Riemann et de Lebesgue coıncident puisque f ′ estcontinue par morceaux. Comme f ′ ∈ L1(R) alors
y 7→∫ y
0f ′(x)dx
admet une limite en + et en − l’infini.Donc f admet une limite en + et en − l’infini. Et comme f ∈ L1(R) alorsnecessairement cette limite est nulle.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 8 / 14
Preuve - etape 1Tout d’abord, montrons que lim|y |→+∞ |f (y)| = 0. Soit y ∈ R alors f estcontinue et C1 par morceaux sur [0, y ] donc
f (y)− f (0) =∫ y
0f ′(x)dx
Les integrales de Riemann et de Lebesgue coıncident puisque f ′ estcontinue par morceaux.
Comme f ′ ∈ L1(R) alors
y 7→∫ y
0f ′(x)dx
admet une limite en + et en − l’infini.Donc f admet une limite en + et en − l’infini. Et comme f ∈ L1(R) alorsnecessairement cette limite est nulle.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 8 / 14
Preuve - etape 1Tout d’abord, montrons que lim|y |→+∞ |f (y)| = 0. Soit y ∈ R alors f estcontinue et C1 par morceaux sur [0, y ] donc
f (y)− f (0) =∫ y
0f ′(x)dx
Les integrales de Riemann et de Lebesgue coıncident puisque f ′ estcontinue par morceaux. Comme f ′ ∈ L1(R) alors
y 7→∫ y
0f ′(x)dx
admet une limite en + et en − l’infini.
Donc f admet une limite en + et en − l’infini. Et comme f ∈ L1(R) alorsnecessairement cette limite est nulle.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 8 / 14
Preuve - etape 1Tout d’abord, montrons que lim|y |→+∞ |f (y)| = 0. Soit y ∈ R alors f estcontinue et C1 par morceaux sur [0, y ] donc
f (y)− f (0) =∫ y
0f ′(x)dx
Les integrales de Riemann et de Lebesgue coıncident puisque f ′ estcontinue par morceaux. Comme f ′ ∈ L1(R) alors
y 7→∫ y
0f ′(x)dx
admet une limite en + et en − l’infini.Donc f admet une limite en + et en − l’infini. Et comme f ∈ L1(R) alorsnecessairement cette limite est nulle.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 8 / 14
Preuve - etape 2Soit A un reel positif quelconque. Alors par notre rappel, applique agy : x 7→ f (x)e−ixy : gy est continue sur [−A,A] et si gy est C1 parmorceaux sur [−A,A] alors
gy (A)− gy (−A) =∫ A
−Ag′y (x)dx .
on sait que∫ A
−Af ′(x)e−ixydx =
[f (x)e−ixy
]A
−A+ i y
∫ A
−Af (x)e−ixydx
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 9 / 14
Preuve - etape 2Soit A un reel positif quelconque. Alors par notre rappel, on sait que∫ A
−Af ′(x)e−ixydx =
[f (x)e−ixy
]A
−A+ i y
∫ A
−Af (x)e−ixydx
On fait tendre A vers +∞ (puisqu’on sait deja que les integralesconvergent) et on obtient∫ +∞
−∞f ′(x)e−ixydx = 0 + i y
∫ ∞−∞
f (x)e−ixydx
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 9 / 14
Preuve - etape 2Soit A un reel positif quelconque. Alors par notre rappel, on sait que∫ A
−Af ′(x)e−ixydx =
[f (x)e−ixy
]A
−A+ i y
∫ A
−Af (x)e−ixydx
On fait tendre A vers +∞ (puisqu’on sait deja que les integralesconvergent) et on obtient∫ +∞
−∞f ′(x)e−ixydx = 0 + i y
∫ ∞−∞
f (x)e−ixydx
Ce qui etablit que
∀y ∈ R, f ′ (y) = i y f (y).
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 9 / 14
On considere maintenant l’ensemble des fonctions continues sur R,affines par morceaux et nulle en dehors d’un intervalle compact de R.Cet ensemble est un espace vectoriel que l’on notera Affc(R). Alors onpeut prouver la proposition generale
Proposition
Si f ∈ Affc(R) alors f ∈ L1(R)
PreuveLa lire. Et c’est juste un petit exercice qui demande de biencomprendre la definition de Affc(R).
ExerciceCalculer la transformee de Fourier de la fonction f (t) = e−|t |. Et lesexercices 1, 2, 4 et 5 de la feuille 6.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 10 / 14
On considere maintenant l’ensemble des fonctions continues sur R,affines par morceaux et nulle en dehors d’un intervalle compact de R.Cet ensemble est un espace vectoriel que l’on notera Affc(R). Alors onpeut prouver la proposition generale
Proposition
Si f ∈ Affc(R) alors f ∈ L1(R)
PreuveLa lire. Et c’est juste un petit exercice qui demande de biencomprendre la definition de Affc(R).
ExerciceCalculer la transformee de Fourier de la fonction f (t) = e−|t |. Et lesexercices 1, 2, 4 et 5 de la feuille 6.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 10 / 14
On considere maintenant l’ensemble des fonctions continues sur R,affines par morceaux et nulle en dehors d’un intervalle compact de R.Cet ensemble est un espace vectoriel que l’on notera Affc(R). Alors onpeut prouver la proposition generale
Proposition
Si f ∈ Affc(R) alors f ∈ L1(R)
PreuveLa lire. Et c’est juste un petit exercice qui demande de biencomprendre la definition de Affc(R).
ExerciceCalculer la transformee de Fourier de la fonction f (t) = e−|t |. Et lesexercices 1, 2, 4 et 5 de la feuille 6.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 10 / 14
Definition - PropositionSi f et g sont deux fonctions de L1(R) alors la fonctions 7→ f (x − s)g(s) est integrable pour presque tout x ∈ Ret on peut donc definir pour presque tout x ∈ R
f ? g(x) =∫R
f (x − s)g(s)ds.
On obtient ainsi une classe de fonction f ? g (appele le produit deconvolution de f avec g) qui verifie :
• f ? g ∈ L1(R)
• ‖f ? g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖1 et∫R(f ? g)(x)dx =
(∫R
f (x)dx)(∫
Rg(x)dx
).
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 11 / 14
PreuveOn commence par supposer f et g mesurables positives. Quitte aadmettre la valeur +∞, on peut toujours ecrire
∀x ∈ R, f ? g(x) =∫R
f (x − s)g(s)ds =
∫R
f (u)g(x − u)du = g ? f (x)
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 12 / 14
PreuveOn commence par supposer f et g mesurables positives. Quitte aadmettre la valeur +∞, on peut toujours ecrire
∀x ∈ R, f ? g(x) =∫R
f (x − s)g(s)ds =
∫R
f (u)g(x − u)du = g ? f (x)
Par Fubini positif,∫R(f ? g)(x)dx =
∫R
(∫R
f (x − s)g(s)ds)
dx =
∫R2
f (x − s)g(s)dsdx
=
∫R
(∫R
f (x − s)dx)
g(s)ds =
(∫R
f (x)dx)(∫
Rg(s)ds
).
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 12 / 14
PreuveOn commence par supposer f et g mesurables positives. Quitte aadmettre la valeur +∞, on peut toujours ecrire
∀x ∈ R, f ? g(x) =∫R
f (x − s)g(s)ds =
∫R
f (u)g(x − u)du = g ? f (x)
Par Fubini positif,∫R(f ? g)(x)dx =
∫R
(∫R
f (x − s)g(s)ds)
dx =
∫R2
f (x − s)g(s)dsdx
=
∫R
(∫R
f (x − s)dx)
g(s)ds =
(∫R
f (x)dx)(∫
Rg(s)ds
).
Ainsi si f ,g ∈ L1(R) sont positives alors∫R(f ? g)(x)dx =
(∫R
f (x)dx)(∫
Rg(x)dx
)< +∞
et (f ? g)(x) est fini pour presque tout x .Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 12 / 14
PreuveEnsuite, si f et g sont dans L1(R) alors |f | et |g| sont integrablespositives. On applique ce qu’on vient de faire pour definir |f | ? |g|. Donc∫
R(|f | ? |g|)(x)dx =
∫R2|f |(x − s)|g|(s)ds = ‖f‖1‖g‖1 < +∞.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 13 / 14
PreuveEnsuite, si f et g sont dans L1(R) alors |f | et |g| sont integrablespositives. On applique ce qu’on vient de faire pour definir |f | ? |g|. Donc∫
R(|f | ? |g|)(x)dx =
∫R2|f |(x − s)|g|(s)ds = ‖f‖1‖g‖1 < +∞.
D’apres Fubini, la fonction
s 7→ f (x − s)g(s)
est integrable pour presque tout x ∈ R et la fonction f ? g definiepresque partout sur R par
f ? g(x) =∫R
f (x − s)g(s)ds
est une fonction mesurable, integrable sur R.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 13 / 14
PreuveElle verifie∫R
f ? g(x) =∫R
(∫R
f (x − s)dx)
g(s)ds =
(∫R
f (x)dx)(∫
Rg(s)ds
).
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 14 / 14
PreuveElle verifie∫R
f ? g(x) =∫R
(∫R
f (x − s)dx)
g(s)ds =
(∫R
f (x)dx)(∫
Rg(s)ds
).
On a ensuite
|(f ? g)(x)| =∣∣∣∣∫
Rf (x − s)g(s)ds
∣∣∣∣ ≤ ∫R|f |(x − s)|g|(s)ds = (|f | ? |g|)(x)
Donc
‖f ? g‖1 =
∫R|(f ? g)(x)|dx ≤
∫R(|f | ? |g|)(x)dx = ‖f‖1‖g‖1.
Olivier Guedon (5eme seance Big Blue Botton. ) Transformation de Fourier mercredi 22 avril 2020 14 / 14