Trang 1/39
TRƯỜNG THPT PHAN CHÂU TRINH
TỔ TOÁN
CÂU HỎI THAM KHẢO ÔN TẬP THPT QUỐC GIA
NĂM 2020 - Môn: TOÁN
PHẦN GIẢI TÍCH
Chương I: Ứng dụng đạo hàm
I.Phần lý thuyết
- Xét chiều biến thiên của hàm số
- Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên , trong khoảng ( ; )a b .
- Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu I, dấu hiệu II.
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập ; , ;D a b D a b .
- Xét sự tương giao của hai đồ thị bằng phương trình, bằng đồ thị
- Từ đồ thị của hàm số ( )y f x xác định đồ thị của hàm số ( ) , ( ), y ( )y f x y f x f x
- Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0 0( ; )M x y
- Phương pháp tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
- Hàm số bậc ba: 3 2y a x bx cx d
+ Đồ thị
+ Tính chất cực trị
- Hàm số trùng phương: 4 2y a x bx c
+ Đồ thị
+ Tính chất cực trị
- Hàm số a x b
yc x d
+ Đồ thị
+ Tiệm cận
II.Phần bài tập
Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. (QG 2019 Mã 101-C6)
Đồ thị của hsố nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 3.Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
A. 3 23 2y x x .
B. 4 22 2y x x .
C. 3 23 2y x x .
D. 4 22 2y x x .
Câu 4. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
f x
2;0 2; 0;2 0;
3 23 3y x x 3 23 3y x x
4 22 3y x x 4 22 3y x x
Trang 2/39
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. 2x . B. 1x . C. 1x . D. 3x .
Câu 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2 3 0 f x là
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 7.Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 8. GTNN của hàm số trên đoạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. B. C. D.
y f x
2x 2x 3x 1x
f x
2 3 0f x
3 1 2 0
3 3 2f x x x 3;3
20 4 0 16
f x 2
' 2f x x x x
0 3 2 1
y f x
4. 1. 3. 2.
Trang 3/39
Câu 11. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 13. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
là
A. B. C. D.
Câu 14.Cho hàm số , bảng biến thiên của hsố như sau:
Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Câu 15. Cho hai hs và ( là tham số thực) có đồ thị
lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại điểm phân
biệt là
A. . B. . C. . D. .
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 8 5 2 42 4 1y x m x m x đạt cực
tiểu tại 0 ?x
A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. Vô số.
Câu 17. Cho hàm số 4 21 7
4 2y x x có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm A thuộc C sao cho tiếp tuyến
của C tại A cắt C tại hai điểm phân biệt 1 1 2 2; , ;M x y N x y ( ,M N khác A ) thỏa mãn
1 2 1 26y y x x ?
A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 .
Câu 18. Cho hàm số 1
2
xy
x
có đồ thị C . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của C . Xét tam
f x f x
x 3 1 1
f x 0 0 0
3 2 y f x
4; 2;1 2;4 1;2
y f x
3 43
3f x x
3
8
7
4
y f x
3 23
3f x x
6 10 3 9
f x f x
24 4y f x x
9 5 7 3
3 2 1
2 1 1
x x x xy
x x x x
2y x x m m
1C 2C m 1C 2C 4
; 2 2; ;2 2;
Trang 4/39
giác đều ABI có hai đỉnh A , B thuộc C , đoạn thẳng AB có độ dài bằng
A. 6 . B. 2 3 . C. 2 . D. 2 2 .
Câu 19. Cho hàm số f x thỏa mãn 2
29
f và 2
2f x x f x với mọi x . Giá trị của
1f bằng
A. 35
36 . B.
2
3 . C.
19
36 . D.
2
15 .
Câu 20.Cho hai hàm số y f x , y g x . Hai hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ
bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x .
Hàm số 3
4 22
h x f x g x
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 31
5;5
. B. 9
;34
. C. 31
;5
. D.
256;
4
.
Câu 21. Cho hàm số 2 1x mx
yx m
(với m là tham số). Tìm tất cả các giá
trị của tham số để hàm số có giá trị cực đại là 7.
A. 9.m B. 5.m C. 7.m D. 5.m
Câu 22. Hỏi phương trình 323 ln 2 2 0x x có bao nhiêu nghiệm
phân biệt?
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
Chương II : Hàm số lũy thừa-Hàm số mũ-Hàm số logarit
I.Phần lý thuyết
- Công thức lũy thừa:
, 0; , . / :
. ; : ; . ( ) ; : ( : )
1; ;1 1
x y x y x y x y x x x x x x
yx xy x x
x
Cho a b x y T c
a a a a a a a b ab a b a b
a a aa
, 0, , . / :m
n mnCho a b m n T c a a
00. / : 1Cho a T c a
-Công thức logarit
log
Cho . 0; , 0 1. T/ c :
log ( ) log log ; log log log ;log log
1 1log log ; ;log ;log .log log
log
loglog ( 0 1); log 1 0
log
a
a a a a a a a a
x
a a a b aab
ca a
c
x y a b
xxy x y x y x x
y
x x a x b b c ca
bb c
a
-Hàm số mũ xy a
+ Đạo hàm ' .ln ; 'x x x xa a a e e
+ Đồ thị
+ Tính đơn điệu
-Hàm số logarit logay x
Trang 5/39
+ Đạo hàm 1 1
log ' ; ln '.ln
a x xx a x
+ Đồ thị
+ Tính đơn điệu
-Công thức lãi kép: (1 )n
np p r
II.Phần bài tập
Câu 1: Rút gọn biểu thức 5
33 :Q b b với 0b .
A.
4
3Q b B. 4
3Q b C. 5
9Q b D. 2Q b
Câu 2: Cho biểu thức 4 3 2 3. .P x x x , với 0x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1
2P x B. 13
24P x C. 1
4P x D. 2
3P x
Câu 3: Tính giá trị của biểu thức 2017 2016
7 4 3 4 3 7P .
A. 1P B. 7 4 3P C. 7 4 3P D. 2016
7 4 3P
Câu 4: Với a và b là hai số thực dương tùy ý, 2log ab bằng
A. 2log loga b . B. log 2loga b .
C. 2 log loga b . D. 1
log log2
a b .
Câu 5: Đặt 3log 2a , khi đó 16log 27 bằng
A. 3
4
a. B.
3
4a. C.
4
3a. D.
4
3
a .
Câu 6: Với a là số thực dương tùy ý, ln 7 ln 3a a bằng
A.
ln 7
ln 3
a
a B.
ln 7
ln 3 C.
7ln
3 D. ln 4a
Câu 7: Với a là số thực dương tùy ý, 3
3log
a
bằng:
A. 31 log a B. 33 log a
C. 3
1
log a D. 31 log a
Câu 8: Cho a là số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x , y .
A. log
loglog
aa
a
xx
y yB. log log
a a
xx y
yC. log log log
a a a
xx y
yD. log log log
a a a
xx y
y
Câu 9: Cho a là số thực dương 1a và 3
3loga
a . Mệnh đề nào đúng?
A. 3P B. 1P C. 9P D. 1
3P .
Câu 10: Với mọi a , b , x là các số thực dương thoả mãn 2 2 2log 5log 3logx a b . Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. 3 5x a b B. 5 3x a b C. 5 3x a b D. 5 3x a b
Câu 11: Cho 3
log 2a và 2
1log
2b . Tính
2
3 3 1
4
2log log 3 logI a b .
A. 0I B. 4I C. 3
2I D.
5
4I
Trang 6/39
Câu 12: Cho a là số thực dương khác 2 . Tính
2
2
log4a
aI .
A. 1
2I B. 2I C.
1
2I D. 2I
Câu 13: Với a , b là các số thực dương tùy ý và a khác 1 , đặt 2
3 6log loga a
P b b . Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. 9loga
P b
B. 27 loga
P b C. 15loga
P b D. 6loga
P b
Câu 14: Với các số thực dương , ba bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 3
2 2 2
2log 1 3log log
aa b
b
. B.
3
2 2 2
2 1log 1 log log
3
aa b
b.
C. 3
2 2 2
2log 1 3log log
aa b
b. D.
3
2 2 2
2 1log 1 log log
3
aa b
b.
Câu 15: Cho log 3,log 4a bx x với ,a b là các số thực lớn hơn 1. Tính log .
abP x
A. 7
12P B.
1
12P
C. 12P D.
12
7P
Câu 16: Đặt2 5log 3, log 3.a b Hãy biểu diễn
6log 45 theo a và b .
A. 6
2log 45
a ab
ab
B.
2
6
2 2log 45
a ab
ab
C.
6
2log 45
a ab
ab b
D.
2
6
2 2log 45
a ab
ab b
Câu 17: Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn 2 2 8a b ab , mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1
log log log2
a b a b
B. 1
log log log2
a b a b
C. 1
log 1 log log2
a b a b
D. log 1 log loga b a b
Câu 18: Cho , x y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn 2 29 6x y xy .
Tính
12 12
12
1 log log
2log 3
x yM
x y.
A. 1
2M . B.
1
3M . C.
1
4M . D. 1M
Câu 19: Tập xác định D của hàm số 3
2 2y x x
là
A. D B. 0;D
C. ; 1 2;D
D. \ 1;2D
Câu 20: Tập xác định D của hàm số 1
31y x là
A. ;1D
B. 1;D
C. D D. \ 1D
Câu 21: Tìm tập xác định D của hàm số 2
3log 4 3y x x .
A. 2 2;1 3;2 2D . B. 1;3D .
C. ;1 3;D . D. ;2 2 2 2;D .
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2log 2 1y x x m có tập xác định là
.
A. 2m B. 0m C. 0m D. 2m
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số 2
log 2 1y x .
Trang 7/39
A.
2
2 1y
x B.
1
2 1y
x C.
2
2 1 ln 2y
x D.
1
2 1 ln 2y
x
Câu 24: Hàm số 2
2log 2 f x x x có đạo hàm bằng
A. 2
ln 2
2
f x
x x. B.
2
1
2 ln 2
f x
x x.
C.
2
2 2 ln 2
2
xf x
x x. D.
2
2 2
2 ln 2
xf x
x x.
Câu 25: Cho hàm số ln x
yx
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2
12y xy
x . B. 2
1y xy
x . C. 2
1y xy
x . D. 2
12y xy
x .
Câu 26: Cho hàm số , x xy a y b với , a b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là 1C và
2C
như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 0 1b a
B. 0 1a b
C. 0 1b a D. 0 1a b
Câu 27: Cho hàm số lnf x x x . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây
là đồ thị của hàm số y f x . Tìm đồ thị đó?
A. Hình 1 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 4
Câu 28: Cho ba số thực dương , ,a b c khác 1. Đồ thị các hàm số , ,x x xy a y b y c được cho trong
hình vẽ bên
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a b c B. a c b C. b c a D. c a b
Câu 29: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2y ln 1 1x mx đồng biến
O
1C 2C
Trang 8/39
trên khoảng ;
A. ; 1 B. ; 1
C. 1;1 D. 1;
Câu 30: Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,6% / năm. Biết rằng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo.
Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) lớn hơn hoặc bàng hai lần
số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi xuất không thay đổi và người đố không rút
tiền ra?
A. 11 năm B. 10 năm C. 13 năm D. 12 năm
Câu 31: Đầu năm 2016 , ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân
viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhân viên
trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền
ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả 5 năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
A. Năm 2022 B. Năm 2021 C. Năm 2020 D. Năm 2023
Câu 32: Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân
hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách
nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ
ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi
tháng ôn ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. 2,22 triệu đồng. B. 3,03 triệu đồng.
C. 2,25 triệu đồng. D. 2,20 triệu đồng.
Câu 33: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức
0 .2 ,ts t s trong đó 0s là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s t là số lượng vi khuẩn A có sau
t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số
lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?
A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút.
Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình 2 62 2x x
là
A. 0; 6 B. ; 6
C. 0;64 D. 6;
Câu 35: Tập nghiệm S của bất phương trình 1 1
5 05
x là
A. 1;S . B. 1;S . C. 2;S
.D. ; 2S .
Câu 36: Tập nghiệm của phương trình 2
log 1 2x là
A. 3x . B. 4x . C. 3x . D. 5x .
Câu 37: Tập nghiệm của phương trình 2
3log ( 7) 2x là
A. { 15; 15} B. { 4;4} C. 4 D. 4
Câu 38: Tập nghiệm S của bất phương trình 1 1
2 2
log 1 log 2 1x x là
A. 2;S . B. ;2S . C. 1;2
2S
. D. 1;2S .
Câu 39: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2
2 2log 5log 4 0x x là
A. [2;16]S B. (0; 2] [16 ; ) S
C. ( ; 2] [ 6 1 ; ) D. ( ;1] [4 ; ) S
Câu 40: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 1 216 .4 5 45 0x xm m có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 13 B. 3 C. 6 D. 4
Câu 41: Tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6 3 2 0x xm m có nghiệm thuộc
Trang 9/39
khoảng 0;1 là
A. 3;4 B. 2;4
C. 2;4 D. 3;4
Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16 2.12 ( 2).9 0x x xm
có nghiệm dương?
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Câu 43: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 3 9 27 81
2log .log .log .log
3x x x x bằng
A. 82
9 B.
80
9 C. 9 D. 0
Câu 44: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3log 7 3 2 x x bằng
A. 2 . B. 1. C. 7 . D. 3 .
Câu 45: Tìm giá trị thực của m để phương trình 2
3 3log log 2 7 0x m x m có hai nghiệm thực 1 2
,x x
thỏa mãn 1 2
81.x x
A. 4m B. 44m C. 81m D. 4m
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2
2 2log 2 log 3 2 0x x m có
nghiệm thực.
A. 1m B. 1m C. 0m D. 2
3m
Câu 47:Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong 2017;2017 để phương trình log 2log 1mx x có
nghiệm duy nhất?
A. 2017 . B. 4014. C. 2018. D. 4015.
Câu 48: Hỏi phương trình 323 6 ln 1 1 0x x x có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
Câu 49: Xét các số thực a , b thỏa mãn 1 a b . Tìm giá trị nhỏ nhất minP của biểu thức
2 2log 3log
ba
b
aP a
b.
A. min 19P
B. min 13P
C. min 14P D. min 15P
Câu 50: Cho phương trình 55 logx m x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
20;20m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 20 B. 19 C. 9 D. 21
Câu 51: Cho 0a , 0b thỏa mãn 2 2
3 2 1 6 1log 9 1 log 3 2 1 2a b aba b a b . Giá trị của
2a b bằng
A. 6 B. 9 C. 7
2 D.
5
2
Câu 52: Xét hàm số 2
9
9
t
tf t
m với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m
sao cho 1f x f y với mọi số thực ,x y thỏa mãn
x ye e x y .Tìm số phần tử của S .
A. Vô số B. 1 C. 2 D. 0
Câu 53:Xét các số thực dương a , b thỏa mãn
2
1log 2 3
abab a b
a b. Tìm giá trị nhỏ nhất
minP của
2P a b .
A.
min
2 10 3
2P B.
min
2 10 5
2P
Trang 10/39
C.
min
3 10 7
2P D.
min
2 10 1
2P
Câu 54: Cho phương trình 2
9 3 3log log 3 1 logx x m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm
A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. Vô số.
Câu 55: Cho phương trình 2
2 24log log 5 7 0xx x m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu
giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A. 49 . B. 47 . C. Vô số. D. 48 .
Chương III: Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng
I.Nguyên hàm
1. Các nguyên hàm cơ bản
dx x C
11( 1)
1x dx x C
1
lndx x Cx
sin cosxdx x C
cos sinxdx x C
2
1tandx x C
cos x
2
1cot
sindx x C
x
x xe dx e C
( 0, 1)ln
xx a
a dx C a aa
2.Bài tập vận dụng
Câu 1. Biết sin3x ax cos3x sin3x x dx b C , khi đó giá trị a+6b là
A. -21 B. -7 C. -5 D. -1
Câu 2. Biết 2 2 x xx e dx x mx n e C , giá trị m.n là
A. 6 B. 4 C. 0 D. -4
Câu 3. Biết 63 ( 1) ( 1)
x x x kae e dx e C
b,với
a
b là phân số tối giản; giá trị a+b+2k là
A. 33 B. 32 C. 28 D. 24
Câu 4. Biết 2
2tan(3x-1)
cos (3 1)
a
dx Cx b
, với a
b là phân số tối giản.Giá trị a+b là
A. -5 B. -1 C. 5 D. 7
Câu 5. Biết 2(2 3ln ) 1
(2 3lnx)
bx
dx Cx a
giá trị b
a là
A. 1
3 B.
1
2 C. 1 D. 2
Câu 6. Biết 2 2 22 ( 2) 2
ax x dx x x C
b, với
a
b là phân số tối giản; khi đó a+b là
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 7. Biết 2
1ln 1 tan3x
cos 3 (1 3 )
a
dx Cx tan x b
với a
b là phân số tối giản; giá trị 2a+b là
Trang 11/39
A. 5 B. 4 C. 7 D. 10
Câu 8. Biết sin a cos sin3 3 3
x x x
x dx x b C , khi đó a+b là
A. 2 B. 6 C. 9 D. -12
Câu 9. Biết 2
21 1ln(1 ) ln(1 ) ln 1 1
xx x dx x x x C
m n k, giá trị mn+k là
A. 12 B. 4 C. 2 D. 0
Câu 10. Biết 1
sin 2 cos 2 sin 2 a
x xdx x x x Cb n
với a
b là phân số tối giản; giá trị 2a+ b+n là
A. 2 B. 4 C. 6 D. 10
Câu 11. Biết 2 21( 3) e 2
x xx e dx x n Cm
, giá trị 2 2m n là
A. 5 B. 10 C. 41 D. 65
Câu 12. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. f x dx F x C B. kf x dx k f x dx
C. f x g x dx f x dx g x dx D. . . f x g x dx f x dx g x dx
Câu 13. Cho ( )u u x , ( )v v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục, khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. udv uv vdu B. udv uv vdu C. u
udv vduv
D. vdu uv vdu
Câu 14. Cho ( ) ( ) f u du F u C và ( )u u x là hàm số có đạo hàm liên tục, khẳng định nào sau đây là
đúng ?
A. ( ( )) '( ) ( ( )) f u x u x dx f u x C B. ( '( )) '( ) ( ( )) f u x u x dx F u x C
C. '( ( )) '( ) ( ( )) f u x u x dx f u x C D. ( '( )) ( ) ( ( )) f u x u x dx F u x C
Câu 15. Cho 8
xxe dx , đặt
8
x
u x
dv e dx khi đó ta có
A. 81
8
x
du dx
v e B.
88
x
du dx
v e C.
2
8
2
8
x
xdu dx
v e
D.
2
8
2
1
8
x
xdu dx
v e
Câu 16. Cho I=32
xx e dx , đặt
3u x , khi đó viết I theo u và du ta được
A. 3 uI e du B.
uI e du C. 1
3
uI e du D. uI ue du
Câu 17. Cho I=5 2 15 x x dx , đặt 2 15 u x khi đó viết I theo u và du ta được
A. 6 4 2( 30 225u ) I u u du B. 4 2( 15 ) I u u du
C. 6 2 2( 30 225 ) I u u u du D. 5 3(u 15u ) I du
Câu 18. Biết 2 2 24 4 ln 4 x dx ax x b x x C giá trị ab là
A. -1 B. 1 C. 3 D. 4
Câu 19. Biết 2 21( 3) e 2
x xx e dx x n Cm
, giá trị 2 2m n là
A. 5 B. 10 C. 41 D. 65
Câu 20. Nếu 2( ) ( ) 2 -1 F x ax bx c x là một nguyên hàm của hàm số
210 - 7 2f( )
2 -1
x xx
x
Trang 12/39
trên khoảng 1
;2
thì a+b+c có giá trị là
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
Câu 21. Giá trị a, b, c để 2( ) ( ) 2 -3 g x ax bx c x là một nguyên hàm của hàm số 220 -30 7
( )2 -3
x xf x
x trong khoảng
3;
2
là
A.a=4, b=2, c=2 B. a=1, b=-2, c=4 C. a=-2, b=1, c=4 D. a=4, b=-2, c=1
Câu 22. Cho 3 2( ) ( ) xF x x kx lx m e là một nguyên hàm của hàm số 3( ) xf x x e trong . Ta có
2 2 2k l m bằng
A. 16 B. 25 C. 49 D. 81
Câu 23. Biết cos
ln 5sin 95sin 9
x a
dx x Cx b
với a
b là phân số tối giản; giá trị 2a- b là
A. -4 B. -3 C. 7 D. 10
Câu 24:Giả sử hàm số ( )f x liên tục, dương trên ; thỏa mãn 0 1f và 2 1
f x x
f x x
. Khi đó hiệu
2 2 2 1T f f thuộc khoảng
A. 2;3 B. 7;9 C. 0;1 D. 9;12
Câu 25: Cho hàm số f x thỏa mãn 2 2. 2 1f x f x f x x x , x và
0 0 3f f . Giá trị của 2
1f bằng
A. 28 B. 22 C. 19
2 D. 10
II. Tích phân
1.Định nghĩa
Cho là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của trên Hiệu số
được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số kí
hiệu là
Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số . Vậy
Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay Tích phân đó
chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì tích phân
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường
thẳng Vậy
2.Tính chất của tích phân
1. 2.
3. ( ) 4.
f [ ; ].a b F f [ ; ].a b
( ) ( )F b F a [ ; ]a b ( ),f x
( ) .b
a
f x dx
( ) ( ) ( )b
aF x F b F a ( ) ( )F b F a ( ) ( ) ( ) ( )
bb
a
a
f x dx F x F b F a
f ( )b
a
f x dx ( ) .b
a
f t dt
f [ ; ]a b
( )b
a
f x dx ( )y f x
, .x a x b ( ) .b
a
S f x dx
( ) 0a
a
f x dx ( ) ( )b a
a b
f x dx f x dx
( ) ( ) ( )b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx a b c . ( ) . ( ) ( )b b
a a
k f x dx k f x dx k
Trang 13/39
5. .
3. Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho biết 2
0
d 3f x x và 2
0
d 2g x x . Tính tích phân 2
0
2 2 dI x f x g x x .
A. 11I . B. 18I . C. 5I . D. 3I .
Câu 2. Cho hàm số f x liên tục trên và có 2 4
0 2
d 9; d 4f x x f x x . Tính 4
0
dI f x x ?
A. 9
4I . B. 36I . C. 13I . D. 5I .
Câu 3. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn 1;5 sao cho 5
1
d 2f x x và 5
1
d 3g x x . Giá
trị của 5
1
2 dg x f x x là
A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 2 .
Câu 4. Tìm số thực 0a thỏa mãn 3
1
8756 d
4
a
x x x .
A. 4a . B. 5a . C. 6a . D. 3a .
Câu 5. Cho 1
0
d 2f x x và 5
1
2 d 6f x x khi đó 5
0
df x x bằng:
A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 .
Câu 6. Giá trị của
0
1
1
e dx x
bằng
A. 1 e . B. e - 1. C. e . D. e .
Câu 7. Cho
2
1
d 3f x x
và
1
2
d 1g x x
. Tính
2
1
2 3 dI x f x g x x
.
A. 21
2. B.
26
2. C.
7
2. D.
5
2.
Câu 8. Cho 2
1
d 2f x x
và 2
1
1dg x x
. Tính 2
1
2 3 ( ) dI x f g xx x
.
A. 7
2I . B.
17
2I . C.
5
2I . D.
11
2I .
Câu 9. Cho 2
0
3 2 1 d 6m
x x x . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
A. 1;2 . B. ;0 . C. 0;4 . D. 3;1 .
Câu 10. Biết rằng , với là các số hữu tỉ.
Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Tính 3
20
d1
ax x
I xx
.
[ ( ) ( )] ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
1
0
dln 2 ln3 ln5
3 5 3 1 7
xa b c
x x
, ,a b c
a b c
10
3
5
3
10
3
5
3
Trang 14/39
A. 2 21 1 1I a a . B. 2 211 1 1
3I a a
.
C. 2 211 1 1
3I a a
. D. 2 21 1 1I a a .
Câu 12. Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả e
3
1
3e 1ln d
a
x x xb
?
A. . 64a b . B. . 46a b . C. 12a b . D. 4a b .
Câu 13. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên thỏa mãn 3 3 1,f x x x x . Tích
phân 4
0
f x dx bằng:
A. 25
4. B. 88 . C. 25 . D.
7
4.
Câu 14. Cho hàm số f x thỏa mãn 2
0
1 d 9A x f x x và 2 0 3f f . Tính 2
0
dI f x x
A. 12I . B. 12I . C. 6I . D. 6I .
Câu 15. Cho
1
0
3 1d ln 5 ln 3
5
xx a b c
x
với , ,a b c là các số hữu tỷ. Giá trị của biểu thức a b c
bằng :
A. 6. B. -4. C. 14. D. -2.
Câu 16. Cho hàm số y f x với 0 1 1f f . Biết rằng 1
0
e d ex f x f x x a b , a ,
b . Giá trị của biểu thức 2019 2019a b bằng
A. 20182 1 . B. 2 . C. 0 . D.
20182 1 .
Câu 17. Cho f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn 1
0
2 16, 2 d 6f f x x . Tính
2
0
. dI x f x x ta được kết quả
A. 14I . B. 20I . C. 10I . D. 4I .
Câu 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.
Giá trị của biểu thức 4 2
0 0
' 2 d ' 2 dI f x x f x x bằng
A. 2 . B. 2 . C. 6 . D. 10 .
Câu 19. Cho hàm số f x liên tục có đồ thị như hình bên dưới
Trang 15/39
Biết ( ) ( ), [ 5;2]F x f x x và 1
3
14d
3f xx
. Tính 2 5F F .
A. 145
6 . B.
89
6 . C.
145
6. D.
89
6.
Câu 20. Cho hàm số f x có đạo hàm trên và thỏa mãn 3
0
2 4 d 8x f x x ; 2 2f . Tính
1
2
2 dI f x x
.
A. 5I . B. 10I . C. 5I . D. 10I .
Câu 21. Cho hàm : 0,2
f
là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện
2
2
02 sin co ds 1
2f x f x x x x
. Tính 2
0( d)f x x
.
A. 2
0) 1d(f x x
. B. 2
0) 1d(f x x
. C. 2
0) 2d(f x x
. D. 2
0) 0d(f x x
.
III. Diện tích hình phẳng
1.Lý thuyết
a.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục hoành và hai
đường thẳng , được xác định:
b.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn và hai
đường thẳng , được xác định:
( )y f x ;a b
x a x b ( )b
a
S f x dx
( )y f x ( )y g x ;a b
x a x b ( ) ( )b
a
S f x g x dx
( )
( )
y f x
y 0H
x a
x ba 1
c2
c
( )y f x
y
O x
3c b
( )
b
a
S f x dx
1 1
2 2
( ) : ( )
( ) : ( )( )
C y f x
C y f xH
x a
x b
1( )C
2( )C
1 2( ) ( )
b
a
S f x f x dx a1
c
y
O b x2
c
Trang 16/39
Chú ý:
- Nếu trên đoạn , hàm số không đổi dấu thì:
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , và hai đường thẳng ,
được xác định:
2. Phương pháp.
Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường là .
Phương pháp giải toán
+) Giải phương trình
+) Nếu (1) vô nghiệm thì .
+) Nếu (1) có nghiệm thuộc. . giả sử thì
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi dựa vào bảng xét dấu để tính
tích phân.
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường là . Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của
phương trình .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình tìm các giá trị .
Bước 2. Tính như trường hợp 1.
IV. Thể tích
1.Lý thuyết
a.Thể tích vật thể không tròn xoay
Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; là
diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm , . Giả
sử là hàm số liên tục trên đoạn .
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:
b.Thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và
hai đường thẳng , quanh trục Ox:
[ ; ]a b ( )f x ( ) ( )b b
a a
f x dx f x dx
( )x g y ( )x h y y c y d
( ) ( )d
c
S g y h y dy
( ), ( ), , y f x y g x x a x b ( ) ( )b
a
S f x g x dx
( ) ( ) (1)f x g x
( ) ( )b
a
S f x g x dx
;a b ( ) ( ) ( ) ( )b
a
S f x g x dx f x g x dx
( ) ( )f x g x a; b
( ), ( )y f x y g x ( ) ( )S f x g x dx ,
( ) ( )f x g x a b
( ) ( )f x g x ,
( ) ( )S f x g x dx
B ( )S x
x ( )a x b
( )S x [ ; ]a b
( )b
a
V S x dx
( )y f x
x a x b
( )
b
a
S x dxV xO
a b
( )V
S(x)
x
Trang 17/39
Chú ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành
và hai đường thẳng , quanh trục Oy:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ,
và hai đường thẳng , quanh trục Ox:
2. Bài tập vận dụng.
Câu 1. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3xy , 0y , 0x , 2x . Mệnh đề
nào dưới đây đúng ?
A.
2
0
3 dxS x . B.
2
2
0
3 dxS x . C.
2
0
3 dxS x . D.
2
2
0
3 dxS x .
Câu 2. Cho hàm số f x liên tục trên , diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b a b được tính theo công thức
A. db
a
S f x x .
B. db
a
S f x x . C. db
a
S f x x . D. 2 db
a
S f x x .
Câu 3. Cho hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn ;a b , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số f x , các đường thẳng ,x a x b và trục Ox là
A. db
a
f x x . B. db
a
f x x . C. 2
db
a
f x x . D. db
af x x .
Câu 4. Ký hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, đường
, x a x b ( như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây là đúng?
( )x g y
y c y d
( )y f x ( )y g x
x a x b 2 2( ) ( )b
a
V f x g x dx
( ) : ( )
( ) :
C y f x
Ox y 0
x a
x b
2
( )
b
x
a
V f x dx a
( )y f x
y
O b x
c
y
O
d
x
( ) : ( )
( ) :
C x g y
Oy x 0
y c
y d
2
( )
d
y
c
V g y dy
Trang 18/39
A. d b
a
S f x x . B. d d c b
a c
S f x x f x x .
C. d d c b
a c
S f x x f x x . D. d d c b
a c
S f x x f x x .
Câu 5. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào sau
đây?
A.
2
4 2
1
1 34 d
2 2x x x x
. B.
2
4 2
1
1 31 d
2 2x x x x
.
C.
2
4 2
1
1 31 d
2 2x x x x
. D.
2
4 2
1
1 34 d
2 2x x x x
.
Câu 6. Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và 2 đường
thẳng 1, 2x x trong hình vẽ bên.
Đặt 0 2
1 2
1 0
d , dS f x x S f x x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 1 2S S S . B. 1 2S S S . C. 1 2S S S . D. 2 1S S S .
Câu 7. Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng
Trang 19/39
A. 3
1
2 dx x . B. 3
1
2 2 dx x . C. 3
1
2 2 dx x . D. 3
1
2 2 dx x .
Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3y x , trục hoành và hai đường thẳng
1x , 1x bằng
A. 1
3. B.
1
2. C.
2
3. D. 1.
Câu 9. Cho 4 2( ) 5 4f x x x . Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )y f x và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai ?
A.
2
2
( ) d .S f x x
B.1 2
0 1
2 ( )d 2 ( )d .S f x x f x x
C.
2
0
2 ( ) d .S f x x D. 2
0
2 ( )d .S f x x
Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục Ox là
A. S 2 0
0 1
d df x x f x x
. B. 2
1
dS f x x
.
C. 2
1
dS f x x
. D. 0 2
1 0
d dS f x x f x x
.
Câu 11. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1
1
xy
x
và các trục tọa độ. Khi đó
giá trị của S là
A. 1 ln 2.S B. 2ln 2 1.S C. 2ln 2 1.S D. ln 2 1.S
Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 3y x x ; 2y x và các đường 1x ;
1x được xác định bởi công thức:
A. 0 1
3 3
1 0
3 d 3 dS x x x x x x
. B. 0 1
3 3
1 0
3 d 3 dS x x x x x x
.
C. 1
3
1
3 dS x x x
. D. 1
3
1
3 dS x x x
.
Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2y x và đường thẳng 2y x bằng
A. 9
2. B.
5
2. C.
11
2. D.
12
2 .
Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường cong 3 12y x x và
2y x .
A. 937
12S . B.
343
12S . C.
793
4S . D.
397
4S .
Trang 20/39
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên 2;1 . Hình bên là đồ thị của hàm số
.y f x Đặt 2
.2
xg x f x
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 1 2 0 .g g g B. 0 1 2 .g g g
C. 2 1 0 .g g g D. 0 2 1 .g g g
Câu 16. Cho hàm số 3 2 , ,y x ax bx c a b c có đồ thị C và 2 , ,y mx nx p m n p
có đồ thị P như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và P có giá trị nằm trong
khoảng nào sau đây?
A. 0;1 . B. 1;2 . C. 2;3 . D. 3;4 .
Câu 17. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 1y x x , 0y , 0x , 2x . Gọi V là
thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2
2
0
1 dV x x x . B. 2
22
0
1 dV x x x .
C. 2
22
0
1 dV x x x . D. 2
2
0
1 dV x x x .
Câu 18. Cho hình phẳng ( H ) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay khi hình ( H )
quay xung quanh Ox được tính theo công thức nào dưới đây?
Trang 21/39
A.
1 1
4 2 4
1 1
( 4 4)x x dx x dx
. B.
1 1
4 2 4
1 1
( 4 4)x x dx x dx
.
C.
1
4 2
1
(4 8 4)x x dx
. D.
1 1
4 4 2
1 1
( 4 4)x dx x x dx
.
Câu 19. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục được định bởi công thức
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 0x , x . Biết rằng thiết diện của vật thể
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x 0 x là một tam giác vuông cân có
cạnh huyền bằng s in 2x .
A. 7
16
. B.
91
8
. C.
72
6
. D.
92
8
.
Câu 21. Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình
parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6
mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.
A. 372 m . B.
336 m . C. 372 m . D.
336 m .
Chương IV: Số phức
I.Lý thuyết
1. Định nghĩa
+ Một số phức là một biểu thức dạng z a bi với ,a b và 2 1i ,
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi .
+ Tập hợp các số phức được kí hiệu là .
2/ , ; 1a bi a b i .
+ Chú ý:
- Khi phần ảo 0b z a : khi đó z là số thực.
- Khi phần thực 0a z bi z là số thuần ảo.
- Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo.
+ Hai số phức bằng nhau: , , , ,a c
a bi c di a b c db d
.
+ Hai số phức 1 2; z a bi z a bi được gọi là hai số phức đối nhau.
2. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z a bi với ,a b là a bi và được kí hiệu bởi z . Rõ ràng z z
3. Biểu diễn hình học
4. Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi với ,a b
được biểu diễn bằng điểm ;M a b .
5. Môđun của số phức
Môđun của số phức ,z a bi a b là 2 2z a b .
D 2 , 0, 0xy y x 2x V
D Ox
2
1
0
2 dxxV 2
1
0
2 dxxV 2
0
4 dxxV 2
0
4 dxxV
Trang 22/39
Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức
,z a bi a b đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là:
2 2OM a b zz .
6. Các phép toán trên tập số phức
Cho hai số phức ; ' ' ' z a b i với , b,a', b'a và số k .
+ Tổng hai số phức: ' ' ( ')z z a a b b i
+ Hiệu hai số phức: ' ' ( ') .z z a a b b i
+ Số đối của số phức z a bi là z a bi .
+ Nếu , 'u u theo thứ tự biểu diễn các số phức , 'z z thì
'u u biểu diễn số phức 'z z .
'u u biểu diễn số phức 'z z .
+ Nhân hai số phức:
. ' ' ' . ' . ' . ' '.z z a bi a b i a a b b a b a b i .
+ Chia 2 số phức:
- + Số phức nghịch đảo: 1
2
1z z
z
- Nếu 0z thì 2
' '.z z z
z z , nghĩa là nếu muốn chia số phức 'z cho số phức 0z thì ta nhân cả tử và
mẫu của thương 'z
zcho z .
+ Chú ý: 4 4 1 4 2 4 31; ; 1; (k )k k k ki i i i i i
7. Căn bậc hai của số phức
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2 wz được gọi là một căn thức bậc 2 của w. Mỗi số phức
w 0 0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau (z và –z).
*Trường hợp w là số thực ( w a )
+ Khi a>0 thì w có hai căn bậc hai là a và a .
+ Khi a<0 nên 2( )a a i , do đó w có hai căn bậc hai là .a i và .a i .
Ví dụ 1: Hai căn bậc 2 của -1 là i và –i.
Hai căn bậc 2 của 2 ( 0)a a là , .ai ai
*Trường hợp w ( , ; 0)a bi a b b
+ Cách 1:
Gọi (x,y )z x yi là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi 2 wz , tức là:
2
2 2
( )
...; ...2
x yi a bi
x y ax y
xy b
Trang 23/39
Mỗi cặp số thực (x;y) nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai z x yi của số phức
w a bi .
+ Cách 2:
Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là 2w z . Từ đó kết luận căn bậc hai của w là
z và - z .
8. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức
a) Phương pháp giải:
Cho phương trình bậc 2: 2 0 (1)Az Bz C
Trong đó A,B,C là những số phức A≠0.
Xét biệt thức 2 4B AC
+ Nếu 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2;
2 2
B Bz z
A A
Trong đó là một căn bậc 2 của .
+ Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2
2
Bz z
A
CHÚ Ý:
+ Mọi phương trình bậc n: 1
0 1 1... 0n n
n nA z A z A z A
luôn có n nghiệm phức (không nhất
thiết phân biệt).
+ Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực:
Cho phương trình bậc 2 : 2 0 ( , , ; 0)Az Bz C A B C A có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức).
Ta có:
1 2
1 2 .
BS z z
A
CP z z
A
II.Bài tập vận dụng.
Câu 1. Cho số phức 1 2z i . Tìm phần ảo của số phức z .
A. 2. B. 2 . C. 1 . D. 1.
Câu 2. Tìm các số thực ,x y thỏa mãn 3 2 4 1 2 i x yi i i x yi
A. 3, 1 x y . B. 3, 1 x y . C. 1, 3 x y . D. 3, 1 x y .
Câu 3. Cho số phức 2
1 1 2 .z i i Số phức z có phần ảo là
A. 2i . B. 4 . C. 2 . D. 4 .
Câu 4. Cho số phức 1z thỏa mãn 3 1z . Tính 2018 20181 1z z z z .
A.1. B.-2. C.4. D.2.
Câu 5. Cho số phức 1 2z i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức 2w z z .
A. 3. B. 5. C. 1. D. 2.
Câu 6. Trên tập số phức, cho biểu thức 1A a bi i ( , a b là số thực). Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. .A a b a b i B. .A a b b a i
C. .A a b a b i D. .A a b a b i
Câu 7. Kí hiệu 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình 2 4 5 0z z . Giá trị của
2 2
1 2z z bằng
A. 6 . B. 10 . C. 2 5 . D. 4 .
Câu 8. Tìm các số thực x , y thỏa mãn 2 1 2 1x y i i với i là đơn vị ảo.
A. 1; 1x y . B. 1; 2x y . C. 1; 3x y . D. 1; 3x y .
Trang 24/39
Câu 9. Tìm số phức z biết 4 5 27 7z z i .
A. 3 7z i . B. 3 7z i . C. 3 7z i . D. 3 7z i .
Câu 10. Cho số phức . Môđun của số phức là
A. 370
10. B.
10
10. C. 10 . D.
3 1
10 10i
.
Câu 11. Cho 1 22 4 , 3 5z i z i . Xác định phần thực của
2
1 2.w z z
A. 120 . B. 32 . C. 88 . D. 152 .
Câu 12. Cho các số thực x , y thỏa mãn 4 3 2 4 2i x yi . Tính giá trị của P x y .
A. 4P . B. 7P . C. 1P . D. 8P .
Câu 13. Cho ba số phức 1 2 3; ;z z z thỏa mãn
1 2 3
1 2 3
0
2 2
3
z z z
z z z
. Tính
2 2 2
1 2 2 3 3 1A z z z z z z
A.2 2
3 . B. 2 2 . C.
8
3. D.
3
8.
Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn phương trình 2
3 2 2 4i z i i . Tìm tọa độ điểm M biểu
diễn số phức z .
A. 1;1M . B. 1; 1M . C. 1;1M . D. 1; 1M .
Câu 15. Tìm số phức z thỏa mãn (2 ) 3 5z i z i .
A. 2 3z i . B. 2 3z i . C. 2 3z i . D. 2 3z i .
Câu 16. Cho 1 2,z z là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z 5 3i | 5 đồng thời 1 2| | 8z z . Tập hợp các
điểm biểu diễn số phức 1 2w z z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình
A. 2 2( 10) ( 6) 36x y . B.2 2( 10) ( 6) 16x y .
C.2 25 3
( ) ( ) 92 2
x y . D.2 25 3 9
( ) ( )2 2 4
x y .
Câu 17. Số phức z có điểm biểu diễn A . Phần ảo của số phức z
z i bằng
A. 1
4. B.
5
4. C.
1
4i . D.
5
4i .
Câu 18. Cho số phức z thoả mãn 2z . Biết điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Trong
hình vẽ bên, điểm nào dưới đây biểu diễn số phức 1
wiz
.
3
3
iz i
i
z
Trang 25/39
A. M . B. N . C. P . D. Q .
Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3i z i z . Môđun của số phức 2
1
i zw
i
là?
A. 122
5. B.
3 10
2. C.
45
4. D.
122
2.
Câu 20. Cho số phức 2 3 20171 2 3 4 ... 2018z i i i i có phần thực là a và phần ảo là b . Tính b a .
A.1 . B. 1 . C.1010 . D. 2017 .
Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn
1 2 1 2z i z i là đường thẳng có phương trình
A. 2 1 0x y . B. 2 0x y . C. 2 0x y . D. 2 1 0x y .
Câu 22. Mô đun số phức nghịch đảo của số phức 2(1 ) z i bằng
A. 5 . B. 2 . C. 1
2. D.
1
2.
Câu 23. Cho số phức ,z a bi a b thỏa mãn 1 3
11 2
ia b i
i
.Giá trị nào dưới đây là môđun
của z ?
A. 5 . B. 1. C. 10 . D. 5 .
Câu 24. Cho số phức z thỏa 1 2z và số phức 1 3 2w i z . Tính giá trị của biểu thức
3 3A w i
A. 8. B. 12. C. 6. D. 4.
Câu 25. Gọi 1 2,z z là hai nghiệm phức của phương trình 22 7 0z z . Tính 1 2 2 1. .S z z z z .
A. 1
2. B.
27
4. C. 2 . D.
7
2.
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn 2.z Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4P z i bằng:
A. 5. B. 3. C. -3. D. 7.
Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn 2 2 2z iz . Giá trị lớn nhất của biểu thức 1P iz bằng
A. 2 . B. 3 . C. 3 . D. 2 .
Câu 28. Giả sử z là số phức thỏa mãn 2 3iz i . Giá trị lớn nhất của biểu thức
2 4 5 8z i z i bằng
A. 18 5 . B. 3 15 . C. 15 3 . D. 9 5 .
Trang 26/39
Câu 29. Cho số phức z thỏa 5z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4
5
z i
z
bằng
A. 5
.34
B. 2
.5
C. 9
.10 41
D. 4
.13
Câu 30. Xét số phức z thỏa 2 1 3 2 2z z i . Mệnh đề nào dưới đây đúng
A.
32
2z . B. 2z . C.
1
2z . D.
1 3
2 2z .
Câu 31. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | 2 | 2 2z i và 2( 1)z là số thuần ảo ?
A. 3 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .
HÌNH HỌC 12
ChươngI. Khối đa diện
1.Lý thuyết
- Các khối đa diện đều:
Tứ diện đều 3;3 ; Lập phương 4;3 ; Bát diện đều 3;4 ;
Mười hai mặt đều 5;3 ; Hai mươi mặt đều 3;5
-Thể tích khối chóp 1
.3
V S h với S : Diện tích đáy, h : Đường cao của hình chóp
-Thể tích khối lăng trụ .V S h với S : Diện tích đáy, h : Đường cao của lăng trụ
2.Bài tập
Câu 1. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?
A. 4. B. 3 mặt phẳng. C. 6 mặt phẳng. D. 9 mặt phẳng.
Câu 2.Mặt phẳng ( )AB C chia khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C thành các khối đa diện nào ?
A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. C. Hai khối chóp tam giác.
B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. D. Hai khối chóp tứ giác.
Câu 3. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?
A. 4 mặt phẳng B. 1 mặt phẳng C. 2 mặt phẳng D.3
Câu 4. Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều đó.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 24 3S a B. 23S a C. 22 3S a D. 28S a
Câu 5. Có bao nhiêu loại khối đa diện đều có mỗi mặt là một tam giác đều?
A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 6: Cho các khối: khối tứ diện đều, khối bát điện đều, khối lập phương, khối hộp. Khối nào không có
tâm đối xứng?
A. Khối hộp. B. Khối tứ diện đều. C. Khối lập phương. D. Khối bát diện
đều.
Câu 7: Cho khối chóp có đáy là một thập giác. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Số đỉnh của khối chóp là 11. B. Số mặt bên của khối chóp là 10.
C. Khối chóp có số mặt nhỏ hơn số đỉnh. D. Khối chóp có số cạnh lớn hơn số đỉnh.
Câu 8: Khối đa diện đều loại 5;3 có số đỉnh là D và số cạnh là C . Tính T D C .
A. 50.T B. 32.T C. 18.T D. 42.T Câu 9. Cho hình đa diện đều loại 4;3 cạnh .a Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện
đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 24 .S a B. 28 .S a C. 26 .S a D. 210 .S a
Câu 10: Gọi M và C lần lượt là số mặt và số cạnh của một khối đa diện đều. Số đỉnh của khối đa diện đều
đó là bao nhiêu, biết rằng 4 33 2 432M C .
A. 4 . B. 12 . C. 6. D. 8 .
Câu 11. (Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính tích V của
khối chóp tứ giác đã cho.
Trang 27/39
A. 32
2
aV B.
32
6
aV C.
314
2
aV D.
314
6
aV
Câu 12. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt
phẳng (SAB) một góc 30 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. 36
3
aV B.
32
3
aV C.
32
3
aV D. 32V a
Câu 13. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , 3AD a , SA vuông góc với đáy và mặt
phẳng ( )SBC tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp .S ABCD .
A. 3
3
aV B.
33
3
aV C. 3V a D. 33V a
Câu 14. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, 4, 6, 10SA AB BC và 8CA . Tính thể tích V
của khối chóp S.ABC.
A. 40V B. 192V C. 32V D. 24V
Câu 15. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SBC bằng 2
2
a. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. 3
2
aV B. 3V a C.
33
9
aV D.
3
3
aV
Câu 16. Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ
A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( )ABC , tính cos khi thể tích
khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
A. 1
cos3
B. 3
cos3
C. 2
cos2
D. 2
cos3
Câu 17. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của
khối chóp S.ABC.
A. 313
12
aV B.
311
12
aV C.
311V=
6
a D.
311V=
4
a
Câu 18. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng ABCD bằng 060 . Tính theo a thể tích V của khối
chóp .S ABCD .
A. 3 6
12
aV . B. 3V a . C.
3 6
6
aV . D.
3 6
2
aV .
Câu 19. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , đường chéo AC a , tam giác SAB
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SCD và đáy bằng 045 . Tính theo a thể
tích V của khối chóp .S ABCD .
A. 3
4
aV . B.
33
4
aV . C.
3
2
aV . D.
3
12
aV .
Câu 20. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , 1AD DC , 2AB ;
cạnh bên SA vuông góc với đáy; mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy ABCD một góc 045 . Tính thể tích V
của khối chóp .S ABCD .
A. 2V . B. 3 2
2V . C.
2
2V . D.
2
6V .
Câu 21. Cho tứ diện ABCD có 24cmABCS , 26cmABDS , 3cmAB . Góc giữa hai mặt phẳng ABC và
ABD bằng 60 . Tính thể tích V của khối tứ diện đã cho.
A. 32 3cm
3V . B. 34 3
cm3
V . C. 32 3cmV . D. 38 3cm
3V
Câu 22. Cho tứ diện ABCD có các cạnh , AB AC và AD đôi một vuông góc với nhau; 6 , 7AB a AC a
và 4 .AD a Gọi , , M N P tương ứng là trung điểm các cạnh , , .BC CD BD Tính thể tích V của tứ diện
.AMNP
Trang 28/39
A. 37.
2V a B. 314 .V a C. 328
.3
V a D. 37 .V a
Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và
E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong
đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.
A. 37 2
216
aV B.
311 2
216
aV C.
313 2
216
aV D.
32V=
18
a
Câu 24. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B , 2AC a , SA a và vuông góc
với đáy ABC . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt SB
SC lần lượt tại M , N . Tính theo a thể tích V của khối chóp .S AMN .
A. 32
27V
a. B.
32
29V
a. C.
3
9V
a. D.
3
27V
a.
Câu 25. Cho hình chóp .S ABC có 0 060 , 90ASB CSB ASC và ,SA SB a 3SC a . Tính thể tích V
của khối chóp . .S ABC
A. 3 6
.3
aV B.
3 6.
12
aV C.
3 3.
12
aV D.
3 2.
4
aV
Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có 'BB a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và 2AC a
. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. 3V a . B. 3
3
aV . C.
3
6
aV . D.
3
2
aV .
Câu 27. Cho khối lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , 120BAC , mặt
phẳng ( ' ')AB C tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. 33
8
aV B.
39
8
aV C.
3
8
aV D.
33
4
aV
Câu 28. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng .a
A. 3 3
.6
aV B.
3 3.
12
aV C.
3 3.
2
aV D.
3 3.
4
aV
Câu 29. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên
bằng 23 .a
A. 3 3
.6
aV B.
3 3.
12
aV C.
3 2.
3
aV D.
3 3.
4
aV
Câu 30. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác với AB a , 2AC a , 0120BAC ,
' 2 5AA a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. 34 5V a . B. 3 15V a . C. 3 15
3
aV . D.
34 5
3
aV .
Câu 31. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tính thể tích V của khối
lăng trụ đã cho theo a , biết ' 3A B a .
A. 34 5
3
aV . B. 34 5V a . C. 32 5V a . D. 312V a .
Câu 32. Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D . Biết rằng mặt phẳng 'A BC hợp
với đáy ABCD một góc 060 , 'A C hợp với đáy ABCD một góc 030 và ' 3AA a .
A. 32 6V a . B. 32 6
3
aV . C. 32 2V a . D. 3V a .
Câu 33. Cho lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 , 0120BAD . Góc
giữa đường thẳng 'AC và mặt phẳng ' 'ADD A bằng 030 . Tính thể tích V của khối lăng trụ.
A. 6V . B. 6
6V . C.
6
2V . D. 3V .
Câu 34. Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có tất cả các cạnh đều bằng 2a , đáy ABCD là hình vuông. Hình
chiếu vuông góc của đỉnh 'A trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối
Trang 29/39
hộp đã cho.
A. 34 2
3
aV . B.
38
3
aV . C. 38V a . D. 34 2V a
Câu 35. Cho lăng trụ . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên 'AA a , hình chiếu
vuông góc của 'A trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm H của AB . Tính theo a thể tích V của
khối lăng trụ đã cho.
A. 3 3
6
aV . B.
3 3
2
aV . C. 3V a . D.
3
3
aV .
Câu 36. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và 2AC a . Hình chiếu
vuông góc của 'A trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB và ' 2A A a . Tính thể tích V
của khối lăng trụ đã cho.
A. 3 3V a . B.3 6
6
aV . C.
3 6
2
aV . D. 32 2V a .
Câu 37. Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm
'A lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết 'A O a . Tính
thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. 3 3
12
aV . B.
3 3
4
aV . C.
3
4
aV . D.
3
6
aV .
Câu 38. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 2 2a và ' 3A A a . Hình chiếu
vuông góc của điểm 'A trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Tính thể tích V
của khối lăng trụ đã cho.
A. 3
2
aV . B.
32
3
aV . C.
3
6
aV . D. 32V a .
Câu 39. Tính thể tích V của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
AB AC a . Biết rằng ' ' 'A A A B A C a .
A. 3
2
aV . B.
3 3
4
aV . C.
3 2
4
aV . D.
3 2
12
aV .
Câu 40. Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh 2 2AC . Biết
AC tạo với mặt phẳng ABC một góc 060 và 4AC . Tính thể tích V của khối đa diện ABCB C .
A. 8
.3
V B. 16
.3
V C. 8 3
.3
V D. 16 3
.3
V
Chương II. Khối tròn xoay
1.Lý thuyết
- Công thức liên quan đến hình trụ- khối trụ: 22 ;xqS Rl V R h
- Công thức liên quan đến hình nón- khối nón: 21
;3
xqS Rl V R h
- Công thức liên quan đến mặt cầu- khối cầu: 2 34
4 ;3
S R V R
2.Bài tập
Câu 1. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy 4r và chiều cao 4 2h .
A. 128V B. 64 2V C. 32V D. 32 2V
Câu 2. Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và có độ dài đường sinh bằng đường kính của
đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy.
A.
5 2
2R B. 5r C. 5r D.
5 2
2r
Trang 30/39
Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có 8, 6, 12AD CD AC . Tính diện tích toàn phần tpS của
hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và ' ' ' 'A B C D .
A. 576tpS B. 10(2 11 5)tpS C. 26tpS D. 5(4 11 5)tpS
Câu 4. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có 1AB và 2AD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm
của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần
của hình trụ bằng:
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 8 .
Câu 5. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình
trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):
● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi
tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu 1V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và 2V là thể tích
của cả hai thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số 1
2
V
V bằng:
A.1
2. B. 1 . C. 2 . D. 4 .
Câu 6. Một hình trụ có bán kính đáy 70cmR , chiều cao hình trụ 20cmh . Một hình vuông có các đỉnh
nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục
hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?
A. 80cm. B. 100cm. C. 100 2cm. D. 140cm.
Câu 7. Bán kính đáy hình trụ bằng 4cm , chiều cao bằng 6cm . Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục
bằng:
A. 10cm. B. 6cm. C. 5cm. D. 8cm.
Câu 8. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng 3.R Hai điểm , A B lần lượt
nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 030 . Khoảng cách giữa AB
và trục của hình trụ bằng:
A. .R B. 3.R C. 3
.2
R D.
3.
4
R
Câu 9. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và 'O , bán kính bằng chiều cao và bằng a . Trên
đường tròn tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm 'O lấy điểm B sao cho 2AB a . Thể tích của khối
tứ diện 'OO AB bằng:
A. 33
.12
a B.
33.
6
a C.
33.
4
a D.
33.
2
a
Câu 10. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và 'O , thiết diện qua trục của hình trụ là hình
vuông. Gọi , A B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn O và 'O . Biết 2AB a và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và 'OO bằng 3
2
a. Bán kính đáy bằng:
A. 14
.4
a B.
14.
2
a C.
14.
3
a D.
14.
9
a
Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các cạnh đều bằng 2a . Tính thể tích V của khối nón đỉnh
S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.
A.
3
2
aV B.
32
6
aV C.
3
6
aV D.
32
2
aV
Câu 12. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h a và bán kính đáy 2r a . Mặt phẳng (P) đi qua S cắt
đường tròn đáy tại A và B sao cho 2 3AB a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P).
A. 3
2
ad B. d a C.
5
5
ad D.
2
2
ad
Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường
tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính diện tích xung quanh xqS của (N).
Trang 31/39
A. 2xqS =6 a B. 2
xqS =3 3 a C. 2xqS =12 a D. 2
xqS =6 3 a
Câu 14. Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB a và 30ACB . Tính thể tích V của khối
nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC.
A.
33
3
aV B. 33V a C.
33
9
aV D. 3V a
Câu 15. Cho hình nón N có đường sinh tạo với đáy góc 60 . Mặt phẳng qua trục của N cắt N được
thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể tích V của khối nón giới hạn
bởi N .
A. 9 3V B. 9V C. 3 3V D. 3V
Câu 16. Cho hình nón có bán kính đáy 3r và độ dài đường sinh 4l . Tính diện tích xung quanh xqS
của hình nón đã cho.
A. xqS =12 . B. xqS =4 3 . C. xqS = 39 . D. xqS =8 3 .
Câu 17. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính 3R . Mặt phẳng (P) cách O một khoảng bằng 1 và cắt (S) theo
giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H. Gọi T là giao điểm của tia HO với (S), tính thể tích V của khối nón
có đỉnh T và đáy là hình tròn (C).
A.
32
3V B. 16V C.
16
3V D. 32V
Câu 18. Cho khối nón có bán kính đáy 3r và chiều cao 4h . Tính thể tích V của khối nón đã cho.
A.
16 3
3V B. 4V C. 16 3V D. 12V
Câu 19. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và 3AC a . Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:
A. .a B. 2.a C. 3.a D. 2 .a
Câu 20. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a .
A. 3
3
aR B. R a C. 2 3R a D. 3R a
Câu 21. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 2 3a R B. 3
3
Ra C. 2a R D.
2 3
3
Ra
Câu 22. Cho mặt cầu ( )S có bán kính bằng , hình trụ có chiều cao bằng và hai đường tròn đáy
nằm trên . Gọi là thể tích của khối trụ và là thể tích của khối cầu . Tính tỉ số .
A. B. C. D.
Câu 23. Cho tứ diện ABCD có BCD vuông tại C, AB vuông góc với mp(BCD), và
. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. . B. . C. . D. .
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với và SA vuông góc
với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. B. C.
D.
Câu 25. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của
khối chóp có thể tích lớn nhất.
A. B. C. D.
Câu 26. Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là cm để múc nước đổ vào trong một
thùng hình trụ chiều cao và bán kính đáy bằng cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước
đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)
4 ( )H 4
( )S 1V ( )H 2V ( )S 1
2
V
V
1
2
9
16
V
V1
2
1
3
V
V1
2
3
16
V
V1
2
2
3
V
V
5 , 3AB a BC a
4CD a
5 2
3
aR
5 3
3
aR
5 2
2
aR
5 3
2
aR
3 , 4 , 12AB a BC a SA a
5
2
aR
17
2
aR
13
2
aR 6R a
144V 576V 576 2V 144 6V
3
3cm 12
Trang 32/39
A. lần. B. lần. C. lần. D. lần.
Câu 27. Cho hình nón có chiều cao không đổi. Tính chiều cao của khối
trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 28. Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu
có bán kính là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 29. Hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho
trước bằng:
A.
B.
C.
D.
Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian
I.Lý thuyết
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một và chung một
điểm gốc O. Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục . Hệ ba trục như vậy gọi
là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
Chú ý: và .
2. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa:
b) Tính chất: Cho
cùng phương
10 20 24 12
h xh
2
hx
3
hx
2
3
hx
3
hx
3R3
3
R
4 3
3
R 2 3
3
R
364
81
R
2 332
81
R
332
81
R
2 364
81
R
, ,Ox Oy Oz
, ,i j k , ,Ox Oy Oz
2 2 2
1i j k . . . 0i j i k k j
; ;u x y z u xi y j zk
1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b k R
1 1 2 2 3 3( ; ; )a b a b a b a b
1 2 3( ; ; )ka ka ka ka
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
0 (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)i j k
a ( 0)b b ( )a kb k
r
r'O'
O
S
Trang 33/39
(với )
3. Tọa độ của điểm
a. Định nghĩa: (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
.
b. Tính chất: Cho
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng :
Toạ độ trọng tâm của tam giác :
Toạ độ trọng tâm của tứ diện :
4. Tích có hướng của hai vectơ
a. Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ , . Tích có hướng của
hai vectơ và kí hiệu là , được xác định bởi
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b. Tính chất:
cùng phương (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
Chú ý:
5. Phương trình mặt phẳng
a. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
* Định nghĩa: Cho mặt phẳng . Nếu vectơ và có giá vuông góc với mặt phẳng thì là
vectơ pháp tuyến (VTPT) của .
1 1
31 22 2 1 2 3
1 2 3
3 3
, ( , , 0)
a kbaa a
a kb b b bb b b
a kb
1 1 2 2 3 3. . . .a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b
2 2 2 2
1 2 3a a a a 2 2 2
1 2 2a a a a
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.cos( , )
. .
a b a b a ba ba b
a b a a a b b b
, 0a b
( ; ; ) . . .M x y z OM x i y j z k
0; 0; 0M Oxy z M Oyz x M Oxz y
0; 0; 0M Ox y z M Oy x z M Oz x y
( ; ; ), ( ; ; )A A A B B BA x y z B x y z
( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z
2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z
M AB ; ;2 2 2
A B A B A Bx x y y z zM
G ABC
; ;3 3 3
A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG
G ABCD
; ;4 4 4
A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z zG
Oxyz 1 2 3( ; ; )a a a a 1 2 3( ; ; )b b b b
a ,b ,a b
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a bb b b b b b
[ , ] ; [ , ]a b a a b b
, ,a b b a
, ; , ; ,i j k j k i k i j
,a b [ , ] 0a b
0
0
0
a b a b
a vaøb cuøng phöông a b
a b c ñoàng phaúng a b c
.
,
, , , .
( ) 0n ( ) n
( )
Trang 34/39
Chú ý:
+ Nếu là một VTPT của mặt phẳng thì cũng là một VTPT của mặt phẳng
+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.
+ Nếu có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng thì là một VTPT của
b. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
* Phương trình: với được gọi là PTTQ của mặt phẳng.
* Nhận xét:
+ Nếu mặt phẳng có phương trình thì nó có một VTPT là .
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và nhận vectơ khác là VTPT là:
.
* Các trường hợp riêng Xét : với
Các hệ số Phương trình mặt phẳng
Tính chất mặt phẳng
đi qua gốc tọa độ .
hoặc .
hoặc .
hoặc .
hoặc .
hoặc .
hoặc .
Chú ý:
Nếu trong phương trình không chứa ẩn nào thì song song hoặc chứa trục tương ứng.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn . Ở đây cắt các trục tọa độ tại các điểm
, , với .
c. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
* Trong không gian Oxyz cho và
có các VTPT
với
với
cắt
* Đặc biệt:
d. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Định lí: Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng
Khi đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính:
e. Góc giữa hai mặt phẳng: Trong không gian cho hai mặt phẳng :
và
Góc giữa và bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT . Tức là:
n ( ) kn ( 0)k ( )
,u v ( ) [ , ]n u v ( )
0Ax By Cz D 2 2 2 0A B C
( ) 0Ax By Cz D ( ; ; )n A B C
0 0 0 0( ; ; )M x y z ( ; ; )n A B C 0
0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
( ) 0Ax By Cz D 2 2 2 0A B C
0D 0Ax By Cz O
0A 0By Cz D Ox Ox
0B 0Ax Cz D Oy Oy
0C 0Ax By D Oz Oz
0A B 0Cz D Oxy Oxy
0A C 0By D Oxz Oxz
0B C 0Ax D Oyz Oyz
( ) ( )
: 1x y z
a b c ( )
;0;0a 0; ;0b 0;0;c 0abc
: Ax By Cz D 0 ' : A 'x B' y C'z D' 0
n (A;B;C);n' (A';B';C')
n kn' A B C D
/ / 'A ' B' C' D'D kD'
A',B',C',D' 0
n kn' A B C D
'A' B' C' D'D kD'
A',B',C',D' 0
' A : B: C A ' : B' : C '
1 2' n .n 0 A.A' B.B' C.C' 0
Oxyz0 0 0 0(x ; ; )M y z : 0Ax By Cz D
0M ( ) 0 0 00
2 2 2
| |( , ( ))
Ax By Cz Dd M
A B C
Oxyz
1 1 1 1: 0A x B y C z D 2 2 2 2: 0.A x B y C z D
,n n
Trang 35/39
6. Phương trinh đường thẳng.
a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Vectơ khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của vectơ
song song hoặc trùng với đường thẳng .
- Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì vectơ với cũng là vectơ chỉ phương của
đường thẳng đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương.
- Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm thuộc d và một vectơ
chỉ phương của nó.
b. Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương
(với ) là phương trình có dạng trong đó là tham số.
- Nếu thì ta có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng chính tắc như sau:
.
II. Bài tập luyện tập
Dạng: Tọa độ điểm, vectơ, tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Câu 1. Trong KG Oxyz, cho 3 vecto ( ) ( ) ( ) Tọa độ của vectơ
là:
A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )
Câu 2. Trong KG Oxyz, cho 3 vecto ( ) ( ) ( ) Trong các mệnh đề sau
mệnh đề nào sai?
A. . B. . C. . D. | | | |.
Câu 3. Trong KG Oxyz, cho hình bình hành OADB có ( ) ( ) khi đó tọa độ
tâm I là giao điểm của 2 đường thẳng OD và AB là:
A. I(-2;-2;4) B. I(6;-8;2) C. I(-1;-1;2) D. I(3;-4;1)
Câu 4. Trong KG Oxyz, cho ABC với A(-3;2;-7), B(2;2;-3), C(-3;6;-2). Tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC.
A. G(-4; 10;-12) B. G(4;-10;12) C. G(
) D. G(
)
Câu 5. Trong KG Oxyz cho 3 điểm A(2;1;-2), B(3;0;1), C(2;-1;3). Gọi là góc giữa đường thẳng OA và
BC. Khi đó, cos bằng
A. - √
B.
√
C.
√
D. -
√
Câu 6. Trong KG Oxyz, cho ( ) . Tọa độ của điểm A là
A. A(3;-2;5) B. A(-3;-17;2) C. A(3;17;-2) D. A(3;5;-2)
Câu 7. Trong KG Oxyz, cho các vecto ( ) ( ) ( ). Chọn khẳng định sai:
A. . B. | | √ . C. | | √ . D. .
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Tọa độ trung
điểm của đoạn thẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.cos , cos ,
. .
n n A A B B C Cn n
n n A B C A B C
a d a
d
a d ka 0k
d d
d A
a
d 0 0 0 0; ;M x y z
1 2 3; ;a a a a2 2 2
1 2 3 0a a a 0 1
0 2
0 3
:
x x a t
d y y a t
z z a t
t
1 2 3 0a a a d
0 0 0
1 2 3
:x x y y z z
da a a
Oxyz 3; 2;3A 1;2;5B
I AB
2;2;1I 1;0;4I 2;0;8I 2; 2; 1 I
Oxyz 2;1; 1M Oy
0;0; 1 2;0; 1 0;1;0 2;0;0
Trang 36/39
Câu 10. Trong không gian , cho điểm . Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt
phẳng là điểm
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Trong không gian , cho hai điểm và . Véctơ có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , và .
Tìm để tam giác vuông tại .
A. . B. . C. . D. .
Dạng: tích có hướng của hai vectơ
Câu 14. Trong KG Oxyz, cho 2 vecto . Nếu | | = 3, | |=10 và ( ) thì |[ ]| bằng:
A.9 B.11 C.15 D. kết quả khác
Câu 15. Trong KG Oxyz, cho ( ) ( ). Với giá trị nào của m thì vectơ [ ] có
độ lớn bằng √
A.m = 1 B.m = -3 C. m = -1 D. Cả A, B
Câu 16. Trong KG Oxyz, cho 4 điểm với A(2; -4; 3), B(0; 2; 1), C(x; y; 4). Với giá trị x, y nào dưới đây
thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng ?
A.x = 3, y = 7 B.x = 3, y = -7 C. x = -3, y = 7 D. x = 3, y = -7
Câu 17. Trong KG Oxyz, cho A(1;1;1), B(-4;3;1), C(3;1;-1), D(-9;5;1). Bộ 3 điểm thẳng hàng là
A.ba điểm A, B, C B.ba điểm A, B, D C.ba điểm A, C, D D.ba điểm B, C, D
Dạng: Phương trình mặt phẳng
Câu 18. Trong KG Oxyz, cho M(3;0;-1) và mặt phẳng (P): x + y – 2z = 0. Phương trình mặt phẳng (Q)
qua M và song song với (P) là:
A.(Q): x + y – 2z – 3 = 0 B.(Q): x – y – 2z – 5 = 0
C.(Q): x + y + 2z – 1 = 0 D.(Q): x + y – 2z – 5 = 0
Câu 19. Trong KG Oxyz, cho A(2;-1;1) và đường thẳng d:
. Phương trình mặt phẳng (P)
đi qua A và vuông góc với d là
A.(P): x – 3y + 2z – 7 = 0 B.(P): x – 3y + 2z + 7 = 0
C.(P): x – 3y –2z – 3 = 0 D.(P): x +3y – 2z + 3 = 0
Câu 20. Trong KG Oxyz, cho A(1;3;-1), B(-1;1;3). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB là
A.x + 2y – 2z = 0 B.x + 2y – 2z – 4 = 0
C.x + 2y +2z +4 = 0 D.x + 2y + 2z – 8= 0
Câu 21. Trong KG Oxyz, cho A(-1;2;-1), B(2;1;-1), C(3;0;1). Phương trình (P) đi qua 3 điểm A, B,C là
A.(P): x +3y – z – 6 = 0 B.(P): x – 3y + z +8 = 0
C.(P): x – 3y – z + 6 = 0 D.(P): x +3y + z – 4 = 0
Câu 22. Trong KG Oxyz, cho A(-2;2;0), B(-1;1;-1), và mặt (Q): 2x + 2y – z +2= 0. Phương trình mặt
phẳng (Q) chứa AB, vuông góc với (P) có phương trình:
A.(Q):3x – y + 4z + 8 = 0 B.(Q):3x + y + 4z + 2 = 0
C.(Q):3x – y – 4z + 3 = 0 D.(Q):3x + y – 4z + 4 = 0
Câu 23. Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và đường thẳng d:
.
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d, vuông góc với (P) có phương trình:
A.(Q): x + y – z = 0 B.(Q): –x + y + z = 0
C.(Q): y – z – 2 = 0 D.(Q): y – z = 0
Câu 24. Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và đường thẳng d:
. Mặt
phẳng (Q) chứa d, vuông góc với (P) đi qua điểm nào dưới đây?
A.M(1;2;2) B.N(0;-3;-1) C.P(1;-2;2) D.Q(1;2;-3)
Oxyz 3; 1;1A A
Oyz
3;0;0M 0; 1;1N 0; 1;0P 0;0;1Q
Oxyz 2;1; 1M Oz
2;1;0 0;0; 1 2;0;0 0;1;0
Oxyz 1;1; 1A 2;3;2B AB
1;2;3 1; 2;3 3;5;1 3;4;1
Oxyz 2;3; 1M 1;1;1N 1; 1;2P m
m MNP N
6m 0m 4m 2m
Trang 37/39
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Đường thẳng
cắt mặt phẳng tại điểm . Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D.
Dạng: Mặt cầu Câu 26. Trong KG Oxyz, cho mặt cầu (S): (x+1)
2 + (y – 2)
2 + (z – 1)
2 = 9. Tọa độ tâm I và bán kính R
của (S) là:
A.I(-1;2;1), R = 3 B.I(1;-2;-1), R = 3 C. I(-1;2;1), R = 9 D. I(1;-2;-1), R = 9
Câu 27. Trong KG Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y
2 + z
2 – 2x + 4y + 1 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của
(S) là:
A.I(1;-2;0), R = √ B.I(1;-2;1), R = √ C. I(1;-2;1), R = 2 D. A.I(1;-2;0), R = 2
Câu 28. Trong KG Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y
2 + z
2 – 2x + 6y + 4z= 0. Biết OA là đường kính của mặt
cầu (S)(O là gốc tọa độ). Tọa độ điểm A là:
A.A(-1;3;2) B.A(-1;-3;2) C.A(2;-6;-4) D.A(-2;6;4)
Câu 29. Trong KG Oxyz, trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
A.x2 + y
2 + z
2 – 10xy – 8y + 2z – 1 = 0 B. 3x
2 + 3y
2 + 3z
2 – 2x – 6y + 4z – 1 = 0
C. 2x2 + 2y
2 + 2z
2 – 2x – 6y + 4z +9 = 0 D. x
2 + (y – z)
2 – 2x + 4(y – z) – 9 = 0
Câu 30. Trong không gian hệ tọa độ , tìm tất cả các giá trị của để phương trình
là phương trình của một mặt cầu.
A. . B. . C. . D. .
Câu 31. Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình của mặt cầu có tâm
và đi qua điểm là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Gọi là hình chiếu vuông góc
của trên trục . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm bán kính ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 33. Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và đi qua điểm . Xét
các điểm , , thuộc sao cho , , đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ
diện có giá trị lớn nhất bằng
A. . B. . C. . D. .
Dạng: vị trí tương đối
Câu 34. Trong KG Oxyz, cặp giá trị (a;b) để 2 mặt phẳng (P): 2x + ay + 3z – 5 = 0, (Q): bx – 6y – 6z – 2
= 0 song song với nhau là
A.(3;-4) B.(-4; 3) C.(4; -3) D.(2; -6)
Câu 35. Trong KG Oxyz
. Khi đó m bằng bao nhiêu để d1, d2
cắt nhau?
A.
B.
C.
D.
Câu 36. Trong KG Oxyz , vị trí tương đối của 2 đường thẳng
{
là
A.Cắt nhau B.Song song C.trùng nhau D.Chéo nhau
2;3;1A 5; 6; 2B
AB Oxz MAM
BM
1
2
AM
BM 2
AM
BM
1
3
AM
BM 3
AM
BM
Oxyz m2 2 2 2 2 4 0x y z x y z m
6m 6m 6m 6m
Oxyz 1;1;1I 1;2;3A
I A
2 2 2
1 1 1 29 x y z 2 2 2
1 1 1 5 x y z
2 2 2
1 1 1 25 x y z 2 2 2
1 1 1 5 x y z
Oxyz 1; 2;3M I
M Ox I IM
2 2 21 13x y z
2 2 21 13x y z
2 2 21 17x y z
2 2 21 13x y z
Oxyz S 2;1;2I 1; 2; 1A
B C D S AB AC AD
ABCD
72 216 108 36
Trang 38/39
Câu 37. Trong KG Oxyz cho {
và mặt phẳng (P) : x + 3y + z + 1 = 0. Trong các khẳng định
sau khẳng định nào đúng?
A.d//(P) B.d nằm trong (P) C.d vuông góc (P) D. d cắt (P)
Câu 38. Trong KG Oxyz, cho A(-1;2;1), hai mặt phẳng (P):2x+4y – 6z – 5 = 0, (Q): x + 2y – 3z = 0.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.(Q) qua A và không song song (P) B.(Q) không đi qua A và song song (P)
C.(Q) qua A và song song (P) D.(Q) không đi qua A và không song song (P)
Dạng: Phương trình đường thẳng
Câu 39. Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 4y + z – 7 = 0 và đường thẳng d:
.
Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d đồng thời vuông góc với (P) và vuông góc với đường thẳng nào dưới
đây?
A.{
B.{
C.{
D.{
Câu 40. Trong KG Oxyz, cho đường thẳng d1; d2 lần lượt có phương trình {
, {
.
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1; d2 là
A.(Q): x + y – z +1 = 0 B.(Q): x – y – z –3 = 0
C.(Q): x–y – z +3 = 0 D.(Q): x– y + z+3 = 0
Dạng: khoảng cách
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng cho mặt phẳng có phương trình
và điểm . Tính khoảng cách từ đến
A. . B. . C. . D. .
Câu 42. Trong không gian , khoảng cách giữa hai mặt phẳng và
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , , và
. Hỏi tất cả có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?
A. mặt phẳng. B. mặt phẳng. C. mặt phẳng. D. có vô số.
Dạng: tổng hợp
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng
. Mặt cầu tâm tiếp xúc với tại điểm . Tìm tọa độ điểm .
A. . B. . C. . D. .
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm
Gọi là điểm đối xứng với qua , tính
A. . B. . C. . D. .
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng .
Phương trình của mặt cầu có tâm là và cắt tại hai điểm sao cho diện tích tam giác
bằng 12 là
A. B.
Oxyz P
3 4 2 4 0x y z 1; 2;3A d A P
5
9d
5
29d
5
29d
5
3d
Oxyz : 2 2 10 0 P x y z
: 2 2 3 0 Q x y z
8
3
7
33
4
3
Oxyz 1; 2;0A 0; 1;1B 2;1; 1C
3;1;4D
1 4 7
Oxyz 1;2;3I : 2 2 4 0P x y z
I P H H
3;0; 2H 1;4;4H 3;0;2H 1; 1;0H
Oxyz : 6 2 35 0P x y z
1;3;6 .A 'A A P '.OA
3 26OA 5 3OA 46OA 186OA
Oxyz (1; 1;2)A 2
:1 2 2
x y zd
( )S A d ,B C ABC
2 2 21 ( 1) ( 2) 36x y z
2 2 21 ( 1) ( 2) 25x y z
Trang 39/39
C. D.
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và mặt cầu (S):
x2 + y
2 + z
2 – 2x - 4y - 6z - 11= 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi
A. B. C. D.
Câu 48. Trong không gian , cho ba điểm , và . Gọi là mặt
cầu có tâm , bán kính bằng ; và là hai mặt cầu có tâm lần lượt là , và bán kính
đều bằng . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu , , .
A. . B. . C. . D. .
Câu 49.Trong không gian , cho hai điểm , và mặt phẳng
. Xét là điểm thay đổi thuộc , giá trị nhỏ nhất của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 50.Trong không gian , cho hình lập phương có tọa độ ,
. Gọi là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu . Tính tổng
các khoảng cách từ điểm đến tất cả các mặt của hình lập phương .
A. . B. . C. D. .
Câu 51. Trong không gian cho mặt cầu tiếp xúc với hai mặt
phẳng , lần lượt tại và . Độ dài đoạn thẳng là
A. . B. . C. . D. .
2 2 21 ( 1) ( 2) 144x y z
2 2 21 ( 1) ( 2) 64x y z
Oxyz : 6 2 35 0P x y z
2 4 6 8
Oxyz 1;2;1A 3; 1;1B 1; 1;1C 1S
A 2 2S 3S B C
1 1S 2S 3S
5 7 6 8
Oxyz 2; 2;4A 3;3; 1 B
: 2 2 8 0 P x y z M P 2 22 3MA MB
135 105 108 145
Oxyz .ABCD A B C D 1;2;1A
3;6; 3C M 2 2 2
: 2 4 1 1S x y z
M .ABCD A B C D
2 3 3 3 6 3 12
Oxyz 2 2 2
: 1 2 1 6 S x y z
: 2 5 0 P x y z : 2 5 0 Q x y z A B AB
2 6 3 3 2 2 3