![Page 2: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/2.jpg)
Materi
� Turunan Fungsi Parameter� Maksimum dan Minimum� Kemonotonan dan Kecekungan� Maksimum dan Minimum Lokal� Menggambar Grafik Fungsi
![Page 3: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/3.jpg)
Turunan Fungsi Parameter
� Definisi fungsi parameter
� Disini t dinamakan parameter dan himpunan titik dinamakan grafik fungsi
Dtdengantgydantfx ∈== )()(
2),( Ryx ∈titik dinamakan grafik fungsi parameter
2),( Ryx ∈
![Page 4: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/4.jpg)
Turunan Fungsi Parameter
� Turunan fungsi parameter , dilakukan dengan aturan rantai
dt
dydy =
dt
dxdt
dx=
−=−=
2
2
41
44parameter fungsi Diketahui
:Contoh
ty
ttx
![Page 5: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/5.jpg)
Turunan Fungsi Parameter
� Turunan fungsi parameter ,
8;48 −=−= tdt
dyt
dt
dx
48
8
−−==t
t
dt
dxdt
dy
dx
dy
dtdt
Nyatakan t dalam x dan atau y
![Page 6: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/6.jpg)
Turunan Fungsi Parameter
� Turunan fungsi parameter ,
( ) 14112
414422
22
+=−−=
−=−=
yttx
tyttx
( )
4
1
2
11
4
1112
14112
2
22
+=++=
+=+=−
+=−−=
yt
xt
ytxt
yttx
![Page 7: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/7.jpg)
Turunan Fungsi Parameter
42
118
211
8
48
8
−
++
++−=
−−=
x
x
t
t
dx
dy
� Latihan �
42
8 −
−=
+=
tty
ttx
1
1
![Page 8: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh aplikasi fungsi parameter
![Page 9: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/12.jpg)
Maksimum dan Minimum
![Page 13: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/13.jpg)
Maksimum dan Minimum
� Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim �Jika f kontinu pada [a,b], maka f akan mencapai nilai maksimum dan minimum pada [a,b].
� Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan � Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup bagi eksistensi nilai ekstrim.
� Fungsi pada Contoh 1, misalnya, merupakan fungsi yang kontinu pada [-1,2] dan fungsi ini mempunyai nilai maksimum dan minimum pada [-1,2].
![Page 14: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/14.jpg)
Maksimum dan Minimum
� Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mempunyai nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:
![Page 15: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/15.jpg)
Maksimum dan Minimum
Teorema Lokasi Titik Ekstrim Misalkan daerah asal f adalah selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah merupakan titik kritis, yakni c maka c haruslah merupakan titik kritis, yakni c merupakan :
i. titik ujung selang I, atau ii. titik stasioner f, yakni f ’(c) = 0, atauiii. titik singular f, yakni f ’(c) tidak ada.
![Page 16: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/16.jpg)
Maksimum dan Minimum
Teorema diatas (Lokasi Titik Ekstrim)mengatakan bahwa nilai ekstrim hanya mungkin tercapai di titik kritis, karena itu teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Titik teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Titik Kritis. Untuk menentukan nilai ekstrim suatu fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu.
![Page 17: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/17.jpg)
Maksimum dan Minimum
![Page 18: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/18.jpg)
Maksimum dan Minimum
Lanjutan contoh 2 :
![Page 19: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/19.jpg)
Kemonotonan dan Kecekungan
� Fungsi f dikatakan naik pada I apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku f(x) < f(y).
Fungsi f dikatakan turun pada I apabila untuk � Fungsi f dikatakan turun pada I apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku f(x) > f(y).
� Fungsi f dikatakan monoton pada I apabila f naik atau turun pada I.
![Page 20: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/20.jpg)
Kemonotonan dan Kecekungan
Teorema :Misalkan f kontinu dan mempunyai turunan pada I. Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka f naik pada I. Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x є I, naik pada I. Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x є I, maka f turun pada I.
![Page 21: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/21.jpg)
Kemonotonan dan Kecekungan
![Page 22: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/22.jpg)
Kemonotonan dan Kecekungan
� Misalkan f mempunyai turunan pada I = (a,b)� Jika f ’ naik pada I, maka grafik fungsi f
cekung ke atas pada I; jika f ’ turun pada I, maka grafik fungsi f � jika f ’ turun pada I, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I
![Page 23: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/23.jpg)
Kemonotonan dan Kecekungan
Teorema :� Misalkan f mempunyai turunan kedua pada I. � Jika f ’’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka grafik
fungsi f cekung ke atas pada I. fungsi f cekung ke atas pada I. � Jika f ’’(x) < 0 untuk setiap x є I, maka grafik
fungsi f cekung ke bawah pada I.
![Page 24: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/24.jpg)
Kemonotonan dan Kecekungan
![Page 25: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/25.jpg)
Kemonotonan dan Kecekungan
![Page 26: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/26.jpg)
Kemonotonan dan Kecekungan
![Page 27: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/27.jpg)
Maksimum dan Minimum Lokal
Nilai f(c) disebut nilai maksimum [minimum] lokal f apabila f(c) ≥ f(x) [ f(c) ≤ f(x) ] di sekitar c. Nilai maksimum/minimum lokal disebut nilai ekstrim lokal.ekstrim lokal.
![Page 28: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/28.jpg)
Maksimum dan Minimum Lokal
Uji Turunan Pertama . Jika f ’(x) > 0 di sekitar kiri c dan f ’(x) < 0 di sekitar kanan c, maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal. Jika f ’(x) < 0 di sekitar kiri c maksimum lokal. Jika f ’(x) < 0 di sekitar kiri c dan f ’(x) > 0 di sekitar kanan c, maka f(c) merupakan nilai minimum lokal.
![Page 29: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/29.jpg)
Maksimum dan Minimum Lokal
![Page 30: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/30.jpg)
Maksimum dan Minimum Lokal
![Page 31: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/31.jpg)
Maksimum dan Minimum Lokal
Uji Turunan Kedua . Misalkan f ’(c) = 0 dan f mempunyai turunan kedua pada suatu selang yang memuat c. Jika f ’’(c) < 0, maka f (c) merupakan nilai f ’’(c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. Jika f ’’(c) > 0, maka f(c) merupakan nilai minimum lokal.
![Page 32: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/32.jpg)
Maksimum dan Minimum Lokal
Uji Turunan Kedua . Misalkan f ’(c) = 0 dan f mempunyai turunan kedua pada suatu selang yang memuat c. Jika f ’’(c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. Jika f ’’(c) > merupakan nilai maksimum lokal. Jika f ’’(c) > 0, maka f(c) merupakan nilai minimum lokal.
![Page 33: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/33.jpg)
Maksimum dan Minimum Lokal
Contoh 6 . Untuk f(x) = x3 – 12x, f ’(x) = 3x2 – 12 = 0 di x = -2 dan di x = 2. Dengan Uji Turuan Kedua, Dengan Uji Turuan Kedua, kita hitung f ’’(x) = 6x < 0 di x = -2; jadi f(-2) merupakan nilai maksimum lokal. Sementara itu f ’’(x) > 0 di x = 2, dan karenanya f(2) merupakan nilai minimum lokal.
![Page 34: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/34.jpg)
Menggambar Grafik Fungsi
Gambarlah grafik fungsi f(x) = (√x).(x – 5)2, denganmemperhatikan:� daerah asal dan daerah hasilnya,� titik-titik potong dengan sumbu koordinat,� kemonotonan dan titik-titik ekstrim lokalnya,� kecekungan dan titik-titik beloknya (bila ada).
![Page 35: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/35.jpg)
Menggambar Grafik Fungsi
![Page 36: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/36.jpg)
Menggambar Grafik Fungsi
![Page 37: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/37.jpg)
Menggambar Grafik Fungsi
![Page 38: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/38.jpg)
Menggambar Grafik Fungsi
![Page 39: Turunan (2) Penggunaan Turunan · PDF fileTurunan Fungsi Parameter ... fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu. Maksimum dan Minimum. Maksimum dan](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/5a7757fe7f8b9a4b538de79a/html5/thumbnails/39.jpg)
Kata Inspirasi Hari Ini
Jangan kau gantungkankeberhasilanmu pada orang lain. Kalau anda rajin karena atasan Kalau anda rajin karena atasan atau lainnya. Disitulah tangga rapuh , harus segera disadari !