![Page 1: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/1.jpg)
Tweedegraads vergelijkingen oplossen
Een korte en onvolledige samenvatting van paragraaf 1.3 van hoofdstuk 1 HAVO 4 wiskunde B
© 2011 W.v.Ravenstein
![Page 2: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/2.jpg)
Wat is een tweedegraads vergelijking?
• Dat is een vergelijking met termen en getallen waarbij de hoogste macht van ‘x’ (de variabele) gelijk is aan twee.
• Voorbeelden: x² = 3x + 4 x² = 2 (4x - 3)² = (x + 4)² + 12x + 19 9x(x - 1) = 4x - 5
![Page 3: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/3.jpg)
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 4
• Oplossen?
![Page 4: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/4.jpg)
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 4
• Oplossen?
• x=2 of x=-2
• TWEE OPLOSSINGEN DUS!
![Page 5: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/5.jpg)
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 2
• Oplossen?
![Page 6: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/6.jpg)
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 2
• Oplossen?
• x=− 2 of x= 2
• TWEE OPLOSSINGEN DUS!
![Page 7: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/7.jpg)
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 0
• Oplossen?
![Page 8: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/8.jpg)
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = 0
• Oplossen?
• x=0
• Één oplossing dus!
![Page 9: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/9.jpg)
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = -3
• Oplossen?
![Page 10: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/10.jpg)
Voorbeeld 1
• Het meest eenvoudige voorbeeld:
• x² = -3
• Oplossen?
• De oplossing is dat er geen oplossing is…
• Géén oplossing dus!
![Page 11: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/11.jpg)
Conclusie
Bij een tweedegraads vergelijking kan je dus 2, 1 of 0 oplossingen krijgen.
Dat geldt voor alle tweedegraads vergelijkingen.
Dat je ‘t maar weet…
![Page 12: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/12.jpg)
Nu de rest nog…
Er volgen nu 8 voorbeelden… de
vraag is steeds “hoe pak je dat aan?”
![Page 13: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/13.jpg)
Voorbeeld 1
• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
• Oplossen? Hoe?
![Page 14: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/14.jpg)
Voorbeeld 1
• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
• Oplossen? Hoe?
• Ontbinden in factoren!
• Product-som-methode…
• 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0
• 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2
![Page 15: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/15.jpg)
Waarom werkt dat?
• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
• 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0
• 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2
![Page 16: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/16.jpg)
Waarom werkt dat?
• 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
• 𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0
• 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2
• Een soort van hoofdregel:
Als a · b = 0 dan is a = 0 of b = 0.
![Page 17: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/17.jpg)
Voorbeeld 2
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 0
• Oplossen? Hoe?
![Page 18: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/18.jpg)
Voorbeeld 2
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 0
• Oplossen? Hoe?
• Gebruik de hoofdregel…
• 3𝑥 + 2 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0
• 3𝑥 = −2 ∨ 𝑥 =7
𝑥 = −2
3∨ 𝑥 = 7
![Page 19: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/19.jpg)
Voorbeeld 3
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8
• Oplossen? Hoe?
![Page 20: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/20.jpg)
Voorbeeld 3
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8
• Oplossen? Hoe?
• De hoofdregel gaat nu niet werken!
• Het moet wel NUL zijn… en niet 8.
• Haakjes wegwerken, op nul herleiden en verder oplossen…
![Page 21: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/21.jpg)
Voorbeeld 4
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8
• 3𝑥² − 21𝑥 + 2𝑥 − 14 = 8
• 3𝑥² − 19𝑥 − 14 = 8
• 3𝑥² − 19𝑥 − 22 =0
• Maar wat nu?
![Page 22: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/22.jpg)
Voorbeeld 4
• 3𝑥 + 2 𝑥 − 7 = 8
• 3𝑥² − 21𝑥 + 2𝑥 − 14 = 8
• 3𝑥² − 19𝑥 − 14 = 8
• 3𝑥² − 19𝑥 − 22 =0
• Maar wat nu?
• Met de abc-formule zou ‘t kunnen… Maar dat gaan we nu niet doen
![Page 23: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/23.jpg)
Voorbeeld 5
• 𝑥² + 4𝑥 = 0
• Oplossen? Hoe?
![Page 24: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/24.jpg)
Voorbeeld 5
• 𝑥² + 4𝑥 = 0
• Oplossen? Hoe?
• Ontbinden in factoren!
• 𝑥 𝑥 + 4 = 0
• 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 + 4 = 0
• 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = −4
![Page 25: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/25.jpg)
Voorbeeld 6
• 𝑥² + 4 = 20
• Oplossen? Hoe?
![Page 26: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/26.jpg)
Voorbeeld 6
• 𝑥² + 4 = 20
• Oplossen? Hoe?
• Lijkt toch wel erg veel op het eenvoudigste voorbeeld van net…
• 𝑥² = 16
• 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 4
![Page 27: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/27.jpg)
Voorbeeld 7
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• Oplossen? Hoe?
![Page 28: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/28.jpg)
Voorbeeld 7
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• Oplossen? Hoe?
• Eerst op nul herleiden…
• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0
• Maar dan?
![Page 29: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/29.jpg)
Voorbeeld 7
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• Oplossen? Hoe?
• Eerst op nul herleiden…
• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0
• Maar dan?
• Ontbinden in factoren gaat niet!
![Page 30: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/30.jpg)
Voorbeeld 8
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0
• Ontbinden gaat niet? Wat dan?
![Page 31: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/31.jpg)
Voorbeeld 8
• 𝑥² − 8𝑥 = 12
• 𝑥² − 8𝑥 − 12 = 0
• Ontbinden gaat niet? Wat dan?
• De ABC-formule!
• 𝑎 = 1, 𝑏 = −8 𝑒𝑛 𝑐 = −12
• 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = −8 2 − 4 · 1 · −12 = 112
• 𝑥 =−𝑏± 𝐷
2𝑎=
−−8± 112
2·1=
8±4 7
2
• 𝑥 = 4 − 2 7 ∨ 𝑥 = 4 + 2 7
![Page 32: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/32.jpg)
Tot slot - overzicht
• Ontbinden in factoren
• Verschillende typen tweedegraads vergelijkingen
• De abc-formule
![Page 33: Tweedegraads vergelijkingen oplossen - Wiskundeleraar€¦ · Voorbeeld 4 • 3𝑥+2 𝑥−7=8 •3𝑥²−21𝑥+2𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−14=8 •3𝑥²−19𝑥−22=0](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042606/5fa61cfcab384a12560a4974/html5/thumbnails/33.jpg)
E I N D E
"Inside every cynical person, there is a disappointed idealist." George Carlin