Download - uji parametrik
colourfull of Mathematic Home
About Me
Pengujian Hipotesis
Kategori: Tugas DasProsDiposting oleh YulindaPs pada Rabu, 23 Februari 2011 [10 Dibaca] [0 Komentar]
Disusun oleh:
1. Dyngga Andriyani Pane 2. Fitria Hardina 3. Gustri Indriyani 4. Mesa Inas
5. Yulinda Permatasari
Dosen pengasuh : Dr.Ratu ilma
Mata Kuliah : Metoda Statistika
Prodi Pendidikan Matematika
Tahun Ajaran 2010/2011
Universitas Sriwijaya Palembang
Pengujian Hipotesis
1. Pendahuluan
Pengujian adalah membuktikan atau menguatkan anggapan tentang parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan informasi dari sampel yang diambil dari populasi tersebut dengan langkah-langkah atau metode tertentu.
Hipotesis adalah pernyataan atau dugaan yang masih lemah tingkat kebenarannya sehingga masih harus di uji menggunakan teknik tertentu. Jika pernyataan dibuat untuk menjelaskan nlai parameter populasi maka disebut hipotesis stastistik. Berikut yang dapat dianggap sebagai hipotesis:
a.Peluang lahirnya bayi berjenis laki-laki =0,5
b. 30% masyarakat termasuk golongan A
c.rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp. 35.000,00 tiap bulan.
Setiap hipotesa bisa benar atau salah sehingga perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak.
Jadi, Pengujian Hipotesis adalah langkah atau prosedur untuk menguatkan anggapan atau dugaan yang masih lemah tingkat kebenarannya dengan di uji menggunakan teknik tertentu.
2. Dua macam kesalahan
Untuk pengujian hipotesis , penelitian dilakukan dengan mengambil sampel acak, menghitung nilai-nilai statistik kemudian membandingkan berdasarkan kriteria tertentu untuk menentukan hipotesis tersebut ditolak atau diterima. Jika hasil yang diterima dari penelitian itu jauh berbeda dari hasil yang diharapkan, berarti hipotesis ditolak, begtu juga sebaliknya. Meskipun berdasarkan penelitian kita telah menerima atau menolak hipotesis, tidak berarti bahwa kita telah membutikan atau tidak membuktikan kebenaran hipotesis. Kita hanya memperlihatkan menerima atau menolak hipotesis saja.
Dalam pengujian hipotesis ada 2 jenis tipe kesalahan
Tipe I : menolak hipotesis yang seharusnya diterima
=P (menolak Ho|Ho benar)
=α (taraf nyata)
Tipe II: menerima hipotesis yang seharusnya ditolak
= P (menerima Ho|Ho salah)
= β (kuasa uji)
Keputusan Ho Benar Ho SalahTerima Ho Keputusan benar Kesalahan Tipe ITolak Ho Kesalahan Tipe II Keputusan benar
-Ho dan Ha
Hipotesis Nihil/Nol (Ho) yaitu hipotesis yang menyatakan tidak adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau tidak adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih. Hipotesis
Alternatif (Ha) yaitu hipotesis yang menyatakan adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau tidak adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih.
-α dan β
α merupakan peluang kesalahan tipe I dan β untuk kesalahan tipe II. Dalam merencanakan suatu penelitian untuk pengujian hipotesis kedua tipe kesalahan tersebut dibuat sekecil mungkin.
α disebut pula taraf signifikan atau taraf arti atau taraf nyata. Besar kecilnya α dan β yang dapat diterima dalam pengambilan kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya kekeliruan-kekeliruan itu. Kedua kekeliruan-kekeliruan tersebut juga berkaitan. Jika α diperkecil, maka β menjadi besar dan demikian sebaliknya. Hasil pengujian hipotesis yang baik ialah pengujian yang dilakukan dengan nilai α yang sama besar dan nilai β yang paling kecil.
Untuk keperluan praktis, nilai atau harga α yang biasa digunakan yaitu α = 0,01 atau α = 0,05. α = 0,05 atau taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Jadi,kita yakin bahwa 95% kita telah membuat kesimpulan yang benar.
Untuk setiap pengujian dengan α yang ditentukan ,besar β dapat dihitung. Harga ( 1 – β ) dinamakan kuasa uji. Nilai atau harga β bergantung pada parameter, katakanlah , sehingga didapat β () sebuah fungsi yang begantung pada . Bentuk β () dinamakan fungsi ciri operasi ( C.O )dan 1 - β () disebut fungsi kuasa.
3. Langkah-langkah Pengujian Hipotesis.
Kesimpulan dari pengujian hipotesis ini ada 2 pilihan, menerima atau menolak hipotesis. Tentunya dengan menggunaka perumusan-perumusan seperlunya agar dapat menentukan satu pilihan yang mudah dilakukan dan lebih terperinci.
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis, yaitu
1.Rumuskan Ho .
Ho yang sesuai dengan persoalan yang dihadapi.
2.Rumuskan Ha (hipotesis tandingannya).
Karna ada 2 pilihan kesimpulan, hipotesis Ho perlu didampingi oleh hipotesis tandingan
(Ha) yang isinya berlawanan . Pasangan Ho dan Ha ini ,tepatnya Ho melawan Ha ,menentukan
kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan penolakan hipotesis. H1 ini harus
dipilih atau ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Pasangan H 0 dan H1 yang
telah dirumuskan, dituliskan dalam bentuk :
atau
atau
3. Pilih Uji Statistik yang sesuai dan tentukan daerah kritisnya .
Kita pilih bentuk statistika yang digunakan ,apakah uji z, t, x2,F atau lainnya.
Menentukan kriteria pengujian berdasarkan pilihan taraf nyata atau ukuran daerah kritis.
Peran hipotesis tandingan H1 dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai berikut:
1) Jika tandingan H1 mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik yang
digunakan, normal untuk angka z, Student untuk t, dan seterusnya didapat dua daerah kritis
masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada
tiap ujung adalah ½. Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis
dinamakan uji dua pihak.
Gambar XII(1)
Gambar di atas memperlihatkan sketsa distribusi yang digunakan disertai daerah-daerah
penerimaan dan penolakan hipotesis. Kedua daerah ini dibatasi oleh d1 dan d2 yang harganya
didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan menggunakan peluang yang
ditentukan oleh . Kriteria yang didapat adalah : terima hipotesis H0 jika harga statistik yang
dihitung berdasarkan data penelitian jatuh antara d1 dan d2, dalam hal lainnya H0 ditolak.
2) Untuk tandingan H1 yang mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi yang
digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah
kritis atau daerah penolakan ini sama dengan .
Gambar XII(2)
Harga d, didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan
oleh , menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan H0. Kriteria yang dipakai
adalah: tolak H0 jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d. Dalam
hal lainnya kita terima H0. Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.
3) Akhirnya, jika tandingan H1 mengandung pernyataan lebih kecil, maka daerah kritis ada di
ujung kiri dari distribusi yang digunakan. Luas daerah ini = yang menjadi batas daerah
penerimaan H0 oleh bilangan d yang didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan.
Peluang untuk mendapatkan d ditentukan oleh taraf nyata .
Gambar XII(3)
Kriteria yang digunakan adalah : terima H0 jika statistik yang dihitung berdasarkan penelitian
lebih besar dari d sedangkan dalam hal lainnya H0 kita tolak.
4)Hitung nilai Statistik dari contoh acak berukuran n.
5)Buat keputusan.
Terima atau tolak Ho berdasarkan letak nilai statistik pada daerah kritis.
4. MENGUJI RATA-RATA : UJI DUA PIHAK
Umpamakanlah kita mempunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan
rata-rata dan simpangan baku . Akan diuji mengenai parameter rata-rata .
Untuk ini ambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik dan s.Dapat
dibedakan hal-hal berikut:
1)σ diketahui
Untuk pasangan hipotesis
dengan 0 sebuah harga yang diketahui, digunakan statistik :
XII(1) …………………
Statistik z ini berdistribusi normal baku, sehingga untuk menentukan kriteria pengujian,
seperti tertera dalam Gambar XII(1), digunakan daftar distribusi normal baku. H0 kita terima jika
–z½ (1 - ) < z < z½(1 - ) dengan z½(1 - ) didapat dari daftar normal baku dengan peluang ½ (1 - ).
Dalam hal lainnya, H0 ditolak.
Catatan : Pengujian yang menghasilkan H0 diterima dalam taraf nyata 0,05 dinamakan uji tak
nyata atau uji tak berarti atau uji non-signifikan.
5) MENGUJI RATA-RATA : UJI SATU PIHAK
Perumusan yang umum untuk uji pihak kanan mengenai rata-rata berdasarkan H0 dan
H1 adalah :
Kita misalkan populasi berdistribusi normal dan di ambil sebuah sampel acak berukuran
n. Seperti biasa, dari sampel tersebut dihitung dan s. Didapat hal-hal berikut:
Hal A). diketahui
Jika simpangan baku untuk populasi diketahui, seperti biasa digunakan statistik z yang
tertera dalam Rumus XII(1). Sketsa untuk kriteria pengujian seperti nampak dalam Gambar
XII(2), ialah menggunakan distribusi normal baku. Batas kriteria, tentunya didapat dari daftar
normal baku. Kita tolak H0 jika z z0,5 - dengan z0,5 - didapat dari daftar normal baku
menggunakan peluang (0,5 - ). Dalam hal lainnya H0 kita terima.
Catatan : Pengujian yang menghasilkan H0 ditolak dengan taraf nyata 0,05 dinamakan
uji nyata atau uji berarti atau uji signifikan.
Jika H0 ditolak pada taraf 5% tetapi diterima pada taraf 1% maka dikatakan
bahwa hasil uji “barangkali” berarti. Dalam hal ini dianjurkan untuk
melakukan penelitian lebih lanjut dan pengujian dapat dilakukan lagi.
Hal B). tidak diketahui
jika tidak diketahui, statistik yang digunakan untuk menguji pihak kanan
adalah statistik t seperti dalam Rumus XII(2).
Kriteria pengujian didapat dari daftar distribusi Student t dengan dk = (n – 1) dan peluang (1 - ).
Jadi kita tolak H0 jika t t1 - dan menerima H0 dalam hal lainnya.
Untuk menguji pihak kiri
cara yang sama berlaku untuk uji pihak kanan. Jika diketahui, maka statistik z seperti dalam
Rumus XII(1) digunakan dan tolak H0 jika z - z0.5 - , denga z0,5 - didapat dari normal baku
menggunakan peluang (0,5 - ). Dalam hal lainnya H0 diterima. Di sini = taraf nyata.
Jika tidak diketahui, maka untuk uji pihak kiri tersebut digunakan statistik t seperti yang
tertera dalam Rumus XII(2). Dalam hal ini kita tolak hipotesis H0 jika t - t1 - , dengan t1 - di
dapat dari daftar distribusi Student t menggunakan peluang (1 - ) dan dk = (n – 1). Untuk t > - t1
- , hipotesis H0 kita terima.
6)MENGUJI PROPOrsi : UJI DUA PIHAK
Misalkan kita mempunyai populasi binom dengan proporsi peristiwa A = . Berdasarkan
sebuah sampel acak yang diambil dari populasi itu, akan diuji mengenai uji dua pihak :
dengan 0 sebuah harga yang diketahui. Dari sampel berukuran n itu kita hitung proporsi sampel
x/n adanya peristiwa A. Dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal, maka untuk
pengujian ini digunakan statistik z yang rumusnya :
Kriteria untuk pengujian ini, dengan taraf nyata adalah: terima H0 jika –z½ (1 - ) < z < z½
(1 - ), di mana z½ (1 - ) didapat dari daftar normal baku dengan peluang ½ (1 - ). Dalam hal lainnya,
hipotesis H0 ditolak.
7)MENGUJI PROPORSI : UJI SATU PIHAK
Jika yang diuji dari populasi binom itu berbentuk:
maka pengujian demikian merupakan uji pihak kanan. Untuk ini pun, statistik yang digunakan
masih statistik z seperti tertera dalam Rumus XII(3). Yang berbeda hanyalah dalam penentuan
kriteria pengujiannya. Dalam hal ini, tolak H0 jika z z0,5 - , di mana z0,5 - didapat dari daftar
normal baku dengan peluang (0,5 - ). Untuk z < z0,5 - hipotesis H0 diterima.
Untuk uji pihak kiri, maka pasangan hipotesis nol dan tandingannya adalah :
Statistik yang digunakan statistik z seperti dalam Rumus XII(3). Kriteria pengujian
adalah: tolak H0 jika z - z0,5 - di mana z0,5 - didapat dari daftar normal baku dengan peluang (0,5
- ). Dalam hal lainnya H0 diterima.
8. MENGUJI VARIANS σ2
Kita misalkan populasi berdistribusi normal dengan varians σ2 dan diambil sebuah sampel
acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya s2 dihitung dengan Rumus V (5) atau Rumus V
(6).
Kita bedakan dua hal berikut :
Hal A). Uji dua pihak
Untuk ini, pasangan H0 dan H1 adalah :
Untuk pengujian ini dipakai statistik chi-kuadrat
Jika dalam pengujian dipakai taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah : terima H0
jika di mana dan didapat dari daftar distribusi chi
kuadrat dengan dk = (n – 1) dan masing-masing dengan peluang dan .
Dalam hal lainnya H0 ditolak.
Hal B). Uji satu pihak
Dalam kenyataannya sangat sering dikehendaki adanya varians yang berharga kecil.
Untuk ini pengujian diperlukan dan akan merupakan uji pihak kanan :
Statistik yang digunakan masih tetap X2. Kriteria pengujian dalam hal ini adalah: tolak H0
jika , di mana , didapat dari daftar chi-kuadrat dengan dk = (n – 1)
dan peluang (1 – α). Dalam hal ini lainnya, H0 diterima.
Jika hipotesis nol dan tandingannya menyebabkan uji pihak kiri, yakni pasangan :
Maka hal yang sebaliknya akan terjadi mengenai kriteria pengujian, yaitu tolak H0 jika
, dimana didapat dari daftar chi-kuadrat dengan dk = (n – 1) dan peluang α.
9. MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA : UJI DUA PIHAK
Misalkan kita mempunyai dua populasi normal masing-masing dengan rata-rata μ1 dan μ2
sedangkan simpangan bakunya σ1 dan σ2.Dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak
berukuran n1 sedangkan dari populasi kedua sebuah sampel acak berukuran n2. dari kedua sampel
ini berturut-turut didapat , s1 dan s2. akan diuji tentang rata-rata μ1 dan μ2.
Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang akan di uji adalah :
Untuk ini kita bedakan hal-hal berikut :
Hal A). dan σ diketahui
Statistik yang digunakan jika H0 benar, adalah :
Dengan taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah : terima H0 jika
dimana didapat dari daftar normal baku dengan peluang
½(1 – α). Dalam hal lainnya H0 ditolak.
Hal B). tetapi σ tidak diketahui
Jarang sekali dan diketahui besarnya. Jika H0 benar dan
sedangkan σ tidak diketahui harganya, statistik yang digunakan adalah
Dengan
maka statistik t di atas berdistribusi Student dengan dk = (n1 + n2 – 2). Kriteria pengujian
adalah: terima H0 jika dimana didapat dari daftar distribusi t
dengan dk = (n1 + n2 – 1) dan peluang (1 - ). Untuk harga-harga t lainnya H0 ditolak.
Hal C). σ1 ≠ σ2 dan kedua-duanya tidak diketahui
Jika kedua simpangan baku tidak sama tetapi kedua populasi berdistribusi normal, hingga
sekarang belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan. Pendekatan yang
cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t’ sebagai berikut :
Kriteria pengujian adalah : terima hipotesis H0 jika
Dengan :
dan
Hal D). Observasi berpasangan
kita ambil μB = μ1 – μ2. Hipotesis nol dan tandingannya adalah :
Jika B1 = x1 – y1, B2 = x2 – y2,...., Bn = xn – yn, maka data B1, B2, ... , Bn menghasilkan
rata-rata dan simpangan baku sB. Untuk pengujian hipotesis, gunakan statistik :
Dan terima H0 jika dimana
Di dapat dari daftar distribusi t dengan peluang dan dk = (n – 1). Dalam
hal lainnya H0 ditolak.
10)MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA : UJI SATU PIHAK
Dimisalkan bahwa kedua populasi berdistribusi normal dengan rata-rata μ1 dan μ2 dan
simpangan baku σ1 dan σ2. karena umumnya besar σ1 dan σ2 tidak diketahui, maka di sini akan
ditinjau hal-hal tersebut untuk keadaan σ1 = σ2 atau σ1 ≠ σ2
Hal A). Uji pihak kanan
Yang diuji adalah
Dalam hal σ1 = σ2 maka statistik yang digunakan ialah statistik t seperti pada rumus
Kesamaan dua rata-rata:uji 2 pihak . Kriteria pengujian yang berlaku ialah : terima H0 jika t < t1 –
α dan tolak H0 jika t mempunyai harga-harga lain. Dk= (n1 + n2 – 2) dengan peluang (1 – α).
Jika σ1 ≠ σ2, maka statistik yang digunakan adalah statistik t’. Dalam hal ini, kriteria
pengujian adalah : tolak hipotesis H0 jika
dan terima H0 jika terjadi sebaliknya, dengan ,
t = t(1 – α),(n1 – 1) dan t(1 – α),(n2 – 1). Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t ialah (1 – α) sedangkan
dk-nya masing-masing (n1 – 1) dan (n2 – 1)
Untuk observasi berpasangan, pasangan hipotesis nol H0 dan hipotesis tandingan H1
untuk uji pihak kanan adalah :
Statistik yang digunakan masih statistik dan tolak H0 jika di mana t1 – α didapat
dari daftar distribusi Student dengan
dk = (n – 1) dan peluang (1 – α).
Hal B). Uji Pihak Kiri
Perumusan hipotesis H0 dan hipotesis tandingan H1 untuk uji pihak kiri adalah :
Langkah-langkah yang ditempuh dalam hal ini sejalan dengan yang dilakukan untuk uji
pihak kanan.
Jika σ1 = σ2, kedua-duanya nilainya tak diketahui, maka digunakan statistik t dalam
Rumus yang sama dengan rumus kesamaan rata-rata:uji 2 pihak. Kriteria pengujian adalah : tolak
H0 jika
, di mana t1 – α didapat dari daftar distribusi t dengan dk = (n1 + n2 – 2) dan
peluang (1 – α). Untuk harga-harga t lainnya, H0 diterima.
Jika σ1 ≠ σ2, maka yang digunakan adalah statistik t’ dalam Rumus XII(8) dan tolak H0
untuk
Di mana w1, w2, t1 dan t2 semuanya seperti telah diuraikan di muka. Jika t’ lebih besar
dari harga tersebut, maka H0 diterima.
Untuk observasi berpasangan, hipotesis H0 dan tandingan yang akan diuji adalah
Statistik yang digunakan ialah statistik t dalam yang rumus yang sama di atas dan tolak
H0 jika dan terima H0 untuk .
10. KESAMAAN DUA PROPORSI: UJI DUA PIHAK
Misalkan sekarang kita mempunyai dua populasi binom yang didalamnya masing-masing
didapat proporsi peristiwa A sebesar π1 dan π2. Dari populasi kesatu diambil sebuah sampel acak
berukuran n1 dan di dalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar x1/n1. Dari populasi kedua
angka-angka tersebut berturut-turut adalah n2 dan x2/n2.Akan diuji hipotesis:
Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan statistik :
XII(10) .........................
Dengan dan q = 1 – p
Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah :
Terima H0 untuk dan tolak H0 untuk harga-harga z lainnya.
11. MENGUJI KESAMAAN DUA PROPORSI : UJI SATU PIHAK
Untuk uji pihak kanan, maka pasangan hipotesisnya adalah :
Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal, jadi
digunakan statistik z dalam Rumus XII(10). Dalam hal ini tolak H0 jika dan terima
H0 untuk dengan α = taraf nyata.
Apabila uji pihak kiri, maka hipotesis nol H0 dan tandingannya H1 berbentuk
Dengan statistik yang sama seperti di atas, tolak H0 untuk dan terima H0
jika . Untuk kedua-duanya di dapat dari daftar distribusi normal baku
dengan peluang (0,5 – α).
12. MENGUJI KESAMAAN DUA VARIANS
Menguji kesamaan atau perbedaan dua rata-rata telah berulang kali ditekankan adanya
asumsi bahwa populasi mempunyai varians yang sama agar menaksir dan menguji bisa
berlangsung. Dalam hal varians yang berlainan, hingga sekarang hanya digunakan cara-cara
pendekatan. Oleh karena itu terasa perlu untuk melakukan pengujian mengenai kesamaan dua
varians atau lebih. Populasi-populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi
dengan varians yang homogen. Dalam hal lainnya disebut populasi dengan varians heterogen.
Dalam bagian ini akan dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi.
Misalkan kita mempunyai dua populasi normal dengan varians dan .
Akan diuji mengenai uji dua pihak untuk pasangan hipotesis nol H0 dan tandingannya H1:
Berdasarkan sampel acak yang masing-masing diambil dari populasi tersebut. Jika
sampel dari populasi kesatu berukuran n1 dengan varians dan sampel dari populasi kedua
berukuran n2 dengan varians maka untuk menguji hipotesis di atas digunakan statistik.
XII(11) ......................
Kriteria pengujian adalah : terima hipotesis H0 jika
Untuk taraf nyata α, di mana Fβ(m,n) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang β,
dk pembilang = n dan dk penyebut = n .
Dalam hal lainnya Ho ditolak.
Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis H0 di muka juga adalah:
XII(12) ....................
Dan tolak H0 hanya jika F ≥ dengan didapat daftar distribusi F
dengan peluang ½α, sedangkan derajat kebebasan v1 dan v2 masing-masing sesuai dengan dk
pembilang dan penyebut dalam rumus XII(12). Seperti biasa α = taraf nyata.
Dalam perhitungan F dari daftar, jika peluang beda dari 0,01 atau 0,05, maka digunakan
Rumus VIII(22).
Jika pengujian yang dihadapi merupakan uji satu pihak, yaitu uji pihak kanan, untuk
hipotesis nol H0 dengan tandingan H1
Dan uji pihak kiri :
Maka dalam kedua hal, statistik yang digunakan masih seperti dalam
Rumus XII(11). Untuk uji pihak kanan, kriteria pengujian adalah: tolak H0 jika F ≥
sedangkan untuk uji pihak kiri, tolak H0 jika F ≤ . Dalam hal-hal
lain H0 diterima.
13. KUASA UJI DAN KURVA CIRI OPERASI
Telah kita lihat bahwa dalam membuat keputusan berdasarkan pengujian hipotesis terjadi
dua tipe kekeliruan, ialah α dan β. Untuk mendapatkan keputusan yang baik kedua kekeliruan
tersebut haruslah seminimal mungkin. Tetapi hal ini sulit dicapai mengingat meminimalkan yang
satu akan terjadi peningkatan yang lain; kecuali dengan jalan memperbesar ukuran sampel, yang
pada umumnya jarang bisa dilaksanakan. Dalam prakteknya suatu kompromi diambil guna
membatasi terjadinya kekeliruan yang dianggap berbahaya. Kekeliruan tipe I sering dibatasi
dengan jalan menentukan terlebih dahulu taraf nyata misalnya α = 0,001 atau β = 0,05 atau nilai
lainnya. Berpegang kepada prinsip ini, marilah sekarang kita lihat berapa besar kekeliruan β
mungkin dibuat dan berapa besar kuasa uji (1 – β) didapat berdasarkan α yang dipilih lebih
dahulu tersebut.
Diberikan contoh tentang uji rata-rata masa hidup lampu, ialah H0 : μ = 800 jam melawan
H1 : μ ≠ 800 jam dengan σ = 60 jam diketahui. Dengan sampel berukuran n = 50 dan =792
jam, pengujian menyatakan menerima H0 pada taraf α = 0,05. Jika sebenarnya rata-rata masa
hidup lampu itu bukan 800 jam, melainkan μ = 778 jam, berapakah β, yaitu peluang membuat
kekeliruan tipe II, dalam pengambilan keputusan di atas?
Untuk menentukan β, kita buat sketsa dua distribusi normal, yang satu dengan μ = 800
dan satu lagi dengan μ = 778. Kedua-duanya mempunyai σ = 60.
Uji dua pihak dengan σ = 0,05 menghasilkan daerah penerimaan H0 berbentuk – 1,96 < z
< 1,96 atau atau .
Gambar XII(9)
β adalah bagian grafik dalam distribusi normal dengan μ = 778 yang dalam daerah penerimaan
H0 yaitu dari 783,36 ke 816,46. Dalam distribusi normal baku, ini sama dengan dari
ke atau dari z = 0,63 ke z = 4,55 atau praktis dari
z = 0,63 kekanan. Luasnya adalah 0,5 – 0,2357 = 0,2643. Jadi β = 0,2643.
Ini berarti peluang menerima hipotesis nol bahwa rata-rata masa hidup lampu 800 jam
padahal sebenarnya 778 jam adalah 0,2643. Untuk itu, kuasa uji dapat ditentukan ialah (1 – β) =
0,7357 dan ini tiada lain daripada peluang menolak hipotesis μ = 800 karena sebenarnya μ = 778.
Jika sekarang μ = 825, maka β merupakan bagian grafik dalam distribusi normal dengan
μ = 825 yang terletak dalam daerah penerimaan H0 yaitu antara 783,36 dan 816,64.
Gambar XII(10)
Dalam angka z, ternyata β antara z = -4,91 dan z = -,099 atau praktis dari z = -0,99 ke
kiri. Luasnya adalah 0,5 – 0,3389 = 0,1111. Dengan demikian β = 0,1111 dan kuasa uji = 0,8889.
Dengan cara yang sama, β dan (1 - β) dapat dihitung untuk harga-harga μ yang berlainan.
Beberapa diantaranya dapat dilihat berikut ini.
Daftar XII (2)
Beberapa nilai kuasa uji untuk berbagai μ
H0 : μ = 800 melawan H1 : μ ≠ 800
μ 750 765 778 790 800 810 825 870 845
β 0,000
0
0,0154 0,2643 0,781
5
0,95 0,7815 0,111
1
0,0582 0,0004
1-β 1,000
0
0,9846 0,7357 0,218
5
0,05 0,2185 0,888
9
0,9418 0,9996
Kita lihat bahwa β menyatakan peluang menerima H0 : μ = 800 apabila sebenarnya harga
μ lain daripada 800. Tetapi jika sebenarnya μ = 800, maka β diartikan sebagai peluang menerima
μ = 800 apabila memang itu harus diterima. Dalam hal ini, besar μ = 0,95.
Grafik β terhadap μ dinamakan kurva ciri operasi, disingkat kurva CO, yang dapat dilihat
di bawah ini :
Gambar XII(11)
Bentuk kurva CO seperti diatas adalah khas untuk uji dua pihak. Makin tajam puncak
kurva makin baik aturan keputusan untuk menolak hipotesis yang tidak berlaku.
Grafik (1 – β) terhadap μ dinamakan kurva kuasa untuk uji hipotesis. Untuk uji dua pihak
dalam contoh di muka, bentuk kurva kuasanya dapat dilihat dalam gambar XII(12). Ternyata
bahwa bentuknya persis kebalikan daripada kurva ciri operasi.
Gambar XII(12)
(1 – β) disebut juga fungsi kuasa, karena memperlihatkan kuasa daripada pengujian untuk
menolak hipotesis yang seharusnya ditolak.
Untuk uji satu pihak akan kita ambil uji pihak kanan mengenai proporsi π sebagai contoh.
Misalkan akan menguji
H0 : π = 0,5 melawan H1 : π = 0,5
dengan α = 0,05 berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n = 100. ukuran sampel cukup
besar, sehingga dapat digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan Rumus XII(3).
Dinyatakan dalam perbandingan sampel f = x/n, kita terima H0 jika
atau atau jika .
Jika sebenarnya π = 0,4, berapakah besarnya β?
Dengan melakukan penyesuaian terhadap x, dalam hal ini dikurangi 0,5, maka dalam
kurva distribusi normal baku, letak daerah β ada di sebelah kiri dari
Luasnya = 0,5 – 0,4968 = 0,0032 sehingga β = 0,0032 dan kuasa uji = 0,9968.
Dengan jalan yang sama, nilai β dan (1 – β) untuk berbagai π diberikan di bawah ini.
DAFTAR XII (3)
BEBERAPA KUASA UJI UNTUK BERBAGAI π
H0 : π = 0,5 melawan H1 : π > 0,5
π 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
β 1,0000 0,9998 0,95 0,305
0
0,0032 0,0000
1 - β 0,0000 0,0002 0,05 0,695
0
0,9968 1,0000
Kurva ciri operasi (CO) untuk pengujian di atas dapat dilihat dalam Gambar XII(13)
Makin agak jauh jalan kurva makin baik aturan keputusan untuk menolak hipotesis yang
seharusnya ditolak.
Kurva kuasa untuk pengujian di atas dapat dilihat dalam Gambar XII(14). Ternyata
bentuknya kebalikan daripada kurva ciri operasi.
Gambar XII(13)
Gambar XII(14)
Kurva ciri operasi kurva kuasa adalah ekivalen.
Hingga kini, β dan (1 – β) telah dihitung berdasarkan populasi normal dengan σ
diketahui. Jika σ tidak diketahui, pengujian akan berdasarkan distribusi t dan ustuk menentukan
kuasa diperlukan distribusi yang nonsentral. Hal ini tidak dibicarakan di sini, karena memerlukan
teori yang lebih jauh dan karenanya pula sudah keluar dari ruang lingkup buku ini.
Hal yang sama juga berlaku untuk pengujian yang menggunakan distribusi F dan
distribusi chi-kuadrat. Dalam hal ini, untuk menghitung β diperlukan distribusi F nonsentral dan
chi-kuadrat nonsentral.
Distribusi-distribusi yang kita kenal sekarang di sini semuanya distribusi sentral.
14. MENENTUKAN UKURAN SAMPEL
Sesudah kita mempelajari cara menguji hipotesis, akan diberikan beberapa contoh
bagaimana menentukan banyak objek yang perlu diteliti. Faktor yang ikut menentukan dalam
hal ini ialah:
a. Mengenai parameter apakah hipotesis yang akan diuji itu.
b. Bagaimana pengujian dilakukan, satu pihak atau dua pihak
c. Berapa besar taraf nyata yang akan digunakan.
d. Berapa besar kekeliruan yang mau dilakukan
e. Berapa besar penyimpangan yang dapat diterima diukur dari nilai hipotesis.
Pada umumnya, simpangan baku σ tidak diketahui besar sebenarnya dan sering didapat
berdasarkan penaksiran atau dari pengalaman. Dalam hal ini, cara menentukan ukuran sampel
yang tepat haruslah digunakan distribusi t dan bukan distribusi normal. Untuk keperluan ini,
karena menyangkut perhitungan β, seperti telah diuraikan di muka, diperlukan distribusi t
nonsentral. Hal yang sama berlaku untuk menentukan ukuran sampel berdasarkan pengujian
yang menggunakan distribusi yang tidak normal.
15. MENGUJI HOMOGENITAS VARIANS POPULASI
Untuk menguji kesamaan beberapa buah rata-rata, dimisalkan populasinya mempunyai
varians yang homogen, yaitu Untuk menguji kesamaan dua rata-rata, telah
dimisalkan . sekarang akan diuraikan perluasannya yaitu untuk menguji kesamaan k
buah (k ≥ 2) varians populasi yang berdistribusi normal. Tepatnya, misalkan kita mempunyai k
(k ≥ 2) buah populasi berdistribusi independen dan normal masing-masing dengan varians
. Akan diuji hipotesis:
H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku
berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing diambil dari setiap populasi.
Ada beberapa metoda yang telah ditemukan untuk melakukan pengujian ini, tetapi di sini,
hanya akan diberikan sebuah saja yang dikenal dengan nama uji Bartlett.
Kita misalkan masing-masing sampel berukuran n1, n2, ... , nk dengan data Yij (i = 1, 2, ...,
k dan j = 1, 2, ..., nk) dan hasil pengamatan telah disusun seperti dalam Daftar XII(4).
Selanjutnya, dari sampel-sampel itu kita hitung variansnya masing-masing ialah .
DAFTAR XII(4)
DATA SAMPEL DARI k BUAH PUPULASI
DARI POPULASI KE
1 2 ........... 3
Data Hasil
Pengamata
n
Y11 Y21 ........... YK1
Y12 Y22 ........... YK2
. .
. . .
. . .
Y1N1 Y2N2 YKNK
Untuk memudahkan perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji Bartlett lebih
baik disusun dalam sebuah daftar seperti dalam Daftar XII(5)
DAFTAR XII(5)
HARGA-HARGA YANG PERLU UNTUK UJI BARTLETT
Sampel ke dk
1
2
.
.
.
K
Jumlah -- -
Dari daftar ini kita hitung harga-harga yang diperlukan, yakni:
1. Varians gabungan dari semua sampel :
XII(13) ........
2. Harga satuan B dengan rumus :
XII(14) ........
Ternyata bahwa untuk uji Bartlett digunakan statistik chi-kuadrat.
XII(15) ..............
Dengan In 10 = 2,3026, disebut logaritma asli dari bilangan 10.
Dengan taraf nyata α, kita tolak hipotesis H0 jika x2 ≥ , di mana
di dapat dari daftar distribusi chi kuadrat dengan peluang (1 – α) dan dk = (k – 1).
Contoh : Bagaimana uji Bartlett ini digunakan, marilah kita ambil contoh tentang
pertambahan berat badan kambing karena empat macam makanan.
DAFTAR XII(6)
PERTAMBAHAN BERAT BADAN (dalam kg) KAMBING
SETELAH PERCOBAAN
Pertambahan berat karena makanan ke
Data Hasil
Pengamatan
1 2 3 4
12
20
23
10
17
14
15
10
19
22
6
16
16
20
9
14
18
19
Dengan Rumus V(5), varians untuk tiap sampel kita hitung, hasilnya:
; ; ; dan
Daftar XII(5) sekarang menjadi :
DAFTAR XII(7)
HARGA-HARGA YANG PERLU UNTUK UJI BARTLETT
Sampe
l
Dk 1/(dk)
1
2
3
4
4
4
3
3
0,25
0,25
0,33
0,33
29,3
21,5
35,7
20,7
1,4669
1,3324
1,5527
1,3160
5,8676
5,3296
4,6581
3,9480
Jumlah 14 1,16 -- -- 19,8033
Varians gabungan dari empat sampel itu adalah
Sehingga log s2 = log 26,6 = 1,4249.
Dan B = (1,4249)(14) = 19,8033 = 0,063.
Jika α = 0,05, dari daftar distribusi chi kuadrat dengan dk = 3 didapat = 7,81.
Ternyata bahwa x2 = 0,068 < 7,81 sehingga hipotesis
diterima dalam taraf nyata 0,05.
Jika harga x2 yang dihitung dengan Rumus XII(15) ada di atas harga x2 dari daftar dan
cukup dekat kepada harga tersebut, biasanya dilakukan koreksi terhadap Rumus XII(15) dengan
menggunakan faktor koreksi K sebagai berikut:
XII(16) .........
Dengan faktor koreksi ini, statistik x2 yang dipakai sekarang ialah:
XII(17) ...........
Dengan x2 di ruas kanan dihitung dengan Rumus XII(15). Dalam hal ini, hipotesis H0
ditolak jika
Catatan : Untuk contoh soal di muka, faktor koreksi K tidak diperlukan.
Contoh Soal dan Penyelesaiannya.
1.Lihat data dalam Daftar V ( 1 ), Bab V. Misalkan bahwa upah tiap jam mempunyai simpangan
baku populasi Rp 15,00. jika data tersebut merupakan sampel acak yang diambil dari populasi itu
untuk meneliti pertanyaan bahwa rata-rata upah Rp 80,00 setiap jam, bagaimana hasil penelitian
dengan menggunakan taraf nyata 0,05?
Penyelesaaian :
Diketahui : = 15
n = 65
0 = 80
α = 0,05 = 5 %
= 80
Ha : μ ≠ μo
μ > μo
μ < μo
Ditanya : Z . . . .
Dijawab :
Upah ( Rupiah ) Fi Xi Fi . Xi
50,00 – 59,99
60,00 – 69,99
8
10
54,995
64,995
439,96
649,95
70,00 – 79,99
80,00 – 89,99
90,00 – 99,99
100,00 – 109,99
110,00 – 119,99
16
14
10
5
2
74,995
84,995
94,995
104,995
114,995
1.119,92
1,189,93
949,95
524,975
229,99
Jumlah 65 594,965 5.184,675
= ∑ fi . xi
fi
= 5. 184,675 = 79,764
65
Z =
= 79,764 – 80
15 /
= -0,236 = -0,127
15 /
= 80
Terima Z ½ ( 1 – α ) = Z 0,475 = 1,96
2. Di suatu daerah, 158 dari 496 para wajib pajak ternyata lalai untuk melunasi pajaknya. Di
daerah lain, kelalaian ini terdapat sebanyak 147 dari 509. selidikilah, apakah derajat
kelalaian pelunasan pajak di kedua daerah tersebut berbeda secara nyata ataukah tidak?
Penyelesaian :
Ho : πA = πB
H1 : πA ≠ πB
P = 158 + 147 = 0,303
496 + 509
q = 1 - p
= 1 - 0,303
= 0,697
Z = ( x1 / n1 ) - ( x 2 / n2 )
{( 1/n1) + ( 1/n2 )}
= ( 158/496 ) - ( 147/509 )
{ 1/496 + 1/509 }
= ( 0,318 ) - ( 0,289 )
= 1,036
Dengan peluang 0,479 = 1,96 terima Ho jika -1,96 < Z < 1,96 dan tolak Ho dalam hal lainnya.
Jelas bahwa Z = 1,036 ada dalam daerah penerimaan Ho. Kesimpulan dalam taraf 5 % tidak
terdapat perbedaan yang nyata antara kedua daerah itu.
3.Seorang ahli mengemukakan kepada manajer bahwa dengan mengadakan
perubahanprubahantertentu dalam proses produksi akan meningkatkan efisiensi, karena rata-rata
persentase kerusakan produksi tiap mesin akan berkurang. Peubahan-perubahan akan
memerlukan biaya sehingga percobaan perlu diadakan terlebih dahulu sebelum dilakukan secara
menyeluruh dalam proses. Percobaan terhadap 6 unit proses menghasilkan kerusakan produksi,
dalam persen sebagai berikut :
8,2 - 7,9 - 8,0 - 8,4 - 8,3 dan 7,8
Manajer hanya akan melakukan perubahan-perubahan apabila dalam proses baru terjadi
rata-rata kerusakan paling banyak 8 %. Atas dasar hal di atas, tentukanlah keputusan apa
yang dapat diambil oleh manajer disertai besar resiko yang diperkirakan?
Penyelesian :
= 0,486 = 0,081
6
μo = 0,08
α = 0,05
S2 = ∑ ( x i - ) 2
n - 1
= 2,8 . 10 -5 = 5,6 . 10-6
5
S = 2,37 . 10-3
t = - μ o
S /
= 0,081 - 0,08 = 1,033
2,37 .10-3 /
T0,025 ; 5 = 2,57