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Ulrich Hohenester – KFU Graz, Vorlesung 3
Reibungskräfte, Oszillator (frei & getrieben),Eigenschwingungen, Schwebung,chaotische Systeme
Einführung in die Physik für LAK
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Normalkraft
Jede auf eine Fläche einwirkende Kraft kann in die Komponenten Normalkraft und Querkraft zerlegt werden. Die senkrecht zur Fläche (also in Richtung des Normalenvektors) wirkende Normalkraft erzeugt Zugspannungen oder Druckspannungen. Die in der Fläche wirkende Querkraft erzeugt Scherspannungen.
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Haft- und GleitreibungÄußere Reibung wird auch als Festkörperreibung bezeichnet, weil sie zwischen den Kontaktflächen von sich berührenden Festkörpern auftritt. Sie wird unterteilt in Haftreibung und Gleitreibung, die beide zu Ehren des Physikers Charles Augustin de Coulomb auch als Coulombsche Reibung bezeichnet werden.
Die Reibungskraft FR nimmt mit der Normalkraft FN zu, oft annähernd linear und unabhängig von der Größe der Kontaktfläche
Dabei sind die Reibungskoeffizienten µ abhängig von der Beschaffenheit der Oberflächen. Der Koeffizient für Haften ist grundsätzlich größer als der für Gleiten. Ihr Wert wird experimentell bestimmt.
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LuftreibungStokesche Reibung (kleine Geschwindigkeit)
Newtonsche Reibung (ab kritischer Geschwindigkeit)
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Hookesches GesetzDas hookesche Gesetz (nach Robert Hooke) beschreibt das elastische Verhalten von Festkörpern, deren elastische Verformung proportional zur einwirkenden Belastung ist (linear-elastisches Verhalten). Dieses Verhalten ist z. B. typisch für Metalle bei kleinen Belastungen sowie für harte, spröde Stoffe oft bis zum Bruch (Glas, Keramik, Silizium).
linearer Bereich
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PendelLineare Rückstellkraft für kleine Auslenkungen
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OszillatorFederkraft
Pendel
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Gedämpfter OszillatorNewtonsche Bewegungsgleichung
Feder Reibung
Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung
Keine Schwingung falls Dämpfung zu groß !!!
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Getriebener OszillatorNewtonsche Bewegungsgleichung
Feder Reibung Treibende Kraft
Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung
Amplitude Phase
Getriebener Oszillator schwingt mit Treibfrequenz
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Getriebener Oszillator
Amplitude Phase
Die Resonanzkurve der Amplitude hat ein Maximum bei w ~ w0. Dieses Phänomen heißt Resonanz.
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ResonanzkatastropheBei verschwindender Dämpfung wächst die Amplitude im Resonanzfall über alle Grenzen
(„Resonanzkatastrophe“).
Getriebener parametrischer Oszillator
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Lineare SystemeBei einem lineren System sind die Kräfte linear in der Auslenkung und Geschwindigkeit
Linearer Opertator
Ein lineares System kann durch bestimmte „Eigenmoden“ charkterisiert werden, die unabhängig voneinander mit einer bestimmten „Eigenfrequenz“ schwingen.
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Gekoppelte PendelZwei Pendel werden durch eine Feder gekoppelt. Bei den Eigenschwingungen bewegen sich die Pendelentweder gleich- oder gegenphasig.
Eine beliebige Schwingung kann aus diesen beiden Eigenschwingungen aufgebaut werden.
Beispiel. Bei A = B = ½ ist zum Zeitpunkt Null nur das linke Pendel ausgelenkt. Wie sieht die Bewegung aus?
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SchwebungBei Überlagerung beider Eigenmoden kommt es zur Schwebung.
Die Anregung wandert zwischen den beiden Pendeln hin und her, wobei die Schwebungsperiode durchdie Kopplung der beiden Pendel (Feder) bestimmt ist
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Atomuhren (GPS)Bei einer Atomuhr wird die Schwebung von „atomaren Pendeln“ ausgenutzt und ein elektrischen Schwing- kreis wird über einen Feed- backloop synchronisiert.
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PhasenraumDie Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einemOrt – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen.
Ort
Impuls
Trajektorie im Phasenraum
t = 0
t > 0
Ort
Impuls
x0
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Ungenauigkeit im Anfangszustand
Ungenauigkeit im Endzustandwächst linear oder polynomial
Reguläres SystemDie Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einemOrt – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen.
Ort
Impuls
Trajektorie im Phasenraum
t = 0
t > 0
Ort
Impuls
x0
Bei einem regulären System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustand linear oder polynomial im Lauf der Zeit zu.
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Chaotisches SystemDie Bewegung eines Teilchens (z.B. eines harmonischen Oszillators) lässt sich in einemOrt – Geschwindigkeitsdiagramm, dem sogenannten, Phasentaum darstellen.
Ort
Impuls
t = 0
t > 0
Ort
Impuls
x0
Ort
Impuls
t = 0
l … Lyapanov - Exponent
Bei einem chaotischen System nimmt eineUngenauigkeit im Anfangszustandexponetiell im Lauf der Zeit zu.
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Ein Beispiel für eine klassisches chaotisches System ist der getriebene anharmonische Oszillator
Je nach Wert von h verhält sich das System regulär oder chaotisch
Chaotisches System - Beispiel
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Ort
Impu
ls
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Ort
Impu
ls
0 50 100 150 200 250 300-5
0
5
Zeit
Ort
Zeit
Regulärer Oszillator
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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Ort
Impu
ls
Ort
Impu
ls
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250 300-5
0
5
Zeit
Ort
Zeit
Chaotischer Oszillator
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Chaotisches System - DoppelpendelEin Doppelpendel ist ebenfalls ein chaotisches System.
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1963 formulierte der Meteorologe Lorenz ein Modell, das eine Idealisierung eines hydrodynamischen Systems darstellt, und das eine Modellierung der Zustände in der Erdatmosphäre für eine Langzeitvorhersage erlauben sollte.
Chaotisches System - Wetter
Auch dieses System zeigt chaotisches Verhalten. Bisweilen wird das System von relativ stabilen„Attraktoren“ angezogen.