UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL JAEN FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD MATEMATICA III
UNIDAD III: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
3.1. INTRODUCCION:
En los cursos básicos se aprendió que, dada una función y = f (x) su derivada dydx
=f ' (x ) es también una función
en x; y que se calcula mediante alguna regla apropiada. El problema que enfrentaremos en esta unidad, no es,
dada la función y = f (x) encontrar su derivada, más bien el problema es, si se da una ecuación como dydx
=f ' (x )
, encontrar de alguna manera una función y = f (x) que satisfaga a la ecuación, en una palabra se desea resolver
ecuaciones diferenciales. Por ejemplo:
1¿dy=3dx 2¿ dydx
=12x3¿ y '=−x
y4 ¿ x dx− y dy=05¿ y '2=+ y=0
NOTA:
- Estas ecuaciones tienen de particular que todas tienen “la derivada de y con respecto a x” o también
podemos decir que todas tienen las diferenciales “dx” y “dy”.
- Sus soluciones no son números reales o números complejos, las soluciones serán “familias de curvas”. Es
decir serán familias de rectas o familias de curvas.
Por ejemplo: la solución de la primera ecuación diferencial dy=3dx
será una familia de rectas paralelas de la forma: y=3 x+k , k∈RVisto en un gráfico es:
La recta L1es cuandok=0
Larecta L1es cuandok=1
Larecta L1es cuandok=2…etc .
La solución de la segunda ecuación diferencial dydx
=12xes una familia
de parábolas de la forma: y= 14x2+k
Visto en un gráfico, tenemos las parábolas:
y= 14x2 , si k=0
y= 14x2+ 1
4, si k=1
4
y= 14x2+2 , si k=2…etc .
NOTA: para resolver una ecuación diferencial se requieren:
- En primer lugar, saber INTEGRAR. Lo cual sugiere conocer “a la perfección”, sin titubeos, todas las fórmulas
elementales de integración y los métodos de integración (cálculo integral).
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- En segundo lugar, reconocer los diversos tipos de ecuaciones diferenciales (de variables separables, exactas,
homogéneas, lineales, etc.) que se irán estudiando y tratando paulatinamente.
3.2. DEFINICION:
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida de una o más
variables.
Ejemplo 2.1. Ecuaciones Diferenciales1) En la ecuación diferencial y '−2 x=0, la incógnita es la función y=f ( x ).
2) En la ecuación diferencial dw=(H−x ) ρπ R2dx , la incógnita es la función w=g ( x ), w representa
en física “el trabajo que debe realizarse para bombear el agua de un tanque cilíndrico vertical de
altura H y radio R en la base”.
3)dpdx
=k (a−p), en esta ecuación p=f ( x ) es la función incógnita, donde “p” es la utilidad NETA y
“x” es el gasto de propaganda.
3.3. CLASIFICACION DE LAS ECAUCIONES DIFERENCIALES :
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ecuaciones diferenciales ordinarias y en ecuaciones diferenciales
parciales.
a) Las ecuaciones diferenciales ordinarias son aquellas que contienen como incógnita funciones con una sola
variable independiente. Ejemplos:
1¿ dsdp
= −asp−b
, s=f ( p ) es la incógnita
2¿ dydx
+2 y= y2 e−x , y=f ( p ) es laincógnita
b) Las ecuaciones diferenciales parciales son aquellas que contienen como incógnita una función con dos o más
variables independientes. Ejemplos:
1¿ ∂z∂ x
− ∂ z∂ y
=z , z=f ( x , y ) esla incógnita
2¿ ∂2u
∂ x2 +∂2u∂ y2 =xy ,u=g (x , y ) es laincógnita
3.4. ORDEN Y GRADO DE UNA ECAUCION DIFERENCIAL :
Se llama ecuación diferencial de orden “n” a toda ecuación que incluye a la derivada cuyo orden superior es “n”.
El grado de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden, una vez que dicha ecuación haya sido
racionalizada y se hayan quitado denominadores respecto de todas las derivadas.
Ejemplo 4.1. Orden y Grado de una Ecuaciones Diferenciales
a)d2 ydt 2 =√1+ dy
dt, despues deracionalizar obtenemos( d2 y
dt2 )2
=1+ dydt
Esta ecuación diferencial ordinaria es de 2do grado y de orden 2.
b) ( d2 ydx2 )
3
−5( dydx )4
+2x=0
Esta ecuación diferencial ordinaria de orden 2 y 3er grado.
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c)∂2w∂ x2 + ∂2w
∂ y2 =z
Es una ecuación diferencial parcial de segundo orden y 1er grado.
3.5. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL :
Se denomina solución de una ecuación diferencial a toda relación entre las variables que intervienen en dicha
ecuación que no contengan ninguna derivada y que satisfaga idénticamente a dicha ecuación.
Las soluciones de una ecuación diferencial pueden ser una solución general o una solución particular.
La SOLUCION GENERAL de una ecuación diferencial ordinaria de orden “n”, es una solución que contiene
constantes de integración.
La SOLUCION PARTICULAR de una ecuación diferencial ordinaria de orden “n”, es una solución que se obtiene de
la solución general dándole valores específicos a las constantes.
Simbólicamente, decimos:
Ejemplo 5.1. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que:
ln y=c1ex+c2 e
−x+x2+2 Es una solución de: ( 1ydydx )
2
− 1yd2 ydx2 =x2−ln y
Solución:
Veamos: NOTACION: dydx
= y ' , d2 ydx2 = y ' '
Todo lo que hacemos es derivar dos veces la relación de dos variables:
ln y=c1ex+c2 e
−x+x2+2→ ln y−x2=c1 ex+c2e
− x+2… ..(1)
⟹ y '
y=c1 e
x+c2e− x (−1 )+2 x+0→ y '
y=c1e
x−c2e−x+2 x… ..(2)
⟹ y ' '= y' (c1 ex−c2e
−x+2x )+ y (c1ex+c2 e
−x+2 )… ..(3)
Reemplazando (2) y (1) en (3):
⟹ y ' '= y' (c1 ex−c2 e
−x+2 x)⏟+ y (c1ex+c2e
− x+2)⏟… ..(3)
⟹ y ' '= y' y'
y+ y ( ln y−x2 )→ y ' '= y '2
y+ y ( ln y−x2 )…… ..(4)
Y ahora reemplazando (2) y (4) en la ecuación diferencial:
(c1 ex−c2 e
− x+2 x )2− 1y [ y '2
y+ y (ln y−x2 )]=(c1 e
x−c2 e−x+2x )2
−y'2
y2 −ln y+x2….(5)
Pero en (2) tenemos y'
y=c1 e
x−c2e−x+2 x que al reemplazar en (5) obtenemos:
⟹ y '2
y2 − y'2
y2 −ln y+x2→−ln y+ x2
Que es idénticamente igual al segundo miembro
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Ejemplo 5.2. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que:
x=cos 2t+2c1 cos3 t+3c2 sen3 t es una solución de: d2xdt2
+9x=5 cos2t
Solución:Veamos:
x=cos 2t+2c1 cos3 t+3c2 sen3 t ….(1)
dxdt
=−2 sen2 t+2c1 (−3 sen3 t )+3 c2 (3cos3 t )=−2 sen2 t−6c1 sen3 t+9c2 cos3 t… ..(2)
d2 xdt2 =−2 (2cos 2t )−6 c1 (3cos3 t )+9c2 (−3 sen3 t )=−4cos2 t−18c1cos 3t−27 c2 sen 3t … ..(3)
Reemplazando (3) y (1) en el primer miembro de la ecuación diferencial:
−4 cos2 t−18c1 cos3 t−27c2 sen3 t+9 (cos2 t+2c1 cos3 t+3c2 sen3 t )¿−4 cos2t−18c1 cos3 t−27c2 sen3 t+9cos 2t+18c1cos3 t+27c2 sen3 t
¿5 cos2 t
Que es idénticamente igual al segundo miembro
Ejemplo 5.3. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que la relación:
y=2+c√1−x2 es solución de: (1−x2 ) y '+ xy=2 xSolución:De y=2+c√1−x2…. (1 )
Halamos: y '=dydx
y '=0+c −2 x2√1−x2
→ y '= −cx√1−x2
….(2)
Sustituimos (1) y (2) en la ecuación diferencial:
(1−x2 ) −cx√1−x2
+x (2+c√1−x2 )=−cx √1−x2+2 x+cx√1−x2=2 x
Que es idénticamente igual al segundo miembro
Ejemplo 5.4. Solución de una Ecuaciones Diferenciales. Verificar que la función:x2+ y2=c Es solución de: y y '=−x
Solución:
Aquí se tiene y=f ( x ) , dydx
= y '
Derivemos la relación x2+ y2=c respecto a x:
2 x+2 y y '=0→x+ y y '=0→y y '=−x
3.6. FORMACION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA FAMILIA DE CURVAS
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Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede obtener su ecuación diferencial mediante la eliminación
de las constantes (o parámetros) y esto se obtiene aislando la constante en un miembro de la ecuación y
derivando. También se puede eliminar la constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes
arbitrarias tenga, y se resuelve el sistema formado con la ecuación original.
Ejemplo 6.1. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Formar la E.D. cuya solución es la familia de curvas
y=C1 e2 x+C2 e
−x
Solución:
Ejemplo 6.2. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Formar la E.D. cuya solución es la familia de curvas
y=(C1+C2x )ex+C3
Ejemplo 6.3. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Obtenga la E.D. cuya primitiva es la función:
C1 y−x=C2 xy
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Ejemplo 6.1. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Obténgase la E.D. cuya primitiva es la función
y=ex (C2 cosx+C3 senx )+C1+x4
Ejemplo 6.1. Formación de una ecuación diferencial. A partir de una familia de curvas. Obténgase la E.D. cuya primitiva es la función
y=C1 senax+C2cosax
EJERCICIOS 06: Propuestos.I. En cada uno se los siguientes ejercicios, establezca si la ecuación diferencial dada es ordinaria o parcial, y, si es
ordinaria, diga su orden y su grado.
1) x ∂ z∂ x
+ y ∂ z∂ y
−xz=0 2) y+x dydx
+x2 y=0
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3) x ( d3 ydx3 )
2
+( d2 ydx2 )
3
+ y=0
4) x ∂2 y∂ x2 +z ∂2 z
∂ x ∂ y+ ∂ z∂ y
=xyz
5) pdq+qdp=0
6)d2 ydx2 =2 x
7) senθ drdθ
=r
8)d2 ydx2 +5 dy
dx+6 y=ex
9) ∂2 z∂x ∂ y
=ex e y
10) y dydx
=x
II. Verificar que:
1) y=x+3 x2; y ' (x+3 x2 )− y (1+6 x )=0
2) y=x3+C1 x2+C2 ;
d2 ydx2 −1
xdydx
−3 x=0
3) y=x √1−x2; y y '=x−2 x3
4) x=C1coswt+C2 senwt ;d2 xdt 2 +w2 x=0
5) y= x2−c2
2c; x ( dydx )
2
−2 y dydx
+x=0
6) y=cx+√1−c2; x dydx
+√1−( dydx )2
− y=0
7) y=c1 x+c2( 1x2 )+c3 ;
d3 ydx3 =−4
xd2 ydx2
8) y=c1 x2+c2x+c3;
d3 ydx3 =0
III. Obténganse las ecuaciones diferenciales cuyas primitivas sean las siguientes funciones:
1) y=x+c x2
2) cx+2cy= y
3) c2−cx= y
4) c1 x2+c2 y=x
5) y=c1+c2 ex+c3 x e
x+x2
6) y=c1 e− x+c2 e
x /2+ex
7) y=c1 ex+c2 x e
x
8) y=e2 x (c1+c2 x )
3.7. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado es de la forma:
dydx
=F(x , y)
O lo que es equivalente a: M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0 ……………… (I)
dydx
=−M (x , y)N (x , y )⏟
F ( x, y)
3.8. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado se pueden presentar varios métodos de resolución, de
los cuáles veremos algunos:
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VARIABLES SEPARABLES
En este caso la ecuación diferencial dado en (I) se presenta de la forma.
M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0
Esto indica que “M” es función sólo de “x” y “N” es función sólo de “y”
Se resuelve, tan solo integrando cada término.
Así: ∫M (x )dx+∫N ( y)dy=c
Ejemplo 8.1. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolvery (1−x )dx+x2(1− y)dy=0
Solución: hacemos la separación de variables:(1−x )x2 dx+(1− y)
ydy=0
Integramos:
∫ 1−xx2 dx+∫ 1− y
ydy=c⟹∫( 1
x2 −xx2 )dx+∫( 1
y− y
y )dy=c⟹∫(x−2− 1x )dx+∫( 1
y−1)dy=c
⟹ x−1
−1− ln|x|+ ln|y|− y=c⟹−1
x− ln|x|+ ln|y|− y=c⟺−1
x− y+ ln| yx |=c
Esta solución la podemos transformar en:
⟺−1x− y+ln| yx|=ln k ,c=ln k
⟺ ln| yx |−ln k= y+ 1x⟺ ln| y
kx|= y+ 1x
⟺ ykx
=ey+1
x , pues : ln N=m⟺N=em
∴ y=kx ey+ 1
x
Ejemplo 8.2. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Hallar la solución de( y+2 )dx+(x−2)dy=0
Solución: agrupamos los términos en “x” multiplicando a “dx” y agrupar los términos de “y”, multiplicando a “dy”
1x−2
dx+ 1y+2
dy=0
Ejemplo 8.3. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
2 xy ( 4− y2 )dx+ ( y−1 )(x2+2)dy=0Solución:
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Ejemplo 8.4. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
(1+ y )dx+ dyx2−2 x
=0
Solución:
Ejemplo 8.5. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
y √ y2−1dx−√1−x2dy=0Solución:
Ejemplo 8.6. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
x √ y2−1dx−√1−x2dy=0Solución:
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Ejemplo 8.7. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
ex3− y2
+ yx2 ∙
dydx
=0
Solución:
Ejemplo 8.8. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolver
ex + y+ yx2 ∙
dydx
=0
Solución:
Ejemplo 8.9. Ecuaciones diferenciales con variables separables. Resolverdsdt
+cos2 t=0
Solución:
3.9. ECUACIONES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden y primer grado, tal como M (x , y ) dx+N ( x , y )dy=0,
es homogénea, si M y N son expresiones homogéneas, del mismo grado, en x e y .
Una ecuación homogénea de la forma M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0 se puede trasformar en otra ecuación en v
y x, de variables separables, mediante la sustitución
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y=vx ,dy=xdv+vdx
Ejemplo 9.1. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Resolver(xy− y2) dx−x2dy=0
Solución: los coeficientes de la ecuación son homogéneos de grado 2. Sustituyendo en la ecuación dada, tenemos:
(x ∙ vx−v2 x2 )dx−x2 ( xdv+vdx )=0Después de dividir por x2, se obtiene
(v−v2)dx− ( xdv+vdx )=0Es decir
dvv2 + dx
x=0
Aquí las variables x y v están separadas, y la solución es:−1v
+ ln x=C⇒ ln x−C=1v
Como y=vx→ 1v= x
y y haciendo −C=lnC , se puede escribir como:
ln x+lnC= xy⟹ lnCx= x
y⟹ y= x
lnCx
Ejemplo 9.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Resolver(2 x+ y )dx+xdy=0
Solución:
Ejemplo 9.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Resolver(2 x+ y )dx+xdy=0
Solución:
3.10.APLICACIONES
Aplicaciones en la economía:
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Ejemplo 10.1. La relación entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la disminución en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la cantidad demandada e inversamente proporcional a la suma del precio más una constante. Encontrar la función de demanda si p=0, cuando x=x0 .Solución: Datos: p : precio por unidad
x : Cantidad de demanda.
dx=∆ x: Variación de la cantidad demandada.
dp=∆ p: Variación del precio.
dxdp : tasa de la demanda a medida que el precio varía.
Según el enunciado del problema, tenemos:
dxdp
= kxp+b { la tasa dedisminución enla demanda,amedidaque el precio aumentaes
proporcionala la cantidaddemandada x e inversamente proporcional ala sumadel preciomásuna constante .
b :Constante , k : factor de proporcionalidad(k negativo)
Nos queda por resolver la Ecuación Diferencial:
dxdp
= kxp+b
……(¿)queesuna ecuaciónde variables separables
Veamos:
De ( ¿ ) obtenemos:
dxx
= kp+b
dp⟹ dxx
− kp+b
dp=0
Integrando ambos miembros:
∫ dxx
−k∫ 1p+b
dp=C⟹ ln x−k ln (p+b )=lnC
ln x=lnC+ln ( p+b )k⟹ ln x=lnC ( p+b )k⟹ x=C (p+b )k k :negativo
Imponer la condicional inicial:
Si p=0 , x=x0
x0=C bk⇒C=x0
bk
Entonces:
x=x0( p+bb )
k
, k<0
Es mejor:
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x=x0( bp+b )
k
, k>0
Ejemplo 10.2. La tasa de incremento del costo total “y”, a medida que crece el número de unidades fabricadas “x”, es proporcional a la suma de las unidades fabricadas más una constante e inversamente proporcional al costo total. Hallar la función de costo si y= y0 cuando x=0 .Solución:
Ejemplo 10.3. La razón del incremento de las ventas “s”, a medida que crece la gestión de propaganda “x, es igual a una constante menos la venta dividido por una constante más la gestión de propaganda, si s=s0 cuando x=0 .Solución:
Ejemplo 10.4. La tasa de incremento del costo “y”, a medida que crece el número de unidades fabricadas “x”, es igual a la relación del doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de unidades fabricadas dividido por el producto del costo y el número de unidades. Hallar la relación entre el costo y el número de unidades fabricadas si y=3 cuando x=1 .Solución:
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EJERCICIOS 07: Propuestos.I. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1) xdy+ ydx=0
2) xdy− ydx=0
3) dydx
=1+ y2
1+x2
4) (1−x2 )dy+(1+ y2 )dx=0
5) yCosx dy+√1+ y2dx=0
6) dy+ yTg x dx=0
7) dydx
=√ 1− y2
1−x2
8) Secxdy+Secy dx=0
9) x2 ydy+(x2+1 )dx=0
10) dydx= x−x y2
x2 y− y
11) (1+ y2 )dx+xydy=0
12) (1+ y2 )dx+xydy=0
13) 4 x−3 y+ y ' (2 y−3 x )=0
14) 4 x2−x y+ y2+ y ' (x2−x y+4 y2 )=0
15) 4 x2+xy−3 y2+ y ' (−5 x2+2 xy+ y2 )=0
II. Aplicaciones:1) El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que en cualquier
instante la razón de cambio del saldo es igual al 7% del saldo en ese instante.
2) La razón del incremento en el costo y a medida que crece el número de unidades fabricadas x, es igual a la relación del doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de unidades fabricadas, dividido por el producto del costo y el número de unidades fabricadas. Hallar la relación entre el costo y el número de unidades fabricadas si y=3 cuando x=1.
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3) El arrendamiento de un apartamento (dos alcobas, muebles “estándar”) en un colegio varía con la distancia del apartamento al campus. Supóngase que esta relación está dada
por: dydx
=−( kx +a),1≤x ≤10 en que y es el arrendamiento mensual (en dólares) y x es la
distancia (en millas), k y a son constantes, si y=225 cuando x=1; hallar y como una función de x.
3.9.1. MODELOS ECONOMICOS
Hay dos tipos generales de modelos económicos, que se designan por estático o dinámico. Los modelos
estáticos se refieren a situaciones de equilibrio, es decir, situaciones que si son alcanzadas se mantendrán.
Los modelos dinámicos están relacionados con situaciones que cambian con respecto al tiempo. En los
modelos dinámicos interviene el tiempo explícitamente como una variable, o implícitamente en la forma
de variable retrasada (o con rezagos).
En los modelos económicos hay dos clases generales de variables que se denominan endógenas y
exógenas. Las variables endógenas son aquellas cuyos valores o niveles han de ser predichos o explicados;
las variables exógenas se suponen determinadas y conocidas de antemano, y pueden considerarse
constantes en el modelo. Los calificativos de endógena y exógena provienen de términos griegos y
significan, como en otros contextos “generada desde el interior” y “generada desde el exterior”,
respectivamente. Las variables endógenas se predicen a partir del modelo, en tanto que las variables
exógenas son determinadas por fuera del modelo.
De ordinario un modelo se formula primero en términos de ecuaciones estructurales que expresan
relaciones entre variables endógenas y exógenas. Este sistema de ecuaciones estructurales se resuelven
luego (si es posible) para determinar las que se llaman las ecuaciones de forma reducida, cada una de las
cuales expresa una variable endógena como función de variables exógenas y de parámetros. Se resuelve
un modelo al obtener una ecuación de forma reducida para cada variable endógena que haya en el
mismo.
A) MODELO MACROECONOMICO DE DOMAR:
El siguiente modelo macroeconómico simple fue propuesto por E. D. Domar.
S ( t )=αy ( t )
I (t )=β dydt
S (t )=I (t )
y (0 )= y0
α>0 , β>0
En donde S es el ahorro, I es la inversión, y es el ingreso, y cada una de éstas variables endógenas es
una función del tiempo.
La primera ecuación establece que el ahorro es una proporción fija del ingreso; la segunda, que la
inversión es proporcional a la tasa de cambio del ingreso con respecto al tiempo; y la tercera, que el
ahorro es igual a la inversión; la cuarta expresa la condición inicial. A partir de estas relaciones
pueden obtenerse funciones específicas que expresan cambios en las variables con respecto al
tiempo.
Puesto que
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S (t )=I (t )
αy ( t )=β dydt
Y la ecuación diferencial
dydt
−αβy=0
Se obtiene para la solución. Al separar las variables e integrar resulta.
1ydy−α
βdt=0⟹ Lny−α
βt=C
Lny−αβt=LnK ,C=LnK
Lny−LnK=αβt⟹ ln ( yK )=α
βt
yk=e
αβ t⟹ y=K e
αβ t
Si y = y0 cuando t = 0, entonces
y0=K
Y la solución particular es
y= y0eαβ t
Obsérvese que esta solución da el ingreso y como función del tiempo t, puesto que α > 0, β > 0, la
gráfica de la función tiene pendiente positiva creciente, y la tasa de incremento depende de αβ
.
Las soluciones para las variables restantes del modelo I y S son las siguientes
I=S=αy=α y0 eαβ t
B) MODELO DE DEUDA DE DOMAR
Domar emplea un conjunto de modelos semejantes al modelo macroeconómico anterior para
expresar las relaciones entre el ingreso nacional y la deuda nacional. Consideremos el modelo:
dDdt
=αy (t)
dydt
=β
y (0 )= y0
D (0 )=D 0
α>0 , β>0
Donde D es la deuda nacional e y es el ingreso nacional (ambas variables son endógenas). En este
modelo, el ingreso nacional crece a una tasa constante β a través del tiempo, y la tasa de incremento
de la deuda nacional es una proporción fija del ingreso nacional. La tercera y cuarta ecuación
establecen las condiciones iniciales. Integrando la segunda ocasión se obtiene:
y=βt+C
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Puesto que y = y0 cuando t = 0, se obtiene que C = y0 y entonces
y=βt+ y0
Sustituyendo en la primera ecuación del modelo.
dDdt
=αβt+α y0
D=12αβt 2+α y0 t+C
Como D = D0 cuando t = 0, entonces C = D0, y así
D=12αβt 2+α y0 t+D 0
Domar tenía interés en el estudio de la razón de la deuda nacional al ingreso nacional:
D(t)y ( t )
=
12αβ t2+α y0 t+D0
βt+ y0
O sea,
D(t)y ( t )
=D0
βt+ y0+α y0 tβt+ y0
+
12αβ t2
βt+ y0
Cuando t→∞,D0
βt+ y0→0
α y0tβt+ y0
→α y0
β(unaconstante)
12αβ t2
βt+ y0→∝
De modo que cuando t→∞, D(t)y (t )
→∝ y para este modelo, la razón de la deuda nacional al
ingreso nacional crece sin límite a través del tiempo.
C) MODELO DE AJUSTE DE PRECIOS DE EVANS
Este modelo, propuesto por G. C. Evans, corresponde a un mercado particular para un determinado
satisfactor en el que las ecuaciones de demanda y de oferta son las mismas que las del modelo lineal
ordinario, y pueden resolverse en la forma usual para obtener el precio de equilibrio. Además, hay
una ecuación que establece que la tasa de cambio del precio en el tiempo es proporcional al exceso
de la demanda (es decir, d – s, donde d = demanda y s = oferta). Este factor de proporcionalidad es
positivo, lo cual implica que un exceso de demanda positivo causará una elevación en el precio, y un
exceso de demanda negativo ocasionará un descenso del precio.
d (t )=α 0+α1 p(t)
s ( t )=β0+ β1 p(t)
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera Página 17
ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Matemática III
dpdt
= y (d−s)
α 1<0 , β1>0 , y>0
En donde p es el precio. Sustituyendo las primeras dos ecuaciones en la tercera se obtiene
dpdt
= y [α 0−β0+(α1−β1) p ]
¿ y (α 1−β1) (p−pe )
En que pe=α 0−β0
β1−α 1 es el precio de equilibrio en el modelo obtenido en la forma usual resolviendo
d(t) = s(t) para determinar p(t), que es el precio de equilibrio. Haciendo
λ= y (α 1−β1)
dpdt
=λ ( p−pe )⟹ 1p−pe
dpdt
=λ⇒ ln ( p−pe )= λt+C⇒ ln ( p−pe )=λt+LnK ,C=ln K
ln ( p−pe)−LnK= λt⟹ ln( p−pe
K )= λt⇒p−pe
K=eλt⇒ p−pe=K eλt⇒ p=pe+K eλt
Puesto que p = p0 cuando t = 0, entonces C = p0 – pe y
p=pe+( p0−pe )eλt
En donde, como se señaló anteriormente,
pe=α 0−β0
β1−α 1
Y
λ= y (α 1−β1)
Como < 0, entonces p→pe, cuando t→∞ .
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera Página 18