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CÁLCULO DIFERENCIAL GUIA UNIDAD 1

1. PREREQUISITOS:

Los temas necesarios para esta unidad son:

Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas

Completación de trinomios

GUIA DE APRENDIZAJE

Nombre de la asignatura : CÁLCULO DIFERENCIAL Código : 5756

Unidad 1 : GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO

Guía : 1/5 Tiempo estimado para desarrollo :

Autores de la Guía : ICFM Revisado por: ICFM

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Calcular la distancia entre dos puntos.

Encontrar la posición de un punto el cual divide un segmento de línea en una relación

dada

Encontrar la pendiente de un segmento de recta y su inclinación

Encontrar la ecuación de una recta según sus parámetros

Definir y usar la ecuación general de una recta

Encontrar el ángulo entre 2 líneas

Hallar el punto de intersección entre 2 líneas

Encontrar la distancia de un punto dado a una línea

Dar ejemplos de lugares geométricos

Reconocer e interpretar la ecuación de un círculo en la forma estándar y mostrar su

radio y centro

Convertir la ecuación general de un círculo a la forma estándar

Definir la parábola como un lugar geométrico

Reconocer e interpretar la ecuación de una parábola

Reconocer la ecuación de una elipse en forma estándar y mostrar sus vértices , focos,

y semiejes

Reconocer la ecuación de una hipérbola en forma estándar y encontrar sus vértices,

focos, semi ejes y asíntotas

Determinar puntos de intersección de curvas de segundo grado

Identificar el tipo de cónica a partir de la ecuación general de segundo grado

2


Tipos de ángulos de acuerdo a su medida

Teorema de Pitágoras

2. MATERIAL DE APOYO :

Libro de texto: CONAMAT, Colegio Nacional de Matemáticas: “Geometría, Trigonometría y

geometría analítica”, (Primera edición). Pearson Educación. México, 2010.

Software matemático (GEOGEBRA , WINPLOT)

Calculadora con CAS

3. ACTIVIDADES ESPECÍFICAS Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase. Elaboración grupal de las respuestas del cuestionario, justificación de cada etapa del

desarrollo de ejercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados. Análisis crítico de los ejercicios desarrollados.

4. METODOLOGÍA DE TRABAJO

El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para

lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad para facilitar el

proceso enseñanza-aprendizaje.

En clase los estudiantes organizan equipos de hasta 2 estudiantes (dependiendo del número de

estudiantes por curso) para desarrollar las actividades de la guía propuesta

El docente realiza el control de desarrollo de guías y califica en clase según la rúbrica de

evaluación y si no termina el grupo de desarrollar completamente la guía, entonces entregará la

parte faltante al final de la clase o en la siguiente sesión.

5. ACTIVIDADES PREVIAS( EXTRACLASE)

5.1 Resolver las siguientes ecuaciones

a) 7x – 5 = 4x + 7

b) xx

3

15

6

c) 0384 2 xx

5.2 Resolver el sistema de ecuaciones y verificar gráficamente su punto de intersección.

3x + 7y -3=0

y - 2x+2=0

5.3 Completar trinomios en la siguiente ecuación de segundo grado :

𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟗 = 𝟎

5.4 Resolver el siguiente sistema:

3


1

142 22

yx

yx

5.5 En la siguiente figura se sabe que los puntos D,O,A son colineales.(ejes sistema)

Indicar que tipo de ángulos son: ∡𝐴𝑂𝐵 , ∡𝐵𝑂𝐶, ∡𝐷𝑂𝐶

5.6 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 y la proyección de un cateto sobre ella 60m. Calcular:

a. Los catetos b y c b. La altura h relativa a la hipotenusa c. El área del triángulo

6. REVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASE

6.1 ALGUNOS CUESTIONAMIENTOS PREVIOS

a. ¿Recuerda cómo representar los números en la recta numérica?

b. ¿Sabe reducir fracciones algebraicas?

c. ¿Recuerda la clasificación de los ángulos y de los triángulos?

d. ¿Cómo se aplica el Teorema de Pitágoras de triángulos rectángulos?

e. ¿Recuerda el proceso y significado de intersección entre rectas?

6.2 SISTEMAS DE COORDENADAS

Es el conjunto de medios con los cuales se puede fijar la posición de un punto (en el plano

cartesiano).

El plano cartesiano tiene dos ejes perpendiculares los cuales en donde se cortan forman un ángulo

de 90°, por ser perpendiculares y a su punto de intersección se le conoce como origen del plano.

4


Los dos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. En este plano cartesiano,

cada punto se representa por medio de una pareja de números (x,y), llamada pareja ordenada.

La posición de un punto quedar determino por las longitudes de los segmentos de rectas, que se

encuentran en el punto y son paralelas a dos rectas fijas llamadas ejes de coordenadas.

Sea el punto (x, y) sobre el plano cartesiano. La coordenada x se llama abscisa y representa la

distancia horizontal dirigida desde el origen. La coordenada y se llama ordenada y representa la

distancia vertical dirigida desde el origen.

Ejemplo 1 Fijar los siguientes puntos sobre el plano cartesiano

Puntos en el primer cuadrante: A(2, 4) B(3, 1) C(5, 3)

Puntos en el segundo cuadrante: D(–3, 2) E(–4, 3) F(–1, 5)

Puntos en el tercer cuadrante: G(–2, –4) H(–5, –5) I(–1, –2)

Puntos en el cuarto cuadrante: J(3, –4) K(2, –2) L(4, –4)

6.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

A partir del concepto de un punto como una pareja ordenada P(x, y), si se conocen las coordenadas

de dos puntos, se puede determinar la distancia entre ellos midiendo la longitud del segmento de

recta que los une. Si A tiene coordenadas (x1, y1) y B tienen coordenadas (x2, y2), entonces la

distancia entre A y B, está dada por:

5


En esta definición, el orden en que se seleccione los puntos no influye en el valor de la distancia.

Ejemplo 2 Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2)

Ejemplo 3 Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Por lo tanto es un triángulo Isósceles

Por lo tanto es un triángulo?....................................coloque su respuesta

6.4 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.

La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene a la otra.

Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremos de una recta. Sea P(X, Y) el punto de división que se encuentra entre la recta, como se indica en la figura

Por su diferencia de segmentos se obtienen los valores de los catetos de dos triángulos rectángulos formados

2

12

2

12 )()(),( yyxxBAd

6


El punto P(x, y) divide el segmento en la relación PB

APr , como AB y PB tienen el mismo sentido el

valor de r será positivo,

Si el punto P(x, y) se encuentra fuera de los extremos A y B en el sentido de AP y PB serían opuestos y el valor de r será negativo como se indica en la figura siguiente

Considerando los triángulos semejantes formados tendremos una relación de hipotenusas y catetos,

Despejando a X;

, ,

Factorizando

7


Por lo tanto:

Análogamente:

Despejando Y;

, , ,

Factorizando

,

Por lo tanto:

Caso Particular:

Si el punto de división P(X, Y) está a la mitad del segmento AB como se indica en la figura tendremos:

Las coordenadas de P(X, Y) con el valor de r = 1 serán:

8


En este caso el punto P(X, Y) se le llaman el punto medio Pm y tendremos:

Donde:

Ejemplo 4 Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que dividida al segmento de la recta determinado

por los puntos A(2, 2) y B (-3, 4) en la relación 3

1

PB

APr

Como r es positiva el punto P(x, y) se encuentra entre los extremos A y B.

Sustituyendo los valores de ambos puntos y r tendremos:

Por tanto el punto P(X, Y) tiene las coordenadas

x

y

(x,y) = (3/4,5/2)

A

B

9


6.5 ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA - PENDIENTE

La inclinación de una recta cualquiera (que no sea paralela al eje X) es el ángulo menor que la recta forma con la dirección positiva del eje X, y se mide desde el eje X hacia la recta, en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

La tangente del ángulo que una recta forma con la dirección positiva del eje X se denomina pendiente de la recta y generalmente se representa por la letra "m", m = tan θ

La pendiente de una recta o de un segmento puede considerarse como la razón avance

elevación,

En general, la pendiente de una recta está determinada por el cambio en la distancia vertical (y2-y1), dividida entre el cambio en la distancia horizontal (x2-x1).

Entonces la pendiente m de 21PP es: 12

12

xx

yym

Si y1 = y2, su pendiente es cero. Si x1 = x2, la pendiente de la recta usualmente se denota por el símbolo

“∞” y se dice que es infinita; ∞ no es un número, es una forma de decir que no está definida.

Elevación

Avance

10


6.6 ANGULO ENTRE DOS RECTAS

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son θ1 y θ2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 10), esto es: β1 = β2 = y ά1 = ά2

Se define el ANGULO entrel1 y l2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1. En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene

dado por: tan(𝛽1) =𝑚1−𝑚2

1+𝑚1∙𝑚2

Fig. 10

6.6.1 Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2

ii) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1. m2 = -1

En la fig. 11 aparece ilustrada cada una de las situaciones

11


fig. 11

..

Ejemplo 5 Encontrar el ángulo formado por las rectas )2,2()5,4(),1,2()4,1( 21 yy

95.60

05.74ˆ

2

7

42

52)(

135ˆ

13

3

12

41)(

1

2

1

1

m

m

AC1 Hallar el perímetro de la siguiente figura y las pendientes de los segmentos de recta que forman el cuadrilátero.

Agudo

12


AC2 Graficar una recta de pendiente 10 % que pase por el origen y determine su ángulo de inclinación

AC3 Los vértices de un triángulo son A (-2,1), B (3,5) y C (7,0). Determinar si el triángulo es isósceles y

calcular su área aplicando la fórmula de semiperímetro.

Res: Área = 20,5 cm2

AC4 En el siguiente paralelogramo, cuales son las pendientes de las rectas BC, AD , la inclinación de las

rectas AD y AB. Determinar los ángulos entre las diagonales.

Resp: 15.950 , 116,570

AC5 El extremo de un segmento de recta es el punto A(2, -4). Si la ordenada del otro extremo es 3/2 de

su abscisa, determine las coordenadas del punto, si la longitud del segmento es de 262 unidades.

13


Resp: P= (4,6) o P=(-84/13 , -126/13)

AC6 Una recta tiene un ángulo de inclinación de 45° y pasa por los puntos A y B. Si el punto A tiene

coordenadas (3,-2) y la ordenada de B es -1, encuentre su abscisa.

Resp: 4

AC7 Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos

(-2, 3) y (6, -3).

Resp: Puntos de trisección: (2/3, 1), (10/3, -1) Punto medio (2, 0)

AC8 Los vértices de un triángulo son A(-1,3), B(3,5) y C(7,-1). Trazar las medianas y determinar el

punto de intersección de las mismas usando la propiedad del baricentro.

Resp: Baricentro = (3, 7/3)

6.7 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

6.7.1 Recta que pasa por el origen

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación θ con el eje x (fig. 12)

Fig. 12

Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3

sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.

Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:

𝑦1

𝑥1=

𝑦2

𝑥2=

𝑦3

𝑥3= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = tan(𝜃) = 𝑚

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, 𝑦

𝑥= 𝑚 ó y = mx (1)

14


La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. Ejemplo 6

Escribir las ecuaciones de las rectas l, m, n, y r indicadas en la figura.

......

Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) x =√3

3𝑥

Para la recta n, se tiene y = (tan 45º). Es decir y = x

Igualmente, para la recta m, se tiene:

y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x Esto es, y = -x

Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que 𝑚 =3

1=

𝑦

𝑥

Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r.

6.7.2 Recta que pasa por un punto y de pendiente conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida.

15


Al llamar b a la intersección de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:

y = mx + b (1)

Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:

y1 = mx1 + b (2)

fig. 13

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:

y – y1 = m(x – x1) (3)

La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta. .

Ejemplo 7

Determine las ecuaciones de las rectas l y r que se muestran en la figura adjunta.

Para la recta l, se tiene: y – 3 = ml (x + 1).

Pero ml = tan 135º

= - tan 45º = -1

Luego, y – 3 = - (x + 1)

ó x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l.

Para la recta r se tiene: y – 3 = mr (x + 1).

Pero, mr = tan(θ)=3/1=3 Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r.

16


AC9 Calcular:

a) Pendiente y ángulo de inclinación de la recta AB

b) Ecuación de la recta AB

AC10 a) ¿Cuál es la ecuación de la recta que es perpendicular al eje de las abscisas y que se encuentra a

6 unidades a la izquierda de la ordenada? b) ¿Cuál es la ecuación de una recta horizontal que pasa por el

punto (2,-3)?.

6.7.3 Ecuación segmentaria o simétrica de la recta

Considere la recta l de la cual conocemos las intersecciones a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 14)

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por:

Es decir, de donde,

fig. 14

17


Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

(1)

La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA SIMETRICA de la recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)

y = 0, resulta x = a (Intersección con el eje x) x = 0, resulta y = b (Intersección con el eje y)

.. Ejemplo 8

Escribir las ecuaciones de las l,, l2 , l3 , y l4 que aparecen en la figura adjunta.

Para l1 se tiene: a = 1, b = -1

Luego,𝑥

1+

𝑦

−1= 1 es la ecuación de l1, es

decir,

x – y = 1

Para l2 : 𝑥

−1+

𝑦

1= 1 , de donde x-y=-1

Para l3 : 𝑥

1+

𝑦

1= 1 , es decir, x + y = 1

Finalmente, para l4 𝑥

−1+

𝑦

−1= 1 de donde x + y = -1

AC11 Determinar la ecuación de la recta que aparece en el siguiente grafico

18


6.7.4 Ecuación general de la recta

La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema: La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

A≠0, B≠0 En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:

(4)

La ecuación (4) representa una línea recta, cuya pendiente es 𝑚 =

−𝐵

𝐴 y cuya intersección con el eje y viene dado por 𝑏 = −

𝐶

𝐵 (fig. 15)

fig. 15

19


Ejemplo 9

Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar:

a) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.

b) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a l.

Sean l1 y l2 las rectas paralela y perpendicular a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2). Sean m1, m y m2 las pendientes de l1, l y l2 respectivamente.

Como l1 t l2 entonces m1 = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m1 = -3/4. Ahora, usando la forma punto – pendiente de la

ecuación de la recta, se tiene para l1: 𝑦 − 2 =−3

4(𝑥 − 1)

y simplificándola se puede escribir en la forma general: 3x + 4y – 11 = 0

b) Como l2 u l1, entonces m2 = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m2 = 4/3.

Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para l2: 𝑦 − 2 =4

3(𝑥 − 1)

y simplificando se puede escribir en la forma general: 4x – 3y + 2 = 0 3x + 4y – 11 = 0

6.8 COORDENADAS DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS

Las coordenadas x e y del punto de intersección son la solución del sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas:

Dicho sistema puede resolverse por cualquiera de los métodos de álgebra.

6.9 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

20


Calcular la distancia del punto P(x1, y1) a una recta l.

La distancia del punto P(x1, y1) a la recta Ax + By + C = 0, B > 0, viene dada

por:

donde el signo de d indica que el punto P(x1, y1) está por encima o por debajo de la recta l.

En muchas ocasiones no interesa conocer la posición del punto y la recta, sino simplemente la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del punto a la recta se expresa por medio de la fórmula:

Ejemplo 10

a) Encontrar la ecuación de la recta que contiene el punto P (17, 12) y es perpendicular a la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0.

b) Encontrar el punto de intersección de las rectas perpendiculares del literal a).

c) Encontrar la distancia del punto de intersección obtenido en b) y el punto P dado en a).

a) Como la pendiente de la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0 es m=-5/12 entonces, si m1 denota la pendiente de la perpendicular se sigue que m1=12/5.

21


Así que de la recta que se busca, se conoce su pendiente y el punto P (17, 12). En

consecuencia, la ecuación de dicha recta viene dada por: 𝑦 − 12 =12

5(𝑥 − 17)

ó 12x – 5y – 144 = 0 es la ecuación general de la recta pedida. b) Para encontrar el punto de intersección, entre las rectas, se resuelve simultáneamente el sistema:

5x + 12y – 60 = 0 (1)

12x – 5y – 144 = 0 (2)

Para ello, se multiplica por 5 la ecuación (1) y se le suma la ecuación (2) multiplicada por 12. Así: 25x + 60y – 300 = 0

144x – 60y – 1728 = 0

169x – 2028 = 0 de donde x = 12 es la abscisa del punto de intersección.

Reemplazando el valor de x así obtenido en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2) se obtiene y = 0 como la ordenada del punto de intersección entre las rectas. Es decir

PI(12, 0) es el punto de intersección pedido.

En la figura se ilustra la situación planteada en los literales a) y b).

c) Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene:

Otra forma de obtener la distancia entre los puntos P y PI es usando la fórmula de la distancia del punto P(17, 12) a la recta de ecuación:

5x + 12y – 60 = 0.

En efecto,

22


..

AC12 Demostrar que los puntos A (-5,2), B (1, 4) y C (4, 5) son colineales, hallando la ecuación de la recta

que pasa por dos de estos puntos.

AC13Determinar la ecuación de la recta si pasa por la intersección de las rectas, 2x + y – 5 = 0, 3x - 4y

– 2 = 0, y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1, 1) y (3, 6).

AC14 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (-3,7), B (1,6). Esta recta pasa por el punto C.

¿Por qué? Demostrar analíticamente.

23


AC15 Un barco navega con una trayectoria representada por la ecuación: 7x-3y-1=0, sabiendo que un

faro se localiza en la posición (-9,-15) ¿Cuál será la distancia más cercana entre el faro y el barco?

AC16 Dado el triángulo de vértices: A (-2, 1), B(4,7) y C(6, -3). Determinar:

a) La ecuación de la altura con respecto al lado AB

b) La ecuación de la mediana del lado BC

c) El área del triángulo

AC17 A presión en el interior de un recipiente con vacío parcial se mide con un manómetro de extremo

abierto. Este aparato mide la diferencia entre presión de recipiente y la presión atmosférica. Se sabe que

1 diferencia de Omm de mercurio corresponde a una presión de 1 atmósfera, y que si la presión dentro

del recipiente se redujera a 0 atmósferas se observaría una diferencia de 760mm de mercurio,

suponiendo que la diferencia D en mm de mercurio, y la presión P, en atmósferas, se relacionan mediante

una función lineal, determina esa función.

6.10 LA CIRCUNFERENCIA

Definición como lugar geométrico: Es el conjunto de puntos P(x. y) , tales que su distancia a un punto

fijo llamado centro es siempre igual a una constante llamada radio.

Ejemplo 11 Encontrar la ecuación en forma general con centro.

2,7

2,1

2,3

3,6a

4r 2,3

d

c

b

0346

0169446

164496

1623

423

4,

22

22

22

22

222

yxyx

yyxx

yyxx

yx

yx

cpd

Nota: se exige siempre

-centro

-radio

Formula: 222rkyhx

Formula General: 022 cbyaxyx

Ecuación-Grafica

Graficar la ecuación 06518622 yxyx

24


1) Agrupamos términos y pasamos el término independiente al otro lado

2) Completamos trinomios y lo que sumemos (para completar), lo sumamos también del otro lado

3) Se pasa a la forma 222rkyhx

5r 25 3,-9-

2593

81965811896

22

22

c

yx

yyxx

Ejemplo 12 Encontrar las ecuaciones de las siguientes circunferencias:

a) Centro C (4,-2) y P (3,3)

0648

02644168

2624

26

1254323

22

22

22

22

yyxx

yyxx

yx

r

r

b) C (0,-2) y tangente a la recta 02125 yx

04

420

213

26

169

224

14425

2121205

22

22

yyx

yx

c) Radio 2 y es tangente a x = 2 y a y = -1 está en el primer cuadrante.

(4,1)

1y 1

12

10

11(y)0(x)2

422 x1

22

01

2)(0)(12

22

22

y

x

yx

01328

0412168

414

22

22

22

yxyx

yyxx

yx

d) Una mezquita tiene una entrada “de cerradura” formada x un rectángulo rematada x un circulo.

Deducir una ecuación de círculo que tenga esa posición respecto a los ejes.

25


2

3,0:

5.1

25.2

425.6

25.2

2

222

c

y

y

y

y

043

04

25

4

93

4

25

4

93

2

5

2

30

22

22

22

22

2

yyx

yyx

yyx

yx

AC18 Graficar el lugar geométrico definido por cada una de las ecuaciones

a. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏 = 𝟎

b. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟗 = 𝟎

AC19 Determinar la ecuación de la circunferencia que contiene los puntos 𝐴(0,6)𝑦 𝐵(1,5) y cuyo centro

se encuentra sobre la recta definida por la ecuación 𝑥 + 𝑦 = −1

Resp. (𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 25

AC20 Determine la ecuación general de la circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación

𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟓 = 𝟎 y cuyo centro es el punto de coordenadas 𝑪(−𝟏, −𝟐)

Resp. 13𝑥2 + 13𝑦2 + 26𝑥 + 52𝑦 − 16 = 0

AC21 Decir la posición relativa de la recta y = 3 – 2x (tangente, secante, exterior) respecto a las

circunferencias dadas. Verificar en forma gráfica y emita sus comentarios comparando la solución gráfica

y analítica.

x2 + y2 – 2x + 3y + 2 = 0

x2 + y2 – 3x + 4y – 3 = 0

2x2 +2 y2 + 3x + 5y – 5 = 0

AC22 Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑𝟗 = 𝟎 en el punto

𝑨(𝟒, 𝟓)

Resp. 5𝑥 + 4𝑦 − 40 = 0

6.11 LA PARÁBOLA

Definición como lugar geométrico: La parábola se define como el conjunto de puntos P(x,y) tales que su

distancia a un punto fijo, llamado foco, es la misma que su distancia a una recta fija llamada directriz.

Ejemplo 13 Construir las grafica de la siguiente parábola: Foco F= (5,7) Directriz x=-1, x+1=0

26


Ecuación de la Parábola

Dados el vértice de coordenadas V= (h, k) y la distancia vértice foco FV= c. La ecuación de la parábola

se obtiene: Conociendo el vértice y el LR

02048

521

521

01

501121

2

222

22

22

22

22

YXY

XYX

XYX

YXYX

27


02262

21612

21612

2761

2

7,1

4

2

2

2

2

2

yxx

yxx

yxx

yx

V

kyphx

Ejemplo 14 Graficar la ecuación:

2

84

1,4

184

884

16248168

2488

02488

2

2

2

2

2

p

pLR

V

yx

yx

yxx

yxx

xyx

Ejemplo 15

4

3

12

9

129

03403

4

2

2

p

p

p

hxpky

Ejemplo 16 Un faro (o baliza) emplea un reflector parabólico de 1m de diámetro ¿Qué profundidad

debe tener para que la fuente luminosa se coloque a ½ de distancia entre el vértice y el plano de la

orilla o borde?

28


3536.0176.02

176.032

1

32

1

84

1

02402

1

4

2

2

2

2

dprofundida

mp

p

p

pp

hxpky

AC23 Graficar el lugar geométrico definido por la ecuación e indicar todos los elementos.

𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟔𝟖 = 𝟎

𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟗 = 𝟎

AC24 Un punto 𝑷(𝒙, 𝒚) se mueve de manera que su distancia al punto A(3,-1) es siempre igual a su

distancia a la recta 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 Determinar la ecuación del lugar geométrico

Resp. 𝑥2 − 16𝑦 = 0

AC25 Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y pasa por los puntos A(19, 2),

B(10, -1) y C(7, 0). (Algebra lineal)

Resp. 3y2 –x +7=0

AC26 Dos torres de 24 metros de altura sostienen un puente colgante, como el que se muestra en la

figura. Si las torres están separadas 36 metros y el puntal más corto mide 6 metros. ¿Cuál es la altura de

un puntal que se encuentra a 6 metros del centro?

29


Resp. 8m AC27 Encuentra los puntos de intersección de la parábola y2 – 8y – 16x + 64 = 0 con la recta 4x + y –

24=0, grafique la región que se encuentra entre estas dos gráficas.

Resp. (4, 8) y (7, -4)

6.12 ELIPSE

Definición como lugar geométrico: Es el conjunto de puntos P(x, y) tales que la suma de sus distancias a

2 puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante llamada 2a.

a = Distancia del vértice al centro

c = Distancia del centro al foco

b = Distancia del centro a B1

2a= distancia de V1 a V2

222 cba

30


a

bLRlado

a

ce

adExentricid

cba

CFc

CBb

VCa

C

Eje

2

222

1

1

2 recto

1

kh,

2bmenor Eje

2amayor

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Ejemplo 17 Determinar la ecuación de la elipse que tiene:

62ay

6,4F 2,4Fen cos 21

Fo

5

549

49

)7,4(

)1,4(

3

2

4,4

2

2

222

2

1

b

b

b

cba

V

V

a

c

C

0179407259

04580405144729

04516851689

454549

19

4

5

4

22

22

22

22

22

yxyx

yyxx

yyxx

yx

yx

Ejemplo 18 Graficar la ecuación:

31


1

4

1

9

4-x 1

9

36

1

4

36

4

361944

964371291684

37189324

037183294

2222

22

22

22

22

yyx

yx

yyxx

yyxx

yxyx

4,1 3

5

3

8

3

)4(22

5c 5

c4a

Horizontal Elipse

2b 4b

3a 9

2

2

2

2

2

Ce

LR

a

bLR

c

a

3512 acVF

4,3 21,4

7,1 1.34V 1,54

1

11

B

F

4,-1 21,4

1,1 1.34V 1,54

2

22

B

F

Ejemplo 19 Encontrar la ecuación de la elipse, coordenadas focos y excentricidad.

dmin =91 446 000 millas

dmáx=94 560 000 millas

2a=dmin + dmax =186 006 000

a= 93 003 000

c= a – dmin = 1 557 000

e= 155700/93003000=0.0167

2965,989,922

1557000000 003 95b 22222

b

cab

32


6.13 LA HIPÉRBOLA

Es el conjunto de puntos P(x, y) tales que la diferencia de sus distancias a 2 puntos fijos llamados focos

es siempre igual a una constante llamada 2a

aPFPF

aa

ce

bac

CFc

CBb

CVa

C

ejeB

ejeVV

2

2bLR 1

Vy V o Fy F entre medio punto

conjugado B

o transvers

21

2

222

2121

21

21

Ejemplo 20 Construir la siguientes hipérbola, encontrar todos sus elementos y determinar su ecuación

en forma general

23.25b 5b 49b

3c 2a 0,0

42ay 0,3 ,0,3

22

21

C

FF

02045

36244416249

96243

049623

01296816

9681696

96496

49696

9603

9603

22

222

222

22

22

2222

222

22

2222

2222

2

2222

1

yx

xyxxx

xyxx

xyxx

xxyx

xyxxyx

xyxxyx

xyxxyx

yxxyxPF

yxxyxPF

Fórmula general

33


CBCVCFc

aba

C

b

hx

a

b

ky

a

hx

b a

1a

ce

2bLR c

conjugado eje2b o, transverseje2a kh,

tical ver1k-y

horizontal 1

2222

2

2

2

2

2

2

2

2

Ejemplo 21 Graficar y determinar la ecuación en forma general de las siguientes hipérbolas.

4 o transverseje )3,1(y )3,7( Focos

)3,4(

5

2

3

23.25b

2a

3

C

LR

e

c

Ejemplo22 Graficar 011385449 22 yxyx

3

8LR 6.313c 2b 3a

2.13

13e (3,1)

)1,1(B

)1,5(B verticaliperbola 1

4

)3(

9

)1(

)131,3(F 42b conjug Eje 19

)1(

4

)3(

)2,3(V 62a transEje 36)1(4)3(9

)4,3(V 481113)12(4)96(9

11384549

2

122

1,2

22

2

22

1

22

22

C

Hxy

yx

yx

yyxx

yyxx

0 ) 24 24 40 4 5x

0 20 36 24 4 80 40 5x

20 ) 9 6 ( 4 ) 16 8 5(x

1 5

) 3 (

4

) 4 (

1 ) ( ) (

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

y x y

y y x

y y x

y x

b

k y

a

h x

34


6.13.1 Asíntotas de una hipérbola

Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola horizontal.

0h-xb

0h-xb

kya

hxa

bky

kya

Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola vertical.

0k-yb

0k-yb

hxa

hxb

aky

hxa

Ejemplo 23 Ecuación de asíntotas de las hipérbolas.

3b 62

055405449x 19

5

4

3-x

2a 42a

6conjugado eje

absisas a paralelo 4o transverseje 3,5

22

22

b

yxyy

C

0123

01923

01029310293

052335233

0543922

yx

yx

yxyx

yxyx

yx

01923

93102

0123

93102

32

35

yx

xy

yx

xy

xy

Ejemplo 24 Un cometa sigue una recta hiperbólica al pasar cerca del sol y alcanza su punto más

cercano a este astro, en el vértice a 43 millones de millas de él.

Cuando la recta que une al sol c/n el cometa es al eje transverso de la hipérbola, el cometa está a 137

millones de millas del sol Haya una ecuación de la órbita del cometa, si el eje x se coloca en el eje

transversal y el origen en el centro ¿Dónde está el sol?

35


184951

137184986

13743

43

43

13742

0,0

22

22

a

aaaa

aaa

ac

ac

LR

C

25.79

4325.36

4.70

9.4966

25.36

137b 137

2

22

c

c

b

b

a

aa

b

0635040012964900

149001296

22

22

yx

yx

AC28 Determina si las siguientes ecuaciones representan una cónica (parábola, elipse o hipérbola), un

punto (coordenadas), 2 rectas (paralelas o concurrentes). En cada caso justifique su resultado.

4x² + 5y² + 8x - 10y + 9 = 0

9x2 + 4y2 – 16y = 20

x2 – 6x – 12y – 15 = 0

x2 – y2 + 2x – 2y = 0

y² – 5y +6 = 0

y2 + 2y – 4x2 – 3 = 0

y2 + 4x – 4y – 20 = 0

4𝑥2 − 3𝑦2 + 8𝑥 + 30𝑦 − 83 = 0

AC29 Determinar y graficar la ecuación de la cónica 9𝑥2 + 𝑦2 − 54𝑥 + 4𝑦 + 49 = 0

AC30 Se sabe que el punto A es el vértice de una parábola, C es el centro de una circunferencia y los puntos B y D son las intersecciones de las 2 curvas:

a) Hallar las ecuaciones de las curvas y graficar b) Verificar analíticamente los puntos de intersección c) ¿El punto E pertenece a la circunferencia? d) ¿El punto F pertenece a la circunferencia? e) Sombrear la región común menor a las 2 curvas

36


7. OBSERVACIONES ESPECIALES

Revise los conceptos vistos en clase, que están relacionados con esta guía. Desarrollar todos los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el

docente. Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de algunos ejercicios.

Ante cualquier duda, pregunte a su profesor.

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