Download - Unidade II - Teoria Da Probabilidade
Probabilidade e Estatística
Prof. Jefferson Heráclito
Curso de Engenharia Civil
Unidade II
Teoria das Probabilidades
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Teoria da contagem
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
2.1 Introdução
A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados
estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de
determinar possíveis correlações e nexos causais.
A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a
freqüência da ocorrência de eventos, tanto em estudos
observacionais quanto experimentais.
Em outras palavras, a estatística procura modelar a aleatoriedade
e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de
fenômenos futuros, conforme o caso.
Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir
o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o
explique, se determinístico ou probabilístico.
Modelo determinístico:
• Adotado para explicar fenômenos submissos às leis
sistemáticas.
• Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a
relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em
forma unívoca e imutável.
2.1 Introdução
Modelo probabilístico:
• Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que
são aqueles cujos resultados, mesmo em condições
normais de experimentação, variam de uma
observação para outra, dificultando dessa maneira a
previsão de um resultado futuro.
• Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis
sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo
acaso.
2.1 Introdução
A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo
matemático será o cálculo das probabilidades.
Diante de um acontecimento aleatório é possível, às
vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de
probabilidade.
2.1 Introdução
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
2.2 Aleatoriedade
Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado
considerando-se as seguintes afirmações:
a- Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6;
b- A próxima carta retirada de um baralho será um ás.
• A afirmação a pode ser confirmada ou negada de forma
conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é
uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa).
• Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmado
que o fato é possível, mas que é possível, também, a
saída de qualquer uma das 52 cartas do baralho.
No segundo caso somente a realização do experimento
permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira;
trata-se de um acontecimento aleatório
Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por
admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem
elementos de juízo suficientes para predizer qual deles
ocorrerá em um determinado experimento.
2.2 Aleatoriedade
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaços amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
Definição:
• Um experimento que pode fornecer diferentes resultados,
muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é
chamado de um Experimento Aleatório. (Montgomery e
Runger, 2013).
2.3 Experimento Aleatório
2.3 Experimento Aleatório
Características:
Para que um experimento seja considerado aleatório é
necessário que apresente as seguintes características:
1. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente
sob as mesmas condições;
2. Não se conhece, a priori, um particular valor do
experimento; entretanto, pode-se descrever todos os
possíveis resultados (as possibilidades);
Características:
3. Quando o experimento for repetido um grande número
de vezes, surgirá uma regularidade na apresentação dos
resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da
fração freqüência relativa:
n
rf
onde: n é o número de repetições, e
r é o número de sucessos de um particular
resultado estabelecido antes da realização do
experimento.
2.3 Experimento Aleatório
Exemplos:
• Jogar um dado e observar o número mostrado na face
superior.
• Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o
número de coroas obtidas.
• Contar o número de peças defeituosas da produção diária
da máquina “A”.
2.3 Experimento Aleatório
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
2.4 Espaço Amostral
Definição:
• Para cada experimento aleatório E, define-se espaço
amostral S como o conjunto de todos os possíveis
resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996).
• O conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório é chamado de espaço amostral do
experimento. O espaço amostral é denotado por S.
(Montgomery e Runger, 2013).
2.4 Espaço Amostral
- Exemplos:
i. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.
S = R+ ={x | x > 0}
ii. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.
S = {x | 10 < x < 11}
iii. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.
S = {baixa,média, alta}
iv. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.
S = {sim, não}
2.4 Espaço Amostral
- Exemplos:
a) E: jogar um dado e observar o número na face superior.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) E: lançar duas moedas e observar o resultado.
S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.
c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte,
acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até
fundir o filamento:
S = {t : t ≥ 0}
- Exemplos:
d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um
período de 24 horas em uma determinada localidade; as
temperaturas mínima e máxima são registradas:
S = {(x, y) : x ≤ y}, onde x é a temperatura mínima e y a
máxima
e) E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade não
poderá ser menor que um certo valor (m) e a temperatura
máxima não poderá ser superior a um certo valor (M).
S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤ M}
2.4 Espaço Amostral
2.4 Espaço Amostral
Diagrama em forma de árvore:
2.4 Espaço Amostral
Exercício 01:
Cada mensagem em um sistema digital de comunicação
será classificada dependendo de ela ser recebida dentro de
um tempo específico pelo projeto do sistema. Se três
mensagens forem classificadas, aplique o diagrama em
forma de árvore para representar o espaço amostral de
resultados possíveis.
2.4 Espaço Amostral
Exercício 02:
Uma construtora fornece imóveis com alguns opcionais.
Cada imóvel é encomendado:
com ou sem garagem;
com ou sem ar-condicionado;
com uma das três escolhas de esquadrias;
com uma das quatro cores existentes.
Se o espaço amostral consistir no conjunto de todos os
tipos possíveis de imóveis, qual será o número de
resultados no espaço amostral?
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
2.5 Evento
Definição:
• É um conjunto de resultados do experimento.
• Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S.
Observação:
- Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,
, são eventos.
- S é dito o evento certo e o evento impossível.
- Exemplo 1:
E: lançar o dado e observar o número da face superior.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos:
A: ocorrer número par: A = {2, 4, 6}
B: ocorrer número impar: B = {1, 3, 5}
C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: C = {6}.
2.5 Evento
- Exemplo 2:
E: jogar três moedas e observar o resultado.
S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c),
(k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)}
Eventos:
A: ocorrer pelo menos duas caras:
A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)}
B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.
2.5 Evento
• Observações:
- Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode-
se verificar que o número total de eventos extraídos de S é
dado por 2n;
- No exemplo 1 (lançamento do dado), o número total de
eventos é 26 = 64.
2.5 Evento
• Observações:
- A partir do uso das operações com conjuntos, novos
eventos podem ser formados:
a) é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou
ambos ocorrem;
b) é o evento que ocorre se A e B ocorrem
simultaneamente;
c) ou A’ é o evento que ocorre se A não ocorre.
BA
BA
A
2.5 Evento
- Exemplo:
E: lançar um dado e observar o resultado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = ocorrer número múltiplo de 2: A = {2, 4, 6}
B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6}
= {2, 3, 4, 6}
= {6}
= {1, 3, 5}
= {1, 2, 3, 4, 5}
BA
BA
A
BA
2.5 Evento
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
2.6 Eventos Mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são denominados mutuamente
exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer
simultaneamente, ou seja, BA
• Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = ocorre número par – A = {2, 4, 6}
B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5}
;
logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a
ocorrência de um número que seja par e ímpar não
pode ser verificada como decorrência do mesmo evento.
BA
Introdução
Aleatoriedade
Experimento aleatório
Espaço amostral
Evento
Eventos mutuamente exclusivos
Probabilidade
Teoria das Probabilidades - Sumário
2.7 Probabilidade
Definição:
- Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço
amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é
uma função definida em S que associa a cada evento um
número real, satisfazendo os seguintes axiomas:
(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
(ii) P(S) = 1;
(iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos
, então )B(P)A(P)BA(P BA
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Teoria da contagem
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
2.8 Teoremas Fundamentais
• T1: Se é o conjunto vazio, então .
• Demonstração:
- Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois
;
- De (iii), temos que ;
- Como , então ou
- Logo .
A
)()()( PAPAP
AA )(P)A(P)A(P
0)(P
0)(P
)A(P)A(P)(P
• T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – P(A).
• Demonstração:
- Do diagrama, pode-se escrever .
- Como (são mutuamente exclusivos),
,
;
- De (ii) 1 = P(A) + P(Ā),
- Logo P(Ā) = 1 – P(A).
AAS
)A(P)A(P)AA(P
)A(P)A(P)S(P
AĀ
S
AA
2.8 Teoremas Fundamentais
• T3: Se , então P(A) ≤ P(B).
• Demonstração:
- Do diagrama, pode-se escrever que .
- Como (são mutuamente exclusivos),
,
e
P(B) – P(A) ≥ 0, (de i), tem-se que
P(A) ≤ P(B).
)BA(AB
)BA(P)A(P)B(P
)A(P)B(P)BA(P
S
AB
)BA(A
BA
2.8 Teoremas Fundamentais
• T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer,
então .
• Demonstração:
a) Se A e B são mutuamente exclusivos , recai-se no
axioma (iii);
)BA(
)BA(P)B(P)A(P)BA(P
A
BBA
S
2.8 Teoremas Fundamentais
• Demonstração:
b) Se A e B não são mutuamente exclusivos , tem-se:
- Os eventos A e são mutuamente exclusivos;
logo, pelo axioma (iii)
- Mas , B é a união dos eventos mutuamente exclusivos
e ;
- Logo,
)BA(
)BA(
)BA(P)A(P)BA(P)]BA(A[P
)AB( )AB(
).BA(P)BA(P)B(P A
BBA
S
2.8 Teoremas Fundamentais
• Demonstração:
- Substituindo o valor de
na expressão anterior, tem-se:
)BA(P)B(P)A(P)BA(P
)BA(P)B(P)BA(P
2.8 Teoremas Fundamentais
Teoremas Fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Teoria da contagem
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
• Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}.
• Considere-se o evento formado por um resultado simples
A = {ai}.
• A cada evento simples {ai} associa-se um número pi
denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condições:
a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n
b) p1 + p2 + ...+ pn = 1
• A probabilidade de cada evento composto (mais de um
elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos
pontos de A.
2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos
• Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A
tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem
duas vezes mais probabilidade de ganhar de C. a) Quais são as
probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? b) Qual seria a
probabilidade de B ou C ganhar?
• Solução:
P(C) = p;
P(B) = 2.P(C) = 2p;
P(A) = 2.P(B) = 4p
Como P(A) + P(B) + P(C) = 1, então
4p + 2p + p = 1, de onde se obtém p = 1/7.
2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos
• Solução (continuação):
• a) P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7.
b)
Do axioma (iii):
= 2/7 + 1/7 = 3/7.
)C(P)B(P)CB(P
2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Teoria da contagem
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
• A Teoria da Contagem é utilizada quando a determinação de
resultados que compreende o espaço amostral (ou um evento)
se torna mais difícil.
• O diagrama em forma de árvore pode ser substituído pela
equação abaixo quando se objetiva encontrar o número total
de um espaço amostral:
𝑛1 𝑥 𝑛2 𝑥 …𝑥 𝑛𝑘
2.9.1 Teoria da Contagem
• Outro cálculo útil é o número de sequências ordenadas dos
elementos de um conjunto, conhecida como permutação.
• Exemplo: Em um conjunto S={a, b, c} as prováveis
permutações de S seriam: abc, acb, bac, cab e cba.
• O número de permutações de subconjuntos de r elementos
selecionados de um conjunto de n elementos diferentes é:
𝑃𝑛,𝑟 = 𝑛 𝑥 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 − 2 𝑥 …𝑥 𝑛 − 𝑟 + 1 =𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
2.9.1 Teoria da Contagem
• Exemplo: Um canteiro de obra tem oito localizações
diferentes para armazenamento de material. Se quatro
materiais diferentes chegaram à obra, quantas possibilidades
de armazenamento são possíveis?
𝑃8,4 = 8 𝑥 7 𝑥 6 𝑥 5 =8!
4!
𝑃8,4 = 1680 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑧𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜.
2.9.1 Teoria da Contagem
• Podemos contar o número de subconjuntos de r elementos que
pode ser selecionado a partir de um conjunto de n elementos,
porém não importando a ordem. A resolução desse problema é
chamada combinação.
𝐶𝑛,𝑟 =𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
• Exemplo: Um canteiro de obra tem oito localizações para
armazenamento de material. Se quatro materiais idênticos
chegaram à obra, quantas possibilidades de armazenamento
são possíveis?
𝐶8,4 =8!
4! 8 − 4 !=
8 𝑥 7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4!
4 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 4!=
1680
24= 70
2.9.1 Teoria da Contagem
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Teoria da contagem
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
• O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto
amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade.
• Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada
ponto será igual a 1/n.
• Se um evento A contém r pontos, então:
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
n
1.r)A(P
• Freqüentemente, este método de avaliar a probabilidade é
enunciado da seguinte forma:
)casosdetotalºn(NTC
)favoráveiscasosdeºn(NCF)A(P
ou
ocorreSamostralespaçooqueemvezesdeºn
ocorrerpodeAeventooqueemvezesdeºn)A(P
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
• Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de baralho
com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta
de copas?
• Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas}
4
1
52
13
cartasdetotalºn
copasdecartasdeºn)B(P
13
1
52
4
cartasdetotalºn
reisdeºn)A(P
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
• Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise
combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número
de casos favoráveis e o número total de casos.
• Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são
defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade:
a) de ambas serem defeituosas;
b) de ambas não serem defeituosas;
c) de pelo menos uma ser defeituosa.
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
• Soluções:
a) A = {ambas são defeituosas}
11
1
66
6
NTC
NCF)A(P,Logo
vezes66!10.1.2
!10.11.12
)!212(!2
!12CocorrerpodeS
vezes6!2.1.2
!2.3.4
)!24(!2
!4CocorrerpodeA
2,12
2,4
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
• Soluções:
b) B = {ambas não são defeituosas}
33
14
66
28
NTC
NCF)B(P,Logo
vezes66!10.1.2
!10.11.12
)!212(!2
!12CocorrerpodeS
vezes28!6.1.2
!6.7.8
)!28(!2
!8CocorrerpodeB
2,12
2,8
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
• Soluções:
c) C = {pelo menos uma é defeituosa}
33
19
33
141)B(P1)C(P
BCouBdeocomplementoéC
2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
• Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e
observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. Então
P(A) = 1/6.
• Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1, 3,5},
então P(B) = 1/2.
• A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à
ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será
P(A/B) = 1/3.
2.11 Probabilidade Condicional
• Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o
espaço amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi
reduzido para S* = {1, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a
probabilidade do novo evento é avaliada.
• Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do
evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é
denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por:
.ocorreujápois,0)B(P,)B(P
)BA(P)B/A(P
2.11 Probabilidade Condicional
• Para o exemplo apresentado, tem-se:
3
1
21
61
)B(P
)BA(P)B/A(P
• No caso de aplicações mais complexas, é mais prático se
utilizar a seguinte fórmula:
)B(NCF
)BA(NCF
NTC)B(NCF
NTC)BA(NCF
)B(P
)BA(P)B/A(P
2.11 Probabilidade Condicional
• Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados,
considere os eventos: A = {(x1,x2)|(x1 + x2) = 10} e
B = {(x1,x2)| x1 > x2}, onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o
resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A).
• Soluções:S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)}
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), B = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3),
(5,1), (5,2), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)}
(6,1). (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = {(6,4)}
2.11 Probabilidade Condicional
• Soluções:
.3
1
)A(NCF
)BA(NCF)A/B(P
;15
1
)B(NCF
)BA(NCF)B/A(P
;12
5
36
15
NTC
)B(NCF)B(P
;12
1
36
3
NTC
)A(NCF)A(P
2.11 Probabilidade Condicional
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
• O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da
definição de probabilidade condicional, como:
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos,
A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da
probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade
condicional do outro em relação ao primeiro”.
• Assim:
2.12 Teorema do Produto
)A/B(P).A(P)BA(P)A(P
)BA(P)A/B(P
)B/A(P).B(P)BA(P)B(P
)BA(P)B/A(P
• Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades
onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a
outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas
não sejam defeituosas?
• Solução: A = { a primeira peça retirada é boa}
B = {a segunda peça retirada é boa}
33
14
11
7
12
8)B/A(P).B(P)BA(P
2.12 Teorema do Produto
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
• Definição: Um evento A é considerado independente de um
outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade
de A condicionada a B, ou
2.13 Independência Estatística
)B/A(P)A(P
)A/B(P)B(P
Se A é independente de B, então B é independente de A;
logo:
- Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são
independentes, então:
)B(P).A(P)BA(P
- Dados n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são
independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3, ..., n a n, isto é:
)A(P).A(P...).A(P).A(P).A(P)A...AA(P
)A(P).A(P).A(P)AAA(P
...;);A(P).A(P).A(P)AAA(P
)A(P).A(P)AA(P...;);A(P).A(P)AA(P
n1n321n21
n1n2nn1n2n
321321
n1nn1n2121
2.13 Independência Estatística
• Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro
defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com
reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem
defeitos?
• Solução: A = {a primeira peça não possui defeito}
B = {a segunda peça não possui defeito}
- Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por
A, ou seja, A e B são independentes; logo:
9
4
12
8
12
8)B(P).A(P)BA(P
2.13 Independência Estatística
• Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral
equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de
S, verificar se estes eventos são independentes.
• Solução: S = {1, 2, 3, 4};
A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4};
}1{CBA
};1{CB};1{CA};1{BA
2.13 Independência Estatística
• Solução (continuação):
4
1)C(P).A(P)CA(P
:olog;4
1)CA(P;
2
1
4
2)C(P;
2
1)A(P:CeAPara
4
1)B(P).A(P)BA(P
:olog;4
1)BA(P;
2
1
4
2)B(P;
2
1
4
2)A(P:BeAPara
2.13 Independência Estatística
• Solução (continuação):
8
1)C(P).B(P).A(P
4
1)CBA(P
:olog
;4
1)CBA(P;
2
1)C(P;
2
1)B(P;
2
1)A(P:CeB,APara
4
1)C(P).B(P)CB(P
:olog;4
1)CB(P;
2
1)C(P;
2
1)B(P:CeBPara
- Portanto, os eventos A, B e C não são independentes.
2.13 Independência Estatística
Teoremas fundamentais
Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Espaços amostrais finitos equiprováveis
Probabilidade condicional
Teorema do produto
Independência estatística
Teorema de Bayes
Teoria das Probabilidades - Sumário
• Sejam A1, A2, A3, ..., An, n eventos mutuamente exclusivos,
tais que .
Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos,
e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as
probabilidades condicionais P(B/Ai).
Então, para cada i, tem-se:
que é o Teorema de Bayes.
SA...AAA n321
)A/B(P).A(P...)A/B(P).A(P)A/B(P).A(P
)A/B(P).A(P)B/A(P
nn2211
iii
2.14 Teorema de Bayes
• Exemplo: Tem-se três urnas (u1, u2, u3), cada uma contendo
bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas
no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se
uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é
branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da
urna 2? e da urna 3?
Cores / Urnas u1 u2 u3
P (preta)
B (branca)
V (vermelha)
3
1
5
4
3
2
2
3
3
2.14 Teorema de Bayes
Solução:
;8
3)/(;
3
1
9
3)/(;
9
1)/(
;3
1)(;
3
1)(;
3
1)(
321
321
uBPuBPuBP
uPuPuP
Cores / Urnas u1 u2 u3
P (preta)
B (branca)
V (vermelha)
3
1
5
4
3
2
2
3
3
2.14 Teorema de Bayes
• Solução (continuação):
)/().()/().()/().(
)/().()/(
332211
222
uBPuPuBPuPuBPuP
uBPuPBuP
2.14 Teorema de Bayes
59
24
8
3
3
1
3
1
3
1
9
1
3
13
1
3
1
• Solução (continuação):
59
8)/(1)/()/()/(
59
27)/(
1321
3
BuPBuPBuPBuP
BuP
2.14 Teorema de Bayes
FIM