UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCACOMUNIDAD EDUCATIVA AL SERVICIO DEL PUEBLO
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA COMERCIAL, ADMINISTRACIÓN Y
CONTABILIDAD
FACULTAD DE INGENIERÍA COMERCIAL
FACULTAD DE CONTABILIDAD
UNIDAD ACADÉMICA DE ESTUDIOS A DISTANCIA
MATEMÁTICA II
20/04/23 1Ing. Jorge Yánez León
Recuerden estimad@s estudiantes que rotativamente por sesión, debe asumir voluntariamente y con decisión la responsabilidad de colaborar con el profesor-tutor y sus compañer@s de aula en el desarrollo de cada una de las sesiones.
ASESORÍA DE MATEMÁTICA II
20/04/23 2Ing. Jorge Yánez León
MATEMÁTICA II
Receptar las preguntas o inquietudes de sus compañeros/as, tamizarlas y leerlas en el momento oportuno.
FUNCIONES DEL ALUMN@ RESPONSABLE
20/04/23 3Ing. Jorge Yánez León
MATEMÁTICA II
Antes de iniciar, cada alumn@ debe tener tres hojas para que formule alguna pregunta o inquietud al profesor-tutor, relacionada con la temática de la clase.
20/04/23 4Ing. Jorge Yánez León
MATEMÁTICA II
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 5
REVISIÓN DE LAS ACTIVIDADES Y
AUTOCONTROL DE LA UNIDAD # 5
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 6
1.- Encuentre ecuaciones para la recta tangente y la recta normal en el punto P de la gráfica de la ecuación dada, determine también los puntos de la gráfica en los que la recta tangente es horizontal
a) y = (4x2-8x+3)4; P(2, 81)
y’ = 4(4x2-8x+3)3(8x - 8)
y’ = 32(4x2-8x+3)3(x - 1) P(2, 81) x = 2
y’ = 32(16 – 16 + 3)3(2 - 1)
y’ = 32 (27) y’ = 864 = m
ECUACIÓN DE LA TANGENTE y – y1 = m (x – x1)
y – 81 = 864 (x – 2)
864x – y – 1647 = 0
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 7
ECUACIÓN DE LA NORMAL )(1
11 xxm
yy
)2(864
181 xy
069986864 yx
Recta tangente es horizontal : y´ = 0
y’ = 32(4x2-8x+3)3(x - 1) 32(4x2-8x+3)3(x - 1) = 0
(4x2-8x+3)3 = 0 4x2-8x+3 = 0 16x2-8(4)x+12 = 0
(4x - ) (4x - )= 0 (4x - 6) (4x - 2)= 0
2
31 x
2
12 x (x - 1) = 0 13 x
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 8
2
31 x
2
12 x
13 x
01 y
02 y
13 y
P1 P2
P3
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 9
2.- Calcular los máximos y mínimos de cada una de las funciones siguientes:
22 ax
ax
22)(
ax
axxf
222
22
)(
)(2)()´(
ax
axxaxaxf
222
232
)(
2)´(
ax
axaaxxf
222
23
)()´(
ax
axaxf
222
22
)(
)()´(
ax
axaxf
0)(
)()´(
222
22
ax
axaxf 022 ax 0))(( axax
ax 1 ax 2
Cálculo de signo de la primera derivada
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 10
ax 121
ax
ax 21
222
22
)(
)()´(
ax
axaxf
)´(xf
222
22
)(
)()´(
ax
axaxf
)´(xf
máximo ax 1 cuando2
1)(
22
2
22
aa
a
ax
axxf
ax 2 ax 22 222
22
)(
)()´(
ax
axaxf
)´(xf
02 x222
22
)(
)()´(
ax
axaxf
)´(xf
mínimo ax 2 cuando2
1)(
22
2
22
aa
a
ax
axxf
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 11
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 12
3.- Use el criterio de la segunda derivada para calcular máximos y mínimos, discuta la concavidad, encuentre los puntos de inflexión y trace su gráfica
12)( 23 xxxxf 143)´( 2 xxxf 46)´´( xxf
Puntos críticos: 0)´( xf
0143)´( 2 xxxf
0143 2 xx
Factorizando: 0)13)(1( xx 11 x3
12 x
Analizando: 11 x
24)1(6)1´´( f Mínimo 11)1(21)1( 23 f
1)1( f
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 13
3
12 xAnalizando:
43
16)´´(
xf
46)´´( xxf
23
1´´
f Máximo
12)( 23 xxxxf
13
1
3
12
3
1
3
123
f
15,127
31
3
1
f
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 14
Conclusión:
Mínimo: 11 x 1)( yxf
3
12 xMáximo: 15,1yxf
Puntos de inflexión: 0)´´( xf 046 x 66,03
2x
12)( 23 xxxxf
13
2
3
22
3
2
3
223
f
07,127
29
3
2
f
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 15
Mínimo: (1,1)
Máximo:(0.33 , 1.15)
Inflexión: (0.66 , 1.07)
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 16
AUTOCONTROL # 51.- Usando el criterio de la primera derivada para encontrar máximos y mínimos de una función, describa los intervalos en las que la función es creciente o decreciente y trace su gráfico
xxxxf 1294)( 23 121812)´( 2 xxxf 0121812 2 xx
0)232(6 2 xx 0232 2 xx
0)12)(42( xx
042 x
21 x
012 x
2
12 x
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 17
Intervalos: x = 22
1
:)´(xf
edecrecient
f 18)1´( creciente
f 18)1´( edecrecient
f 42)3´(
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 18
edecrecient
f 18)1´(
creciente
f 18)1´(
edecrecient
f 42)3´(
MATEMÁTICA II
Ronda de preguntas concretas sobre la la Unidad # 5, previamente tamizadas por el (la) estudiante responsable de la sesión, quién leerá todas las inquietudes de sus compañer@s de aula, acercándose a la cámara y al micrófono.
1.QUITO; 2. TENA; 3. CUENCA; 4. AZOGUES; 5. ZAMORA
20/04/23 19Ing. Jorge Yánez León
MATEMÁTICA II
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 20
UNIDAD # 6
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 21
RELACIÓN DE LOS OBJETIVOS OPERACIONALES CON LOS CONTENIDOS DE LAS UNIDADES DE APRENDIZAJE
UNIDAD # 6: APLICACIONES ECONÓMICAS
OBJETIVOS OPERACIONALES
CONTENIDOS
- Identificar las aplicaciones a la economía del cálculo diferencial - Aplicar las funciones económicas en la resolución de problemas.
1.- APLICACIONES A LA ECONOMÍA
2.- FUNCIONES ECONÓMICAS2.1.- FUNCIÓN DE COSTO TOTAL: C(x)2.2.- FUNCIÓN DE COSTO PROMEDIO O MEDIO: Q(x)2.3.- FUNCIÓN DE INGRESO: R(x)2.4.- FUNCIÓN DE UTILIDAD: P(x) = R(x) – C(x)2.5.- COSTO MARGINAL2.6.- INGRESO MARGINAL2.7.- CONTRIBUCION
20/04/23Ing. Jorge Yánez León
22
La relación de las actividades con los temas de estudio de la unidad;
Ahora es importante que usted compruebe:
ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES
Luego de que haya establecido la relación entre los objetivos operacionales con los temas de la unidad.
20/04/23
MATEMÁTICA I
La factibilidad de su realización;
La forma y momento para su ejecución;Los recursos que necesita para lograrlas; y,
El o los objetivos que pretenden que usted logre.
MATEMÁTICA II
ENVÍO DE LAS ACTIVIDADES DE LA UNIDAD # 6
Para el las Actividades de la Unidad # 6 deberá acceder a la asignatura en la Plataforma www.educacue.net DESCARGAR, DESARROLLAR y ESCANEAR EN FORMATO PDF, y; ENVIAR AL PROFESOR HASTA LAS 20h00 DEL 25 DE JUNIO DE 2011
20/04/23 23Ing. Jorge Yánez León
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 24
1.- Encuentre la función de demanda marginal, la función de ingreso, la función de utilidades, la función de utilidades marginales, las utilidades máximas y el costo marginal cuando la demanda es de 10 unidades, para las funciones de demanda y costos dadas a continuación:
UNIDAD # 6APLICACIONES ECONÓMICAS
a)
1050)(
xxP xxC 210)(
180)( xxP 1275)( xxxCb)
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 25
2.- Una agencia de viajes calcula que para vender x “paquetes vacacionales”, el precio del paquete debe ser de (1800-2x) unidades monetarias para 1001 x
El costo para la agencia de x paquetes es de (1000 + x + x2). Encuentre:a) La función de ingresob) La función de ganancia (o de utilidades)c)El número de paquetes que produce la máxima gananciad) La ganancia máxima.
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3.- Un fabricante determina que para vender x unidades de un producto el precio de venta de una unidad debe ser (400 – 0.05x) unidades monetarias. El costo de producción de x unidades es de (500+10x). Encuentre:•La función de ingreso•La función de ganancias (o de utilidades)•El número de unidades que producen la ganancia máxima•El precio por unidad cuando el ingreso marginal es 300.
SIGUEN 17 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
MATEMÁTICA II
IDENTIFICACIÓN DE LA FORMA Y MOMENTO DE RESOLUCIÓN DEL AUTOCONTROL
El último paso del momento meso, consiste en verificar en el cronograma y en los preliminares, la forma y el momento para la resolución del autocontrol, que es una tarea indispensable para la evaluación formativa.
Para el Autocontrol de la Unidad 6, que SERÁ EN LÍNEA deberá acceder a la asignatura en la Plataforma www.educacue.net DESDE LAS 08h00 DEL 27 DE JUNIO HASTA LAS 20h00 DEL 28DE JUNIO DE 2011, EL MISMO QUE TENDRÁ UNA DURACIÓN DE 2 HORAS PARA RESOLVER
20/04/23 27Ing. Jorge Yánez León
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 28
CONCEPTOS BÁSICOS PARA LAUNIDAD # 6
1.- APLICACIONES A LA ECONOMÍA
2.- FUNCIONES ECONÓMICAS 2.1.- FUNCIÓN DE COSTO TOTAL: C(x).
32)( kxdxbxaxC 2.2.- FUNCIÓN DE COSTO PROMEDIO O MEDIO:Q(x).Es la producción de cada unidad del artículo,
obtenemos dividiendo el costo total entre el número de unidades producidas.
x
xCxQ
)()(
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 29
2.3.- FUNCIÓN DE INGRESO: R(x).Es la percepción por la venta de x unidades. R(x) = x P(x)
2.4.- FUNCION DE UTILIDAD: P(x)= R(x) - C(x).Es la utilidad o ganancia por la venta de x unidades.
Las derivadas C', c', R' y P' se llaman función de costo marginal, función de costo medio marginal, función de ingreso marginal y función de utilidad marginal.
2.5.- COSTO MARGINAL.- C’(x)Es el costo asociado a la producción de x unidad. Si se interpreta la derivada como la tasa de variación o de cambio, se dice entonces que el costo varía con respecto a la cantidad de unidades producidas x a razón de C’(x) unidades monetarias por unidad de producción.
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 30
2.6.- INGRESO MARGINALEs el ingreso adicional producido por las unidades marginales.
2.7.- CONTRIBUCIÓNEs la diferencia entre el costo marginal y el ingreso marginal, o sea, es el beneficio de las unidades marginales.
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 31
1.- Encuentre la función de demanda marginal, la función de ingreso, la función de utilidades, la función de utilidades marginales, las utilidades máximas y el costo marginal cuando la demanda es de 10 unidades, para las funciones de demanda y costos dadas a continuación:a)
1050)(
xxP xxC 210)(
Función de demanda marginal:10
1)´( xP
La función de ingreso: R(x) = x P(x)
10
500
1050)()(
2xxxxxxPxR
Como x = 10 unidades
10
10)10(500)10(
2R umR 490)10(
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La función de utilidades: P(x) = R(x) – C(x)
xxxxP 210
10
500)(
2
10
20100500)(
2 xxxxP
10
100480)(
2
xxxP
10
10010)10(480)10(
2 P
umP 460)10(
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 33
La función de utilidades marginales:
10
100480)(
2
xxxP
10
2480)´(
xxP
5
240)´(
xxP
5
10240)10´(
P
umP 46)10´(
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 34
Las utilidades máximas:
10
100480)(
2
xxxP
5
240)´(
xxP
05
240)´(
xxP
05
240
x
unidadesx 240Las utilidades máximas se dan cuando se producen 240 unidades
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 35
El costo marginal
xxC 210)( 2)´( xC umC 2)10´(
20/04/23 Ing. Jorge Yánez León 36
VÍDEOShttp://www.youtube.com/watch?v=oyRNxD7axUQCOSTO MARGINAL (6 min)
http://www.youtube.com/watch?v=jyu4fzWJN-Q&feature=relatedCOSTO PROMEDIO (3 min)
http://www.youtube.com/watch?v=0sJ5IYlCTe4&feature=relatedINGRESO MARGINAL Y UTILIDAD MÁXIMA (10 min)
MATEMÁTICA II
Ronda de preguntas concretas sobre el momento micro del estudio, previamente tamizadas por el (la) estudiante responsable de la sesión, quién leerá todas las inquietudes de sus compañer@s de aula, acercándose a la cámara y al micrófono.
1.QUITO; 2. TENA; 3. CUENCA; 4. AZOGUES; 5. ZAMORA
20/04/23 37Ing. Jorge Yánez León
MATEMÁTICA II
G R A C I AS
20/04/23 38Ing. Jorge Yánez León