UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ- UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA COLEGIADO DE MATEMÁTICA
SOLIANE BAUFLEUR
EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS: UMA PROPOSTA DE ENSINO
UNIÃO DA VITÓRIA 2013
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SOLIANE BAUFLEUR
EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS: UMA PROPOSTA DE ENSINO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de licenciado em Matemática, da Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória – FAFIUV. Orientador: Prof. Mestre Everton José Goldoni Estevam.
UNIÃO DA VITÓRIA 2013
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AGRADECIMENTOS
Acima de tudo, agradeço a Deus, por todas as forças que Ele me dá e por
me iluminar sempre pelo caminho certo.
À minha família, minha mãe Anita, minha irmã Tatiane e minha avó Ritta,
pelo carinho e incentivo que sempre recebi.
Ao meu pai Renésio (in memorian), de quem herdei a paixão pela
Matemática.
Ao meu namorado Serginho, de quem sempre tive amor e apoio nos
momentos mais difíceis.
Aos meus colegas de turma, em especial ao Victor Hugo, pelas
contribuições com informações que me auxiliaram na realização do trabalho.
E principalmente ao Professor Everton que pacientemente, com sua
experiência, seus conhecimentos e sugestões contribuiu para a concretização desse
trabalho.
3
“Na maior parte das ciências uma geração põe abaixo o que a
outra construiu e o que uma estabeleceu, a outra desfaz.
Somente na matemática é que cada geração constrói um novo
andar sobre a antiga estrutura.”
Hankel
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RESUMO
Nesse trabalho, discutimos o ensino e a aprendizagem de equações polinomiais associadas aos Números Complexos no Ensino Médio. Analisamos o contexto escolar em que esses conteúdos são apresentados, quais os problemas encontrados por professores e alunos e o que os currículos explicitam quanto ao ensino e aprendizagem desses conteúdos. Apresentamos, também, um estudo teórico sobre as equações polinomiais e os Números Complexos, numa abordagem voltada para o Ensino Médio. A partir desses apontamentos, e pautados nas metodologias de ensino, Resolução de Problemas e História da Matemática, desenvolvemos uma proposta de ensino, a qual acreditamos poder contribuir para a efetivação do ensino e aprendizagem desses conteúdos de maneira eficaz. Palavras-chave: Equações Polinomiais. Números Complexos. Resolução de Problemas. História da Matemática. Ensino.
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 7
2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS E DOS NÚMEROS
COMPLEXOS ............................................................................................................. 8
3 CONCEITOS E DEFINIÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS, POLINÔMIOS E
EQUAÇÕES POLINOMIAIS. .................................................................................... 12
3.1 NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................. 12
3.1.1 O conjunto dos Números Complexos ............................................................... 12 3.1.2 Propriedades da adição de Números Complexos ............................................ 13 3.1.3 Propriedades da Multiplicação de Números Complexos .................................. 14
3.2 POLINÔMIOS ...................................................................................................... 17
3.2.1 Polinômio .......................................................................................................... 17 3.2.2 Valor Numérico de um Polinômio ..................................................................... 17 3.2.3 Polinômio Nulo ................................................................................................. 17
3.2.3 Coeficientes do Polinômio Nulo ........................................................................ 17
3.2.4 Polinômios Idênticos ........................................................................................ 18
3.2.5 Coeficientes de Polinômios Idênticos ............................................................... 18 3.2.6 Adição de Polinômios ....................................................................................... 18
3.2.7 Propriedades da Adição de Polinômios ............................................................ 19 3.2.8 Multiplicação de Polinômios ............................................................................. 21 3.2.9 Propriedades da multiplicação de Polinômios .................................................. 21
3.2.10 Grau de um Polinômio .................................................................................... 21 3.2.11 Grau da Soma de Polinômios ......................................................................... 21
3.2.12 Grau do Produto de Polinômios ..................................................................... 22 3.2.13 Divisão de Polinômios (Algoritmo de Euclides) .............................................. 23 3.2.14 Existência e Unicidade do quociente e do resto ............................................. 23
3.2.15 Teorema do resto ........................................................................................... 23 3.2.16 Teorema de D’Alembert. ................................................................................ 24 3.2.17 Algoritmo de Briot-Ruffini ................................................................................ 24
3.3 EQUAÇÕES POLINOMIAIS ................................................................................ 25
3.3.1 Equação Polinomial .......................................................................................... 25 3.3.2 Raízes de Equações Polinomiais ..................................................................... 25 3.3.3 Conjunto solução .............................................................................................. 25
3.3.4 Teorema Fundamental da Álgebra ................................................................... 26 3.3.5 Teorema da Decomposição ............................................................................. 26 3.3.6 Corolário do Teorema da Decomposição ......................................................... 28
3 ENSINO E APRENDIZAGEM DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS ............................ 29
3.1 EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS NOS CURRÍCULOS
ESCOLARES ............................................................................................................ 30
6
3.2 EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS NOS LIVROS
DIDÁTICOS ............................................................................................................... 31
3.3 O QUE PESQUISAS APONTAM SOBRE O ENSINO DE EQUAÇÕES
POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................. 33
4 METODOLOGIAS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA ..................................... 35
4.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ......................................................................... 35
4.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS E
NÚMEROS COMPLEXOS ........................................................................................ 36
4.3 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ............................................................................. 37
5 PROPOSTA DE ENSINO....................................................................................... 39
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 51
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 53
7
1 INTRODUÇÃO
Equações polinomiais ou algébricas e Números Complexos são conteúdos
relevantes e que devem ser trabalhados no Ensino Médio. Estão presentes nos
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000), nas
Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006), nas Orientações Educacionais
Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL,
2002) e nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008).
Historicamente, os Números Complexos surgiram quando matemáticos
resolviam equações polinomiais. Inicialmente as raízes de números negativos eram
ignoradas pelos mesmos, porém devido à frequência com que tinham que trabalhar
com esses números, até então desconhecidos, fundamentou-se uma teoria
envolvendo as raízes de números negativos, hoje conhecida como Números
Complexos.
Assim, pesquisadores e currículos defendem que o ensino de equações
polinomiais e de Números Complexos deve proceder de forma contextualizada e
associada, pelo fato de que os Números Complexos surgiram em decorrência da
resolução de equações polinomiais.
Entretanto, nas escolas na maioria das vezes, quando trabalhados, esses
conteúdos aparecem distantes e sem qualquer ligação, devido a abordagem
estritamente algébrica feita por alguns livros didáticos e também a dificuldade dos
alunos em compreender a álgebra.
Em meio a esse contexto problemático em que se encontra o ensino e
aprendizado de Números Complexos e equações polinomiais no Ensino Médio,
estruturamos uma proposta de ensino que viabilize um ensino contextualizado e
associado desses conteúdos.
Para tal utilizamos como metodologia de ensino a Resolução de Problemas
e a História da Matemática.
O trabalho apresenta ainda, uma breve história do desenvolvimento desses
conteúdos e traz também, de maneira formal, toda a parte teórica utilizada na
proposta de ensino.
8
2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS E DOS NÚMEROS
COMPLEXOS
Resolver equações polinomiais intrigou matemáticos desde a antiguidade.
Egípcios e Mesopotâmios há aproximadamente 1700 anos antes de Cristo já
trabalhavam com equações do primeiro grau e Babilônios, nessa mesma época,
conheciam métodos de encontrar raízes de segundo grau, segundo Garbi (2010).
No século 12, o matemático Bháskara tornou-se popular por encontrar a
fórmula geral para a solução das equações polinomiais de grau dois, hoje, no Brasil,
conhecida como a Fórmula de Bháskara:
.
Entretanto, como o próprio Bháskara relatou, a fórmula que leva o seu nome
não foi encontrada por ele, e sim por Sridhara, um século antes (GARBI, 2010).
Apenas no Brasil a Fórmula de Bháskara tem esse nome. Garbi (2010) também
afirma que foi com a Fórmula de Bháskara que se obteve pela primeira vez raízes de
Números negativos, até então desconhecidos e ignorados pelos matemáticos da
época.
Apesar dos avanços realizados desde a antiguidade sobre a resolução de
equações de graus um e dois, pouca coisa evoluiu em relação a isso até o século
XV (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004). “Somente na época do Renascimento foram
alcançados os primeiros resultados relativos a equações de grau superior a dois”
(LIMA et al, 2006, p. 228).
Nada era conhecido a respeito de raízes de equações de grau maior que
dois. Em 1494, Pacioli publicou o livro Summa, obra na qual se limitava à resolução
de equações de grau um e dois, e ao final do livro, Pacioli afirmava que a solução da
cúbica era tão impossível quanto à quadratura do círculo
(DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).
Porém, essa afirmação logo foi desmentida. Por volta de 1500, Scipione Del
Ferro, conseguiu resolver equações de grau três utilizando a substituição
que transforma em (DOMINGUES, apud IEZZI,
2004). Scipione morreu e não publicou seu método, mas o segredou a Fior, um de
seus alunos.
9
Alguns anos mais tarde, Niccolo Fontana, mais conhecido como Tartaglia
devido a sua gagueira, também pesquisava a respeito de soluções para a equação
de grau três, e em cerca de 1530, Fior, desafiou Tartaglia para uma disputa
envolvendo equações cúbicas. “Tartaglia aceitou o desafio [...] e além de resolver as
do tipo , também achou a fórmula geral para as do tipo ,
que Fior não conhecia” (GARBI, 2010, p. 37). Tartaglia venceu a disputa, o que só
aumentou a sua fama.
Entretanto, Tartaglia acabou revelando seus métodos de resolução de
equações cúbicas ao matemático Girolamo Cardano. Em 1545, Cardano publicou o
livro Ars Magna (Arte Maior) que continha os métodos de resolução de equações do
terceiro grau descobertos por Tartaglia. Nesse mesmo livro, Ludovico Ferrari,
discípulo de Cardano, apresentou um método para reduzir as equações do quarto
grau a equações cúbicas (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).
Isso gerou uma série de intrigas entre Tartaglia e Cardano, porém a fórmula
para resolução de desenvolvida por Tartaglia, hoje é conhecida como
fórmula de Cardano, descrita a seguir.
.
Além de muitas intrigas, a resolução de equações de grau três e quatro
trouxeram vários impasses aos matemáticos por cerca de dois séculos e meio.
Cardano em seu livro Ars Magna, a fim de resolver o problema de dividir 10
em duas partes tal que seu produto seja 40, obteve a equação ,
e aplicando a fórmula de Bháskara, encontrou e .
Também constatou que a equação possui uma raiz , porém
ao ser aplicada na fórmula que leva o seu nome, obtêm-se que uma das raízes é
(DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).
Garbi (2010) afirma que “Parecia que, ao invés de responder a simples
pergunta ‘como resolver equações do 3º grau?’, Tartaglia havia mexido com um
verdadeiro vespeiro, do qual saiam estranhíssimas e insondáveis questões (p. 41)” e
completa que “aqui estava uma questão realmente séria e que não poderia
simplesmente ser ignorada. [...] estava-se diante de equações do 3º grau com
soluções evidentes, mas cuja determinação passava pela extração de raízes
quadradas de Números negativos (p.48-49)”.
10
Desde Heron de Alexandria, há mais de dois mil anos, as raízes de Números
negativos eram simplesmente ignoradas pelos matemáticos. Surge, então, a
necessidade da construção dos Números Complexos. “A busca por métodos
algébricos gerais de solução para tais equações foi responsável por grandes
desenvolvimentos da Matemática, incluindo a invenção dos Números Complexos
(LIMA et al, 2006, p. 228)”.
Segundo Domingues apud Iezzi (2004), Bombeli, em 1572, ao publicar
Álgebra, descreve uma teoria dos Números Complexos pela primeira vez, fazendo
e
(notação usada hoje),
encontrando , de onde temos . De fato, substituindo os valores de a
e b, temos:
.
No qual resolvendo obtemos:
.
E logo,
.
Analogamente, temos:
.
Daí temos que:
.
Porém, por anos ainda, os Números Complexos mantiveram certo mistério.
Somente a partir de 1799 Wessel, Argand e Gauss, fizeram publicações relevantes a
respeito desses Números, admitindo uma representação geométrica a eles. E foi
Hamilton, em 1833, que introduziu a álgebra formal dos Números Complexos,
conhecida hoje (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).
Foi Euler no século XVIII, que além de dominar por completo os Números
Complexos, introduziu boa parte da simbologia matemática utilizada hoje.
Euler foi o consolidador da simbologia moderna, tendo não apenas consagrado o que de melhor se dispunha à época, mas também, inventando muito do que hoje se utiliza. [...] dentre as inúmeras representações propostas e consagradas por Euler, uma nos interessa de
imediato: é o famoso “i”, significando a (GARBI, 2010, p.102).
11
Outra questão levantada após ficar conhecido o método para encontrar as
raízes de equações polinomiais de grau três e quatro, foi a respeito das equações de
grau maior do que ou igual a cinco.
Vários matemáticos durante anos tentaram encontrar métodos para resolver
as equações de grau maior que quatro, entretanto ninguém obteve sucesso. Então
se começou a pensar na impossibilidade de resolvê-las por radicais. Ruffini, em
1799, confirmou essa impossibilidade, mas seus argumentos para tal não foram
considerados (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004).
Gauss, nesse mesmo ano, demonstrou o Teorema Fundamental da Álgebra,
no qual afirma que toda equação polinomial de coeficientes Reais ou Complexos
tem, pelo menos uma raiz complexa (GARBI, 2010).
Abel, em 1824, publicou um artigo em que provou ser impossível a resolução
de equações com grau maior do que ou igual a 5, em sua forma geral, por meio de
radicais, o que ficou conhecido como Teorema de Ruffini-Abel (DOMINGUES, apud
IEZZI, 2004).
E em 1830, Evariste Galois descobriu um método que determina quando
uma equação polinomial pode ser resolvida com as operações elementares,
introduzindo a noção de grupo.
A teoria de Galois associa a cada equação algébrica um conveniente grupo de permutações de suas raízes. E estabelece que a equação é resolúvel por radicais se, e somente se, esse grupo é de um certo tipo (definido na teoria). Por fim conseguia-se uma caracterização da resolubilidade por radicais! E como, para , sempre há equações de grau n cujo grupo não é do tipo definido por Galois, o próprio teorema de Ruffini-Abel passava a ser consequência da teoria de Galois (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004, p. 198).
Com esse feito, Galois finalmente encerrou o capítulo das equações
polinomiais.
12
3 CONCEITOS E DEFINIÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS, POLINÔMIOS E
EQUAÇÕES POLINOMIAIS.
Para elaborarmos uma proposta de ensino sobre equações polinomiais e
Números Complexos devemos, primeiramente, compreender toda a teoria envolvida.
Nesse capítulo abordamos definições, teoremas e também demonstrações a
respeito desses conteúdos.
Optamos por abordar as equações polinomiais no conjunto dos Números
Complexos e nas demonstrações que seguem, utilizamos argumentos mais simples,
que possam ser compreendidos por alunos do Ensino Médio.
Todas as definições, teoremas e demonstrações, que seguem foram
baseadas no livro: IEZZI, G. Fundamentos da Matemática Elementar – volume 6. 6.
ed. São Paulo: Atual, 2004.
3.1 NÚMEROS COMPLEXOS
3.1.1 O conjunto dos Números Complexos
Seja o conjunto dos Números Reais. Consideremos todas as propriedades
e definições desse conjunto.
O produto cartesiano x = ²:
.
isto é, ² é o conjunto dos pares ordenados em que x e y são Números Reais.
Chama-se conjunto dos Números Complexos, e representa-se por , o
conjunto dos pares ordenados de Números Reais para os quais estão definidas a
igualdade, adição e multiplicação, conforme descritas a seguir.
Tomando e dois elementos de ², tem-se:
a) Igualdade:
b) Adição:
c) Multiplicação: .
É usual representar cada elemento com o símbolo , logo:
, sendo .
13
3.1.2 Propriedades da adição de Números Complexos
Dados , com , e com
, verificam-se as propriedades:
a) Associatividade: .
Demonstração:
Como , seguindo a definição de adição de Números Complexos, tem-se:
.
Sendo que são Números Reais, vale a associatividade aditiva para os
Números Reais. Então temos:
b) Comutatividade: .
Demonstração:
Como , seguindo a definição de adição de Números Complexos, tem-se:
.
pelo fato de serem Números Reais, vale a propriedade comutativa para os
Números Reais. Então, obtemos:
c) Existência do elemento neutro: .
Demonstração:
Tomemos . Queremos mostrar que existe um , com , e
com , no qual tem-se . Aplicando a definição de adição de
Números Complexos, temos:
de onde,
.
14
Obtêm-se o seguinte sistema de equações pela definição de igualdade de Números
Complexos
Como , afirmamos que e , pois 0 é o elemento neutro da
adição no conjunto do Números Reais. Portanto, existe chamado
de elemento neutro para a adição em , que
d) Existência do elemento simétrico: .
Demonstração:
Dados e . Queremos mostrar que para todo , existe um
, com , e com , no qual tem-se . Aplicando a
definição de adição de Números Complexos, temos:
,
de onde igualando a ,
.
Pela definição de igualdade de Números Complexos, obtêm-se o sistema de
equações,
Como , adicionamos na primeira e na segunda equação,
respectivamente, e obtemos:
Portanto, existe chamado de elemento simétrico para a adição
em , denotado por , que,
3.1.3 Propriedades da Multiplicação de Números Complexos
Dados , com , e com
, verificam-se as propriedades:
a) Associatividade: .
Demonstração:
Como , seguindo a definição de multiplicação de Números Complexos,
tem-se:
15
.
Como são Números Reais, pela distributividade da multiplicação em
relação à soma dos Números Complexos:
.
Colocando em evidência e , temos:
.
Obtemos assim, pela comutatividade aditiva dos Números Reais,
b) Comutatividade: .
Demonstração:
Como , pela definição de multiplicação de Números Complexos, tem-se:
.
Pelo fato de serem Números Reais, vale a comutatividade multiplicativa e
aditiva para os Números Reais. Então, obtemos:
c) Existência do elemento neutro: .
Demonstração:
Tomemos . Queremos mostrar que existe um , com , e
com , no qual tem-se . Aplicando a definição de multiplicação de
Números Complexos, temos:
.
de onde,
.
Pela definição de igualdade dos Números Complexos, obtêm-se o sistema
equações,
16
Multiplicando (I) por -b, (II) por a, e adicionando ambas, temos:
realizando as operações em resulta em:
.
Substituindo o valor de em qualquer uma das equações, tem-se que ,
pois é o elemento neutro da multiplicação em . De fato,
Disto, afirmamos que e . Portanto, existe chamado de
elemento neutro para a multiplicação em tal que
d) Existência do elemento Inverso: .
Demonstração:
Dados e . Queremos mostrar que para todo , existe um
, com , e com , no qual tem-se . Aplicando a
definição de multiplicação de Números Complexos, temos:
.
de onde igualando a ,
.
Pela definição de igualdade de Números Complexos, obtêm-se o sistema de
equações,
Isolando t em (II) e substituindo em (I), temos:
e
.
Substituindo o valor encontrado para s encontramos o valor de t,
.
Portanto, existe
chamado de elemento inverso para a
multiplicação em tal que,
17
3.2 POLINÔMIOS
3.2.1 Polinômio
DEFINIÇÃO: Dada a sequência de Números Complexos ,
consideremos a função dada por ,
com . A função é denominada função polinomial ou polinômio associado a
sequência dada.
Os Números , , ... , são chamados coeficientes, e , , ... ,
são denominados termos do polinômio.
3.2.2 Valor Numérico de um Polinômio
DEFINIÇÃO: O valor numérico de um polinômio , para , é o
número complexo que se obtem substituindo o x por .
3.2.3 Polinômio Nulo
DEFINIÇÃO: Dizemos que um polinômio é nulo (ou identicamente nulo)
quando assume o valor numérico para todo x complexo.
3.2.3 Coeficientes do Polinômio Nulo
TEOREMA: Dado o polinômio
Um polinômio é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de forem
nulos, ou seja, .
Demonstração:
Sabemos por hipótese que é nulo. Então existem Números
Complexos distintos dois a dois, que são raízes de , ou seja,
.
Dessa forma, estamos diante um sistema linear homogêneo do tipo x
cujas incógnitas são . Como o determinante desse sistema é:
18
não nulo por tratar-se do determinante de uma matriz de Vandermonde cujos
elementos característicos são todos distintos , o sistema possui uma
única solução que é a trivial, . Logo todos os coeficientes
de são nulos, como queríamos demonstrar.
De fato, se , então temos:
Logo para todo , e portanto é nulo.
3.2.4 Polinômios Idênticos
DEFINIÇÃO: Dizemos que é idêntico a , ou que e são
iguais, quando assumem valores iguais para todo Complexo.
3.2.5 Coeficientes de Polinômios Idênticos
TEOREMA: Dados os polinômios
temos que e são iguais se, e somente se, os coeficientes de e
forem ordenadamente iguais.
Demonstração:
Para todo , temos:
3.2.6 Adição de Polinômios
DEFINIÇÃO: Dados dois polinômios
19
chama-se soma de com , o polinômio
.
Pelo menos ou é não nulo. Em geral, para somar os polinômios
onde devemos somar todos os termos de mesmo grau.
3.2.7 Propriedades da Adição de Polinômios
Dados os polinômios
valem as seguintes propriedades:
a) Associatividade: .
Demonstração:
Sejam polinômios. Pela definição de adição de polinômios, temos:
e pelo fato de , a adição de Números Complexos é associativa:
b) Comutatividade:
Demonstração:
Sejam e polinômios. Temos:
20
Pela definição de adição de polinômios, obtemos:
Pelo fato de , a adição de Números Complexos é comutativa:
c) Existência do Elemento Neutro: .
Tomemos
e , com . Queremos mostrar
que , para qualquer . Aplicando a definição de adição de
polinômios, temos:
De onde igualando a , tem-se de polinômios idênticos:
Adicionando em ambos os lados da equação acima:
Como , com , vemos que é o polinômio nulo. Portanto, temos
que , e 0 denota o polinômio nulo.
d) Existência do Elemento Simétrico: .
Tomemos
e
, com e o elemento neutro
(polinômio nulo) . Queremos mostrar que para qualquer temos tal
que . Aplicando a definição de adição de polinômios, obtemos:
De onde igualando a , tem-se de polinômios idênticos:
21
Adicionando em ambos os lados da equação acima:
Portanto, temos o elemento simétrico para qualquer que seja :
3.2.8 Multiplicação de Polinômios
DEFINIÇÃO: Dados dois polinômios
chama-se produto de com o polinômio
3.2.9 Propriedades da multiplicação de Polinômios
Dados os polinômios , e valem as seguintes propriedades:
a) Associatividade: .
b) Comutatividade: .
c) Elemento Neutro: .
d) Distributividade: .
Devido a dificuldade nas demonstrações destas propriedades, pois
necessitam em suas demonstrações trabalhar com conceitos de somatório em um
nível mais avançado, tomaremos como válidas sem demonstrá-las efetivamente.
3.2.10 Grau de um Polinômio
DEFINIÇÃO: Dado um polinômio
não nulo. Chama-se grau de p(x), e representa-se por ou o Número
Natural n tal que e para todo . Assim, o grau de um polinômio
é o índice do último termo não nulo de .
3.2.11 Grau da Soma de Polinômios
TEOREMA: Dados dois polinômios não nulos. Se o polinômio
possui grau n e possui grau m, o grau de é menor do que ou igual
ao maior dos Números entre o grau de e , ou seja,
22
.
Demonstração:
Sejam
polinômios não nulos, temos que
e . Nesse caso, temos três possibilidades para n e m.
Consideremos . Assim, pela definição de adição de polinômios, sendo
, temos que:
.
Assim, .
Se considerarmos , analogamente obteremos que,
.
Se , temos que:
Como pode ser nulo, então
. Portanto, , para
quaisquer valores de e .
3.2.12 Grau do Produto de Polinômios
TEOREMA: Dados dois polinômios não nulos. Se o polinômio
possui grau n e possui grau m, o grau de é a soma de , ou
seja,
23
Demonstração:
Sejam
, com e
, com .
Multiplicando por , e escolhendo um como um coeficiente qualquer dessa
multiplicação, temos que .
Como , e , então temos que:
3.2.13 Divisão de Polinômios (Algoritmo de Euclides)
DEFINIÇÃO: Dados dois polinômios não identicamente nulos:
Dividir por consiste em obter dois polinômios (quociente) e
(resto) tais que,
i)
ii) , ou o resto é identicamente nulo (divisão exata).
3.2.14 Existência e Unicidade do quociente e do resto
TEOREMA: Dados dois polinômios não identicamente nulos:
existem um único polinômio e um único polinômio tais que:
i)
ii) .
Optamos por não demonstrar este Teorema aqui devido a sua demonstração
ser extensa. Tal demonstração pode ser obtida no livro de referência utilizado.
3.2.15 Teorema do resto
TEOREMA: O resto da divisão de um polinômio por é igual ao
valor numérico de em .
Demonstração:
Pelo Teorema acima da divisão de polinômios tem-se que
, onde é o quociente da divisão e o resto da divisão. Vemos
que tem grau 1. Então pela definição de divisão de polinômios, temos que
24
, ou seja, o resto ou é nulo, ou tem grau igual zero. Disto, é um
polinômio constante.
Calculando os valores de em a, obtemos:
3.2.16 Teorema de D’Alembert.
TEOREMA: Um polinômio é divisível por se, e somente se, é
raiz de .
Demonstração:
Pelo Teorema do resto ao dividirmos por , temos que .
Disto, obtemos,
3.2.17 Algoritmo de Briot-Ruffini
Dados os polinômios
vamos determinar o quociente e o resto da divisão de por .
Façamos:
.
Pela definição de multiplicação, temos:
Impondo a condição , resultam as igualdades:
Os cálculos para obter o quociente e o resto da divisão de por
tornam-se mais rápidos com a aplicação o seguinte dispositivo prático de Briot-
Ruffini:
25
adiciona
multiplica
Figura 1 - Dispositivo prático de Briot-Ruffini. Fonte: IEZZI. 2004, p. 84.
3.3 EQUAÇÕES POLINOMIAIS
3.3.1 Equação Polinomial
DEFINIÇÃO: Seja o polinômio dado por
as equações da forma ,
são chamadas de equações algébricas ou equações polinomiais.
O grau de uma equação polinomial é o grau do polinômio .
3.3.2 Raízes de Equações Polinomiais
DEFINIÇÃO: Dada uma equação polinomial , chama-se raiz da equação
todo número que, substituído no lugar de x torna a igualdade verdadeira. Isto é, é
raiz de se, e somente se, .
3.3.3 Conjunto solução
DEFINIÇÃO: Chama-se conjunto solução da equação o conjunto S
cujos elementos são as raízes complexas da equação. E, então, resolver uma
equação polinomial é encontrar seu conjunto solução, ou seja, encontrar suas
raízes.
26
3.3.4 Teorema Fundamental da Álgebra
TEOREMA: Toda equação polinomial de grau maior do que ou
igual a um admite ao menos uma raiz complexa.
Demonstração
Devido a demonstração deste teorema exigir conceitos mais elaborados e
que não são trabalhados no Ensino Médio, tomaremos como válido sem a
demonstração.
3.3.5 Teorema da Decomposição
TEOREMA: Toda equação polinomial de grau maior do que ou
igual a 1
pode ser decomposta em n fatores do primeiro grau, isto é,
em que , , , ... , são raízes de . Com exceção da ordem dos fatores tal
decomposição é única.
Demonstração (existência):
Seja o polinômio , em que .
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra (3.3.3) tem-se que possui pelo menos
uma raiz , isto é, . Logo pelo Teorema de D’Alembert (3.2.14) é
divisível por e existe um polinômio tal que:
onde é de grau , e o coeficiente de maior grau é Pelo Teorema
Fundamental da Álgebra (3.3.3) tem-se que possui pelo menos uma raiz ,
isto é, . Logo pelo Teorema de D’Alembert (3.2.14) é divisível por
e existe um polinômio tal que:
onde é de grau , e o coeficiente de maior grau é . Substituindo em
temos:
Novamente pelo Teorema Fundamental da Álgebra (3.3.3) tem-se que possui
pelo menos uma raiz , isto é, . Logo pelo Teorema de D’Alembert
(3.2.14) é divisível por e existe um polinômio tal que:
27
onde é de grau , e o coeficiente de maior grau é . Substituindo em
temos:
Como n é finito, prosseguindo da mesma maneira n vezes, chegamos à conclusão
que:
onde é de grau , e o coeficiente de maior grau é . Por esse motivo
, e portanto, substituindo na equação acima, obtemos:
em que , , , ... , são raízes de
Demonstração (unicidade):
Seja o polinômio , em que .
Suponhamos que este admita duas decomposições:
Podemos escrever:
e supondo reduzidos e ordenados, temos:
Pelo teorema dos polinômios idênticos (3.2.5), temos que, necessariamente,
e . Ficamos, então com a igualdade:
(I)
Atribuindo a o valor de , obtemos:
Se o produto é nulo, isso implica que um dos fatores é nulo.
Consideremos, de forma conveniente, . Assim a igualdade (I) se transforma
em:
na qual obtemos que:
(II)
Atribuindo a o valor de , obtemos:
28
Se o produto é nulo, isso implica que um dos fatores é nulo.
Consideremos, de forma conveniente, . Assim a igualdade (II) se transforma
em:
na qual obtemos que:
Analogamente, continuando para , com , obteremos as
igualdades
. Estas igualdades juntamente com e
são a prova da unicidade da decomposição.
3.3.6 Corolário do Teorema da Decomposição
COROLÁRIO: Toda equação polinomial de grau admite n, e somente
n, raízes complexas.
Demonstração:
Seja o polinômio , em que .
Sabemos pelo Teorema da Decomposição (3.3.4) que pode ser decomposta
em n fatores do primeiro grau, isto é,
em que , , , ... , são raízes de , distintas ou não. No teorema anterior
ao provarmos a unicidade da decomposição, fica claro que , , , ... , são as
únicas raízes de , que podem ser distintas ou não.
29
3 ENSINO E APRENDIZAGEM DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS
No que se refere ao ensino e à aprendizagem de Matemática, as equações
são um conteúdo de extrema importância para ser abordado em sala de aula. Para
Bezerra e Mendes (2006),
Compreende-se que as equações sejam de que tipo for, é um conteúdo atraente de estudo e pode ser um assunto central e de grande importância dentro da matemática e das suas aplicações. Inúmeros problemas e processos da Ciência e da Tecnologia, e mesmo da nossa vida cotidiana, podem ser descritos ou modelados por meio de equações. (p. 3).
Para um estudo mais aprofundado de equações polinomiais, é necessário
que haja anteriormente um estudo dos Números Reais e Complexos. Principalmente
dos Números Complexos. Isso, porque, historicamente, os Números Complexos
surgiram da necessidade de resolver equações polinomiais de grau 3. Quando
Cardano e Tartaglia desenvolveram as estratégias para encontrar essas raízes, se
depararam com raízes de Números negativos. Daí surgiram vários estudos para
compreender e formalizar esses Números.
É fato que o desenvolvimento dos Números Complexos seguiu um longo caminho, desde sua criação até os nossos dias. Tais Números são parte essencial na história das equações, e por si só, tal aspecto já seria bastante relevante para ser apresentado pelo professor aos seus alunos, para despertar-lhes o interesse ou, pelo menos curiosidade, pela evolução das ideias matemáticas. É plausível que tal atitude contribua para desmistificar o senso predominante de que as ideias matemáticas foram obras de gênios inspirados que criaram objetos abstratos cuja utilidade parece ser escrita apenas aos problemas abordados nos livros escolares, distantes do cotidiano. (OLIVEIRA, 2010, p. 20).
Caldeira (2012) discute que, “para nos apropriarmos de um conteúdo é
necessário, entre outros fatores, compreender como ele se estrutura, qual a sua
história e quais suas inter-relações com as demais áreas do conhecimento” (p. 1).
Então, trabalhar as equações polinomiais e os Números Complexos
desassociados, pode ficar sem sentido, pois historicamente ambos os conteúdos
foram estruturados de forma conjunta, e assim podem ser explorados juntos.
A seguir apresentamos o que pesquisas e orientações têm apontado a
respeito dos problemas em relação à abordagem desses conteúdos.
30
3.1 EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS NOS CURRÍCULOS
ESCOLARES
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio
(BRASIL, 2000), as Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006), as
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais
do Ensino Médio (BRASIL, 2002) e as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná
(PARANÁ, 2008), as equações polinomiais ou algébricas devem ser abordadas no
Ensino Médio.
Analisando os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio,
percebemos que eles apontam que “aspectos do estudo de polinômios e equações
algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o
enfoque algébrico que é feito tradicionalmente” (BRASIL, 2000, p. 43). As
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais
do Ensino Médio (BRASIL, 2002) também chamam atenção ao estudo de equações
polinomiais, enfatizando que o ensino das mesmas não deve se conter às equações
de primeiro e segundo graus, assim como devem ser relacionadas a outras áreas do
conhecimento (BRASIL, 2002, p. 122).
Já as Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006) não trazem
especificamente os polinômios como um conteúdo a ser abordado. Contudo,
destacam o estudo das funções polinomiais no bloco de Funções. Apresentam a
importância de se abordar esse conteúdo, citando que,
Funções polinomiais mais gerais de grau superior a 2 podem ilustrar as dificuldades que se apresentam nos traçados de gráficos, quando não se conhecem os 'zeros' da função. Casos em que a função polinomial se decompõe em um produto de funções polinomiais de grau 1 merecem ser trabalhados. (p. 74).
As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008), trazem os
polinômios no Ensino Médio, no conteúdo estruturante Números e Álgebra, e as
funções polinomiais no conteúdo estruturante de Funções. Quanto aos primeiros,
espera-se que o aluno identifique e realize operações com polinômios. Não cita nada
especificamente em relação às funções polinomiais, mas considera relevante o
conteúdo estruturante de funções, apontando a importância de que o aluno
identifique, analise gráficos e realize cálculos envolvendo diferentes funções, assim
como as utilize para resolver problemas.
31
Em relação aos Números Complexos, as Diretrizes Curriculares do Estado
do Paraná (PARANÁ, 2008) expõem que no conteúdo estruturante Números e
Álgebra deve-se trabalhar Números Reais e Complexos, com o intuito de que os
alunos compreendam esses Números, assim como suas operações.
As Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006), no bloco de
Números e Operações, trazem que,
Os Números Complexos devem ser apresentados como uma histórica necessidade de ampliação do conjunto de soluções de uma equação, tomando-se, para isso, uma equação bem simples, a saber, x²+1 = 0. (p. 71).
As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2002) além de apontarem os Números
Complexos como conteúdo a ser trabalhado no Ensino Médio, destacam a
importância de associar o ensino desses Números ao de equações polinomiais.
Tradicionalmente, a Matemática do ensino médio trata da ampliação do conjunto numérico, introduzindo os Números Complexos. Como esse tema isolado da resolução de equações perde seu sentido para os que não continuarão seus estudos na área, ele pode ser tratado na parte flexível do currículo das escolas (p. 122).
Com todos os apontamentos citados, fica evidente que os currículos
incentivam o estudo, tanto de equações polinomiais como de Números Complexos,
por serem conteúdos importantes para os alunos do Ensino Médio.
3.2 EQUAÇÕES POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS NOS LIVROS
DIDÁTICOS
Apesar de todos os apontamentos realizados até agora sobre a importância
do ensino das equações polinomiais e dos Números Complexos no Ensino Médio,
muitas vezes esses conteúdos são abordados muito superficialmente ou nem sequer
vistos no Ensino Médio.
O que acontece é que vários livros didáticos apresentam as equações
polinomiais sem ligação alguma com os Números Complexos, sem contar também
que muitos deles trazem esses conteúdos de maneira insuficiente, em seus últimos
capítulos sem muita importância.
Em uma pesquisa realizada tratando de equações polinomiais, na qual foram
analisados diversos livros didáticos de Ensino Médio, dos anos de 1940 a 1990,
Azevedo (2002) constatou que o tópico “equações algébricas ou polinomiais” é
32
destinado apenas à 3ª série do Ensino Médio, nos seus últimos capítulos.
Particularmente, eu não tive contato com nenhum dos conteúdos citados acima em
todo meu Ensino Médio.
Azevedo ainda destaca que,
As equações algébricas ou polinomiais, que aparecem nos livros didáticos do Ensino Médio, são praticamente ignoradas nas escolas públicas. Os professores alegam que o tempo destinado para trabalhar os conteúdos do Ensino Médio é muito curto e que o programa é muito extenso; que os alunos entram para o Ensino Médio com uma grande defasagem no conteúdo do Ensino Fundamental, que dificilmente chegam até esse tópico com os alunos e, quando chegam, não percebem que ele enfeixa toda a matemática do Ensino Médio. Assim sendo, as equações algébricas são vistas como mais um conteúdo que tanto faz ensinar ou não. (2002, p. 33).
Numa análise de livros didáticos, Borges (2007), em sua dissertação, estuda
3 coleções e constata que os polinômios, as equações e as funções polinomiais não
são apresentadas de maneira articulada. Cita, também, o livro Exame de textos, de
Elon Lages de Lima, no qual ele apresenta que “[...] os polinômios são funções de
natureza simples, que devem ser olhados sob alguns pontos de vista que se
entrelaçam e se complementam” (BORGES, 2007 p. 101).
Com os Números Complexos a realidade de muitos livros didáticos não é
diferente. E ainda, esses conteúdos são claramente apresentados desassociados.
Araújo (2006) retrata exatamente isso em uma pesquisa realizada em 10
livros didáticos do Ensino Médio,
Em geral, nos livros analisados, o citado conteúdo é apresentado antes do estudo de equações polinomiais. Além disso, nenhum dos autores faz referência aos polinômios como uma aplicação para os Números Complexos, tendo em vista que estes surgiram para resolver equações do 3º grau. O que percebemos é que os autores estudados introduzem o conteúdo, tentando resolver uma equação do 2º grau com o discriminante negativo. Na sequência, falam que o conjunto dos Números Reais foi ampliado para o conjunto dos Complexos para resolver problemas com esse tipo de equações. Nesse sentido, eles substituem a raiz quadrada de -1 pelo símbolo i e apresentam o conteúdo dos Números Complexos. (p.72).
Abordagens desse tipo só contribuem para uma distorção do conteúdo, à
medida que induz os alunos a conclusões errôneas, inclusive em relação à história
da Matemática. Rosa (1998 apud MONZON, 2010, p. 13) diz que,
Esse tipo de abordagem faz parecer que a matemática é mágica, e que nunca haverá obstáculos para a mesma, pois qualquer que seja a dificuldade pode-se inventar algum conceito que supere essa dificuldade alguém decidiu que era o momento de inventar os Números Complexos e simplesmente diz que i²=-1. (p. 81).
Muitas vezes os livros didáticos influenciam o ensino dos professores
servindo como um “guia” para as aulas. Para Onuchic “[...] os professores se apoiam
33
quase que exclusivamente nos livros didáticos que, muitas vezes, são de qualidade
insatisfatória”. (1999, p. 212). Dessa forma, tende a dificultar e decair o ensino e a
aprendizagem desses conteúdos.
3.3 O QUE PESQUISAS APONTAM SOBRE O ENSINO DE EQUAÇÕES
POLINOMIAIS E NÚMEROS COMPLEXOS
Os problemas existentes no ensino e no aprendizado de equações
polinomiais e Números Complexos não se limitam apenas aos livros didáticos.
Apesar da importância que os currículos dão para se trabalhar esses conteúdos e de
forma articulada, não é o que acontece em muitas escolas.
Assim como Azevedo (2002), Borges (2007) aponta que os polinômios não
constam em muitos currículos escolares e, quando aparecem, são trabalhados muito
superficialmente.
Geralmente o estudo de equações e funções algébricas na escola limita-se
apenas às equações do primeiro e segundo graus. Lopes (2007), embora refira-se a
Portugal, denuncia isso ao afirmar que, no Ensino Médio, os professores “[..] não
mais voltam a abordar o aperfeiçoamento do que vem já de trás, muito em especial
as equações do tipo algébrico, completas e de grau superior ao segundo” (p. 1).
Como já citado anteriormente, as Orientações Curriculares Nacionais defendem o
estudo de funções com grau maior que dois, destacando sua importância. Carneiro
(1999) também comenta sobre a importância de se trabalhar com as equações
algébricas de grau maior que dois,
Fala-se muito hoje (e com razão) na necessidade de motivar os temas da Matemática a partir de problemas interessantes e realistas. Perdem-se, no entanto, muitas oportunidades de empregar essa estratégia, ao deixar fora dos programas do ensino médio a resolução de equações polinomiais de grau superior a dois. (p. 1).
Outro aspecto que a pesquisadora Azevedo (2002) destaca é a dificuldade
de aprendizagem por parte dos alunos em relação a esse conteúdo.
[...] as dificuldades detectadas no ensino-aprendizagem das equações algébricas, no 3º ano do Ensino Médio, estão intimamente relacionadas com as dificuldades que aparecem a partir do ensino-aprendizagem de modo geral, passando pela álgebra e chegando até às equações algébricas. (AZEVEDO, 2002, p. 37).
De fato, há uma grande dificuldade por parte dos alunos em compreender
conceitos algébricos, como apontam as pesquisas de Rocha (2011) e Gil (2008).
34
Entretanto, Rocha (2011), em um estudo sobre as dificuldades do ensino e
aprendizado da álgebra, cita que, “o papel do educador é fundamental, pois é dele
que partem as tarefas que propiciam que o aluno faça relações, ou seja, produza
significado para aquele estudo” (p. 5).
Isso revela que o professor também pode contribuir significativamente para
que os alunos compreendam conceitos relacionados à álgebra, como é o caso das
equações polinomiais. Porém, é claro que por vezes isso não ocorre. Como já
citado, esse conteúdo é trabalhado superficialmente por muitos professores.
Em relação aos Números Complexos, pesquisadores como Caldeira (2012),
Araújo (2006), Monzon (2010) e Oliveira (2010), expõem que o fato de estudá-los
sem fazer qualquer menção à parte histórica dos mesmos, e também sem qualquer
aplicação, não faz sentido e pode dificultar o aprendizado dos alunos.
Uma abordagem que consista nos aspectos descritos acima vai contra os
próprios currículos escolares que, como já citado, defendem uma abordagem dos
Números Complexos juntamente com sua parte histórica.
Devido a todos os apontamentos descritos, parece evidente a relevância
atribuída aos polinômios no Ensino Médio e por outro lado, as diversas lacunas que
parecem perdurar no que se refere ao ensino desse conteúdo, uma vez que envolve
a associação com diversos outros campos da Álgebra.
35
4 METODOLOGIAS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Muito se fala a respeito do ensino de Matemática atualmente. O ensino e a
aprendizagem da Matemática vêm sendo discutidos profundamente devido aos
resultados de pesquisas que apontam a grande dificuldade dos alunos em relação à
Matemática.
É evidente que o estudo de conteúdos descontextualizados pode não surtir
os efeitos esperados, contudo, é o que mais acontece nas escolas.
Assumindo a perspectiva sobre contextualização de Morais que diz que, “[...]
o conhecimento não consolidado é facilmente esquecido. Daí, então, a importância
de se contextualizar a construção dos conceitos em Matemática utilizando situações
suficientemente relevantes aos alunos” (2008, p. 29). Contextualização esta, que
não é necessariamente a aplicação dos conteúdos em uma situação real do
cotidiano do aluno, e sim apresentar um problema que possibilite ao aluno encontrar
utilidade no que se estuda, nem que seja dentro da própria Matemática.
Pensando nisso, e a partir das considerações realizadas anteriormente,
optamos pela utilização das metodologias de ensino de Resolução de Problemas e
História da Matemática para exploração das equações polinomiais e Números
Complexos. Acreditamos que elas podem contribuir para a aprendizagem desses
conteúdos, uma vez que enfocam a contextualização.
4.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A Resolução de Problemas enquanto metodologia prioriza a
contextualização dos conceitos abordados, partindo de uma situação para então se
chegar à abstração. Onuchic defende que na Resolução de Problemas,
O problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de construção do conhecimento. Sob esse enfoque, problemas são propostos ou formulados de modo a contribuir para a formação dos conceitos antes mesmo de sua apresentação em linguagem matemática formal. (1999, p. 207).
Ou seja, o aprendizado a partir da Resolução de Problemas,
[...] pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar com esses símbolos). (ONUCHIC, 1999, p. 207).
36
A pesquisadora também chama a atenção para o fato dos próprios PCN
incentivarem o ensino por meio da Resolução de Problemas. De fato, os currículos
defendem a utilização da Resolução de Problemas como uma metodologia essencial
para se trabalhar e principalmente pela contextualização dos conceitos estudados
que ela proporciona, que é um ponto bastante discutido e que deve ser trabalhado.
Outro aspecto pelo qual Onuchic defende o ensino através da Resolução de
Problemas é que somente quando o aluno resolve um problema é que surgem as
dúvidas e então o professor pode ver o que o aluno não entendeu ou interpretou mal
(ONUCHIC, 1999). Ela cita ainda que todos que fazem parte da Educação
[...] deveriam fazer da compreensão seu ponto central e seu objetivo. Fazendo isso, eles mudariam a visão estreita de que a Matemática é apenas uma ferramenta para resolver problemas, para uma visão mais ampla de que a Matemática é um caminho de pensar e um organizador de experiências. [...] O papel da Resolução de Problemas no currículo passaria de uma atividade limitada para engajar os alunos, depois da aquisição de certos conceitos e determinadas técnicas, para ser tanto um meio de adquirir novo conhecimento como um processo no qual pode ser aplicado aquilo que previamente havia sido construído. (p. 208).
Apesar de todos os pontos positivos que a Resolução de Problemas possui,
nem sempre ela foi vista como uma metodologia. Resolver problemas limita-se,
muitas vezes, a “treinar” os algoritmos, como algo que aparece para “fixar” o
conteúdo que já foi passado aos alunos. Isso perdurou por anos (e ainda perdura até
hoje) até se pensar em um ensino com compreensão, já que o que estava sendo
feito até então não surtia os efeitos desejados. Conforme Onuchic citou, a
Resolução de Problemas propõe isso, pois pode possibilitar um ensino com
compreensão.
O foco em Resolução de Problemas é de que “[...] o ponto de partida das
atividades matemáticas não é a definição, mas o problema” (ONUCHIC, 1999, p.
215). Dessa maneira, a metodologia pode contribuir como orientação para o
aprendizado dos alunos, pois o problema proposto não é apenas uma aplicação de
um conteúdo já trabalhado.
4.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS E
NÚMEROS COMPLEXOS
Ficou claro que o ensino e a aprendizagem das equações polinomiais e dos
Números Complexos da forma como vêm sendo tratados não surtem os efeitos
37
desejados. E isso não é um problema que ocorre apenas com as equações
polinomiais, mas com a Álgebra em si.
Para que o ensino da Álgebra atinja seus objetivos, assegurando ao aluno um acervo de habilidades e conhecimentos úteis e funcionais, no sentido de prepará-lo, capacitando-o a enfrentar os problemas do dia-a-dia, é preciso introduzir uma nova metodologia para o ensino, onde se pode trabalhar o concreto, o abstrato e as aplicações. (ROCHA, 2011, p. 1).
As metodologias e recursos utilizados pelo professor em sala de aula podem
contribuir para um aprendizado significativo. A Resolução de Problemas pode
contribuir devido a contextualização que ela proporciona, um aspecto criticado, já
que muitas vezes a contextualização é deixada de lado no ensino desses conteúdos.
Para Eisenberg e Dreyfus (1995, apud AZEVEDO, 2002, p.122), "a solução
de problemas que, à primeira vista, parecem não ter qualquer ligação com
polinômios, acaba dependendo muito deles. Os polinômios são onipresentes em
matemática e é importante que os alunos os dominem com segurança".
Onuchic (1999) defende também que por meio da Resolução de problemas
é possível trabalhar a maior parte dos conceitos e procedimentos matemáticos,
senão todos eles.
4.3 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Como já citado, tanto os currículos escolares quanto pesquisadores,
defendem o ensino de equações polinomiais e Números Complexos sem
desconsiderar o aspecto histórico dos mesmos.
Surge então a possibilidade de utilizar a História da Matemática como uma
metodologia que contribui para a aprendizagem significativa da Matemática, já que
os conteúdos estão relacionados historicamente.
Roratto et al (2011) defendem a contextualização que a História da
Matemática proporciona.
Com o uso da História em uma perspectiva evolucionista linear, o aluno tem condições de atuar como um matemático e não apenas reproduzir o conhecimento dessa disciplina. Mais do que isso, nessa perspectiva o ensino fica contextualizado e é minimizado o problema de já se partir de casos formais e abstratos, visto que o processo de aprendizagem é iniciado por contextos mais intuitivos e, gradativamente vão aumentando os níveis de abstração e formalismo. Durante esse processo gradual de formalização, é possível que o estudante use os conhecimentos previamente aprendidos para atuarem como âncora para os novos aprendizados, o que aumenta a
solidez e possibilita que a aprendizagem seja significativa (p.140).
38
Ou seja, a História da Matemática pode possibilitar ao aluno que haja como
um matemático. Pode-se, assim, recriar os momentos e situações em que os
próprios matemáticos passaram. Dessa forma, pode-se explorar as dificuldades e os
erros que os próprios matemáticos tiveram, mostrando aos alunos que a construção
da Matemática não apresenta caráter linear e que houve dificuldades ao longo dos
anos e do desenvolvimento da Matemática.
Outra questão é em relação ao que Guichard (1986) chama a atenção, para
o fato de que, além da contextualização que a História da Matemática pode
propiciar, ela esclarece porque e como tais conhecimentos matemáticos se
desenvolveram.
Os conhecimentos em História da Matemática permitem compreender melhor como chegámos aos conhecimentos actuais, porque é que se ensina este ou aquele capítulo. Com efeito, sem a perspectiva crítica que a história nos dá, a matemática ensinada transforma-se pouco a pouco no seu próprio objecto, e os objectos matemáticos ficam desnaturados: já não são mais do que objectos de ensino. Aprendem-se os casos notáveis para eles mesmos, a noção de distancia para ela mesma: está-se então em presença do fenómeno da transposição didáctica em que o objecto de ensino é o resultado de uma descontextualização, está separado da problemática que lhe deu origem e que faz viver a noção como saber (p. 1).
Trabalhar a História da Matemática como metodologia em sala de aula
possibilita, portanto, além da contextualização já citada, que os alunos possam
compreender os problemas que originaram determinados conteúdos.
Esperamos assim, pelos motivos explicitados, que a utilização das
metodologias de ensino Resolução de Problemas e História da Matemática, possam
na proposta de ensino contribuir de maneira significativa ao aprendizado dos alunos
nos conteúdos de Números Complexos e equações polinomiais.
39
5 PROPOSTA DE ENSINO
A partir dos apontamentos feitos anteriormente, estruturamos uma proposta
de ensino que abrange os conteúdos de Números Complexos e equações
polinomiais. As metodologias de ensino utilizadas são a Resolução de Problemas e
a História da Matemática.
Nessa proposta abordamos apenas as equações polinomiais com
coeficientes Complexos. Apesar de a maioria dos livros didáticos também
apresentarem o estudo de equações com coeficientes Inteiros, Racionais e Reais,
os mesmos não serão discutidos, pois nosso enfoque é o ensino associado de
Números Complexos e equações polinomiais, conforme discutido nas seções
anteriores.
A proposta em si consiste na resolução de três problemas, os quais
chamaremos de Problemas 1, 2 e 3. Ao final de cada problema há um quadro com
vistas a orientar as possíveis ações do professor e dos alunos no decorrer de cada
tarefa. Inicialmente, o professor pode dividir a turma em grupos de até 4 alunos e
entregar os seguintes problemas, cada um após o término do anterior.
PROBLEMA 1 - Considere uma caixa de papelão cujas medidas são
Números consecutivos representados por , e , conforme
representado na Figura 2.
Figura 2 – Representação da caixa do Problema 1. Fonte: A autora, 2013.
40
Quais as medidas das arestas para que a área de papelão utilizada seja de 724cm²?
A área da caixa é dada pela soma das áreas das faces da caixa:
Caso os alunos não saibam como encontramos a área da caixa, o professor
pode pedir a eles que planifiquem a caixa a fim de facilitar a compreensão, como
mostra a Figura 3.
Figura 3 – Caixa planificada do Problema 1. Fonte: A autora, 2013.
Substituindo os valores em a, b e c, temos:
Aplicando a distributividade e somando os monômios de mesmo grau,
obtemos a equação para calcular a área da caixa:
Queremos encontrar as medidas das arestas de modo que a área da caixa
tenha 724cm², ou seja, devemos encontrar os valores de x quando A(x)=724cm².
Temos:
Para resolvermos , encontramos as suas raízes, e para
tal utilizamos a fórmula de Bháskara. Se os alunos, não lembrarem como resolver
41
uma equação do segundo grau, o professor poderá passar a fórmula no quadro,
visto que este é um conteúdo abordado no 9º ano do Ensino Fundamental.
É esperado que os alunos possuam conhecimento em relação a resolução
de equações do segundo grau através da fórmula de Bháskara. Entretanto, qualquer
dúvida que alunos tiverem a respeito disso, o professor poderá revisar esse
conteúdo.
É possível que os alunos conheçam e encontrem as raízes da equação por
outros métodos, como pelas relações de Girard ou chutando valores, o que também
deve ser considerado, se o método estiver correto.
Aqui optamos por resolver pela fórmula de Bháskara. Substituindo os valores
dos coeficientes a, b, e c, tem-se:
Como x representa uma medida, desprezamos a raiz negativa, e neste caso,
x=10cm. Logo , e
, quando a área é de 724cm².
O professor deve auxiliar os alunos para que todos consigam solucionar o
problema. Após os alunos resolverem o problema, o professor poderá pedir para que
eles apresentem aos demais colegas os resultados obtidos.
Com esse problema o professor pode introduzir a definição de polinômio real
e grau de um polinômio. Para esse caso, temos o polinômio
que possui grau 2.
Os polinômios Reais e Complexos obedecem as mesmas propriedades e
definições, só diferem em relação aos coeficientes. No caso de polinômios Reais os
coeficientes são Números Reais e nos polinômios Complexos os coeficientes são
Números Complexos.
Inicialmente introduziremos os conceitos de polinômios Reais para
posteriormente abranger os polinômios Complexos.
No problema 1, obtemos o polinômio A(x) realizando operações entre os
polinômios , e . O professor pode definir a adição e
multiplicação de polinômios, assim como as suas propriedades, e também o grau da
soma e do produto de polinômios.
42
Em seguida, introduzir a definição de equação polinomial real, de valor
numérico de um polinômio e a definição de raízes de equações polinomiais.
O professor poderá também abordar os polinômios idênticos e polinômios
nulos. Para esse problema, pode-se constatar que ,
ou seja, as equações polinomiais terão raízes diferentes. Por isso, é necessário
calcular as raízes de .
Segue o Quadro 1 com algumas considerações em relação as possíveis
ações dos alunos e do professor.
Ação dos alunos Ação do professor
- Compreender o problema (concluir que deve-se calcular a área da caixa).
- Verificar se os alunos compreenderam o que deve ser feito inicialmente no problema, isto é, o cálculo da área da caixa. - Pode ler o problema junto com os alunos, pois no mesmo já se pede isso.
- Calcular a área da caixa. - Realizar as operações necessárias para tal.
- Verificar se os alunos sabem calcular a área de um paralelepípedo. - Ajudar os alunos a compreender que a área da caixa é dada pela soma das áreas das faces da caixa. Pode pedir para que planifiquem a caixa, a fim de melhorar a visualização, conforme descrito na Figura 3. - Poderá levar para a sala uma caixa, o que pode facilitar a visualização dos cálculos a serem feitos. - Verificar se os alunos compreenderam que, como as arestas da caixa estão em função de x, deve-se encontrar para quais valores de x temos a área da caixa igual a 724 cm². Poderá fazer no quadro alguns exemplos com Números. - Verificar se os alunos sabem realizar operações com polinômios. Caso contrário poderá auxiliá-los.
- Determinar as raízes da equação polinomial do segundo grau encontrada.
- Verificar se os alunos conhecem algum método para encontrar as raízes de uma equação polinomial do segundo grau. É esperado que os alunos conheçam a Fórmula de Bháskara. O professor pode relembrá-la ou até mesmo expor aos alunos, explicando que a mesma é utilizada para encontrar raízes de equações quadráticas. - Verificar, caso os alunos realizem outro método, se este é correto. - Aproximar procedimentos distintos de resolução apresentados pelos alunos.
- Visto que uma equação polinomial do segundo grau possui duas raízes que podem ou não ser iguais, constatar qual das raízes satisfaz o problema. Nesse caso, haverá duas
- Verificar se os alunos compreendem a quantidade de raízes que deve ter a equação e seus significados. - Verificar se os alunos sabem qual raiz satisfaz o problema. Caso os alunos não saibam qual das
(continua)
(conclusão)
43
raízes distintas, e . Por se tratar de uma medida de comprimento, deve-se usar a raiz .
raízes utilizar, poderá questiona-los: “É possível que uma medida de uma caixa seja negativa?”. - Verificar se os alunos compreenderam o que o x encontrado nos dá os valores das arestas da caixa, tal que a área da caixa seja 724 cm².
- Substituir o valor encontrado para x nas equações que nos dão as arestas, e assim calcular os valores das arestas.
- Verificar se os alunos compreendem o significado da incógnita. - Verificar se os alunos realizaram as substituições corretamente.
- Expor para a turma seus resultados e suas conclusões.
- Ordenar as apresentações de diferentes procedimentos e sistematizar. - Indagar os alunos a respeito das resoluções do problema e explorar os resultados obtidos. - Aproximar e estabelecer relações entre diferentes estratégias. - A partir dos resultados dos alunos, introduzir a definição de polinômio real, assim como suas propriedades da adição e da multiplicação, grau de um polinômio, grau da soma e da multiplicação. Em seguida também pode sistematizar a definição de equação polinomial e de raízes de equações polinomiais.
Quadro 1 - Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento do Problema 1. Fonte: A autora, 2013.
PROBLEMA 2 – Divida um segmento de comprimento 10 em duas partes
cujo produto dessas partes seja 40.
Se necessário, inicialmente o professor poderá auxiliar os alunos a
compreender o que o problema pede. Pode facilitar desenhar o segmento de reta e
atribuir incógnitas as medidas pedidas.
Chamando de x uma parte, e sendo o comprimento total igual a 10, então a
outra parte será 10-x, conforme mostra a Figura 4.
Figura 4 – Segmento de reta explicativo ao Problema 2. Fonte: A autora, 2013.
Como o produto das duas partes deve ser igual a 40, então, nesse caso,
tem-se .
Os alunos podem também considerar segmento de reta com comprimento
10 e partes iguais a x e a y, conforme Figura 5.
44
Figura 5 – Segmento de reta explicativo ao Problema 2. Fonte: A autora, 2013.
Desse modo, obtemos o sistema:
, no qual, isolando y na
primeira equação temos, , e substituindo na segunda
equação, temos, , equação
equivalente a anterior.
Para resolvermos a equação aplicamos a fórmula de
Bháskara, e encontramos as suas raízes.
Substituindo os coeficientes a, b e c na fórmula, obtemos as duas raízes x’ e
x’’:
O professor poderá indicar aos alunos que eles podem fatorar o -60, ou se
preferir, trabalhar sem a fatoração.
Neste momento, provavelmente os alunos podem concluir que não há raízes
Reais, que a raiz quadrada de Números negativos não existe, ou algo do gênero,
dependendo da formação que já possuem. O professor pode interferir e pedir que
substituam x’ ou x’’ na equação , constatando assim que x’ e x’’
são raízes da equação.
Outra opção é que os alunos substituam uma das raízes x’ ou x’’, no sistema
obtido inicialmente
, obtendo os mesmos resultados, já que a equação do
segundo grau foi obtida através do sistema.
45
De fato, x’ e x’’ satisfazem as condições do problema, e, portanto são a
solução do mesmo.
O professor poderá pedir para que os alunos observem que número que foi
obtido e que tirem conclusões sobre, pois esses Números satisfazem o problema.
Após o término da resolução do problema, a partir das resoluções e
conclusões dos alunos, o professor poderá introduzir a definição dos Números
Complexos, assim como as operações de adição e multiplicação, e suas
propriedades.
Sendo assim, esse problema não possui solução, pois por se tratar de uma
medida real.
A construção dos Números Complexos surgiu principalmente por conta da
resolução de uma equação cúbica, na qual se obteve raízes de Números negativos
através da aplicação da fórmula de Cardano, como descrito no capítulo 2. Optamos
pelo problema que recai em uma equação quadrática, pelo motivo de que também
intrigou os matemáticos a respeitos desses Números desconhecidos até então
naquela época. E também, porque é mais viável trabalhar com uma equação
quadrática que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara, do que com uma
equação cúbica resolvida pela fórmula de Cardano, que além de sua complexidade
não aparece como conteúdo do Ensino Médio.
Em seguida, o professor pode, então, abranger para os Números
Complexos, as definições a respeito de polinômios e equações polinomiais
realizadas no problema anterior, destacando que os polinômios Reais e Complexos
obedecem as mesmas propriedades e definições, só diferem em relação aos
coeficientes. No caso de polinômios Reais os coeficientes são Números Reais e nos
polinômios Complexos os coeficientes são Números Complexos.
Segue o quadro 2, detalhando as possíveis ações do professor e dos alunos.
Ação dos alunos Ação do professor
- Compreender o problema (concluir que deve-se dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes, iguais ou diferentes, de maneira que ao multiplicar os valores dessas
- Verificar se os alunos compreenderam o problema. Pode sugerir que os alunos desenhem o segmento a fim de facilitar a compreensão. - Verificar se os alunos sabem o que é um segmento. Em caso negativo, explicar o que é um
(continua)
46
partes, obtenha-se 40). segmento de reta. - Poderá pedir aos alunos para darem nomes às partes, isto é, atribuir uma incógnita para cada parte, uma vez que elas são desconhecidas. Poderá também, dar exemplos com Números: “Se todo o segmento mede 10, e supondo que uma das partes meça 3, quanto mede a outra parte? Mede 7, pois 10-3=7. E se não soubéssemos que uma das partes mede 3? Há como generalizar para qualquer valor? E se uma das partes medir 6? Quanto mede a outra?”
- Encontrar um sistema com 2 incógnitas e a partir disso, obter a equação polinomial de grau 2
. Ou mesmo, obter direto essa equação.
- Direcionar os alunos a fim de que considerem as informações dadas no problema e consigam obter
a equação polinomial quadrática .
- Resolver a equação polinomial
.
- Verificar se os alunos resolveram a equação corretamente. Não são esperadas dúvidas quanto a isso, uma vez que no Problema 1 (anterior a esse) houve a discussão da resolução de equações polinomiais de grau 2.
- Analisar as raízes obtidas e concluir elas envolvem Números Complexos.
- Verificar o que os alunos fazem quando obtêm raízes complexas. Questiona-los: “É possível extrair a raiz de um número negativo? Que conhecimentos vocês tem sobre essas raízes?”. - Poderá pedir para que os alunos observem que número que foi obtido e que tirem conclusões sobre, pois esses Números satisfazem o problema. “Esses Números são raízes da equação? E se substituirmos uma das raízes na
equação , o que acontece? O que significa um número ser raiz de uma equação polinomial qualquer? Se ao substituirmos uma dessas raízes na equação e obtermos zero, elas são de fato, raízes da equação?” - O professor pode ajudar os alunos a perceberem que, na verdade, esses Números encontrados, são raízes da equação. Porém, “Que Números são esses? Tratam-se de Números Reais? No conjunto dos Números Reais é possível extrair raízes de Números menores do que zero? Se sim, como? E se colocássemos
, por exemplo. Assim teríamos
. E agora, é possível resolver? Disto temos
que . Mas quem é i?” O professor poderá relembrar aos alunos essas propriedades da radiciação, caso eles não saibam. - Poderá então, introduzir e sistematizar o conceito de número complexo e suas propriedades.
- Expor para a turma seus resultados e suas conclusões.
- Indagar os alunos a respeito das resoluções do problema e explorar os resultados obtidos. - Reforçar os conceitos explicados nos problemas
(conclusão)
47
anteriores e agora amplia-los para o conjunto dos Números Complexos.
Quadro 2 - Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento do Problema 2. Fonte: A autora.
PROBLEMA 3 – Utilizando a mesma caixa do Problema 1, quais as medidas
das arestas para que o volume ocupado pela caixa seja de 24cm³?
O volume da caixa é dado pela área da base multiplicado pela altura da
caixa: . Caso os alunos não lembrem como calcular o volume de um
paralelepípedo, o professor pode dizer a eles e até mesmo passar no quadro, se a
dúvida for geral.
Substituindo os valores em a, b e c, temos: .
Aplicando a distributividade, obtemos a equação para calcular o volume da caixa:
.
Queremos encontrar as medidas das arestas de modo que o volume da
caixa tenha 24cm³, ou seja, devemos encontrar os valores de x quando V(x)=24cm³.
Temos: . Atribuímos valores a x vemos
que 2 é uma raiz, pois .
Aqui, o professor pode abordar a divisão de polinômios e introduzir o
Teorema de D’Alembert (3.2.16). Pois sabendo que 2 é uma raiz pelo Teorema de
D’Alembert temos que o polinômio pode ser divido pelo polinômio
. Aplicando o algoritmo de Euclides (3.2.13) para a divisão, obtemos:
Logo, temos que . Agora basta
encontrar as raízes de . Aplicando a fórmula de Bháskara e
substituindo os valores dos coeficientes a, b, e c, tem-se:
48
Como x representa uma medida, desprezamos as raízes complexas
e
, e assim, x=2cm.
Logo , e , quando o
volume é de 24cm³.
Outra maneira de encontrar as raízes da cúbica
sabendo que 2 é uma raiz, é através do algoritmo de Briott-Ruffini , que o professor
pode apresentar aos alunos.
-24
Obtemos . Novamente podemos aplicar a fórmula de
Bháskara e encontrar as outras duas raízes, constatando que satisfaz o
problema.
O professor pode abordar o Teorema Fundamental da Álgebra e também o
Teorema da Decomposição. Nesse caso, para , temos
e as raízes ,
e
.
Logo
.
Segue o quadro 3 explicitando as possíveis ações.
Ação dos alunos Ação do professor
- Compreender o problema (concluir que deve-se calcular o volume da caixa).
- Verificar se os alunos compreenderam o que deve ser feito inicialmente no problema, isto é, o cálculo do volume da caixa. - Pode ler o problema junto com os alunos, pois no mesmo já se pede isso. - Pode pedir que os alunos comparem com o Problema 1 e tentem calcular o volume da caixa com as arestas encontradas, observando que com as medidas das arestas do Problema 1, não obtemos o volume pedido de 24cm³.
(continua)
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- Calcular o volume da caixa. - Realizar as operações necessárias para tal.
- Verificar se os alunos sabem calcular o volume de um paralelepípedo. - Ajudar os alunos a compreender que o volume da caixa é dado pela multiplicação entre a área da base pela altura da caixa. Isto é, nesse caso,
temos . - Poderá levar para a sala uma caixa, o que pode facilitar a visualização dos cálculos a serem feitos. - Verificar se os alunos compreenderam que, como as arestas da caixa estão em função de x, deve-se encontrar para quais valores de x temos o volume da caixa igual a 24 cm³. Poderá fazer no quadro alguns exemplos com Números. - Verificar se os alunos estão realizando corretamente as operações com polinômios já definidas nos problemas anteriores. Caso contrário poderá auxiliá-los, destacando as propriedades comutativa, distributiva e associativa. - Durante a resolução poderá questioná-los sobre o grau do polinômio obtido, e fazer considerações sobre o grau da soma e da multiplicação dos polinômios.
- Encontrar as raízes da equação polinomial do terceiro grau
encontrada, .
- Relembrar o que é raiz de uma equação. - Verificar se os alunos conhecem algum método para encontrar as raízes de uma equação polinomial do terceiro grau. Poderá pedir para que os alunos atribuam valores para encontrarem uma das raízes. Caso os alunos não consigam, o professor poderá sugerir o número 2 como uma das possíveis raízes. - Sabendo que uma das raízes da equação
polinomial é 2, o professor poderá conduzi-los para que tentem diminuir um grau da equação, pois assim, teríamos uma equação polinomial do segundo grau, a qual os alunos já conhecem métodos de resolução, que utilizaram no Problema 1. - Poderá fazer alguns questionamentos: “E se tentássemos dividir a equação polinomial? Pelo que poderíamos dividi-la? Lembrem-se que 2 é uma das raízes.” Caso os alunos não consigam pensar em dividir a equação polinomial por , isto é x menos uma das raízes, o professor poderá sugerir isso a eles, e auxiliar para que realizem a divisão corretamente. Explicar aos alunos que um polinômio é divisível por , sendo uma
raiz de , devido ao Teorema de D’Alembert que nos permite isso. - A fim de diminuir um grau da equação polinomial, o professor poderá ensiná-los o Algoritmo de Briott-Ruffini. - Após os alunos diminuírem um grau da equação,
e chegarem em , verificar se irão calcular as raízes corretamente. - Verificar se os alunos compreenderam que as
(continua)
50
três raízes encontradas correspondem a equação
. Explicar a eles que a equação acima, pode ser reescrita como o produto
, ou
. Aqui, pode-se abordar
o Teorema da Decomposição, que nos diz ser possível o que foi feito acima.
- Visto que uma equação polinomial do terceiro grau possui três raízes que podem ou não ser iguais, constatar qual das raízes satisfaz as condições do problema. Nesse caso, por se tratar de uma medida de comprimento, deve-se usar a raiz real .
- Verificar se os alunos sabem qual raiz satisfaz o problema. Caso os alunos não saibam qual das raízes utilizar, poderá questiona-los: “É possível que uma medida de uma caixa seja um número complexo?”. - Verificar se os alunos compreenderam que o x encontrado nos dá os valores das arestas da caixa, tal que o volume da caixa seja de 24 cm³. - Poderá questionar os alunos: “Quantas raízes uma equação quadrática pode ter? Podemos ter uma equação quadrática com 3 ou mais raízes? E a equação cúbica? Quantas raízes obtemos? Elas podem ser iguais? É possível que uma equação cúbica tenha mais de 3 raízes?”. A partir dessas indagações, explicar o Corolário do Teorema da Decomposição.
- Substituir o valor encontrado para x nas equações que nos dão as arestas, e assim calcular os valores das arestas.
- Verificar se os alunos compreendem o significado da incógnita. - Verificar se os alunos realizaram as substituições corretamente.
- Expor para a turma seus resultados e suas conclusões.
- Ordenar as apresentações de diferentes procedimentos e sistematizar. - Indagar os alunos a respeito das resoluções do problema e explorar os resultados obtidos. - Aproximar e estabelecer relações entre diferentes estratégias. - Reforçar os conceitos explicados nos problemas anteriores. - A partir dos resultados dos alunos, introduzir o Teorema Fundamental da Álgebra.
Quadro 3 - Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento do Problema 3. Fonte: A autora, 2013.
O professor poderá explorar mais conteúdos a respeito das equações
polinomiais e dos Números Complexos. Poderá aplicar mais problemas também.
Esperamos que tal proposta possa contribuir para a aprendizagem dos
alunos.
(conclusão)
51
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Quando cursei o Ensino Médio não tive qualquer contato com os conteúdos
apresentados. Foi muito bom realizar todo esse trabalho, devido ao grande
aprendizado que me proporcionou, pois assim pude compreender não somente a
parte teórica e histórica, como o contexto envolvido no ensino das equações
polinomiais e dos Números Complexos.
Apesar de serem conteúdos importantes e os próprios currículos
defenderem que eles devem ser trabalhados no Ensino Médio, numa abordagem
que possa associá-los e revelar aspectos históricos, ficou claro que há grandes
dificuldades por parte dos professores em ensiná-los em sala de aula.
Isso se deve a inúmeros fatores, como a própria abordagem desassociada e
inconsistente que muitos livros didáticos apresentam, e as dificuldades que os
alunos revelam para compreender conteúdos algébricos.
Outro fator é a descontextualização com que são abordados. Pude perceber,
pelo que diversos pesquisadores apontam, que tanto no ensino de equações
polinomiais quanto de Números Complexos, as definições são priorizadas em
detrimento da contextualização e da história da matemática presente no desenrolar
dos conteúdos.
Inicialmente, minha intenção foi dar enfoque apenas às equações
polinomiais complexas, deixando de lado os Números Complexos. Porém, ao
analisar todo o desenvolvimento histórico das equações polinomiais e ver que os
Números Complexos surgiram em decorrência das equações polinomiais, percebi
que trabalhar esses conteúdos de forma associada poderia ser uma possibilidade.
Todo esse trabalho foi realizado com o objetivo de criar uma proposta de
ensino que, se aplicada, possa contribuir para a aprendizagem dos alunos a respeito
das equações polinomiais e dos Números Complexos. Trabalhamos na perspectiva
de entender em que contexto se encontram esses conteúdos, desde como são
abordados nas escolas, nos livros didáticos, nos currículos. Demos ênfase à parte
histórica dos mesmos, buscando associá-los de maneira que os alunos possam
compreender, também, todo o desenvolvimento dos conteúdos citados.
Acreditamos que esse trabalho pode contribuir para que professores
compreendam um pouco do que permeia o ensino e a teoria dos Números
Complexos e das equações polinomiais. Dessa forma, acreditamos que a aplicação
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das tarefas pode comprovar nossas conjecturas a respeito da utilização das
metodologias de ensino de História da Matemática e Resolução de Problemas, para
ensinar de maneira associada as equações polinomiais e os Números Complexos,
podendo, assim, surtir efeitos no aprendizado dos alunos em relação a esses
conteúdos que aqui foram abordados.
53
REFERÊNCIAS
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