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A escolha do consumidor sob incerteza
Pelotas2015
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS - UFPELDepartamento de Economia - DECON
Professor Rodrigo Nobre Fernandez
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Introdução
A incerteza faz parte da vida, nosarriscamos cada vez que tomamos umadecisão;
Há, porém, instituições financeiras comoos mercados de seguros e de ações quepodem mitigar pelo menos alguns destesriscos;
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Introdução
Verificaremos o comportamento individualem relação às escolhas que envolvemincerteza;
A teoria padrão de escolha doconsumidor, pode ser utilizada da mesmaforma para entendermos como o indivíduofaz suas escolhas com incerteza;
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1. Consumo contingente
A pergunta que devemos fazer é: O queestá sendo escolhido?
O consumidor está supostamentepreocupado com a distribuição deprobabilidades de obter diferentes cestasde bens;
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1. Consumo contingente
O que o consumidor faz quando eledecide o quanto em seguro de automóvelcomprar, ou quanto investir em mercadode ações?
Ele está na verdade decidindo sobre umpadrão de distribuição de probabilidadessobre diferentes quantidades de consumo;
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1. Consumo contingente
Suponha que você tenha R$ 100,00 eesteja pensando em comprar um bilhetecom o número 10.
Se este número for sorteado, vocêganhará R$ 200,00;
O custo do bilhete é de R$ 5,00;
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1. Consumo contingente
Sua dotação inicial é de R$ 100,00.
Se você comprar o bilhete e for sorteado,terá uma distribuição de riqueza de R$295,00 ( R$ 100,00 + R$ 200,00 – R$5,00);
Se você não for sorteado, o valor da suadistribuição de riqueza será de R$ 95,00;
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1. Consumo contingente
Agora descrevemos um caso de umseguro.
Suponha que você tenha R$ 35.000,00em ativos, mas você possui umapossibilidade de perda de R$ 10.000,00.
Suponha que a probabilidade que istoocorra seja p = 0,01;
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1. Consumo contingente
Sua distribuição de probabilidades é de1% de ter R$ 25.000,00 de ativos e de99% de ter R$ 35.000,00;
Um contrato de seguro paga R$ 100,00caso ocorra alguma perda;
O prêmio do seguro é de R$ 1,00;
Se você decidir comprar R$ 10.000,00 emseguro isto lhe custará R$ 100,00;
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1. Consumo contingente
Neste caso você terá 1% de possibilidadede ter R$ 34.900,00 ( U$ 35.000,00 deativos – R$ 10.000,00 de perdas + R$10.000,00 de indenização – R$ 100,00pagos pelo prêmio do seguro);
E 99% de ter R$ 34.900,00 ( U$ 35.000,00de ativos – R$ 100,00 pagos pelo prêmiodo seguro) ;
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1. Consumo contingente
Em geral se você comprar R$K de seguroe tiver que pagar um prêmio , você sedeparará com a seguinte aposta:
Probabilidade de 0,01 de obter:
K
KKR 00,000.25$
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1. Consumo contingente
Que tipo de seguro você comprará?
Isto irá depender de quão conservadorvocê é, ou se você gosta de correr riscos;
As pessoas possuem preferênciasdiferentes frente a distribuições deprobabilidades;
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1. Consumo contingente
Podemos pensar em diferentes resultadosde um evento aleatório como diferentesestados da natureza;
Também podemos considerar o plano deconsumo contingente como umaespecificação do que seria consumido emcada diferente estado da natureza;
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1. Consumo contingente
Contingente significa depender de algoque ainda não é certo;
Descrevemos 2 estados sendo um ruim(b) e outro bom (g). A dotação deconsumo contingente no estado ruim é deR$ 25.000,00 e de R$ 35.000,00 noestado bom.
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2. Funções de utilidade e probabilidade
Em geral, o modo como uma pessoaavalia o consumo num estado emcomparação a outro dependerá daprobabilidade de que ocorra o estado emquestão;
As preferências de consumo emdiferentes estados da naturezadependerão das crenças dos indivíduos;
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2. Funções de utilidade e probabilidade
Se dois estados excluem-se mutuamente,de modo que, apenas um possa ocorrer,então:
Dada esta notação podemos escrever anossa função de utilidade do consumo nosestados 1 e 2 como:
12 1
),,( 21,21 ccu
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3. Função de utilidade esperada
Uma forma particularmente convenienteque a função de utilidade pode adotar é aseguinte:
)()(),,( 221121,21 cvcvccu
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3. Função de utilidade esperada
Isto diz que a utilidade pode ser escritacomo uma função do consumo em cadaestado
Por isto que nos referirmos a função deutilidade esperada de forma particularcomo uma função Neumann-Morgenstern.
)( )( 21 cvecv
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3. Função de utilidade esperada
Na escolha sob condições de incerteza háuma espécie de independência entre osdiferentes resultados;
Estes resultados devem ser consumidosde maneira separada – em diferentesestados da natureza;
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3. Função de utilidade esperada
Esta hipótese é conhecida como hipótesede independência.
Esta hipótese implica que a função deutilidade do consumo contingente teráuma estrutura muito especial: ela terá queser aditiva nas diferentes cestas deconsumo contingente;
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3. Função de utilidade esperada
)()()(),( 3322113,21 cucucucccu
2321
132112
/),,(
/),,(
ccccU
ccccUTMS
23212
13211
/),,(
/),,(
ccccu
ccccu
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4. Aversão ao risco
Vamos aplicar o modelo da utilidadeesperada a um problema simples.
Suponha que o consumidor 1 tenha ariqueza de R$ 10,00.
Este consumidor pensa em fazer umaaposta a qual terá 50% de probabilidadede ganhar R$ 5,00 e também 50% deprobabilidade de perder R$ 5,00;
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4. Aversão ao risco
0 15105
utilidade
riqueza
u(15)
u(10)
u(5)
0,5u(5)+0,5u(15)
Este consumidor possui um função
de utilidade côncava
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4. Aversão ao risco
Em suma, o consumidor é avesso aorisco se ele prefere uma riquezagarantida a uma riqueza de risco como mesmo valor esperado.
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5. Propensão ao risco
Se o consumidor, “gostar mais” de arriscaro seu comportamento será diferente;
A inclinação da curva de utilidade desteconsumidor se tornará mais íngreme amedida que sua utilidade aumenta;
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5. Propensão ao risco
105
utilidade
riqueza
u(15)
u(10)
u(5)
150
0,5u(5)+0,5u(15)
Este consumidor possui um função
de utilidade convexa
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5. Propensão ao risco
Em suma, o consumidor é propensoao risco se ele prefere uma riquezaincerta a uma riqueza garantida como mesmo valor esperado.
Exemplos: jogos de azar, algumasatividades criminosas
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6. Neutralidade ao risco
O caso intermediário é o da função deutilidade linear;
A utilidade esperada da riqueza éexatamente igual ao seu valor esperado;
O consumidor não tem preferência ou eleé indiferente entre uma riqueza garantidae uma incerta com o mesmo valoresperado.
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7. Demanda por seguro (exemplo)
Agora, vamos analisar o contrato deseguro do ponto de vista da empresa;
Com probabilidade ela terá que pagarK, e com probabilidade ela nãopagará nada.
Aconteça o que acontecer a empresaarrecada pelo menos o prêmio ;
)1(
K
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7. Demanda por seguro (exemplo)
Então o lucro esperado, P, da empresa deseguros é:
00).1( KKP
0 KKP
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7. Demanda por seguro (exemplo)
Se inserirmos isto na equação:
1/),()1(
/),(
221
121
cccu
cccuTMS
1/),()1(
/),(
221
121
cccu
cccuTMS
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7. Demanda por seguro (exemplo)
Então chegaremos a seguinte conclusão:A utilidade marginal de R$ 1,00 de rendaadicional caso a perda ocorra, deve serigual à utilidade marginal R$ 1,00 caso aperda não ocorra.
2
21
1
21 ),(),(
c
ccu
c
ccu
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7. Demanda por seguro (exemplo)
Se as utilidades marginais da renda foremiguais teremos que ter
O que implica K = 10.000. Se oconsumidor tiver oportunidade de comprarum seguro a um prêmio “justo” ele sempreescolherá o seguro total;
KKK 000.25000.35
21 cc
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8. Diversificação
Ao diversificar seus investimentos vocêpode obter um rendimento mais seguro e,portanto, mais desejável, se for umapessoa avessa ao risco;
Suponha que tanto ações de umaempresa produtora de capas de chuvacomo de outra produtora de óculos de solcustam R$ 10,00 a unidade;
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8. Diversificação
Se o verão for chuvoso as ações daempresa de capas de chuva dobram e asde óculos de sombra terão um valor de R$5,00.
Se for ensolarado ocorre exatamente ocontrário.
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8. Diversificação
Se você aplicar todos seus recursossomente em uma empresa, estaráfazendo uma aposta que tem 50% dechances de lhe dar R$ 200,00 e 50% dechances de lhe dar R$ 50,00.
O retorno esperado seria de R$ 125,00.
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8. Diversificação
Veja que se você investir metade do valorem cada empresa você obterá um retornode R$ 100,00 pela empresa bem sucedidade acordo com a estação do ano;
E R$ 25,00 da empresa que não obtevesucesso;
Em ambas situações você garante R$125,00;
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8. Diversificação
Ao diversificar seu investimento entre asduas empresas, você pode reduzir o riscototal, com o mesmo retorno esperado.
A diversificação foi fácil, pois os ativos sãonegativamente correlacionados;
O valor da maioria dos ativos movem-sejuntos. Ex: Ford e GM.
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9. Mercado de Ações
O mercado de ações assim como omercado de seguros permite que vocêdistribua o risco;
Neste mercado você pode investir numadiversidade de ativos;
Os proprietários tem incentivos a emitirações, com o propósito de diversificar seurisco;
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9. Mercado de Ações
Os acionistas também podem utilizar omercado de ações para realocar seusriscos;
No mercado de ações há riscos noagregado;
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Apêndice
Definição: Loteria Suponha que é um conjunto finito de
resultados possíveis (por exemplo, o valor monetáriopara cada i).
Uma loteria assinala a probabilidade pi
ao resultado ai para todo i=1,...,n onde: e
Adicionalmente, dizemos que uma loteria é degeneradaquando temos um
naaA ,...,1
nn apapg ,...,11
0ip 11
n
iip
1ip
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Apêndice
Definição: Utilidade Esperada A utilidade possui a propriedade de utilidade
esperada se, para toda loteria temosque:
Portanto, a utilidade esperada UE é linear nasprobabilidades e é determinada pelos valores queassume no conjunto dos resultados.
RGUE :
Gapapg nn ,...,11
n
i iinn aupapapUE111 ,...,
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Apêndice
Definição: Comportamento em relação aorisco:
Dizemos que o indivíduo é:
1. Avesso ao risco em g se:
2. Neutro ao risco em g se:
3. Amante do risco em g se:
gugEu
gugEu
gugEu
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Apêndice
Definição: Equivalente de Certeza
O equivalente de certeza ECg da loteria gé o montante de dinheiro dado comcerteza, tal que:
gECUEgUE
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Apêndice
Definição: Prêmio de Risco
O prêmio de risco associado a loteria g éo montante de dinheiro Pg tal que:
gPgEUEgUE
gg ECgEP
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Apêndice
Teorema: Aversão ao Risco, EC e Prêmiode risco. As seguintes afirmativas sãoequivalentes:
1. O indivíduo é avesso ao risco;
2. u(.) é estritamente côncava;
3. ECg < E(g) para toda loteria nãodegenerada
4. Pg > 0 para toda loteria nãodegenerada.
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Apêndice
Teorema: Neutralidade ao Risco, EC ePrêmio de risco. As seguintes afirmativassão equivalentes:
1. O indivíduo é neutro ao risco;
2. u(.) é linear;
3. ECg = E(g) para toda loteria nãodegenerada
4. Pg = 0 para toda loteria nãodegenerada.
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Apêndice
Teorema: Propensão ao Risco, EC ePrêmio de risco. As seguintes afirmativassão equivalentes:
1. O indivíduo é propenso ao risco;
2. u(.) é convexa;
3. ECg≥E(g) para toda loteria nãodegenerada
4. Pg ≤ 0 para toda loteria nãodegenerada.
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Apêndice
Definição: Coeficiente de aversão ao riscoabsoluto. O coeficiente de aversão aorisco absoluto de Arrow-Pratt da utilidadeU no nível de riqueza w é definido como:
wuwu
wRa '
''
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Apêndice
Definição: Coeficiente de aversão ao riscorelativo. O coeficiente de aversão ao riscorelativo de Arrow-Pratt da utilidade U nonível de riqueza w é definido como:
wuwu
wwRR '
''
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Apêndice
Exemplo:
Dada a loteria calculeo valor esperado, o equivalente de certezao prêmio de risco e verifique o perfil doindivíduo em relação ao risco.
wwu
6.08.0,102.0 g
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Apêndice
Exemplo:
Veja que como a utilidade é côncava o indivíduo éavesso ao risco. Os coeficientes de Arrow-Pratt sãopositivos.
91.056.148.2 ECgEP gg
5.0' 5.0 wu 5.1'' 25.0 wu
15.0 wwRa 5.0wRR