UniversidFaculdade
Secção de Elect
Máquina Síncron após Brusco Cu
João Dissertação apresentada na Faculdade Lisboa para obtenção do grauComputadores.
Orientador científico: Prof. Doutor Amadeu Leão Rodrigue
ade Nova de Lisboa de Ciências e Tecnologia rotecnia e Máquinas Eléctricas
a em Regime Transitório rto-Circuito no Estator
por
Leal Fernandes
de de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de
s
Lisboa, 2006
i
Agradecimentos
Quero antes de mais expressar a minha gratidão ao Prof. Doutor Amadeu Leão
Rodrigues pela disponibilidade demonstrada no decorrer do trabalho e todo apoio prestado. Agradecimento à minha empresa Delphi Automotive Systems – Portugal S.A., por me ter
possibilitado a inscrição no Mestrado de Engenharia Electrotécnica e de Computadores ao abrigo do protocolo existente entre as duas instituições. De destacar ainda, o facto de a Delphi ter facilitado a utilização de instrumentação de medida, através da qual foi possível extrair os elementos fundamentais para a realização deste trabalho.
Agradeço ao Departamento de Engenharia Electrotécnica da Faculdade de Ciências e
Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa o facto de ter tido à disposição as excelentes condições do Laboratório de Máquinas Eléctricas que foram determinantes para a realização deste trabalho.
Aos professores que me sensibilizaram para área de Máquinas Eléctricas, no decorrer dos
meus estudos no Instituto Politécnico de Setúbal, Doutor Manuel Gaspar e Doutor Jorge Esteves.
Finalmente quero agradecer à minha mulher que me soube transmitir uma palavra de
força e coragem para ultrapassar algumas dificuldades encontradas durante o tempo de elaboração deste trabalho.
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ii
Sumário Sumário em Português.
A partir das equações de Park pretende-se modelar a máquina de rotor de pólos salientes com enrolamentos amortecedores e prever o seu funcionamento em regime transitório.
A dissertação tem como objectivo estabelecer a teoria generalizada da máquina síncrona em regime transitório e proceder a ensaios laboratoriais a fim de obter as correntes de curto-circuito trifásico simétrico, difásico e fase-neutro. A partir destes ensaios é possível obter as constantes de tempo e reactâncias transitórias e subtransitórias do alternador, cujo conhecimento é importante para o dimensionamento dos disjuntores de protecção do alternador e toda a carga a jusante.
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Abstract
From Park equations is intended to create the machine model of salient pole rotor with damping windings and to foresee its running in transitory regime.
The objective of the dissertation is to establish the generalized theory of the synchronous machine in transitory regime and to perform the laboratorial experiments in order to get the short circuit symmetrical currents, phase to phase and phase to neutral. From these study it is possible to get the transitory time constants and transitory reactances of the machine.
The knowledge of these constants is very important for the design of the protections of the alternator.
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Dedicatória
Esta dissertação é dedicada à minha mulher e aos meus filhos, que ficaram privados da minha presença ao longo de muitas horas para que este trabalho pudesse ser uma realidade.
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Simbologia e Notações Lista contendo símbolos e notações usados ao longo da dissertação.
f - frequência da rede. [Hz] ar - Resistência de dispersão do estator (armadura). [Ω] fr - Resistência de dispersão do enrolamento do campo (rotor). [Ω]
fu - Tensão de alimentação do enrolamento de campo. [V] kdr - Resistência do enrolamento amortecedor eixo directo. [Ω] kqr - Resistência do enrolamento amortecedor eixo quadratura. [Ω]
fX - Reactância do enrolamento de campo [Ω] X - Reactância Síncrona [Ω]
dX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo directo. [Ω] dX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo directo. [Ω]
qX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo quadratura. [Ω]
'dX - Reactância Transitória do enrolamento do eixo directo. [Ω]
'qX - Reactância Transitória do enrolamento do eixo quadratura. [Ω]
''dX - Reactância Subtransitória do enrolamento do eixo directo. [Ω]
''qX - Reactância Subtransitória do enrolamento do eixo quadratura. [Ω]
kdX - Reactância do enrolamento amortecedor eixo directo. [Ω]
kqX - Reactância do enrolamento amortecedor eixo quadratura. [Ω]
md mdX L= ω - Resistência de magnetização do eixo directo. [Ω]
mq mqX X= ω
- Resistência de magnetização do eixo quadratura. [Ω]
f fX l= ω - Reactância de dispersão do campo (rotor). [Ω]
kd kdX l= ω - Reactância de dispersão do enrolamento amortecedor directo. [Ω]
kq kqX l= ω - Reactância de dispersão do enrolamento amortecedor quadratura. [Ω]
X2 - Reactância de sequência negativa [Ω] X0 - Reactância de sequência zero [Ω]
aT - Constante de tempo na armadura [s] '
dT - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito.
[s]
'd0T - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo
em circuito aberto. [s]
'qT - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo quadratura
em curto circuito. [s]
'q0T - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo quadratura
em circuito aberto. [s]
''dT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo
em curto circuito. [s]
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''d0T - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo
em circuito aberto. [s]
''qT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo
quadratura em curto circuito. [s]
''0qT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo
quadratura em circuito aberto. [s]
kdT - Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo directo.
[s]
kqT - Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo quadratura.
[s]
''dI - Corrente Subtransitória do eixo directo [A]
'dI - Corrente Transitória do eixo directo [A]
dI - Corrente Síncrona do eixo directo [A] ''qI - Corrente Subtransitória do eixo quadratura [A]
'qI - Corrente Transitória do eixo quadratura [A]
qI - Corrente Síncrona do eixo quadratura [A]
nU - Tensão nominal de uma máquina. [V]
nI - Corrente nominal de uma máquina. [A] P - Potência Activa de uma máquina. [W]
excU - Tensão de excitação de uma máquina. [V]
excI - Corrente de excitação de uma máquina. [A] cosϕ - Coeficiente de factor de potência.
N - Velocidade de uma máquina em rotações por minuto. [rpm] f.m.m. - Força magneto-motriz [V] f.e.m. - Força electro-motriz [V] P - Permeância magnética [ -1Ω ] ϕ - Ângulo de desfasamento entre tensão e corrente [º] δ - Ângulo de carga de uma máquina [º] qL - Indutância do enrolamento do eixo quadratura [H]
mdL - Indutância de magnetização do eixo directo [H]
mqL - Indutância de magnetização do eixo quadratura [H]
al - Indutância da armadura do estator [H]
fL - Indutância do enrolamento de campo [H]
kdL - Indutância do enrolamento amortecedor do eixo directo [H]
kqL - Indutância do enrolamento amortecedor do eixo quadratura [H]
Rφ - Fluxo magnético do rotor [Wb]
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Índice
Pag. Capítulo 1 – Breve Descrição Máquina Síncrona Trifásica ......................... 1
1.1 - Constituição da Máquina Síncrona Trifásica.................................................. 1 1.1.1 - Máquina Síncrona com Rotor Cilíndrico................................................. 2 1.1.2 - Máquina Síncrona de Pólos Salientes...................................................... 2
1.2 - Princípio de Funcionamento da Máquina Síncrona........................................ 8 1.2.1 - Equação Vectorial da Máquina Síncrona de Rotor Cilíndrico................. 8 1.2.2 - Equação vectorial da Máquina Síncrona de Rotor de Pólos Salientes..... 13 1.2.3 - Variação da Reactância em Função da Posição do Rotor........................ 14 1.2.4 - Ensaio de Escorregamento para Determinação de Xd e Xq...................... 16
Capítulo 2 – Transformação de Park.................................................................. 19 2.1 - Transformação do Sistema Trifásico em Sistema Bifásico............................. 19
Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona..................................... 23
3.1 – Modelo da Máquina Síncrona de Pólos Salientes.......................................... 23
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona................................................ 30 4.1 – Significado Físico dos Parâmetros da Máquina Síncrona.............................. 30
4.1.1 - Período Sub-Transitório........................................................................... 30 4.1.2 - Período Transitório................................................................................... 32 4.1.3 - Regime Permanente................................................................................. 32 4.1.4 – Funcionamento do Enrolamento Amortecedor....................................... 33
4.2 – Análise do Modelo da Máquina..................................................................... 34 4.2.1 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Subtransitório..................... 34 4.2.2 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Transitório.......................... 37 4.2.3 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Permanente........................ 39
Capítulo 5 – Equações da Máquina do Curto-Circuito.................................. 40 5.1 - Equações das Reactâncias............................................................................... 40
5.1.1 – Reactância Síncrona................................................................................ 40 5.1.2 – Reactância Transitória............................................................................. 42 5.1.3 – Reactância Subtransitória........................................................................ 43
5.2 – Equações de Curto-Circuito Simétrico Trifásico em Vazio........................ 44 5.2.1 - Equações das Correntes nas Fases a, b e d.............................................. 45 5.2.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 52 5.2.3 - Equação do Binário Resistente................................................................ 54
5.3 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase em Vazio............................ 57
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
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5.3.1 - Equações das Correntes nas Fases........................................................... 57 5.3.2 – Equação das Corrente de Campo............................................................. 59
5.4 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Neutro em Vazio........................ 60 5.4.1 - Equações das Correntes na Fase e no Neutro.......................................... 60 5.4.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 61
5.5 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase-Neutro em Vazio............... 62 5.5.1 – Equações das Correntes nas Fases........................................................... 62 5.5.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 64
Capítulo 6 – Ensaios Laboratoriais..................................................................... 65 6.1 - Equipamento para o Ensaio no Laboratório................................................... 65
6.1.1 - Bancada de Ensaios................................................................................. 65 6.1.2 - Equipamento de Medida........................................................................ 66
6.2 - Ensaio Experimental para Obtenção das Características em Vazio e Curto- Circuito....................................................................................................................
67
6.3 - Ensaio em Curto-Circuito Simétrico entre as Três Fases............................... 70 6.3.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito........................... 72
6.4 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Duas Fases............................... 84 6.4.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito........................... 89
6.5 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Fase e Neutro ......................... 93 6.5.1 – Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito.......................... 97
Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico do Alternador................................. 109 7.1 - Comportamento do Binário durante o Curto-Circuito..................................... 109
7.1.1 – Determinação dos Parâmetros Mecânicos............................................... 110 7.1.2 – Cálculo do Momento de Inércia do rotor................................................. 110 7.1.3 – Métodos para Determinar o Momento de Inércia.................................... 112
Capítulo 8 – Conclusões Finais............................................................................ 114
Capítulo 9 – Trabalho Futuro............................................................................... 115
Capítulo 10 – Bibliografia....................................................................................... 116 Anexos ................................................................................................................. 117 Anexo I – Tabelas de Resultados................................................................ 118 Anexo II – Instrumentação de Medida...................................................... 122 Anexo III – Fotografias da Bancada de Ensaios..................................... 124 Anexo IV – Curto-Circuito Simétrico........................................................ 127 Anexo V – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase................................. 128
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
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Anexo VI – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Neutro........................... 129 Anexo VII – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase-Neutro............... 130
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 1
Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica
Capítulo 1
1.1 - Constituição da máquina síncrona trifásica.
A máquina síncrona trifásica é constituída por três enrolamentos, cujos eixos magnéticos estão desfasados de 120º eléctricos, que constituem o estator. No seu interior existe o rotor que produz um fluxo magnético estático criado por um corrente continua (excitação).
Esta máquina como todas as máquinas eléctricas é reversível, isto é fornecendo energia mecânica ao veio do rotor, colocando-o a rodar com uma velocidade angular ω esta máquina converte a energia mecânica em energia eléctrica no estator (gerador ou alternador);
alternativamente, alimentando o estator com um sistema trifásico de tensões, fornecendo-lhe energia eléctrica a máquina converte-a em energia mecânica (motor) que surge no seu veio.
a) Rotor cilíndrico b) Rotor de pólos salientes Fig. 1.1 - Máquina de rotor cilíndrico e máquina de rotor de pólos salientes
A máquina síncrona pode ser monofásica ou polifásica, bipolar ou tetrapolar (rotor
cilíndrico) ou multipolar (rotor de pólos salientes). Este trabalho visa o estudo da máquina síncrona trifásica de pólos salientes e o seu comportamento em regime transitório.
O rotor, ou indutor, é constituído por um enrolamento alimentado por uma fonte de tensão contínua exterior, equivalendo a um electromagneto. O rotor pode apresentar ainda duas formas físicas distintas – rotor cilíndrico e rotor de pólos salientes. Como exemplo a figura 1.1 a) mostra um rotor cilíndrico bipolar onde, o entreferro ao longo da periferia do estator é constante. A figura 1.1 b) mostra um rotor com quatro pólos salientes, onde o entreferro da máquina é variável ao longo da periferia do estator.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 2
1.1.1 - Máquina Síncrona com Rotor Cilíndrico A forma física do rotor irá influenciar bastante as características da máquina. O rotor cilíndrico é constituído por um núcleo de forma cilíndrica, em regra geral é
forjado ou maciço, onde se abriram propositadamente cavas, axialmente, para encaixar o enrolamento indutor, tendo normalmente um grande comprimento e um pequeno diâmetro, menor que um metro nas máquinas de grande potência. As cavas podem ser fechadas por talas metálicas, em geral de bronze ou outro material não magnético. Assim o enrolamento indutor resistirá muito bem à força centrífuga. Por conseguinte, a máquina de rotor cilíndrico pode rodar a altas velocidades porque o seu rotor resiste bem aos esforços centrífugos a que fica sujeito. Logo é susceptível de ser accionada por uma turbina a vapor que é uma máquina motriz que trabalha a altas velocidades. Por este motivo a máquina de rotor cilíndrico é também conhecida por turboalternador.
Fig. 1.2 – Vista em corte de um turbo alternador de 700MVA 50 Hz 3000r.p.m 20KV
Como se pode observar na figura 1.2 este tipo de rotor é feito de uma só peça cilíndrica
ao longo da qual são abertas cavas a receber os enrolamentos do campo indutor.
1.1.2 - Máquina Síncrona de Pólos Salientes A máquina de pólos salientes deverá rodar a baixas velocidades, é em regra geral
accionada por turbinas hidráulicas que apresentam baixa velocidade, porque caso contrário devido à configuração dos pólos a força centrifuga atingiria valores que poderiam comprometer a resistência mecânica da fixação dos terminais polares.
Logo, o rotor de pólos salientes deverá ter um grande número de pólos para gerar f.e.m. à frequência normalizada de 50 Hz. Tendo um grande número de pólos, tem em geral um grande diâmetro e pequeno comprimento axial.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 3
A figura 1.3, permite ter uma ideia dos dois tipos de máquina, com a de pólos salientes em cima e a de rotor cilíndrico em baixo. Os aspectos construtivos mais marcantes podem ser aqui observados para máquinas com a mesma potência.
Terminais de saídaNúcleo do
estator Permutadores de calor
Base Enrolamentos do estator
ExcitadorBr
ushless
Rolamento de apoio Ventoinha Pólos do
rotorVeio
Núcleo do estator
Enrolamentos do estator
Excitador Brushless
Fig. 1.3 - Comparação entre máquina de rotor de pólos salientes e máquina de rotor cilíndrico.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 4
Nas figuras 1.4 e 1.5, podem ser comparados os dois tipos de rotores de máquinas síncronas, em que na primeira está representado o rotor cilíndrico e na segunda o de pólos salientes. Tendo o mesmo volume prismático , então as duas máquinas têm potências equivalentes.
2221
21 lDlD =
Fig. 1.4 - Gerador síncrono bipolar de rotor cilíndrico (turboalternador) D1 < l1
D1
l1
l2
D2
Fig. 1.5 - Gerador síncrono hexapolar de rotor de pólos salientes (hidroalternador) D2 > l2
A frequência da f.e.m. gerada no estator está relacionada com a velocidade do rotor
pela seguinte expressão, f
60Npf = (1.1)
onde N é o número de rotações por minuto e p o número de pares de pólos.
Os rotores cilíndricos como estão dimensionados para altas velocidades deverão ter um pequeno número de pares de pólos, como foi salientado anteriormente. Por outro lado pode
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 5
ser observada na figura 1.6, a máquina síncrona de pólos salientes, também conhecida por hidroalternador, onde a quantidade de pólos é sempre superior podendo ser cinco vezes mais.
Fig. 1.6 - Hidroalterador visto em corte
1 – Cobertura 7 – Rolamento 13 - Travessa 2 - Anel colector 8 – Cruzeta Inferior 14 – Conduta em expiral 3 – Cruzeta superior 9 – Eixo 15 – Turbina 4 – Rotor de pólos Salientes 10 – Aro de regulação 16 – Conduta de Saída 5 – Estator 11 – Cobertura da turbina 17 – Tubo de sucção 6 – Pás de refrigeração 12 – Pá directriz da turbina
Por ser normalmente accionada por uma turbina hidráulica a máquina com pólos salientes
é também conhecida por hidroalternador. Este tipo de hidroalternador é normalmente instalado em grandes barragens como Castelo de Bode, Alqueva, etc. A figura 1.7 mostra uma máquina deste tipo vista em corte. Este tipo de máquina possui também uma excitatriz que é uma máquina de corrente continua que serve para excitar o circuito indutor do rotor através de dois anéis exterior montados no veio do rotor e obviamente isolados. A corrente de
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Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 6
excitação é injectada através de duas escovas que assentam nos anéis do rotor. A excitatriz está também directamente acoplada ao mesmo veio do gerador e da turbina. Posto isto, pode-se passar para a representação esquemática da máquina síncrona representada na figura 1.7.
Fig. 1.7 - Esquema clássico de excitação da máquina síncrona de pólos salientes
A
B C
NEstator
Rotor
G
Circuito de Carga
Excitatriz
Escova
Aneis
mecP
fI
+
-
A figura 1.7 representa o tipo clássico de excitação dos alternadores de forma
simplificada, os sistemas de excitação que são aplicados industrialmente, são evidentemente mais complexos e sofisticados, pertencendo ao universo dos Sistemas de Controlo de um centro produtor de energia. O controlo preciso sobre a corrente de excitação fI permite criar
um fluxo induzido no rotor, adaptativo às condições de carga, estes sistemas fazem parte de controlo P.I.D.
Estator Rotor
Fig. 1.8 – Pormenor de construção do estator e do rotor
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 7
O estator da máquina síncrona de pólos salientes consiste num núcleo laminado de chapas de ferro macio empilhadas, com cavas internas, um grupo de enrolamentos trifásicos distribuídos no estator e alojados nas cavas e uma protecção exterior que o envolve, onde estão os rolamentos para o eixo do rotor. O número de voltas dos enrolamentos do estator é igualmente distribuída sobre os pares de pólos e os eixos das fases, desfasados 2π/3 radianos.
A sua construção está mais vocacionada para aplicações de baixa velocidade onde o rácio do diâmetro com comprimento do rotor pode ser feito de forma a acomodar o maior número de pólos. As máquinas síncronas de pólos salientes são frequentemente usadas nos hidrogeradores para adaptarem a baixa velocidade de funcionamento dos hidrogeradores tal como se pode observar na figura 1.6.
Na figura 1.9 pode-se observar um exemplo de uma secção em corte do rotor de pólos salientes com enrolamento amortecedor. Os enrolamentos amortecedores são constituídos por barras de cobre embutidas em cavas abertas nas peças polares e ligadas todas entre si por meio de um anel. Resulta assim um enrolamento em gaiola ou em curto-circuito.
Enrolamento amortecedor
Enrolamento de excitação
Núcleo
Enrolamento amortecedor
Fig. 1.9 - Rotor de pólos salientes com enrolamento amortecedor
Na figura 1.10 pode observar-se um rotor de pólos salientes com as respectivas barras do enrolamento amortecedor.
Fig. 1.10 - Perspectiva do rotor com 24 pólos salientes e dos enrolamentos amortecedores
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Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 8
1.2 - Princípio de Funcionamento da Máquina Síncrona Por simplicidade vai ser considerada a máquina síncrona de rotor cilíndrico por ter um
entreferro constante, a distribuição da densidade de fluxo magnético ao longo da periferia do rotor, ou do entreferro é sinusoidal. Este campo com o rotor parado é estacionário, semelhante a um magneto permanente com um pólo norte e um pólo sul.
Quando o rotor for animado com movimento de rotação, o que se observa num determinado ponto da periferia do estator, ou do entreferro, é um campo magnético de intensidade variável entre dois máximos de sentidos opostos. Assim estão reunidas as condições para a formação do campo girante. Este campo girante, vai induzir f.e.m.s nos enrolamentos do estator. Em vazio as tensões aos terminais têm a forma indicada na figura 1.11.
Quando o rotor estiver parado em relação ao estator, não há variação de fluxo e portanto não existe f.e.m. induzida, mesmo que o rotor esteja excitado.
Tensão ( )a0u t ( )b0u t
aUbU
cU
0
Umax
60 120 180 240 300 3600 α = ωt
ωt
( )c0u t
Diagrama vectorial Diagrama temporal
aUcU
bU
Fig. 1.11 - Representação do sistema trifásico de tensões através do diagrama vectorial e temporal
1.2.1 - Equação Vectorial da Máquina Síncrona de Rotor Cilíndrico
Pretende-se estabelecer uma equação que relacione a tensão U aos terminais da máquina em função da velocidade angular do rotor, da corrente de excitação ω fI e da corrente de
carga I debitada sobre um circuito de utilização uZ . Para isso vai ser considerado o esquema
de ligações simplificado representado na figura 1.12, em que o gerador alimenta uma carga
simétrica uZ . Aplicando a lei geral de indução ao caminho fechado no estator. γ
resulta,
(1.2) ( ) 1 1R 1
1 1 1,t
d d dE d i r Udt dt dtΨ Ψ Ψ⎛ ⎞γ = + = − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ E
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 9
em que,
A
B C
NEstator
Rotor
Circuito de Carga
uZ
uZ
uZ 1r
11L
+ -
γ
3i
2i
fi
α rφ ω
Fig. 1.12 - Máquina síncrona simplificada
1U
1i
1 1R 1Ψ = Ψ + Ψ E é o fluxo total ligado com a fase1 do estator.
1RΨ é o fluxo ligado com a fase 1 produzido pelo rotor.
1EΨ é o fluxo ligado com a fase 1 devido às três correntes do estator. Quando a máquina está em vazio, as correntes das três fases são nulas, portanto a
expressão é nula. Logo, o termo1E 0Ψ = 1RddtΨ
− representa a f.e.m. em vazio do gerador
induzida na fase 1 devido à variação do fluxo produzido pelo movimento do rotor. O fluxo ligado com a fase 1 produzido pelo rotor vale,
1R R R1I LΨ = + em que RI é a corrente do rotor e é o coeficiente de auto indução entre o rotor e a fase 1. R1L
Como o rotor está animado de rotação com uma velocidade angular , não é constante mas terá uma expressão do tipo,
ω R1L
R1 R1max 0cos( )L L= α t+ ω
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 10
em que é o ângulo que o eixo magnético do rotor e da fase 1 do estator formam entre si no instante da origem dos tempos.
0α
1R R R1max 0cos( )I L tΨ = + α + ω (1.3)
Logo a f.e.m induzida no estator devido ao fluxo do rotor é dada por,
1R R1max 0 0 0sen( ) sen( )d I L t E
dtΨ
− = ω α + ω = α + ωt (1.4)
resultando uma tensão sinusoidal e de frequência igual à velocidade angular do rotor, da seguinte forma,
0( ) j te t E e ω= e 0 R R1maE I L x= ω (1.5) donde se conclui que a amplitude da f.e.m. é proporcional à corrente de excitação 0E fI e à velocidade angular ω do rotor. Para manter a frequência constante, o único processo capaz de variar a f.e.m. da máquina em amplitude é através de variação da corrente de excitação.
Analisado o estator em carga têm-se que 1EΨ é o fluxo ligado com a fase 1 do estator devido às correntes que percorrem o estator, ou seja
1E 1 11 2 21 3 31i L i L i LΨ = + + (1.6)
Em que e são os coeficientes de indução mútua entre a fase 1 e as fases 2 e 3
respectivamente. 21L 31L
Num sistema trifásico sem neutro existe a seguinte relação de correntes, 1 2 3 0i i i+ + = donde 3 1i i= − − 2i
)
Substituindo em (1.6) resulta,
1E 1 11 2 21 3 31 1 11 31 2 21 31( ) (i L i L i L i L L i L LΨ = + + = − + − Simplificando,
( )1E 1 11 31i L LΨ = − Considerando-se que o circuito magnético da máquina é simétrico e , sendo 21 31L L= 11L
o coeficiente de indução relativo ao fluxo principal que liga a bobina 1 com a 2 e 3 e o λcoeficiente de indução relativa ao fluxo de dispersão. Como os eixos magnéticos fazem um ângulo de 120° entre si,
( ) ( )31 M 11 111cos 120º cos 120º2
L L l= = = l− (1.7)
A expressão de fica, então 1EΨ
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 11
1E 1 11 132
i l i L⎛ ⎞Ψ = + λ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Considerando-se 1132
L l= + λ , coeficiente de auto-indução trifásico, a f.e.m. induzida
na fase 1 então devido ao fluxo produzido pelas 3 correntes estatóricas é dado por,
1E 1d dLdt dtΨ
− = −i (1.8)
Suprimindo por comodidade os índices 1 e substituindo as expressão (1.5) e (1.8) na
equação(1.1) resulta,
0Rj t dii U E e L
dtω+ = −
ou,
R 0j tdiU L i E e
dtω
+ + = (1.9)
que é uma equação de valores instantâneos onde, U - é a tensão simples (entre fase e neutro) aos terminais do estator.
diLdt
- é uma queda de tensão indutiva devido às correntes que atravessam as três fases do
rotor. Ri - é a queda de tensão óhmica numa fase do estator.
j tEe ω - é a f.e.m. induzida por fase em vazio devido ao rotor.
Em regime alternado sinusoidal e desprezando a saturação do circuito magnético tem-se, j t
U Ueω
= e j t
I Ieω
= Substituindo na equação (1.9) resulta a seguinte equação vectorial,
0E U rI j L I= + + ω 0E U rI j L= + + ω I ou,
( )0E U r jX= + + I (1.10)
1132
X L l⎛ ⎞= ω = ω + λ⎜ ⎟⎝ ⎠
onde 1132
X L l⎛ ⎞= ω = ω + λ⎜ ⎟⎝ ⎠
(1.11)
que se denomina por reactância síncrona.
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Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 12
A equação (1.10) pode traduzir-se pelo esquema da figura 1.13, onde é a amplitude da f.e.m. induzida no estator .
0 R R1maE I L= ω x
X
Fig. 1.13 – circuito equivalente da máquina síncrona
uZ
Lω r
RI
ω
~ RΨUcE0E
I
Quando a máquina está em carga, a f.e.m. existente na máquina não é 0E mas sim cE
f.e.m. em carga o fluxo resultante na máquina não é RΨ mas sim,
res R CΨ = Ψ + Ψ
em que C l IΨ = é o fluxo de reacção do estator sobre o rotor, logo da figura 1.13,
c 0E E j L= − ω I (1.12)
ou ainda, pela tensão de saída,
( )0U E r jX I= − + (1.13) As equações deduzidas anteriormente permitem traçar o diagrama vectorial por fase,
devido a Behn Eschenbourgh, como está representado na figura 1.14 para uma carga uZ indutiva.
Fig. 1.14 – Diagrama vectorial da máquina síncrona de rotor cilíndrico
ϕ
resΨ
CΨ
I
δ
RΨ
U
r I
CE
0E
j Iωλ
j l Iω
jX I
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Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 13
onde ϕ - desfasagem δ - ângulo de carga
X - reactância síncrona 1.2.2 - Equação vectorial da Máquina Síncrona de Rotor de Pólos Salientes
Uma vez que a reactância do estator de uma máquina de pólos salientes varia com a posição angular do rotor, Blondel resolveu o problema decompondo a reactância ( )X β em duas componentes dX segundo o eixo directo do rotor e segundo o eixo quadratura, de acordo com a representação da figura 1.15. O mesmo acontece em relação à corrente I do estator que se pode decompor em duas componentes
qX
dI e qI tal que d qI I I= + . Com esta decomposição a equação vectorial de máquina escreve-se,
E d d q0 qE U r I jX I jX I= + + + (1.14) cujo diagrama de Blondel está representado na figura 1.16. Em termos comparativos
pode-se observar o diagrama de Behn-Eschenbourg representado na figura 1.15 com o de Blondel onde no cilíndrico e o de pólos salientes onde . dX X= q d qX X>
Como o fluxo do rotor rφ tem a direcção do eixo directo, a f.e.m. 0E , está desfasada
dele de 90º em atraso e portanto situada no eixo quadratura. Desprezando a resistência do estator em face das reactâncias, o diagrama pode
simplificar-se eliminando os vectores
Er
Er I ,
dEr I e qEr I .
I
dIdX
qX
qI
Fig. 1.15 – Decomposição das correntes em eixo directo e
quadratura e reactâncias do eixo directo e quadratura
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Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 14
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Assim a equação da máquina de pólos salientes em regime permanente, é
0 dd d q qEE U r I jX I jX I jX I= + + + − ou ainda , ( )0 d d d qEE U r I jX I j X X I= + + + − d (1.15)
1.2.3 – Variação da Reactância em Função da Posição do Rotor
Numa máquina síncrona de pólos salientes como ilustra a figura 1.17 a reactância dos enrolamentos varia com a posição angular β do rotor.
qqjX I
( ) dd qj X X I−
ϕ
I
δ U ddjX I
0E
(d)
rφ
qjX IqEr I
θ
dI
qI
dEr I
Er I(q)
Fig. 1.16 – Diagrama de Blondel de rotor de pólos salientes
Fig. 1.17 – Rotor de pólos salientes
βEixo magnético do enrolamento
Eixo directo ou quadratura
Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 15
A figura 1.18 a) mostra o fluxo segundo o eixo directo e a figura 1.18 b) o andamento do fluxo segundo o eixo quadratura.
(d)
Permeância Máxima (d)
Permeância Mínima
(q)
(q)
90º
Fig. 1.18 b) - Eixo quadratura ou transversal
qX , com 90ºβ =
Fig. 1.18 a) – Eixo directo ou longitudinal dX , com β = 0º
Como se pode observar destas figuras a permeância segundo o eixo directo é maior que a permeância segundo o eixo quadratura. Então os coeficientes de auto-indução são,
2d d qL n L n= > =P P2 q logo, . d qX X>
O andamento da reactância dos enrolamentos em função do ângulo β durante uma
rotação completa do rotor está representado na figura 1.19, que apresenta dois ciclos de rotação do rotor.
0 90º 180º 270º 360º β
dX
Fig. 1.19 – Variação da reactância em função da posição do rotor numa máquina de pólos salientes
( )β X
qX
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Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 16
Define-se por coeficiente de saliência a seguinte relação,
q
d
XX
α =
que vale para um rotor de pólos salientes. O valor de 1α < α representa, o grau de saliência do rotor, para é o caso da máquina de rotor cilíndrico. 1α = 1.2.4 - Ensaio de Escorregamento para Determinação de Xd e Xq
No caso de uma máquina síncrona trifásica, ao aplicar um sistema trifásico de tensões ao
estator cria-se um campo girante que roda à velocidade síncrona. Para determinar bastava
pôr o rotor a rodar (com a excitação desligada) por meio de uma máquina de accionamento à mesma velocidade angular do campo girante e em fase com ele, como indica a figura
qX
ω1.20 a).
Medindo a corrente e a tensão, a reactância do eixo directo, viria (desprezando a resistência).
dmin
UXI
=
Para determinar , bastava colocar o eixo directo do rotor em quadratura com o campo
girante, como indica a figura 1.20 b). Desprezando a resistência a reactância quadratura viria qX
qmax
UXI
=
ω
Campo girante
Fig. 1.20 b) – Medição de X qFig. 1.20 a) – Medição de dX
maxI minI ω
ωU U
ω
ω
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Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 17
Este ensaio é difícil, senão impossível de pôr em prática porque não se consegue colocar o rotor rigorosamente em tais condições exactas. Na prática, para contornar esta dificuldade, é usual fazer o chamado Ensaio de Escorregamento.
O ensaio de escorregamento consiste em aplicar ao estator, por intermédio de um autotransformador, um sistema trifásico simétrico de tensões reduzidas (na ordem de 20 a 30% da tensão nominal a fim de proteger os enrolamentos da máquina) e com o rotor em aberto colocá-lo a rodar com uma velocidade muito próxima da do campo girante do estator e no mesmo sentido.
O esquema de ligações para este ensaio está representado na figura 1.21. Em seguida poder-se-ia medir a tensão aplicada e a corrente absorvida por meio de um
osciloscópio de dois canais, cujos picos são modulados pela permeância do rotor. Eventualmente pode também oscilografar-se a f.e.m. induzida no rotor devido à
diferença de velocidades do campo girante do estator e do rotor. O aspecto dos
referidos oscilogramas pode ser observado na figura 1.22.
re
rω− ω
Dos oscilogramas da tensão e da corrente vem,
maxd
min
UX
I= min
qmax
UXI
=
Máquina de accionamento
Fig. 1.21 – Esquema de ligações do ensaio de escorregamento
r g ±ω = ω ∆ω
iu
Saída da imagem da corrente para Osciloscópio
Saída da tensãopara o
Oscilocópio Estator
Rotor
re
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Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 18
A ligeira flutuação na envolvente da tensão aplicada é devida à queda de tensão no auto-transformador motivada pela flutuação da corrente.
Tensão Simples u
f.e.m. induzida
re
Eixo Directo Quadratura Directo Quadratura
0 π 2 π
dX
qX
minI maxI
minU U max
Corrente na fase i
Fig. 1.22 – Oscilogramas típicos do ensaio de escorregamento
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Capitulo 2 – Transformação de Park 19
Transformação de Park Capítulo 2
2.1 - Transformação do Sistema Trifásico em Sistema Bifásico O presente capítulo tem por objectivo explicar a conversão do sistema trifásico num
sistema bifásico, onde se irá basear todo o estudo de da máquina síncrona. A transformação de Park é uma transformação de coordenadas que a partir dos três
enrolamentos a, b e c, desfasados de 120º e rodando com uma velocidade ω em relação ao referencial (d, q) composto por dois enrolamentos pseudo-estacionários fazendo entre si um ângulo de 90º como se pode observar na figura 2.1,
Fig. 2.1 - Transformação de Park
ω
(a)
(b)
(c)
(q)
(p)
3N
3N
3N
2N
2N
au
ai
bu
bi
cuci
pu
pi
qu
qiω
Supondo que os três enrolamentos a, b e c, têm N/3 espiras por fase e os enrolamentos peseudo-estacionários (d, q) têm N/2 espiras por fase, então temos as condições necessárias e suficientes para relacionar os dois sistemas que permite considerá-los equivalentes.
De uma forma geral podemos assumir que as correntes ,ai bi e constituem um sistema
trifásico assimétrico que pode ser decomposto em três sistemas, Directo, Inverso e Homopolar.
ci
A componente homopolar significa que as correntes dos três enrolamentos estão em fase, sendo a sua equação,
( )0 a b c3i i i i1
= + +
Quando esta corrente percorre os três enrolamentos a, b e c, não produz nenhum campo no entreferro da máquina, porque está em fase nos três enrolamentos.
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Capitulo 2 – Transformação de Park 20
A f.m.m. em cada um dos dois referenciais desta forma é dada por,
( )
( )
( )
d a b c
q a b c
0 a b c
2 4cos cos cos2 3 3 3 3 3
2sen sen sen2 3 3 3 3 3
13
N N N Ni i i i
N N N Ni i i i
i i i i
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + +
4 ⎞⎟
π πθ θ θ
π πθ θ θ (2.1)
Simplificando a equação (2.1) obtém-se ainda,
( )
( )
( )
d a b c
q a b c
0 a b c
2 2cos cos cos3 3
2 2sen sen sen3 313
i i i i
i i i i
i i i i
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= + +
43
43
π πθ θ θ
π πθ θ θ
que se pode escrever na seguinte forma matricial,
(2.2)
a
b
ci
i
i
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2 4cos( ) cos( ) cos(3 3 3
2 4sen( ) sen( ) sen( )3 3
1 1 12 2 2
⎡ ⎤− −⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Considerando que se trata de um sistema trifásico equilibrado, a corrente homopolar é nula e por conseguinte,
( ) 031
cba0 =++= iiii
Assim, as equações relativas ao eixo directo e ao eixo quadratura podem-se representar
na seguinte forma,
( )d a b c2 2cos cos cos3 3i i i i
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
43
⎞⎟
π πθ θ θ (2.3)
⎢ ⎥⎢ ⎥
π πθ θ θ
π πθ θ θ
d
q
0
i
i
i
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥⎢ ⎥
di =
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 2 – Transformação de Park 21
( )q a b c2 2sen sen sen3 3i i i i
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
43
π πθ θ θ (2.4)
Multiplicando (2.3) e (2.4) respectivamente por ( )cos θ e ( )sen θ , fica
( ) ( ) ( ) ( )2d a b c
2 2cos cos cos cos coscos3 3i i i i⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
43
⎞⎟
π πθ θ θ θ θ θ (2.5)
( ) ( ) ( ) ( )2q a b c
2 2sen sen sen sen sensen3 3i i i i⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
43
⎞⎟
π πθ θ θ θ θ θ (2.6)
Somado (2.5) com (2.6) resulta,
a d qcos( ) sen( )i i i= +θ θ (2.7)
Esta relação só é válida quando a corrente homopolar é nula (caso do presente estudo) O sistema trifásico pode ser representado, pelas três fases i , a bi e , forma, ci
( ) ( )a d q c
b d q
c d q
cos sen
2 4cos sen3 32 4cos sen3 3
i i i i
i i i i
i i i i
= + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
θ θ
θ π θ π
θ π θ π
c
c
+
+
(2.8)
Do mesmo modo pela forma matricial é possível representar o sistema de equações em
ordem às três fases a, b e c,
cos( ) sen( ) 1
2 4cos sen 13 3
a d
b
c
i i
i i
i
⎡ θ θ ⎡⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ − θ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
q
⎤⎥⎥⎥⎥⎥ ⋅ ⎥⎥ (2.9)
=
J.L.F. –
=
⎤
02 4cos sen 13 3
i
⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢⎢ ⎥θ − θ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣
⎥⎥⎥⎥⎦
Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capitulo 2 – Transformação de Park 22
De forma semelhante para as equações das tensões,
d d
q q
0 0
2 42 cos( ) cos cos3 33
2 4sen( ) sen sen3 3
1 1 12 2 2
e e
e e
e e
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
θ θ θ
θ θ θ
(2.10) ⎢ ⎥⎢ ⎥
(2.17)
a d
b q
c 0
cos(θ) sen(θ) 1
2π 4πcos θ- sen θ- 13 3
2π 4πcos θ- sen θ- 13 3
e e
e e
e e
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
=
Esta conversão de eixos de trifásico em bifásico, é fundamental para o estudo da máquina síncrona em regime transitório.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 23
Equações Gerais da Máquina Síncrona Capítulo 3
3.1 – Modelo da Máquina Síncrona de Pólos Salientes
Com base na transformação de Park apresentada no capítulo anterior, vão ser deduzidas as equações da máquina síncrona de pólos salientes com enrolamentos amortecedores em regime transitório.
A máquina síncrona generalizada é representada na figura 3.1.
ω
(q)
(d)
kdi
kdu
fi
fu
di
du
KD
KQ
Q
D F dfM fkdM qi qu
qkqM
kqi kqu
Fig. 3.1. Máquina Síncrona de pólos salientes representada em dois eixos
Desta resulta que se podem extrair as figuras 3.2 e 3.3, que representam respectivamente os circuitos equivalentes do eixo directo e eixo em quadratura. Estas representações esquemáticas reflectem os modelos matemáticos da máquina síncrona, para o eixo directo e em quadratura. Fig. 3.2 - Circuito equivalente do eixo directo Fig. 3.3- Circuito equivalente do eixo em quadratura
aslqi
kq qi i+ mqsLqsΨ
kqikqr
kqsl
dsΨ
asldi
d kd fi i i+ + mdsL
kdi fi
kdsl fsl
fv
kdrfr
fU
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 24
A partir dos esquemas equivalentes do eixo directo e quadratura respectivamente representados pelas figuras (3.2) e (3.3), passa-se à construção do modelo matemático da máquina.
Tendo em consideração as indutâncias dos enrolamentos podem-se decompor em,
d md a
f md f
kd md kd
q mq kq
kq mq kq
L L lL L lL L lL L l
L L l
= +
= +
= +
= +
= +
(3.1)
A partir das enrolamentos da máquina síncrona pode escrever-se o seguinte sistema de equações:
• Para o eixo directo
( )
( )( ) ( )
f f md f f md kd md d
kd md f kd md kd kd md d
md f md kd md a dd
0
u r L l s i L s i L s i
u L s i r L l s i L s
s L i L i L l i
⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦ψ = + + +
i
i
(3.2)
• Para o eixo quadratura
( )( ) ( )
kd kq mq kq kq md q
mq f mq kq mq a qq
0
s
u r L l s i L s
L i L i L l i
⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦
ψ = + + +
Resolvendo o sistema de equações do eixo Directo em ordem d ( )I s , vem
(3.3)
f md f md f
md kd md kd
md md dd
f md f md md
md kd md kd md
md md md a
( ) ( )( ) 0
( )( )
( )( )
r L l s L s u sL s r L l sL L s
Ai sr L l s L s L s B
L s r L l s L sL L L l
+ ++ +
Ψ= =
+ ++ +
+
f md f md f
md kd md kd
md md d
( ) ( )( ) 0
( )
r L l s L s u sL s r L l sL L s
+ ++ +
Ψ
O resultado do determinante A do numerador, vale
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2f f md f md mdd kd d d kd d kd d kd
2 2md md mdf f fd kd d d kd f kd f kd
s s s s s
s s s s s
A r s l s r s l sr r L r L L
r s s l s v r v r sl l lL L L
= Ψ +Ψ +Ψ +Ψ +Ψ +
+Ψ +Ψ +Ψ − − (3.4)
Factorizando, obtém-se a equação do determinante A (3.4) simplificada,
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]slLrLsLsv
sLslLrslLrA
kdmdkdmd2
mdf
22mdkdmdkffmdd fs
++−+
+−++++Ψ= (3.5)
Voltando a factorizar por forma que a expressão fique do tipo τ= L/R ou seja em ordem à
constante de tempo do enrolamento, resulta
( )
( )
2md f md kd md kd md f f kdf ld d
f kd f kd
md kd f
1
1 kd
kd
L l L l L l L l l lA r r s s s
r r r r
l sL r u s
r
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + += + + + ψ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
+
(3.6)
Assim sob esta estrutura podem determinar-se algumas das seguintes constantes de tempo
fundamentais:
• Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto,
( fmdff
fmd'd01
1 XXrr
lLTT +
ω=
+== ) (3.7)
• Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo em quadratura em circuito
aberto,
( kdmdkdkd
kdmd'q02
1 XXrr
lLTT +
ω=
+== ) (3.8)
• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+ω
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+==fmd
fmdkd
kdfmd
fmdkd
kd''d03
11XX
XXX
rLLlL
lrTT (3.9)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 26
• Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo directo, em circuito aberto,
kd
kd
kd
kdkd r
Xrl
Tω
== (3.10)
Substituindo as constantes de tempo em (3.6), obtém-se,
( ) ( ) ( ) svsTrLssTTsTTrrA fkdkdmdd2
3121ldf 11 +−Ψ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++= ( ) (3.11)
ou ainda,
2akdf
2mdkdf
2amdfakdfmdkdf
2akdmdakdmdakdfmdkdfamdfakdfmdkdf
slllsLllslLlslrlsLrl
sllLslrLsllrsLlrslLrlrrLrrA
+++++
+++++++=
Relativamente ao determinante B, vem
( ) ( )[ ] ( )[ ]
[ ] ( )[ ]slLLrLsLsLsLslLLrLsL
sLslLrslLrlLB
kdmdmdkdmd2
mdmd2
mdfmdmdfmdmd
22kdmdkdfmdfamd
)(
md
+−−+−++−
−−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++++=
(3.12) ou ainda,
2md kd md f md f md kd f kdf kd d md a
kd f f kd
2 2 2 22md md md f md kd
kd f f kd f kd
1L l L l L l L l l l
B r r L L l s sr r r r
L L L l L ls s
r r r r r r
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + += + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−
a
(3.13)
Simplificando (3.13) com a substituição de d mdL L l= + , obtém-se,
( ) ( )
md f md a f a md kd md a kd af kd d
f md a kd md a
md f md a f a md f a md f kd md a kd f a kdf kd d
f md a kd md f md a f a
1 11L l L l l l L l L l l l
B r r L sr L l r L l
L l L l l l L l l L l l L l l l l lr r L
r L l r L l L l l l
⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + += + +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ + + + ++
+ + +
+
(3.14)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 27
Como X=ω.L, as constantes de tempo resumem-se às seguintes expressões,
• Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+ω
=+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++==
amd
amd
amd
amd
famd
afamdfmf
ff'
41111
XXXX
XfrflL
lLrlL
lllLlLrrTT d (3.15)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+ω
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=+
++=
amd
amdk
kdamd
amdkd
kdamd
akdamdkdmf
kd5
111XX
XXX
rlLlL
lrlL
lllLlLr
T d (3.16)
• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+ωω
==afamdfmd
afmd
kdkd''
611
XXXXXXXXX
rrTT d (3.17)
Logo, (3.14), escreve-se
( ) 2f kd d 4 5 4 61B r r L T T s T T s⎡= + + +⎣ ⎤⎦ (3.18)
Portanto atendendo a (3.11) e (3.18), a equação (3.3) escreve-se
( ) ( ) ( )
( )
2f ld 1 2 1 3 d md kd kd f
d 2f kd d 4 5 4 6
1 ( ) 1
1
r r T T s T T s s L r T s u sAiB r r L T T s T T s
⎡ ⎤+ + + Ψ − +⎣ ⎦= =⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦
(3.19)
Resolvendo (3.19) em ordem a Ψd(s), fica
( ) ( )( )
( )( )
24 5 4 6 kd md f
d d d 22 f1 2 1 31 2 1 3
1 1 (11
T T s T T s T s L u ss L i s
rT T s T T sT T s T T s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ++ + + ⎣ ⎦⎣ ⎦
) (3.20)
Após simplificação, (3.20) pode ainda escrever-se
( )d d d1 1( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s uΨ = +ω ω f s (3.21)
onde,
24 5 4 6
d 21 2 1 3
1 ( )( )1 ( )
T T s T T sdX s
T T s T T s+ + +
=+ + +
X (3.22)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 28
kd md2 f1 2 1 3
1( )1 ( )
T s XG srT T s T T s
+=
+ + + (3.23)
Resolvendo o sistema de equações do eixo Directo em ordem , vem, q ( )i s
(3.24)
kd ( )mq kq
mq qq
kd ( ) mqmq kq
mq mq a
0
( )( )
L l s
L l s
r
L s Csr L s D
L L l
+ +
+ +
Ψ= =
+
kd ( )mq kq
mq q
0
( )
L l sr
L s
+ +
Ψq ( )i s
onde o determinante do numerador,
( )[ )(qkqmqkq sslLrC Ψ++= ] (3.25)
Por outro lado, o determinante do denominador,
kq mq kq a mq a kq mq kq aD r L r l L l s l L s l l s= + + + + (3.26)
Factorizando (3.26), fica
kq mq a mq a mq kq kq a( ) ( )D r L l L l L l l l s= + + + + (3.27)
de modo que a corrente do eixo em quadratura i , escreve-se q ( )s
( )kq mq kq q
qkq mq a mq a mq kq kq a
( ) ( )( )
( )
r L l s sCi sD r L l L l L l l l s
⎡ ⎤+ + Ψ⎣ ⎦= =+ + + +
(3.28)
donde,
( ) ( )( )
kq mq a mq a mq kq kq a( ) ( )q q
kq mq kq
r L l L l L l l l ss i s
r L l s
⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦Ψ =⎡ ⎤+⎣ ⎦
que ainda se pode escrever na forma
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 29
mq akq
kq mq aq q
kq mqkq
11
( ) ( )11 ( )q
L ll
r L ls L i s
l L sr
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝Ψ =+ +
⎠ (3.29)
Assim será,
• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em curto circuito,
mq a mq a''kq kq
kq mq a kq mq a
1 1q
L l X Xl XT r L l r X
⎛ ⎞ ⎛= + = +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜+ ω +⎝ ⎠ ⎝ X
⎞⎟⎟⎠
(3.30)
• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em circuito
aberto,
( ) (''0 kq mq kq mq
kq kq
1 1q l L X XT r r= + = +
ω) (3.31)
Substituindo (3.30) e (3.31), em ''
q ''0
1( ) ( )
1q
q
Ts LT
+Ψ =
+ q qi s (3.32)
obtém-se,
q q1( ) ( ) ( )s X s iΨ =ω q s (3.33)
onde,
''
q ''0
1( )
1q
q
sTqX s
sT
+=
+X (3.33)
Foram assim calculadas as reactâncias directas e quadratura, bem como as constantes de
tempo transitórias e subtransitórias.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 30
Constantes da Máquina Síncrona Capítulo 4
4.1 – Significado Físico dos Parâmetros da Máquina Síncrona.
Os parâmetros das máquinas que são fornecidos pelos construtores, são em regra geral as reactâncias, resistências e constantes de tempo que normalmente derivam de medidas feitas ao enrolamento do estator. O método mais comum para extrair os parâmetros necessários da máquina, com um grau de confiança elevado é através dos oscilogramas de curto-circuito das correntes do estator. Este obtém-se quando se aplica um curto-circuito simétrico ao estator quando este está previamente em vazio e com a corrente de excitação e campo constante.
Em torno da envolvente de corrente contínua, uma porção do curto-circuito tipicamente é representado por dois períodos de amortecimento distintos. Estes denominam-se por período sub-transitório e transitório.
O período sub-transitório refere-se aos primeiros ciclos do curto-circuito, quando a corrente se amortece muito rapidamente, atribuído essencialmente a variações de corrente nos enrolamentos amortecedores. A taxa de amortecimento de corrente no período transitório é mais lenta e é atribuída a variações das correntes dos enrolamentos de campo do rotor.
O teorema do fluxo constante é importante para determinar os valores iniciais dos fluxos transitórios induzidos nos circuitos acoplados. A ligação de fluxos de qualquer circuito indutivo com uma resistência finita e uma f.e.m. não pode variar instantaneamente. De facto, se não houver resistência ou f.e.m. no circuito, esse fluxo de ligação permaneceria constante. O teorema dos fluxos de ligação da constante pode assim ser usado para determinar as correntes imediatamente depois de uma variação nos seus termos.
Através das figuras que se seguem, é possível observar as distribuições de fluxo numa máquina síncrona durante o período sub-transitório, transitório e permanente, depois de uma perturbação no estator.
Assim durante o período vigência destes regimes, o comportamento da máquina passa a ser descrito em pormenor.
4.1.1 - Período Subtransitório
Significado físico das reactâncias subtransitórias ''dX e ''
qX
Neste período o enrolamento amortecedor provoca um escudo à penetração do fluxo do
estator. Então as reactâncias ''dX e do período subtransitório tornam-se mais pequenas do
que as reactâncias relativas ao caso do fluxo penetrar no rotor.
''qX
O comportamento do curto-circuito no estator com excitação no rotor durante o
período transitório, é equivalente a fazer um curto-circuito no rotor quando se aplica uma tensão externa no estator. Esta equivalência está representada esquematicamente na figura (4.1).
fi
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 31
fi
Equivalente Real
~
Fig. 4.1 – Curto-circuito equivalente
Curto circuito no rotor Curto circuito no estator
i
U c.c.
⇔
c.c.
U
O andamento do fluxo magnético no eixo directo (d) e em quadratura (q) pode ser
observado na figura (4.2).
dK qK
Eixo Directo (d) Eixo Quadratura (q)
Fig. 4.2 - Comportamento do caminho do fluxo durante o período subtransitório
dK representa o enrolamento do eixo directo e o enrolamento do eixo quadratura. qK
Estes enrolamentos aqui representados podem ser observados na figura (3.1).
Eixo Directo Eixo Quadratura '' '
d d dX X X< < '' 'q q qX X X< ≈
Desta relação conclui-se que . '' ''q dX X>
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 32
4.1.2 - Período Transitório
Significado físico das reactâncias transitórias 'dX e '
qX
À medida que as correntes dos enrolamentos amortecedores se dissipam durante o período subtransitório, entra-se no período transitório onde as variações de corrente no enrolamento de excitação reagem da mesma maneira que as correntes nos enrolamentos amortecedores, mas mais lentamente.
Passado algum tempo após a criação desta barreira pelos enrolamentos amortecedores o
fluxo começa a penetrar no rotor, logo a reactância directa 'dX e quadratura começa a
aumentar. No entanto a penetração do fluxo magnético ao longo do ferro no eixo directo, é
maior do que a do eixo quadratura, logo
'qX
'd qX X>
Eixo Directo (d) Eixo Quadratura (q)
Fig.4.2 - Comportamento do caminho do fluxo durante o período transitório
Eixo Directo Eixo Quadratura '
q qX X≈ 'd d < X X
4.1.3 – Regime Permanente
O regime permanente é alcançado, depois da sequência de perturbação inicial
subtransitória e transitória, o fluxo produzido pelo estator penetra em ambos os enrolamentos, de campo e amortecedor do rotor.
A última obstrução à passagem do fluxo é a resistência de campo , este por fim acaba
por penetrar totalmente no rotor, chegando-se deste modo ao regime permanente. fr
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 33
Neste caso d q X X> mas . 'q qX X≈
Eixo Directo (d) Eixo Quadratura (q)
Fig. 4.4 - Comportamento do caminho do fluxo em regime permanente
d qX X> Analisado o comportamento físico da máquina síncrona quando sujeita ao curto circuito
nos seus três regimes temporais Subtransitório, Transitório e Nominal, passa-se para a modelação em esquemas eléctricos equivalentes da máquina em vazio e em curto circuito.
A partir desta modelação é possível extrair as constantes de tempo da máquina e reactâncias, a partir das quais se pode ter uma ideia do seu significado físico. 4.1.4 – Funcionamento do enrolamento amortecedor
Num rotor cilíndrico as oscilações são normalmente amortecidas devido ao atrito com o
ar e nas chumaceiras. Além disso sendo o rotor maciço em ferro forjado a rodar à velocidade induzem-se nele, durante as oscilações, correntes de Foucault de frequência ω∆±ω ω∆±
que dão origem a perdas por efeito de Joule na massa do rotor que resultam da variação da energia cinética. Por isso, o rotor tende a parar de oscilar, ficando a rodar à frequência síncrona do campo girante. ω
Num rotor de pólos salientes, como é normalmente laminado, há necessidade de incorporar um enrolamento fechado (enrolamento em curto circuito colocado nas faces polares do rotor) chamado enrolamento amortecedor como pode ser observado na figura 1.10.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 34
O enrolamento amortecedor tem então as seguintes funções na máquina síncrona de pólos salientes,
• Amortecer as oscilações do rotor durante um pedido brusco de carga, de forma à frequência do gerador síncrono variar apenas durante um curto espaço de tempo.
• Eliminar as harmónicas produzidas pelo campo girante por reacção, de acordo com a
lei de Lenz. As harmónicas são devidas à existência de cavas e dentes no estator e à descontinuidade da f.m.m. do enrolamento do estator.
• Permitir o arranque da máquina síncrona como motor assíncrono. O enrolamento
amortecedor funciona como uma gaiola de esquilo. Quando o motor fica perto do sincronismo, liga-se a corrente de excitação e o motor entra em sincronismo com a rede ficando a rodar com uma velocidade constante como motor síncrono.
4.2 – Análise do modelo da máquina
O seguinte desenvolvimento, mostra como se determinam as constantes e equações fundamentais da máquina, servindo para a simulação experimental das correntes de curto circuito. 4.2.1 - Esquema Eléctrico do Regime Subtransitório
No regime subtransitório as correntes , , e são diferentes de zero. Logo o
esquema equivalente da máquina síncrona para este regime representa-se pela figura (4.5), di fi kdi qi
''dX
aX
mdX
kdr
kdX
fr
fX
Fig. 4.5 - Esquema do eixo directo em regime subtransitório circuito aberto
• Reactância Subtransitória do eixo directo, em circuito aberto
Tendo por base o esquema equivalente do modelo da máquina síncrona passa-se a determinar a equação da reactância subtransitória do eixo directo,
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 35
md kd f''d a a
kd f md f md kdmd kd f
11 1 1
X X XX XX X X X X X XX X X
= + = ++ ++ +
(4.1)
Do mesmo modo pode-se obter a constante de tempo subtransitória do eixo directo em
circuito aberto. A reactância onde se baseia esta constante de tempo é a reactância vista do enrolamento
amortecedor directo,
md f''0 kd kd
kd kd md fmd f
1 1 13 1 1dL l
T X lT r rX X
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = + = +⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠
L l
ou, simplificando,
md f''0 kd
kd md f
13 d
X XXT T r X
⎛ ⎞= += ⎜ω +⎝ ⎠X ⎟ (4.2)
''qX
aX
mqX
kqr
KqX
Fig. 4.6 - Esquema do eixo quadratura em regime subtransitório circuito aberto
Através da análise esquemática é possível determinar a, • Reactância subtransitória do eixo quadratura, em circuito aberto,
mq kq''q a a
mq kqmd kq
11 1
X XX XX X X
X X
= + +++
(4.3)
• Constante de tempo subtransitória do eixo quadratura, em circuito aberto,
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 36
( )'' md kdq0 md kq
kd kd
12L l
T T X Xr r+
= = = +ω
(4.4)
aX
mdXkdr
kdX
fr
fX
Fig. 4.7 - Esquema do eixo directo em regime subtransitório em curto-circuito
''kd
kdmd kd f
1 16 1 1 1d XT T r
X X X
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= +=
ω ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
Simplificando,
md f a''kd
kd md f md a f a
16 dX X X
T XT r X X X X X⎛ ⎞
= = +⎜ω + +⎝ ⎠X ⎟ (4.5)
aX
mqX
kqr
KqX
Fig. 4.8 - Esquema do eixo quadratura em regime subtransitório em curto-circuito
• Constante de tempo subtransitória do eixo quadratura em curto-circuito,
mq a''a kq
kd kd mq aa mq
1 1 11 1q
X XX XT r r
X X
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + = +⎜⎜⎜ ⎟ω ω ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠
X X⎟⎟+
(4.6)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 37
4.2.2 - Esquema Eléctrico do Regime Transitório
No regime transitório o fluxo já penetrou no enrolamento amortecedor e está agora a fazê-lo no enrolamento de campo. Aqui o enrolamento amortecedor já não contribui para o regime transitório e portanto os esquemas reduzem-se à seguinte forma,
'dX
aX
mdX
fr
fX
Fig. 4.9 - Esquema do eixo directo em regime transitório circuito aberto
• Reactância transitória do enrolamento do eixo directo, em circuito aberto,
md f'd a a
md fmd f
11 1
X XX XX X XX X
= + = +++
(4.7)
• Constante e tempo subtransitória do eixo directo em circuito aberto,
( )''0 f md
f
11 dT XT r= = +
ωX (4.8)
A constante e tempo em curto-circuito fica,
aX
mdX
fr
fX
Fig. 4.10 - Esquema do eixo directo em regime transitório curto-circuito
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 38
• Constante de tempo subtransitória em curto-circuito,
md a''f f
f fa md
1 1 11 1d
X XX XT r r
X X
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + = +⎜ω ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠
md aX X ⎟+
q
(4.9)
'qX
aX
mqX
Fig. 4.11 - Esquema do eixo quadratura em regime transitório circuito aberto
• Reactância transitória do eixo quadratura, em curto-circuito
'q a mX XX = + (4.10)
• Constante de tempo transitória do eixo quadratura em circuito aberto,
'
0 0qT =
Fig. 4.12 - Esquema do eixo quadratura em regime transitório curto-circuito
mqX
aX
• Constante de tempo transitória do eixo quadratura em curto-circuito,
' 0qT =
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 39
4.2.3 - Esquema Eléctrico do Regime Permanente
Em regime permanente não há variação de fluxo através do enrolamento amortecedor nem pelo enrolamento de campo, logo os esquemas da máquina síncrona reduzem-se da seguinte forma,
dX
aX
mdX
Fig. 4.13 - Esquema do eixo directo em regime permanente
• Reactância síncrona do enrolamento do eixo directo, em circuito aberto
d a mX X X= + d
mq
(4.11)
• Reactância síncrona do enrolamento do eixo quadratura, em circuito aberto
qX
aX
mqX
Fig. 4.14 - Esquema do eixo quadratura em regime permanente
'qq aX X XX= = + (4.12)
Este capitulo demonstrou pormenorizadamente o comportamento da máquina perante um
curto-circuito nos três regimes, subtransitório, transitório e permanente, realçando os enrolamentos amortecedores e o seu comportamento durante a perturbação.
Para cada regime foram também desenvolvidas as equações das reactâncias e constantes de tempo, recorrendo à representação esquemática da máquina.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 40
Equações do Curto-Circuito Capítulo 5
Neste capitulo vão ser desenvolvidas as equações das correntes de curto circuito para os casos do curto-circuito trifásico simétrico, assimétrico fase-fase, assimétrico fase-neutro e assimétrico fase-fase-neutro. 5.1 - Equações das Reactâncias
Tendo por base a simplificação da equação do fluxo magnético segundo o eixo directo
(3.20) obtida no Capitulo 3,
( ) ( )( )
( )( )
24 5 4 6 kd md f
d d d 22 f1 2 1 31 2 1 3
1 1 (11
T T s T T s T s L u ss L i s
rT T s T T sT T s T T s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ++ + + ⎣ ⎦⎣ ⎦
) (3.20)
5.1.1 – Reactância Síncrona
Simplificando a equação (3.22) de 3ª ordem da reactância síncrona do eixo directo
obtém-se,
2' ' ''d d d
d d 2' ' ''d0 d0 d0
1( )1
s sT T TX s Xs sT T T
+ +=
+ + (5.1)
simplificando tendo por base o critério de que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face às transitórias, com a intenção de baixar de ordem, considerou-se que
'dT T ''
d'T e T ' '
0 0d d
Eliminando na equação (5.1) as constantes de tempo desprezáveis, esta equação pode ser
escrita com uma grande aproximação, obtendo-se assim uma equação de 2ª ordem, mais fácil de tratar.
( )( )( )( )
' ''d d
d d ' 'd0 d0
1 1( )
1 1
s sT TX s X
s sT T
+ +=
+ + ' (5.2)
ou para conveniência de cálculo a reactância d ( )X s pode ser transformada em admitância,
bastando para isso invertê-la,
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 41
( )( )( )( )
' 'd0 d0' ''d d d d
1 11 1( ) 1 1
s sT TX s X s sT T
+ +=
+ +
' (5.3)
expandindo a equação (5.3) em fracções parciais e criando por conveniência as variáveis A e B vem,
( ) ( )'d d d d
1 1( ) 1 1
A BX s X s sT T
= ++ + ''
(5.4)
Calculando a variável A a partir de (5.4),
( )( )( ) ( ) ( ) (' ''d0 d0 '
d'' ''d dd d
1 11 1 11 1
s sT T Bss As sTX Xs sT T
+ += + + + +
+ +)'
d1 T (5.5)
Substituindo o denominador de A da equação (5.5) por 'd
1sT
= − vem,
' ''d0 d0' ' ' ''d d d dd
' ' ''' ''d d d d dd d' 'd d
1 11 1 1 1
1 1
BT TAT T T TT
X X T T TT TT T
⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎝ ⎠ = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
simplificado mais,
' ''d0 d0' 'd d
'''d d dd'd
1 11 0 0
1
T T
'A AT T
X T TTT
⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ = − + = −⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.6)
Assumindo que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face às
transitórias então,
e '' '
a aT T '' 'd0 dT T
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 42
Tendo em conta esta simplificação e resolvendo (5.6) em ordem a “A” , obtém-se
'' d0d 'd d
1 1TA TdX XT
⎛ ⎞= −⎜
⎝⎟⎠ (5.7)
5.1.2 – Reactância Transitória
Tendo por base e a reactância transitória do eixo directo, deduzida no capítulo o anterior,
' md fd a a
md fmd f
11 1
X XX X XX X
X X
= + = +++
pode-se estabelecer também a seguinte equivalência,
'' dd d '
d0
TX XT
= (5.8)
por conseguinte substituindo a equação (5.8) na (5.7) obtém-se finalmente a equação da variável A,
'd '
dd
1 1A T XX
⎛ ⎞= −⎜⎜
⎝ ⎠⎟⎟ (5.9)
Calculando a variável B,
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'''d0 d0 '' '' ''
d d d''''d d dd d
1 11 11 1 111 1
s T sT AsT s T s T s BsX X ss T s TT
+ ++ = + + +
++ +
Substituindo o denominador de B por ''d
1sT
= − vem,
' ''d0 d0'' ''d d
'''d dd''d
1 11 0 0
1
T TBT T
X TTT
⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ = + −⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 43
Assumindo novamente que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face
às transitórias , , a equação pode pode-se escrever, ' 'd0 dT T ' ''
d'' ''d0 dT T> '
dT T
'' ' ' ''d d0 d0 d0
' ' ''d d d d
T T T TBX T T T
⎛ ⎞− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Após simplificação a equação de variável B fica,
' '' ''d0 d0 d0''
d ' '' 'd dd d d
1 1T T TB T X XT T T
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠ (5.10)
5.1.3 – Reactância Subtransitória
Tendo por base a reactância subtransitória do eixo directo, deduzida no capítulo anterior,
md kd f''d a a
kd f md f md kdmd kd f
11 1 1
X X XX XX X X X X X XX X X
= + = ++ ++ +
(5.11)
Através da equação (5.11) pode-se estabelecer também a seguinte equivalência,
' '''' d dd d ' ''
d0 d0
T TX XT T
= (5.12)
substituindo (5.12) em (5.11) obtém-se finalmente B,
''d '' '
d d
1 1B TX X
⎛ ⎞= −⎜⎜
⎝ ⎠⎟⎟ (5.13)
Revistando a equação da admitância (5.3) e substituindo as variáveis "A" representada na
equação (5.9) e B representada na equação (5.13), obtém-se a admitância operacional da máquina síncrona para o eixo directo,
'''d d
' ' '' 'd d d dd d
1 1 1 1 1 1( ) 1 1
T ssTX s X X s ''
d dX X X TT
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s
(5.14)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 44
A admitância para o eixo em quadratura obtém-se directamente invertendo a equação (3.34),
''
q ''0
1( )
1q
q
sTqX s
sT
+=
+X (3.34)
Simplificando (3.34) sob a forma de admitância, obtém-se,
( )( )
''q0''q qq
11( ) 1
sT 1X s XsT
+=
+ (5.15)
Finalmente e através de todo este desenvolvimento matemático foram alcançadas as
admitâncias d
1( )X s
e q
1( )X s
, que vão ser integradas nas equações das correntes de curto-
circuito. 5.2 - Equações Curto-Circuito Simétrico Trifásico em Vazio
A maior parte das falhas que ocorrem nos sistemas de distribuição de energia são não simétricos entre fases. No entanto, a falha simétrica é importante porque, apesar ser rara é mais grave porque desencadeia correntes mais elevadas de curto-circuito e provocaria instabilidade no funcionamento da máquina, colocando-a em situações excepcionais de risco para a sua integridade.
Além disso o curto-circuito simétrico é a condição mais simples de analisar e é o ponto de partida para o estudo de qualquer tipo de falhas num sistema de potência. O ensaio de curto-circuito simétrico de um gerador em vazio permite ainda calcular as características transitórias da máquina, tais como constantes de tempo e reactâncias transitórias, que foram desenvolvidas no item anterior.
Fig. 5.1 - Esquema do curto-circuito franco às três fases
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ci
bi
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ci
bi
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 45
5.2.1 - Equações das correntes nas Fases a, b e d
Considerando-se um alternador em vazio e que o brusco curto-circuito simétrico se dá no instante inicial t=0, sendo λ o ângulo entre o eixo da fase “a” e o eixo directo no instante de curto-circuito. Então, assumindo que a velocidade do alternador se mantém constante durante todo o curto-circuito com a velocidade angular ω, o ângulo de fase é dado por, . tθ = ω + λ
Sabendo-se que a tensão instantânea da fase “a” em função das tensões do eixo directo e
tensão do eixo em quadratura é dada por,
a d qcos( ) ( )u u u sen= θ + θ
e substituindo , vem, tθ = ω + λ
a d qcos( ) ( )u u t u sen t= ω + λ + ω + λ (5.16)
A partir da observação dos circuitos equivalentes do eixo directo e do eixo quadratura
representados respectivamente pelas figuras (3.2) e (3.3), podem-se extrair as equações (5.17) e (5.18).
Fig. 3.2 - Circuito equivalente do eixo directo
dsΨ
asldi
d kd fi i i+ + mdsL
kdi fi
kdsl fsl
fv
kdrfr
fu
aslqi
kq qi i+ mqsLqsΨ
kqikqr
kqsl
Fig. 3.3 - Circuito equivalente do eixo em quadratura
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Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 46
Por se tratar de curto-circuito simétrico a tensão do eixo quadratura e do eixo directo no instante inicial U0=0 são dadas por,
d d q d a d q d a
q d q q a d q
du i r sdt
du i rdt
= Ψ + ωΨ + = Ψ + ωΨ +
= −ωΨ + Ψ + = −ωΨ + Ψ + q a
i r
s i r
d
(5.17)
Onde,
( )
( )
d md f md kd md a
q md kq mq a q
L i L i L l i
L i L l i
Ψ = + + +
Ψ = + +
(5.18)
Estando o alternador em vazio, quando surge um curto-circuito, as condições iniciais
antes do curto-circuito são as seguintes,
d 0i = kd 0i = d0 0i = kd0 0i =
q 0i = kq 0i = kq0 0i = kq0 0i =
d0 0u = f Constanteu =
fq0 md f0 md max0 q
f
uu L i X Er
= −ω = − = = u (valor de pico)
Desta forma o sistema trifásico de tensões iniciais aos terminais do alternador, antes do
curto-circuito pode ser observada na figura 1.12 respeitando o andamento temporal das equações (5.19)
( )
( )
( )
a0 q
b0 q
c0 q
sen( )
2sen( )3
4sen( )3
u t u t
u t u t
u t u t
= ω + λ
π= ω −
π= ω −
(5.19)
Usando o princípio da sobreposição, desprezando a saturação do ferro, os valores finais
resultam assim da soma dos valores antes do curto-circuito, mais os valores das variações durante o curto-circuito, estas condições estão representadas pelas equações (5.20).
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Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 47
'd d0
'q q0
'd d0 d
'q q0 q
u u u
u u u
i i i
i i i
= +
= +
= +
= +
d
q
q a
s i r
U s i r
= Ψ + ωΨ +
= −ωΨ + Ψ +
(5.20)
Substituindo as variáveis pelos respectivos valores iniciais, acham-se as equações que
definem as condições iniciais, ' 'd d
' 'q0 q q q0
' 'd d d d
' 'q q q q
' 'f f0 f f
0 0 0
0
0
0
0
u u
u u u u
i i i i
i i i i
u u u u
= + ⇒ =
= + ⇒ = −
= + ⇒ =
= + ⇒ =
= + ⇒ =
Aplicando as condições iniciais antes do curto-circuito na equação (5.17), obtém-se,
' ' 'd q d a
' ' 'q d q
0
(5.21)
por conseguinte as variações dos fluxos são:
• antes do curto-circuito,
( )d d d1 1( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s u sΨ = +ω ω f
(5.22)
( )q q1 ( ) ( )s X s iΨ =ω q s
=
• depois do curto-circuito,
'f 0u
( )' ' 'd d f d dd
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s u X s i sΨ = + =ω ω ω
' (5.23)
( )'q q q
1 ( ) ( )s X s iΨ =ω
' s
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Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 48
mantendo-se a tensão de excitação constante e substituindo (5.22) e (5.23) em (5.21),
' ' '
d d q d aq
q ' ' ' ' ' 'd q q a d d q qq
0 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
s X s i s X s i s i r
ass i r X s i s X s i s i r
= + +ω
= −ωΨ + Ψ + = − −ω
Us
(5.24)
ou ainda factorizando (5.24),
' 'a d d q q
q ' 'd d a q q
0 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
sr X s i s X s i s
U s
( )
X s i s r X s i ss
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ω⎝ ⎠
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ω⎝ ⎠
(5.25)
Resolvendo o sistema de equações (5.25) em ordem a e i obtém - se, 'd ( )i s q ( )s
2 2q 2 2 'a d
a d2d q d q
2 2q q2 2 'aa q2 2d q d q a
d
( )1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
U r X ss s r i ss X s X s X s X s
U Xrs s r is X s X s X s X s rs
X s
⎡ ⎤⎛ ⎞ ω⎢ ⎥= + ω + ω + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ω⎢ ⎥= − + ω + ω + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ω+
ss
(5.26)
Tendo em consideração que a resistência da armadura é ra << Xd, podem-se desprezar os
termos . Também por aproximação reduzem-se 2ar d ( )X s e às reactâncias
subtransitórias
q ( )X s
''dX e ''
qX , ficando por aproximação,
''q 2 2 'da d'' '' 2
d q
''q q2 2 '
a q'' ''d q
1 1 ( )
1 1 ( )
U Xs s r is X X
U Xs s r i
s sX X
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + ω + ω +
⎜ ⎟⎢ ⎥ ω⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − + ω + ω +
⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
s
s
(5.27)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 49
Fazendo com que a constante de tempo da armadura seja,
aa '' ''
d q
1 12rT 1
X X
⎛ ⎞ω ⎜ ⎟= = +⎜ ⎟α⎝ ⎠
por conseguinte (5.27) pode escrever-se sob a forma de equação de transferência de segunda ordem,
( )
( )
''q 2 2 'dd2
''q q2 2
q
2 (
2 (
U Xs s i ss
U Xs s i
s s
= + α + ωω
= − + α + ωω
'
)
)s
s
(5.28)
ou ainda, resolvendo em ordem a i e ,vem d ( ) q ( )i s
( )
( )
2 q'd d ''2 2
d
q'q q ''2 2
q
1( ) ( )2
1( ) ( )- 2
Ui s i s
sXs s
Usi s i ssXs s
ω= =
+ α + ω
ω= =
+ α + ω
(5.29)
Substituindo (5.14) e (5.15) que representam respectivamente as admitâncias do eixo
directo e do eixo quadratura em (5.29),
' 'd
'' '' ' ' '' ' ''d dd d d d d d
1 1 1 1 1 1 1( ) 1 1
T s T sX s X
'd
dX X X T s X X T
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s
(5.14)
( )( )
''q0
'' ''''qq qq
11 1( ) 1
T s
X s1
X XT s
+= =
+ (5.15)
obtém-se as equações de transferencia finais de i e . d ( )s q ( )i s
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 50
( )( )
' '2 q q q q qd dd ' ' '' '2 2 d dd d d d
( )1 12
U U U U UT s T si sX X
'
''dX T s X X T ss s s
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω⎢ ⎥= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥+ α + ω +β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(5.30)
( )( )
''q0 q
q 2 2 ''qq
1( )
2 1
T s Usi ss s XT s
⎡ ⎤+− ω ⎢= ⎢+ α + ω +⎢ ⎥⎣ ⎦''⎥⎥ (5.31)
Fazendo a transformada inversa de Laplace de (4.30) e (4.31) obtém-se,
( )' ''q q q q q qd d ad ' '' ' ''d dd d d q
( ) cos
t t tT T TU U U U U U
i t e e e tX XX X X X
− − −⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
ω (5.32)
(q aq ''q
( ) sent
TUi t e t
X
−= − ω ) (5.33)
Sabendo que a corrente em cada fase é dada por (3.14),
( ) ( )a d q c
b d q
c d q
cos sen
2 4cos sen3 3
2 4cos sen3 3
i i i i
i i i i
i i i i
= θ + θ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= θ − π + θ − π +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= θ − π + θ − π +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c
c
t
(3.14)
A corrente i fica, a ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
' ''q q q q qd da ' '' 'd dd d d
q qa a'' ''q q
( ) cos
cos cos sen sen
t t
T T
t tT T
U U U U Ui t e e t
X XX X X
U Ue t t e t t
X X
− −
− −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥
= + − + − ω + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
− ω ω + λ − ω ω +
−
λ
(5.34)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 51
A segunda parcela de (5.34),
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2aq '' ''d d
1 1sen cos cos sen sen
tTU e t t t
X X
− ⎡ ⎤− ω λ − ω ω⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
λ
pode simplificar-se recorrendo às seguintes relações trigonométricas,
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
cos 1 sen
sen 1 cos1cos sen sen 22
t t
t t
t t
ω = − ω
ω = − ω
ω ω = ωt
e escreve-se,
( ) ( )'' '' '' ''
q d q q d qa a'' '' '' ''d q d q
cos cos 22 2
t tT TU X X U X X
e eX X X X
− −+ +− λ − tω + λ (5.35)
donde se podem retirar as constantes Xm e Xn,
( )'' ''d q
m '' ''d q
2 X XX
X X
+=
+
( )'' ''d q
n '' ''d q
2 X XX
X X
+=
−
(5.36)
Logo as equações de curto-circuito para as outras duas fases, i e i , escrevem-se: b( )t tc( )
• para a fase B
' ''q q q q qd db ' '' 'd dd d d
q qa am n
2( ) cos3
2 2cos cos 23 3
t t
T T
t tT T
V V V V Vi t e e t
X XX X X
V Ve e t
X X
− −
− −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞= + − + − ω +λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦⎛ ⎞
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− λ − + ω +λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
−
(5.37)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 52
• para a fase C
' ''q q q q qd dc ' '' 'd dd d d
q qa am n
4( ) cos3
4 4cos cos 23 3
t t
T T
t tT T
V V V V Vi t e e t
X XX X X
V Ve e t
X X
− −
− −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞= + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦⎛ ⎞
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
−
i
(5.38)
5.2.2 - Equação da Corrente de Campo
As equações da corrente de campo da máquina antes do curto-circuito ou seja em regime
permanente, são da seguinte forma,
f f f
d a d q q
q md f d d a q
u r i
u r i X i
u X i X i r
=
= +
= − + +
(5.39)
Antes do curto-circuito, o gerador considera-se em vazio e por conseguinte,
d q 0i i= = logo,
q0 qf0
md md
U Ui
X X= − = −
A corrente de campo , obtém-se impondo à corrente i antes do curto-circuito a
corrente i , representando-se da seguinte forma,
fi f0'f
'
f f0i i i= + f (5.40)
Durante o curto-circuito relação entre e i pode obter-se a partir do seguinte sistema
de equações,
'fi
'd
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 53
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' ' 'f f md f f md kd md d
' ' ' 'kd md f kd md kd md dkd
0
0
U r L l s i s L i s s L i s s
U L i s s r L l s i s L i
⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦
'
s s
(5.41)
Visando a simplificação do sistema anterior, inicia-se o processo eliminando , entre
as duas equações vem,
'kd ( )i s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ' 'f md f kd md md f md kd dkd kd 0r L l s r L l s L s i s L s r l s i s⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
(5.42)
Substituindo em (3.42) o valor de já calculado anteriormente, obtém-se, ( )'di s
( )2 q'
d 2 2 d
1( )( )2
Ui s
X s ss s
ω=
+ α + ω
simplificando,
( )( )( )( ) ( )
' '' 2d0 d0 q'd ' '' 2 2 dd d
1 1 1( )( )1 1 2
T s T s Ui s
X s sT s T s s s
+ + ω=
+ + + α + ω (5.43)
a corrente de campo vem,
( )( )( ) ( )md kd' '
f d' ''f d0 d
1( )
1 1
L s T si s i s
r T s T s
+=
+ +
simplificando,
( )( )( ) ( )
2 qkd' mdf ' '' 2 2 d fd0 d
1 1( )1 1 2
VT s Xi s
X r sT s T s s s
+ ω=
+ + + α +ω (5.44)
Expandindo a equação (5.44) em fracções parciais, a transformada inversa de Laplace
vem,
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 54
( )' ''q md' kd kdd d af ' '' ''
d f d d d( ) 1 cos
t t tT T TU X T Ti t e e e t
T r X T T
− − −⎡ ⎤
⎛ ⎞⎢ ⎥= − − − − ω⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ω ⎢ ⎥⎝ ⎠
⎣ ⎦
(5.45)
Simplificando a primeira metade de (5.45),
2 ' 'q md f0 md d0 d d d
f0 f0' ' 'd f d d f d d d
U X i X T T X Xi iT r X T r X T X
− −− = = =ω ω
'
'
visto que,
( )
( )
' ' md ad0 d f md f
f f md
md a md af md f
f md a f
2md md
d af d f d
1 1
1 1
X XT T X X Xr r X
X X X XX X Xr X X r
X XX Xr X r X
⎛ ⎞− = + − −⎜ ⎟ω ω +⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − − = −⎜ ⎟ω + ω⎝ ⎠
− =ω ω
a
d
X
X
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
f
Consequentemente a corrente de campo total depois do curto-circuito, é, 'f f0i i i= +
( )' ' ''d d kd kdd d af f0 f0 ' '' ''
d d d( ) 1 cos
t t tT T TX X T T
i t i i e e e tX T T
− − −⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
(5.46)
5.2.3 - Equação do Binário Resistente
O binário resistente oferecido pelo gerador durante o curto-circuito é dado por ,
( ) ( )md f md kd md a d q mq kq mq a q dT L i L i L l i i L i L l i i⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.47)
Simplificando (5.47) obtém-se,
d q q dT i= Ψ −Ψ i
Sendo este binário resistente por unidade de velocidade (1 rad/s). Para a velocidade ω, obtém-se,
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 55
( )d q q dT i= ω Ψ −Ψ i
d
Onde o fluxo por eixo é dado por,
( )
( )
d md f md kd md a
q mq kq md a q
L i L i L l i
L i L l i
Ψ = + + +
Ψ = + +
Antes do curto-circuito, existem as seguintes condições iniciais,
d0 q0 0i i= =
logo,
qf0i
md
qd0 md f0
q0 0
UX
UL i
= −
Ψ = = −ω
Ψ =
Depois do curto-circuito, os valores dos fluxos são,
q' 'd d0 d
' 'q q0 q q
UΨ = Ψ + Ψ = − + Ψ
ω
Ψ = Ψ + Ψ = Ψ
d
Como já foi visto anteriormente, a equação de transferência de segunda ordem, é
( )' 'dd d 2 2
( ) 1( ) ( )2
X ss i sss s
ωΨ = =
ω + α + ωqU
Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se,
( )q' ad ( ) 1 cost
TUt e
−⎡ ⎤⎢ ⎥Ψ = − ω⎢ ⎥ω⎢ ⎥⎣ ⎦
t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 56
Simplificando,
(q ad ( ) cost
TUt e
−Ψ = − ω
ω)t (5.48)
Da mesma forma para o eixo quadratura obtém-se,
( )q' '
q q 2 2
( )( ) ( )
2
X ss i s
s s
ωΨ = =
ω + α + ωqU
Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se,
( )q' aq ( ) sent
TUt e
−Ψ = − ω
ωt
Simplificando,
( )q aq ( ) sent
TUt e
−Ψ = − ω
ωt
i
(5.49)
A combinação dos fluxos Ψd e Ψq , que variam sinusoidalmente, dão origem a um fluxo
girante de velocidade ω que é estacionário em relação à armadura. Mas a sua amplitude amortece-se com a constante de tempo . at
Atendendo às equações (5.32) e (5.33) desenvolvidas anteriormente e substituído-as em,
( )d q q dT i= ω Ψ −Ψ
Obtém-se a equação final do binário,
( )
( )
' 'T T2 a dq ' ' '' 'dd d d d
2q a
'' ''d q
1 1 1 1 1( ) sen
1 1sen 24
t ttT
tT
T t U e t e eXX X X X
Ue t
X X
− −−
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥
= ω + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞⎜ ⎟+ ω −⎜ ⎟⎝ ⎠
'd +
(5.50)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 57
5.3 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase em Vazio
Fig. 5.2 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase
A
B C
NEstator
RotorfI
ci
bi
c bi i= −
a 0i =A
B C
NEstator
RotorfI
ci
bi
c bi i= −
a 0i =
5.3.1 - Equações das Correntes nas Fases
Este tipo de curto-circuito tem muitas semelhanças com o Fase-Neutro, o que os diferencia é que o curto-circuito Fase-Neutro envolve também as impedâncias de sequência de fase zero da máquina e qualquer impedância ligada entre o neutro e a terra, se o curto-circuito se der entre a fase e a terra.
Para o curto-circuito entre as fases “B” e “C” têm-se as seguintes condições,
(5.51) b c
b c
a
00
0
e ei ii
− =
+ =
=
Se a resistência da armadura for desprezada e os fluxos de ligação das fases a e b forem
mantidos constantes nos seus valores iniciais tem-se,
b c b0Ψ −Ψ = Ψ −Ψc0 (5.52)
Se o ângulo da máquina no qual ocorre o curto-circuito for λ então,
b0 d0 q0
c0 d0 q0
cos( 120°) sen( 120°)
cos( 120°) sen( 120°)
Ψ = Ψ λ − −Ψ λ −
Ψ = Ψ λ − −Ψ λ −
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Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 58
ou,
b0 c0 d0 q03( sen( ) cos( ))Ψ −Ψ = Ψ λ +Ψ λ (5.53)
Usando as equações de transformação das correntes obtidas na matriz (2.15) e tensões
obtidas em (2.17), são obtidas as seguintes relações,
d q
d q
0
sen( ) cos( ) 0
cos( ) sen( ) 0
0
e t e t
i t i t
i
ω +λ + ω + λ =
ω + λ + ω +λ =
=
(5.54)
As equações obtidas em (5.54) juntamente com simplificações já desenvolvidas para o
curto-circuito trifásico simétrico, deram origem à seguinte equação para o curto-circuito trifásico assimétrico para a fase B,
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
'd f-f
b q 'f-f d 2 d 2d 2f-f
''d f-f
'' 'd 2 d 2f-f f-f
aq f-f
0 12
1 1 1( ) 3
1 1
3 sen( ) 1sen (2 1) cos(2 )2
t
T
t
T
tTn n
n n
i t U eX X X XX X
eX X X X
Ub n t b n t e
X
−
−
−∞ ∞
= =
⎡⎢ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟= + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎣
⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ×⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
λ ⎛ ⎞× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.55)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 59
para a fase C,
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
'd f-f
c q 'f-f d 2 d 2d 2f-f
''d f-f
'' 'd 2 d 2f-f f-f
aq f-f
0 12
1 1 1( ) 3
1 1
3 sen( ) 1sen (2 1)( t) cos(2 t)2
t
T
t
T
tTn n
n n
i t U eX X X XX X
eX X X X
Ub n b n e
X
−
−
−∞ ∞
= =
⎡⎢ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟= − + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎣
⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ×⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
λ ⎛ ⎞× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.56)
5.3.2 – Equação da Corrente de Campo
Para a corrente de excitação,
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )' 'd d ''d af-f f-f f-fkd kddf f0 f0 ' '' ''f-f
d d df-f f-f f-f
( ) 1 cos
t ttT T
TX X T T
i t i i e e e tX T T
− −−⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.57)
As constantes das equações (5.56) e (5.57) são dadas por,
( ) ( )'' ''d qf-f f-f
2X X X= ( ) ( )
( ) ( )
'' ''q df-f f-f
'' ''q df-f f-f
X Xb
X X
−=
+
( ) ( )( )
( )
''d 2f-f'' ''
d d0 'f-f f-fd 2f-f
X XT T
X X
+=
+ ( ) ( )
( )
( )
'd 2f-f' '
d d0f-f f-f d 2f-f
X XT T
X X
+=
+
( )2
a f-f a
XTr=
(5.58)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 60
5.4 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Neutro em Vazio
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ni
c 0i =
b 0i =
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ni
c 0i =
b 0i =
Fig.5.3 – Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Neutro
5.4.1 - Equações das Correntes na Fase e no Neutro
Para o curto-circuito Fase-Neutro as condições de fronteira são,
a
b c
00
ei i
=
= =
Considerando a resistência da armadura zero,
a aΨ =Ψ 0
Tendo como base a análise do curto circuito fase-fase, o de fase-neutro partilha o mesmo
princípio teórico visto serem ambos curto-circuitos assimétricos.
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Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 61
Assim a equação da corrente do curto-circuito fase neutro representa-se, entre a fase A e o neutro,
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
''d f-n
a q '' 'f-nd 2 0 d 2 0f-n f-n
'd f-n
'd 2 0 d 2 0 d 2 0f-n
aq0 0
00 1
1 1( ) 3
1 1 1
3 cos( ) 1cos (2 1) t cos(2 t)1 222
t
T
t
T
tTn n
n n
i t U eX X X X X X
eX X X X X X X X X
Ub n b n e
X X
−
−
−∞ ∞
= =
⎡⎛ ⎞⎢⎜ ⎟⎢= −⎜ ⎟⎢ + + + +⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎢⎣
⎛ ⎞ ⎤⎜ ⎟+ − + ×⎥⎜ ⎟+ + + + + + ⎥⎜ ⎟ ⎦⎝ ⎠
⎛ ⎞λ ⎜ ⎟× − − ω − + − ω⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∑ ∑
+
( )f-n
(5.59)
5.4.2 - Equação da Corrente de Campo
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )' 'd d ''d af-n f-n f-nkd kddf f0 f0 ' '' ''f-n
d d df-n f-n f-n
( ) 1 cos
t ttT T
TX X T T
i t i i e e e tX T T
− −−⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.60)
As constantes da equações (5.59) são dadas por,
( ) ( )'' ''
2 d qf-n f-nX X X=
( ) ( )
( ) ( )
'' ''q 0 df-n f-n
0'' ''q 0 df-n f-n
1 12 21 12 2
0
0
X X X Xb
X X X X
+ − +=
+ + +
( ) ( )( )
( )
''d 2f-n'' ''
d d0 'f-n f-nd 2f-n
0
0
X X XT T
X X X
+ +=
+ + ( ) ( )
( )
( )
'd 2f-n' '
d d0f-n f-n d 2f-n
0
0
X X XT T
X X X
+ +=
+ +
( )2 0
a f-n a 0
22X X
Tr r=++
(5.61)
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Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 62
5.5 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase-Neutro em Vazio
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ni
bi
b 0i =
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ni
bi
b 0i =
Em complemento do ensaio curto-circuito às três fases, fase com fase, fase com neutro,
considerados previamente, uma máquina síncrona poderá ter dois terminais simultaneamente curto-circuitados ao neutro ou terra. Este curto-circuito é considerado também sem carga jusante.
Fig.5.59 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase-Neutro
As condições de curto-circuito das duas fase A e C sem carga, de acordo com a representação da figura 5.59 entre é,
a c
b
00
e ei
= =
=
5.5.1 – Equações das Correntes nas Fases
Tal como foi abordado na análise do curto circuito fase-fase, fase-neutro a fase-fase-
neutro há a partilha do mesmo princípio teórico visto serem todos curtos-circuitos assimétricos.
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Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 63
Assim a equação da corrente do curto-circuito fase A ou fase C e o Neutro, representa-se da seguinte forma,
entre a fase A e o neutro
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
q '' ''an q q 0f-f-n f-f-n f-f-n
'' ' '' ''d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
'' '' '' ''d q 0 d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
( ) 3 cos t 3 2 sen t
3 cos t cos 2 t2
3 4 sen2
Ui t X X X C
D
X X X X A
X X X X X
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ω − − ω −λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛+ + + λ − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω −λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦ ⎭
(5.62) entre a fase C e o neutro
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
q '' ''cn q q 0f-f-n f-f-n f-f-n
'' '' '' ''d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
'' '' '' ''d q 0 d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
( ) 3 cos t 3 2 sen t
3 cos t cos 2 t2
3 4 sen2
Ui t X X X C
D
X X X X A
X X X X X
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ω − − ω −λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛+ + + λ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω −λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎭
(5.63) onde as constantes das equações (5.62) e (5.63) são dadas por,
( )2 0
aα f-f-n a 0
22
X XT
r r+
=+
( )2
a f-f-n a
XTrβ =
( )aα f-f-n
tT
A e
−
=
( )a f-f-n
tT
B e
−β
=
2 0e
2 0
X XX
X X=
+
( ) ( )'' ''' '' '' ''d df-f-n f-f-nd e d e d e d e
' 'd e d e d e d e
1
t t
T TX X X X X XC e e
X XX X X X X X
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +
= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X X
+
+
( ) ( ) ( )'' '' '' '' '' ''0 d q d q 0 d q2D X X X X X X X X⎡ ⎤= + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
cos 2 tω (5.63)
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Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 64
5.5.2 - Equação da Corrente de Campo
Para a corrente de excitação,
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )' 'd d ''d af-f-n f-f-n f-f-nkd kddf f0 f0 ' '' ''f-f-n
d d df-f-n f-f-n f-f-n
( ) 1 cos
t ttT T
TX X T T
i t i i e e eX T T
− −−
t
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.65)
Este capítulo centrou-se no desenvolvimento das equações que irão permitir fazer a
simulação matemática da máquina nos vários tipos de curto-circuitos que foram abordados. Sem estas equações não era possível quantificar os valores da corrente de curto-circuito
que a máquina irá desenvolver na ocorrência durante a perturbação.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 65
Ensaio Laboratorial Capítulo 6
Introdução
Para confirmar a validade das considerações teóricas dos capítulos anteriores, foi montada uma bancada de ensaio no Laboratório de Máquinas Eléctricas da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa. Uma Máquina de Corrente Contínua a funcionar com Motor foi acoplada pelo veio a uma Máquina Síncrona a funcionar como Gerador.
Por forma a salvaguardar a integridade do equipamento, foram feitos ensaios com valores muito abaixo dos nominais representados na “Chapa das Características”, sendo condição suficiente para levar à obtenção de uma imagem do comportamento do sistema em regime nominal.
6.1 - Equipamento para o Ensaio no Laboratório 6.1.1 - Bancada de Ensaios
A Máquina de Corrente Contínua tem as seguintes características de especificação,
n
n e
exc
= 220 V = 2100 rpm = 6,2 A = 200 V
= 1 kW = 0,24 A
U NI UP I
xc
A Máquina Síncrona ensaiada tem as seguintes características,
nY/
n
exc
exc
= 380/220 V = 1500 rpm = 1,5 / 2,6 A cos 0,8
= 0,8 KVA / 0,8 kW f = 50 Hz = 220 V
= 1,6 A max.
U NIPUI
∆
ϕ =
Todos os ensaios foram obtidos com a bancada de ensaios ligada conforme o esquema
na figura 6.1. A velocidade de sincronismo do sistema foi possível de manter durante todos os ensaios, com base na utilização da pistola estroboscópica, tal com representa a mesma figura. O método de acerto da velocidade de sincronismo resultava assim numa coordenação entre frequência estroboscópica referenciada no acoplamento dos veios das duas máquinas e a regulação da alimentação e excitação da Máquina de Corrente Contínua, bem com a regulação da corrente de excitação de campo do alternador.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 66
Fig. 6.1 - Esquema de ligações da bancada de ensaios
r.p.m.
M G3 ~
AA AA
A A AA0 - 220Vcc
S
U1 V1 W1 N
U2 V2 W2
fU
fIexcI
excU
r.p.m.
M G3 ~
AA AA
A A AA0 - 220Vcc
S
U1 V1 W1 N
U2 V2 W2
fU
fIexcI
excU fU
fIexcI
excU
6.1.2 - Equipamento de Medida
Para que este trabalho fosse possível foi necessário recorrer a equipamento de medida convencional, tal como Voltímetros e Amperímetros, mas para obter as medidas dos curtos-circuitos reais, foi necessário recorrer a outro tipo equipamento de medida mais sofisticado.
Assim as curvas obtidas só foram possíveis com instrumentação de aquisição rápida de sinal, o instrumento de medida utilizado foi o osciloscópio digital com uma largura de banda de 300 Mhz ligado a quatro pinças amperimétricas de alta sensibilidade da marca Tektronix.
O modelo de osciloscópio com quatro entradas, satisfez em pleno a aquisição das correntes de curto-circuito. No caso do curto-circuito trifásico simétrico foram adquiridas as correntes das três fases e corrente de excitação em simultâneo.
As curvas das três fases e a de excitação visualizadas no écran, foram transformadas em pontos, descrevendo todo o andamento temporal. Os pontos das curvas por sua vez deram origem a ficheiros tipo texto (*.txt) e foram extraídos do osciloscópio através de uma disquete. Toda a reconstituição gráfica foi finalmente feita e exposta nos itens seguintes.
A fotografia e características deste equipamento podem ser consultadas em Anexo e a imagem do écran obtida durante o curto-circuito trifásico simétrico pode ser visualizada na figura 6.5.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 67
6.2 - Ensaio Experimental para Obtenção das Características em Vazio e Curto-
Circuito
Fig. 5.1 - Esquema do curto-circuito franco às três fases
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ci
bi
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ci
bi
No modelo do circuito equivalente por fase existem três parâmetros que são necessários determinar, são eles, a resistência da armadura aR , a reactância síncrona e a f.e.m. em vazio
por fase . A resistência da armadura 0E aR , foi determinada pelo método volt-amperimétrico
em corrente contínua, está representada na figura 6.4 , enquanto a reactância síncrona e a f.e.m. induzida foram determinadas pelo ensaio em circuito aberto e curto-circuito, representado na figura 6.2.
O ensaio de circuito aberto foi realizado com a máquina síncrona animada com uma velocidade síncrona nominal de 1500 r.pm., enquanto os enrolamentos do estator estavam em circuito aberto. Varia-se a corrente de excitação de campo e mede-se a tensão de saída dos enrolamentos do estator. A relação entre os terminais do enrolamento do estator e a corrente de excitação de campo no rotor, permite obter a característica da máquina síncrona em vazio.
O ensaio em curto-circuito foi iniciado com uma corrente de campo regulada com um reóstato para o mínimo, os terminais do estator foram curto-circuitados nos terminais das três fases U1, V1 e W1, através do comutador S, intercalando em série os amperímetros onde vai ser lida a corrente de curto-circuito da armadura como está representado na figura 6.1.
A representação de amperímetros no esquema, de facto são pinças amperimétricas que lêem a corrente que passa em cada condutor, porque estes caso fossem amperímetros normais sem qualquer transformador, estes seriam destruídos durante o curto-circuito devido às elevadas corrente.
Antes do início do estudo do comportamento da máquina em curto-circuito, foi estudada a característica em vazio e em curto-circuito à velocidade nominal. Com este estudo foram obtidos todos os valores que possibilitaram a construção do gráfico da figura 6.2.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 68
0
50
100
150
200
250
300
350
0
0,16
0,28
0,36
0,46
0,55
0,63
0,72
0,81
0,89
0,97
1,07 1,2
1,39
Corrente de campo If (A)
Tens
ão d
e sa
ída
em v
azio
Eo(
V)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Cor
rent
e de
Cur
to-C
ircu
ito Ic
c (A
)
Linha de Entreferro
cc f( )I f i=
0 f( )E f i=Característica em Vazio
Característica em Curto-Circuito
nI
0 220E V=
cc=0,74AI
Fig. 6.2 – Característica em vazio e curto-circuito @ 1500 rpm
A característica da reactância síncrona foi obtida com base no gráfico da figura 6.2, tendo
por base a seguinte equação,
0
0 d
dE U jX IE X I
= +
= (6.1)
considerando, em (5.1) , então 0U = 0 dE X I= , assim,
0d
cc
EX
I= (6.2)
O gráfico abaixo, da figura 6.3 foi construído com base na equação (6.2), para valores
coincidentes de corrente de campo fI . O dados que possibilitaram as construção dos gráficos
podem ser consultados em Anexo I. Este gráfico permite situar o valor da reactância síncrona a partir do ponto de funcionamento da máquina, sabendo-se a corrente de campo fI à
velocidade nominal.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 69
0
100
200
300
400
500
600
700
0
0.1
0.12
0.19
0.23 0.3
0.36
0.41
0.51
0.61 0.7
0.81
0.91
1.01
1.14 1.2
1.3
1.39 1.5
1.59
1.75
Corrente de campo If(A)
Rea
ctân
cia
Sinc
rona
Xd
(Ohm
s)
d f( )X f I=
0d
cc
EX
I=
Fig. 6.3 – Característica da reactância síncrona @ 1500 rpm
Tal como descrito em 5.1.3. o gráfico da figura 5.4 foi obtido experimentalmente recorrendo ao método volt-amperimétrico.
O dados que possibilitaram a construção do gráfico podem ser consultados no Anexo I.
Fig. 6.4 – Característica da resistência da armadura pelo método Volt- Amperimétrico
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Corrente na resistência da ArmaduraIa (A)
Tens
ão n
a re
sist
ênci
a da
Am
adur
aU
a (V
) a 70r = Ω
aa
a
Ur
I=
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 70
6.3 - Ensaio em Curto-Circuito Simétrico Entre as Três Fases
Dep
foram trfiguras s
-4,5-4,0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5
0505
0
0,0,1,1,
Ia (A
) ( )a Ai
J.L.F. – Máq
Fig. 6.5 – Imagem do écran do osciloscópio gravada no instante em que foi feito o curto-circuito simétrico trifásico e adquirido pelos seus 4 canais.
ois do tratamento dos dados gerados pelo osciloscópio em formato *.TXT estes ansformados em curvas através do programa Excel tal como pode ser observado nas eguintes,
44 88 132
176
220
264
308
352
396
440
484
528
572
616
660
704
748
792
836
880
924
968
Fig. 6.6 - Corrente de curto-circuito trifásico simétrico - Fase A
t (ms)(ms) t
uina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 71
Fig. 6.7 - Corrente de curto-circuito trifásico simétrico - Fase B
-2,5-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,52,02,53,0
0 44 88 132
176
220
264
308
352
396
440
484
528
572
616
660
704
748
792
836
880
924
968
Ib (A
)( )b Ai
t (ms)(ms) t
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0 44 88 132
176
220
264
308
352
396
440
484
528
572
616
660
704
748
792
836
880
924
968
t (ms)
Ic (A
)
( )c Ai
(ms) t
Fig. 6.8 - Corrente de curto-circuito trifásico simétrico - Fase C
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 72
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
6.3.1 – Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito
Uma vez obtidos os gráficos pelo ensaio da máquina em Laboratório, através deles é possível extrair as variáveis necessárias para proceder à simulação gráfica. Assim tendo como base os gráficos da figura 6.6 até à 6.9, obtidos directamente pelo ensaio em curto-circuito, mediante uma análise gráfica detalhada é possível determinar outras variáveis fundamentais.
Fazendo uma redução no período temporal dos gráficos das figuras supra mencionadas, de 200ms para 100ms, para melhor enquadrar toda a oscilação imediatamente após o curto circuito, obtêm-se consequentemente as figuras 6.10, 6.11 e 6.12.
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0 16 32 48 64 80 96 112
128
144
160
176
192
t (ms)
Ia (A
)
Fig. 6-10 - Envolvente da curva de curto-circuito trifásico simétrico - Fase A
-0,2
0
2
4
6
0,8
0
2
4
6
1,8
0 60 121
182
244
305
366
425
486
547
609
670
731
790
851
912
974
1,
1,
1,
1,
0,
If (A
) ( )f Ai
0,
0,
0,
t (ms)(ms) tFig. 6.9 - Corrente de excitação de campo durante o curto-circuito trifásico simétrico
( )a Ai
(ms) t
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 73
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0 16 32 48 64 80 96 112
128
144
160
176
192
t (ms)
Ib (A
)
Fig. 6-11 - Envolvente da curva de curto-circuito simétrico - Fase B
( )b Ai
(ms) t
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0 16 32 48 64 80 96 112
128
144
160
176
192
t (ms)
Ic (A
)
Fig. 6-12 - Envolvente da curva de curto-circuito simétrico - Fase C
( )c Ai
(ms) t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 74
Os contorno da envolvente destas figuras serve de base para a determinação do valor médio do comportamento da envolvente subtransitória e transitória juntas, como se pode observar nas figuras 6.13 e 6.14.
3,68
0,74
1,10
0,1
0
10,0
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
1,
t (ms)
I ''d
+I'd
(A) '
d 1.1I Ae=
'd 1.8I A=
''d 3.68I A=
d 0.74I A=
'd
12
T
'd 45msT =
(ms) tFig. 6-13 - Curva envolvente subtransitória e transitória
3,68
0,0
0,1
1,0
10,0
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
I'' (A
)
''d 1,36 A
Ie=
''d 4,5 msT =
t (ms)(ms) tFig. 6-14 - Curva envolvente subtransitória
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 75
A figura 6.15 representa as componentes contínuas de cada corrente de fase, fazendo uma tangente a cada curva, obtém-se uma intersecção das três rectas na origem. O ponto obtido é a constante de tempo da armadura.
-4
-3
-2
0
1
24 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
I (A
)
-1
a=40msT
aDC
bDC
cDC
,, (A)
III
0
t (ms)(ms) tFig. 6.15 - Componentes contínuas das três fases
A partir destes oscilogramas representados nas figuras 6.13, 6.14 e 6.15 obtém-se os
valores das constantes de tempo da máquina , e e as correntes ''dT '
dT aT ''dI e '
dI .
Com base nas características da máquina mencionadas pelo seu fabricante na “Chapa de Características” juntamente com as variáveis até aqui obtidas por ensaio esta máquina é caracterizada pela seguinte tabela. - Potência aparente fornecida pelo Alternador 800 VAS = - Tensão nominal na saída do Alternador n q 220 VU U= =
- Corrente nominal do Alternador n = 1,5 AI
- Velocidade Síncrona do Alternador 1500 r.p.m.N = - Frequência da rede f = 50 Hz - Corrente subtransitória do eixo directo ''
d 3,68 AI =
- Corrente transitória do eixo directo 'd 1,8 AI =
- Corrente síncrona do eixo directo d 0,74 AI =
- Constante de tempo transitória 'd 40 msT =
- Constante de tempo subtransitória ''d 4,5 msT =
- Constante de tempo da armadura a 40 msT =
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 76
Para se poder fazer a simulação das correntes de curto-circuito vão ser calculados os
valores das reactâncias ''dX , '
dX e dX .
Tendo por base os valores nominais da tensão e corrente nominais, consequentemente a reactância nominal é,
nn n
n
220= = 147 1,5
UX XI
= Ω
Pelo gráfico da figura 6.4, é possível obter a resistência da armadura,
a 70 Ωr =
Tendo por base as curvas da figura 6.2 é possível obter graficamente pela intersecção da
curva de tensão em vazio com a curva da corrente em curto circuito as seguintes variáveis fundamentais, para o cálculo da reactância síncrona do eixo directo. Tensão nominal em vazio 0 220 VE =
Corrente de curto-circuito d 0,74AIcc I= =
Corrente de campo f 0,73 AI =
Assim com base na equação (6.2) e substituindo as variáveis acima mencionadas, obtém-
se,
0d
cc
220 = = 297 Ω1,5
EX
I=
Reactância síncrona d 297 ΩX =
Este resultado pode confirmar-se com a curva característica da reactância síncrona
representada na figura 6.3. Com base nas variáveis determinadas graficamente pelo curto-circuito trifásico simétrico
é possível obter as reactâncias subtransitória e transitória da seguinte forma,
''d ''
d
q =60 ΩUXI
=
Reactância subtransitória ''d 60 ΩX =
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 77
q'd '
d122 Ω
UX
I= =
Reactância transitória '
d 122 ΩX =
Convertendo para unidades “pu” (por unidade) para que a máquina em estudo seja mais
facilmente comparada com outras similares que existem.
( )
( )
( )
dd pu n
'' dd pu n
'''' dd pu n
297 2 pu147
122 0,83 pu147
60 0,41 pu147
XX
X
XX
X
XX
X
= = =
= = =
= = =
Substituindo as constantes acima achadas nas equações (5.36), (5.37) e (5.38) das
correntes de curto-circuito já deduzidas no capítulo anterior, obtém-se os andamentos temporais para cada fase,
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 78
6.3.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito
Simulação da corrente de curto-circuito na Fase A
Usando a seguinte equação,
( )
( ) ( )
' ''q q q q qd da ' '' 'd dd d d
q qa am n
( ) cos
cos cos 2
t t
T T
t tT T
U U U U Ui t e e t
X XX X X
U Ue e t
X X
− −
− −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥
= + − + − ω + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞⎜ ⎟− λ + ω + λ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
−
(5.36)
Resulta o gráfico da figura 6.16,
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1600
400
200
0
200
t (s)
Ia (A
)
( )a Ai
(s)tFig. 6.16 - Corrente de curto-circuito trifásico na fase A simulada.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 79
Simulação da corrente de curto-circuito na Fase B
Usando a seguinte equação,
' ''q q q q qd db ' '' 'd dd d d
q qa am n
2( ) cos3
2 2cos cos 23 3
t t
T T
t tT T
U U U U Ui t e e t
X XX X X
U Ue e t
X X
− −
− −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞= + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦⎛ ⎞
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
−
(5.37)
Resulta o gráfico da figura 6.17,
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1400
200
0
200
400
t (s)
Ib (A
)
( s )t
( )b Ai
Fig. 6-17 - Corrente de curto-circuito trifásico na fase B simulada.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 80
Simulação da corrente de curto-circuito na Fase C
Usando a seguinte equação,
' ''q q q q qd dc ' '' 'd dd d d
q qa am n
4( ) cos3
4 4cos cos 23 3
t t
T T
t tT T
U U U U Ui t e e t
X XX X X
U Ue e t
X X
− −
− −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞= + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦⎛ ⎞
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
−
(5.38)
Resulta o gráfico da figura 6.18,
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1200
0
200
400
600
Ic (A
)
Currente de Curto-Circuito Simétrico na Fase C
( )c Ai
Fig. 6.18 - Corrente de curto-circuito trifásico na fase C simulada.
t (s)(s)t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 81
Simulação da Corrente de Campo,
Usando a seguinte equação,
( )' ' ''d d kd kdd d af f0 f0 ' '' ''
d d d( ) 1 cos
t t tT T TX X T T
i t i i e e e tX T T
− − −⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
(5.46)
Resulta o gráfico da figura 6.19
Fig. 6.19 - Corrente de excitação de campo durante o curto-circuito simulada
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
0
2
4
6
If (A
)
( )f Ai
t (s)(s)t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 82
Simulação das Componentes Contínuas
Usando as seguintes equações,
( ) ( )
( )
( )
q aam
q abm
q acm
cos
2cos3
4cos3
tT
DC
tT
DC
tT
DC
UI t e
X
UI t e
X
UI t e
X
−
−
−
= λ
π⎛ ⎞= λ⎜ ⎟⎝ ⎠
π⎛ ⎞= λ⎜ ⎟⎝ ⎠
−
−
Resulta o gráfico da figura 6.20
t (s)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2400
200
0
200
400
I (A)
cI DC
bI DC
aI DC
t (s)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2400
200
0
200
400
I (A)
cI DC
bI DC
aI DC
aDC
bDC
cDC
,, (A)
III
(s)t
Fig. 6.20 – Componentes contínuas das correntes de curto-circuito
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 83
Simulação da Segunda Harmónica de cada fase, Fase A
( ) ( )q aa2Hn
Ui t =- cos 2
tTe t
X
−⎛ ⎞⎜ ⎟ω +λ⎜ ⎟⎝ ⎠
Fase B
( ) q ab2Hn
U 2i t =- cos 23
tTe t
X
−⎛ ⎞π⎛ ⎞⎜ ⎟ω +λ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Fase C
( ) q ac2Hn
U 4i t =- cos 23
tTe t
X
−⎛ ⎞π⎛ ⎞⎜ ⎟ω + λ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
0 0.05 0.1 0.15 0.2100
50
0
50
100
0 0.05 0.1 0.15 0.2100
50
0
50
100
t1
0 0.05 0.1 0.15 0.2100
50
0
50
100
Pode-se observar que as segundas harmónicas das três fases são sub-amortecidas,
evidenciando uma sobrelevação no instante inicial, quando se dá o curto-circuito e depois tende para zero até à sua extinção, coincidindo com a entrada da máquina em regime permanente. A corrente de excitação do campo no ensaio representada na figura 6.9 e de forma simulada na figura 6.19, à semelhança das correntes nas fases, sofre também uma sobrelevação no instante inicial no período subtransitório e transitório, mas sempre sobre a sua componente contínua, a qual tenderá a manter-se no regime nominal.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 84 6.4 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Duas Fases
Este é o primeiro tipo de curto-circuito assimétrico a ser analisado, o segundo é entre duas fases e o terceiro é entre duas fases e o neutro. Este paralelismo apenas difere na existência de impedâncias da máquina e qualquer outra impedância entre o neutro e a terra.
As fases que foram curto-circuitadas foram a C e a B, ficando a fase A em vazio.
Fig. 5.2 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase
A
B C
NEstator
RotorfI
ci
bi
c bi i= −
a 0i =A
B C
NEstator
RotorfI
ci
bi
c bi i= −
a 0i =
Os gráficos das figuras que se seguem foram obtidos da mesma forma que os do ensaio anterior, aqui apenas vão ser abordados as duas fases que contribuíram para o curto circuito, a fase A ficou em vazio como se pode observar na figura 5.2. Fig. 6.21 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase – Fase B
-4,5
-4,0
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 20 40 60 80 100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
360
380
400
420
440
460
480
500
520
540
560
580
600
Ia (A
) ( ) ( )b f-f
Ai
300
320
340
t (ms)(ms) t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 85
Fig. 6.22 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase – Fase C
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
0 20 40 60 80 100
120
140
160
180
200
220
240
260
340
360
380
400
420
440
460
480
500
520
540
560
580
600
Ic (A
) ( ) ( )c f-f
Ai
280
300
320
t (ms)(ms) t
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
t (ms)
If (A
)
Fig. 6.23 – Corrente de campo durante curto-circuito assimétrico fase-fase (ms) t
Fig. 6.24 - Envolvente da curva de curto-circuito da fase B
-8,0
-7,0
-6,0
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 120
128
136
144
152
160
168
176
184
192
20096 104
112
t (ms)
Ia (A
)
(ms) t
( ) ( )b f-f
Ai
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 86 6.4.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito
Através dos gráficos anteriores obtém-se as variáveis necessárias para proceder à simulação gráfica. Assim tendo como base os gráficos das figuras 6.21 e 6.22 obtidos directamente pelo ensaio em curto-circuito, mediante uma análise gráfica detalhada é possível determinar outras variáveis fundamentais.
Fazendo uma redução no período temporal dos gráficos das figuras das envolventes, de 200ms para 100ms, para melhor enquadrar toda a oscilação imediatamente após o curto circuito, obtêm-se assim as figuras 6.23 e 6.24.
Os contorno da envolvente das figuras 6.24 e 6.25 serve de base para a determinação do valor médio do comportamento da envolvente subtransitória e transitória juntas, como se pode observar nas figuras 6.26 e 6.27.
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 4
112
120
128
136
144
152
160
168
176
184
192
200
Ic (A
)
10
t (ms)
Fig. 6.25 - Envolvente da curva de curto-circuito da fase C
3,01
0
1
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
10
I''d+
I'd (A
)
( )''d f-f
3,01 AI =
( )'d f-f
1,8 AI =
( )'d f-f 1,1 A
I
e=
( )'d f-f
12
T
( )'
d f-f48 msT =
(ms) t
( ) ( )c f-f
Ai
Fig. 6.26 - Envolvente Subtransitória e Transitória
t (ms)(ms) t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 87
0,0
0,1
1,0
10,0
0 4 8 12 16
( )''d f-f
1,1 AI
e=
( )''d f-f
2,5 msT =
)I''
(A
t (ms)
(ms) tFig. 6.27 – Envolvente Subtransitória
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
t (ms)
I''d+
I'd (A
)
( )f-fa =58 msT
(ms) t Fig. 6.28 – Componentes continuas das duas fases
Através das figuras 6.26, 6.27 e 6.28 obtém-se os valores das constantes de tempo da
máquina , e e as correntes e , importantes para a
simulação matemática. ( )
''d f-f
T ( )'d f-f
T ( )a f-fT ( )
''d f-f
I ( )'d f-f
I
- Corrente subtransitória do eixo directo (fase-fase)
( )''d f-f
3,01 AI =
- Corrente transitória do eixo directo (fase-fase) ( )
'd f-f
1,1 AI =
- Constante de tempo transitória (fase-fase) ( )
'd f-f
48 msT =
- Constante de tempo subtransitória (fase-fase) ( )
''d f-f
2,5 msT =
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 88 - Constante de tempo da armadura (fase-fase)
( )a f-f58 msT =
Para se poder fazer a simulação das correntes de curto-circuito vão ser calculados os
valores das reactâncias e . ( )''d f-f
X ( )'d f-f
X
O cálculo da reactância subtransitória entre fases tem por base os valores em cima determinados,
( )( )
''d ''f-f
d f-f
q = 73,1 ΩUXI
= ( )''d f-f
= 73,1 ΩX
Da mesma forma a reactância transitória entre fases fica,
( )( )
q'd 'f-f
d f-f
200 ΩU
XI
= = ( )'d f-f
200 ΩX =
Convertendo para unidades “pu” (por unidade) para que a máquina em estudo seja mais
facilmente comparada com outras similares que existem.
( )
( )( )
( )( )
dd pu n
'd f-f'
d pu n
''d f-f''
d pu n
297 2 pu147
200 1,36 pu147
59,78 0,50 pu147
XX
X
XX
X
XX
X
= = =
= = =
= = =
Substituindo as constantes acima achadas nas equações (5.55), (5.56), (5.57) e (5.58) das
correntes de curto-circuito já deduzidas no capítulo anterior, obtém-se os andamentos temporais para cada fase.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 89 6.4.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito Simulação da corrente de curto-circuito entre fases da Fase B Usando a seguinte equação,
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
'd f-f
b q 'f-f d 2 d 2d 2f-f
''d f-f
'' 'd 2 d 2f-f f-f
aq f-f
0 12
1 1 1( ) 3
1 1
3 sen( ) 1sen (2 1) cos(2 )2
t
T
t
T
tTn n
n n
i t U eX X X XX X
eX X X X
Ub n t b n t e
X
−
−
−∞ ∞
= =
⎡⎢ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟= + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎣
⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ×⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
λ ⎛ ⎞× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.55)
Resulta o gráfico da figura 6.29
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1600
400
200
0
200
ibff
(A)( ) ( )b f-f
Ai
t (s)(s)t Fig. 6.29 – Simulação do curto-circuito fase-fase – Fase B
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 90 Simulação da corrente de curto-circuito entre fase da Fase C Usando a seguinte equação,
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
'd f-f
c q 'f-f d 2 d 2d 2f-f
''d f-f
'' 'd 2 d 2f-f f-f
aq f-f
0 12
1 1 1( ) 3
1 1
3 sen( ) 1sen (2 1)( t) cos(2 t)2
t
T
t
T
tTn n
n n
i t U eX X X XX X
eX X X X
Ub n b n e
X
−
−
−∞ ∞
= =
⎡⎢ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟= − + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎣
⎛ ⎞⎜ ⎟+ − ×⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
λ ⎛ ⎞× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.56)
Resulta o gráfico da figura 6.30
Fig. 6.30 – Simulação do curto-circuito fase-fase – Fase C
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1200
0
200
400
600
t (s)
icff
(A)( ) ( )c f-f
Ai
(s)t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 91 Simulação da corrente de campo Usando a seguinte equação,
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )' 'd d ''d af-f f-f f-fkd kddf f0 f0 ' '' ''f-f
d d df-f f-f f-f
( ) 1 cos
t ttT T
TX X T T
i t i i e e e tX T T
− −−⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.57) Resulta o gráfico da figura 6.31
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
0
2
4
iFff
(A)
( ) ( )f f-fAi
t (s)(s)t
Fig. 6.31 – Simulação do curto-circuito fase-fase – Corrente de campo
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 92
Num curto-circuito simétrico constatam-se que as correntes, são praticamente sinosoidais, tendo apenas a sobreposição de um termo de 2ª harmónica praticamente desprezável,
porque '' ''d qX X≈ . Isto é válido porque as equações de ai , bi , e foram deduzidas
considerando que há ausência de saturação na máquina. ci
Desprezado o termo da 2ª harmónica visto ser pequeno, podem ser observadas as correntes de curto circuito admitindo saturação do circuito magnético. Contudo a saturação do circuito magnético implica uma corrente de 3ª harmónica. Porém, se o curto circuito simétrico se dá sem neutro a componente de 3ª harmónica não tem caminho por onde se fechar e portanto as correntes não são sinosoidais. As figuras seguintes ilustram as componentes de 2ª e 3ª harmónicas,
0 8 16 24 320
1.25
2.5
Espectro
Am
plitu
de
Fig. 6.33 - Espectro da 1ª e 2ª harmónicas
Fundamental
2ª Harmónica
0 1 2 3 4 5 61
0.5
0
0.5
1
Angulo (rad)
Cor
rent
e (A
)
Resultante
2ª Harmónica
Fundamental
Fig. 6.32 – Comportamento das correntes de 1ª, 2ª harmónicas e resultante
0 1 2 3 4 5 61
0.5
0
0.5
1
Angulo (rad)
Cor
rent
e (A
)
Corrente de 3 Harmónica
Fundamental
3ª Harmónica
Resultante
0 8 16 24 320
0.5
1
1.5
2
2.5
Espectro
Am
plitu
de
3ª Harmónica
Fundamental
Fig. 6.34 – Comportamento das correntes de 1ª, 3ª harmónicas e resultante Fig. 6.35 – Espectro de 1ª e 3ª harmónicas
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 93 6.5 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Fase e Neutro
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ni
c 0i =
b 0i =
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ni
c 0i =
b 0i =
Fig. 6.36 - Esquema do curto-circuito entre Fase - Neutro
Os gráficos das figuras que se seguem foram obtidos da mesma forma que os do ensaio
anterior, aqui apenas vai ser abordado a fase A e o neutro que contribuíram para o curto circuito, a fase B e C ficaram em vazio como se pode observar na figura 6.36.
-2
-1
0
3
4
5
0 32 64 96 128
160
192
224
256
288
320
352
384
416
448
480
512
544
576
608
640
672
704
736
768
800
832
864
896
928
960
992
t (ms)(ms) t
1
2
Ia (A
) ( ) ( )a f-n
Ai
Fig. 6.37 – Corrente de curto-circuito entre fase e neutro – Fase Ia
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 94
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
-4
-2
0
2
6
8
10
12
0 32 64 96 128
160
192
224
256
288
320
352
384
416
448 0 2 4
576
608
640
672
704
736
768
800
832
864
896
928
960
992
If (A
)
4
48 51 54
t (ms)
Fig. 6.38 - Corrente de curto-circuito entre fase e neutro – Corrente de campo If
Fig. 6.40 - Curva envolvente subtransitória e transitória
0.1
1.0
10.0
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 112
120
128
136
144
152
160
168
176
184
192
200
104
''d(f-n) 75 AI = 2,
'd(f-n) 1,8 AI =
'd(f-n) 1,1 A
I
e=
( )'
d f-n1 144 ms2
T =
( )'
d f-n72 msT =
t (ms)
I''d+I'd
Fig. 6.39 - Envolvente da corrente de curto-circuito entre fase e neutro – Fase Ia
-3
-2
-1
0
3
4
5
6
7
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 4
112
120
128
136
144
152
160
168
176
184
192
200
)Ia
(A
1
2
96 10
t (ms)
(ms) t
(ms) t
(ms) t
( ) ( )a f-n
Ai
( ) ( )f f-n
Ai
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 95
Através das figuras 6.40, 6.41 e 6.42 obtém-se os valores das constantes de tempo da
máquina , e e as correntes e , importantes para a
simulação matemática. ( )
''d f-n
T ( )'
d f-nT ( )a f-n
T ( )''d f-n
I ( )'d f-n
I
Fig. 6.41 – Curva envolvente subtransitória
0,1
1
10
0 4 8 12 16 20 24 28 32
( )''d f-n
T 9 ms=
( )''d f-nI
1.01 Ae
=
t (ms)
''d(f-n) 2,75 AI =
I''d (A)
Fig. 6.42 – Componente continua da fase A
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
I (A)
t (ms)
( )a f-nT 27 ms=
(ms) t
- Corrente subtransitória do eixo directo (fase-neutro)
( )''d f-n
2,75 AI =
- Corrente transitória do eixo directo (fase-neutro) ( )
'd f-n
1,8 AI =
- Constante de tempo transitória (fase-neutro) ( )
'd f-n
72 msT =
- Constante de tempo subtransitória (fase-neutro) ( )
''d f-n
9 msT =
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 96 - Constante de tempo da armadura (fase-neutro)
( )a f-n27 msT =
Para se poder fazer a simulação das correntes de curto-circuito vão ser calculados os
valores das reactâncias e . ( )''d f-n
X ( )'d f-n
X
O cálculo da reactância subtransitória entre fases tem por base os valores em cima determinados,
( )( )
''d ''f-n
d f-n
q = 80 ΩUXI
= ( )''d f-n
= 80 ΩX
Da mesma forma a reactância transitória entre fases fica,
( )( )
q'd 'f-n
d f-n
122,2 ΩU
XI
= = ( )'d f-n
122,2 ΩX =
Convertendo para unidades “pu” (por unidade) para que a máquina em estudo seja mais
facilmente comparada com outras similares que existem.
( )
( )( )
( )( )
dd pu n
'd f-n'
d pu n
''d f-n''
d pu n
297 2 pu147
200 0,83 pu147
59,78 0,55 pu147
XX
X
XX
X
XX
X
= = =
= = =
= = =
Substituindo as constantes acima achadas nas equações (5.59) e (5.60) das correntes de
curto-circuito já deduzidas no capítulo anterior, obtém-se os andamentos temporais para cada fase.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 97 6.5.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito Simulação da corrente de curto-circuito fase-neutro - Fase A Usando a seguinte equação,
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
''d f-n
a q '' 'f-nd 2 0 d 2 0f-n f-n
'd f-n
'd 2 0 d 2 0 d 2 0f-n
aq0 0
00 1
1 1( ) 3
1 1 1
3 cos( ) 1cos (2 1) t cos(2 t)1 222
t
T
t
T
tTn n
n n
i t U eX X X X X X
eX X X X X X X X X
Ub n b n e
X X
−
−
−∞ ∞
= =
⎡⎛ ⎞⎢⎜ ⎟⎢= −⎜ ⎟⎢ + + + +⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎢⎣
⎛ ⎞ ⎤⎜ ⎟+ − + ×⎥⎜ ⎟+ + + + + + ⎥⎜ ⎟ ⎦⎝ ⎠
⎛ ⎞λ ⎜ ⎟× − − ω − + − ω⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∑ ∑ ( )
+
f-n
(5.59)
Resulta o gráfico o gráfico da figura 6.41
Fig. 6.41 – Simulação da corrente de curto-circuito entre fase e neutro
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5t (s)(s)t
400
200
0
400
600
800
200
IFN
(A)( )f-n
A( )ai
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 98
Simulação do curto-circuito fase-neutro - Corrente de Campo
Usando a seguinte equação,
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )' 'd d ''d af-n f-n f-nkd kddf f0 f0 ' '' ''f-n
d d df-n f-n f-n
( ) 1 cos
t ttT T
TX X T T
i t i i e e e tX T T
− −−⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦
(5.60) Resulta o gráfico o gráfico da figura 6.42
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
1
0
1
2
3
4
t (s)
iFfn
(A)
( ) ( )f f-nAi
(s)t
Fig. 6.42 – Simulação do curto-circuito fase-neutro– Corrente de campo
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 99
Análise dos Oscilogramas das correntes de curto-circuito assimétrico fase-neutro e fase-fase.
Considerando um curto-circuito entre uma só fase e o neutro, a corrente de curto-circuito resultante é constituída por componentes do regime subtransitório, transitório e permanente podendo representar-se da seguinte forma,
( ) ( ) ( )'' '
cc d d d .f-n f-n f-npermI I I I= + +
Estas componentes ao atravessarem a fase A do estator vão produzir uma f.m.m. oscilatória. Esta f.m.m. oscilatória de frequência ω pode ser decomposta em duas f.m.m.s girantes que rodam com a velocidade angular ω em sentidos contrários. A
roda com a velocidade angular 1(f.m..m.) +ω
no sentido do rotor (síncrono com ele) e a
no sentido (com uma
velocidade 22(f.m..m.) −ω
ω relativa ao rotor). A
, rodando síncrona com o rotor
induz no enrolamento de campo apenas uma componente contínua, visto que a amplitude
da decai no tempo e
.
1(f.m..m.)
1(f.m..m.) ( )''d f-n
T
( )'d f-n
T
A , rodando com uma
velocidade de 22(f.m..m.)
ω em relação ao rotor, induz no enrolamento de campo componentes alternadas de frequência 2f (2ª harmónica).
Estas componentes alternadas de 2f do rotor, produzem por sua vez uma f.m.m. pulsante de frequência 2f, que se podem decompor em duas f.e.m.s girantes, de
A
B C
N
icc
Curto - CircuitoFase - Neutro
Estator
Rotor
+ω −ω
'1(f.m.m.)
'2(f.m.m.)
-2f
+2f
fi
2ff.m.m. pulsante⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ω
Velocidade angular do rotor
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
fΦ
2(f.m.m.)
1(f.m.m.)
ω(f.m.m. pulsante)
A
B C
N
icc
Curto - CircuitoFase - Neutro
Estator
Rotor
+ω −ω
'1(f.m.m.)
'2(f.m.m.)
-2f
+2f
fi
2ff.m.m. pulsante⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ω
Velocidade angular do rotor
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
f
2(f.m.m.)
1(f.m.m.)
ω(f.m.m. pulsante)
Φ
Fig. 6.43 – Esquema da máquina durante o curto circuito Fase-Fase
velocidade angular 2 relativas ao rotor, em sentidos contrários assinalados na figura por
e .
ω'1(f.m..m.) '
2(f.m..m.)
A girando com a frequência 2f no sentido de rotação do rotor vai por sua vez
induzir no estator uma corrente de frequência 2 ou seja a 3ª harmónica.
'1(f.m..m.)
f + f = 3f
A girando com a frequência -2f em sentido contrário à rotação do rotor irá por
sua vez induzir no estator uma corrente de frequência , isto é, com o valor absoluto da fundamental.
'2(f.m..m.)
-2f + f = -f
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 100 Conclusão:
No curto-circuito assimétrico fase-neutro, mesmo com o circuito magnético linear, obtêm-se correntes de 2ª harmónica no rotor e de 3ª harmónica no estator,
Porém, o processo repete-se. A corrente de 3ª harmónica do estator, por sua vez, induz uma corrente de 4ª harmónica no rotor e esta reflecte-se no estator com uma corrente de 5ª harmónica e assim sucessivamente.
De modo geral pode-se dizer que no curto-circuito fase-neutro resultam uma série de harmónicas pares no rotor e uma série de harmónicas ímpares no estator. Porém, esta série é rapidamente convergente e na prática pode considerar-se apenas as harmónicas de 2ª e 3ª como as mais importantes, podendo-se considerar as outras harmónicas de ordem superior desprezáveis.
No caso do curto-circuito entre fases, mantém-se toda a sequência acima descrita porque as f.m.m.s. pulsantes em cada fase em curto-circuito estão em fase, como se pode
A
B C
N
Curto - CircuitoFase - Fase
Estator
Rotor
icc
+ω −ω
'1(f.m.m.)
'2(f.m.m.)
-2f
+2f
fi
2ff.m.m. pulsante⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ω
Velocidade angular do rotor
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
fΦ
2(f.m.m.)1(f.m.m.)
ω(f.m.m. pulsante)
A
B C
N
Curto - CircuitoFase - Fase
Estator
Rotor
icc
+ω −ω
'1(f.m.m.)
'2(f.m.m.)
-2f
+2f
fi
2ff.m.m. pulsante⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ω
Velocidade angular do rotor
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
fΦ
2(f.m.m.)1(f.m.m.)
ω(f.m.m. pulsante)
J.L.F. –
Fig. 6.44 – Esquema da máquina durante o curto circuito Fase-Fase
observar na figura 6.44.
Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 101 Ensaio em curto-circuito entre duas fase e neutro Análise dos Oscilogramas das correntes de curto-circuito .
Fig. 5.59 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase - Fase-Neutro
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ni
bi
b 0i =
A
B C
NEstator
RotorfI
ai
ni
bi
b 0i =
-4,5
-4,0
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
0 36 72 108
144
180
216
252
288
324
360
396
432
468
504
540
576
612
648
684
720
756
792
828
864
900
936
972
t (ms)
Iac
(A)
( ) ( )an f-f-nAi
Fig. 6.45 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Fase A e C (ms) t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 102
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 36 72 108
144
180
216
252
288
324
360
396
432
468
504
540
576
612
648
684
720
756
792
828
864
900
936
972
IN (A
)( ) ( )cn f-f-nAi
t (ms)(ms) tFig. 6.46 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Fase C e Neutro
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 40 80 120
160
200
240
280
320
360
400
440 0 0
560
600
640
680
720
760
800
840
880
920
960
IF (A
)
( ) ( )f f-f-nAi
48 52
t (ms)Fig. 6.47 – Corrente de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Corrente de Excitação
-5,5
-4,5
-3,5
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
Iac
(A)( ) ( )an f-f-n
Ai
48 52
t (ms)
Fig. 6.48 – Envolvente da curva de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Fase A C (ms) t
(ms) t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 103
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
-12,0-11,0-10,0-9,0-8,0-7,0-6,0-5,0-4,0-3,0-2,0-1,00,01,02,03,04,0
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 10048 52 56
t (ms)
IN (A
)
Fig. 6.49 – Envolvente da curva de curto-circuito assimétrico fase-fase-neutro – Fase C e Neutro
0,1
1,0
10,0
0 4 8 12 16
t (ms)
I''(A)
( )''d f-f-n
1,93 AI
e=
( )''
d f-f-n4 msT =
Fig. 6.51 – Envolvente subtransitória
Fig. 6.50 – Envolvente subtransitoria e transitória
0,1
1,0
10,0
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
t (ms)
I''d+I
'd (A
)
( )'d f-f-n
1,7 AI
e=
( )
''d f-f-n
5,25 AI =
( )'
d f-f-n12
T
( )'
d f-f-n 8 msT =
( )
'd f-f-n
2,8 AI =
( ) ( )cn f-f-nAi
(ms) t
(ms) t
(ms) t
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 104
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Através das figuras 6.40, 6.51 e 6.52 obtém-se os valores das constantes de tempo da
máquina , e e as correntes e , importantes para a
simulação matemática. ( )
''d f-f-n
T ( )'d f-f-n
T (a f-f-nT ) )( )
''d f-f-n
I ('d f-f-n
I
- Corrente subtransitória do eixo directo (fase-fase-neutro)
( )''d f-f-n
5,25 AI =
- Corrente transitória do eixo directo (fase-fase-neutro) ( )
'd f-f-n
2,8 AI =
- Constante de tempo transitória (fase-fase-neutro) ( )
'd f-f-n
8 msT =
- Constante de tempo subtransitória (fase-fase-neutro) ( )
''d f-f-n
4 msT =
- Constante de tempo da armadura (fase-fase-neutro) ( )a f-f-n
18 msT =
Para se poder fazer a simulação das correntes de curto-circuito vão ser calculados os
valores das reactâncias e . ( )''d f-f-n
X ( )'d f-f-n
X
O cálculo da reactância subtransitória entre fases tem por base os valores em cima determinados,
( )( )
''d ''f-f-n
d f-f-n
q = 59,78 ΩUXI
= ( )''d f-f-n
= 59,78 ΩX
Fig. 6.52 – Componentes contínuas das fases A C e neutro
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
( )a f-f-n18 msT =
I (A)
t (ms)(ms) t
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 105 Da mesma forma a reactância transitória entre fases fica,
( )( )
q'd 'f-f-n
d f-f-n
78,6 ΩU
XI
= = ( )'d f-f-n
78,6 ΩX =
Convertendo para unidades “pu” (por unidade) para que a máquina em estudo seja mais
facilmente comparada com outras similares que existem.
( )
( )( )
( )( )
dd pu n
'd f-f-n'
d pu n
''d f-f-n''
d pu n
297 2 pu147
200 0,54 pu147
59,78 0,41 pu147
XX
X
XX
X
XX
X
= = =
= = =
= = =
Substituindo as constantes acima achadas nas equações (5.62), (5.63) e (5.65 ) das
correntes de curto-circuito já deduzidas no capítulo anterior, obtém-se os andamentos temporais para cada fase,
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 106
Usando a seguinte equação,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
q '' ''an q q 0f-f-n f-f-n f-f-n
'' ' '' ''d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
'' '' '' ''d q 0 d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
( ) 3 cos t 3 2 sen t
3 cos t cos 2 t2
3 4 sen2
Ui t X X X C
D
X X X X A
X X X X X
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ω − − ω −λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛+ + + λ − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝
( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω −λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦ ⎭
(5.62) Resulta o gráfico da figura 6.53
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1800
600
400
200
0
t (s)
IAN
(A)
( ) ( )an f-f-nAi
(s)tFig. 6.53 - Simulação da corrente de curto-circuito fase-fase-neutro - Fase A e Neutro
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 107
Usando a seguinte equação,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
q '' ''cn q q 0f-f-n f-f-n f-f-n
'' '' '' ''d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
'' '' '' ''d q 0 d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
( ) 3 cos t 3 2 sen t
3 cos t cos 2 t2
3 4 sen2
Ui t X X X C
D
X X X X A
X X X X X
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ω − − ω −λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛+ + + λ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
( )sen 2 t B ⎫⎡ ⎤⎞ ω −λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎭
(5.63) Resulta o gráfico da figura 6.54
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1800
600
400
200
0
t (s)
ICN
(A)
Fig. 6.54 - Simulação da corrente de curto-circuito fase-fase-neutro - Fase C e Neutro
( ) ( )cn f-f-nAi
(s)t
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 108
Para a corrente de excitação,
Usando a seguinte equação,
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )' 'd d ''d af-f-n f-f-n f-f-nkd kddf f0 f0 ' '' ''f-f-n
d d df-f-n f-f-n f-f-n
( ) 1 cos
t ttT T
TX X T T
i t i i e e eX T T
− −−
t
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.65)
Resulta o gráfico da figura 6.55
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2
0
2
6
8
10
IF (A
) 4
t (s) Fig. 6.55 - Simulação do curto-circuito fase-fase-neutro – Corrente de campo
(s)t
( )f-n ( )f f-Ai
As simulações realizadas neste capítulo permitem ter a percepção dos picos de corrente a que o estator estaria sujeito caso se tratasse de um curto-circuito real em qualquer uma das três possibilidades aqui estudadas. Assim, com base neste estudo pode-se iniciar todo o dimensionamento das protecções de toda a carga a jusante, sejam disjuntores ou fusíveis.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico 109
Comportamento Dinâmico Capítulo 7
7.1 - Comportamento do Binário durante o Curto-Circuito
As máquinas síncronas quando sujeitas a um curto–circuito, ficam sujeitas a esforços dinâmicos importantes, originando o aparecimento de um binário perigoso, podendo danificar o equipamento.
No decorrer do normal funcionamento da máquina existe uma igualdade entre a velocidade mecânica do rotor e a velocidade de campo do estator.
Quando surge uma instabilidade motivada por um curto-circuito, esta relação é perturbada, consequentemente a velocidade instantânea desce ligeiramente tal como a ângulo de carga, aqui surge um binário. Para recuperar a velocidade síncrona, vão surgir oscilações em torno da posição final, que tendem a anularem-se à medida que os enrolamentos amortecedores dissipam as f.e.m. nele induzidas e tal como se pode observar na figura. 7.1.
Estas oscilações do binário tendem a extinguirem-se à medida que a máquina entra no regime permanente.
Através da equação fundamental (5.50) do comportamento do binário e substituindo as
constantes da máquina obtidas no ensaio de curto-circuito simétrico franco no Capitulo 6 nesta equação, obtém-se o gráfico da figura 7.1.
( )
( )
' 'T T2 a dq ' ' '' 'dd d d d
2q a
'' ''d q
1 1 1 1 1( ) sen
1 1sen 24
t ttT
tT
T t U e t e eXX X X X
Ue t
X X
− −−
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥
= ω + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞⎜ ⎟+ ω −⎜ ⎟⎝ ⎠
'd +
(5.50)
.
Fig. 7.1 – Comportamento do B
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51 .105
5 .104
0
5 .104
1 .105
1.5 .105
t (s)
T (N
)
(s)t
T (N
.m)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório
inário durante o curto-circuito.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
2006
Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico 110
7.1.1 – Determinação dos Parâmetros Mecânicos
A modelação mecânica da máquina síncrona completa-se com a determinação do valor numérico dos seus parâmetros, estes podem ser obtidos por cálculo e por ensaio. No primeiro caso é necessário saber o comportamento dos órgãos, dimensões, condições de funcionamento que raramente se dispõe. No segundo caso por ensaio, podem-se obter os parâmetros de forma mais realista.
7.1.2 – Cálculo do Momento de Inércia do rotor
Considere-se uma massa elementar dm situada à distância r de um ponto 0, como indica figura 7.2 .
dm
0
r
Fig. 7.2 – Momento de inércia de uma massa
Denomina-se momento de inércia da massa dm colocada à distância r do centro de
rotação 0 tem, por definição, um momento polar de inércia infinitesimal dado pela relação 2dJ r dm= Considere-se que o rotor tem um diâmetro e um comprimento axial e uma massa
específica uniforme O momento de inércia de um anel de espessura elementar dr e comprimento axial l à distância r do centro de rotação tem o volume elementar
oD l.γ
2dV rdrl= π e a massa elementar dVdm γ= .
oD
dr r
oR
γ
l
ω
γ
Fig. 7.3 - Rotor Fig. 7.4 - Vista em corte do rotor
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico 111
De acordo com as figuras 7.3 e 7.4, por definição o momento polar do anel elementar vale,
2 2 32 2dJ r dm r r dr r dr= = γ π λ = γ πλ (7.1)
assim o momento polar de inércia do rotor será,
040 0 3
00 0 0
12 24 2
RR R rJ dJ r dr⎡ ⎤
= = γ πλ =γ πλ = γπλ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 4R
R
(7.2)
Sabendo-se que a massa do rotor vale 20m = γπλ , substituindo em (7.2) vem,
2
20 02 2 g
R RJ m m mR⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠ (7.3)
onde o raio de giração 000,707
2gR
R R= = representa a distância ao centro de uma coroa
infinitesimal . Em termos práticos, na literatura e manuais técnicos, é normal explicitar o momento de
inércia J em termos de peso do rotor P mg= e do diâmetro de giração 2g gD R= , podendo
finalmente representar-se por,
214 gJ P
g= D com (7.4) 29,8 m/sg =
O peso do rotor pode ainda ser representa por 20
4D
Pπ
g= γ λ diâmetro de giração por
02g
DD = .
O momento polar de inércia depende do raio do rotor à 4ª potência e é apenas
directamente proporcional ao seu comprimento axial. Nas máquinas com o mesmo volume
prismático 20prismV D= λ , que é equivalente a ter o mesmo binário o momento de
inércia é,
20T kD= λ
20
132 prismJ V D= γπ ( ) (7.5) 2.Kg m
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico 112
O momento de inércia da equação (7.5), varia com o quadrado do diâmetro. Daí que os turboalternadores tenham um momento polar de inércia menor do que o dos hidroalternadores para as mesmas condições. Pode-se observar a figura 1.5 e 1.6 que expõe em detalhe as diferenças físicas entre ambos os tipos de máquinas síncronas. 7.1.3 – Métodos para Determinar o Momento de Inércia
Após desenvolvimento das equações do momento de inércia, é possível estudar o
comportamento dinâmico da máquina síncrona depois de ser desligada até que o seu movimento fique completamente extinto.
Existem três processos para determinar a curva de desaceleração da velocidade de andamento da máquina tendo como base o prévio cálculo do momento de inércia. Por ordem crescente de fiabilidade existem os seguintes métodos:
• Método analítico
Basta substituir os valores de catálogo de 2gPD directamente na equação (7.4) e
imediatamente se obtém o momento de inércia J. • Método do Pêndulo Este método é mais preciso que o anterior porque é baseado na simulação real do
movimento pendular através da extracção do rotor do interior da máquina. Uma vez o rotor extraído, o seu veio vai ser colocado sobre duas barras que se pretendem
com o mínimo de atrito, para não perturbar o movimento pendular que lhe vai ser imposto. O movimento pendular vai ser conseguido com auxílio de um peso colocado a uma distância de preferência ao centro de massa do rotor, seguidamente anima-se o sistema.
O momento de inércia que vai ser obtido depende do tempo que o sistema demora a parar, que se deve à relação das diferenças entre as massas do rotor e do peso.
• Método da medição do Atrito Este método é mais prático porque leva à obtenção de resultados práticos de forma
directa, através da simulação de desaceleração do rotor. Esta simulação é feita com a máquina na sua aplicação normal, consiste em desligar o accionamento mecânico quando esta se encontra na velocidade síncrona e registar todos os pontos de velocidade até que pare em zero.
Todos estes pontos reunidos permitem a obtenção da curva de desaceleração. Assumindo que a máquina síncrona está animada com uma velocidade síncrona e
subitamente lhe é desligado o acoplamento mecânico, que a acciona, este fenómeno é definido pela seguinte equação,
rf
dJ Tdtω
= − (7.6)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico 113
r
mg
θ
λ
γ
ω
Pêndulo
r
mg
θ
λ
γ
ω
Pêndulo
Fig. 7.5 – Medição do momento de inércia pelo Método do Pêndulo
Na equação 7.6, é o binário de fricção devido à existência de fricção nas escovas, rolamentos e bobinagem.
fT
Assumindo que as condições de atrito viscoso são dados pela seguinte equação,
rf
bb
KT K
rω
= (7.7)
Obtém-se assim a equação da velocidade angular do rotor,
emr m
t
e−τω = ω (7.8)
a qual mostra a desaceleração do rotor sobre condição de atrito viscoso apresentando um andamento exponencial decrescente.
Desde que o momento de inércia seja J seja conhecido, o binário de fricção para uma dada velocidade deverá ser avaliado a partir da curva de desaceleração como se pode observar na Fig. 7.6.
fT
0 1 2 3 40
500
1000
1500
5t(s)
N (r
pm)
Fig. 7.6 – Curva de desaceleração do rotor
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 8 – Conclusões Finais 114
Conclusões Finais Capítulo 8
O presente trabalho é uma ferramenta muito importante para poder prever as correntes
que as máquinas síncronas de pólos salientes podem atingir quando sujeitas a um brusco curto-circuito. Para o efeito, foram identificados os ensaios que são considerados mais críticos para a integridade física da máquina e equipamento envolvente.
Para conhecer a presente máquina foi necessário fazer vários ensaios, a fim de conhecer as suas características fundamentais tais como curva da f.e.m. em vazio, curva da corrente de armadura em curto-circuito, reactâncias e constantes de tempo, deduzidas a partir das curvas das correntes de curto-circuito obtidas em ensaio com correntes de tensões reduzidas, comparativamente com os valores nominais definidos pelo fabricante da máquina.
As constantes de tempo e reactâncias determinadas pertencem aos três períodos temporais onde se enquadra um curto-circuito típico, que são o subtransitório, transitório e nominal. Com o conhecimento destas constantes, foi possível simular graficamente o andamento temporal das correntes de curto-circuito que a máquina irá desenvolver quando for sujeita a um brusco curto-circuito em regime nominal.
Estas curvas simuladas irão ajudar no dimensionamento das protecções do circuito a jusante, visto poderem ser confrontadas com as curvas das protecções e assim será possível escolher a protecção mais adequada. De salientar que o valor eficaz da corrente subtransitória alcançada durante os dois primeiros ciclos, serve como base para o cálculo da corrente de regulação da interrupção do disjuntor a seleccionar para proteger a carga aplicada à máquina.
Os ensaios desenvolvidos, possibilitaram o confronto entre a teoria da máquina síncrona e os respectivos resultados experimentais, que se revelaram estar em quase absoluta sintonia, evidenciada graficamente.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 8 – Conclusões Finais 115
Trabalho Futuro Capítulo 9
Toda a vasta Teoria exposta sobre esta matéria exige a avaliação comportamental da
máquina num exaustivo conjunto de situações diferenciadas ao nível de simulações, que este trabalho procurou de forma modesta abordar através da selecção criteriosa das consideradas críticas para análise do fenómeno.
No entanto, a investigação desenvolvida, os resultados obtidos e a actualidade da temática no contexto da segurança dos sistemas de produção de energia, onde se insere a máquina estudada, estimulam a um aprofundamento de alguns assuntos, nomeadamente o comportamento do binário da máquina durante o curto-circuito.
A continuidade deste trabalho está assim, desde já assegurada pela motivação para a “descoberta” de soluções que protejam os grandes centros produtores de energia de ameaças ao seu funcionamento e que são passíveis de desenvolvimento no campo experimental e teórico.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Capítulo 8 – Conclusões Finais 116
Bibliografia Capítulo10
[1] Bernard Adkins M.A.. “ The General Theory of Electrical Machines”. Chapman an Hall, 1964, ISBN 412 07840 6/87 [2] Charles Concordia “Synchronous Machines Theory and Performance”. General Electric Company, 1951. Chapter 4, 5 , 6, 7. [3] Chee – Mun Ong, “Dynamic Simulation of Electric Machinery, using MatLab /Simulink”. Prentince Hall, ISBN 0-13-723785-5. Chapter 7 –Synchonous Machines [4] Syed A. Nasar, “Máquinas Eléctricas” . Schaum McGraw-Hill, CEP 04533 . Capítulo 6 – Máquinas Síncronas. [5] A.E. Fitzgerald, “Máquinas Eléctricas”. McGraw –Hill, Capítulo 10 – Máquinas de C.A., Transitórios e Dinâmica [6] Siemens, “Manual de Engenharia Eléctrica” Livraria Nobel S.A. - Nº0536, Capítulo 8 – Corrente de Curto-Circuito em sistemas trifásicos. [7] A. Leão Rodrigues, “Conversão Electromecância de Energia – Máquina Síncrona” Universiade Nova de Lisboa, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Departamento de Engenharia Electrotécnica. [8] Stephen J. Chapman, “ Electric Machinery Fundamentals” McGraw-Hill - Synchronous Motors [9] A. J. Ellison, “Electromechanical Energy Conversion” Engineering Science Monographs – George G. Harrap & Co. LTD, 1965 ISBN 245 55845 - Chapter 7 [10] J. Chatelain, “Machines Électriques” Dunod – 1983 ISBN 2-04-015620-8 – Chapitre 7 [11] Catálogos da ABB - AMG Synchronous Generators for Power Plants [12] Catálogos da Siemens [13] Catálogos da General Electric
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Anexos
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Anexos 118
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Resultados Experimentais Anexo I
Circuito Aberto@1500 r.p.m E0(V) 0 5 12 43 55 91 12
0
137
168
196
219
233
250
260
267
270
280
279
289
289
293
Curto-Circuito@1500 r.p.m Icc(A) 0
0,01
0,02
0,10
0,17
0,25
0,33
0,38
0,52
0,65
0,74
0,86
1,00
1,12
1,26
1,40
1,43
1,65
1,71
1,91
2,05
Reactância síncrona do eixo directo
Xd(Oh)
590,
00
472,
38
577,
35
430,
00
323,
53
362,
58
362,
16
360,
08
323,
09
302,
00
295,
70
270,
55
249,
99
232,
49
211,
70
193,
00
195,
81
169,
01
168,
82
151,
14
142,
79
Corente de excitação de campo
If(A) 0
0,10
0,12
0,19
0,23
0,30
0,36
0,41
0,51
0,61
0,70
0,81
0,91
1,01
1,14
1,20
1,30
1,39
1,50
1,59
1,75
0 (V)E
cc (A)I
f (A)I
( )dX Ω
m Circuit@1500 r.p.m
0 5 15 20 32 43 55 69 80 91 99 109
120
129
137
148
152
162
168
178
179
185
190
196
203
208
219
221
225
228
231
233
238
242
246
250
Corrente de Curto-Circuito@1500 r.p.m
0
0,01
0,02
0,10
0,17
0,25
0,33
0,38
0,52
0,65
0,74
0,86
1,00
xciação decampo
0
0,10
0,12
0,14
0,16
0,19
0,23
0,25
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,39
0,41
0,44
0,46
0,48
0,51
0,53
0,55
0,57
0,59
0,61
0,65
0,67
0,70
0,72
0,74
0,77
0,79
0,81
0,83
0,87
0,89
0,91
Te
ensão de saida o Aberto
Corente de e
0 (V)E
cc (A)I
f (A)I
• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.2.
• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.3.
saída
Corrente de excitação de campo
Corrente excitação de campo
Anexos 119
• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.4.
Tensão da Armadura
Ua(V) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
Corrente da Armadura
Ia(A) 0
0,02
0,05
0,08
0,11
0,14
0,17
0,20
0,23
0,26
0,30
0,32
0,35
0,39
0,45
0,52
0,60
0,67
0,75
0,82
0,90
0,98
1,00
1,10
Resistência da Armadura
ra(o)90
,91
76,9
2
75,0
0
72,7
3
71,4
3
70,5
9
70,0
0
69,5
7
69,2
3
66,6
7
68,7
5
68,5
7
66,6
7
66,6
7
67,3
1
66,6
7
67,1
6
66,6
7
67,0
7
66,6
7
66,3
3
70,0
0
68,1
8
a (A)I
a (A)U
( )ar Ω
Periodo
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
Média 3,68
2,95
2,57
2,28
2,08
1,90
1,76
1,62
1,54
1,49
1,42
1,36
1,33
1,30
1,26
1,23
1,22
1,20
1,18
1,16
1,15
1,13
1,12
1,10
1,08
1,06
( ) mst
'' 'd d (A)I I+
• Resultados que serviram de base à construção dos gráficos das figuras 6.13 e 6.14.
Período
Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
-3,7
5
-2,9
0
-2,1
0
-1,7
0
-1,3
0
-1,1
0
-0,8
5
-0,6
0
-0,6
3
-0,6
6
-0,6
9
-0,7
2
-0,7
5
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
-0,8
0
1,00
0,70
0,60
0,40
0,40
0,30
0,40
0,30
0,25
0,20
0,15
0,15
0,12
0,11
0,08
0,05
0,02
-0,0
1
-0,0
4
-0,1
2
-0,1
0
-0,1
3
-0,1
6
-0,1
7
-0,1
9
-0,2
0
0,80
0,90
1,10
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,85
0,85
0,75
0,70
0,65
0,60
0,56
0,53
0,50
0,47
0,44
0,41
0,38
0,35
0,32
0,26
0,20
0,15
Componentes continuas
aDC (A)I
bDC (A)I
cDC (A)I
( )mst
• Resultados que serviram de base à construção do gráfico das figura 6.15
Período
Componentes Contínuas
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Anexos 120
Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
Média 3,50
2,26
2,09
1,95
1,85
1,83
1,78
1,75
1,65
1,61
1,58
1,55
1,53
1,51
1,49
1,47
1,45
1,43
1,41
1,39
1,37
1,35
1,33
1,32
1,31
1,30
( ) mst
( ) ( )'' 'd f-f d f-f (A)I I+
• Resultados que serviram de base à construção dos gráficos das figuras 6.26 e 6.27.
Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
3,50
2,15
2,13
2,00
2,00
1,90
1,90
1,90
1,75
1,68
1,66
1,62
1,60
1,58
1,56
1,54
1,52
1,50
1,48
1,46
1,44
1,42
1,40
1,38
1,36
1,34
-3,5
0
-2,3
8
-2,0
5
-1,9
0
-1,7
0
-1,7
5
-1,6
5
-1,6
0
-1,5
5
-1,5
5
-1,5
0
-1,4
8
-1,4
6
-1,4
4
-1,4
2
-1,4
0
-1,3
8
-1,3
6
-1,3
4
-1,3
2
-1,3
0
-1,2
8
-1,2
6
-1,2
5
-1,2
3
-1,2
1
Componentes continuas
( )mst
( )aDC f-f (A)I
( )cDC f-f (A)I
• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.28
Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
Média 2,75
2,39
2,15
2,03
1,85
1,75
1,70
1,63
1,55
1,53
1,50
1,50
1,48
1,45
1,45
1,42
1,40
1,38
1,35
1,36
1,33
1,33
1,29
1,29
1,25
1,25
( ) mst
( ) ( )'' 'd f-n d f-n (A)I I+
• Resultados que serviram de base à construção do gráfico das figuras 6.40 e 6.41
Período
Período
Perí
Componentes Contínuas
odo
Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
Componente Continua 2,
000
1,50
0
1,30
0
1,20
0
1,00
0
0,80
0
0,60
0
0,50
0
0,30
0
0,20
0
0,15
5
0,14
6
0,13
7
0,12
8
0,11
9
0,11
0
0,10
1
0,09
2
0,08
3
0,07
4
0,06
5
0,05
6
0,04
7
0,03
8
0,02
9
0,02
0
( )mst
( )aDC f-n (A)I
• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.42
Período
Componente Contínua
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Anexos 121
Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
Média 5,25
2,83
1,93
1,78
1,78
1,72
0,60
0,59
0,57
0,56
0,54
0,54
0,52
0,51
0,49
0,48
0,46
0,45
0,43
0,42
0,40
0,39
0,37
0,36
0,34
0,33
( ) ( )'' 'd f-f-n d f-f-n (A)I I+
( )mst
• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.50 e 6.51
Período
Periodo 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
3,02
1,86
1,39
1,10
0,93
0,64
0,66
0,46
0,51
0,40
0,25
0,29
0,33
0,25
0,33
0,33
-7,0
0
-5,5
0
-5,0
0
-3,6
0
-2,9
6
-2,3
1
-1,8
7
-1,6
7
-1,2
6
-1,0
2
-0,7
8
-0,6
3
-0,5
8
-0,5
2
-0,6
4
-0,7
0
Componentes continuas
( )mst
( )aDC f-f-n (A)I
( )cDC f-f-n (A)I
• Resultados que serviram de base à construção do gráfico da figura 6.52
Período
Componentes Contínuas
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Anexos 122
Instrumentação de Medida Anexo II
Pinça amperimétrica usada na medida das correntes de curto-circuito.
Exemplo da forma como as correntes de curto-circuito foram obtidas.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Anexos 123
Osciloscópio digital de 4 canais usado na medida das correntes de curto-circuito. Especificações
• Largura de Banda 300 MHz • Taxa de amostragem acima de 5 GS/s • 4 canais • Cinescópio de fósforo colorido VGA • Disquete de interface para e disco duro para armazenamento de dados e configurações • 21 tipos de medidas automáticas • Porta paralelo tipo Centronics • 9-Bit de resolução vertical • Suporta configuração para várias línguas • Menu de utilização rápido • Trigger avançado nos 4 canais • Transformadas rápidas de Fourier (FFT) para análise de frequência e de harmónicas • Módulo de saída de video • Suporta pontas activas, pontas diferenciais e pontas de corrente que possiblitam escala
automática.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Anexos 124 Fotografias da Bancada de Ensaios Anexo III
Bancada de ensaios com a máquina de Corrente contínua de accionamento à esquerda e a máquina síncrona trifásica à direita e comutador ao centro.
Grande plano da máquina de corrente contínua de accionamento
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Anexos 125
Grande plano da máquina síncrona trifásica
Painel de controlo, protecções, regulação das correntes de excitação das máquinas, correntes e tensões de armadura.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Anexos 126
Taquímetro estroboscópico manual, que possibilitou fazer todos os testes à velocidade nominal de forma estável.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Curto-Circuito Simétrico Anexo IV
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1600
400
200
0
200Ia
(A)
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1400
200
0
200
400
Ib (A
)
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1200
0
200
400
600
Ic (A
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
0
2
4
6
t (s)
If (A
)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase Anexo V
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1200
0
200
400
600
icff
(A)
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1600
400
200
0
200
ibff
(A)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12
0
2
4
t (s)
iFff
(A)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Curto-Circuito Assimétrico Fase-Neutro Anexo VI
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1400
200
0
200
400
600
800
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11
0
1
2
3
4
t (s)
iFfn
(A)
IAfn
(A)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006
Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase-Neutro Anexo VII
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2
0
2
4
6
8
10
t (s)
IF (A
)
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1800
600
400
200
0
ICN
(A)
0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1800
600
400
200
0
ICN
(A)
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006