1Cours n°2
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Alexandrina ROGOZAN
UV Traitement du signal
Cours n° 2 : Transformée de Four ier Discrète
− TF des signaux discrets vers TF discrète
− TF discrète d’un signal périodique, d’un signal limité
− TF discrète et convolution circulaire
− Précision et résolution de la TF discrète
− Effets de fenêtrage sur la resolution de la TF discrète
− Mise en oeuvre de la TFD par la transformée de Fourier rapide
2Cours n°2
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TF de signaux discrets vers TF discrète
� Objectif : Calculer la TF d’un signal discret à l’aide d’un calculateur
� Difficulté :
⇒Le calcul de la TF nécessite une infinité de points N de mesure.
⇒Le calculateur ne peut calculer le contenu fréquentiel du signal discret qu’ en un nombre fini L de points fréquentiels, or f varie continûment.
� Solution : Transformée de Fourier Discrète
� Question : Quel est l’ impact sur la précision et la resolution de l’observation spectrale d’un nombre fini N de points de mesure et d’un nombre fini L de points de calcul ?
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TF discrète d’un signal périodique
� Signal discret périodique :
�Calcul de la TF d’un signal discret périodique sur un nb. fini N de points de mesure
et sur un nb. fini L de points fréquentiels suite à une discretisation de la fréquence : f=k/L avec k=0,...,L−1
�X f � �
n � 0
N � 1 �x n e� 2j � n f
�x n � �x n � N , � n �
�x n
�X k � �
n � 0
N � 1 �x n e
� 2j � nkL avec k=0,...,L−1
4Cours n°2
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TF discrète d’un signal périodique� Définition :
� Propriétés :
Suite périodique de période N −> Suite périodique X(k) de même période
Puisque TFD bijective, la Trans. de Fourier Discrète Inverse existe :
�X k � �
n � 0
N � 1 �x n W L
nk avec W L � e� 2j�L
�x n
TFD
�x n � 1
L
�k � 0
L � 1 �X k e
2j � nkL � 1
L
�k � 0
L � 1 �X k W L
� nk
et k=0,...,L−1
TFD−1
TFD
et n=0,...,N−1
et k=0,...,L−1
Avec n=0,...,N−1
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TF discrète d’un signal périodique
� Définition :
� Propriétés :
⇒ Séparabilité :
⇒ Périodicité :
⇒ Evaluation par la TZ :
�X k � �
n � 0
N � 1 �x n W L
nk avec W L � e� 2j�L
W Ll � k � W L
l W Lk
W Ll � kL � W L
l
�X k � X z z � e
2j � kL
et k=0,...,L−1
et n=0,...,N−1
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TF discrète d’un signal limité
� Soit un signal discret limité :
⇒
� Calcul de la TF discrète d’un signal discret limité sur un nb. fini N de points de mesure et sur un nb. fini L de points fréquentiels :
x n � � 0,n 0,..., N � 1
0,sinon
x n � �x n U n � U n � N � �x n , n 0,..., N � 1
x n
X k � �n � 0
N � 1
x n e� 2j � n
kL � �
n � 0
N � 1
x n W Lnk avec W L � e
� 2j�L
et k=0,...,L−1et n=0,...,N−1
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TF discrète� Propriétés : Présente les propriétés classiques d’une TF, mais tous les
calculs d’ indices k et n se font modulo L et N
Linéarité
Décalage temporel
Décalage fréquentielou modulation
Conservation de l’ énergie du signal
a x n � b y n � a X k � bY k
x n � n0 modN � X k e� 2j � n
0
kL
x n e2j � n
k0
L � X k � k0 modL
�n � 0
N � 1
x n2 � 1
L
�k � 0
L � 1
X k2
x n � 1
L
�k � 0
L � 1
X k e2j � n
kL � 1
L
�k � 0
L � 1
X k W L� nk
et k=0,...,L−1Avec n=0,...,N−1
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TF discrète et convolution circulaire� Soit x(n) et y(n) des signaux discrets limités constitués de N points, leur
produit de convolution circulaire est un signal à support temporel discrets : { 0,..., N−1}
� Propriétés :
� Exemple : Soit x(n)=1 pour n∈{0, 1, ..., 7}
=> conv. linéaire : x(n)*x(n) = {1, 2, ..., 7, 8, ..., 2, 1} pour n∈{0, 1, ..., 15}
=> conv. circulaire : x(n) x x(n) = 8 pour n∈{ 0, 1, ..., 7}
c n � x n � y n � �k � 0
N � 1
x k y n � k modN–c(n) est un signal discret périodique de période N
x n � y n � X k Y k
x n y n � X k � Y k
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Précision de la TF discrète� Évaluer la précision de mesure de la fréquence d’une seule sinusoide
� Et si x(n) => raies spectrales non−multiple de fe/L ? La TFD d’une
sinusoide pure apparaît sous forme de plusieurs valeurs non nulles, dont la plus importante en module est proche de la vraie fréq. => Si L désigne le nb. de points de calcul de la TFD, la précision en fréquence est f
e/L [Hz].
–↑ la précision dans le domaine spectral :
–− ↓ de fe (↓ de precision en temporel)
–− ↑ du nombre de points fréquentiels L –− rajout d � échantillons nuls, puis interpolation entre échantillons f
|X(f)|
fe/L
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Résolution de la TF discrète� Objectif : Évaluer le pouvoir de séparer 2 fréquences voisines dans un
signal
� Définition : Écart MIN en fréquence qu’il faut mettre entre 2 sinusoïdes d’amplitudes différentes pour observer sur le spectre de leur somme un creux de plus de 3 dB entre les 2 maxima
⇒ Problème : Si x(n) constitué de N points de mesure => apparition de lobes dans le spectre d’une sinusoide, dont le lobe principal a une largeur égale à 2/N.
⇒ Exemple : Soit x(n)= A1cos(2f
1n)+A
2cos(2f
2n) un signal constitué de N points
de mesure
Si |f2−f
1|<1/N => les lobes principaux de chacune seront très proches qu’ il sera
difficile de distinguer avec certitude => la résolution est de l’ordre de fe/N [Hz]
ou autrement est de l’ordre de l’ inverse du temps total d’analyse N Te
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Effets de fenêtrage sur la resolution de la TF discrète
� Convolution de la TF de x(n) avec la TF de wN(n) qui est :
⇒ Ondulations dans le spectre ; Interprétation : La TFD est constituée d’échantillons de la TF à temps discret filtrée à travers un filtre de réponse fréquentielle W
N(f)
X k � �n � 0
N � 1
x n e� 2j � n
kL � �
n � � �� �
x n wN n e� 2j � n
kL
et k=0,...,L−1et n=0,...,N−1
fenêtre rectangulaire de largeur NwN n � 10,..., N � 1 n
W N f � sin N � f
sin � fe� j N � 1 f
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Effets de fenêtrage sur la resolution de la TF discrète
� Objectif : Amélioration de l ! analyse spectrale par pondération des échantillons avant filtrage
� Réalisation : Remplacement de la fenêtre rectangulaire par une fenêtre dont la TF présente des ondulations plus faibles
� Fenêtre de Hamming Fenêtre de Hanning
� En général la résolution en fréquence est d’autant meilleure :
⇒ que le lobe principal est étroit et que les lobes secondaires sont bas => élargissement du lobe principal
wN n " 0,54 # 0,46cos 2 $ n
N,n % 0,...,N # 1
0,sinonwN n & 1
21 ' cos 2 ( n
N,n ) 0,..., N * 1
0,sinon
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Exemples de fenêtres
� Critères de selection :
⇒ rapport A entre les maxima du lobe central et des lobes secondaires de la TFD de fenêtres
⇒ atténuation S des lobes secondaires de la TFD de fenêtres
⇒ largeur L du lobe central
Hanning Hamming Kaiser0.5
|W(f)|
LA
Sf
Rectangle
Hanning
AdB
Hamming
13
32
43
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Transformée de Fourier rapide� Objectif :Trouver un algorithme de calcul efficace de la TFD de { xn} qui s’écrit
Avec Xk ��n � 0
N � 1
xn W Lnk W L � e
� 2j�L
X0
X1
...X L
2 + 1&
1 1 ... 1
1 W2 ... W2
L2 + 1
1 W4 ... W4
L2 + 1
... ... ... ...
1 W2
L2 + 1 ... W
2L2 + 1 L
2 + 1
x0
x2
...x
2L2 + 1
'1 1 ... 1
W W3 ... W L + 1W2 W6 ... W2 L + 1... ... ... ...
WL2 + 1 W
3L2 + 1 ... W
L2 + 1 L + 1
x1
x3
...xL + 1
X0
X1
...X L
2 + 1& T L
2
x0
x2
...x
2L2 + 1
'1 0 ... 00 W ... 00 0 ... 0... ... ... ...
0 0 ... WL2 + 1
T L2
x1
x3
...xL + 1
X0,...,
L
2 , 1 - T L
2
x pair . DT L
2
ximpai r
X L
2,..., L , 1 - T L
2
x pair / DT L
2
ximpai r
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Transformée de Fourier rapide
� Si N=2m, on peut réitérer ce processus et le calcul de la TFD d’ordre
N se ramène au calculs de TFD d’ordre N/2, N/4, 0 , 2 => m itérations
� Chaque itération nécessite N/2 multiplications complexes et N additions Soit la complexité globale devient :
Multiplications et Additions
Contre N2 Multiplications et Additions pour la TFD
X0,...,
L
2 , 1 - T L
2
x pair . DT L
2
ximpai r
X L
2,..., L , 1 - T L
2
x pair / DT L
2
ximpai r
N
2log2 N N log2 N
–Le calcul d’une TFD d’ordre N necesite le calcul de 2 TFD d’ordre N/2 + N/2
Multiplications + N Additions