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Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação Programa de Pós-Graduação em Educação - Mestrado
Vagner Viana da Graça
O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU POR
ATIVIDADES
Belém 2011
Vagner Viana da Graça
O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU POR ATIVIDADES
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação. Linha: Formação de Professores Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá
Belém 2011
Dados Internacionais de Catalogação na publicação
Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA
Graça, Vagner Viana da O ensino de problemas do 1º grau por atividades. /Vagner Viana da Graça.
Belém, 2011.
Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém,
2011.
Orientação de: Pedro França de Sá
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Solução de problemas. 3. Matemática
(Primeiro Grau). I. Sá, Pedro França de, Orient. . II. Título.
CDD: 21 ed. 510.7
Vagner Viana da Graça
O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU POR ATIVIDADES
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação. Linha: Formação de Professores Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá
Data de aprovação: 27/08/2011 Banca Examinadora:
_______________________________________ - Orientador Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia
_______________________________________ - Membro Externo Josinalva Estacio Menezes Doutora em Educação Universidade de Brasília
_______________________________________ - Membro Interno Maria do Perpetuo Socorro Cardoso da Silva Doutora em Lingüística Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia
_______________________________________ - Examinador Suplente Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia
DEDICATÓRIA
Dedico aos meus pais, Edna e Haylton, aos meus irmãos, Victor e Vanessa,
e a minha namorada, Mônica Suelen, assim como a todos que acreditaram e me
deram apoio nesse importante passo de minha vida.
Vagner Viana da Graça
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, por me fortalecer e guiar por este caminho
de conquista e superação.
Aos meus amados pais, Edna e Haylton, que me motivaram e auxiliaram nos
momentos de dificuldades e desânimo, consentindo assim, essa conquista.
Aos meus irmãos e parentes que incentivaram e contribuíram de alguma
forma para a realização deste trabalho compartilhando suas experiências e ajudando
sempre que solicitados.
A minha namorada, Mônica Suelen, por sua compreensão, na minha
ausência, seu incentivo incondicional e seu amor que me encorajou nesta conquista.
A Universidade do Estado do Pará (UEPA) pela oportunidade.
Ao Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA pela oportunidade.
Ao Professor Pedro Franco de Sá pela oportunidade, ensinamentos, atenção
e por ser além de professor um amigo, dando-me conselhos e mostrando seu
exemplo de vida.
A Professora Josinalva Estacio Menezes pelas contribuições dadas e pela
extrema competência na avaliação deste trabalho.
A Professora Maria do Perpetuo Socorro Cardoso da Silva pelas
contribuições dadas e pela extrema competência na avaliação deste trabalho.
A Professora Fábio José da Costa Alves pelas contribuições dadas e pela
extrema competência na avaliação deste trabalho.
Aos alunos do 7º ano, sem os quais este trabalho não seria possível.
Aos funcionários Jorge Farias Figueiredo, Francisco Pinheiro Pereira e
Elizete Veras pelos auxílios administrativos.
Aos professores do curso de Mestrado, pelas contribuições e por terem me
possibilitado ampliar meus conhecimentos.
Vagner Viana da Graça
”O”O”O”O que mais me revolta nas que mais me revolta nas que mais me revolta nas que mais me revolta nas
matemáticas são as suas matemáticas são as suas matemáticas são as suas matemáticas são as suas
aplicações práticas”aplicações práticas”aplicações práticas”aplicações práticas”
Mário QuintanaMário QuintanaMário QuintanaMário Quintana
RESUMO
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades. 2011. 228 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011. Este trabalho apresenta os resultados de estudo que teve como objetivo geral investigar os efeitos de um conjunto de atividades sobre o desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do ensino fundamental. A metodologia adotada foi a engenharia didática. A análise previa foi composta por: levantamento de estudos sobre resolução de problemas do 1º grau; pesquisa de campo sobre o processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo professores de matemática e uma pesquisa de campo sobre o processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo discentes do 8º ano do ensino fundamental. Na etapa de concepção e análise a priori apresentamos um conjunto de atividades para o ensino de problemas do 1º grau com a respectiva análise. Durante a experimentação desenvolvemos uma sequência didática que foi aplicada a 36 alunos do 7º ano do ensino fundamental de uma escola pública na cidade de Belém do Pará. A sequência didática aplicada contém nove atividades, sendo divididas igualmente em 3 grupos: atividades para o ensino de tradução; atividades de problemas do 1º grau com uma incógnita; e, atividades de problemas envolvendo sistemas do 1º grau. Antes e depois de cada grupo de atividades realizamos diagnósticos. As análises dos testes apontaram resultados relevantes e mostraram que os alunos tiveram um aumento no percentual de acertos em resolução de problemas do 1º grau, dessa forma, concluímos que a sequência didática aplicada favoreceu o aprendizado da resolução dos problemas do 1º grau. Palavras-chave: Educação. Educação Matemática. Ensino de Problemas do 1º grau.
ABSTRACT
GRAÇA, V. V. The teaching of problems 1st grade for activities. 2011. 228 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011. This paper presents the results of a study that aimed to investigate the general effects of a set of activities on the performance in solving problems of a high school in the 7th grade of elementary school. The methodology adopted was the didactic engineering. The analysis provided is comprised of: a survey of studies on solving problems of a degree, field research on the process of teaching and learning of problem solving in the 1st degree to teachers of mathematics and a field research on the teaching learning troubleshooting of a second degree students 8th grade of elementary school. In the stage of design and a priori analysis we present a set of activities for teaching a degree of problems with their analysis. During the trial developed an instructional sequence that was applied to 36 students in the 7th grade of elementary education at a public school in the city of Belém do Pará The sequence contains nine applied teaching activities, being equally divided into 3 groups: activities for teaching translation; activities of the problems with an unknown degree, and activities of problems involving systems of one degree. Before and after each group of activities performed diagnostics. Analysis of the tests showed significant results and showed that the students had an increase in the percentage of correct answers in troubleshooting of a degree, therefore, conclude that the instructional sequence applied learning favored the resolution of the problems of a degree. Keywords: Education. Mathematics Education. Teaching of Problems 1st grade.
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Média de acertos nos testes de tradução em linguagem
matemática
136
Gráfico 2 - Relação entre a média de acertos nos testes de tradução em
linguagem matemática e o perfil dos alunos do 7º ano
137
Gráfico 3 - Percentual de acerto dos alunos nos testes de tradução em
linguagem matemática
140
Gráfico 4 - Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre
tradução e o desempenho dos alunos no pós-teste do assunto
142
Gráfico 5 - Desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º
grau com uma incógnita
157
Gráfico 6 - Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre
problemas do 1º grau com uma incógnita e o desempenho dos
alunos do 7º ano no pós-teste do assunto
159
Gráfico 7 Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas
do 1º grau com uma incógnita
161
Gráfico 8 - Relação entre a média de acertos nos testes de tradução em
linguagem matemática e o perfil dos alunos do 7º ano
161
Gráfico 9 - Desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas
envolvendo sistemas do 1º grau
176
Gráfico 10 - Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre
problemas envolvendo sistema do 1º grau e o desempenho dos
alunos do 7º ano no pós-teste de assunto
178
Gráfico 11- Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas
envolvendo sistema do 1º grau
180
Gráfico 12 - Média de acertos nos pós-testes 181
Gráfico 13 - Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes 188
Gráfico 14 - Relação entre o percentual de acertos dos alunos do 7º ano no
pós-teste de tradução e o percentual de acertos no pós-teste
geral
192
Gráfico 15- Desempenho dos alunos do 7º ano no pós-teste geral 196
Gráfico 16 - Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes 197
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Síntese da sequência didática de Rocha e Bittar (2010) 35
Quadro 2 - Encontros da experimentação 93
Quadro 3 - Relação entre o gosto pela matemática e o hábito de estudo dos
alunos do 7º ano
96
Quadro 4 - Relação entre o gosto pela matemática e o sexo dos alunos do 7º
ano
96
Quadro 5 - Relação entre o gosto pela matemática e a dificuldade dos alunos
do 7º ano
97
Quadro 6 - Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo, e os
acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste geral
128
Quadro 7- Relação do gosto pela matemática, o hábito de estudo e os acertos
dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução em linguagem
matemática
143
Quadro 8 - Equívocos identificados no pós-testes de tradução em linguagem
matemática
144
Quadro 9 - O hábito de estudo dos alunos do 7º ano que tiveram desempenho
inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução em linguagem
matemática
146
Quadro 10 - Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e
acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste de problemas do 1º grau
com uma incógnita
148
Quadro 11 - Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e os
acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de problemas do 1º grau
com uma incógnita
160
Quadro 12 - Relação entre o hábito de estudo fora do ambiente escola e se
recebiam ajuda nesse estudo dos alunos do 7º ano com baixo
desempenho de acertos no pós-teste de problemas do 1º grau com
uma incógnita
164
Quadro 13 - Tipos de registros feitos pelos alunos do 7º ano identificados nos
testes de problemas do 1º grau com uma incógnita
166
Quadro 14 Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e os
acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste de problemas envolvendo
sistemas do 1º grau
169
Quadro 15 - Relação entre os acertos dos alunos do 7º ano nos testes de
problemas envolvendo sistema do 1º grau, o gostar de matemática
e o hábito de estudo
180
Quadro 16 - Tipos de registros identificados nos testes de problemas de sistema
do 1º grau
182
Quadro 17 - Relação entre o hábito de estudo dos alunos do 7º ano com baixo
desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º
grau e se recebiam ajuda
184
Quadro 18 - Alunos do 7º ano com baixo desempenho nos pós-testes realizado
no experimento
185
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem envolvendo
problemas do 1º grau segundo os professores de matemática
44
Tabela 2 - Como os professores de matemática iniciam o ensino de problemas
do 1º grau
45
Tabela 3 - Como os professores de matemática fixão o ensino de problemas
do 1º grau
46
Tabela 4 - Principal dificuldade no ensino de problemas do 1º grau em relação
ao tempo de serviço do professor matemática
46
Tabela 5 - Relação entre a quantidade de alunos do 8º ano que resolveram os
problemas do 1º grau e as técnicas utilizadas na resolução destes
problemas
48
Tabela 6 - Tipos de registros feitos pelos alunos do 8º ano durante a resolução
dos problemas de 1º grau
51
Tabela 7 - Relação entre o percentual de alunos do 7º ano que resolveram os
problemas do pré-teste geral e as técnicas utilizadas para a
resolução destes problemas
127
Tabela 8 - Percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente os
enunciados do pré-teste de tradução em linguagem matemática
130
Tabela 9 - Comparação entre o percentual de alunos do 7º ano que traduziram
coerentemente o pré-teste e o pós-teste de tradução em linguagem
matemática
135
Tabela 10 - Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de
linguagem matemática
138
Tabela 11 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano no experimento
envolvendo tradução em linguagem matemática e desempenho no
pós-teste do referido assunto
140
Tabela 12 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades
envolvendo tradução em linguagem matemática e o desempenho
no pós-teste de tradução
142
Tabela 13 - Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo, e os
acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução em
linguagem matemática
143
Tabela 14 - Perfil dos alunos que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos
no pós-teste de tradução em linguagem matemática
145
Tabela 15 - Relação entre o gostar de matemática e as dificuldades dos alunos
do 7º ano que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos no
pós-teste de tradução em linguagem matemática
145
Tabela 16 - Percentual de alunos do 7º ano que acertaram cada problema do
pré-teste envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita
147
Tabela 17 - Percentual de alunos do 7º ano que acertaram os problemas dos
testes envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita
154
Tabela 18 - Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de
problemas do 1º grau com uma incógnita
155
Tabela 19 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades
envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o percentual
de acertos no pós-teste destes problemas
157
Tabela 20 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º anos nas atividades
envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o
desempenho no pós-teste de problemas do 1º grau
159
Tabela 21 - Relação entre o gosto pela matemática, as dificuldades em
matemática e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste
de problemas do 1º grau com uma incógnita
160
Tabela 22 - Perfil dos alunos do 7º ano que não tiveram bom desempenho no
pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
162
Tabela 23 - Relação entre o gostar de matemática e o hábito de estudo dos
alunos do 7º ano que tiveram baixo desempenho no pós-teste de
problemas do 1º grau
163
Tabela 24 - Percentual de alunos que acertaram os problemas propostos no
pré-teste envolvendo sistemas do 1º grau
169
Tabela 25 - Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de
problemas envolvendo sistema do 1º grau
174
Tabela 26 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades de
problemas envolvendo sistema do 1º grau e desempenho no pós-
teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau
177
Tabela 27 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades
envolvendo sistemas do 1º grau e o desempenho no pós-teste de
problemas envolvendo sistema do 1º grau
179
Tabela 28 - Relação entre o percentual de acertos dos alunos do 7º ano no pós-
teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau, o gostar de
matemática e as dificuldades em matemática
179
Tabela 29 - Perfil dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-teste de
problemas envolvendo sistemas do 1º grau
183
Tabela 30 - Relação entre o gostar de matemática e as dificuldades em
matemática dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-
teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau
184
Tabela 31 - Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes 186
Tabela 32 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades e
desempenho nos pós-testes
189
Tabela 33 - Relação entre o percentual de alunos que acertaram os problemas
do pós-teste geral e o percentual de alunos que utilizaram as
técnicas para resolução destes problemas
192
Tabela 34 - Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes
gerais
194
Tabela 35 - Relação entre o gostar de matemática, as dificuldades em
matemática e os acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste geral
196
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ----------------------------------------------------------------------------------- 19
1. ANÁLISES PRÉVIAS ----------------------------------------------------------------------- 23
1.1. ESTUDOS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU: PANORAMA E PERSPECTIVAS ------------------------------------------------------- 23
1.1.1. ESTUDOS DIAGNÓSTICOS ------------------------------------------------- 23
1.1.2. ESTUDOS EXPERIMENTAIS ------------------------------------------------ 31
1.1.3. ESTUDOS TEÓRICOS -------------------------------------------------------- 38
1.2. O ENSINO – APRENDIZAGEM DE PROBLEMAS DO 1º GRAU SEGUNDO PROFESSORES DE MATEMÁTICA ---------------------------------- 43 1.3. O ENSINO – APRENDIZAGEM DE PROBLEMAS DO 1º GRAU SEGUNDO ALUNOS ---------------------------------------------------------------------- 48
1.4. SÍNTESE DAS ANÁLISES PRÉVIAS -------------------------------------------- 52
2. CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI ------------------------------------------------- 56
2.1. TESTES GERAIS --------------------------------------------------------------------- 57
2.2. TESTES DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA -------------- 61
2.3. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE TRADUÇÃO DE ENUNCIADOS ESCRITOS EM LÍNGUA OFICIAL BRASILEIRA PARA LINGUAGEM MATEMÁTICA ------------------------------------------------------------------------------- 66
2.3.1. ATIVIDADE 01 ------------------------------------------------------------------- 66
2.3.2. ATIVIDADE 02 ------------------------------------------------------------------- 67
2.3.3. ATIVIDADE 03 ------------------------------------------------------------------- 69
2.4. TESTES DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA ------ 71
2.5. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA --------------------------------------------------------------------------- 73
2.5.1. ATIVIDADE 01 ------------------------------------------------------------------- 73
2.5.2. ATIVIDADE 02 ------------------------------------------------------------------- 78
2.5.3. ATIVIDADE 03 ------------------------------------------------------------------- 79
2.6. TESTES DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU --- 83
2.7. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DO 1º GRAU ----------------------------------------------------------------- 84
2.7.1. ATIVIDADE 01 ------------------------------------------------------------------- 84
2.7.2. ATIVIDADE 02 ------------------------------------------------------------------- 89
2.7.3. ATIVIDADE 03 ------------------------------------------------------------------- 90
3. EXPERIMENTAÇÃO ----------------------------------------------------------------------- 92
3.1. PRIMEIRA SESSÃO ------------------------------------------------------------ 94
3.2. SEGUNDA SESSÃO ------------------------------------------------------------ 97
3.3. TERCEIRA SESSÃO ------------------------------------------------------------ 99
3.4. QUARTA SESSÃO -------------------------------------------------------------- 102
3.5. QUINTA SESSÃO ---------------------------------------------------------------- 104
3.6. SEXTA SESSÃO ----------------------------------------------------------------- 106
3.7. SÉTIMA SESSÃO ---------------------------------------------------------------- 106
3.8. OITAVA SESSÃO ---------------------------------------------------------------- 107
3.9. NONA SESSÃO ------------------------------------------------------------------ 109
3.10. DÉCIMA SESSÃO -------------------------------------------------------------- 110
3.11. DÉCIMA PRIMEIRA SESSÃO ---------------------------------------------- 112
3.12. DÉCIMA SEGUNDA SESSÃO ---------------------------------------------- 113
3.13. DÉCIMA TERCEIRA SESSÃO --------------------------------------------- 113
3.14. DÉCIMA QUARTA SESSÃO ------------------------------------------------ 116
3.15. DÉCIMA QUINTA SESSÃO ------------------------------------------------- 118
3.16. DÉCIMA SEXTA SESSÃO --------------------------------------------------- 124
3.17. DÉCIMA SÉTIMA SESSÃO ------------------------------------------------- 124
4. ANÁLISES A POSTERIORI E VALIDAÇÃO ----------------------------------------- 126
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS --------------------------------------------------------------- 198
REFERÊNCIAS ---------------------------------------------------------------------------------- 201
APÊNDICE A ------------------------------------------------------------------------------------- 206
APÊNDICE B ------------------------------------------------------------------------------------- 209
APÊNDICE C ------------------------------------------------------------------------------------- 211
APÊNDICE D ------------------------------------------------------------------------------------- 219
APÊNDICE E ------------------------------------------------------------------------------------- 227
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 19
INTRODUÇÃO
A nossa formação inicial como professor de matemática ocorreu pela
Universidade do Estado do Pará (UEPA), no curso de licenciatura em matemática, a
escolha por esse curso motivada ainda durante o ensino médio, pois era a disciplina
que tínhamos afinidade. Depois da graduação, cursamos uma especialização em
educação matemática na UEPA onde tivemos a oportunidade de dialogar com
professores de matemática de diferentes modalidades de ensino. Assim tivemos a
oportunidade ampliamos a discussão sobre resolução de problemas em matemática.
A partir dessa formação docente um pensamento, dentre vários, se tornou
mais fecundo, a Matemática pode contribuir à formação do aluno quanto cidadão,
fornecendo meios para progredir no trabalho futuramente irá desempenhar. Na rede
pública do Estado do Pará, como professor efetivo, numa escola localizada no bairro
do Guamá, nossa atividade se direcionou, durante 2 (dois) anos, ao ensino de
matemática para o 7º ano do ensino fundamental. Nesse período uma de nossas
angustias foi o fato de que a maioria dos alunos não conseguia resolver os
problemas que envolviam as equações e os sistemas do 1º grau, os conhecidos
problemas do 1º grau. Mas, reconhecemos que tínhamos dificuldades no ensino
destes problemas, e então passamos a estudar sobre esses problemas no curso de
mestrado em educação.
Então, buscamos no âmbito do programa de pós-graduação em educação
responder a seguinte pergunta: quais os efeitos de um conjunto de atividades
sobre o desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do
ensino fundamental? Por conseguinte nosso objetivo geral foi investigar os
efeitos de um conjunto de atividades sobre o desempenho em resolução de
problemas do 1º grau no 7º ano do ensino fundamental. A metodologia de
pesquisa desenvolvida foi à engenharia didática por acreditarmos ser a metodologia
mais adequada para este tipo de estudo.
A educação matemática é uma área de pesquisa educacional, cujo objeto
de estudo é a compreensão, interpretação e descrição de fenômenos referentes ao
ensino e à aprendizagem da matemática, nos diversos níveis da escolaridade, quer
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 20
seja em dimensão teórica ou prática. Pais (2008) explica que a consolidação dessa
área de pesquisa, é relativamente recente, quando comparada com a história
milenar da matemática, e o seu desenvolvimento recebeu grande impulso, nas
últimas décadas, dando origem a várias tendências teóricas, cada qual valorizando
determinadas temáticas educacionais do ensino da matemática. O pesquisador
ainda informa que entre as várias tendências que compõem a educação matemática,
no Brasil, tem-se a didática da matemática que se caracteriza pela influência
francesa, cujo objeto de estudo é a elaboração de conceitos e teorias que sejam
compatíveis com a especificidade educacional do saber escolar matemático,
procurando manter vínculos com a formação de conceitos matemáticos, tanto em
nível experimental da prática pedagógica, como em nível de pesquisa acadêmica.
Dessa forma, todos os conceitos didáticos se destinam a favorecer à
compreensão das múltiplas conexões entre a teoria e a prática. A partir dessa
compreensão, temos a metodologia de pesquisa a engenharia didática que emergiu
no início dos anos 1980. Segundo Artigue (1996), a engenharia didática é uma forma
de trabalho didático comparável ao trabalho do engenheiro que, para realizar um
projeto, se apóia em conhecimentos científicos da área, e se submete a um controle
do tipo científico, que também trabalha objetos mais complexos que os objetos
depurados pela ciência.
Almouloud (2007) explica que a engenharia didática, vista como
metodologia de pesquisa, é caracterizada, em primeiro lugar, por um esquema
experimental com base em realizações didáticas em sala de aula. Caracteriza-se
também pelo registro em que se situa e pelos modos de validação que se dá pela
comparação entre análise a priori e análise a posteriori. Esse tipo de engenharia
pode ser utilizado em pesquisas que estudam os processos de ensino e
aprendizagem de um dado objeto matemático e, em particular, a elaboração de
gêneses artificiais para um dado conceito. Nessa metodologia de pesquisa se
identifica algumas fases de seu desenvolvimento, na seguinte seqüência: (1º)
análises prévias; (2º) construção das situações-problema e análises a priori; (3º)
aplicação da seqüência didática; e (4º) análise a posteriori e validação.
Conforme Pais (2008), nas análises prévias, o objeto de estudo é
submetido a uma análise preliminar, através da qual se fazem as devidas
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 21
inferências, como: levantar constatações empíricas e destacar concepções da
realidade sobre a qual a experiência será realizada. Para melhor organizar essa
análise, o mesmo autor recomenda proceder a uma descrição das principais
dimensões que definem o fenômeno a ser estudado e que se relacionam com o
sistema de ensino permeado pelas concepções epistemológica, cognitiva,
pedagógica, entre outras.
Com a finalidade de analisar previamente o ensino e aprendizagem de
problemas do 1º grau realizamos um levantamento de estudos sobre resolução de
problemas do 1º grau na educação básica; uma pesquisa de campo sobre o
processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo
professores de matemática e outra pesquisa de campo sobre o processo de ensino
aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo discentes do 8º ano
do ensino fundamental.
A segunda fase da engenharia didática consiste na definição de certo
número de variáveis de comando do sistema de ensino que supostamente
interferem na constituição do fenômeno, essas devem ser articuladas e devidamente
analisadas no transcorrer da seqüência didática. Entendemos por seqüência
didática, certo número de aulas planejadas e analisadas previamente com a
finalidade de observar situações de aprendizagem, envolvendo os conceitos
previstos na pesquisa didática. Ou seja, orientada pelas análises prévias,
apresentamos um conjunto de atividades para o ensino de problemas do 1º grau a
ser desenvolvido no 7º ano do ensino fundamental da educação básica. Cada
atividade desenvolvida para compor a sequência didática necessita ter uma análise
a priori que consistem em determinar quais são as variáveis escolhidas sobre as
quais se torna possível exercer algum tipo de controle, relacionando o conteúdo
estudado com as atividades que os alunos poderiam desenvolver para a apreensão
dos conceitos em questão. A sequência didática aplicada contém 9 (nove)
atividades, sendo divididas igualmente em 3 (três) grupos: atividades para o ensino
de tradução de enunciados escritos em língua oficial brasileira para linguagem
matemática; atividades para o ensino de problemas do 1º grau com uma incógnita;
e, atividades para o ensino de problemas envolvendo sistemas do 1º grau. Antes e
depois de cada grupo de atividades aplicamos testes.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 22
A terceira fase da engenharia didática é uma etapa que garanti a
proximidade dos resultados práticos com a análise teórica. Essa aplicação se
estabelece por aulas denominadas de sessões, tendo em vista o seu caráter
específico para a pesquisa, ou seja, não são aulas comuns no sentido da rotina de
sala de aula. Assim, a sequência didática desenvolvida durante a segunda fase da
engenharia didática de nosso estudo foi aplicada a 36 alunos do 7º ano do ensino
fundamental de uma escola pública localizada na cidade de Belém do Pará.
A última fase de nossa pesquisa consistiu na análise a posteriori e
validação da sequência didática. Essa fase se apoiou sobre todos os dados colhidos
durante a experimentação constante das observações realizadas durante cada
sessão de ensino, bem como das produções dos alunos em classe. Finalmente, foi
da confrontação das análises a priori e a posteriori que validamos as hipóteses
levantadas no inicio da engenharia. As seções de nosso estudo tomam como base
as etapas da engenharia didática descritas acima, por isso na primeira seção
apresentamos as análises prévias; na segunda seção apresentamos a concepção e
a análise a priori; na terceira seção descrevemos a experimentação; na quarta seção
realizamos a análise a posteriori e validação; por último, na quinta seção tecermos
as considerações finais.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 23
1. ANÁLISES PRÉVIAS
Nesta seção nosso objetivo é apresentar os resultados dos estudos
realizados na etapa das analises previas. As analises previas foram compostas por:
levantamento de estudos sobre resolução de problemas do 1º grau; pesquisa de
campo sobre o processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º
grau segundo professores de matemática e uma pesquisa de campo sobre o
processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo
discentes do 8º ano do ensino fundamental.
1.1. ESTUDOS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU: PANORAMA
E PERSPECTIVAS
O levantamento bibliográfico consistiu na revisão de estudos relacionados
ao ensino de problemas do primeiro grau, visando obter informações sobre o
mesmo. Durante a pesquisa foram analisados 16 (dezesseis) estudos, que foram
agrupados nas seguintes categorias: estudos diagnósticos, estudos
experimentais e estudos teóricos. Os estudos diagnósticos são os estudos que
analisaram e identificaram algumas das dificuldades dos alunos em resolução de
problemas. Os estudos experimentais são aqueles que propõem e realizam
atividades de ensino envolvendo resolução de problemas. Os estudos teóricos são
aqueles que propõem alguns conceitos e ideias “novas” sobre problemas em
matemática
1.1.1. Estudos diagnósticos
Batista (2002) que procurou investigar se, e como diferentes suportes de
representação influenciam na compreensão de crianças e na forma como resolvem
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 24
diferentes problemas matemáticos inseridos no campo conceitual das estruturas
multiplicativas. A pesquisadora menciona que os suportes de representação são
parte essencial do processo de resolução de problemas, visto que não apenas
servem para expressar as formas de raciocinar adotadas pelas crianças ao
resolverem problemas, mas, também, viabilizam determinadas formas de operar
sobre as relações envolvidas nos problemas. Em particular, três diferentes tipos de
suportes de representação foram tratados neste estudo: um suporte gráfico (lápis e
papel) e dois tipos de suportes concretos – concreto neutro e concreto definido.
A investigação, segundo Batista (2002), foi realizada antes dos alunos
haverem sido formalmente instruídas sobre as operações de divisão e de
multiplicação no contexto escolar, uma vez que só receberiam essa instrução no
segundo semestre do ano letivo, e a coleta de dados foi conduzida no primeiro
semestre. Participaram do estudo, 60 (sessenta) crianças, de ambos os sexos, com
média de idade de 8 (oito) anos, alunos da 2ª série do ensino fundamental de uma
escola particular de classe média da cidade do Recife.
Salientamos que a inclusão do estudo de Batista (2002) neste trabalho foi
motivada pelo fato de constar uma importante discussão sobre os suportes de
representação e a relação destes com o ato de resolver um problema em
matemática. Ainda que o estudo deste pesquisador não se direcione de forma direta
com a série do ensino fundamental a qual participaram do nosso experimento
didático, acreditamos que o estudo dos suportes de representação na resolução de
problemas seja também vivenciado pelos alunos do 7º ano do ensino fundamental.
Batista (2002) informa que as crianças foram retiradas de 5 (cinco) turmas
da 2ª série, sendo 12 (doze) crianças de cada turma. Elas foram divididas
igualmente em três grupos, em função do tipo de representação fornecido para
resolução dos problemas. No grupo 1, foi disponibilizado lápis e papel para
resolução dos problemas; no grupo 2, foi disponibilizado fichas plásticas para
resolução dos problemas; e, no grupo 3, foi disponibilizado objetos que estavam
relacionados diretamente aos referentes das quantidades contidas nos enunciados
dos problemas.
Todas as crianças foram individualmente entrevistadas em uma única
sessão por um mesmo examinador, sendo solicitadas a resolver quatro problemas
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 25
(dois de divisão e dois de multiplicação) apresentados um por vez. Cada problema
era apresentado por escrito em uma cartela de papelão, sendo lido em voz alta pelo
examinador, juntamente com a criança. Após a resolução de cada problema, o
examinador, através de uma entrevista clínica, solicitava que a criança explicitasse
suas formas de resolução, fornecesse justificativas e explicações sobre o resultado
apresentado e sobre as ações realizadas. A pesquisa mostrou que as estratégias
adotadas para resolução de problemas variam quanto ao tipo de operação. Assim,
há estratégias que sempre levam ao erro, assim como há estratégias que sempre
levam ao acerto.
Temos ainda Marco (2004), que realizou uma pesquisa onde analisou
situações de resolução de problema de alunos do 7º ano do ensino fundamental,
com o propósito de investigar como os movimentos de pensamento matemático de
resolução de problema se processam quando alunos do ensino fundamental jogam e
criam jogos computacionais. As atividades desenvolvidas por Marcos (2004) foram
de caráter de ensino e pesquisa, objetivando a aprendizagem do aluno e saber os
seus procedimentos e elaborações na resolução de problema delas decorrentes.
Tratou-se de uma pesquisa de intervenção com análise interpretativa das
manifestações dos alunos durante o processo de jogar e criar um jogo
computacional.
Para Marco (2004), as análises evidenciaram que quando se propõem
situações de criação de jogos para os alunos resolverem, esses manifestam
momentos de hesitação e dúvidas que, a pesquisadora caracterizou por situações –
dilemática, mantendo-se nesta situação ou superando-a ao desenvolver
procedimentos de análise e síntese das variáveis dos problemas surgidos pelo ato
de criar o jogo.
Temos ainda Christo (2006) que buscou ampliar o significado do sinal de
“igual” para indicar respostas obtidas na resolução de problemas e em algoritmos, e
não para comparar expressões. As atividades desenvolvidas na pesquisa de Christo
(2006) tiveram como lócus da investigação uma classe de 7º ano do ensino
fundamental de uma escola pública, na zona leste da cidade de São Paulo, visando
conhecer a linguagem algébrica dessa população por meio de resolução de
problemas verbais, com ênfase na representação simbólica das variáveis
dependentes e independentes envolvidas, constituindo assim uma pesquisa-ensino,
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 26
tendo o pesquisador participado da pesquisa também como professor,
simultaneamente. Descrevendo, quantitativamente, regularidades presentes na
resolução das situações propostas, Christo (2006) constatou que os alunos:
• Construíram livremente expressões equivalentes e, pela familiaridade das
situações e pelas considerações sobre o envolvimento dos alunos na
tarefa, presume-se que expressaram ideias anteriormente apropriadas por
eles;
• Perceberam, nas situações que lhe foram apresentadas, a existência de
uma lei quantitativa de correspondência, identificando e determinado os
valores das variáveis dependentes e independentes;
• Construíram e interpretaram expressões algébricas simples das formas
�� + �, com � assumindo valores decimais em ℚ�. Daniel (2007) realizou um estudo com o objetivo de identificar os erros e
analisar os procedimentos e estratégias que alunos de 9º ano do ensino fundamental
de uma escola estadual utilizam para resolver equações algébricas de 1º grau. Para
tal, o pesquisador utilizou como ferramenta de apoio o software Aplusix, destinado
ao ensino e aprendizagem de Álgebra. O pesquisador explica que os erros foram
classificados e analisados de acordo com a propriedade matemática que foi
desrespeitada, independente da forma visual do mesmo. Para classificar os erros,
Daniel (2007) construiu as seguintes categorias: 1. Erros relacionados aos conceitos
de equação e incógnita; 2. Erros de transformações algébricas; 3. Erros decorrentes
da aplicação indevida de propriedades ou de "falsa regra"; 4. Erros decorrentes da
falta de atenção na escrita de uma nova equação; 5. Erros envolvendo cálculos
numéricos.
Quando é dado um problema em linguagem natural, o pesquisador
salienta que aparecem muitos erros na escrita da equação e na identificação da
incógnita, erros esses muitas vezes conceituais em relação à incógnita ou equação.
Outro erro frequente, apontado pelo estudo de Daniel (2007), ocorre quando a
incógnita é precedida do sinal negativo, pois muitos alunos assumem o sinal como
parte integrante da incógnita da equação. Assim, o pesquisador exemplifica, na
equação – = 2 os alunos não concluem que = −2.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 27
A aplicação de uma transformação algébrica em uma equação de 1º grau
conduz a uma nova equação, equivalente à primeira, possuindo a mesma solução
ou conjunto de soluções. Nesse processo, segundo Daniel (2007), os erros mais
frequentes foram: transformar somente um dos membros da igualdade da equação;
transformações diferentes em cada membro da igualdade da equação;
transformação sem aplicar corretamente a operação inversa quando um termo é
“transferido” de um membro para o outro da igualdade; os alunos dividem somente
um termo da equação.
Sobre os erros decorrentes da aplicação indevida de propriedades ou de
"falsa regra”, a maioria dos erros é devido à falta de conhecimento do aluno das
prioridades das operações. Os principais erros são: os alunos adicionam o
coeficiente da incógnita a um termo independente; na resolução de equações
contendo um produto de fatores, alguns alunos tratam um dos termos internos dos
parênteses, como sendo um termo independente; multiplicar somente um dos
termos em um dos membros da equação; os alunos efetuam transformações
multiplicativas errôneas, multiplicando ou dividindo por um determinado número
somente um termo de cada membro. Sobre os erros decorrentes à falta de atenção
na escrita de uma nova equação, geralmente, esse tipo de erro ocorre na escrita de
uma nova equação por distração do aluno, pois as novas equações são escritas a
partir das anteriores, em que são efetuadas transformações algébricas sucessivas
até chegar à resolução das mesmas.
Por sua vez, Roberto Junior (2007) realizou um estudo onde identificou
relações didáticas estabelecidas na tríade aluno – professor – conhecimento
matemático como um processo de ensinar matemática por meio da resolução de
problemas. O pesquisador estudou o modo como os alunos do 6º ano e 7º ano
resolvem exercícios e problemas, estes com enunciados curtos ou longos. A
pesquisa alicerçou-se a três teorias fortemente fundamentadas no conhecimento
sobre resolução de problemas enquanto atividade matemática e modalidade de
ensino para alunos do ensino fundamental: a didática teórica e prática, a heurística e
a resolução de problemas.
Roberto Junior (2007) alude que se costuma justificar a presença da
matemática no currículo escolar dizendo que esta desenvolve o raciocínio ou ensina
a pensar. Porém, a pesquisa apontou que as falas dos professores, bem como os
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 28
enunciados dos exercícios propostos demonstravam um ensinar matemática
dependente de instruções programadas pelo professor, o que levou o pesquisador a
questionar se, de fato, a matemática desenvolve o raciocínio e ensina a pensar.
O pesquisador verificou que os alunos demonstraram habilidades em
algoritmos, porém ao serem questionados quanto ao porquê de estar fazendo assim
e como chegaram à determinada solução, não souberam responder. Com isso o
pesquisador, advertiu que quando o professor não situa os alunos didaticamente,
utilizando diferentes contextos para diferentes situações, quando faz uso da
resolução de problemas, pode desencadear certa aversão em resolver problemas.
Não só aqueles de matemática, mas também da vida. Outro fato constatado por
Roberto Junior (2007) foi que mesmo nas respostas certas, os alunos considerados
bons resolvedores, pelos acertos, quando questionados sobre o modo como
resolveram deixaram claro que não havia garantia de que o conceito matemático
havia sido entendido por completo, nem tampouco o contexto do problema enquanto
situação cotidiana.
Coura (2008) realizou um estudo em que focalizou textos escritos pelos
alunos nas aulas de matemática nos quais as palavras predominam em relação aos
símbolos matemáticos. Esses textos foram produzidos pelos alunos de uma turma
de 7º ano do ensino fundamental de uma escola da rede pública de Belo Horizonte,
ao realizarem atividades de escrita propostas pelo professor e pela pesquisadora,
durante as aulas de matemática. Com esse interesse, a pesquisadora procurou
responder o seguinte: seria possível contribuir para o processo de aprendizagem
matemática através de uma abordagem que enfatizasse ou, ao menos, focalizasse
uma utilização mais destacada da língua materna? Logo o objetivo de Coura (2008)
foi de conhecer quais são as atividades de escrita presentes numa sala de aula de
matemática do 7º ano do ensino fundamental; e, de descrever e caracterizar a
realização de atividades de escrita pelos alunos dessa sala de aula de matemática.
Coura (2008) entende a denominação “língua materna” como a língua
enquanto disciplina escolar, bem como enquanto linguagem no âmbito da
comunicação oral e escrita. A pesquisadora explica que se aceitarmos que uma
linguagem pode ser conceituada, de forma objetiva e universal, como um sistema de
comunicação constituído por signos, social e historicamente determinados, então a
matemática será uma linguagem possuidora de uma escrita simbólica específica.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 29
Focalizando essa escrita simbólica, Coura (2008) considera a matemática como uma
linguagem formal, específica, que difere muito das linguagens naturais.
Segundo Coura (2008), em seu processo de comunicação, a matemática
utiliza a oralidade e a significação das palavras da língua materna em textos nos
quais os símbolos matemáticos se mesclam com as palavras. Quando esses textos
híbridos são compostos predominantemente de palavras, que conferem significado
ao texto, a linguagem natural assume a função de veículo, por meio do qual é
possível transmitir e compreender matemática. A pesquisadora ainda destaca que a
escrita simbólica é aquela em que predominam os símbolos matemáticos e a escrita
matemática é uma escrita que inclui estruturas gramaticais e formas de
argumentação da linguagem natural, na qual se utilizam, predominantemente, as
palavras em relação aos símbolos matemáticos.
Coura (2008) constatou que quando os alunos usam a escrita para
registrar, utilizam a linguagem, principalmente, para informar ou comunicar conceitos
matemáticos, procedimentos e aplicações. Para tanto, descrevem métodos ou
explicam a natureza dos conceitos matemáticos, fazendo uso da escrita matemática
para copiar informações do quadro ou do livro didático, ou ainda resumindo e
interpretando essas informações para registrá-las usando as próprias palavras.
A pesquisadora ressalta que ao utilizarem a escrita para expressar-se, os
estudantes manifestam, predominantemente, seus pensamentos, sentimentos e
opiniões a respeito de conteúdos estudados, de dados apresentados ou de
atividades da aula de matemática. Para isso, formulam considerações e também
explicam o que pensam. Nessa perspectiva, eles utilizam a escrita matemática com
o objetivo de expressar, com suas próprias palavras, as suas opiniões, mas também
fazem um uso criativo da linguagem ao procurar transmitir informações relacionadas,
de acordo com a sua interpretação e por meio da lógica e da argumentação
matemática.
Na escrita para explicar, prevalece a linguagem em sua função de
informar e instruir, por exemplo, o fato dos alunos explicarem como resolvem
equações e problemas. Para tanto, eles costumam relatar o que fazem para a
resolução das equações e dos problemas ou descrevem os métodos que utilizam
para isso. Nessa perspectiva, a escrita matemática foi usada pelos alunos para
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 30
explicar, com suas palavras e de forma resumida, o que haviam pensado e o que
tinham feito.
Por meio da escrita para traduzir, Coura (2008) explica que foi possível
verificar que os estudantes escreveram para tentar comunicar as informações
apresentadas mediante equações. Com esse objetivo, narraram situações que
haviam criado a partir dos termos dessas equações, o que indica que a escrita
matemática foi usada para traduzir termos da escrita simbólica, ou seja, quando os
alunos se deparam com um problema em língua materna o ato de traduzir se
manifesta pelas equações.
A pesquisadora constatou que a interação entre matemática e língua
materna influi no processo de aprendizagem daquela não somente no que se refere
à importância da leitura e compreensão nas aulas de matemática, mas também no
que se refere à escrita, o uso da língua materna contribui no trabalho com a
matemática, pois, à medida que os alunos conseguem estruturar de maneira clara e
objetiva seus raciocínios matemáticos estarão consolidando a aprendizagem dos
conteúdos trabalhados.
Por sua vez, Nishimoto (2008) realizou um trabalho com o objetivo de
investigar se o uso de diferentes linguagens influencia a competência de sujeitos do
ensino fundamental na resolução de problemas. A pesquisa foi um estudo qualitativo
sobre a aprendizagem de sujeitos de 8º ano, relativa a conceitos matemáticos e uso
de representações, baseado na teoria dos registros de representação semiótica de
Raymond Duval.
A pesquisadora salienta que um modelo pertinente para descrever as
condições de aquisição do conhecimento, deve estar centrado nas especificidades
de acesso à aprendizagem matemática, daí a importância das representações
semióticas e da coordenação dos diferentes registros. A pesquisadora concluiu que
o emprego de atividades que mobilizem, articuladamente, diferentes linguagens,
desenvolve o pensamento matemático e aumenta a competência de sujeitos do
ensino fundamental, na resolução de problemas. Em seguida, analisamos os
estudos da categoria estudo experimentais.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 31
1.1.2. Estudos experimentais
Pereira (2004) realizou um estudo tendo como objetivo principal verificar
qual é a contribuição da metodologia de ensino-aprendizagem através da resolução
de problemas para a disciplina matemática, no terceiro ciclo do ensino fundamental,
partindo de problemas geradores de novas ideias matemáticas. A pesquisadora
salienta que dentro da educação matemática, atualmente, o ensino-aprendizagem
de matemática através da resolução de problemas é visto como uma metodologia
alternativa, que visa um trabalho centrado nos alunos, a partir de problemas
geradores de novos conceitos e novos conteúdos matemáticos, levando-os a
construírem um conhecimento matemático através da resolução de problemas.
Nessa metodologia, o aluno participa da construção do conhecimento
com a orientação e supervisão do professor que, somente no final desse processo
de construção, formaliza as novas ideias construídas, utilizando notação e
terminologias corretas. Como resultado de sua aplicação, Pereira (2004) acredita
que o professor deve trabalhar a auto - estima do aluno, valorizando seus acertos e
os diferentes caminhos escolhidos para a resolução de um problema, além de saber
fazer do erro uma oportunidade de aprender. Segundo a pesquisadora, deve-se tirar
do aluno a ideia errônea de que fazer matemática é apenas fazer contas. Devem ser
aplicadas muitas e variadas situações-problema de modo a criar, nos alunos, hábitos
de trabalho para raciocinar e enfrentar com segurança a busca da solução do
problema.
Morais (2008) realizou um estudo com o objetivo de verificar como se deu
a aprendizagem de polinômios através da resolução de problemas por meio de um
ensino contextualizado, partindo da construção de caixas de papelão e usando os
conhecimentos prévios de que os alunos já dispunham. Tratou-se de uma pesquisa
cujo fenômeno de interesse esteve voltado à escola, especificamente ao estudo de
polinômios, constituindo-se numa pesquisa de intervenção de natureza qualitativa
em uma situação específica: um estudo de caso de longa duração.
A partir da resolução de problemas, como metodologia de ensino-
aprendizagem, em sala de aula, a pesquisadora buscou por meio da construção
dessas caixas, proporcionar aos alunos o fazer matemática com as mãos, ou seja,
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 32
desenvolver o conteúdo polinômio de modo que os alunos pudessem: coletar,
experimentar e analisar, em um contexto do mundo real, padrões matemáticos
subjacentes. Analisando o trabalho realizado, Morais (2008) constatou que o
desenvolvimento do conceito de polinômio seguido do conceito de função, por meio
da manipulação de material concreto, resultou numa aprendizagem mais significativa
para os alunos, pois, partindo de uma situação concreta, seguida de generalização e
de abstração num estágio mais elevado da aprendizagem, os alunos, como
construtores do conhecimento, puderam durante todo o trabalho estabelecer
relações entre os temas abordados, dentro de um sistema mais amplo, onde
significados foram sendo estabelecidos.
Damasco e Groenwald (2007) estudaram sobre o que leva o aluno de 7º
ano do ensino fundamental a enfrentar dificuldades no momento de resolver
algébrica e geometricamente equações do 1º grau. Os autores buscaram se o(a)
professor(a) de matemática, do ensino fundamental, quando desenvolve o conteúdo
de equações do 1º grau no 7º ano do ensino fundamental, aplica uma metodologia
que privilegie a compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo. Com o objetivo
de investigar uma metodologia adequada ao processo de ensino e aprendizagem
das equações do 1º grau no ensino fundamental, para alunos entre 11 e 12 anos,
Damasco e Groenwald (2007) desenvolveram uma experiência com a metodologia
de pesquisa, em matemática, denominada engenharia didática, segundo Artigue
(1996).
Damasco e Groenwald (2007) destacam que no caso de equações do 1º
grau, estudadas no ensino fundamental temos variáveis do tipo microdidáticas, que
pode ser distinguidas por duas variáveis, a variável intrínseca do problema em que
os alunos do ensino fundamental, ao resolverem uma equação do 1º grau, não
utilizam o princípio aditivo e multiplicativo, e também a variável específica em que se
observa que o professor de matemática, do ensino fundamental, quando desenvolve
o conteúdo de equações do 1º grau, no 7º ano do ensino fundamental, não pratica
uma metodologia que privilegie a compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo.
Segundo Damasco e Groenwald (2007), o experimento foi desenvolvido
em uma turma de 7º ano do ensino fundamental em uma escola privada, devido à
facilidade da utilização dos recursos necessários para a aplicação. A escola dispõe
de equipamento audiovisual, laboratório de informática, Internet entre outros, o que
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 33
tornou possível a aplicação geral da metodologia sugerida. Esse experimento foi
desenvolvimento durante o 2º semestre do ano de 2006, entre os meses de outubro
a dezembro, com cinco períodos semanais, cada um com cinquenta minutos,
distribuídos em três dias da semana. A sequência didática para equações do 1º
grau, que foi utilizada na fase de experimentação, conforme os autores seguem os
seguintes passos:
• Introdução do conteúdo através de uma abordagem histórica, realizada
pelo professor/pesquisador. Nessa fase foi realizado um levantamento
histórico sobre o desenvolvimento das equações ao longo da história,
permitindo ao aluno situar-se no contexto histórico;
• Leitura, pelos alunos da 7º ano, do livro “Encontros de primeiro grau”, da
autora Luzia Faraco Ramos, da editora Ática. Esse trabalho objetivou que
os alunos participantes da experiência realizassem uma atividade que
possibilitasse ajudar no desenvolvimento da competência de estudarem
sozinhos, além de ajudar na habilidade de lerem e interpretarem um texto;
• A professora/pesquisadora realizou aulas de introdução do conceito de
equação com problemas que introduzem a necessidade de equações,
baseado na metodologia resolução de problemas;
• Após algumas aulas, os alunos desenvolviam fluxogramas com
identidades, equações do 1o grau com uma variável e equações do 1o
grau com duas variáveis. Objetivando a compreensão desses conceitos;
• A parte algébrica de resolução de uma equação do 1o grau foi
desenvolvida utilizando como apoio o jogo do “vermelho e azul”, através
de atividades que facilitem a compreensão dos princípios aditivo e
multiplicativo.
• Foram desenvolvidas aulas, no laboratório de informática da escola, com
o software do sistema de ensino da escola (Educacional), que permite ao
aluno resolver equações com analogia a uma balança de dois pratos;
• Logo após, foi desenvolvida uma parte geométrica, representação das
equações de 1º grau no sistema cartesiano de coordenadas, utilizando a
metodologia resolução de problemas.
Damasco e Groenwald (2007) recomendam que se busque propor uma
sequência didática que possibilite aos alunos a utilização de recursos que facilitem o
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 34
entendimento do conteúdo de equações de 1º grau, e que privilegiem a ação do
aluno e o professor agindo como um mediador. Mas, os autores recomendam
cuidado na escolha e utilização do livro didático que deverá conter todos os critérios
para se desenvolver uma metodologia adequada privilegiando a compreensão dos
conceitos, princípios de equações do 1º grau, bem como, que utilize a metodologia
de resolução de problemas.
Rocha e Bittar (2010) realizaram um estudo em que apresentaram os
resultados parciais de uma pesquisa que teve como objetivo principal investigar a
aprendizagem da resolução de sistemas de equações do 1º grau por alunos do 8º
ano do ensino fundamental. Para isso, os autores criaram uma sequência didática
dividida em quatro grupos de atividades. As atividades foram criadas para serem
vividas como a-didáticas, uma vez que Rocha e Bittar (2010) se embasaram na
teoria das situações didáticas proposta por Guy Brousseau. A pesquisa realizada por
Rocha e Bittar (2010) foi estruturada de acordo com as quatro fases da metodologia
de pesquisa engenharia didática. A sequência foi aplicada no final de 2009. Durante
a experimentação e coleta de dados os autores utilizaram como recurso auxiliar o
software Aplusix.
Segundo Rocha e Bittar (2010), a escolha pelo Aplusix se deu ao fato de
ter como uma de suas principais funcionalidades a possibilidade de oferecer ao
aluno maior controle sobre suas ações durante a resolução de um problema,
possível graças às retroações que o software oferece. Como a pesquisa de Rocha e
Bittar (2010) se tratou de uma pesquisa de aprendizagem, elaborou-se uma
sequência didática objetivando situações que podem ser vividas como a-didáticas.
Os autores construíram a sequência de aprendizagem objetivando que o aluno:
consiga extrair as informações do problema; transforme essas informações em
equações com duas incógnitas e monte o sistema; aprenda a resolver sistemas
montados; e, finalmente, aplique o que aprendeu nos momentos anteriores para
resolver problemas. Para isso, Rocha e Bittar (2010) criaram atividades divididas em
quatro grupos respeitando a sequência dos momentos citados. A seguir temos um
quadro síntese dos grupos onde os autores organizaram o tipo de atividade, os
objetivos correspondentes e as variáveis didáticas envolvidas:
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 35
Quadro 1: Síntese da sequência didática de Rocha e Bittar (2010)
Grupo Atividade Objetivo Variável didática
01
Contém seis atividades que podem ser resolvidas utilizando sistemas de
equações, porém esses alunos ainda não
aprenderam esse conceito
-Identificar as duas informações contidas no
enunciado de forma que se o problema fosse resolvido
utilizando-se sistemas, elas norteariam a montagem das
equações; -Sentir a necessidade de ter um método algébrico para
resolver.
Tipo do enunciado Tipo do coeficiente
independente Coeficientes das
incógnitas
02 Contém cinco atividades de montagem de sistemas de
equações do 1º grau
- Aprender a montar sistemas com base nos conhecimentos adquiridos no grupo anterior
Tipo do enunciado Coeficientes das
incógnitas
03 Contém atividades de
resolução de sistemas de equação
-Articular estratégias que recaiam em métodos
algébricos de resolução de sistemas de equações
Tipo do coeficiente independente
Coeficientes das incógnitas
04
Contém seis problemas para serem resolvidos
utilizando-se sistemas de equações
- Aprender a resolver problemas utilizando sistemas
de equações de 1º grau
Tipo do enunciado Tipo do coeficiente
independente Coeficientes das
incógnitas Fonte: Rocha e Bittar (2010).
O primeiro grupo contém problemas que podem ser resolvidos utilizando-
se sistemas de equações. Entretanto, pelo fato desses alunos ainda não terem visto
esse assunto, Rocha e Bittar (2010) buscaram analisar as estratégias que podem
surgir e distinguir as duas informações do problema que quando resolvido por meio
da montagem de um sistema possibilita a escrita correta das duas equações que o
constituem. No segundo grupo, Rocha e Bittar (2010) propuseram atividades
objetivando a aprendizagem da montagem de sistemas de equações. Para isso,
foram propostos problemas escritos em linguagem natural com o objetivo de levar o
aluno a escrever as equações e montar o sistema resultante. Primeiramente os
autores propuseram duas atividades para serem escritas apenas as equações com
duas incógnitas. Posteriormente, institucionalizaram a forma como representamos o
dispositivo algébrico estudado e propuseram mais três problemas escritos em
linguagem natural para serem traduzidos em forma de sistemas de equações.
No terceiro grupo, Rocha e Bittar (2010) objetivaram a aprendizagem da
resolução de sistemas. Para isso, apresentaram sistemas montados para serem
resolvidos. Antes, institucionalizaram o significado de solução de sistema, uma vez
que o objetivo dos autores nesse grupo era que os alunos chegassem à solução por
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 36
meio da resolução. Após a conclusão dessas etapas seria chegada à hora de aplicar
todos os conhecimentos adquiridos e utilizá-los para resolução de problemas. Diante
disso, no quarto grupo, Rocha e Bittar (2010) propuseram problemas para serem
resolvidos utilizando-se sistemas de equações do 1º grau. Para isso, apresentaram
atividades de diferentes contextos visando observar se os conhecimentos
institucionalizados nos grupos anteriores foram apropriados por esses alunos.
Após Rocha e Bittar (2010) terem criado a sequência de aprendizagem e
feito a análise a priori de cada atividade, no dia 02 de outubro de 2009 reuniram-se
com os alunos pela primeira vez na sala de tecnologia da escola. Nesse primeiro
encontro os autores optaram em conversar com eles sobre o que pretendiam e
aproveitaram para familiarizá-los com os comandos do Aplusix. Rocha e Bittar
(2010) ressaltam que, apesar de terem aplicado a experimentação na sala de
tecnologia, em certos momentos utilizaram apenas papel e lápis. O estudo de Rocha
e Bittar (2010) se encontra na fase final das análises a posteriori e validação dos
resultados. Até o presente momento, conforme os autores foram analisados os dois
primeiros grupos. Segundo os autores, o primeiro objetivo do primeiro grupo de
atividades foi atingido. Visava-se com essas atividades aprender a distinguir as
informações do problema. Apesar de terem resolvido aritmeticamente por tentativa
ao acaso, os autores perceberam que a correta obtenção dos valores justifica esse o
aprendizado.
Para Rocha e Bittar (2010) isso se evidencia na própria resolução, pois,
as tentativas registradas mostram que os sujeitos sabiam o que estavam
procurando. Os autores citam como exemplo a seguinte atividade “num quintal há
galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 patas. Quantas são as galinhas? Quantos
são os coelhos?”. Rocha e Bittar (2010) perceberam que os alunos souberam
identificar que a soma do número de galinhas com o número de coelhos é igual a
sete animais na frase “há 7 cabeças”. Na análise a priori os autores previam que os
alunos teriam dificuldade para identificar a segunda informação pelo fato de ter que
se lembrar de multiplicar por dois o número de patas de galinhas e por quatro o
número de patas de coelhos. Mas, Rocha e Bittar (2010) destacam que isso não
ocorreu. A partir do momento em que um par de valores cuja soma é igual sete era
lembrado, imediatamente esses números eram testados visando à satisfação da
segunda informação. Antes, porém, o valor correspondente à quantidade de
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 37
galinhas era multiplicado por dois e o número correspondente à quantidade de
coelhos era multiplicado por quatro. Caso a soma não desse número 22, pegava-se
outro par de valores.
Para Rocha e Bittar (2010) o segundo objetivo do primeiro grupo de
atividades que teve como foco levar o aluno a sentirem a necessidade em resolver
as atividades por meio de algum recurso algébrico não surtiu muito efeito. Isso se
deve, conforme os autores, talvez pela falta de atividades que tivessem um grau
maior de dificuldade, uma vez que com poucas tentativas eles conseguiram
encontrar a resposta. Conforme Rocha e Bittar (2010) faltaram para esse grupo
valores para as variáveis didáticas que levassem a atingir essa meta. De um modo
geral, apesar da necessidade de se dispor de um recurso algébrico para resolver as
atividades, à medida que foram questionados se há outra forma de resolver, alguns
apresentaram expressões algébricas bem interessantes. Expressões essas que se
bem trabalhadas no segundo grupo poderia facilitar na montagem dos sistemas.
Inicialmente os alunos não consideraram o dobro de � e o triplo de � na
segunda informação. Porém, após Rocha e Bittar (2010) devolverem a folha, os
alunos perceberam o erro e escreveram uma expressão parecida com o sistema
cujas equações satisfazem as informações da atividade. Rocha e Bittar (2010)
destacam que os alunos já tinham encontrado a solução quando escreveram a
estrutura algébrica. Os autores perceberam que os alunos utilizaram os valores da
solução para montá-la. De um modo geral, para Rocha e Bittar (2010) os dados
coletados mostraram que houve a aprendizagem, pois os problemas propostos no
quarto grupo foram resolvidos por meio de sistemas de equações. Quando os
autores iniciaram a experimentação os alunos não conheciam esse conceito
algébrico. Quando terminaram, eles estavam resolvendo sistemas e utilizando um
dispositivo algébrico para resolver problemas como: “Num quintal há galinhas e
coelhos. Há 7 cabeças e 22 patas. Quantas são as galinhas? Quantos são os
coelhos?”.Em seguida, analisamos os estudos teóricos.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 38
1.1.3. Estudos teóricos
Sá (2003) explica que o desenvolvimento da habilidade de resolver
problemas rotineiros é tão importante quanto o desenvolvimento da habilidade de
resolver os não rotineiros e, além disso, aponta que um problema só se torna
rotineiro quando é entendido e internalizado seu processo de resolução, valendo
isso para qualquer tipo de problema. A pesquisa indica, com base na classificação
de Borasi (1986), que os problemas que envolvem as quatro operações aparecem
com a denominação de problemas verbais, tendo os seguintes descritores: contexto,
todo explicado no texto; formulação, única e explícita; solução, geralmente única e
exata; método de solução, combinação de algoritmos.
Para Sá (2003), os diferentes tipos de problemas apresentam níveis
diferentes de dificuldades para os estudantes, até dentro de uma mesma categoria,
como é o caso dos tipos combinação, no campo aditivo, e do tipo produto cartesiano
e grupo igual, no campo multiplicativo. O pesquisador concluiu que mesmo com
todas as dificuldades do percurso no final do ensino fundamental, o domínio da
resolução dos problemas envolvendo mais de uma das quatro operações
fundamentais está garantido para a maioria dos alunos.
Sá (2003) observou que na resolução dos problemas em que a
informação procurada fica isolada num dos membros da igualdade após sua
modelação, não há uso das propriedades da igualdade, e que, na resolução dos
problemas em que a informação procurada que não fica isolada num dos membros
da igualdade, há uso das propriedades da igualdade de maneira implícita ou
explícita. Assim, um problema é aritmético quando, na sua resolução operacional,
não são usadas de maneira implícita ou explícita as propriedades da igualdade. O
pesquisador definiu que um problema é algébrico quando, na sua resolução
operacional, são usadas de maneira implícita ou explícita as propriedades das
igualdades. O pesquisador concluiu que a estrutura que conecta os campos
conceituais aditivos e multiplicativos é a unidade do pensamento aritmético -
algébrico.
Ribeiro (2007) realizou um estudo com o objetivo de investigar os
significados da noção de equação no ensino de matemática. Embora o pesquisador
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 39
apresente diferentes formas de conceber a noção de equação, ressalta que as
diferenças entre esses multisignificados são, às vezes, bastante sutis e que é tênue
a linha que separa um significado de outro.
O primeiro significado é intuitivo-pragmática quando a noção de
equação é concebida como uma noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre
duas quantidades. O segundo significado é o dedutivo-geométrico que entende a
noção de equação como uma noção ligada às figuras geométricas, aos segmentos.
O terceiro significado é o estrutural-conjuntista quando a noção de equação é
concebida dentro de uma perspectiva estrutural, que está diretamente ligada à
noção de conjunto. O quarto significado é o processual-tecnicista que concebe
equação como a sua própria resolução como os métodos e técnicas que são
utilizadas para resolvê-la. O quinto significado é axiomático-postulacional que
concebe equação como uma noção da matemática que não precisa ser definida,
uma ideia a partir da qual outras ideias, matemáticas e não matemáticas são
construídas.
Costa (2008) realizou um estudo com o objetivo de percorrer de forma
crítica a trajetória teórica que dá suporte à importância da resolução de problemas
no ensino da matemática, dentro da perspectiva do “pensamento produtivo” e da
“aprendizagem significativa”. Do ponto de vista da educação matemática, Costa
(2008) abordou a heurística e a intuição, por se constituírem em dois elementos
importantes de aproximação deste campo com conceitos da Gestalt relacionados à
solução de problemas. Nesse campo também foi avaliada, pelo pesquisador, a
contribuição de autores significativos como George Polya, Imre Lakatos e outros. O
pesquisador realizou um estudo exploratório tomando como técnica de pesquisa a
entrevista com professores de matemática de escolas avaliadas pelo programa Nova
Escola no Rio de Janeiro.
Do mesmo modo, foram utilizadas por Costa (2008) as orientações
teórico-pedagógicas contidas nos documentos dos principais programas nacionais
de avaliação do ensino médio brasileiro, que se caracterizam por apoiar suas
avaliações em matemática na “resolução de problemas” e em “aprendizagens
significativas”. Para o pesquisador, no caso dos estudantes, é inegável a importância
dos pressupostos e da pedagogia adotada pelos professores na área do espaço de
vida relacionado com a aprendizagem e, acredita-se que todos os docentes desejam
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 40
melhorar o processo de ensino e aprendizagem necessitando para isso de incentivo
e de uma mudança de percepção cognitiva acerca dos processos de pensamento.
Segundo Costa (2008) o jogador, assim como o ‘resolvedor’ de
problemas, só alcança seus objetivos ao abandonar os procedimentos cegos, sejam
eles tentativas de jogar, acionando aleatoriamente o controle ou repetindo
movimentos conforme alguém ensinou, ou, de forma semelhante, tentativas de
resolver o problema através de procedimentos repetitivos e sem sentido estrutural.
De fato, pelos dados analisados por Costa (2008) dos relatos dos professores, o que
parece se destacar com maior nitidez é que cada aspecto preocupante da realidade
escolar tem uma representação interna para estudantes e professores envolvendo
elementos como barreiras, trajetos possíveis, número de dimensões do espaço
comportamental etc.
Trindade (2008) realizou um estudo que tinha por objetivo
compreender/explicar o que são investigações matemáticas e atividades
investigativas, diferenciando-as entre si e, se possível, daquilo que é conhecido
como resolução de problemas. Isso foi feito no contexto do ensino de matemática
nas séries do segundo segmento do ensino fundamental. A pesquisadora entende
que a matemática, usualmente, é entendida como um corpo de conhecimentos, mas
pode ser também vista como uma atividade humana, como um dentre os modos
possíveis de gerar conhecimento. Acredita que mais do que aplicação de fórmulas
ou procedimentos repetitivos, o que se exige do ser humano na sua luta pela
sobrevivência é que tenha capacidade de lidar com diferentes problemas e
representações, que possa argumentar sobre os procedimentos utilizados bem
como formular problemas e avaliar criticamente os resultados obtidos. Numa
perspectiva assim, tem-se um aprender matemática fazendo matemática.
Para Trindade (2008) a atividade matemática na sua essência é definida
como resolução de problemas, tendo sido este um objeto de estudo na educação
antes mesmo que se adotasse o termo educação matemática para designar tanto o
campo de atuação profissional do professor de matemática quanto o fértil campo da
pesquisa. Expressões como: desenvolver o poder matemático dos alunos (NCTM,
1991 apud TRINDADE, 2008), ou ainda, levar os alunos a pensar matematicamente
(SCHOENFELD, 1992 apud TRINDADE, 2008) tem sido usadas para definir as
orientações metodológicas que se espera que o programa de matemática reflita e
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 41
induza. Estas ideias, segundo Trindade (2008), surgem como consequência de se
olhar a matemática como um processo e não como um conjunto de fatos, nisso a
resolução de problemas se enquadra como um aspecto fundamental da atividade
matemática do aluno.
Ao se oportunizar situações onde o aluno possa realizar, avaliar e discutir
matemática se oportuniza outro modo de organizar e praticar o ensino. Para a
pesquisadora, investigar, nada mais é do que procurar conhecer o que não se sabe.
Um ambiente investigativo pode ser criado em sala de aula quando se oportuniza
aos alunos o envolver-se com matemática ativamente através da formulação de
problemas. Trindade (2008) toma como base a ideia de que um aluno com
dificuldades de aprendizagem poderá ser um aluno de sucesso caso lhe seja
solicitada a resolução rápida e eficiente de exercícios. Será natural que uma reação
negativa ocorra se lhe forem propostas atividades de investigação e ainda a
demonstração de insegurança, e a solicitação de apoio e elucidação do professor.
A pesquisadora explica que investigações matemáticas e resolução de
problemas, embora parecidos, são conceitos entendidos, por vezes, de formas
diferenciadas. A similaridade entre os dois conceitos estaria no fato de que, ambos
os processos, se relacionam com a inquirição matemática e sua diferença, no fato
de que a resolução de problemas consiste num processo mais convergente, com
metas mais bem definidas a priori, se comparado com a investigação matemática.
Trindade (2008) salienta que a resolução de problemas ainda constitui
uma metodologia de trabalho emblemática para a comunidade da educação
matemática em todo o mundo. A pesquisadora explica que apesar do esforço visível
em muitas publicações de definir o que é um problema e de criar categorias, ainda
subsiste, por vezes, alguma indefinição quanto à relação existente entre o processo
de resolução de problemas e o processo investigativo, o que intensifica o trabalho de
muitos investigadores educacionais.
Para a pesquisadora, diante da dificuldade de explicitar noção de
problema, alguns autores apontam que mais importante do que definir o que é um
problema, é encontrar um tipologia que nos permita saber de que tipo de problema e
de que modo de resolução de problemas estamos a falar. A pesquisadora conclui,
portanto, que em uma aula desenvolvida sob uma abordagem investigativa, o papel
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 42
do professor e do aluno se influencia mutuamente, mas o que move as descobertas
dos alunos, o anseio por investigar, será sempre o desejo, o prazer de realizá-las.
Temos ainda Andrade et al (2010), que apresentam as discussões,
sistematizações e indagações acerca das diferentes formas de ver e conceber a
resolução de problemas no ensino de matemática. Os autores delinearam três
abordagens diferentes, para a resolução de problemas: a resolução de problemas
segundo um modelo heurístico; o ensino de matemática através da resolução de
problemas; e o ensino de matemática através da produção/resolução de problemas
em que se insere a perspectiva exploratório-investigativa.
O estudo desenvolvido por Andrade et al (2010) aponta que, devido a
uma demanda social, a resolução de problemas torna-se uma personagem central
do currículo de matemática. Os autores destacam que a “produção de problemas” foi
uma das direções apontadas, mas que não teve um avanço teórico e metodológico
significativo. Nesse sentido, eles perceberam que a perspectiva exploratório-
investigativa veio para preencher a lacuna deixada, pois a cada questionamento se
pode produzir ou “reinventar” um problema. Entretanto, Andrade et al (2010)
apontam que tal perspectiva não tem o seu surgimento, necessariamente, ligado
com este fato.
Andrade et al (2010) esclarecem que foi possível perceber que a
metodologia de resolução de problemas vem ganhando um novo fôlego, devido às
diferentes abordagens que estão sendo praticadas e que estas, por sua vez, vêm se
tornando objeto de Investigação. Dentro desse ambiente de investigação a postura
inquiridora dos alunos e, sobretudo, dos professores, segundo os autores, é
condição fundamental para a organização de um ambiente de aprendizagem
produtivo frente aos problemas propostos ou produzidos. Continuando com as
análises prévias sobre o ensino e aprendizagem de problemas do 1º grau,
apresentamos um diagnóstico sobre o ensino de problemas do 1º grau conforme os
professores de matemática.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 43
1.2. O ENSINO-APRENDIZAGEM DE PROBLEMAS DO 1º GRAU SEGUNDO
PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Com o objetivo de apresentar um diagnóstico a respeito da prática
docente para o ensino de problemas do 1º grau e identificar as dificuldades que os
alunos apresentam para resolver estes tipos de problemas, realizamos uma consulta
a docentes, por meio de um questionário (cf. apêndice A) contendo questões
referentes a informações profissionais, prática docente no ensino de problemas do
1º grau e as dificuldades percebidas pelo professor, em relação a seus alunos,
quanto ao aprendizado deste conteúdo. O instrumento de pesquisa foi aplicado a
100 professores da rede pública do Estado do Pará, durante os meses de dezembro
de 2009 a janeiro de 2010.
Com relação à faixa etária dos professores, a minoria, 5%, tem entre 36 e
40 anos. Evidenciando, assim, um quadro de professores relativamente jovem,
atuando dentro das escolas públicas no município de Belém do Pará. Dos
professores pesquisados, 32% são do sexo feminino e 68%, do sexo masculino. A
diferença nos mostra que prevalece um número superior de homens atuando nas
escolas públicas no município de Belém do Pará.
Sobre o tempo de serviço, a minoria, 7%, tem entre 11 a 15 anos de
docência, e a maioria, 52%, distribuído na faixa de 1 a 5 anos de experiência. Ou
seja, a maioria dos professores participantes da pesquisa não possui uma
considerável vivência de sala de aula, mas acreditamos que isso não implica em
afirmar que não possuem saberes profissionais, pois, como esclarece Pimenta
(2008), quando os alunos chegam ao curso de formação inicial já têm saberes sobre
o que é ser professor.
Com relação à formação acadêmica, 75% dos professores têm apenas a
graduação em matemática, 25% possuem graduação e especialização na área, 6%
possuem especialização e mestrado, e 1% possui especialização, mestrado e
doutorado. Quanto às instituições nas quais os professores trabalham, identificamos
que 53% exercem atividades somente em escolas públicas da rede estadual; 4%,
somente na rede pública municipal; 26% exercem atividades na rede pública
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 44
municipal e estadual; 1% exerce atividade na rede municipal e particular; 16%, na
rede estadual e particular.
O saber docente, segundo Pimenta (2008), é uma identidade profissional
que se constrói a partir da significação social da profissão; da revisão constante dos
significados sociais da profissão; e, da revisão das tradições. Essa construção
também ocorre, pelo significado que cada professor confere à atividade docente no
seu cotidiano, a partir de seus valores, de seu modo de situar-se no mundo, de sua
história de vida, de suas representações, de seus saberes, de suas angústias e
anseios, do sentido que tem em sua vida o ser professor. Para Ramalho et al (2004),
o professor constrói saberes, competências, não para uma autonomia individualista
e competitiva, ou para um poder autoritário, mas para educar segundo perspectivas
de socialização, de favorecer a inclusão pelo saber, e não a exclusão. A tabela 1
mostra os tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem, segundo os professores
pesquisados.
Tabela 1 - Tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem envolvendo problemas do 1º grau segundo os professores de matemática
(Continua)
Ordem Tópicos Porcentagem
1º ��. � + �. � = �� = �. � + � � 72%
2º Problemas em língua oficial envolvendo duas incógnitas 70%
3º Problemas em língua oficial envolvendo uma incógnita 70%
4º ��. � + �. � = � ℎ = �. � + �. � � 68%
5º ��. � + �. � = �� = � + � � 67%
6º �. � + � = −� 67%
7º (−�). � − � = −� 66%
8º ��. � + �. � = �� = �. � � 65%
10º (−�). � + � = � 63%
11º �. � − � = −� 63%
12º �. � − � = � 63%
13º � ÷ (−�) = −� 48%
14º � ÷ (−�) = � 48%
15º �. � + � = � 46%
16º � ÷ � = −� 41%
17º Tradução de língua materna para linguagem matemática 34%
18º �. � = −� 31%
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 45
Tabela 1 - Tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem envolvendo problemas do 1º grau segundo os professores de matemática
(Conclusão) 19º (−�). � = −� 30%
20º � ÷ � = � 30%
21º � − � = −� 29%
22º (−�). � = � 28%
23º �. � = � 25%
24º � + � = −� 23%
25º � − � = � 20%
26º � + � = � 19%
FONTE: Pesquisa de Campo (Junho, 2010).
Constatamos que os sistemas de equação do 1º grau aparecem como um
dos tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem segundo os professores
participantes da pesquisa. Sobre isso Daniel (2007) aponta que essa dificuldade
pode estar relacionada com a que os alunos possuem de traduzir um problema que
se apresenta em língua materna para linguagem matemática. Esclarecemos que
preferimos denominar de língua oficial brasileira o que outros pesquisadores
chamam de língua materna ou linguagem natural. Coura (2008) observou que
muitos alunos não conseguem fazer a tradução de língua oficial para linguagem
matemática. Foi pesquisado como os professores iniciam o ensino de problemas do
1º grau, e os dados constam na tabela 2.
Tabela 2 - Como os professores de matemática iniciam o ensino de problemas do 1º grau Alternativa escolhida Percentual de Professores
Somente item a) 37%
Somente item b) 23%
Somente item c) 7%
Somente item d) 5%
Somente item e) 3%
Itens a); b) 25%
Fonte: Pesquisa de campo (junho, 2010). LEGENDA: a) definição seguida de exemplos e exercícios; b) uma situação problema para depois introduzir o assunto; c) um experimento para chegar ao conceito; d) um modelo para situação e em seguida analisando o modelo; e) jogos para depois sistematizar os conceitos.
Na tabela 2, verificamos que a maioria dos professores, 37%, ensina o
conteúdo, iniciando por uma definição seguida de exemplos e exercícios. O perfil
destes professores que ensinam o conteúdo, iniciando por uma definição seguida de
exemplos e exercícios, segundo os dados da pesquisa, tem de 21 a 25 anos de
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 46
idade, do sexo masculino, tendo como tempo de serviço 1 a 5 anos, somente com a
graduação em matemática e trabalha unicamente na escola pública estadual. Foi
pesquisado como os professores fazem para fixar o conteúdo e os dados estão
dispostos na tabela 3.
Tabela 3 - Como os professores de matemática fixam o ensino de problemas do 1º grau Alternativa escolhida Percentual de Professores
Somente item a) 38%
Somente item b) 12%
Somente item c) 30%
Itens a); c) 20%
Fonte: Pesquisa de campo (junho, 2010). LEGENDA: a) apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos; b) apresentar jogos envolvendo o assunto; c) solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático; d) não propõem questões de fixação; e) solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver.
Constatamos que a maioria dos professores apresenta uma lista de
exercícios para serem resolvidos. Essa constatação era de se esperar à medida que
o processo utilizado pela maioria dos professores ao iniciar o ensino de problemas
do 1º grau é feita por meio de uma definição seguida de exercícios de fixação. O
perfil dessa maioria de professores continua sendo o mesmo da anterior. Ainda os
pesquisados foram questionados sobre a realização do ensino de linguagem
matemática, de equações do 1º grau, de problemas do 1º grau e de sistemas de
equações do 1º grau por meio de experimentos. O resultado foi que 95% não
realizam o ensino desses tópicos da matemática por meio de experimentos. Na
tabela 4 verificamos a relação entre a faixa etária dos professores com as
dificuldades assinaladas envolvendo problemas do 1º grau.
Tabela 4 – Principal dificuldade no ensino de problemas do 1º grau em relação ao tempo de serviço do professor matemática Tempo de serviço
(anos) Percentual de professores
Principal dificuldade
1 – 5 54% Problemas em língua oficial envolvendo com duas incógnitas
6 - 10 59% ��. � + �. � = �� = �. � + � �
11 - 15 56% Tradução de língua oficial para linguagem matemática
Fonte: pesquisa de campo (Junho, 2010).
Podemos perceber que conforme a faixa etária dos professores
envolvidos na pesquisa muda-se a principal dificuldade dos alunos no ensino de
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 47
problemas do 1º grau. Evidenciamos o fato de que a menor faixa etária aponta como
principal dificuldade os problemas que se apresentam em língua oficial brasileira
com duas incógnitas, porém o de maior faixa etária aponta que a dificuldade
encontra-se na tradução de problemas que se apresentam em língua oficial para
linguagem matemática.
Para a maioria dos professores que possuem somente a graduação em
licenciatura em matemática, os dados apontam que a principal dificuldade
assinalada foi a resolução de problemas que se apresentam em língua oficial
brasileira com duas incógnitas. Ainda, para a maioria dos professores que possuem
uma formação continuada em nível de pós-graduação, a principal dificuldade está na
tradução de língua oficial para linguagem matemática. Esses dados são de certo
modo coerentes, pois como podemos perceber a partir da revisão dos estudos
apresentada na subseção anterior, quando o aluno possui certa a habilidade de
tradução de problemas, tende a ter mais facilidade de identificar uma ferramenta
matemática para solução do problema proposto. A seguir apontamos algumas
dificuldades dos alunos egressos do 7º ano do ensino fundamental com relação aos
problemas do 1º grau.
1.3. O ENSINO-APRENDIZAGEM DE PROBLEMAS DO 1º GRAU SEGUNDO OS
ALUNOS
Com o objetivo de apresentar um diagnóstico a respeito das dificuldades
em relação aos problemas do 1º grau dos alunos do 8º ano do ensino fundamental,
realizamos uma consulta aos discentes por meio de um questionário (cf. apêndice B)
contendo questões referentes a informações sobre o perfil do aluno e 10 (dez)
problemas do 1º grau, os mesmos que constam nos testes gerais de nosso
experimento. O instrumento de pesquisa foi aplicado a 60 (sessenta) alunos de 8º
ano da rede pública estadual localizada no município de Belém-PA.
Com relação à idade dos alunos, 8% tinham 11 anos, 15%, 12 anos, e
77%,13 anos. Esses dados revelam que a maioria dos alunos está na idade
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 48
correspondente ao nível de escolaridade em que estavam cursando. A maioria dos
alunos participantes deste momento da pesquisa é do sexo masculino, 65%. Sobre
os responsáveis por esses alunos, a maioria assinalou ser o pai, 70%, o responsável
masculino e a mãe, 88%, o responsável feminino. Ainda, 35%, dos responsáveis
masculinos possuem apenas o fundamental completo e 43%, dos responsáveis
femininos possui o fundamental incompleto como nível de escolaridade. Os dados
revelaram que 58% dos responsáveis masculino e 65% dos responsáveis feminino
trabalham com remuneração. Sobre o tipo de escola que os alunos estudaram na
série anterior, a maioria, 88%, informou ter estudado em escola pública.
Todos os alunos participantes desta pesquisa estudavam na escola que
fica no bairro que eles moram, e informaram que não possuíam trabalho
remunerado. Somente 15% dos alunos fazem um curso fora da escola, e esse curso
era computação. Ainda a maioria, 65%, dos alunos praticam algum esporte. Os
dados revelaram que a maioria dos alunos, 63%, gosta “um pouco” de matemática.
43% informaram possuir “muitas dificuldades em matemática” e ainda 36% dos
alunos “só estudam matemática na semana da prova”. Um fato a evidenciar foi que
todos os alunos que informaram “gostar muito de matemática” estudam matemática
“todos os dias fora da escola”. Sobre o estudar dos alunos fora da escola, à maioria
dos participantes da pesquisa, 53%, informou que recebem ajuda do responsável
masculino para realização das tarefas extraclasse de matemática. Entendemos que
esse resultado pode estar associado ao nível de escolaridade maior do responsável
masculino em relação ao feminino, conforme anteriormente fora mencionado.
Concernente a resolução dos problemas propostos aos alunos, os resultados estão
dispostos na tabela 5.
Tabela 5 – Relação entre a quantidade de alunos do 8º ano que resolveram os problemas do 1º grau e as técnicas utilizadas na resolução destes problemas
(Continua)
Enunciado das questões Números de alunos que
acertaram Técnicas utilizadas para
resolução dos problemas
Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro.
Qual é esse número? 6 alunos
• 4 alunos informaram somente a resposta;
• 2 alunos fizeram por tentativa e erro
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 49
Tabela 5 – Relação entre a quantidade de alunos do 8º ano que resolveram os problemas do 1º grau e as técnicas utilizadas na resolução destes problemas
(Continua)
Um número menos quarenta e cinco é igual a setenta e
cinco. Que número é esse? 4 alunos Todos os alunos Informaram
somente a resposta
A metade de um número mais quatro é igual a seis. Qual é
esse número? 1 aluno Todos os alunos informaram
somente a resposta
O dobro de um número, menos sete, é igual a trinta e cinco. Que número é esse?
0 aluno
A soma de dois números é 8 e a diferença é 4. Que números
são esses? 0 aluno
Pensei em um número, depois somei este número
com cinquenta e dois e dividi o resultado por dois, e assim
obtive quarenta e quatro. Qual foi o número pensado?
3 alunos Os alunos apenas informaram a resposta
Em um quintal há galinhas e coelhos, num total de 13
animais e 46 pés. Qual é a quantidade de galinhas? E a
quantidade de coelhos?
0 aluno
Em um torneio de perguntas e respostas, a pontuação é
dada de acordo com o seguinte:
Uma equipe, depois de
responder 20 perguntas, ficou com 80 pontos. Quantas
foram as respostas certas? E quantas foram as respostas
erradas?
Questões Certa Errada
Ganha 10 pontos
perde 5 pontos 1 aluno Tentativa e erro
A soma de dois números pares consecutivos é 18.
Quais são esses números? 15 alunos Os alunos informaram somente
a resposta;
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 50
Tabela 5 – Relação entre a quantidade de alunos do 8º ano que resolveram os problemas do 1º grau e as técnicas utilizadas na resolução destes problemas
(Conclusão)
A soma de dois números ímpares consecutivos é 8. Quais são esses números?
7 alunos Os alunos Informaram somente a resposta;
Fonte: pesquisa de campo (Agosto, 2010).
Analisando a tabela 5, podemos perceber que o rendimento de acertos
dos alunos é preocupante. Constatamos que dos acertos obtidos nenhum utilizou
alguma técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau, limitando-se apenas
a informarem a resposta e ao emprego do que denominamos por tentativa e erro.
Concernente aos dois últimos problemas, e principalmente ao penúltimo problema
oferecido aos alunos para resolverem, identificamos que a quantidade de alunos que
acertaram informando somente a resposta foi considerável. Mas, acreditamos que
isso foi possível, pois os números “18” e “8”, são números relativamente hábeis para
o cálculo mental. Em problemas que envolveram sistemas de equações do 1º grau,
esses alunos tiveram um rendimento muito baixo, inclusive em questões onde o
cálculo mental era uma ferramenta eficaz. Sobre as estratégias identificadas, foram
classificadas conforme a tabela 6.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 51
Tabela 6 – Tipos de registros feitos pelos alunos do 8º ano durante a resolução dos problemas de 1º grau
Fonte: pesquisa de campo (Agosto, 2010).
APENAS
TRADUZIU O
ENUNCIADO EM
LINGUAGEM
MATEMÁTICA.
TRADUZIU O
ENUNCIADO EM
LINGUAGEM
MATEMÁTICA E
UTILIZOU A
TÉCNICA DE
RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS POR
TENTATIVA E
ERRO.
TRADUZIU O
ENUNCIADO EM
LINGUAGEM
MATEMÁTICA E
APONTOU
DIRETO A
RESPOSTA.
TRADUZIU O
ENUNCIADO EM
LINGUAGEM
MATEMÁTICA
UTILIZOU
TÉCNICAS
ALGÉBRICAS
DE RESOLUÇÃO
UTILIZOU O
PICTÓRICO
PARA
RESOLVER OS
PROBLEMAS
UTILIZOU A
TÉCNICA POR
TENTATIVA E
ERRO.
INFORMOU APENAS
O VALOR
DESCONHECIDO
REGISTROS
COM NENHUM
SENTIDO
PARA O
PESQUISADOR
DEIXOU
EM
BRANCO
Q.1 3 alunos 0 aluno 0 aluno 2 alunos 0 aluno 3 alunos 6 alunos 3 alunos 45 alunos
Q.2 0 aluno 0 aluno 0 aluno 4 alunos 0 aluno 0 aluno 4 alunos 17 alunos 35 alunos
Q.3 0 aluno 0 aluno 0 aluno 1 aluno 0 aluno 7 alunos 1 aluno 5 alunos 46 alunos
Q.4 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 10 alunos 11 alunos 39 alunos
Q.5 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 2 alunos 9 alunos 19 alunos 30 alunos
Q.6 0 aluno 0 aluno 1 aluno 2 alunos 0 aluno 3 alunos 7 alunos 6 alunos 41 alunos
Q.7 0 aluno 1 aluno 0 aluno 0 aluno 2 alunos 8 alunos 3 alunos 10 alunos 37 alunos
Q.8 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 20 alunos 0 aluno 8 alunos 32 alunos
Q.9 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 10 alunos 16 alunos 7 alunos 27 alunos
Q.10 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 1 alunos 19 alunos 9 alunos 31 alunos
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 52
Podemos perceber, conforme a tabela 6, que a maioria dos alunos nem
tentou esboçar algum tipo de tentativa de resolução dos problemas propostos.
Apenas 3 (três) alunos conseguiram traduzir o enunciado em linguagem matemática,
e essa execução ocorreu apenas no problema de número 1. O único aluno que
traduziu o enunciado e tentou utilizar alguma técnica algébrica de resolução de
problemas do 1º grau não obteve sucesso e teve vários erros na operacionalidade
do algoritmo de resolução. Esses dados apontam que os alunos não conseguiram
compreender os problemas e tão pouco traduzi-los em linguagem matemática. Os
poucos que conseguiram essa execução operaram o algoritmo de forma
equivocada.
Os dados mostram que todos os acertos foram dos alunos que
informaram “gostar de matemática pelo menos um pouco” e que declararam não ter
dificuldades em matemática. Ainda, esses alunos foram aqueles que informaram
estudar pelo menos 3 (três) vezes por semana fora da escola. Todos os alunos que
obtiveram acertos possuem a ajuda de um professor particular nas tarefas
extraclasse de matemática. Entendemos que apesar dos alunos que participaram da
pesquisa estarem cursando o 8º ano do ensino fundamental, não conseguem
resolver problemas do 1º grau e ainda não associam as técnicas algébricas
possivelmente estudadas no ano de estudo anterior. Durante essa seção realizamos
uma análise preliminar sobre o ensino e aprendizagem envolvendo problemas do 1º
grau no ensino fundamental, assim algumas constatações foram adquiridas e que
serviram de base para a construção das atividades para o ensino de problemas do
1º grau na qual apresentamos na seção 2. A seguir abordamos sobre as
constatações resultantes dessa análise preliminar.
1.4. SINTESE DAS ANÁLISES PRÉVIAS
Na educação é importante vincular a pedagogia adotada pelos
professores ao espaço de vida dos alunos, nesse contexto a resolução de
problemas é vista como uma metodologia alternativa no processo de ensino-
aprendizagem onde o aluno é o centro do processo didático e cujo objetivo do
professor é oferecer problemas que possam gerar novos conceitos e novos
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 53
conteúdos. Procuramos adotar uma postura didática que focalizasse o aspecto
investigativo do ensino, criando na sala de aula oportunidades para os alunos se
envolverem ativamente com a matemática por meio da resolução de problemas.
A presença da matemática no currículo escolar é justificada muitas das
vezes pelo argumento de que esta quando ensinada de forma significativa ajudaria a
desenvolver o raciocínio. Mas, quando ensinamos a partir de roteiros pré-
estabelecidos e programados elaborados sem ao menos conhecer socialmente os
alunos que participam do processo de ensino, será que estamos realmente ajudando
a desenvolver o raciocínio dos alunos? Os alunos considerados pelo sistema escolar
como “bons alunos” muitas vezes não sabem argumentar como resolveram
determinados problemas, isso pode sugerir que o conhecimento não foi entendido
por completo por esses alunos, ou até podemos inferir que estes sabem apenas
uma estrutura mecanizada de resolução dentro de um determinado conjunto de
problemas. Concordamos com a ideia de que para os alunos se tornarem “bons em
resolver problemas” deve abandonar os procedimentos cegos.
Em nossa pesquisa sobre o ensino em matemática dos problemas do 1º
grau, segundo os professores da educação básica, constatamos que os sistemas de
equações do 1º grau aparecem como um dos tópicos mais difíceis dos alunos
aprenderem. Mas, diagnosticamos que as dificuldades não dizem respeito apenas
aos sistemas do 1º grau, como também aos demais tipos de problemas do 1º grau.
Uma das explicações para essa não aprendizagem pode estar relacionada com a
postura didática dos professores. Os docentes indicaram que não realizam o ensino
do conteúdo por meio de qualquer tipo de experimento. Concordamos com a ideia
ser necessário que os alunos sintam necessidades de resolver os problemas
propostos pelo professor, pois ocorrendo isso caberá ao aluno decidir em se hesitar
ou superar a ponto de desenvolver procedimentos de análise e síntese das variáveis
dos problemas.
Em se tratando de resolução de problemas do 1º grau, a pesquisa com os
alunos egressos do 7º ano assinalou que os acertos foram dos alunos que
declararam gostar de matemática e tinham o hábito de estudar frequentemente.
Destacamos que o professor deve estimular a auto-estima do aluno, valorizando
seus acertos, as suas estratégias de resolução de problemas, e saber fazer do erro
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 54
uma oportunidade de aprender, tirando assim a ideia de que a matemática é apenas
fazer contas e gerando nos alunos o hábito de raciocinar e enfrentar com segurança
a solução do problema.
As análises prévias evidenciaram que os alunos podem desrespeitar
equivocadamente algumas propriedades da matemática. Nesse meandro os erros
podem emergir na escrita da equação e na identificação da incógnita, principalmente
quando o problema se apresenta em língua oficial. Quando o professor utiliza de
diferentes suportes de representação pode permitir aos alunos durante a resolução
de problemas expressarem suas formas de raciocinar como também auxiliar os
professores a identificar determinadas formas de operar dos alunos sobre as
relações envolvidas nos problemas.
Acreditamos que o processo didático adotado pelo professor para o
ensino de problemas do 1º grau está relacionado com os possíveis significados da
noção de equação que podem ser os seguintes: intuitivo-pragmático; dedutivo-
geométrico; estrutural-conjuntista; processual – tecnicista; axiomático-postulacional.
Enfatizamos em nossas atividades para o ensino de problemas do 1º grau dois
significados: aquele que concebe a equação como uma noção intuitiva e aquele que
concebe equação focalizando os métodos e as técnicas que são utilizadas para
resolvê-la.
Temos como hipótese a ideia de que mais do que aplicação de fórmulas
ou procedimentos repetitivos é necessário lidar com diferentes problemas e
representações. Mas, acreditamos que no momento de resolução de problemas é o
aluno que deve decidir que estratégia utilizar, e que cabe ao professor oferecer e
ensinar vários tipos de estratégias de resolução de problemas em matemática.
Os alunos, em geral, usam a escrita para registrar; comunicar; explicar; e,
traduzir. Na escrita para traduzir os alunos escrevem para tentar comunicar as
informações apresentadas mediante equações, ou seja, quando os alunos se
deparam com um problema em língua oficial o ato de traduzir se concretiza no
momento da escrita de uma equação a partir de símbolos matemáticos. Ensinar os
alunos traduzir para linguagem matemática poderá gerar um melhor desempenho de
acertos em resolução de problemas.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 55
Constatamos que os alunos egressos do 7º ano, na sua maioria, não
sabem resolver problemas do 1º grau e dos poucos alunos que conseguem não
utilizam técnica algébrica de resolução ensinada no 7º ano do ensino fundamental.
Pelo que foi constatado nas análises prévias, podemos inferir que o aluno ao se
deparar com um problema do 1º grau costuma não vincular a esse problema uma
técnica algébrica de resolução, consequentemente procura utilizar outras
estratégias, principalmente tentativa e erro. Com isso, pretendemos responder a
seguinte pergunta: quais os efeitos de um conjunto de atividades sobre o
desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do ensino
fundamental? A seguir apresentamos um conjunto de atividades para o ensino de
problemas do 1º grau.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 56
2. CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI
Nesta seção, temos por objetivo apresentar um conjunto de atividades
para o ensino de problemas do 1º grau e as análises das mesmas. Denominamos de
problemas as situações em que os alunos não possuem um caminho imediato para
sua resolução. Neste estudo primeiramente pretendemos que o aluno compreenda o
que Polya (2006) denominou de equacionamento, ou seja, a tradução de uma língua
para outra, em seguida, descobrir estratégias algébricas de resolução de problemas
do 1º grau. Seguimos as recomendações de Sá (2005) para elaboração e execução
da sequência de atividades para o ensino de problemas do 1º grau:
1. não tente fazer uma aula desse modo de maneira improvisada;
2. determine qual é o problema mais simples e interessante para turma
que uma operação ou conceito matemático auxiliam a solução;
3. descubra um processo de resolver o problema sem o uso da operação,
normalmente o processo procurado envolve o uso de algum material
manipulativo ou o uso de algum outro conceito já conhecido;
4. proponha o problema em sala e dê um pouco de tempo para a turma
pensar numa solução;
5. solicite que a turma apresente uma solução ao problema ou apresente
a solução que você tem;
6. faça um registro escrito e detalhado da solução para toda a turma;
7. analise com a turma os invariantes que surgiram na resolução de
problemas;
8. solicite da turma uma conclusão operacional para resolver o problema
apresentado;
9. sistematize o conceito que você tinha como objetivo trabalhar;
10. mostre como fica a solução do problema proposto com o uso do
conteúdo sistematizado;
11. proponha novos problemas envolvendo o assunto sistematizado.
Os problemas presentes em cada atividade foram concebidos de modo a
permitir ao aluno agir, se expressar, refletir e evoluir por iniciativa própria, adquirindo
assim novos conhecimentos. Assumimos o papel de professor das turmas,
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 57
mediando e orientando as atividades. O tempo estimado para cada atividade e
assim como para os testes foi de 2 (duas) horas–aula, sendo respeitado o tempo de
cada hora - aula das escolas públicas do Estado do Pará, no período diurno, ou seja,
de 45 (quarenta e cinco) minutos. A sequência didática contém 9 (nove) atividades,
sendo divididas igualmente em 3 (três) grupos: atividades para o ensino de tradução
de enunciados escritos em língua oficial brasileira para linguagem matemática;
atividades para o ensino de problemas do 1º grau com uma incógnita; e, atividades
para o ensino de problemas envolvendo sistemas do 1º grau. Antes e depois de
cada grupo de atividades aplicamos testes. Os testes gerais foram usados para
verificar a eficácia da sequência de atividades relativa ao assunto problemas do 1º
grau. Os testes específicos foram usados para verificar a eficácia da sequência de
atividades sobre cada tópico desenvolvido em relação ao assunto problemas do 1º
grau, assim tivemos como analisar o desenvolvimento cognitivo pontualmente.
2.1. TESTES GERAIS
Objetivo: Verificar como os alunos resolveriam problemas do 1º grau, antes e
depois da sequência de atividades sobre o assunto.
Material: Folha de teste.
Procedimentos: Entregar a cada aluno uma cópia da folha do teste e solicitar que
resolvessem os problemas.
Resolva os seguintes problemas:
1) Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro. Qual é esse
número?
Análise a priori do pré-teste: os alunos resolverão o problema usando tentativa e
erro. Ou seja, irão pensar em um número que solucionasse o problema. A nossa
hipótese é de que conseguiriam resolver utilizando o algoritmo da adição com
diferentes números adicionados a vinte e um para obter sessenta e quatro.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 58
Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para
linguagem matemática e utilizarão alguma técnica algébrica de resolução.
2) Um número menos quarenta e cinco é igual a setenta e cinco. Que número é
esse?
Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão solucionar o problema atribuindo
valores para o número desconhecido até satisfazer a questão. Outros irão cometer o
equívoco de subtrair quarenta e cinco de setenta e cinco.
Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria irão traduzir o problema
para linguagem matemática e utilizaria alguma técnica algébrica de resolução.
3) A metade de um número mais quatro é igual a seis. Qual é esse número?
Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema e
cometerão o equívoco de pensar em um número mais quatro que seja igual a seis e
não a metade desse número, aparecendo como solução o número dois.
Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria irão traduzir o problema
para linguagem matemática e utilizaria alguma técnica algébrica de resolução. A
representação da metade de um número muitos alunos não utilizarão a simbologia
de fração.
4) O dobro de um número, menos sete, é igual a trinta e cinco. Que número é
esse?
Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema e
cometerão o equívoco de não pensar no dobro de um número, aparecendo como
solução o número quarenta e dois.
Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para
linguagem matemática e utilizará alguma técnica algébrica de resolução. O dobro de
um número iria se representado coerentemente e com mais facilidade.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 59
5) A soma de dois números é 8 e a diferença é 4. Que números são esses?
Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema e
cometerão o equívoco de atribuir quatro valores diferentes dois para cada equação.
Por exemplo: 4 + 4 = 8 � 4 – 0 = 4.
Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para
linguagem matemática e utilizarão alguma técnica algébrica de resolução. Mas,
acreditamos ainda que muitos apesar de representarem pela linguagem matemática
tentarão resolver o problema por tentativa e erro.
6) Pensei em um número, depois somei este número com cinquenta e dois e
dividi o resultado por dois, e assim obtive quarenta e quatro. Qual foi o
número pensado?
Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema.
Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para
linguagem matemática e utilizará alguma técnica algébrica de resolução. Alguns
alunos tentarão resolver o problema pela ordem inversa da situação.
7) Em um quintal há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés (ou
patas). Qual é a quantidade de galinhas? E a quantidade de coelhos?
Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema. Irão
atribuir valores que somado resulta em 13 (treze), mas não irão relacionar o número
de pés (ou patas) dos animais com a quantidade de animas, ou irão atribuir que
somado da maior que 13 (treze).
Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para
linguagem matemática e utilizarão alguma técnica algébrica de resolução. Alguns
alunos terão dificuldades para representar a quantidade de pés ou patas em relação
com os animais, assim terão dificuldades em tradução.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 60
8) Em um torneio de perguntas e respostas, a pontuação é dada de acordo com
o seguinte:
Questões
Certa Errada
Ganha 10 pontos perde 5 pontos
Uma equipe, depois de responder 20 perguntas, ficou com 80 pontos.
Quantas foram as respostas certas? E quantas foram as respostas erradas?
Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema. Irão
atribuir valores diferentes para quantidade de perguntas e quantidade de pontos.
Exemplo: 14 acertos e 6 erros, mas nossa hipótese é que não perceberão que esses
dados não resultará em 80 pontos.
Análise a priori do pós-teste: os alunos não irão traduzir para linguagem
matemática e não irão reconhecer técnica algébrica de resolução. Mas, tentarão
solucionar os problemas atribuindo valores aleatórios a fim de alcançar a solução
coerente da questão.
9) A soma de dois números pares consecutivos é 18. Quais são esses
números?
Análise a priori do pré-teste: os alunos não entenderão o que é número
consecutivo e não relacionarão pares consecutivos, e tentará solucionar atribuindo
valores que não satisfazem a condição da questão.
Análise a priori do pós-teste: os alunos não irão traduzir para linguagem
matemática e não irão reconhecer técnica algébrica de resolução. Mas, tentarão
solucionar os problemas atribuindo valores aleatórios a fim de alcançar a solução
coerente da questão. A nossa hipótese é que nesse momento surgirá a dificuldade
de entender uma técnica de tradução diferente onde a letra não satisfaz
completamente a tradução do enunciado, tendo que o aluno perceber que
encontrado o valor da letra teria ainda que multiplicar esse valor por dois.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 61
10) A soma de dois números ímpares consecutivos é 8. Quais são esses
números?
Análise a priori do pré-teste: os alunos não entenderão o que é número
consecutivo e não relacionarão ímpares consecutivos, e tentarão solucionar
atribuindo valores que não satisfazem a condição da questão.
Análise a priori do pós-teste: os alunos não irão traduzir para linguagem
matemática e não irão reconhecer técnica algébrica de resolução. Mas, tentarão
solucionar os problemas atribuindo valores aleatórios a fim de alcançarem a solução
coerente da questão. A nossa hipótese é que nesse momento surgirá a dificuldade
de entender uma técnica de tradução diferente onde a letra não satisfaz
completamente a tradução do enunciado, tendo que o aluno perceber que
encontrado o valor da letra teria ainda que multiplicar esse valor por dois e somar
com uma unidade.
2.2. TESTES DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA
Objetivo: Verificar se e como os alunos traduziriam as sentenças escritas em língua
oficial brasileira em linguagem matemática, antes e depois da sequência de
atividades sobre o assunto.
Material: Folha de teste.
Procedimentos: entregar a cada aluno uma cópia da folha de teste e explicar aos
alunos que traduzam cada sentença que se apresenta em língua oficial para
linguagem matemática.
Represente simbolicamente as sentenças:
1. Um número mais três é igual a onze.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Assim responderão o valor do número que
somado com três é igual a onze.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 62
Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma
rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno
teria que traduzir o número desconhecido por uma letra do nosso alfabeto.
2. Um número menos nove é igual a dois.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema.
Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma
rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno
teria que traduzir o número desconhecido por uma letra do nosso alfabeto.
3. Um número menos quatro é igual a menos dez.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma
rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno
terá que traduzir o número desconhecido por uma letra do nosso alfabeto. Alguns
não representarão o “menos” dez.
4. O triplo de um número é igual a nove.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma
rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno
terá que traduzir o triplo de um número desconhecido por três vezes alguma letra do
nosso alfabeto. Alguns alunos não irão representar o triplo de um número.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 63
5. A metade de um número é igual a seis.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma
rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno
terá que traduzir a metade do número desconhecido dividido por dois, ou seja, uma
letra do nosso alfabeto dividido por dois. Alguns alunos não irão representar a
metade de um número usando a simbologia de fração.
6. O dobro de um número mais cinco é igual a menos onze.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma
rápida e coerente, o que poderá ocorrer de equívoco é não representar a palavra
“menos” de “menos onze”.
7. O triplo de um número menos seis é igual a zero.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma
rápida e coerente, pois a técnica será representar o triplo de um número
desconhecido por três vezes uma letra do nosso alfabeto.
8. O dobro de um número menos seis é igual a menos quatorze.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 64
Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma
rápida e coerente, o equívoco poderá ocorrer na não tradução do sinal de menos da
expressão “menos quatorze”.
9. O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma
coerente, mas alguns ainda terão muitas dificuldades, pois se trata de outra técnica
de tradução: duas vezes uma letra mais três vezes a mesma letra é igual a menos
quarenta. Provavelmente o equívoco mais acentuado será o de representar por
letras diferentes não percebendo que se trata do mesmo número.
10. Um número mais três, vezes cinco é igual a quarenta e cinco.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se
trata de outra técnica de tradução: ( + 3) 5 = 45, ou seja, usar os parênteses para
indicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
11. Um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se
trata de outra técnica de tradução: �a - 15�3 = 21, ou seja, usar os parênteses para
indicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração e ainda
usar a simbologia de fração.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 65
12. A soma de dois números consecutivos é igual a cinquenta e três.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se
trata de outra técnica de tradução: + ( + 1) = 53, ou seja, o consecutivo de um
número desconhecido.
13. A soma de dois números pares consecutivos é igual a noventa e oito.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se
trata de outra técnica de tradução: 2. + (2 + 2) = 98, ou seja, representar o
número par e consecutivo do número par. Muitos não entenderá que a letra não
representa o valor desconhecido.
14. A soma de dois números ímpares consecutivos é igual a oitenta e oito.
Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem
matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para
determinar o valor do número desconhecido.
Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se
trata de outra técnica de tradução: (2. + 1) + (2 + 3) = 88, ou seja, representar o
número ímpar e consecutivo do número ímpar. Muitos não entenderá que a letra não
representa o valor desconhecido.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 66
2.3. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE TRADUÇÃO DE ENUNCIADOS ESCRITOS
EM LÍNGUA OFICIAL BRASILEIRA PARA LINGUAGEM MATEMÁTICA
2.3.1. Atividade 01
Título: LINGUAGEM MATEMÁTICA
Objetivo: Possibilitar aos alunos a compreensão sobre a linguagem matemática.
Material: Texto sobre linguagem matemática.
Procedimentos: entregar a cada aluno uma cópia do texto, logo em seguida
solicitar aos alunos que o lerem, e dialogar sobre a temática. No final da atividade
solicitar que os alunos traduzem para linguagem matemática alguns enunciados
escritos em língua oficial.
Texto sobre linguagem matemática
A linguagem é uma forma de expressar determinada ideia. Na vida
prática, existem diferentes maneiras de comunicar as ideias: pela linguagem falada,
pela escrita, pela musical etc. A matemática também possui sua forma de
comunicação, e utiliza de uma linguagem para transmitir suas ideias de maneira
simples e precisa.
A linguagem matemática utiliza símbolos para expressar frases que, se
escrita na linguagem corrente, usariam maior quantidade de símbolos ou espaços.
Por exemplo, a frase: Dois mais três é igual a cinco, se escrita na linguagem
matemática, usaremos apenas cinco símbolos (2 + 3 = 5), que podem ser
compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com os símbolos matemáticos.
Uma técnica de tradução em linguagem matemática é o uso de letras para
representar quantidades desconhecidas.
1. Um número mais três é igual a onze:
2. Um número menos nove é igual a dois:
3. O dobro de um número é igual a dez:
4. O triplo de um número é igual a nove:
5. A metade de um número é igual a seis:
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 67
6. A terça parte de um número é igual a dezoito:
7. O dobro de um número mais cinco é igual a onze:
8. O triplo de um número menos seis é igual a zero:
9. O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta:
10. Três mais um número, vezes cinco é igual a quarenta e cinco:
11. Um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um:
12. A soma de dois números pares consecutivos é quatorze:
13. A soma de dois números ímpares consecutivos é doze:
Análise a priori: Ao lerem o texto os alunos irão se questionar sobre essa “nova”
linguagem e que ao perceberam diferentes técnicas de tradução em linguagem
matemática, entenderam com mais facilidade os de tradução simples onde temos
que apenas traduzir o número desconhecido por uma letra do nosso alfabeto. A
nossa postura como professor deverá ser de elucidar que a matemática possui seus
próprios meios de representação e que quando essas diferentes técnicas são
entendidas, a sua aprendizagem fica acessível aos alunos. A ideia principal é do
dialogo com os alunos e não uma exposição unidirecional.
2.3.2. Atividade 02
Título: BARALHO DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA
Objetivo: Possibilitar aos alunos a prática da tradução da língua oficial para
linguagem matemática de forma lúdica.
Número de Jogadores: 4 (quatro) alunos por equipe.
Material: 60 (sessenta) cartas (cf. apêndice C).
Regras:
• Um dos participante será o carteador, escolhido conforme acordado em
grupo, este distribui 6 (seis) cartas para cada um dos outros alunos que
formaram a equipe, uma a uma.
• As cartas não usadas na distribuição são colocadas sobre a mesa com a
face virada para baixo e constituíram o monte de compras. Os alunos devem
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 68
avaliar as cartas recebidas e então, começando pelo aluno à esquerda do
carteador, iniciaram o jogo.
• O primeiro participante sentado á esquerda do carteador compra a carta de
cima do monte de compras e tem duas opções: ficará com a carta, se ela
servir no seu jogo ou descartá-la, estas ficam com a face virada sobre a
mesa formando o monte de descartes.
• O participante seguinte terá duas opções de compra: ou do monte de
compras ou poderá pegar a última carta descartada sobre a mesa, apenas a
última carta do monte de descartes poderá ser comprada, o jogo prossegue
com todos os alunos da equipe comprando e descartando uma carta. Com a
compra, os alunos da equipe tentarão montar duplas de cartas que
representam a tradução da língua oficial para linguagem matemática, ou
vice-versa.
• O participante que primeiro conseguir montar 3 (três) duplas com todas as
suas cartas ganhará.
Exemplo de cartas:
Análise a priori: no primeiro momento será necessário enfatizar que o jogo terá que
ser uma atividade para que os alunos possam ganhar agilidade quanto a tradução
em linguagem matemática e, por isso, no momento de dúvidas sobre a formação
das duplas de cartas os alunos terão que comunicar e dialogar com a turma ou o
professor. Em algum momento do jogo os alunos irão compreender as traduções e
ganhar agilidade a ponto de elaborar estratégias de jogos.
Um número mais dois é
igual a vinte.
X + 2 = 20
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 69
2.3.3. Atividade 03
Título: EXERCÍCIO DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA DE
ENUNCIADOS ESCRITOS EM LÍNGUA OFICIAL BRASILEIRA.
Material: Folha de exercício
Procedimento: Entregar uma cópia da folha de exercício e solicitar aos alunos que
fizessem as devidas transformações.
Grupo 1
Análise a priori: possibilitará aos alunos o exercício da técnica de tradução: a letra
representa o número desconhecido.
Represente simbolicamente as sentenças:
1. Um número mais quatro é igual a doze.
2. Um número mais cinco é igual a quatorze.
3. Um número mais sete é igual a vinte e seis.
4. Um número mais doze é igual a quarenta.
5. Um número menos seis é igual a menos dois.
6. Um número menos nove é igual a menos cinco.
7. Um número menos quinze é igual a menos sete.
8. Um número menos vinte e quatro é igual a menos doze.
9. Um número menos quatro é igual a dez.
10. Um número menos seis é igual a quatorze.
11. Um número menos dez é igual a vinte e quatro.
12. Um número menos dezesseis é igual a trinta e oito.
Grupo 2:
Análise a priori: a atividade possibilitará aos alunos o exercício da técnica de
tradução: uma letra dividida por um número usando a simbologia de fração. O
entendimento dessa tradução será rapidamente compreendido, mas alguns
momentos não representarão pela simbologia de fração.
13. Um número dividido por quatro é igual a oito.
14. Um número dividido por cinco é igual a quinze.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 70
15. Um número dividido por seis é igual a trinta e seis.
16. Um número dividido por sete é igual a quarenta e dois.
17. A quinta parte de um número inteiro somado com dezenove dá oitenta e dois.
18. A metade de um número é igual a cinco.
19. A terça parte de um número é igual a doze.
20. A metade de um número mais seis é igual a menos quinze.
Grupo 3:
Análise a priori: possibilitará aos alunos o exercício da técnica de tradução: o triplo
de um número é traduzido por três vezes uma letra do nosso alfabeto; e o dobro de
um número é traduzido por duas vezes uma letra do nosso alfabeto.
21. O triplo de um número é igual a menos nove.
22. O triplo de um número é igual a menos doze.
23. O triplo de um número é igual a menos quinze.
24. O triplo de um número é igual a menos dezoito.
25. O triplo de um número menos seis é igual a zero.
26. O triplo de um número menos vinte é igual a trinta.
27. O triplo de um número menos vinte e seis é igual a dez.
28. O triplo de um número menos quarenta e seis é igual a quarenta.
29. O triplo de um número menos um é igual a vinte e dois.
30. O triplo de um número mais o seu quádruplo é igual a cinquenta e dois
31. O dobro de um número mais quatro é igual a treze.
32. O dobro de um número mais nove é igual a vinte e quatro
33. O dobro de um número mais cinco é igual a onze.
34. O dobro de um número mais quatorze é igual a trinta e seis.
35. O dobro de um número menos seis é igual a menos quatorze.
36. O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta.
37. O dobro da idade de Evandro mais dois anos é igual a quarenta anos.
38. O dobro da idade de Vânia mais doze anos é igual a quarenta e seis.
Grupo 4:
Análise a priori: possibilitará aos alunos o exercício da técnica de tradução: usar os
parênteses para representar a distributiva em relação à adição ou a subtração.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 71
39. Um número mais, três multiplicado por cinco é igual a quarenta e cinco.
40. Um número mais quatro, multiplicado por sete é igual a quarenta e três.
41. Um número mais sete, multiplicado por nove é igual a vinte e nove.
42. Um número mais oito, multiplicado por dois é igual a dezenove.
Grupo 5:
Análise a priori: possibilitará aos alunos o exercício da técnica de tradução:
representar consecutivo de um número desconhecido. Acreditamos que os alunos
terão muitas dificuldades nessa tradução.
43. A soma de dois números consecutivos é igual a quarenta e cinco.
44. A soma de dois números consecutivos é igual a vinte e um.
45. A soma de dois números pares consecutivos é igual a noventa e oito.
46. A soma de dois números pares consecutivos é igual a setenta e dois.
2.4. TESTES DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA
Objetivo: Verificar se e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau com
uma incógnita, antes e depois da sequência de atividades sobre o assunto.
Material: Folha de teste de problemas do 1º grau com uma incógnita;
Procedimentos: Entregar a cada aluno uma cópia da folha de teste; e, solicitar que
resolva os problemas.
Resolva os seguintes problemas:
1. Estas balanças estão equilibradas. Calcule o valor de x:
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 72
Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema,
talvez até nem identifiquem o que estar sendo requerido no problema.
Análise a priori do pós-teste: Acreditamos que os alunos resolverão os problemas
utilizando as técnicas algébricas de resolução de problemas.
2. Um número mais dezoito é igual a noventa e cinco. Qual é esse número?
Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro
traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e
erro.
Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as
técnicas algébricas de resolução de problemas.
3. Um número menos seis é igual a menos quarenta e cinco. Que número é
esse?
Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro
traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e
erro. A maior dificuldade será relacionar a resposta ao menos quarenta e cinco.
Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as
técnicas algébricas de resolução de problemas.
4. O dobro de um número menos dois é igual a trinta. Qual é esse número?
Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro
traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e
erro.
Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as
técnicas algébricas de resolução de problemas.
5. O triplo de um número mais dez é igual a menos dois. Qual é esse número?
Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro
traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e
erro.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 73
Análise a priori do pós-teste: Acreditamos que os alunos resolverão os problemas
utilizando as técnicas algébricas de resolução de problemas.
6. A metade de um número mais dez é igual a doze. Qual é esse número?
Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro
traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e
erro. A metade ainda não iria ser representada pela simbologia de fração.
Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as
técnicas algébricas de resolução de problemas.
7. A terça parte de um número menos cinco é igual a dois. Qual é esse número?
Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro
traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e
erro. A terça parte ainda não irá ser representada pela simbologia e fração.
Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as
técnicas algébricas de resolução de problemas.
2.5. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA
INCÓGNITA
2.5.1. Atividade 01
Título: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA COM
O AUXÍLIO DE UMA BALANÇA PICTÓRICA
Objetivo: Possibilitar aos alunos a descoberta de técnicas algébricas para resolver
problemas do 1º grau de uma incógnita com o auxílio de uma balança pictórica.
Material: Folha com balanças pictóricas
Procedimento: Entregar uma cópia da folha com balanças pictóricas e dialogar com
os alunos sobre como obter a quantidade desconhecida. Após os alunos terem
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 74
adquirido confiança na resolução por meio da balança pictórica, propor alternativas
algébricas de resolução.
Resolva os problemas abaixo, utilizando uma balança pictórica:
1. O peso de uma melancia mais 4 kg é igual a 12 kg. Qual o peso da
melancia?
Análise a priori: os alunos conseguirão calcular a quantidade desconhecida sendo
auxiliado pela balança pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente
os problemas do 1º grau com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta
de técnicas algébricas utilizando o princípio aditivo da igualdade.
2. O peso de uma melancia mais 5 kg é igual a 14 kg. Qual o peso da melancia?
Análise a priori: os alunos conseguirão calcular a quantidade desconhecida sendo
auxiliado pela balança pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente
os problemas do 1º grau com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta
de técnicas algébricas utilizando o princípio aditivo da igualdade. Os alunos já
entenderão que a quantidade que se retira de um lado tem que também ser retirada
do outro para manter a igualdade.
3. O peso de uma melancia mais 7 kg é igual a 26 kg. Qual o peso da melancia?
Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança
pictórica, calculará a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança
pictórica e possuirá habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 75
com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas
utilizando o princípio aditivo da igualdade.
4. O peso de uma melancia mais 12 kg é igual a 40 kg. Qual o peso da melancia?
Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança
pictórica, calculará a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança
pictórica e possuirá habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau
com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas
utilizando o princípio aditivo da igualdade.
5. O peso de um cacho de açaí menos 6 kg é igual a 2 kg. Qual é o peso desse
cacho de açaí?
Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança
pictórica, calculará a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança
pictórica e possuirá habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau
com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas
utilizando o princípio aditivo da igualdade. Pretendemos que os alunos já traduzirão
o enunciado e que entenderão que quando se coloca peso de um dos lados da
balança para se equilibrar novamente coloca-se a mesma quantidade do outro.
6. O peso de um cacho de açaí menos 9 kg é igual a 5 kg. Qual é o peso desse
cacho de açaí?
Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança
pictórica, calcularão a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança
pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau
com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas
utilizando o princípio aditivo da igualdade.
7. O peso de um cacho de açaí menos 15 kg é igual a 7 kg. Qual é o peso desse
cacho de açaí?
Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança
pictórica, calcularão a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança
pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 76
com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas
utilizando o princípio aditivo da igualdade.
8. O peso de um cacho de açaí menos 24 kg é igual a 12 kg. Qual é o peso desse
cacho de açaí?
Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança
pictórica, calcularão a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança
pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau
com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas
utilizando o princípio aditivo da igualdade.
9. O dobro do peso de uma saca de farinha é igual a 14 kg. Qual o peso dessa
saca de farinha?
Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos
incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem
matemática: 2. � = 14, para perceberem que: 2 ÷ (2. �) = 2 ÷ (14).
10. O dobro do peso de uma saca de farinha é igual a 8 kg. Qual o peso dessa saca
de farinha?
Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos
incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem
matemática: 2. � = 18, para perceberem que: 2 ÷ (2. �) = 2 ÷ (18).
11. O triplo do peso de uma saca de farinha é igual a 9 kg. Qual o peso dessa saca
de farinha?
Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos
incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem
matemática: 3. � = 9, para perceberem que: 3 ÷ (3. �) = 3 ÷ (9). Assim, tentaremos
evidenciar que a divisão depende do número que a letra.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 77
12. O triplo do peso de uma saca de farinha é igual a 12 kg. Qual o peso dessa saca
de farinha?
Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos
incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem
matemática: 3. � = 12, para perceberem que: 3 ÷ (3. �) = 3 ÷ (12).
13. O peso de uma caixa de bananas dividido por 4 é igual a 8 kg. Qual o peso
dessa caixa de bananas?
Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos
incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem
matemática: �� = 8, para perceberem que: 4. ���� = 4. (8). Os alunos terão que
perceber que a letra nesse caso divide o valor desconhecido, assim eles terão que
multiplicar ambos os lados por quatro. Um equívoco que poderá ocorrer é de algum
aluno pensar que a resposta da questão seja � = 2, ou seja, 8 ÷ 4 = 2.
14. O peso de uma caixa de bananas dividido por 5 é igual a 15 kg. Qual o peso
dessa caixa de bananas?
Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos
incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem
matemática: �� = 15, para perceberem que: 5. ���� = 4. (15). Os alunos terão que
perceber que o número que se multiplica em ambos os lados da igualdade será igual
ao que dividi o valor desconhecido.
15. O peso de uma caixa de bananas dividido por 6 é igual a 36 kg. Qual o peso
dessa caixa de bananas?
Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos
incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem
matemática: �� = 36, para perceberem que: 6. ���� = 6. (36). Os alunos terão que
perceber que o número que se multiplica em ambos os lados da igualdade será igual
ao que dividi o valor desconhecido.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 78
16. O peso de uma caixa de bananas dividido por 7 é igual a 42 kg. Qual o peso
dessa caixa de bananas?
Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos
incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem
matemática: �! = 42, para perceberem que: 7. ��!� = 7. (42). Os alunos terão que
perceber que o número que se multiplica em ambos os lados da igualdade seria
igual ao que dividi o valor desconhecido.
2.5.2. Atividade 02
Título: BARALHO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA
Objetivo: Possibilitar aos alunos uma prática de forma lúdica da resolução de
problemas do 1º grau com uma incógnita.
Número de Jogadores: 4 (quatro) alunos por equipe.
Materiais: 96 (noventa e seis) cartas (cf. apêndice D).
Procedimentos:
• Um dos alunos será o carteador esse será escolhido conforme o acordo em
grupo, o carteador distribuirá nove cartas para cada jogador, uma a uma. As
cartas não usadas na distribuição serão colocadas sobre a mesa com a face
virada para baixo e constituirão o monte de compras. Os alunos devem
avaliar as cartas recebidas e então, começando pelo aluno á esquerda do
carteador, iniciarem o jogo.
• Os jogos possíveis são uma carta “equação original”, uma carta “isolar a
variável”, e uma carta “solução”. As sequências obrigatoriamente devem ter
no mínimo três cartas. O primeiro aluno sentado á esquerda do carteador
compra a carta de cima do monte de compras e tem duas opções: ficar com a
carta, se ela servir no seu jogo ou descartá-la (as cartas descartadas ficam
com a face virada sobre a mesa formando o monte de descartes).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 79
• O aluno seguinte terá duas opções de compra: ou do monte de compras ou
poderá pegar a última carta descartada sobre a mesa (apenas a última carta
do monte de descartes poderá ser comprada), o jogo prossegue com todos os
jogadores comprando e descartando uma carta. Com a compra os alunos
tentarão montar jogos com as cartas que receberam na distribuição, e
baterem a rodada.
• O aluno que primeiro conseguir montar jogos com todas as suas cartas
ganhará a rodada. São duas as formas de se bater o jogo: sem descarte
combinando todas as cartas da mão ou com descarte combinando as cartas
de forma a sobrar uma para o descarte final.
Exemplo de cartas:
Análise a priori: os alunos assimilarão o princípio multiplicativo e aditivo da
igualdade. Com o recurso do baralho esperamos que essa atividade possibilitará aos
alunos uma prática de forma lúdica da resolução de problemas do 1º grau com uma
incógnita.
2.5.3. Atividade 03
Título: EXERCÍCIO DE TÉCNICA ALGÉBRICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA.
Objetivo: Possibilitar aos alunos uma prática da técnica algébrica de resolução de
problemas do 1º grau com uma incógnita.
Material: Folha de atividades
Solução
x = 18
Isolar a variável
x = 20 - 2
Equação Original
x + 2 = 20
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 80
Procedimentos: Entregar a cada aluno uma cópia da folha de exercício e dialogar
com eles sobre as possíveis resoluções dos problemas por meio de técnica
algébrica.
Grupo 1
Análise a priori: esse grupo de atividade possibilitará aos alunos uma prática da
técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita,
relacionado apenas um dos princípios da igualdade. Um dos equívocos que poderá
ocorrer é em relação às operações aritméticas envolvendo números inteiros.
Resolva os problemas abaixo, utilizando técnicas de resolução algébricas: 1. x + 2 = 5
2. x + 2 = -5
3. x + 4 = -9
4. x + 6 = -14
5. x – 2 = 5
6. x – 2 = -5
7. x – 4 = -9
8. x – 6 = -14
9. 2x = 6
10. 3x = 12
11. 4x = 20
12. 3x = -12
13. 2x = -6
14. 4x = -20
15. -4x = 20
16. -3x = 12
17. -2x = 6
18. – 4x = - 20
19. – 3x = - 12
20. – 2x = - 6
21. x
2=6
22. x
4=5
23. x3
=7
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 81
24. x
2=-6
25. x
4=-5
26. x
3=-7
Grupo 2
Análise a priori: esse grupo de atividade possibilitará aos alunos uma prática da
técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita,
relacionado os dois princípios da igualdade. Será necessário trabalhar novamente
com a balança pictórica para que os alunos venham a perceber qual o princípio da
igualdade utilizará primeiro.
27. 2x + 3 = 11
28. 3x + 4 = 16
Grupo 3
Análise a priori: esse grupo de atividade possibilitará aos alunos uma prática da
técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita,
relacionado os dois princípios da igualdade. Esperamos que os alunos utilizassem o
princípio aditivo e multiplicativo sem o auxilio do registro da balança pictórica.
29. 5x + 7 = 32
30. 2x – 3 = 11
31. 3x – 5 = 16
32. 5x – 7 = 33
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 82
33. 2x + 3 = -11
34. 3x + 4 = -17
35. 5x + 7 = -33
36. - 2x + 3 = -11
37. -3x + 4 = -17
38. -5x + 7 = -33
39. - 2x – 3 = -11
40. -3x – 4 = -19
41. -5x – 7 = -37
42. 3x + 5 = 11
43. 3x + 7 = 10
44. 3 – 2x = 11
45. 4 – 2x = 12
Grupo 4
Análise a priori: esse grupo de atividade possibilitará aos alunos uma prática da
técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita,
relacionado os dois princípios da igualdade. Esse grupo de atividade possibilitará
aos alunos uma prática da técnica algébrica de diferentes problemas do 1º grau com
uma incógnita. Provavelmente precisaremos intervir de forma mais significativa
nesse grupo de atividade, revisando até alguns conteúdos do ensino fundamental
anterior ao 7º ano.
46. -(x + 30) + x = 192
47. -3(x + 4) + x = 14
48. 3x + 1 = 2x – 3
49. 2x + 4 = 3x + 1
50. x + x
5 = 12
51. x + x
2 = 9
52. n
3+ 2=n+1
53. n
4+ 2=n-1
54. (2x-1)
3 =5
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 83
55. x
3 +
x
2 = 10
56. x
4 +
x
2 = 15
57. 3x + 7 = 2(x + 4) + 1
58. 5 (2x – 1) + 7 (2 + 3x) = - 3 (x – 3)
59. 3(p + 1) = 18
60. n + 2(n+1) -3(n+2) = 6
61. n - (n+1) -3(n-2) = 1
2.6. TESTES DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU
Objetivo: Verificar se e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau com
duas incógnitas antes e depois da sequência de atividades sobre o assunto.
Material: Folha de teste.
Procedimentos: Entregar a cada aluno uma cópia da folha de teste e solicitar que
resolva os problemas da folha.
Resolva os problemas abaixo:
1. Num quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 patas. Quantas são as
galinhas? E os coelhos?
2. A soma das idades de José e Maria é 55 anos. A idade de José mais o dobro
da idade de Maria é igual a 85 anos. Qual é a idade José? E a idade de
Maria?
3. Em uma loja, Josias comprou 5 canetas e 3 lápis e gastou R$ 21,00.
Mariana, na mesma loja, comprou 3 canetas e 2 lápis e gastou R$ 12,90.
Qual é o valor da caneta? E do lápis?
4. A soma de dois números é igual a 14. A diferença entre esses números é
igual a dois. Quais são esses números?
5. O peso de Camila e de seu gato Tico, juntos, é de 32 kg. O peso de Camila
é sete vezes o de Tico. Qual o peso de cada um?
6. A soma de dois números consecutivos pares é igual a 18. Quais são esses
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 84
números?
7. A soma de dois números consecutivos ímpares é igual a 12. Quais são esses
números?
Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema relacionando
com aquilo que assimilaram das atividades anteriores. Mas, não darão conta de
traduzir o problema em linguagem matemática e por isso tentarão solucionar por
tentativa e erro.
Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão o problema relacionando com
aquilo que assimilaram das atividades anteriores. E depois das atividades sobre o
assunto traduzirão o problema em linguagem matemática e por isso utilizarão a
técnica algébrica de resolução de sistema do 1º grau por substituição.
2.7. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS
DO 1º GRAU
2.7.1. Atividade 01
Título: RESOLUÇÃO DE SISTEMA DO 1º GRAU POR BALANÇA PICTÓRICA
Objetivo: Possibilitar aos alunos a descoberta de um meio algébrico de resolver
problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de uma balança
pictórica.
Material: Folha com balanças pictóricas.
Procedimento: Entregar uma cópia da folha e dialogar com os alunos sobre como
calcular as quantidades desconhecidas. Após perceber que os alunos adquiriram
confiança na resolução por meio da balança, propor alternativas algébricas de
resolução.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 85
Análise a priori: essa situação possibilitará aos alunos a descoberta de um meio
algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de
uma balança pictórica.
Análise a priori: que essa situação possibilitará aos alunos a descoberta de um
meio algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o
auxílio de uma balança pictórica. Nesse momento será necessário fazer o seguinte
esquema:
# = 2. $
3# = 15
SITUAÇÃO 2
Sabendo que cada pesa exatamente 1 (um) kg, calcule o peso da
melancia e do cacho de bananas em cada situação abaixo.
SITUAÇÃO 1
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 86
$ = 5
# = 10
Depois de dialogar com os alunos o esquema acima, solicitaremos aos
alunos que façam o mesmo na situação 1 e assim entender a resolução por
substituição dos sistemas do 1º grau propostos.
Análise a priori: essa situação possibilitará aos alunos a descoberta de um meio
algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de
uma balança pictórica. Nesse momento, os alunos conseguirão representar suas
resoluções por meio algébrico sem intervenção direta do professor.
Análise a priori: essa situação possibilitará aos alunos a descoberta de um meio
algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de
SITUAÇÃO 4
SITUAÇÃO 3
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 87
uma balança pictórica. Nesse momento, conseguirá resolver o problema pelo meio
algébrico sem representar pelo pictórico.
Grupo 1
Análise a priori: esse grupo possibilitará aos alunos a descoberta de um meio
algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de
uma balança pictórica. Nesse momento, solicitaremos que os alunos primeiro
representem e resolverão o problema utilizando o pictórico, para em seguida mudar
para o registro algébrico.
Resolva os problemas:
1. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a 9 quilos.
O Peso de uma melancia menos o peso de um cacho de açaí é igual a 1.
Qual o peso da melancia e do cacho de açaí?
2. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a seis
quilos. O peso do cacho de açaí é igual ao dobro do peso da melancia. Qual
o peso da melancia e do cacho de açaí?
3. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a nove
quilos. O peso do cacho de açaí é igual ao triplo do peso da melancia. Qual o
peso da melancia e do cacho de açaí?
Grupo 2
Análise a priori: esse grupo possibilitará aos alunos a descoberta de um meio
algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de
uma balança pictórica. Nesse momento, solicitaremos que os alunos representem e
resolvam o problema pelo meio algébrico. Acreditamos que os alunos já tenham
entendido a tradução para linguagem matemática e a resolução algébrica.
4. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a onze
quilos. O peso do cacho de açaí é igual ao peso da melancia mais cinco
quilos. Qual o peso da melancia e do cacho de açaí?
5. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a oito
quilos. O peso do cacho de açaí é igual ao peso da melancia mais dois
quilos. Qual o peso da melancia e do cacho de açaí?
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 88
6. O triplo do peso de uma melancia mais cinco vezes o peso de um cacho de
açaí é igual a trinta quilos. Quatro vezes o peso da melancia menos cinco
vezes o cacho de açaí é igual a cinco quilos. Qual o peso da melancia e do
cacho de açaí?
7. Quatro vezes o peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é
igual a nove quilos. Seis vezes o peso da melancia menos três vezes o peso
do cacho de açaí é igual a trinta e seis quilos. Qual o peso da melancia e do
cacho de açaí?
8. O triplo do peso de uma melancia mais o dobro do peso de um cacho de açaí
é igual a seis quilos. Cinco vezes o peso da melancia menos o peso do
cacho de açaí é igual a dez quilos. Qual o peso da melancia e do cacho de
açaí?
9. Sete vezes o peso de uma melancia mais o triplo do peso de um cacho de
açaí é igual a doze quilos. Cinco vezes o peso da melancia mais o dobro do
peso do cacho de açaí é igual a oito. Qual o peso da melancia e do cacho de
açaí?
10. O dobro do peso de uma melancia é igual a 1 quilo menos o triplo do peso de
um cacho de açaí. A metade da soma do peso da melancia e do cacho de
açaí é igual ao dobro do peso da melancia. Qual o peso da melancia e do
cacho de açaí?
11. A terça parte do peso de uma melancia é igual a um quarto do peso de um
cacho de açaí. O triplo do peso da melancia mais quatro vezes o peso do
cacho de açaí é igual a vinte quilos. Qual o peso da melancia e do cacho de
açaí?
2.7.2. Atividade 02
Título: EXERCÍCIO DE TÉCNICA ALGÉBRICA DE RESOLUÇÃO DE SISTEMA DO
1º GRAU
Objetivo: Possibilitar aos alunos uma prática da técnica algébrica de resolução de
problemas de sistema de equações do 1º grau.
Material: Folha de problemas
Procedimentos: Entregar a cada aluno uma folha de problemas, e dialogar com
eles sobre as possíveis resoluções dos problemas por meio de técnica algébrica.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 89
Análise a priori: essa atividade possibilitará aos alunos uma prática da técnica
algébrica de resolução de problemas de sistema de equações do 1º grau. Nesse
momento, apresentaremos a representação em linguagem matemática dos sistemas
de equação do 1º grau. Por meio do diálogo com os alunos será possível que
resolvam os problemas por meio de técnica algébrica. Será necessário em alguns
momentos relembrar os alunos alguns assuntos ensinados nos anos anteriores do
ensino fundamental.
Calcule o valor de x e y, utilizando técnicas algébricas de resolução:
1) %& = 2 + 1 = 7 − 3&( 2) % + & = 3 = & + 2( 3) % + & = 15 = 2& ( 4) % + & = 13 = 2& + 4( 5) % + & = 4 − & = 1( 6) % + & = 82 + 3& = 21( 7) %3 + 2& = 65 + & = 10( 8) %3 + 5& = 304 − 5& = 5 ( 9) % 4 + 3& = 96 − 3& = 36( 10) )*+ + ,� = − -+ − ,. = �/
( 11) 0 = 7& − 3 = --,1�-+
( 12) 0 2+ = 3�3 + 4$ = 20( 13) )*/ + +,� = 11*/ − �,� = 13(
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 90
14) ) 243/ = $213+ = 2$( 15) ) 2 − �,� = 2 − *+& − 5 = − +,� − 6(
2.7.3. Atividade 03
Título: DIVERSOS PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU
Objetivo: Possibilitar aos alunos uma prática da técnica algébrica de resolução de
problemas de sistema do 1º grau.
Material: Folha de problemas
Procedimentos: Entregar a cada aluno uma folha de problemas, e dialogar com
eles sobre as possíveis resoluções dos problemas por meio de técnica algébrica.
Análise a priori: possibilitará aos alunos uma prática da técnica algébrica de
resolução de problemas de sistema do 1º grau. Solicitaremos aos alunos que
traduzissem o problema em linguagem matemática e resolvam por meio algébrico os
problemas. Será necessário ter uma postura de mediador da atividade, e incentivar
que os alunos tomem a iniciativa das soluções.
Resolva os problemas abaixo:
01. A soma de dois número é 2 e a diferença é 6. Quais são os números?
02. A soma da idade de André com o dobro da idade de Aldo é 21 anos. A idade
de André menos o dobro da idade de Aldo é igual 5 anos. Quantos anos têm
cada um?
03. Quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. Cinco camisetas e
sete calções custam R$ 138,00. Qual é o preço da camiseta e do calção?
04. Em uma competição escolar, nas modalidades de voleibol e basquetebol,
participaram 32 equipes e 344 atletas. Cada equipe de voleibol inscreveu 12
atletas, e cada equipe de basquetebol, 10 atletas. Quantas equipes de vôlei
participaram da competição?
05. Vanessa comprou uma blusa e uma calça e gastou R$ 96,00. Sabendo que a
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 91
calça custa R$ 16,00 a mais que a blusa, determine quanto Vanessa pagou
em cada peça.
06. Em um pátio estão estacionados carros e motos, que totalizam 40 veículos e
140 rodas. Há quantas motos estacionadas nesse pátio?
07. Meu avô e meu pai foram pescar. Eles trouxeram 25 peixes de diversas
espécies. Meu avô disse que pescou o quádruplo do número de peixes que
meu pai. Quantos peixes cada um pescou?
08. Em uma fábrica de bombons, Leandro e Elizete embalaram 12.600 gramas
de bombons. Leandro embalou 2.400 gramas a mais que Elizete. Quantos
gramas de bombons Leandro embalou?
09. Um terreno retangular tem 84 metros de perímetro. O comprimento tem 18
metros a mais que a largura. Qual é a área desse terreno?
10. Júlia guardou durante um mês, em um cofre, moedas de 25 e 10 centavos.
Ao abri-lo, constatou que possuía 210 moedas num total de R$ 35,70.
Quantas moedas de cada tipo Júlia guardou?
11. Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou
numa caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas joaninhas e aranhas ele
apanhou? (Lembre que uma aranha tem oito patas e uma joaninha, seis.)
12. Antônio precisou de 45 minutos para remar 6 km. Na volta precisou somente
de 36 minutos. Qual era a velocidade da corrente?
A seguir apresentamos os relatos da experimentação realizada.
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 92
3. EXPERIMENTAÇÃO
Nesta seção temos como objetivo apresentar os resultados obtidos do
registro da experimentação, que se trata de um conjunto de dados provenientes das
observações realizadas nas sessões de ensino, mas também das produções dos
alunos na sala de aula. As atividades e os testes descritos na seção anterior foram
desenvolvidos durante o período de 2 (dois) meses no segundo semestre do ano de
2010 em uma turma de 36 (trinta e seis) alunos do 7º ano do ensino fundamental no
turno da manhã numa escola estadual de ensino fundamental e médio, localizada no
município de Belém, no bairro de Val de Cans. O referido bairro junto com outros é
considerado “linha vermelha” quando o assunto é violência. Acreditamos que esse
quadro negativo do bairro pode ser mudado por meio da educação dentre outras
situações.
A aproximação com a escola se deu por meio de uma indicação de uma
aluna da 5ª turma do programa de pós-graduação o qual somos discentes, a referida
aluna trabalhava como professora de matemática na escola e havia feito neste local
um experimento parecido, envolvendo números relativos. Conhecemos a equipe
técnica da escola do turno da manhã como também o professor efetivo de
matemática do 7º ano do ensino fundamental, e explicamos sobre o nosso projeto de
pesquisa que foi aceito para ser executado na escola. Contamos com a boa vontade
do professor efetivo da turma que, gentilmente, cedeu seus horários. Salientamos
que a equipe técnica da escola e o professor efetivo sempre estavam à disposição
do pesquisador para qualquer situação embaraçosa que poderia ocorrer durante a
execução das atividades.
Desenvolvemos os testes e as atividades como parte do conteúdo do ano
letivo de 2010, pois os problemas do 1º grau fazem parte dos conteúdos
matemáticos do 7º ano do ensino fundamental proposto pelos documentos oficiais
da educação brasileira e usado pela Secretaria de Educação do Estado do Pará
(SEDUC-PA). Quanto ao planejamento de aplicação das atividades e dos testes, o
período previsto de 34 (trinta e quatro) aulas foi confirmado, acreditamos que isso só
foi possível, pois houve empenho e dedicação dos alunos em realizar cada atividade
e teste quando solicitados. Salientamos que para auxiliar no relato dos fatos
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 93
desenvolvidos durante as atividades utilizamos um caderno de anotações que
podemos denominar de “diário de atividades”. As atividades e os testes foram
desenvolvidos no ambiente de sala de aula. Os encontros ocorridos durante o
experimento aconteceram sempre nos dias de terça – feira, quarta – feira e quinta –
feira, sendo duas aulas seguidas. O quadro 2 apresenta o que denominamos
“Encontros da experimentação”.
Quadro 2: Encontros da experimentação
DATA ATIVIDADE DO DIA
02/09/2010 DIAGNÓSTICO DO PERFIL DOS ALUNOS E PRÉ-TESTE GERAL
08/09/2010 PRÉ-TESTE DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA
09/09/2010 TEXTO SOBRE LINGUAGEM MATEMÁTICA
14/09/2010 BARALHO ENVOLVENDO TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA
15/09/2010 EXERCÍCIO DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA
16/09/2010 PÓS-TESTE DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA
22/09/2010 PRÉ-TESTE DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA
23/09/2010 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA POR UMA BALANÇA PICTÓRICA
05/10/2010 BARALHO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA
07/10/2010 EXERCÍCIO DE TÉCNICA ALGÉBRICA DE RESOLUÇÃO PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA.
13/10/2010 PÓS-TESTE DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA
14/10/2010 PRÉ-TESTE DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU
19/10/2010 RESOLUÇÃO DE SISTEMA DO 1º GRAU POR BALANÇA PICTÓRICA
20/10/2010 EXERCÍCIO DE TÉCNICA ALGÉBRICA DE RESOLUÇÃO DE SISTEMA DO 1º GRAU
21/10/2010 DIVERSOS PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU
28/10/2010 PÓS-TESTE DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU
02/11/2010 PÓS-TESTE GERAL
Fonte: pesquisa de campo
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 94
3.1. PRIMEIRA SESSÃO
O primeiro encontro ocorreu no dia 02/09/2010, com o professor efetivo
da turma expondo aos alunos que se tratava de uma pesquisa científica em nível de
mestrado, mas o assunto de matemática que seria abordado fazia parte do conteúdo
que deveria ser ministrado no segundo semestre de 2010. O professor efetivo
ressaltou a importância que os alunos deveriam conferir as atividades a serem
desenvolvidas, pois durante a pesquisa seria realizada avaliação individual dos
alunos. Com isso, a partir desse encontro seríamos o pesquisador e professor da
turma. Nesse primeiro encontro dialogamos com a turma sobre a maneira que iria
ser conduzida as aulas e a importância da participação deles durante o experimento.
Destacamos aos alunos que seriam realizados durante o experimento 8
(oito) testes com o propósito de validar a sequência didática e que serviria também
para o pesquisador avaliá-los individualmente, pois conforme salientamos acima, o
professor efetivo levaria em consideração esses testes para atribuir parte das notas
da 4ª avaliação bimestral. Depois desse diálogo aplicamos o teste, quando
solicitamos gentilmente aos alunos que formassem filas verticais e que evitassem
conversar durante a realização do teste. Entregamos a cada aluno uma cópia da
folha do teste e solicitamos que resolvessem os problemas.
Quando dissemos à turma que iria ser realizado por eles um teste, alguns
alunos protestaram alegando que não tinham estudado para o teste e que não era
cabível uma avaliação no primeiro dia de aula da atividade, pois o professor efetivo
da turma não tinha dado o assunto que iria ser posto em avaliação. Explicamos aos
alunos que aquele teste era para verificar se e como resolveriam problemas do 1º
grau, antes da sequência de atividades sobre o assunto para podermos comparar o
desenvolvimento dos mesmos depois da aplicação das atividades.
O primeiro aluno entregou o teste depois de 31 minutos de realização
afirmando que apenas conseguiu “resolver” o problema 1. Observamos que os
alunos do sexo masculino entregaram seus testes depois de 45 minutos de
realização, pois, conforme conversavam entre si iriam jogar futebol na quadra da
escola com alunos de outras turmas que estavam sem aula naquele horário, não
achamos por direito pedir que voltassem a sala de aula, à medida que a atividade
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 95
para o dia havia sido realizada por esses alunos e mantendo os mesmos em sala de
aula poderia gerar algum tipo de conflito que não gostaríamos que ocorresse
naquele momento de teste, pois poderia desconcentrar os demais alunos que ainda
estavam tentando resolver os problemas do teste geral.
Observamos que somente as alunas ficaram em sala de aula até o final
do horário estabelecido para a realização do teste, parecia que estavam
empenhadas em solucionar os problemas solicitados e entregaram os testes no final
da segunda aula do dia. Interessante que quando solicitamos que os alunos se
organizassem em filas houve uma separação espontânea das meninas para com os
meninos, quando solicitamos inocentemente que uma determinada aluna fosse
sentar num local que ficava do suposto lado dos meninos, ela se recusou a ir
alegando que os meninos eram “bagunceiros” e a atrapalhariam durante o teste.
Sobre o perfil dos alunos que participaram da pesquisa constatamos por
meio de um questionário (cf. apêndice E) aplicado no primeiro encontro do
experimento que a maioria, 61%, é do sexo feminino, possuindo uma média de
idade de 12 anos, mostrando uma regularidade entre a idade e o nível escolar.
Sobre os responsáveis por esses alunos, a maioria assinalou ser o pai, 55%, o
responsável masculino e a mãe, 83%, o responsável feminino. Ainda, a maioria,
36%, dos responsáveis masculinos possui somente o fundamental completo e a
maioria, 43%, dos responsáveis femininos possui o fundamental incompleto, como
nível de escolaridade. Os dados revelaram que 75% dos responsáveis masculino e
69% dos responsáveis feminino trabalham com remuneração.
Sobre o tipo de escola que os alunos estudaram a série anterior, todos
informaram ter estudado na escola pública. A maioria, 86%, informou estudar na
escola que se localiza no bairro que mora e 63% dos alunos trabalham de forma
remunerada. Lamentamos a impossibilidade de investigar que tipo de trabalho
remunerado é esse e como ele ocorre. Temos ainda que 16% dos alunos fazem
algum curso fora da escola, e esses cursos conforme os alunos são o de
computação e língua estrangeira. Ainda, a maioria, 65%, pratica algum esporte.
Acreditamos que a prática esportiva, contribui para a formação da criança e do
adolescente. O quadro 3 evidencia a relação “gosto pela matemática” e o “hábito de
estudo”.
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 96
Quadro 3: Relação entre o gosto pela matemática e o hábito de estudo dos alunos do 7º ano
Gosto pela Matemática
Não gosta Pouco Muito
Háb
ito
de
estu
do
Período de prova 5 4 4
Véspera de prova 3 4 1
Fim de semana 0 3 2
Duas vezes por semana 1 7 2
Fonte: pesquisa de campo (Setembro/2010).
No cruzamento dos dados, a maioria gosta um “pouco de matemática” e
“estuda duas vezes por semana”. Temos ainda que 50% dos alunos não possuem
nenhuma ajuda nas tarefas extraclasses e os que informaram receber ajuda,
salientam que essa é advinda de algum membro da família. No quadro 4
relacionamos o gostar de matemática e o sexo do aluno participante da pesquisa.
Quadro 4: Relação entre o gosto pela matemática e o sexo dos alunos do 7º ano
Gosto pela Matemática
Não gosta Pouco Muito
Sex
o Masculino 4 5 5
Feminino 2 12 5
Fonte: pesquisa de campo (Setembro/2010).
Percebemos que a maioria dos alunos independente do sexo gosta “pelo
menos um pouco de matemática”, ou seja, ambos os sexo tem gostos pela
matemática parecidos. Evidenciamos também que a maioria dos alunos declarou ser
do “sexo feminino” e “gostar pouco de matemática”. No quadro 5 relacionamos o
“gostar de matemática” e a “dificuldades dos alunos”.
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 97
Quadro 5: Relação entre o gosto pela matemática e a dificuldade dos alunos do 7º ano Gosto pela Matemática
Não gosta Pouco Muito
Número de alunos Número de alunos Número de alunos
Dif
icu
ldad
e Não tem 0 1 3
Um pouco 7 15 6
Muita 0 1 1
Fonte: pesquisa de campo (Setembro/2010).
Verificamos que a maioria dos alunos gosta “pouco de matemática” e tem
“um pouco de dificuldades” na aprendizagem da disciplina na escola. Um fato
constatado é que os alunos do 7º ano não recebem nenhum auxílio de professor
particular. Destacamos isso, pois caso existisse essa relação tínhamos que
investigar se realmente foi a sequência de atividades que proporcionou um
rendimento positivo dos sujeitos do experimento ou se este mérito seria dado ao
professor particular. Essa hipótese está negada a partir das informações do perfil
dos sujeitos participantes do experimento.
3.2. SEGUNDA SESSÃO
O segundo encontro ocorreu no dia 08/09/2010, optamos por chegar 20
minutos antes para podermos conhecer e dialogar com outros docentes da escola,
nesse sentido, decidimos ficar na sala dos professores e salientamos que todos os
professores ao adentrarem naquele local nos receberam muito bem e, afirmaram
com base em suas experiências com a turma que estávamos realizando a pesquisa,
que se tratava de um excelente grupo de alunos que gostavam de participar das
atividades da escola em geral. Conversando com os outros professores de
matemática efetivos da escola sobre algumas possíveis dificuldades que a turma de
aplicação do experimento poderia ter em matemática, o professor da turma no ano
anterior, ou seja, no 6º ano, recomendou que tomássemos um cuidado pedagógico e
comportamental com um grupo de meninos que costumavam não prestar atenção
nas aulas e que até se recusavam a estar em sala de aula.
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 98
O diálogo com esses professores estava muito interessante, mas o
horário de aula que aplicaríamos a atividade do dia tinha chego e precisávamos ir
para sala de aula. A maioria dos alunos estava nos esperando em pé e conversando
entre si no corredor de acesso a sala de aula. Conforme íamos passando pelo
corredor, os alunos se direcionavam a sala de aula. Tivemos o prazer de saudar
cada aluno que se encontrava no corredor, sem, no entanto, convidá-los para sala
de aula. Adentramos em sala de aula e os alunos em seguida sentaram-se em seus
respectivos lugares. Saudamos a turma e perguntamos se os alunos estavam bem,
alguns alunos responderam que sim outros não se manifestaram. Explicamos que
naquele dia iria ser realizado outro teste só que envolvendo tradução de enunciados
escritos em língua oficial brasileira para linguagem matemática. Imediatamente os
alunos protestaram o fato de ter que realizar outro teste de matemática, e
perguntaram de forma indignada se iriam realizar todos os dias testes e em que
momento iriam ter aulas de matemática.
Refletindo sobre esses questionamentos concordamos com os protestos,
pois aqueles alunos não estavam habituados com esse tipo de pesquisa e que
costumavam ter sempre aula expositiva de matemática antes da aplicação de
qualquer teste. Como pesquisador, acreditamos que esse procedimento de
realização de testes consecutivos é cansativo para os sujeitos da pesquisa.
Reportamos aos alunos que realmente eram coerentes as reclamações e pedimos
gentilmente que nos ajudasse na execução dessa atividade. A turma, depois de um
breve diálogo entre si, concordou em participar da pesquisa. Entregamos a cada
aluno uma cópia da folha de teste e explicamos que o objetivo do teste era verificar
se e como os alunos transformariam os enunciados escritos em língua oficial para
linguagem matemática, antes da sequência de atividades sobre o assunto.
Ao lermos junto com a turma cada enunciado presente no teste, os alunos
nos questionaram sobre o que seria linguagem matemática e se era pra responder
os problemas conforme fizeram no teste do encontro anterior. Explicamos que não
era para resolver comparado ao teste do encontro anterior, pois não se tratava de
problemas e sim de enunciados ou sentenças, e que era para traduzir utilizando
linguagem matemática. Assim, tentaram resolver individualmente o teste proposto.
Mais uma vez os meninos entregaram seus testes no final da primeira aula do dia,
pois prefeririam ir para o corredor da escola conversar entre si. Dessa vez, não
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 99
deixamos esses alunos saírem de sala de aula, pois acreditávamos que poderiam
atrapalhar as aulas que estavam ocorrendo em outras turmas. Os meninos
entenderam o fato de não os deixarmos sair de sala naquele momento e
permaneceram alguns conversando em voz baixa e outros desenhavam no caderno.
Assim, eles não comprometeram o desenvolvimento do teste dos alunos que ainda
estavam tentando resolver. Observamos que mais uma vez as meninas pareciam se
concentrar na resolução do teste e que outra vez estavam em fileiras separadas dos
meninos.
3.3. TERCEIRA SESSÃO
O terceiro encontro ocorreu em 09/09/2010 com o objetivo de estimular o
desenvolvimento da habilidade de traduzir enunciados de problemas em língua
oficial para linguagem matemática. A finalidade era explicar o que era linguagem
matemática para a turma e como traduzia os enunciados escritos em língua oficial
para linguagem matemática. Entregamos a cada aluno uma cópia do texto, logo em
seguida solicitamos que o lessem, e em seguida dialogamos sobre a temática.
Explicamos aos alunos que a linguagem é uma forma de expressar determinada
ideia. Na vida prática, existem diferentes maneiras de comunicar as ideias: pela
linguagem falada, pela escrita, pela musical etc. A matemática também possui sua
forma de comunicação, e se utiliza de simbologias próprias para transmitir suas
ideias. Uma aluna perguntou quais eram os símbolos que a linguagem matemática
usava, e respondemos que a linguagem matemática utiliza símbolos para expressar
frases que, se escrita na língua oficial, usariam, em alguns casos, maior quantidade
de símbolos ou espaços. Por exemplo, a frase: Dois mais três é igual a cinco, se
escrita na linguagem matemática, usaremos apenas cinco símbolos (2 + 3 = 5), que
podem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com os símbolos
matemáticos. Evidenciamos aos alunos que essa atividade exemplificada era
denominada de tradução em linguagem matemática.
Propomos outro exemplo aos alunos, um número mais quatro é igual a
dez, explicamos que esse exemplo não exige uma resposta para o valor
supostamente desconhecido de imediato, por isso não se tratava de um problema,
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 100
mas de um enunciado. Esse enunciado poderia ser traduzido em linguagem
matemática utilizando a técnica de traduzir um número desconhecido para uma letra
do nosso alfabeto, como: um número (k) mais(+)quatro (4) é igual (=)a dez(10),
simplificando: k + 4 = 10. A partir desse exemplo convidamos os alunos que
tentassem traduzir os enunciados presente na folha entregue a eles sobre o texto de
linguagem matemática. Observamos que se empenharam em traduzir os enunciados
para linguagem matemática. Pedimos que a cada enunciado dois alunos
escrevessem no quadro as suas respectivas traduções.
O primeiro enunciado a ser traduzido foi: um número mais três é igual a
onze. Nesse enunciado a maioria dos alunos queria ir à frente para mostrar suas
traduções, mas optamos por escolher um aluno que se mostrava ter entendido a
atividade e um aluno que aparentava não querer desenvolver a atividade. Os dois
alunos traduziram coerentemente os enunciados para linguagem matemática. Mas,
os alunos questionaram se poderiam usar outras letras além das que os dois alunos
representaram. Explicamos que poderia ser qualquer letra do nosso alfabeto, e que
ficassem livres a escolha da letra para representar o valor desconhecido. Os alunos
estavam animados, pois pareciam ter entendido a atividade de tradução.
O segundo enunciado a ser traduzido foi: um número menos nove é igual
a dois. Outra vez, a maioria queria ir à frente para traduzir o enunciado. Um dos
alunos convidado a ir mostrar sua tradução, escreveu da seguinte maneira: � −9 é igual 2. Perguntamos a turma se aquela tradução estava completa,
imediatamente os alunos responderam que a parte “é igual” deveria ser traduzida
pelo símbolo matemático “=”. O terceiro enunciado a ser traduzido foi: o dobro de um
número é igual a dez. Logo que os alunos leram o enunciado, todos se
manifestaram alegando como iriam representar a parte “o dobro de um número”.
Fornecemos alguns exemplos aritméticos e os alunos conseguiram chegar à
seguinte tradução: 2 vezes uma letra do nosso alfabeto. Os alunos que vieram à
frente para escrever suas traduções, optaram por representar o símbolo da
multiplicação com um “x”: 2 × � = 10. Explicamos que essa opção de representação
poderia gerar certa ambiguidade e que era mais coerente representar o símbolo da
multiplicação nessa tradução pelo “ponto”: 2. � = 10, ou ainda: 2� = 10. O quarto
enunciado a ser traduzido foi: o triplo de um número é igual a nove. Os alunos
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 101
aparentaram ter conseguido traduzir o enunciado em linguagem matemática de
forma satisfatória.
O quinto enunciado foi: a metade de um número é igual a seis. A mesma
angústia dos alunos concernente a expressão “dobro de um número” foi evidenciada
na expressão “a metade de um número”. Outra vez por meio de exemplos
aritméticos tentamos conduzir os alunos a tradução da expressão, a primeira
representação foi: � ÷ 2 = 6. Partindo da ideia e de exemplos envolvendo frações os
alunos chegaram à seguinte tradução: �� = 6. Mas, de certa forma, sentimos que os
alunos ainda estavam com dificuldades para entender ou utilizar a última tradução,
assim solicitamos que tentassem traduzir outros enunciados semelhantes.
Observamos que os alunos tiveram mais dificuldades de entender a tradução deste
enunciado do que do terceiro enunciado. Pensávamos então que teriam dificuldade
de entender a tradução do sexto enunciado: a terça parte de um número é igual a
dezoito. Mas, para nossa surpresa os dois alunos que vieram ao quadro escrever
suas traduções representaram corretamente o enunciado em linguagem matemática.
O mesmo desempenho ocorreu no sétimo e oitavo enunciados.
O nono enunciado foi: o dobro de um número mais o seu triplo é igual a
menos quarenta. A primeira tradução do enunciado foi: 2. � + 3 = −40. Explicamos
que a tradução não era coerente, pois não representava o enunciado proposto, e
sim: 2.k (o dobro de um número)+(mais)3(três)=(igual a)-(menos)quarenta(40),
assim confundiram “mais o seu triplo” com “mais três”. Salientamos aos alunos que
em “mais o seu triplo” poderia ser entendido como “mais o triplo do mesmo número
desconhecido”, e assim usar a mesma letra que haviam representado “o dobro de
um número”. Mesmo assim a tradução dos alunos foi: 2. � + 3. � = −40. Mostramos
que essa tradução não era coerente com o enunciado em língua oficial, mas que
correspondia ao seguinte: 2. � (o dobro de um número)+ (mais)3. �(o triplo de outro
número)=(é igual a)−40 (menos quarenta), depois dessa explicação e do diálogo os
alunos entenderam que precisavam representar com a mesma letra tanto a
expressão “o dobro de um número” como “o seu triplo”, pois se trata de um mesmo
número desconhecido.
O décimo enunciado foi: três mais um número, vezes cinco é igual a
quarenta e cinco. A primeira tradução deste enunciado foi: 3 + �. 5 = 45,
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 102
percebemos assim que os alunos não compreenderam o uso semântico da vírgula
no enunciado e que ao traduzirem suprimiram a tradução em linguagem matemática
do semântico da vírgula. Explicamos aos alunos que essa tradução não era coerente
com o enunciado oferecido e por meio de exemplos aritméticos os alunos foram
conduzidos a seguinte tradução: �3 + ��. 5 = 45. Assim tiveram contato com outra
técnica de tradução em linguagem matemática. À medida que a aula transcorria
sentia que a motivação de alguns alunos não permanecia aquela do inicio da aula,
pois manifestavam certa não compreensão da atividade. Nesse momento da aula,
observamos que o grupo das meninas estava mais concentrado nas atividades do
que o grupo dos meninos que mostrava em alguns momentos querer sair de sala.
Nesse instante percebemos que existia no grupo dos meninos falta de concentração
nas aulas até seu término.
O décimo primeiro enunciado foi: um número menos quinze, dividido por
três é igual a vinte e um. Observamos que os alunos tinham compreendido a
tradução em linguagem matemática da semântica da vírgula, uma vez que a
primeira tradução foi: �� − 15� ÷ 3 = 21. Lembramos aos alunos o uso da
representação de fração que já havia ocorrido neste encontro, assim a segunda
tradução posta pelos alunos foi: ������
= 21, percebemos que eles não deixaram de
representar com o uso do parênteses, preferimos não propor outra tradução. Neste
momento, a aula estava chegando a seu término e preferimos que a tradução dos
enunciados que faltavam ocorresse no encontro posterior.
3.4. QUARTA SESSÃO
O quarto encontro ocorreu em 14/09/2010, ao chegarmos à escola fomos
direto para sala de aula, uma fato que nos chamou a atenção foi que os alunos não
estavam no corredor da escola nos esperando para começar a atividade, mas todos
estavam em sala de aula brincando e conversando entre si. Um grupo de alunos
revelou que não havia conseguido traduzir o enunciado quando tentou em sua casa,
isso nos motivou como professor, pois parecia que os alunos estavam motivados a
participarem das atividades proposta, uma vez que não advertimos aos alunos que
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 103
fizessem a tradução como atividade extraclasse. Oferecemos palavras de ânimo e
incentivo à turma para continuarem se esforçando em sala de aula.
Depois desse diálogo, solicitamos que os alunos pegassem o material da
aula anterior e que iríamos continuar a tradução em linguagem matemática dos
enunciados que faltava ser traduzido. O décimo segundo enunciado foi: a soma de
dois números pares consecutivos é quatorze. A primeira tradução dos alunos foi:
! + � = 14. Explicamos que essa tradução não estava errada, mas que não revela
por completo o enunciado proposto e que poderia gerar certas ambiguidades.
Indagamos aos alunos sobre a ideia e a representação da expressão “números
pares”, mesmo com todas as possíveis estratégias aritméticas para conduzir a
tradução os alunos demonstraram não ter entendida a técnica de tradução para esta
expressão, assim tivemos que fornecer a tradução, apresentando o seguinte:
1º passo: traduzir qualquer número par
2 vezes um número: 2. "
2º passo: traduzir consecutivo de um número par
número par mais dois 2. " + 2
3º passo: traduzir o enunciado
2" (número par) +2" + 2 (par consecutivo de 2")= 14
No primeiro instante os alunos não entenderam os passos, mas depois de
alguns outros exemplos os alunos começaram a compreender as representações
envolvidas nesta tradução, que são em número de três conforme explicamos. O
décimo terceiro enunciado foi: a soma de dois números ímpares consecutivos é
doze. Os alunos pareciam ter entendido o esquema de tradução do enunciado
anterior, mas não sabiam representar “um número ímpar”; “consecutivo ímpar de um
número ímpar”. Oferecemos alguns exemplos aritméticos daquelas expressões e os
alunos conseguiram chegar à seguinte tradução: número ímpar �2" + 1� mais �+�o
seu consecutivo ímpar �2" + 1 + 2� = 12. Percebemos que os alunos não tinham
“maturidade algébrica” para alcançar o nível de abstração para compreender esses
enunciados escritos em língua oficial. Observamos então que a maioria não
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 104
conseguiu entender a técnica de tradução para esses enunciados, o que pode ser
uma limitação de nossa pesquisa.
No segundo momento de atividades ainda no quarto encontro foi à
aplicação dos jogos de cartas (baralho de tradução). Solicitamos que os alunos
fizessem grupos de 4 (quatro) alunos. Após, terem formados os grupos explicamos
as regras do jogo que iria ser desenvolvido. Explicamos que o objetivo do jogo era
proporcionar aos alunos a pratica de tradução da língua oficial para linguagem
matemática. Os alunos mostraram entender as regras e os procedimentos do jogo.
Observamos que no primeiro instante de execução do jogo a tradução estava lenta
pela maioria dos alunos e assim o término do jogo demorava a ocorrer. Depois de
um tempo os alunos começaram a jogar e a construir seus jogos de cartas de forma
rápida e em alguns casos evidenciaram estratégia de vencer os jogos ou impedir
que outro aluno vença. Isso pode ser explicado pelo fato de conhecerem ou se
adaptarem com as cartas do jogo ou pelo fato de realmente conseguirem traduzir de
forma rápida. Um fato que observamos foi que os alunos, em nenhum momento de
aplicação do jogo, pretenderam se ausentar da sala de aula ou descontentamento
com a atividade, inclusive no final do encontro alguns solicitaram que o pesquisador
entregasse o jogo a eles para que viessem a jogar no horário posterior de aula, pois
estava vago. Assim todos os alunos ficaram jogando mesmo com o término do
encontro em sala de aula.
3.5. QUINTA SESSÃO
O quinto encontro ocorreu no dia 15/09/2010 com o objetivo de exercitar a
tradução entre linguagens. Entregamos para cada aluno uma cópia da folha de
exercício e indicamos aos alunos que poderiam traduzir os enunciados
individualmente ou em grupos de no máximo 3 (três) alunos. Para a execução da
atividade oportunizamos 45 minutos para que os tentassem traduzir. Após esse
tempo, pedimos gentilmente para cada aluno ir ao quadro escrever sua respectiva
tradução, cada aluno escreveu no quadro uma tradução. Podemos inferir que essa
atividade serviu como treino para os alunos concernente a tradução. Mas, um fato
nos chamou atenção, foi que em nenhum momento dessa atividade houve algum
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 105
aluno que representou a incógnita utilizando a letra “x” ou “y”. A turma utilizava ou a
primeira letra dos seus respectivos nomes ou alguma letra correspondente a algum
objeto presente no enunciando em língua oficial. Essa situação é de enorme
significância, pois na maioria das vezes que ensinávamos esse conteúdo
utilizávamos em sala de aula a letra “x” ou “y” para representar um valor
desconhecido, só que verificamos que essa tradução não se fazia conhecida para os
alunos do experimento, e que sempre privilegiavam outras letras do nosso alfabeto.
Então, nos questionamos: ao usarmos em sala de aula a letra “x” ou “y”
não estamos oportunizando, em certos momentos, mais um obstáculo no processo
ensino- aprendizagem, uma vez que em muitos casos a letra “x” ou “y” pode conferir
nenhum significado ao aluno durante a resolução de um problema?
Alguns exemplos constatados na experimentação durante essa atividade
foram os seguintes:
Problema: Um número mais quatro é igual a doze.
Tradução do aluno: # + 4 = 12
Motivo de usar a letra “B”: primeira letra do nome do aluno.
Temos outra situação,
Problema: Um número mais quatro é igual a doze.
Tradução do aluno: $ + 4 = 12
Motivo de usar a letra “A”: primeira letra do nosso alfabeto e que
correspondia ao primeiro problema.
Por último,
Problema: O dobro da idade de Evandro mais dois anos é igual a
quarenta anos.
Tradução do aluno: 2. % + 2 = 40
Motivo de usar a letra “E”: primeira letra do nome “Evandro”.
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 106
Com essas traduções percebemos que em geral os alunos haviam
realmente dominado o requisito de tradução para linguagem matemática, pois os
símbolos matemáticos faziam sentido para os alunos quando associavam aos
respectivos enunciados.
3.6. SEXTA SESSÃO
O sexto encontro ocorreu no dia 16/09/2010, onde buscamos verificar se
e como os alunos traduziriam os enunciados escritos em língua oficial brasileira em
linguagem matemática, depois da sequência de atividades sobre o assunto. O
comentário que muitos alunos fizeram foi de que o teste estava muito fácil. Parece
que os alunos adquiriram confiança nas atividades, pois antes haviam reclamado do
teste de tradução e agora após a atividade acharam muito fácil de traduzir.
3.7. SÉTIMA SESSÃO
O sétimo encontro ocorreu no dia 22/09/2010, com o objetivo de verificar
se e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau com uma incógnita, antes
da sequência de atividades sobre o assunto. Entregamos uma folha de teste de
problemas do 1º grau com uma incógnita para cada aluno. Fizemos uma leitura,
junto com alunos, dos problemas presentes no teste e orientamos de forma geral a
execução do teste. Não houve reclamação por parte dos alunos sobre a aplicação
de mais um teste, simplesmente tentaram resolver os problemas. Observamos que
ainda a sala estava divida em grupos das meninas e dos meninos, só que agora
parecia que os meninos estavam tão concentrados quanto às meninas. Ou seja,
percebemos uma mudança de postura dos meninos em relação ao compromisso e
responsabilidade nas atividades desenvolvidas nessa experimentação.
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 107
3.8. OITAVA SESSÃO
O oitavo encontro ocorreu no dia 23/09/2010, com o objetivo de descobrir
técnicas algébricas de resolver problemas do 1º grau de uma incógnita com o auxílio
de uma balança pictórica. Entregamos a cada aluno uma folha com problemas do 1º
grau com uma incógnita. Realizamos uma leitura conjunta de cada problema
proposto na lista, após a leitura, socializamos no quadro o seguinte, correspondente
ao problema 1: o peso de uma melancia mais 4 kg é igual a 12 kg. Qual o peso da
melancia?
Após socializar esse esquema aos alunos perguntamos que estratégia de
solução poderia ser adotada para calcular o peso da melancia a partir do pictórico. A
primeira resposta dos alunos foi: “retirar os pesinhos que estão ao lado da
melancia”. Então, perguntamos o que aconteceria na balança se apenas
retirássemos os pesos de um dos pratos, a resposta foi: “iria cair para o lado
esquerdo”. Assim, indagamos uma maneira para que isso não ocorra, a resposta foi:
“retirar 4 (quatro) pesos do outro lado também”. Assim, chegaram ao peso da
melancia, identificando que esse peso é de 8 (oito) quilos. No segundo problema da
folha, os alunos conseguiram construir o esquema e obter a resposta do problema.
Convidamos um aluno a expor seu esquema, assim representou:
Por meio do diálogo com os alunos, indagamos como poderíamos
representar por linguagem matemática o esquema proposto para solução do
segundo problema, então traduziram da seguinte maneira: & + 5 = 14. A partir
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 108
dessa tradução, fizemos a correspondência da estratégia adotada no pictórico para
linguagem algébrica, assim os alunos chegaram ao seguinte esquema:
& + 5 = 14
& + 5 − 5 = 14 − 5
& = 9
No terceiro e quarto problema os alunos conseguiram usar a estratégia
algébrica utilizada no problema anterior. Quando foram solicitados que resolvesse o
quinto problema usando a estratégia algébrica os alunos rapidamente conseguiram
associar a seguinte estratégia:
& − 6 = 2
& − 6 + 6 = 2 + 6
& = 8
Perguntamos aos alunos como conseguiram desenvolver a estratégia
algébrica, um aluno respondeu: “é fácil, primeiro traduz, então, quando tem ‘menos’
põem mais, e tudo que se faz de um lado, se faz do outro, o que sobra é o valor de
m”. O aluno acabaria por relatar uma importante estratégia algébrica de resolução
de problemas do 1º grau com uma incógnita. Assim, resolveram os problemas 6, 7, e
8 de maneira rápida e precisa utilizando estratégia algébrica de resolução. No
problema 9, tentamos esboçar o esquema pictórico, mas para nossa surpresa os
alunos não queriam, alegando “perder tempo”, e sugeriram a tradução do enunciado,
pedimos que um aluno escrevesse a tradução no quadro, prontamente um menino
se levantou e escreveu o seguinte: 2. " = 14. Assim, indagamos qual seria a
estratégia utilizada, depois de um diálogo comparativo com a estratégia anterior,
representaram da seguinte maneira:
2. " = 14
2. "2 = 14
2
" = 7
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 109
Percebemos que os alunos entenderam o processo e que estavam
apenas adaptando as estratégias de resolução algébrica dos problemas da folha.
Assim, deixamos os alunos livres para resolver os problemas e todos se dedicaram
com ânimo para solucionar os problemas restantes. Acreditamos que os alunos
conseguiram calcular a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança
pictórica e assim compreenderam a resolução algébrica dos problemas do 1º grau
com uma incógnita.
3.9. NONA SESSÃO
O nono encontro ocorreu no dia 05/10/2010, no qual tivemos como
objetivo possibilitar aos alunos uma prática de forma lúdica da resolução algébrica
de problemas do 1º grau com uma incógnita. Solicitamos aos alunos que formassem
equipes contendo 4 (quatro) alunos. Explicamos as regras e os procedimentos do
jogo de cartas (baralho de equação do 1º grau com uma incógnita). Os alunos se
mostraram entusiasmados para iniciar o jogo, pois, a primeira experiência com a
atividade sendo jogo de cartas tinha sido positiva para esses alunos. O jogo de três
cartas que mais os alunos sentiram dificuldade para formar foi,
Quando formava o jogo eles precipitadamente acreditavam que a solução
era � = −8, pois de forma equivocada confundiam a operação com os números
relativos envolvidos em � = �)*�+ , afirmando uma solução errada. Explicávamos aos
alunos que estavam cometendo um equívoco na formação do jogo de três cartas e
Equação Original
-6x = 48
Isolar a variável
x = )*�+
Solução
x = - 8
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 110
depois de um diálogo com a equipe o aluno reconhecia seu erro, um fato que
constatamos nesses diálogos sobre os equívocos é que todos os alunos da equipe
prestavam atenção e participavam do diálogo.
Como aconteceu no primeiro jogo de cartas envolvendo tradução, os
alunos no começo do jogo não armavam estratégias para vencer ou impedir que
outro aluno da equipe vencesse, uma vez que estavam mais preocupados com a
formação correta dos jogos de três cartas. Com o desenvolver das rodadas os
alunos pareciam se sentir mais confiantes e a partir disso começavam a desenvolver
aquelas estratégias. Com o término do encontro alguns alunos nos procuraram para
pedir emprestado o jogo, pois queriam jogar em suas casas, atendemos ao pedido.
Acreditamos pelas nossas observações que os alunos ganharam agilidade na
resolução algébrica de equação do 1º grau com uma incógnita.
3.10. DÉCIMA SESSÃO
O décimo encontro ocorreu no dia 07/10/2010, com o objetivo de
possibilitar aos alunos uma prática ou treino da técnica algébrica de resolução de
problemas do 1º grau com uma incógnita. Entregamos a cada aluno uma cópia da
folha de exercício e dialogamos com eles sobre as possíveis resoluções dos
problemas por meio de técnica algébrica. Solicitamos que os alunos tentassem
resolver algebricamente os problemas apresentados na lista, oferecemos 45 minutos
para isso, logo depois dialogamos com os alunos as possíveis estratégias de
resolução. Concernente aos problemas 1 a 26 verificamos que os alunos fizeram
rapidamente as resoluções algébricas e de forma coerente chegavam aos
resultados. No problema 27, para que os alunos entendessem o método algébrico,
recorremos ao uso da balança pictórica da seguinte maneira:
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 111
1º passo: construir o esquema.
2º passo: retirar de cada prato três pesos.
3º passo: dividir por dois a quantidade de elementos de cada prato.
4º passo: verificar que o valor de “x” é igual a 4.
Após a resolução desse problema os alunos conseguiram resolver os
problemas 28 e 29 de forma coerente. Quando terminaram de resolver pela balança
pictórica o problema 29, dialogamos a transformação do esquema pictórico para o
algébrico, da seguinte maneira:
1º passo: construir o esquema.
2� + 3 = 11
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 112
2º passo: retirar de cada prato três pesos.
2� + 3 − 3 = 11 − 3
3º passo: dividir por dois a quantidade de elementos de cada prato.
2�2 = 8
2
4º passo: verificar que � = 4.
Após o dialogo dessa transformação de registros de representação,
solicitamos que os alunos tentassem realizar o mesmo nos problemas 27 e 28.
Verificamos que realizaram a transformação de maneira coerente. Assim resolveram
algebricamente os problemas até o de número 45, com alguns auxílios pontuais.
Nos problemas 46 a 61 evidenciamos suas respectivas soluções algébricas, sempre
por meio do diálogo com os alunos. Nesses problemas, de 46 a 61, a dúvida mais
em evidência foi em relação ao cálculo do mínimo múltiplo comum (m.m.c).
Acreditamos pelas observações realizadas e descritas que os alunos durante a
atividade e com o diálogo compreenderam as diferentes técnicas algébricas de
resolução deste tipo de problema do 1º grau.
3.11. DÉCIMA PRIMEIRA SESSÃO
O décimo primeiro encontro ocorreu no dia 13/10/2010. Realizamos o
pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita, com o objetivo de verificar se
e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau com uma incógnita, depois
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 113
da sequência de atividades sobre o assunto. Entregamos a cada aluno uma cópia da
folha de teste; e, solicitamos que resolvessem os problemas.
3.12. DÉCIMA SEGUNDA SESSÃO
O décimo segundo encontro ocorreu no dia 14/10/2010. Realizamos o
pré-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau, com o objetivo de verificar se
e como os alunos resolveriam estes problemas antes das atividades sobre o
assunto. Entregamos a cada aluno uma cópia da folha de teste; e, solicitamos que
resolvessem os problemas da folha. Observamos que os alunos não protestavam
mais com relação à aplicação dos testes seguidos como havia ocorrido
anteriormente.
3.13. DÉCIMA TERCEIRA SESSÃO
O décimo terceiro encontro ocorreu no dia 19/10/2010. Nesse encontro
tivemos por objetivo possibilitar que aos alunos a descoberta de um meio algébrico
de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de uma
balança pictórica. Entregamos uma cópia da folha e dialogamos com os alunos
sobre como calcular as quantidades desconhecidas. Após percebermos que os
alunos adquiriram confiança na resolução por meio da balança, propomos
alternativas algébricas de resolução. Por meio do diálogo esquematizamos a
seguinte estratégia para resolução da situação 1 presente na folha de problemas:
1º passo: apresentar o esquema.
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 114
2º passo: verificar que a balança do lado direito indica o peso da melancia em
relação ao peso do cacho de banana, com isso podemos inferir que:
3º passo: calcular o peso da banana na balança da esquerda.
4º passo: substituir o peso da banana na balança do lado esquerdo.
5º passo: evidenciar que o peso da banana é igual a 4 kg e o peso da melancia é
igual a 6 kg.
De forma rápida os alunos se expressaram observando que o cacho de
bananas ficou em uma balança e a melancia em outra balança. Com isso, parecia
que os alunos perceberam uma estratégia de resolução. Solicitamos que os alunos
tentassem calcular o peso das frutas nas situações seguintes. Observamos que os
alunos conseguiram de forma coerente calcular o peso das frutas. Por meio do
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 115
dialogo evidenciamos a transformação da estrutura pictórica para uma
representação algébrica dos passos estratégicos mencionados anteriormente, da
seguinte maneira:
1º passo: apresentar o esquema.
& + � = 10 & = � + 2
2º passo: verificar que a balança do lado direito indica o peso da melancia em
relação ao peso do cacho de banana, com isso podemos inferir que:
2� + 2 = 10 & = � + 2
3º passo: calcular o peso da banana na balança da esquerda.
� = 4 & = � + 2
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 116
4º passo: substituir o peso da banana na balança do lado esquerdo.
� = 4 & = 6
5º passo: evidenciar que � = 4 e & = 6.
Solicitamos que os alunos tentassem realizar a transformação de
registros semióticos nas situações anteriores, constatamos que conseguiram realizar
com sucesso essa atividade. Logo em seguido, pedimos que os alunos tentassem
resolver algebricamente os problemas escritos em língua oficial brasileira.
Observamos que realizaram as resoluções algébricas de forma coerente chegaram
as suas respectivas soluções, em alguns casos pontuais e com diálogo
esclarecemos algumas dúvidas. Acreditamos que os alunos conseguiram calcular as
quantidades desconhecidas utilizando a balança pictórica, e assim compreenderam
a resolução algébrica dos problemas envolvendo sistema de equações do 1º grau.
3.14. DÉCIMA QUARTA SESSÃO
O décimo quarto encontro ocorreu no dia 20/10/2010 com objetivo de
possibilitar aos alunos uma pratica da técnica algébrica de resolução de problemas
de sistema de equações do 1º grau. Entregamos a cada aluno uma folha de
problemas, e dialogamos com eles sobre as possíveis resoluções dos problemas por
meio de técnica algébrica. Solicitamos aos alunos que formassem dois grandes
grupos conforme a ordem de frequência nominal da turma assim dividiu-se em grupo
cuja numeração era 1 a 18 e outro grupo com numeração de 19 a 36. O grupo de 1
a 18 coube a resolução dos sistemas de ordem par da lista e o outro grupo ficou
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 117
encarregado de resolver os de ordem ímpar. Disponibilizamos 45 minutos para que
cada grupo viesse a resolver seus respectivos sistemas. Após o término desse
tempo, um representante de cada grupo se dirigiu ao quadro do professor para
socializar as resoluções algébricas à turma e assim que terminasse de expor a
resolução o outro grupo teria que verificar se a resolução oferecida era coerente ou
não e vice-versa.
Destacamos que durante a exposição e intervenção dos grupos o
pesquisador não participou do processo de forma direta, apenas acalmava os
ânimos extrovertidos de alguns alunos durante a atividade. Os problemas que mais
geraram diálogos entre os grupos para resolução foram de 10 até o problema 15.
Coube ao pesquisador nesses problemas apenas relembrar alguns pontos tratados
nas aulas anteriores, mas que no final eram sempre os alunos que por meio do
diálogo resolviam os problemas. Observamos que em um determinado momento um
aluno disse de maneira entusiasmada:
Aluno - “no começo não sabia resolver nenhuma coisa dessas
[problemas] e agora estou arrebentando”
Dessa forma, ouvindo esse pronunciamento outro aluno se expressou
dizendo:
Aluno – “a gente aprende conversando e parece que o tempo voa”.
Com essas falas, salientamos aos alunos que era para continuar se
esforçando não só em matemática, mas que também desse a mesma dedicação as
outras disciplinas escolares. Constatamos que diferente do começo de nossas
atividades as meninas da turma pareciam ter mudado de postura com relação aos
meninos, uma vez que agora estavam misturados nos grupos e ajudavam-se
mutuamente na resolução dos problemas proposto para o dia. Acreditamos que os
alunos durante a atividade e com o diálogo compreenderam e treinaram com êxito
as técnicas algébricas de resolução dos problemas envolvendo sistema de
equações do 1º grau.
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 118
3.15. DÉCIMA QUINTA SESSÃO
O décimo quinto encontro de experimentação ocorreu no dia 21/10/2010.
Procuramos possibilitar aos alunos uma prática da técnica algébrica de resolução de
problemas de sistema do 1º grau escritos em língua oficial brasileira. Distribuímos a
turma em 6 (seis) grupos de 5 (cinco) alunos, observando que 6 (seis) alunos
faltaram nesse dia. Formamos os grupos tomando por base as aproximações de
alunos que pareciam, durante o experimento, envolvidos na atividade e aqueles que
pareciam não querer se envolver. Entregamos a cada aluno uma folha de
problemas, e dialogamos com eles sobre as possíveis resoluções por meio de
técnica algébrica. Os grupos ficaram responsáveis por resolver dois problemas da
lista entregue a cada aluno. Um aluno de cada grupo teria que expor as resoluções
dos problemas.
No problema 1: a soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são
os números? O grupo “A” registrou a resolução da seguinte maneira:
,! + � = 2! − � = 6-
! + � = 2 ! − � = 6
! = 2 − � 2 − � − � = 6
! = 2 − �−2� −2. � = 6 − 2
! = 4 −2�−2 = 4
−2
� = −2
No problema 2: a soma da idade de André com o dobro da idade de Aldo
é 21 anos. A idade de André menos o dobro da idade de Aldo é igual 5 anos.
Quantos anos têm cada um? O grupo “A” registrou assim:
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 119
,!. + 2. !/ = 21!. − 2. !/ = 5 -
!. + 2. !/ = 21 21 − 2. !/ − 2. !/ = 5
!. = 21 − 2. !/ −4. !/ = 5 − 21
!. = 21 − 8 −4!/ = −16
!. = 13 −4!/
−4 = −16−4
!/ = 4
No problema 3: quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00.
Cinco camisetas e sete calções custam R$ 138,00. Qual é o preço da camiseta e do
calção? O grupo “B” registrou assim:
Aluno – professor a gente foi colocando o valor para cada coisa que
aparece no problema e chegamos ao resultado.
Pesquisador – quais os valores que vocês tentaram antes de chegar
à solução do problema?
Aluno – não lembro, mas foram muitos! Só sei que o valor do calção
é 9 reais e da camiseta é 15 reais. Posso até fazer a conta para o senhor.
Pesquisador – fique a vontade.
O aluno que estava representando o grupo representou o seguinte:
4 × 15 + 5 × 9
60 + 45
105
5 × 15 + 7 × 9
75 + 63
138
No problema 4: em uma competição escolar, nas modalidades de voleibol
e basquetebol, participaram 32 equipes e 344 atletas. Cada equipe de voleibol
inscreveu 12 atletas, e cada equipe de basquetebol, 10 atletas. Quantas equipes de
vôlei participaram da competição? O grupo “B” alegou não ter entendido o problema
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 120
por isso não conseguiram resolver. Por meio do diálogo com a turma chegamos à
seguinte representação:
, 0 + � = 32120 + 10� = 344-
0 = 32 − � 120 + 10� = 344
0 = 32 − 20 12 . �32 − �� + 10� = 344
0 = 12 −12� + 384 + 10� = 344
−2� = 344 − 384
−2�−2 = −40
−2
� = 20
No problema 5: Vanessa comprou uma blusa e uma calça e gastou R$
96,00. Sabendo que a calça custa R$ 16,00 a mais que a blusa, determine quanto
Vanessa pagou em cada peça. O grupo “C” representou da seguinte maneira:
,� + 1 = 961 + 16 = �-
� = 96 − 1 1 + 16 = 96 − 1
� = 96 − 110 1 + 1 = 96 + 16
� = 4 21 = 112
1 = 110
O pesquisador procurou não intervir durante a representação do aluno do
grupo “C”, pois esperava que os outros alunos verificassem os equívocos, e foi o
que aconteceu: um grupo de alunos se manifestou dizendo que estava “errada” a
resolução. Um aluno espontaneamente corrigiu os equívocos. No problema 6: em
um pátio estão estacionados carros e motos, que totalizam 40 veículos e 140 rodas.
Há quantas motos estacionadas nesse pátio? O grupo “C” representou da seguinte
maneira a resolução:
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 121
30 + 10 = 40
4 × 30 + 2 × 10
120 + 20
140
Aluno – “pronto, 30 carros e 10 motos”
No problema 7: meu avô e meu pai foram pescar. Eles trouxeram 25
peixes de diversas espécies. Meu avô disse que pescou o quádruplo do número de
peixes que meu pai. Quantos peixes cada um pescou? O grupo “D” representou da
seguinte maneira a resolução:
O pai pescou 5 e o avô pescou 20
No problema 8: em uma fábrica de bombons, Leandro e Elizete
embalaram 12.600 gramas de bombons. Leandro embalou 2.400 gramas a mais que
Elizete. Quantos gramas de bombons Leandro embalou? O grupo “D” representou
da seguinte maneira a resolução:
,/ + 2 = 12600/ = 2400 + 2 -
/ = 12600 − 2 12600 − 2 = 2400 + 2
/ = 12600 − 5100 −2 − 2 = −12600 + 2400
/ = 7500 −22 = −10200
−22−2 = −10200
−2
2 = 5100
No problema 9: um terreno retangular tem 84 metros de perímetro. O
comprimento tem 18 metros a mais que a largura. Qual é a área desse terreno? O
grupo “E” alegou que não sabiam responder o problema, pois não sabiam o que é
“perímetro” e como calcular “área”. Dialogando com a turma obtemos o seguinte
modelo:
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 122
,2/ + 21 = 841 = 18 + / -
2/ = 84 − 21 1 = 18 + 42 − 1
2/2 = 84 − 21
2 1 + 1 = 60
/ = 42 − 1 21 = 60
/ = 42 − 30 212 = 60
2
/ = 12 1 = 30
� = / × 1
� = 12 × 30
� = 360 &�
No problema 10: Júlia guardou durante um mês, em um cofre, moedas de
25 e 10 centavos. Ao abri-lo, constatou que possuía 210 moedas num total de R$
35,70. Quantas moedas de cada tipo Júlia guardou? O grupo “E” esquematizou da
seguinte maneira:
110 moedas de 10 mais 100 moedas de 25 = 35,10
mudando 4 moedas de 10 para de 25 ganho 60 centavos
106 moedas de 10 mais 104 moedas de 25 = 35,70
Verificamos que a solução não era coerente com o problema a ser
resolvido. Dialogamos com os alunos e obtemos a seguinte representação:
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 123
3 � + 0 = 2100,25. 0 + 0,10� = 35,70-
� = 210 − 0 0,25. 0 + 0,10. �210 − 0� = 35,70
� = 210 − 98 0,25. 0 + 21 − 0,100 = 35,70
� = 112 0,15. 0 = 35,70 − 21
0,1500,15 = 14,70
0,15
0 = 98
Assim, 112 moedas de 10 centavos e 98 moedas de 25 centavos.
No problema 11: um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de
15, e as guardou numa caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas joaninhas e
aranhas ele apanhou? (Lembre que uma aranha tem oito patas e uma joaninha,
seis.) O grupo “F” esquematizou da seguinte maneira:
8 5.
65.
15, tirando 9, multipliquei pelas 8 patas que deu 72, sobrou 6, multipliquei
6�6 = 36, a soma dos dois dá 108
No problema 12: Antônio precisou de 45 minutos para remar 6 km. Na
volta precisou somente de 36 minutos. Qual era a velocidade da corrente? O grupo
“F” esquematizou da seguinte maneira:
Antônio usou a corrente na volta e ganhou 9 minutos.
61 = +7 �& a cada minuto
Acreditamos que os alunos durante a atividade e com o diálogo
compreenderam as técnicas algébricas de resolução dos problemas envolvendo
sistema de equações do 1º grau. Mas, destacamos com base nos registros de
pesquisa que os alunos, em geral, preferiram utilizar outras técnicas de resolução de
problemas do que a técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau.
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 124
3.16. DÉCIMA SEXTA SESSÃO
O décimo sexto encontro ocorreu uma semana depois, nesse encontro os
alunos realizaram o pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau. Nosso
objetivo era de verificar se e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau
com duas incógnitas depois da sequência de atividades sobre o assunto.
Entregamos a cada aluno uma cópia da folha de teste e solicitamos que
resolvessem os problemas da folha.
3.17. DÉCIMA SÉTIMA SESSÃO
O último encontro da experimentação ocorreu no dia 02/11/2010.
Agradecemos aos alunos a oportunidade de realização da pesquisa e enfatizamos
como aspecto positivo a participação nos diálogos e na execução das atividades.
Solicitamos que os alunos pontuassem alguns aspectos positivos e outros negativos
das aulas que tiveram durante o experimento. Entre outras pontuações feitas pelos
alunos, destacamos algumas:
Aluno “A” – aprendemos brincando, nunca tinha jogado em sala de aula.
Gostei muito!
Aluno “B” - o senhor nunca nos obrigou a fazer as atividades, sempre nos
tratou com educação.
Aluno “C” – gostei de resolver problemas!
Aluno “D” – tinha momentos que pensei que não era aula de matemática.
Depois do diálogo com os alunos solicitamos que realizassem o pós-teste
geral. Nosso objetivo era de verificar se e como os alunos resolveriam problemas do
1º grau depois da sequência de atividades sobre o assunto. Entregamos a cada
aluno uma cópia da folha do teste e solicitado que resolvessem os problemas.
Salientamos que nos testes os alunos escreveram mensagens positivas, mas que
preferimos não relatar neste estudo, pois eram mensagens direcionadas ao
GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 125
pesquisador e tomamos com pessoal. Duas semanas após o término do
experimento entregamos ao professor efetivo da turma o resultado individual por
alunos da tabulação feita nos testes aplicados durante o experimento para que o
professor pudesse avaliar e atribuir às notas referentes aquele bimestre. A seguir
apresentamos os resultados das análises a posteriori e da validação da pesquisa.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 126
4. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO
Nesta seção temos como objetivo apresentar os resultados obtidos na
análise a posteriori e a validação da engenharia didática. Assim, analisamos os
resultados de cada atividade e dos testes realizados no experimento. O nosso
objetivo de pesquisa foi investigar os efeitos de um conjunto de atividades sobre o
desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do ensino
fundamental. Conforme Brasil (1997), as necessidades cotidianas fazem com que os
alunos desenvolvam uma prática, que permite reconhecer problemas, buscar e
selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla
capacidade para lidar com a atividade matemática. Quando essa capacidade é
potencializada pela escola, a aprendizagem pode apresentar melhor resultado.
Aplicamos os pré-testes reconhecendo que alunos tinham condição de resolvê-los
mesmo que fossem razoavelmente complexos, para tanto buscariam conhecimentos
e tentariam estabelecer relações entre o já conhecido e o novo.
No primeiro encontro de nossa experimentação os alunos protestaram
sobre a realização do pré-teste geral alegando que não tinham estudado para o
teste e que não era cabível uma avaliação no primeiro dia de aula da atividade, pois
o professor efetivo da turma não tinha dado o assunto que iria ser posto em
avaliação. Essa atitude pode ser um reflexo de uma prática no ensino de matemática
em que este apresenta na maioria das vezes, o conteúdo oralmente, partindo de
definições, exemplos, demonstração de propriedades, seguidos de exercícios de
aprendizagem, fixação e aplicação.
O pré-teste geral foi realizado com o objetivo de verificar se e como os
alunos resolveriam problemas do 1º grau, antes da sequência de atividades sobre o
assunto. Acreditávamos que os alunos resolveriam determinados problemas usando
a técnica tentativa e erro. A tabela 7 apresenta os dados referentes ao número de
alunos que acertaram cada problema proposto. Denominamos de acertos aquelas
resoluções que possuíam uma estratégia coerente e apresentavam soluções
corretas.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 127
Tabela 7: Relação entre o percentual de alunos do 7º ano que resolveram os problemas do pré-teste geral e as técnicas utilizadas para a resolução destes problemas
Enunciado dos problemas Percentual de alunos que acertaram cada problema
Técnicas utilizadas para resolução dos problemas
Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro. Qual
é esse número? 36%
• 76% informaram somente a resposta;
• 24% fizeram por tentativa e erro
Um número menos quarenta e cinco é igual a setenta e cinco.
Que número é esse? 27% Todos os alunos apenas
Informaram a resposta
A metade de um número mais quatro é igual a seis. Qual é
esse número? 16% Todos os alunos apenas
informaram a resposta
O dobro de um número, menos sete, é igual a trinta e cinco.
Que número é esse? 0%
A soma de dois números é 8 e a diferença é 4. Que números são
esses? 0%
Pensei em um número, depois somei este número com
cinquenta e dois e dividi o resultado por dois, e assim
obtive quarenta e quatro. Qual foi o número pensado?
2% Informou somente a resposta
Em um quintal há galinhas e coelhos, num total de 13
animais e 46 pés. Qual é a quantidade de galinhas? E a
quantidade de coelhos?
8% • 66% informaram somente a
resposta; • 34% utilizaram tentativa e
erro
Em um torneio de perguntas e respostas, a pontuação é dada
de acordo com o seguinte:
Uma equipe, depois de
responder 20 perguntas, ficou com 80 pontos. Quantas foram as respostas certas? E quantas
foram as respostas erradas?
Questões Certa Errada
Ganha 10 pontos
perde 5 pontos 0%
A soma de dois números pares consecutivos é 18. Quais são
esses números? 5%
Todos informaram somente a resposta;
A soma de dois números ímpares consecutivos é 8. Quais são esses números?
5% Todos informaram somente a resposta;
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 128
Analisando a tabela 7 percebemos que a maioria dos alunos utilizou a
técnica de resolução por tentativa e erro, ou apenas informou a resposta. Existem
muitas técnicas de resolução de problemas. Entre elas, Sá (2006) cita as seguintes:
tentativa e erro; busca de padrões; resolver um problema mais simples; trabalhar em
sentido inverso e simulação. A estratégia de tentativa e erro consiste na busca da
solução de um problema por meio da utilização das informações contidas no
problema em aproximações sucessivas, isto é, testando possíveis soluções. Para
exemplificar a estratégia utilizada pelos alunos que acertaram os problemas, temos
o seguinte registro:
Problema: Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro. Qual é esse número?
Registro do aluno:
19 +21
40
29+2150
+392160
Os dados dispostos na tabela 7 parecem evidenciar que quando o aluno
não conhece uma ferramenta algébrica que o auxilie na resolução de determinado
problema, recorre à estratégia por tentativa e erro. Sá (2006) explica que a prática
escolar, normalmente, não valoriza este tipo de estratégia alegando que toda
situação – problema possui uma fórmula ou regra para sua resolução, o que o
pesquisador advertiu ser essa justificativa um mito. O quadro 6 evidencia a relação
gosto pela matemática, hábito de estudo e número de acertos dos alunos.
Quadro 6: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo, e a media de acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste geral
Gosto pela Matemática
Media de acerto no pré teste geral
Não gosta Pouco Muito
Háb
ito
de
estu
do
Período de prova 1,4 0,75 1,0
Véspera de prova 1,0 1,25 1
Fim de semana Não teve aluno 1,66 1,5
Duas vezes por semana 1 0,2 1,5
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 129
Analisando o quadro 6 podemos perceber que dois grupos tiveram maior
quantidade de acertos: o grupo formado pelos “alunos que não gostam de
matemática” e “só estudam no período de prova”; e o grupo dos “alunos que gostam
um pouco de matemática” e “estudam véspera de prova”. Fernandes (2010) explica
que o “gostar pouco” de matemática por parte dos alunos costuma está relacionado
com à falta de afinidade com os “números” e à dificuldade em acompanhar o ritmo
das aulas por falta de concentração. Fernandes (2010) constatou que a maioria dos
alunos que dizem gostar de matemática, em geral, atribui sua preferência pela
disciplina à eficiência do professor e ao bom relacionamento da mesma com os
alunos.
Por meio das análises prévias percebemos que tínhamos, antes de
abordar as técnicas algébricas de resolução de problemas do 1º grau, de envolver
também no processo de ensino – aprendizagem as traduções de enunciados
escritos em língua oficial brasileira para linguagem matemática. Nossa hipótese era
de que se o aluno entendesse a tradução para linguagem matemática iria entender a
resolução de problemas do 1º grau de maneira satisfatória. Ribeiro (2001) evidencia
que um fator importante dentro do aspecto estrutural da álgebra, em particular, com
a representação simbólica de relações numéricas diz respeito à tradução de
situações-problema em equações algébricas. Segundo o pesquisador, essas
equações são representações estruturais que envolvem uma perspectiva não
aritmética, não só quanto à natureza das operações que são representadas, mas
também quanto ao uso do sinal de igualdade. O pesquisador explica ainda que ao
passar de uma perspectiva aritmética para uma algébrica, podemos estar nos
movimentando de uma concepção processual para uma estrutural.
Gil (2008) analisou que a interpretação de problemas algébricos, que
exigem uma tradução da “linguagem corrente” para a linguagem simbólica apresenta
obstáculos, assim como, à relação entre a álgebra e a aritmética. Ainda ressalta que
no estudo de álgebra, o aluno utiliza muito esta codificação já que envolve uma
interpretação, exigindo a tradução da “linguagem escrita” para a linguagem
matemática, e muitas vezes, as dificuldades apresentadas pelos alunos na tradução
de situação da “linguagem corrente” para a linguagem formal residem na
interpretação.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 130
Para Feio (2009) as regras de codificação permitem apenas uma leitura
pontual das representações de cada registro. Essas regras não permitem uma
apreensão global e qualitativa do objeto representado. E é justamente essa
apreensão global e qualitativa que é necessária para ir além da tradução e utilizar os
registros para fins de estabelecer relações significativas e, a partir daí, afirmar que
houve uma conversão. Na sala de aula, segundo Feio (2009), a fala medeia o
processo de ensino e de aprendizagem da matemática. De um lado o professor a
utiliza, através da “língua natural”, para traduzir à linguagem matemática que se
encontra codificada. Do outro, os alunos apreendem a tradução feita pelo professor
e projetam sentido no que está sendo comunicado. Por conseguinte, conforme o
pesquisador, os alunos constroem conceitos.
Assim, realizamos um pré-teste de tradução de enunciados escritos em
língua oficial para linguagem matemática com o objetivo de verificar se e como os
alunos transformariam os enunciados escritos em língua oficial para linguagem
matemática, antes da sequência de atividades sobre o assunto. A tabela 8 apresenta
os dados referentes aos acertos dos alunos em cada questão, denominamos de
acertos aquelas traduções que utilizaram coerentemente uma letra do nosso
alfabeto para representar um valor desconhecido.
Tabela 8: Percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente os enunciados do pré-teste de tradução em linguagem matemática
(Continua)
Enunciado Percentual de alunos que traduziram
coerentemente cada enunciado
Um número mais três é igual a onze. 5%
Um número menos nove é igual a dois. 2%
Um número menos quatro é igual a menos dez. 0%
O triplo de um número é igual a nove 0%
A metade de um número é igual a seis. 0%
O dobro de um número mais cinco é igual a menos onze 0%
O triplo de um número menos seis é igual a zero. 0%
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 131
Tabela 8: Percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente os enunciados do pré-teste de tradução em linguagem matemática
(Conclusão) O dobro de um número menos seis é igual a menos
quatorze. 0%
O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta
0%
Um número mais três, vezes cinco é igual a quarenta e cinco.
0%
Um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um.
0%
A soma de dois números consecutivos é igual a cinquenta e três.
0%
A soma de dois números pares consecutivos é igual a noventa e oito.
0%
A soma de dois números ímpares consecutivos é igual a oitenta e oito.
0%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Conforme consta na tabela 8, a maioria dos alunos não conseguiu traduzir
os enunciados em linguagem matemática. Somente 3 (três) alunos traduziram de
forma coerente para linguagem matemática. Evidenciamos nas análises prévias que,
conforme Daniel (2007), quando é dado um problema ou um enunciado em língua
oficial, aparece muitos erros na escrita da equação e na identificação da incógnita,
erros esses muitas vezes conceituais. Ainda, Sá (2003), elucidou que não existe
uma transição do pensamento aritmético para o pensamento algébrico e, sim, um
desenvolvimento paralelo com um aperfeiçoamento da linguagem simbólica.
Araújo (2007) percebeu que, se o aluno não entende a linguagem do texto
matemático, não avança na sua estratégia cognitiva, e ainda a aprendizagem deve
envolver os aspectos: sintático (linguagem matemática) e semântico (significado que
os fatos matemáticos revelam), que são indissociáveis e devem ser articulados no
ensino da matemática escolar. Assim, Costa (2007) sugere que se realizem
atividades voltadas à linguagem matemática nas salas de aulas, pois os alunos
apresentam uma real dificuldade nesse segmento.
Segundo Feio (2009), muitos alunos parecem ter dificuldades para
resolver certos tipos de problemas algébricos, em particular, quando antes da
resolução envolvem uma tradução da “linguagem escrita corrente” para a linguagem
matemática. Por sua vez, Silva e Nascimento (2010) ressaltam que o aprendizado
de “língua materna” e da linguagem matemática sempre manteve estreita afinidade.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 132
Falar “língua materna” e aprender linguagem matemática se torna possível graças
ao poder de abstração de que é dotado o homem, no entanto, essa relação nem
sempre é eficaz.
Gil (2008) explica que muitas vezes acentuamos as dificuldades com o
seu simbolismo quando não nos preocupamos em trabalhar a compreensão dos
símbolos, de clarear os seus significados. Para a pesquisadora, acabamos
abusando do seu uso e dificultamos o processo de aprendizagem. Dessa forma, Gil
(2008) destaca que escrever e se comunicar por meio da linguagem matemática,
assim também como ler e entender é mostrar-se portador dessas habilidades. Para
a pesquisadora comunicar-se em matemática é comunicar-se em outra forma de
linguagem que não a “materna”.
A nossa observação, durante a execução da sequência de atividades
envolvendo traduções de enunciados escritos em língua oficial para linguagem
matemática mostrou que alguns alunos costumam não representar o sinal “=”
quando traduz para linguagem matemática o seguinte enunciado: um número menos
nove é igual a dois. Mas, uma das maiores dificuldades assinaladas foi concernente
a tradução de enunciados envolvendo a expressão: “o dobro de um número”.
Constatamos a dificuldade de tradução de enunciados envolvendo “o dobro de um
número” é maior que “o triplo de um número”.
Segundo Souza e Diniz (2003) isto acontece no 7º ano da escola básica
quando as letras são apresentadas como substitutas de números, surge assim uma
nova linguagem que tenta traduzir em símbolos matemáticos as formas: o dobro de
um número: 2�, a idade que eu tinha há 10 anos: � − 10, a soma de dois números é
27: � + � = 27 e em seguida, rapidamente, apresentar o conceito de variável como
incógnita para resolver equações e sistemas lineares que serão aplicados em
problemas. Nestes dois últimos casos a variável "não varia", ela é um valor numérico
momentaneamente desconhecido e único. Souza e Diniz (2003) apontam ainda que:
o trabalho com álgebra é apresentado de forma fragmentada, enfatizando ora um aspecto, ora outro, sem se preocupar com a ligação entre eles e com sua contextualização, ignorando totalmente a formação da ideia básica da álgebra que é o conceito de variável em suas múltiplas formas: incógnita, parâmetro e variável propriamente dita (p. 3).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 133
Em tradução em linguagem matemática, os alunos não podem deixar de
perceber o aspecto semântico da língua oficial, pois em alguns casos se faz
extremamente necessário sua utilização, como na tradução do enunciado: o dobro
de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta. A primeira tradução do
enunciado foi: 2. � + 3 = −40. Explicamos que a tradução não era coerente, pois não
representava o enunciado proposto, e sim: o dobro de um número mais três é igual a
menos quarenta, assim confundiram “mais o seu triplo” com “mais três”. No
enunciado: três mais um número, vezes cinco é igual a quarenta e cinco, a primeira
tradução foi: 3 + �. 5 = 45, percebemos que os alunos não compreenderam o uso
semântico da vírgula no enunciado e que ao traduzirem o suprimiram.
Um fato observado durante o experimento foi que os alunos não
conseguem articular de maneira direta a representação da operação de divisão com
a simbologia de frações, quase sempre associam ao símbolo: ÷. Por exemplo, no
enunciado: um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um, a
primeira tradução dos alunos foi: �� − 15� ÷ 3 = 21. Concernente a simbologia
utilizada pela linguagem matemática, Silva (2006), explica que tendo a matemática
uma linguagem própria, com uma vasta simbologia, para que ocorra uma
comunicação é preciso que, quando o professor falar de matemática na língua
materna, o aluno faça essa codificação, transforme a “língua materna” na linguagem
matemática. Nesse sentido, ao resolver um problema, o aluno usará a simbologia
matemática, que é a sua linguagem. Se todo esse processo se der de forma
satisfatória, conforme Silva (2006), pode-se admitir que houve uma comunicação.
André e Santos (2007) salientam que o excesso de simbologia gera
dificuldades desnecessárias para o aluno, muitas vezes, chegando até mesmo
interferir na compreensão da ideia representada pelo símbolo. A linguagem
matemática desenvolveu-se com o intuito de facilitar a comunicação do
conhecimento matemático entre as pessoas. No entanto, quando há abuso do uso
simbólico e não há preocupação em trabalhar a compreensão dessa simbologia,
procurando esclarecer o seu significado, obtém-se o efeito contrário, isto é,
dificultamos o processo de aprendizagem da matemática.
Observamos ainda que a maioria dos alunos não conseguiu traduzir os
seguintes enunciados: a soma de dois números pares consecutivos é quatorze; a
soma de dois números ímpares consecutivos é doze. Acreditamos que os alunos
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 134
não tinham “maturidade algébrica” para alcançar o nível de abstração para
compreender esses enunciados escritos em língua oficial. Nesse sentido,
apontamos que se faz necessário um estudo sobre as principais técnicas de
tradução de enunciados em língua oficial para linguagem matemática, talvez até a
elaboração de um glossário com essas técnicas de tradução para atividade de sala
de aula.
No primeiro instante de execução dos jogos de cartas, desenvolvidos em
nosso experimento, o jogo estava lento pela maioria dos alunos e assim o seu
término demorava a ocorrer. Depois de um tempo os alunos começaram a jogar e a
construir seus jogos de cartas de forma rápida e em alguns casos evidenciaram
estratégia de vencer ou impedir que outro aluno vença. Rade (2010) aponta que os
jogos podem contribuir como um poderoso recurso nas aulas de matemática. Pois
ao jogar os alunos sentem-se no dever de tentar resolver as questões. Brasil (1997)
sugeriu o uso de jogos, pois esse recurso pode contribuir para um trabalho de
formação de atitudes, considerando que os alunos, ao enfrentarem desafios,
lançam-se na busca de soluções, promovendo o desenvolvimento da crítica, da
intuição, da criação de estratégias e da possibilidade de alterá-las quando o
resultado não for satisfatório.
Observamos que em raros momentos houve algum aluno que
representou a incógnita utilizando a letra “x” ou “y”. A turma utilizava ou a primeira
letra dos seus respectivos nomes ou alguma letra correspondente a algum objeto
presente no enunciando em língua oficial. Então, será que quando usamos em sala
de aula a letra “x” ou “y” não estamos oportunizando, em certos momentos, mais um
obstáculo no processo ensino- aprendizagem, uma vez que em muitos casos a letra
“x” ou “y” pode não conferir significado ao aluno durante a resolução de um
problema. Brousseau (1996) afirma que os obstáculos podem estar relacionados ao
erro no ensino, na insuficiência do sujeito ou a uma dificuldade intrínseca do
conhecimento. Ele classifica esses obstáculos em: obstáculos ontogênicos, didáticos
e epistemológicos. Acreditamos que no caso relatado acima se trata do obstáculo
didático, pois são aqueles que parecem depender da escolha metodológica ou de
um projeto do sistema educativo. Ao usarmos de forma exacerbada a letra “x” ou “y”
em sala sem que estas tenham qualquer ligação com os enunciados dos problemas
podemos gerar nos alunos obstáculos epistemológicos, que segundo Brousseau
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 135
(1996) se caracterizam por um saber que já foi construído, e dessa forma, vem
interferir no novo saber em fase de construção.
Conforme ficou evidenciado em nossa pesquisa, os alunos haviam
realmente dominado o requisito de tradução para linguagem matemática, pois os
símbolos matemáticos faziam sentido para os alunos quando associavam aos
respectivos enunciados. Após o conjunto de 3 (três) atividades para o ensino de
tradução de enunciados escritos em língua oficial para linguagem matemática, os
alunos realizaram o pós-teste do assunto contendo os mesmos enunciados que o
pré-teste feito antes das atividades. Nesse pós-teste de tradução tivemos por
objetivo verificar se e como os alunos depois das atividades desenvolvidas sobre
linguagem matemática traduziriam as sentenças de língua oficial para linguagem
matemática coerentemente. A tabela 9 apresenta os dados referentes à quantidade
de alunos que traduziram cada enunciado de maneira coerente usando a linguagem
matemática.
Tabela 9: Comparação entre o percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente o pré-teste e o pós-teste de tradução em linguagem matemática
(Continua)
Enunciado Percentual de alunos que traduziram
coerentemente cada enunciado
Pré-teste Pós-teste
Um número mais três é igual a onze. 5% 72%
Um número menos nove é igual a dois. 2% 66%
Um número menos quatro é igual a menos dez. 0% 63%
O triplo de um número é igual a nove 0% 58%
A metade de um número é igual a seis. 0% 58%
O dobro de um número mais cinco é igual a menos onze
0% 61%
O triplo de um número menos seis é igual a zero. 0% 66%
O dobro de um número menos seis é igual a menos quatorze.
0% 63%
O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta
0% 55%
Um número mais três, vezes cinco é igual a quarenta e cinco.
0% 58%
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 136
Tabela 9: Comparação entre o percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente o pré-teste e o pós-teste de tradução em linguagem matemática
(Conclusão)
Um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um.
0% 61%
A soma de dois números consecutivos é igual a cinquenta e três.
0% 22%
A soma de dois números pares consecutivos é igual a noventa e oito.
0% 16%
A soma de dois números ímpares consecutivos é igual a oitenta e oito.
0% 19%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Torna-se evidente que houve um aumento significativo quanto ao
desempenho dos alunos em traduzir enunciados para linguagem matemática após
as aplicações das atividades concernentes ao respectivo tópico. Apenas nos 3 (três)
últimos enunciados o número de alunos que traduziram coerentemente foi abaixo de
50% da turma. O gráfico 1 aponta a média de acertos nos testes de tradução em
linguagem matemática.
Gráfico 1: Média de acertos nos testes de tradução em linguagem matemática
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Analisando o gráfico 1 percebemos que a média de acertos dos alunos no
pós-teste aumentou consideravelmente em relação a média de acertos no pré-teste.
Isso parece evidenciar que houve um melhor desempenho dos alunos em tradução
para linguagem matemática de enunciados escritos em língua oficial após a
aplicação das atividades. O gráfico 2 relaciona a média de acertos nos testes de
tradução em linguagem matemática com o perfil da turma.
0,90%
61%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Média de acertos no pré-teste de tradução
média de acertos no pós-teste de tradução
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 137
Gráfico 2: Relação entre a média de acertos nos testes de tradução em linguagem matemática e o perfil dos alunos do 7º ano
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
O perfil dos alunos que tiveram melhor desempenho no pós-teste de
tradução, conforme o gráfico 2, foi o seguinte: meninos; alunos que não gostam de
matemática; e, que tem dificuldade nessa disciplina. Sobre o desempenho dos
alunos nos enunciados envolvendo números consecutivos esperávamos um
desempenho menor em relação à tradução dos outros enunciados, pois observamos
durante as atividades que os alunos não conseguiram entender esse tipo de
tradução. Acreditamos que deveríamos ter elucidado mais essa técnica de tradução
durante as atividades. Por isso, destacamos uma limitação ou descuido do
experimento o fato de, talvez, ter sido evidenciado de maneira excessiva apenas
uma técnica de tradução ou modelização dos enunciados apresentado em língua
oficial. Na tabela 10 mostramos o número de acertos de cada aluno nas traduções
dos enunciados presentes no teste sobre linguagem matemática. Denominamos
cada aluno pela ordem alfabética de cada nome.
0,80% 1,00% 0,60% 1,20% 0,50% 1,30%
69%
53%
60% 62% 63%59%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
meninos meninas Gostam de
matemática
Não gostam de
matemática
Tem
dificuldades em
matemática
Não tem
dificuldades em
matemática
Pré-teste de tradução Pós-teste de tradução
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 138
Tabela 10: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de linguagem matemática (Continua)
Aluno (a) Números de acertos
Pré- teste Pós-teste
Aluno 1 0% 85%
Aluno 2 Não fez 78%
Aluno 3 0% 85%
Aluno 4 0% 35%
Aluno 5 0% 71%
Aluno 6 0% 57%
Aluno 7 0% 28%
Aluno 8 0% 14%
Aluno 9 0% 100%
Aluno 10 0% 100%
Aluno 11 0% 14%
Aluno 12 7% 92%
Aluno 13 0% 57%
Aluno 14 0% 50%
Aluno 15 0% 100%
Aluno 16 0% Não fez
Aluno 17 7% 92%
Aluno 18 7% 92%
Aluno 19 0% 50%
Aluno 20 0% Não fez
Aluno 21 0% 71%
Aluno 22 0% 64%
Aluno 23 0% 21%
Aluno 24 Não fez 21%
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 139
Tabela 10: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de linguagem matemática (Conclusão)
Aluno 25 0% 14%
Aluno 26 0% 71%
Aluno 27 0% 78%
Aluno 28 0% 64%
Aluno 29 0% 14%
Aluno 30 0% 92%
Aluno 31 0% 92%
Aluno 32 0% 21%
Aluno 33 0% 28%
Aluno 34 0% 14%
Aluno 35 0% 78%
Aluno 36 0% 92%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Acreditamos ter alcançado à validação das atividades destinadas a
tradução em linguagem matemática. Isso parece ficar explícito no gráfico 3 que
evidencia o desempenho dos alunos nos testes de tradução em linguagem
matemática. Optamos por desconsiderar em nossa análise de resultados os testes
de tradução dos alunos: 2, 16, 20 e 24, pois não fizeram algum dos testes de
tradução e assim não teríamos como evidenciar o desempenho dos mesmos.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 140
Gráfico 3: Percentual de acerto dos alunos nos testes de tradução em linguagem matemática
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Relacionamos a frequência dos alunos nas atividades que envolveram
tradução e o desempenho dos alunos. Salientamos que f (falta); p (presença na
atividade); A.1 (atividade 1); A.2 (atividade 2) e A.3 (atividade 3).
Tabela 11: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano no experimento envolvendo tradução em linguagem matemática e desempenho no pós-teste do referido assunto
(Continua)
Aluno
Atividades de tradução
Percentual de acertos no
pós-teste de tradução A.1 A.2 A.3
Aluno 1 P P P 85%
Aluno 2 P P P 78%
Aluno 3 P P F 85%
Aluno 4 P P P 35%
Aluno 5 P P P 71%
Aluno 6 P P P 57%
Aluno 7 F P P 28%
Aluno 8 P P P 14%
Aluno 9 P P P 100%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 171819 212223 252627282930313233343536
Pré-teste de tradução Pós-teste de Tradução
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 141
Tabela 11: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano no experimento envolvendo tradução em linguagem matemática e desempenho no pós-teste do referido assunto
(Conclusão)
Aluno 10 F P P 100%
Aluno 11 P P P 14%
Aluno 12 F P P 92%
Aluno 13 P P F 57%
Aluno 14 P P P 50%
Aluno 15 P P P 100%
Aluno 16 P P P Não fez
Aluno 17 P P P 92%
Aluno 18 P P P 92%
Aluno 19 F P P 50%
Aluno 20 P P P Não fez
Aluno 21 P P P 71%
Aluno 22 P P P 64%
Aluno 23 P P F 21%
Aluno 24 P P P 21%
Aluno 25 P P P 14%
Aluno 26 P P P 71%
Aluno 27 P P P 78%
Aluno 28 P P P 64%
Aluno 29 F P P 14%
Aluno 30 P P P 92%
Aluno 31 P P P 92%
Aluno 32 P P P 21%
Aluno 33 P P F 28%
Aluno 34 P P P 14%
Aluno 35 P P P 78%
Aluno 36 P P P 92%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 142
Assim, podemos relacionar o desempenho dos alunos no pós-teste de
tradução com a frequência nas atividades para verificar se estas produziram algum
efeito no desempenho dos alunos. Destacamos que todos os alunos pelo menos
compareceram em duas atividades. O gráfico 3 evidencia uma relação entre o
percentual de presença nas atividades sobre tradução e o desempenho dos alunos
no pós-teste do assunto.
Gráfico 4: Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre tradução e o desempenho dos alunos no pós-teste do assunto
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos, a partir do gráfico 4 estabelecer a tabela 12.
Tabela 12: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades envolvendo tradução em linguagem matemática e o desempenho no pós-teste de tradução
Categorias Quantidade de
alunos no grupo
Quantidade de alunos com menos de 50% de acertos
Quantidade de alunos com 50% ou mais de acertos
Compareceu só em duas atividades
9 4 5
Compareceu em todas as atividades
23 6 17
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536
Percentual de frequência nas atividades de tradução
Percentual de acertos no pós-teste de tradução
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 143
A tabela 12 indica que a maioria dos alunos compareceu em todas as
atividades envolvendo tradução e desses a maioria teve um desempenho igual ou
superior a 50% de acertos na tradução dos enunciados em linguagem matemática.
Isso parece evidenciar que as atividades influenciaram no desempenho dos alunos
no pós-teste de tradução em linguagem matemática. Relacionamos ainda o gosto
pela matemática; o hábito de estudo; e os acertos no pós-teste de tradução em
linguagem matemática.
Tabela 13: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo, e os acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução em linguagem matemática
Categorias Percentual de
alunos
Percentual de alunos que gostam de matemática
Percentual de alunos que possuem dificuldades
em matemática
Desempenho inferior a 50% no teste 31% 70% 100%
Desempenho igual ou superior a 50% no
teste. 68% 90% 81%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos perceber que 68% dos alunos tiveram um desempenho de
acertos igual ou superior a 50% de acertos na tradução dos enunciados em
linguagem matemática. Ainda, 90% dos alunos com desempenho superior ou igual a
50% de acertos no pós-teste de tradução gostam de matemática e admitiram ter
alguma dificuldade em matemática. Relacionamos o gostar de matemática, hábito de
estudo e acertos dos alunos.
Quadro 7: Relação do gosto pela matemática, o hábito de estudo e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução em linguagem matemática
Gosto pela Matemática
Média de acertos dos alunos
Não gosta Pouco Muito
Háb
ito
de
estu
do
Período de prova 8,0 7,25 10,0
Véspera de prova 6,66 4,75 13
Fim de semana Não teve aluno 5,66 6,0
Duas vezes por semana 11 10,83 11,0
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 144
Observamos que a maior quantidade de acertos em tradução diz respeito
aos alunos que declararam “gostar um pouco de matemática” e “estuda duas vezes
por semana” fora escola. Ou seja, 23% dos acertos foram do grupo relatado
anteriormente. O quadro 8 aponta os principais equívocos ocorridos durante as
traduções dos alunos no pós-teste de linguagem matemática.
Quadro 8: Equívocos identificados no pós-testes de tradução em linguagem matemática
EQUÍVOCOS VERIFICADOS EXEMPLO DO EQUÍVOCO
Colocar a solução das questões, invés de traduzir
o número desconhecido por uma letra do nosso
alfabeto
Um número menos nove é igual a dois
“11 − 9 = 2”
Não utilizou o símbolo dos parênteses para
destacar a propriedade distributiva em relação à
adição ou subtração.
Um número mais três, vezes cinco é igual a
quarenta e cinco.
“� + 3.5 = 45”
Confundiu a representação do “dobro” e da
“metade de um número desconhecido”,
representando um pelo outro.
A metade de um número é igual a seis.
“2� = 6”
Não representava a palavra “igual”. Um número menos quatro é igual a menos dez.
“� − 4 − 10”
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Constatamos que durante as atividades de tradução os alunos em muitos
momentos questionavam sobre quando iriam resolver os problemas. Por isso, ainda
nesse teste, depois das atividades houve alunos que ainda tentaram solucionar o
suposto problema. Os três últimos equívocos assinalados no quadro, provavelmente
ocorreram em função da falta de atenção ou até da rapidez para terminar o teste.
Ainda investigamos o perfil dos alunos que tiveram um desempenho inferior a 50%
de acertos na tradução.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 145
Tabela 14: Perfil dos alunos que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução em linguagem matemática
Identificação do aluno em ordem crescente de
desempenho no pós-teste de tradução
Percentual de frequência na atividade de tradução
Percentual de acertos nos testes de tradução
Pré-teste Pós-teste
8 100% 0% 14%
11 100% 0% 14%
25 100% 0% 14%
29 66% 0% 14%
34 100% 0% 14%
23 66% 0% 21%
32 100% 0% 21%
7 66% 0% 28%
33 66% 0% 28%
4 100% 0% 35%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Observamos pela tabela 14 que 10 (dez) alunos tiveram um desempenho
inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução, desses alunos 60%
compareceram em todas as atividades e 40% tiveram apenas uma falta. Um fato a
destacar foi que os 10 (alunos) não conseguiram traduzir algum enunciado antes
das atividades e após as atividades todos pelo menos traduziram um enunciado em
linguagem matemática de maneira coerente. Ainda investigamos o gostar de
matemática e o que esses alunos declararam sobre dificuldades em matemática.
Tabela 15: Relação entre o gostar de matemática e as dificuldades dos alunos do 7º ano que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução em linguagem matemática
Identificação do aluno Gosta pelo menos um pouco de matemática
Possui dificuldade em matemática
4 Sim Sim
7 Sim Sim
8 Não Sim
11 Sim Sim
23 Sim Sim
25 Sim Sim
29 Sim Sim
32 Não Sim
33 Sim Sim
34 Não Sim
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 146
Podemos perceber que 70% declararam gostar de matemática e 30% não
gostar de matemática, e ainda todos apontaram ter alguma dificuldade em
matemática. Ou seja, a maioria dos alunos que tiveram um rendimento inferior a
50% no pós-teste de tradução em linguagem matemática gostava de matemática e
possuía dificuldade na aprendizagem dessa disciplina escolar. Ainda investigamos a
quantidade de vezes que esses alunos estudam matemática fora do ambiente
escola e recebem ajuda para isso.
Quadro 9: O hábito de estudo dos alunos do 7º ano que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução em linguagem matemática
Identificação do aluno Hábito de estudo Quem auxilia
4 Duas vezes por semana Ninguém
7 Só no período de prova Ninguém
8 Só no período de prova Irmão
11 Só no período de prova Irmão
23 Só no fim de semana Irmão
25 Só no período de prova Ninguém
29 Só no período de prova Ninguém
32 Só no fim de semana Mãe
33 Duas vezes por semana Ninguém
34 Duas vezes por semana Ninguém
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos perceber dos alunos que acertaram menos que 50% das
traduções, 30% estudam duas vezes por semana, 50% estudam no período de
prova; e 20% só no fim de semana. Temos ainda que desses alunos, 60% não
recebem ajuda de alguém para estudar fora do ambiente escolar; 30% recebem
ajuda do irmão e 10% da mãe. Assim, a maioria dos alunos estuda só no período de
prova e fazem isso sozinho. Podemos concluir que o perfil dos alunos com baixo
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 147
rendimento é o seguinte: gosta de matemática; possui dificuldades em matemática;
estuda só na véspera de prova e não recebe ajuda em atividades extraclasse.
Depois do tópico de tradução desenvolvemos o ensino de problemas do
1º grau com uma incógnita. No primeiro encontro, os alunos realizaram o pré-teste
de problemas do 1º grau com uma incógnita com o objetivo de verificar se e como os
alunos resolveriam os problemas do 1º grau com uma incógnita, depois da
sequência de atividades sobre o assunto. Entregamos uma folha de teste para cada
aluno. A tabela 16 apresenta os dados referentes aos acertos dos alunos em cada
questão, denominamos de acertos aquelas resoluções que possuíam uma estratégia
coerente e apresentavam respostas satisfatórias.
Tabela 16: Percentual de alunos do 7º ano que acertaram cada problema do pré-teste envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita
Enunciado
Percentual de alunos
que acertaram
cada problema
Estas balanças estão equilibradas. Calcule o valor de x:
0%
Um número mais dezoito é igual a noventa e cinco. Qual é esse número?
8%
Um número menos seis é igual a menos quarenta e cinco. Que número é esse? 13%
O dobro de um número menos dois é igual a trinta. Qual é esse número? 8%
O triplo de um número mais dez é igual a menos dois. Qual é esse número? 11%
A metade de um número mais dez é igual a doze. Qual é esse número? 5%
A terça parte de um número menos cinco é igual a dois. Qual é esse número? 5%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Os dados mostram que não houve um bom desempenho dos alunos do
experimento em resolver problemas envolvendo equação do 1º grau com uma
incógnita. A nossa análise a priori se confirmou, pois todos os alunos que acertaram,
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 148
ou apenas apontaram a solução, ou utilizaram a técnica por tentativa e erro.
Relacionamos o gostar de matemática, hábito de estudo e acertos dos alunos.
Quadro 10: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
Gosto pela Matemática
Média de acertos
Não gosta Pouco Muito
Háb
ito
de
estu
do
Período de prova 0,4 0,25 1,0
Véspera de prova 0,0 0,25 0,0
Fim de semana Não teve aluno 0,66 1,5
Duas vezes por semana 0,0 1,0 0,0
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Observamos que a maior quantidade de acertos diz respeito aos alunos
que declararam “gostar um pouco de matemática” e estudam duas vezes por
semana fora da escola. Destaca-se ainda que o grupo que se declarou estudar só
na véspera de prova acertou apenas uma resolução sendo o grupo com pior
desempenho. Evidenciamos que o único grupo em que todos acertaram pelo menos
uma resolução foi aqueles que “gostam muito de matemática”.
Segundo Batista (2002) há estratégias de resolução de problemas em
matemática que sempre levam ao erro, assim como há estratégias que sempre
levam ao acerto. As estratégias que levam ao acerto variam quanto ao suporte de
representação adotado nos problemas. Para Marco (2004), quando os alunos
sentem necessidades de resolver determinados problemas, esses manifestam
momentos de hesitação e dúvidas que, a pesquisadora caracterizou por situações –
dilemática. Nessas situações-dilemática constatamos que os alunos quando se
deparam com um problema na qual não possui de imediato uma estratégia algébrica
estes quase sempre recorrem a estratégia por tentativa e erro.
No Brasil, segundo Araújo et al (2010), o estudo de resolução de
equações do 1º grau é introduzido no 6º ano do ensino fundamental, é
essencialmente desenvolvido no 7º ano e retomado nos 8º e 9º anos. Os
pesquisadores concluem que os alunos brasileiros iniciam desde muito cedo o
estudo de resolução de equação do 1º grau. Araújo et al (2010) afirmam que as
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 149
transposições didáticas realizadas nos livros didáticos de matemática no Brasil ao
abordar o conceito de equação do 1º grau falham ao não deixar clara a transição dos
métodos de resolução aritméticos para os métodos de resolução algébricos por não
realizarem adequadamente a passagem da aritmética à álgebra.
Segundo Lima e Santos (2010) o sinal de igualdade tem uma posição de
destaque na montagem da equação do 1º grau e grande parte dos alunos o elege
como a grande diferença entre as discussões aritméticas e algébricas. Coura (2008)
constatou algumas dificuldades dos alunos concernentes a resolução de equação do
1º grau: escrever para explicar a resolução de uma equação do 1º grau; elaborar um
problema matemático a partir de uma equação do 1º grau; e, escrever sobre o
processo mental, que mobilizam para elaborar as equações.
Nas análises prévias apresentamos um diagnóstico a respeito da prática
docente para o ensino de problemas do 1º grau e as dificuldades que os alunos
apresentam para aprender este conteúdo, segundo os professores de matemática,
constatamos que a maior dificuldade em resolver problemas do 1º grau está quando
este problema matemático modela-se em um sistema de equações do 1º grau. Mas,
com base nesse pré-teste constatamos que os alunos também possuem dificuldades
em resolver equações do 1º grau com uma incógnita.
Desenvolvemos então três atividades para o ensino de problemas do 1º
grau de uma incógnita. Na primeira atividade, que teve por objetivo descobrir
técnicas algébricas de resolver problemas do 1º grau de uma incógnita com o auxílio
de uma balança pictórica, entregamos a cada aluno uma folha com problemas. No
problema 1: o peso de uma melancia mais 4 kg é igual a 12 kg. Qual o peso da
melancia?
Após socializar esse esquema aos alunos perguntamos que estratégia de
solução poderia ser adotada para calcular o peso da melancia a partir do pictórico.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 150
As repostas dos alunos mostram que eles possuíam alguma estratégia de resolução
para este problema com a balança pictórica: “retirar os pesinhos que estão ao lado
da melancia”; “iria cair para o lado esquerdo”; “retirar 4 (quatro) pesos do outro lado
também”. Assim, chegaram ao peso da melancia, identificando que esse peso é de 8
(oito) quilos. No segundo problema, contatamos que os alunos conseguiram
construir o esquema e obter a resposta do problema. Um dos alunos representou da
seguinte forma:
A partir do esquema da balança pictórica os alunos traduziram da
seguinte maneira: � + 5 = 14. Por meio da correspondência da estratégia adotada
no pictórico para linguagem algébrica, os alunos chegaram ao seguinte esquema:
� + 5 = 14
� + 5 − 5 = 14 − 5
� = 9
Perguntamos aos alunos como conseguiram desenvolver a estratégia
algébrica, um aluno respondeu: “é fácil, primeiro traduz, então, quando tem ‘menos’
põem mais, e tudo que se faz de um lado, se faz do outro, o que sobra é o valor de
�”. Em determinado problema ao tentarmos esboçar o esquema pictórico, os alunos
não queriam, alegando “perder tempo”. Acreditamos que os alunos conseguiram
calcular a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança pictórica e assim
compreenderam a resolução algébrica dos problemas do 1º grau com uma incógnita.
Oliveira e Sá (2010) destacam que, segundo Peirce, todo processo
mental é inferência, ou seja, tradução sígnica, para Duval a análise do conhecimento
matemático tem sua base na produção das representações semióticas, e a maneira
matemática de visualizar e raciocinar está intrinsecamente ligada à utilização desse
tipo de representação. Para Duval (2003), reconhecer relações entre os registros
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 151
implica em “perceber” que representam o mesmo objeto matemático, e, à medida
que tais relações são estabelecidas, os alunos passam a diferenciar a representação
utilizada do objeto matemático representado. Segundo o autor, o estabelecimento
destas relações faz com que as conversões passem a ser realizadas com maior
facilidade, uma vez que os alunos já conhecem características próprias de cada
registro. Sobre a teoria dos registros de representação semiótica, temos:
A teoria dos registros semióticos deve ser avaliada segundo os dados relativos à riqueza, às novidades das observações assim como às novidades das atividades de aprendizagem, que as variáveis cognitivas permitem definir, e não em relação a decisões tomadas a priori sobre o que é Matemática ou decisões baseadas em condições globalizantes não controláveis por meio de metodologias precisas (D’AMORE, 2005, p.61-62).
Na segunda atividade tivemos como objetivo possibilitar aos alunos uma
prática de forma lúdica da resolução algébrica de problemas do 1º grau com uma
incógnita. Os alunos se mostraram entusiasmados para iniciar o jogo, pois, a
primeira experiência com a atividade sendo jogo de cartas tinha sido positiva para
esses alunos. O jogo de três cartas que mais os alunos sentiram dificuldade para
formar foi,
Quando formava o jogo eles precipitadamente acreditavam que a solução
era � = −8, pois de forma equivocada operavam com os números relativos
envolvidos em � = ����� , afirmando uma solução errada. Como aconteceu no
primeiro jogo de cartas envolvendo tradução, os alunos com o desenvolver das
rodadas pareciam se sentir mais confiantes e a partir disso começavam a
desenvolver aquelas estratégias. Acreditamos pelas nossas observações que os
Equação Original
-6x = - 48
Isolar a variável
x=�����
Solução
x = 8
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 152
alunos ganharam agilidade na resolução algébrica de equação do 1º grau com uma
incógnita.
Nos tempos de revolução científica, segundo Araújo (2009) a matemática
desenvolveu formalmente seus parâmetros, sua utilização, sua estruturação como
ciência. O pesquisador explica que se tem a falsa impressão de que a matemática
hoje ocupa uma presença em tudo o que a subjetividade humana pode influenciar.
Outro fato, conforme Araújo (2009), é que a ludicidade, a manipulação de formas e
símbolos concretos, são a panaceia da vez e os instrumentos ditos “tradicionalistas”
como os livros didáticos, estão, a cada dia, ocupando um espaço cada vez mais
apertado por outros recursos pedagógicos.
Para Santos e Nascimento (2007), apresentar conteúdos matemáticos
utilizando o lúdico possibilita ao aluno construir o conhecimento no processo
interativo, permitindo ao professor assumir o papel de (re) construtor do
conhecimento matemático e propicia também, o aparecimento de novas
metodologias. Portanto, na abordagem do processo educativo, a ludicidade é um
importante recurso pedagógico e a mesma não poder ser vista apenas como
sinônimo de brincar.
A terceira atividade teve por objetivo possibilitar aos alunos uma prática
ou treino da técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma
incógnita. Acreditamos pelas observações realizadas e descritas que os alunos
durante a atividade e com o diálogo compreenderam as diferentes técnicas
algébricas de resolução deste tipo de problema do 1º grau. Ribeiro (2001)
analisando o desempenho de alunos do ensino fundamental em álgebra, com base
em dados do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo
(SARESP) do ano de 1997 afirmou que o resultado foi deprimente e por isso o
trabalho com Álgebra precisa urgentemente ser repensado, mesmo em situações
que demandam basicamente procedimentos mecânicos, para que os alunos
consigam sucesso.
Trindade (2008) explica que mais do que aplicação de fórmulas ou
procedimentos repetitivos, o que se exige do ser humano na sua luta pela
sobrevivência é que tenha capacidade de lidar com diferentes problemas e
representações e que possa argumentar sobre os procedimentos utilizados bem
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 153
como formular problemas e avaliar criticamente os resultados obtidos. Numa
perspectiva assim, tem-se um aprender matemática fazendo matemática. Sobre
utilizar o modelo diagramático de uma balança no ensino de problemas do 1º grau,
Ceballos (2010) indica que, utilizando tal estratégia de ensino, os alunos são
capazes de extender o método algébrico de resolução para uma grande variedade
de formas de equações de maneira expontânea e inferir o método de transposição
de termos.
No estudo realizado por Ribeiro (2001) observou-se que a média dos
alunos em Álgebra ficou em torno dos 39%, um pouco acima da média da prova de
matemática como um todo, porém, ainda muito baixo se levarmos em consideração
o quanto esse campo da matemática é explorado no ensino fundamental. Diante
disso, Costa (2008) sugere que é inegável a importância dos pressupostos e da
pedagogia adotada pelos professores na área do espaço de vida relacionado com a
aprendizagem e acredita-se que os professores desejam melhorar o processo de
ensino e aprendizagem necessitando para isso tanto de incentivo como de uma
mudança de percepção cognitiva acerca dos processos de pensamento.
Conforme Coura (2008), à medida que os alunos conseguem estruturar
de maneira clara e objetiva seus raciocínios matemáticos estarão consolidando a
aprendizagem dos conteúdos trabalhados. Realizamos o pós-teste de problemas do
1º grau com uma incógnita, com o objetivo de verificar se e como os alunos
resolveriam os problemas do 1º grau com uma incógnita, depois da sequência de
atividades sobre o assunto. Entregamos a cada aluno uma cópia da folha de teste;
e, solicitamos que resolvessem os problemas. A tabela 17 apresenta os dados
referentes aos acertos dos alunos em cada questão, denominamos de acertos
aquelas resoluções que possuíam uma estratégia coerente e apresentavam
respostas satisfatórias.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 154
Tabela 17: Percentual de alunos do 7º ano que acertaram os problemas dos testes envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita
Enunciado Percentual de alunos que acertaram
cada problema
Pré-teste Pós-teste
Estas balanças estão equilibradas. Calcule o valor
de x:
0% 91%
Um número mais dezoito é igual a noventa e cinco. Qual é esse número?
8% 75%
Um número menos seis é igual a menos quarenta e cinco. Que número é esse?
13% 72%
O dobro de um número menos dois é igual a trinta. Qual é esse número?
8% 55%
O triplo de um número mais dez é igual a menos dois. Qual é esse número?
11% 55%
A metade de um número mais dez é igual a doze. Qual é esse número?
5% 44%
A terça parte de um número menos cinco é igual a dois. Qual é esse número?
5% 41%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Analisando a tabela 17, percebemos que em todos os problemas o
percentual de alunos que acertaram aumentou de forma significativa. Temos ainda
que apenas nos dois últimos problemas relacionados com as ideias de “metade de
um número” e “terça parte de um número” o percentual de alunos que acertaram
permaneceu abaixo de 50% da turma envolvida no experimento. Na tabela 18
mostramos o número de acertos de cada aluno nas questões presentes nos testes
sobre problemas do 1º grau.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 155
Tabela 18: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita
(Continua)
Aluno (a)
Percentual de acertos dos alunos no teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
Pré- teste Pós-teste
Aluno 1 28% 71%
Aluno 2 14% 85%
Aluno 3 14% 71%
Aluno 4 0% 28%
Aluno 5 28% 28%
Aluno 6 0% 14%
Aluno 7 14% 28%
Aluno 8 0% Não fez
Aluno 9 0% 100%
Aluno 10 28% 100%
Aluno 11 0% 28%
Aluno 12 14% 51%
Aluno 13 0% 85%
Aluno 14 0% 28%
Aluno 15 28% 85%
Aluno 16 0% Não fez
Aluno 17 14% 85%
Aluno 18 14% 71%
Aluno 19 0% 71%
Aluno 20 Não fez 14%
Aluno 21 0% 51%
Aluno 22 28% 51%
Aluno 23 0% 42%
Aluno 24 Não fez 42%
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 156
Tabela 18: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita
(Continua)
Aluno 25 0% 28%
Aluno 26 0% 100%
Aluno 27 0% 71%
Aluno 28 14% 85%
Aluno 29 0% 14%
Aluno 30 14% 85%
Aluno 31 0% 100%
Aluno 32 14% 28%
Aluno 33 0% 71%
Aluno 34 0% 28%
Aluno 35 0% 85%
Aluno 36 0% 100%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Os alunos: 8, 16, 20 e 24 por não realizarem os dois testes de problemas
do 1º grau com uma incógnita, os dados desses alunos não irão fazer parte das
análises de desempenho envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita. A
analise da tabela 18 aponta que houve um aumento significativo quanto ao
desempenho dos alunos em resolverem problemas do 1º grau com uma incógnita,
isso fica mais evidente no gráfico 5, onde é comparado o desempenho dos alunos
nos testes de problemas do 1º grau.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 157
Gráfico 5: Desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Relacionamos a frequência dos alunos nas atividades de problemas do 1º
grau com uma incógnita e o desempenho dos alunos. Salientamos que f (falta); p
(presença na atividade); A.1 (atividade 1); A.2 (atividade 2) e A.3 (atividade 3).
Tabela 19: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o percentual de acertos no pós-teste destes problemas
(Continua)
Aluno
Atividades de problemas do 1º grau com uma
incógnita
Percentual de acertos no pós
teste
A.1 A.2 A.3
Aluno 1 P P P 71%
Aluno 2 P F P 85%
Aluno 3 P P P 71%
Aluno 4 P P P 28%
Aluno 5 P F P 28%
Aluno 6 P P P 14%
Aluno 7 F P P 28%
Aluno 8 P P F Não fez
Aluno 9 P P P 100%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 9 101112131415 171819 212223 252627282930313233343536
Pré-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
Pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 158
Tabela 19: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o percentual de acertos no pós-teste destes problemas
(Continua)
Aluno 10 F P P 100%
Aluno 11 P P F 28%
Aluno 12 F P P 51%
Aluno 13 P P F 85%
Aluno 14 P P P 28%
Aluno 15 P F P 85%
Aluno 16 P P P Não fez
Aluno 17 P P P 85%
Aluno 18 P P P 71%
Aluno 19 P P P 71%
Aluno 20 P P P 14%
Aluno 21 P P P 51%
Aluno 22 P P P 51%
Aluno 23 P P P 42%
Aluno 24 P F P 42%
Aluno 25 P P P 28%
Aluno 26 P P P 100%
Aluno 27 P P P 71%
Aluno 28 F P P 85%
Aluno 29 F P P 14%
Aluno 30 P P P 85%
Aluno 31 P P P 100%
Aluno 32 P P P 28%
Aluno 33 P P F 71%
Aluno 34 P P P 28%
Aluno 35 P P F 85%
Aluno 36 P P P 100%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 159
A partir da análise tabela 19 percebemos que os alunos no mínimo
participaram de 66% das atividades sobre problemas do 1º grau com uma incógnita.
O gráfico 6 evidencia uma relação entre o percentual de presença nas atividades
sobre problemas do 1º grau com uma incógnita e o desempenho dos alunos no pós-
teste do assunto.
Gráfico 6: Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre problemas do 1º grau com uma incógnita e o desempenho dos alunos do 7º ano no pós-teste do assunto
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Com isso, relacionamos a frequência dos alunos; o desempenho no pós-
teste de problemas de 1º grau com uma incógnita.
Tabela 20: Relação entre a frequência dos alunos do 7º anos nas atividades envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o desempenho no pós-teste de problemas do 1º grau
Categorias Quantidade de
alunos
Quantidade de alunos que acertou menos de
50% do pós-teste
Quantidade de alunos que acertou igual ou superior a
50% do pós-teste Compareceu só em duas atividades
12 4 8
Compareceu em todas as atividades
20 7 13
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 1415 16 1718 19 2021 22 2324 25 26 2728 29 3031 32 3334 35 36
Percentual de frequência nas atividades de problemas do 1º grau com uma incógnita
Percentual de acertos no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 160
A tabela 20 evidencia que mesmo os alunos que frequentaram 100% das
atividades sobre problemas do 1º grau obtiveram melhor desempenho de acertos no
pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita. Ainda, relacionamos o gosto
pela matemática; o hábito de estudo e os acertos dos alunos no pós-teste de
problemas do 1º grau com uma incógnita.
Quadro 11: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
Gosto pela Matemática
Não gosta Pouco Muito
Háb
ito
de
estu
do
Período de prova 3,66 5,33 1,66
Véspera de prova 4,33 6,66 5
Fim de semana Não tem aluno 5,0 4,33
Duas vezes por semana 2 4,0 12,0
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Observamos que a maior quantidade de acertos, diz respeito aos alunos
que declararam “gostar um pouco de matemática” e estudava duas vezes por
semana fora escola. Obtemos ainda duas categorias conforme a média de 50% de
acertos.
Tabela 21: Relação entre o gosto pela matemática, as dificuldades em matemática e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
Categorias Percentual de
alunos
Percentual de alunos que gostam de
matemática
Percentual de alunos que possuem dificuldades em
matemática
Percentual inferior a
50% no teste 34,38%
63,64% gostam de matemática 90,91% possuem dificuldade
Percentual igual ou
superior a 50% no teste
65,62% 61,90% gostam de
matemática 90,48% possuem dificuldades
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
A maioria dos alunos que tiveram um percentual igual ou superior a 50%
no teste de problemas do 1º grau gosta de matemática e possui dificuldades na
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 161
disciplina. A média dos alunos no pós-teste de problemas do 1º grau com uma
incógnita parece evidenciar que após as atividades sobre esse tópico os alunos
conseguiram resolver os problemas propostos.
Gráfico 7: Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
O gráfico 8 compara o desempenho dos alunos relacionando com o perfil
dos mesmos envolvendo os testes de problemas do 1º grau com uma incógnita.
Gráfico 8: Relação entre a média de acertos nos testes de tradução em linguagem matemática e o
perfil dos alunos do 7º ano
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
8,00%
62%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%
Média de acertos no pré-teste de problemas do
1º grau com uma incógnita
Média de acertos no pós-teste de problemas do
1º grau com uma incógnita
10,00%6,00% 6,50%
9,50%6,00%
10,00%
74%
50%
59%65% 64%
60%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
meninos meninas Gostam de
matemática
Não gostam de
matemática
Tem
dificuldades em
matemática
Não tem
dificuldades em
matemática
Pré-teste de tradução Pós-teste de tradução
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 162
Percebemos pela análise dos gráficos 7 e 8 que houve um significativo
aumento de desempenho de acertos dos alunos depois da aplicação das atividades.
O perfil dos alunos que tiveram melhor desempenho no pós-teste de problemas do
1º grau com uma incógnita foi o seguinte: meninos; alunos que “não gostam de
matemática”; e que tem dificuldade nessa disciplina escolar. Observamos então que
nesse segundo tópico de experimento houve uma aproximação no desempenho dos
alunos que declararam “gostar de matemática” e os que “não gostam de
matemática”. Identificamos que 34,38% não tiveram bom desempenho no pós-teste
de problemas do 1º grau com uma incógnita. Assim, investigamos o perfil desses
alunos.
Tabela 22: Perfil dos alunos do 7º ano que não tiveram bom desempenho no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
Identificação do aluno Percentual de frequência na atividade de problemas com
uma incógnita
Percentual de acertos nos testes do assunto
Pré-teste Pós-teste
4 100% 0% 28%
5 66% 28% 28%
6 100% 0% 14%
7 66% 14% 28%
11 66% 0% 28%
14 100% 0% 28%
23 100% 0% 42%
25 100% 0% 28%
29 66% 0% 14%
32 100% 14% 28%
34 100% 0% 28%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Observamos pela tabela 22 que 11 (onze) alunos tiveram um
desempenho inferior a 50% de acertos no pós-teste de problemas do 1º grau com
uma incógnita, desses alunos 63,64% compareceram em todas as atividades e
36,36% tiveram apenas uma falta. Destaca-se ainda que 72,73% tiveram nenhum
acerto no pré-teste desse assunto e que também 72,73% conseguiram resolver dois
problemas no pós-teste. Assim, esses alunos compareceram nas atividades, porém
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 163
não conseguiram melhorar de forma significativa seu desempenho. Ainda
investigamos o gostar de matemática e o que esses alunos declararam sobre
dificuldades em matemática.
Tabela 23: Relação entre o gostar de matemática e o hábito de estudo dos alunos do 7º ano que tiveram baixo desempenho no pós-teste de problemas do 1º grau
Identificação do aluno Gosta pelo menos um pouco
de matemática Possui dificuldade em
matemática
4 Sim Sim
5 Sim Não
6 Não Sim
7 Sim Sim
11 Sim Sim
14 Não Sim
23 Sim Sim
25 Sim Sim
29 Sim Sim
32 Não Sim
34 Não Sim
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos perceber que 63,64% declararam que gostavam de matemática
e 36,34% não gostavam de matemática, e ainda somente um aluno apontou não ter
alguma dificuldade em matemática. Ou seja, a maioria dos alunos que tiveram
rendimento inferior a 50% no pós-teste gostava de matemática e possuía dificuldade
na aprendizagem dessa disciplina escolar. Ainda investigamos a quantidade de
vezes que esses alunos estudavam matemática fora do ambiente escola e se
recebiam ajuda para isso.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 164
Quadro 12: Relação entre o hábito de estudo fora do ambiente escola e se recebiam ajuda nesse estudo dos alunos do 7º ano com baixo desempenho de acertos no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita
Identificação do aluno Hábito de estudo Quem auxilia
4 Duas vezes por semana Ninguém
5 Duas vezes por semana Ninguém
6 Véspera de prova Ninguém
7 Só no período de prova Ninguém
11 Só no período de prova Irmão
14 Duas vezes por semana Pai
23 Só no fim de semana Irmão
25 Só no período de prova Ninguém
29 Só no período de prova Ninguém
32 Só no fim de semana Mãe
34 Duas vezes por semana Ninguém
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos concluir que o perfil dos alunos com baixo rendimento é o
seguinte: gosta de matemática; possui dificuldades em matemática; estuda só na
véspera de prova ou nos fins de semana e não recebe ajuda em atividades
extraclasse. O hábito de estudar só na véspera de prova se identificou tanto em
tradução como em problemas do 1º grau com uma incógnita entre aqueles que
tiveram um baixo desempenho. Acreditamos que esse perfil tenha sido um fator de
complicação para estes alunos uma vez que não sabiam quando ocorreriam os
testes e assim não se preocupavam em estudar o conteúdo. Ressaltamos que
72,73% dos alunos que não tiveram bom desempenho no pós-teste de problemas do
1º grau com uma incógnita também não tiveram bom desempenho no pós-teste de
tradução.
Em nossa pesquisa sobre as dificuldades de aprendizagem realizada com
os professores de matemática da educação básica, apontou que os alunos não
conseguem ou tem muitas dificuldades em resolver problemas do 1º grau que se
apresenta exclusivamente em língua oficial. Acreditamos ter amenizado essas
dificuldades com os alunos envolvidos no experimento, pois 65,62% tiveram um bom
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 165
desempenho. Sá (2003) acredita que o desenvolvimento da habilidade de resolver
problemas rotineiros é tão importante quanto o desenvolvimento da habilidade de
resolver os não rotineiros e, além disso, o pesquisador aponta que um problema só
torna-se rotineiro quando é entendido e internalizado seu processo de resolução,
valendo isso para qualquer tipo de problema. Nossa pesquisa corrobora com
Andrade et al (2010) ao constatarem que uma sequência didática que possibilite aos
alunos a utilização de recursos que facilitem o entendimento do conteúdo de
equações de 1º grau, e que privilegiem a ação do aluno e o professor agindo como
um mediador, dentro dos princípios construtivistas de ensino, possibilitam uma
compreensão adequada dos conceitos.
Conforme Trindade (2008) as investigações matemáticas e resolução de
problemas, embora parecidos, são conceitos entendidos, por vezes, de formas
diferenciadas. Acreditamos que o resultado positivo da pesquisa deve ter se dado
também, por aplicamos a característica peculiar da resolução de problemas proposto
por Trindade (2008). O quadro 11 aponta os principais registros de resoluções
ocorridos durante as tentativas de resoluções dos testes de problemas do 1º grau
com uma incógnita.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 166
Quadro 13: Tipos de registros feitos pelos alunos do 7º ano identificados nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita
Apenas traduziu o
enunciado em
linguagem
matemática.
Traduziu o enunciado em
linguagem matemática e
utilizou a técnica de resolução
de problemas por tentativa e
erro.
Traduziu o
enunciado em
linguagem
matemática e
apontou direta a
resposta.
Traduziu o
enunciado em
linguagem
matemática utilizou
técnicas algébricas
de resolução
Não traduziu o
enunciado em
linguagem
matemática e utilizou
o pictórico para
resolver os
problemas
Não traduziu o
enunciado em
linguagem
matemática e utilizou
a técnica por
tentativa e erro.
Informou apenas o
valor desconhecido
Q.1 3 alunos 1 alunos 1 alunos 22 alunos 2 alunos 4 alunos 1 alunos
Q.2 2 alunos 4 alunos 0 alunos 25 alunos 0 alunos 3 alunos 2 alunos
Q.3 1 alunos 3 alunos 0 alunos 24 alunos 2 alunos 4 alunos 2 alunos
Q.4 3 alunos 2 alunos 2 alunos 27 alunos 1 alunos 1 alunos 0 alunos
Q.5 2 alunos 4 alunos 2 alunos 25 alunos 0 alunos 1 alunos 2 alunos
Q.6 0 alunos 3 alunos 0 alunos 26 alunos 2 alunos 3 alunos 2 alunos
Q.7 1 alunos 0 alunos 4 alunos 28 alunos 2 alunos 1 alunos 0 alunos
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 167
Constatamos pelo quadro 13 que a maioria dos alunos pelo menos tentou
resolver os problemas do 1º grau com uma incógnita utilizando alguma técnica
algébrica de resolução. Parece então que quando o aluno descobre alguma técnica
algébrica de resolução tende a usar menos a técnica por tentativa e erro. O perfil da
maioria dos alunos que utilizou alguma técnica algébrica para resolver problemas é
do sexo feminino, tem como responsável o pai e a mãe e todos os responsáveis
trabalham. Esses alunos possuem alguma atividade de remuneração, não fazem
nenhum curso extra-escolar, praticam esporte (futebol), “gostam pouco de
matemática”, assumiram ter alguma dificuldade em matemática, estudam
matemática alguns dias da semana e não recebem nenhuma ajuda nas atividades
extraclasses.
Daniel (2007) construiu as seguintes categorias de erros cometidos pelos
alunos observando a resolução de problemas do 1º grau: erros relacionados aos
conceitos de equação e incógnita; erros de transformações algébricas; erros
decorrentes da aplicação indevida de propriedades ou de "falsa regra"; erros
decorrentes à falta de atenção na escrita de uma nova equação; e, erros envolvendo
cálculos numéricos. Desses erros o que mais se constatou em nossa pesquisa foi,
em 46% dos casos, erros decorrentes à falta de atenção na escrita de uma nova
equação.
Avançamos então para o terceiro tópico de nosso estudo que foi o ensino
de problemas envolvendo sistemas do primeiro grau. Realizamos o pré-teste de
problemas envolvendo sistema do 1º grau, com o objetivo de verificar se e como os
alunos resolveriam estes problemas antes das atividades sobre o assunto. Ribeiro
(2001) destaca uma questão que exigia dos alunos a resolução de um sistema de
equações do 1º grau: a solução do sistema �2� − � = 3� + � = 3 �. O pesquisador informa que
o conjunto de alunos que atingiu um padrão de acertos em torno de 49% foi
significativamente superior à média de desempenho em Álgebra de 39%. Uma
hipótese do pesquisador para este resultado é a que considera que, provavelmente,
os alunos resolveram o sistema pela simples substituição dos valores apontados nas
alternativas.
Conforme a pesquisa realizada por Ribeiro (2001) tem-se a seguinte
questão: tenho 100 moedas que dão um total de R$ 60,00. Uma certa quantidade de
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 168
moedas de R$ 1,00 e as restantes são moedas de R$ 0,50. A quantidade de
moedas de R$ 1,00 é? Este item tinha como objetivo verificar se o aluno era capaz
de resolver uma situação – problema por meio de um sistema de equações. O
pesquisador aponta que o índice de acertos foi discrepante em relação ao padrão de
desempenho médio do grupo de alunos: 57%. Esse relativo bom desempenho,
segundo Ribeiro (2001), vem reiterar que em situações cujos contextos são de
interesse dos alunos, estes acabam criando estratégias para resolvê-las, seja
empregando conceitos matemáticos mais formais, seja por estimativa, seja por
tentativa e erro. Sendo assim, a procura de contextos significativos e adequados
deve se constituir em um ponto de reflexão e ação do professor.
Sobre a álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos
tipos de problemas, Santos (2005) explica que nessa concepção, espera-se que o
aluno simplifique, por exemplo, equações chegando a expressões mais reduzidas.
Dessa maneira, segundo a pesquisadora, as variáveis são vistas como incógnitas ou
constantes, ou seja, são valores desconhecidos que por meio da resolução de uma
equação ou de um sistema de equações são descobertos. Para exemplificar, essa
ideia, a pesquisadora utilizou o seguinte problema: “Adicionando 3 ao quíntuplo de
um certo número, a soma é 40. Achar o número”. Discordamos de Santos (2005)
quando salienta que não é difícil traduzir o problema para a linguagem algébrica.
Rocha (2008) informou que o aluno, após trabalhar com equações do 1º
grau e resolução de problemas envolvendo equações do 1º grau, começou a
trabalhar sistema de equações do 1º grau, nesse momento sentiu dificuldade, pois
se trata de um assunto mais amplo pelo fato de que o aluno teria que resolver duas
equações ao mesmo tempo para encontrar dois valores correspondentes a duas
incógnitas. Foi constatado em nossa pesquisa aos docentes sobre as dificuldades
de aprendizagem concernente ao ensino de problemas do 1º grau, que a maior
dificuldade em resolver problemas do 1º grau, está quando este problema
matemático modela-se em um sistema de equações do 1º grau. Com base nisso,
aplicamos o pré-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau. A tabela 24
apresenta os dados referentes aos acertos dos alunos em cada questão,
denominamos de acertos aquelas resoluções que possuíam uma estratégia coerente
e apresentavam respostas satisfatórias.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 169
Tabela 24: Percentual de alunos que acertaram os problemas propostos no pré-teste envolvendo sistemas do 1º grau
Enunciado Percentual de alunos que acertaram cada problema
Num quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 patas. Quantas são as galinhas? E os coelhos? 16%
A soma das idades de José e Maria é 55 anos. A idade de José mais o dobro da idade de Maria é igual a 85 anos. Qual é a idade José? E a
idade de Maria? 8%
Em uma loja, Josias comprou 5 canetas e 3 lápis e gastou R$ 21,00. Mariana, na mesma loja, comprou 3 canetas e 2 lápis e gastou R$
12,90. Qual é o valor da caneta? E do lápis? 5%
A soma de dois números é igual a 14. A diferença entre esses números é igual a dois. Quais são esses números? 13%
O peso de Camila e de seu gato Tico, juntos, é de 32 kg. O peso de Camila é sete vezes o de Tico. Qual o peso de cada um? 11%
A soma de dois números consecutivos pares é igual a 18. Quais são esses números? 19%
A soma de dois números consecutivos ímpares é igual a 12. Quais são esses números? 19%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Apesar dos alunos terem um desempenho de acertos no pré-teste de
problemas envolvendo sistemas do 1º grau melhor do que no pré-teste de problemas
do 1º grau com uma incógnita, ainda consideramos baixo o desempenho.
Relacionamos o gostar de matemática, hábito de estudo e acertos dos alunos.
Quadro 14: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau
Gosto pela Matemática
Média de acertos
Não gosta Pouco Muito
Háb
ito
de
estu
do
Período de prova 1,2 0,25 0,75
Véspera de prova 0,66 0,75 Esse aluno não fez o
teste Fim de semana Não teve aluno 1,0 1,0
Duas vezes por semana 1 1,28 2,5
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Observamos que a maior quantidade de acertos diz respeito aos alunos
que declararam “gostar um pouco de matemática” e estuda duas vezes por semana
fora escola. Na primeira atividade tivemos por objetivo possibilitar aos alunos a
descoberta de um meio algébrico de resolver problemas envolvendo sistema de
equações do 1º grau com o auxílio de uma balança pictórica. As representações
semióticas são relativas a um sistema particular de signos, a linguagem, a escrita
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 170
algébrica ou os gráficos cartesianos que podem ser convertidas em representações
“equivalentes” em outro sistema semiótico, mas podendo tomar “significações”
diferentes para o sujeito que as utiliza. Duval (2009) explica que a noção de
representação semiótica pressupõe a consideração de sistemas semióticos
diferentes e de uma operação cognitiva de conversão das representações de um
sistema semiótico para outro. Essa operação denomina-se “mudança de forma”.
Os registros de representação semióticas constituem os graus de
liberdade de que um sujeito pode dispor para objetivar a si próprio uma ideia ainda
confusa, um sentimento latente, para explorar informações ou simplesmente para
poder comunicá-las a um interlocutor. Duval (2009) aponta que o desenvolvimento
dos conhecimentos e os obstáculos encontrados nas representações fundamentais
relativas ao raciocínio, à compreensão dos textos, à aquisição de tratamentos
lógicos e matemáticos confrontam três fenômenos que aparecem estreitamente
ligados: a diversificação dos registros de representação; a diferenciação entre
representante e representado; e, a coordenação entre os diferentes registros de
representação semiótica disponíveis. Utilizamos nessa atividade o que Duval (2009)
denominou de conversão de registros semióticos. Por meio do dialogo evidenciamos
a conversão da estrutura pictórica para uma representação algébrica dos passos
estratégicos mencionados anteriormente, da seguinte maneira:
1º passo: apresentar o esquema.
� + � = 10 � = � + 2
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 171
2º passo: verificar que a balança do lado direito indica o peso da melancia em
relação ao peso do cacho de banana, com isso podemos inferir que:
2� + 2 = 10 � = � + 2
3º passo: calcular o peso da banana na balança da esquerda.
� = 4 � = � + 2
4º passo: substituir o peso da banana na balança do lado esquerdo.
� = 4 � = 6
5º passo: evidenciar que � = 4 e � = 6.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 172
Acreditamos que os alunos conseguiram calcular as quantidades
desconhecidas utilizando a balança pictórica, e assim compreenderam a resolução
algébrica dos problemas envolvendo sistema de equações do 1º grau. Na segunda
atividade para o ensino de problemas envolvendo sistema do 1º grau tivemos por
objetivo possibilitar aos alunos uma pratica da técnica algébrica de resolução de
problemas de sistema de equações do 1º grau. Solicitamos que formassem dois
grandes grupos conforme a ordem de frequência nominal da turma, assim, dividiu-se
em grupos cuja numeração era 1 a 18 e outro grupo com numeração de 19 a 36.
Andrade (2005) considera que a dinâmica de grupo é uma técnica que
significa colocar um grupo de pessoas em movimento através de jogos, brincadeiras,
exercícios, quando são associadas situações simuladas nas quais os participantes
poderão agir com autenticidade. Acreditamos que os alunos durante a atividade e
com o diálogo compreenderam e treinaram com êxito as técnicas algébricas de
resolução dos problemas envolvendo sistema de equações do 1º grau. Isso pode ser
evidenciado nas seguintes falas dos alunos: “no começo não sabia resolver
nenhuma coisa dessas [problemas] e agora estou arrebentando”; “a gente aprende
conversando e parece que o tempo voa”.
Na terceira atividade procuramos possibilitar aos alunos uma prática da
técnica algébrica de resolução de problemas de sistema do 1º grau escritos em
língua oficial brasileira. Distribuímos a turma em 6 (seis) grupos de 5 (cinco) alunos,
Destacamos que dos 12 (doze) problemas propostos 7 (sete) os alunos resolveram
por estratégia algébrica de resolução. Mas, destacamos uma resolução que
evidencia um excelente esquema de tradução em linguagem matemática. No
problema 2: a soma da idade de André com o dobro da idade de Aldo é 21 anos. A
idade de André menos o dobro da idade de Aldo é igual 5 anos. Quantos anos têm
cada um? O grupo “A” registrou assim:
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 173
!� + 2. !" = 21!� − 2. !" = 5 �
!� + 2. !" = 21 21 − 2. !" − 2. !" = 5
!� = 21 − 2. !" −4. !" = 5 − 21
!� = 21 − 8 −4!" = −16
!� = 13 −4!"
−4 = −16−4
!" = 4
O grupo quando resolveu o problema nos procurou para evidenciar se
estava “certa” a tradução que havia feito, os alunos do grupo reportaram que mesmo
não sendo ensinado esse tipo de tradução em sala optaram por aquela. Explicamos
ao grupo que a tradução era coerente uma vez que fazia sentido e correspondia ao
problema.
No problema 5: Vanessa comprou uma blusa e uma calça e gastou R$
96,00. Sabendo que a calça custa R$ 16,00 a mais que a blusa, determine quanto
Vanessa pagou em cada peça. O grupo “C” representou da seguinte maneira:
� + # = 96# + 16 = ��
� = 96 − # # + 16 = 96 − #
� = 96 − 110 # + # = 96 + 16
� = 4 2# = 112
# = 110
Sobre as resoluções apresentadas para os problemas dessa atividade,
Barcelos (2008) destaca que a preocupação com a linguagem por parte dos
professores não pode restringir-se à correção de erros ortográficos, haja vista a
variedade e especificidade do vocabulário empregado nos textos utilizados pelos
alunos. Ribeiro (2001), com base em Cortés e Kavafian (1999), explica a origem dos
erros na aprendizagem da Álgebra: tarefas envolvendo transformações algébricas
com números/coeficientes negativos; tarefas envolvendo cálculo numérico com
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 174
números negativos; tarefas envolvendo fatoração e redução de termos semelhantes;
tarefas envolvendo o tratamento de produto de fatores; tarefas envolvendo a
passagem dos termos algébricos, de um membro para outro da equação (na
resolução de equações do tipo !� + � = #� + �).
Nesse sentido, Gil (2008) percebeu que o aluno tem uma grande
dificuldade em compreender os procedimentos que fazem parte do estudo algébrico.
Existem erros que se repetem e persistem de um ano para outro. Estes conceitos
que envolvem a Álgebra são enfatizados na 7ª série do ensino fundamental e serão
utilizados até o final do ensino médio. Então, a pesquisadora aponta que é
importante que o aluno consiga apropriar-se deles para que possa aplicá-los nas
mais diversas situações. Acreditamos que os alunos durante a atividade e com o
diálogo compreenderam as técnicas algébricas de resolução dos problemas
envolvendo sistema de equações do 1º grau. Depois desse conjunto de atividade
para o ensino de problemas envolvendo sistema do 1º grau, os alunos realizaram o
pós-teste do mesmo conteúdo. Nosso objetivo era verificar se e como os alunos
resolveriam os problemas do 1º grau com duas incógnitas depois da sequência de
atividades sobre o assunto. Na tabela 25 mostramos o número de acertos de cada
aluno nas questões presentes nos testes sobre problemas envolvendo sistema do 1º
grau.
Tabela 25: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau
(Continua)
Aluno (a)
Percentual de acertos por alunos nos teste de sistema do 1º grau
Pré- teste Pós-teste
Aluno 1 28% 85%
Aluno 2 14% 85%
Aluno 3 14% 71%
Aluno 4 0% 57%
Aluno 5 28% 42%
Aluno 6 0% 28%
Aluno 7 14% 42%
Aluno 8 0% 14%
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 175
Tabela 25: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau
(Conclusão)
Aluno 9 0% 85%
Aluno 10 28% 100%
Aluno 11 0% 42%
Aluno 12 14% 85%
Aluno 13 0% 85%
Aluno 14 0% 42%
Aluno 15 28% 85%
Aluno 16 0% Não fez
Aluno 17 14% 85%
Aluno 18 14% 85%
Aluno 19 14% 71%
Aluno 20 Não fez 42%
Aluno 21 0% 85%
Aluno 22 28% 57%
Aluno 23 14% 71%
Aluno 24 Não fez 57%
Aluno 25 0% 42%
Aluno 26 28% 100%
Aluno 27 14% 85%
Aluno 28 28% 85%
Aluno 29 0% 28%
Aluno 30 14% 85%
Aluno 31 42% 100%
Aluno 32 14% 28%
Aluno 33 28% 85%
Aluno 34 0% 42%
Aluno 35 28% 85%
Aluno 36 42% 100%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 176
A análise da tabela 25 aponta que houve um aumento significativo quanto
ao desempenho dos alunos em resolverem problemas envolvendo sistema do 1º
grau, isso fica mais evidente no gráfico 9 onde comparamos o desempenho dos
alunos nos testes de problemas do 1º grau. Salientamos que os testes dos alunos:
16, 20 e 24 não foram analisados, pois os mesmos não realizaram um dos testes
envolvendo sistemas do 1º grau.
Gráfico 9: Desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistemas do 1º grau
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Relacionamos a frequência dos alunos nas atividades de problemas
envolvendo sistema do 1º grau e o desempenho dos alunos. Salientamos que f
(falta); p (presença na atividade); A.1 (atividade 1); A.2 (atividade 2) e A.3 (atividade
3).
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 21 22 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Pré-teste de problemasenvolvendo sistema do 1º grau
Pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 177
Tabela 26: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades de problemas envolvendo sistema do 1º grau e desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau
(Continua)
Aluno
Atividades de problemas envolvendo sistema do 1º grau
A.1 A.2 A.3 Percentual de acertos
Aluno 1 P P P 85%
Aluno 2 P P P 85%
Aluno 3 P F P 71%
Aluno 4 P P P 57%
Aluno 5 P F P 42%
Aluno 6 P P F 28%
Aluno 7 P P P 42%
Aluno 8 P P P 14%
Aluno 9 P P P 85%
Aluno 10 F P P 100%
Aluno 11 P P P 42%
Aluno 12 P F P 85%
Aluno 13 P P F 85%
Aluno 14 F P P 42%
Aluno 15 P P P 85%
Aluno 16 P P P Não fez
Aluno 17 P P F 85%
Aluno 18 P P P 85%
Aluno 19 P P P 71%
Aluno 20 P P P 42%
Aluno 21 F P P 85%
Aluno 22 P P F 57%
Aluno 23 P P P 71%
Aluno 24 P F P 57%
Aluno 25 P P P 42%
Aluno 26 P P P 100%
Aluno 27 P P P 85%
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 178
Tabela 26: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades de problemas envolvendo sistema do 1º grau e desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau
(Conclusão)
Aluno 28 F P P 85%
Aluno 29 F P P 28%
Aluno 30 P P P 85%
Aluno 31 P P F 100%
Aluno 32 P P P 28%
Aluno 33 P P P 85%
Aluno 34 P P P 42%
Aluno 35 P P F 85%
Aluno 36 P P P 100%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
O gráfico 10 evidencia uma relação entre o percentual de presença nas
atividades sobre problemas envolvendo sistema do 1º grau e o desempenho dos
alunos no pós-teste do assunto.
Gráfico 10: Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre problemas envolvendo sistema do 1º grau e o desempenho dos alunos do 7º ano no pós-teste de assunto
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536
Percentual de frequência nas atividades de problemas envolvendo sistema do 1º grau
Percentual de acertos no pós-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 179
Observamos que 42,42% compareceram em duas atividades envolvendo
sistema do 1º grau e 57,58% compareceram em todas as atividades deste assunto.
Assim, verificamos o desempenho desses grupos de alunos no pós-teste do assunto
a partir da tabela 27.
Tabela 27: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades envolvendo sistemas do 1º grau e o desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau
Categorias Número de alunos Desempenho de 0% a 49%
Desempenho de 50% a 100%
Compareceu só em duas atividades 14 4 10
Compareceu em todas as atividades 19 5 14
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
A maioria dos alunos participou de todas as atividades envolvendo
sistemas do 1º grau e tiveram assim um desempenho igual ou superior a 50% de
acertos no pós-teste do assunto. A partir do gráfico 10 obtemos duas categorias
conforme a média de 50% de acertos no pós-teste de problemas envolvendo
sistema do 1º grau.
Tabela 28: Relação entre o percentual de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau, o gostar de matemática e as dificuldades em matemática
Categorias Percentual de
alunos
Percentual de alunos que gostam de matemática
Percentual de alunos que possuem dificuldades em
matemática
Desempenho inferior a 50% no
teste 30,3% 80% 80%
Desempenho igual ou superior a 50%
no teste 69,7% 82,6% 95,65%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos perceber que a maioria dos alunos teve um desempenho de
acertos superior a 50% no teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau,
consideramos esse desempenho como “bom”. Esse fato estaria associado a que os
alunos ao longo do processo estavam sempre realizando e treinado tradução e
resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita, e isso pode ter conduzido a
um melhoramento na resolução dos sistemas de equação do 1º grau. O gráfico 11
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 180
compara a média de acertos dos alunos nos testes de problemas envolvendo
sistema do 1º grau.
Gráfico11: Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos perceber que houve um efeito positivo das atividades sobre o
desempenho dos alunos em resolver problemas envolvendo sistema do 1º grau.
Relacionamos a seguir o perfil dos alunos com o desempenho no pós-teste de
problemas envolvendo sistema do 1º grau.
Quadro 15: Relação entre a média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau, o gostar de matemática e o hábito de estudo
Gosto pela Matemática
Média de acertos
Não gosta Pouco Muito
Háb
ito
de
estu
do
Período de prova 5,4 6,5 4,0
Véspera de prova 5,33 5,25 3
Fim de semana Não teve aluno 4,66 4,5
Duas vezes por semana 3,0 4,57 3,0
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
69%
15%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Média de acertos no pós-teste de problemas
envolvendo sistema do 1º grau
Média de acertos no pré-teste de problemas
envolvendo sistema do 1º grau
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 181
Observamos que os alunos que gostam pelo menos um pouco de
matemática e que estudam somente em período de prova ou estudam duas vezes
por semana matemática obtiveram melhor desempenho no pós-teste de problemas
envolvendo sistemas do 1º grau. O gráfico 12 compara o desempenho dos alunos no
referido teste e o perfil dos alunos.
Gráfico 12: Relação entre a média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau e perfil dos alunos
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos perceber que em todos os perfis houve aumento de
desempenho quando comparamos a média dos resultados dos testes sobre
problemas envolvendo sistemas do 1º grau. Os meninos conseguiram um aumento
de 51%; meninas, 57%; gostam de matemática, 53%; não gostam de matemática,
54%; tem dificuldades em matemática, 43%; não tem dificuldades em matemática,
65%. Assim, o perfil de aluno que mais teve aumento de desempenho foi o seguinte:
meninas que gostam de matemática e não tem dificuldade em matemática.
Podemos perceber pela análise do gráfico 12 que houve um aumento significativo
quanto ao desempenho dos alunos após a aplicação das atividades. O quadro 16
aponta os principais registros de resoluções ocorridos durante as tentativas de
resoluções dos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau.
19%
11%18%
12%
26%
4%
70% 68%71%
66%69% 69%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Meninos Meninas Gosta de
matemática
Não gosta de
matemática
Tem
dificuldades
em matemática
Não tem
dificuldades
em matemática
Pré - teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau
Pós-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 182
Quadro 16: Tipos de registros identificados nos testes de problemas de sistema do 1º grau
APENAS
TRADUZIU O
ENUNCIADO EM
LINGUAGEM
MATEMÁTICA.
TRADUZIU O
ENUNCIADO EM
LINGUAGEM
MATEMÁTICA E
UTILIZOU A
TÉCNICA DE
RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
POR TENTATIVA
E ERRO.
TRADUZIU O
ENUNCIADO EM
LINGUAGEM
MATEMÁTICA E
APONTOU
DIRETA A
RESPOSTA.
TRADUZIU O
ENUNCIADO EM
LINGUAGEM
MATEMÁTICA
UTILIZOU
TÉCNICAS
ALGÉBRICAS DE
RESOLUÇÃO
NÃO TRADUZIU
O ENUNCIADO
EM LINGUAGEM
MATEMÁTICA E
UTILIZOU O
PICTÓRICO
PARA
RESOLVER OS
PROBLEMAS
NÃO TRADUZIU
O ENUNCIADO
EM LINGUAGEM
MATEMÁTICA E
UTILIZOU A
TÉCNICA POR
TENTATIVA E
ERRO.
INFORMOU APENAS
O VALOR
DESCONHECIDO
Q.1 2 alunos 1 alunos 3 alunos 23 alunos 2 alunos 3 alunos 2 alunos
Q.2 3 alunos 2 alunos 2 alunos 23 alunos 1 alunos 3 alunos 2 alunos
Q.3 2 alunos 2 alunos 3 alunos 22 alunos 2 alunos 3 alunos 2 alunos
Q.4 3 alunos 1 alunos 2 alunos 24 alunos 1 alunos 3 alunos 2 alunos
Q.5 2 alunos 3 alunos 2 alunos 23 alunos 3 alunos 1 alunos 2 alunos
Q.6 3 alunos 2 alunos 2 alunos 24 alunos 1 alunos 3 alunos 1 alunos
Q.7 1 alunos 2 alunos 4 alunos 24 alunos 1 alunos 1 alunos 3 alunos
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 183
Constatamos que os alunos com o desenvolver das atividades e conforme
os dados dos testes foram utilizando cada vez mais a técnica algébrica de resolução
de problemas do 1º grau. Identificamos que 30,3% não tiveram bom desempenho no
pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita, ou seja, tiveram um
percentual abaixo de 50% de acertos no pós-teste de problemas envolvendo
sistemas do 1º grau. Assim, investigamos o perfil desses alunos.
Tabela 29: Perfil dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau
Identificação do aluno Percentual de frequência na
atividade de problemas envolvendo sistemas
Percentual de acertos nos testes do assunto
Pré-teste Pós-teste
5 66% 28% 42%
6 66% 0% 28%
7 100% 14% 42%
8 100% 0% 14%
11 100% 0% 42%
14 66% 0% 42%
25 100% 0% 42%
29 66% 0% 28%
32 100% 14% 28%
34 100% 0% 42%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010)
Observamos pela análise da tabela 29 que desses 10(dez) alunos, 60%
compareceram em todas as atividades e 40% tiveram apenas uma falta. Destaca-se
ainda que 70% tiveram nenhum acerto no pré-teste desse assunto e que também
60% conseguiram resolver três problemas no pós-teste. Assim, esses alunos
compareceram nas atividades, porém não conseguiram melhorar de forma
significativa seu desempenho. Ainda investigamos o gostar de matemática e o que
esses alunos declararam sobre dificuldades em matemática.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 184
Tabela 30: Relação entre o gostar de matemática e as dificuldades em matemática dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau
Identificação do aluno Gosta pelo menos um pouco
de matemática Possui dificuldade em
matemática
5 Sim Não
6 Não Sim
7 Sim Sim
8 Não Sim
11 Sim Sim
14 Não Sim
25 Sim Sim
29 Sim Sim
32 Não Sim
34 Não Sim
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos perceber que 50% declararam gostar de matemática e os
outros 50% não gostam de matemática, e ainda somente um aluno apontou não ter
alguma dificuldade em matemática, ou seja, 90% desses alunos têm dificuldades em
matemática. Então se destaca que a maioria dos alunos que tiveram um rendimento
inferior a 50% no pós-teste possuía dificuldade na aprendizagem dessa disciplina
escolar. Ainda investigamos a quantidade de vezes que esses alunos estudam
matemática fora do ambiente escolar e se recebiam ajuda para isso.
Quadro 17: Relação entre o hábito de estudo dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau e se recebiam ajuda
Identificação do aluno Hábito de estudo Quem auxilia
5 Duas vezes por semana Ninguém
6 Véspera de prova Ninguém
7 Só no período de prova Ninguém
8 Só no período de prova Irmão
11 Só no período de prova Irmão
14 Duas vezes por semana Pai
25 Só no período de prova Ninguém
29 Só no período de prova Ninguém
32 Só no fim de semana Mãe
34 Duas vezes por semana Ninguém
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 185
Podemos concluir que o perfil dos alunos com baixo rendimento é o
seguinte: possui dificuldades em matemática; estuda só na véspera de prova e não
recebe ajuda em atividades extraclasse. O hábito de estudar só na véspera de prova
se identificou tanto em tradução como em problemas do 1º grau com uma incógnita
entre aqueles que tiveram um baixo desempenho. Acreditamos que esse perfil tenha
sido novamente um fator de complicação para estes alunos uma vez que não
sabiam quando ocorreriam os testes e assim não se preocupavam em estudar o
conteúdo. O quadro 18 identifica os alunos que tiveram um baixo desempenho nos
pós-teste de tradução, de problemas envolvendo uma incógnita e de problemas
envolvendo sistemas do 1º grau.
Quadro 18: Alunos do 7º ano com baixo desempenho nos pós-testes realizado no experimento
Identificação dos alunos
Pós-teste de tradução
Pós-teste de problemas com uma incógnita
Pós – teste de problemas com duas incógnitas
Mais de um pós teste
4 Sim Sim Não Sim (1º/2º)
5 Não Sim Sim Sim (2º/3º)
6 Não Sim Sim Sim (2º/3º)
7 Sim Sim Sim Sim (todos)
8 Sim Não Sim Sim (1º/3º)
11 Sim Sim Sim Sim (todos)
14 Não Sim Sim Sim (2º/3º)
23 Sim Sim Não Sim (1º/2º)
25 Sim Sim Sim Sim (todos)
29 Sim Sim Sim Sim (todos)
32 Sim Sim Sim Sim (todos)
33 Sim Não Não Não
34 Sim Sim Sim Sim (todos)
Percentual de alunos 76,92% 84,62% 76,92% 92,31%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Identificamos então que 13 (treze) alunos pelos menos em um pós-teste
específico obtiveram menos de 50% de acertos. O maior percentual de baixo
desempenho nesses pós-testes se encontra em problemas do 1º grau com uma
incógnita. Salientamos que nas análises prévias uma das dificuldades de
aprendizagem mais destacada pelos professores foram os problemas envolvendo
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 186
sistema, mas neste momento o baixo desempenho esteve voltado a outro tópico.
Evidencia-se ainda que dos 12 (doze) alunos que obtiveram baixo desempenho de
acertos em mais de um pós-teste específico, 75% obtiveram um baixo desempenho
de acertos no pós-teste de tradução em linguagem matemática. Assim, podemos
admitir que se o aluno não entende a tradução para a linguagem matemática dos
enunciados, em geral, não compreenderá ou resolverá os problemas do 1º grau. No
último encontro os alunos realizaram o pós-teste geral. O objetivo era verificar se e
como os alunos resolveriam problemas do 1º grau depois da sequência de
atividades sobre o assunto. A tabela 31 mostra o desempenho de cada aluno nos
pós-testes desenvolvidos.
Tabela 31: Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes (Continua)
Aluno (a)
Percentual de acerto dos alunos nos pós-teste desenvolvidos durante o experimento
Tradução (%)
Equação do 1º grau (%)
Sistema do 1º grau
(%)
Geral (%)
Aluno 1 85 71 85 50
Aluno 2 78 85 85 70
Aluno 3 85 71 71 70
Aluno 4 35 28 57 30
Aluno 5 71 28 42 Não fez
Aluno 6 57 14 28 50
Aluno 7 28 28 42 20
Aluno 8 14 Não fez 14 Não fez
Aluno 9 100 100 85 80
Aluno 10 100 100 100 70
Aluno 11 14 28 42 10
Aluno 12 92 51 85 80
Aluno 13 57 85 85 50
Aluno 14 50 28 42 70
Aluno 15 100 85 85 70
Aluno 16 Não fez Não fez Não fez 40
Aluno 17 92 85 85 10
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 187
Tabela 31: Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes (Conclusão)
Aluno 18 92 71 85 90
Aluno 19 50 71 71 50
Aluno 20 Não fez 14 42 10
Aluno 21 71 51 85 60
Aluno 22 64 51 57 50
Aluno 23 21 42 71 30
Aluno 24 21 42 57 10
Aluno 25 14 28 42 10
Aluno 26 71 100 100 10
Aluno 27 78 71 85 70
Aluno 28 64 85 85 60
Aluno 29 14 14 28 10
Aluno 30 92 85 85 60
Aluno 31 92 100 100 70
Aluno 32 21 28 28 30
Aluno 33 28 71 85 90
Aluno 34 14 28 42 Não fez
Aluno 35 78 85 85 80
Aluno 36 92 100 100 70
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Os alunos: 5, 8, 16, 20, 34 não tiveram seus resultados analisados, pois
deixaram de realizar algum dos pós-testes aplicados durante a experimentação. O
gráfico 13 evidencia o desempenhos de cada aluno envolvido no experimento no
pós-teste de tradução; no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita; no
pós-teste de problemas do 1º grau com duas incógnitas; e no pós-teste geral.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 188
Gráfico 13: Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 35 36
pós-teste tradução pós-teste de problemas com uma incógnita pós-teste de problemas envolvendo sistemas pós-teste geral
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 189
Temos então que 16,13% da turma obtiveram um desempenho inferior a
50% de acertos em todos os pós-testes aplicados após as atividades. Ainda, 19,35%
da turma acertaram todas as questões em pelo menos um pós-teste. Sobre o pós-
teste geral temos que 32,26% dos alunos tiveram um baixo desempenho. O perfil
dos alunos que tiveram um desempenho inferior a 50% nos pós-testes aplicados
aponta que esses alunos declararam “não gostar de matemática” e que ter um
pouco de dificuldade em matemática. Porém, o perfil dos alunos que tiveram um
desempenho igual ou superior a 50% em todos os pós-testes realizados destacam-
se os alunos que “gostam de matemática” e possui como no grupo anterior, uma
dificuldade em matemática. Também relacionamos o desempenho dos alunos nos
pós-testes com a frequência nas atividades.
Tabela 32: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades e desempenho nos pós-testes
(Continua)
Aluno
Frequência dos alunos em cada sessão de atividade
Percentual de acertos dos alunos nos pós-testes
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º Tradução
Equação do 1º grau
Sistema do 1º grau
Geral
1 P P P P P P P P P 85% 71% 85% 50%
2 P P P P F P P P P 78% 85% 85% 70%
3 P P F P P P P F P 85% 71% 71% 70%
4 P P P P P P P P P 35% 28% 57% 30%
5 P P P P F P P F P 71% 28% 42% NF
6 P P P P P P P P F 57% 14% 28% 50%
7 F P P F P P P P P 28% 28% 42% 20%
8 P P P P P F P P P 14% NF 14% NF
9 P P P P P P P P P 100% 100% 85% 80%
10 F P P F P P F P P 100% 100% 100% 70%
11 P P P P P F P P P 14% 28% 42% 10%
12 F P P F P P P F P 92% 51% 85% 80%
13 P P F P P F P P F 57% 85% 85% 50%
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 190
Tabela 32: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades e desempenho nos pós-testes
(Conclusão)
14 P P P P P P F P P 50% 28% 42% 70%
15 P P P P F P P P P 100% 85% 85% 70%
16 P P P P P P P P P NF NF NF 40%
17 P P P P P P P P F 92% 85% 85% 10%
18 P P P P P P P P P 92% 71% 85% 90%
19 F P P P P P P P P 50% 71% 71% 50%
20 P P P P P P P P P NF 14% 42% 10%
21 P P P P P P F P P 71% 51% 85% 60%
22 P P P P P P P P F 64% 51% 57% 50%
23 P P F P P P P P P 21% 42% 71% 30%
24 P P P P F P P F P 21% 42% 57% 10%
25 P P P P P P P P P 14% 28% 42% 10%
26 P P P P P P P P P 71% 100% 100% 100%
27 P P P P P P P P P 78% 71% 85% 70%
28 P P P F P P F P P 64% 85% 85% 60%
29 F P P F P P F P P 14% 14% 28% 10%
30 P P P P P P P P P 92% 85% 85% 60%
31 P P P P P P P P F 92% 100% 100% 70%
32 P P P P P P P P P 21% 28% 28% 30%
33 P P F P P F P P P 28% 71% 85% 90%
34 P P P P P P P P P 14% 28% 42% NF
35 P P P P P F P P F 78% 85% 85% 80%
36 P P P P P P P P P 92% 100% 100% 70%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Identificamos que 32,29% dos alunos frequentaram todas as sessões que
envolviam atividades, desses alunos temos que apenas o aluno 25 teve um
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 191
desempenho inferior a 50% de acertos em todos os pós-testes. À medida que 80%
dos alunos que frequentaram todas as atividades tiveram um desempenho igual ou
superior a 50% de acertos em todos os pós-testes, então acreditamos que as
atividades influenciaram positivamente no desempenho de acertos dos alunos nos
pós-testes aplicados.
Ainda, dos 31 (trinta e um) alunos analisados, 35,48% faltaram em
apenas uma atividade. Desses alunos, 63,64% tiveram um desempenho igual ou
superior a 50% de acertos em todos os pós-testes; 18,18% tiveram um desempenho
igual ou superior a 50% de acertos em dois pós-testes; e 18,18% tiveram um
desempenho igual ou superior a 50% de acertos em apenas um dos pós-testes. Ou
seja, a maioria dos que faltaram apenas uma atividade também teve um bom
desempenho de acertos nos pós-testes realizados.
Observamos que 19,35% dos alunos analisados faltaram em duas
atividades. Desses alunos, 50% tiveram um desempenho igual ou superior a 50% de
acertos em todos os pós-testes; e o mesmo percentual de 16,66% teve um
desempenho igual ou superior a 50% de acertos em nenhum, um ou dois pós-testes.
Assim, a maioria dos que faltaram duas atividades também teve um bom
desempenho de acertos nos pós-testes realizados.
Temos também que 12,88% dos alunos cujo desempenho foi analisado
faltaram em três atividades. Desses alunos, 75% tiveram um desempenho igual ou
superior a 50% de acertos em todos os pós-testes e 25% teve um desempenho
inferior a 50% de acertos em todos os pós-testes. Ou seja, a maioria dos que
faltaram três atividades também teve um bom desempenho de acertos nos pós-
testes realizados.
Ainda percebemos pela análise da tabela 32 as seguintes relações entre
o desempenho na tradução de sentenças e o desempenho geral: o desempenho
geral na maioria das vezes é menor que o desempenho na tradução e que quanto
maior é o desempenho na tradução maior será o desempenho no teste geral. Então
concluímos que se o aluno não sabe traduzir coerentemente um enunciado para
linguagem matemática, este terá muitas dificuldades em resolver os problemas do 1º
grau. O gráfico 14 evidencia a relação apresentada.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 192
Gráfico 14: Relação entre o percentual de acerto dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução e o percentual de acertos no pós-teste geral
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Observa-se pelo gráfico que as linhas de tendências dos percentuais de
acertos nos pós-teste de tradução e geral se aproximam, evidenciando uma relação
entre o desempenho dos alunos nos pós-testes já mencionados. A tabela 33
apresenta os dados referentes aos acertos dos alunos em cada questão.
Tabela 33: Relação entre o percentual de alunos que acertaram os problemas do pós-teste geral e o percentual de alunos que utilizaram as técnicas para resolução destes problemas
(Continua)
Enunciado das questões Percentual de alunos que
acertaram
Percentual de alunos que utilizaram as técnicas para resolução dos problemas
Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro. Qual
é esse número? 66%
• 16% informaram somente a resposta;
• 29% resolveram por tentativa e erro;
• 55% resolveram utilizando técnicas algébricas
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 1415 16 1718 19 2021 22 2324 25 26 2728 29 3031 32 3334 35 36
Percentual de acerto no pós-teste de tradução Percentual de acerto no pós-teste geral
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 193
Tabela 33: Relação entre o percentual de alunos que acertaram os problemas do pós-teste geral e o percentual de alunos que utilizaram as técnicas para resolução destes problemas
(Continua)
Um número menos quarenta e cinco é igual a setenta e cinco.
Que número é esse? 58%
• 23% informaram somente a resposta;
• 9% resolveram por tentativa e erro;
• 68% resolveram utilizando técnicas algébricas
A metade de um número mais quatro é igual a seis. Qual é
esse número? 44%
• 20% informaram somente a resposta;
• 40% resolveram por tentativa e erro;
• 40% alunos resolveram utilizando técnicas
algébricas
O dobro de um número, menos sete, é igual a trinta e cinco.
Que número é esse? 38%
• 14% informaram somente a resposta;
• 35% resolveram por tentativa e erro;
• 51% resolveram utilizando técnicas algébricas
A soma de dois números é 8 e a diferença é 4. Que números são
esses? 33%
• 16% informaram somente a resposta;
• 50% resolveram por tentativa e erro;
• 34% resolveram utilizando técnicas algébricas
Pensei em um número, depois somei este número com
cinquenta e dois e dividi o resultado por dois, e assim
obtive quarenta e quatro. Qual foi o número pensado?
47%
• 35% informaram somente a resposta;
• 41% resolveram por tentativa e erro;
• 24% alunos resolveram utilizando técnicas
algébricas
Em um quintal há galinhas e coelhos, num total de 13
animais e 46 pés. Qual é a quantidade de galinhas? E a
quantidade de coelhos?
55%
• 15% informaram somente a resposta;
• 20% resolveram por tentativa e erro;
• 65% resolveram utilizando técnicas algébricas
Em um torneio de perguntas e respostas, a pontuação é dada
de acordo com o seguinte: Uma equipe, depois de
responder 20 perguntas, ficou com 80 pontos. Quantas foram as respostas certas? E quantas
foram as respostas erradas?
Questões Certa Errada
Ganha 10 pontos
perde 5 pontos 36%
• 23% informaram somente a resposta;
• 38% resolveram por tentativa e erro;
• 39% resolveram utilizando técnicas algébricas
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 194
Tabela 33: Relação entre o percentual de alunos que acertaram os problemas do pós-teste geral e o percentual de alunos que utilizaram as técnicas para resolução destes problemas
(Conclusão)
A soma de dois números pares consecutivos é 18. Quais são
esses números? 63%
• 43% informaram somente a resposta;
• 30% resolveram por tentativa e erro;
• 27% resolveram utilizando técnicas algébricas
A soma de dois números ímpares consecutivos é 8. Quais são esses números?
58%
• 52% informaram somente a resposta;
• 33% resolveram por tentativa e erro;
• 15% resolveram utilizando técnicas algébricas
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2010).
Temos assim, que a maioria das resoluções os alunos utilizaram alguma
técnica algébrica. Mas, uma parte considerável dos alunos ainda utilizou tentativa e
erro. Ainda, 60% dos problemas propostos, a maioria dos alunos acertou utilizando
técnicas algébricas. Na tabela 34 mostramos o número de acertos de cada aluno ou
aluna nas questões do pré e pós-testes geral. Ainda nessa tabela consta o número
de faltas de cada aluno ou aluna.
Tabela 34: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes gerais (Continua)
Aluno (a) Percentual de acertos dos alunos nos testes gerais
Pré- teste Pós-teste
Aluno 1 20% 50%
Aluno 2 10% 70%
Aluno 3 10% 70%
Aluno 4 20% 30%
Aluno 5 10% Não fez
Aluno 6 20% 50%
Aluno 7 20% 20%
Aluno 8 10% Não fez
Aluno 9 20% 80%
Aluno 10 10% 70%
Aluno 11 10% 10%
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 195
Tabela 34: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes gerais (Continua)
Aluno 12 10% 80%
Aluno 13 10% 50%
Aluno 14 30% 70%
Aluno 15 10% 70%
Aluno 16 30% 40%
Aluno 17 0% 100%
Aluno 18 0% 90%
Aluno 19 10% 50%
Aluno 20 Não fez 10%
Aluno 21 0% 60%
Aluno 22 0% 50%
Aluno 23 0% 30%
Aluno 24 Não fez 10%
Aluno 25 0% 10%
Aluno 26 20% 100%
Aluno 27 10% 70%
Aluno 28 10% 60%
Aluno 29 10% 10%
Aluno 30 0% 60%
Aluno 31 10% 70%
Aluno 32 10% 30%
Aluno 33 0% 90%
Aluno 34 30% Não fez
Aluno 35 0% 80%
Aluno 36 10% 70%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
O gráfico 15 compara o desempenho dos alunos nos testes gerais.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 196
Gráfico 15: Desempenho dos alunos do 7º ano no pós-teste geral
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2010).
A partir da análise do gráfico15 podemos obter duas categorias conforme
a média de 50% de acertos no pós-teste geral.
Tabela 35: Relação entre o gostar de matemática, as dificuldades em matemática e os acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste geral
Categorias Número de
alunos Alunos que gostam
de matemática
Alunos que possuem dificuldades em
matemática
Desempenho inferior a 50% no
teste 27% 60% 90%
Desempenho igual ou superior a 50%
no teste 63% 86% 82%
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Podemos perceber que 63% dos alunos tiveram um desempenho de
acertos superior a 50% no pós-teste geral, quando foram solicitados que
resolvessem os problemas do 1º grau. O gráfico 16 evidencia a média de acertos
dos alunos nos pós-testes realizados durante o experimento.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 6 7 9 10111213141516171819 212223 252627282930313233 3536
Pré-teste geral Pós-teste geral
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 197
Gráfico 16: Percentual médio de acerto dos alunos do 7º ano nos testes
FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).
Os resultados mostram que antes da sequência de atividade sobre
tradução ou problemas do 1º grau os alunos tiveram um desempenho de acertos
considerado baixo. Com o conjunto de atividade de cada tópico os alunos, conforme
a análise dos dados coletados nos pós-testes e pelas nossas observações em sala
de aula, aumentaram significativamente de desempenho de acertos nos testes
realizados após as atividades de cada assunto. A seguir tercemos as considerações
finais de nosso estudo.
1%
8%
15%10%
61% 62%
69%
58%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Tradução Problemas com uma
incógnita
Problemas com duas
incógnitas
Geral
Pré-teste Pós-teste
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 198
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa teve por objetivo investigar os efeitos de um conjunto de
atividades sobre o desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do
ensino fundamental. Com o intuito de diagnosticar os conhecimentos prévios dos
alunos sobre resolução de problemas do 1º grau, aplicamos um teste diagnóstico, no
qual propusemos 10 (dez) problemas envolvendo equações do 1º grau. Com a
análise dos testes realizados e os resultados das pesquisas correlatas, que
apontaram os erros e os obstáculos que interferem na aprendizagem dos alunos
pertinente ao assunto, levantamos a seguinte questão de pesquisa: quais os efeitos
de um conjunto de atividades sobre o desempenho em resolução de problemas do
1º grau no 7º ano do ensino fundamental?
Nossa intenção era que o aluno compreendesse primeiro a tradução da
língua oficial para linguagem matemática, e em seguida, descobrisse estratégias
algébricas de resolução de problemas do 1º grau. Na realização das atividades
percebemos alguns momentos de reclamações e outros de entusiasmo por parte
dos alunos. Apesar de momentos de reclamações, sempre por meio do diálogo, os
alunos compreendiam a importância das atividades e pareciam confiar em nossa
intenção didática.
As atividades com jogos foram muito ricas, já que proporcionaram aos
alunos desenvolver tanto a habilidade de tradução em linguagem matemática como
também a execução das resoluções algébricas de equações do 1º grau com uma
incógnita. Essas atividades também proporcionaram que os alunos trabalhassem
juntos, ajudando-se mutuamente. Mesmo tendo interesse de vencer os jogos os
alunos auxiliavam os colegas que apresentam alguma dificuldade.
Em se tratando do processo de resolução de problemas do 1º grau, as
análises prévias evidenciaram que os alunos podem desrespeitar equivocadamente
algumas propriedades da matemática, nesse meandro os erros podem emergir na
escrita da equação e na identificação da incógnita, principalmente quando o
problema se apresenta em língua oficial. Constatamos que os alunos egressos do 7º
ano, na sua maioria, não sabem resolver problemas do 1º grau e dos poucos alunos
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 199
que conseguem êxito na resolução deste tipo de problema não utilizam técnica
algébrica de resolução ensinada no 7º ano do ensino fundamental.
Na realização das atividades do experimento, alguns alunos conseguiram
com autonomia desenvolver técnicas algébricas de resolução de problemas do 1º
grau. Outros, porém, necessitavam de nossa orientação para consolidar o
conhecimento que estava sendo construído. O interesse dos alunos em participar de
forma ativa das atividades foi um fator fundamental no processo de realização do
experimento, principalmente, na fase de orientação das atividades, de formalização
e institucionalização do conteúdo que estava sendo estudado.
Quanto à viabilidade da sequência didática, a análise a posteriori
evidenciou que antes das atividades os alunos não conseguiam resolver os
problemas do 1º grau, mas depois das atividades, em geral, os alunos conseguiram
resolver estes problemas. Isso pode ser constatado pelo desenvolvimento dos
alunos durante as aplicações das atividades e dos resultados dos pós-testes. Então
podemos assinalar que essa metodologia de ensino trouxe aos alunos envolvidos no
experimento contribuição para o processo de ensino-aprendizagem, pois no inicio
das atividades os aluno tiveram dificuldades em resolver problemas do 1º grau,
porém, no decorrer dos encontros do experimento essas dificuldades foram
superadas.
Entendemos que os resultados poderiam ser melhores, e nossa pesquisa
teve dois pontos de limitação: não apresentamos nenhum teste comparativo sobre o
desempenho dos alunos em resolver equação do 1º grau e sistema do 1º grau,
portanto não tivemos como evidenciar o desempenho dos alunos nesses tópicos
específicos. Outra limitação foi que durante as atividades de tradução evidenciamos
de maneira excessiva apenas uma técnica de tradução ou modelização dos
enunciados apresentado em língua oficial.
Os alunos ficaram “bons” em algumas técnicas de tradução de língua
oficial para linguagem matemática. Isso proporcionou que em seguida viessem a se
concentrar em aprender as técnicas algébricas de resolução de problemas do 1º
grau. Não temos como afirmar com precisão se os alunos aprenderam as técnicas
algébricas, mas podemos sugerir que eles conseguiram resolver problemas do 1º
grau independente das técnicas utilizadas. Lembramos que como professor de
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 200
matemática da educação básica sempre nos angustiou o fato de que os alunos não
conseguiam resolver, em sua maioria, os problemas relativos às equações do 1º
grau. Nesse sentido, reconhecemos que tínhamos muitas dificuldades no ensino
destes problemas e isso sempre nos incomodou.
O estudo no âmbito desse Programa de Pós-graduação em nível de
mestrado em Educação proporcionou a nossa formação quanto
professor/pesquisador, incorporar à prática curricular a pesquisa e a produção de
conhecimentos acerca da realidade regional, particularmente da educação
matemática, em alguns de seus diversos ângulos e relações. Ampliamos nosso
entendimento sobre o significado de ser pesquisador na área da educação
matemática. Conhecemos e desenvolvemos pesquisas capazes de fazer avançar os
conhecimentos de diversos aspectos que interferem no ensino/aprendizagem da
matemática.
No decorrer desse estudo um questionamento se manifestou: se
déssemos mais ênfase no ensino de técnicas de tradução em linguagem
matemática, em qualquer nível de ensino, o conteúdo de matemática dos anos
escolares seria mais bem compreendido pelos alunos? Entendemos que ensinar
técnicas de tradução, não daria conta sozinha de solucionar as dificuldades do
ensino-aprendizagem em matemática. Mas, seria um amenizador. Pois, verificamos
nas análises prévias que, em geral, os alunos de qualquer nível de ensino não
sabem ou tem muitas dificuldades em operar essa tradução. Esperamos que esse
estudo possa colaborar na prática e na formação dos professores, uma vez que no
desenvolvimento desse estudo sentimos os efeitos positivos que o mesmo causou
em nossa prática como docente e na nossa relação com o saber em questão.
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 201
REFERÊNCIAS
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ANDRADE, V. L. V. X. de. Avaliação dos efeitos de uma seqüência didática na concepção de ensino-aprendizagem e na construção do conceito de homotetia em licenciandos de Matemática. 2005. 149f. Dissertação (Mestrado em Ensino das Ciências) - Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2005.
ANDRADE, J. A. A. et al. Alguns modos de ver e conceber a resolução de problemas no ensino de matemática. In: X ENEM - Encontro Nacional de Educação Matemática, 2010, Salvador. Anais do X ENEM, 2010.
ANDRÉ, R. C. de M.; SANTOS, M. C. dos. Investigando a transição da linguagem natural para a linguagem algébrica: o caso das equações lineares. In: IX ENEM - Encontro Nacional de Educação Matemática, 2007, Belo Horizonte. Anais do IX ENEM, 2007.
ARAUJO; L. de F.; LIMA, A. P. B; SANTOS; M. C. dos; Ruptura e efeitos do contrato didático a partir da proposição de um problema algébrico numa turma de 8º ano. In: X ENEM - Encontro Nacional de Educação Matemática, 2010, Salvador. Anais do X ENEM, 2010.
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GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 204
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GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 205
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GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 206
APÊNDICE A – questionário dos professores
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO Caro(a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir para superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo este questionário, é de grande importância para o bom êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho QUESTÕES 1- Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) Data _______ 2- Faixa Etária: ( ) 15-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) 66-70 anos. 3 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações) ( )Ensino Superior.___________________Ano da Conclusão: ________Instituição: ( ) Especialização. ___________________Ano da Conclusão: ________ Instituição: ( ) Mestrado.________________________Ano da Conclusão: ________ Instituição: ( ) Doutorado._______________________Ano da Conclusão: ________ Instituição: 4 - Tempo de serviço como professor de matemática? ( )Menos de um ano ( )1-5 anos ( ) 6-10 anos ( )11-15 anos( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 ( ) Mais de 35 anos 5 - Série (s) em que está lecionando atualmente? No ensino fundamental: __________________________ No ensino Médio: ______________________________ 6- Quais as séries que você já lecionou matemática? No ensino fundamental: __________________________ No ensino Médio: ______________________________ 7 - Tipo de escola que trabalha atualmente: ( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal ( ) Publica Federal ( ) Privada ( ) Outra. Qual? 8- Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina sobre o ensino de problemas do 1º grau? ( ) Não ( ) Sim , qual? 9- Durante sua atuação como professor de matemática você já fez algum curso ou participou de evento que abordou o ensino de problemas do 1º grau? ( ) Não ( ) Sim , qual? 10- Quando você ensina problemas do 1º grau, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) com um experimento para chegar ao conceito ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos 11- Para fixar o conteúdo de problemas do 1º grau você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 207 ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático ( ) Não propõe questões de fixação ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver 12 - Preencha o quadro abaixo com base na sua experiência de professor(a) .
Assunto Grau de dificuldade para os alunos aprenderem
Muito fácil Fácil Regular Difícil Muito difícil
Linguagem matemática Tradução de problemas para linguagem matemática.
Equação do tipo x + a = b, com a,b>0 Equação do tipo x – a = b, com a,b>0 Equação do tipo x + a = -b, com a,b>0
Equação do tipo x – a = -b, com a,b>0
Equação do tipo a.x = b, com a,b>0 Equação do tipo a.x = -b, com a,b>0 Equação do tipo –a.x = b, com a,b>0 Equação do tipo –a.x = -b, com a,b>0 Equação do tipo x ÷ a = b, com a,b>0 Equação do tipo x ÷ a = -b, com a,b>0
Equação do tipo x÷(-a) = b, com a,b>0
Equação do tipo x÷(-a) = -b, com a,b>0
Equação do tipo a.x + b = c, com a,b>0
Equação do tipo a.x – b = c, com a,b>0
Equação do tipo a.x + b = -c, com a,b>0
Equação do tipo a.x – b = -c, com a,b>0
Equação do tipo –a.x + b = c, com a,b>0
Equação do tipo –a.x – b = c, com a,b>0
Equação do tipo –a.x – b =-c, com a,b>0
Sistemas do tipo ax +by =c e y = dx Sistemas do tipo ax +by =c e y = x+f Sistemas do tipo ax +by =c e y = dx+f Sistemas do tipo ax +by =c e dx+ey =h
Problemas envolvendo uma variável Problemas envolvendo duas variáveis 13- Você já realizou o ensino de linguagem matemática por meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim 14-Você já realizou equações do 1º grau por meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 208 15-Você já realizou o ensino de problemas do 1º grau por meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim 16-Você já realizou o ensino de sistemas de equações do 1º grau por meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 209
APÊNDICE B – Questionário dos alunos egressos
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO - MESTRADO Prezado(a) aluno (a),
Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
Muito obrigada! 1- Nome completo:__________________________________________________________
2-Idade: _______________
3- Sexo: _________________
4- Quem é o seu responsável masculino?
( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( )Não tenho ( )Outro. Quem?_________
5- Quem é a sua responsável feminina?
( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( )Não tenho ( )Outra. Quem? __________
6- Até que série estudou o seu responsável masculino? ______________
E o seu responsável feminino? ______________
7- Seu responsável masculino trabalha? ________________
E seu responsável feminino, trabalha? ________________
8- Quantas pessoas a partir de 16 anos moram na sua casa? ________
E com menos de 16 anos? __________________
9- Você estudou a 6ª série em que tipo de escola:
( )Estadual ( )Municipal ( )Particular ( )Outra. Qual?__________
10- A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora? ( ) Sim ( ) Não
11- Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes
12- Você faz algum curso?
( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Outro. Qual? __________________
13- Você pratica algum esporte? ( ) Sim. Qual? _____________________ ( ) Não
14- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito ( )
15- Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 210
16-Você têm dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito
17- Você se distrai nas aulas de matemática?
( )Não, eu sempre presto atenção
( )Sim, eu não consigo prestar atenção
( )Às vezes, quando a aula está chata
18- Você costuma estudar matemática fora da escola.
( ) Só no período de prova
( ) Só na véspera da prova
( ) Só nos fins de semana
( )Todo dia
( ) Alguns dias da semana. Quantos? ____________________________
19- Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?
( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros.
Quem? ________
20- Suas notas em matemática geralmente são: ( ) Acima de 5 ( ) Igual a 5 ( ) Abaixo de 5
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 211
APÊNDICE C - BARALHO DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA
Um número mais dois é igual a vinte.
X + 2 = 20
Um número menos três é igual a oito
Y - 3 = 8
Um número mais quatro é igual a menos
nove.
Q + 4 = - 9
Um número menos dez é igual a menos
treze.
W - 10 = -13
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 212
Um número vezes cinco
é igual a quarenta.
5E = 40
Um número vezes seis é
igual a menos trinta e seis.
6R = - 36
Um número
vezes menos cinco é igual a
quinze.
-5T = 15
Um número vezes menos seis é igual a
menos dezoito.
-6U = -18
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 213
Um número dividido por
quatro é igual a dezesseis.
�
� = 16
Um número dividido por três é igual a menos vinte e quatro.
�
� = - 24
Um número
multiplicado por vinte e um mais
dois é igual a quarenta e quatro
21D + 2 = 44
Um número
multiplicado por seis menos
dois é igual a dezesseis
6F - 2 = 16
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 214
Um número multiplicado por
quatro mais sete é igual a menos quatro
4K + 7 = - 4
Um número multiplicado por
sete menos cinco é igual a
menos dez
7L - 5 = -10
Um número
multiplicado por menos dois mais
seis é igual a vinte e um
-2H + 6 = 21
Menos nove
multiplicado por um número
menos sete é igual a doze.
-9Z - 7 = 12
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 215
Menos cinco multiplicado por
um número menos sete é igual a menos
dois. .
-5M - 7 = - 2
Um número mais três é igual a vinte
e um.
X + 3 = 21
Um número menos onze
é igual a sete.
W - 11 = 7
Um número vezes seis é
igual a quarenta e um.
6E = 41
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 216
Um número vezes sete é
igual a menos sete.
.
7R = - 7
Um número
vezes menos seis é igual a dezesseis.
-6T = 16
Um número dividido por
quatro é igual menos vinte.
�
4= −20
Um número
multiplicado por menos sete é igual a menos vinte e oito.
-7U = -28
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 217
Um número dividido por cinco é igual
a quinze.
�
5= 15
Um número vezes vinte mais três é
igual a quarenta.
20D + 3 = 40
Um número vezes sete
menos três é igual a menos
dez.
7F - 3 = 10
Um número vezes cinco mais oito é
igual a menos três.
5.K + 8 = - 3
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 218
Um número mais quatro é igual a zero.
X + 4 = 0
Um número menos dez é igual a dez
Y - 10 = 10
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 219
APÊNDICE D - BARALHO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA
Equação Original
x + 2 = 20
Isolar a variável
x = 20 – 2
Solução
x = 18
Equação Original
x+ 3 = 21
Isolar a variável
x = 21 – 3
Solução
x = 18
Equação Original
x + 2 = - 20
Isolar a variável
x = -20 – 2
Solução
x = -22
Equação Original
x - 2 = - 20
Isolar a variável
x = -20 + 2
Solução
x = - 18
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 220
Equação Original
5x = 40
Isolar a variável
x =
��
�
Solução
x = 8
Equação Original
5x = -40
Isolar a variável
x = −
��
�
Solução
x = - 8
Equação Original
-6x = 42
Isolar a variável
x =
��
��
Solução
x = - 7
Equação Original
-6x = - 42
Isolar a variável
x=
���
��
Solução
x = 7
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 221
Equação Original
�
� = 3
Isolar a variável
x = 3.4
Solução
x = 12
Equação Original
�
� = -3
Isolar a variável
x = (-3).4
Solução
x = -12
Equação Original
x + 3 = 22
Isolar a variável
x = 22 – 3
Solução
x = 19
Equação Original
x - 3 = 22
Isolar a variável
x = 22 + 3
Solução
x = 25
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 222
Equação Original
x + 3 = - 22
Isolar a variável
x = -22 – 3
Solução
x = -25
Equação Original
x - 3 = - 22
Isolar a variável
x = -22 + 3
Solução
x = - 19
Equação Original
7x = 21
Isolar a variável
x =
�
Solução
x = 3
Equação Original
7x = -21
Isolar a variável
x =
��
Solução
x = - 3
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 223
Equação Original
-4x = 20
Isolar a variável
x =
��
��
Solução
x = - 5
Equação Original
-4x = - 20
Isolar a variável
x=
���
��
Solução
x = 5
Equação Original
�
� = 3
Isolar a variável
x = 3.5
Solução
x = 15
Equação Original
�
� = -3
Isolar a variável
x = (-3).5
Solução
x = -15
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 224
Equação Original
x + 4 = 20
Isolar a variável
x = 20 – 4
Solução
x = 16
Equação Original
x + 6 = 21
Isolar a variável
x = 21 – 6
Solução
x = 15
Equação Original
x + 6= - 21
Isolar a variável
x = -21 – 6
Solução
x = -27
Equação Original
x - 20 = - 2
Isolar a variável
x = -2 + 20
Solução
x = 18
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 225
Equação Original
6x = 48
Isolar a variável
x =
��
�
Solução
x = 8
Equação Original
6x = -48
Isolar a variável
x = −
��
�
Solução
x = - 8
Equação Original
-6x = 48
Isolar a variável
x =
��
��
Solução
x = - 8
Equação Original
-6x = - 48
Isolar a variável
x=
���
��
Solução
x = 8
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 226
Equação Original
�
� = 3
Isolar a variável
x = 3 . 5
Solução
x = 15
Equação Original
�
� = -3
Isolar a variável
x = (-3) . 5
Solução
x = -15
Equação Original
x + 10 = 1
Isolar a variável
x = 1 – 10
Solução
x = - 9
Equação Original
x - 23 = 2
Isolar a variável
x = 2 + 23
Solução
x = 25
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 227
APÊNDICE E – Questionário dos alunos do 7º ano
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO - MESTRADO
Prezado(a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
Muito obrigada! 1- Nome completo:__________________________________________________________
2-Idade: _______________
3- Sexo: _________________
4- Quem é o seu responsável masculino?
( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( )Não tenho ( )Outro. Quem?_________
5- Quem é a sua responsável feminina?
( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( )Não tenho ( )Outra. Quem? __________
6- Até que série estudou o seu responsável masculino? ______________
E o seu responsável feminino? ______________
7- Seu responsável masculino trabalha? ________________
E seu responsável feminino, trabalha? ________________
8- Quantas pessoas a partir de 16 anos moram na sua casa? ________
E com menos de 16 anos? __________________
9- Você estudou a 5ª série em que tipo de escola:
( )Estadual ( )Municipal ( )Particular ( )Outra. Qual?__________
10- A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora? ( ) Sim ( ) Não
11- Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes
12- Você faz algum curso?
( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Outro. Qual? __________________
13- Você pratica algum esporte? ( ) Sim. Qual? _____________________ ( ) Não
14- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito ( )
15- Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim
GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 228 16-Você têm dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito
17- Você se distrai nas aulas de matemática?
( )Não, eu sempre presto atenção
( )Sim, eu não consigo prestar atenção
( )Às vezes, quando a aula está chata
18- Você costuma estudar matemática fora da escola.
( ) Só no período de prova
( ) Só na véspera da prova
( ) Só nos fins de semana
( )Todo dia
( ) Alguns dias da semana. Quantos? ____________________________
19- Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?
( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros.
Quem? ________
20- Suas notas em matemática geralmente são: ( ) Acima de 5 ( ) Igual a 5 ( ) Abaixo de 5
Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação
Programa de Pós-Graduação em Educação - Mestrado Av. Djalma Dutra S/n
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