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Stabilitatsabschatzungen Vorlesung vom 6.12.13
Auswertungsbaume zur systematischen StabilitatsabschatzungAuswertungsbaum: Knoten, gerichtete Kanten, Wurzel, Blatter
Zerlegung in Teilbaume
Von den Blattern zur Wurzel:
rekursive Funktionsauswertung und Stabilitatsabschatzung
Theoretische Grundlage: Satz 7.6 und Satz 7.9
Beispiele.
SummationsalgorithmenRekursive Summation, Auswertungsbaum, Stbilitatsanalyse
Hierarchische Summation.
CoMa I
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bisher:
Auswirkung von (Rundungs)-Fehlern auf das Ergebnis:
Kondition eines Problems: Eingabefehler
Stabilitat eines Algorithmus: Auswertungsfehler
jetzt:
Rechenaufwand:
Komplexitat eines Problems
Effizienz eines Algorithmus
CoMa I
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bisher:
Auswirkung von (Rundungs)-Fehlern auf das Ergebnis:
Kondition eines Problems: Eingabefehler
Stabilitat eines Algorithmus: Auswertungsfehler
jetzt:
Rechenaufwand:
Komplexitat eines Problems
Aufwand und Effizienz eines Algorithmus
CoMa I
![Page 4: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/4.jpg)
Komplexitat und Effizienz
Wie lange muß ich auf das Ergebnis warten?
a) Ist das Problem schwierig? (Komplexitat)
b) Ist mein Algorithmus zu langsam? (Effizienz)
Theoretische Informatik/Diskrete Mathematik:
Komplexitatstheorie, Berechenbare Funktionen
CoMa I
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Komplexitat und Effizienz
Wie lange muß ich auf das Ergebnis warten?
a) Ist das Problem schwierig? (Komplexitat)
b) Ist mein Algorithmus zu langsam? (Effizienz)
Theoretische Informatik/Diskrete Mathematik:
Komplexitatstheorie, Berechenbare Funktionen
CoMa I
![Page 6: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/6.jpg)
Komplexitat und Effizienz
Wie lange muß ich auf das Ergebnis warten?
a) Ist das Problem schwierig? (Komplexitat)
b) Ist mein Algorithmus zu langsam? (Effizienz)
Theoretische Informatik/Diskrete Mathematik:
Komplexitatstheorie, Berechenbare Funktionen
CoMa I
![Page 7: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/7.jpg)
Komplexitat und Effizienz
Wie lange muß ich auf das Ergebnis warten?
a) Ist das Problem schwierig? (Komplexitat)
b) Ist mein Algorithmus zu langsam? (Effizienz)
Theoretische Informatik/Diskrete Mathematik:
Komplexitatstheorie, Berechenbare Funktionen
CoMa I
![Page 8: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/8.jpg)
Komplexitat und Effizienz
Wie lange muß ich auf das Ergebnis warten?
a) Ist das Problem schwierig? (Komplexitat)
b) Ist mein Algorithmus zu langsam? (Effizienz)
Theoretische Informatik/Diskrete Mathematik:
Komplexitatstheorie, Berechenbare Funktionen
CoMa I
![Page 9: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/9.jpg)
Aufwand (Laufzeit) eines Algorithmus
hangt ab von: Algorithmus, Eingabedaten (”Große“ des Problems)
Aufwandsmaß: reine Rechenzeit
zusatzliche Parameter:
Implementierung, Programmiersprache, Compiler, Prozessor,...
Aufwandsmaß: Anzahl dominanter Operationen
allgemeingultige Resultate
CoMa I
![Page 10: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/10.jpg)
Aufwand (Laufzeit) eines Algorithmus
hangt ab von: Algorithmus, Eingabedaten (”Große“des Problems)
Aufwandsmaß: reine Rechenzeit
zusatzliche Parameter:
Implementierung, Programmiersprache, Compiler, Prozessor,...
Aufwandsmaß: Anzahl dominanter Operationen (problemabhangig!)
implementierungsunabhangige Resultate
CoMa I
![Page 11: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/11.jpg)
Rekursive Summation positiver Zahlen
rekursive Summation: S = a[1]; for i=2:1:m S = S + a[i]; end
Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen
Aufwand des rekursiven Algorithmus: n− 1
CoMa I
![Page 12: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/12.jpg)
Rekursive Summation positiver Zahlen
rekursive Summation: S = a[1]; for i=2:1:m S = S + a[i]; end
Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen
Aufwand des rekursiven Algorithmus: n− 1
CoMa I
![Page 13: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/13.jpg)
Rekursive Summation positiver Zahlen
rekursive Summation: S = a[1]; for i=2:1:m S = S + a[i]; end
Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen
Aufwand des rekursiven Algorithmus: n− 1
CoMa I
![Page 14: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/14.jpg)
Hierarchische Summationx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
ցւ ցւ ցւ ցւs(1)1 s
(1)2 s
(1)3 s
(1)4
ց ւ ց ւs(2)1 s
(2)2
ց ւs(3)1
Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen
Aufwand des hierarchischen Algorithmus: (n = 2J):
2J−1 + · · ·+ 1 =J−1∑
j=0
2j =2J − 1
2− 1= 2J − 1 = n− 1
CoMa I
![Page 15: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/15.jpg)
Hierarchische Summationx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
ցւ ցւ ցւ ցւs(1)1 s
(1)2 s
(1)3 s
(1)4
ց ւ ց ւs(2)1 s
(2)2
ց ւs(3)1
Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen
Aufwand des hierarchischen Algorithmus: (n = 2J):
2J−1 + · · ·+ 1 =J−1∑
j=0
2j =2J − 1
2− 1= 2J − 1 = n− 1
CoMa I
![Page 16: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/16.jpg)
Hierarchische Summationx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
ցւ ցւ ցւ ցւs(1)1 s
(1)2 s
(1)3 s
(1)4
ց ւ ց ւs(2)1 s
(2)2
ց ւs(3)1
Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen
Aufwand des hierarchischen Algorithmus: (n = 2J):
2J−1 + · · ·+ 1 =J−1∑
j=0
2j= 2J−12−1 = 2J − 1 = n− 1
CoMa I
![Page 17: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/17.jpg)
Hierarchische Summationx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
ցւ ցւ ցւ ցւs(1)1 s
(1)2 s
(1)3 s
(1)4
ց ւ ց ւs(2)1 s
(2)2
ց ւs(3)1
Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen
Aufwand des hierarchischen Algorithmus: (n = 2J):
2J−1 + · · ·+ 1 =J−1∑
j=0
2j =2J − 1
2− 1= 2J − 1= n− 1
CoMa I
![Page 18: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/18.jpg)
Hierarchische Summationx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
ցւ ցւ ցւ ցւs(1)1 s
(1)2 s
(1)3 s
(1)4
ց ւ ց ւs(2)1 s
(2)2
ց ւs(3)1
Aufwandsmaß: Anzahl der Additionen
Aufwand des hierarchischen Algorithmus: (n = 2J):
2J−1 + · · ·+ 1 =J−1∑
j=0
2j =2J − 1
2− 1= 2J − 1 = n− 1
CoMa I
![Page 19: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/19.jpg)
Komplexitat der Summation positiver Zahlen
Kann es einen Algorithmus geben, der weniger als n−1 Additionen benotigt?
Nein!
Folgerung: Die Komplexitat der Addition von n Zahlen ist n− 1
CoMa I
![Page 20: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/20.jpg)
Komplexitat der Summation positiver Zahlen
Kann es einen Algorithmus geben, der weniger als n−1 Additionen benotigt?
Nein!
Folgerung: Die Komplexitat der Addition von n Zahlen ist n− 1
CoMa I
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Komplexitat der Summation positiver Zahlen
Kann es einen Algorithmus geben, der weniger als n−1 Additionen benotigt?
Nein!
Folgerung: Die Komplexitat der Addition von n Zahlen ist n− 1.
CoMa I
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Aufwand und KomplexitatDefinition 2.4
Problem (P), Algorithmen A(P ) zur Losung von (P)
Eingabedaten der Lange n, Referenzoperation (problemspezifisch!)
Der Aufwand TA(n) eines Algorithmus A ∈ A(P ) ist das
Maximum der benotigten Anzahl von Referenzoperationen
uber alle zulassigen Eingabedaten der Lange n.
Definition 2.5
Die Komplexitat KP (n) von (P) ist
KP (n) = infA∈A(P )
TA(P )
CoMa I
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Aufwand und KomplexitatDefinition 2.4
Problem (P), Algorithmen A(P ) zur Losung von (P)
Eingabedaten der Lange n, Referenzoperation (problemspezifisch!)
Der Aufwand TA(n) eines Algorithmus A ∈ A(P ) ist das
Maximum der benotigten Anzahl von Referenzoperationen
uber alle zulassigen Eingabedaten der Lange n.
Definition 2.5
Die Komplexitat KP (n) von (P) ist
KP (n) = infA∈A(P )
TA(P )
CoMa I
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Aufwand und KomplexitatDefinition 2.4
Problem (P), Algorithmen A(P ) zur Losung von (P)
Eingabedaten der Lange n, Referenzoperation (problemspezifisch!)
Der Aufwand TA(n) eines Algorithmus A ∈ A(P ) ist das
Maximum der benotigten Anzahl von Referenzoperationen
uber alle zulassigen Eingabedaten der Lange n.
Definition 2.5
Die Komplexitat KP (n) von (P) ist
KP (n) = infA∈A(P )
TA(P )
CoMa I
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Effiziente Algorithmen
Problem (P), Algorithmus A ∈ A(P ) zur Losung von (P)
Effizienz eines Algorithmus’ A:
Theoretische Informatik: TA = O(np)
Numerische Mathematik: TA(n) = O(KP (n))
Definition Landau-Symbol O(·) fur f(n), g(n) → ∞ fur n → ∞
f(n) = O(g(n)) fur n → ∞ ⇐⇒ lim supn→∞
f(n)
g(n)
Beispiel: 18n3 + 3n2 + sin(en) = O(n3)
CoMa I
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Effiziente Algorithmen
Problem (P), Algorithmus A ∈ A(P ) zur Losung von (P)
Effizienz eines Algorithmus’ A:
Theoretische Informatik: TA = O(np)
Numerische Mathematik: TA(n) = O(KP (n))
Definition Landau-Symbol O(·) fur f(n), g(n) → ∞ fur n → ∞
f(n) = O(g(n)) fur n → ∞ ⇐⇒ lim supn→∞
f(n)
g(n)
Beispiel: 18n3 + 3n2 + sin(en) = O(n3)
CoMa I
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Effiziente Algorithmen
Problem (P), Algorithmus A ∈ A(P ) zur Losung von (P)
Effizienz eines Algorithmus’ A:
Theoretische Informatik: TA = O(np)
Numerische Mathematik: TA(n) = O(KP (n))
Definition: Landau-Symbol O(·) fur f(n), g(n) → ∞ fur n → ∞
f(n) = O(g(n)) fur n → ∞ ⇐⇒ lim supn→∞
f(n)
g(n)
Beispiel: 18n3 + 3n2 + sin(en) = O(n3)
CoMa I
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Effiziente Algorithmen
Problem (P), Algorithmus A ∈ A(P ) zur Losung von (P)
Effizienz eines Algorithmus’ A:
Theoretische Informatik: TA = O(np)
Numerische Mathematik: TA(n) = O(KP (n))
Definition: Landau-Symbol O(·) fur f(n), g(n) → ∞ fur n → ∞
f(n) = O(g(n)) fur n → ∞ ⇐⇒ lim supn→∞
f(n)
g(n)
Beispiel: 18n3 + 3n2 + sin(en) = O(n3)
CoMa I
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Sortieren
gegeben: z1, z2, . . . , zn ∈ R
gesucht: Permutation (Umordnung) π: zπ(1), zπ(2), . . . , zπ(n)
Algorithmus: TumbSort: Alle Umordnungen durchprobieren.
Aufwandsmaß: Vergleich zweier Zahlen
Aufwand von TumSort: O(nn)
CoMa I
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Sortieren
gegeben: z1, z2, . . . , zn ∈ R
gesucht: Permutation (Umordnung) π: zπ(1), zπ(2), . . . , zπ(n)
Algorithmus: TumbSort: Alle Umordnungen durchprobieren.
Aufwandsmaß: Vergleich zweier Zahlen
Aufwand von TumSort: O(nn)
CoMa I
![Page 31: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/31.jpg)
Sortieren
gegeben: z1, z2, . . . , zn ∈ R
gesucht: Permutation (Umordnung) π: zπ(1), zπ(2), . . . , zπ(n)
Algorithmus: TumbSort: Alle Umordnungen durchprobieren.
Aufwandsmaß: Vergleich zweier Zahlen
Aufwand von TumSort: O(nn)
CoMa I
![Page 32: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/32.jpg)
Sortieren
gegeben: z1, z2, . . . , zn ∈ R
gesucht: Permutation (Umordnung) π: zπ(1), zπ(2), . . . , zπ(n)
Algorithmus: TumbSort: Alle Umordnungen durchprobieren.
Aufwandsmaß: Vergleich zweier Zahlen
Aufwand von TumSort: O(nn)
CoMa I
![Page 33: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/33.jpg)
Sortieren
gegeben: z1, z2, . . . , zn ∈ R
gesucht: Permutation (Umordnung) π: zπ(1), zπ(2), . . . , zπ(n)
Algorithmus: TumbSort: Alle Umordnungen durchprobieren.
Aufwandsmaß: Vergleich zweier Zahlen
Aufwand von TumSort: O(nn)
CoMa I
![Page 34: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/34.jpg)
BubbleSort
Algorithmus: BubbleSort: Sukzessive Maximierung
Beispiel:
S = {7, 1, 5} , k = 3 : SMax = max{7, 1, 5} = 7, iMax = 1
S = {5, 1, 7} , k = 2 : SMax = max{5, 1} = 5, iMax = 1
S = {1, 5, 7}
Aufwand von BubbleSort:
(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =n−1∑
k=1
k = 12n(n− 1) = O(n2)
CoMa I
![Page 35: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/35.jpg)
BubbleSort
Algorithmus: BubbleSort: Sukzessive Maximierung
Beispiel:
S = {7, 1, 5} , k = 3 : SMax = max{7, 1, 5} = 7, iMax = 1
S = {5, 1, 7} , k = 2 : SMax = max{5, 1} = 5, iMax = 1
S = {1, 5, 7}
Aufwand von BubbleSort:
(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =n−1∑
k=1
k = 12n(n− 1) = O(n2)
CoMa I
![Page 36: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/36.jpg)
BubbleSort
Algorithmus: BubbleSort: Sukzessive Maximierung
Beispiel:
S = {7, 1, 5} , k = 3 : SMax = max{7, 1, 5} = 7, iMax = 1
S = {5, 1, 7} , k = 2 : SMax = max{5, 1} = 5, iMax = 1
S = {1, 5, 7}
Aufwand von BubbleSort:
(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =n−1∑
k=1
k = 12n(n− 1) = O(n2)
CoMa I
![Page 37: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/37.jpg)
BubbleSort
Algorithmus: BubbleSort: Sukzessive Maximierung
Beispiel:
S = {7, 1, 5} , k = 3 : SMax = max{7, 1, 5} = 7, iMax = 1
S = {5, 1, 7} , k = 2 : SMax = max{5, 1} = 5, iMax = 1
S = {1, 5, 7}
Aufwand von BubbleSort:
(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =n−1∑
k=1
k = 12n(n− 1) = O(n2)
CoMa I
![Page 38: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/38.jpg)
BubbleSort
Algorithmus: BubbleSort: Sukzessive Maximierung
Beispiel:
S = {7, 1, 5} , k = 3 : SMax = max{7, 1, 5} = 7, iMax = 1
S = {5, 1, 7} , k = 2 : SMax = max{5, 1} = 5, iMax = 1
S = {1, 5, 7}
Aufwand von BubbleSort:
(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =n−1∑
k=1
k= 12n(n− 1) = O(n2)
CoMa I
![Page 39: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/39.jpg)
BubbleSort
Algorithmus: BubbleSort: Sukzessive Maximierung
Beispiel:
S = {7, 1, 5} , k = 3 : SMax = max{7, 1, 5} = 7, iMax = 1
S = {5, 1, 7} , k = 2 : SMax = max{5, 1} = 5, iMax = 1
S = {1, 5, 7}
Aufwand von BubbleSort:
(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =n−1∑
k=1
k = 12n(n− 1)= O(n2)
CoMa I
![Page 40: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/40.jpg)
BubbleSort
Algorithmus: BubbleSort: Sukzessive Maximierung
Beispiel:
S = {7, 1, 5} , k = 3 : SMax = max{7, 1, 5} = 7, iMax = 1
S = {5, 1, 7} , k = 2 : SMax = max{5, 1} = 5, iMax = 1
S = {1, 5, 7}
Aufwand von BubbleSort:
(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =n−1∑
k=1
k = 12n(n− 1) = O(n2)
CoMa I
![Page 41: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/41.jpg)
BubbleSort
Algorithmus: BubbleSort: Sukzessive Maximierung
Beispiel:
S = {7, 1, 5} , k = 3 : SMax = max{7, 1, 5} = 7, iMax = 1
S = {5, 1, 7} , k = 2 : SMax = max{5, 1} = 5, iMax = 1
S = {1, 5, 7}
Aufwand von BubbleSort:
(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =n−1∑
k=1
k = 12n(n− 1) = O(n2) ≪ O(nn)
CoMa I
![Page 42: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/42.jpg)
Merging (cont.)
3 10 23 54 1 5 25 75 X: Y:
Result:
![Page 43: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/43.jpg)
Merging (cont.)
3 10 23 54 5 25 75
1
X: Y:
Result:
![Page 44: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/44.jpg)
Merging (cont.)
10 23 54 5 25 75
1 3
X: Y:
Result:
![Page 45: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/45.jpg)
Merging (cont.)
10 23 54 25 75
1 3 5
X: Y:
Result:
![Page 46: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/46.jpg)
Merging (cont.)
23 54 25 75
1 3 5 10
X: Y:
Result:
![Page 47: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/47.jpg)
Merging (cont.)
54 25 75
1 3 5 10 23
X: Y:
Result:
![Page 48: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/48.jpg)
Merging (cont.)
54 75
1 3 5 10 23 25
X: Y:
Result:
![Page 49: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/49.jpg)
Merging (cont.)
75
1 3 5 10 23 25 54
X: Y:
Result:
![Page 50: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/50.jpg)
Merging (cont.)
1 3 5 10 23 25 54 75
X: Y:
Result:
![Page 51: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/51.jpg)
Divide And Conquer
l Merging a two lists of one element each is the same as sorting them.
l Merge sort divides up an unsorted list until the above condition is met and then sorts the divided parts back together in pairs.
l Specifically this can be done by recursively dividing the unsorted list in half, merge sorting the right side then the left side and then merging the right and left back together.
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Merge Sort Algorithm
Given a list L with a length k: l If k == 1 à the list is sorted l Else:
– Merge Sort the left side (1 thru k/2) – Merge Sort the right side (k/2+1 thru k) – Merge the right side with the left side
![Page 53: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/53.jpg)
Merge Sort Example 99 6 86 15 58 35 86 4 0
![Page 54: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/54.jpg)
Merge Sort Example 99 6 86 15 58 35 86 4 0
99 6 86 15 58 35 86 4 0
![Page 55: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/55.jpg)
Merge Sort Example 99 6 86 15 58 35 86 4 0
99 6 86 15 58 35 86 4 0
86 15 99 6 58 35 86 4 0
![Page 56: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/56.jpg)
Merge Sort Example 99 6 86 15 58 35 86 4 0
99 6 86 15 58 35 86 4 0
86 15 99 6 58 35 86 4 0
99 6 86 15 58 35 86 4 0
![Page 57: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/57.jpg)
Merge Sort Example 99 6 86 15 58 35 86 4 0
99 6 86 15 58 35 86 4 0
86 15 99 6 58 35 86 4 0
99 6 86 15 58 35 86 4 0
4 0
![Page 58: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/58.jpg)
Merge Sort Example
99 6 86 15 58 35 86 0 4
4 0 Merge
![Page 59: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/59.jpg)
Merge Sort Example
15 86 6 99 58 35 0 4 86
99 6 86 15 58 35 86 0 4
Merge
![Page 60: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/60.jpg)
Merge Sort Example
6 15 86 99 0 4 35 58 86
15 86 6 99 58 35 0 4 86
Merge
![Page 61: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/61.jpg)
Merge Sort Example 0 4 6 15 35 58 86 86 99
6 15 86 99 0 4 35 58 86
Merge
![Page 62: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/62.jpg)
Merge Sort Example 0 4 6 15 35 58 86 86 99
![Page 63: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/63.jpg)
Implementing Merge Sort l There are two basic ways to implement merge sort:
– In Place: Merging is done with only the input array l Pro: Requires only the space needed to hold the array l Con: Takes longer to merge because if the next
element is in the right side then all of the elements must be moved down.
– Double Storage: Merging is done with a temporary array of the same size as the input array. l Pro: Faster than In Place since the temp array holds
the resulting array until both left and right sides are merged into the temp array, then the temp array is appended over the input array.
l Con: The memory requirement is doubled.
![Page 64: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/64.jpg)
Merge Sort Analysis The Double Memory Merge Sort runs O (N log N) for all cases, because of its Divide and Conquer approach.
T(N) = 2T(N/2) + N = O(N logN)
![Page 65: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/65.jpg)
MergeSort
U
ւ ց
U(1)1 U
(1)2
ւ ց ւ ց
U(2)1 U
(2)2 U
(2)3 U
(2)4
ւց ւց ւց ւց
U(3)1 U
(3)2 U
(3)3 U
(3)4 U
(3)5 U
(3)6 U
(3)7 U
(3)8
Aufwand von MergeSort: TMergeSort(n) ≤ n log2 n optimal!
CoMa I
![Page 66: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/66.jpg)
MergeSort
U
ւ ց
U(1)1 U
(1)2
ւ ց ւ ց
U(2)1 U
(2)2 U
(2)3 U
(2)4
ւց ւց ւց ւց
U(3)1 U
(3)2 U
(3)3 U
(3)4 U
(3)5 U
(3)6 U
(3)7 U
(3)8
Aufwand von MergeSort: TMergeSort(n) ≤ n log2 n optimal!
CoMa I
![Page 67: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/67.jpg)
MergeSort
U
ւ ց
U(1)1 U
(1)2
ւ ց ւ ց
U(2)1 U
(2)2 U
(2)3 U
(2)4
ւց ւց ւց ւց
U(3)1 U
(3)2 U
(3)3 U
(3)4 U
(3)5 U
(3)6 U
(3)7 U
(3)8
Aufwand von MergeSort: TMergeSort(n) ≤ n log2 n optimal!
CoMa I
![Page 68: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/68.jpg)
Berechnung von ggT (a, b)
Definition 4.1 (großter gemeinsamer Teiler – ggT)
Eine Zahl d, die zwei ganze Zahlen a, b ∈ N teilt (d|a und d|b),heißt gemeinsamer Teiler von a und b.
Die großte positive Zahl d, die gemeinsamer Teiler von a und b ist,
heißt großter gemeinsamer Teiler von a und b oder kurz ggT (a, b).
Problem (P): Berechne ggT (a, b) fur Eingabedaten a ≥ b ∈ N \ {0}
CoMa I
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Ausprobieren: TumbGGT (Algorithmus 4.3)
Input: positive Zahlen a >= b>0
Output: ggT(a,b)
ggT := 1
for i = 2:b
if i|a and i|b
ggT := i
endif
endfor
return ggT
Aufwandsmaß: Anzahl der Divisionen mit Rest Aufwand: 2(b−1)
CoMa I
![Page 70: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/70.jpg)
Ausprobieren: TumbGGT (Algorithmus 4.3)
Input: positive Zahlen a >= b>0
Output: ggT(a,b)
ggT := 1
for i = 2:b
if i|a and i|b
ggT := i
endif
endfor
return ggT
Aufwandsmaß: Anzahl der Divisionen mit Rest Aufwand: 2(b−1)
CoMa I
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Ausprobieren: TumbGGT (Algorithmus 4.3)
Input: positive Zahlen a >= b>0
Output: ggT(a,b)
ggT := 1
for i = 2:b
if i|a and i|b
ggT := i
endif
endfor
return ggT
Aufwandsmaß: Anzahl der Divisionen mit Rest Aufwand: 2(b−1)
CoMa I
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Geschickteres Ausprobieren: TumbGGT++
Input: positive Zahlen a >= b>0
Output: ggT(a,b)
for i := b:2
if i|a and i|b
return i
endif
endfor
return 1
Aufwandsmaß: Anzahl der Divisionen Aufwandsschranke: 2(b− 1)
CoMa I
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Geschickteres Ausprobieren: TumbGGT++
Input: positive Zahlen a >= b>0
Output: ggT(a,b)
for i := b:2
if i|a and i|b
return i
endif
endfor
return 1
Aufwandsmaß: Anzahl der Divisionen Aufwandsschranke: 2(b− 1)
CoMa I
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Geschickteres Ausprobieren: TumbGGT++
Input: positive Zahlen a >= b>0
Output: ggT(a,b)
for i := b:2
if i|a and i|b
return i
endif
endfor
return 1
Aufwandsmaß: Anzahl der Divisionen Aufwandsschranke: 2(b− 1)
CoMa I
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Strukturelle Einsicht
Definition 4.6 (Kongruenzen)Der bei Division von a durch b bleibende Rest heißt
a mod b = a− ⌊a/b⌋b .
m, n ∈ Z heißen kongruent modulo b, falls m mod b = n mod b.
modulo-Funktion: mod(a, b) = a mod b
Satz 5.5 (Rekursionssatz fur den ggT)Es gilt
ggT (a, b) = ggT (b,mod(a, b)) ∀a, b ∈ N .
CoMa I
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Strukturelle Einsicht
Definition 4.6 (Kongruenzen)Der bei Division von a durch b bleibende Rest heißt
a mod b = a− ⌊a/b⌋b .
m, n ∈ Z heißen kongruent modulo b, falls m mod b = n mod b.
modulo-Funktion: mod(a, b) = a mod b
Lemma 4.12 (Rekursionssatz fur den ggT)Es gilt
ggT (a, b) = ggT (b,mod(a, b)) ∀a, b ∈ N .
CoMa I
![Page 77: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/77.jpg)
Umsetzung: Der Euklidische Algorithmus
Input: positive Zahlen a >= b>0
Output: ggT(a,b)
m = a;
n = b;
while n>0
r = m modulo n
m = n
n = r
endwhile
return m
Satz: Der Euklidische Algorithmus terminiert nach hochstens b Schritten.
CoMa I
![Page 78: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/78.jpg)
Umsetzung: Der Euklidische Algorithmus
Input: positive Zahlen a >= b>0
Output: ggT(a,b)
m = a;
n = b;
while n>0
r = m modulo n
m = n
n = r
endwhile
return m
Satz: Der Euklidische Algorithmus terminiert nach hochstens b Schritten.
CoMa I
![Page 79: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/79.jpg)
AufwandsanalyseDefinition (Fibonacchi–Zahlen)Die durch die Drei–Term–Rekursion
Fn+1 − Fn − Fn−1 = 0 , F0 = 1 , F1 = 1
definierten Zahlen Fk, k = 0, 1, . . . , heißen Fibonacchi–Zahlen.
Lemma 4.14Es sei a > b. Terminiert der Euklidische Algorithmus nach genau k ≥ 1Schritten, so gilt a ≥ Fk+1 und b ≥ Fk.
Satz 4.15 (Lame, 1848)Gilt a > b und b < Fk+1 mit k ∈ N, so terminiert der EuklidischeAlgorithmus nach hochstens k Schritten.
Bemerkung (Lemma 5.8):Im Falle b = Fk, a = Fk+1 braucht man k Schritte.
CoMa I
![Page 80: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/80.jpg)
AufwandsanalyseDefinition (Fibonacchi–Zahlen)Die durch die Drei–Term–Rekursion
Fn+1 − Fn − Fn−1 = 0 , F0 = 1 , F1 = 1
definierten Zahlen Fk, k = 0, 1, . . . , heißen Fibonacchi–Zahlen.
Lemma 4.14Es sei a > b. Terminiert der Euklidische Algorithmus nach genau k ≥ 1Schritten, so gilt a ≥ Fk+1 und b ≥ Fk.
Satz 4.15 (Lame, 1848)Gilt a > b und b < Fk+1 mit k ∈ N, so terminiert der EuklidischeAlgorithmus nach hochstens k Schritten.
Bemerkung :Im Falle b = Fk, a = Fk+1 braucht man k Schritte.
CoMa I
![Page 81: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/81.jpg)
AufwandsanalyseDefinition (Fibonacchi–Zahlen)Die durch die Drei–Term–Rekursion
Fn+1 − Fn − Fn−1 = 0 , F0 = 1 , F1 = 1
definierten Zahlen Fk, k = 0, 1, . . . , heißen Fibonacchi–Zahlen.
Lemma 4.14Es sei a > b. Terminiert der Euklidische Algorithmus nach genau k ≥ 1Schritten, so gilt a ≥ Fk+1 und b ≥ Fk.
Satz 4.15 (Lame, 1848)Gilt a > b und b < Fk+1 mit k ∈ N, so terminiert der EuklidischeAlgorithmus nach hochstens k Schritten.
Bemerkung :Im Falle b = Fk, a = Fk+1 braucht man k Schritte.
CoMa I
![Page 82: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/82.jpg)
AufwandsanalyseDefinition (Fibonacchi–Zahlen)Die durch die Drei–Term–Rekursion
Fn+1 − Fn − Fn−1 = 0 , F0 = 1 , F1 = 1
definierten Zahlen Fk, k = 0, 1, . . . , heißen Fibonacchi–Zahlen.
Lemma 4.14Es sei a > b. Terminiert der Euklidische Algorithmus nach genau k ≥ 1Schritten, so gilt a ≥ Fk+1 und b ≥ Fk.
Satz 4.15 (Lame, 1848)Gilt a > b und b < Fk+1 mit k ∈ N, so terminiert der EuklidischeAlgorithmus nach hochstens k Schritten.
Bemerkung:Im Falle b = Fk, a = Fk+1 braucht man k Schritte.
CoMa I
![Page 83: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/83.jpg)
Aufwandsschranke fur den Euklidischen Algorithmus
Moivre-Binet: Fk = (φk − (1− φ)k)/√5 φ = 1+
√5
2
Satz 4.16Fur den Aufwand TEA des Euklidische Algorithmus gilt
TEA(n) = logΦ(b) + 1, Φ =1 +
√5
2
Bemerkung:
Das ist eine exponentielle Verbesserung gegenuber dem naiven Algorith-mus!
Beispiel: logΦ(10.000) < 20 ≪ 10.000
CoMa I
![Page 84: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/84.jpg)
Aufwandsschranke fur den Euklidischen Algorithmus
Moivre-Binet: Fk = (φk − (1− φ)k)/√5 φ = 1+
√5
2
Satz 4.16Fur den Aufwand TEA(n) des Euklidische Algorithmus gilt
TEA(n) ≤ logφ(b) + 1
Bemerkung:
Das ist eine exponentielle Verbesserung gegenuber dem naiven Algorith-mus!
Beispiel: logΦ(10.000) < 20 ≪ 10.000
CoMa I
![Page 85: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/85.jpg)
Aufwandsschranke fur den Euklidischen Algorithmus
Moivre-Binet: Fk = (φk − (1− φ)k)/√5 φ = 1+
√5
2
Satz 4.16Fur den Aufwand TEA(n) des Euklidische Algorithmus gilt
TEA(n) ≤ logφ(b) + 1
Bemerkung:
Das ist eine exponentielle Verbesserung gegenuber TUMBGGT!
Beispiel: logΦ(10.000) < 20 ≪ 10.000
CoMa I
![Page 86: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/86.jpg)
Principal component analysis
![Page 87: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/87.jpg)
![Page 88: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/88.jpg)
yi(t)
![Page 89: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/89.jpg)
yi(t)
![Page 90: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/90.jpg)
yi(t)
![Page 91: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/91.jpg)
yi(t)
![Page 92: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/92.jpg)
Speicherbedarf o(n2)
yi(t)
![Page 93: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/93.jpg)
yi(t)
![Page 94: Vorlesung vom 6.12.13 Stabilit¨atsabsch¨atzungen€¦ · Stabilit¨atsabsch¨atzungen Vorlesung vom 6.12.13 Auswertungsb¨aume zur systematischen Stabilit ¨atsabsch ¨atzung Auswertungsbaum:](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022090607/605db9f7a370937af91fec42/html5/thumbnails/94.jpg)
• If we want to optimize we must start at the most expensive step.
• Here: calculation of the correlation matrix.
• In complex programs, 99% of the runtime are spent in 1% of the code.