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7/26/2019 w20150824124224050_7000810241_09!28!2015_182355_pm_Integral Triple en Coordenadas Cilindricas y Esfericas
1/12
(1.1)(1.1)
1.1.
(1.2)(1.2)
Integral triple en coordenadas cilndricas y esfricas
Ejemplos
Determinar , donde Ses la regin que est limitada por las superficies:
.
Solucin:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:
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2/12
(1.3)(1.3)
(1.5)(1.5)
(1.4)(1.4)
2.2.
Hallamos la integral triple en cilndricas:
Determinar , donde Ses la regin, interior al cilindro: , y
limitado por las superficies: , .
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3/12
(1.7)(1.7)
(1.6)(1.6)
(1.8)(1.8)
(1.9)(1.9)
Solucin:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:
Hallamos la integral triple en cilndricas:
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4/12
3.3.
(1.12)(1.12)
(1.10)(1.10)
(1.11)(1.11)
(1.13)(1.13)
0
Determinar , donde Ses la regin limitada por las superficies:
, .
Solucin:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:
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5/12
(2.1)(2.1)
(2.2)(2.2)
(1.17)(1.17)
(1.16)(1.16)
(1.15)(1.15)
(1.14)(1.14)
Hallamos la integral triple en esfricas y cilncricas:
Ejercicios
1. Determinar , donde
.
Solucin:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:
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6/12
(2.4)(2.4)
(2.5)(2.5)
2.2.
(2.3)(2.3)
Hallamos la integral triple en cilndricas:
Determinar , donde Ses la regin limitada por las superficies:
.Solucin:
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7/12
(2.7)(2.7)
(2.8)(2.8)
(2.6)(2.6)
Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:
e
Hallamos la integral triple en esfricas:
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(2.10)(2.10)
(2.9)(2.9)
(2.11)(2.11)
3.3. Determinar , usando coordenadas esfricas.
Solucin:
Hallamos la regin S:Graficamos las superficies en el espacio para definir la regin S:
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9/12
(2.16)(2.16)
(2.15)(2.15)
(2.14)(2.14)
(2.12)(2.12)
(2.13)(2.13)1
Hallamos la integral triple en esfricas:
4. Calcular el volumen de la regin Slimitada por la semiesfera y el cono
.Solucin: Hacemos el cambio de coordenadas cartesianas a cilndricas:
, luego la ecuacin de las superficies quedan:
y
y
Notemos que de tenemos la proyeccin en el plano : .Graficamos la regin S:
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10/12
(2.17)(2.17)
Hallamos el volumen deseado aprovechando la simetra de la figura respecto a los planos
coordenados:
Situacin problemtica
Hallar el volumen encerrado por la superficie definida por la ecuacin .Solucin: Hacemos el cambio de coordenadas cartesianas a esfricas:
, luego la ecuacin de la superficie queda:
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Notemos que para que esta funcin exista se debe tener que de donde
tenemos que: .
Graficamos la reginS:
Hallamos el volumen deseado aprovechando la simetra de la figura respecto a los planos
coordenados:
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(3.1)(3.1)