MUKAVEMET-1
Çözümlü Problemler
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU PAÜ. Mühendislik Fakültesi
E D
C B A
30N/m
3m
6m 4m
F=100N
Çelik Alüminyum 10 cm
P
100 MPa 100 MPa
40 MPa
40 MPa
C
30o
50 MPa
50 MPa
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
1
Soru 1) 1000 mm boyundaki çubuk A ve B uçlarından iki rijit plakayla sabitlenmiştir. C noktasından P=4 kN luk kuvvet etkimektedir.
a) A ve B de doğacak reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız. b) Sıcaklık 50o C arttırılırsa reaksiyon kuvvetleri ne olur
hesaplayınız. A1=500 mm2 , A2=250 mm2 E1=E2=2.105 N/mm2 α=1,2x10-6 1/oC Çözüm: RA+ RB=P=4000 N
a) ∆L1-∆L2=0
NRNR
RR
EA
LR
EA
LR
BA
AAAB
3429,571
250
750
500
250)4000(
22
2
11
1
==
=−
⇒=
b)
∆L1=∆L2
22
22
11
11
)()(
EA
LxRLT
EA
LxRTL AB −
+∆=+
+∆ αα
5
6
5
6
10.2.250
750).571(750.50.10.2,1
10.2.500
250).3429(250.50.10.2,1
xx −+=
++ −−
x= 1714,7 N Ay=RA+x By=RB-x Ay=571+1714,7 By=3429-1714,7 Ay=2285,7 N By=1714,3 N
B
250 mm
750 mm P
A1
A2
C
A
RB
RB
RA
RA
RA
x
RB
x
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
2
Soru 2)
1000 mm boyundaki çubuk A ve B uçlarından iki rijit plakaya sabitlenmiştir. C noktasından P=2 kN luk kuvvet etkimektedir.
a) A ve B de doğacak reaksiyon kuvvetlerini ve gerilmeleri hesaplayınız. b) Sıcaklık 100 oC arttırılırsa meydana gelecek termik gerilmeleri hesaplayınız. A1=500 mm2, A2=250 mm2, E1=2.105 N/mm2, E2=1.105 N/mm2 α1=1,6.10-6 1/oC, α2=1.10-6 1/oC Çözüm:
N2000PRR BA ==+
a) CBAC LL ∆∆ =
N1142R,N858RN2000RR3
4
R3
4R
25010.1
250R
50010.2
750R
EA
LR
EA
LR
ABBB
BA
5B
5A
22
2B
11
1A
==⇒=+
=
=⇒=
22
21
mm/N43.3250
858
mm/N28.2500
1142
==
==
σ
σ
b) ∆L1=∆L2
22
222
11
111
EA
LxLT
EA
LxLT +=− ∆α∆α
N5430x
10.1250
250
10.2500
750
100)25010.110.6,1750(
EA
L
EA
L
T)LL(x
55
66
22
2
11
1
2211
=
+
−=
+
−=
−−∆αα
2
1
1 /86.10500
5430)( mmN
A
xT ===σ 2
2
T2 mm/N72.21250
5430
A
x)( ===σ
A A1 A2 P B
750 mm 250 mm
C
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
3
Soru 3) İç çapı 20 mm ve dış çapı 50 mm olan çelik boru içine çapı 20 mm olan bir bakır çubuk yerleştirilmiş üzerine rijit bir plaka oturtulmuş ve üzerinden P=2 kN luk kuvvet uygulanmıştır. Bu durumda meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız. Eb=1.105 N/mm2, Eç=2.105 N/mm2
Çözüm:
bç
bç
LL
PPP
∆=∆
=+
222
22
16504
)2050(
3144
20
mmA
mmA
ç
b
=−
=
==
π
π
bb
bb
çç
çç
EA
LP
EA
LP=
N
EA
EAP
P
bb
ççb 173
10.1.314
10.2.16501
2000
15
5=
+
=
+
=
N
EA
EA
PP
çç
bbç 1827
10.21650
10.13141
2000
15
5=
+
=
+
=
MPaA
P
ç
ç
ç 106,11650
1827===σ
MPaA
P
b
bb 55,0
314
173===σ
P
100 cm
φ20 mm
φ50 mm
Ç Ç
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
4
Soru 4) Verilen civata bağlantısında somun bir miktar döndürülerek çelik civata ve alüminyum boruda 50 kN’luk kuvvet oluşturuluyor. Daha sonra şekildeki görüldüğü gibi P=60 kN’luk dış kuvvet tatbik ediliyor. Cıvata ve alüminyum boruda her iki kuvvetten dolayı meydana gelen toplam gerilmeleri hesaplayınız. Eal=0,6.105 N/mm2, Eç=2.105 N/mm2 Aal=100 mm2, dç=8 mm
Çözüm:
alç
alç
LL
kNPP
∆=∆
=+ 60
alç
alç
alal
al
çç
ç
PP
PP
EA
LP
EA
LP
6
5
10.6,010010.225 55
=
=⇒=
kNPkNPNPP çalalal 273,27,727,32600006
5==⇒=+
NP
NP
topal
topç
172733272750000)(
772732727350000)(
−=+−=
=+=
MPaç 3,1537
4
64
77273==
πσ MPaal 73,172
100
17273−=−=σ
25 kN 50 kN 25 kN
25 kN 50 kN 25 kN
Çelik Alüminyum 10 cm
P
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
5
Soru 5) Başlangıçta boyları aynı olan alüminyum boru ile
çelik civata bir somunla sıkıştırılıyor. a) Somun 2 mm hareket ettiğine göre boru ve
civatada meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.
b) Civatanın ucundan P=1 kN luk bir kuvvet etki ettiğinde meydana gelecek gerilmeler nasıl değişir.
Eal=0,6.105 N/mm2, Eç=2.105 N/mm2 Aal=100 mm2, dç=8 mm
Çözüm:
22
265,504
8mmAç ==
π
Nq
EA
Lq
EA
Lq
alalÇç
96,75187
210.6,0.100
100
10.2.265,50
100
2
55
=
=+
=+
MPaal 87,751100
96,75187−==σ MPaç 83.1495
265,50
96,75187==σ
b) MPaqp
al 8,761100
100096,75187
100−=
+=
+=σ
MPaqp
ç 72,1515265,50
100096,75187
265,50=
+=
+=σ
Çelik Alüminyum 10 cm
P
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
6
Soru 6) İç çapı 20 mm ve dış çapı 50 mm olan çelik boru içine çapı 20 mm olan bir bakır çubuk yerleştirilmiş üzerine rijit bir plaka oturtulmuş ve sistemin sıcaklığı
CT o100=∆ arttırılmıştır. Bu durumda bakır çubuk ile
çelik boruyu aynı hizada tutacak P kuvveti ne olmalıdır. Eb=1.105, Eç=2.105 , αç=12x10-6 1/oC, αb=16x10-6 1/oC
Çözüm:
tçpbtb LLL )()()( ∆=∆−∆
TLEA
LPTL ç
bb
b ∆=−∆ αα
NP
EA
LPTL
bb
çb
37,1256610.4
2010010).1216(
)(
52
6 =
−=
=∆−
− π
αα
P
100 cm
φ20 mm
φ50 mm
Ç Ç
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
7
Soru 7) 200 mm boyundaki Aliminyum çubuk ile
300 mm boyundaki çelik çubuk şekilde görüldüğü gibi bir ucundan ankastre yapılmış diğer ucundan 0,5 mm lik boşluk bırakılmıştır. Sıcaklık 20 oC den 120 oC a çıkarıldığı zaman çubuklarda oluşan gerilmeleri hesaplayınız.
EAl=70 GPa, Eç=210 GPa , αç=12.10-6 1/oC, αAl=14.10-6 1/oC
Çözüm:
CTTTT
TLL
mmTLTL
oo
ççAA
ççAA
125,7836002800
10.5,020
10).3001220014(
5,0
5,0)(
5,0
6
6=⇒
++=⇒
+=−
=∆+
=∆+∆
+
−
αα
αα
MPaTE AlAlAl 41)125,78120()10.14(10.7 64 =−=∆= −ασ
MPaTE çlçç 5,105)125,78120()10.12(10.2 65 =−=∆= −ασ
Al Çelik
200 mm 300 mm
0,5 mm
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
8
Soru 8) Biri bakır diğeri çelik iki çubuk
şekildeki gibi sıkıca birleştirilmiştir. Tüm çubuklara homojen etkiyen sıcaklık 200 oC arttırıldığında çubuklarda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız.
Eb=1.105 MPa, Eç=2.105 MPa αb=2.10-6 1/oC, αç=1.10-6 1/oC
Çözüm:
∆Lç=∆Lb
Ab=50 10=500 mm2
Aç=50 30=1500 mm2
bb
b
çç
çEA
LPLT
EA
LPLT −=+ ∆α∆α
N8571P
10.1500
1
10.21500
1P20010).12(
EA
P
EA
PT)(
55
6
bbçç
çb
=
+=−⇒
+=− −∆αα
40 mm
Bakır
Çelik
Çelik P/2
P/2
P
P/2
P/2
P
Bakır
Çelik
Çelik
50 mm
10 mm
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
9
Soru 9) Çelik ve Alüminyumdan meydana gelmiş kompozit
malzeme P yüküne maruzdur. Çelik ve Alüminyumda doğacak gerilmeleri hesaplayınız.
Eal=0,67.105 MPa, Eç=2.105 MPa Aal=300 mm2, Aç=200 mm2 Çözüm:
alçalç PPPPPP
N1000P
−=⇒+=
=
alç LL ∆∆ =
N335P,N665P
1
10.67,0300
10.2200
1000P
EA
EA
P
)PP(
EA
LP
EA
LP
alç
5
5al
alal
çç
al
al
alal
al
çç
ç
==
+=⇒=−
⇒=
MPa325,3200
665ç ==σ MPa116,1
300
335al ==σ
P=1000 N
Çelik
Alüminyum
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
10
Soru 10) Çelik ve Alüminyumdan meydana gelmiş kompozit malzeme P yüküne maruzdur. Çelik ve Alüminyumda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız. Aç=200mm2 , Aal=300mm2
, Eç=2.105N/mm2 , Eal=0.67.105N/mm2 , P=1000N
Çelik
Alüminyum
500mm
P
1.
.
1.
.
.
..
1000
+
=
+=
=−
=
−=
=
∆=∆
+=
aa
çça
aa
çç
a
aa
çç
a
a
aa
a
çç
ç
aç
aç
aç
EA
EA
PP
EA
EA
P
P
EA
EA
P
PP
EA
P
EA
P
PpP
NP
ll
PPP
2
2
2
2
5
5
/116,1300
335
/325,3200
665
/665
/335
110.67,0.300
10.2.200
1000
mmN
mmN
mmNP
mmNP
a
ç
ç
a
==
==
=
=
+
=
σ
σ
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
11
Soru11) Verilen sistemde bakır halka çelik halka üzerine basınçsız
geçirilmiştir. MPaMPabç emem 50,120 == σσ olduğuna göre sistemin dayanabileceği P
basıncını hesaplayınız. 2525 /10.1,/10.2,10,20 mmNEmmNEmmtmmt bççb ====
D=400mm
Not: 12MPa’lık basıncı dayanamayacağı için 5MPa’lık basınç olmalıdır.
( )
2
22
2
22
22
2
22
qx
tE
xD
tE
Dxq
DD
tE
xDD
tE
xD
tE
qDD
bbçç
bç
bb
b
çççç
ç
=
=−
∆=∆
=∆
−=∆
( )
MPaq
t
xD
mmNq
q
bem
b
b
ç
5
2
/12
12010.2
4002
1
22
=
≤=
=
==
σσ
σ
Çelik
Bakır
P
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
12
Soru 12) Ortalama çapı 100 cm olan biri bakır diğeri çelik boru başlangıçta gerilmesizdir.
CT 0100=∆ artırıldığında halkalarda doğan gerilmeleri hesaplayınız.
CmmtmmNE
CmmtmmNE
bbb
ççç
0625
0625
/110.16.....40....../10.1
/110.12......20....../10.2
−
−
===
===
α
α
D
Çelik
Bakır
( )
2
2
2
55
6
2
2
/4020.2
1000.6,1
.2
.
/2040.2
1000.6,1
.2
/6,1
)10.2.20
1
10.1.40
1(1000
10.100.12162
.
1
.
1
)(2
2
2
mmNt
Dx
mmNt
xD
mmN
EtEtD
Tx
DD
Et
xDTDD
Et
xDTDD
ç
ç
b
b
ççbb
çb
çb
çb
çç
bb
bb
===
===
=
+
−=
+
∆−=
∆=∆
+∆=∆
−∆=∆
−
σ
σ
αα
α
α
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
13
Soru 13) 1000 mm boyundaki çubuk A ve B uçlarından iki rijit plakaya sabitlenmiştir. C noktasından P= 2 kN’luk kuvvet etkimektedir. A ve B’ de doğacak reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız. A1=500 mm2, A2=250 mm2, E1=E2=2.105N/mm2
RB RA
RA+RB=P
RA RA
250mm 750mm
B A A2 A1 P
P
RB=P-RA
NR
NR
RPR
RPR
RPR
EA
LR
B
A
AA
AA
AA
ii
ii
1200
800
223
0)(2
3
010.2.250
250).(
10.2.500
750.
0.
.
55
=
=
−=
=−+−
=−
=
== ∑δ
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
14
Soru 14) Bir bakır boru içine çelik çubuk yerleştirilmiş ve her iki sistemde homojen etki eden P=3500N kuvveti tatbik edilmiştir.Aynı zamanda sistemin sıcaklığı 1000 C artırılmıştır.Bakır ve çelikte oluşacak kuvvetleri hesaplayınız. Eb= 1.105 N/mm2,Eç=2.105N/mm2, çα =1.10-61/0C,
bα =1,5.10-61/0C Verilmeyen ölçüler mm’dir.
20 10 10
Bakır
Çelik
500mm
P
2
22
22
942
4
)20(
4
)40(
3144
927
2573
)(
mmA
A
mmD
A
NP
NP
PPP
tEA
P
EA
P
EA
lPtl
EA
lPtl
lll
ll
PPP
b
b
ç
b
ç
çb
çb
bb
b
çç
ç
bb
bbbb
çç
çç
çç
bç
bç
bç
=
−=
==
=
=
−=
∆−=+
−∆=+∆
==
∆=∆
+=
ππ
π
αα
αα
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
15
Soru 15) Biri bakır diğeri çelik iki çubuk 200C’de birbirine kaynatılmıştır. Sıcaklık 1000C’ye çıkartıldığında çubuklarda meydana gelecek gerilmeleri hesaplayınız. Eb= 1.105 N/mm2,Eç=2.105N/mm2, çα =12.10-61/0C, bα =16.10-61/0C
( )
kNx
EAEA
tx
EA
lxtl
EA
lxtl
ççbb
çb
çç
çç
bb
bb
1610.160
10.1
1
10.1
1
80.10.4
11
..
.
...
2
88
6
==
+
=
+
∆−=
+∆=−∆
−αα
αα
2
2
/161000
16000
/32500
16000
mmN
mmN
b
ç
==
==
σ
σ
x
20mm
10mm
L 50mm
Çelik
Bakır
x
x x
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
16
Soru 16)
200mm boyundaki alüminyumdan (Al) yapılmış çubuk ile 300mm boyundaki çelik çubuk (Fe) şekilde görüldüğü gibi bir ucundan 0,6mm lik boşluk bırakılmıştır. Sıcaklık 30oC’den 150oC’ye çıkarıldığı zaman çubuklarda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız. αAl=14.10-6 1/C αFe=12.10-6 1/C
EAl=70GPa EFe=210GPa
2
63
2
63
6
660
/15,66
)75,123150.(10.12.10.210
/72,25
)75,123150.(10.14.10.70..
75,123
75,9330)300.12200.14(
10.6,030
)300.10.12200.10.14(
6,0
6,0)...(
6,0....
mmN
mmN
TE
CT
T
TT
Tll
TlTl
çel
çel
Al
AAAl
o
ÇÇAA
ÇÇAA
=
−=
=
−=∆=
=
+=+
+=
+=−
=∆+
=∆+∆
−
−
−−
σ
σ
σ
ασ
αα
αα
200 300 0,6
Al Fe
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
17
Soru 17)
Verilen sistemde AC ve BC çubuklarında doğan gerilmeleri ve çubukların şekil değiştirme miktarlarını hesaplayınız. DBC=10mm DAC=20mm P=3000N E=200GPa
k=20kN/mm
P
A
C
B
500mm
200mm
Fyay=
P
A
C
B
RA
ABC=78,54mm2 AAC=314,16mm2
NF
FFF
EA
lFP
EA
lF
k
F
LLLL
FPR
F
yay
yayyayyay
AC
ACyay
BC
BCyayyay
ACBCsistemyay
yayA
y
227,447
10.200.16,314
200).3000(
10.200.54,78
500.
10.20
.
).(
.
.
0
333
=⇒
−+=
−+=
∆+∆=∆=∆
−=
=Σ
mmEA
lFPl
mmEA
lFl
mmNA
FP
mmNA
F
AC
ACyay
AC
BC
BCyay
BC
AC
yay
AC
BC
yay
BC
3
3
2
2
10.125,8.
).(
0142,010.200.54,78
500.227,447
.
.
/1257,816,314
227,4473000)(
/6942,554,78
227,447
−=−
=∆
===∆
=−
=−
=
===
σ
σ
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
18
Soru 18)
Şekilde görülen biri tb=15mm olan bakır diğeri tç=10mm olan çelik iki boru iç içe geçirilerek Δt=150oC ye kadar ısıtılırsa bakır ve çelik borularda meydana gelecek gerilmeleri hesaplayınız. αb=16.10-6 (1/C) αç=12.10-6 (1/C) Eb=100GPa Eç=200GPa tb=15mm tç=10mm
Bakır daha çok genleşir ve bakır içte olduğu için basınç oluşur.
⇒∆=∆
+∆∆=∆
−∆∆=∆
çb
çç
çç
bb
bb
DD
Et
DxtD
Et
DxtD
..2
..
..2
..
2
2
α
α
2
.
/5,515,5110.2
100.3,10
.2
.
33,3415.2
100.3,10
.2
.
3,10
)...(
)..).(.).(..(2
mmNMPat
Dx
MPat
Dx
MPax
EtEtD
tEtEtx
ç
ç
b
b
bbçç
çbççbb
====
===
=
+
∆=
σ
σ
αα
Bakır Çelik
x
x
x
x
ΔD=Δα.Δt ΔD=P.D2/(2.E.t)
Bakır
Çelik
D=100mm'
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
19
Soru 19)
Verilen sistemde yay katsayısı 200N/m ve yayın maksimum 0,5mm çökmesine müsaade edildiğine göre BC çubuğunda meydana gelen gerilmeyi ve E noktasındaki çökmeyi hesaplayınız. (Not:AE çubuğun rijitlik katsayısı) BC çubuğu için; S0=400mm2, E=70GPa, l=500mm
mm
NFF
ES
lF
E
yayE
BCBC
BC
yayBC
833,035
93333
5,0
10.70.400
500.
3
5,0
.
.
31
3
=→=
=→=
=
⇒=
δδδ
δδ
1m 2m 2m 5k
B D E A
C
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
20
Soru 20)
Verilen cıvatalı bağlantıda;
a) Cıvatadaki kayma gerilmesini,
b) Levhadaki ve çataldaki normal gerilmeyi
hesaplayınız.
a) vidammNrS
FC ,/16,221
6..2
50000
..2
50
.22
22====
ππτ
b) levhammNS
FC ,/40
5.250
50000 2===σ
çatalmmNS
Fçatal ,/21
)12.55.250(
25000 2=−
==σ
LEVHA
CİVATA M12
ÇATAL
50kN
50kN
250mm
5mm
5mm
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
21
Soru 21)
d=10mm olan cıvata yeterince sıkıştırıldıktan sonra çapında δd=0,0001mm bir küçülme olduğu ölçülüyor. Cıvata malzemesinin mekanik özellikleri bilindiğine göre cıvata boyundaki uzamadan dolayı cıvatada meydana gelen gerilmeyi hesaplayınız. v=0,25 E=2×105N/mm2
2
5
2
55
55
5
/8
))0.(25,00.(10.2
1
10
0001,0
)).(.(1
:.
/8
10.4.10.2.
10.425,0
10
1010
0001,0
:.
mmN
Ed
d
yolII
mmNr
Er
D
d
yolI
z
z
zyxx
l
ll
lr
l
l
r
r
=⇒
+−=
+−==
=
==
=⇒==⇒=
===
−
−−
−
σ
σ
σσνσδ
ε
ε
ευ
εευ
ε
ε
δε
Φd
100m
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
22
Soru 22)
ABCD rijit çubuğun C ve B noktaları Al ve Cu çubuklarla sabitlenmiştir. Bu durumda Al çubuktaki gerilmeler ile A noktasındaki çökmeyi hesaplayınız. SAl=200mm2 SCu=300mm2 EAl=70GPa ECu=100GPa
a) 300200
cuAl δδ=
2
0
/12,7200
1,1425
7,30491,1425
12000).14,2.(3.2
12000.3.2
400.3000300.200.
0
)1....(..................................................14,2
300140
1000.100.300.300
300.
1000.70.200.200
200.
mmN
NFNF
FF
FF
FF
M
FF
FF
FF
Al
cuAl
AlAl
cuAl
cuAl
cuAl
cuAl
cuAl
==
==
=+
=+
=+
=Σ
=
=
=
σ
b) mmEA
lF
AlAl
AlAlAl 0203,0
1000.70.200
200.1,1425
.
.===δ
mmA
A
Al
0407,0
400
200
=
=
δ
δ
δ
F=3k
Al
Cu
20
0m
m
30
0m
m
200mm 100mm 100mm
D C B A
F=3k
FAl FCu
200mm 100mm 100mm
D C B A RDx
RDy
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
23
Soru 23)
E noktasından bir pimle mafsallanmış CDErijit kirişi D noktasından çapı 30mm olan prinç BD çubuğu ile desteklenmiştir. C noktasında ise bir delik açılmış ve şekilde görüldüğü gibi uç kısmında vida dişi bulunan AC çubuğu bu delikten geçirilerek bir somunla tutturulmuştur. Sistem oda sıcaklığında (20oC) gerilmesiz olduğuna göre pirinç çubuğun sıcaklığı 50oC’ye kadar ısıtılırsa bu çubukta hasıl olan gerilmeyi hesaplayınız.
MPa
NF
sekçeiF
FF
EA
LFtL
EA
LF
BD
BD
pp
p
pp
çç
ç
6,105
85,706
74636
74636
;ker'
10.105.85,706
10.3,0..
3,0
1)2050(10.8,18.310,0
10.200.13,380
10.9,0.
.
..
3.0
1..
.
..
75,0
1
3
363
3
3
=
=
=
+−=
+∆=
−
σ
σ
α
Φ22mm
0,3
m
0,9
m
0,3m 0,45
B
C
D
E
A
EP=105GPa αÇ=12.10-6
αP=18,8.10-6
EÇ=200GPa
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
24
Soru 24)
Bir ABCD rijit kirişi şekilde görüldüğü gibi B noktasından mafsallanıp A noktasına tatbik edilen 32kN’luk kuvveti dengelemek üzere kirişin C ve D noktalarından sırayla 10mm çaplı CE çubuğu ve 15mm çaplı DF çubuğu bağlanmıştır. Bu çubuklar elastisite modülü E=70GPa olan alüminyumdan imal edildiğine göre;
a) çubuklarda oluşan kuvvetleri b) A noktasındaki çökmeyi hesaplayınız.
mm
mm
kNF
kNF
FkN
FFkN
FF
FF
enBenzerlikt
AA
CECE
CEA
CEA
DF
CE
CE
CECE
DFCE
DFCE
DFCE
DF
CE
30,1300
873,0.450
873,0
10.70.4
)01,0.(
6,0.8000
)3.........(....................300
.450300450
24
8
18144
15.3144
)2...(.............................................................3
10.70.4
)015,0.(.5
75,0.
10.70.4
)01,0.(.3
6,0.
53500
300
;
92
32
32
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=
=
=
+=⇒
=
=
=→=
δδ
δπ
δ
δδ
δδ
ππ
δδ
δ
δ
450
300 200 δA
δDF δCE
A B C D
E F
600m
m
750m
m
32kN
450mm 300mm 200mm
)1..(...............................5.3144
500.300.450.32
0
DFCE
DFCE
B
FFkN
FF
M
+=
+=
=Σ
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
25
Soru 25)
Uzunlukları ve kesit alanları eşit çubuklardan oluşan sistem görülmektedir. Çubukların mesnetlendiği duvarın rijit olduğu kabul edilerek sıcaklığın Δt kadar artması halinde çubuklarda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız.
bç
bççb
çç
ç
çç
bb
bbb
çb
ç
b
EE
EET
A
x
EA
lxTl
EA
lxTl
ll
l
l
+
+∆=
=
+∆−=
−∆
∆=∆
∆
∆=
.2
.)..2.(
.
...
.
...2
.2
60cos
αασ
σ
αα
A
B C
D
çeli
bakır bakır 120
120
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
27
Soru 27) Gerilme durumu verilen elemanda
a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen
gerilmeleri hesaplayınız. Çözüm:
oo 5,22452
1100
2.50tan
=⇒=
==
αα
α
a)
MPa71,1205071,70OMR
MPa71,205071,70OMR
max
min
=+=+=
−=+−=+−=
σ
σ
b)
MPa3,6875Sin21,7075SinR
MPa3,6875Cos71,705075CosROM
C
C
−=−=−=
=+=+=
τ
σ
100 MPa 100 MPa
50 MPa
50 MPa
C
30o
MPaR
OM
xyyx
yx
71,70502
100
2
502
100
2
2
2
2
2
=+
=+
−=
==+
=
τσσ
σσ
2α
75o
a (100,50)
b (0,-50) C
M σ σmax
σmin
τ
O
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
28
Soru 28) Gerilme durumu verilen elemanda
a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.
Çözüm:
0
100
3,436050
25605050
min
max
=
=
==
=−=
σ
σ
τ
σ
MPa
MPaSin
MPaCos
C
C
100 N/mm2
C
30o
100 N/mm2
60o
σ
σmax=100 MPa
τ
b a σC
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
29
Soru 29) Gerilme durumu verilen elemanda a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini
b) C düzleminde meydana gelen normal ve kayma gerilmeleri hesaplayınız.
Çözüm: a (-100,40) , b(50,-40)
( )0,25OM,0,2
OMyx
−
+σσ
MPar
r xy
yx
85402
50100
2
2
2
2
2
=+
−−=
+
−= τ
σσ
a)
MPa110
MPa60
8525rOM22
min
max
2xy
2
yxyx
minmax,
−=
=
±−=±=+
−±
+=
σ
σ
τσσσσ
σ
MPa85
MPa85
r
min
max
minmax,
−=
=
±=
τ
τ
τ
533,050100
40222tan
yx
xy −=−−
=−
=σσ
τα
oo 14282 =⇒= αα
b) MPa472532Cos85OM32Cosr ooC =−=−=σ
MPa4532Sin8532Sinr ooC ===τ
30o σ
τ
b
a
σmin
c τC
τmin
τmax
M O
100 MPa 100 MPa
40 MPa
40 MPa
C
30o
50 MPa
50 MPa
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
30
Soru 30) a) Verilen sistemde asal gerilme ve düzlemlerini bulunuz.
b) C’de meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
Çözüm: a (150,75) , b(-60,-75)
714,060150
75222tan
yx
xy =+
=−
=σσ
τα
oo 185,352 =⇒= αα
452
60150OM,0,
2OM
yx=
−=
+σσ
MPa129752
60150R 2
2
=+
+=
MPa8412945
MPa17412945ROM
min
max
−=−=
=+=+=
σ
σ
MPaSinR
MPaCosROM
C
C
10454
8,12054
−=−=
=+=
τ
σ
σx=150 N/mm2
σy=60 N/mm2
C
450
τxy=75 N/mm2
α=36o σ
τ
b
a
σmin
c
τC
τmin
τmax
M O 54o
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
31
Soru 31) Gerilme durumu verilen elemanda
a) Asal gerilme ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri
hesaplayınız. Çözüm: a (-120,60) , b(80,-60)
202
80120,0,
2−=
+−=
+OMOM
yx σσ
MPaR
R xy
yx
62,116602
80120
2
2
2
2
2
=+
−−=
+
+= τ
σσ
o48,1596,302
2
80120
602tan =⇒=⇒
−−= ααα
MPa
MPaROM
62,1362062,116
62,962062,116
min
max
−=−−=
=−=+=
σ
σ
MPaSinSinR
MPaCosCosR
C
C
59,7904,4362,11604,43
23,652004,4362,1162004,43
===
=−=−=
τ
σ
120 MPa
60 MPa
C
37o
80 MPa
43,04o
σ
τ
b
a
σmin
c
τC
τmin
τmax
M O 2α
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
32
Soru 32) a) Verilen sistemden asal gerilmeleri ve düzlemlerini bulnuz.
b) C’de meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
Çözüm: A (150,75) B (-60,-75)
2/75 mmNxy =τ
c
b
450 a
2/150 mmNx =σ
2/60 mmNy =σ
45
2
60150
2
=
−=
+=
OM
OM
OMyx σσ
o
tg
18
5.352
60150
75.22
=
=
+=
α
α
α
2min
min
2max
max
max
/84
12945
/174
12945
mmN
mmN
ROM
−=
−=
=
+=
+=
σ
σ
σ
σ
σ
2
2
2
2
2
/10454sin
/8.12054cos
/129
752
60150
mmNR
mmNROM
mmNR
R
c
c
−=−=
=+=
=
+
+=
η
σ
α
η
σ
C b
a
M O
cη
036=α
54o
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
33
Soru 33)
Gerilme durumu verilen elemanda a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini; b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.
Çözüm:
100N/mm2
30o C
100N/mm2
60o
cσ a b
2max /100 mmN=σ
0
/100
/3.4360sin50
/2560cos5050
min
2max
2
2
=
=
==
=−=
σ
σ
η
σ
mmN
mmN
mmN
c
c
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
34
Soru 34) Gerilme durumu verilen elemanda a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız Çözüm: a) b)
120MPa
60MPa
37o
c
80MPa
A(-120,60) c
B (80,-60)
α2 M
43,04o
o
yx
yx
tg
MPaR
OM
48,15
96,30
2
80120
602
62,116602
80120
2
202
80120
2
2
2
2
2
=
=−−
=
=+
−−=+
−=
−=+−
=+
=
α
α
ησσ
σσ
MPa
MPa
62,962062,116
62,1362062,116
max
min
=−=
−=−−=
σ
σ
MPaR
MPaR
c
c
59,79)04,43sin(62,116)04,43sin(
23,6520)04,43cos(62,11620)04,43cos(.
===
=−=−=
η
σ
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
35
Soru 35) Gerilme durumu verilen elemanda; Asal gerilmeleri hesaplayıp düzlemlerini gösteriniz. C düzlemindeki normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız. Kayma gerilmesinin max. ve min. değerlerini bulunuz.
Çözüm:
oo
yx
xy
xy
yx
yx
tg
R
MPaOM
6,402****30,2037,0)60(100
30.2.22
863080302
)60(100
2
202
40
2
)60(100
2
222
2
2
2
==−=−−
−=−
−=
=+=+
−−=+
−=
==−+
=+
=
αασσ
τα
τσσ
σσ
MPaROM
MPaROM
668620
1068620
min
max
−=−=−=
=+=+=
σ
σ
MPa
MPaROM
C
C
56,7866sin.86
97,1466cos.
==
−=+−=
τ
σ
37o
100MPa
60MPa
30MPa
30MPa
σ σ
C
b (-60;-30)
a (100;30)
M
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
36
Soru 36)
Gerilme durumu verilen elemanda;
a) Asal gerilmeleri ve doğrultularını hesaplayınız.
b) C1 ve C2 düzlemlerinde meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
a(-50, 40) b(80, -40)
80,15
60,312
61,08050
40.222
32,76402
8050
22
2
2
2
=
≅
=−−
=−
=
=+
−−=+
−=
α
α
σσ
τα
τσσ
yx
xy
xy
tg
yxR
MPaR
MPa
MPaR
MPa
R
MPaR
MPaR
C
C
C
C
yx
C
yx
yx
30,364,28sin.
13,524,28cos.32,7615
30,364,28sin.
13,824,28cos.32,7615
4,28cos.2
32,6132,76152
32,9132,76152
2
2
1
1
1
min
max
−=−=
−=−=
==
=+=
++
=
−=−=−+
=
=+=++
=
τ
σ
τ
σ
σσσ
σσσ
σσσ
40MPa
50MPa 50MPa
80MPa
80MPa
40MPa
C1 C2
30o
σ
τ
C
28,4
2α M
C2
C1
τmin
τmax
b
a
τC1
-
τC2
40
-40
80
σmax=90,32
-61,32
σmin
σmax
σmax
σmin
α
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
37
Soru 37)
Gerilme durumu verilen elemanda;
a) Asal gerilmeleri hesaplayınız ve düzlemlerini gösteriniz.
b) C düzlemindeki normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
a(100, 40) b(-50, -40)
2/252
50100
2mmNOM yx =
−=
+=
σσ
036,14072,282
50100
40.222
/852
22
2
=⇒≅
+
−=
−−=
=+
−=
αα
σσ
τα
τσσ
yx
xy
xy
tg
mmNyx
R
a).
MPa
MPa
MPaROM
MPaROM
85
85
608525
1108525
min
max
min
max
−=
=
−=−=−=
=+=+=
τ
τ
σ
σ
b)
MPaR
MPa
ROM
C
C
C
95,8493,91sin.
14,2293,91cos.8525
93,91cos.
−=−=
=+=
+=
τ
σ
σ
40MPa
100N/mm2
100N/mm2
50N/mm2
50N/mm2
40MPa
C
30o
σ
τ
C
2α=28,07o M
τmin
τmax
b
a
τC1
-
40
-40
100
O
R
91,93o
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
38
Soru 38)
Gerilme durumu verilen elemanda;
a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini hesaplayınız.
b) C1 ve C2 düzlemlerinde meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
a(-80, 50) b(0, -50)
2/402
80
2mmNOM yx −=
−=
+=
σσ
6,253,512
25,180
50.22
/03,64502
80 22
2
=⇒≅
==
=+
−=
αα
αtg
mmNR
a).
2min
2max
/03,10403,6440
/03,2403,6440
mmNROM
mmNROM
−=−−=−=
=+−=+=
σ
σ
b)
MPaR
MPa
ROM
MPaR
MPa
ROM
C
C
C
C
C
C
65,597,68sin.
25,63
7,68cos.
65,597,68sin.
74,167,68cos.03,6440
7,68cos.
2
2
2
1
1
1
−=−=
−=
−=
==
−=+−=
+=
τ
σ
σ
τ
σ
σ
50MPa
80MPa 80MPa
50MPa
C1 C2
60o
σ
τ
C2
68,7o M
τmin
τmax
b
a
τC1
O
2α
C1
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
38
Soru 38) Kesiti ve yükleme durumu verilen kirişte: a) a) Meydana gelen maksimum
gerilmeleri b) b) C’de meydana gelen
normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
Çözüm: VA=1000 N, MA=1000 0.5m=5000 Ncm
N600V1
1000
6,0
VC
C =⇒=
cmN18000Nm1802
6,0600M C ===
43
z cm50012
10.6I ==
a) 2
z
maxmax cm/N5005
500
5000y
I
M===σ
2max cm/N25
60.2
1000.3
A
V
2
3===τ
b) 2c
z
CC cm/N722
500
18000y
I
M===σ
22c
2C
C cm/N6,1244
100
500.2
600y
4
h
I2
V=
−=
−=τ
z
B
10 cm
A
1 kN/m
C 0,4 m
1 m
6 cm
y
C 2 cm
500 Nm
+ +
MC
x
V
+ +
x M
1000 N VC
1 kN/m
0,6 m C
0,4 m
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
39
Soru 39) Şekildeki gibi yerleştirilen AB ve AC çubuklarına A birleşme noktasından F=1000 N kuvveti etki ettiğinde meydana gelecek gerilmeleri hesaplayınız.
Çubuk çapı dç=10 mm
Çözüm:
010006060
0
12 =+−
=Σ
CosSCosS
Fx
12
0
SS
Fy
−=
=Σ
NS
NS
CosSS
1000
1000
100060)(
2
1
12
−=
=
−=−
MPaA
S
ç
AB 73,12
4
10
10002
2 −=−
==π
σ
MPaA
S
ç
AC 73,12
4
10
10002
1 ===π
σ
F=1000 N
S1 S2
60o
F=1 kN
C
A
B . .
60o
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
40
Soru 40) Ağırlığı ihmal edilen rijit bir çubuk A ucundan mafsallanmış olup CD bakır çubuğu ile taşınmaktadır. B ucundan 50 kN’luk yük asıldığına göre bakır çubuktaki gerilmeyi ve uzamayı hesaplayınız. Ab=200 mm2, Eb=1.105 N/mm2
Çözüm:
NF
F
M
DC
DC
A
75000
010.50.32
03
=
=−
=Σ
mm875,110.1200
50075000
EA
LF
MPa375200
75000
A
F
5bb
bDC
b
DC
===
===
δ
σ
+
50 cm
A B
D
C
2 m 1 m F=50 kN
1m 2m
F=50 kN
FDC
A B C
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
41
Soru 41) Verilen konsol kirişte;
a) a) Meydana gelen maksimum normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
b) b) C noktasında meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini,
c) ) C noktasındaki asal gerilmeleri hesaplayınız.
Çözüm: a)
263
z mm/N10.512
10060I ==
2
6
6
z
maxmaxmax mm/N50
10.5
5010.5
I
yM===σ
2maxmax mm/N25,1
10060
5000
2
3
A
V
2
3===τ
b)
2
6
6
z
CCC mm/N5
10.5
1010.5,2
I
yM===σ
222
6
22
/2,1104
100
10.52
5000
42mmNy
h
I
VC
z
C =
−=
−=τ
c)
22
21
2
2
2C
2
CC2,1
mm/N27,0
mm/N27,5
2,12
5
2
5
22
−=
=
+
±=+
±=
σ
σ
τσσ
σ
10 mm z
P=5 kN
M
Mmax=5.106 Nmm
MC=2,5.106 Nmm
6 cm
y
C
A B 10 cm
C .
50 cm 50 cm
P=5 kN
V
5 kN
x
x
+ + + +
A B C .
50 cm
50 cm
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
42
Soru 42) Verilen çekme çubuğu d=20 mm çapında çelik malzemeden olup emniyetle taşıyabileceği gerilmeler σem=150 MPa ve τem=70 MPa olduğuna göre sistemin hasara uğramaması için minimum a uzaklığı ne olmalıdır, hesaplayınız. (Not: Siyah çerçeve rijit olarak düşünülecektir.)
Çözüm:
mm71,10aad
88,4712370
A
F
N88,47123F
4
20
F150
A
F
AF
MPa70,MPa150
em
2em
em
emem
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
>
==
πτ
πσ
σ
τσ
a d=20 mm F
300 mm
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
43
Soru 43) Ağırlığı ihmal edilen rijit bir çubuk A ucundan
mafsallanmış olup biri yay diğeri bakır çubuk ile taşınmaktadır. B ucundan 50 kN’luk yük asıldığına göre bakır çubuktaki gerilmeyi ve yaydaki çökmeyi hesaplayınız. Ab=200 mm2 Eb=1.105 N/mm2 k=20000 kN/m
Çözüm:
bb
BBD
y
C
DC
D
C
EA
LF
k
F
22
1
==
=⇒=
δδ
δδ
δ
δ
By
5By
BB
BBy
F25,0F
10.2002
500F
20000
F
EA2
LF
k
F
=
=⇒=
kN68,16F,kN66,66F150F2F
0350F2F
0M
yBBy
By
A
==⇒=+
=−+
=Σ
MPa330200
66000
mm66,12
mm83,020000
680,16
BB
DCD
Cyay
=⇒=
=⇒=
===
σσ
δδδ
δδ
Fy FB
50 kN
B
δD
δC
Ay
Ax A
50 kN
50 cm D C
1 m
.
1 m 1 m
A B
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
44
Soru 44) Verilen basit kirişte meydana
gelen maksimum normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.
Ayrıca C noktasından 200 mm
uzaklıktaki “e” noktasında meydana gelen normal, kayma ve asal gerilmeleri hesaplayınız.
Çözüm: a)
kNAkNB
B
M
yy
y
A
2,3900
2700
0900.700.3300.2
0
===
=−+
=Σ
2max
2
3
3maxmax
max /75,02
3/6)50(
12
10060
10.600mmN
A
VmmN
I
yM
z
===== τσ
b) kNmm600M e =
0
/4,2)20(
12
1060
10.600 2
6
3
=
==
e
e mmN
τ
σ
MPa
MPa
2,0
61,2
41,12,1
22
min
max
2,1
2
2
2,1
=
=
±=
+
±=
σ
σ
σ
τσσ
σ
- - M
+ + + +
+ +
600 kNmm
x
x
3 kN
100 mm
A
2 kN
C 300 mm
B
400 mm 200 mm
3 kN
D
e 60 mm
y
. 20 mm
z e
By
+ +
2 kN
V
C
300 mm 200 mm 200 mm 200 mm Ay
A
2 kN
B
3 kN
D
e
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
45
Soru 45) Şekilde levha bir ucundan rijit bir duvara (AD) sabitlenmiştir.BC ucundan üniform V=15 kN’luk kesme kuvveti etkimektedir. Bu kesme kuvveti altında CC’=BB’=5 mm olarak ölçülmüştür. Buna göre h kenar uzunluğunun kaç mm olması gerektiğini hesaplayınız. E=210MPa 3.0=υ
V h
10
C’
B’
C D
B A
500mm
mmh
h
mmNE
G
G
hA
V
857,1
)01,0)(80769(10
15000
01.0500
5
/807696,2
210000
)1(2
.
10
15000
2
21
2
1
=
=
==
==+
=
=
=
==
γ
υ
ττ
γτ
τ
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
46
Soru 46) Verilen sistemde kesit alanları ve elastisite modülleri aynı olan AB ve AC çubuklarındaki kuvvetleri ve boylarındaki değişimi hesaplayınız. E=2.105N/mm2, A=500mm2, L=300 mm, P=1000N
S1
S2
R
P
L
C B
A
P
45o
45cos
)3........(..........45cos
)2.....(..........045
0
)1........(045
0
2
21
2
21
ll
ll
RSinS
F
CosSSP
F
x
y
=
∆=∆
=−
=
=−−
=
∑
∑
PSPS
SP
SSP
den
SS
EA
lS
EA
lS
73,0.......37,0
0)2
12(
02
12
)'1(
2
.
2..
2
1.
.
.
12
2
22
21
21
==
=+−
=−−
=
=
mm
mmEA
lS
00157,0210.500
2300.37,370
00222,0500.10.2
300.74,740
.
.
52
51
1
==
===
δ
δ
NS
NS
74,740
37,370
2
1
=
=
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
47
Soru 47) AB rijid çubuğu A’dan mafsallanmış B ucundan 2 kN’luk bir kuvvet ile yüklenmiştir. C’ye yerleştirilmiş olan amorsitör yayının yay katsayısı (k)’yı hesaplayınız.
mmb 2=δ
kNF
F
M
y
y
A
4
01.2.2
0
=
=−
=∑
bc
b
c
y xkF
δδδ
δ
2
1
2
1=⇒=
=
mmNk
xk
FB
y
/40001
4000
2
1
==
== δ
2kN
bδcδ
B A
Fy
C
A B C .
1 m 1 m
P=2 kN
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
48
Soru 48) Verilen mil kasnak sisteminde kasnağa şekilde görüldüğü gibi birbirine dik iki
kuvvet etki etmektedir. 2/150 mmNem =σ ise daire kesitli olan çubuğun çapını hesaplayınız.
NmmM
NmmLPM
kNP
P
b5
max
22
10.3150.2000
1118000.
236,2
21
==
==
=
+=
mmD
DD
D
D
b
5
75.
16.10.3
.2
32.1118000
.
16.10.3
.
32.1118000
2
3
52
3max
3
5
3
≅
≤
+
=
=
=
ππτ
πτ
πσ
300 mm
500 mm
kNP 21 =
kNP 12 =
A
3
3
max
.
16.
.
32.
D
M
D
M
bb
e
πτ
πσ
=
=
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
49
Soru 49) Kesiti ve yükleme durumu verilen kayış kasnak sisteminde mil çapını hesaplayınız. 2/100 mmNem =σ
[ ]
mmD
mmr
MMMr
NmmM
NmmM
bee
b
e
44
7,21
100.
2
10.1250.400
10.81000.800
223
5
5
≅
=
++=
==
==
π
T2=700 N T1=300 N
Dk=500mm
800 mm
A
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
50
Soru 50) Verilen çubukta sıcaklık A ucundan itibaren B ucuna doğru lineer olarak artmaktadır. TA=0 ve TB=100oC olduğu zaman çubukta doğacak gerilmeleri hesaplayınız.
A=500mm2 , E=2x105 N/mm2 , Cx o/11020 6−=α , L=500mm
2
6
5
2
00
/200500
100000
100000
0500.50.10.20500.10.2500
02
.1
.100.)(
0.100.)(.
mmNA
F
NF
F
l
ll
EA
F
dxl
x
EA
Fdxxt
EA
Fll
−=−
==
−=
=+
=+
=
+=
∆+=
−
∫∫
σ
α
ααδ
x
T
A A B
L
TA
TB
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
51
Soru 51) Kesiti ve yükleme durumu verilen milde meydana gelen maksimum gerilmeleri,
C’de meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız. MPaem 10=σ için milin
emniyetli olup olmadığını kontrol ediniz.d=50mm, D=80mm Olduğundan mil emniyetlidir.
M
x
300kNmm
225kNmm
x
750N
250N
2250N
C
em
z
cC
c
z
CC
z
y
y
y
A
mmNyRI
V
mmNyI
M
mmNA
V
mmNyI
M
kNA
kNB
B
M
σσ
πη
πσ
πη
πσ
⟨
=
−
−=−=
=
−
==
=
−
==
=
−
==
=
=
=+−−
=∑
max
2
44
2222
2
44
3
2
22
maxmax
2
44
3
maxmax
max
/572,0
)5080(64
.3
)5080.(750)(
.3
.1
/40,4
)5080(64
25.10.300.
/979,0
)5080(4
.3
2250.4
.3
.4
/043,7
)5080(64
40.10.300
250,2
75,0
0800.1.400100.2
0
A
400mm 300mm 100mm
A
2 kN
C B
1 kN
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
52
Soru 52) Kesiti ve yükleme durumu verilen sistemde A ve B noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.
100mm
60mm x
y
2kN
40
1m
37o
B A
x
2
66
2
66
2
32
1
46
3
/29,1510.5
50.1597270
10.5
50.2,48145
6000
63,1203
/69,1510.5
50.1597270
10.5
50.2,48145
6000
63,1203
6000
159727010.27,1597
2,4814540.63,1203
10.5
12
100.60
63,120337sin.2000
27,159737cos.2000
mmN
mmN
mmA
NmmM
NmmM
mmI
I
NP
NP
B
A
y
y
y
z
=+−−=
−=−+−=
=
==
==
=
=
==
==
σ
σ
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
53
Soru 53)
A-A da sabit olan çubukların uçlarına B-B rijit levhası bağlanmış ve tam ortadan 10kN’luk kuvvet uygulanmıştır. Bu durumda 1 ve 2 nolu çubuklarda meydana gelen gerilmeleri ve uzamaları hesaplayınız. a=500mm E=2×105 N/mm2 d1=10mm d2=20mm
S1=79mm2 S2=314mm2
2
2
22
2
1
11
12
2
21
/92,15314
5000
/29,6379
5000
50002
2..
0
mmNS
F
mmNS
F
NF
FF
aFaF
M
FFF
A
===
===
===
=
=Σ
+=
σ
σ
a a
10kN
500m
m
Rijit
Sabit
A A
B B
1 2
Φ20 Φ10
a a
F1 F2
A
F
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
54
Soru 54)
Verilen çubukta sıcaklık A ucundan itibaren B ucuna doğru lineer olarak artmaktadır. TA=0 ve TB=100oC olduğu zaman çubukta doğacak gerilmeleri hesaplayınız. S=500mm2 L=500mm E=2×105 N/mm2 α=20×10-6 1/oC
2
6
5
2
1
0
1
0
/200500
100000
100000
0500.50.10.20500.10.2.500
02
.1
.100.)(.
0..100..
.)(..
mmNA
F
NF
F
l
ll
ES
F
dxl
x
ES
Fdxxt
ES
F
−=−
==
−=
=+
=+
=
+=
∆+=
−
∫∫
σ
α
ααδ
S L
x
T
A B
TA
TB
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
45
Soru 45) 200x600 mm ebatlarındaki levhaya homojen olarak kenarlarından uygulanmaktadır. Boyca uzamanın 2 mm’yi geçmemesi için uygulanabilecek σ’yı hesaplayınız. Bu durumda kalınlıktaki değişme ne kadar olur hesaplayınız. E=2x105 N/mm2 , ν=0.25, t=10mm
Çözüm:
0
2
z
y
x
=
=
=
σ
σσ
σσ
a)
[ ]
[ ] 2
5/95,380)0(25.02
10.2
1
600
2
)(1
mmN
El
lzyxx
=⇒+−=
+−=∆
=
σσσ
σσνσε
b)
[ ]
[ ] mmtt
Et
tyxzz
0143,0)95,38095,380.2(25,0010.2
1
10
)(1
5−=∆⇒+−=
∆
+−==∆
σσνσε
2σ 2σ x
y
σ
σ
σ
2σ x
y
σ
2σ 200
600
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
46
Soru 46) t=20 mm kalınlığında kare şeklindeki gerilmesiz alüminyum plakada d=200 mm çapında bir daire çizilmiştir. Daha sonra plak düzlemine etkiyen kuvvetler σx=100 MPa ve σz=200 MPa’lık gerilmelere sebep olmaktadırlar. E=70 GPa ve ν= 0.25 olduğuna göre; a) AB çapındaki değişmeyi b) Plakanın kalınlığındaki değişmeyi
bulunuz.
Çözüm:
[ ] [ ] 3
310.7143,0)2000(25,0100
10.70
1)(
1 −=+−=+−= zyxxE
σσνσε
[ ] [ ] 3
310.0714,1)200100(25,00
10.70
1)(
1 −−=+−=+−= zxyyE
σσνσε
[ ] [ ] 0025,0)0100(25,020010.70
1)(
13
=+−=+−= yxzzE
σσνσε
a) mmDD xAB 14286,0200.10.7143,0 3 ===∆ −ε
b) mmtt y23 10.1428,220.10.0714,1 −− −=−==∆ ε
y
z x
500 mm
500 mm
σx σz
A
B
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
47
Soru 47) İç boyutları 20x20 mm olan rijit bir prizmatik oyuk içine aynı ebatlarda plastik bir cisim konmuştur ve üzerinden homojen şekilde etkiyecek P=50 kN’luk kuvvet uygulanmıştır. a) Bu durumda plastik cisim ile rijit duvar arasında
meydana gelebilecek gerilmeleri hesaplayınız. b) Plastik cisimde meydana gelen kısalmayı
hesaplayınız. E=2.105 MPa , ν=0,25 Çözüm:
MPa125400
10.50
A
P 3
y −=−=−=σ
simetridenzx σσ =
[ ]
[ ] 0)(25,010.2
1
)(E
10
zyx5
zyxzx
=+−
+−===
σσσ
σσνσεε
025,0)125(25,0 xx =−−− σσ
MPa66,41,MPa66,41
25,3175,0
zx
x
−=−=
−=
σσ
σ
[ ] mmOhh
Ohy 52,0)66,4166,41(25,0125
10.2
15
−=⇒−−−−==ε
P
100 cm
20 mm
20 mm
P A=400 mm2
y
x
z
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
48
Soru 48)
Kenar uzunlukları 50x100 mm olan ve 5 mm kalınlıklı levhanın tam ortasına 20 mm çaplı dairesel bir delik açılmıştır. Bu levhanın kısa kenarına σo ve uzun kenarına da 3σo homojen çekme gerilmeleri tatbik edilmiştir. Dairesel deliğin A-B doğrultusunda çapındaki büyümenin maksimum δ=0,01 mm olmasına müsaade edildiğine göre tatbik edilen σo gerilmesini hesaplayınız. E=2.105 MPa, ν=0,25 Çözüm:
[ ]
[ ]
[ ]
MPa400
75,010.2
110.5
)03(25,010.2
1
)(E
1
10.520
01,0
D
o
oo5
4
oo5x
zyxx
4x
=
−=
+−=
+−=
===
−
−
σ
σσ
σσε
σσνσε
δε
3σo
σo A B
y
z
x
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
49
Soru 49) Verilen kolonda A ve B noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız. Çözüm: 21o σσσσ ±±=
A
Pzo −=σ ,
y
11
I
yMm=σ ,
y
22
I
yMm=σ
N433086,0500030CosPPx ===
N25005,0500030SinPPz ===
43
y cm4500012
3020I ==
NcmPM x 4330001001 == , NcmPM z 25000102 ==
2/84,13145000
1525000
45000
15433000
600
2500cmNA =−+−=σ
2/16,14045000
1525000
45000
15433000
600
2500cmNB −=+−−=σ
P=5 kN
B A
Px
Pz M1
L=100 cm
10 cm
P=5 kN
30o
x x
x-x kesiti
y
x
30 cm cm
20 cm cm
B A
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
50
Soru 50) Ortasında d=200 mm çaplı delik bulunan 20 mm kalınlıklı Alüminyum levha şekilde görüldüğü gibi gerilmelere maruzdur. E=7.104 N/mm2 ν=1/3 olduğuna göre;
a) Verilen deliğin AB ve CD doğrultusunda çapında meydana gelecek değişmeyi hesaplayınız.
b) Levhanın kalınlığında meydana gelecek değişimi bulunuz. Çözüm:
2zy
2x mm/N150,0,mm/N85 === σσσ
[ ]
4
4x
zyxx
10.51503
185
10.7
1
)(E
1
−=
−=
+−=
ε
σσνσε
5
4y 10.12,1)85150(3
10
10.7
1 −−=
+−=ε
4
4z 10.3,17853
1150
10.7
1 −=
−=ε
( ) ( ) mm1,010.5200DD
D 4ABABx ==⇒= −∆
∆ε
mm34,010.17200 4z == −ε
mm10.24,2t)10.12,1(20t10.12,1t
t 455y
−−− −=⇒−=⇒−== ∆∆∆
ε
σx=85 N/mm2
σz=150 N/mm2 35 cm
x
35 cm
35 cm σz
A
C
D
B
y
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
51
Soru 51) Verilen levhada boydaki uzama miktarı %0,2’yi geçmemesi istendiğine göre σ değerini hesaplayınız. E=2.105 N/mm2 ve ν=0,25’dir.(t=1mm) σσσσ 2, == yx
500mm
1000mm
310.2
2
−=
∆=
=∆
x
xl
l
mml
ε
ε
2
5
3
/267
5,0400
))02(25,0(10.2
110.2
mmN
x
=
+=
+−−=−
σ
σσ
σσ
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
52
Soru 52) 250x750mm ebatlarındaki levhaya homojen olarak kenarlardan gerilmeler uygulanmaktadır. Boyca uzamanın 3 mm’yi geçmemesi için uygulanabilecek σ ’yı hesaplayınız. Bu durumda kalınlıktaki değişime ne kadar olur hesaplayınız. E=2.105N/mm2, υ =0,25, t=10mm
σ
σ2 σ2
σ
( )( )
( )
mmt
t
t
t
mmN
E
E
z
x
zyxx
017.0
)457.75,0(10.2
10
)2(25,00(10.2
1
/457
750
10.2.3
42
10
4
12
750
31
5
5
2
5
=∆
−=∆
+−=∆
=
=
=−
+−=
=+−=
σσε
σ
σσ
σσε
σσυσε
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
53
Soru 53) 300x500 mm ebatlarındaki levhada E=2.105N/mm2 ve υ =0,25 ise boydaki değişimin maksimum 5 mm olması istendiğinde uygulanabilecek σ gerilmesini hesaplayınız.
Kalınlık boyunca şekil değişimi yok ise zσ gerilmesini hesaplayınız.
σ3
σ σ
σ3
[ ]
[ ]
[ ]
230
5
23
5
2
/10.8
)4(25,00
)(10.2
1
/10.8
)03(25.010.2
110.1
)(1
mmN
mmN
E
z
z
yxzz
zyxx
==
−=
+−=
=
+−=
+−=
−
σσ
σσ
σσυσε
σ
σσ
σσυσε
MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
54
Soru 54) Verilen elemanda E=2.105N/mm2, υ =0,25 ise boydaki değişimin maksimum 5 mm olması istendiğinde uygulanabilecek gerilmesini hesaplayınız.
200
200
500
x
y
0σ
z
( )( )[ ]
23
0
0052
0005
0
0
0
0
0
/24005
10.12
2.3
25,010.2.10.1
)3
1
3
1(25,0
10.2
1
500
5
3
1
25,075,0
25,025,00
)(25,00
0
0
1
mmN
E
z
yx
x
xx
xx
y
x
z
zyxx
−=−=
+−=
−−−−==
=−=
−=
+−=
−−=
=
=
−=
+−=
−
σ
σσ
σσσε
σσσ
σσ
σσσ
σσσ
ε
ε
σσ
σσυσε