Download - Wielościany Gwiaździste
Aleksandra Czypionka
Dominika Koczor
Kamil Szajt
Wielościan gwiaździsty - rodzaj wielościanu zbudowanego z kilku innych wielościanów, o części centralnej wspólnej, zgodnie z budową dwuwymiarowych odpowiedników tj. wielokątów gwiaździstych.
*Wielościany gwiaździste mogą zostać wpisane w otoczkę wypukłą będącą zawsze wielościanem foremnym. Częścią wspólną tych brył są wielościany dowolne.
Wyróżniamy dwa rodzaje wielościanów :
•Wielościany gwiaździste foremne
•Wielościany gwiaździste dwu-foremne
Wielościan Rysunek Otoczka wypukła
Część wspólna
Gwiazda z dwóch czworościanów (Stella octangula)
Sześcian Ośmiościan foremny
Gwiazda z pięciu czworościanów
Dwunastościan foremny
Dwudziestościan foremny
Gwiazda z dziesięciu czworościanów
Dwunastościan foremny
Dwudziestościan foremny
Gwiazda z pięciu sześcianów
Dwunastościan foremny
Dwudziestościan foremny
Gwiazda z pięciu ośmiościanów foremnych
Dwunasto-dwudziestościan foremny
Dwudziestościan foremny
Wielościany gwiaździste foremne
Wielościan Otoczka wypukła
Część wspólna
Gwiazda z dwóch czworościanów
(Stella octangula)
Sześcian Ośmiościan foremny
Gwiazda z sześcianu i ośmiościanu foremnego
Dwunastościan rombowy
Sześcio-ośmiościan
Gwiazda z dwunastościanu foremnego i dwudziestościanu foremnego
Dwunasto-dwudziestościan rombowy
Dwunasto-dwudziestościan foremny
Gwiazda z wielkiego dwudziestościanu foremnego i stellowanego dwunastościanu foremnego
Dwunastościan foremny
Dwudziestościan foremny
Mały stellowany dwunastościan
foremny
Dwudziestościan foremny
Dwunastościan foremny
Wielościany gwiaździste dwu-foremne
Siatki wielościanów Keplera-Poinsota
Ściany wielościanów Keplera-Poinsota przenikają się wzajemnie i dlatego też należy poświęcić kilka zdań na omówienie sposobu konstrukcji ich zewnętrznych elementów. W przypadku dwunastościanu gwiaździstego małego (rys. 1) i dwunastościanu gwiaździstego wielkiego (rys. 2) sprawa jest prosta. Ich ścianami są pentagramy, z których na zewnątrz widoczne są tylko ramiona (rys. 3).
rys.1 rys.2 rys.3
cd.
Również nietrudno jest skonstruować ścianę dwunastościanu wielkiego (rys. 4). Jest to pięciokąt foremny, z którego na zewnątrz widocznych jest pięć trójkątów równoramiennych (rys. 5).
Nieco trudniej skonstruować ścianę dwudziestościanu wielkiego (rys. 6). Kluczem do konstrukcji jest złoty podział. Punkty P oraz Q dzielą krawędź AB w ten sposób, że AB/AQ=AQ/AP=(1+√5)/2 ≈ 1,618.Podobnie podzielone są krawędzie BC i AC (rys. 7).
Po skonstruowaniu zewnętrznych elementów ścian pozostaje jeszcze takie ich połączenie, aby otrzymany model był odpowiednio sztywny. Kliknięcie w odpowiedni link otwiera w nowym oknie element siatki danego wielościanu Keplera-Poinsota
rys.4 rys.5
rys.6 rys.7
Najpopularniejszym wielościanem gwaiździstym jest Stella octangula
Stella octangula – (in. gwiazda ośmioramienna, ośmiościan gwiaździsty, gwiazda z czworościanów) wielościan gwiaździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację ośmiościanu foremnego. Jak każda stellacja, jest trójwymiarowym odpowiednikiem gwiazdy Dawida. Analogia jest w tym wypadku pogłębiona przez to, że tak jak gwiazda Dawida jest sumą dwóch trójkątów równobocznych symetrycznych względem wspólnego środka, stella octangula jest sumą dwóch czworościanów foremnych symetrycznych względem wspólnego środka. Można go sobie wyobrażać jako ośmiościan foremny z doklejonymi do jego ścian czworościanami foremnymi. Posiada 36 krawędzi, 14 wierzchołków i 24 ściany będące trójkątami równobocznymi. W pewnym sensie spełnia kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem wymogu wypukłości.
Gdzie oznacza długość krawędzi ściany tej bryły. Polem całkowitym stella octangula jest suma 24 pól powierzchni trójkątów równobocznych, które stanowią czwartą część ściany jednego
czworościanu foremnego stellonego.
HISTORIA WIELOŚCIANÓW GWIAŹDZISTYCH
Zanim pojawiły się wielościany gwiaździste, wcześniej pojawiły się gwiaździste
wielokąty. J eden z nich - pentagram znany był już w Starożytności. Takie
pięciokąty malował już w VII p.n.e. Aristophonus. Szczególnie pentagram miał w
wielu kulturach i zawodach symboliczny i mistyczny charakter. Był używany jako
symbol rozpoznawczy, talizman w alchemii, ast rologii i magii. Z łoty podział
związany z tym wielokątem był już znany w Grecji. Później wspominał o nim w XV
wieku Pacioli.
Luca Pacioli dodał do ośmiościanu foremnego ost rosłupy budując wielościan, który
potem Kepler utworzył jako kompozycje dwóch czworościanów i nazwał stella
octangula.
W Średniowieczu wielokąty gwiaździste studiował wybitny angielski matematyk i
teolog, biskup Thomas Bradwardina (1290-1349) . Później badał je również
Charles de Boulles (1470-1533) .
Najwięcej jednak badań wielościanom gwiaździstym poświęcił J ohannes Kepler. On
też wielokąty foremne zdefiniował jako figury, których boki są wszystkie równej
długości i których kąty są równe. Rozważał dwa rodzaje wielokątów – proste,
których boki nie przecinają się i inne, które ogólnie nazywał wielokątami
gwiaździstymi ( ze względu na podobieństwo do gwiazdy) .
cd.
W 1809 roku Luis Poinsot rozważa gwiazdę figur wierzchołkowych jako
gwiaździst ą ścianę. Odkrywa pozostałe wielościany gwiaździste :wielki
dwunastościan i wielki dwudziestościan.
W 1858 roku Bert rand wyprowadza foremny wielościan gwiaździsty przez
stożkowanie dwudziestościanu i dwunastościanu. Używa on przy tym terminu
gwiaździsty.
W 1859 roku Cayley modyfikuje wzór Eulera dla wielościanów z "dziurami" i
"wgłębieniami" i nadaje czterem foremnym wielościanom gwiaździstym nazwę
"étoilé" jako "stellated".
Ok 1920 roku J .C.P. Miller proponuje pięć reguł (prawdopodobnie za Coxeterem) ,
według których stelacje wielościanu miały by być rozważane w sposób znaczący i
odmienny. One są osadzone na Wheelerowskich rozważaniach tylko widocznych
obszarów i odwołują się do t radycyjnego keplerowskiego rozumienia stelacji.
cd.