YAPISAL DEĞİŞİKLİK
Zaman serileri bazı nedenler veya bazı faktörler tarafından
etkilenerek zaman içinde değişikliklere uğrayabilirler. Bu
değişim iktisadi kriz, iktisat politikalarında yapılan değişiklik,
teknolojik değişim, deprem, sel gibi farklı nedenlerden
kaynaklanabilir. Seride gözlenen etki, trendin belirli bir
dönemden sonra değişikliğe uğraması şeklinde karşımıza
çıkabilir. Bu etki, trendin eğilimini değiştirerek artma veya
azalma eğilimi göstermesine neden olabilir. Bazı durumlarda
ise etki geçicidir. Trendde bir değişim gözlenir ve belirli bir
zaman aralığında değişim etkisini kaybederek trend eski haline
döner.
1
• Teknolojik bir değişiklik veya üretim arttırıcı bir yatırımın sonucunda ihracatta, üretim miktarında vs. önemli artışlar olabilir. Aynı şekilde bu nedenlerle toplam ithalatta veya belirli malların ithalatında azalma olabilir. Benzer şekilde zaman zaman yapılan politika değişiklikleri de yapısal değişikliklere neden olabilir. Örneğin, vergi gelirlerini arttırıcı, enflasyonu düşürücü, ihracatı arttırıcı vs. tedbirler hem söz konusu değişkenlerde hem de bunlarla ilgili bazı farklı değişkenlerde yapısal değişikliğe neden olabilirler. Makro açıdan söz konusu olan yapısal değişiklik, mikro açıdan da söz konusudur. Bu tür yapısal değişikliklerin etkisi geçici olabilirse de daha çok kalıcıdır.
2
• Yapısal değişiklik savaş, kuraklık, deprem, büyük grevler gibi olayların sonucunda da ortaya çıkabilirler. Bu tür olaylar daha çok geçici etki yarattığından, olaylar bittikten sonra etkileri de devam etmeyerek etkiledikleri değişkenler eski hallerine dönecektir. Bu tür etkiler kukla değişkenlerle açıklanırlar. Bu tür nedenlerin kalıcı etkiler yaratması da mümkündür.
• Yapısal değişiklik olması durumunda bunun nedenlerinin, iktisadi sonuçlarının belirlenmesi önemlidir. Fakat bundan önce yapısal değişiklik olup olmadığının belirlenmesi gerekecektir. Herhangi bir olay nedeni ile bazı değişkenlerde yapısal değişiklik olduğu yönünde görüşler, bilgiler, önseziler olması yapısal değişiklik olduğunu söylemek için yeterli değildir.
3
• İktisadi değişkenlerde yapısal değişiklik olduğunu söyleyebilmek için olayın ekonometrik olarak incelenmesi gerekmektedir. Ancak yapılacak inceleme sonucunda yapısal değişiklik olup olmadığına karar verilecektir.
4
YAPISAL DEĞİŞİKLİK KAVRAMI
Yapısal değişiklik trendde meydana gelen kalıcı
değişikliklere verilen addır. Yukarıda sayılan ve benzeri
nedenlerle trendde bir kırılma oluşur. Bu kırılma oluşur ve kısa
sürede eskiye dönüş olursa yapısal değişiklikten söz
edilmeyebilir. Daha uzun süre sonra eski haline dönen
değişikliklerin de incelenmesi gerekecektir. İncelenen dönemin
uzunluğuna ve seriye bağlı olarak aynı seride birden fazla
kırılma, yani yapısal değişiklik de gözlenebilir.
5
6
• Yapısal değişiklik modelde bir kırılmaya neden olacağından modelin tahmininin de dikkate alınması gerekmektedir. Şekilde tek kırılmalı bir model görülmektedir.
X2
Y
X X1 X0
Şekil 1: Tek Kırılmalı Model
X1 noktasında kırılma olduğundan, X1 noktasında kırılan
model doğru modeldir. Modelde yer alan kırılma dikkate
alınmadan modelin parametreleri tahmin edilirse, modelin
fonksiyonel şekli yanlış belirleneceğinden tanımlama hatası
yapılmış olacaktır. Modelin fonksiyonel şekli grafiğe bakılarak
veya bakılmadan eğrisel bir fonksiyon olarak belirlenebilir. Bu
durumda da modelin fonksiyonel şekli yanlış belirlendiğinden
tanımlama hatsı söz konusudur. Şekilde görülen model için
doğru olan kırılma öncesi ve sonrası için iki ayrı doğrusal
modelin tahmin edilmesi olacaktır.
7
Modelleri,
X0 – X1 dönemi için Yt1 = β10 + β11Xt1 + εt1
X1 – X2 dönemi için Yt2 = β20 + β21Xt1 + εt2
şeklinde ifade ederek, modellerin parametrelerini ayrı ayrı
tahmin edebiliriz. Bu modellerin kukla değişkenler ile
birleştirilerek tek model olarak tahmin edilmesi de
mümkündür.
8
(1)
(2)
Yt = β10 + β11Xt1 + β20D1t + β21D1tXt1 + εt
şeklinde tahmin edilebilir. Burada,
Yt = Yt1 + Yt2
Xt = Xt1 + Xt2
olduğundan tek hata terimi kullanılmıştır.
9
İki parça için iki kukla değişken kullanılırsa kukla
değişken tuzağına düşüleceğinden tek kukla D değişkeni
tanımlanarak,
D=0 1. parça
D=1 2. parça
olursa model,
(3)
(3.2)
(3.1)
SPLINE FONKSİYONU VE PARÇALI
DOĞRUSAL REGRESYON MODELLERİ
İki parçalı bir model ve bunun kukla değişken ile
birleştirilerek nasıl tek model haline getirilebileceğinden söz
ederken geçerli olan açıklamalar, birden fazla kırılma için de
yapılabilir. Oluşan parçalı fonksiyona spline fonksiyonu adı
verilir ve bu fonksiyon sürekli bir fonksiyondur.
Modeller ister her dönem için ayrı ayrı tahmin edilsin
isterse kukla değişkenlerle birleştirilerek tahmin edilsin
kırılma noktalarında bir sıçrama meydana gelecektir.
10
Yukarıdaki şekilde iki parçalı model için bu durum
görülmektedir. Oluşan bu sıçramanın ortadan kaldırılması,
yani iki parçanın X1 noktasında birleşmesinin sağlanması
şart değildir. İstenirse bu birleşme sağlanabilir. Parçaların
birleştirilmesini sağlamak için oluşturulan modellere parçalı
(piece-wise) regresyon modelleri adı verilmektedir.
11
Şekil 2: İki Noktada Kırılan Regresyon Doğrusu
Parçaların birleştirilmesini sağlamak için
izlenebilecek yollardan biri parça sayısı kadar kukla
değişken tanımlamaktır. İki parçalı model için iki kukla
değişken tanımlayalım.
D1 = 1 1. parça için D1 = 0 diğer
D2 = 1 2.parça için D2 = 0 diğer.
Tanımlanan modeller,
X0 – X1 dönemi için Yt1 = β10 + β11Xt1 + εt1
X1 – X2 dönemi için Yt2 = β20 + β21Xt1 + εt2
olduğundan model,
Yt = [β10 + β11( Xt-X0 )]D1t + [β20 + β21( Xt-X1 )]D2t + εt
olarak yazılabilir.
12
(5)
(4)
(6)
13
Bu durumda,
D1 = 1, D2 = 0 ise E(Yt) = β10 + β11(Xt-X0)
D1 = 0, D2 = 1 ise E(Yt) = β20 + β21(Xt-X1)
olacaktır. Burada X1 noktasında başlayan ikinci modelin sabit
katsayısı,
β20 = β10 + β11( Xt-X0 )
olacağından, bu eşitlik modelde yerine konursa,
Yt = β10( D1t+D2t ) + β11[( Xt-X0 )D1t + ( X1-X0 )D2t ] + β21 [( Xt-X1 )D2t ] + εt
olacaktır. D1t ve D2t ‘den her zaman sadece biri 1 olacağından
D1t + D2t = 1 ‘dir. Bu durumda,
Yt = β10 + β11[ XtD1t + X1D2t – X0 ] + β21[( Xt-X1 )D2t ]+ εt
olur.
(8)
(7)
(9)
(10)
(11)
14
X1* = XtD1t + X1D2t – X0
X2* = ( Xt-X1 )D2t
Dönüşümü ile model ,
Yt = β10 + β11X1* + β21X2
* + εt
olarak tahmin edilebilir.
Modelde β11 = β21 ise,
Yt = β10 + β11[ XtD1t + X1D2t – X0 ] + β11[( Xt-X1 )D2t ]+ εt
Yt = β10 + β11( Xt-X0 )+ εt
olacaktır.
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
X0 ilk grubun ilk gözlemi ise,
Xt* = Xt-X0
olarak tanımlanırsa model,
Yt = β10 + β11Xt* + εt
olarak tahmin edilecektir.
Görüldüğü gibi model basit doğrusal regresyon modeline
dönüşmektedir. Her iki durumda da doğrusal regresyonda
olduğu gibi t ve F testleri ile R2 aynı şekilde hesaplanır.
Bu durumda yapısal değişiklik olup olmadığını belirlemek
için β11 = β21 olup olmadığı test edilebilir. β11 = β21 ise yapısal
değişiklik olmadığına, β11 ≠ β21 ise yapısal değişiklik olduğuna
karar verilir. Birden fazla kırılma içinde aynı açıklamalar
geçerlidir.
15
(17)
(18)
SWITCHING REGRESYON
Switching regresyon yöntemi kırılma noktasının
bilinmemesi durumunda kullanılabilir. Bu yöntemde doğru
parçalarının birleştirilmesi tek kukla değişken kullanılarak
gerçekleştirilir.
16
olarak tanımlanarak,
Yt = β10 + β11Xt1 + β20 D1t + β21D1tXt + εt (3) nolu model olarak
ifade edilmişti. Bu durumda
D1 = 0 için E(Yt) = β10 + β11Xt
D1 = 1 için E(Yt) = (β10 + β20) + (β11 + β21)Xt
olarak elde edildiğinden, X1 değeri için iki parçanın aldığı
değerler birbirine eşit olacaktır.
Şekil 2 için;
X0 – X1 dönemi için Yt1 = β10 + β11Xt1 + εt1
X1 – X2 dönemi için Yt2 = β20 + β21Xt2 + εt2
olarak tanımladığımız modeller
D1 = 1 (2. parça) D1 = 0 diğer (1. parça)
17
(21)
(22)
(20)
(19)
β10 + β11X1 = (β10 + β20) + (β11 + β21)X1 (23) olacaktır.
Buradan,
β10 + β11X1 - β10 - β20 - β11X1 - β21X1 = 0 (24)
Β20 = - β21X1 (25) elde edilir. Bu eşitlik modelde yerine
konursa,
Yt = β10 + β11Xt - β21(Xt – X1)D1t + εt (26) olarak elde edilir. Aynı
şekilde,
Yt = β10 + β11Xt1 + β20 D1t + β30D2t + β21DtXt + β31D2tXt + εt (27)
olarak ifade edilir ve model bu şekilde tahmin edilir.
18
19
Örnek: Parçalı Doğrusal Regresyon
•
• • • • • •
•
• •
•
•
•
• •
•
• •
•
• • •
•
•
•
• •
•
• •
•
•
• • • •
•
•
•
X*
Satış K
om
isyonla
rı
Y
X
Bir sigorta şirketi satış temsilcilerinin
belli bir satış hacmini geçmesi
durumunda çalışanlarına komisyon
ödemektedir. Şirket içerisinde
gerçekleştirilen satış komisyon ücretleri
belli bir satış hacmi(X*) eşik düzeyine
kadar doğrusal artmakta ve bu eşik
düzeyinden sonra ise daha dik bir oranla
satışlarla doğrusal olarak arttığı
varsayılmaktadır. Bu durumda I ve II
olarak numaralandırılmış iki parçadan
oluşan parçalı doğrusal regresyona ve
eşik düzeyinde eğimin değiştiği
komisyon fonksiyonuna sahip olmuş
oluruz.
I
II
20
Parçalı Doğrusal Regresyon S
atış K
om
isyonla
rı
Y
X
Satışlar
•
• • • • • •
•
• •
•
•
•
• •
•
• •
•
• • •
•
•
•
• •
•
• •
•
•
• • • •
•
•
•
X*
E(Yi| Di =1,Xi, X*) = a1 - b2X
* +(b1+ b2)Xi
Yi= Satış Komisyonları
Xi= Satış Miktarı
X*= Satışlarda Prim Eşik
Değeri
Di = 1 Eğer Xi > X*
= 0 Eğer Xi < X*
E(Yi| Di =0,Xi, X*) = a1 +b1 Xi
Yi= a1 + b1Xi + b2 (Xi-X*)Di+ui
21
Parçalı Doğrusal Regresyon
Sa
tış K
om
isyo
nla
rı
Y
X Satışlar
a1
a1-b2X*
1
1
b1+b2
b1
X*
22
Örnek
Total
Cost($)
TC
Output
(units)
Q
Di
256 1000 0
414 2000 0
634 3000 0
778 4000 0
1003 5000 0
1839 6000 1
2081 7000 1
2423 8000 1
2734 9000 1
2914 10000 1
Dependent Variable: TC
Included observations: 10
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -145.7167 176.7341 -0.824496 0.4368
Q 0.279126 0.046008 6.066877 0.0005
(Q-5500)*DI 0.094500 0.082552 1.144727 0.2899
R2=0.973706 F-statistic= 129.6078 [0.000003]
Bir şirket satış temsilcilerinin belli bir satış hacmini geçmesi durumunda
çalışanlarına prim ödemektedir.
İstatistiki olarak
anlamsız
Satışlardaki artışlar prim
değerini arttırmamaktadır.
YAPISAL DEĞİŞİKLİK TESTLERİ
Çeşitli sebeplerle zaman serilerinde değişikliklerin olup
olmadığının test edilmesi gerekecektir. Test sonucunda var
olduğu düşünülen değişikliğin istatistiksel olarak anlamlı olup
olmadığına karar verilecektir.
CHOW TESTİ İncelenen seride yapısal değişiklik, yani kırılma yoksa
kırılma noktası olarak kabul edilen noktadan öncesi ve sonrası
için tahmin edilen modellerin hata terimlerinin kareleri toplamı
ile kırılmanın olmadığı varsayımı ile tahmin edilen tek modelin
hata kareleri toplamı birbirine eşit olacaktır. Kırılma olduğunda
ise ayrı ayrı parçalar için tahmin edilen modellerin hata kareleri
toplamı, kırılma olmadığı durum için tahmin edilen tek modelin
kareleri toplamından küçük olacaktır.
23
• Kısaca Chow testinin uygulanabilmesi için aşağıdaki
varsayımların sağlanması gereklidir:
- Her iki alt döneme ait hata terimi de sabit varyanslı
olmalı.
- Kısıtsız modellerin hata terimleri birbirinden bağımsız
olmalı.
- Kırılmanın oluştuğu dönem bilinmeli.
- Oluşturulan her iki dönemin gözlem sayısı parametre
sayısından büyük olmalı.
24
25
Chow testi yapılırken kırılma öncesi ve sonrası olarak iki alt gruba
ayrılan serinin parçalarının daha homojen gruplar olduğu
düşünülmektedir. Testin uygulanabilmesi için parçaların varyanslarının
eşitliği test edilir. Varyansların eşitliği F testi ile test edilir.
2
1 İle birinci parçanın 2
2 İle ikinci parçanın varyansını gösterirsek varyansların
eşitliğini ifade eden temel hipotez,
2
2
2
10 :H
şeklinde kurulacaktır. Temel hipotezin geçerli olmadığını yani varyansların eşit
olmadığını ifade eden alternatif hipotez ise
2
2
2
11 :H
olacaktır. Bu durumda test istatistiği,
2
2
2
1F
olarak hesaplanır. (28)
26
Burada 2
2
2
1 varsayılmıştır. 2
1
2
2 ise paya, 2
22
1
paydaya yazılacaktır. Hata terimi varyansları bilinmediğinden tahminleri olan
test için kullanılır. Bu durumda test istatistiği,
2
eS ‘ ler
)/(
)/(
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2kne
kne
S
SF
e
e
Olacaktır. F test istatistiği (n1 – k) ve (n2 – k) serbestlik derecesi ile F tablosundan
bulunan değer ile karşılaştırılarak hesaplanan F test istatistiği tablo değerinden
büyük ise H1, küçük ise H0 hipotezi kabul edilir. Varyansların eşit olduğu kabul
edilirse Chow testi yapılabilir.
(29)
bölünmeden tahmin edilen modelin hata kareleri
ise parçaların hata kareleri toplamını ifade etmektedir.
derecesi ile F tablosundan bulunan tablo değeri ile karşılaştırılır.
F test istatistiği değeri tablo değerinden büyük ise H1 yani yapısal değişiklik
olduğu hipotezi, F testi istatistiği F tablo değerinden küçük ise yani yapısal
değişiklik olmadığı H0 hipotezi kabul edilecektir.
27
Chow testi serinin parçalarının hata terimlerinin sıfır ortalama etrafında normal
dağıldığını, birbirlerinden bağımsız olduğu varsayımı ile ve varyansları eşit ise
uygulanabilir. Temel hipotez yapısal değişiklik olmadığını alternatif hipotez ise yapısal
değişiklik olduğunu ifade eder. İki ayrı alt modelin tahmin edilmesi durumunda test
istatistiği,
1 2
21
1 2
21
1 1
22
1 1 1
222
)2/()(
/)(
n
i
n
i
tt
n
İ
n
i
n
i
ttt
knee
keee
FR
olarak hesaplanır. Burada 2
Rte
toplamını, 2
1te 2
2teve
Paydanın serbestlik derecesi [(n1-k) + (n2-k) = n-2k] olacaktır. Payın serbestlik
derecesi ise k’ dır. Hesaplanan test istatistiği a hata payı ile k ve (n-2k) serbestlik
(30)
kukla değişkenli modelin hata kareleri toplamını
28
Kırılma noktası öncesi ve sonrası için bağımsız modeller tahmin edilmiyor, alt
modeller kukla değişken ile birleştirilerek tek model tahmin ediliyor ise test
istatistiği,
n
i
t
n
İ
n
i
tR
kne
kee
F
1
2
1 1
22
)2/((
/)(
olarak hesaplanır. Burada 2
te
İfade etmektedir. Kukla değişkenli modeller için yapısal değişikliğin hangi
parametreyi etkilediği düşünülüyorsa, o düşünceye göre modeller oluşturulabileceği
gibi sabit veya bağımsız değişken parametrelerini etkileyecek şekilde de model
kurulabilir.
(31)
CHOW PREDICTIVE TESTİ
Bu test alt grupların modellerinin ayrı ayrı tahmin edilmesi durumunda
kullanılan bir testtir. Chow testi yapılırken oluşturulan iki alt gruptan modelleri
tahmin edebilmek için alt grupların birim sayıları n1 ve n2’ nin tahmin edilecek
parametre sayısı k’ dan büyük olması gerekmektedir. n1 veya n2’ den herhangi biri
k’ dan küçükse o grup için model tahmin edilemez. Bu durumda Chow testi yerine
Chow Predictive testi kullanılır.
Bu testte alt örnekten elde edilen sonuçların tüm örnek için geçerli olup
olmadığı test edilir. Diğer bir ifade ile bu test regresyon modellerinin kararlılığının
belirlenmesi için yapılan bir testtir. Bir alt gruptan elde edilen hata kareleri toplamı,
tüm örnekten elde edilen hata kareleri toplamı ile karşılaştırılır.
n2 < k ise birinci alt grup ile,
n1 < k ise ikinci alt grup ile,
Tüm örnekten elde edilen hata kareleri toplamı karşılaştırılır.
29
30
olarak hesaplanır. Hesaplanan test istatistiği serbestlik dereceleri sd1 = n2 ve
sd2 = n1 – k serbestlik derecesi ile F dağılımı tablosundan bulunan tablo değeri ile
karşılaştırılarak daha önce açıklandığı gibi karar verilir.
n1 < k olması durumunda da test istatistiğinin indislerinde değişiklik yapılarak
hesaplama yapılır. Alt modeller kukla değişkenler ile birleştirilerek tahmin
edildiğinde Chow testi uygulanabileceğinden Chow Predictive testinin
kullanılmasına gerek olmaz.
Hipotezler chow testi ile aynıdır. n2 < k ise test istatistiği,
1
1
1
1
2
1
1İ 1
2
2
1
2
)/(
/)(
Fn
i
n n
İ
R
kne
nee
(32)
BENZERLİK ORANI, WALD VE LAGRANGE ÇARPANI
TESTLERİ
Chow testi ile test edien alt gruplara ait modeller ile tüm veri için tahmin
edilen modeller Benzerlik oranı, Wald ve Lagrange Çarpanı testleri ile de
karşılaştırılabilirler ve bu karşılaştırma sonucunda yapısal değişiklik olup
olmadığına karar verilebilir. Bu testlerde de temel hipotez yapısal değişiklik
olup olmadığını, alternatif hipotez ise yapısal değişiklik olduğunu ifade eder.
Yapısal değişiklik yoksa, modellerin parametreleri arasında fark
olmayacaktır. Aradaki farkı kukla değişkenli modellerde kukla değişken
parametreleri belirleyecektir. Bu açıdan bakıldığında kukla değişken ile
birleştirilen modelde temel hipotez kukla değişken katsayılarının anlamsız
olduğunu, alternatif hipotez ise kukla değişken katsayılarının anlamlı
olduğunu ifade eder.
31
olur. LR test istatistiğinin dağılımı k serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır.
32
Bu durumda Benzerlik Oranı test istatistiği,
Ut
Rt
ee
enLR
2
2
log
=sınırlandırılmış modelin HKT
=sınırlandırılmamış modelin HKT
Rte 2
Ute 2
(33)
33
Yapısal değişiklik analizinde Wald test istatistiği,
ne
eeW
Ut
UtRt
/2
22
olacaktır. W test istatistiğinin dağılımı da k serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır.
Yapısal değişiklik analizinde Lagrange Çarpanı test istatistiği,
ne
eeLM
Rt
UtRt
/2
22
olarak hesaplanır. Bu test istatistiğinin dağılımı da k serbestlik dereceli ki-kare
dağılımıdır.
Her üç test istatistiği için test istatistikleri ki-kare dağılımı tablosundan
hata payı ve k serbestlik derecesi ile bulunan tablo değeri ile karşılaştırılır. Test
istatistiği tablo değerinden büyük ise H1 hipotezi kabul edilir; yapısal değişiklik vardır,
küçükse H0 hipotezi kabul edilir; yapısal değişiklik yoktur.
a
(34)
(35)
CUSUM TESTİ
Chow Predictive testi gibi katsayıların kararlılığını test eden bir
testtir. Yapısal değişiklik olması durumunda, yapısal
değişikliğin başladığı devreye kadar kararlı olan regresyon
modelinin katsayıları yapısal değişiklikten sonra
etkileneceklerdir. Bu etki katsayıların kararlığının bozulmasına
neden olur. Bu nedenle yapılacak test sonucu katsayıların
kararlı olduğuna karar verilirse yapısal değişiklik olmadığı;
kararlı olmadıklarına karar verilirse yapısal değişiklik olduğu
ortaya konacaktır. Bu test ardışık hatalara dayanmaktadır.
34
35
Temel hipotez, H0 : β1 = β2 = … = βk = β
222
2
2
1 ... n
şeklinde oluşturulur. Alternatif hipotez ise temel hipotezin doğru olmadığını ifade
eder.
Yt vektörünün; Xt, X vektörünün t. elemanını ifade ediyorsa,
)()(ˆ 1
ttttt b
Böylece
1ˆˆ
ttt b
t̂
Burada , ilk (t-1) gözlemden tahmin edilen en küçük kareler tahmincileridir.
Dikkat edilecek konu gözlemlerin 1’den n’e kadar gittiğidir. Fakat tam t
zamanında bir kırılma meydana geldiğinden (t-1) gözlem için parametrelerin
bulunması, ‘nin elde edilmesi ve ardından (37) nolu ifade ile gösterilen hataların
elde edilmesidir.
1ˆ
tb
(36)
(35)
t̂
Böylece hatalar,
t = k+1, k+2, …, n
36
1ˆˆ
tttte b
şeklinde olacaktır. Bu durumda ardışık hatalar wt,
'1
11
1
)(1
ˆ
tttt
tttt
xxw
b
'1
11 )(1 tttt
t
xx
e
olacaktır. Buradaki xt , (t-1)’den önceki bağımsız değişkenin(değişkenlerin) t
döneminde aldığı değeri(değerleri) ifade etmektedir. Bu durumda CUSUM testi için,
t
ks
t
t
wW
1 ̂
olarak hesaplanarak zamana göre grafiği çizilir. Burada,
(37)
(38)
(39)
(40)
Daha sonra alt ve üst güven sınırları oluşturulur. Şekil 3’de görüldüğü gibi yatay
eksende t, düşey eksende wt gösterilirse k noktasında aralık
37
ve n noktasında
n
ks
t wwkn 1
22 )(1
1̂
ve kn
w
w
n
s
s
1 olacaktır.
kn akn a3 olarak belirlenecektir.
(41)
(42)
CUSUM testinde H0 hipotezinin geçerliliği altında wt’nindağılımı sıfır ortalama ve
2 varyanslı normal dağılım olduğu ve wt ile ws’nin (t≠s) bağımsız olduğu
varsayılmaktadır.
38
Şekil 3: CUSUM Testi Yapısal Değişimin Gösterimi
n k
zaman
wt
Burada a , a hata payı ile
0,850için 0,10
0,948için 0,05
1.143için 01,0
aa
aa
aa
olacaktır. wt çizilen sınırlar dışına çıkarsa H0 yapısal değişiklik vardır hipotezi,
sınırlar içinde kalırsa H1 yapısal değişiklik yoktur hipotezi kabul edilir.
CUSUM-SQ TESTİ CUSUM testinden farklı olarak ardışık hataların kareleri ile hesaplanmaktadır.
n
ks
t
n
ks
s
t
w
w
S
1
2
1
2
t= k+1, k+2, … , n
değerleri hesaplanır ve St’ nin grafiği çizilir.
39
(43)
hata payı,
olarak bulunur. Çift taraflı test için m, ; tek taraflı test için m,
alınarak enterpolasyon yapılması gereklidir.
40
Burada,
k-n
k-t)S(E t (44)dır. Güven sınırları 0t C)S(E ‘ dır. C0 değeri a
n gözlem sayısı ve k parametre sayısı ile tablodan bulunacak değerlerdir. C0
tablodan testin tek veya çift taraflı olmasına göre m ve değerleri ile belirlenir. aTest için n-k tek sayı ise,
1-k)-n(2
1m 2a a
değerleri ile C0 bulunur. n-k çift sayı ise;
2
1-k)-n(
2
1m
2
3-k)-n(
2
1m
(45)
(46)
Tablodan belirlenen değerler ile alt ve üst güven sınırlarını çizilerek CUSUM-SQ
grafiği çizilir.
zaman
Grafik çizilerek güven sınırları dışına çıkıldığında yapısal değişiklik olduğuna, güven
sınırları içinde kalındığında yapısal değişiklik olmadığına karar verilir.
41
St
Şekil 4: CUSUM-SQ Testi Yapısal Değişimin Gösterimi