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Travaux dirigés de thermodynamique / 34 M. Bouguechal 2015-2016 1

INSTITUT POLYTECHNIQUE

DES SCIENCES AVANCEES

Département de physique

Travaux Dirigés de

THERMODYNAMIQUE

(Module Ph 21)

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Cours de M. Bouguechal

(Edition 2015- 2016)

INSTITUT POLYTECHNIQUE DES SCIENCES AVANCEES

7/9, rue Maurice Grandcoing – 94200 Ivry Sur Seine * Tél. : 01.44.08.01.00 * Fax :

01.44.08.01.13Etablissement Privé d’Enseignement Supérieur Technique – SIRET N° 433 695 632 00011 – APE 803Z

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Travaux dirigés de thermodynamique / 34 M. Bouguechal 2015-2016

2

SOMMAIRE

TD N°1 RAPPEL DE MATHEMATIQUES…… …....………………………… P 03

T.D N°2 COEFFICIENTS THERMOELASTIQUES………………………… P 11

T.D N° 3 L’ENERGIE INTERNE......................................................................... P 13

T.D N° 4 LE PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE…….….. P 15

T.D N°5 ETUDE DE TRANSFORMATIONS ET DE CYCLES………………. P 17

T.D N°6 ETUDE DU DEUXIEME PRINCIPE. ENTROPIE………………..… P 19

T.D N°7 MACHINES THERMIQUES………………………………………… P 21

T.D N°8 ETUDE DY CYCLE D’UNE TURBINE A GAZ A COMBUSTION

EXTERNE…………………………………………………………………………… P 24

T.D N°9 ETUDE DU CYCLE D’UNE CLIMATISATION AUTOMOBILE… P 26

T.D N°10 ETUDE DU CYCLE D’UNE MACHINE A VAPEUR……………… P 30

T.D CALORIMETRIE …………………………………………………… P 11


3

T.D N° 1 RAPPEL DE MATHÉMATIQUES

1. FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE

1.1 INTÉGRALE ET DÉRIVÉE

Soit f(x) une fonction f de la variable x. L'intégrale de f entre les bornes x1 et x2:

est la surface comprise entre la courbe, l’ axe Ox et les

droites d’équation x = x1 et x = x2.

La dérivée de f s’écrit :

Ou encore, en posant Δx = x2-x1

La dérivée est la pente de la droite tangente à la courbe en x=x1.

La dérivée d'une fonction de fonction f(g(x)) par rapport à x est:

Vérifier les définitions d'intégrale et de dérivée dans le cas d'une droite y = f(x) = ax+ b


4

1.2 QUELQUES FONCTIONS IMPORTANTES

Compléter le tableau suivant:

Allures de courbes Fonction Dérivée Primitive


5


6

2 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

En général, les quantités du monde réel dépendent de plusieurs variables indépendantes (c'est-

à-dire de variables dont la valeur peut changer indépendamment de celles des autres

variables). Exemples :

L'aire A d'un triangle est une fonction de 2 variables : b la base du triangle et h sa

hauteur :

Le volume V d'un cylindre dépend du rayon R et de la hauteur h:

La pression P d'un gaz parfait est une fonction de 3 variables : le volume V du

récipient, le nombre de moles n de gaz présentes dans le récipient et la température T :

DÉRIVÉES PARTIELLES

Pour mesurer l'effet du changement d'une seule des variables sur la valeur de la fonction, on

utilise la dérivée partielle. On l'obtient en dérivant la fonction par rapport à la variable

considérée, en maintenant les autres variables constantes :

Fonctions à plusieurs variables :

Dérivées partielles :

La dérivée partielle seconde se calcule de la même manière :


7

Conclusion importante: le résultat de deux dérivations partielles successives ne dépend pas de

l'ordre de dérivation. Par exemple pour une fonction F de trois variables x, y et z:

1.1 DIFFÉRENTIELLE TOTALE EXACTE

Pour exprimer l'effet d'un changement de toutes les variables sur la variation d’une fonction,

on utilise la différentielle totale. Soit une fonction F(x, y) des deux variables x et y.

L'accroissement de la fonction, ΔF, pour un accroissement fini de x à (x+Δx) et de y à (y+Δy)

est:

que l'on peut écrire:

ou encore:

Pour des accroissements infiniment petits de x et y:

Et on obtient alors :


8

De la même manière, pour une fonction de plus de deux variables, par exemple F(x,y,z), la

différentielle totale dF est:

Par exemple: Pour un gaz, la pression P est fonction du nombre de moles n, du volume V et

de la température T, on peut donc écrire P(n,V,T), pour déterminer la variation de P suite à

une variation du nombre de moles n, du volume V et de la température T, on peut écrire :

Exprimer la différentielle totale dP de la pression d'un gaz parfait. Simplifiez.

1.2 DIFFÉRENTIELLE TOTALE INEXACTE

Dans l'équation ci-dessus, la différentielle dF a été calculée à partir de l'expression de la

fonction F. Puisqu'il existe une fonction F qui vérifie l'expression de dF, la différentielle dF

est dite exacte.

Il existe également des différentielles inexactes, qu'aucune fonction ne vérifie. Pour

déterminer si une différentielle est exacte ou inexacte, on utilise les propriétés des dérivées

partielles. Soit la différentielle:


9

où M(x,y) et N(x,y) sont des fonctions des variables x et y. Si dF est une différentielle totale

exacte, on peut alors écrire :

Il faut donc que: et

ou encore, en effectuant une seconde dérivation, que:

et

Puisque l'ordre de dérivation est sans importance, dF est une différentielle exacte si:

Théorème d’Euler

Exercice 1

Déterminer si les différentielles suivantes sont exactes:


10

Exercice 2 Soient les deux différentielles totales suivantes:

a. Ces différentielles sont-elles exactes ou inexactes?

b. Calculer la variation

pour chaque différentielle et selon chacun des deux chemins suivants:

I. le long de la droite y = x

II. le long de la courbe y = x2

III. le long de la courbe y =

c. Les résultats de (a) et (b) concordent-ils ? 20

Afin de ne pas confondre les deux types de différentielles, on utilisera le symbole δ pour

représenter une différentielle inexacte. La distinction est extrêmement importante car seules

les différentielles exactes ont une intégrale qui ne dépend que des bornes d’intégration :

mais

Autrement dit, la variation d'une fonction dont la différentielle est exacte, ne dépend pas du

chemin suivi, mais uniquement des états initial et final. On appelle une telle fonction une

fonction d'état, c'est-à-dire une fonction dont la valeur ne dépend que de l'état présent, et non

de son histoire.

En résumé:

si la différentielle totale de F est exacte: si la différentielle totale de F est inexacte:

on la note dF on la note F

le théorème d'Euler est vérifié le théorème d'Euler n'est pas vérifié

F est une fonction d'état F n'est pas une fonction d'état

la valeur de ΔF ne dépend pas du chemin suivi la valeur de ΔF dépend du chemin suivi

Son intégrale sur un cycle est nulle Son intégrale sur un cycle n’est pas nulle

La fonction F existe La fonction F n’existe pas

3 INTÉRÊT DE CES NOTIONS SUR LES DIFFÉRENTIELLES

La plupart des relations entre grandeurs dans les sciences expérimentales sont des fonctions

de plusieurs variables. Les notions précédentes permettent par exemple de calculer l'erreur

liée à une mesure expérimentale. En thermodynamique, le premier principe nous dit que

«l'énergie interne de l'univers est constante». La valeur de cette constante étant inconnue, on

devra se contenter de déduire du premier principe, la différentielle totale exacte de Uunivers:

dUunivers = 0


11

T.D N°2 COEFFICIENTS THERMOELASTIQUES

EXERCICE 1 :

Coefficients thermoélastiques d’un fluide

On rappelle la définition des différents coefficients thermoélastiques α, β et χT.

où α est le coefficient de dilatation volumique isobare, β le coefficient de compressibilité

isochore et χT le coefficient de compressibilité isothermique.

1. Etablir la relation suivante :

2. Montrer que α = P β χT

EXERCICE 2 :

Coefficients thermoélastiques d’un gaz parfait

1. Exprimer α, β et χT pour un gaz parfait en fonction des paramètres d’état.

2. Calculer α, β et χT pour T = 300 K et P = 10 5

Pa.

EXERCICE 3 :

Coefficient thermoélastiques d’un gaz de Van Der Waals

L’équation d’état d’un fluide de Van Der Waals est donnée par :

a et b étant des constantes positives.

a) Exprimer α β χT pour un tel fluide en fonction des paramètres d’état.

b) Retrouver le cas du gaz parfait à partir du fluide de Van Der Waals.

EXERCICE 4 :

Equation d’état d’un liquide

Un liquide a un coefficient de dilatation isobare α = α0 constant et un coefficient de

compressibilité isotherme χT = χ0 constant.

En déduire l’équation d’état du liquide.


12

EXERCICE 5 :

Equation d’état d’une barre

On étudie la variation de la longueur L d’une barre solide en fonction de la température T et de la

traction longitudinale F appliquée ; on suppose la section droite s comme constante ; il n’y a pas de

cisaillement. Le module d’élasticité

E est donné par :

et le coefficient de dilatation linéaire est donné par :

Le module d’élasticité et le coefficient de dilatation linéaire sont supposés constants.

Etablir l’équation d’état de la barre.

Le modèle ci-dessus peut s’appliquer à un os long par exemple celui de la jambe dont le rayon

est d’environ 1 cm et E = 1010

N.m-2

. Calculer le raccourcissement relatif dû au poids d’une

personne de 60 kg, le poids étant réparti pour moitié sur chaque tibia.

13/34

T.D N° 3 L’ENERGIE INTERNE

EXERCICE 1 :

Energie interne d’un gaz parfait monoatomique

1. Traduire le principe de l’équipartition de l’énergie pour un gaz parfait monoatomique.

2. Donner l’expression de l’énergie interne d’un gaz parfait.

3. De quoi dépend l’énergie interne d’un gaz parfait ?

4. Donner les différentes expressions de l’énergie interne pour un gaz parfait polyatomique.

U ( 3 /2 ) R

T T

Gaz parfait monoatomique

( 7/2 ) R

( 5/2 ) R

(3/2 )R

T

Gaz parfait polyatomique

EXERCICE 2 :

Energie interne d’un gaz parfait

Etablir la fonction d’état U énergie interne d’un gaz parfait, dans un domaine de température

tel que : Cv = a + b T, a et b étant des constantes.

On posera u0 et T0 des valeurs de référence pour l’énergie interne et la température.

EXERCICE 3 :

Capacité calorifique à volume constant d’un système

On considère l’énergie interne d’un système donnée par U = aTVb où T et V sont la

température et le volume du système, a et b sont des constantes positives non nulles.

1. Est-ce l’énergie interne d’un gaz parfait ?

2. Déterminer l’expression de la capacité calorifique à volume constant du système.

3. Déterminer dU.

4. Vérifier que U est une fonction d’état.

14/34

H2 : Hydrogen Specific Heat

The behavior of the specific heat of hydrogen with changing temperature was extremely

puzzling early in the 20th century. At low temperatures it behaved like a monoatomic gas, but

at higher temperatures its specific heat took on a value similar to other diatomic molecules. It

took the development of the quantum theory to show that diatomic hydrogen, with its tiny

rotational inertia, required a large amount of energy to excite its first excited molecular

rotation quantum state. Since it could not get that amount of energy at low temperatures, it

acted like a monoatomic gas.

Selected Specific Heats

http://www.hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/

15/34

T.D N° 4 LE PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

EXERCICE 1 :

Enthalpie d’un gaz parfait

a) Rappeler la formule de l’enthalpie.

b) Montrer que l’enthalpie d’un gaz parfait ne dépend que de la température.

EXERCICE 2 :

Travail mécanique des forces extérieures de pression dans le cas d’un gaz

On considère une mole de gaz subissant une compression quasi-statique isotherme d’un état

initial i caractérisé par (P0 ; T0) à un état final f caractérisé par (2P0 ; T0).

Donner l’expression du travail reçu par le gaz

a) Dans le cas d’un gaz parfait :

b) Dans le cas d’un gaz de Van Der Waals :

EXERCICE 3 :

Travail mécanique des forces extérieures de pression dans le cas d’un liquide

On considère de l’eau liquide à P0 ; V0 ; T0 subissant une transformation quasi-statique, son

volume restant infiniment voisin de V0. On suppose que les coefficients thermoélastiques de

l’eau constants.

a) Montrer que le travail élémentaire est donné par :

b) Etablir l’expression du travail échangé par l’eau liquide avec le milieu extérieur dans

les cas suivants :

Transformation isochore.

Transformation isobare.

Transformation isotherme.

EXERCICE 4 :

Travail mécanique des forces extérieures de pression dans le cas d’un solide

Un solide a un coefficient de compressibilité isotherme constant. Il subit une

transformation quasi-statique isotherme à T = T0, sa pression varie de Pi à Pf.

a) Etablir l’expression du travail reçu.

b) Calculer la valeur de ce travail.

16/34

c) Calculer le travail que recevrait un gaz parfait de même volume et à la même pression

initiale Pi.

EXERCICE 5 :

Transformation élémentaire réversible d’un gaz parfait

On considère un gaz parfait subissant une transformation élémentaire réversible.

1. Donner l’expression de dU, δW, δQ et dH en fonction des variations élémentaires dT, dP,

dV de la température, de la pression et du volume et de différents coefficients

caractéristiques du gaz parfait.

2. Que deviennent ces expressions

Si la température reste constante ?

Si le volume reste constant ?

EXERCICE 6 :

Transformation quasi-statique d’un gaz parfait On considère différentes transformations définies entre les états initial et final en présence

uniquement de forces de pression.

Etat initial Etat final

Pression Pi Pf

Volume Vi Vf

Température Ti Tf

On prendra Cv constant.

1. Exprimer la variation d’énergie interne ΔU, le travail échangé W, la quantité de chaleur Q

échangée et la variation d’enthalpie ΔH

Pour une transformation quasi statique isotherme : Ti = Tf = T0.

Pour une transformation quasi statique isochore : Vi = Vf = V0.

Pour une transformation quasi statique isobare : Pi = Pf = P0.

Pour une transformation quasi statique adiabatique.

2. Représenter ces trois transformations en coordonnées de Clapeyron P(V) et en déduire le

signe du travail échangé.

17/34

T.D N°5 ETUDE DE TRANSFORMATIONS ET DE CYCLES

EXERCICE 1 :

Détente de Joule (Gay-lussac)

Un récipient fermé par un piston retenu par des cales ( en noir sur la figure ) contient un

gaz à la pression P=P1. Dans le compartiment mitoyen il y a du vide.

On enlève les cales. Le piston est amené de façon brutale contre la paroi externe. Le

système est adiabatique.

vide

1. Cette transformation est-elle réversible ?

2. Dans cette transformation que peut-on dire :

De la quantité de chaleur échangée Q ?

Du travail échangé W ?

De la variation d’énergie interne ΔU ?

3. Dans le cas d’un gaz parfait, que peut-on dire :

De la température finale par rapport à la température initiale ?

De la pression finale par rapport à la pression initiale ?

EXERCICE 2 :

Cycles de Stirling

Le cycle de Stirling est employé dans certaines machines frigorifiques ; il

est à l’étude pour l’utiliser pour certains moteurs ( La Recherche n° 161 ).

AB ; CD : transformations isochores ;

BC ;DA : transformations isothermes, de températures Tf et Tc ( Tf < Tc )

Tc : température de la source chaude ; Tf : température de la source froide

Vmin : volume minimal ; Vmax : volume maximal.

P1

P2

Tf

Tc

V

B

A

C

D

P

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1. Dans quel sens le cycle récepteur doit-il être parcouru ?

2. Dans quel sens le cycle moteur doit-il être parcouru ?

3. Le système est un gaz parfait avec Cv constante qui parcourt le cycle de

Stirling dans le sens ABCD.

a) Montrer que la chaleur cédée par le système lors de la transformation

isochore AB est récupérée lors de la transformation isochore CD.

b) Calculer le travail échangé par le système avec l’extérieur pendant

les transformations isothermes ; en déduire les chaleurs échangées avec

l’extérieur pendant ces mêmes transformations.

c) On définit l’efficacité du cycle par le rapport gain/dépense.

Le gain étant la chaleur prise à la source froide et la dépense le travail utile.

Etablir l’expression de cette efficacité en fonction des températures Tc et Tf.

19

T.D N°6 ETUDE DU DEUXIEME PRINCIPE. ENTROPIE

EXERCICE 1 :

BILANS ENTROPIQUES DE QUELQUES TRANSFORMATIONS

REVERSIBLES SIMPLES D’UN GAZ PARFAIT

On considère un gaz parfait de capacité calorifique molaire, à volume constant Cv supposée

indépendante de la température. On posera :

Etat initial : Pression Pi

Volume Vi

Température Ti

Etat final : Pression Pf

Volume Vf

Température Tf

1. Exprimer les variations d’entropie ΔS entre l’état initial et l’état final :

a) Pour une isotherme (Ti=Tf=T0)

b) Pour une isochore (Vi=Vf=V0)

c) Pour une isobare (Pi=Pf=P0)

2. Tracer les courbes correspondantes en coordonnées (S,T).

3. Que deviennent ces expressions pour un gaz parfait tel que Cv=aT+b ?

EXERCICE 2 :

TRANSFORMATIONS ADIABATIQUES ET CREATION D’ENTROPIE

1. Peut-il y avoir création d’entropie dans une transformation adiabatique lente ?

2. On considère une détente de Joule d’un gaz parfait, qui passe du volume V1 au volume

V2.

a) Quelle est sa variation de température ?

b) Exprimer sa variation d’entropie en fonction des données. Justifier le signe de cette

variation.

3. On considère une détente de Joule-Thomson d’un gaz parfait, qui passe de la pression

P1 à la pression P2.

a) Quelle est sa variation de température ?

b) Exprimer sa variation d’entropie en fonction des données. Justifier le signe de cette

variation.

20

EXERCICE 3 :

TRANSFORMATIONS ADIABATIQUES REVERSIBLES D’UN GAZ

PARFAIT

Soit un gaz parfait de capacité calorifique molaire, à volume constant Cv, supposée

indépendante de la température. Ce gaz subit une transformation adiabatique réversible.

On posera :

a) Quelle est la relation qui lie la pression P et le volume V du gaz au cours de la

transformation ?

b) En déduire une relation analogue entre T et V ; entre T et P.

c) Montrer que, dans un diagramme en coordonnées de Clapeyron ( P en fonction de V ), la

pente d’une isentropique est plus grande, en valeur absolue, que celle d’une isotherme.

d) Représenter les courbes correspondantes :

En coordonnées de Clapeyron (P,V)

En coordonnées entropiques (T,S).

21

T.D N°7 CYCLES THERMODYNAMIQUES

EXERCICE 1 :

CYCLE DE CARNOT

On considère un cycle de Carnot ABCDA comportant deux isothermes AB et CD et deux

isentropiques BC et DA.

Dans le cas où le cycle est décrit par un gaz parfait de capacité calorifique molaire à volume

constant Cv, supposée constante :

1. Représenter le cycle de Carnot :

En coordonnées de Clapeyron (P,V) ;

En coordonnées isentropiques (T,S).

2. Construire un tableau donnant ΔU, ΔS, W et Q pour chacune des quatre étapes du cycle.

3. En déduire en fonction de Tf et Tc :

Le rendement d’un cycle de Carnot moteur.

Application numérique : Tf = 273K et Tc= 373K.

L’efficacité frigorifique d’un cycle de Carnot récepteur.

Application numérique : Tf = 273K et Tc = 373K.

L’efficacité thermique d’un cycle de Carnot fonctionnant en pompe à chaleur.

Application numérique : Tf = 273K et Tf =293K.

EXERCICE 2 :

Cycle décrit par un gaz parfait : rendement

Une mole de gaz parfait subit les transformations réversibles suivantes :

Une compression adiabatique : état (1) à état (2)

Une dilatation à pression constante : état (2) à état (3)

Une détente adiabatique : état (3) à état (4)

Un refroidissement à volume constant : état (4) à état (1)

Chaque état est défini par la pression Pi, la température Ti et le volume Vi (i variant de 1 à 4).

On appelle le rapport des chaleurs molaires Cp/Cv. On définit a = V1/V2 et b = V4/V3.

1. Représenter sommairement le cycle sur un diagramme de Clapeyron.

2. Donner les expressions de la pression, du volume et de la température pour les états

(2), (3) et (4), en fonction de P1,V1,T1, a et b.

3. Calculer numériquement ces valeurs.

4. Calculer les travaux et chaleurs échangés pour toutes les transformations subies.

Préciser notamment le sens des échanges.

5. Calculer le travail échangé sur un cycle.

6. Calculer la chaleur échangée sur un cycle. Conclusion.

7. Proposer une expression pour le rendement d'un moteur fonctionnant suivant ce

cycle, en fonction des travaux et chaleurs échangés.

- Donner l'expression du rendement en fonction de , a et b.

- Calculer et vérifier la valeur trouvée.

Données : =1,4 ; P1 =1,0.105 Pa; a =9 ; T1 =300 K ; b =3 ; Cv =20,8 J/K/mol ; R =8.2 J

mol-1

K-1

22

EXERCICE 3 :

Cycles réalisés avec un gaz parfait

Le cycle comprend une isotherme AB, une adiabatique CA, une isochore BC. La masse de

gaz est constante.

1. On dispose d'une seule source de chaleur ; sa température est celle de l'isotherme.

Peut-on réaliser un cycle moteur ? Justifier.

2. On étudie le cycle ABCA. Les transformations sont réversibles. La masse d'air,

assimilé à un gaz parfait est m = 1 g. Masse molaire 29 g/mol ; Cp / Cv = = 1,4=

constante.

VA = 8 10-5

m3 ; PA = 10 bars = 10

6 pascals. PA / PC = 10.

- Calculer TA, TB, TC, PB, TC, VB, VC.

- Calculer les travaux échangés avec l'extérieur au cours des transformations AB, BC,

CA.

- Calculer les quantités de chaleurs échangées avec l'extérieur au cours des

transformations AB, BC, CA.

- Calculer le travail et la quantité de chaleur échangés avec l'extérieur au cours du

cycle.

VB = VC VA

P

V

A

B

C

PA

PB

PC

23

EXERCICE 4 :

Transformation cyclique d'un gaz parfait

Une masse constante de gaz parfait ( Cp/Cv= =1,4) décrit le cycle ci-dessus. Etat A (

PA=105Pa ; TA=144 K ; VA= 4 ,4 10

-4 m

3)

1. Transformation A--> B : isentropique TB=278,8 K. Calculer PBet VB.

2. Transformation B--> C : détente isotherme réversible VA=VC ; calculer PC et la

variation d'entropie SBC.

3. Transformation C--> A : détente isochore. Calculer la variation d'entropie SCA et la

quantité de chaleur QCA échangée avec la source.

- En déduire la valeur Sirr

CA de l'entropie créée.

EXERCICE 5 :

Variation d’entropie

Un vase calorifugé contient m1=200g de liquide de capacité thermique massique c1=2850 J

kg-1

K-1

à la température t1 =20°C. Un bloc de cuivre de masse m2=250g (c2=390 J kg-1

K-1

)

pris initialement à la température t2 = 80°C, y est introduit. La capacité thermique du récipient

est C3=150 JK-1

.

1. Calculer la température d'équilibre.

2. Calculer la variation globale d'entropie au cours de cette opération.

3. Le couvercle, l'ensemble se refroidir lentement jusqu'à 20°C. Quelle est la variation

d'entropie de l'ensemble {vase + liquide + cuivre}. Quelle est la variation d'entropie de

l'ensemble {vase + liquide + cuivre + milieu extérieur}. Conclure

A

VA = VC VB

P

V

B

C

PA

PB

PC

24

T.D N°8 ETUDE DU CYCLE D’UNE TURBINE A GAZ A COMBUSTION EXTERNE

Une turbine à gaz est composée dans sa forme la plus simple, de trois éléments :

Un compresseur, centrifuge ou plus généralement axial, qui a pour rôle de comprimer de

l'air ambiant à une pression comprise aujourd'hui entre 10 et 30 bars environ ;

Une chambre de combustion, dans laquelle un combustible gazeux ou liquide est injecté

sous pression, puis brûlé avec l'air comprimé, avec un fort excès d'air afin de limiter la

température des gaz d'échappement ;

Une turbine, généralement axiale, dans laquelle sont détendus les gaz qui sortent de la

chambre de combustion.

La turbine à gaz constitue une machine thermodynamique fournissant du travail c’est donc un

moteur à combustion interne. Le terme de turbine à gaz provient de l'état du fluide de travail,

qui reste toujours gazeux, et non du combustible utilisé, qui peut être aussi bien gazeux que

liquide.

Il existe aussi des turbines à gaz à cycle fermé, utilisées pour des applications particulières, il

s'agit alors de moteurs à combustion externe.

Coupe d’une turbine à gaz Principe d’une turbine à gaz

On se propose d’étudier le fonctionnement et les performances d’une turbine à gaz à

combustion externe dans laquelle un gaz que l’on supposera parfait décrit en circuit fermé

http://www.thermoptim.org/sections/technologies/composants/turbines

25

les opérations réversibles suivantes :

-le gaz initialement dans l’état ( P1 ; T1 ) traverse un compresseur dans lequel il subit

une évolution adiabatique jusqu’à l’état 2 ( P2 ; T2 )

- il se trouve alors en contact avec " une " source chaude où il se réchauffe à pression

constante P2 jusqu’à la température T3, il est alors dans l’état 3 ( P2 ; T3),

- le gaz pénètre ensuite dans la turbine où il se détend de manière adiabatique jusqu’à la

pression P1 ; en fin de détente il est dans l’état 4 ( P1 ; T4 ),

- il achève de se refroidir à la pression P1, au contact " d’une " source froide jusqu’à la

températureT1 où il se trouve dans l’état 1.

1) Tracer en diagramme P, V le cycle théorique de cette machine et on représentera toutes les

données.

2) Déterminer en fonction deP1 ; P2 ; T1 et T3, les volumes V1 ; V2 ; V3 et V4 d’une mole de

gaz dans les états 1, 2, 3, 4 . On appellera γ la constante adiabatique du gaz.

3) Déterminer les températures T2 et T4.

4) Préciser les quantités de chaleur Q et q échangées par une mole de gaz avec les sources

chaude et froide, ainsi que le travail global W de cette mole au cours du cycle.

5) Exprimer uniquement en fonction de r = P2/P1 le rendement théorique η th de cette

machine.

Le rapport r étant imposé par les limites de résistance de l’installation, avec lequel des trois

gaz suivants obtiendra-t-on le meilleur rendement ?

Argon = 1,667; Air = 1,40; Dioxyde de Carbone = 1,31

4) Préciser alors pour le gaz ainsi choisi et pour les valeurs r = 4, P1 = 10 5 N m

-2 , T1 = 300K,

T3 = 900 K , les valeurs de η th , V1 ; V2 ; V3 ; V4 ;T2 ; T4 et W.

5) Comparer η th au rendement d’une machine fonctionnant selon le cycle de Carnot entre

deux sources aux températures uniformes T1 et T3.

26

T.D N°9 ETUDE DU CYCLE D’UNE CLIMATISATION AUTOMOBILE

Les véhicules équipés de la climatisation occupent une place de plus en plus importante sur le

marché automobile. Le fluide frigorigène subissant le cycle est de l’hydrofluorocarbone HFC

de formule CH2F-CF3 ; 1,1,1,2 Tétrafluoroéthane connu sous le code R134a . On admet qu’il

se comporte à l’état gazeux comme un gaz parfait, de constante adiabatique p

v

c= =1,12

c.

La constante des gaz parfait est R = 8.32 joule/ ( mol. K )

Le cycle théorique du R134a est le suivant :

En (1) , dans l’évaporateur, le fluide frigorigène est entièrement à l’état de vapeur

saturante : 1p 3,5 bar , 1 5,0 C , 11h 400 kJ.kg . Il subit alors un échauffement

isobare en sortie de l’évaporateur jusqu’à l’entrée du compresseur caractérisé par l’état

(2) : 2p 3,5 bar , 12h 415 kJ.kg , 2 .

La vapeur surchauffée basse pression est alors comprimée par le compresseur de 3,5 bar

à 10 bar (état (3) ) . Sa température est alors 3 . La compression est supposée adiabatique

réversible.

Entre (3) et (4) , la vapeur surchauffée haute pression est refoulée dans le condenseur

où elle cède à l’air extérieur une quantité de chaleur sous pression constante. Le fluide

frigorigène se condense alors entièrement (état (4) ).

En sortie du condenseur, le fluide liquéfié se sous-refroidit et traverse un réservoir

déshydrateur, toujours à pression constante. L’état (5) caractérise ce sous refroidissement.

Entre (5) et (6) , le fluide est acheminé dans un détendeur où il subit une détente

isenthalpique ; sa pression passe alors de 10 bar à 3,5 bar. Le fluide se vaporise alors

Réservoir

déshydrateur

Compresseur

Evaporateur

Condenseur

Motoventilateur

Détendeur

Air pulsé

dans

l’habitacle

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Carbone


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fluor



27

partiellement. L’état (6) est caractérisé par les données suivantes : titre massique en

vapeur 20 % ; température 6 5,0 C ; pression 6p 3,5 bar .

Enfin, il pénètre dans l’évaporateur et absorbe en s’évaporant une certaine quantité de

chaleur provenant de l’air pulsé en direction de l’habitacle. L’air arrive rafraîchi dans

l’habitacle.

A - Caractéristique du R134a

1. Déterminer la capacité thermique molaire à pression constante pc du fluide

frigorigène R134a .

2. Déterminer la capacité thermique molaire à volume constant c v du fluide frigorigène

R134a .

B - Etude du cycle du fluide frigorigène

1. Placer, sur le diagramme enthalpique, les 6 points correspondant ( utiliser une couleur

autre que le noir ou le rouge ) aux différents états du cycle du fluide frigorigène. (

diagramme à la fin du document )

2. Préciser les différentes transformations subies par le fluide frigorigène

3. Tracer le cycle en précisant le sens du parcours.

4. En utilisant le diagramme enthalpique, indiquer la valeur de la température 2 de

surchauffe du fluide basse pression.

5. La compression de l’état (2) à l’état (3) est supposée adiabatique réversible

(isentropique).

En utilisant le cycle tracé à la question précédente, déterminer la température 3 de fin de

compression isentropique.

6. Déterminer la quantité de chaleur fq échangée avec l’air pulsé vers l’habitacle par

kilogramme de fluide au niveau de l’évaporateur (entre les états (6) et (2) ).

C - Efficacité de l’installation

1. Définir puis calculer le coefficient de performance de l’installation.

Compresseur

automobile

28

Evaporateur

détendeur

condenseur

déshydrateur

30

T.D N°10 ETUDE DU CYCLE D’UNE MACHINE A VAPEUR

Le fonctionnement d'une machine à vapeur peut être modélisé par un cycle de Rankine. Un

fluide, l'eau subit des transformations dont certaines consistent à réaliser des échanges

thermiques avec deux sources de chaleur, chaque source étant à température constante. Ces

échanges peuvent provoquer des transitions de phase liquide <--> vapeur.

- vaporisation A--> B à pression constante P1= 50 bar du fluide dans le bouilleur.

- détente isentropique B--> C de la vapeur juste saturante dans la turbine calorifugée ( lors de

cette étape de l'énergie est fournie sous forme de travail à l'extérieur de la machine à vapeur),

jusquà P2<P1.

- condensation totale C--> M à pression constante P2 = 0,1 bar dans le condenseur.

- compression isentropique M--> D du liquide juste saturant au départ, de P2 à P1, dans la

pompe calorifugée.

- échauffement D-->A à pression constante P1.

Etude du cycle :

1. Indiquer quelle information donnée dans la description du cycle permet de conclure

que la vaporisation est complète en B.

Le diagramme T-s fourni permet de visualiser l'évolution de l'eau au cours du cycle.

On peut voir sur ce diagramme la courbe de saturation ( courbe de rosée et courbe

d'ébullition se rejoignent au point critique ), qui délimite la zone "état liquide", la

zone " état vapeur" et la zone "coexistence liquide vapeur". On remarquera également

la continuité des courbes isobares et isenthalpes sur tout le domaine représenté, avec

parfois une ou deux ruptures de pente.

2. Indiquer sur le diagramme où sont situées les zones " état liquide", "état vapeur" et

"coexistence liquide vapeur".

31

3. En observant les courbes isobares du diagramme T-s, expliquer pourquoi on peut

admettre que le point M est pratiquement confondu avec le point D sur ce diagramme,

bien que les états D et M soient différents.

4. Dessiner précisément le cycle de Rankine sur le diagramme fourni.

5. Par lecture graphique, compléter le tableau suivant :

Etat A B C M D

P (bar)

T(°C)

h( kJ kg-1

)

s (kJ K-1

kg-1

)

6. On rappelle l'expression du premier principe de la thermodynamique pour un fluide

en écoulement permanent entre une entrée et une sortie de machine sans variation

d'énergie cinétique ni variation d'énergie potentielle : h=hsortie-hentrée= W+Q

(h, W, Q grandeurs massiques ; W : travail utile fourni par la machine)

a) Calculer l'énergie thermique (ou quantité de chaleur) QDB reçue par kilogramme de

vapeur d'eau, au cours du transfert thermique avec la source chaude.

b) Calculer le travail reçu WBC dans la turbine calorifugée. Commenter son signe.

c) Calculer le travail reçu WMD à la pompe calorifugée.

d) Calculer l'énergie thermique Qf reçue par kilogramme d'eau lors du transfert

thermique avec la source froide.

e) Calculer le rendement de ce cycle moteur.

33

T.D CALORIMETRIE

EXERCICE 1 :

Capacité thermique

1. Quelle quantité de chaleur faut-il fournir à un bloc de cuivre de masse 1.25 kg pour élever

sa température de 20°C à 80 °C ?

2. Quelle serait la température finale d’une masse de 1.25 kg d’eau prise à 20 °C si on

fournissait la même quantité de chaleur ? Conclusion.

Données : Ccu = 384 J. kg-1

K-1

et Ceau = 4.18 kJ kg-1

K-1

= 1.0 cal.g-1

K-1

EXERCICE 2 :

Quantité de chaleur et variation de température.

Un chauffe-eau débite 6 L d’eau par minute à la température de 70°C, l’eau pénètre dans le

chauffe-eau à 16°C.

1. Calculer la puissance minimale que devrait avoir le chauffe-eau.

2. Les appareils courants ont une puissance comprise entre 1 et 2 kW, expliquez pourquoi il

est nécessaire de disposer d’un ballon qui sert de réservoir d’eau chaude ?

Donnée :

Ceau = 4.18 kJ kg-1

K-1

= 1.0 cal.g-1

K-1

EXERCICE 3 :

Méthode des mélanges

Un calorimètre contient 95 g d’eau à 20°C. On ajoute 71 g d’eau à 50°C.

1. Quel serait la température d’équilibre si on néglige la capacité thermique du calorimètre ?

2. La température d’équilibre observée est de 31.3 °C. Calculer la capacité calorifique du

calorimètre.

3. Dans ce calorimètre contenant 100 g d’eau à 15 °C, on plonge un échantillon métallique

de masse 25g sortant d’une étuve à 95 °C. La température d’équilibre est de 16.7 °C.

Calculer la capacité thermique du métal.

Donnée :

Ceau = 4.18 kJ kg-1

K-1

= 1.0 cal.g-1

K-1

EXERCICE 4 :

Refroidissement d’un verre de jus

On veut refroidir un verre de jus de fruit contenant 200 mL de jus de même capacité

calorifique que l’eau et initialement à la température de 30°C. On introduit un cube de glace

de masse 30 g à –10°C et on néglige la capacité calorifique du récipient.

1. Déterminer la température finale à l’équilibre que devrait atteindre le verre de jus.

2. Dans la réalité la température finale est-elle supérieure ou inférieure à la température

obtenue. Expliquez.

Données :

Ceau = 4.18 kJ kg-1

K-1

; Cglace = 2.10 kJ kg-1

K-1

; Lglace = 330 kJ kg-1

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Travaux Dirigés de

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